1. 2.
INTRODUCCIÓ ................................................................................................... 3 MARC TEÒRIC .................................................................................................... 5 2.1. SO...................................................................................................................... 5 2.1.1. Propagació del so .................................................................................................. 5 2.1.1.1. Classificació de les ones................................................................................. 5 Segons mitjà de propagació ......................................................................................................5 Moviment de les partícules respecte la direcció de propagació ...............................................6 Direcció......................................................................................................................................7
2.1.1.2.
Moviments..................................................................................................... 7
Moviment periòdic ....................................................................................................................7 Moviment oscil·latori ................................................................................................................9 Moviment vibratori ...................................................................................................................9 Moviment ondulatori ..............................................................................................................15
2.1.2. Propietats del so.................................................................................................. 17 2.1.2.1. Magnituds físiques ...................................................................................... 17 Freqüència............................................................................................................................... 17 Període ....................................................................................................................................17 Longitud d'ona.........................................................................................................................17 Nombre d'ones ........................................................................................................................17 Freqüència angular..................................................................................................................18 Amplitud..................................................................................................................................18 Fase .........................................................................................................................................18 Velocitat ..................................................................................................................................18 Potència...................................................................................................................................21
2.1.2.2. Principi de Huygens ..................................................................................... 22 2.1.2.3. Reflexió ........................................................................................................ 23 2.1.2.4. Refracció...................................................................................................... 24 2.1.2.5. Difracció....................................................................................................... 26 2.1.2.6. Reverberació................................................................................................ 27 2.1.2.7. Ressonància................................................................................................. 28 2.1.3. So en la música.................................................................................................... 28 2.1.3.1. To................................................................................................................. 29 2.1.3.2. Durada......................................................................................................... 30 2.1.3.3. Intensitat ..................................................................................................... 32 2.1.3.4. Timbre ......................................................................................................... 32
2.2.
TUB SONOR..................................................................................................... 33
2.2.1.
So en els tubs sonors........................................................................................... 33
Interferències en un tub..........................................................................................................33 Ones estacionaries en un tub ..................................................................................................34 Vibració de la columna i harmònics en un tub obert. ............................................................. 36 Vibració de la columna i harmònics en un tub tancat. ............................................................ 38 Com afecta l'amplada del tub sonor a la freqüència produïda ...............................................41
2.2.1.1. Lleis de Bernoulli.......................................................................................... 42 2.2.2. Instruments de vent ............................................................................................ 43 2.2.2.1. Com obtenim diferents notes? .................................................................... 43 2.2.2.2. Classificació ................................................................................................. 44
3.
Vent fusta ................................................................................................................................ 44 Vent metall .............................................................................................................................. 45
MARC PRÀCTIC ................................................................................................ 47 3.1.
Com es toca una quena? .........................................................................................................47
Anàlisi proporcional de diferents quenes ...................................................... 48
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
3.1.1. 3.1.2. 3.1.3.
Mesures............................................................................................................... 48 So......................................................................................................................... 54 Anàlisi .................................................................................................................. 58
3.2.1. 3.2.2. 3.2.3. 3.2.4.
Material ............................................................................................................... 60 Disseny ................................................................................................................ 61 Modificacions ...................................................................................................... 68 Resultat ............................................................................................................... 70
3.2.
4. 5.
Juli Serra Balaguer
Construcció d'una quena amb una impressora 3D ........................................ 60
CONCLUSIONS ................................................................................................. 73 BIBLIOGRAFIA.................................................................................................. 75 Llibres: .....................................................................................................................................75 Webs:.......................................................................................................................................75
2
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
Juli Serra Balaguer
1. INTRODUCCIÓ Ja fa anys que sabia que quan fes batxillerat hauria de fer un treball de recerca, el que no sabia és com seria aquest procés i el resultat que n'he tret. Pensava que seria molt més feixuc i que no m'ho passaria bé fent-lo. Realment estic content del treball que he fet i de poder-vos-el ensenyar.
Un treball de recerca hauria de portar als alumnes a descobrir coses noves, endinsar-los en el món del plaer d'aprendre per si sol. Una manera de fer veure que es pot entendre i treballar sobre moltes coses que no s'ensenyen a l'institut. Foment de la formació autodidacta, l'autonomia. Ajudar als alumnes a perdre's i saber-se trobar. Que l'alumne, a part d'aprendre, faci ell de mestre dels que vindran darrera seu, grans o petits que llegeixin el seu treball i gaudeixin de l'aprenentatge i la feina ben feta. Així doncs em tocava a mi fer un treball de recerca, el primer pas era triar el tema.
Quan em disposava a trobar un tema de recerca que em fos prou interessant i em motivés vaig pensar en la física, doncs és un camp que m'agrada i m'és còmode treballar-hi. També estava començant a desenvolupar un cert gust cap a les matemàtiques i tenia clar que el meu treball havia d'incloure "numerets" d'alguna manera o altra. Amb això al cap, el professor de matemàtiques que tenia a primer de batxillerat va fer una presentació a la classe sobre un possible treball de recerca sobre el so i les proporcions dels intervals musicals. Això em va obrir els ulls. Jo sóc músic, toco el trombó de vares. I si pogués combinar la música amb les matemàtiques en el meu treball de recerca? Cada cop anava tenint més clar el tema del treball. Em va sorgir un tema molt ampli que englobava física, música i matemàtiques: Què fa que puguem sentir els instruments de vent? A partir d'aquí van anar sortint molts apartats diferents a treballar. En un principi en volia incloure uns quants que no eren estrictament d'aquests àmbits: Com funciona la nostra oïda? Com funciona la gravació, edició i reproducció de sons? Però a mesura que anava treballant en el que havia de ser el tema principal m'anava adonant que aquests conceptes tan amplis no tindrien cabuda en un treball de recerca, que ha de ser com més concret possible millor. Així doncs, vaig anar reduint el tema de recerca fins arribar al que està escrit al títol d'aquest treball. "Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent". Deixant espai, però, a la física per definir el so i les propietats d'aquest i deixant a la música una aparença anecdòtica en l'estudi. Un cop definit el tema de recerca tocava plantejar-me uns objectius als quals arribar, tot i que feia mesos que la meva recerca havia començat. Sabia que no podria fer un treball experimental gaire extens: no podria fer enquestes, no hi havia, en principi, cap hipòtesi per verificar...
Així doncs, els objectius que em vaig plantejar i em va semblar una bona idea va ser fer alguna cosa material. Com que ja havia fet servir abans una impressora 3D vaig pensar en dissenyar una flauta i imprimir-la. Finalment vaig acabar-me decantant per la Quena, un instrument com una flauta però més simple de l'Amèrica del sud. Els objectius del treball es poden resumir en tres:
3
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
Juli Serra Balaguer
Aprendre els principis físics i matemàtics que permeten l'afinació dels instruments de vent. Estudiar les proporcions de diferents quenes per a comprovar la teoria apresa Dissenyar i imprimir la meva pròpia quena.
Amb aquests objectius i, com he dit, sense cap hipòtesi per confirmar començava el meu treball de recerca. Per a fer la part teòrica del treball m'he basat en dos llibres, un de física que tenia a casa i un d'acústica que em va deixar la Victòria Carnicer, la professora de música del centre. També he extret informació d'internet. Aquesta part és molt bibliogràfica, un recull i tractament d'informació.
Com ja he dit per la part pràctica vaig pensar en imprimir una quena. Per a fer-ho primer vaig analitzar quenes reals per a establir proporcions que pogués traslladar a la impressió. Vaig comptar amb l'estimada ajuda d'en Ton Miserachs que m'ha fet les impressions amb la seva impressora 3D. Cada impressora pot imprimir amb una mida màxima, les quenes són instruments que volten els 40 cm de longitud així que he dissenyat una quena petita. Per a comprovar que la quena esta afinada correctament he utilitzat un software d'Android gratuït que serveix per afinar instruments que bàsicament analitza la freqüència que rep el micròfon. El software utilitzat per a fer el disseny 3D també és gratuït i permet fer dibuixos en dues i tres dimensions i després exporta-los en un format que pot tractar un altre software que no he arribat a utilitzar però el que fa és crear un arxiu que pot ser imprès en 3D per una impressora concreta. Aquesta és la metodologia que he utilitzat en el meu treball de recerca, espero que us agradi.
4
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
Juli Serra Balaguer
2. MARC TEÒRIC Aquest apartat del treball serà una introducció a la teoria física i matemàtica del so i dels tubs sonors. Coneixements que seran necessaris per al desenvolupament de la part pràctica. Definirem què és el so, com el percebem i com actua en els tubs sonors, així com també el seu ús en la música i com aquesta classifica els diferents sons.
2.1. SO
El so és tot allò que impressiona el sentit de l'oïda. Es produeix per vibracions dels cossos. És necessari que el cos productor vibri, la forma d'obtenir aquesta vibració pot ser molt diversa. Si el cos productor deixa de vibrar el so s'acaba, es pot observar si s'impedeix la vibració d'una de les branques d'un diapasó. Un cop el so es produït és necessari un medi per transportar-lo. Aquest pot ser sòlid, líquid o gas. Generalment es parla de l'aire com a medi principal per a transportar el so. Es pot comprovar que sense medi el so no es transporta produint un so en el buit. Per últim, per a que es produeixi el so ens cal un receptor. Sense ell només hi hauria moviment vibratori i les ones que produeix però no so. Generalment el receptor són és la nostra oïda.
Amb aquests tres elements que són necessaris per a que hi hagi so el podem definir d'una manera més tècnica: Sensació experimentada quan arriben a la oïda ones produïdes per determinats moviments vibratoris. Amb la tecnologia moderna s'ha pogut separar cada un dels elements que formen el so en l'espai i el temps. La possibilitat de gravar una senyal acústica permet que un so pugui ser rebut en un moment posterior i diferent lloc a on ha sigut produït.
Així doncs, ens tocarà estudiar físicament tots aquests moviments que permeten l'existència del so. El cos productor realitza un moviment de tipus vibratori que és un cas particular del moviment oscil·latori i aquest a la vegada del moviment periòdic. Aquesta vibració es transporta per un medi en forma de moviment ondulatori. Anem a estudiar tots aquests moviments i les seves característiques.
2.1.1.
Propagació del so
El so es propaga per l'espai com una ona. Des de que es produeix fins que el rebem actuarà com a tal i seguint les seves característiques. La propagació del so no és diferent per a cada so, sent indiferents les característiques de l'ona en concret, però si que es comporta com una ona general i és el que estudiarem a continuació.
2.1.1.1.
Classificació de les ones
Una ona és una propagació per l'espai d'una pertorbació. És important entendre que no es transporta matèria, només l'energia de la pertorbació. A continuació detallarem diferents tipus d'ones classificant-les segons diferents paràmetres.
Segons mitjà de propagació
Segons com sigui la pertorbació que es transporta per l'espai serà d'unes característiques o unes altres. Trobem dos grans grups:
5
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
Juli Serra Balaguer
Ones electromagnètiques Són originades per una oscil·lació del camp elèctric que provoca un canvi en el camp magnètic. Aquest canvi en provoca un altre en el camp elèctric i així successivament. Aquestes ones no necessiten un medi material per propagar-se, ja que es propaguen canviant les propietats físiques de l'espai, així que es poden propagar pel buit. Són ones que es propaguen a velocitats molt elevades, a l'escala dels 3 ∗ 10 / . Ones mecàniques Són produïdes per la compressió i descompressió successiva de la matèria. Per tant, com es evident, necessiten un medi material per a propagar-se. La matèria afectada per aquestes ones oscil·la sobre un punt fix, es a dir, la ona no transporta matèria. Les velocitats de propagació d'aquestes ones són molt més lentes i depenen del medi com veurem més endavant. El so, el nostre objecte d'estudi, és una ona mecànica.
Moviment de les partícules respecte la direcció de propagació
Aquesta distinció només té sentit dins les ones mecàniques, ja que en les electromagnètiques no hi intervé la matèria. Distingirem la direcció en que oscil·len les partícules i la direcció de propagació i les compararem. Veurem dos grups i una barreja dels dos: Propagació transversal Les partícules es mouen en un eix del pla i l'ona es propaga en l'altre. És el que passa quan es fa vibrar una corda.
Propagació longitudinal En aquest cas les partícules avancen i retrocedeixen quan oscil·len en la direcció de propagació, tot passa en una sola dimensió. És el cas de l'aire que es contrau i dilata dins un tub sonor. És el tipus de propagació que ens interessarà per al treball. Propagació mixta És una mescla dels dos anteriors. Si es fa vibrar un panell dins un líquid aquest transportarà les ones d'aquesta manera, longitudinalment i lleugerament transversal. És com vibren les membranes vibrants o tambors. (Fig 1)
Fig 11 Propagació mixta
1
Fig 1: Calvo A. i Ruiz M. (1991) Acústica Fisico-Musical p. 36
6
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
Juli Serra Balaguer
Direcció
Segons la o les direccions en que es propagui l'ona serà d'un tipus o altre. Les classificarem segons les dimensions que tingui aquesta direcció: Ona unidimensional Ona que només es propaga en una sola direcció. Un exemple seria una molla.
Ona bidimensional Ona que es propaga en un pla. Les onades sobre l'aigua en calma quan s'hi ha llençat un objecte són un exemple d'aquestes ones. Ona tridimensional Ona que es propaga per tot l'espai. El so és un exemple d'ona tridimensional.
Així doncs, el nostre objecte d'estudi, que és el so dins els tubs sonors, és una ona mecànica, tridimensional i que es propaga longitudinalment.
2.1.1.2.
Moviments
Per arribar a entendre bé com es comporten les ones sonores per l'espai hem de comprendre què és el moviment ondulatori. Per a fer-ho hem de saber que aquest moviment esta englobat dins de molts altres i analitzar-los una mica tots.
