ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS PARA LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA ACTIVIDADES LÚDICAS Con mucha frecuencia vemos que el trabajo pedagógico se realiza de forma excesivamente centralizada en la figura del profesor. Hoy algunas tentativas de superación de esa situación pueden ser reconocidas en las actividades realizadas por profesores y estudiantes en sus aulas. Se está buscando situar el centro de la actividad pedagógica en las actividades de los estudiantes, en sus interacciones con objetos físicos y con elementos culturales.
El juego es un ejemplo significativo de actividad de este tipo. Éste puede proporcionar oportunidades para las acciones, las interacciones o la aprehensión de conceptos o la fijación de técnicas ya aprendidas. Son muchos los juegos que tienen contenido matemático. Además, mucha de la matemática tiene un carácter lúdico. Veamos algunos ejemplos.
Hay aritmética en los cuadrados mágicos, cambios de monedas, adivinación de números,... Ejemplo: Cuadrado mágico. 12
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Un cuadrado mágico es un cuadrado dividido en casillas en las que se distribuyen números naturales consecutivos, colocados sin repetición en cada una de sus casillas, de modo que la suma de cada línea, de cada columna y de las dos diagonales sea constante.
4 18 8 - Construye un cuadrado mágico de orden 3 escribiendo los 9 primeros números impares de modo que la suma de las líneas y de las columnas sea igual. ¿Cuál es su número mágico?
La teoría elemental de números es la base de muchos juegos de adivinación fundamentados en criterios de divisibilidad. Aparece en juegos que implican diferentes sistemas de numeración, en juegos del grupo del Nim, etc.
El álgebra interviene en muchas adivinaciones de números, edades, medidas, etc. Ejemplo: Trucos de magia.
- Es posible hacer trucos de magia utilizando un poco de álgebra. En lugar de sombrero de mago se necesitará una hoja de papel y en lugar de varita mágica un lápiz.
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1) Piensa un número. 2) Al número que pensaste súmale el número que sigue. 3) Al resultado del paso anterior súmale 9. 4) Divide el resultado entre 2. 5) A lo que quedó réstale el número que pensaste. ¡El número que quedó es 5!
¿Impresionado? Veamos que pasa utilizando el álgebra: - Nosotros no sabemos cuál es el número que pensaste. Es una incógnita, así que lo llamaremos x. - Ahora hay que sumarle el número que sigue, o sea, x+1. Por tanto, la suma que se hace es x + (x+1) = 2x + 1. - Ahora hay que sumar 9, en consecuencia, tenemos que hacer 2x + 1 + 9, que es igual a 2x + 10. - Hay que dividir el resultado entre 2: (2x + 10) / 2 = x + 5 - Finalmente, hay que restar el número que habías pensado. Es decir hay que resolver: x + 5 - x. Pero curiosamente el resultado de esta operación es 5. Finalmente, el número que te quedó es 5. ¿Te sorprende?
La teoría de grafos es una de las herramientas que aparece en el análisis matemático de los juegos. Esta nos da la estrategia adecuada para los acertijos de cruces de ríos, como el del pastor, la oveja, la col y el lobo.
La geometría aparece en falacias, disecciones, transformación de configuraciones con palitos, cubos, Tangram, poliminós planos y espaciales, etc.
En la Actividad 3, del Bloque de Actividades, se encuentran ejemplos de actividades con poliminós planos. En la Actividad 16, del Bloque de Actividades, se encuentran ejemplos de actividades con el Tangram. En la Actividad 17, del Bloque de Actividades, se encuentran ejemplos de actividades con transformación de configuraciones con palitos.
La probabilidad es la base de todos los juegos de azar y su origen.
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Ejemplo: Juego de adición. Dos amigos del mismo centro educativo inventaron el siguiente juego: Material: 2 dados equilibrados numerados del 1 al 6. Papel y lápiz. Número de participantes: 2 Reglas del juego: Primero hay que decidir cuál de los 2 participantes será el primero en lanzar los dados y cuál será el segundo. En cada rodada el primer participante lanza los 2 dados anotando el resultado, en seguida el segundo participante lanza los 2 dados y anota el resultado. - Si la suma de los 2 números es par, el primer participante gana 1 punto. - Si la suma de los 2 números es impar, el segundo participante gana 1 punto. Después de 10 rodadas el vencedor es el participante que obtiene la mayor puntuación. - Juega algunas veces el juego de adición con un amigo anotando quién es el vencedor de cada rodada. Con esto vas a percibir cómo funciona este juego. En seguida responde: ¿Piensas que este es un juego justo? Explica tu respuesta. Atención: - Un juego justo es aquel en que la probabilidad de ganar es la misma para los 2 jugadores. - Un dado es equilibrado cuando todas sus caras tienen igual probabilidad de salir. - En un experimento el número de resultados posibles es igual al número de elementos del espacio muestral.
La lógica da lugar a muchos acertijos y paradojas que nos pueden mostrar la estructura del pensamiento y del lenguaje.
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- JUEGOS EN LAS SESIONES DE APRENDIZAJE DE MATEMÁTICA. La utilización de juegos en las sesiones de aprendizaje de matemática puede ser un buen recurso para conseguir despertar el interés de nuestros estudiantes. Con ellos se puede promover una actividad envolvente y motivante capaz de estimular la participación de los más tímidos y el trabajo en equipo. Además, como vimos, podemos trabajar muchos contenidos matemáticos. Los juegos, como actividad de aprendizaje, deben ser diseñados para que todos los estudiantes de una sesión de aprendizaje participen en forma voluntaria. Deben involucrar un desafío, ser realizados con ciertos límites de tiempo, según reglas libremente aceptadas. Además, deben provocar un sentimiento de tensión y de alegría. Hay un gran número de profesores de matemática, hoy en día, que están utilizando juegos y están comprobando las ventajas que eso reporta en la dinámica de sus sesiones de aprendizaje. Ellos constatan que los juegos motivan y permiten que los estudiantes resuelvan problemas, en lugar de solamente escuchar, copiar y repetir lo oído. El juego tiene un gran potencial porque su uso hará que nuestros estudiantes jueguen, ganen, adivinen, conjeturen, tanteen, saquen conclusiones, organicen información, calculen... Podemos intentar una clasificación de los juegos, en relación a su objetivo, en “juegos de conocimiento”, si tienen relación con algunos de los temas habituales del currículo de matemática y “juegos de estrategia”, si el objetivo es descubrir procedimientos para ganar siempre o para no perder. Pero debemos observar que muchos de los juegos de conocimiento necesitan de algunas estrategias generales para su desarrollo. - Juegos de conocimiento. Un profesor que quiera empezar a utilizar juegos en sus sesiones de aprendizaje podría hacerlo con los de conocimiento, porque son adaptables a varios contenidos matemáticos. Algunos pueden ser jugados en grupo, como rompecabezas, memoria, dominós, etc.; y otros de forma individual, como los de tipo “ponte pilas”, bingo, etc. Si bien en algunos de estos juegos interviene el azar, en todos ellos los estudiantes tienen que aplicar un conocimiento o demostrar haber adquirido destrezas operatorias. Además, podemos enriquecer estas actividades haciendo discusiones y reflexiones. Para que los juegos que utilicemos sean efectivos deben1:
Tener una presentación motivadora, para que apetezca jugar con ellos.
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García Azcárate, Ana, “Los juegos de conocimiento: un recurso para enseñar matemáticas”, en Uno: Revista de didáctica de las matemáticas, Nº 18, Logroño: Universidad de La Rioja, 1998; pp. 47-58.
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Suponer un reto.
Tener reglas sencillas y conocidas por todos.
Los contenidos matemáticos implicados deben ser adecuados para los estudiantes.
No deben durar mucho.
Ejemplo: Dominó. Es un juego ampliamente difundido en varios países, en su versión original o en alguna variante destinada a hacer asociaciones de diversos tipos. En los dominós clásicos las fichas son construidas realizando todas las posibles combinaciones de los 7 números tomados de 2 en 2 (considerando 8 veces el 0, 8 veces el 1, 8 veces el 2, hasta 8 veces el 6) y las 7 fichas dobles. - Dominó de operaciones con números naturales. Número de jugadores: 2 a 4. Material: - 28 fichas rectangulares (por ejemplo de 4 cm x 2 cm) formadas por dos cuadrados iguales unidos. En cada ficha se escriben 2 números. Los 7 valores del juego habitual (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6) son reemplazados por 7 números diferentes y se preparan 8 variaciones de cada uno. Desarrollo del juego: - Organizar la clase en grupos de 4. - Distribuir 7 piezas a cada jugador. - Cada jugador deberá encontrar una pieza con el número correspondiente a la pieza colocada por el adversario. - En caso que el jugador no tenga una pieza que corresponda a uno de los números de las extremidades, no juega y continúa el juego con el siguiente jugador. - Vencerá el juego quien quede primero sin piezas en su poder. - Juegos de estrategia. Los juegos de estrategia pueden servir como desencadenantes de utilización de estrategias de resolución de problemas. Entre los muchos existentes, nos pueden interesar los llamados pequeños juegos de estrategia que son “aquellos cuyas condiciones (tablero, situación inicial, finalidad, reglas) hacen que las partidas sean, en general,
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de corta duración”2. Son interesantes porque pueden ser analizados en una sola sesión de aprendizaje, encontrando la estrategia para ganar. Concluyendo, podemos decir que los juegos son importantes en la educación matemática porque los podemos desarrollar en un contexto de resolución de problemas, partiendo de la actividad de los estudiantes y del trabajo en equipo. Resumiendo, su uso es interesante porque: Pueden sustituir algunas actividades rutinarias y aburridas de entrenamiento y práctica por un procedimiento de auto motivación. Pueden orientar sutilmente a los estudiantes a investigar nuevas técnicas de resolución de problemas al intentar resolver los problemas del juego. Pueden hacer que el estudiante sea un participante activo en el proceso de aprendizaje, dejando de ser sólo un oyente pasivo de las explicaciones del profesor. Es un medio de relación que permite establecer canales de comunicación y expresión cada vez más significativos y, por lo tanto, pueden desarrollar la capacidad de comunicación y de expresión de nuestros estudiantes.
Ejemplo: Pequeños juegos de estrategia. Son juegos bipersonales: - Juego Nº 1: Tenemos 10 fichas sobre la mesa. Cada uno de los 2 jugadores, en su turno, debe retirar 1 o 2 fichas. Gana la partida el que quita la última ficha. Lo fundamental es jugar y después de que se haya descubierto la estrategia para ganar siempre a uno de los jugadores, introducimos variantes. - Juego Nº 2: Escribimos un número (del 1 al 10) en la pantalla de una calculadora. Cada jugador suma al número de la pantalla un número del 1 al 10. Gana la partida el que logra poner 100 en la pantalla. - Juego Nº 3: En un tablero formado por 3 filas de hexágonos (con 9, 10 y 9 hexágonos en cada fila, respectivamente) se coloca una ficha en la primera casilla de la fila central. Cada jugador, por turno, avanza la ficha una casilla, horizontalmente o en diagonal. Gana la partida el jugador que coloca la ficha en la última casilla de la fila central.
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Corbalán, Fernando y Jordi Deulofeu, “Juegos manipulativos en la enseñanza de la matemática”, en Uno: Revista de didáctica de las matemáticas, Nº 7, Logroño: Universidad de La Rioja, 1996; pp. 71-80.
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- Juego Nº 4: Dibujamos una margarita con 9 pétalos. Cada jugador, por turno, elimina 1 o 2 pétalos; pero si decide eliminar 2, estos deben de estar juntos. El jugador que consigue quitar el último pétalo gana la partida. El juego, en la educación matemática, pasa a tener el carácter de material didáctico al considerarse que promueve aprendizajes del estudiante. Entonces, un juego puede ser utilizado como una estrategia más en nuestras sesiones de aprendizaje.
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MODELAJE El modelaje matemático, arte utilizado por grandes exponentes de esta ciencia en la resolución de problemas o en la comprensión de situaciones problemáticas de la realidad, puede ser utilizado como una estrategia en la enseñaza-aprendizaje de esta materia. Es el proceso por el cual se traduce una situación problemática de cualquier área del conocimiento a un lenguaje matemático; el cual se denomina modelo matemático. El modelo matemático es un conjunto de símbolos y relaciones matemáticas que se expresa mediante fórmulas o expresiones numéricas, diagramas, gráficos o representaciones geométricas, ecuaciones algebraicas, tablas, programas computacionales, etc. Al planificar el trabajo en nuestras aulas podemos seleccionar modelos simples a partir del tema que pretendemos desarrollar, teniendo como fuente la lectura de alguna revista, cuentos o periódicos. Algunos de estos materiales contienen hechos matemáticos relativamente simples, con una matemática elemental. Por ejemplo: -
El tiempo para recorrer una determinada distancia con una velocidad constante.
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El interés cobrado por un banco u otra institución a un determinado préstamo.
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El área de un terreno.
La elaboración de un modelo necesita del modelador una serie de procedimientos, tales como: -
Tomar conciencia de la situación problemática.
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Recoger información sobre los hechos que se presentan en la situación.
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Clasificar las informaciones (relevantes y no relevantes) identificando los hechos.
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Decidir cuáles son los hechos que se van a tener en consideración, elaborando hipótesis.
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Identificar las constantes.
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Generalizar y seleccionar variables relevantes.
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Elegir símbolos apropiados para esas variables.
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Describir esas relaciones en términos matemáticos.
Un trabajo como éste puede convencer a los estudiantes de la importancia de la matemática como instrumento que rige el universo; además de hacer que el aprendizaje de esta materia sea más fácil y agradable, porque el estudiante está motivado por el interés de resolver los problemas que él mismo crea. Desde hace algunos años se están haciendo reestructuraciones en los currículos de matemática y desarrollando métodos de enseñanza con el objetivo, entre otros, de aumentar el interés por la aplicación de esta ciencia a situaciones cotidianas. Los profesores que quieran hacer un trabajo con modelaje, pero que no se sienten seguros, pueden empezar con un trabajo de pre-modelaje, lo que significa:
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- Presentar cada uno de los contenidos del currículo a partir de modelos matemáticos ya conocidos. - Aplicar trabajos o proyectos ya realizados por otros profesores, por tiempo corto, con un único grupo y de preferencia con el que tiene mejor dominio de la matemática. - Como trabajo extra clase para los estudiantes, solicitar que busquen ejemplos o intenten crear sus propios modelos, siempre a partir de la realidad.
En la Actividad 10, del Bloque de Actividades, se encuentra un ejemplo de actividad con sólidos geométricos.
http://www.colombiaaprende.edu.co/html/mediateca/1607/article-106711.html La modelación matemática como estrategia de enseñanza aprendizaje. http://www.lms.uchile.cl/liceo/contenidos/media/Cuarto/matematica.htm Objetivos y contenidos de una experiencia. http://portal.huascaran.edu.pe/comunidad/xtras/web/catalogo_multimedia/doc_portal/modelo_mod elacion_y_modelaje._metodos_de_ensenanza-aprendiza.doc Modelo, modelación y modelaje. http://www.sochiem.cl/jornadas2006/ponencias/06.pdf El proceso de modelación en el diseño de actividades Matemáticas.
Un modelo proviene de aproximaciones, retrata una visión simplificada de aspectos de la situación investigada.
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MATERIALES EDUCATIVOS “Me lo contaron y lo olvidé. Lo vi y lo entendí. Lo hice y lo aprendí”. Confucio.
La utilización de materiales educativos en la enseñanza de la matemática no es nueva. Desde hace varias décadas se viene discutiendo su uso. No hace mucho tiempo, el conjunto libro de texto – cuaderno – lápiz – pizarra - tiza fue imprescindible en nuestras aulas. Estos elementos se ven hoy desbordados ante la aparición de nuevos materiales educativos que ofrecen posibilidades que no deberíamos despreciar.
Materiales educativos. Podemos entender como materiales educativos todos los objetos, aparatos o medios de comunicación que puedan ayudar a descubrir, entender o consolidar conceptos fundamentales en las diversas fases del aprendizaje. Los materiales educativos tienen como objetivo principal aproximar a los estudiantes a la realidad de lo que se quiere enseñar, ofreciéndoles una noción más exacta de los hechos o fenómenos que se quieren estudiar. Son muchos los tipos de materiales educativos que podemos utilizar en nuestras sesiones de aprendizaje, por ejemplo: •
Los materiales dedicados a la comunicación audiovisual.
La pizarra, las diapositivas, el cine, el retroproyector, los videos, los equipos de sonido, multimedia, pizarras interactivas u otros, posibilitan la exhibición de materiales que pueden ser eminentemente didácticos: dibujos hechos con tiza, transparencias superpuestas, diapositivas, películas animadas, sonidos, etc. http://www.unex.es/didactica/Tecnologia_Educativa/mapaweb.htm http://www.unex.es/didactica/Tecnologia_Educativa/medios02.htm http://www.ucm.es/info/multidoc/multidoc/revista/num8/angela.htm
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Los materiales para leer.
Son tradicionales los libros, cuentos, tiras cómicas, etc. Estos se presentan como materiales autosuficientes, alternativos y a veces complementarios respecto a los materiales de otro tipo. http://200.87.114.152/educacion/cuentos_de_matem.htm http://www.agapea.com/LAS-MATEMATICAS-DE-LOS-CUENTOS-Y-LAS-CANCIONES-n123521i.htm http://www.cesdonbosco.com/revista/revistas/revista%20ed%20futuro/EF4/Experiencias/El%20cuent o%20en%20el%20aprendizaje%20de%20la%20matem%E1tica.htm •
La prensa y la matemática.
La prensa, utilizada como material educativo, nos proporciona datos económicos y sociales. Con su ayuda se podría conectar la matemática con algunas de sus aplicaciones en la vida diaria. La materia, entonces, nos podría ayudar a comprender el significado y la veracidad –y ayudarnos a sacar conclusiones– de un determinado artículo o aviso comercial; pudiendo tomar decisiones sobre muchas cuestiones de nuestro entorno. Estaríamos posibilitando el desarrollo de actitudes si consideramos que así se forman opiniones personales y que los datos presentados van a sugerir apreciaciones y comparaciones. Lo esencial es que los alumnos dejen de ser máquinas repetidoras de conocimientos memorizados y se interesen por las razones de los hechos, que tengan espíritu crítico, emitan opiniones con algún fundamento y desarrollen al máximo sus potencialidades. http://blogs.lavozdelaescuela.es/blog/aula0195/TALLER%20DE%20PRENSA%20MATEMATICA/ http://redalyc.uaemex.mx/redalyc/src/inicio/ArtPdfRed.jsp?iCve=15800205 •
Los materiales para dibujar. Son los instrumentos de dibujo: reglas, escuadras, compases, pantógrafos, trasladadores, simetrizadores, etc. Estos instrumentos sirven tanto para dibujar formas geométricas como para resolver problemas gráficamente. En geometría, un dibujo puede ser un fin en sí mismo o un instrumento de explicación. Además, todos los aparatos de dibujo tienen la característica de generar nuevos materiales: ¡los propios dibujos!
http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/MundoMatematicas/reglaycompas/index.html •
Los materiales manipulativos.
