Notas Efecto Hall Cuántico by alvaro veliz

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Efecto Hall Cuántico Juan Diego Chi-Wen Chang Santizo 3 y 4 de diciembre de 2009 BODY

Resumen En esta monografía del efecto Hall cuántico se trata de presentar las bases para poder estudiar este fenómeno físico que es de mucho interés para los Físicos de materia condensada y semiconductores. Este fenómeno fue descubierto por el Físico alemán, Klaus von Klitzing en 1980 (premio Nobel en 1985). El efecto Hall entero (IQHE) es aquel donde Ó es un entero en la expresión que mostraremos de la conductividad. Experimentos realizados confirman estas predicciones con una precisión de 10-8 . Sin embargo, en 1982, Tsui Störmer y Gossard descubrieron que en algunos sistemas, este parámetro toma números racionales, a este se le llama el efecto Hall fraccionado (FQHE). Estos aparecen cuando se varía el campo magnético. Robert Laughlin, Tsui Störmer obtuvieron el Nobel en 1998 por explicar teóricamente el efecto Hall cuántico fraccionado. Una manera de aplicarlo es en la metrología que busca medir Ñ estándares para la industria en la resistencia utilizando como base ÅÅÅÅ ÅÅ que q2 está expresado únicamente en términos de constantes físicas universales.

Efecto Hall Clásico

Si consideramos una cinta rectangular plana de ancho l por la cual fluye una corriente i, tenemos que la dirección de la corriente es la convencional, i.e. la opuesta al movimiento de los electrones. A ésta se le induce un campo magnético uniforme B perpendicular al plano en el que se encuentra la cinta. Las cargas experimentan una fuerza de la siguiente forma: F = qvd ä B

(1)

y se mueven hacia la derecha de la cinta. Notemos que las cargas positivas que se mueven en la dirección de la cinta y las que se mueven en la dirección de i experimentan una fuerza de desviación en la misma dirección. Esta primera fuerza que desvía las cargas hacia la derecha produce un campo eléctrico en la cinta, lo cual constituye el efecto Hall. Esto quiere decir que existe

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una diferencia de potencial al que llamamos voltaje de Hall, V = ÅÅÅÅEl Å . El signo de este voltaje nos da el signo de la carga y su magnitud nos da la densidad de carga. Supongamos que las cargas son electrones que se mueven a una velocidad de arrastre vd . Cuando los electrones se mueven, el campo magnético los desvía hacia la derecha, lo que crea un campo eléctrico que actúa en el conductor hasta que llega a un equilibrio y tenemos, por la fuerza de Lorentz: F = qE + qvd ä B = 0

(2)

E = -vd ä B

(3)

es decir,

Notemos que en este caso, la velocidad y el campo magnético son ortogonales, por lo que tendríamos que, E = vd B

(4)

j ÅÅ donde j es la densidad de corriente o Ahora bien, si recordamos que vd = ÅÅÅÅ nq

corriente por unidad de área A en la cinta y n es la densidad de los electrones, y t es el espesor de la cinta, tenemos que A = lt , por lo que sustituyendo en la ecuación 4 tenemos que, V i ÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ B l ltnq

(5)

iB n = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ qtV

(6)

V 1 RH = ÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ i qtn

(7)

de donde se obtiene que,

Si de aquí tenemos que,

que aunque no es una resistencia en sí, le llamamos resistencia de Hall.

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Niveles de Landau

2.1

Planteamiento del problema clásico:

Consideremos una partícula de masa m y carga q en el plano x-y con un campo magnético uniforme B en el eje z. Consideremos entonces el potencial magnético vectorial: B = “ äA

(8)

como B está sólo en el eje z tenemos que,

B ` ` A = ÅÅÅÅÅÅ I- y i + x jM 2

(9)

Se recomienda que el lector verifique que el resultado anterior es cierto resolviendo la ecuación diferencial. Si estudiamos esto clásicamente, tenemos el siguiente hamiltoniano del sistema: p*2 H = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + m0 B 2m q ÅÅÅÅÅÅ A y como B = B z` , el hamiltoniano se vuelve: donde m0 = ÅÅÅÅ 2 mc p*2 H = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 2m

(10)

(11)

donde p* = p + ÅÅÅÅqc A que es el momentum conjugado en electromagnetismo, entonces, q q2 p*2 = p2 + ÅÅÅÅÅ HA p + pAL + ÅÅÅÅÅ2ÅÅÅ A2 c c

(12)

de donde, se deduce que,

q 1 H = ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ J p2 + ÅÅÅÅqc HA p + pAL + ÅÅÅÅ ÅÅ A2 N 2m c2 2

