De números, pesos y medidas en el mundo antiguo

Diana González Omaña Nancy Domínguez Rodríguez*

Una de las principales cosas que hemos hecho los seres humanos como especie ha sido dominar lo que nos rodea para sobrevivir al mundo, hostil y desconocido, en el que fuimos despertando poco a poco gracias a la evolución. Este dominio, que hemos ejercido sobre el entorno hace ya algunos milenios, ha resultado ser mucho más simbólico que real. No obstante, pensar que tenemos cierto «control» sobre las cosas nos ha brindado una enorme tranquilidad, al saber que no estamos totalmente a merced de fenómenos naturales: cambios climáticos y meteorológicos, variabilidad vegetal, movimientos geológicos, etcétera. Este supuesto control, con el que creemos haber «sometido» al mundo y que en realidad sólo nos ayuda a sobrevivir y adaptarnos a él, ha sido posible gracias a, básicamente, dos de nuestros logros como especie: el primero ha sido nombrar el mundo y el segundo ordenarlo, enumerarlo.

Los seres humanos en el planeta no sólo se han limitado a satisfacer sus necesidades básicas de subsistencia, sino a tener la capacidad de, citando a Lévi-Strauss (1987), «poseer pensamiento desinteresado, es decir, son movidos por una necesidad o un deseo de comprender el mundo que los circunda, su naturaleza y la sociedad en la que viven» (Op. cit., 1987 p. 39).

Fue de esta manera como, ante la incapacidad de entender la naturaleza de los acontecimientos que lo rodeaban, el homo sapiens se dio a la tarea de crear, a través de su imaginación, dioses y demonios responsables de esos fenómenos y de este modo pudo darles explicación (cfr. Matos Moctezuma, 1997: 15).

Poco a poco, se fue moldeando el pensamiento humano y se fueron creando las estructuras necesarias, con los espacios propicios ,para colocar no sólo las ideas sino también las cosas, en función de ordenarlas y administrarlas; es decir, de controlarlas.

Por lo expuesto anteriormente, no debe extrañarnos que sea precisamente en los templos donde tenemos los primeros rastros arqueológicos, tanto de escritura como de numerales. Asimismo, encontramos cuencos, es decir, pequeñas vasijas de cerámica, elaboradas en tamaños más o menos constantes, en un presumible afán por estandarizar medidas de capacidad con un objetivo claramente administrativo.

En Mesopotamia, desde el periodo Uruk (3,300-2,900 a.C.), se pueden encontrar estos

* Las autoras son egresadas de la Licenciatura en Arqueología de la Escuela Nacional de Antropología e Historia y son investigadoras de la Dirección de Registro Público de Monumentos y Zonas Arqueológicos e Históricos del Instituto Nacional de Antropología e Historia – INAH.

cuencos hechos a mano que fueron utilizados como medidas para la asignación de raciones de alimentos. Más tarde, el empleo de estos cuencos se generalizó, haciendo evidente su eficiencia. Podemos percibirlo ya que su presencia en el registro arqueológico aumentó notablemente y las medidas a que correspondían en ese momento eran exactamente iguales debido a que comenzaron a fabricarlos con moldes (Cerro, 2006: 4).

En Arslantepé podemos encontrar uno de los casos más interesantes del uso de estos cuencos como instrumento de medición. En este sitio de Turquía Oriental, en un templo de principios del tercer milenio a. C., hay aún algunos vanos en los muros o ventanas interiores que comunican el recinto del santuario con los almacenes donde se encontraron grandes cantidades de los mencionados cuencos (Manzanilla, 1983: 9). Según señala Frankfort (1951), tanto las instalaciones de los templos como los tamaños de los contenedores ahí encontrados estaban diseñados exprofeso para distribuir cantidades similares a los ciudadanos que prestaban trabajo comunal, así como a los sacerdotes, funcionarios y artesanos (Frankfort en Manzanilla, 1983: 9). Aparentemente, dicho sistema tuvo amplia repercusión en Mesopotamia, ya que este tipo de cerámica se ha encontrado en el Khuzistan, en Siria y en Turquía Oriental.

