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Thales de Mileto, matemático y geómetra griego clavó su bastón en el suelo y midió las longitudes de la sombra del bastón y la sombra de la pirámide; observó la semejanza entre los triángulos que se construyen de las alturas y las sombras que proyectaban el bastón y la pirámide.
Visto de otra forma:
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Los rayos del sol inciden paralelamente sobre la tierra, de esta manera, los triĂĄngulos rectĂĄngulos que se forman por la altura y la sombra del bastĂłn y la pirĂĄmide son semejantes. Por lo que es posible establecer la proporciĂłn: đ?‘Ż đ?’‰ = đ?‘ş đ?’”
La proporciĂłn significa que la altura del bastĂłn es a su sombra, como, la altura de la pirĂĄmide es a su sombra.
Gracias a esta proporciĂłn fue posible hallar la altura de la pirĂĄmide, conociendo la altura y la sombra del bastĂłn y la sombra de la pirĂĄmide. Despejando la altura de la pirĂĄmide “Hâ€? tenemos el siguiente algoritmo:
đ?‘Ż=
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�� �
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ďƒ˜ APLICACIĂ“N En clase de geometrĂa los estudiantes de noveno realizan un experimento para averiguar la estatura de cada compaĂąero solo conociendo su propia estatura, el experimento consiste en medir el tamaĂąo de la sombra de cada uno cuando el sol estĂĄ en lo mĂĄs alto, si Andrea mide 156 đ?‘?đ?‘š y su sombra mide 100 đ?‘?đ?‘š ÂżCuĂĄl es la estatura de sus compaĂąeros si las sombras miden 110 đ?‘?đ?‘š y 90 đ?‘?đ?‘š?
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SoluciĂłn: Si trazamos una recta que una la altura de la niĂąa con la longitud de su sombra, se forma un triĂĄngulo rectĂĄngulo.
Ubicamos la sombra del primer compaĂąerito, la altura que deseamos conocer y unimos estĂĄn dos longitudes formando un triĂĄngulo rectĂĄngulo.
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Utilizando el teorema de Thales, planteamos la proporcionalidad entre los dos triĂĄngulos rectĂĄngulos: 156 â„Ž = 100 110 Despejando â„Ž y resolviendo obtenemos: â„Ž=
156 Ă— 110 100
â„Ž = 171,6 đ?‘?đ?‘š
Ahora para encontrar la altura del siguiente compaĂąerito se utiliza el mismo proceso anterior, de tal forma que sea posible visualizar los dos triĂĄngulos a comparar.
Utilizando el teorema de Thales, planteamos la proporcionalidad entre los dos triĂĄngulos rectĂĄngulos: 156 â„Ž = 100 90
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Despejando â„Ž y resolviendo obtenemos: â„Ž=
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156 Ă— 90 100
â„Ž = 140,4 đ?‘?đ?‘š
AsĂ obtenemos que la respuesta correcta es B) 171,6 đ?‘?đ?‘š đ?‘Ś 140,4 đ?‘?đ?‘š
APLICACIĂ“N 2 A continuaciĂłn se presenta la interpretaciĂłn matemĂĄtica del teorema de Tales:
“Si dos trasversales son cortadas por dos o mĂĄs paralelas, quedan determinados segmentos proporcionales sobre las trasversalesâ€?.
đ?’‚ đ?’„ = đ?’ƒ đ?’…
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El teorema de PitĂĄgoras expresa que para todo triĂĄngulo rectĂĄngulo la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos es igual a la hipotenusa al cuadrado.
“La suma del cuadrado de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusaâ€? đ?‘? 2 = đ?‘Ž2 + đ?‘? 2
Es decir que para todo triĂĄngulo rectĂĄngulo, el ĂĄrea del cuadrado construido sobre la hipotenusa, es igual a la suma de las ĂĄreas de los cuadrados construidos sobre los catetos. Para entenderlo mejor, construyamos un cuadrado cuya longitud son los catetos del triĂĄngulo rectĂĄngulo.
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Observemos que cada lado del cuadrado mide đ?‘Ž + đ?‘? Por lo tanto, el ĂĄrea del cuadrado es: đ??´đ??śđ?‘ˆđ??´đ??ˇđ?‘…đ??´đ??ˇđ?‘‚ = (đ?‘Ž + đ?‘?)(đ?‘Ž + đ?‘?) El ĂĄrea del cuadrado inscrito es: đ??´đ??śđ?‘ˆđ??´đ??ˇđ?‘…đ??´đ??ˇđ?‘‚ = đ?‘? 2 El ĂĄrea de los cuatro triĂĄngulos que se observan en la imagen es: 4(đ??´đ?‘‡đ?‘…đ??źĂ đ?‘ đ??şđ?‘ˆđ??żđ?‘‚ ) =
4đ?‘Žđ?‘? 2
La suma de las ĂĄreas del cuadrado inscrito y cuatro triĂĄngulos es: đ??´ = đ?‘? 2 + 2đ?‘Žđ?‘? AsĂ, el ĂĄrea del cuadrado es igual al ĂĄrea del cuadrado inscrito y el ĂĄrea de los cuatro triĂĄngulos: (đ?‘Ž + đ?‘?)(đ?‘Ž + đ?‘?) = đ?‘? 2 + 2đ?‘Žđ?‘? Resolviendo el producto: đ?‘Ž2 + 2đ?‘Žđ?‘? + đ?‘? 2 = đ?‘? 2 + 2đ?‘Žđ?‘?
đ?’ƒđ?&#x;? = đ?’‚đ?&#x;? + đ?’„đ?&#x;?
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En un parque extremo se estĂĄ planeando la construcciĂłn de una atracciĂłn en la cual la gente mediante un arnĂŠs pueda deslizarse por un cable totalmente recto. El recorrido debe iniciar en una torre marrĂłn y finalizar en la torre verde. Los planos de la construcciĂłn se pueden ver en la siguiente imagen: 2đ?‘š
5đ?‘š 80 đ?‘š
7đ?‘š
30 đ?‘š
200 đ?‘š
El diseĂąador de la maqueta tiene una duda al respecto de la cantidad del cable azul para realizar el recorrido de una torre a otra. ÂżCuĂĄl es la longitud de dicho cable? -
SoluciĂłn: Observemos: Necesitamos hallar la longitud del cable azul. Construyendo un triĂĄngulo rectĂĄngulo es posible hacerlo.
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Si observamos las medidas de los catetos serĂĄn 52 y 188 respectivamente:
Aplicando el teorema de PitĂĄgoras: â„Ž2 = đ?‘?1 2 + đ?‘?2 2 Como đ??ż es la longitud del cable azul, entonces tenemos que: đ??ż = √522 + 1882 đ?‘ł = √đ?&#x;‘đ?&#x;–đ?&#x;Žđ?&#x;’đ?&#x;– đ?’Ž
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