Matemáticas y su didáctica III

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Manuales universitarios de Teleformación Grado en Educación Primaria Víctor Manuel Hernández Suárez Agustín Morales González

Matemáticas y su didáctica III

2013

Manuales universitarios de Teleformación Grado en Educación Primaria

30 • Matemáticas y su didáctica III

© del texto:

Víctor Manuel Hernández Suárez Agustín Morales González © de la edición:

Vicerrectorado de Profesorado y Planificación Académica UNIVERSIDAD DE LAS PALMAS DE GRAN CANARIA

Primera edición, 2013 ISBN:

978-84-9042-068-3

Depósito Legal: GC 1122-2013

Diseño y maquetación:

Servicio de Publicaciones y Difusión Científica UNIVERSIDAD DE LAS PALMAS DE GRAN CANARIA

Impresión:

Servicio de Reprografía, Encuadernación y Autoedición UNIVERSIDAD DE LAS PALMAS DE GRAN CANARIA

Impreso en España. Printed in Spain

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Índice

PRESENTACIÓN ................................................................................................................................11 INTRODUCCIÓN DE LA ASIGNATURA ............................................................................................13 UNIDAD DE APRENDIZAJE 1. EL LENGUAJE DE LA ESTADÍSTICA Y SU DIDÁCTICA ..............17 PRESENTACIÓN ..................................................................................................................................19 OBJETIVOS ..........................................................................................................................................19 ESQUEMA DE LOS CONTENIDOS ......................................................................................................20 EXPOSICIÓN DE LOS CONTENIDOS ..................................................................................................20 1. Generalidades................................................................................................................................20 1.1. Recorrido histórico ..............................................................................................................20 1.2. La Estadística en las Ciencias de la Educación ..............................................................25 1.3. Etapas de un estudio estadístico........................................................................................25 1.4. Conceptos básicos ..............................................................................................................26 1.4.1. Muestra y población....................................................................................................26 1.4.2. Caracteres de los elementos de una población o de una muestra........................27 1.4.3. Estadística descriptiva y Estadística inferencial ......................................................27 1.5. Aplicaciones de la Estadística ............................................................................................27 1.6. La Estadística como materia cultural ................................................................................28 1.7. Estadística y Evaluación. Funciones y Análisis de las tareas del Profesor..................28 2. Tablas y gráficas estadísticas ......................................................................................................29 2.1. Tablas de frecuencias ..........................................................................................................29 2.2. Gráficos estadísticos............................................................................................................32 2.2.1. Gráficos para caracteres cualitativos ........................................................................32 2.2.2. Gráficos para caracteres cuantitativos......................................................................38 2.2.2.1. Variables discretas ..............................................................................................38 2.2.2.2. Variables continuas ............................................................................................40 3. Medidas de centralización ..........................................................................................................42 3.1. La media aritmética..............................................................................................................42

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3.2. La media aritmética ponderada..........................................................................................46 3.3. La moda (Mo) ......................................................................................................................46 3.4. La mediana (Me) ..................................................................................................................47 4. Medidas de posición (cuantiles: cuartiles, deciles y percentiles)............................................58 4.1. Cuartiles ................................................................................................................................58 4.2. Deciles y percentiles ............................................................................................................58 5. Medidas de dispersión ................................................................................................................59 5.1. Introducción ........................................................................................................................59 5.2. Recorrido o rango................................................................................................................60 5.3. Rango o recorrido intercuartílico ......................................................................................60 5.4. Varianza ................................................................................................................................61 5.5. Desviación típica..................................................................................................................62 5.6. Propiedades de la desviación típica ..................................................................................62 5.7. Coeficiente de variación de Pearson (CV)........................................................................63 6. Diagramas de tallos y hojas y de cajas y bigotes......................................................................63 6.1. Diagramas de Tallos y Hojas..............................................................................................64 6.2. Diagramas de Cajas y Bigotes ............................................................................................66 7. Recursos informáticos ................................................................................................................69 7.1. Estadística con Excel ..........................................................................................................69 7.2. Estadística con SPSS ..........................................................................................................71 7.3. Internet como herramienta didáctica................................................................................76 8. Orientaciones curriculares ..........................................................................................................78 8.1. La Estadística en las orientaciones curriculares de Educación Primaria ....................79 8.2. Principios y Estándares (NCTM - SAEM THALES)....................................................81 ACTIVIDADES ......................................................................................................................................84 BIBLIOGRAFÍA....................................................................................................................................106 EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN ..................................................................................................111 SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN ................................................................117 GLOSARIO ........................................................................................................................................118 UNIDAD DE APRENDIZAJE 2. VARIABLES ESTADÍSTICAS BIDIMENSIONALES. REGRESIÓN Y CORRELACIÓN ......................................................................................................121 PRESENTACIÓN ................................................................................................................................123 OBJETIVOS ........................................................................................................................................123 ESQUEMA DE LOS CONTENIDOS ....................................................................................................124 EXPOSICIÓN DE LOS CONTENIDOS ................................................................................................125 1. Consideraciones generales ...................................................................................................... 125

