Fractais e geometria fractal, ESJAC 2017

Matemática A 2016/2017

Agrupamento de Escolas Dr. Jorge Augusto Correia

FRACTAIS E GEOMETRIA FRACTAL

Trabalho realizado por: Afonso Ruas, nº1; André Silvestre, nº5; Diogo Romeira, nº8; Henrique Lopes, nº11; Ian Hou, nº12; Paulo Pereira, nº23 Turma: 11ºA1 Professora: Telma Costa 1

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Índice

Introdução ..................................................................................................................................... 3 Parte I ............................................................................................................................................ 4 1.

Vida e obra de Benoît Mandelbrot .................................................................................... 5

2.

História dos Fractais .......................................................................................................... 9

Parte II ..................................................................................................................................... 12 3.

Teoria Fractal .................................................................................................................. 13 3.1.

Características dos fractais: ..................................................................................... 14

4.

Teoria do Caos ................................................................................................................ 20

5.

Exploração de alguns fractais famosos ........................................................................... 23 5.1.

Atrator de Lorenz .................................................................................................... 23

5.2.

Curva de von Koch .................................................................................................. 25

5.3.

Conjunto de Julia..................................................................................................... 28

5.4.

Conjunto de Mandelbrot.......................................................................................... 30

Parte III........................................................................................................................................ 33 6.

Geometria Fractal na Natureza ........................................................................................ 34

7.

Arte Fractal...................................................................................................................... 36

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Introdução Neste trabalho, elaborado no âmbito da disciplina de Matemática A, 11ºano, vamos abordar e desenvolver o tema “Fractais e Geometria Fractal”.

A Geometria Fractal é uma geometria mais contemporânea quando comparada, por exemplo, com a Euclidiana. Tendo surgido em meados do séc. XX quando Benoît Mandelbrot, impulsionado pelo seu amor à matemática e baseando-se em conteúdos e trabalhos anteriormente explorados por outros matemáticos que o antecederam, insere a ideia de fractal no “mundo” matemático.

Este trabalho aparece-nos como algo muito distante dos conhecimentos matemáticos que possuímos, uma vez que a sua total compreensão requer a noção de vários conceitos abstratos, como os números complexos, que ainda não conhecemos.

Por este e outros motivos, durante a sua realização, deparámo-nos com várias adversidades relacionadas, primeiramente, com a profunda pesquisa que tivemos de realizar para conhecer os conceitos por de trás da compreensão deste tema. Por outro lado, sentimos que muita da informação aparentava ser contraditória ou ambígua, mesmo sendo um tema algo recente.

Decidimos dividir o trabalho em três grandes partes:   

Vida e obra de Benoît Mandelbrot e História dos Fractais; Teoria fractal, conceitos relacionados e exploração de alguns fractais famosos; Geometria fractal na natureza e arte fractal.

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Parte I

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1. Vida e obra de Benoît Mandelbrot Benoît Mandelbrot nasceu em Varsóvia, capital da Polónia, a 20 de novembro de 1924. Filho de uma médica e de um comerciante de roupas, Benoît descobre a matemática através do seu tio, Szolem Mandelbrot.

Em 1936, com apenas 11 anos, a família mudase para Paris, a fim de escapar ao domínio Nazi, que na altura ameaçava a Europa.

Ficou, juntamente com a sua família, na casa do tio paterno, Szolem, que ensinava Fig. 1 – Benoît Mandelbrot matemática no Collège de France. Deste (Benoît Mandelbrot, s.d.) modo, Mandelbrot cresceu entre confrontos acesos de matemáticos, ficando desde logo exposto a temas de matemática avançada. Contudo interessou-se por um ramo da matemática, a Geometria, considerada na época estagnada por muitos matemáticos, nomeadamente o seu tio.

Benoît frequentou o Lycée Rolin em Paris até ao início da 2º Guerra Mundial, época em que a família Mandelbrot se refugiou em Tulle.

Em 1944, após estudar no Lycée du Parc em Lyon, volta a Paris, onde se candidata a várias universidades.

Em 1945, o tio de Mandelbrot volta dos EUA, onde se tinha refugiado durante a guerra. Ambos discutiam agora a futura carreira de Benoît.

Szolem, como professor de análise matemática avançada, insistia que Mandelbrot seguisse um estilo de análise matemática formal, rigorosa.

Mas Benoît discordava, procurava antes um novo campo de formas geométricas.

Nesse mesmo ano, Benoît é chamado para estudar na École Polytechnique sob a supervisão de Gaston Julia e Paul Lévy. Este último que partilhava o mesmo espírito de Mandelbrot, ajudou-o a olhar para fenómenos matemáticos na natureza, o que não acontecia com muitos matemáticos da época.

Entre 1947 e 1949, viaja para os Estados Unidos onde frequenta o Instituto de Tecnologia da Califórnia, CalTech, no qual obtém o grau de mestre em aeronaútica.

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Após este período retorna à Europa. Começa então a estudar na Universidade de Paris, onde alcança o doutoramento em Ciências Matemáticas em 1952.

Dois anos depois, Mandelbrot passa um ano no Institute for Advanced Study em Princeton, onde é financiado por John von Neumann.

Em 1955 regressa a França onde se casa com Aliete Kagan e onde trabalha no Centre National de la Recherche Scientific e ainda na Université Lille Nord France.

