AZ ALGEBRA VILÁGA 187. Oldjuk meg a következő egyenleteket! a) |x| = 4 b) |x + 1| = 6 c) |2x – 2| = –8
ı Feladatgyu˝jtemény 230–235. ııı
d) |5x + 10| = 5x – 3 e) |x| + |x – 1| = 3 f) |x – 2| – |x – 2| = –3x
13. Egyenlőtlenségek geo : gebra A Hangtan mobiltelefon-szolgáltatónál többféle díjcsomag létezik. Van előfizetéses szolgáltatás, amikor a havi telefonszámla mellett egy előre megállapított előfizetési összeget kell kifizetnünk a szolgáltatásokért minden hónapban. Ezt a havidíjat akkor is kell fizetni, ha a hónap folyamán egyszer sem használtuk a telefonunkat. Egy másik lehetőség, ha Rakosgató kártyát veszünk, ami a szokásos telefonkártyához hasonló elven használható. Van rajta valamennyi összeg, amit letelefonálhatunk. Havidíj itt nincs.
O
Hangtan mobiltelefon-szolgáltató árlistája Havi előfize tési díj
Éjszaka hálózaton belül
Hahó díjcsomag
2000 Ft (nettó)
10 Ft/perc (nettó)
Rakosgató díjcsomag
–
25 Ft/perc (bruttó)
Hasonlítsuk össze, hogy a Hahó díjcsomagot vagy a Rakosgató díjcsomagot érdemesebb választanunk, ha beszélgetéseinket csak az éjszakai időszakra korlátozzuk!
Mindig azt a csomagot „érdemesebb” választanunk, amely legjobban illeszkedik telefonálási szokásainkhoz. Van, aki átlagosan kevesebbet, és van, aki rengeteget használja telefonját.
Mit jelent a nettó és bruttó szavak? Amennyiben az ár nettó ár, akkor nem tartalmazza az áfát (általános forgalmi adót). Bruttó árról akkor beszélünk, ha már az általános forgalmi adót hozzáadták a nettó árhoz. Jelen esetben az áfa értéke 25%.
Tegyük fel, hogy havonta x percet beszélünk. A nettó 2000 Ft havidíj bruttó 2500 Ft kiadást jelent egy hónapban. A nettó 10 Ft/perc díj pedig bruttó 12,5 Ft/percet jelent. Így a kiadásunk egy hónapban: 2500 + 12,5x ha a havidíjas előfizetést választjuk, és 25x a Rakosgató kártya esetén.
Mennyi beszélgetési idő esetén mindegy, hogy melyik előfizetést választjuk, azaz mikor egyenlő ez a két érték? 2500 + 12,5x = 25x x = 200 Tehát 200 perc beszélgetés mindkét díjcsomag esetében ugyanannyiba kerül. A díj 2500 + 12,5 · 200 = 5000 Ft
124
03 Számtan-algebra II.indd 124
2009.09.14. 10:41:09
AZ ALGEBRA VILÁGA Készítsünk értéktáblázatot a különböző lebeszélt időkhöz tartozó költségekről mindkét díjcsomaghoz! x
150
198
199
200
201
202
250
300
400
2500 + 12,5x
4375
4975
4987,5
5000
5012,5
5025
5625
6250
7500
25x
3750
4950
4975
5000
5025
5050
6250
7500
10 000
Hogyan változnak a költségek akkor, ha 200 percnél kevesebbet telefonálunk (azaz x < 200), illetve ha 200 percnél többet beszélünk (azaz 200 < x)? Ha x < 200, akkor olcsóbb a Rakosgató csomaggal telefonálni. Pontosan 200 perc esetén mindegy, hogy mit rendelünk meg. Ha 200 percnél több a beszélgetési idő, akkor éppen a Rakosgatóval fizetünk többet, tehát a 25x kifejezés értéke nagyobb. 2500 + 12,5x > 25x, ha x < 200; 2500 + 12,5x < 25x, ha x > 200; 2500 + 12,5x = 25x, ha x = 200.
O
Az előző problémát grafikus módszerrel is megoldhatjuk!
