Paradoja del hotel infinito

Daniel Maisner*

Introducción

Hacía finales del siglo XIX Georg Cantor (18451918) creó las bases de la teoría de conjuntos moderna, dando formalidad y rigor a muchos conceptos que hasta ese momento sólo se utilizaban de forma intuitiva. Por desgracia, sus temas e ideas fueron extremadamente originales para su época y no fueron comprendidos ni aceptados por sus contemporáneos.

Pero eso no fue todo, como tantas veces se ha repetido en la historia, esta incomprensión tomó forma de terribles burlas desde la comunidad científica hacía su trabajo, incluyendo a matemáticos de gran relevancia como Poincaré y a su mentor Kronecker. Las burlas, sumadas a su personalidad, lo llevaron a tener largos periodos depresivos y mucho sufrimiento. Ya en el siglo XX, durante sus últimos años de vida, hubo un cambio en la percepción de la comunidad científica que comenzó a reconocer su enorme genialidad. En 1920, poco después de su muerte, Hilbert enunció la paradoja del hotel infinito para explicar, de manera sencilla, las bases del concepto de cardinal y la necesidad de tener cuidado en su definición. Agreguemos que no es una paradoja en el sentido estricto de la palabra, porque los trabajos de Cantor permiten salvar cualquier contradicción; más bien se trata de una ilustración de sus teorías que pone de manifiesto la importancia de las mismas y las dota de su real relevancia en la historia de la matemática contemporánea.

Existen diversas versiones de la paradoja. A continuación la reproducimos conservando el planteamiento general, pero con nuestra propia redacción:

* Profesor del plantel San Lorenzo Tezonco Torre de Babel Doré

Paradoja del hotel infinito (Hilbert 1920):

Existe un hotel con un número infinito de cuartos al que arriba un turista buscando desesperadamente un lugar en dónde pasar la noche. Sin embargo, el recepcionista le informa que el hotel está lleno y no hay cuartos disponibles. El turista insiste en que le den lo que sea. Finalmente, tras una breve pausa, el recepcionista le responde que arreglará el problema en un momento. Con un enorme altavoz solicita a los huéspedes que por favor cambien de cuarto siguiendo el

Existe un hotel con un número infinito de cuartos al que arriba un turista buscando desesperadamente un lugar en dónde pasar la noche.

Close-up of a Sundial Shell, 1970 Adreas Feininger

siguiente procedimiento: el que ocupa el cuarto uno pase al dos, el del dos al tres y así sucesivamente. Una vez completado el cambio de cuartos, el recepcionista, con una sonrisa maliciosa, anuncia al viajero «señor hemos solucionado el problema, en un momento podrá ocupar el cuarto número uno». Al día siguiente, llega un tour con una infinidad de huéspedes, ¿podrá el botones aplicar un procedimiento similar para alojarlos?

En una primera lectura puede pensarse que la paradoja antes presentada estriba en que es imposible que se construya un hotel con una infinidad de cuartos y, por ende, cualquier conclusión derivada de este hecho no tiene validez. En efecto, de una contradicción se puede deducir cualquier proposición; pero el enunciado anterior no es un ejemplo sofisticado de este hecho y para comprender su significado y profundidad debemos partir de que el hotel existe, en el entendido de que esta existencia es sólo una metáfora para explicar, de forma sencilla, algunas propiedades de los conjuntos infinitos. En otras palabras, los hoteles infinitos no existen pero, en matemáticas, sí existen los conjuntos con un número infinito de elementos, y la paradoja nos ejemplifica que, en el tránsito de lo finito a lo infinito, nuestra intuición puede fallar, y que es necesario un importante grado de rigor para definir, utilizar y comprender las diferentes nociones del infinito.

Descartando soluciones fuera de contexto, como acomodar al turista en una buhardilla, que duerma en las escaleras o que comparta un cuarto con una persona que se ligó al llegar, no existe una manera de asignarle un cuarto cuando el hotel sólo cuenta con un número finito de ellos. Para aclarar las ideas, supongamos que en cada cuarto sólo cabe un huésped; entonces, si hay n cuartos, la única manera de ocuparlos todos es alojar n huéspedes. Una vez lleno, ningún reacomodo de los huéspedes, sea cual sea, dejará como resultado un cuarto vacío, podemos cambiar a los huéspedes de cuarto y el hotel seguirá lleno, ¿qué cambia cuando consideramos una infinidad de cuartos y visitantes?, ¿cómo funciona algo aparentemen-

Sube y baja Escher

te tan simple como contar elementos cuando permitimos conjuntos infinitos? Y a partir de ahí pueden presentarse preguntas inusitadas como ¿Todos los infinitos son iguales? O, tan aparentemente simples como ¿Qué es un conjunto infinito?

