Hoofdstuk 3: Algebra誰sche verbanden Wiskunde VMBO 2011/2012
www.lyceo.nl
Hoofdstuk 3: Algebra誰sche verbanden Wiskunde 1. Basisvaardigheden
2
2. Grafieken en formules
3. Algebra誰sche verbanden
4. Meetkunde
Getallen
Assenstelsel
Lineair verband
Begrippen
Maten
Grafieken
Kwadratisch verband
Figuren
Verhoudingstabel
Snijpunten
Exponentieel verband
Toepassingen
Procenten
Formules
Wortelverband
Breuken
Machtsverband
Aannames
Periodiek verband
www.lyceo.nl
Lineair verband 3. Algebraïsche verbanden
Kwadratisch
Lineair
Exponentieel
Wortel
Macht
Periodiek
Lineaire formule •
Het hellingsgetal is een vast getal dat de grafiek verandert bij een stapje naar rechts.
•
Het startgetal is het getal waar een lineaire grafiek de verticale as snijdt.
Voorbeeld Hoe kan je een lineaire functie herkennen? w=3xa+2 hellingsgetal
begingetal
De tabel van w = 3 x a + 2 a
0
1
2
3
4
5
Voorbeeld
w
2
5
8
11
14
17
Opstellen lineaire formule: Is de grafiek lineair? Bepaal hellingsgetal h. Bepaal beginwaarde b Vul de formule y = hx + b in.
+3
+3
+3
+3
+3
Constante toename van 3 (hellingsgetal!) 3
www.lyceo.nl
Lineair verband Hellingsgetal •
Bij een positief hellingsgetal krijg je een stijgende rechte lijn.
•
Bij een negatief hellingsgetal krijg je een dalende rechte lijn.
•
Bij een hellingsgetal van 0 is de grafiek een horizontale lijn.
Som en verschil
Voorbeeld We hebben twee formules a = 11w + 25 b = 14w + 17 1. 2. 3. 4.
4
Vul het tabel in. Reken de som en het verschil uit. Stel de somformule op. Stel de verschilformule op.
w
a
b
som
verschil
0
……
……
……
……
1
……
……
……
……
2
……
……
……
……
3
……
……
……
……
4
……
……
……
……
5
……
……
…..
……
www.lyceo.nl
Kwadratisch verband 3. Algebra誰sche verbanden
Kwadratisch
Lineair
Exponentieel
Wortel
Macht
Periodiek
Wat is een kwadratisch verband?
Voorbeeld
y
30
f ( x) = x 2
25
1. De formule: y = x 2
20
2. De tabel:
15
r
0
1
2
3
4
a
0
6 24 54 96
+6 +18 +30 +42
10 5 0 -10
-5
0
5
x 10
+12 +12 +12
5
www.lyceo.nl
Grafieken 3. Algebraïsche verbanden
Lineair
Kwadratisch
Exponentieel
Wortel
Macht
Periodiek
Exponentiële groei en groeifactor •
Een groei is exponentieel als deze steeds met dezelfde factor vermenigvuldigd wordt.
•
Het vaste getal waarmee vermenigvuldigt wordt is de groeifactor. – Als de groeifactor tussen de 0 en 1 ligt, is er sprake van een afname. – Als de groeifactor groter dan 1 is, is er sprake van een groei.
Verdubbelingstijd De tijd die nodig is tot dat de beginhoeveelheid verdubbeld is..
Halveringstijd De tijd die nodig is tot dat de beginhoeveelheid gehalveerd is.
6
www.lyceo.nl
Grafieken Wat is een exponentiële formule •
Bij exponentiële groei hoort een formule die er als volgt uitziet:
a = beginwaarde × groeifactor tijd •
De beginwaarde is het getal op tijdstip t = 0.
Formule bij een tabel met een exponentieel verband Hoe kan je de formule vinden? Lees uit de tabel de beginwaarde af. Reken de groeifactor uit met de tabel. Schrijf de formule op.