Los materiales manipulativos, por el interés que despiertan en los estudiantes y por los aspectos lúdicos que poseen, constituyen un importante instrumento metodológico para la resolución de problemas. A través de su manipulación sistematizada se pueden explorar diversos conceptos matemáticos, permitiendo al estudiante relacionar ideas abstractas y estructuras mentales con algo que él puede percibir mediante sus sentidos. El uso de estos materiales contribuye a crear en el aula un clima de aprendizaje, es decir, de curiosidad,
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de apertura y de espontaneidad; que, además de ser altamente productivo, es muy motivador. Partiendo de lo concreto, los estudiantes podrían llegar a la abstracción de los conceptos, al relacionar sus observaciones. Asimismo, la observación durante la manipulación del material posibilita la formulación de problemas, el descubrimiento de regularidades o de patrones que se repiten, hacer razonamientos de tipo inductivo, hacer hipótesis o conjeturas y comprobarlas experimentalmente. Es decir, a través de la experimentación, por la vía de los modelos concretos, llegamos a los modelos abstractos. En ese proceso hay una fase de planteamiento, resolución y discusión. Lo que se está incentivando es el uso de los materiales manipulativos como soporte del pensamiento; es decir, para facilitar el paso de las representaciones de los procedimientos a la adquisición del concepto. Estamos asociando materiales manipulativos y actividad. Pero esto es, a la vez, algo natural y engañoso. Natural porque la utilización de esos materiales produce necesariamente una actividad manipulativa en quienes los usan; lo que contrasta espectacularmente con la pasividad externa que se observa en los estudiantes que escuchan una explicación del profesor. Pero lo engañoso es que, sino se matiza más, esta asociación resulta ingenua y superficial. La actividad que es benéfica para la construcción del conocimiento es la actividad mental. Dado eso, podemos hacer una pregunta muy importante: ¿Son los materiales manipulativos elementos generadores de actividad mental en los alumnos que los utilizan? La respuesta que podemos dar es: depende de los materiales y de su uso. Una mala utilización de los materiales puede crear situaciones tan pasivas como las que se pretendían evitar al recurrir a estos. Según las investigaciones de Piaget, para sacar provecho de los materiales manipulativos es necesario, valga la redundancia, que cada estudiante los manipule. Por lo tanto, al comprar o confeccionar los materiales debemos procurar que cada estudiante pueda usarlos y no sólo mirar cómo un integrante del grupo los manipula; o, peor todavía, que el profesor muestre desde afuera esta manipulación. Además, hay que pensar que para trabajar un mismo concepto o tema hay que utilizar materiales diversos para no llegar a confundir el concepto con las características de los materiales. El uso de los materiales manipulativos no puede darse sin una profunda reflexión. De nada valen estos materiales en nuestras aulas sino están conectados a objetivos muy claros y si su utilización se restringe a la simple manipulación que el estudiante quiera hacer con ellos. Las actividades con estos materiales realizadas indiscriminadamente, sin constancia o sin la debida preparación, serán solamente momentos recreativos. Pero, actividades bien estructuradas, usando materiales con consistencia y creatividad, pueden ser instrumentos poderosos en la adquisición de conceptos matemáticos. La idea es utilizar una gran variedad de materiales que sean útiles para plantear problemas o situaciones. Además, lo importante es preguntarnos siempre si estos materiales están generando actividad mental en el estudiante que los manipula.
El profesor formador siempre debe tener una actitud de valoración positiva de lo realizado por sus estudiantes.
Al usar materiales educativos podemos estructurar las actividades de los estudiantes por la vía observación – experimentación – conjetura – verificación; en que entrarán en juego acciones como mirar, dibujar, recortar, hacer funcionar, calcular, etc. Teniendo siempre presente que el uso de
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materiales concretos, por sí solo, no garantiza un aprendizaje significativo. ♦
Algunos de los materiales que podemos utilizar en nuestras aulas son: Ábacos. El nombre ábaco designa cualquier instrumento de cálculo que sirve para facilitar cálculos sencillos (sumas, restas y multiplicaciones). Fueron conocidos por los antiguos egipcios, chinos y japoneses; consistían en estacas fijas verticalmente en el suelo o en una base de madera donde se podían colocar hojas, conchas, piedras, pedazos de hueso o de metal que representaban números cuyo valor dependía de la estaca donde eran colocados. Este instrumento está fundamentado en el principio de valor posicional de los sistemas de numeración y es un buen material para representar numerales decimales, unidades, decenas o centenas. Se cree que los ábacos de alambre se originaron en el Oriente. En los ábacos chinos y japoneses los cálculos pueden ser realizados en la base 10. Normalmente, consisten en un cierto número de cuentas que se deslizan a lo largo de una serie de alambres o barras de metal fijadas a un marco para representar las unidades, decenas, centenas, etc.
http://sbello.wordpress.com/
Dados. Los dados son un excelente material para el aprendizaje de diferentes ocurrencias combinatorias y para el estudio práctico de distribuciones de frecuencias. http://www.redesc.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mateimagina/mate2b/mate2b.h tm http://www.arrakis.es/~mcj/azar09.htm Bloques lógicos o material de estructura multiplicativa. Algunas sugerencias de material estructurado que puede ser comprado o confeccionado:
Bloques lógicos (48 piezas).
4 formas: cuadrado, rectángulo, triángulo y círculo. 2 tamaños: grande y pequeño. 3 colores: azul, amarillo, rojo. 2 espesores: grueso y delgado.
Trimath (54 piezas).
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3 formas: cuadrado, triángulo, pentágono. 3 cantidades de huecos: ninguno, 1, 2. 5 colores: azul, negro, verde, rojo y amarillo; además del blanco.
Cojines de tela (36 piezas).
3 colores: verde, rojo, azul. 3 motivos en la tela: liso, floreado, rayado. 2 tamaños: grande, pequeño. 2 tipos de relleno: espuma, granos.
Árboles de cartulina
(12 piezas).
4 colores: rojo, azul, verde, amarillo. 3 motivos: liso, bolitas y rayas.
Botones (288 piezas). 4 tipos: madera, plástico, metal, tela. 3 formas: cuadrado, redondo, flor. 4 colores: azul, rojo, marrón, verde. 3 números de huecos: ninguno, 2, 4. 2 tamaños: grande, pequeño. Los bloques multibase o Material Montessori. Están constituidos por piezas de las siguientes dimensiones: -
Cubo pequeño de 1cm x 1cm x 1cm. Barra: 1cm x 1cm x 10cm. Placa: 1cm x 10cm x 10cm. Cubo grande: 10cm x 10cm x 10cm.
Pueden ser utilizados en las actividades relativas a los sistemas de numeración, como noción del valor de posición de las cifras, operaciones; además de actividades de área, volumen, etc. En la página: http://www.arcytech.org/java/b10blocks/description.html#addition hay una descripción de este material y una simulación virtual del mismo que permite operar desde la computadora. Regletas de Cuissenaire. Son barras de madera cuya longitud varía de 1 a 10 cm, siendo su sección un cuadrado de 1 cm2 de área; a cada longitud está asociado un color. Este material fue creado por Georges Cuissenaire pero su divulgación mundial se debe a Gategno. En general, está compuesto de 241 piezas.
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Manipulando este material y ante la solicitud de explicar sus acciones, los niños van asociando a cada color una longitud y toman conciencia de las relaciones es mayor que, es menor que, es igual que, es el doble que, es la mitad que; al mismo tiempo que van estructurando la adición y la sustracción. Los casos más simples de multiplicación y división, además de la noción de fracción, pueden también ser desarrolladas por la manipulación de las regletas. Este material puede ser sustituido por barritas confeccionadas con cartón. Para utilizar una versión virtual de las regletas, se puede entrar a la siguiente dirección: http://www.arcytech.org/java/integers/integers.html En http://www.fisem.org/descargas/10/Union_010_009.pdf hay un artículo que comienza exponiendo unas reflexiones sobre los conocimientos matemáticos en la etapa de Educación Inicial e inmediatamente describe una experiencia llevada a cabo en un colegio público con un grupo de niños y niñas de 4 años que trabajan por primera vez con las regletas Cuissenaire y cuyo marco de actuación es el rincón de lógica.
Los materiales que son modelos. Los sólidos son materiales muy útiles en la representación de figuras espaciales. Los modelos tridimensionales desempeñan un papel fundamental en la interpretación del espacio, de los objetos que están en él y de la relación entre ellos. Cubos, policubos, poliedros, sólidos de revolución son ejemplos de familias de sólidos con características particulares. De estos, los más famosos son los sólidos platónicos, es decir, tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro. En la Actividad 10, del Bloque de Actividades, se encuentra un ejemplo de actividad con sólidos geométricos. Geoplano. El geoplano más divulgado consiste en una base de madera donde está dispuesta una malla cuadrangular de clavos. Manipulando elásticos de diversos colores es posible construir figuras geométricas, explorar situaciones que conducen a la definición de conceptos como los de polígonos, ángulo, longitud, área y resolver problemas. Los resultados son registrados sobre papel donde está impreso un punteado que representa la malla del geoplano utilizado. Además del llamado geoplano cuadrangular existen también geoplanos triangular y circular. La generalización del geoplano al espacio, el geoespacio, es materializada por una caja vacía en que algunas caras están ausentes y las otras tienen perforaciones para los dispositivos de fijación de los elásticos. http://centros5.pntic.mec.es/ies.salvador.dali1/html/materiales/geoplano/geoplano.htm; en esa página se encuentran algunas actividades para trabajar los conceptos de área y perímetro y de semejanza.
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http://www.colombiaaprende.edu.co/html/mediateca/1607/article-73593.html http://www.gabinetedeinformatica.net/wiki/index.php/Geoplano Tangram. Es el más famoso de todos los rompecabezas. Se cree que fue inventado en China hace muchos siglos. El Tangram es un rompecabezas de 7 piezas geométricas. Al unirlas se puede formar un cuadrado, un triángulo, un rectángulo, un trapecio, un romboide y tantas figuras como pueda imaginar.
http://w3.cnice.mec.es/eos/MaterialesEducativos/mem2001/descartespuzzle/puzzledescartes /puzzlematicas/tangram/tangram_inicio.htm; en esta página se encuentran ejemplos de actividades con el Tangram. En la Actividad 16, del Bloque de Actividades, se presentan ejemplos de actividades con el Tangram. Poliminós. Los poliminós son uno de los materiales manipulativos más atractivos para trabajar aspectos geométricos en nuestras sesiones de aprendizaje. Estas figuras, obtenidas a partir de la unión de cuadrados, forman conjuntos particulares de acuerdo con el número de unidades que tengan. Así, el poliminó formado por 1 pieza se llama monominó, el poliminó formado por 2 piezas se llama dominó, los poliminós formados por 3 piezas se llaman triminó, los poliminós formados por 4 piezas se llaman tetraminós, los poliminós formados por 5 piezas se llaman pentaminós, los poliminós formados por 6 piezas se llaman hexaminós, y así sucesivamente. Observa:
El término poliminós fue creado por el profesor Solomon W. Golomb cuando todavía era estudiante de Harvard; después, en 1965, publicó su libro Poliminós. El trabajo con poliminós en general, y pentaminós y hexaminós en particular, permite que se introduzcan, exploren y profundicen una gran variedad de conceptos y habilidades geométricas. Las actividades de clasificación, composición y descomposición, además de las de resolución de problemas sobre áreas, perímetros, pavimentaciones y de transformaciones geométricas son algunos de los ejemplos de situaciones matemáticas que pueden ser exploradas con la ayuda de estos materiales. http://w3.cnice.mec.es/eos/MaterialesEducativos/mem2001/descartespuzzle/puzzledescartes /puzzlematicas/poliminos/poli_inicio.htm En la Actividad 3, del Bloque de Actividades, se encuentra un ejemplo de actividad con poliminós.
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Otros materiales. Ademรกs de los materiales para hacer medidas directas o indirectas con diversas calidades de papel, cartulina, tijeras o pegamento, se pueden aprovechar muchos materiales reciclables, no estructurados; tales como fichas, cajas de medicinas, medidas de los jarabes, rollos de papel de cocina, envases de alimentos, cartรณn, palitos de fรณsforo y todos los materiales que el profesor crea con posibilidades de actuar como motor de aprendizaje.
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RECURSOS TECNOLÓGICOS La tecnología siempre ha estado presente y de forma integrada en nuestra vida, tanto así que las épocas fueron caracterizadas de acuerdo a ella. Así tenemos la Edad de Piedra, la Era Industrial y actualmente la Era de la Comunicación o Informática. Las Nuevas Tecnologías (NT) se integran cada vez más en nuestra sociedad a todos los niveles y, particularmente, en la educación. Por ello, desde las distintas áreas curriculares, tenemos que abordar este hecho con decisión. Las NT son herramientas potentes y eficaces para la enseñanza y el aprendizaje en las distintas áreas del conocimiento, ocasionando cambios en la metodología, los contenidos curriculares y los criterios de evaluación. Sin embargo, estos cambios deben graduarse en función de la adaptabilidad de los distintos agentes que intervienen en la enseñanza (infraestructuras y formación de los maestros). El uso de la tecnología mejorará la práctica docente no porque se disponga de ella en la institución, sino por la utilización que los formadores hagan de ella. Es muy importante que se reflexione tanto individual como colectivamente para qué, cuándo y cómo usar las NT con eficiencia. Para que esto sea posible es indispensable que en la formación de los futuros maestros sean utilizadas de modo que las conozcan y aprendan a sacarles el mayor provecho. Algunas permiten modelizar situaciones, algo muy difícil de realizar sin su ayuda, sobre todo de las calculadoras y las computadoras. Se puede decir que las NT proporcionan a la enseñanza y al aprendizaje de la matemática nuevos modos de construir el conocimiento.
El aula de matemática debe ser un lugar para la reflexión y para la producción de ideas matemáticas.
http://dewey.uab.es/pmarques/medios.hm Contiene una extensa bibliografía y direcciones web. Veamos algunos recursos tecnológicos. •
Retroproyector. Es muy eficaz para el desarrollo de temas con alto contenido gráfico y visual. Permite la presentación de esquemas y diagramas. Es superior que la pizarra de tiza porque facilita una secuencia ágil con posibilidad de retroceso.
El material que se usa con este equipo debe estar creado de antemano, posibilitando las composiciones por superposición. Concentra la atención y mejora las reflexiones entre estudiantes y profesores. http://www.cnice.mec.es/profesores/asignaturas/matematicas/curriculo_matematicas/ •
Computadoras.
Facilitan la visualización, la interactividad y la dinamización de la presentación y actividades con situaciones problemáticas. Sería muy útil disponer de una computadora en el aula, conectada con un sistema de proyección.
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La presencia de los formadores es fundamental en el uso de la computadora, como agentes facilitadores del proceso de enseñanza y aprendizaje. Ellos son los que deben elaborar las actividades, conducir el proceso de organización del conocimiento y de orientar a los estudiantes en la exploración de los contenidos matemáticos.
http://www.eduteka.org/PrincipiosMath.php •
Internet.
A lo largo de la historia, pocos inventos o descubrimientos han tenido una difusión tan espontánea y rápida como la que ha experimentado Internet. Desde su creación hasta nuestros días, la importancia y presencia que la red informática ha ido adquiriendo en nuestras vidas ha crecido de tal forma que, sin lugar a dudas, constituye en la actualidad uno de los medios de expansión y obtención de información con más presencia e impacto a escala mundial. Una de las posibilidades de utilización de Internet es la educación. En la sociedad de la información las instituciones educativas se quedan chicas porque los conocimientos pueden llegar por muchos canales, previéndose que el uso de Internet será muy pronto uno de los principales. Muchos estudiantes ya utilizan la Internet para realizar las tareas y también en sus momentos de recreación, en los que pueden apreciar el mundo colorido y alucinante de los juegos electrónicos, que tienen recursos de imagen, color, sonido y movimiento. En contraste, los ambientes de las aulas tradicionales siempre fueron considerados aburridos por la mayoría de los estudiantes. Por esta razón cada día más centros de enseñanza se están conectando a Internet. Los profesores formadores y sus estudiantes pueden utilizar esta conexión al mundo de diversas formas, porque es una fuente inagotable de información y datos de primera mano. En la red científica puede encontrarse gran cantidad de información útil para las sesiones de aprendizaje, pudiendo hallarse materiales para cualquier nivel educativo, preparados por otros profesores. Estudiantes de escuelas distantes entre sí usan la red como medio de comunicación para realizar proyectos en común, intercambiar datos sobre diferentes aspectos de su medio social o estudiar las diferencias y semejanzas culturales entre comunidades de diferentes países. Los centros docentes recurren a la red para romper su aislamiento del mundo. Existen organizaciones dedicadas a facilitar el contacto entre estudiantes y profesores de cualquier parte del planeta y a ayudarles en sus experiencias telemáticas proporcionando formación, ideas y experiencias anteriores exitosas.
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•
Calculadoras. “La mayoría de los matemáticos no saben hacer cuentas. Además, les da pena perder el tiempo haciéndolo, para eso están las calculadoras. ¿No tienes una? -Sí, pero en el colegio no nos dejan usarla”. Hans Magnus Enzensberger.
En el ámbito mundial se observa una creciente actitud positiva en relación con el uso de calculadoras en el aprendizaje de la matemática. En este momento una calculadora básica puede estar al alcance de casi todos y quizás por eso ya hace parte de la vida de muchos estudiantes. Una de las razones más relevantes para justificar el uso de las calculadoras en las aulas tiene que ver con el hecho de que la tecnología está disponible y que se encuentra por todas partes. La matemática que se enseña y se aprende en las escuelas tiende a tener poca semejanza con su uso común en la sociedad, en las carreras técnicas o profesionales, o en la manera como los matemáticos hacen matemáticas. El uso de la calculadora tiene la potencialidad de modernizar nuestras aulas y hacer que esta ciencia sea más pertinente e interesante para los estudiantes. Ello porque puede hacer posible que los alumnos representen, expliquen y predigan hechos; y resuelvan problemas, permitiendo así incrementar sus niveles de abstracción, simbolización y formalización del conocimiento. En este sentido, se la está utilizando como una herramienta para facilitar el desarrollo de las habilidades de razonamiento y comunicación; y de actitudes tales como la valoración de la matemática y la seguridad en la propia capacidad para seguir aprendiéndola y aplicándola en su contexto. Las calculadoras básicas y científicas posibilitan la realización de pequeñas investigaciones. Además, tienen recursos interesantes que pueden ser explorados en el aula. El hecho de poder obtener, con facilidad, la raíz cuadrada de un número y la utilización de la memoria en una calculadora, aumenta mucho el poder de cálculo de los estudiantes, permitiendo el desarrollo de actividades más envolventes.
Hoy existen calculadoras de bolsillo altamente sofisticadas que no sólo procesan cantidades numéricas sino que son capaces también de trabajar con símbolos matemáticos, resolver ecuaciones algebraicas o ecuaciones diferenciales y derivar o integrar funciones. Las calculadoras gráficas permiten, además, la visualización de situaciones que pueden ser proyectadas. Integrando las calculadoras en un proceso de investigación matemática, donde la situación problemática es el punto de partida y llegada, se crean las condiciones para que surjan nuevos ambientes pedagógicos donde los estudiantes podrán ser más activos y creativos en la construcción de su aprendizaje, desarrollando nuevas capacidades y nuevas actitudes frente a esta ciencia. En su enseñanza y aprendizaje centrados en la resolución de problemas y en situaciones problemáticas, con una metodología de investigación, se crean oportunidades para que los alumnos trabajen un poco como los matemáticos construyendo y desarrollando con placer su propia experiencia matemática.
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En la Actividad 7, del Bloque de Actividades, se encuentran ejemplos de actividades con el uso de calculadora. Hay que tener en cuenta que una calculadora es solamente una herramienta neutra, que ofrece una cantidad enorme de posibilidades para la actividad matemática. El efecto que produzca en nuestras aulas depende de la concepción que tengamos de la materia, de su aprendizaje y sobre la forma de enseñarla; lo cual no depende del hecho de que se la utilice o no. El uso de las tecnologías en nuestras aulas facilita el planteamiento de actividades abiertas, en las que la creatividad y la forma de enfocar y tratar la situación problemática sean ricas y variadas. Conclusión. No es la incorporación en las aulas de calculadoras, computadoras o cualquier otro tipo de tecnología avanzada lo que va a cambiar la forma cómo enseñamos y cómo los estudiantes aprenden. Las NT son solamente herramientas que se transformarán en una extensión de la enseñanza. Por ello, tenemos que revisar qué significa aprender y saber matemática, para de este modo pensar cómo queremos trabajarla con los estudiantes. http://www.rieoei.org/deloslectores/393Puerto.PDF http://education.ti.com/sites/LATINOAMERICA/downloads/pdf/Enfoque.pdf
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BLOQUE DE ACTIVIDADES Uno de los modos más eficaces para promover el aprendizaje de la matemática es la utilización de actividades estructuradas como base de enseñanza. De este modo los estudiantes aprenden a través de la observación y la práctica; así como mediante procesos de reflexión en y sobre la acción. Para ayudar en la formación matemática de los estudiantes presentamos 17 actividades matemáticas estructuradas. En ellas se ofrecen una serie de apoyos para los profesores formadores, tales como los contenidos y las capacidades involucradas en la actividad, notas matemáticas y la organización y preparación de los profesores formadores. Algunas consideraciones sobre el desarrollo de las actividades. •
Estas deberían ser desarrolladas en las aulas por los estudiantes, trabajando en pequeños grupos y usando materiales educativos cuando sea conveniente.
