H O GYA N Á L L Í T H AT U N K E L Ő … 530. Szerkesszük meg azt a paralelogrammát, amelynek ismerjük két átlóját és az átlók által közbezárt szögét! 531. Szerkesszünk paralelogrammát! A hegyesszöge 52°, egyik oldala 10 cm, ehhez az oldalhoz tartozó magassága 2 cm.
ı Feladatgyu˝jtemény 777–781. ııı
5. A kör és érintőinek szerkesztése – Thalész-tétel alkalmazása geo : gebra
?
A kalapácsvető megforgatja a kalapácsot. Szerkesszük meg azt az egyenest, amely mentén elrepül a kalapács az elengedés után! Ehhez milyen adatokra van szükségünk?
A kalapácsvető közel körpályán forgatja meg a kalapácsot. A körpályán mozgó testnek létezik egy érintő irányba mutató, ún. kerületi sebessége. A kalapács az elengedés pillanatának sebességével és sebességirányába repül el.
O
Szerkesszünk érintőt a kör egy pontjába! A kör sugara 5 cm.
A szerkesztés menete: 1. 5 cm sugarú kör szerkesztése. 2. Kijelölünk a körön egy pontot (E). 3. Összekötjük a kör középpontját és az E pontot egy egyenessel. 4. Merőlegest állítunk erre az egyenesre az E pontban (e). 5. Az e egyenes a kör E pontbeli érintője.
O
Szerkesszünk érintőt az r sugarú körhöz a kör egy külső P pontjából!
A szerkesztés menete: 1. Szerkesszük meg a kört, és jelöljük ki a P pontot!
316
07 Geometria II.indd 316
2009.09.14. 11:01:18
H O GYA N Á L L Í T H AT U N K E L Ő … 2. Kössük össze a kör O középpontját a P ponttal, és felezzük meg a kapott szakaszt (F felezőpont)! 3. Az F középponttal, OF sugárral szerkesszünk kört (Thalész-kör)! A két kör metszéspontjai E1 és E2. 4. Kössük össze E1-t és E2-t a P ponttal! Ezzel megkaptuk az e1 és az e2 érintőt.
Igazolás: Mivel a kör érintője merőleges az érintési pontba húzott sugárra, és az érintő áthalad a P ponton, ezért a PE1O∆ és a PE2O∆ derékszögű háromszögek. A Thalész-tétel értelmében az OP szakasz mint átmérő fölé emelt kör bármely, a szakasz végpontjaitól különböző, pontját összekötjük a szakasz végpontjaival, derékszögű háromszöget kapunk.
A kör egy külső pontja és az érintési pont közötti szakaszt érintőszakasznak nevezzük. Tétel: Egy körhöz egy külső pontból húzott érintőszakaszok egyenlők.
?
Vizsgáljuk meg az előző szerkesztés során kapott derékszögű háromszögeket! Mit lehet az oldalaikról és szögeikről megállapítani?
1999. augusztus 11-én teljes napfogyatkozást figyelhettünk meg hazánkban. Hogyan határozható meg, hogy a Föld melyik részén és mekkora területen lesz látható egy napfogyatkozás?
?
A napfogyatkozás az a jelenség, amikor a Hold a Nap és a megfigyelő között helyezkedik el, vagyis a Hold eltakarja a Napot. A napfogyatkozás lehet részleges vagy teljes attól függően, hogy a Hold Földre vetett teljes árnyékában vagy félárnyékában állva szemléljük a jelenséget.
317
07 Geometria II.indd 317
2009.09.14. 11:01:21
H O GYA N Á L L Í T H AT U N K E L Ő …
O
Tegyük föl, hogy tudjuk, mikor és hol helyezkedik el a Hold a Nap és a Föld között. Szerkesszük meg a teljes napfogyatkozás helyét!
Matematikailag a következő feladat vár ránk: szerkesszük meg két kör közös külső érintőjét! A két kör a Nap és a Hold. (Természetesen a valóságban két gömb közös külső érintőjéről van szó.) A szerkesztést eredeti méreteiben és arányaiban nehéz elvégezni, ezért kicsinyítünk. rN = 35 mm, középpont O N; rH = 10 mm, középpont O H; d(O H, ON) = 0,9 dm rF = 15 mm, középpont OF; d(OH; OF) = 3 cm A szerkesztés menete: 1. A körök megszerkesztése a megadott középponttávolságokkal. 2. ON középponttal r = rN – rH sugarú kör szerkesztése.
3. Érintők szerkesztése az ON középpontú, r sugarú körhöz az OH külső pontból. Ezek e1 és e2. Érintési pontok: F1 és F2. 4. Húzzunk egyenest ON és az érintési pontokon keresztül! Az egyenesek kimetszik a Nap köréből az érintési pontokat: E1 és E2. 5. Az e1 és e2 egyenesekkel párhuzamos egyenesek szerkesztése F1 és F2 pontokon keresztül. Ezek a két kör közös külső érintői. 6. Az érintő szakaszok egyenlők. Igazoljuk ezt a tételt!
318
07 Geometria II.indd 318
2009.09.14. 11:01:23
H O GYA N Á L L Í T H AT U N K E L Ő … A két körhöz szerkesztett, a köröket nem szétválasztó érintő két érintési pontja közötti szakasz a külső érintőszakasz. Két körhöz érintőt úgy is szerkeszthetünk, ha azok „belülről” érintik őket. Napfogyatkozáskor a Nap és a Hold között belső érintőként haladó fénysugarak határozzák meg a Földön a részleges napfogyatkozás határvonalát.
Szerkesszük meg két kör belső érintőit! (Ezúttal a nagyobb sugarú kört nagyítjuk meg!)
?
Két kör belső érintői a két kört szétválasztják.
319
07 Geometria II.indd 319
2009.09.14. 11:01:27