1 ÅÅÅÅ I pi + ÅÅÅÅqc Ai M = ‚ ÅÅÅÅ 2m

1 = ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ BI px + ÅÅÅÅqc Ax M + I p y + ÅÅÅÅqc A y M F 2m i

(13)

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2.2

Planteamiento del problema cuántico

Ahora vamos a cuantizar el sistema volviendo el momentum, el potencial magnético vectorial, la posición y el hamiltoniano operadores en un espacio de Hilbert. Entonces, tenemos que, Ä 2É ÑÑ qB 2 qB 1 ÅÅÅ Ñ H = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅKPx + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Y O + KP y + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ X O ÑÑÑÑ (14) c c 2 m ÅÇ ÑÖ cPx +HqBY L ê 2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Q = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ qÿB

Propondremos entonces las siguientes sustituciones: (15)

y P y - qB X P = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 2c

(16)

Esta transformación es canónica, es decir que cumple con la relación i 0 - yz J wJ t = wdonde w=jj z y J es la jacobiana de la transformación. Se sugiere k 0 { que el lector realice el ejercicio de verificar esta propiedad de la transformación. En este caso vamos a hacer la demostración. Recordemos que,

∑Q ij ÅÅÅÅ jj ∑qÅÅÅÅi J = jjj ∑P ÅÅÅÅ ∑qi k ÅÅÅÅ

entonces tenemos que,

1 ji ÅÅÅÅ2 J wJ t = jjjj -qB k ÅÅÅÅ2ÅÅÅÅcÅÅ

∑Q ÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ yz ij ÅÅÅÅ12 ∑ pi z zz = jjj -qB z j ÅÅÅÅ ∑P z ÅÅÅÅ Å ÅÅÅ Å k 2ÅÅÅÅcÅÅ ∑ pi {

c ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ y i 0 - y ij ÅÅÅÅ12 qB z zz jj zz jjj z c 1 zk  0 { jk ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ qB 2c {

c ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ y qB z zz zz 1 { -qB ÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅ y i 0 - y 2c z zz = jj z z k  0 z{ 1 z ÅÅÅÅ Å ÅÅ Å 2c {

(17)

(18)

por lo que la transformación es canónica. Por lo tanto la sustitución nos deja la Física invariante, i,e., las ecuaciones de Hamilton preservan su forma, y es válido utilizar el formalismo estándar. En el hamiltoniano, q2 B2 2 P2 Q H = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 2m 2 mc2 que es el hamiltoniano de un oscilador armónico cuántico donde tenemos que

(19)

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q2 B2 qB mw20 = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2ÅÅÅÅ de donde w0 = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ mc mc

(20)

w0 es conocida como frecuencia de Larmor o sincrotrón.

2.3

Oscilador armónico:

Como tenemos el hamiltoniano del oscilador armónico cuántico, bajo transformaciones canónicas, es válido utilizar sus relaciones de conmutación y en especial sus operadores escalón que recordaremos cómo son. En general, los operadores escalón son de la forma: a = aQ + i bP

(21)

at = aQ + i bP donde a y b son constantes del sistema tales que los operadores escalón sean adimensionales y estén normalizados, entonces, para este caso: mw0 ÅÅ2ÅÅ a = J ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ N 2Ñ 1

(22)

ÅÅÅÅ i 1 y2 b = jj ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ zz k 2mw0 Ñ { 1

2.3.1

Propiedades de los operadores escalón:

Es recomendable que estas propiedades se demuestren como ejercicio: @at , aD = -1 @at , HD = at @a, HD = a

a » n\ =

at » n\ =

è!!! n … n - 1]

è!!!!!!!!!! n + 1 … n + 1]

a » 0\ = 0

Además se define a

(23) (24) (25) (26) (27) (28)

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N = at a

(29)

como el operador de número. Es recomendable entonces verificar que, 1 H = KN + ÅÅÅÅÅ O Ñw0 2

(30)

Por las ecuaciones (26) y (27), le llamamos a los operadores ay at operadores de aniquilación y creación ya que n se refiere a los niveles de energía.