Passados três anos, em 1958, o casal instala-se nos Estados Unidos, local onde Mandelbrot inicia a sua colaboração com a International Business Machines (IBM). Aqui este dedicou-se a um problema que deixava muitos dos engenheiros da IBM com a cabeça em água. Os engenheiros estavam a transmitir dados informáticos através de linhas telefónicas, mas por vezes a informação não chegava ao seu destino.

De tempos a tempos as linhas tornavam-se extremamente ruidosas ocorrendo inúmeros erros que não permitiam a propagação da informação. Os engenheiros sabiam que quanto maior fosse a intensidade da corrente elétrica menos erros apareciam devido ao ruído, mas isso não os fazia desaparecer. Perante este problema, Mandelbrot apresenta um modelo para explicar o fenómeno dos erros: começou por dividir um dia em 24 horas, podendo existir uma hora sem qualquer erro, mas na hora seguinte já podiam ocorrer. Em seguida dividiu uma hora onde existem erros em períodos de 15 minutos, fazendo o mesmo raciocínio, em que existiam períodos com erros e períodos limpos, sucessivamente dividiu os 15 minutos de erros em minutos e os minutos em segundos e por aí em diante, verificando que mesmo assim existiam intervalos de erros e intervalos sem. Concluiu então, que era impossível isolar um período contínuo sem a ocorrência de qualquer erro.

Decidiu representar o resultado obtido graficamente, surpreendendo-se.

O gráfico parecia o mesmo para qualquer escala de tempo, um dia, uma hora, um segundo e assim sucessivamente.

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Fig. 2 - Gráficos de ruído/erros para diferentes escalas de tempo.

(Fractais Dimensão Oculta)

Acabou por descobrir que eram autossimilares (a parte é igual ao todo).

O estranho padrão fez-lhe recordar algo que tinha visto quando era mais novo, um mistério matemático que tinha quase cem anos, o Mistério dos Monstros. Apresentou então como modelo explicativo o primeiro destes a surgir, o Conjunto de Cantor.

Mandelbrot ficou extremamente fascinado com o que parecia ser o surgimento de um novo ramo da matemática. Dedica-se a outros problemas que, no entanto, pareciam todos ter uma certa semelhança, como problemas de variação de preços em diversas mercadorias, nomeadamente no algodão, problemas de pequenos e grandes rendimentos na economia, medição da linha de costa de continentes, entre outros. Todos se pareciam relacionar por algo que mais tarde é inserido por Benoît, o conceito de Fractal.

Mandelbrot desenvolve ainda temas relacionados com a Teoria do Caos.

E é a partir de estes e de outros estudos, como o estudo do trabalho de um dos seus mentores, Gaston Julia, que Benoît chega à Geometria Fractal.

Durante o seu trabalho teve de desenvolver não só novas ideias matemáticas, como a definição de Fractal, mas também criar alguns dos primeiros programas de computação para desenhar gráficos.

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Acabou concluindo que tanto o trabalho de Julia, como o de Cantor eram na verdade fractais.

Em 1975, publica algum do seu trabalho, num livro intitulado “Objetos Fractais”.

Dois anos depois, em 1977, Benoît publica a sua segunda obra “Fractais: Forma, Hipóteses e Dimensão”.

Passados três anos, baseando-se principalmente no trabalho de Julia, introduz o conjunto de Mandelbrot, onde mostra que fenómenos complexos podem ser descritos por simples iterações.

Mais tarde, em 1982, publica o livro “The Fractal Nature”, onde apresenta o seu estudo de forma mais completa e complexa.

O seu trabalho foi inicialmente subestimado pela sociedade matemática da época, que tinha a matemática como infinitamente regular. O que Mandelbrot apresentava era uma irregularidade, que muitos matemáticos rejeitaram, afirmando mesmo, que aquilo não era matemática. Contudo Mandelbrot conseguiu que o seu trabalho fosse aceite, revolucionando várias áreas. Este e outros cientistas descobriram que os fractais estavam desmedidamente presentes na natureza de tal forma que são hoje aplicados em diversas áreas, como a medicina, a geologia, a astronomia, a física, entre outras.

Além de trabalhar na IBM durante 35 anos, no Watson Research Center, Mandelbrot foi professor de Matemática em Harvard e na École Polytechnique, professor de engenharia em Yale, professor de Economia em Harvard e professor de Fisiologia no Einstein College of Medicine.

Durante a sua carreira, recebeu mais de 15 doutoramentos honorários, vários prémios, nomeadamente o Prémio Wolf em Física, e publicou diversos artigos científicos.

Em 2010, Benoît Mandelbrot morre vitima de cancro no pâncreas, nos cuidados paliativos em Cambridge.

Dois anos após a sua morte, foi publicada a sua autobiografia, “The Fractalist”.

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2. História dos Fractais Há mais de dois mil anos, Euclides introduzia o que hoje conhecemos como Geometria Euclidiana ou Plana.

Concentrando-se sobretudo nas formas, Euclides tentou provar, matematicamente, que todas as formas da natureza podiam ser reduzidas a formas geométricas simples, como cubos ou prismas. No entanto, deixou de lado um elemento fundamental no tipo de análise que realizava: a dimensão. Que, inconscientemente, tinha sido a chave para o seu pensamento inicial. Já que, quando considerado isoladamente, um grão de areia apresenta três dimensões (largura, altura e profundidade), enquanto que a superfície arenosa da praia é visualmente plana, e, portanto, com duas dimensões (largura e altura).

Entre 1857 e 1913 surgiram alguns objetos que se suponha não terem grande significado cientifico, catalogados na época como “demónios” ou “casos patológicos”, por saírem das categorias usuais de linhas unidimensionais, bidimensionais e planos tridimensionais.

