Escola Secundário Dr. Jorge Correia - Tavira 2009/2010 Matemática A
O Triângulo de Pascal
Trabalho realizado por: Ana Rita Gonçalves Andreia Sousa Denise Martins 11ºA1
Matemática A O Triângulo de Pascal 11ºA1 – 2009/10
Professor: José Mesquita
Índice
Introdução...................................................................................................................................2 Biografia de Blaise Pascal............................................................................................................3 O Triângulo de Pascal..................................................................................................................4 Propriedades do Triângulo de Pascal.........................................................................................5 Simetrias...................................................................................................................................5 Potências de 2..........................................................................................................................6 Potências de 11........................................................................................................................6 Números Figurados ..................................................................................................................7 Números triangulares..................................................................................................7 Números hexagonais...................................................................................................8 Números quadrados....................................................................................................8 Números tetraédricos..................................................................................................9 Padrão do Stick de Hoquei........................................................................................................9 Padrão da espiga....................................................................................................................10 Números de Catalan ..............................................................................................................10 Triângulo de Sierpinsky ..........................................................................................................11 Números de Fibonnaci............................................................................................................12 Bibliografia.................................................................................................................................13
2
Matemática A O Triângulo de Pascal 11ºA1 – 2009/10
Introdução
No âmbito da disciplina de Matemática A propusemo-nos a realizar o trabalho cujo tema é Teoria dos números e evolução do conceito de número, sendo-nos posteriormente sorteado o trabalho acerca do Triângulo de Pascal. Em relação ao tema deste trabalho – Teoria dos números e evolução do conceito de número, pretendemos abordar um pouco de como surgiu o conceito de número e a importância do seu conhecimento, realçar o facto de ainda hoje os números estarem presentes em qualquer actividade do Homem, desde a mais simples até à mais complexa. Podemos então dizer que temos como objectivo conhecer a origem, evolução, aplicação e propriedades dos números. Sobre o Triângulo de Pascal, que é o nosso tema, primeiramente o nosso objectivo foi perceber como era constituído e porque era tão falado por todo o mundo. Primeiramente realizamos uma biografia Blaise Pascal, com o objectivo de perceber um pouco acerca da vida deste homem, que contribuiu para o avanço do Triângulo, que tem seu nome. Seguidamente fizemos uma breve introdução ao Triângulo de Pascal e posteriormente apresentamos as suas principais propriedades. Após a conclusão deste trabalho verificamos que nos surgiram algumas dificuldades, nomeadamente na compreensão de algumas das fórmulas relativas ao tema, mas para as suas compreensões contámos com o auxílio do professor da disciplina de Matemática A. Em relação ao que ficámos a perceber, foi com certeza mais do que percebíamos ao início. Ficámos a saber como é constituído o Triângulo de Pascal e como podemos, também nós, fazer um. Para além disso percebemos algumas da fórmulas relativas ao tema. Em suma, achamos que este trabalho foi importante para ganharmos conhecimentos que nos iram ser importantes para o futuro.
3
Matemática A O Triângulo de Pascal 11ºA1 – 2009/10
Pascal Blaise Pascal nasceu a 19 de Julho de 1623, em Clermont-Ferrand, na França, filho de Étienne Pascal e Antoniette Bejon. Quando tinha apenas três anos, perdeu a mãe e, como era o único filho do sexo masculino, o pai encarregou-se da sua educação. A educação de Pascal foi baseada em jogos e exercícios para despertar a razão e o juízo, tendo sido deste modo que aprendeu disciplinas como Geografia, História e Filosofia. Sendo-lhe a Matemática ensinada mais tarde, pois o seu pai afastava-o dos livros desta área, o que fez crescer em Pascal grande curiosidade sobre aqueles “estranhos” assuntos. Mais tarde, por intermédio de conversas e leitura de obras não censuradas pelo pai, descobriu as maravilhas da ciência e dos números, tudo isto com a ausência de um professor. Aos 12 anos, o pai descobriu-o a desenhar no chão figuras geométricas a carvão, e por esta altura descobriu que a soma dos ângulos de um triângulo é igual à de dois ângulos rectos, ou seja, Pascal chegou sozinho ás proposições da matemática de Euclides, velho sábio. Assim foi-lhe autorizado o estudo da matemática. Seu pai, embora não muito ortodoxo, frequentava a casa do Padre franciscano Marin Mersene, casa que era frequentada por muitas personalidades importantes e que, aos 14 anos, Pascal passou a frequentar também e onde, com 16 anos, apresentou vários teoremas de Geometria Projectiva. Mais tarde, a fim de ajudar o pai, dedicou-se á criação de uma máquina de calcular e desenvolvendo também importantes estudos que tiverem como inspiração as descobertas de Torricelli sobre a pressão atmosférica. A partir de 1647, Pascal passou a dedicar-se ao estudo da aritmética, desenvolveu cálculos de probabilidade, a fórmula de geometria do acaso, o tratado sobre as potências numéricas e o conhecido Triângulo de Pascal de que iremos falar. Mas o trabalho excessivo minou a sua saúde, débil por natureza, caindo gravemente doente. Em 1648 frequentou, com sua irmã Jacqueline, os seguidores de Saint-Cyran, que o levaram ao misticismo de Port-Royal. Depois da morte do pai, o seu fervor religioso arrefeceu um pouco, iniciando-se o chamado período mundano de Pascal, devido à proibição médica de dedicar-se a trabalhos intelectuais, prejudiciais à sua saúde, e à prática de exercícios de penitência.