•
De ningún modo el profesor formador debería mostrar cuales deben ser los resultados del trabajo, eso es privilegio de los futuros maestros. Los profesores formadores no deben olvidarse del principio que afirma que el conocimiento no es algo que puede ser transmitido de persona a persona, sino algo que cada persona tiene que construir por sí mismo a través de su propia experiencia.
•
El estudiante debe hacer, siempre, un registro por escrito de los procedimientos y resultados de la actividad. El profesor formador no debe imponer la forma que debe tener este registro, pero es imprescindible que sea hecho. La actividad queda completa cuando tiene los tres tipos de representaciones de los conceptos en ella desarrollados: -
Una representación física: con materiales manipulativos, cuando sea el caso.
-
Una representación oral: la discusión en el grupo y la presentación de los resultados a todos los colegas y al profesor formador.
-
Una representación simbólica: el registro escrito.
Las propuestas de actividades que se presentan en la guía son solamente ejemplos de actividades. Fueron estructuradas pensando en el desarrollo de las competencias de las Carreras de Educación Primaria, Educación Inicial y Educación por el Arte. No pretenden ser patrones, son solamente ideas que pueden ayudar al quehacer de los profesores formadores, ya que son ellos los que tienen que dar sentido a su práctica, considerando el contexto en que desarrolla sus sesiones de aprendizaje y las necesidades de sus estudiantes. A continuación se desarrollan 17 propuestas de actividades.
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Actividad 1: Conociendo sistemas de numeración. Contenidos: Sistemas de numeración, números cardinales. Capacidades: • • • •
Utiliza diferentes representaciones. Interpreta y compara símbolos. Crea y expresa argumentos matemáticos. Comunica el proceso.
Notas matemáticas: La especie humana es la única forma de vida conocida en la tierra que desarrolló un procedimiento sistemático para almacenar informaciones útiles y transmitirlas de una generación a la otra. Gran parte de esta información se relaciona con forma y cantidad. Hay una relación muy íntima entre la matemática y la escritura, en lo que se refiere al proceso humano de comunicación del pensamiento y con respecto a los fenómenos naturales y culturales. La historia de los números tiene algunos millares de años. No hay duda de que el número cardinal es una invención de la humanidad y no la invención de unos pocos hombres solamente. El sistema de números de que ahora disponemos es el resultado de una enorme cantidad de reflexión por parte de los hombres. Ellos no inventaron primero los números para después aprender a contar y a medir. Los números se fueron desarrollando lentamente, por la práctica diaria. Las investigaciones arqueológicas realizadas en varias partes del mundo han concluido que los primeros sistemas de escritura surgieron con la finalidad de representar aspectos cognitivos que tienen que ver con el cálculo, el almacenamiento, la división y distribución de la riqueza producida y acumulada por la sociedad. Diferentes civilizaciones se desarrollaron en lugares diferentes y a velocidades diferentes también. Se cree que en el desarrollo de las civilizaciones la enumeración (hacer una correspondencia uno a uno con los objetos de una colección con otros objetos usados como marcadores) precedió la numeración y que la numeración precedió al número. http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Otros/SISTNUM.html#M http://www.terra.es/personal/arey42/sist_num.htm http://www.afsedf.sep.gob.mx:8002/portafolioescolar/UPLOADS/yolandat/www/133/4.html
Material necesario: Los estudiantes van a necesitar: - Copias de las actividades.
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Organización y preparación del profesor: Estas actividades fueron creadas con la intención de ayudar a los estudiantes a entender mejor todas las características de nuestro sistema de numeración. Esto es muy importante para la formación de los futuros maestros que van a desarrollar actividades de aprendizaje con números y operaciones. Las que pueden ser desarrolladas individualmente o en grupo. Pero, si es realizada en grupo, el nivel de desarrollo y la riqueza de la discusión podrán ser muy superiores. Es importante completar esta actividad incluyendo los sistemas de numeración del Perú, propuesto como una actividad de investigación en la Parte 2 de esta actividad. Trabajos como estos pueden promover actitudes de valoración de la propia cultura y de identidad cultural. Las siguientes páginas web pueden proporcionar ideas y bibliografía para esa labor: http://www.klepsidra.net/etnomatematica.html Código y arte. La etnomatemática de los Incas. http://www.somatematica.com.br/artigos/a7/ Quipus Inca. Contiene bibliografía. http://paje.fe.usp.br/~etnomat/anais/CO38.html Un estudio etnomatemático de los quipus Incas. Contiene bibliografía. Los profesores formadores: -
Deben desarrollar las actividades antes de trabajarlas con sus estudiantes, detectando los posibles problemas que puedan surgir en el aula.
-
Deben animar a los estudiantes para que ellos mismos decidan si la respuesta es coherente o no, a que realicen cálculos mentales siempre que sea posible, a que busquen soluciones novedosas a la situación problemática.
Parte 1: Sistemas de numeración. Antes de hacer una revisión de las características de nuestro sistema de numeración es interesante revisar algunos de los sistemas antiguos, reconociendo las reglas que regulan cada uno de ellos. De este modo quizás podremos entender mejor todas las ventajas (principalmente al realizar operaciones) que tiene nuestro sistema de numeración que es posicional, de base 10 y con un símbolo para el cero.
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Numeración egipcia Egipto - 3000 a.C.
3
7
14
31
225
648
2130
4807
215 460
4 503 405 ¿Cuál es este número?
Escribe la sucesión de números de 99 hasta 103: a) con nuestros símbolos,
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b) con los símbolos egipcios, ¿Qué observas? Numeración sumeria Mesopotamia - 3500 a.C.
3
36
64
70
130
98
601
1 260
2 065
3 683 ¿Cuál es este número?
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Escribe la sucesión de números de 99 hasta 103: a) con nuestros símbolos, b) con los símbolos sumerios, ¿Qué observas?
Numeración griega ática Grecia - 500 a.C.
3
8
12
39
74
350
782
3 196
7 419
41 725
¿Cuál es este número?
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Escribe la sucesión de números de 99 hasta 103: a) con nuestros símbolos, b) con los símbolos griegos, ¿Qué observas? Numeración china clásica China - 1350 a.C.
3
5
7
17
19
35
52
76
40
84
124
691
2 503
4 087
8 962
75 431
¿Cuál es este número?
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Hemos escrito el número horizontalmente
Numeración romana Antiguo Imperio Romano - 500 a.C.
II
III
IV
VI
VII
2
3
4
6
8
IX
XII
XV
XIX
XXIV
9
12
15
19
24
XXXVIII
XLII
XLVI
LIII
LXX
38
42
46
53
70
XCII
CIV
CX
CXXXVII
92
104
110
137
CCLIX
CCCV
CDLXXI
DLV
259
305
471
555
DCCLXII
CMXLI
MMCCCXLIV
762
941
2 344
MMMCDV
CMXLI
3 405
941
5 000
1 200 000
5 600 000
10 000
82 000
30 000 000
162 178 316
¿Cuál es este número?
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Escribe en el sistema de numeración romano las fechas de tu cumpleaños, las de tus papás, hermanos y hermanas.
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Parte 2: Nuestro sistema de numeración. Como vimos, un sistema de numeración no es nada más que un conjunto de símbolos y un conjunto de reglas que permiten representar cualquier número. Los matemáticos de todo el mundo procuraron crear un sistema de numeración simple y, principalmente, eficiente para hacer cálculos. Como resultado de eso, en la India alrededor del siglo V, ocurrió una de las más notables invenciones de la matemática: el sistema de numeración decimal. Un sistema mucho más práctico y eficiente, especialmente para efectuar cálculos, que todos los otros creados hasta entonces. El cual fue posteriormente adoptado por los árabes; después, en el siglo VIII, con la invasión musulmana a Europa se difundió el sistema decimal en ese continente. A su vez, los portugueses y españoles, luego del año 1500, lo trajeron a América. Responde las siguientes preguntas: 1. ¿Por qué no es necesario un símbolo para el cero en el sistema de numeración egipcio? 2. Explica por qué el sistema de numeración egipcio tiene desventajas cuando es usado para expresar números muy grandes o para ciertos procedimientos de cálculo. 3. ¿Cuáles son los símbolos utilizados en el sistema de numeración romano? 4. Explica por qué el sistema de numeración romano no es adecuado para expresar números muy grandes o para los procedimientos de cálculo. 5. ¿Por qué no es necesario un símbolo para el cero en el sistema de numeración romano? 6. ¿Por qué es necesario un símbolo para el cero en el sistema de numeración decimal? INVESTIGANDO • Cuando los españoles colonizaron América encontraron civilizaciones muy antiguas, algunas de ellas muy desarrolladas. Nómbralas y escribe algo sobre cada una de ellas. • Esos pueblos utilizaban números para contar y seguramente también necesitaban hacer cálculos para poder organizarse y realizar actividades comerciales. - ¿Cómo representaban los números? - ¿Ellos tenían algún sistema de numeración? - ¿Cómo eran esos sistemas? ¿Eran escritos? Para responder a estas preguntas busca información en libros y revistas o en la web. Presenta el resultado de tus investigaciones por escrito: 1. De modo que esté claro cuál es el objetivo de tu trabajo. 2. Especificando los materiales que utilizaste y las personas que consultaste. 3. Haz esquemas claros y compara con el sistema que utilizamos hoy. 4. ¡Enorgullécete de tu trabajo!
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Actividad 2: Comprendiendo mejor los números y las operaciones. Contenidos: Sistema de numeración base 10, números naturales y operaciones, relaciones numéricas, estimación. Capacidades: • Desarrolla y profundiza el significado de los números y las operaciones. • Desarrolla, analiza y explica procedimientos de cálculo y técnicas de estimación con números naturales. • Utiliza la estimación para comprobar lo razonable de los resultados. • Utiliza una calculadora básica para realizar investigaciones numéricas y resolver problemas. Notas matemáticas: La calculadora básica es una herramienta con grandes posibilidades educativas. Su utilización puede contribuir para una enseñanza de la matemática en que el énfasis sea colocado en la comprensión, en el desarrollo de diversas formas de razonamiento y en la resolución de problemas. No debemos confundir las operaciones con las técnicas para efectuarlas. Las operaciones se trabajan para su comprensión y uso bajo modelos muy variados. Las técnicas, es decir los algoritmos, tampoco han de ser únicos. Nos interesan los algoritmos escritos, distintos de los estándares, tanto o más que éstos; así como también el cálculo mental y el uso de la calculadora. El centro de atención debe ser lo razonable de las soluciones. Material necesario: Los estudiantes van a necesitar: Copias de las actividades. Calculadora básica. Organización y preparación del profesor: Estas actividades pueden ser desarrolladas individualmente o en grupo. Pero, si son realizadas en grupo, el nivel de desarrollo y la riqueza de la discusión podrán ser muy superiores. Los profesores formadores: Deben desarrollar las actividades antes de trabajarlas con sus estudiantes, detectando los posibles problemas que puedan surgir en el aula. -
Deben animar a los estudiantes a que ellos mismos decidan si la respuesta es coherente o no, a que realicen cálculos mentales siempre que sea posible, a que busquen soluciones novedosas a la situación problemática.
Parte 1: Una cadena numérica.
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Observa que esta cadena:
17
52
26
13
40
....
Está formada por las siguientes reglas: • •
Si el número es par, tomamos la mitad de él. Si el número es impar, lo multiplicamos por 3 y sumamos 1.
Coge tu calculadora y una hoja de papel bien grande y completa la cadena numérica de arriba, utilizando las reglas dadas. Esa cadena termina cuando se llega al número 1. ¿Obtuviste el número 1? Ahora desarrolla cadenas empezando con otros números naturales, utilizando estas mismas reglas, por ejemplo: 20 ~ ..... ~ ..... ~ ..... ~ ..... ~ ..... ~ .....
3 ~ ..... ~ ..... ~ ..... ~ ..... ~ ..... ~ .....
...........................
...........................
68 ~ ..... ~ ..... ~ ..... ~ ..... ~ ..... ~ .....
...........................
31 ~ ..... ~ ..... ~ ..... ~ ..... ~ ..... ~ .....
...........................
27 ~ ..... ~ ..... ~ ..... ~ ..... ~ ..... ~ .....
...........................
Desarrolla otras cadenas, siempre con las mismas reglas, comenzando con otros números naturales menores que 100. ¿Cuál es la cadena más larga que puedes encontrar? ¿SE OBTIENE SIEMPRE 1? ¿Qué observas? Conversa con tus compañeros y compara tus resultados con los de ellos. ¿Pueden enunciar alguna conjetura? En una actividad de investigación en el aula de matemática, los estudinates exploran una situación abierta, procuran regularidades, formulan problemas y hacen conjeturas, argumentan y comunican oralmente o por escrito sus conclusiones.
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Parte 2: Una gran multiplicación. Efectúa la siguiente multiplicación con una calculadora básica y explica como procediste: 789 345 . 432 213 ¿Puedes realizarla directamente en una calculadora básica? ¡No! ¿Verdad? Las calculadoras básicas comportan solamente 8 cifras en el visor y el producto buscado tiene muchos más. Antes de realizar esa multiplicación vamos a recordar cómo se efectúa esta:
78 ⋅ 35
78 ⋅ 35
Para realizar esta operación haz hecho una serie de cálculos: 5 ⋅ 8 , 5 ⋅ 7 , 3 ⋅ 8 , 3 ⋅ 7 , .......
Volvamos al problema inicial: No puedes calcular 789 345 . 432 213 directamente con una calculadora básica, pero te puedes ayudar utilizando la misma técnica escrita que utilizaste al multiplicar 78 por 35. Observa:
Usamos la calculadora para efectuar las siguientes operaciones:
789
345
432
213 ⋅ 345 = 73 485 213 213 ⋅ 789 = 168 057 432 ⋅ 345 = 149 040 432 ⋅ 789 = 340 848
Conversa con tus compañeros sobre los resultados obtenidos y los procedimientos que realizaron. Calcula del mismo modo: a) 987 345 ⋅ 123 456
b) 876 432 ⋅ 423 214
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Actividad 3: Jugando con poliminós. Contenidos: Polígonos cóncavos y convexos, números múltiplos y divisores. Capacidades: • • • •
Identifica la matemática que puede ser relevante respecto al problema. Sigue y valora cadenas de argumentos matemáticos. Crea y expresa argumentos matemáticos. Comunica el proceso y la solución.
Notas matemáticas: Los estudiantes se sienten muy atraídos por la actividad de ir creando los poliminós partiendo de los de 2 cuadrados, especialmente cuando ellos obtienen piezas de algunos juegos comercializados. Al hacer esa actividad van a comprobar que existen 1 monominó, 1 dominó, 2 triminós, 5 tetraminós, 12 pentaminós, 35 hexaminós, ... . Además del aspecto lúdico, estas figuras proporcionan un vasto campo para el desarrollo de actividades matemáticas. El trabajo con poliminós en general, y pentaminós y hexaminós en particular, permite que se introduzcan, exploren y profundicen una gran variedad de conceptos y habilidades geométricas. Algunos de los ejemplos de situaciones matemáticas que pueden ser exploradas con la ayuda de los poliminós son las de clasificación, composición y descomposición; además de las de resolución de problemas sobre áreas, perímetros, pavimentaciones y de transformaciones geométricas. Material necesario: Los estudiantes van a necesitar: Copias de las actividades. Cartulina o papel cuadriculado. Organización y preparación del profesor: En las actividades con poliminós puede haber mucho descubrimiento, además de algo mucho más importante que el descubrimiento mismo, que es el descubrimiento del método; es decir, nuestros alumnos pueden tener la oportunidad de observar y comparar figuras, además de encontrar relaciones entre ellas. El placer de construir y descubrir son algunas de las satisfacciones más grandes que puede tener el ser humano. Por tanto, con prácticas de este tipo podemos evitar que nuestros alumnos se aburran y, en consecuencia, estaremos desarrollando, además, el gusto por la matemática; aunque no queramos ser ni matemáticos, ni físicos o ingenieros. De este modo, no estamos creando una dicotomía entre lo cognitivo y lo afectivo, sino que vamos a permitir que haya una relación dinámica y placentera de conocer el mundo construyendo su proceso de conocimiento.
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Como el acto de conocer es tan vital como comer o dormir y no se puede comer o dormir por nadie, tenemos que acordarnos siempre que el conocimiento no puede ser transmitido y que la búsqueda del conocimiento no es una preparación para nada. Es la vida, aquí y ahora. Y esta es la vida que necesita ser rescatada por la escuela. Estas actividades pueden ser desarrolladas individualmente o en grupo. Pero, si es realizada en grupo, el nivel de desarrollo y la riqueza de la discusión podrán ser muy superiores. Más informaciones y actividades en: Gardner, Martin, Festival mágico-matemático, Madrid: Alianza editorial, 1978. http://users.skynet.be/pentomino/beesten1fr.html
Los profesores formadores: Deben desarrollar las actividades antes de trabajarlas con sus estudiantes, detectando los posibles problemas que puedan surgir en el aula. Deben animar a los estudiantes para que ellos mismos decidan si la respuesta es coherente o no, a que realicen cálculos mentales siempre que sea posible, a que busquen soluciones novedosas a la situación problemática.
Parte 1: Formando figuras. Estos animales se ven extraños pero cada uno de ellos está formado con un conjunto completo de pentaminós. Descubre cómo fueron hechos.
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Parte 2: Contando los poliminós. Los poliminós son unos materiales manipulativos muy atractivos. Estas figuras, obtenidas a partir de la unión de cuadrados, forman conjuntos particulares de acuerdo con el número de unidades que tengan. Así, el poliminó formado por 1 pieza se llama monominó, el poliminó formado por 2 piezas se llama dominó, los poliminós formados por 3 piezas se llaman triminó, los poliminós formados por 4 piezas se llaman tetraminós, los poliminós formados por 5 piezas se llaman pentaminós, los poliminós formados por 6 piezas se llaman hexaminós, y los siguientes no tienen nombre especial.
Investiga y responde las siguientes preguntas: ¿Cuántos dominós diferentes se pueden formar? ¿Cuántos y cuáles son los triminós, diferentes, que se pueden formar? ¿Cuántos y cuáles son los tetraminós, diferentes, que se pueden formar? ¿Cuántos y cuáles son los pentaminós diferentes, que se pueden formar? ¿Cuántos y cuáles son los hexaminós diferentes, que se pueden formar?
Parte 3: Pentaminós. 1. Cinco cuadrados pueden ser acomodados juntos lado a lado de 12 maneras diferentes. Estas configuraciones son conocidas como pentaminós. Las mostramos aquí, acomodadas juntas como un rompecabezas, formando un rectángulo de 10 x 6 unidades.
Corta un conjunto de pentaminós como el de arriba en cartón o cartulina, y prueba si puedes encontrar otras maneras de acomodarlos para formar otros rectángulos, con otras medidas. Hay miles de soluciones pero si encuentras una de ellas para cada caso, hay que felicitarte.
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2. En vez de usar un conjunto completo de pentaminós, se puede investigar con varias copias de la misma forma. Al lado vemos una de las formas de pentaminós que pueden formar un patrón repetitivo regular que recubre la página sin dejar ningún espacio (esto es, él forma una teselación).
-
Dibuja patrones que muestren cuáles son las otras formas de pentaminós que teselan (esto es, que recubren el plano).
3. Este mismo pentaminó se ve doblado de modo tal que se convierta en una caja cúbica abierta.
Determina cuáles son los otros pentaminós que podrían ser plantillas para una caja semejante y pinta el cuadrado que corresponde a su base.
Parte 4: Hexaminós. Hay 11 hexaminós con los que se puede formar un cubo. Determina cuáles son.
Parte 5: Cuadriminós. ¿Qué tipos de rectángulos pueden ser formados por la unión de varios cuadriminós iguales a este?