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2. Diagramas de dispersión ..........................................................................................................126 3. Tablas de frecuencias para variables bidimensionales ..........................................................127 4. Correlación..................................................................................................................................128 4.1. Concepto de Correlación ................................................................................................128 4.2. Tipos de Correlación ........................................................................................................129 4.3. Concepto de covarianza....................................................................................................130 4.4. Coeficiente de correlación lineal de Pearson ................................................................131 4.5. Tipos de dependencia según los valores del coeficiente de correlación ..................134 4.6. El coeficiente de determinación R2 ................................................................................136 5. Regresión o ajuste ......................................................................................................................138 5.1. Concepto ............................................................................................................................138 5.2. Regresión lineal mínimo cuadrática ................................................................................139 6. Uso de la hoja de cálculo Excel. Modelos de actividades resueltas ....................................142 7. La relación entre variables ordinales: el coeficiente de correlación de los rangos de Spearman ................................................................................................................................150 ACTIVIDADES ....................................................................................................................................155 BIBLIOGRAFÍA....................................................................................................................................163 EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN ..................................................................................................166 SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN ................................................................172 GLOSARIO ........................................................................................................................................173 UNIDAD DE APRENDIZAJE 3. AZAR Y PROBABILIDAD Y SU DIDÁCTICA ................................175 PRESENTACIÓN ................................................................................................................................177 OBJETIVOS ........................................................................................................................................177 ESQUEMA DE LOS CONTENIDOS ....................................................................................................178 EXPOSICIÓN DE LOS CONTENIDOS ................................................................................................178 1. Generalidades..............................................................................................................................178 1.1. Recorrido histórico............................................................................................................178 1.2. El azar en la realidad ........................................................................................................180 1.3. Conceptos básicos ............................................................................................................182 2. Enfoques de la probabilidad ....................................................................................................184 2.1. Clásico ................................................................................................................................184 2.2. Frecuentista o Empírico ..................................................................................................185 2.3. Bayesiano o Subjetivo........................................................................................................187 2.4. Axiomático..........................................................................................................................188 2.5. Reflexiones sobre los diferentes enfoques probabilísticos..........................................190 3. Probabilidad condicionada........................................................................................................190