Por otra parte, del periodo dinástico temprano (2,900-2,350 a.C.), también en Mesopotamia, contamos con tabletas que enlistan varios artículos además de las raciones de alimentos. Es interesante observar que esta distribución de bienes no es estable, sino que considera ciertas variables climáticas y sociales para su aplicación como son: época del año, condiciones políticas y grupo social, además de otras de índole personal como: edad, sexo y ocupación de quien recibe el beneficio (Manzanilla, 1986: 136). Finalmente, existían otras subdivisiones: una parte del grano era guardada para servir como semilla para la cosecha del año siguiente, otra para la alimentación de ovejas, ganado bovino y asnos, la última era usada en la producción de cerveza y pan para el templo, así como para otros usos culinarios cotidianos (op.cit., 1986: 136).

Tanto los usos mencionados, como las divisiones y distribuciones descritas, requirieron para su correcto funcionamiento no sólo de un modelo numérico y de medidas eficientes, sino del empleo de la aritmética mediante sumas, restas y principios de la multiplicación. A partir de un sistema que combina el decimal y el sexagesimal (figura 1.), podemos observar cómo se

Figura 1. Sistema numérico sumerio. Redibujado de Tusón (1997).

multiplican los signos que aparecen en segunda y tercera posición, que dan como resultado el símbolo que está en el cuarto lugar. Asimismo, el elemento colocado en la sexta ubicación es el resultado de la multiplicación del segundo por el quinto (Tusón, 1997: 58).

Pues bien, aun cuando aparentemente fueron los sumerios los primeros en hacer uso de esta combinación de sistemas, está claro que no fueron los únicos en hacer esta relación. Vitruvio (1995), a quien recordamos por haber escrito el tratado de arquitectura más antiguo que conocemos, al inicio del primer milenio de nuestra era sostiene que «los autores antiguos» (refiriéndose a los griegos) ya habían fijado un número perfecto, el diez, pues se trataba del que contaba la totalidad de los dedos de las manos. No obstante, aseguraba que «los matemáticos» se inclinaban por atribuirle la perfección al número seis. Según el mismo autor, finalmente se dieron cuenta de la «perfección» de ambos números y decidieron unirlos «consiguiendo otro número perfectísimo que es el dieciséis» (Vitruvio, 1995: 135).

Esta narrativa numérica, la sitúa Vitruvio en el marco del «Origen de las medidas de los templos.» El interés del autor se concentra en las medidas de distancia y, en ellas, la consideración primordial es que se observe escrupulosamente la simetría, término que viene del griego: analogía = proporción. Esta última, se define como «la conveniencia de medidas a partir de un módulo constante y calculado, y la correspondencia de los miembros o partes de una obra y de toda la obra en su conjunto» (Op. cit., 1995 p. 131). De acuerdo con el autor, la proporción se fundamenta en la correspondencia de las medidas de las partes del cuerpo de un hombre «bien formado». Así, llega a ciertas conclusiones, por ejemplo: la cara, desde la barbilla hasta las raíces del pelo, debe ser igual a la décima parte de su estatura; o bien que, si ponemos a un hombre acostado boca arriba, con las manos y pies estirados, y colocamos en su ombligo un compás para trazar una circunferencia, el círculo resultante debería tocar la punta de los dedos medios de ambas manos, así como los dedos de los pies. Asimismo, a partir de la circunferencia que dibujamos alrededor del cuerpo, podemos también trazar un cuadrado: si medimos desde la planta de los pies hasta la coronilla, obtendremos una medida que será exactamente igual a

Figura 2. El Hombre de Vitruvio. Versión de Leonardo Da Vinci.

la que tiene a lo ancho con los brazos estirados (figura 2.).