Em 1870, Karl Weierstrass, um matemático alemão, inseriu um desses objetos. Este descreveu uma função que apesar de contínua em todo o seu domínio, não era em nenhuma parte diferenciável, isto é, em nenhum ponto se pode descrever uma tangente à curva.

Simultaneamente, Georg Cantor, matemático russo, criou um método simples de converter uma linha num “enxame” de pontos, que apesar de pontos isolados no intervalo [0, 1] tem mais pontos que o conjunto dos números racionais, e, portanto, tem uma quantidade não numerável de pontos.

Fig. 3 - Conjunto de Cantor (Conjunto de Cantor, s.d.)

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Nesta altura é ainda gerado por outro matemático, Giuseppe Peano, um destes “monstros”, no qual este descreveu, pela primeira vez, uma curva ondulada que tocava em cada ponto do plano.

Fig. 4 - Curva de Peano (Curva de Peano, s.d.)

Em 1904, Helge von Koch, retoma o trabalho de Weierstrass, dando uma definição mais geométrica a uma função similar do trabalho do matemático anterior. Atualmente conhecida como Floco de neve de Koch, é o resultado de infinitas adições de triângulos ao perímetro de um triângulo inicial. Cada vez que novos triângulos são adicionados, o perímetro cresce, e fatalmente se aproxima do infinito.

Fig. 5 - Floco de neve de Koch (Floco de neve de Koch, s.d.)

Foi em 1935, que Benoît Mandelbrot enquanto trabalhava na IBM, inseriu o termo fractal no mundo matemático, e onde afirmou que afinal aqueles objetos, os “casos patológicos”, eram na verdade fractais.

O ponto de partida para o matemático foi precisamente a questão da dimensão, que tinha “escapado” a Euclides.

Descrevendo matematicamente a ideia de Euclides e incluindo na análise a questão da dimensão, Mandelbrot chegou à Geometria Fractal.

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Nos anos 60, Mandelbrot, com o avanço da computação, também devida a este, consegue representar alguns dos fractais mais antigos, como o de Cantor, e é também assim que surge um dos fractais mais famosos, o Conjunto de Mandelbrot.

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Parte II

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3. Teoria Fractal O conceito de fractal foi introduzido pelo próprio Mandelbrot, para descrever objetos que eram demasiado irregulares para se enquadrarem num cenário geométrico tradicional. A palavra provém do latim fractus, irregular ou quebrado.

Como o próprio disse “Eu cunhei a palavra Fractal do adjetivo em latim fractus, do verbo correspondente, frangere, que significa quebrar, criar fragmentos irregulares”.

Os fractais são formas geométricas abstratas de uma beleza incrível, com padrões complexos que se repetem infinitamente, e que representam funções reais ou complexas.

Os resultados dos fractais criados utilizando funções matemáticas são convertidos em imagens, animações, música… Em muitos filmes e animações são utilizadas imagens fractais para reconstituirem representações da realidade, como por exemplo na conceção de relevos montanhosos.

A Geometria Fractal é o ramo da matemática que estuda as propriedades e comportamentos dos fractais. Descreve muitas situações que não podem ser explicadas pela Geometria Euclidiana, e as suas leis foram aplicadas na ciência, tecnologia e arte computacional.

Existem dois tipos de fractais:  

Fractais Geométricos; Fractais Aleatórios.

Os fractais geométricos repetem-se continuamente segundo um modelo padrão, e os aleatórios são gerados através de computadores.

Contudo, existem ainda dois tipos de fractais geométricos, os obtidos através de uma regra fixa de substituição geométrica, como o Conjunto de Cantor ou o Floco de neve de Koch; e ainda os fractais definidos por uma relação de recorrência em cada ponto do espaço no domínio do plano complexo, como o Conjunto de Mandelbrot, que tal como os fractais aleatórios são gerados por computação. Por estes últimos se definirem no domínio do plano complexo não é possível calcular a sua 13

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dimensão pelo processo de hausdorff, abordado no tópico 3.1, que só é possível ser calculada para os fractais geométricos produzidos por uma regra fixa de substituição geométrica, já que estes se inserem no domínio do real.

Já os fractais aleatórios são o resultado de iterações, operadas num sistema não linear, e através de software de programação avançado, de forma recursiva e que possibilita a quem os observa imagens de grande beleza e a compreensão desses mesmos sistemas.

Mandelbrot constatou ainda que todas estas formas e padrões possuíam algumas características comuns, tais como a sua autossimilaridade, dimensão e complexidade infinita, e que havia uma interessante relação entre estas formas e aquelas encontradas na natureza.

3.1.

Características dos fractais:

 Autossimilaridade A autossimilaridade, também conhecida como autossemelhança, é a simetria através das escalas. Um objeto autossemelhante apresenta sempre a mesma estrutura e o mesmo aspeto a qualquer escala que seja observado.

Fig. 6 - Autossimilaridade evidente no Conjunto de Mandelbrot (Conjunto de Mandelbrot, s.d.)

Se repararmos, todas as formas geométricas ditas ortodoxas, aquelas descritas pela Geometria Euclidiana, perdem a sua estrutura quando são ampliadas ou diminuídas. Por exemplo, um círculo numa escala muito maior não é nada mais do que uma reta. Para percebermos isso basta ter em mente que à apenas 500 anos considerava-se a Terra

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como plana. Isto acontecia porque à escala humana não víamos mais do que uma linha reta no horizonte.