Moviment periòdic
Un cos realitza un moviment periòdic quan, en intervals regulars de temps, passa pels mateixos punts amb el mateix sentit. Hi ha molts exemples d'aquest moviment; el moviment dels planetes, pèndols, suspensions, etc... Com que la diversitat de moviments periòdics que existeixen els classifiquem en diferents grups segons característiques comunes. A més, cada moviment queda definit per unes magnituds que l'identifiquen particularment i el diferencien de la resta del seu grup. Aquestes magnituds queden recollides en el següent quadre: (Fig 2) Magnituds d'espai Magnituds de temps Cicle Període Elongació Fase Amplitud Temps d'amplitud Freqüència Fig 22 Magnituds del moviment periòdic
Cicle (c). És el recorregut que realitza el cos des d'un punt fins a tornar a estar en el mateix amb el mateix sentit, una volta. Es mesura amb unitats de dimensions L, en el SI el metre (m). Elongació (x). Distància en un temps concret entre la posició del cos i la posició de repòs. Es mesura igualment amb unitats de longitud. Amplitud (A). Distància entre el punt d'equilibri i cada un dels punts extrems. La distància entre dos posicions extremes serà per tant 2A. Es mesura també en unitats de longitud. La amplitud és també la màxima elongació, ja que és el màxim que el cos es pot separar de la posició d'equilibri. Comparant la definició de cicle amb la d'amplitud es dedueix que el cicle és igual a quatre amplituds: c = 4A (Fig 3) 2
Fig 2: Elaboració pròpia
7
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
Juli Serra Balaguer
Fig 33 Moviment periòdic
Període (T). És el temps entre dues passades pel mateix punt amb el mateix sentit. És el temps del cicle. Té de dimensions T i es mesura en segons (s). Fase (φ). És el temps necessari perquè el cos es desplaci des de la posició d'equilibri a un punt de la seva trajectòria o a l'inrevés i sempre pel camí més curt. Es mesura en segons. Tant la Fase com la Elongació són magnituds variables, en cada moment són diferents fins que es completa un cicle i es tornen a repetir. S'anomena Fase inicial ( ) a la fase en el moment inicial d'observació. Es diu Diferència de Fase (Δφ) entre dos moviments d'igual Període al temps que passa entre que un moviment té elongació zero, passa pel punt de repòs, fins que hi passa l'altre moviment. Si la diferència de fase es zero vol dir que els dos moviments van alhora, es diu que estan en fase o quadratura. Si el temps és la meitat del període ( ) es diu que estan en oposició i si el temps és la quarta part del període ( ) s'anuncia que el primer te un
avançament de fase de ( ) sobre el segon. Temps d'Amplitud ( ). És el temps que tarda el cos en anar des de la posició de repòs fins a cada un dels extrems. És també el valor més gran que pot tenir la fase. Analitzant la definició de període amb la de temps d'amplitud es dedueix que el període és igual a quatre vegades el temps d'amplitud: = 4 . Freqüència (f). És el nombre de vegades que el cos realitza un cicle en una unitat de temps. Per tant es mesura en cicles per segon (c/s). Com que el nombre de cicles no té dimensió les dimensions de la freqüència són o T . Les unitats en el SI serien ( ) anomenats Hertz (Hz) en honor al físic alemany Henry Hertz (1857-1894).
La freqüència i el període estan relacionats entre si. Si a realitzar un cicle es tarden T segons com es defineix el període i, per altra banda, en 1 segon es fan f cicles com queda definida la freqüència, s'obté que resolent la proporció establerta: =
1
o bé
=
1
És a dir, el període i la freqüència són magnituds inverses.
3
Fig 3: Calvo A. i Ruiz M. (1991) Acústica Fisico-Musical p. 20
8
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
Juli Serra Balaguer
Moviment oscil·latori
El cas més important de moviment periòdic és el moviment oscil·latori i és quan el mòbil es desplaça en una trajectòria rectilínia o curvilínia recorrent-la en un sentit i en el contrari. Distingirem aleshores dos grups de moviment oscil·latori, el rectilini i el curvilini. Per a fer aquest treball només ens centrarem en el moviment oscil·latori rectilini, que és el que donarà lloc al moviment vibratori.
L'exemple més clar de moviment oscil·latori rectilini és un pes penjat d'una molla, una vegada es mou el pes de la situació de repòs aquest puja i baixa. Si no tenim en compte el fregament i la molla és perfectament elàstica aquest moviment es repetirà indefinidament. Farà un moviment oscil·latori rectilini perfecte. (Fig 4)
Fig 44 Moviment oscil·latori rectilini
La distància des del punt de repòs a cada un dels extrems serà la amplitud i fins a qualsevol punt serà la elongació. El temps que tarda el cos des d'una posició a la mateixa amb la mateixa direcció serà el període i dependrà del pes del cos i la elasticitat de la molla. Com més pesi el cos més gran serà el seu període i la seva amplitud.
En aquest moviment, el pas consecutiu del mòbil per un mateix punt amb el mateix sentit s'anomena oscil·lació, enlloc de cicle. La freqüència ,per tant, serà el nombre d'oscil·lacions per unitat de temps i també prendrà per unitat el Hertz (Hz).
Cal destacar en aquest moviment que la velocitat no és constant. Cada mig període ha de canviar de direcció. En els punts de màxima amplitud la velocitat serà zero per a canviar la direcció. En el punt d'equilibri serà quan la velocitat sigui màxima en els dos sentits. Si la velocitat no és constant no es poden aplicar proporcionalitats espai-temps, es a dir, el mòbil no tardarà sempre el mateix a recórrer la mateixa distància dins el recorregut.
Moviment vibratori
Un cas particular del moviment oscil·latori rectilini és el moviment vibratori. Quan les oscil·lacions són molt petites se les anomena vibracions, donant lloc al moviment vibratori. Per tant, el moviment vibratori és un moviment oscil·latori rectilini d'oscil·lacions molt petites. Se'n diu vibració al ràpid moviment oscil·latori que es realitza en determinats cossos elàstics quan una força els treu de la seva posició d'equilibri o repòs. En aquests moviments la magnitud oscil·lació rep el nom de vibració. La resta de magnituds del 4
Fig 4: Calvo A. i Ruiz M. (1991) Acústica Fisico-Musical p. 22
9
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
Juli Serra Balaguer
moviment periòdic es mantenen iguals ja que el moviment vibratori és un cas particular del moviment periòdic.
Es diu que un moviment és harmònic quan les forces que provoquen el desplaçament apunten cap a la posició d'equilibri, fent que el moviment es mantingui constant indiferentment del temps. També rep el nom d'harmònic totes les components d'un procés periòdic la freqüència de la qual és múltiple de la freqüència fonamental i es produeixen alhora.
Quan el cos vibra seguint una sola trajectòria s'anomena simple. Sinó s'anomena complex o compost. Anem a estudiar primer el moviment vibratori harmònic simple i després ens anirem complicant. Representació gràfica del moviment harmònic simple Si en un sistema d'eixos de coordenades traslladem les elongacions del cos a l'eix de les ordenades i el temps a l'eix de les abscisses obtindrem un gràfic de posició respecte el punt d'equilibri respecte el temps.
Suposem que el cos ja està en moviment quan iniciem la observació ( ) i que en aquest moment ja té una elongació ( ) amb el que tindrà una fase inicial ( ). En el temps el cos arriba a la elongació màxima, és a dir, a l'amplitud positiva ( ′). En aquest moment canvia de sentit i comença a moure's en sentit contrari fins que arriba al punt d'elongació nul·la, al punt de repòs a l'instant . Comença a allunyar-se del punt de repòs fins a quan la elongació del cos torna a ser màxima, és a dir, l'amplitud negativa ( ′′) igual en magnitud que l'amplitud positiva però de sentit contrari. Passat un temps torna a la posició de repòs i a l'instant la elongació torna a tenir el mateix valor que tenia al començar l'observació. En aquest instant s'ha completat una vibració completa en el temps d'un període (T). Unint els punts obtinguts s'obté la representació gràfica del moviment realitzat pel cos en qüestió. (Fig 5)
Fig 55 Representació del moviment vibratori harmònic simple
5
Fig 5: Calvo A. i Ruiz M. (1991) Acústica Fisico-Musical p. 27
10
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
Juli Serra Balaguer
Com que és un moviment harmònic les següents vibracions seran idèntiques a aquesta, per tant només en necessitem representar una per conèixer el comportament del moviment. Aquesta representació ens informa de totes les magnituds del moviment, podent conèixer en qualsevol moment les seves característiques. La única magnitud que no queda representada gràficament és la freqüència, però al conèixer el període queda clar el seu valor ( = 1/ ).
Aquesta corba s'anomena sinusoïdal, ja que és la mateixa que s'obté al representar la projecció sobre l'eix d'ordenades d'un punt que es desplaça a velocitat constant sobre una circumferència, és a dir, al representar la funció sinus. Anem a analitzar com es representa la funció sinus i quines avantatges ens proporciona al ser tant similar al moviment harmònic.
Es defineix gràficament el sinus de l'angle α, definit pel punt P, com la perpendicular PQ traçada pel punt P a l'eix d'abscisses. Traslladant aquesta perpendicular traçada per cada un dels punts de la circumferència a contrarellotge a un sistema d'eixos de coordenades s'obté una gràfica sinusoïdal. (Fig 6)
Fig 66 Representació de la funció sinus
Quan el punt P es mou amb velocitat uniforme el moviment del punt Q és harmònic simple. La corba obtinguda d'aquesta representació serà també una corba sinusoïdal ja que és la variació del sinus de l'angle en cada punt P. Com que són iguals les representacions d'un cos que realitza un moviment vibratori i la d'un punt que recorre una circumferència a velocitat constant podem transformar el moviment vibratori en un moviment circular uniforme. Això ens proporciona el gran avantatge de que el circular és un moviment uniforme per tant es poden establir proporcions entre espai i temps, cosa que no podíem fer amb el moviment periòdic.
La magnitud del temps es pot expressar, a part de en segons, en fraccions de període o en angles de la circumferència mesurats en graus o radians. Fer una volta completa a la circumferència vol dir recórrer 360 graus o 2π radians i haver fet servir un temps d'un període per tant: ( ) = 360(º) = 2 (radians)
6
Fig 6: Calvo A. i Ruiz M. (1991) Acústica Fisico-Musical p. 28
11
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
Juli Serra Balaguer
Aleshores qualsevol fracció del període es podrà transformar en graus o radians i viceversa. Per exemple els punts d'amplitud seran, per la positiva: I per la negativa:
/4( ) = 90(º) = /2 (radians)
3 /4( ) = 270(º) = 3 /2 (radians)
Amb aquestes relacions entre temps i posició en el moviment circular podrem escriure l'equació del moviment harmònic.
Equació del moviment harmònic Com que el moviment harmònic no es realitza a velocitat constant necessitarem una expressió per determinar el valor de la elongació a partir de les magnituds fixes del moviment. Aquestes són la amplitud, la freqüència, el temps transcorregut des de l'instant inicial i, si és el cas, la fase inicial.
Per a fer-ho farem servir el moviment circular uniforme d'un punt que recorre una circumferència en sentit contrari a les agulles del rellotge, per tant definirem les magnituds: (Fig 7) la velocitat angular, també anomenada pulsació. t el temps. l'angle inicial o el temps inicial (fase inicial).
Fig 77 Desmostració de la Equació del Moviment Harmònic
Comencem a observar el moviment quan el cos es troba al punt P, que determina l'angle . Quan ha passat un temps t el cos es troba al punt Q i haurà recorregut un espai igual a la velocitat angular multiplicada pel temps, és a dir . En aquest moment l'angle recorregut des de l'origen serà + . La elongació (x) del punt Q serà QM que és a la vegada el sinus de l'angle + .
7
Fig 7: Calvo A. i Ruiz M. (1991) Acústica Fisico-Musical p. 29
12
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
Trigonomètricament podem dir que:
sin(
Juli Serra Balaguer
)=
+
Però QM és la elongació (x) i OQ és l'amplitud A. Aleshores: sin(
)=
+
Aïllant la elongació, que és el que volem deixar en funció de les altres magnituds: = sin(
+
)
Aquesta és la equació general del moviment harmònic.
Ara bé, normalment no sabrem la velocitat angular del cos ja que s'obté al fer el procés invers. Ens cal, doncs, substituir-la per una magnitud coneguda. Abans hem dit que ho faríem amb la freqüència. Per fer-ho cal adonar-nos que, quan el punt hagi recorregut una volta sencera, haurà tardat el temps d'un període, per tant haurà recorregut l'espai de que és el mateix que 2π radians o 360 graus. Aleshores: = 2 = 360
On en radians: O en graus: Però
= 1/ , aleshores en radians:
I en graus:
2
= = =
=
360
2 =2 1/
360 = 360 1/
Deixant l'equació general de les dues formes següents: En radians: En graus:
= sin(2
+
)
= sin(360
+
)
Al fer el càlcul cal recordar fer servir el sinus en radians o en graus corresponentment.
13
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
Juli Serra Balaguer
Farem l'exemple de calcular l'elongació d'un cos que realitza un moviment vibratori de freqüència 200Hz i una amplitud de 2mm amb una fase inicial de π/4 quan han passat 45 segons. Aplicant la equació en radians:
= sin(2
+
)
= 2 ∗ sin(2 ∗ 200 ∗ 45 + π/4) = 2 ∗ sin(18000 + π/4) = 2 ∗ sin
72001 4
= 1,41
Com que l'amplitud la hem escrit en mm la elongació també ens surt directament en mm. Si fem el mateix en graus, cal recordar que π/4 radians són 45 graus: = sin(360
+
)
= 2 ∗ sin(360 ∗ 200 ∗ 45 + 45) = 2 ∗ sin(3240000 + 45) = 2 ∗ sin(3240045) = 1,41
Si el resultat hagués sigut negatiu significaria que la elongació és negativa. A la realitat els sons no es formen per moviments vibratoris simples sinó per la suma de molts d'aquests, el que s'anomena un moviment vibratori complex.