2.4

De vuelta a los niveles de Landau

Ahora bien, veamos la siguiente sustitución: qB Q  = Px + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ X 2c

(31)

qB ÅÅÅÅ Y cPx - ÅÅÅÅ P  = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ qB

(32)

Ésta no se le aplica el hamiltoniano a pesar de ser canónica. Se recomienda verificar que la transformación es canónica. Esto refleja que hay una degeneración infinita en los niveles de energía del oscilador. Vamos a verificar a continuación esto en el nivel basal. A estos estados degenerados en el estado basal les llamamos Lowest Landau Levels (LLL). Para ver esto vamos a estudiar el estado basal del sistema usando la siguiente ecuación, tal y como se hace en el problema del oscilador armónico cuántico: a » 0\ = 0

(33)

Recordemos que estamos en dos dimensiones, entonces se trabajará el problema en el plano complejo con la coordenada z, z* = x - i y

(34)

z = x + iy Entonces, la ecuación (33) se vuelve en este sistema de coordenadas, qB y ij ∑ j ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ*ÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ zzz y0 Hzz* L = 0 4 Ñc { k ∑z

(35)

Vamos a proponer la siguiente solución:

qB y0 Hzz* L = expC- ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ zz* G uHz, z* L 4Ñc

(36)

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Sustituyendo, se obtiene que,

∑u qB qB qB qB qB ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ*ÅÅÅ expC- ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ zz* G - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ zexpC- ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ zz* G u + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ zexpC- ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ zz* G u = 0 (37) ∑z 4Ñc 4Ñc 4Ñc 4Ñc 4Ñc Entonces, tenemos al final esta sencilla ecuación, ∑u ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ*ÅÅÅ = 0 ∑z

(38)

Esta ecuación implica que es equivalente a las ecuaciones de Cauchy-Riemann, es una función analítica y puede ser escrita como una serie de potencias donde cada monomio zm es un elemento de una base linealmente independiente, por lo que un estado puede escribirse como, qB y0,m = zm expC- ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ zz* G 4Ñc

(39)

Nótese que m sólo tiene como restricción que m œ  entonces la degeneración de los LLL es infinita. Veamos las siguientes afirmaciones:

è Para m grande, la partícula se encuentra en un radio de rm = Ñc r0 = "####### ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ , a r0 se le llama longitud magnética. qB

è!!!!!!!! 2 m r0 donde

è Si el sistema está acotado por un disco de radio R en lugar de ser infinito, la mayor cantidad N de m que puede estar en el sistema de LLL está dado por pR2 B N = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ F0

(40)

pÑc donde F0 = ÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ que es el cuanto de flujo magnético. q

Este segundo es porque F0 = pR2 B . Para r0 tendríamos que, cÑ pÑc F = p ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ B = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = F0 q qB

(41)

Para lo que sigue, fijaremos a N, es decir que el campo y las dimensiones del sistema están fijos.

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Efecto Hall Cuántico

Aquí estudiamos un gas de electrones en dos dimensiones. Vamos a despreciar el efecto del spin ya que no contribuye significativamente en la dinámica del sistema. Asumimos también que la interacción de electrones y de algún potencial intrínseco ÑqB ÅÅÅÅÅÅ por lo que se puede despreciar, a este regimen se le al sistema es menor que ÅÅÅÅ mc llama el régimen del efecto Hall cuántico. Entonces nos gustaría un problema simplificado con un espacio de Hilbert restringido a los LLL. ¿Cómo se ve este problema? Para esto utilizaremos un poco la idea de las integrales de Feynmann. Despreciamos la interacción entre los electrones para que cada uno se propague independientemente, entonces tenemos la siguiente acción con V Hx, yLun potencial externo: ÅÄÅ P2 ÑÉÑ Å Ñ S = ‡ ÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - V Hx, yLÑÑÑ d t (42) ÅÅÇ 2 m ÑÑÖ qB m S = ‡ C ÅÅÅÅÅ Ix° 2 + y° 2 M + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ H- yx° + x y° L - V Hx, yLG d t 2 2c

(43)

donde tenemos que los términos lineales en la velocidad están representados por v ÿ A en el lagrangiano para el gauge utilizado. Para estudiar las energías básicas, no consideraremos los niveles de Landau en los niveles de energía más altos. Estos pueden estudiarse despreciando la masa, entonces, tenemos que ÅÅÅÅqc

qB ÅÅÅÅ H- yx° + x y° L - V Hx, yLE d t SLLL = Ÿ A ÅÅÅÅ 2c qB = Ÿ A- ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ Hyx° - 2 x y° + x y° L - V Hx, yLE d t 2c qB dHxyL qB ÅÅÅÅ I ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ M + ÅÅÅÅcÅÅÅÅ x y° - V Hx, yL d t = Ÿ ÅÅÅÅ 2c dt qB qB ÅÅÅÅ x y + Ÿ ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ x y° - V Hx, yL d t = ÅÅÅÅ c 2c qB = Ÿ ÅÅÅÅcÅÅÅÅ x y° - V Hx, yL d t

(44)