Se olharmos o mundo à nossa volta percebemos que não lidamos diariamente com cubos, nem esferas, nem cones, mas sim com objetos de estrutura geométrica infinitamente mais complexos e intricados. Uma folha de um feto, um cristal de neve ou a superfície irregular de uma montanha são exemplos destas estruturas.

Olhando em particular, por exemplo para um tronco de uma árvore, verificamos que é extremamente rugoso e irregular. Se observarmos um pequeno pedaço desse tronco ao microscópio observamos novas rugosidades e irregularidades que antes não tínhamos observado. No entanto esta imagem assemelha-se bastante à anterior, ou seja, a parte é muito semelhante ao todo. É esta irregularidade regular que caracteriza um fractal.

Estes possuem então, dentro de si, cópias menores de si próprios. Essas cópias possuem, por sua vez, cópias ainda menores, e assim sucessivamente. Um fractal possui então um número infinito de pequenas cópias dele próprio.

Existem então dois tipos de autossimilaridade:  

Autossimilaridade Exata; Autossimilaridade Estatística.

Os fractais que apresentam autossimilaridade exata, também conhecidos como fractais determinísticos, são gerados a partir de reproduções exatas e rigorosas de si mesmos.

No entanto, os elementos naturais que podem ser representados por meio de fractais, raramente apresentam autossimilaridade exata, apresentando sim a chamada autossimilaridade estatística. Nesta aplicam-se globalmente os mesmos conceitos e definições que a autossimilaridade exata, mas não é tão rigorosa como esta, na medida em que admite um certo grau de aleatoriedade na sua conceção.

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 Complexidade Infinita A complexidade infinita é outra característica dos fractais. Esta significa que nunca conseguiremos representar totalmente um fractal, visto que a quantidade de detalhes é infinita. Mesmo que um fractal seja ampliado haverá sempre novas reentrâncias e detalhes, que não eram visíveis anteriormente.

 Dimensão Para melhor compreendermos a dimensão fractal, comecemos por calcular as dimensões de figuras geométricas ditas perfeitas.

Comecemos então por um segmento de reta.

Este é, antes de mais, autossemelhante pelo que podemos dividi-lo em, por exemplo, 4 segmentos mais pequenos, todos eles com ¼ do tamanho do segmento original. Cada um deles, quando multiplicado pelo fator da escala, 4 = 41, assemelha-se exatamente ao original.

Um quadrado também pode ser dividido em pequenos quadrados, se dividirmos, por exemplo, cada lado do quadrado em 4 partes iguais. No entanto, são necessários 16 = 42 pequenos quadrados para refazer o quadrado original.

O cubo pode ser dividido em 64 = 43 pequenos cubos, cada um deles com ¼ do tamanho das arestas do cubo original.

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Em cada um destes casos, o expoente indica-nos a dimensĂŁo.

4 = 41 16 = 42 64 = 43 Portanto, o nĂşmero de partes que constituem a figura, đ?‘ , ĂŠ igual ao fator da escala, đ?‘†, elevado Ă dimensĂŁo, đ??ˇ. đ?‘ = đ?‘†đ??ˇ

Mas nem sempre ĂŠ assim tĂŁo simples. Para calcularmos a dimensĂŁo de fractais ĂŠ um pouco mais complicado.

Consideremos então o Triângulo de Sierpinsky, um exemplo de fractal.

Analisaremos a forma como este ĂŠ gerado: i.

Comecemos com um triângulo.

ii.

Desenham-se os segmentos que unem os pontos mÊdios dos lados do triângulo e tira-se o triângulo do centro.

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Note que no triângulo formado aparecem 3 triângulos mais pequenos.

Cada um dos lados desses triângulos mede ½ do lado do triângulo original.

Se repetirmos o mesmo procedimento múltiplas vezes obtemos o Triângulo de Sierpinsky, um fractal conhecido, criado no início do sÊculo XX.

Calculemos agora a dimensĂŁo do Triângulo de Sierpinsky. Repare que o segundo triângulo ĂŠ composto por 3 pequenos triângulos exatamente iguais ao original (N=3). O comprimento de cada um dos lados destes pode ser multiplicado por 2 para obter o triângulo inicial (S=2). Qual ĂŠ entĂŁo a dimensĂŁo (D) do Triângulo de Sierpinsky? đ?‘ = đ?‘†đ??ˇ ⇔ ⇔ 3 = 2đ??ˇ ⇔ ⇔ 2đ??ˇ = 3 ⇔ ⇔ log 2đ??ˇ = log 3 ⇔ ⇔ đ??ˇ log 2 = log 3 ⇔ log 3 ⇔ log 2 ⇔ đ??ˇ = 1.585 ‌ ⇔đ??ˇ =

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Com efeito, a dimensão do Triângulo de Sierpinsky não Ê um número inteiro.

Temos entĂŁo que: đ?‘ = đ?‘†đ??ˇ ⇔ ⇔ đ?‘†đ??ˇ = đ?‘ ⇔ ⇔ log đ?‘† đ??ˇ = log đ?‘ ⇔ ⇔ đ??ˇ log đ?‘† = log đ?‘ ⇔ ⇔đ??ˇ =

log đ?‘ log đ?‘†

Concluímos então que a dimensão (D) de objetos autossemelhantes, fractais ou não, Ê dada pela fórmula acima demonstrada. É de realçar que estes objetos são geometricamente autossemelhantes, ou seja, cada uma das suas partes são uma cópia reduzida exata do objeto inicial. Esta fórmula para calcular a dimensão apenas pode ser considerada na anålise de objetos que têm autossemelhança exata (e não autossemelhança estatística).