Esta noción de la proporción llegó a nosotros gracias a Leonardo Da Vinci, quien algunos siglos más tarde le haría algunas enmiendas al modelo original conocido como El Hombre de Vitruvio. Desde luego que, tanto los dibujos, como las descripciones originales de ambos autores, son mucho más extensas de lo presentado, sobre todo, pensando en que lo que se pretendía desde un inicio era dar proporción y en consecuencia belleza a un templo.

Lo más importante, llegados a este punto, es destacar ciertas medidas y sus nombres, por

ejemplo: un pie, corresponde a la sexta parte de la altura total del hombre, así como un codo es igual a seis palmos que, a su vez, equivalen a veinticuatro dedos. Es decir, las medidas básicas se relacionan directamente con el cuerpo de quien mide, en consecuencia, no es absolutamente necesaria una herramienta para llevar la medición y cualquiera puede hacerla por sus propios medios.

Es interesante observar que estas prácticas de medición no fueron privativas del mundo antiguo y tienen una equiparación con el México prehispánico. Aún en la actualidad, contamos con documentos indígenas y coloniales que mencionan el uso de numerales y medidas, y nos proporcionan información de su uso por los mixtecos, mayas, mexicas, entre otros. Aquí observaremos su utilización entre estos últimos.

Según indican las fuentes, convivían diferentes sistemas: los números que expresaban valores astronómicos basados en puntos, también de una secuencia fija de glifos y los de uso común que eran trazados con puntos y rayas, además de pictogramas que reflejaban múltiplos de veinte.

Los numerales astronómicos eran empleados por sacerdotes, ya que su manejo requería de cierto grado de conocimiento especializado. En las primeras láminas del Códice TellerianoRemensis, es posible observar los 18 meses de los que constaba un año, cada mes estaba integrado por veinte días. De acuerdo con el esquema del año solar nahua, un año se componía de esos 18 meses más cinco días nemontemi (infaustos), con los que se lograba completar la suma de 365 días, tras los cuales comenzaba un año nuevo (Iwaniszewski, 2004).

Este calendario solar coexistía con un calendario ritual llamado Tonálmatl que marcaba las fiestas, así como un ciclo adivinatorio. Al igual que el anterior, éste era interpretado por sacerdotes llamados tonalpouhque (los que llevan la cuenta de los días). En este calendario ritual había 20 signos que se combinaban con 13 números. Al terminar el último número se comenzaba la cuenta nuevamente siguiendo con el glifo consecutivo, de manera que al culminar todas las posibles secuencias terminaba el año ritual, es decir, sólo duraba 260 días. No obstante, al finalizar, volvía a comenzar una y otra vez. Como resulta evidente, había un desfase entre ambos y sólo lograban coincidir después de 52 años, momento en el cual se celebraba la ceremonia del fuego nuevo, que daba inicio a un nuevo siglo (Libura,

Figura 3. Códice Telleriano-Remensis (lám. 08r). Tabla 1. Unidades de medida mexicas.

Figura 4. Fragmento de la Matrícula de Tributos (Lám. 12).

2012: 7-8).

Este modo de administrar el tiempo no tenía referente en la vida cotidiana, donde los numerales de uso común eran empleados en las diversas actividades del día a día y su uso estaba al alcance de la mayoría de la población (cfr. Larios, 2000: 11). Estos números, al igual que en los otros sistemas presentados, eran de base veinte, no eran posicionales y su escritura consistía en una serie de símbolos cuyos caracteres expresaban una cantidad (tabla 1).

La forma de representar los números era uniendo los símbolos, bajo la única regla de que no se podían colocar juntos más de una veintena y, al no existir un valor posicional, su lectura funcionaba con el principio de adición, es decir, el orden de los símbolos no tenía repercusión en la sumatoria final (op.cit., 2000: 11). En la Matrícula de Tributos se puede observar con claridad numerales de este tipo (figura 4).