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Actividad 4: Cazando números primos. Contenidos: Números múltiplos, primos, factores y divisores de un número. Capacidades: • Traduce desde el lenguaje natural al simbólico. • Sigue y valora cadenas de argumentos matemáticos. • Crea y expresa argumentos matemáticos. • Comunica el proceso y la solución. Notas matemáticas: -Seguramente el concepto más estudiado en la Teoría de Números y en particular en la Teoría de la Divisibilidad es el de número primo. -Observa que el número 1 no es un número primo. El hecho de que 1 no es un número primo es una convención matemática, es decir, es una cuestión de definición. Los matemáticos adoptaron por convención no llamar 1 de primo. La decisión podría ser la contraria, esto es, incluir el 1 entre los primos. Pero, con la exclusión del 1 se hace posible enunciar proposiciones, respecto a los primos, sin que haya que hacer excepciones o dar calificaciones. En matemática, muchas veces es conveniente hacer las definiciones tan generales que sea innecesario una división en varios casos. - Los números primos se hacen cada vez más raros en la medida que vayamos considerando números naturales cada vez mayores. Pero la lista de números primos es infinita, es decir, existen infinitos números primos. La demostración de este hecho no requiere ningún conocimiento especial; así, si el profesor considera conveniente lo puede probar con sus estudiantes. - La criba que se debe realizar, más adelante, en la Parte 1 sugiere la forma de demostrar la conjetura enunciada en la Parte 3 de esta Actividad. Observa: Si el número no está en la última columna o en la antepenúltima, entonces no es primo. En la columna que empieza con 2, 4 y 6 todos los números son divisibles entre 2 y en la columna que empieza con 3 todos los números son divisibles entre 3. Demostración: Cualquier número entero mayor o igual a 5 se puede expresar en exactamente una de las siguientes formas, con n ≥ 1: 6n – 1 , 6n , 6n + 1 , 6n + 2 , 6n + 3 , 6n + 4 Se tiene entonces que: 6n 6n + 2 6n + 3 6n + 4
no es un número primo, ya que es divisible entre 6 no es un número primo, ya que es divisible entre 2 no es un número primo, ya que es divisible entre 3 no es un número primo, ya que es divisible entre 2
Por lo tanto: Si p es primo y p > 3, las únicas posibilidades son p = 6n – 1 o bien p = 6n + 1. Material necesario:
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Los estudiantes van a necesitar: Copias de la actividad. Lápices y papel. Organización y preparación del profesor: - Es muy fácil de aplicar el método de Eratóstenes. No resulta difícil obtener todos los primos menores que 100, pero si necesitáramos obtener primos mayores que 100 o si tuviéramos que decidir, por ejemplo, si el número 8 753 es o no primo tendríamos un problema bastante difícil. Determinar si un número dado es o no primo es un problema que todavía no tiene una solución total. - La criba de Eratóstenes es un método bien conocido para encontrar números primos. Sin embargo, la actividad puede resultar más atractiva si acomodamos los números entre 2 y 100 en 6 columnas. De esa manera, la criba conduce a un interesante patrón geométrico en la forma de tachar los múltiplos de los primos sucesivos. Los estudiantes suelen apreciar el patrón. El profesor formador puede utilizar este patrón para plantear preguntas relacionadas con divisibilidad, residuos, congruencia, etc. Además, para los estudiantes más avanzados, el resultado de la criba sugiere una conjetura acerca de cómo se pueden expresar los números primos y, al mismo tiempo, sugiere una forma de probar la conjetura que aparece en la Parte 3 de esta Actividad. - Sugerencias para responder las preguntas de la Parte 2 de esta Actividad: 1. Si m < 100 y m = pq, entonces al menos uno de los dos factores (p, o bien, q) debe ser menor que √100 = 10 2. Esto es lo mismo que preguntar ¿será que podemos afirmar que todos los números primos (excepto el 2 y el 3) difieren en 1 de un múltiplo de 6? Para responder esta pregunta se sugiere utilizar una tabla con los números del 2 al 100 acomodados también en 6 columnas. 3. Sugerencia: examina los restos obtenidos al dividir esos números por 2, por 3, por 4,….
Si se desea se puede pedir a los estudiantes que realicen un ejercicio más: Demostrar que si 3 es un divisor de dos números naturales cualesquiera, también será un divisor de su suma y de su diferencia.
- Estas actividades pueden ser desarrolladas individualmente o en grupo. Pero, si es realizada en grupo, el nivel de desarrollo y la riqueza de la discusión podrán ser muy superiores. Los profesores formadores: - Deben desarrollar las actividades antes de trabajarlas con sus estudiantes, detectando los posibles problemas que puedan surgir en el aula. - Deben animar a los estudiantes a que ellos mismos decidan si la respuesta es coherente o no, a que realicen cálculos mentales siempre que sea posible, a que busquen soluciones novedosas a la situación problemática.
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Parte 1: La criba de Eratóstenes. Recuerda: Un número primo sólo es divisible por 1 y por él mismo. 15 es divisible por 3, por 5, por 1 y por sí mismo, por lo tanto no es un número primo. 13 solamente es divisible por 1 y por él mismo, por lo tanto es un número primo.
Determina los números primos menores que 100, siguiendo las siguientes instrucciones:
1. Encierra el número 2 en un círculo. Encuentra todos los múltiplos de 2 y tacha todos ellos (excepto el propio 2) con 3 rayas verticales. 2. Encierra el número 3 en un círculo. Encuentra todos los múltiplos de 3 (algunos ya fueron tachados) y tacha todos ellos (excepto el propio 3) con una raya vertical. 3. Encierra el número 5 en un círculo. Encuentra todos los múltiplos de 5 (algunos ya fueron marcados) y tacha todos ellos (excepto el propio 5) con 4 rayas. 4. Encierra el número 7 en un círculo. Encuentra todos los múltiplos de 7 (algunos ya fueron marcados) y tacha todos los múltiplos de 7 (excepto el propio 7) con 3 rayas. 5. Por último, encierra en círculos cada uno de los números que no fueron tachados. Estos son los números primos menores que 100. Utiliza la siguiente tabla:
2 8 14 20 26 32 38 44 50 56 62 68 74 80 86 92 98 •
3 9 15 21 27 33 39 45 51 57 63 69 75 81 87 93 99
4 10 16 22 28 34 40 46 52 58 64 70 76 82 88 94 100
5 11 17 23 29 35 41 47 53 59 65 71 77 83 89 95
6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96
7 13 19 25 31 37 43 49 55 61 67 73 79 85 91 97
Puedes explicar ¿por qué tachaste algunos números más de una vez?
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Parte 2: Responde las siguientes preguntas: 1. Fue suficiente tachar los múltiplos hasta 7 para que quedaran todos los primos menores que 100, ¿por qué? 2. Nótese que todos los números primos (excepto el 2 y el 3) se encuentran en la antepenúltima columna o en la última columna (observa la tabla de la actividad anterior). Como hay 6 columnas y los números de la penúltima columna son múltiplos de 6, estos primos difieren en 1 de un múltiplo de 6. Si continuamos la tabla indefinidamente, ¿es posible que todos los demás números primos se encuentren en esas dos columnas? 3. Entre los números primos impares inferiores a 50 se encuentran el 5, el 13, el 17, el 29, el 31, el 37, el 41. ¿Puedes encontrar algo en común a todos ellos que les diferencie, al mismo tiempo, de los otros números primos impares inferiores a 50?
Parte 3: Una conjetura y una prueba.
Demuestra la siguiente conjetura: Si p es un número primo (p>3) entonces p se puede expresar en la forma p = 6n + 1 o bien p = 6n – 1.
Parte 4: Primos gemelos. Haz un listado de los primeros 50 números primos y observa que: De cuando en cuando aparecen parejas de números primos cuya diferencia es 2, con un número par entre ellos. Esos números se llaman primos gemelos. Por ejemplo 17 y 19. •
Haz un listado de varios primos gemelos.
•
Investiga si es verdad que la frecuencia de los primos disminuye cuando ellos crecen.
•
Investiga si es verdad que todo número par mayor que 4 es igual a la suma de 2 números primos.
•
Investiga si es verdad que todo número par mayor que 7 es la suma de 3 números primos.
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Actividad 5: Clasificando números naturales. Contenidos: Divisor de un número, número primo, cuadrado perfecto. Capacidades: • • • • • •
Entiende y utiliza los conceptos matemáticos. Utiliza una calculadora básica para realizar investigaciones numéricas. Encuentra regularidades. Sigue y valora cadenas de argumentos matemáticos. Crea y expresa argumentos matemáticos. Comunica el proceso y la solución del problema.
Notas matemáticas: Esta no es una actividad para la enseñanza de divisores, pero puede ser útil para la revisión de la teoría de números. El estudio de los divisores, asociado al descubrimiento de regularidades, es un buen modo de fomentar en los alumnos el gusto por las actividades de investigación. Las regularidades que existen envuelven los conceptos de número primo, cuadrado perfecto y número rectangular. Si los alumnos desconocen algunos de esos temas el profesor debe aprovechar para revisarlos o desarrollarlos. Se observa que: -
Los números con 2 únicos divisores son números primos.
-
Los números con un número impar de divisores son cuadrados perfectos.
-
Los números con 4, 6, 8,… divisores son otros números rectangulares.
Se puede explorar también de cuántos modos se pueden construir esos rectángulos y su relación con el número de divisores. Números figurados. Los números figurados son disposiciones de puntos que representan un número cardinal en forma de figura. Se consideran principalmente figuras geométricas en el plano o en el espacio. La representación geométrica o física de números por puntos o por piedritas en un plano y la investigación de sus propiedades fueron estudiadas por los antiguos pitagóricos. Los números poligonales, números cuya representación geométrica asumía la forma de varios polígonos, fueron casos especiales de estos números figurados. Por ejemplo, los números cuadrados se obtienen de contar los puntos que se pueden disponer en forma de cuadrado, ellos son:
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1
4
9
…. 16
….
El avance habido sobre todo en las ciencias de la computación hace que hoy en día se considere a la matemática como la ciencia de los patrones. Analizar y observar patrones, desarrollar nuevas formas, hacer la conexión entre diferentes formas y transformar unas en otras son acciones propias de la matemática.
Material necesario: Los estudiantes van a necesitar: Copias de la actividad. Calculadoras.
Organización y preparación del profesor:
En la Parte 2 los estudiantes van a percibir la importancia de la organización de los datos. Este es un aprendizaje muy importante al estudiar matemática. Después ellos tendrán que buscar regularidades y relaciones. El uso de una calculadora es importante en esta actividad porque permite que los estudiantes validen los divisores, de modo que posibles errores no dificulten el descubrimiento de las regularidades. Para que los estudiantes enuncien conjeturas es necesario que observen minuciosamente y encuentren regularidades y relaciones. Quizás de este modo cambien su relación con la matemática y les despierte mayor interés. Este tipo de actividad necesita que se proceda a la discusión del trabajo realizado por los estudiantes. Esto es esencial para llevarlos a que se den cuenta que, además de descubrir regularidades, hay que intentar justificarlas. Esta actividad puede ser desarrollada individualmente o en grupo. Pero, si es realizada en grupo, el nivel de desarrollo y la riqueza de la discusión podrán ser muy superiores.
Los profesores formadores: -
Deben desarrollar la actividad antes de trabajarla con sus estudiantes, detectando los posibles problemas que puedan surgir en el aula.
-
Deben animar a los estudiantes a que ellos mismos decidan si sus respuestas son coherentes o no.
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-
Pueden crear otras actividades utilizando algunos conceptos extraídos de la historia de la matemática, por ejemplo, el de los números perfectos, números deficientes y números abundantes, de los matemáticos pitagóricos.
Los pitagóricos, que eran grandes matemáticos, trabajaron de muchas formas con los números y descubrieron propiedades interesantes y curiosas. Ellos clasificaron (clasificación exhaustiva) los números naturales de acuerdo a la suma de sus divisores, en:
Números perfectos: un número que es la suma de todos sus divisores, con excepción de él mismo. Números deficientes: un número que es menor que la suma de todos sus divisores, con excepción de él mismo. Números abundantes: un número que es mayor que la suma de todos sus divisores, con excepción de él mismo.
Parte 1: Número de divisores de un número. Múltiplo de un número natural es el producto de ese número por cualquier otro número natural. Si a y b son números naturales y b es múltiplo de a, decimos que a es divisor de b o que a es un factor de b. 1. Determina 3 números diferentes de 18 que tengan exactamente el mismo número de divisores. 2. Determina 3 números diferentes de 6 que tengan exactamente el mismo número de divisores. La siguiente tabla muestra los números del 1 al 6 y los respectivos divisores. NÚMERO 1 2 3 4 5 6
DIVISORES 1 1 1 1 1 1
2 X 2 X 2
3 X X 3
4 X X
5 X
6
3. ¿Cuáles son todos los números que admiten solamente 2 divisores? 4. ¿Es posible que un número admita 3 divisores? ¿Por qué? 5. ¿Es posible que un número admita 5 divisores? ¿Por qué?
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Parte 2: Clasificando números naturales. 1. Investiga qué tipo de números tienen apenas tres divisores. 2. Piensa ahora en el caso de 4, 5,... divisores. Construye ahora una tabla de los números del 1 al 100, clasificándolos por número de divisores. Escribe los números en orden creciente en cada columna. Todas las columnas ¿tendrán la misma cantidad de números? Sugerencia: Haz 12 columnas. El número que admite el mayor número de divisores, admite 12, ¿Por qué? 3. Observa la tabla que construiste y busca regularidades y relaciones, esto es, la propiedad común de los números de cada columna. 4. Intenta encontrar otras regularidades en la tabla. 5. Ahora, para terminar la actividad, enuncia una propiedad que permita calcular el número de divisores de un número conociendo su descomposición en factores primos.
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Actividad 6: Determinando el periodo de un decimal.
Contenidos: Fracciones, expresiones decimales periódicas, división, patrones.
, Capacidades: • • • •
Plantea cuestiones propias de la matemática. Entiende y utiliza conceptos matemáticos. Sigue y valora cadenas de argumentos matemáticos. Crea y expresa argumentos matemáticos.
Notas matemáticas: Los conceptos de aritmética modular y de grupo pueden ayudar en la profundización de la explicación sobre el número de cifras que debe haber en el periodo de las expresiones decimales periódicas obtenidas a través de una división. •
Aritmética modular.
Definición: Sean a y b enteros y n un entero positivo. Si a − b es divisible entre n, se dice que a es congruente con b módulo n, y se escribe: a ≡ b (mod n) Entonces, a ≡ b (mod n) si y sólo si existe k entero tal que a = b + kn. Ejemplos:
-9 ≡ 31 (mod 10) 16 ≡ 30 (mod 7)
Propiedades fundamentales de las congruencias: 1) La congruencia módulo n es una relación de equivalencia en los enteros, es decir: a) a ≡ a (mod n) para todo a entero. b) Si a ≡ b (mod n) entonces b ≡ a (mod n) para todos a y b enteros. c) Si a ≡ b (mod n) y b ≡ c (mod n) entonces a ≡ c (mod n) para todos a, b y c enteros. 2) Si a ≡ b (mod n) y c ≡d (mod n) entonces a + c ≡ b + d (mod n) y ac ≡ bd (mod n) 3) Si (a, n) = d y ab ≡ ac (mod n) entonces b ≡ c (mod n/d) ((a, n) es el máximo común divisor de a y n) La teoría completa de los números que pueden expresarse con expresiones decimales periódicas es complicada y puede ser encontrada en los libros de teoría de números. No se entiende que en este nivel
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se la deba estudiar formalmente.
Material necesario: Los estudiantes van a necesitar: Copias de la actividad. Calculadora básica.
Organización y preparación del profesor: En la primera parte de la actividad los estudiantes deben efectuar las divisiones:
1 7
2 7
3 7
4 7
5 7
6 7
Deben hacer un listado con los resultados obtenidos y observarlos. Observaciones: -
Siempre hay 6 cifras en el periodo y las 6 cifras son siempre las mismas.
-
Las cifras primera y cuarta suman 9, así como la segunda y la quinta y la tercera y la sexta.
-
Una división entre 7 sólo tiene 6 residuos posibles y, por lo tanto, como máximo sólo pueden aparecer 6 cifras en el periodo.
En la segunda parte de la actividad se debe estudiar las expresiones decimales de las fracciones con 13 como denominador. Como en la parte anterior, se comienza realizando las divisiones y se hace un listado con los resultados obtenidos. En este punto hay que resolver el problema de cómo determinar el número de cifras del periodo. Para poder profundizar la explicación que debe haber en el periodo hacemos una lista con los 2 conjuntos de residuos. Ellos son: 1, 10, 9, 12, 3, 4
y
2, 7, 5, 11, 6, 8
¿Estos residuos tendrían algo que ver con la aritmética módulo 13? AMPLIACIONES: •
Investigar el periodo que obtenemos al dividir entre 17, esto es, estudia la expresión decimal de las fracciones que tienen 17 como denominador.
Al usar una calculadora básica para hacer esa investigación vemos que su capacidad no es suficiente para mostrar todo el periodo del número. - El primer problema sería escribir la sucesión de las cifras del periodo, sabiendo que en este caso el
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periodo tiene 16 cifras. - Para ayudar en los razonamientos se puede determinar el desarrollo decimal de
5 con 20 decimales, 17
por ejemplo. - Haz una conjetura sobre las expresiones decimales de
6 , 17
7 , . . . y después chequea con la 17
calculadora. •
Investigar el periodo de las expresiones decimales de los cocientes cuando dividimos entre 19, utilizando el menor número de divisiones que sea posible.
Dejamos que la clase estudie por su cuenta con otros números y responda la pregunta: ¿De qué forma queda entonces ilustrado el problema de encontrar el número de cifras que tiene el periodo?
Nota: Partiendo de esta actividad se podría seguir con el desarrollo del concepto de números irracionales, es decir, de aquellos números cuyas expresiones decimales no son periódicas. PROFUNDIZACIÓN: Si en esta actividad aplicamos la noción de estructura aritmética finita (aritmética modular) podemos proporcionar a nuestros estudiantes una visión más profunda de las expresiones decimales periódicas. Estas actividades pueden ser desarrolladas individualmente o en grupo. Pero, si son realizadas en grupo, el nivel de desarrollo y la riqueza de la discusión podrán ser muy superiores. Los profesores formadores: -
Deben desarrollar las actividades antes de trabajarlas con sus estudiantes, detectando los posibles problemas que puedan surgir en el aula. Deben animar a los estudiantes a que ellos mismos decidan si la respuesta es coherente o no, a que realicen cálculos mentales siempre que sea posible, a que busquen soluciones novedosas a la situación problemática.
-
Patrones en una división.
Utiliza una calculadora para determinar las expresiones decimales de las siguientes fracciones:
1 7
2 7
3 7
4 7
5 7
6 7
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-
¿Qué puedes decir sobre las 6 primeras cifras que aparecen después de la coma decimal?
-
Sin efectuar la división ni utilizar la calculadora, escribe las expresiones decimales, con 6 decimales, para:
8 9 16 , , 7 7 7 1 . 7
-
Escribe las 12 primeras cifras de
-
¿Puedes escribir el patrón de repetición para cualquier división entre 7? No olvides que: La sucesión de cifras que se repiten en una expresión decimal se llama periodo.
-
¿Por qué hay 6 cifras en el periodo? ¿Por qué no aparecen nunca ni el 0, ni el 3, ni el 6, ni el 9?
-
De un modo general, ¿el número de cifras del periodo, de la expresión decimal, siempre tiene una unidad menos que el denominador de la fracción?
Investiga, ahora, el periodo que obtenemos al dividir entre 13; es decir, estudia la expresión decimal de las fracciones que tienen 13 como denominador. Estudia, del mismo modo, los periodos para los resultados de las divisiones entre 11. Investiga y presenta tus conjeturas. Experimenta con divisiones entre 111 y presenta tus resultados. Puedes investigar también lo que pasa con las divisiones entre 1111. Sugerencia: Responde la siguiente pregunta: ¿Por qué entre 10 posibles residuos diferentes de cero en la división entre 11, sólo obtenemos 2?
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Actividad 7: Jugando con los números y la calculadora. Contenidos: Números, relaciones numéricas, operaciones y estimación. Capacidades: • • • • •
Desarrolla y profundiza el significado de los números y las operaciones. Desarrolla, analiza y explica procedimientos de cálculo y técnicas de estimación con números naturales. Utiliza la estimación para comprobar lo razonable de los resultados. Utiliza una calculadora básica para realizar investigaciones numéricas. Crea y expresa argumentos matemáticos.