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3.1. Definiciones. Teoremas fundamentales..........................................................................190 3.2. Los diagramas de árbol como herramienta didáctica ..................................................197 3.3. La renormalización en diagramas arbóreos como alternativa al teorema de Bayes ....198 4. Razonamiento combinatorio ....................................................................................................199 4.1. El Papel de la Combinatoria en la Enseñanza y Aprendizaje de la Probabilidad ....199 4.2. Análisis Combinatorio ......................................................................................................201 5. Orientaciones curriculares ........................................................................................................205 5.1. Introducción del pensamiento aleatorio en Educación Primaria ..............................205 5.2. El currículo de “Tratamiento de la información, azar y probabilidad” en la Educación Primaria ................................................................................................206 5.3. Principios y Estándares (NCTM – SAEM THALES) ................................................215 6. Materiales y recursos didácticos ..............................................................................................216 ACTIVIDADES ....................................................................................................................................221 BIBLIOGRAFÍA....................................................................................................................................227 EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN ..................................................................................................232 SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN ................................................................237 GLOSARIO ........................................................................................................................................238 UNIDAD DE APRENDIZAJE 4. MODELOS DE PROBABILIDAD ..................................................239 PRESENTACIÓN ................................................................................................................................241 OBJETIVOS ........................................................................................................................................241 ESQUEMA DE LOS CONTENIDOS ....................................................................................................242 EXPOSICIÓN DE LOS CONTENIDOS ................................................................................................242 1. Variable aleatoria ........................................................................................................................242 2. Distribuciones de probabilidad de variables discretas ..........................................................243 2.1. Parámetros de una variable aleatoria discreta ................................................................245 2.2. Modelo experimental de variable aleatoria discreta......................................................246 2.3. La distribución binomial o de Bernoulli ........................................................................247 2.3.1. Parámetros de una distribución binomial..............................................................250 2.3.2. Ejemplos de situaciones que corresponden a una distribución binomial ........251 2.3.3. El uso de las tablas de la distribución binomial....................................................253 2.4. La distribución de Poisson ..............................................................................................254 3. Distribuciones de probabilidad de variables continuas ........................................................258 3.1. La distribución normal o de Laplace-Gauss..................................................................260 3.1.1. La curva normal o campana de Gauss ..................................................................263 3.1.2. La Distribución Normal Estándar N (0,1). Tipificación de la variable ............265 3.1.3. Manejo de las tablas de la Distribución Normal Estándar ................................268

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3.1.4. Medidas de forma ....................................................................................................273 3.1.4.1. Medidas de asimetría ........................................................................................274 3.1.4.2. Medidas de apuntamiento o curtosis ............................................................275 3.2. Otras dos distribuciones de probabilidad continuas ....................................................276 3.2.1. La distribución 2 (chi o ji cuadrado) de Pearson ................................................276 3.2.1. La distribución t de Student ....................................................................................278 ACTIVIDADES ....................................................................................................................................280 BIBLIOGRAFÍA....................................................................................................................................285 EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN ..................................................................................................287 SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN ................................................................292 GLOSARIO ........................................................................................................................................293 UNIDAD DE APRENDIZAJE 5. INFERENCIA ESTADÍSTICA ........................................................295 PRESENTACIÓN ................................................................................................................................297 OBJETIVOS ........................................................................................................................................298 ESQUEMA DE LOS CONTENIDOS ....................................................................................................298 EXPOSICIÓN DE LOS CONTENIDOS ................................................................................................299 1. Introducción................................................................................................................................299 2. Muestreos ....................................................................................................................................301 2.1. Distribuciones muestrales ................................................................................................303 2.1.1. Distribución muestral de medias ............................................................................304 2.1.2. Distribución muestral de proporciones ................................................................306 3. Estimación de parámetros ........................................................................................................307 3.1. Estimación puntual............................................................................................................307 3.2. Estimación por intervalos ................................................................................................308 3.2.1. Estimación de la media de una población m ........................................................309 3.2.2. Estimación de una proporción p ............................................................................312 3.2.3. Error máximo admisible ..........................................................................................313 3.2.4. Tamaño de las muestras ..........................................................................................314 4. Contrastes de hipótesis..............................................................................................................316 4.1. Introducción ......................................................................................................................316 4.2. Hipótesis estadísticas ........................................................................................................318 4.3. Errores ................................................................................................................................319 4.4. Región crítica y Región de aceptación ............................................................................320 4.5. Etapas del Contraste de Hipótesis ..................................................................................322 4.6. Contraste para el parámetro p de una distribución binomial......................................323 4.7. Contraste para la media de una población normal ......................................................325