Moviment vibratori complex, Teorema de Fourier El matemàtic francès Jean-Baptiste-Joseph Fourier (1768 - 1830) va enunciar el que ara és conegut com a Teorema de Fourier que relaciona els moviments vibratoris, sigui quin sigui el seu grau de complexitat, amb moviments vibratoris simples. L'enunciat del teorema diu el següent: Un moviment vibratori qualsevol, de període T i freqüència f, és sempre expressable com una suma de moviments harmònics simples el període dels quals són , , , , . i les freqüències , 2 , 3 , 4 , .
És a dir, sigui quina sigui la forma d'una corba periòdica complexa pot ser descomposta en un nombre indefinit de sinusoides. La inversa també seria certa; la suma de diversos moviments harmònics simples de diferents períodes dóna com a resultat un moviment vibratori complex. Mitjançant la transformada de Fourier podem sumar algebraicament les ordenades de les corbes per cada abscissa, on el resultat és una corba periòdica no sinusoïdal com correspon a un moviment vibratori complex. (Fig 8)
14
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
Juli Serra Balaguer
Fig 88 Moviment Vibratori Complex
Moviment ondulatori
Quan un moviment vibratori es propaga en un medi elàstic es forma en aquest un moviment ondulatori. Anomenarem ONA a la vibració periòdica del medi. La vibració es propaga des del centre de la pertorbació a una velocitat que depèn únicament de certes propietats físiques del medi i no de la velocitat del desplaçament inicial. Es produeix una ona sempre que el fenomen es propaga per un medi material però aquesta no implica el desplaçament de matèria.
Un exemple clar del moviment ondulatori és quan es deixa caure un objecte sobre la superfície de l'aigua. Aquest objecte arriba a la superfície amb una certa velocitat i provoca una pertorbació, una vibració, en el punt d'impacte. Aquest efecte es tradueix en petites ones que s'allunyen formant circumferències concèntriques a partir del punt de pertorbació. Aquestes ones es produeixen a una distància igual les unes de les altres. La velocitat a la que avancen les ones dependrà de les característiques de l'aigua i no de la velocitat amb que ha caigut el cos que ha provocat la pertorbació. Un petit tros de suro flotant sobre la superfície de l'aigua pujarà al arribar una ona i baixarà al passar, sense canviar de posició. Posant de manifest que la ona transporta energia, no matèria. Un cop la pertorbació cessi es deixaran de formar ones noves però es seguiran veient les anteriors. El front d'ones és el lloc geomètric de tots els punts que presenten el mateix estat de vibració. Cada cercle sobre la superfície de l'aigua és un front d'ones. La distància entre dos fronts d'ones de la mateixa ona serà d'una longitud d'ona. El raig és la representació de la propagació d'una ona en una sola direcció. És una recta amb inici al punt de pertorbació i final al punt d'observació. És perpendicular als fronts d'ones. Quan la pertorbació és molt llunyana es pot dir que els rajos que arriben a diferents punts arriben de forma paral·lela.
Posem ara per exemple d'ona, que entra més en el context d'aquest treball, la vibració de l'aire dins un tub sonor. Suposem que l'aire ed l'extrem d'un tub sonor és obligat a vibrar, no només una vegada, sinó periòdicament. Durant mig període l'aire es desplaçarà en un sentit i en l'altre mig període en l'altre sentit, sempre paral·lel al tub i a la propagació de la ona. El tren continu de pertorbacions resultant es propagarà a una velocitat que dependrà de l'aire. Formarà una ona longitudinal. 8
Fig 8: Calvo A. i Ruiz M. (1991) Acústica Fisico-Musical p. 32
15
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
Juli Serra Balaguer
Per comprendre la mecànica d'aquesta ona longitudinal considerarem un tub ple d'aire amb un èmbol en un extrem. L'èmbol realitza un moviment harmònic simple paral·lel a la direcció del tub. Durant una part de cada oscil·lació es forma una regió del tub amb més pressió que la pressió d'equilibri, una compressió (zones negres). Seguint la producció d'una compressió s'origina una zona amb una pressió inferior a la d'equilibri, una dilatació (zones clares). (Fig 9)
Fig 99 Moviment d'una ona longitudinal
El moviment d'una sola partícula del medi, representada pel punt negre, és harmònic simple i paral·lel a la direcció de propagació. En aquest cas la longitud d'ona és la distància entre dues condensacions o dilatacions successives.
9
Fig 9: Calvo A. i Ruiz M. (1991) Acústica Fisico-Musical p. 39
16
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
2.1.2.
Juli Serra Balaguer
Propietats del so
Aquestes ones tenen unes propietats que convé estudiar. Primer definirem les qualitats mesurables, magnituds, i després altres propietats de les ones que són importants per entendre el funcionament del so.
2.1.2.1.
Magnituds físiques
Tot allò d'una ona que és mesurable, que li podem donar un valor, que la fa diferent de les altres ones, ja hem parlat d'ells amb anterioritat per definir els diferents moviments que donen lloc a una ona però a continuació queden tots recollits i explicats:
Freqüència
Com hem definit abans la freqüència és la quantitat d'oscil·lacions que fa la ona per unitat de temps. Es representa amb la lletra f, les seves dimensions son T i les unitats els Hertzs (Hz).
Període
El període és el temps que tarda la ona a fer una oscil·lació completa. Les seves dimensions són de temps i es mesura en segons (s). Es representa amb la lletra T. És l'inversa de la freqüència, i per tant, la freqüència és també l'inversa del període.
Longitud d'ona
La longitud d'ona és la distància entre dos punts en la mateixa fase, es a dir, la distància que separa dues partícules que estan en el mateix punt del moviment oscil·latori de l'ona. Es representa amb la lletra grega lambda λ, té dimensions de longitud i es mesura en metres (m) en el SI.
Val la pena aturar-se per relacionar aquests tres conceptes. Com que l'ona es propaga a velocitat constant (v) avança una distància igual a una longitud d'ona (λ) en el temps d'un període (T). Aplicant l'expressió de la velocitat en funció de l'espai i el temps ( = ) obtenim: = , però
=
Nombre d'ones
, però =
=
=
1
i
= , aleshores
, podem expressar-ho:
o també
=
o
=
És el nombre de vegades que vibra una ona per unitat de distància, és per tant la inversa de la longitud d'ona. Aquesta unitat de distància és una volta a la circumferència que serveix per definir l'equació del moviment vibratori i per tant la unitat és 2π radians. Te per dimensions L , unitats en el SI ( ) i per símbol la lletra k. =
2
17
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
Juli Serra Balaguer
Freqüència angular
És la inversa del període que utilitzem quan fem el símil del moviment harmònic simple amb el moviment circular uniforme. El seu símbol és la lletra grega omega , les seves dimensions el T i les seves unitats els ( ).
Amplitud
=
2
És la mesura d'intensitat de la ona. És la distància màxima al punt d'equilibri que es desplaça un punt del medi durant la ona. El seu símbol és la lletra A, es mesura en unitats de longitud (m).
Fase
És una mesura del punt en que es troba la ona quan la comencem a observar. El valor que prendrà l'angle quan el temps sigui zero. És el valor d'un angle, per tant és adimensional i no te unitats, es representa amb la lletra grega phi i el subíndex zero, per fer referència a que és inicial ( ). Per tant, si ens fixem en la funció sinusoïdal que representa la ona hi veiem representades aquestes últimes tres magnituds; l'amplitud, la freqüència angular i la fase: = sin( + )
Velocitat
És el que tarda la ona en recórrer una distància. La velocitat de propagació d'una ona no depèn de les característiques d'aquesta sinó de les del medi pel que es propaga. Existeix una gran diferència per a calcular la velocitat de propagació d'un so segons l'estat del medi. Segons sigui sòlid, líquid o gas. En general la velocitat del so es més gran en sòlids que en líquids, i també en els líquids més gran que en els gasos. Això passa per la cohesió que tenen els enllaços atòmics o moleculars com més sòlida és la matèria. Les unitats en SI de la velocitat és el metre per segon (m/s) i les seves dimensions LT .
18
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
Juli Serra Balaguer
Sòlids La velocitat del so en un sòlid ve donada per l'expressió: = és la densitat del sòlid, es defineix com a massa entre volum:
=
. Les unitats són
kilograms per metre cúbic (kg/m3) i les seves dimensions E és el Mòdul de Young, és la relació entre la tensió sobre un sòlid i la seva deformació unitària = . Les seves unitats són el pascal (Pa) i les seves dimensions .
és la tensió, relació entre força i superfície, = . Té les mateixes unitats i dimensions que el Mòdul de Young. és la deformació unitària d'un sòlid que s'entén per l'increment de longitud entre la ∆ longitud inicial, = . És adimensional i, per tant, no te unitats. Líquids La velocitat del so en els líquids és defineix de forma molt semblant a la dels sòlids: = és la densitat del líquid. K és el Mòdul de compressibilitat, és la relació entre la pressió exercida i l'increment de ∆ volum unitari: = ∆ . Té per unitats en SI el pascal (Pa) i de dimensions .
Cal destacar les similituds i diferències entre E i K, tots dos mòduls relacionen la pressió aplicada per a modificar el tamany del cos, E ho fa en una sola dimensió i K en les tres. Gasos La velocitat del so en els gasos es una mica més complicada però es pot acabar simplificant: =
γ és el Coeficient de dilatació adiabàtica, és la relació entre la capacitat calorífica del gas a pressió constant i a volum constant: = . És adimensional i no te unitats.
La capacitat calorífica és la relació entre la calor rebuda i l'increment de temperatura: = ∆ . Es mesura en el SI en joules partit kelvin (J/K) i les seves dimensions R és la constant universal dels gasos: 8,314 J/mol·K. T és la temperatura en graus Kelvin (K) M és la massa molar del gas en kilograms per mol (kg/mol)
Si apliquem la equació dels gasos ideals podem simplificar aquesta expressió:
19
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
Juli Serra Balaguer
=
=
Volum entre massa és la inversa de la densitat: =
Substituïm a la primera equació:
=
P és la pressió en pascals (Pa). és la densitat del gas.
Velocitat segons temperatura La velocitat en un gas depèn de la temperatura, com que el gas que més utilitzarem serà l'aire ens convé simplificar com varia la velocitat del so en aquest amb la temperatura. =
Si les demés característiques es mantenen constants, i ho fan, la velocitat és directament proporcional a la temperatura. Per tant estem buscant una expressió del tipus = + ∆ ∗ ∆ en que i ∆ siguin constants. Calculem amb dades de l'aire conegudes: de l'aire és 1,4. R és 8,314 J/mol·K. T a 0ºC és 273,15 K. M de l'aire és 0,029 kg/mol.
1,4 ∗ 8,314 ∗ 273,15 0,029
= Separarem la temperatura en
i∆ :
≈ 331,395
=
(
/
+∆ )
Definim ∆ = 1 per a utilitzar ºC com a unitats i tornem a calcular: =
1,4 ∗ 8,314 (273,15 + 1) 0,029
20
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
≈ 332,001
Per un ∆ = 1 trobem ∆ plantejant l'equació: =
Aïllem ∆ i substituïm:
/
+∆ ∗∆ − ∆
∆ =
∆ ≈
Juli Serra Balaguer
332,001 − 331,395 1 ∆ ≈ 0,606
L'expressió que ens relaciona la velocitat del so en l'aire segons la temperatura en ºC és: ≈ 331,395 + 0,606∆ /
Potència
És la quantitat d'energia que transporta la ona per unitat de temps. Es pot mesurar a certa distància de la font i en serà un valor intrínsec, és a dir, no canviarà per l'entorn del so. Més acuradament, si mesurem la potència d'un so no canviarà perquè estiguem a l'aire lliure o en un local amb molta reverberació. Per quantificar la potència del so en deduirem l'expressió:
La potència es defineix com a energia o treball partit per temps: =
o =
Agafarem l'expressió amb el treball i sabem que aquest és força per desplaçament: =
Desplaçament entre el temps és velocitat, per tant la potència d'un so es pot expressar com la seva força multiplicada a la seva velocitat: =
Ara centrem-nos en la força, mesurar la força d'un so és molt abstracte, però si que podem mesurar la pressió que exerceix sobre una superfície. La definició de pressió: On A és la superfície. Aïllem la força: Substituïm a l'expressió anterior:
=
= =
21
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
Juli Serra Balaguer
On: és l'àrea de la superfície a la que hem mesurat. p és la pressió que exerceix el so. v és la velocitat del so en el medi.
Per tant, per mesurar la potència d'un so només hem de poder quantificar la pressió que exerceix en una superfície coneguda i saber la velocitat del so en el medi en aquell moment. Aquesta expressió, en unitats del SI, ens dóna el valor de en watts ( ) però a la realitat ens trobem sons amb moltes potencies diferents així que necessitem una altra manera de representar aquest resultat. Les unitats en que normalment expressem la potència d'un so són els decibels ( ) que és un submúltiple dels bels ( ) que representen l'escala logarítmica en base 10 dels watts.
Per construir aquesta escala logarítmica es situa el zero a 10 watts, per tant un bel seran 10 ∗ 10 watts, és a dir 10 watts, però com que utilitzem el submúltiple decimal 1 bel són 10 decibels. A continuació hi ha una taula (Fig 10) amb les proporcions i alguns exemples de la potencia del so: Font del so Potència del so (W) Potència del so (dB) Coet 200 10 Sonar 180 10 Avió enlairant-se 150 10 Tret 10 130 Concert de rock 110 10 Motor d'un camió 90 10 Aspiradora 70 10 Radio o TV 50 10 Conversa tranquil·la 30 10 Respiració 10 10 Origen de referència 0 10 Fig 1010 Exemples de diferents sons i la seva respectiva potència en W i dB
2.1.2.2.
Principi de Huygens
Quan hem explicat el moviment ondulatori hem dit que la pertorbació que rep un punt del medi és transmesa directament als punts immediatament al costat. Aquesta pertorbació forma una ona on és el punt d'inici. Això s'aplica, per exemple si dues habitacions estan connectades per una porta oberta i es produeix un so en una cantonada en una d'elles, una persona a l'altra habitació sentirà el so com si vingués de la porta. Pel que fa a la segona habitació, l'aire que vibra a la porta és la font del so. Segons això: Cada punt d'una ona pot ser considerat un centre secundari que al compondre's amb les ones dels punts pròxims constitueixen la ona total. (Fig 11)
10
Fig 10: Taula elaborada amb dades de: https://www.dba-acustica.com a setembre de 2019
22
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
Juli Serra Balaguer
Fig 1111 Representació del principi de Huygens
Els fronts d'ones de les ones secundàries formen l'envolvent, que és el següent front d'ones de l'ona principal. Així queda enunciat el principi de Huygens, aquest ens servirà per entendre millor alguns comportaments de les ones que a continuació explicarem.