Como podemos observar, uma linha, um quadrado ou um cubo, figuras euclidianas, possuem todas elas dimensão inteira. Inversamente, os objetos fractais, apresentam todos eles dimensão fracionåria, como no caso do Triângulo de Sierpinsky, ou inteira consoante a sua estrutura.

Fig. 7 - Comparação dimensão euclidiana/fractal (Fractais, s.d.)

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4. Teoria do Caos "O Caos não tem estátua nem figura e não pode ser imaginado; é um espaço que só pode ser conhecido pelas coisas que nele existem e ele contém o universo infinito."

- Frances A. Yates Na mitologia Grega, o Caos era considerado o estado não organizado, de onde tudo surgiu. O caos precedeu a origem do mundo como o conhecemos, do cosmos na sua totalidade. Este é definido pelo famoso Astrónomo Carl Sagan como sendo “Tudo o que já foi, tudo o que é e tudo o que será”.

No seguimento da mitologia Grega, somente a partir do estabelecimento do cosmos, foi possível a aparente ordem do mundo como o conhecemos.

Mas muitos fenómenos não podiam ser previstos segundo esta aparente ordem, nem por leis matemáticas.

Os fenómenos ditos “caóticos” eram aqueles onde não existia previsibilidade, onde não era possível fazer previsões recorrendo a ferramentas logicomatemáticas tradicionais. Estes são por exemplo, o gotejar de uma torneira; nunca se sabe a frequência com que as gotas de água caem e não podemos determinar uma equação que possa descrevê-la.

Fig. 8 - Atrator de Lorenz e a Teoria do Caos (Teoria do Caos)

Atualmente, com o desenvolvimento da Matemática e das outras Ciências Físicas, a Teoria do Caos surgiu com o objetivo de explicar o funcionamento de sistemas complexos e dinâmicos. Esta pretende prever o que consideramos ser o acaso e demonstrar que, na realidade, este é um fenómeno que pode ser descrito por equações matemáticas.

A dita ciência do caos é relativamente recente, e pretende dar resposta às flutuações erráticas e irregulares que se encontram na natureza. Esta defende a ideia de que num determinado sistema a mínima alteração pode consequentemente causar enormes e imprevisíveis Fig. 9 - Efeito Borboleta 20 Abril de 2017 (Geometria Fractal e Teoria do Caos)

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mudanças no futuro.

Esta teoria obteve mais reconhecimento no início de 1960 devido às descobertas de Edward Lorenz, um meteorologista Americano, quando este percebeu que fenómenos aparentemente simples demonstravam um comportamento extremamente caótico. Estes efeitos praticamente não causavam alterações em curtos períodos de tempo, no entanto, extrapolavam-se à medida que este se tornava maior, assim produzindo padrões completamente diferentes. A este fenómeno Lorenz deu o nome de Efeito Borboleta.

Este efeito, segundo a cultura popular, afirma que o bater de asas de uma simples borboleta poderia influenciar o curso natural dos sistemas terrestres, e causar um furacão do outro lado do mundo. É de extrema importância que se tenha bem claro que o Caos não é desordem, mas sim imprevisibilidade, é a busca da ordem no aparente acaso. O sistema caótico não é aleatório nem desordenado, pois existe uma ordem e um padrão no sistema como um todo. É o que chamamos de Caos determinístico, pois existe uma equação que define o seu comportamento.

Há sempre uma ordem escondida no Caos.

A Teoria do Caos recebeu um novo impulso quando, na década de 70, Benoît Mandelbrot notou que as equações de Lorenz coincidiam com as que ele próprio havia criado enquanto desenvolvia os fractais. A conjugação da experiência de Lorenz com a matemática de Mandelbrot indica que o caos está na essência de tudo, sendo este que molda o universo.

O estudo dos Fractais está ligado à Teoria do Caos, que busca padrões organizados de comportamento dentro de um sistema aparentemente aleatório.

Exemplo do Caos na Vida Quotidiana: 

Imaginemos um indivíduo que tinha um teste importante no dia seguinte. Este estava a estudar quando, de repente, adormece.

Consequentemente, por não ter estudado, a sua nota baixa 0.5 valores. Inicialmente esta descida aparenta ser irrelevante, no entanto, devido a esta, a nota de ingresso deste indivíduo também diminui, e este fica assim incapaz de concorrer para a 21

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universidade que pretendia. Assim, entra para uma faculdade diferente. Com efeito, as relações que vem a estabelecer vão ser completamente diferentes das que viria a ter se não tivesse adormecido naquela noite, assim como o seu possível emprego e família (tanto a companheira, filhos e netos).

Este exemplo ilustra perfeitamente o que que a teoria do caos defende.

O que inicialmente aparenta ser apenas uma alteração insignificante acaba por trazer mudanças drásticas na vida do individuo, alterando-a completamente. A vida, os colegas, a família, os filhos e até os netos deste seriam completamente distintos.

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5. Exploração de alguns fractais famosos 5.1.

Atrator de Lorenz

A noção de que, na meteorologia, perante as mesmas causas são produzidos os mesmos efeitos, não implica que perante causas semelhantes se verifiquem efeitos tambÊm semelhantes.

Foi esta uma das premissas em que Edward Lorenz, matemĂĄtico e meteorologista do sĂŠculo XX, se baseou para desenvolver um sistema que tinha a finalidade de simplificar e melhorar a forma como se representavam os fenĂłmenos meteorolĂłgicos na atmosfera.

