Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde VMBO 2011/2012
www.lyceo.nl
Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde 1. Basisvaardigheden
2
2. Grafieken en formules
3. Algebra誰sche verbanden
4. Meetkunde
Getallen
Assenstelsel
Lineair verband
Begrippen
Maten
Grafieken
Kwadratisch verband
Figuren
Verhoudingstabel
Snijpunten
Exponentieel verband
Toepassingen
Procenten
Formules
Wortelverband
Breuken
Machtsverband
Aannames
Periodiek verband
www.lyceo.nl
Assenstelsel 2. Grafieken en formules Assenstelsel
Grafieken
Snijpunten
Formules
Coördinaten, assenstelsel en oorsprong •
Een assenstelsel heeft een x-as en een y-as.
•
Het snijpunt van de x-as en y-as heeft de oorsprong, O.
•
De plaats van een punt wordt aangegeven met twee coördinaten: (x-coördinaat, y-coördinaat)
Stapgrootte •
Als je een assenstelsel tekent moet je op beide assen getallen zetten die met gelijke hoeveelheid toenemen. Deze hoeveelheid heet de stapgrootte.
•
De stapgrootte van de x-as en y-as hoeft niet gelijk te zijn!
Zaagtand
3
•
Een zaagtand wordt gebruikt aan het begin van de x-as of y-as.
•
Met de zaagtand hoef je niet op 0 te beginnen op je as en voorkom je een ‘leegte’. www.lyceo.nl
Grafieken 2. Grafieken en formules Assenstelsel
Grafieken
Snijpunten
Formules
Vorm van de grafiek •
Rode lijn: stijgend, de waarde wordt groter.
•
Groene lijn: constante, de waarde blijft gelijk.
•
Blauwe lijn: dalend, de waarde wordt kleiner.
Grafieken aflezen Welke waarde is er gevraagd? Kijk op welke as deze waarde staat. Zoek in de grafiek het punt op. Kijk op de andere as welke waarde erbij hoort.
Voorbeeld Gevraagd de y-waarde bij x=2. De 2 staat op de x-as. Ga verticaal naar boven naar de lijn. Ga vanaf dit snijpunt rechts naar de y-as. Deze waarde is 2. Het antwoord is y = 2.
4
www.lyceo.nl
Grafieken Grafiek bij een tabel tekenen Teken een horizontale as met de gegevens van de bovenste rij van de tabel. Kies een handige
Voorbeeld tijd in seconden 0 hoogte in meters 2
2 4
4 6 8 8 13 16
stapgrootte. Neem op de horizontale as de tijd in stappen van 1. Neem op de verticale as de hoogte in stappen van 4. Zet bij de horizontale as de tijd in seconden en bij de verticale as de hoogte in meters. Geef de punten (0,2), (2,4), (4,8), (6,14) en (8,16) aan en verbind ze met elkaar.
Teken een verticale as met de gegevens van de onderste rij van de tabel. Kijk naar het laagste en hoogste getal en kies een handige stapgrootte. Schrijf bij de assen de betekenis van de getallen. Zet de punten uit de tabel in het assenstelsel en verbind deze punten.
Let op: Niet bij alle grafieken kan door de punten een Vloeiende lijn getrokken worden. Bijvoorbeeld als het om aantallen gaat. 5
hoogte
16 12 8 4 0 1
2
3
4
5
tijd www.lyceo.nl
Snijpunten 2. Grafieken en formules Assenstelsel
Grafieken
Snijpunten
Formules
Hoe bereken je een snijpunt met behulp van inklemmen? Teken het punt op de grafiek waarbij het snijpunt hoort. Lees op de horizontale as af tussen welke hele getallen de x-coördinaat ligt. Schat de waarde van de x-coördinaat op één decimaal en maak een tabel. Vul de tabel in en zoek de waarde van de x-coördinaat waarbij de uitkomst zo dicht mogelijk bij de y-coördinaat ligt. Een vergelijking oplossen op deze manier heet inklemmen.
Voorbeeld Gevraagd: het snijpunt van 3p2 + 4p = b en b = 200 Zie de grafiek hiernaast. Schatting: p ligt tussen 7 en 8. Schatting: p = 7,5. 200 – 198,8 = 1,2 p 7,3 7,4 7,5 7,6 b 189,1 193,9 198,8 203,7 203,7 – 200 = 3,7 198,8 ligt het dichtste bij 200. Dus de oplossing is p = 7,5. 6
400 350 300 250 200 150 100 50 0 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11
www.lyceo.nl
Snijpunten Hoe reken je het snijpunt uit van een horizontale lijn en machtsformule? Lees eerst uit de grafiek af hoe groot de eerste coördinaat ongeveer is. Vul de gevonden waarde in de formule in. Benader door inklemmen de juiste waarde van de eerste coördinaat. Maak daarna een tabel. Schrijf de coördinaten van het snijpunt op.