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4.8. Tablas resumen sobre Contrastes de Hipótesis ............................................................327 4.9. Riesgos y Tipos de error al tomar decisiones y contrastar hipótesis ........................328 5. Aplicaciones de la t de student ................................................................................................330 5.1. Estimación de parámetros con la t de Student..............................................................332 5.2. Contrastes de hipótesis con la t de Student ..................................................................336 5.2.1. Contraste bilateral ....................................................................................................337 5.2.2. Contraste unilateral ..................................................................................................337 5.2.3. Ejemplos de contrastes con la t de Student ..........................................................337 6. Aplicaciones de la 2 de Pearson..............................................................................................339 6.1. Introducción ......................................................................................................................339 6.2. Pruebas de bondad de ajuste............................................................................................340 6.3. Pruebas de independencia. Tablas de contingencia......................................................344 6.4. Pruebas de homogeneidad ..............................................................................................349 7. Usos de la inferencia estadística ..............................................................................................351 ACTIVIDADES ....................................................................................................................................353 BIBLIOGRAFÍA....................................................................................................................................361 EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN ..................................................................................................363 SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN ................................................................369 GLOSARIO ........................................................................................................................................370 ANEXO ..............................................................................................................................................373

Presentación

Hace mil años se fundaron las primeras universidades en Europa y algunas de ellas aún perduran, demostrando su capacidad de pervivencia y adaptación a lo largo del tiempo. La Universidad de Las Palmas de Gran Canaria, sin embargo, no es una institución de enseñanza superior que hunda sus raíces en el Medievo. Desde su creación en 1989, la ULPGC se ha convertido en una universidad pública consolidada, en cuyas aulas se pueden estudiar todas las grandes áreas del saber, como muestra la amplia oferta académica de títulos de grado, posgrado y doctorado.

La relativa juventud de la Universidad de Las Palmas de Gran Canaria le ha permitido avanzar con paso decidido en la implantación de las Tecnologías de la Información y la Comunicación (TIC). Mientras otras universidades españolas con mayor tradición aún no han hecho más que tímidos avances en la incoporación de las TIC como apoyo a la enseñanza presencial, nuestra Universidad, desde hace ya varios años, no sólo ha apostado por su utilización, sino que incluso, ha sabido aprovechar estos progresos tecnológicos para ofertar algunas enseñanzas en modo no presencial.

El resultado es ya bien conocido por los cientos de estudiantes, tanto nacionales como extranjeros, que están cursando algunas de las titulaciones oficiales que la Universidad de Las Palmas de Gran Canaria oferta a través de su Estructura de Teleformación. En la actualidad, la ULPGC oferta titulaciones oficiales en la modalidad no presencial, que han permitido acercar nuestra Universidad a aquellos estudiantes que, por razones geográficas o por falta de disponibilidad horaria, no pueden acercarse de forma presencial a nuestras aulas. Paralelamente, se ha ido incrementando la oferta de estudios de posgrado y los títulos propios, también en la modalidad de enseñanza no presencial.

A pesar de los avances tecnológicos en el acceso a la información por parte de los estudiantes, somos conscientes de que los manuales y las guías docentes constituyen una pieza clave en el sistema de enseñanza universitaria no presencial. Nuestra Universidad ha sabido apostar por la edición de estos materiales didácticos, realizados por los expertos universitarios que imparten estas materias en el Campus Virtual de la ULPGC. No quiero dejar pasar la oportunidad para agradecer a sus autores la profesionalidad y el empeño que han puesto en la realización de estas obras.

Nadie puede asegurar cuántas de las universidades actuales pervivirán, no ya dentro de mil años, sino siquiera dentro de unas decenas de años. Pero no me cabe la menor duda de que, en el inmediato futuro que nos aguarda, aquellas instituciones universitarias que no sepan

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rentabilizar la utilización de las Tecnologías de la Información y la Comunicación, pueden comprometer seriamente su desarrollo inmediato. En este sentido, desde la Universidad de Las Palmas de Gran Canaria, podemos sentirnos satisfechos por el trabajo realizado hasta la fecha, aunque somos conscientes de que el camino por recorrer en los próximos años es prometedor.

José Regidor García RECTOR

Introducción de la asignatura

PRESENTACIÓN Matemáticas y su Didáctica III es una asignatura obligatoria de carácter didáctico-disciplinar que se imparte en tercer curso, primer semestre, de la titulación del Grado en Educación Primaria (GEP) y en el Curso de Adaptación al citado Grado. Está orientada a consolidar y profundizar la formación del futuro Graduado(a) en Educación Primaria en los contenidos de las Matemáticas básicas, en concreto en el campo de la Estadística, el Azar y la Probabilidad y de los procesos implicados en su enseñanza y aprendizaje.