2.1.2.3.
Reflexió
Quan una ona arriba a una superfície de separació d'un medi retrocedeix de forma simètrica, com si procedís del punt d'impacte. Això s'anomena reflexió. L'angle que forma el raig de l'ona resultant és el mateix amb el que ha incidit. (Fig 12) ̂= ̂
Fig 1212 Reflexió
L'eco és un fenomen de reflexió que es produeix quan l'obstacle es troba a 17 o més metres de la font del so. Per a que els humans distingim entre el so que hem produït i el que ens arriba ha de passar una dècima de segon, aquest és el temps que tarda el so a recórrer els 34 metres d'anada i tornada a l'obstacle. Quan es compleix aquesta situació sentim el mateix so que hem produït amb retard, si es donen les condicions ideals es pot arribar a repetir el so diversos cops en diversos obstacles. 11 12
Fig 11: https://www.fisicalab.com/apartado/principio-huygens#contenidos a novembre de 2019 Fig 12: https://www.fisicalab.com/apartado/reflexion-refraccion-ondas#contenidos setembre de 2019
23
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
Juli Serra Balaguer
És important veure la reflexió que es forma en els tubs sonors. Les ones que es propaguen pel tub són longitudinals i es reflexen en els seus extrems.
Quan la reflexió és un extrem tancat les elongacions de les molècules del gas que estan en contacte amb l'extrem són nul·les, produint en aquest punt un node. Per tant, en els extrems tancats d'un tub sempre es formen nodes.
Als extrems oberts la reflexió que es produeix és més complexa i depèn de l'amplada del tub respecte la longitud d'ona. Quan el tub és estret en comparació amb la longitud d'ona es produeix un ventre. És el cas dels instruments musicals.
2.1.2.4.
Refracció
Quan la ona arriba a la separació d'un medi i el travessa es produeix la refracció. Al canviar de medi, com que la ona es desplaça a diferent velocitat, també en canvia la direcció. Això s'entén més fàcilment si pensem en el principi de Huygens. Quan una part del front d'ones arribi a la superfície es produirà una pertorbació. Aquesta pertorbació generarà una ona a la nova superfície que viatjarà més ràpid o més lent segons el medi. Successivament, les següents parts del front d'ones aniran arribant i canviant la seva velocitat. Fent la representació es veu clarament que la ona canvia de direcció. (Fig 13)
Fig 1313 Refracció
Podem calcular l'angle de refracció si sabem l'angle d'incidència i les velocitats de l'ona en els dos medis fent servir la llei de Snell. (Fig 14)
13
Fig 13: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/phyopt/huygen.html setembre de 2019
24
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
Juli Serra Balaguer
Fig 1414 Demostració de la llei de Snell
14
Fig 14: https://www.fisicalab.com/apartado/reflexion-refraccion-ondas#contenidos setembre de 2019
25
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
Juli Serra Balaguer
En el temps que la ona recorre en el medi 1 BE en el medi 2 recorre AD. Per angles complementaris ̂ = i ̂ = El sinus de l'angle d'incidència serà i el de l'angle de refracció , per tant: sin sin
=
=
Si sabem que la distància recorreguda és velocitat per temps: sin
Simplifiquem el temps de l'equació:
sin
=
sin
sin
=
=
Així podem establir una relació entre els angles segons les velocitats del medi.
La refracció de les ones sonores es verifica, per exemple, quan el so d'una campana es desvia a l'atravessar capes d'aire a diferent temperatura i per tant, diferents densitats i velocitats de propagació,
2.1.2.5.
Difracció
La difracció és també conseqüència directa del principi de Huygens. Quan una ona passa per un forat en un medi que no pot travessar es forma en aquest forat una nova font del so. (Fig 15)
Fig 1515 Difracció
La difracció té més efecte com més petit és el forat en relació a la longitud d'ona.
És un efecte important en ones electromagnètiques, la llum. Com que les longituds d'ones del so són més grans no necessiten orificis tan petits perquè es noti i es difracten més fàcilment. Per això podem sentir una conversa a l'altra costat d'una paret massissa. 15
Fig 15: https://www.lifeder.com/difraccion/ novembre de 2019
26
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
Juli Serra Balaguer
En el següent dibuix es pot veure un esquema de com passa el so d'una habitació a una altra, els rajos verds serien per reflexió, els marrons per refracció i els blaus per difracció. (Fig 16)
Fig 1616 Com passa el so d'habitació
2.1.2.6.
Reverberació
Quan els obstacles en que es reflexen les ones no estan prou lluny perquè en sentim la diferència és perquè reverbera, es produeix la reverberació. Sentim el so quan ja s'ha deixat de produir, es mante una estona. Quan en una habitació el front d'ones incideix contra les parets i el sostre, el conjunt de reflexions constitueix el que s'anomena camp reverberant. El so, anirà rebotant per la sala i tardarà en extingir-se. Segons aquest temps el lloc tindrà un grau de reverberació o un altre.
Per quantificar el grau de reverberació es fa servir un paràmetre anomenat temps de reverberació. Aquest és el temps que passa des que es desactiva una font sonora directa fins que la potència sonora que resulta és una milionèsima part de la inicial, és a dir, la potència sonora ha descendit 60 dB. El material de les parets, el volum de la sala i la forma que te són els principals factors que defineixen la reverberació en un espai. Fer aquestes mesures és útil en sales de conferències o teatres i auditoris on la qualitat sonora és important. Les esglésies i catedrals tenen un temps de reverberació elevat, ressonen molt.
16
Fig 16: https://commons.wikimedia.org/File:Refracción-reflexión-difracción.jpg setembre de 2019
27
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
2.1.2.7.
Juli Serra Balaguer
Ressonància
Quan un cos vibra pot fer entrar en vibració altres cossos pròxims, al sumar massa d'aire vibrant augmenta la intensitat del so, és el que anomenem ressonància. És la manera que els cossos vibrin amb més amplitud del que farien habitualment. Cada cos te una freqüència de ressonància, quan s'excita el cos amb aquesta freqüència durant un temps les vibracions que fa aquest cos van augmentant d'amplitud. Quan un cos comença a vibrar per ressonància ho pot fer com a màxim amb la intensitat del cos sonor que provoca la vibració. Tot i així aquesta intensitat pot ser major de la que suporta el cos. És l'exemple de la copa que es trenca per la veu. Una cantant arriba a mantenir la freqüència de ressonància de la copa fins que aquesta vibra massa i s'acaba trencant. Per tant no és qüestió de la potència acústica de la cantant sinó de la freqüència concreta.
Aquest fenomen també passa amb els instruments musicals. Quan toquem la nota Do d'un piano totes les cordes que vibren amb aquella nota comencen a vibrar (i els harmònics en menor mesura) i per això si parem la corda que hem tocat es segueix sentint la nota. També passa entre diferents instruments quan per exemple prop d'un violoncel amb les cordes lliures fem sonar en un piano una nota que podria produir una de les seves cordes.
Aquest fenomen pot arribar a ser perillós. Un exèrcit creuant al pas per un pont podria ferho amb la freqüència de ressonància d'aquest. Els passos farien vibrar el cos i aquest no alliberaria l'energia sinó que la mantindria, vibrant cada cop amb mes amplitud. Al final aquestes vibracions aconseguirien trencar els suports del pont i s'acabaria ensorrant.
2.1.3.
So en la música
La música es pot definir com l'art d'organitzar de manera lògica i sensible una combinació de sons i silencis. Utilitza els principis fonamentals de la melodia, la harmonia i el ritme. Comparant la música amb una conversa entre locutor i receptor la melodia seria la frase, les paraules, l'harmonia seria el context, els gestos, allò que li dóna caràcter i el ritme la velocitat amb que es conversa. La paraula música prové del grec "μουσική τέχνη" (mousikē téjnē) que es tradueix com l'art de les muses. Les muses segons la mitologia grega eren nou filles de Zeus i representaven diferents arts antigues com ara la poesia èpica, la comèdia, la tragèdia, la història, la retòrica, la dansa, l'astronomia i la música. La música és un estímul que percep l'individu. Pot tenir diferents funcions com ara l'entreteniment, la comunicació, l'ambientació, l'aprenentatge.
És una manifestació artística i per tant un producte cultural. La finalitat d'aquest art és generar una experiència estètica a l'oient, expressar sentiments, emocions, circumstàncies, pensaments, idees, etc... El concepte de música ha evolucionat des dels seus orígens a l'Antiga Grècia, en que poesia, música i dansa es reunien en un sol art. Ja fa unes dècades que la música s'ha tornat més complexa de definir degut a diferents compositors que han creat obres que, tot i que es poden considerar musicals, han estès els límits de la definició d'aquest art.
28
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
Juli Serra Balaguer
Quan fem o escoltem música ens fixem en quatre característiques del so, aquestes són el to, la durada, la intensitat i el timbre.
2.1.3.1.
To
El to o altura és el resultat de la freqüència que produeix un cos sonor. Definim els sons com a greus o aguts. Els greus són els sons de freqüències més baixes i els aguts més altes.
La freqüència la sentim proporcionalment, és a dir, no sentim la mateixa diferència de 50 a 55 Hz que de 1755 a 1760 Hz. Els tons queden organitzats de forma proporcional a la seva freqüència i trobarem diferents maneres de classificar-los. El to és el que conforma la melodia i l'harmonia, les relacions proporcionals entre les freqüències de les diferents notes fan que un tema musical ens transmeti una emoció o una altra. Aquestes proporcions és el que es busca aconseguir quan classifiquem els diferents tons en notes. Una nota estarà afinada, estarà a to quan la seva freqüència correspongui a la que pertoca segons el sistema que utilitzem. Per mesurar com de desafinat està un to utilitzem els cents que són la centèsima part d'un to.
Per organitzar els tons es fa servir l'interval de l'octava. Una octava és la distància en tons que hi ha d'una nota a la següent amb el mateix nom. Parlant en freqüències una octava vibra amb el doble de freqüència que el to original.
Quan una ona produeix un so ho fa amb una certa freqüència; el to fonamental. A la vegada, però, també es formen ones seguint la proporció de longitud d'ona d' , , , ,etc cada cop menys audibles. Aquestes ones que es formen són els harmònics, i reben el nom, per orde; d'octava, quinta, quarta, tercera... Les freqüències d'aquestes ones seran, per resultat de fer la inversa; 2, , , vegades la freqüència fonamental. Aquestes proporcions harmòniques són les que tindrem en comte per dividir l'octava en semitons. Un cop establerta la proporció de l'octava ens cal dividir-la en semitons. La quantitat de semitons de que es forma l'octava pot ser molt diferent segons es defineixin els semitons. Alguns teclats del renaixement podien arribar a tenir fina a 31 tecles per octava. Alguns músics contemporanis s'han interessat en el que es coneix com microtonalisme, algunes d'aquestes teories proposen un sistema amb 96 sons diferents per octava. En el sistema musical occidental dividim l'octava en 12 semitons. El sistema que utilitzem actualment s'anomena sistema d'igual temperament i es basa en dividir l'interval de l'octava (2 ∗ ) en 12 intervals iguals. Cal tenir en compte que estem parlant de proporcions, no de valors. El semitò temperat queda definit de la següent manera: ò
=
ò
=2
ò = √2 ≈ 1,05946
Per tant, quan en un piano toquem una tecla i després la immediatament a la dreta indiferentment de si és negra o blanca trobem una proporció de freqüències de √2.
29
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
Juli Serra Balaguer
Per posar nom a aquestes freqüències es parteix d'una freqüència base, el = 440 . A partir d'aquesta nota segons es vulgui més greu o més agut es dividirà o multiplicarà el valor anterior per la proporció del semitò:
#4 = 440 ∗
♭4 =
12
440 12
√2
2 = 466,1638 Hz
= 415,3047 Hz
La proporció de l'octava reparteix els 12 semitons en 7 notes amb nom propi i 5 semitons que reben el nom segons siguin immediatament per sobre o per sota de la nota corresponent. Queda definida l'escala cromàtica, l'escala formada pels dotze semitons d'una escala (Fig 17)
Fig 1717 Escala cromàtica
Amb aquesta manera d'organitzar els semitons només es manté la proporció de l'octava, la resta de proporcions harmòniques que es formen a la natura es mantenen però no exactes. La més important d'aquesta proporció és la quinta, A la natura ve donada per la proporció 2/3 i però en el sistema temperat es troba a 7 semitons de la fonamental. Per tant l'error de la quinta en el sistema temperat es calcula: 2 3 ( √2) 2 3 2
1,01364
1,00113
Per tant l'error de proporció de la quinta és de l'escala de les centèsimes de semitò (cents) i és quasi indistingible. Així doncs, ordenem els tons de forma completament arbitrària però intentant adaptar-se per fer música de la manera més fàcil possible i a la vegada respectar les proporcions que sonen per si soles a la natura.
2.1.3.2.
Durada
La durada es relaciona amb el temps que duren els sons. Dins la música te a veure amb el ritme. Dins de l'ona sonora trobem la durada en el temps en que es produeix la ona. 17
Fig 17: Elaboració pròpia
30
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
Juli Serra Balaguer
Com que el so es reflecteix i te reverberació i ressonància per la sala es diu que una nota s'acaba quan decau 10 decibels d'intensitat sonora. (Fig 18)
Al principi de la nota sempre hi ha un pic d'intensitat al fer sonar l'instrument. En general com menys accentuat sigui millor, però a vegades es busca aquest efecte expressament. Alguns instruments electrònics permeten negligir aquest efecte.