1. Conjuntos infinitos

Los conjuntos con una infinidad de elementos surgen de manera natural desde las matemáticas elementales, muchas teorías matemáticas y disciplinas que las utilizan, como la física, no podrían desarrollarse sin la introducción de algún concepto de infinito. Leyó usted bien: cuando hablamos del infinito debemos pensar en plural. En geometría, aritmética o cálculo, por mencionar alguna áreas básicas, están presentes diferentes conceptos de infinito, sin los cuales es imposible avanzar tanto en la teoría como en la práctica. Remarquemos lo anterior, el concepto de infinito no es único, y aunque la idea intuitiva se conserva cambiando de área, el concepto puede sufrir variaciones. Por ejemplo, en geometría puede considerarse un punto en el infinito como el lugar donde se cortan las rectas paralelas, digamos un punto sobre la recta del horizonte; en los números reales, utilizando su orden, hablamos de un infinito positivo y otro negativo, en cambio, en los números complejos, que no son ordenados, sólo tenemos un infinito, etcétera.

Como una referencia de lo primitivo del concepto en su forma intuitiva, recordemos que los griegos ya lo utilizaban con bastante

soltura. Eudoxio y Arquímedes usaron sumas infinitas para calcular áreas, lo cual, dicho sea de paso, fue la base para el desarrollo que siglos después se dio con la creación del cálculo integral, y que tantas aplicaciones tiene dentro y fuera de la matemática. Recordemos también que en Los elementos de Euclides se habla de rectas que se prologan indefinidamente y que por tanto tienen longitud infinita, además, en este mismo tratado, se prueba la infinitud del conjunto de los números primos. Finalmente, por supuesto, no debemos olvidar que, ya en la época helénica, Zenón enuncia las primeras paradojas sobre el infinito, mismas que, por razones de espacio, trataremos en un artículo futuro.

De forma intuitiva, hemos aprendido que un conjunto es infinito si no es vacío y no tiene fin; esta idea sin mucho mas elaboración, es suficiente para probar que algunos conjuntos son infinitos. Apelaremos a esas ideas para comprender la paradoja. En el enunciado se utiliza que los cuartos están numerados, y al hacerlo se usa, de forma implícita, algo de lo que tenemos un conocimiento intuitivo desde niños: los números naturales, aquellos que usamos para contar:

F1 F2

N = {1, 2, 3, ···},

F3 De forma intuitiva, hemos aprendido que un conjunto es infinito si no es vacío y no tiene fin; esta idea sin mucho mas elaboración, es suficiente para probar que algunos conjuntos son infinitos.

N = {1, 2, 3, ···},

N = {1, 2, ··· ,n}

N = {1, 2,

··· ,n} pares = {2, 4, 6, ··· , 2l, 2l +2, ···}, multiplosde k = {k, 2k, 3k, ··· ,kl,kl + k, ···}. F4|H| F5 |C| F6

son infinitos. Una idea sencilla de este hecho, presente en la definición de número natural de Peano, está en el concepto de sucesor. Dado cualquier número natural diferente del 1, tiene un sucesor, el 2 del 1, el |H|3 del = |C|. 2 y n+1 de n, por tanto F1 si consideramos que los números naturales son F7 A = {a,b,c} yun conjunto finito: N = B {1, = 2, {´arbol, 3, ···}, burro, casa} F8 a ↔ ´arbol, b ↔ burro, c ↔ casa. F9|H| F10 cardinal(H)= |H| = |H ∪{viajero}| = |C|

N = {1, 2,

··· ,n} pares = {2, 4, 6, ··· , 2l, 2l +2, ···}, multiplosde k = {k, 2k, 3k, ··· ,kl,kl + k, ···}. |H| F5 |C| F6

donde n es el último elemento, tendríamos una contradicción porque n+1 también es natural y no ha sido incluido en la lista.

Con una leve modificación, podemos aplicar el mismo argumento para probar que diversos conjuntos son infinitos, por ejemplo, los números pares también lo son porque si n es par también los es n+2 y lo mismo para cualquier sucesión de múltiplos de un número k, porque si n es múltiplo de k también lo es n+k:

pares = {2, 4, 6,

··· , 2l, 2l +2, ···}, multiplosde k = {k, 2k, 3k, ··· ,kl,kl + k, ···}. F4|H| F5 |C| F6 |H| = |C|. Escribir esto de forma rigurosa es bastan-

F7 te complejo, pero para fines del presente artíA = {a,b,c} y B = {´arbol, burro, casa} culo, sólo nos interesa que quede claro que sin

F8 diversos conceptos de infinito no se puede dea ↔ ´arbol, b ↔ burro, c ↔ casa. sarrollar la matemática, ni siquiera la más ele-

F9|H| F10mental. Sin embargo, no fue hasta el siglo XIX cardinal(H)= |H| = |H ∪{viajero}| = |C| que Georg Cantor trabajó en un tratamiento riguroso y fundamental de las propiedades de F11 los conjuntos infinitos. No obstante, como ya |N ∪{0}| = |N| se mencionó, sus ideas no fueron aceptadas por F12 m → m +1, Continúa en la página 14