Notas matemáticas: Vemos a nivel mundial una creciente actitud positiva para la utilización de calculadoras en el aprendizaje de la matemática. Su uso puede hacer posible que nuestros estudiantes representen, expliquen y predigan hechos y resuelvan problemas permitiendo así incrementar sus niveles de abstracción, simbolización y formalización del conocimiento. La realización de algoritmos con lápiz y papel puede tener una función importante en la comprensión de los conceptos de número y operación, pero su práctica repetitiva seguramente no añadirá nada a esa comprensión. En este sentido, proponemos la utilización de la calculadora como una herramienta para facilitar el desarrollo de las habilidades de razonamiento y comunicación; además del desarrollo de actitudes tales como la valoración de la matemática y la seguridad en la propia capacidad para seguir aprendiéndola, así como para aplicarla en su contexto. Material necesario: Los estudiantes van a necesitar: Copias de las actividades. Calculadora básica. Organización y preparación del profesor formador:
Podemos desarrollar muchos juegos con calculadora con nuestros estudiantes. Presentamos solamente algunos ejemplos. Se sugiere que los estudiantes trabajen en parejas porque es importante que ellos discutan entre sí posibles estrategias de solución. Se les podría pedir que entreguen por escrito las soluciones obtenidas y sus conclusiones. Eso podrá ayudar a orientar la discusión final.
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http://divulgamat.ehu.es/weborriak/Cultura/MateMagia/calculadora/calculadora2.htm http://www.enciga.org/es/enlaces/calculadoras.htm Los profesores formadores: - Deben desarrollar las actividades antes de trabajarlas con sus estudiantes, detectando los posibles problemas que puedan surgir en el aula. - Deben animarlos para que ellos mismos decidan si la respuesta es coherente o no, a que realicen cálculos mentales siempre que sea posible, a que busquen soluciones novedosas a la situación problemática. En una actividad de investigación en el aula de matemática, los estudiantes exploran una situación abierta, procuran hallar regularidades, formulan problemas y hacen conjeturas, argumentan y comunican oralmente o por escrito sus conclusiones. Parte 1: Teclas malogradas. Este tipo de juego es interesante para resolver situaciones que tengan como objetivo buscar operaciones alternativas, desarrollando en el alumno su capacidad de razonamiento. Juego 1: Suponiendo que en tu calculadora sólo funcionan las siguientes teclas: x
÷
1
2
3
=
y que la pantalla funciona perfectamente: ¿Qué números puedes hacer que salgan en el visor? Juego 2: Suponiendo que en tu calculadora sólo funcionan las siguientes teclas: +
5
8
=
y que la pantalla funciona perfectamente: - ¿Cuántos cincos debes digitar, como mínimo, para que aparezca en el visor el número 120? - Si por lo menos has digitado 2 veces la tecla de la suma ¿cuál sería el máximo valor que aparecería en el visor digitando tres 8 y dos 5? Parte 2: Teclas repetidas. Juego 1: Utiliza la tecla 2, tres veces, con cualquier operación, para hacer aparecer en el visor de tu calculadora el número 24. Juego 2: Utiliza la tecla 4, cuántas veces desees, con cualquier operación, para hacer aparecer en el visor el número 13. Juego 3: Utiliza la tecla 1, cinco veces, con cualquier operación, para hacer aparecer en el visor el número 100.
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Actividad 8: Torre de Hanoi. Contenidos: Potencias, expresión algebraica, ecuación, función. Capacidades: • • • • • •
Entiende y utiliza los conceptos matemáticos. Utiliza el lenguaje simbólico, formal y sus operaciones. Sigue y valora cadenas de argumentos matemáticos. Crea y expresa argumentos matemáticos. Encuentra regularidades y relaciones. Generaliza.
Notas matemáticas: En 1883, un matemático francés, Edouard Lucas, inventó un juego llamado Torre de Hanoi (algunas veces recibe el nombre de Torre de Brama). El juego comienza con cierto número de discos, por ejemplo de 3 discos, acomodados en una de 3 clavijas. Cada uno de los discos es menor que el disco debajo de él. El objetivo del juego es mover todos los discos de la clavija inicial a una de las otras 2. Solamente un disco puede ser movido en cada vez, y un disco más grande nunca puede ser puesto arriba de uno menor. Para resolver el problema es conveniente usar siempre el menor número posible de movimientos y utilizar una tabla para ordenar los datos. Después de que se haya manipulado el juego y utilizado la intuición se puede ver cómo desplazar n discos, con un menor número de movimientos posible: Inicialmente se mueven n − 1 discos para la segunda clavija, con Mn-1 movimientos; enseguida se mueve el enésimo disco para la tercera clavija, con un movimiento; finalmente se mueven los n − 1 discos de la segunda clavija para la tercera, con M n -1 movimientos. Así, siendo Mn el número mínimo de movimientos para mover n discos, se tiene: Mn = M n -1 + 1 + M n -1 = 2 M n -1 + 1 Partiendo de esos datos podemos intentar descubrir si hay una relación matemática entre el número de discos utilizados y el número mínimo de movimientos necesarios para transferirlos de una clavija para otra. Dependiendo de los estudiantes y de la ayuda que el profesor formador pueda dar, algunos de ellos podrán descubrir que el número mínimo de movimientos necesarios para transferir un determinado número de discos puede ser obtenido por la expresión Mn = 2n − 1, donde n es el número de discos. Por lo tanto, para n discos el número de movimientos es 2n − 1. Para una Torre de Hanoi que tenga 8 discos el número mínimo de movimientos para pasar los discos a otra clavija es 28 – 1 que es igual a 255 movimientos. Los estudiantes podrían verificar por inducción finita si realmente el número mínimo de movimientos de n discos es dado por 2n − 1 .
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Es interesante que se cuente la leyenda de la torre de Hanoi. Si la tarea propuesta en la leyenda fuera realizada, el número de movimientos necesarios sería: M64 = 264 − 1 = 18 446 744 073 509 551 615 En efecto, si los sacerdotes realizasen un movimiento por segundo y trabajasen 24 horas por día, durante todos los días del año, gastarían cerca de 6 billones de siglos para realizar la tarea, suponiendo que no cometiesen errores. Cálculos: Para eso primero veamos ¿cuántos segundos tiene un año? 60 ⋅ 60 ⋅ 24 ⋅ 3651/4 = 31 557 600 < 225 Calculemos también 225:
225 = 210 ⋅ 210 ⋅ 25 = 1024 ⋅ 1024 ⋅ 1024= 33 554 432
¿Qué relación hay entre esos 2 números? Calculemos ahora cuántos años después de la Creación se va a acabar el mundo, según esa leyenda. 264 ÷ 225 = 239 años 239 = 1024 ⋅ 1024 ⋅ 1024 ⋅ 512 > 512 ⋅ 109 ¿Podemos estar tranquilos o ya se va a acabar el mundo? •
Principio de inducción:
Observa la prueba, por el principio de inducción, que el número mínimo de movimientos de n discos es dado por 2n – 1: Lo que nosotros descubrimos es verdadero para n = 1, 2, 3, 4, 5, pero, ¿será que es verdadero siempre? El principio de inducción nos garantiza que podemos calcular el número mínimo de movimientos por la fórmula que encontramos. Sea S el conjunto de los números naturales n tales que n discos son movidos con 2n – 1 movimientos. 1) 1∈ S pues para 1 disco necesitamos de 1 = 21 – 1 movimientos. 2) Supongamos que k ∈ S, esto es, k discos son transferidos con 2k – 1 movimientos. Probemos que (k + 1) ∈ S, esto es, que Mk+1 = 2k+1 – 1 . Para transferir k+1 discos pasamos inicialmente k discos para la aguja de atrás con Mk movimientos, en seguida con 1 movimiento el (k+1) ésimo disco va para la aguja del frente, con más Mk movimientos los k discos de atrás pasan para la aguja del frente, esto es: Mk+1 = Mk + 1 +Mk Mk+1 = 2k – 1 + 1 + 2k – 1 = 2 . 2k – 1 = 2k+1 – 1
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Y entonces (k +1) ∈ S Material necesario: Los estudiantes van a necesitar: Copias de la actividad. Calculadora básica. Organización y preparación del profesor formador: Esta es una actividad con característica algorítmica, y puede ser la ocasión para hacer que los estudiantes usen correctamente su calculadora. Asimismo, sirve como introducción al estudio de sucesiones y de sucesiones recurrentes; y también ser utilizada en el estudio de las progresiones geométricas. Es una situación interesante y un modo diferente de hacer que el propio estudiante coordine movimientos subordinados a una ley general de formación, estimulando la capacidad de generalización. Los profesores formadores: - Deben desarrollar la actividad antes de trabajarla con sus estudiantes, detectando los posibles problemas que puedan surgir en el aula. - Deben animarlos a que ellos mismos decidan si la respuesta es coherente o no, a que busquen soluciones novedosas a la situación problemática. Observación: Al iniciar las instrucciones el profesor debe partir de 2 discos y verificar con los estudiantes cuántos movimientos fueron necesarios para moverlos de una clavija a la otra. 1º Movimiento: el disco menor va para una clavija. 2º Movimiento: el disco mayor va para otra clavija. 3º Movimiento: el disco menor es colocado sobre el mayor. Enseguida el profesor propone a los estudiantes que hagan la transferencia de 3 discos, anotando los movimientos. De eso surgirá la necesidad de una notación simplificada y fácil de visualizar lo que se está haciendo, la que deberá venir de los propios estudiantes. Normalmente los discos son de colores y supongamos que existen 4 de esos discos. Es muy probable que al comienzo surja el siguiente registro: 1º disco amarillo en la clavija del medio
A2
2º disco verde en la clavija de la derecha
V3
3º disco amarillo en la clavija de la derecha
A3
4º disco rojo en la clavija del medio
M2
.......................
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Como esa notación es muy demorada hay que buscar nuevas notaciones. Por ejemplo: las clavijas podrán ser diferenciadas por la posición; contando de la izquierda hacia la derecha, tenemos clavijas 1, 2, 3. Los colores de los discos podrán ser representados por sus iniciales y el registro se refiere al disco y a la clavija en que está siendo colocado. O usamos otra notación, sería más interesante que los propios estudiantes elijan la mejor. Después de que todos los discos estén transferidos, se cuenta el número de movimientos necesarios para tal actividad y de ahí viene la pregunta: ¿Será que es posible reducir ese número? En el momento que juzgue conveniente, el profesor informará que son necesarios solamente 7 movimientos para la realización de la transferencia de 3 discos. El procedimiento debe ser repetido con 4 discos y con 5 discos. Después de varias tentativas de parte de los estudiantes, el profesor pregunta cuál es el número de movimientos y si es posible reducirlo. Entonces informa ese número. Se pregunta si hay coincidencia de movimientos cuando se consigue el número mínimo. Eso demora un poco, va a depender de la notación. La respuesta es: el primer disco es movido una vez sí, una vez no. Se organiza una tabla con todos los datos que se consiguen y se la observa en busca de algún patrón. Se sugiere que los estudiantes trabajen en parejas porque es importante que discutan entre sus posibles estrategias de solución. Se les podría pedir que entreguen por escrito las soluciones obtenidas y sus conclusiones. Eso podrá ayudar a orientar la discusión final.
• •
Este juego es un muy buen problema para usar en los cursos de matemática. Es un problema concreto, que es difícil resolver sin manipular realmente los discos. A partir de esta actividad se pueden hacer conexiones:
- Los estudiantes pueden reconocer que es un modelo similar al de la suma de las potencias de 2. - Es un buen modelo físico para la prueba por inducción de la suma 1 + 2 + 4 + 8 + ....+ 2n-1 = 2 n – 1 - Se pueden plantear problemas como el siguiente: Si desarrollamos 2100, ¿cuál es el dígito de las unidades? Asegurándose de que los estudiantes entendieron el problema: Desarrolle 210. ¿Cuál es el dígito de las unidades? 210 = 1024, entonces 4 es el dígito de las unidades. Deje tiempo para que los estudiantes exploren el problema. Si ellos intentan usar una calculadora, van a terminar en error o en notación científica. Sugiera utilizar un exponente menor a ver si se encuentra un patrón; algún estudiante puede querer usar una tabla de potencias de 2.
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Se puede hacer un resumen: Los dígitos de las unidades se repiten en un ciclo de 4: 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, .... -
2 ocurre cuando el exponente es 1, 5, 9, ... o para los exponentes que dejan resto 1 cuando dividido por 4. 4 ocurre para los exponentes 2, 6,10, ... o para los exponentes que dejan resto 2 cuando dividido por 4. 8 ocurre para los exponentes que dejan resto 3 cuando dividido por 4. 6 ocurre para los exponentes que dejan resto 0 cuando dividido por 4.
Por lo tanto, 2100 termina en 6, 293 termina en 2, 251 termina en 8. •
Esta pregunta puede ser extendida para potencia de los números naturales del 1 al 10. Deje que los estudiantes investiguen esas potencias.
Se pueden hacer otras preguntas: - ¿Cuántos ceros hay en 107? ¿en 1010 ? ¿y en 10100? - Los estudiantes pueden investigar la mayor potencia de 2 que puede ser vista completamente en la pantalla de una calculadora. La respuesta depende de la calculadora, para 8 dígitos: 226 = 67 108 864, en esa calculadora 227 da error. Recursos en la web que pueden ser consultados: Paul Stockmeyer's Tower of Hanoi Page: http://www.cs.wm.edu/~pkstoc/demos.html Werner Moshammer's Tower of Hanoi Game http://stud1.tuwien.ac.at/~e9125168/javaa/jtower.html Mazeworks , juegos de estrategia y razonamiento lógico http://www.mazeworks.com/hanoi/index.htm
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Jugando con la Torre de Hanoi.
Según una leyenda de la India, el centro del mundo está debajo de la cúpula del Templo de Benares. Allí hay una placa de metal donde están fijadas 3 clavijas cubiertas de diamantes. Dice la leyenda que al crear el mundo El Gran Creador colocó en una de estas clavijas 64 discos de oro de tamaños diferentes, en orden creciente de tamaño, estando el mayor junto a la placa y el menor encima de todos; y dijo a los monjes: “Transfieran estos discos para la otra clavija, moviendo, sin interrumpirse, un disco cada vez y jamás permitiendo que un disco quede arriba de otro menor. Cuando terminen esta tarea y los 64 discos estén en la otra clavija, este templo se reducirá a polvo y con el estruendo el mundo acabará”. Dicen los sabios que el mundo fue creado aproximadamente hace 4 billones de años y los monjes, desde la creación, están moviendo los discos en la razón de un disco por segundo: •
¿Será que veremos el mundo acabar?
Sugerencia para la resolución: Paso 1. Comprende el problema. Este es un juego inventado por un matemático francés. El pasatiempo consiste en trasladar la columna de discos a otra clavija, teniendo en cuenta que sólo se puede mover un disco a la vez y este no puede colocarse sobre un disco menor que él. Se podría comenzar el juego con un cierto número de discos, por ejemplo, 3. Acomodamos todos los discos en una de las 3 clavijas, sin olvidarnos de que cada uno de los discos es menor que el disco que está debajo. El objetivo del juego es mover todos los discos de la clavija inicial a una de las otras 2. Solamente un disco puede ser movido cada vez y un disco nunca puede ser puesto arriba de otro menor. Para comprender bien este problema sería interesante que construyas el juego, quizás utilizando cartones y palitos de brocheta; o, sino, ingresa a internet, por ejemplo, a una de las siguientes páginas: Andrew Cumming's Tower of Hanoi Page http://www.dcs.napier.ac.uk/~andrew/hanoi/rechelp.html Lawrence Hall of Science Tower of Hanoi Facts and Games http://www.lhs.berkeley.edu/Java/Tower/towerhistory.html Paso 2. Elabora un plan. Podríamos resolver este problema utilizando la estrategia “resolver un problema más sencillo antes”; es decir, como es muy difícil imaginar los movimientos hechos con los 64 discos, vamos a razonar partiendo de pocos discos.
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1º) Partamos de 1 disco: ¿Cuál es el número mínimo de movimientos necesarios para transferirlo para la otra clavija? 2º) ¿para 2 discos? 3º) ¿para 3 discos? 4º) ¿para 4 discos? 5º) ¿para 5 discos? No hay que olvidarse de considerar siempre el menor número posible de movimientos. Utiliza una tabla, como la siguiente, para ordenar los datos:
Número de discos 2 3 4 5 6 7 8 … n Número mínimo de movimientos …
- Calcula 21 , 22 , 23 , 24 , 25 , 26 , 27 , 28 , ... - Haciendo un razonamiento inductivo, puedes determinar el número mínimo de movimientos que se necesita para mover 9 discos, 10 discos, … , n discos. - Recordar que para calcular el tiempo se puede utilizar: 1 minuto 60 segundos 1 hora
60 ⋅ 60 = 3 600 segundos
1 día
3 600 ⋅ 24 = 86 400 segundos
1 año
86 400 ⋅ 365 = 31 536 000 segundos
Paso 3: Ejecutar el plan. - Grafica los datos y compara con el gráfico de 2n. - ¿Cuántos movimientos se necesitan para 8 discos? - ¿Cuántos discos si son 1023 movimientos?
Paso 4: Generalizar el problema.
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Actividad 9: Matemática y los tejidos tradicionales peruanos. Contenidos: Figuras geométricas, simetría, traslación. Capacidades: • • • • •
Entiende y utiliza los conceptos matemáticos. Utiliza el lenguaje simbólico, formal y técnico y sus operaciones. Sigue y valora cadenas de argumentos matemáticos. Crea y expresa argumentos matemáticos. Encuentra regularidades y relaciones.
Notas matemáticas: Uno de los objetivos de la investigación etnomatemática consiste en la búsqueda de posibilidades de encuadrar mejor la enseñanza de la matemática al contexto cultural de los estudiantes y profesores. Lo que se pretende es una educación matemática que consiga valorizar las raíces científicas inherentes a la cultura, utilizándolas como fundamento para llegar mejor y más rápidamente al patrimonio científico de toda la humanidad. Es en este sentido que se propone esta actividad. Ella puede servir de apoyo para el desarrollo de varios temas de geometría. Material necesario: Los estudiantes van a necesitar: Copias de la actividad. Organización y preparación del profesor formador: Cuando se desafía a los estudiantes a trabajar en algo nuevo, ellos necesitan tener tiempo para explorar, reflexionar y descubrir soluciones. En este espíritu de descubrimientos, de reflexión y de exploración es que se da la construcción del conocimiento matemático. A través de la acción el estudiante obtiene las abstracciones necesarias para su desarrollo. Los profesores formadores: -
Deben desarrollar la actividad antes de trabajarla con sus estudiantes, detectando los posibles problemas que puedan surgir en las sesiones de aprendizaje, donde deben animarlos a que ellos mismos decidan si la solución encontrada es coherente o no.
En una actividad de investigación en el aula de matemática, los estudiantes exploran una situación abierta, procuran regularidades, formulan problemas y hacen conjeturas, argumentan y comunican oralmente o por escrito sus conclusiones.
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♦
Analizando matemáticamente tejidos con motivos tradicionales.
¿Cómo pueden estar presentes los objetos matemáticos en los tejidos tradicionales peruanos?
Estudia algunas piezas, actuales o de las culturas peruanas precolombinas y descubre los conceptos matemáticos que están presentes en ellas, como por ejemplo: •
Ejes de simetría.
•
Formas geométricas.
•
Objetos proporcionales.
•
Patrones reflejados.
¿Puedes encontrar las ideas matemáticas listadas arriba en los tejidos que fueron reproducidos? ¿Puedes encontrar otras ideas matemáticas en ellos? Analiza algunos tejidos que puedes encontrar en las ferias artesanales, en los museos o en las páginas de algunos libros.
Tejido con motivo tradicional
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Unco incaico elaborado con lana de camélido
Tejido Chancay
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Actividad 10: Volumen máximo. Contenidos: Conceptos de geometría plana y espacial, sistemas de medidas, cálculo algebraico, función de segundo grado. Capacidades: • • • • •
Traduce desde el lenguaje natural al simbólico. Traduce la realidad a un modelo matemático. Sigue y valora cadenas de argumentos matemáticos. Crea y expresa argumentos matemáticos. Comunica acerca de un modelo y de sus resultados.