Fig 1818 Intensitat relativa al llarg del temps
18
Fig 18: https://www.lpi.tel.uva.es/docencia/trabajos/public_html/sonido.html novembre de 2019
31
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
2.1.3.3.
Juli Serra Balaguer
Intensitat
La intensitat és la força amb que sentim un so. Un so que sentim molt fort, que passi per sobre els altres sons és un so intens. Depèn de l'amplitud de l'ona sonora, com més amplitud té més sona. És lògic que les ones més amples es sentin més perquè seran les que donin més forma a la ona que ens arriba, que és una barreja de totes les ones que ens envolten. Com hem dit abans la intensitat es mesura en decibels. Alguns instruments sonen més fort que d'altres, per això es necessiten molts violins en una orquestra per igualar el so de poques trompetes.
2.1.3.4.
Timbre
El timbre és la qualitat que permet distingir els diferents instruments o veus tot i que estiguin produint sons amb la mateixa altura, duració i intensitat. Els son que escoltem son complexos, sempre són la suma d'un conjunt de sons simultanis (tons, sobretons i harmònics), però que nosaltres percebem com a un únic so fonamental. El timbre depèn de la quantitat d'harmònics i de la intensitat que tingui cada un d'ells, a la suma de diferents harmònics de diferents intensitats es diu espectre. Cada ona de cada harmònic es pot representar com una ona sinusoïdal, el so final es pot representar com una suma d'aquestes ones. L'espectre es representa amb un eix d'harmònics on es representa amb barres verticals la intensitat relativa d'aquests. (Fig 19)
9
19
Fig 1919 Espectre d'ones de diferents instruments
Fig 19: https://www.lpi.tel.uva.es/docencia/trabajos/public_html/sonido.html novembre de 2019
32
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
Juli Serra Balaguer
2.2. TUB SONOR Són tubs sonors aquells que contenen una columna de gas que, al ser excitada, és capaç de produir un so. El cos sonor és el gas i no pas el tub que el conté. L'aire dins el tub vibra longitudinalment. La funció del tub és definir la forma de la columna. Normalment tenen forma cilíndrica, cònica o prismàtica. Són tubs sonors tots els anomenats instruments de vent o més pròpiament Aeròfons. Des del punt de vista acústic els tubs sonors es poden classificar en dos grans grups: Tubs Oberts i Tubs Tancats. Són oberts aquells que tenen dos o més forats i tancats aquells que només en tenen un. La gran majoria d'instruments de vent són tubs oberts menys, per exemple, l'Orgue o la Flauta de Pan, que són tubs tancats.
2.2.1.
So en els tubs sonors
Per a que un tub sonor produeixi un so s'ha de fer vibrar l'aire dins seu. Per introduir la vibració per un dels seus extrems hi ha diferents mètodes que veurem més endavant quan parlem d'instruments de vent. El moviment ondulatori de l'aire dins el tub és longitudinal, el moviment de les partícules té la mateixa direcció que el desplaçament de la ona. Aquestes ones es propaguen a través del tub i es reflexen en els seus extrems. Si l'extrem del tub és tancat l'aire al final de tot no es pot moure i es produeix un node de l'ona, es a dir, els extrems tancats sempre són nodes de l'ona.
Si l'extrem és obert i l'amplada del tub és menor que la longitud d'ona, com és el cas de tots els instruments de vent, la reflexió produeix un ventre de l'ona al final del tub, ja que l'aire té total llibertat en aquell punt. Si l'amplada del tub és major a la longitud d'ona la reflexió és molt més complicada i, al no poder formar ones estacionaries, no produeix cap so.
Interferències en un tub
Totes les ones que es produeixen en un tub interfereixen entre elles, s'amplifiquen o es redueixen segons les seves longituds d'ona i produeixen ones estacionaries. Per detectar i analitzar la interferència de dues ones en un gas es pot fer servir un aparell anomenat Interferòmetre Acústic o també Tub de Quincke (Fig 20). Consisteix en dos tubs que formen dues branques, un de longitud fixa i l'altre variable, els dos tubs s'ajunten pels dos extrems, en un es produeix la vibració i en l'altre s'analitza l'efecte.
33
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
Juli Serra Balaguer
Fig 2020 Interferòmetre acústic
Quan les dues branques són igual de llargues, = , les ones que hi circulen tenen característiques idèntiques en fase i longitud d'ona quan arriben al receptor, = . La ona resultant de la interferència serà d'igual longitud d'ona i el doble d'amplitud, serà per tant més intensa, s'haurà produït una intensificació. Diferència de longituds d'ona de − = 0. Si s'allarga el tub B de manera que = 1,5 ∗ s'observa que la ona resultant presenta una reducció d'amplitud. Diferència de longituds d'ona de: − = .
Si es continua allargant el tub B fins que = 2 ∗ llavors − = i s'observa que es torna a produir una intensificació de l'ona. Diferència de longituds d'ona de: − = . Si es repeteix el procés s'observa que la ona s'intensificarà sempre que la diferència de longituds d'ona sigui de 0, , 2 , 3 , . .. i es reduirà quan sigui de , , , . ..
Aquest experiment demostra que les ones longitudinals que es propaguen en un gas interfereixen entre elles, les seves amplificacions i reduccions formaran ones estacionaries en el tub sonor.
Ones estacionaries en un tub
A causa de les interferències entre les diferents ones en un tub sonor es creen ones estacionàries.
Quan en un medi elàstic, per exemple el gas d'un tub sonor, es propaga una ona en una direcció i és reflexada, la segona ona serà d'iguals magnituds que la anterior però es propagarà en sentit contrari, quan les dues interfereixen i es superposen donen lloc a una ona estacionaria. Com que les magnituds de les dues ones que es superposen son les mateixes, al cap i a la fi és la mateixa ona, hi ha punts en que l'amplitud de l'ona resultant sempre és nul·la (nodes) i altres on aquesta varia entre un mínim de zero i un màxim del doble de l'amplitud de l'ona original (ventres) (Fig 21). 20
Fig 20: De la Puente J. (1954) Compendio de física elemental p. 177
34
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
Juli Serra Balaguer
Fig 2121 Formació d'una Ona Estacionaria
La longitud d'ona de la ona estacionària és igual a la de les ones que es superposen. L'amplitud de la ona estacionària és el doble de les ones que es superposen. La distància entre nodes i ventres consecutius és la meitat de la longitud d'ona .
Per a comprovar-ho el físic alemany August Adolph Kundt (Schwerin 1839 - Israelsdorf 1894) va dissenyar un experiment anomenat Tub de Kundt (Fig 22).
Fig 2222 Tub de Kundt
L'experiment consisteix en un tub amb dues vàlvules per a l'entrada del gas, el tub està tancat en els seus extrems per dos èmbols connectats a unes varetes metàl·liques, el tub està ple d'una pols molt fina. Al frotar una vareta la vibració es transmet a l'aire i ajustant els èmbols es formaran ones estacionaries que es poden veure per la disposició que adopta la pols a l'interior del tub. On s'acumula la pols vol dir que l'aire no es mou i és un node de l'ona, la distància entre els nodes serà la meitat de la longitud d'ona obtinguda. 21 22
Fig 21: Calvo A. i Ruiz M. (1991) Acústica Fisico-Musical p. 43 Fig 22: Calvo A. i Ruiz M. (1991) Acústica Fisico-Musical p. 56
35
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
Juli Serra Balaguer
Vibració de la columna i harmònics en un tub obert.
La ona estacionaria que es produeix en un tub obert té els ventres en els extrems del tub. Amb això el so fonamental, el so més greu, de menys freqüència, de més longitud d'ona, es forma quan es produeix un node al centre (Fig 23)
Fig 2323 Tub obert produint el seu so fonamental
La longitud del tub és L i del gas en coneixem totes les característiques (temperatura, densitat, pressió, etc.) que determinen la velocitat de propagació v de la ona en el gas. La distància entre els ventres, en aquest cas L, és sempre mitja longitud d'ona aleshores: λ = 2 Aïllant λ: λ=2 La freqüència que es produeix d'ona: Si substituïm λ queda:
23
és la relació entre la velocitat de propagació i la longitud =
=
λ
2
Fig 22: Calvo A. i Ruiz M. (1991) Acústica Fisico-Musical p. 57
36
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
Juli Serra Balaguer
Per tant, com a exemple, per obtenir la freqüència d'un = 440 , normals = 343,2 / hem de resoldre L de 440 = :
Per obtenir un
440 ∗ 2 = 343,2 →
=
343,2 → 440 ∗ 2
en l'aire en condicions
= 0,39
hem de fer vibrar l'aire per un tub de 39cm.
A la vegada, però, també es forma una ona estacionària amb dos nodes i tres ventres, és el segon harmònic (Fig 24).
Fig 2424 Tub obert produint el seu segon harmònic
Entre cada dos ventres consecutius sempre hi haurà , si hi ha dos cops dos ventres consecutius aleshores: λ 2∗ = 2 Si aïllem λ: La freqüència
Però com que
es pot escriure:
=
es pot dir que:
λ=2∗ =
2 2
2
=
2 2
=2∗
Això indica que la freqüència del segon harmònic és el doble de la freqüència fonamental. El tercer harmònic s'obté amb tres nodes a l'interior del tub (Fig 25).
24
Fig 24: Calvo A. i Ruiz M. (1991) Acústica Fisico-Musical p. 58
37
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
Juli Serra Balaguer
Fig 2525 Tub obert produint el seu tercer harmònic
Entre cada dos ventres consecutius hi ha , per tant: 3∗
On: I la freqüència
serà:
λ = 2
λ=2∗ =
2 3
=
3
3 = 3∗ 2
Vist això, si fem el procediment per a qualsevol harmònic, aquest tindrà per ordre n i es produiran n nodes: λ ∗ = 2
=
λ=2∗
2
=
2
=
∗
Per tant, en un tub obert de longitud L, es produeixen, teòricament, el seu so fonamental = i tots els harmònics d'aquesta 2 , 3 , … , .
Vibració de la columna i harmònics en un tub tancat.
En els tubs tancats es produeix un node en l'extrem tancat i un ventre en l'extrem obert. El seu so fonamental es produeix amb un sol node i un ventre, el node que falta per a completar la ona estacionaria es forma fora del tub. (Fig 26) 25
Fig 25: Calvo A. i Ruiz M. (1991) Acústica Fisico-Musical p. 59
38
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
Juli Serra Balaguer
Fig 2626 Tub tancat produint el seu so fonamental
Com en el cas del tub obert, ens trobem un tub de longitud L, un gas en que les ones es propaguen a velocitat v la longitud d'ona que es produeix dins el tub és de : λ = 4
Aïllem λ: La freqüència del so produït serà: Així, per a produir el mateix trobem resolent L de: 440 =
,
= 440 :
440 ∗ 4 = 343,2 →
λ=4 =
λ
=
4
amb un tub tancat necessitem una longitud que =
343,2 → 440 ∗ 4
= 0,195
Amb el tub tancat necessitem la meitat de longitud per a produir la mateixa nota que un tub obert, en el cas del = 440 necessitem un tub de 19,5cm.
26
Fig 26: Calvo A. i Ruiz M. (1991) Acústica Fisico-Musical p. 60
39
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
Juli Serra Balaguer
El segon harmònic en un tub tancat es forma amb dos nodes i dos ventres (Fig 27).
Fig 2727 Tub tancat produint el seu segon harmònic
La longitud d'ona total dins el tub serà la suma de i : λ λ + = 2 4 3λ = 4
On: La freqüència
es pot escriure:
λ= =
Igual que hem fet amb els tubs oberts, si
λ
= =
4 3
4 3
=3
=
3 4
aleshores:
La freqüència del segon harmònic que es produeix serà 3 vegades la freqüència fonamental. El tercer harmònic es produeix amb tres nodes i tres ventres (Fig 28).
27
Fig 27: Calvo A. i Ruiz M. (1991) Acústica Fisico-Musical p. 61
40
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
Juli Serra Balaguer
Fig 2828 Tub tancat produint el seu tercer harmònic
Seguint el mateix procés que abans la longitud dins del tub contindrà la longitud d'ona total de: λ λ λ + + = 2 2 4 Per tant:
5λ = 4
Aleshores:
λ=
La freqüència serà:
=
λ
=
4 5
4 5 =
5 =5 4
Així successivament obtindríem tots els harmònics. Podem observar que sempre trobem el coeficient multiplicat per un nombre imparell. L'expressió matemàtica d'aquest és 2 − 1, on n és l'ordre de l'harmònic o el nombre de ventres. L'harmònic n s'expressarà de la següent manera: =
(2 − 1) = (2 − 1) 4
Com que en aquests tubs no es pot produir un node en el seu extrem obert o un ventre en el seu extrem tancat tots aquells harmònics que es produirien en aquesta situació no existeixen. Generalment es diu que no existeixen els harmònics parells a la fonamental. Per tant s'hi produeixen la freqüència = i els harmònics 3 , 5 , … , (2 − 1) .
Com afecta l'amplada del tub sonor a la freqüència produïda
A la pràctica la longitud dels tubs sempre és menor a la teòrica, això és degut a que els ventres de les ones no es formen exactament a l'extrem del tub, sinó que produeixen una 28
Fig 28: Calvo A. i Ruiz M. (1991) Acústica Fisico-Musical p. 62
41
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
Juli Serra Balaguer
freqüència com si es formessin fora del tub. Per aquesta raó els tubs sempre es fabriquen més curts, i la longitud del tub real depèn de l'amplada del tub. Per a un tub obert de forma cilíndrica la longitud real és igual a la longitud teòrica que hem calculat abans, menys 3,3 vegades el radi del tub. És a dir: =
− 3,3
=
− 2,7
, la
Per als tubs tancats de forma cilíndrica la correcció és de 2,7 vegades el radi del tub. Aleshores: Aquestes correccions estan calculades per a tubs de diàmetres més petits que les longituds d'ona dels sons que es volen obtenir.
2.2.1.1.