Voorbeeld Hiernaast is de machtsformule y = 0, 2 x 4 getekend en de constante formule y = 5. Bij het rechter snijpunt is x ongeveer 2,3. 0,2 x 2,34 = 5,59…, dus te hoog. Tabel: x 2,1 2,2 2,3 2,4 y … 4,68 5,59 … De coördinaten van het rechter snijpunt zijn ongeveer (2,2; 5)
7
www.lyceo.nl
Snijpunten Vergelijking oplossen
Voorbeeld
1. Zorg dat de letters aan de linkerkant komen te staan.
Los op: 9h – 17 = 5h + 3 1. 9h – 5h – 17 = 5h – 5h + 3 2. 4h – 17 = 3 4h -17 + 17 = 3 + 17 3. 4h = 20, beide kanten 4h : 4 = 20 : 4 Oplossing h = 5
2. Zorg dat de getallen aan de rechterkant komen te staan. 3. Deel door het getal wat voor de letter staat. Let op: Alles wat je aan de formule verandert moet aan 2 kanten!
Omslagpunt Een snijpunt van twee lineaire grafieken wordt ook wel het omslagpunt genoemd. •
Grafiek 1 ligt tot het omslagpunt boven grafiek 2.
•
Na het omslagpunt is grafiek 2 groter dan grafiek 1.
1 Het omslagpunt van twee lineaire formules kun je op dezelfde manier uitrekenen als hierboven.
8
2
www.lyceo.nl
Formules 2. Grafieken en formules Assenstelsel
Grafieken
Snijpunten
Formules
Rekenen met een formule Met de formule 0,10a + 2,50 = b kun je voor a een waarde invullen om b uit te rekenen. Schrijf het getal in de formule in plaats van a.
Voorbeeld Maak de berekening. Schrijf je antwoord op.
Formule anders schrijven -
k x 0,5 + 34 = t
-
t = k x 0,5 + 34
-
t = 0,5 x k + 34
0,10 a + 2,50 = b met a=12 0,10 x 12 + 2,50 = b 1,20 + 2,50 = b b = 3,70
Je kan een formule ook anders schrijven.
Vermenigvuldigingspunt Op het examen wordt een vermenigvuldigteken (x) vaak door een vermenigvuldigpunt (∙) vervangen. 9
www.lyceo.nl
Formules Formules met haakjes Het is gebruikelijk om het getal waarmee je vermenigvuldigt voor de haakjes te zetten -
Dus niet:
p = (3 + q) x 8
-
Wat beter is:
p = 8(3 + q)
Let op: bij het uitrekenen van formules met haakjes eerst de haakjes wegwerken!
Voorbeeld Formules combineren
De formules: b = 6a en k = b-7
Soms is het handig om van twee formules een te maken. Samen wordt dit: k = (6a) -7 = 6a - 7
Gelijksoortige termen
Voorbeeld 4k + 7k = m 4k en 7k zijn gelijksoortig 11k = m
10
3a + 5b = c 3a en 5b zijn niet gelijksoortig Deze formule kan niet korter!
www.lyceo.nl
Formules Grafiek bij een formule Teken een tabel bij de formule. Teken een assenstelsel met goede stapgrootte. Teken de grafiek.
Hoe kies je de juiste formule bij een tabel? Vul alle formules in voor de eerste tijdstap uit de tabel. Vul bij de overgebleven formules de tweede tijdstap in. Controleer de overgebleven formule.
t 0 1 2 3 4
Voorbeeld 1. t=0
a 3 10 17 24 31 2. t=1 A a=t+3 B a=tx3+7 C a=tx7+3
11
3. t=2 t=3 t=4
A a=0+3=3 B a=0x3+7=7 C a=0x7+3=3 A a=1x3+3=4 C a = 1 x 7 + 3 = 10 a = 2 x 7 + 3 = 17 a = 3 x 7 + 3 = 24 a = 4 x 7 + 3 = 31
Klopt Klopt niet Klopt Klopt niet Klopt Klopt Klopt Klopt
www.lyceo.nl
Tips & Tricks
•
Gebruik bij het oplossen van een opgave een stappenplan als die er is.
•
Oefen genoeg met het vinden van een snijpunt, hoe vaker je dit doet des te meer handigheid je erin krijgt. Je kan dan sneller de oplossing vinden.
12
www.lyceo.nl