4
Matemática A O Triângulo de Pascal 11ºA1 – 2009/10 Pascal faleceu à primeira hora da madrugada de 29 de Agosto de 1662, aos 39 anos, vítima de um tumor maligno no estômago. As suas últimas palavras foram: "Que Deus jamais me abandone!".
O Triângulo de Pascal A denominação deste triângulo varia muito ao longo do mundo. Se bem que os franceses o chamem triângulo de Pascal, os chineses chamam-no de triângulo de Yang Hui, os italianos chamam-no de triângulo de Tarataglia e encontramos outras denominações como triângulo de Tartaglia-Pascal ou simplesmente triângulo aritmético ou triângulo combinatório. É um triangulo numérico infinito formado por binómios de Newton , onde representa o número da linha (posição vertical) e representa o número da coluna (vertical). O triângulo foi descoberto pelo matemático chinês Yang Hui, e 500 anos depois várias de suas propriedades foram estudadas pelo francês Blaise Pascal. As ideias sobre o triângulo aritmético foram redescobertas e introduzidas várias vezes e em todos os locais onde se estudou ou estuda Matemática. 1 1 1 1 1 1 1 1
7
2 3
4 5
6
1 3
6 10
15 21
1 1 4 10 20
35
1 5
15 35
1 6
21
1 7
1
… O triângulo de Pascal é um triângulo aritmético formado por números que têm diversas relações entre si. Muitas dessas relações foram descobertas pelo próprio Pascal, o que justifica o nome que lhe é dado. Este triângulo forma-se do seguinte modo: as diagonais de fora são formadas por 1's, os restantes números são a soma dos números acima. Como exemplo podemos dizer que: 10=4+6 (10-linha 5; 4 e 6-linha 4). 5
Matemática A O Triângulo de Pascal 11ºA1 – 2009/10
NOTA: Considera-se que o topo do triângulo corresponde à linha 0, coluna 0.
Apresentando a fórmula matemática para esta propriedade:
sendo n o número de linhas e k o número de colunas dessa linha onde o número está (não se conta com o topo do triângulo, pois numa sucessão definida por recorrência tem que existir uma condição inicial, tal é 1).
Uma outra consequência é a soma dos elementos de uma linha.
Pascal ao constatar este resultado particularizou o método da indução para um determinado valor e disse que o mesmo sucederia para os restantes. Pascal relaciona o triângulo aritmético com a teoria das probabilidades da qual foi também pioneiro.
Propriedades do triângulo de Pascal 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
8 9
6
10
35
1 5
15 35
70 106
1 4
20
56 84
3
10
21
1
6
15
28 36
3
5
7
2
4
6
1
6 21
56 106
1 1 7 28
84
1 8
36
1 9
1
Matemática A O Triângulo de Pascal 11ºA1 – 2009/10
... É de realçar que o triângulo é simétrico. Por isso os elementos equidistantes aos extremos do triângulo iguais. Encontramos também os números naturais aqui, na 2ª diagonal. Quando um deles for primo (isto é, apenas divisível por ele próprio e por 1) então todos os elementos dessa linha, excluindo o 1, são divisíveis por ele. Temos como exemplo na linha 7: 1 7 21 35 35 21 7 1 como 7 é primo então 7, 21 e 35 são divisíveis por ele.
Potências de 2: Como Pascal observou, a soma de cada linha é uma potência de 2. Assim temos:
Linha 0: 2 0=1 Linha 1: 21=2 (1+1) Linha 2: 22=4 (1+2+1) Linha 3: 23=8 (1+3+3+1) ...