Lleis de Bernoulli
Johann Bernoulli va ser un matemàtic, metge i filòleg suís nascut i mort a Basilea (1667 1748). Va deduir i enunciar, a partir de les expressions de les freqüències produïdes en els tubs oberts i tancats, les lleis que regeixen aquestes freqüències. Les expressions que hem deduït abans i que serveixen per enunciar les lleis son: Per als tubs oberts: Per als tubs tancats:
=
=
2
(2 − 1) 4
A partir d'aquestes expressions Bernoulli enuncia quatre lleis:
La freqüència del so produït per un tub, tant obert com tancat, és directament proporcional a la velocitat de propagació. La freqüència del so produït per un tub, tant obert com tancat, és inversament proporcional a la longitud del tub. Amb igualtat de longitud entre un tub obert i un tancat, el tub obert produeix un so de freqüència doble que el tancat. És a dir, produeix una octava del so del tancat. Els tubs oberts produeixen la sèrie completa d'harmònics mentre que els tancats només els harmònics de freqüència imparell a la fonamental.
42
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
Juli Serra Balaguer
Aquestes lleis s'apliquen a tubs sonors perfectament cilíndrics. A la realitat no tots els instruments són així, això modifica certs harmònics que produeix l'instrument i, per tant, en modifica el timbre. Així doncs, un cop estudiats els tubs sonors anem a veure com els utilitzem per a fer música.
2.2.2.
Instruments de vent
Els instruments de vent són aquells que no necessiten cordes o membranes per a produir el so. El produeixen quan vibra l'aire al seu interior. Es a dir, són aquells instruments que estan formats per un o diversos tubs sonors. Dels instruments de vent estudiarem com produeixen diferents tons i quines maneres hi ha de classificar-los.
2.2.2.1.
Com obtenim diferents notes?
Un instrument ha de poder fer diferents notes per a fer música. En general els instruments de vent només fan melodies, només poden tocar una nota a la vegada. Quan s'ajunten diferents instruments de vent es pot fer harmonia. Alguns instruments de vent com l'orgue poden fer sonar dues notes diferents alhora i per tant fer harmonia. Cada instrument té el seu mètode per obtenir diferents notes, es poden classificar així:
Fent servir diferents columnes d'aire, diferents tubs, per a fer diferents tons. És el cas de l'orgue o la flauta de pan.
Fent canviar la longitud de la columna d'aire canviant la longitud del tub a partir de vàlvules que fan passar l'aire o no per tubs addicionals. És el cas de la majoria d'instruments de vent metall Allargant o fent més curt el tub, i per tant la columna d'aire, a partir d'un mecanisme de lliscament. És el mètode que fa servir el trombó de vares.
Canviar la freqüència de vibració mitjançant l'obertura o tancament de forats a la longitud del tub. Això es pot fer tapant els forats amb els dits o tancant una tecla que després tapa el forat. És el mètode utilitzat en quasi tots els instruments de vent fusta. Fer que la columna d'aire vibri en diferents harmònics sense canviar la longitud del tub. Per fer-ho el músic fa vibrar l'aire dins del tub d'una forma diferent. Quasi tots els instruments de vent utilitzen aquest mètode combinat amb algun dels anteriors per obtenir més registre de tons.
43
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
2.2.2.2.
Juli Serra Balaguer
Classificació
Distingirem els instruments de vent segons què faci el músic per produir el so. Històricament es classificaran en vent fusta o vent metall per aquest motiu, però la distinció no té res a veure amb el material de que estiguin fets els instruments. Els distingirem en aquests dos grups segons si el músic fa vibrar o no els seus llavis per a tocar.
Vent fusta
La característica principal dels instruments de vent fusta és que el músic no fa vibrar els seus llavis quan fa sonar l'instrument. El so es produeix, aleshores, quan es trenca la columna d'aire amb un bisell, com en una flauta travessera, o amb una canya, que pot ser simple, com el cas del clarinet, o doble, en el cas de la gralla. És important entendre que tot i que alguns d'aquest instruments sembli que estan fets completament de metall són considerats de vent fusta per la forma de produir el so
Per fer les diferents notes aquests instruments acostumen a incorporar un sistema de claus que tapa els forats del tub. Aquestes claus solen portar coixinets de suro per no malmetre el metall i tapar bé els forats.
La vibració es forma, en el cas dels instruments de vent fusta sense llengüeta, quan el músic aconsegueix dirigir l'aire de manera fixa i constant cap al bisell. En aquell punt l'aire es divideix en el que entra al tub i el que no (Fig 29).La diferència de pressió que es forma quan entra aire al tub o no crea l'ona estacionària que produirà el so. Alguns instruments tenen la forma específica per no haver de dirigir tant l'aire cap al punt exacte, com per exemple la flauta de bec.
Fig 2929 Columna d'aire a l'arribar al bisell d'una flauta
29
Fig 29: https://www.lpi.tel.uva.es/docencia/trabajos/public_html/viento/clasificacion_viento.html agost de 2019
44
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
Juli Serra Balaguer
Quan l'instrument te una canya el so es crea igual que amb els que no en tenen. Fent entrar o no aire ràpidament al tub. Generant una vibració. Aquesta canya quan l'instrumentista no bufa es troba separada del seu suport, deixant passar l'aire. Quan el músic fa passar aire per dins passa el que es coneix com a principi de Bernoulli. Aquest enuncia que un gas, al obtenir tenir velocitat, disminueix la seva pressió. Per tant, quan l'aire entre la canya i el suport es mou, té velocitat, disminueix la pressió. La pressió de fora la canya és superior a la de dins i l'aixafa fins a tallar el pas de l'aire. Com que l'aire a dins ja no te velocitat la canya torna a la seva posició normal i es repeteix el procés mentre el músic segueixi bufant. (Fig 30)
Fig 3030 Moviment de la canya d'un clarinet
El principi que fa sonar l'instrument és el mateix si te dues canyes contraposades, com en una gralla o al fagot, o només una i una superfície rígida, clarinet o saxo. (Fig 31)
Fig 3131 Diferents embocadures dels instruments de vent fusta
Vent metall
En els instruments de vent metall el músic fa vibrar els seus llavis. (Fig 32) Això genera la entrada interrompuda d'aire al tub i, per tant, la formació de l'ona.
30 31
Fig 30: http://jose-antoniosole.blogspot.com/2018/01/el-clarinete.html octubre de 2019 Fig 31: http://emmantequera.com/vientos-madera/ octubre de 2019
45
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
Juli Serra Balaguer
Fig 3232 Vibració dels llavis per tocar un instrument de vent metall
Per aconseguir les diferents notes s'allarga el tub mitjançant claus o un tub lliscant. El músic pot fer vibrar els llavis amb més pressió per aconseguir que els harmònics de la nota fonamental sonin com si fos aquella nota la fonamental. El tub en la majoria d'instruments de vent metall te forma de campana al final per amplificar el so i els harmònics, és per aquesta campana que els instruments de vent metall sonen més fort que els instruments de vent fusta.
Són exemples d'instruments de vent metall la trompeta, el trombó, la trompa, la tuba, la corneta, el cornetí, etc... Aquí queda acabat el marc teòric que ens permetrà elaborar la part pràctica d'aquest treball. Us el detallo a continuació.
32
Fig 32: https://www.lpi.tel.uva.es/docencia/trabajos/public_html/viento/clasificacion_viento.html agost de 2019
46
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
Juli Serra Balaguer
3. MARC PRÀCTIC Un cop investigat una mica sobre els motius que fan que un tub sonor faci una nota determinada toca posar-ho en pràctica.
Ens centrarem en la quena, un instrument de vent fusta molt comú a sud-americà (Fig 33). És un instrument molt simple, fet d'un tub de canya amb sis forats davant i un petit darrera. El so es produeix fent trencar l'aire contra un bisell a un extrem del tub. És per tant un instrument de vent fusta.
Fig 3333 Diferents quenes
Primer de tot veurem diferents quenes reals i estudiarem les proporcions per veure si es compleix la teoria que hem treballat durant el marc pràctic.
La segona actuació dins del marc pràctic serà el disseny d'una quena amb un programa de modelatge 3D i la seva impressió amb una impressora 3D.
Com es toca una quena?
La quena esta feta d'un tub amb 7 forats, 6 a davant i un darrera. Sona quan bufes l'aire amb precisió cap al bisell, el petit cantell amb forma d'u que te a la part de dalt. Segons els forats que tapes amb els dits fas que el tub útil sigui més o menys llarg i per tant pots fer notes diferents.
Si ets dretà posaràs la mà dreta més allunyada de la boca, sinó a l'inrevés. Amb l'altra mà taparàs amb el polze el forat de darrera i amb l'índex, el dit del mig i l'anul·lar els següents tres. Els dits petits de les dues mans van sota el tub per a subjectar-lo millor. Amb la mà bona es tapen amb els mateixos dits els tres forats que queden. Queda resolt amb la següent taula: (Fig 34)
33
Fig 33: http://musicaandina2011.blogspot.com/2011/11/la-quena.html a novembre del 2019
47
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
Juli Serra Balaguer
Fig 3434 Com posar els dits al tocar la quena
3.1. Anàlisi proporcional de diferents quenes Per analitzar les proporcions que produeixen les diferents notes d'una quena no ens és suficient d'analitzar-ne una. Per tant analitzarem una quena de Bolívia que tenia a casa de record dels meus pares que van fer un viatge allà. La segona me la va deixar el Marcel Peix, el meu tutor del treball de recerca, és d'Argentina, també d'un viatge que va fer. La tercera i última quena a analitzar seran les mesures que he trobat a Internet de com haurien de ser les mesures per una quena afinada correctament.
3.1.1.
Mesures
He pres mesures de les quenes que tenia físicament utilitzant un peu de rei (Fig 35). Una eina que serveix per mesurar distàncies molt petites, amb una precisió de dècimes de mil·límetre.
Fig 3535 Peu de rei
Un cop mesurades totes les distàncies entre els forats i els diàmetres d'aquests he elaborat un dibuix de la quena en dues dimensions fent servir el programa Autodesk Fusion 360. És un programa gratuït de disseny en dues i tres dimensions, com que tenia pensat utilitzarlo per al disseny de la meva quena el vaig començar a utilitzar. El programa permet fer dibuixos detallats i després donar-los-hi volum. És simple d'utilitzar amb eines per definir formes geomètriques de moltes maneres diferents. 34 35
Fig 34: Elaboració pròpia Fig 35: https://maquinaria10.com/pies-de-rey/limit-pie-rey-analogico-267003.html novembre de 2019
48
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
Juli Serra Balaguer
Si considerem la quena vertical en vaig dibuixar la vista frontal, posterior, l'alçat des de dalt i des de baix. Fent aquests quatre dibuixos podia veure totes les mides que m'interessaven per a analitzar les proporcions Un cop vaig tenir els dibuixos de les dues quenes que tenia físicament vaig analitzar les proporcions i crear taules en un excel per a poder comprar-les. Les longituds de cada tub, amb els seus radis queden recollits de la següent manera. Quena de casa
Fig 3636 La quena de casa
Fig 3737 Dibuix amb Autodesk de la quena de casa
Forat 1 2 3 4 5 6 7 8
Longitud (mm) 374,10 321,65 289,10 267,85 237,10 208,60 182,30 144,90
Radi (mm) 5,25 4,25 5,70 3,75 5,70 5,70 5,70 2,50
Fig 3838 Taula de longituds i diàmetres de la meva quena 36
Fig 36: Elaboració Pròpia Fig 37: Elaboració Pròpia 38 Fig 38: Elaboració Pròpia 37
49
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
Juli Serra Balaguer
Quena d'en Marcel
Fig 3939 La quena de'n Marcel
Fig 4040 Dibuix amb Autodesk de la quena d'en Marcel
Forat 1 2 3 4 5 6 7 8
Longitud (mm) 364,00 316,70 285,20 263,70 231,30 199,20 172,30 136,55
Radi (mm) 8,80 4,00 5,40 4,10 5,40 5,40 5,40 2,65
Fig 4041 Taula de longituds i diàmetres de la quena d'en Marcel
39
Fig 39: Elaboració Pròpia Fig 40: Elaboració Pròpia 41 Fig 41: Elaboració Pròpia 40
50
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
Juli Serra Balaguer
Quena d'Internet
Fig 4542 Foto amb les mesures d'una quena que vaig trobar a internet
Forat 1 2 3 4 5 6 7 8
Longitud (mm) 400,00 334,00 292,00 270,00 237,50 204,00 179,00 147,00
Radi (mm) 8,75 5,04 6,00 5,00 6,00 5,07 5,07 2,65
Fig 4343 Taula de longituds i diàmetres de la quena d'internet
He pogut veure clarament que la mesura dels forats i la distància al bisell és bastant arbitrari. Es veu una tendència a fer els forats amb semblança de radis, però crec que això és degut a la comoditat al tocar i després s'adapta la distància per a correspondre a la freqüència Per veure si en podia treure més suc vaig fer una taula comparant les tres quenes alhora i amb el resutat de veure la modificació en la longitud real que feia el radi segons la teoria: Per tant la
:
=
=
− 3,3 + 3,3
Cal fer un parèntesis per explicar que el primer cop que vaig fer la taula vaig fer un error, vaig confondre la longitud real amb la longitud teòrica. Això em va portar a fer el disseny de la primera quena malament. A continuació hi ha la taula amb el càlcul correcte: (Fig 42) 42
Fig 42: http://trovadoresco65.blogspot.com/2013/10/medidas-de-una-quena-y-un-quenacho.html octubre de 2019 43 Fig 43: Elaboració Pròpia
51
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
Juli Serra Balaguer
Amb la taula es veu el que ja suposava, cada quena és diferent i en puc extreure poca cosa en quant a longituds. En alguns forats les longituds reals s'assemblen bastant en comparació amb els altres: Dels forats 3 al 8 el marge entre els valors és de 10 mil·límetres. No se fins a quin punt és una diferència que es pot considerar insignificant.
Els valors de la quena d'en Marcel són sempre els més petits. S'ha de veure si és també així amb l'afinació.