Notas matemáticas: El modelaje matemático es un arte utilizado por matemáticos en la resolución de problemas o en la comprensión de situaciones. Puede ser utilizado como una estrategia en la enseñanza de esta materia. La elección de problemas o situaciones problemáticas concretas funciona inicialmente como elemento motivador ya que ayuda al estudiante a incorporar conocimientos esenciales para su actuación en el medio social. El modelaje es el proceso de hacer un modelo y para eso se necesita: - Conocimiento matemático. - Intuición y creatividad para interpretar el contexto. - Capacidad para discernir qué contenido matemático se adapta mejor. - Tener sentido lúdico para jugar con las variables involucradas. La idea involucrada aquí es adaptar el proceso de modelaje para la enseñanza de esta ciencia. La modelización puede valorizar la cultura, el arte, puede educar a los alumnos para mantener nuestro planeta, para tener paz interior, paz en nuestro mundo. Hace varios años que varios grupos de investigadores vienen implementando el modelaje como una estrategia para la enseñanza de la matemática. Material necesario: Los estudiantes van a necesitar: Copias de la actividad. Hojas de papel A4. Organización y preparación del profesor formador: Con el trabajo con embalajes podemos desarrollar matemática para todos los niveles educacionales; lo que cambia es el tipo de matemática que se va utilizando. A partir de la pregunta ¿Cómo se hace una caja? Podemos trabajar en el sentido de desarrollar varias capacidades. Los profesores: - Deben desarrollar la actividad antes de trabajarla con sus estudiantes, detectando los posibles problemas que puedan surgir en el aula.
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Parte 1: Analizando formas.
El embalaje tiene mucha importancia para el producto ya que, además de protegerlo, valoriza su presentación. Debe ser fácil de manipular y el producto debe quedar protegido de la acción del transporte y del clima. Por esa razón al pensar en el embalaje hay que tener varios cuidados, en particular con la forma y la resistencia. Los embalajes pueden diferir en su forma, tamaño y en el material utilizado para su confección. Los materiales más utilizados son las hojas de papel o plástico, las bolsas de tela, papel o plástico, las cajas de cartón o metal, las latas de aluminio, entre otros. ¿Cuáles son las formas geométricas que están presentes en las cajas y en las latas?
Parte 2: Confeccionando una cajita.
¿Cómo se confecciona una cajita?
1. Hacemos el dibujo de la caja que queremos construir, en este caso una de forma rectangular. (El diseño de un objeto se puede expresar por medio de perspectivas.) 2. Cortamos una hoja de cartulina, por ejemplo, con 16u x 11u para construir la cajita. 3. Con una regla medimos 3u desde el borde de la hoja y riscamos levemente la hoja; hacemos lo mismo en los otros bordes. 4. Realizamos las dobleces y montamos la cajita. Ya tenemos nuestra cajita lista. Este sería un modelo de embalaje. Escoge un objeto, u objetos, y crea una cajita para embalarlo.
Parte 3: Calculando la cantidad de material utilizado. El valor del embalaje incide en el valor final del producto. Normalmente se necesita crear un embalaje que utilice la mínima cantidad posible de material, sin perder en su funcionalidad y apariencia.
¿Cuál es la cantidad de material utilizado en un embalaje?
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Sugerencia: Para calcular la cantidad de material solo hace falta abrir, planificar o suponer abierta la caja y hacer un dibujo con las dimensiones. Partiendo del dibujo se calcula el área de las figuras planas que la componen. Calcula la cantidad de material que hay en una caja con la forma de un prisma de base rectangular y de una lata cilíndrica. No te olvides de considerar el material, en las junciones, para hacer el pegado.
¿Cuál es la forma ideal para un embalaje?
¿Qué tendría que considerarse para determinarla? ¿La de menor costo? ¿La de mejor manipulación? Compara dos embalajes particulares, uno de forma cilíndrica y otro con la forma de un prisma de base rectangular, con la misma capacidad, 1 litro. Calcula la cantidad de material empleado en cada uno, esto es, su área total suponiendo que el volumen sea el mismo en los dos. Generaliza la situación anterior, verificando si la relación que encontraste es válida para cualquier medida.
Formulación y resolución del problema.
Ahora, vamos a procurar saber cuál es la mejor forma para una caja, en el sentido de determinar la que utiliza un mínimo de material para un máximo aprovechamiento.
Supongamos que se dispone de una hoja de cartón de forma cuadrada, midiendo 20 cm de lado.
20 cm 20 cm
¿Cuál debe ser la altura de la caja (después del doblado) para que su volumen sea el máximo? Sugerencia: Para resolver este problema utiliza la estrategia de resolución de problemas “hacer un dibujo” y haz un dibujo que modele esta situación. A continuación determina la ecuación que determina el volumen de la caja en función de la altura.
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Actividad 11: La divina proporción. Contenidos: R, razón, proporción, número irracional, número áureo, razón áurea, ecuación literal de segundo grado, construcciones geométricas. Capacidades: • • • •
Utiliza una calculadora básica para realizar investigaciones numéricas. Traduce la realidad a una estructura matemática. Trabaja con un modelo matemático. Usa el lenguaje simbólico y sus operaciones.
Notas matemáticas: Pitágoras y sus seguidores formaban una especie de escuela o comunidad. Para ellos, el número 5 tenía un atractivo especial: su símbolo era una estrella de 5 puntas y les interesaba especialmente la figura del pentágono. Investigando el pentágono hallaron un número especial, el llamado número áureo (de oro). Este es un número irracional que refleja la relación entre el lado de un pentágono y su diagonal.
Su valor es
1+ 5 , o aproximadamente 1,6180339887.... 2
Las llamadas proporciones áureas, 1 : a = a : (1 – a) han sido consideradas perfectas por los artistas desde la antigua Grecia hasta nuestros días. Un rectángulo con las proporciones perfectas tiene la particularidad de que si se quita un cuadrado de 1×1, la parte restante vuelve a tener las proporciones perfectas. Los constructores del Partenón de Atenas (y los de muchos otros templos y edificios) tuvieron muy en cuenta la proporción áurea. La relación entre la altura y el ancho de su fachada es precisamente el número irracional llamada sección áurea. Lo mismo sucede con muchos objetos cotidianos: tarjetas de crédito, carnés de identidad, las cajas de los casetes... Actualmente las secciones áureas, por su propiedad de autopropagación, sobrepasan los límites del arte y de la arquitectura y tienen aplicaciones en diversas áreas del conocimiento. - Existe una relación entre el pentágono regular y la estrella pitagórica.
Si consideramos el lado del pentágono la unidad, basta aplicar el teorema del coseno al triángulo ABC y resulta que AC es igual al número áureo. El teorema del coseno afirma que en todo triángulo, un lado al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de ellos por el coseno del ángulo comprendido. - En nuestro caso, aplicando dicho teorema al triángulo ABC, tendremos:
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AC 2 = AB 2 + BC 2 - 2 AB. AC. cos (108º) Como AB = BC = 1, efectuando operaciones resulta: AC 2 = 2 - 2 cos (108º)
Extrayendo la raíz cuadrada:
AC = 1,6180340...
Considerando el lado del pentágono regular la unidad (AG = 1), pueden obtenerse de forma inmediata las siguientes expresiones:
Material necesario: Los estudiantes van a necesitar: Copias de las actividades. Papel e instrumentos de dibujo. Organización y preparación del profesor: Desde diferentes puntos de partida casi todas las culturas llegaron a conclusiones afines: en el número π, las series de Fibonacci, los rectángulos armónicos, el rectángulo raíz de 2, el rectángulo de la proporción áurea. Las estructuras armónicas se pueden encontrar en la iconografía Chavín, la cerámica Moche, la Nazca y muchas piezas precolombinas. En muchas de ellas están presentes las estructuras de los cuadrados perfectos, el rectángulo raíz de 2, los rectángulos áureos, las relaciones de número π. En la iconografía andina es muy frecuente el rectángulo raíz de 2 (que se obtiene rebatiendo la diagonal trazada desde la mitad del lado de un cuadrado hasta la vertical, ese es el lado mayor) y el rectángulo áureo (que se obtiene rebatiendo la diagonal trazada desde la mitad del lado de un cuadrado hasta su vértice, ese es el lado mayor) en las estructuras de composición. Conexiones: partiendo del número de oro y de la razón áurea se puede seguir con las otras relaciones que llevan a otros números irracionales, por ejemplo, π y √2. Los profesores formadores: Deben desarrollar la actividad antes de trabajarla con sus estudiantes, detectando los posibles problemas que puedan surgir en el aula. Parte 1: Construyendo un rectángulo de oro. Un rectángulo áureo (o de oro) puede ser construido usando regla y compás. Para realizar esta construcción, observa la figura y sigue los siguientes pasos:
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1. 2. 3. 4.
Construye un cuadrado AEFD. Biseca el segmento DF. Marca con M el punto medio.
A
E
B
Extiende el segmento DF. Con centro en M y radio ME dibuja un arco de circunferencia Intersecando la recta CF en el punto C.
5.
Construye la perpendicular al segmento DC en el punto C.
6.
Extiende el segmento AE hasta intersecar la perpendicular en B.
D M F áureo. ABCD se llama rectángulo
C
El rectángulo
Mide los lados del rectángulo (largo y ancho) y divide esas medidas, una entre la otra y viceversa. Compara este resultado con el obtenido por tus
colegas. ¿Qué observas?
Cualquiera que haya sido la medida del cuadrado inicial, la razón entre el largo y el ancho será aproximadamente 1,618…, que es el número de oro y la razón entre el ancho y el largo será aproximadamente 0,618… = 1/φ que es la razón áurea.
Se puede mostrar también que BCFE es un rectángulo áureo. Para eso, supón que MF = 1 y determina cada una de las siguientes longitudes: FE: ………, BC: ………. , ME: ………, MC: ………., FC: ……… , DC: ……… A continuación, determina las expresiones decimales de las siguientes razones: BC/DC: …………… FC/BC: ……………
¿Ellas son equivalentes?
Investiga sobre el número de oro en la arquitectura y en las obras de arte tanto del Perú como del mundo.
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Parte 2: Construyendo la estrella pitagórica y el pentágono. Dibuja una circunferencia. Utilizando el transportador divide el ángulo central en 5 ángulos, cada uno con 72º. D
E
F
A
C
G
C 360º = = 72º nº lados 5
-
Conecta los puntos ABCDE, obteniendo así un pentágono regular.
-
En seguida traza las diagonales, formando una estrella, símbolo de la Escuela Pitagórica.
B
Divide la medida de una diagonal del pentágono mayor (d) por la medida de un lado (l) y el lado del pentágono mayor (l) entre el lado del menor (l): d / l = EC / ED = l / l = ED / FG = 1,618… = φ El número de oro surge de la razón entre diversos segmentos (dos a dos). Investiga en cuáles otros polígonos regulares vale esta relación. Parte 3: Una ecuación literal del 2º grado. Se puede determinar la razón áurea de un segmento AB dividiéndolo con un punto O en 2 partes, de tal modo que este punto O divida el segmento AB en 2 segmentos proporcionales, tales que el cociente entre las medidas del segmento todo, entre parte mayor, sea igual al cociente entre las medidas de la parte mayor con la parte menor:
segmentotodo partemayor = partemayor partemenor 1 Dividamos un segmento de 1 unidad de longitud en 2
partes. Nombremos con x el segmento más largo, observa:
x
1-x
Decimos que esos dos segmentos están divididos en la divina proporción si la siguiente razón es 1− x x verdadera:
x
Entonces,
=
1 1− x x 2 2 = x = 1 – x x + x –1 = 0 x 1
Resuelve esta ecuación, en x. Como las longitudes no pueden ser negativas, la raíz negativa puede ser descartada. Determina la expresión decimal de la raíz positiva con 5 o más decimales. ¿Te sorprende el resultado? Este es un número irracional y se llama razón áurea.
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Actividad 12: La divina proporción y la figura humana. Contenidos: R, números irracionales, número áureo, división de expresiones decimales. Capacidades: • Desarrolla y profundiza el significado de los números y las operaciones. • Desarrolla, analiza y explica procedimientos de cálculo. • Utiliza una calculadora básica para realizar investigaciones numéricas. • Traduce la realidad a una estructura matemática. • Trabaja con un modelo matemático. Notas matemáticas: Se dice que donde haya armonía vamos a encontrar el número de oro. Este número, Φ , es conocido como la máxima expresión de la armonía y el equilibrio. El número de oro puede servir también como punto de partida para el estudio de los números irracionales. Robert Simson, matemático del siglo XVIII, determinó que esa sucesión de razones converge al número (1 + √ 5) / 2, que es el número de oro. Euclides también escribió sobre el número de oro y la división áurea. El problema de la Parte 1 da origen a una famosa secuencia divergente de números naturales 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …an, … que satisface: An+1 = an + a n - 1 La razón de términos sucesivos forma una nueva secuencia: Que converge para
b=
1+ 5 = 1, 618... 2
bn =
a n+1 an
Número de oro, es un número irracional, representado por la letra griega φ (fi). Material necesario: Los estudiantes van a necesitar: Copias de las actividades. Cinta métrica o huincha. Calculadora básica (opcional). Organización y preparación del profesor: Con esta actividad hacemos una conexión entre la biología y la geometría. Se motiva al alumno para que perciba la geometría que existe en la naturaleza. Esta actividad puede ser completada haciendo que los alumnos tomen medidas de otras partes del cuerpo y verifiquen la razón. Además, se puede encontrar el número de oro investigando las conchas de los caracoles, las semillas de los girasoles, las semillas de las margaritas, las estrellas del mar, entre muchísimos otros ejemplos que podemos encontrar en la naturaleza.
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http://www.portalplanetasedna.com.ar/divina_proporcion.htm Los profesores formadores: - Deben desarrollar la actividad antes de trabajarlas con sus estudiantes, detectando los posibles problemas que puedan surgir en el aula. Parte 1: Criadero de conejos. Leonardo de Pisa (1180 – 1250), Fibonacci, es considerado el matemático más original y creativo del mundo cristiano medieval. En su libro Liber Abaci (Libro del Ábaco), de 1202, se encuentra el problema que dio origen a su famosa sucesión:
“Cierto hombre colocó una pareja de conejos en un ambiente completamente cerrado. ¿Cuántos pares de conejos nacerán allí en un año, suponiendo que cada pareja engendra una nueva pareja cada mes, a partir del segundo mes de vida, y que no ocurren muertes? Completa la tabla: Nº del mes
1º
2º
Nº de parejas nacidas
0
0
1
Nº total de parejas
1
1
2
3º
4º
La sucesión de la tercera fila, de Fibonacci, tiene una serie de características muy interesantes; una de las cuales lo es excepcionalmente: Si dividimos cada número de la sucesión de Fibonacci entre el anterior, ese cociente tiende hacia un determinado valor que es 1,618 ..., que se llama número de oro y se simboliza con Φ. Comprobemos si esta afirmación es cierta, completando la siguiente tabla:
5º
6º
Sucesión de Fibonacci 1 1 2
7º
8º
9º
10º
11º
Nº Anterior
Cociente
1 1
1 2
12º
Esta proporción recibe un nombre especial: “La divina proporción”. Parte 2: ¿Habrá matemática en la belleza? ¿Será posible evaluar la belleza física de una persona por medio de una fórmula matemática?
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La preocupación por la belleza física no es de ahora. Nuestros antepasados ya se preguntaban por la armonía y la belleza. La belleza es subjetiva, lo que es bello para una persona puede no serlo para otra. Pero es posible mostrar la armonía de proporciones realizando comparaciones. En el proceso de comparación es necesario un criterio especial, denominado medida. Las medidas son patrones específicos que relacionan cada objeto con otros de “estructura” semejante. Por ejemplo, si tomamos la medida de una persona (altura) y la dividimos por la medida que va desde la línea umbilical hasta el suelo, veremos que la razón es la misma que la de la medida del mentón hasta la frente en relación a la de los ojos hasta el mentón. Lo mismo ocurre entre otras partes del cuerpo. Hagamos esta experiencia tomando las respectivas medidas: altura (o medida del cuerpo) y medida de la línea umbilical hasta el suelo y en seguida realicemos las siguientes divisiones: Altura (x) entre la medida del ombligo hasta el suelo (a) y viceversa. ¿Será que somos guapos? O mejor, ¿será que nuestras proporciones son armónicas? Hagamos la verificación completando una tabla como la siguiente: Nombre
Altura total (x)
Ombligo hasta el suelo (a)
x÷a
Puedes ampliar esta actividad midiendo otras partes del cuerpo y verificando la razón, por ejemplo: longitud del rostro entre su respectivo ancho.
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Actividad 13: Un polígono fractal: el copo de nieve. Contenidos: Fractales, área y perímetro, construcciones geométricas. Capacidades: • • • • • • • •
Utiliza una calculadora básica para realizar investigaciones numéricas. Traduce la realidad a una estructura matemática. Entiende y utiliza los conceptos matemáticos. Utiliza el lenguaje simbólico y sus operaciones. Trabaja con un modelo matemático. Sigue y valora cadenas de argumentos matemáticos. Crea y expresa argumentos matemáticos. Encuentra regularidades y relaciones y generaliza.
Notas matemáticas: Los fractales surgen en los años 70 por las intuiciones de Mandelbrot. Éstos son objetos matemáticos que aparecen en el campo de la teoría geométrica de la medida. Están considerados como el producto final de la iteración infinita de un proceso geométrico. Por ejemplo, la división infinita de los lados de un triángulo equilátero, lo cual resulta en el llamado copo de nieve de Koch.
La curva de Koch es más conocida como “copo de nieve”.
El término fractal (nombre derivado del latín fractus, fraccionado) nos da la idea de algo irregular, intrincado, bello. En un fractal las partes más pequeñas son similares al todo y son generados por la repetición de procedimientos muy sencillos (iteración). El estudio de los fractales puede ser un elemento motivador para los alumnos, por la estética implícita en sus construcciones y por lo bonito que pueden resultar sus dibujos. Además, si el colegio cuenta con computadoras, puede hacer uso de programas informáticos, como Cabri, que le permite al alumno profundizar el concepto de recursividad. Encontrar objetos fractales en la naturaleza es muy fácil por que la geometría de la naturaleza es la geometría fractal. En nuestro entorno encontramos montañas, nubes, costas, coliflores; en nuestro organismo tenemos a los sistemas ramificados como el sistema nervioso, la ramificación de los bronquios en los alvéolos pulmonares, etc. Es por esta razón que el estudio de los fractales es importante en la actualidad.
En la naturaleza es muy fácil encontrar objetos fractales, ya que la geometría propia de la naturaleza es la geometría fractal.
En esta actividad se analizará un polígono cóncavo, el copo de nieve, que es el resultado de aplicar un algoritmo iterativo a los lados de un triángulo equilátero para estudiar el perímetro y área de la figura resultante cuando se realiza un número muy grande de iteraciones; de esta manera se puede iniciar un acercamiento a la idea de fractal. El resultado es sorprendente, nos encontramos con un objeto que a pesar de estar definido sobre una región finita del espacio posee una frontera de extensión ilimitada. La
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curva de Koch envuelve un área que no es mucho mayor que la que tiene el primer triángulo del que se parte. Se puede demostrar que es sólo 1,6 veces más grande. Material necesario: Los estudiantes van a necesitar: -Copias de las hojas de trabajo. -Hojas de papel bond con dimensiones por lo menos 35x35 cm de lado. -Instrumentos de dibujo. -Calculadora básica o científica. Organización y preparación del profesor: La matemática, en general, ofrece placeres originados en las varias formas de pensar y ver. Pero, algunas áreas de la matemática, como la geometría, posibilitan el surgimiento del placer y el gozo que merecen ser explotados por los profesores. Así son las situaciones de contemplación de aspectos armoniosos o de contrastes en el arte, en la pintura y arquitectura y en la propia naturaleza. La visualización de la simetría, por ejemplo, es un factor poderoso para sentir lo bello. La simetría es un concepto muy importante en la filosofía del arte y en la estética, es un factor determinante de emociones. El estudio métrico de los polígonos regulares pentagonales o decagonales hace aflorar temas tales como la divina proporción y la razón áurea, permitiendo relacionarlos con los patrones de escultura o de pintura. Ver y sentir lo bello y tener un sentido estético es una propiedad de algunos temas de matemática. El despertar del sentido estético puede ser cuidado y aprovechado con el tema de los fractales, tanto apreciando la belleza que irradian como observando la regularidad armoniosa de sus irregularidades. Son cada vez más los profesores que piensan que la geometría fractal, o al menos algunos elementos de ella, debieran integrarse entre los contenidos que enseñamos, en matemáticas y/o en informática, con más motivo incluso que otros. Si los estudiantes tienen a disposición un computador y un programa de geometría dinámica, Cabri o Sketchpad, pueden trabajar con ellos también. Podemos ver dos modos de explorar los fractales en el aula, uno de ellos es estudiar las relaciones numéricas de sus elementos, conforme las iteraciones sucesivas; por ejemplo, conteo, perímetros y áreas. En segundo lugar, el estudio de fractales puede aparecer en diferentes momentos, por ejemplo: en el caso del estudio de las transformaciones geométricas, sucesiones, límites e iteración, entre otros.
