La Ecuación de Dirac Por Kristhell Marisol López 01/12/2009
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Introducción
La ecuación de Dirac describe a un electrón o un positrón relativista, el cual se mueve libremente, es decir, en ausencia de campos externos u otras partículas. Sin embargo, esta ecuación es importante para la descripción asintótica de partículas interactuantes, pues en el límite de tiempos grandes, las partículas interactuando se comportan como partículas libres, pues su separación aumenta. Si se escribe la ecuación de Dirac como un problema de valores iniciales, se puede llegar a la interpretación de una partícula, que podría llevar a algunas inconsistencias, como que un electrón puede estar en un estado con energía negativa. Sin embargo, estas soluciones se pueden identificar como positrones con energía positiva. En vista de que es necesario que la teoría cuántica se aplique a las partículas que viajan a velocidades muy altas, se buscará hacer la teoría existente invariante ante transformaciones de Lorentz.
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Notación y convención Primero se hará un cambio de notación para las coordenadas: c t = x0 x = x1 y = x2 z = x3 Por lo que la función de onda yHt, x, y, zL será ahora yHx0 , x1 , x2 , x3 L . Y luego, un cambio de notación para el momentum lineal: ∑ px = p1 = -iÑ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ1ÅÅÅÅ ∑x ∑ p y = p2 = -iÑ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2ÅÅÅÅ ∑x ∑ pz = p3 = -iÑ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ3ÅÅÅÅ ∑x
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La Ecuación de Dirac.nb Sin embargo, se necesita tener cuatro componentes (como las cuatro componentes de la posición), por lo que se introduce una nueva variable dinámica, definida por: ∑ iÑ ∑ p0 = iÑ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ0ÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ c ∑t ∑x Esta variable tiene el significado físico de la energía de la partícula sobre c. Como puede notarse, se usará notación relativista, la cual está sujeta a las siguientes condiciones: a0 = a0 a1 = -a1 a2 = -a2 a3 = -a3 Es decir, am = g mn an , donde
g mn
ij 1 0 0 0 yz jj z jj 0 -1 0 0 zzz j zz = jj jj 0 0 -1 0 zzz jj zz k 0 0 0 -1 {
Ahora, ya se puede proceder a tratar las nuevas coordenadas xi y pi .
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Deducción de la ecuación de Dirac Tomando la ecuación de Schrödinger, iÑ ∑ †y\ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = H †y_ ∑t
(1)
y el Hamiltoniano relativista, "############################ m2 c 4 + p 2 c 2
(2)
"################################################## # m2 c2 + p1 2 + p2 2 + p3 2 O †y\ = 0
(3)
H= y utilizando la nueva notación, se llega a K p0 -
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La Ecuación de Dirac.nb Debido a que no hay simetría entre p0 y las otras pi , se necesita una nueva ecuación. Multiplicando (3) por p0 +
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! m2 c2 + p1 2 + p2 2 + p3 2 se obtiene I p0 2 - p1 2 - p2 2 - p3 2 - m2 c2 M †y] = 0
(4)
Sin embargo, (4) no es completamente equivalente a (3), pues aunque toda solución de (3) es solución de (4), sólo las soluciones positivas de (4) serán solución de (3). Nótese que (4) no está en la forma lineal de p0 que se necesita. Para lograr esto, se escribirá de la siguiente manera: H p0 - a1 p1 - a2 p2 - a3 p3 - bL †y\ = 0
(5)
donde am y pm son independientes. Así también, am son independientes de β, pues como no existe campo alguno, todos los puntos deben ser equivalentes. Ahora, si se multiplica (5) por p0 + a1 p1 + a2 p2 + a3 p3 + b y se le obliga a cumplir con H p0 - a1 p1 - a2 p2 - a3 p3 - bL H p0 + a1 p1 + a2 p2 + a3 p3 + bL = Ip0 2 - p1 2 - p2 2 - p3 2 - m2 c2 M