Los contenidos se han organizado en torno a cinco Unidades de Aprendizaje, que tratan fundamentalmente sobre Estadística, Azar y Probabilidad y su Didáctica.

Las Unidades de Aprendizaje se han desarrollado con una orientación que integra el conocimiento de conceptos y destrezas con la actividad práctica y el uso de las Matemáticas en contextos concretos, así como el estudio de las dificultades de aprendizaje que plantean y las implicaciones curriculares que conllevan.

Se propone una metodología activa, que toma en consideración los principios didácticos que orientan actualmente la Didáctica de las Matemáticas.

Se formulan actividades didácticas significativas y se tienen en cuenta las concepciones de los estudiantes; se fomenta la participación del alumnado en un proceso de reflexión sobre el conocimiento matemático, y sobre los métodos de enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas. Estas actividades se han ejemplificado, en la medida de lo posible, en situaciones relacionadas con la Educación Primaria.

Las Matemáticas constituyen una disciplina fundamental en la formación del Graduado(a) en Educación Primaria por ser una materia clave de su competencia profesional.

Debemos resaltar la importancia de una buena educación matemática y su papel en la formación de las personas. Las Matemáticas son necesarias para el estudio de otras disciplinas, enseñan a pensar y constituyen parte de los cimientos sobre los que se construye un adulto libre y con capacidad de afrontar determinados cambios sociales.

El estudio de esta materia favorece la adquisición de las competencias matemáticas básicas y proporciona el conocimiento necesario sobre el currículo escolar; permite analizar, razonar y comunicar propuestas didácticas en el ámbito de las Matemáticas, así como plantear y resolver problemas vinculados con la vida cotidiana que hagan significativos los contenidos de

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la materia y proporciona conocimiento sobre la utilización didáctica de materiales de uso habitual y de aquellos específicamente diseñados para facilitar su enseñanza-aprendizaje en la Escuela Primaria.

Por su carácter de asignatura instrumental, mantiene relación con las asignaturas del Modulo de Enseñanza y Aprendizaje de las Ciencias Experimentales y de las Ciencias del Comportamiento.

Como materia que se ocupa de introducir los elementos básicos de una didáctica específica se apoya en las asignaturas de tipo psicopedagógico.

Asimismo, procura establecer relaciones interdisciplinares a través de sus distintos bloques de contenidos con distintas asignaturas, destacando de manera muy significativa las que están vinculadas a las Ciencias Sociales y al desarrollo de contenidos científicos.

La finalidad básica del programa es que los estudiantes revisen y organicen sus conocimientos de Estadística, Azar y Probabilidad y los completen ejercitándose en procedimientos básicos de construcción y razonamiento por un lado y en conocer los fundamentos psicopedagógicos del currículo escolar y sus características actuales.

Es fundamental el conocimiento del material didáctico escolar y a ello se prestará especial atención en todo el desarrollo de la asignatura. El ordenador es un excelente complemento y una potente herramienta didáctica, sobre todo bajo la forma de programas que ayudan en la enseñanza y aprendizaje de los conceptos estadísticos.

En la Educación Primaria se debe potenciar el desarrollo de las competencias matemáticas básicas: numéricas, de cálculo, de medida, geométricas, estadísticas, de organización e interpretación de la información y de azar y probabilidad.

La Estadística ha desempeñado un papel primordial en el desarrollo de la sociedad moderna, al proporcionar herramientas metodológicas generales para analizar la variabilidad, determinar relaciones entre variables, diseñar en forma óptima estudios y experimentos y mejorar las predicciones y toma de decisiones en situaciones de incertidumbre. Además de su carácter instrumental para otras disciplinas, se reconoce el valor del desarrollo del razonamiento estadístico en una sociedad caracterizada por la disponibilidad de información y la necesidad de toma de decisiones en ambiente de incertidumbre. Su enseñanza, ya desde la Escuela primaria, se justifica por las siguientes razones: • La Estadística es una parte de la educación general deseable para los futuros ciudadanos adultos, quienes precisan adquirir la capacidad de lectura e interpretación de tablas y gráficos estadísticos que con frecuencia aparecen en los medios informativos.