Els primers dos forats són els que s'assemblen menys entre les diferents quenes. Suposo que és perquè cada una és de diferent tamany total i de radi interior del tub. El següent pas, doncs va ser veure l'afinació de cada forat de cada quena i veure si en podia treure una mica l'entrellat de unes xifres que em semblaven molt aleatòries.
52
Fig 4444 Taula comparativa de longituds reals de les quenes
44
Fig 44: Elaboració pròpia
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
3.1.2.
Juli Serra Balaguer
So
El problema per definir les notes que feien va ser que les quenes no estaven ben afinades. Vaig deduir que era degut a que són instruments construïts als Andes. A 3000 metres d'altitud hi ha menys pressió atmosfèrica, també l'aire és menys dens. Si recuperem la funció de la velocitat del so en els gasos podrem analitzar: =
Que amb més pressió, P i menys densitat, ρ, la velocitat, v, augmenta, si ara veiem com canvia la freqüència en funció de la velocitat i la longitud en tubs oberts, com és el cas de la quena: =
(2 − 1) 4
Per tant si augmenta la velocitat es necessita una longitud més gran per obtenir la mateixa freqüència. Al traslladar el instruments cap aquí, a molta menys altitud sobre el nivell del mar, veiem que la longitud amb que van ser construïts fa que sonin amb una freqüència més petita, per tant el so és més greu. Vaig mesurar, amb l'ajut d'un afinador, com de desafinades estaven les quenes i mitjançant un petit càlcul poder saber quina freqüència tenia el so que feien.
Un afinador és un aparell que mesura la freqüència d'un so i el compara amb el que per defecte està definit com a nota musical. Jo vaig utilitzar una aplicació d'Android al mòbil que em deia la nota amb la seva freqüència a la que més s'aproximava el so i la seva desviació en cents. Aquesta aplicació és gratuïta i es diu Afinador y Metrónomo de l'empresa Soundcorset. Un cop mesurades les freqüències ideals i la desviació per a cada forat per a cada quena vaig calcular la freqüència real mitjançant l'Excel. Us detallaré com funciona el càlcul per una freqüència: Si tapo tots els forats de la quena que tenia a casa sona un Sol de = 392 amb una desviació de 40 cents per sota, és a dir, 40 cents més greu. Calculem, doncs, el valor del cent, que és una centèsima part del semitò: 1
= (1
)
=
∗
√2 =
√2 ≈ 1,00057779 …
Cal recordar que és un valor proporcional, per sumar un cent a una certa freqüència hem de multiplicar aquesta pel valor del cent. Per sumar enèsims cents hem de multiplicar-los enèsimes vegades, és a dir, multiplicar pel valor del cent a la enèsima potència. Per restar cents s'ha de dividir. + = Així doncs, si busco la freqüència del següent:
∗ ( √2) = ∗ 2 = 392 − 40
he de realitzar el càlcul
54
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
=
(
392
Juli Serra Balaguer
≈ 383,05
√2)
Com he fet amb les mesures vaig fer unes taules amb Excel amb la nota que corresponia a cada forat de cada quena amb la freqüència ja calculada correctament:
També vaig elaborar una segona taula per a cada quena on vaig calcular l'afinació que hauria de sortir segons la teoria amb la longitud real de cada forat. Vaig calcular també l'error que, al tractar-se de freqüències, s'ha de fer mitjançant una proporció, és a dir, una divisió. Per calcular la longitud a partir de la freqüència vaig aïllar la longitud de l'expressió: =
=
2 4
2
Per últim em va ser necessari passar de les unitats del Sistema Internacional (m) a les que jo estava utilitzant per a treballar (mm). La longitud en mil·límetres en funció de la freqüència queda: =
2
∗ 1000
Vaig haver de decidir un valor per a la velocitat en tots els càlculs. Vaig pensar en utilitzar un valor simplificat = 340 / però al final em vaig decantar per fer un petit càlcul experimental i afinar més els resultats. Vaig recuperar la definició de la velocitat del so en els gasos: ≈ 1,4
= 8,314
=
∗
∗ ∗ ≈ 0,028966 / La temperatura és el que és diferent i hauré de calcular. Amb un termòmetre vaig mesurar 19,6 ºC, que passats a graus kelvin donen: = 19,6 + 273,15 = 292,75 El càlcul final:
≈
1,4 ∗ 8,314 ∗ 292,75 ≈ 342,983 0,028966
/
Per tant el valor de la velocitat del so que utilitzaré per a fer tots els càlculs serà aquest.
55
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
Juli Serra Balaguer
Quena de casa Forat 1 2 3 4 5 6 7 8
Nota - correcció G4 = 392 - 40 cents A4 = 440 - 20 cents B4 = 493 - 25 cents C5 = 523 - 25 cents D5 = 587 - 35 cents E5 = 659 - 40 cents F5 = 698 + 35 cents G5 = 784 - 40 cents
Freqüència (Hz) 383,05 434,95 486,80 515,74 575,57 644,18 712,70 766,09
Fig 4545 Taula d'afinació i correcció de la freqüència de la quena de casa
Forat 1 2 3 4 5 6 7 8
Longitud real (mm) 391,43 335,68 307,91 280,23 255,91 227,41 201,11 153,15
Freqüència segons longitud real (Hz) 436,87 509,42 555,36 610,22 668,20 751,95 850,28 1116,55
Freqüència real (Hz) 383,05 434,95 486,80 515,74 575,57 644,18 712,70 766,09
Proporció
Fig 4646 Taula de comparació de freqüències segons la longitud i real de la quena de casa
1,14 1,17 1,14 1,18 1,16 1,17 1,19 1,46
Quena d'en Marcel Forat 1 2 3 4 5 6 7 8
Nota - correcció G4 = 392 - 40 cents A4 = 440 - 40 cents B4 = 493 - 40 cents C5 = 523 - 40 cents D5 = 587 - 40 cents E5 = 659 - 40 cents F5 = 698 + 40 cents G5 = 783 - 40 cents
Freqüència (Hz) 383,05 429,95 482,60 511,29 573,91 644,18 714,77 766,09
Fig 4747 Taula d'afinació i correcció de la freqüència de la quena d'en Marcel
45
Fig 45: Elaboració Pròpia Fig 46: Elaboració Pròpia 47 Fig 47: Elaboració Pròpia 46
56
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
Forat 1 2 3 4 5 6 7 8
Longitud real (mm) 379,84 329,90 303,02 277,23 249,12 217,02 190,12 145,30
Freqüència segons longitud real (Hz) 450,19 518,34 564,32 616,82 686,42 787,95 899,43 1176,92
Juli Serra Balaguer
Freqüència real (Hz) 383,05 429,95 482,60 511,29 573,91 644,18 714,77 766,09
Proporció
Fig 4848 Taula de comparació de freqüències segons la longitud i real de la quena d'en Marcel
1,18 1,21 1,17 1,21 1,20 1,22 1,26 1,54
Quena d'Internet Forat 1 2 3 4 5 6 7 8
Nota - correcció G4 = 392 A4 = 440 B4 = 493 C5 = 523 D5 = 587 E5 = 659 F5# = 740 G5 = 784
Freqüència (Hz) 392,00 440,00 493,88 523,24 587,32 659,24 740,00 784,00
Fig 4949 Taula d'afinació i correcció de la freqüència de la quena d'Internet
Forat 1 2 3 4 5 6 7 8
Longitud real (mm) 428,88 350,63 311,80 286,50 257,30 220,71 195,71 155,75
Freqüència segons longitud real (Hz) 398,72 487,69 548,43 596,86 664,59 774,76 873,72 1097,95
Freqüència real (Hz) 392,00 440,00 493,88 523,24 587,32 659,24 740,00 784,00
Proporció
Fig 5050 Taula de comparació de freqüències segons la longitud i real de la quena d'Internet
1,02 1,11 1,11 1,14 1,13 1,18 1,18 1,40
48
Fig 48: Elaboració Pròpia Fig 49: Elaboració Pròpia 50 Fig 50: Elaboració Pròpia 49
57
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
3.1.3.
Juli Serra Balaguer
Anàlisi
La primera quena que vaig analitzar va ser la que tenia a casa. Vaig observar que el grau de desafinament no era constant, és a dir, encara que la toques a 3.000 metres d'altitud seguiria estant desafinada. Primer vaig pensar en atribuir-ho a la meva mala tècnica tocant l'instrument, no era d'estranyar, però al fer les mesures de la quena del Marcel i veure que em sortien constants vaig veure que fallava alguna altra cosa.
El forat número 7 estava pensat per a fer un Fa sostingut i no un Fa natural com havia pensat inicialment. Quan ho veia, després, vaig caure en que tenia sentit. La quena estava afinada en Sol, l'escala de Sol major porta el Fa sostingut i no el natural. Era evident que per tocar sense utilitzar alteracions sonaria el Fa sostingut. De la segona taula s'extreu, ja directament en el primer forat, que la freqüència que hauria de produir teòricament aquella longitud i la que produïa realment eren molt diferents.
Aquesta diferència s'accentua quan anem pujant pel tub, a això li vaig trobar un sentit. Realment no tot l'aire surt pel primer forat que troba i la resta del tub es com si no existís. La combinació de freqüències que surten per cada forat amb més o menys amplitud és el que donen lloc a la nota final amb el timbre corresponent. La quena d'en Marcel estava desafinada però tota igual de desafinada, això volia dir segurament que era una quena més bona que la que jo tenia a casa. L'únic forat que fallava una mica era el forat del Fa, que ja suposava que havia de ser sostingut però igualment quedava una mica desafinat. Pel que fa a les proporcions de freqüències a les tres quenes és interessant veure que, excepte l'últim forat, la proporció d'afinació queda al voltant de l'1, 20. En aquest últim forat, el més petit que ha de fer sonar l'octava, és quan es dispara fins a l'1,40 fins i tot 1,50. No he estat capaç de trobar un sentit a aquesta variació, potser és degut a que el forat es troba darrera i no davant, però no tinc com refutar-ho.
A la quena d'Internet vaig veure la proporció d'error més petita, 1,02 quan el tub està completament sencer. Això em va deixar molt desorientat, aquestes mesures que havia tret d'Internet en teoria haurien de funcionar, s'haurien d'adaptar a la teoria i sonar correctament. Davant la complicació d'extreure informació davant d'unes dades tant aparentment caòtiques vaig decidir tirar pel dret en el disseny de la meva pròpia quena. Per no deixar de banda el fet que hi ha una desproporció entre el que diu la teoria i el que passa a la realitat vaig elaborar la següent taula per extreure un valor indicatiu.
58
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
Juli Serra Balaguer
QUENA CASA G Longitud real Longitud teòrica Diferència longituds 5,25 391,43 446,42 55,00 4,25 335,68 393,15 57,48 5,70 307,91 351,27 43,36 3,75 280,23 331,56 51,34 5,70 255,91 297,10 41,19 5,70 227,41 265,45 38,04 5,70 201,11 239,93 38,82 2,50 153,15 223,21 70,06 MITJANA: 49,41 QUENA MARCEL G Freqüència Longitud Radi Longitud real Longitud teòrica Diferència longituds G4 = 392 - 40 cents 383,05 364,00 4,80 379,84 446,42 66,58 A4 = 440 - 40 cents 429,95 316,70 4,00 329,90 397,72 67,82 B4 = 493 - 40 cents 482,60 285,20 5,40 303,02 354,33 51,31 C5 = 523 - 40 cents 511,29 263,70 4,10 277,23 334,45 57,22 D5 = 587 - 40 cents 573,91 231,30 5,40 249,12 297,96 48,84 E5 = 659 - 40 cents 644,18 199,20 5,40 217,02 265,45 48,43 F5 = 698 + 40 cents 714,77 172,30 5,40 190,12 239,24 49,12 G5 = 783 - 40 cents 766,09 136,55 2,65 145,30 223,21 77,92 MITJANA: 58,40 QUENA D'INTERNET G Freqüència Longitud Radi Longitud real Longitud teòrica Diferència longituds G4 = 392 400,00 8,75 428,88 436,22 7,35 A4 = 440 334,00 5,04 350,63 388,64 38,00 B4 = 493,88 292,00 6,00 311,80 346,24 34,44 C5 = 523,24 270,00 5,00 286,50 326,81 40,31 D5 = 587,32 237,50 6,00 257,30 291,15 33,85 E5 = 659,24 204,00 5,07 220,71 259,39 38,68 F#5 = 740 179,00 5,07 195,71 231,08 35,37 G5 = 784 147,00 2,65 155,75 218,11 62,37 MITJANA: 36,30 Freqüència Longitud Radi G4 = 392 - 40 cents 383,05 374,10 A4 = 440 - 20 cents 434,95 321,65 B4 = 493 - 25 cents 486,80 289,10 C5 = 523 - 25 cents 515,74 267,85 D5 = 587 - 35 cents 575,57 237,10 E5 = 659 - 40 cents 644,18 208,60 F5 = 698 + 35 cents 712,70 182,30 G5 = 783 - 40 cents 766,09 144,90
MITJANA TOTAL:
47,35
Fig 5151 Taula comparativa de longituds per extreure'n una mitjana d'error
Les longituds i radis estan en mil·límetres i les freqüències amb Hertz.
La longitud teòrica està definida a partir de la freqüència que produeix, la longitud real a partir de la operació de la longitud del tub i el radi del forat.
La diferència de longituds és una resta entre aquests dos valors, la seva mitjana m'ha donat el valor que he utilitzat per als càlculs d'error al dissenyar la meva quena.
51
Fig 51: Elaboració pròpia
59
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
Juli Serra Balaguer
3.2. Construcció d'una quena amb una impressora 3D Un cop analitzades les diferents quenes tocava fer la part visible del treball, allò material, dissenyar i construir la meva pròpia quena. Vaig fer una mala planificació del temps al fer el treball, volia deixar el marc teòric enllestit a l'estiu i durant tot el primer trimestre de curs poder dissenyar la quena amb calma. Per mala planificació meva se'm va allargar la redacció del marc teòric i tot el marc pràctic l'he hagut de realitzar en poc més d'un mes.
Per explicar el procés de creació de la quena repassaré cronològicament tot el procés amb una petita introducció al principi sobre què vol dir això de fer servir una impressora 3D i uns conceptes bàsics sobre com funciona.