Ábrázoljuk a két kifejezést egy közös koordináta-rendszerben! A vízszintes tengelyen az időt, a függőleges tengelyen a lebeszélt percek díját tüntessük föl forintban! Mivel az idő és a pénz között mindkét esetben lineáris összefüggés áll fent, az idő és a pénz is csak pozitív lehet, ezért a bejelölendő pontok egy-egy félegyenesen helyezkednek el. A Hahó díjcsomag egyenese 2500 Ft-os értékről indul – az előfizetési díj miatt. A Rakosgató díjcsomag egyenese, mivel nincs havi előfizetési díj, a koordinátarendszer origójából indul 0 Ft-ról. A grafikonokról leolvasható a megoldás: ha 200 perc a beszélgetési idő, akkor a két kifejezés értéke egyenlő – itt metszi egymást a két egyenes; ha 200 percnél több a lebeszélt idő, akkor a havidíjas előfizetés egyenesénél magasabban halad a Rakosgató előfizetés egyenese, tehát itt már a Rakosgató a drágább; ha 200 percnél kisebb időkre nézzük meg a grafikonokat, akkor a havidíjas előfizetés grafikonja halad magasabban, így ez a drágább.
125
03 Számtan-algebra II.indd 125
2009.09.14. 10:41:10
AZ ALGEBRA VILÁGA
������������������������������������������������������������������������� Havonta legalább hány percet kell telefonálnunk, hogy megérje nekünk előfizetni az Távbeszélő 2. díjcsomagra, ha csak a hálózaton kívüli hívásokat tekintjük?
O
Számítsuk ki a bruttó árakat 25% áfa mellett! 2500 Ft + áfa = 3125 Ft, 68 Ft + áfa = 85 Ft, 3500 Ft + áfa = 4375 Ft, 56 Ft + áfa = 70 Ft.
Havi előfizetés Hálózaton kívül díja (nettó) (nettó) Távbeszélő 1.
2500 Ft
68 Ft
Távbeszélő 2.
3500 Ft
56 Ft
Jelölje újból x az egy hónapban lebeszélgetett perceket. Az alábbi egyenlőtlenséget kell megoldanunk: 3125 + 85x > 4375 + 70x / – 3125 – 70x Ha mindkét oldalból elveszünk 3125-öt, és ha mindkét oldalból elhagyunk 70x-et, a két oldal viszonya nem változik meg. 15x > 1250 / : 15 Mindkét oldal elosztható 15-tel – ez sem befolyásolja a két oldal viszonyát:
Ezzel a keresett halmaz: minden olyan x szám jó, amelyik hogy ha egy hónapban 83 és
-nál nagyobb. Ez annyit jelent,
percnél többet beszélünk, akkor már megéri a drágább elő-
fizetést választani az alacsonyabb percdíjjal.
Az egyenlőtlenség megoldása annyit jelent, hogy megadjuk a változó vagy változók azon halmazát, amelyekre az egyenlőtlenség teljesül. Az egyenlőtlenségek megoldása előtt meg kell adni azt a halmazt, amin az egyenlőtlenséget meg akarjuk oldani. Ezt a halmazt az egyenlőtlenség alaphalmazának nevezzük. Az előző feladatokban hallgatólagosan adott volt az alaphalmaz, hiszen a percek számának 0 és a hónap napszámától függő éjszakai percszám között kell lenni. Foglaljuk össze a feladatok tapasztalatait! Egy egyenlőtlenséget megoldhatunk: a) grafikus módszerrel; b) algebrai módszerrel (a mérlegelvhez hasonló módszerrel). A megoldás szokásos lépései: Az egyenlőtlenség mindkét oldalához ugyan- x – 3 > 5 azt a számot hozzáadhatjuk vagy levonhat- x > 8 2500 Ft juk, nem változik meg a két oldal közötti viszony.
/+3 2500 Ft
126
03 Számtan-algebra II.indd 126
2009.09.14. 10:41:12
AZ ALGEBRA VILÁGA Az egyenlőtlenség mindkét oldalához hozzáadhatjuk vagy levonhatjuk ugyanazt a változót tartalmazó kifejezést, ha ezzel nem változtatjuk meg az egyenlőtlenség alaphal2500 Ft mazát.
x+
<2+
/–
x<2 Az x < 2 egyenlőtlenséget kielégíti az x = 0 Ft egyenlőtlenség érték is, de akkor 2500 az eredeti nem értelmezhető. Ezért ennek az egyenlőtlenségnek a helyes megoldása: x < 2, de x ≠ 0
Pozitív számmal megszorozhatjuk vagy eloszt- 2x < 6 2500 Ft hatjuk az egyenlőtlenség mindkét oldalát. x<3
/:2
2500 Ft
Negatív számmal való szorzásnál vagy osztás- –1245 > –15x nál a relációjel irányt vált. Az egyenlőtlenség rendezzük át 2500 Ft megoldáshalmaza nem változik meg. 15x > 1245 / : 15 x > 83
–1245 > –15x / ·(–1) 1245 < 15x / :15 83 < x
Ha változót tartalmazó kifejezéssel szeretnénk Lásd a következő kidolgozott feladatot! szorozni vagy osztani, akkor a kifejezés elője2500 Ft 2500 Ft létől függően megváltozhat az egyenlőtlenség iránya.