• Es útil para la vida posterior, ya que en muchas profesiones se precisan unos conocimientos básicos del tema.

• Su estudio ayuda al desarrollo personal, pues fomenta un razonamiento crítico, basado en la valoración de la evidencia objetiva.

• Ayuda a comprender los restantes temas del currículo, tanto de la Educación Obligatoria como de la posterior, donde con frecuencia aparecen gráficos, resúmenes o conceptos estadísticos.

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COMPETENCIAS Y OBJETIVOS Las competencias y los objetivos fundamentales relacionados con la asignatura son las siguientes: – Competencias Nucleares (ULPGC) • Comunicarse con agentes educativos usando todos los medios a su alcance.

• Potenciar la cooperación con otros docentes y con organizaciones profesionales.

• Contribuir a la formación permanente mediante procesos de investigación, desarrollo e innovación.

• Desarrollar prácticas profesionales respetuosas con los derechos humanos.

• Potenciar la integración multicultural.

– Competencias Específicas del Grado en Educación Primaria • Comprender la singularidad de las áreas curriculares de la Educación Primaria, su relación interdisciplinar, los criterios de evaluación y los conocimientos didácticos respectivos.

• Diseñar, planificar y evaluar propuestas pedagógicas, actividades y recursos didácticos eficaces, de acuerdo con las teorías psicoeducativas más importantes.

• Fomentar la lectura y el comentario crítico de textos científicos y culturales propios del currículo escolar.

• Fomentar la convivencia tanto en el aula como fuera de ella y estimular y valorar el esfuerzo, la constancia, la confianza y la superación en los estudiantes.

• Indagar y analizar información relevante en el ámbito educativo y adaptarse, con una actitud crítica, a los cambios científicos, pedagógicos y sociales.

• Mostrar habilidades de comunicación oral y escrita en castellano y en una lengua extranjera que permita a los estudiantes interaccionar socialmente en diferentes contextos profesionales.

• Reflexionar sobre las prácticas de aula y diseñar o participar en proyectos de investigación que permitan innovar y mejorar la labor docente.

• Conocer y aplicar selectivamente en las aulas las tecnologías de la información y de la comunicación (TIC).

– Competencias del Módulo didáctico-disciplinar: “Enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas” • Adquirir competencias matemáticas básicas: numéricas, de cálculo, de medida, geométricas, estadísticas, de organización e interpretación de la información y de azar y probabilidad.

• Conocer el currículo escolar de Matemáticas.

• Analizar, razonar y comunicar propuestas matemáticas.

• Plantear y resolver problemas vinculados con la vida cotidiana.

• Valorar la relación entre Matemáticas y Ciencias como uno de los pilares del pensamiento científico.

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• Desarrollar y evaluar contenidos del currículo mediante recursos didácticos apropiados y promover las competencias correspondientes en los estudiantes.

– Objetivos de la asignatura • Comprender la importancia de la competencia numérica, dada su incidencia en el resto de los contenidos matemáticos y en la vida cotidiana.

• Dominar las técnicas estadísticas básicas.

• Utilizar las Matemáticas como instrumento de modelización de la realidad.

• Conocer e integrar los aspectos científicos, culturales y sociales de las Matemáticas de la Educación Primaria.

• Efectuar consultas y trabajo documental sobre el currículo de Matemáticas en la Educación Primaria y los aspectos generales de la Didáctica de las Matemáticas.

• Manejar los medios, materiales, recursos didácticos y TIC que pueden usarse con efectividad en las Matemáticas de la Educación Primaria.

• Adquirir competencias en Excel, SPSS y en cualquier otro software de interés didáctico para la enseñanza y aprendizaje de la Estadística.

ESQUEMA DE LOS CONTENIDOS Los contenidos para el desarrollo del curso vienen marcados por la reflexión que hemos hecho en la presentación del programa y las competencias y los objetivos que hemos propuesto. Están recogidos en las siguientes 5 Unidades de Aprendizaje básicas: El Lenguaje de la Estadística y su didáctica

Inferencia estadística

MATEMÁTICAS Y SU DIDÁCTICA III

Modelos de probabilidad

Variables estadísticas bidimensionales.

Correlación y regresión

Azar y Probabilidad y su didáctica