Potências de 11: Podemos verificar também que existem potências de 11, neste triângulo. Linha 0: 110=1(100)=1 Linha 1: 111=1(101)+1(100)=10+1=11 Linha 2: 112=1(102)+2(101)+1(100)=100+20+1=121 Linha 3: 113=1(103)+3(102)+3(101)+1(100)=1000+300+30+1=1331 Linha 4: 114=1(104)+4(103)+6(102)+4(101)+1(100)=14641 ... 7
Matemática A O Triângulo de Pascal 11ºA1 – 2009/10
1 1 1 1
2
1
3
1 1
1
4 5
3
1
6
4
10
10
1 5
1
… Sendo que: a maior potência de cada soma corresponde a linha que estamos a considerar; os coeficientes das potências são os elementos da linha em questão;
• •
Números Figurados:
Números figurados são aqueles que nos permitem formar figuras geométricas e podemos encontrá-los nos triângulo de Pascal, passamos a dar alguns exemplos, nomeadamente os triangulares, os hexagonais, os quadrados, na terceira diagonal e os tetraédricos na quarta. Os números triangulares: 1 1 1 1
1
3
1 1
1 2
4 5
3
1
6
4
10
10
1 5
1
…
1
8
3
6
10
15
Matemática A O Triângulo de Pascal 11ºA1 – 2009/10
É de notar que estes números são alternadamente dois ímpares dois pares, podendo ser alcançados através de sucessões por recorrência através da fórmula T(n)= n(n+1)/2. Os números hexagonais: Como a partir dos números triangulares se podem obter os números hexagonais H(n)=n(2n-1), é possível vê-los aqui também. 1
6
28
15
45
Os números quadrados: Esta diagonal contém ainda os números quadrados, pois se somarmos o primeiro elemento ao segundo (1+3) obtemos o 4 que é um número quadrado, ao somarmos o segundo ao terceiro elemento (3+6) ficamos com o número 9, também ele um número quadrado, e assim por diante. Para além do que estamos habituados a fazer (a 2) podemos também representar estes números sobre a forma geométrica: 1
9
4
9
16
25
Matemática A O Triângulo de Pascal 11ºA1 – 2009/10
Os números tetraédricos: Os números tetraédricos (1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, ...), formam tetraedros (pirâmide regular com base triangular). A sua fórmula é:
sendo o seu termo geral :
Durante a nossa pesquisa descobrimos alguns padrões que são verificados ao longo de todo o triângulo e que dão um aspecto curioso e nos incentivaram a continuar a estudá-lo. Seguidamente damos alguns exemplos:
Padrão do Stick de Hóquei 1 1 1 1 1 1 1 1 1
8
3
5
7
6
15
1 4
10 20
35 56
1 3
10
21 28
2
4
6
1
1 5
15 35
70
1 6
21 56
1 7
28
1 8
1
... Neste padrão verifica-se que um certo número de uma diagonal somados equivale ao número imediatamente abaixo, não estando nessa mesma diagonal.
10
Matemática A O Triângulo de Pascal 11ºA1 – 2009/10
Pode-se constatar tal resultado através de uma fórmula combinatorial, bastante útil:
Padrão da espiga 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
8 9
36
3 6
21
10 20
35 56
84
1 4
10 15
28
1
3
5
7
2
4
6
1
5 15
35 70
106
1 6 21
56 106
1 1 7 28
84
1 8
36
1 9
1
... Considerando as diagonais do Triângulo. Pode-se verificar que a soma dos primeiros n elementos da n-ésima diagonal é igual ao (n+1)-ésimo elemento dessa mesma diagonal. É interessante observar que esses elementos das diagonais vão estar todos numa coluna.
Números de Catalan Se dividirmos os elementos centrais do triângulo pelos números naturais respectivamente, obteríamos a sucessão: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, ... que se chamam números de Catalan. Assim genericamente temos:
Cn = [1/(n+1)] x 2nCn = (2n)! /(n!(n+1)!)
11
Matemática A O Triângulo de Pascal 11ºA1 – 2009/10
O triângulo de Sierpinsky Este triângulo é fractal, ou seja, é um processo recursivo, que neste caso, em particular se vai repetindo o número de triângulos equiláteros.
Se ao triângulo de Pascal apagarmos os números ímpares o resultado é um triângulo de Sierpinsky, o mesmo sucede se em vez dos pares tivermos os ímpares. Ora vejamos, 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
8 9
10
15
70
1 6
21 56
126 252
1 5
35
126 210
4
20
56
1
10
35
84 120
6
15
28
1 3
10
21
36 45
3
5
7
2
4
6
1
7 28
84 210
1 8
36 120
... De modo análogo teríamos para os números ímpares.
12
1
1 9
45
1 10
1
Matemática A O Triângulo de Pascal 11ºA1 – 2009/10
Os números de Fibonacci
Os números de Fibonacci aparecem com frequência na natureza. Esses números começam pelo 1, cada um dos seguintes é a soma dos dois anteriores. No triângulo de Pascal os números Fibonacci aparecem como soma dos números das diagonais secundárias.
13
Matemática A O Triângulo de Pascal 11ºA1 – 2009/10
Bibliografia
•
http://www.qfojo.net/criar+/mat/comb/curi_nat.htm
•
http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/pasca_l/pascal .htm
•
14
http://pt.wikipedia.org/wiki/Blaise_Pascal