Los profesores formadores: - Deben desarrollar la actividad antes de trabajarla con sus estudiantes. Pueden documentarse consultando algunas referencias bibliográficas o información en internet para conocer más sobre fractales. - Pueden hacer uso de papelógrafos, transparencias y del retroproyector, o de la computadora si el instituto cuenta con una, para presentar el copo de nieve y algunos otros fractales; como por ejemplo: el Conjunto de Cantor, el Conjunto de Besicovitch, el Triángulo de Sierpinski, entre otros.
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Sugerencias para la organización del trabajo El profesor formador: 1. Muestra a los estudiantes algunas figuras autosemejantes, llamadas fractales, y pide la opinión de ellos sobre la figura. 2. Distribuye las hojas de trabajo a los estudiantes. 3. Les pide que trabajen en forma individual haciendo uso de sus materiales: hojas de papel bond, instrumentos de dibujo. 4. Indica que sigan las instrucciones de la hoja de trabajo para dibujar el copo de nieve, brindándoles las orientaciones necesarias para que comprendan el trabajo que van a realizar. 5. Solicita a los estudiantes que muestren su trabajo. 6. Les indica que han dibujado un polígono cóncavo y que deben responder las preguntas que siguen a las figuras del acápite Armando el copo de nieve con cartulina, en la Parte 1, trabajando en grupos de 4. (En esta fase es importante que el profesor estimule el trabajo sistemático y reflexivo de los estudiantes sin interferir demasiado en éste.) 7. Pide a un representante de cada grupo que explique cómo han efectuado los cálculos y que exponga la conjetura que han redactado. 8. Si en el trabajo anterior no ha surgido una estrategia eficaz para hacer los cálculos volverá a dirigir la actividad para su búsqueda. 9. Pide a los estudiantes que completen el cuadro presentado en la Parte 1 de esta Actividad, orientándolos para que descubran la estrategia de ir sumando los perímetros o las áreas de los nuevos triángulos construidos en cada iteración. (En esta fase es muy importante que el profesor estimule el trabajo sistemático y reflexivo de los estudiantes sin interferir demasiado en éste.) 10. Solicita a un representante de cada grupo que exponga sus resultados por partes, primero el número de lados, luego el perímetro y así sucesivamente. 11. Pide las conclusiones a las que llegó cada grupo. 12. Concluirá mostrando que la sucesión de los perímetros es divergente, que la sucesión de la suma de áreas es convergente, que se mantiene menor que la del cuadrado del lado del triángulo inicial y que las figuras que tengan estas características serán llamadas fractales.
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Parte 1: Dibujando el copo de nieve. Dibuja este polígono siguiendo las siguientes fases: Inicio: Construye, con regla y compás, un triángulo equilátero; por ejemplo, de 27 cm de lado. 1º. Iteración: Divide en 3 partes, de igual longitud, cada lado de este triángulo. En el segmento central de cada lado dibuja otro triángulo equilátero borrando el lado que se superpone con el triángulo anterior. 2º. Iteración: Ahora actúa de modo recursivo, es decir, efectúa la misma construcción sobre cada uno de los segmentos que dibujaste. Inicio
1º. Iteración
2º. Iteración
3º. Iteración: Actúa otra vez de modo recursivo. Haz la misma construcción sobre cada uno de los segmentos que hay en tu dibujo. Repite este procedimiento tantas veces como te lo permita el tamaño de los triángulos que vas dibujando. Teóricamente se pueden repetir los pasos, dibujando triángulos equiláteros infinitamente. Además, puedes colorear estas curvas, con imaginación, creando así diversos motivos muy bonitos. Armando el copo de nieve con cartulina. Puedes, también, tener una visión de esta curva construyendo un modelo en cartulina. Para eso vas a necesitar el siguiente material (en cartulinas de colores diferentes): •
1 triángulo equilátero de 27 cm de lado,
•
3 triángulos equiláteros de 9 cm de lado,
•
12 triángulos equiláteros de 3 cm de lado,
•
48 triángulos equiláteros de 1 cm de lado.
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figura 1
figura 2
figura 3
figura 4
A continuación, pega las piezas para obtener la curva de Koch.
Ahora vamos a analizar este polígono cóncavo que has construido, en relación a su número de lados: a)
Cuenta el número de lados de cada una de las fases 0, 1, 2, 3.
b)
¿Cuál será el número de lados de la fase 10?
c)
¿Cuál es el número de lados de la fase n (n є N)?
d)
Da una aproximación del número de lados de la fase 80.
Analicemos también este polígono en relación a su perímetro: a)
Calcula los perímetros de los polígonos de las fases 0, 1, 2, 3.
b)
Calcula el perímetro del polígono en la fase 10.
c)
Calcula la longitud de un lado del polígono en la fase n.
d)
Calcula el perímetro del polígono en la fase n.
e)
Da una aproximación del perímetro de la curva en la fase 80.
¿Y si continuamos la curva “hasta el infinito”? Procura formular una conjetura.
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Para verificar la conjetura que formulaste, completa el siguiente CUADRO, considerando que el triángulo equilátero inicial es un triángulo cualquiera, siendo: “L” la longitud del lado del triángulo equilátero inicial. “A” el área del triángulo equilátero inicial.
Fases
Inicio
2º. 3º. 4º. 1º. Iteración Iteración Iteración Iteración
... ...
Número de lados Longitud de cada lado del polígono en función de L Perímetro del polígono en función de L Número de nuevos triángulos construidos Área de cada uno de esos triángulos nuevos en función de A Área total del polígono en función de A
3 ... L ... 3L ... 0 ... 0 ... A
¿Qué pasará con el perímetro de la figura cuando n tienda al infinito? Determina una fórmula que permita calcular el área del copo de nieve en la fase n, en función del área A de la fase 0. Utilizando la fórmula que encontraste, con la ayuda de tu calculadora, investiga qué pasa con el área de esta figura en la fase n, para n infinito.
Sea x esta área, exprésala en función de A como una sucesión infinita. Factoriza entonces (1 + 1/3 + 4/32) y así podrás demostrar lo que has encontrado con la calculadora.
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N
Parte 2: Descubriendo la magia de los fractales con cortes en papel. Realiza la siguiente construcción: 1. Dobla la hoja de papel al medio. a separados 2
2. Haz cortes con longitudes de
1 de cada lado del papel. 4
a
3. Dobla según el segmento creado por 2 cortes. 4. Repite los cortes y los dobleces hasta lo que permita la espesura del papel.
5. Para obtener el fractal, abre los dobleces para dentro y para fuera.
Observa el desarrollo del patrón. Cada iteración del ejemplo ilustrado se puede diferenciar por el tamaño y número de elementos generados.
Responde las siguientes preguntas: 1. Cuenta los elementos en cada iteración y haz una tabla. 2. Identifica el patrón de crecimiento e indica la secuencia que permite calcular el número de elementos para la n-ésima generación. 3. ¿Cuál es el número total de cortes? 4. ¿Cuál es el área total de la superficie de los elementos? Escoge un valor conveniente para el primer elemento. Investiga: Si aumentas el número de cortes, doblas la hoja de papel de otra forma o utilizas una medida de corte diferente, obtienes otras figuras. Interpreta el proceso de iteración en cada caso.
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Actividad 14: La matemática de la música. Contenidos: Melodía y forma, simetrías, razón, función periódica, función exponencial. Capacidades: • • • •
Traduce la realidad a una estructura matemática. Trabaja con un modelo matemático. Usa el lenguaje simbólico y sus operaciones. Utiliza una calculadora básica para realizar investigaciones.
Notas matemáticas: Los fundamentos físicos de la música son expresados mediante leyes matemáticas; asimismo, se pueden analizar los motivos musicales a través de la matemática. Los sonidos musicales son producidos por algunos procesos físicos que tienen un carácter periódico –una cuerda vibrando, el aire en el interior de un instrumento de viento, etc.–. Aun siendo muy diferentes entre ellos, estos procesos pueden ser descritos con un mismo modelo matemático. La característica más fundamental de esos sonidos es su altura o frecuencia. Imaginémonos una cuerda que al ser tocada vibra, dando oscilaciones en las proximidades de su posición de reposo o equilibrio. Cuanto más oscilaciones da en un periodo de tiempo, más alta será la frecuencia del sonido producido y más aguda o alta será la nota musical resultante. La magnitud de la frecuencia se mide en Hertz (Hz), que es simplemente el número de oscilaciones o ciclos por segundo. En la música, las frecuencias absolutas no son tan importantes, como sí lo son las relaciones de frecuencia entre diferentes sonidos, las que denominaremos intervalos o distancias. Una melodía puede ser tocada con instrumentos de sonido grave o agudo, o en diferentes octavas, sin dejar de ser la misma melodía, siempre y cuando las distancias entre las notas sean preservadas. Se sabe que el sonido producido al pulsar una cuerda depende de la longitud, grosor y tensión de la misma. Cualquiera de estas variables afecta la frecuencia de vibración de la cuerda. Los pitagóricos fueron los primeros en asociar música y matemática al estudiar la escala musical. Lo que ellos descubrieron fue que al dividir una cuerda tensada en ciertas proporciones se podían producir sonidos placenteros al oído. Los pitagóricos descubrieron la conexión entre la armonía musical y los números enteros cuando percibieron que el sonido causado al pulsar una cuerda tensada depende de la longitud de esa cuerda. Descubrieron también que sonidos armoniosos son generados por cuerdas igualmente tensadas cuyas longitudes están en razones que corresponden a números enteros. El caso más sencillo es la octava, cuya razón es de 2:1. La razón 3:2 da lo que se conoce como una quinta perfecta. Si partimos del do central y vamos ascendiendo en intervalos de quintas perfectas encontramos la secuencia sol, re, la mi, si, fa#, reb, lab, sib, fa, do. Las cinco primeras, sol, re, la mi, si, son la base de la escala pentatónica, utilizada en algunas canciones populares.
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Material necesario: Los estudiantes van a necesitar: Copias de las actividades. Instrumentos de medida. Organización y preparación del profesor: La música nos puede servir de recurso para el aprendizaje de otras áreas, por ejemplo, sabemos que ciertas cualidades auditivas y rítmicas son cruciales en el desarrollo del lenguaje oral y, de cierta forma, el movimiento y el ritmo son aspectos comunes en el Área de Educación Física. Asimismo, en numerosas actividades musicales se utilizan conceptos matemáticos. Actualmente existen muchos instrumentos musicales cuyas formas y estructuras están conectadas a varios conceptos matemáticos. Por ejemplo, los instrumentos musicales formados por cuerdas o columnas de aire reflejan en su estructura la forma del gráfico de una función exponencial. o
Conectando música con matemática.
Existen muchas formas de conectar los contenidos de la música con los de otras áreas de aprendizaje y en especial con la de matemática. Creemos que las propuestas que se desarrollen deben tener relevancia tanto desde el punto de vista de la música como de la matemática. Por ejemplo: - Los intervalos musicales son una opción para trabajar contenidos o
matemáticos:
Distancias (entre notas musicales): entre dos notas diferentes hay una amplitud (o distancia de cercanía o alejamiento) → medidas de longitud, unidades.
- El tiempo musical se puede expresar con el compás simple: 2 ,3,4,… 4 4 4 → fracciones. - La forma musical: se puede hacer matemática haciendo música → simetrías: o
Cantando una canción, marcando el compás, el ritmo con las manos (aplausos) y acompañando con el cuerpo. Por ejemplo: - “Arrorro mi niño”, canción universal. - “Nubecita blanca”, canción pentafónica andina tradicional, tiene todos los elementos de una sólida creación musical y mantiene la armonía → simetrías.
o
Formando un grupo y haciendo una banda rítmica.
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- Figuras musicales: hacer matemática leyendo música → notación, cantidad, tiempo, etc. Las actividades propuestas pueden ser desarrolladas individualmente o en grupo. Pero, si son realizadas en grupo, el nivel de desarrollo y la riqueza de la discusión podrán ser muy superiores. Los profesores formadores: - Deben desarrollar las actividades antes de trabajarlas con sus estudiantes, detectando los posibles problemas que puedan surgir en el aula. - Deben animarlos a que ellos mismos decidan si la respuesta es coherente o no, a que realicen cálculos mentales siempre que sea posible y a que busquen soluciones novedosas a la situación problemática. - Algunos recursos en la web que pueden ser consultados: Música y matemática http://redalyc.uaemex.mx/redalyc/pdf/294/29404403.pdf Relaciones entre la música y la matemática http://www.lpi.tel.uva.es/~nacho/docencia/ing_ond_1/trabajos_06_07/io5/public_html/p2.html Aplicación pensada especialmente para compositores, profesores y estudiantes de música, permite crear tus propias partituras directamente en el ordenador: http://finale.softonic.com/ Editor de partituras musicales: http://www.programas-gratis.net/php/buscador1.php?buscar=encore&viene=0
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Parte 1: Cuerdas. Mide las distancias que hay desde el puente de la guitarra hasta los sucesivos trastes. -
¿Existe alguna relación entre el número del traste y la distancia?
-
Traza un gráfico que exprese el número del traste en función de la distancia.
Parte 2: La notación de los intervalos de tiempo en música. La música se compone de sonidos y silencios. Investiga cuál es la notación utilizada para codificar las duraciones de sonidos y silencios -
¿Cuál es el efecto de colocar un punto tras una nota?
-
¿Qué se entiende por signatura?
-
¿Qué es un compás?
Examina algunas partituras musicales para mostrar cómo está relacionada la duración de cada compás con la signatura temporal. Parte 3: La forma musical. Un procedimiento básico para obtener cohesión en una pieza de música es la reafirmación de una secuencia de sonidos una y otra vez, en forma variada, para evitar la monotonía y dar carácter a la composición. Razón por la que es muy frecuente encontrar regularidades en la notación musical. Las transformaciones musicales están íntimamente relacionadas con la geometría de las transformaciones. En la mayoría de las melodías populares se pueden encontrar simetrías, rotaciones y traslaciones. Así, una frase musical puede tener motivos que se repiten en forma idéntica o se repiten en forma más aguda o más grave. En otras ocasiones, en vez de subir, bajan o retroceden. •
En la siguiente figura puedes observar cuatro compases que ilustran el uso de la geometría de las transformaciones (traslaciones, simetrías o rotaciones) en la música:
Elige una canción popular, quizás de tu región, y describe los ejemplos de transformaciones que pueda haber en la música. Crea una melodía, inspirada en la música de tu región, utilizando modificaciones del tema principal, basadas en la geometría de las transformaciones.
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Actividad 15: Construyendo mosaicos. Contenidos: Polígonos, concepto y clasificación de ángulos, paralelismo y perpendicularidad, polígonos y región poligonal, área, transformaciones. Capacidades: • • • • •
Maneja conceptos y operaciones matemáticas. Comunica acerca de un modelo y de sus resultados. Realiza y demuestra conjeturas. Crea y expresa argumentos matemáticos. Desarrolla actitudes positivas hacia la matemática al trabajar en situaciones motivadoras.
Notas matemáticas: Los mosaicos son ornamentos bidimensionales que cubren parte del plano. En el contexto matemático es definido como figura del plano donde existen 2 traslaciones no paralelas. Los mosaicos pueden ser construidos fácilmente a partir de una red de triángulos equiláteros, cuadrados, rectángulos, paralelogramos, rombos o hexágonos. Un ejemplo muy conocido de esos mosaicos son los del famoso artista holandés M. C. Escher (1898-1978) cuyo trabajo se difundió en todo el mundo. El secreto de los patrones de Escher es transformar teselaciones a través de rotaciones, traslaciones o simetrías. Ese tipo de motivos también recubren el plano sin dejar huecos.
La formación matemática que se puede lograr con este trabajo es valiosa puesto que proporciona un desarrollo en la percepción visual y espacial de los estudiantes. Además, puede servir como vehículo para estimular y ejercitar habilidades generales de pensamiento y capacidades para la resolución de problemas. Material necesario: Los estudiantes van a necesitar: Copias de la actividad. Papel e instrumentos de dibujo. Sobre donde colocarán diversos polígonos. Fichas de trabajo. Organización y preparación del profesor formador: El trabajo con mosaicos periódicos es un modo bonito, agradable e interesante de abordar muchos temas de geometría. Si después de investigar cuáles son los mosaicos regulares que teselan el plano,
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comenzamos con el cálculo de la suma de los ángulos internos de un triángulo podemos seguir trabajando con: -
Suma de los ángulos internos de un polígono cualquiera.
-
Valor del ángulo interno de un polígono regular.
-
Condición necesaria para construcción de una malla plana (red), usando polígonos regulares o no.
-
Construcción de módulos para proyectos de piso o azulejos o colchas.
-
Áreas, equivalencia de áreas.
-
Composición y descomposición de figuras planas.
-
Simetrías en los polígonos regulares.
-
Simetrías axiales, rotaciones, traslaciones y sus composiciones.
-
Teselaciones con polígonos no regulares.
•
Para el desarrollo de la Parte 1, Introduciéndonos al tema, hay que proporcionar a los estudiantes sobres con gran cantidad de diferentes polígonos. Para eso, considera los 10 primeros polígonos regulares y haz varias copias de cada uno de ellos. Mediante experimentación directa los estudiantes deben determinar cuáles pueden y cuáles no pueden teselar el plano. A continuación deben justificar matemáticamente sus hallazgos.
•
En el desarrollo de la Parte 2, Generando mosaicos, hay que considerar que el procedimiento de la parte anterior puede producir conclusiones equivocadas si no se hacen controles de la suma de las medidas de los ángulos, para verificar si es o no 360º.
•
En la Parte 3, Elaborando un mosaico al modo de Escher, la técnica explicada puede ser analizada en profundidad descubriendo así nuevos y diferentes tipos de cortes que se pueden hacer al polígono original, para lograr nuevas figuras que permitan construir teselados, de acuerdo con los movimientos a aplicar. También se pueden analizar teselados ya hechos, encontrados en el entorno, para descubrir los polígonos que pueden considerarse como iniciales e indicar las transformaciones necesarias para realizar el mosaico o analizar algunos de los teselados del artista holandés Maurits Escher (los puedes encontrar en la web) indicando en cada caso la figura geométrica inicial y las transformaciones necesarias para realizar el diseño. ¿La respuesta siempre será única?
Es importante destacar que las tres propuestas de esta actividad se apoyan en el reconocido modelo de Van Hiele (Ver Lectura 3 en la página 151). Este modelo establece que la comprensión de la geometría pasa por 5 formas de ver los conceptos geométricos que se denominan niveles de razonamiento. El progreso en la comprensión de los conceptos geométricos siempre se produce desde el primer nivel y, de manera ordenada, a través de los siguientes. No es posible alterar el orden de adquisición de los niveles ya que cada uno de ellos lleva asociado un lenguaje y el paso de un nivel al siguiente se produce en forma continua y pausada. Así, el trabajo parte de la manipulación de material concreto y avanza hasta el ordenamiento de propiedades que podrán ser captadas por los mismos alumnos. De esta manera, se avanzará desde el primer nivel de razonamiento planteado por el modelo de Van Hiele (reconocimiento) hasta el tercero (clasificación).