(6)
se obtienen las siguientes relaciones: a21 = a22 = a23 = 1 2
2 2
b =m c am an + an am = 0 am b + bam = 0
(7) (8) (9) (10)
Y si se hace b = am m c, con a2m = 1 se puede escribir el anticonmutador @am , an D+ = 2 dmn
(11)
donde m = 81, 2, 3, m<. La ecuación (5) no es equivalente a (3), pero permite valores tanto negativos como positivos de p0 . Obviamente, los valores negativos de p0 no corresponden a algún movimiento observable del electrón. Nótese que las am tienen propiedades parecidas a las tres Matrices de Pauli. Las matrices que cumplen estas propiedades deben tener dimensión par. No pueden ser de 2x2, pues únicamente tres matrices, como las de Pauli, así cumplirían las propiedades, y se necesitan cuatro matrices. Por lo tanto deben ser matrices de 4x4. 3
La Ecuación de Dirac.nb Es conveniente que se exprese las a j en función de las matrices de Pauli: a1 = r1 s1 a2 = r1 s2 a3 = r1 s3 am = r3
(12) (13) (14) (15)
donde i sx 0 yz s1 = jj z k 0 sx { ij 0 jj jj 0 r1 = jjj jj 1 jj k0
0 0 0 1
1 0 0 0
0y zz 1 zzzz z 0 zzzz z 0{
i s y 0 zy z s2 = jj k 0 sy { ij 0 jj jj 0 r2 = jjj jj i jj k0
0 0 0 i
-i 0 0 0
0 -i 0 0
yz zz zz zz zz zz z {
i sz 0 yz s3 = jj z k 0 sz {
(16)
ij 1 jj jj 0 r3 = jjj jj 0 jj k0
(17)
0 0 0 y zz 1 0 0 zzzz z 0 -1 0 zzzz z 0 0 -1 {
Debido a que las matrices s j y r j son hermitianas, am también. Además, como son de 4x4, la función de onda debe tener cuatro componentes. Cuando está el espín involucrado, se requiere de dos componentes. Ahora se obtiene cuatro porque la función de onda corresponde a dos estados con energía positiva y dos con energía negativa. Sustituyendo am en (5), 8 p0 - r1 Hs1 p1 + s2 p2 + s3 p3 L - r3 m c< †y\ = 0
(18)
êêê ÿ êê 8p0 - r1 Hs pL - r3 m c< †y\ = 0
(19)
es decir,
Esta ecuación es conocida como espinor de Lorentz. Ahora, si se generaliza al caso de que existiera un êêê campo electromagnético, con A0 y A como potenciales escalar y vectorial respectivamente, (19) se reescribe e ê êêê ÿ Bêêp + ÅÅÅÅeÅ êê : p0 + ÅÅÅÅÅ A0 - r1 Js AFN - r3 m c> †y\ = 0 c c que es la ecuación de Dirac.
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Invarianza ante transformaciones de Lorentz El primer paso es introducir a0 = 1 , para que así la ecuación (20) se reescriba como
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(20)
La Ecuación de Dirac.nb e ê êê ÿ Jp êê + ÅÅÅÅeÅ êê :a0 J p0 + ÅÅÅÅÅ A0 N - a AN - am m c> †y\ = 0 c c
(21)
y, haciendo uso de las condiciones de la notación relativista, se puede reescribir nuevamente como e :am Jp m + ÅÅÅÅÅ Am N - am m c> †y\ = 0 c
(22)
donde am cumplen con la relación am am av + an am am = 2 g mn am
(23)
Ahora, aplicando una transformación de Lorentz infinitesimal, se obtiene e e pm * + ÅÅÅÅÅ Am * = I pm + anm pn M + ÅÅÅÅÅ IAm + anm An M c c
(24)
e e p m + ÅÅÅÅÅ Am = I pm * - anm pn * M + ÅÅÅÅÅ IAm * - anm An * M c c
(25)
e :Iam - al anl M Jpm * + ÅÅÅÅÅ Am * N - am m c> †y\ = 0 c
(26)
1 M = ÅÅÅÅÅ a rs a r am as 4
(27)
a rs am am M - Mam am = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Hg mr as - ar g ms L = -amr ar 2
(28)
am H1 + am M L = H1 + Mam L Iam - amr ar M
(29)
por lo que
y así, (22) se reescribe
Ahora, se define
que, utilizando (23), cumple con
lo que implica que
Entonces, si se multiplica (26) por H1 + Mam L por el lado izquierdo, se obtiene
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La Ecuación de Dirac.nb e :am H1 + am M L Jpm * + ÅÅÅÅÅ Am * N - am H1 + Mam L m c> †y\ = 0 c
(30)
en donde, haciendo †y* \ = H1 + am M L †y\, e :am J pm * + ÅÅÅÅÅ Am * N - am m c> †y* \ = 0 c
(31)
con lo que se prueba la invarianza ante transformaciones de Lorentz.