Fig. 10 - Atrator de Lorenz (Atrator de Lorenz, s.d.)

Trata-se de um sistema tridimensional, determinístico e dinâmico que apresenta um comportamento caótico, ou seja, que evolui ao longo do tempo num padrão complexo não repetitivo.

Apesar de, inicialmente, ter como finalidade a previsĂŁo do clima, a evolução deste sistema ao longo do tempo ĂŠ definida por equaçþes algo complexas, trĂŞs equaçþes diferenciais nĂŁo lineares. đ?‘‘đ?‘Ľ = đ?‘Ž(đ?‘Ś − đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ś = đ?‘Ľ(đ?‘? − đ?‘§) − đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘§ = đ?‘Ľđ?‘Ś − đ?‘?đ?‘§ đ?‘‘đ?‘Ą em que t corresponde ao tempo. x, y e z definem o estado do sistema. a, b e c sĂŁo constantes que influenciam o desenvolvimento da estrutura do atractor.

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Fig. 11 - Diferentes formas que o atractor de Lorenz adquire para diferentes valores de a,b e c. (Atrator de Lorenz, s.d.)

Hoje, através de programas de computador avançados podemos confirmar que a mais ínfima alteração nas condições iniciais do sistema origina uma alteração total nas soluções deste a longo prazo. Para se conseguir ter uma previsão exata seria necessária uma precisão infinita na medição das grandezas implicadas. Algo que é impossível uma vez que essas grandezas são medidas por aparelhos de que têm sempre erros associados.

Fig. 12 - Evolução de duas trajetórias (amarela e azul) partindo de dois pontos a uma distância de 10−5 um do outro (sensibilidade das soluções ás condições iniciais). (Atrator de Lorenz, s.d.)

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Fig. 13 - Diferentes perspetivas do atrator de Lorenz para a=10, b=28, c=8/3 (Atrator de Lorenz, s.d.)

5.2.

Curva de von Koch

Em 1906, surgisa, pela primeira vez, num artigo intitulado "Une méthode géométrique élémentaire pour l'étude de certaines questions de la théorie des courbes planes" redigido por Helge von Kock, um matemático sueco, o que é hoje conhecida como Curva de Koch.

Construção da Curva de Von Koch: i.

Começa-se por dividir o segmento de reta em três partes iguais.

ii.

Em seguida, substitui-se o segmento médio por dois segmentos iguais, de modo a que, o segmento médio e os dois segmentos formem um triângulo equilátero

iii.

Obteve-se então, 4 segmentos de reta sucessivos nãocolineares de igual extensão.

iv.

Posteriormente, repetem-se os passos 1 a 2 para cada um dos segmentos.

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v.

E assim sucessivamente, repetindo processo recursivo (‘’ad infinitum’’).

indefinidamente

este

A curva de Koch viria mais tarde a dar origem ao ‘’Floco de Neve de Kock’’ também conhecido como ‘’Ilha de Kock’’. Ambas as figuras se baseiam no mesmo processo de construção, com a diferença de que a curva de Koch tem como figura inicial um segmento de reta, e o Floco de Neve de Kock, um triângulo equilátero que é composto por três desses segmentos de reta.

Então, para obtermos este novo fractal, podemos recorrer ao mesmo processo recursivo, que se repete em cada um dos lados do triângulo.

Começaremos, então, por: i.

Dividir igualmente os três segmentos da nossa figura de partida, o triângulo equilátero, construindo-se sobre cada um dos segmentos médios um novo triângulo equilátero.

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ii.

Em seguida repetir-se-á o processo de construção sobre cada um dos lados da figura obtida anteriormente. E para as figuras seguintes o processo repete-se. Obtém-se assim a seguinte sequência de figuras:

Como é que varia o número e o comprimento dos lados da curva com as transformações?

Por cada nova transformação que se faz, cada lado dá origem a quatro novos lados por sua vez, e supondo que cada lado do triângulo inicial mede 1 unidade. Os lados de cada nova figura são três vezes mais pequenos que os da figura anterior.

Tab. 1 – Relação entre o número de lados e o comprimento destes na Curva de Von Kock



O número de lados de cada figura em função do número de passos é dado pela expressão Mn = 3 × 4n, em que n é o número de passos. Correspondendo a mesma a uma sucessão crescente.



O comprimento dos lados de cada figura em função do número de passos é dado pela expressão Nn = 3−n , e neste caso a sucessão é decrescente.

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5.3.

Conjunto de Julia

Enquanto Gaston Julia, matemåtico francês, estudava o campo da Dinâmica Analítica Complexa, definiu o Conjunto de Julia como sendo um fractal inserido sobre o plano complexo.

Este pode ser interpretado como o conjunto de pontos gerados pela iteração �(�) = � 2 + � Em que z Ê um número complexo e c Ê uma constante.

Existem vårios conjuntos de Julia, todos eles muito diferentes uns dos outros. A partir da iteração acima descrita, Ê possível gerar todos os ditos conjuntos, mudando apenas o valor de w.

Neste caso, o valor de w determina a formação de um determinado conjunto em particular. Quando, por exemplo, � = 0 obtemos um círculo unitårio.

Fig. 14 - Exemplo do conjunto de Julia para quando � = 0.285 +

Fig. 15 - Exemplo do conjunto de Julia para quando đ?‘¤ = −0.702 − 0.384đ?‘–

Fig. 16 - Exemplo do conjunto de Julia para quando � = 0

(Conjunto de Julia)

(Conjunto de Julia, s.d.)