Ahora recordemos que tenemos que,

S = ‡ dt

entonces,

qB  = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x y° - V Hx, yL c

(45)

(46)

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de donde, en el espacio de fases tenemos que si consideramos la coordenada y, qB ∑ ÅÅÅÅ = ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ xque definimos como xè entonces, podemos su momentum conjugado es ÅÅÅÅ c ∑y° expresar el potencial como V Hy, xè Lque es el hamiltoniano del sistema, como hay un solo momentum, podemos considerar que el problema de los LLL es unidimensional. En una imagen semiclásica, tenemos que las ecuaciones de Hamilton serían: ∑V y° = ÅÅÅÅÅÅÅÅèÅÅÅ ∑x

(47)

° ∑V xè = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ∑y

(48)

Aquí sucede algo muy extraño: las variables que conmutan resultan siendo conjugadas. Esto no se da en mecánica cuántica. Aquí, ¿por qué sucede esto? Ya que sabemos que en general @X , PD = iÑ. La respuesta está en el hecho de que no estamos considerando todo el espacio de Hilbert para estudiar el problema sino que lo restringimos a los LLL. Si consideramos este caso, ejemplificaremos lo que sucede, tenemos que los siguientes operadores: ij 1 0 1 yz j z W = jjjj 0 0 0 zzzz jj zz k1 0 1 {

conmutan ya que

ij 2 1 1 yz j z y L = jjjj 1 0 -1 zzzz jj zz k 1 -1 2 {

3 0 3y jij zz j j WL = LW = jj 0 0 0 zzzz jj zz k3 0 3 {

(49)

(50)

Si consideramos estos en un espacio de dos dimensiones, donde quitamos la tercera fila y columna de los operadores, tenemos que, i 2 1 yz z W2ä2 L2ä2 = jj k0 0 {

i 0 0 yz y L2ä2 W2ä2 = jj z k0 0 {

(51)

Ahora consideremos un sistema finito de N electrones donde todos los LLL están ocupados (sólo hay uno ya que todos los spines están orientados hacia el mismo lado y los electrones son fermiones). Aquí nuestro estado basal se vuelve entonces, qB y = ‰ ‰ Hzi - z j L expK- ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ‚ zi z*i O 4Ñc i=1 j=1 N

i-1

(52)

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¿Es esta función de onda única? Dado que estamos en el estado basal, las partículas están en el mar de Fermi y se pueden acomodar de manera única, es por esto que la función de onda es única. Esta es la función de onda que describen los electrones en el efecto Hall cuántico. Recordemos que, la densidad de corriente J, viene dada por, *

P J = q ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ m

(53)

o la carga por la velocidad, de donde tenemos que,

e q XJ \ = - ÅÅÅÅÅÅ Zy À P + ÅÅÅÅÅ A À y^ m c

(54)

Ahora bien, tenemos que, la corriente es, I = J pR2

(55)

Para un voltaje VH dado que llamamos voltaje de Hall, tenemos que, q2 I = n ÅÅÅÅÅÅÅÅ VH h

(56)

Entonces, la resistencia de Hall se volvería, VH 1 h RH = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ2ÅÅÅ I n q

(57)

La conductancia de Hall se ve como, q2 sxy = n ÅÅÅÅÅÅÅÅ h

(58)

donde n es un entero para el efecto Hall entero. Se nota aquí la cuantización de la conductancia.

Tarea:

Ver cómo se ve la función de onda del efecto Hall cuántico para un sistema de tres partículas.

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Referencias Bibliográficas

1. S.M. Girvin, The Quantum Hall Effect: Novel Excitations and Broken Symmetries, arXiv.org, Estados Unidos, 1998. 2. D. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Prentice Hall, New Jersey, 1999. 3. D. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, Prentice Hall, New Jersey, 1995. 4. D. Halliday, R. Resnick, K.S. Krane, Física Vol. 2 Versión Ampliada, México, 1999. 5. A. Karlhede, S.A. Kivelson, S.L. Sondhi, The Quantum Hall Effect: The Article, University of Illinois at Urbana-Champaign, Estados Unidos, 1992. 6. K. Huang, Statistical Mechanics, John Wiley & Sons, Canada, 1987. 7. A.H. MacDonald, Introduction to the Quantum Hall Regime, arXiv.org, Estados Unidos, 1994. 8. R.K. Pathria, Statistical Mechanics, Butterworth Heinemann, Gran Bretaña, 2001. 9. R. Shankar, Principles of Quantum Mechanics, Springer, Estados Unidos, 1994. 10. S.T. Thornton, A. Rex, Modern Physics for Scientists and Engeneers, Thomson Learning, Estados Unidos, 2002.