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El ejercicio de visualización, representación y comparación de figuras geométricas en diferentes posiciones permite el desarrollo del sentido espacial que parece ser necesario para interpretar, comprender y apreciar la geometría. Programas como el Paintbrush o el Neopaint son algunos de los software posibles para llevar a cabo el trabajo, ya que son conocidos por los estudiantes (la dificultad no se debe centrar en el uso de la computadora ya que debe constituir una herramienta eficaz); pero requerirán para este proyecto analizarlos con mayor profundidad y saber resolver algunas nuevas situaciones que se pueden presentar. Durante el desarrollo de este proyecto será importante hacer hincapié en no quedarse únicamente al nivel gráfico y estético en este tema, pues ofrece posibilidades para trabajar, a partir de ideas sencillas, el método deductivo en geometría. En la siguiente dirección se encuentra un programa que permite construir instantáneamente rosetas, frisos o mosaicos: http://www.geom.uiuc.edu/java/Kali/program.html En la siguiente dirección se puede descargar una versión de demostración de un programa que hace teselaciones: http://centros5.pntic.mec.es/sierrami/dematesna/demates12/opciones/Mundo%20Poliedros/Poliedros %20y%20Teselaciones/Tesselmania%20Demo.htm Otra página relacionada con el tema: http://www.xtec.es/ceip-pompeufabra-lloret/ciencia/ Esta actividad puede ser desarrollada individualmente o en grupo. Pero, si es realizada en grupo, el nivel de desarrollo y la riqueza de la discusión podrán ser muy superiores. Los profesores formadores: -
Deben desarrollar la actividad antes de trabajarla con los estudiantes, detectando los posibles problemas que puedan surgir en el aula.
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Parte 1: Introduciéndonos al tema. Partiendo del material que encuentres en el sobre: -
Clasifica los diferentes polígonos que hay en el sobre. Toma uno de ellos, señala los lados, las diagonales, los vértices y los ángulos internos. ¿Qué nombre reciben cada una de ellos según el número de lados? Mide cada uno de los lados y ángulos interiores de las diferentes figuras. ¿A qué conclusión llegas? Fundamenta la respuesta. A partir de la conclusión del ítem anterior, ¿qué otros elementos puedes distinguir en este tipo de polígonos? Toma fichas del mismo tipo y embaldosa una región de un plano, de manera que no queden huecos, que 2 de ellas no se superpongan y que a los vértices sólo concurran vértices. ¿Fue posible? ¿Por qué? Generaliza la solución para los otros polígonos regulares.
Parte 2: Generando mosaicos. Realiza cubrimientos del plano empleando 2 polígonos regulares, respetando las condiciones anteriores; esto es, que no queden huecos, que 2 de ellos no se superpongan y que a los vértices sólo concurran vértices. ¿Cuáles polígonos empleaste? Generaliza tu respuesta, analizando las posibles combinaciones de figuras regulares que permitan construir un teselado. Encuentra polígonos no regulares que permitan embaldosar un plano. Parte 3: Elaborando un mosaico al modo de Escher.
Se pueden lograr diseños originales partiendo de un polígono, en el ejemplo, de un rectángulo y trabajando en éste como muestra el siguiente diagrama: Investiga ésta y otras maneras de trabajar a partir de un polígono inicial. Prepara la figura que deseas trabajar partiendo de un rectángulo de 3u x 5u: -
Añade y quita partes de ese rectángulo, manteniendo siempre la misma área. De esta forma el rectángulo inicial fue transformado en otra figura, que tiene la misma área del rectángulo inicial.
-
Haz una red rectangular para componer la figura en todos los rectángulos de la red.
Crea nuevos diseños para agregar a los realizados anteriormente.
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Actividad 16: Actividades con el tangram.
Contenidos: Formas geométricas, ángulos, polígonos, áreas.
Capacidades: • • • • •
Explora y visualiza las formas geométricas. Observa ángulos en las formas geométricas. Entiende y utiliza los conceptos matemáticos. Sigue y valora cadenas de argumentos matemáticos. Crea y expresa argumentos matemáticos.
Notas matemáticas: El tangram permite exploraciones de tipo matemático en los siguientes dominios: - Reconocimiento de formas geométricas. - Concepto de fracción y de algunas operaciones con ellas. - Concepto de medida. - Aplicación del teorema de Pitágoras. - Simetrías, rotaciones. - Áreas. - Aumentos y reducciones de formas, proporcionalidad, homotecia y perspectiva.
Material necesario: Los estudiantes van a necesitar: Copias de la actividad. cartón, regla, papel, lápiz y tijeras.
Organización y preparación del profesor formador:
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El tangram es un recurso didáctico bastante rico. Con él podemos proponer a los estudiantes actividades envolventes y desafiantes. Es importante que el profesor los estimule en la búsqueda de soluciones. Una de las finalidades de esta actividad es la de articular las diversas formas de representación matemática de una situación. Propuestas de esta naturaleza pueden ayudar a profesores y estudiantes a encarar la visualización como un proceso de exploración de algunas ideas matemáticas importantes. - Otra actividad interesante que se puede proponer es la siguiente: Forma un cuadrado usando: -
Solamente 2 piezas.
-
Solamente 3 piezas.
-
Solamente 4 piezas.
-
Solamente 5 piezas.
-
Solamente 6 piezas.
-
Solamente 7 piezas.
En cada caso examina las posibles soluciones diferentes. Hay 2 soluciones para el cuadrado con 2 piezas. Hay 1 solución para el cuadrado con 3 piezas. Hay 3 soluciones para el cuadrado con 4 piezas. Hay 1 solución para el cuadrado con 5 piezas. No es posible construir un cuadrado con 6 piezas. Hay 1 solución para el cuadrado con 7 piezas. Los profesores formadores: -
Deben desarrollar la actividad antes de trabajarla con sus estudiantes, detectando los posibles problemas que puedan surgir en el aula.
En una actividad de investigación en el aula de matemática, los estudiantes exploran una situación abierta, procuran regularidades, formulan problemas y hacen conjeturas, argumentan y comunican oralmente o por escrito sus conclusiones.
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Parte 1: Explorando semejanzas y diferencias.
El tangram es un rompecabezas de 7 piezas que tienen formas geométricas. Uniéndolas se puede formar un cuadrado, un triángulo, un rectángulo, un trapecio, un paralelogramo y tantas figuras como puedas imaginar. El diagrama muestra cómo un cuadrado puede ser cortado en 7 piezas con formas geométricas. Construye tu tangram siguiendo las siguientes indicaciones: -
o
Traza en un trozo de cartón un cuadrado de 12 cm de lado, por ejemplo, y marca sus puntos medios; es decir, los puntos que están a la mitad de cada lado. Estudia la figura de arriba y divide el cuadrado. Ahora vamos a jugar:
- Construye las siguientes figuras, usando siempre las 7 piezas, sin sobreponerlas:
Observación: Para formar una determinada figura es necesario concentración, habilidad y sensibilidad. Es necesario conocer bien las 7 formas geométricas que componen el rompecabezas y percibir ciertas relaciones entre estas formas y la figura que se desea formar.
- Construye con las 7 piezas las siguientes figuras: •
Un cuadrado.
•
Un rectángulo que no sea cuadrado.
•
Un paralelogramo que no sea rectángulo.
•
Un trapecio.
•
Un triángulo rectángulo.
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Parte 2: Estableciendo relaciones.
Comparando las piezas del tangram es posible establecer relaciones y hacer construcciones. Responde las siguientes preguntas:
-
¿Cómo podemos obtener el cuadrado, o el paralelogramo y el triángulo medio a partir de los triángulos pequeños?
-
¿De cuántas formas diferentes podemos obtener, con las piezas del tangram, el triángulo grande?
-
¿De cuántas formas diferentes podemos obtener un triangulo equivalente a 2 triángulos grandes?
Parte 3: Construyendo cuadrados.
Con el tangram podemos construir, de forma diferente, 8 cuadrados.
-
Descúbrelos anotando cada modo de construcción.
-
¿Cuántos cuadrados de diferentes medidas es posible construir?
-
¿Qué relación existe entre el área de estos cuadrados?
-
¿Tomando como unidad de medida la pieza cuadrada, es posible construir un cuadrado con área igual a 9? ¿Por qué?
Parte 4: Construyendo triángulos.
El número de triángulos que es posible construir es bastante superior al de los cuadrados. -
¿Cuántos triángulos de diferente área es posible construir?
-
¿Cuál es el área de cada uno de ellos? (Puedes tomar como unidad de medida la pieza triangular pequeña.)
-
¿Qué relación existe entre los perímetros de esos triángulos?
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Parte 5: Explorando los rectángulos.
-
¿Cuántos rectángulos diferentes consigues construir con las piezas?
-
Descubre las construcciones posibles y diferentes de un rectángulo con área equivalente a 6 piezas cuadradas.
-
Procura construir 2 rectángulos con área equivalente a 4 piezas cuadradas de diferente perímetro.
Parte 6: Haciendo transformaciones.
-
Con las 5 piezas menores construye un cuadrado, transformado en un rectángulo y después en un triángulo. ¿Qué relación existe entre los perímetros de esas figuras?
-
Construye ahora el cuadrado inicial con todas las piezas del tangram. Toma solamente 2 piezas y rodándolas sobre un vértice transforma el cuadrado en un triángulo.
-
Toma ahora apenas una pieza y rodándola sobre un vértice procura obtener un rectángulo.
-
¿Qué puedes decir sobre las áreas y los perímetros de estas figuras?
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Actividad 17: Actividades con palitos de fósforo. Contenidos: Formas geométricas, visualización, secuencias numéricas, fórmulas para contar colecciones, generalización, función.
Capacidades: • • • • •
Comprende y utiliza los conceptos matemáticos. Utiliza el lenguaje simbólico y sus operaciones. Identifica regularidades y relaciones. Sigue y valora cadenas de argumentos matemáticos. Elabora y expresa argumentos matemáticos.
Notas matemáticas: - Palitos de fósforo y modelos matemáticos. Para representar situaciones de la realidad, de forma matemática, se pueden elaborar los modelos matemáticos. Con esta actividad se trata de hallar modelos matemáticos para el número total de palitos de fósforo que harían falta para construir diferentes cadenas. Partiendo de la exploración de patrones numéricos y de variación de magnitudes, elaborando y analizando tablas y gráficos se llega a generalizaciones. De este modo estamos utilizando funciones reales para modelar situaciones concretas. Nota: Sucesión: Conjunto de números que cumple con una ley de formación.
Material necesario: Los estudiantes van a necesitar: Copias de la actividad. Palitos de fósforo.
Organización y preparación del profesor: Una de las finalidades de esta actividad es articular diversas formas de representación matemática de una situación. Propuestas de esta naturaleza pueden ayudar a profesores formadores y estudiantes a encarar la visualización como un proceso de exploración de algunas ideas matemáticas importantes. ¿Hay diferentes procedimientos para contar los palitos de fósforo necesarios para construir cada figura formada, las cadenas de cuadrados, triángulos, …? ¿Cómo se puede contar los palitos de fósforo sin contar uno por uno?
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Se sugiere desarrollar esta actividad antes de iniciar el estudio de la función cuadrática. Después del estudio de la función cuadrática se puede dar oportunidad a los estudiantes para que mejoraren las respuestas de la última parte de la ficha. Para el desarrollo de esta actividad es más conveniente que los estudiantes trabajen en grupo y organicen su trabajo para explorar los problemas procurando hacer que aparezcan diferentes modos de representación en los grupos de trabajo. Se puede ampliar esta actividad haciendo investigaciones sobre perímetros y áreas de cadenas de polígonos; como por ejemplo de triángulos, cuadrados, pentágonos y hexágonos, todos con lados de 1 unidad. Observa algunos ejemplos: a)
d)
c)
b)
e)
Además, es muy útil utilizar cubos que puedan ser apilados para formar cadenas. Esto puede permitir a los estudiantes investigar patrones de áreas y volúmenes. Nota que las distintas partes de esta actividad tienen un esquema general de actuación que podemos aplicar en las sesiones de aprendizaje, diariamente: -
Observar. Describir la observación. Prever. Actuar, resolver. Analizar los resultados, comparar con lo previsto. Generalizar, demostrar, si es posible.
Los profesores formadores: Deben desarrollar la actividad antes de trabajarla con los estudiantes, detectando los posibles problemas que puedan surgir en el aula. Deben animarlos a que ellos mismos decidan si la respuesta es coherente o no, a que realicen cálculos mentales siempre que sea posible, a que busquen soluciones novedosas a la situación problemática. En una actividad de investigación, en el aula de matemática, los estudiantes exploran una situación abierta, procuran regularidades, formulan problemas y hacen conjeturas, argumentan y comunican oralmente o por escrito sus conclusiones.
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Parte 1: Cadenas de cuadrados. Imagina una secuencia de cadenas de cuadrados formados con palitos de fósforo, como en el siguiente dibujo:
1ª figura
2ª figura
3ª figura
4ª figura
Contando los palitos en la figura vemos que para construir una cadena de 4 cuadrados necesitamos 13 palitos. ¿Cuántos palitos son necesarios para construir una cadena con 100 cuadrados? Determina una fórmula para el cálculo de la cantidad de palitos de fósforo para construir una cadena con n cuadrados. •
Sugerencias para la resolución:
- En primer lugar hay que leer y comprender el problema: tenemos cadenas de cuadrados construidos con palitos de fósforo y queremos encontrar una forma de calcular el número de palitos que son necesarios para construirlas. - A continuación elaboremos un plan: Podemos resolver primero un problema más sencillo calculando cuántos palitos se necesitan para construir la figura que ocuparía el octavo lugar, es decir, con 8 cuadrados. Para eso podemos hacer un dibujo y contar los palitos.
Para construir esa cadena de cuadrados fueron necesarios 25 palitos. Cuenta. Dibujar una cadena con cuadrados para contar los palitos es una solución muy trabajosa. Sería mejor buscar alguna regularidad en la sucesión de los números que dan las cantidades de palitos necesarios en cada caso. Para eso es muy útil construir una tabla que relacione el número de cuadrados con el número de palitos necesarios para la formación de las cadenas: Nº de cuadrados Nº de palitos
1 4 +3
+
2 7 +3
3 10 +3
4 13
5 ?
6 ?
7 ?
8 25
+3
=
Observando la tabla vemos que hay cierta regularidad numérica en la cadena referente al número de palitos. Para construir una cierta cadena de cuadrados debemos agregar +3 palitos a la cadena anterior.
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Completamos la tabla con esa idea: Nº de cuadrados 1 Nº de palitos 4 +3
2 7 +3
3 10 +3
4 13 +3
5 16 +3 +3
6 19 +3
7 22
8 25
Así, encontramos una forma de calcular el número de cuadrados de una determinada cadena sin necesidad de dibujarla. Vemos que son necesarios 25 palitos para formar la cadena de 8 cuadrados. Obtuvimos una sucesión de números: 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25. Observamos que para calcular cada número de esa sucesión agregamos +3 al número anterior. Pero va ser muy trabajoso calcular, de este modo, el número de palitos para una cadena de 100 cuadrados; porque necesitaríamos calcular el número de palitos para una cadena de 99 cuadrados antes. Busquemos otro camino, miremos la cadena de cuadrados, de palitos, desde otro punto de vista:
+
Representemos con P8 el número de palitos necesarios para una cadena de 8 cuadrados + 1 P8 = 25
P8 = 3 ⋅ 8
Calculemos de esta forma el número de palitos necesarios para una cadena de 12 cuadrados = 3 ⋅ 12 + 1 P12 = 37
P12
En general, la fórmula para calcular el número de palitos necesarios para construir una cadena de n cuadrados es: Pn = 3 ⋅ n + 1 Utilizando esta fórmula calculamos el número de palitos necesarios para construir una cadena de 100 cuadrados: Pn = 3 ⋅ n + 1 P100 = 3 ⋅ 100 + 1 (sustituyendo n por 100) P100 = 301 Respuesta: Son necesarios 301 palitos para construir una cadena de 100 cuadrados. ¿Cuántos cuadrados tendría una cadena que fuera construida con 88 palitos de fósforo? ¿Podría ser que en alguna ubicación la cadena tuviera 154 palitos de fósforo? Si tengo 1.550 palitos de fósforo y construyo una cadena de esta forma lo más grande posible, ¿me sobraría alguno? Parte 2: Sucesión de triángulos.
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Considera la siguiente secuencia de cadenas de triángulos formadas por palitos de fósforo, como en el siguiente dibujo:
1ª figura
2ª figura
3ª figura
4ª figura
¿Cuántos palitos son necesarios para construir cada una de las cadenas de triángulos del dibujo? Dibuja las 3 cadenas siguientes de esta secuencia. ¿Cuántos palitos son necesarios para construir cada una de ellas? ¿Cuántos palitos tendría la décima cadena de esta secuencia? ¿Cuántos palitos tendría la na cadena de esta secuencia?
Parte 3: Triángulos cada vez más grandes. Observa la siguiente sucesión de triángulos formados por palitos de fósforo:
Copia y completa la siguiente tabla que relaciona el número de palitos de fósforo del lado del triángulo con el número total de palitos:
Nº de palitos por lado
1
2
3
4
5
?
Nº total de palitos
3
6
?
?
?
33
14
15
16
?
n
69
?
¿Cuántos palitos son necesarios para construir un triángulo con 40 palitos de lado? Determina la ley general que relaciona el número total de palitos de fósforo (Tn) necesarios para formar un triángulo de orden n.
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Parte 4: Cuadrados con palitos de fósforo. Observa la siguiente secuencia de cuadrados cuyos lados son formados por palitos de fósforo:
Nota que cuando hablamos del cuadrado 1x1 estamos considerando un cuadrado en que cada lado es un palito de fósforo. Cuando hablamos de los cuadrados 2x2 o 3x3, estamos pensando en los cuadrados con 2 y con 3 palitos de fósforo de lado, pero, subdivididos en cuadrados del tipo 1x1.
¿Cuántos palitos de fósforo son necesarios para formar el cuadrado 1x1?
¿Y de 2 x 2? ¿Y de 3 x 3?
¿Y de 0 x 0? Apunta en una tabla los resultados de tus observaciones. Nº de cuadrados 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Nº de palitos 0 4 12 24 ? ? ? ? ? ?
¿Qué se puede decir sobre la diferencia entre dos términos consecutivos de la secuencia de la segunda línea de la tabla?
¿Cuántos palitos de fósforo son necesarios para construir un cuadrado 4 x 4? Coloca este dato en la tabla.
- ¿Cuántas son las columnas? - ¿Cuántos palitos horizontales hay en cada columna? - ¿Cuántos palitos horizontales hay en total? - ¿Cuántos palitos hay en total? Considera ahora un cuadrado n x n y el cuadrado (n+1) x (n+1). ¿Cuántos nuevos palitos de fósforo se necesita para pasar de uno para el otro?
Determina la fórmula que relaciona el número total de palitos de fósforo (Tn) necesarios para formar un cuadrado n x n. Un modelo matemático puede ampliarse mas allá de la situación concreta. Imagina cuadrados del tipo (1) x (-1) y (-2) x (-2). Utiliza la fórmula que encontraste y calcula cuántos palitos de fósforo son necesarios para pasar de (-2) x (-2) para (-1) x (-1) y de (-1) x (-1) para 0 x 0 ¿Cuál es el número total de palitos de fósforo en cada caso? Determina una función que permita saber el número de palitos de fósforo necesarios para construir un cuadrado en el que el lado es un número cualquiera de palitos de fósforo.
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Para responder a esta pregunta: - Representa gráficamente los pares de valores registrados. - Analiza el gráfico y compáralo con el de la función f(x) = x2. - ¿Esta función es un buen modelo para resolver el problema propuesto? - Si la función que determinaste no predice el número de palitos, ajústala hasta conseguirlo.
Nº DE FÓSFOROS EN CADA LADO DEL CUADRADO
Nº TOTAL DE FÓSFOROS
0 1 2 3 4 5 6
Para terminar la actividad organiza y presenta, por escrito, lo mejor posible tus razonamientos. Dibuja los gráficos indicando los valores (número de palitos de fósforo) que cada una de las funciones te permite obtener, así como también las razones que te llevan a optar por una función y no por otra.
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