0.01đ?‘– (Conjunto de Julia)

Este conjunto ĂŠ, na verdade, complementar ao conjunto desenvolvido pelo matemĂĄtico francĂŞs Pierre Fatou, o conjunto de Fatou. Com efeito, estes dois conjuntos sĂŁo muitas vezes referidos como conjuntos FatouJulia.

A diferença entre estes dois conjuntos reside no facto de na função que define o conjunto de Fatou todos os valores se comportarem de forma quase similar, por iteraçþes repetidas, e no conjunto de Julia os referidos valores variarem de modo a que uma pequena perturbação possa ser 28

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a causa de uma mudança drĂĄstica no sistema. Deste modo ĂŠ possĂ­vel afirmar que o comportamento de uma função definida pelo conjunto de Fatou ĂŠ “regularâ€?, enquanto que o conjunto de Julia possui um comportamento “caĂłticoâ€?.

5.3.1. Relação com o Conjunto de Mandelbrot Como vimos anteriormente, o conjunto de Julia Ê definido analiticamente pela expressão complexa �(�) = � 2 + �, em que a constante w Ê característica de cada um dos ditos conjuntos.

Com efeito, no Conjunto de Mandelbrot, em cada ponto do plano complexo, o w correspondente ĂŠ diferente. Deste modo, um conjunto de Julia especĂ­fico pode ser definido em cada ponto do Conjunto de Mandelbrot. Este conjunto engloba entĂŁo todos os conjuntos de Julia existentes.

Fig. 17 - Conjunto de Mandelbrot como um catĂĄlogo de conjuntos de Julia (Julia Set)

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5.4.

Conjunto de Mandelbrot

Em 1980, cinco anos após a publicação do livro “Objetos fractais”, onde introduziu o conceito de fractal, Mandelbrot apresenta pela primeira vez computacionalmente um conjunto desenvolvido no início do século XX por Pierre Fatou e Gaston Julia. Ambos matemáticos e interessados no estudo da dinâmica complexa, definiram analiticamente o que é hoje conhecido como Conjunto de Mandelbrot, Fatou definindo-o exatamente e Julia criando o seu próprio conjunto, sendo o Conjunto de Mandelbrot uma extensão do de Julia. No entanto, não puderam representá-lo à mão devido à sua excessiva complexidade. As suas espirais e filamentos enrolados em todas as direções proporcionam texturas e padrões infinitamente variados que só podem ser representados por computadores.

Fig. 18 - Conjunto de Mandelbrot (Conjunto de Mandelbrot, s.d.)

Como mostra a figura, este conjunto, na sua representação gráfica, pode ser infinitamente dividido em diversas figuras pretas, sendo a maior delas um cardióide (Fig. 19), localizado no centro do plano complexo. Existe uma infinidade de quase-círculos (o maior deles é a única figura que, de facto, é um Fig. 19 - Cardióide (Cardióide, s.d.)

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cĂ­rculo exato e localiza-se Ă esquerda do cardiĂłide) que tangenciam o cardiĂłide e variam de tamanho, com o raio tendendo para zero.

A construção do Conjunto baseia-se num processo iterativo da função đ?‘§đ?‘›+1 = đ?‘§đ?‘› 2 + đ?‘¤ onde Zn (n∈đ?‘ 0) e w sĂŁo nĂşmeros complexos e Z0 = 0. O conjunto de Mandelbrot ĂŠ entĂŁo definido como sendo o conjunto de todos os nĂşmeros complexos w tais que apĂłs um certo nĂşmero de iteraçþes đ?‘§đ?‘›+1 = đ?‘§đ?‘› 2 + đ?‘¤, z nĂŁo tende para o infinito. Iterando a função para cada ponto w do plano complexo, temos a sequĂŞncia de iteraçþes: đ?‘?1 = đ?‘?02 + đ?‘¤ ⇔ đ?‘?1 = đ?‘¤ đ?‘?2 = đ?‘?12 + đ?‘¤ ⇔ đ?‘?2 = đ?‘¤ 2 + đ?‘¤ đ?‘?3 = đ?‘?22 + đ?‘¤ ⇔ đ?‘?3 = (đ?‘¤ 2 + đ?‘¤)2 + đ?‘¤ ‌ Se tomarmos alguns valores para w, temos: a. para w = 0: đ?‘?0 = 0; đ?‘?1 = 0; đ?‘?2 = 0; ‌ b. para w = -1: đ?‘?0 = 0; đ?‘?1 = −1; đ?‘?2 = 0; đ?‘?3 = −1; ‌ c. para w = i: đ?‘?0 = 0; đ?‘?1 = đ?‘–; đ?‘?2 = đ?‘– − 1; đ?‘?3 = −đ?‘–; đ?‘?4 = đ?‘– − 1; ‌ Verificamos, assim, dois tipos de sequĂŞncias (para w = 0 temos um ponto de convergĂŞncia e para w = -1 e w = i, temos sequĂŞncias periĂłdicas) que sĂŁo limitadas, pois permanecem dentro de um cĂ­rculo em que a distância Ă origem se mantem finita. No entanto, para certos valores de w, a função ĂŠ limitada afastando-se cada vez mais da origem. Vejamos alguns exemplos: d. para w = -3: đ?‘?0 = 0; đ?‘?1 = −3; đ?‘?2 = 6; đ?‘?3 = 33; đ?‘?4 = 1036; ‌ e. para w = 1: 31

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đ?‘?0 = 0; đ?‘?1 = 1; đ?‘?2 = 2; đ?‘?3 = 5; đ?‘?4 = 26; đ?‘?5 = 677; đ?‘?6 = 458330; ‌ Os conjuntos formados pelas sequĂŞncias limitadas e pelas sequĂŞncias ilimitadas preenchem todo o plano complexo e delimitam o Conjunto de Mandelbrot atribuindo-se uma cor, por exemplo, preto para o primeiro conjunto, isto ĂŠ, se a sucessĂŁo de cada valor w permanece limitada e, outras cores, consoante o nĂşmero de iteraçþes dos pontos para o segundo conjunto, isto ĂŠ, se a sucessĂŁo de cada valor w ĂŠ ilimitada.