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Interacción electromagnética
Para estudiar el espín y el momento magnético cuando existe presencia de un campo magnético, se puede poner Am = 0 . Además, es mucho más sencillo trabajar en notación no relativista, y entonces, (21) se reescribe como iÑ ∑ †y\ êê ÿ êê ÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = @a p + am m cD †y\ c ∑t
(32)
êêê donde êê p = êê p + ÅÅÅecÅ A es el operador momentum cinético. Para resolver la ecuación, se buscan eigen-estados i con la forma †y\ = yH0L e- ÅÅÑÅÅ E t , y entonces, a ÿ êê p + am m c2 E †y\ E †y\ = Ac êê
(33)
Ahora, se escribe †y\ = I Fc M, donde c y F son espinores de dos componentes. Sustituyendo êê a , am y †y\ en (33) se obtiene: sê ÿ êê p ij IE - m c2 M -c êê jj j êê ê êê 2 k -c s ÿ p IE + m c M
yz c zz J N = K 0 O z F 0 {
(34)
Por lo tanto, IE - m c2 M c - c êê sê ÿ êê pF=0 êê ê êê 2 IE + m c M F - c s ÿ p c = 0
(35) (36)
Y, por (36), c êê sê ÿ êê p F = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2ÅÅ c E+mc
(37)
La energía de la ecuación de Schrödinger no incluye la energía en reposo, por lo que se podría escribir como Es = E - m c2 , o similarmente, Es = T + V . A velocidades bajas, y por el Teorema del Virial, 6
La Ecuación de Dirac.nb Es m v2 v 2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2ÅÅ º ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2ÅÅ = J ÅÅÅÅÅ N ` 1 c mc mc
(38)
sê ÿ êê p c êê F = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2ÅÅÅÅ c 2mc
(39)
Por lo que (37) se reescribe como
Entonces, ƒƒ F †ƒ ÅÅÅÅÅÅ £ = ƒc
êê sê ÿ êê v ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ` 1 2c
(40)
Por (40), a F se le conoce como la componente pequeña y a c, como la componente grande. Ahora, sustituyendo (39) en (35) êêê ÿ êê êêê ÿ êê Hs pL Hs pL Es c = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ c 2m
(41)
êêê ÿ êê êêê ÿ zê L = êê êêê µ zê L , la ecuación wêL Hs wê ÿ zê + i êê sê ÿ Hw que es llamada Ecuación de Pauli. Utilizando la propiedad Hs (41) se convierte en 1 e êêê 2 e Ñ ê êê Es c = K ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Jêêp + ÅÅÅÅÅ AN + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ êê s ÿ BO c c 2m 2mc
(42)
Nótese que el Hamiltoniano de la interacción es e Ñ ê êê Hint = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ êê sÿB 2mc
(43)
Se sabe que el Hamiltoniano para un sistema de interacción espín - campo electromagnético es g e Ñ ê êê Hint = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ êê sÿB 4mc
(44)
Por lo tanto, comparando (43) con (44), se puede concluir que g = 2, que es el resultado que se esperaba. A pesar que se utilizó relatividad para llegar a esta constante, no es necesaria. Simplemente se escribe el Hamiltoniano de una partícula libre como
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La Ecuación de Dirac.nb ê2 êêê ÿ êê Is PM H = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 2m
(45)
Luego se generaliza a una partícula en un campo magnético, y con esto se obtiene también que g = 2. Se recomienda demostrar este resultado.
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Referencias è SHANKAR, R. 1994. “Principles of Quantum Mechanics”. Plenum Press. Second Edition. New York, United States of America. 676 pps. è THALLER, B. 1992. “The Dirac Equation”. Springer - Verlag. Institut für Mathematik, Karl - Franzens Universität Graz. Graz, Austria. 357 pps. è DIRAC, P. 1958. “Principles of Quantum Mechanics”. Oxford University Press. Fourth Edition. Oxford, Great Britain. 314 pps.
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