Por otra parte, existían también medidas de longitud, mismas que estaban relacionadas con las dimensiones del cuerpo humano (Castillo, 1972: 198-199). En la siguiente tabla se encuentran algunos ejemplos de estas medidas en donde se observa su nombre prehispánico y su significado (Tabla 2).

Del mismo modo que en la Roma antigua de Vitruvio y en la Europa renacentista de Leonardo, en Mesoamérica se usaban los mismos o similares referentes antropocéntricos, y se llevaron a cabo esfuerzos por contar con sistemas de pesos y medidas estandarizados, aun cuando estos procedimientos fueran todavía muy limitados en términos geográficos; es decir, al rebasar las fronteras de una etnia o filiación cultural, er posile que se perdieran los referentes de medición y tuvo que pasar mucho tiempo para que se lograran tener métodos más precisos y de aplicación más extensa.

Finalmente, creemos que es importante detenernos un instante a considerar todo lo que la humanidad ha tenido que transitar para que actualmente contemos con los elementos y las herramientas que hacen mucho más simple nuestro día a día. Es interesante salir a pasear por la historia, por la antigüedad y «echar una ojeada» a ese mundo en construcción; conocer cómo las personas, desde su tiempo, su localidad y sus recursos, resolvieron problemas complejos de maneras ingeniosas y sencillas; ver cómo lo que ahora tenemos es una consecuencia de todo ese bagaje que hemos ido acumulando en el camino para, al menos, sentirnos menos inciertos en este planeta.

Bibliografía

Castillo, V.M. (1972), Unidades nahuas de medida, en Estudios de Cultura Náhuatl,

Nombre nahua

Cemíztetl

Cemmapilli

Cémmatl

Cenyollotli

Cemmítl

Cemmatzotzopaztli

Cemacolli

Jeme

Cemmacpalli

Cennequetzalli Traducción español Vía de medición

uña distancia entre dos uñas de la mano

dedo

mano o brazo una pulgada 0.017 m

mano o brazo

un corazón

codos se tomaba desde el pecho a la mano

se tomaba de un codo hasta la otra mano

del codo a los dedos se tomaba desde el hombro hasta la punta de los dedos

del hombro a la mano 0.80 cm

una mano entre las puntas de los dedos del pulgar al índice a su máxima extensión

una palma de la mano el ancho de la palma

un estado medida de longitud de la talla de un hombre

Tabla 2. Unidades de medida y peso.

núm. 10, Instituto de Investigaciones Históricas, Universidad Nacional Autónoma de México, pp 196-223. INAH. (1532-1530), Matrícula de tributos,

Biblioteca Digital Mexicana disponible en http://bdmx.mx/detalle/?id_cod=22 31/05/2017. Iwaniszewski, S. (2004), «La breve historia del calendario del códice Telleriano-Remensis» en Estudios de Cultura Nahua, núm. 35, Instituto de Investigaciones Históricas,

Universidad Nacional Autónoma de México, p 67. Larios, V. (2000), Sistemas numéricos en México prehispánico, Departamento de matemáticas, CICFM, Facultad de ingeniería,

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UNAM. Manzanilla, L. (1983). «La redistribución como proceso de centralización de la producción y circulación de bienes» en Boletín de Antropología Americana, núm. 7. pp 5-18. Matos Moctezuma, E. (1997). Muerte a filo de obsidiana. México. Colección Obras de

Antropología. Fondo de Cultura Económica. Tusón, J. (1997). La escritura: una introducción a la cultura alfabética. Barcelona. Octaedro. Universitätsbibliothek Rostock. Códice Telleriano-Remensis, Fundación para el avance de los estudios mesoamericanos, INC., disponible en www.famsi.org/spanish/ research/loubat/Telleriano-Remensis/ thumbs0.html 31/05/2017. Vitruvio, M. (1995). Los diez libros de arquitectura. Madrid. Alianza Forma.