Voorbeeld t a
0 5
1 2 3 4 15 45 135 405
De beginwaarde is 5. t a
0 5
1 2 3 4 15 45 135 405 x3
x3
x3
x3
De groeifactor is 3 t De formule is: a = 35 × 3
7
www.lyceo.nl
Wortelverband 3. Algebraïsche verbanden
Lineair
Kwadratisch
Exponentieel
Wortel
Macht
Periodiek
Wat is een wortel? •
Formules met een wortel noem je wortelformules, de letter staat dan onder de wortel.
y= x •
De grafiek van een wortelformule is steeds langzamer stijgend.
•
Let op: Het getal wat onder de wortel staat kan niet negatief zijn! 4
Wegwerken van een wortel Je kan een wortel op de volgende wijze wegwerken: 2 + √x = 3,5 √x = 1,5 X = 1,52 = 2,25 Controleren Je moet altijd controleren of de wortel bestaat!
y
f ( x) = x
3 2 1 0 0
8
5
x 10 www.lyceo.nl
Machtsverband 3. Algebraïsche verbanden
Kwadratisch
Lineair
Exponentieel
Wortel
Macht
Periodiek
Wat is een machtsfunctie? •
Voorbeelden van machtsformules zijn:
y = 6 x3 s = −7 k 5 y = x6 •
y = 6 x3
Als je in s = −7k 5 voor k het getal -4 invult moet je de -4 tussen haakjes zetten!
Verschillende uitkomsten van machtsfuncties Er is een verschil tussen een even en een oneven exponent. •
Even exponent: uitkomst nooit negatief.
•
Oneven exponent: uitkomst negatief, nul of positief.
9
Voorbeeld Neem t = -2: h = t2 = (-2)2 = 4 h = 3t6 = 3 x (-2)6 = 192 h = -t4 = -(-2)4 = 15 h = -t3 = -(-2)3 = -8 h = -t5 = -(-2)5 = 32
Neem t = 3: h = t2 = 32 = 9 h = 3t6 = 3 x 36 = 2187 h = -t4 = -34 = -81 h = -t3 = 33 = 27 h= -t5 = 35 = -243 www.lyceo.nl
Machtsverband Wat is een recht evenredig verband? •
y
De volgende formule is recht evenredig:
y=x •
x
Dit lijkt op een lineair verband, maar met beginwaarde 0.
Wat is een omgekeerd evenredig verband? • •
1 is een omgekeerd evenredig verband. x Dit verband kun je herkennen aan de tabel, als je het bovenste getal met het getal eronder vermenigvuldigt, krijg je steeds dezelfde uitkomst. De grafiek die hierbij hoort bestaat bijna altijd uit twee stukken. Je kan deze formule ook schrijven als x × y = a Een formule als y =
y
Voorbeeld Gegeven: y =
10
x
2
y
0,5
x×y
1
1 x 4
x 6
8
10
12
0,25 0,167 0,125 0,1 0,083 1
1
1
1
1 www.lyceo.nl
Periodiek verband 3. Algebraïsche verbanden
Lineair
Kwadratisch
Exponentieel
Wortel
Macht
Periodiek
Wat zijn periodieke verbanden? •
Grafieken die zichzelf herhalen heten periodieke grafieken. –
Evenwichtsstand: het gemiddelde niveau van de grafiek.
–
Amplitude: de grootste afwijking van de grafiek ten opzichte van de evenwichtsstand
–
Periode: de tijd voordat de beweging zichzelf herhaalt.
–
Frequentie: het aantal keren dat een periode in een bepaalde tijd herhaald wordt.
Voorbeeld -
11
Evenwichtsstand: (−1 + 3) = 1 2 Amplitude: 3 – 1 = 2 Periode is de tijd dat een beweging wordt uitgevoerd = 2.0 Frequentie: stel dat hiernaast op de horizontale as het aantal minuten wordt gegeven dan is de frequentie 30 keer per uur.
www.lyceo.nl
Tips & Tricks •
Probeer alle verschillende algebraĂŻsche verbanden te kennen, dit maakt het makkelijker om een opgave te maken. Je weet dan namelijk gelijk wat voor soort formule het is.
12
www.lyceo.nl