Adjuk meg azon x-ek halmazát, amelyekre igaz, hogy
O
Ha egy egyenlőtlenségnek nincs megadva egy alaphalmaza, akkor mindig a valós számok lehető legbővebb részhalmazán kell megoldanunk, ahol az egyenlőtlenség még értelmezhető. Az egyenlőtlenség alaphalmaza a 2-től különböző valós számok halmaza (x = 2-re a tört nevezője 0 lenne).
Itt már lehet gond, hiszen x – 2 a benne lévő változótól függően pozitív és negatív előjelű is lehet. Válasszuk szét ezt a két esetet – így az alaphalmazt is szétválasztjuk. Ha x – 2 > 0, akkor x > 2. 1 > –7(x – 2) 1 > –7x + 14 /+ 7x – 1 7x > 13 /:7
Ha x – 2 < 0, akkor x < 2. Ekkor negatív értékű kifejezéssel szorzunk, a relációjel megfordul. 1 < –7(x – 2) 1 < –7x + 14 / + 7x – 1 7x < 13 /:7
Mivel x > 2 >
, ezért: x > 2
Összefoglalva a megoldásokat: x <
x < 2, de
< 2, ezért itt a megoldás: x <
vagy 2 < x.
127
03 Számtan-algebra II.indd 127
2009.09.14. 10:41:17
AZ ALGEBRA VILÁGA ııı
FEL ADATOK:
188. Hasonlítsuk össze a Hangtan Picurfon I szolgáltatását a Picurfon III szolgáltatással a hálózaton kívüli, csúcsidőben történő telefonálások szempontjából. Az Picurfon I havi nettó előfizetési díja 2500 Ft, a Picurfon III-é pedig nettó 5500 Ft. Az első esetben nettó 68 Ft-ért, a másodikban viszont nettó 45 Ft-ért beszélhetünk egy percet. Ha a havi beszélgetéseinket csak hálózaton kívülre és csúcsidőn belülre korlátozzuk, akkor mennyi beszélgetésig éri meg az Picurfon I szolgáltatást megrendelni? 189. Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenséget algebrai és grafikus módszerrel is! a) 2x + 1 –x + 4 b) –2x – 5 > 2x + 3 190. a) Egy őszibarackbefőtt címkéjén ez áll: töltőtömeg 2800 g ± 5%. Mit jelent ez? b) Egy konzerv előírt töltőtömege 450 g. Ellenőrzéskor a töltőtömeg (m) akkor megfelelő, ha teljesül a következő: |m – 480| 15,2. Értelmezzük a kifejezést! Ábrázoljuk a megengedett tömegeket! Adjuk meg a megoldás intervallumot! 191. Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenséget grafikusan az egész számok halmazán: |x| – 1 < 2x! 192. Találjunk ki olyan szituációkat a mindennapi életből, amelyek megoldásához szükségesek az egyenlőtlenségek!
ı Feladatgyu˝jtemény 236–245. ııı
14. Elsőfokú egyenletrendszerek geo : gebra
Egy osztály megnyert egy matematika versenyt, és néhányan tanárukkal elmentek ünnepelni egy teázóba. A teázóban literes kancsóval lehetett különféle teákat rendelni. Hármat rendeltek: kettőt a szőlős teából, egyet pedig a vérnarancsosból. Ezekért összesen 1080 forintot fizettek. Mivel jól érezték magukat és a tea is elfogyott, újból rendeltek: ezúttal a szőlősből csak egyet, a vérnarancsosból viszont négyet. Ezekért 1940 forintot fizettek. A teázóból távozva fölmerült a kérdés, hogy melyik tea mennyibe kerülhetett. Adjuk meg!
O
Jelöljük a szőlős tea árát x-szel, a vérnarancsosét pedig y-nal. Mivel először az elsőből 2-t, a másodikból 1-et rendeltek, és fizettek 1080 Ft-ot, ezért ez így írható le: 2x + y = 1080 Ez egy kétismeretlenes egyenlet. Megoldását az (x; y) számpárok adják. Ezek a számok csak pozitív számok lehetnek, hiszen a teák árát jelentik. Akárhány ilyen számpár megadható! Egy szőlős és négy vérnarancsos teáért 1940 forintot fizettek a diákok. x + 4y = 1940
128
03 Számtan-algebra II.indd 128
2009.09.14. 10:41:18