Tal como abordåmos no tópico anterior, podemos encontrar no Conjunto de Mandelbrot os Conjuntos de Julia fazendo variar os valores do ponto w. É ainda de notar, como em qualquer outro fractal, a autossimilaridade deste conjunto (Fig. *). Sendo esta a característica das três que define um fractal, a mais evidente no Conjunto de Mandelbrot.

Fig. 20 - Ampliaçþes do Conjunto de Mandelbrot, obtidas por computador (Conjunto de Mandelbrot, s.d.)

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Parte III

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6. Geometria Fractal na Natureza Quanto mede a costa da Grã-Bretanha? Parece uma pergunta simples, mas em rigor não tem resposta. Ou tem muitas, para não dizer infinitas, o que acaba por dar no mesmo.

Porque, quanto mais pequena for a nossa “vara de medir”, e mais nos fixemos nos pormenores da costa, mais longa será.

Mandelbrot já fazia esta pergunta Fig. 21 - Meandros de um rio, organização num artigo publicado pela primeira fractal (Meandro fractal, s.d.) vez na revista Science em 1967, em que afirmava “Depende do que excluímos na medição, porque se medirmos com precisão crescente devemos adicionar o contorno de baías, rochas, grãos de areia e assim sucessivamente até níveis subatómicos. E isto acontece em qualquer medição.”

Dado que a natureza não é lisa, mas rugosa, tanto nas suas linhas como nas suas superfícies, Benoît propôs-se a abandonar as abstrações da geometria euclidiana e enfrentar a complexidade das formas naturais.

Foi então introduzida a geometria fractal na descrição de fenómenos naturais.

Os fractais são formas geométricas abstratas com padrões complexos que se repetem infinitamente. Estes podem ser encontrados em todo o mundo natural, desde o aspeto das nuvens, montanhas, árvores, relâmpagos, e até na distribuição das galáxias.

Fig. 22 - Objetos fractais na natureza (Geometria fractal na natureza, s.d.)

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Dado que na natureza as iterações autossemelhantes não são matematicamente perfeitas, na medida em que não se podem repetir indefinidamente, os fractais naturais são finitos, característica que os distingue dos fractais matemáticos.

Se observarmos com uma lupa uma pena de uma ave, veremos que as suas barbas são, por sua vez, penas diminutas. As folhas dos fetos, não são mais que pequenos fetos. Um floco de neve repete em cada uma das suas seis pontas a sua estrutura hexagonal. Um raio ramifica-se em “sub-raios” que se multiplicam em formas similares. Em todos estes exemplos é evidenciada a autossimilaridade dos fractais naturais.

O mesmo acontece na descrição de certos elementos do corpo humano, como na ramificação dos brônquios e dos bronquíolos nos pulmões, e até na descrição do ritmo cardíaco e do sistema circulatório. Por exemplo, o nosso sistema circulatório é constituído por um grande número de ramificações tubulares com os mais variados Fig. 23 - Pulmões, tamanhos, que oxigenam e removem os organização fractal (Fractais resíduos a nível celular. A luz demoraria no corpo humano, s.d.) cerca de um segundo a percorrer todo o sistema circulatório, visto que o comprimento desta ronda os 300 000 quilómetros. As ramificações deste podem então ser descritas por estruturas fractais.

Com efeito, alguns estudos no âmbito dos fractais revelaram ainda que um coração saudável bate a um ritmo fractal, e que um batimento cardíaco quase periódico poderá ser um sintoma de insuficiência cardíaca.

A Geometria Fractal pode então ser aplicada em diversas áreas do saber, que vão desde a engenharia, a química, a metalurgia, a arte e a medicina.

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7. Arte Fractal A introdução da Geometria Fractal como um novo ramo da matemática trouxe-nos algumas abordagens aos aspetos visuais e estéticos dos fractais, surgindo assim uma nova forma de arte, a arte fractal.

A arte fractal pode encontrar aplicações artísticas variadas, começando com detalhes bidimensionais como texturas, imagens e podendo mesmo vir a tomar uma forma tridimensional complexa como é o caso dos sons baseados em fractais, sendo estes então capazes de produzir sons semelhantes aos da natureza.

Nestes últimos anos, a arte fractal tem vindo a ganhar fama. Cada vez mais artistas usam programas especiais para a criação de arte usando fractais.

Alguns exemplos de arte fractal são:

Fig. 24 - Conjunto de Julia (Conjunto de Julia, s.d.)

Fig. 25 - Flor fractal (Flor fractal, s.d.)

Fig. 26 - Espiral fractal (Espiral fractal, s.d.)

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Bibliografia Frabetti, C. Geometria na Natureza. In C. Frabetti, A Matemática Da Natureza. Descobrir a Ciência.

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Gradiva.

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