3.2.1.
Material
La meva intenció era imprimir la quena amb una impressora 3D. Són màquines que, a partir d'un arxiu, generen un model en tres dimensions. Els mètodes que fan servir són molt diversos, des de fondre el material amb làsers fins a dipositar-lo en cada punt per capes. Aquestes últimes són més barates i es troben a disposició de l'usuari domèstic. Una impressora 3D del tipus FDM, per les seves sigles en anglès "Fused Deposition Modeling" funciona, com diu el seu nom, dipositant material fos de manera ordenada per a fabricar el model.
El més comú es que imprimeixin amb PLA, un tipus de plàstic. Aquest es disposa en un cable enrotllat i se subministra a l'extrusor. L'extrusor és la part de la impressora que desfà el plàstic perquè s'escalfa i el diposita on toca mitjançant 3 motors elèctrics que permeten desplaçar-lo en les 3 dimensions. Normalment dos d'aquests motors mouen directament l'extrusor i el tercer mou la base sobre la que es construeix el model, que normalment està feta de vidre per poder desenganxar-hi el PLA fàcilment. L'institut Baix Montseny té una impressora 3D al departament de tecnologia que ja havia utilitzat anteriorment quan vaig participar en diverses edicions del concurs de robots Robotseny. Vaig parlar amb l'Ignasi Charles si la podia fer servir però estava espatllada i vaig haver de buscar altres opcions. A una sortida del cau vaig veure que un amic, en Ton Miserachs, portava uns mosquetons impresos amb una impressora 3D, li vaig preguntar si em podria imprimir la quena i em va dir que si. Ell tenia un model d'impressora millor que el de l'institut, i podia fer els dissenys més grans, però d'això ja en parlarem amb tots els dissenys que vaig fer. El model de la seva impressora és l'Anet A6 i està a la venda a uns 450 € (Fig 52)
60
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
Juli Serra Balaguer
Fig 5252 Impressora 3D model Anet A6
Es pot veure a la fotografia a banda i banda els eixos verticals y, al mig l'extrusor sobre l'eix x i la base blanca es recolza sobre l'eix z.
Cada impressora té el seu propi mètode per imprimir una mateixa figura. Un cop vaig haver dissenyat la figura en 3 dimensions la vaig poder exportar .STL "stereolithography". És un format d'arxiu que guarda models en 3 dimensions i que pot ser llegit per molts altres softwares. Hauria hagut de passar l'arxiu .STL per un convertidor dissenyat específicament per a la impressora 3D que vulgues utilitzar. Aquest convertidor transformaria la figura en 3D en un seguit de moviments dels eixos i de l'extrusor que pogués llegir la impressora. Quan vaig fer servir la impressora de l'institut el software que utilitzava era el Cura. Tenia pensat tornar-lo a fer servir i explicar bé el procés però al no poder utilitzar la impressora de l'institut i per evitar complicacions li vaig enviar al Ton els arxius .STL i ell els va passar pel seu programa que pogués llegir la seva impressora Així doncs, un cop tingués el disseny fet en 3D ja el podria tenir físicament, faltava fer el primer pas, el disseny.
3.2.2.
Disseny
Com ja vaig fer els dibuixos en 2D de les quenes que tenia, vaig fer servir el programa Autodesk per als dissenys 3D. Ja l'havia utilitzat anteriorment i hi estava familiaritzat. El programa em permetia, un cop fet el disseny, exportar el cos sòlid en format .STL. Això em va simplificar molt el treball pel que a software es refereix. El programa en tres dimensions funciona amb polígons i formes simples. En vaig haver de crear diferents, unes sobre les altres, i el programa et permet fer un cos que "esborri" una part d'un que ja tens. Amb no gaires complicacions pots fer figures molt complexes.
La impressora del Ton permetia imprimir en un marge de 220*220*250 mil·límetres. Sabia que aquest marge era molt petit per a fer la quena i que l'hauria de partir en dues parts. El primer que vaig fer va ser dissenyar una junta que em servis d'experiència per a quan fes la quena. 52
Fig 52: https://www.tomtop.com/es/p-os0186eu.html al novembre del 2019
61
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
Juli Serra Balaguer
La vaig fer petita, doncs no volia gastar gaire material, d'uns 4 cm de llarg cada peça. Primer vaig crear dos cilindres de 40mm de llarg per 14,75 de radi, els vaig buidar per dins amb un radi de 12,50mm , el que em deixava un tub d'un gruix de 2,25mm. Tocava fer el sistema de junta, vaig decidir fer que un tub es fes més estret i es fiques dins de l'altre, que seria més ample. El cilindre estret que seria el mascle tenia un gruix de 1 mm, amb un radi exterior de 13,50mm. El gran, que faria de femella també era d'1mm de gruix, deixant un radi interior de 13,50mm. El marge de la junta, doncs, era de 0,25mm. Volia comprovar si, amb la precisió de la impressió, tant poc marge seria suficient. La figura llesta per imprimir va quedar així:
Fig 5353 Disseny de la junta
La junta va funcionar bé, tot i que quedava poc apretada i amb un moviment brusc queia. Vaig decidir utilitzar tefló per acabar d'amarrar be la junta i que no rellisques, funcionava perfectament i ho vaig aplicar a les quenes també.
Fig 5454 La junta un cop impresa
53 Fig 53: Elaboració pròpia 54 Fig 54: Elaboració pròpia
62
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
Juli Serra Balaguer
Tocava doncs, centrar-me en el disseny de la meva pròpia quena. Com que els resultats de la primera part del marc pràctic no havien estat concloents, i amb el poc temps que tenia perquè restava un mes per a l'entrega del treball, em vaig planificar poder fer dues impressions. La primera seria seguint la teoria, amb les poques modificacions que havia pogut veure analitzant les quenes i la segona, amb les modificacions necessàries després d'analitzar la primera.
Com que inicialment pensava imprimir amb la impressora de l'institut i el seu marge d'impressió era més reduït, de 150*150*150mm, vaig decidir que la quena havia de fer com a màxim 30 cm per poder-la separar en dues parts. Evidentment el marge era molt just i volia ajustar menys. Vaig elaborar una taula de distàncies al voltant d'aquella longitud i més petites per decidir en quina escala volia fer la quena: Nota A4 A#/Bb 4 B4
Freqüència (Hz) Longitud teòrica (mm) 440,00 466,16 493,88
388,6 366,8 346,2
C5
523,24
326,8
D5
587,32
291,2
E5 F5
659,24 698,44
259,4 244,8
G5
784,00
218,1
A5
880,00
194,3
B5 C6
987,76 1046,48
173,1 163,4
C#/Db 5
D#/Eb 5 F#/Gb 5
G#/Ab 5 A#/Bb 5 C#/Db 6 D6
554,36 622,24 740,00 830,60 932,32
308,5 274,8 231,1 205,9 183,4
1108,72 154,2 1174,64 145,6 Fig 5555 Taula de notes, freqüències i longituds
Com que aplicant la desviació que havia comprovat amb les quenes reals, que necessitava 47mm menys de mitjana cada longitud, i pensant en sumar també la desviació pel radi del forat, vaig pensar en que la meva quena toques una escala de Do
Els 8 forats, per tant, anirien des del C5 fins al C6, seria una quena bastant aguda però amb les notes distribuïdes com una flauta dolça, així que podria tocar moltes melodies simples. Calia doncs, transformar aquestes longituds teòriques en una longitud real amb un radi corresponent. Per a fer-ho vaig crear la taula següent:
55 Fig 55: Elaboració pròpia
63
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
Freqüència
Longitud
Juli Serra Balaguer
LA MEVA QUENA Longitud real Radi Longitud teòrica Segons realitat Segons teoria 7,00 246,9 247,03 326,8
523,25
270,00
587,33
237,00
7,75
211,4
211,38
291,1
659,24 698,44
208,00 183,00
8,60 5,40
179,6 165,2
179,62 165,06
259,4 244,8
784,00
153,00
4,40
138,5
138,34
218,1
880,00
128,00
4,10
114,5
114,55
194,3
987,76 1046,48
111,00 93,00
5,30 2,80
93,5 83,8
93,35 83,63
173,1 163,4 79,77
Fig 5656 Primera taula de valors de la meva quena
Al fer aquesta taula vaig cometre molts errors i per això no és descabellat qualificar la primera impressió de la quena com a desastre total. A continuació us descriuré com vaig elaborar aquesta taula i els errors que vaig cometre en cada pas.
A baix a la dreta en un requadre hi ha l'error mitjà que havia tret d'analitzar les quenes físiques que tenia. Abans he dit, i com haureu vist en les taules d'anàlisi, que l'error mitjà eren 47mm. Per què aquí hi ha un 79,77? Doncs perquè vaig cometre un error gravíssim al posar un valor a les longituds pràctiques de cada quena, m'explico. Havia deduït per l'expressió que la formula que relaciona longitud que teòricament ha de tenir el tub amb la longitud real degut a l'efecte del radi era la següent: =
− 3,3
o
=
+ 3,3
Doncs vaig confondre la longitud teòrica amb la longitud real. Els hi havia posat noms diferents a l'excel i vaig fer la operació inversa, restant enlloc de sumant. Aquest error també el vaig repetir a la columna de longitud real segons realitat.
Les columnes de freqüència i longitud teòrica estan extretes directament de la taula anterior.
La columna de longitud real segons teoria és el càlcul de restar la desviació mitjana que havia calculat a la longitud teòrica corresponent.
56 Fig 56: Elaboració pròpia
64
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
Juli Serra Balaguer
Les columnes de longitud i radi les vaig omplir jo manualment, la fórmula que tenia a la longitud real segons realitat em feia el càlcul i intentava, amb valors molt simples, que les dues columnes de longitud real tinguessin la mínima diferència. Vaig posar valors molt simples i sense acabar d'ajustar perfectament perquè sabia que sortirien malament i volia treballar després de l'error. Això va fer que sumat a l'error de càlcul el desajustament fos realment devastador. Vaig elaborar una taula amb els càlculs ben fets però conservant les longituds que havia planejat, dissenyat i imprès per veure la magnitud de la tragèdia. Freqüència
Longitud
LA MEVA QUENA Longitud real Radi Longitud teòrica Segons realitat Segons teoria 7,00 293,1 279,45 326,8
523,25
270,00
587,33
237,00
7,75
262,6
243,80
291,1
659,24 698,44
208,00 183,00
8,60 5,40
236,4 200,8
212,04 197,48
259,4 244,8
784,00
153,00
4,40
167,5
170,76
218,1
880,00
128,00
4,10
141,5
146,97
194,3
987,76 1046,48
111,00 93,00
5,30 2,80
128,5 102,2
125,77 116,05
173,1 163,4 47,35
Fig 5757 Segona taula de valors de la meva quena
Un altre error que no he comentat i que vaig veure després d'imprimir va ser el valor dels radis. No vaig pensar en que eren forats que hauria de tapar amb els dits, i els tres primers em van quedar massa grans i era impossible tapar-los amb el dit.
Abans d'adonar-me de tots aquets errors vaig dissenyar la quena amb l'Autodesk i li vaig enviar al Ton perquè me la imprimís, el procés em va servir per agilitzar el disseny de la següent que hauria de fer amb els càlculs ben fets. El procediment de disseny va ser molt semblant al de la junta, però més gruixuda, llarga i afegint forats on havia calculat. El resultat amb l'Autodesk és aquest:
57
Fig 57: Elaboració pròpia
65
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
Juli Serra Balaguer
Fig 5858 Primer disseny amb autodesk de la quena
Vaig fer la separació de la flauta en dues parts entre els espais que corresponen a cada mà per comoditat i perquè, al ser forats una mica més separats, la junta no en taparia cap. Pel bisell de l'embocadura vaig fer una marca i després pensava llimar-ho per acabar de donar forma i que sonés. Dissenyar el bisell directament ho veia molt complicat.
En Ton va tenir un petit problema a l'hora d'imprimir amb el vidre de la base, se li va moure i algunes capes van quedar una mica desplaçades. Es veu molt l'error però no afectava gaire l'interior del tub així que el vaig considerar insignificant. Després de llimar el bisell amb una llima i paper de vidre del taller de tecnologia (Fig 59) i d'acabar d'ajustar la junta amb tefló el resultat va ser el següent:
58
Fig 58: Elaboració pròpia
66
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
Juli Serra Balaguer
Fig 5959 Llima (sobre) i paper de vidre(sota)
Fig 6060 Primera quena
59 60
Fig 59: Elaboració pròpia Fig 60: Elaboració pròpia
67
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
Juli Serra Balaguer
Com ja he dit, els dos últims forats eren massa grans i impedien fer les notes més greu, així que només he pogut analitzar les freqüències produïdes de les notes més agudes. Les vaig recollir en una taula. Nota teòrica E5 F5 G5 A5 B5 C6
Freqüència tòrica (Hz) 659,24 698,44 784,00 880,00 987,76 1046,48
Nota real + correcció E5b + 45 cents F5 -40 cents G5b + 20 cents A5b + 5 cents B5b + 35 cents B5 + 35 cents 61
Freqüència real (Hz) 636,78 682,49 748,60 833,01 951,36 1007,93
Fig 61 Anàlisi de la primera quena
Error (f real / f teòrica) 0,9659 0,9771 0,9548 0,9465 0,9631 0,9631
Com ja esperava, els resultats quedaven molt lluny de ser bons però almenys eren bastant coherents. Tots els forats estaven desafinats, si. Però era més o menys igual a tots els forats, almenys ho vaig considerar bastant acceptable per ser el primer cop. Es passava del quart de to greu en la majoria.
A part d'això, el fet d'haver de llimar el bisell va fer que totes les mesures que havia fet sobre el lloc on trencava l'aire no servissin. Em calia trobar una manera d'haver de llimar el mínim el possible el bisell, per tant hauria de donar més qualitat al disseny 3D.
3.2.3.
Modificacions
Així doncs, per fer el segon disseny vaig tornar a fer càlculs. Vaig desestimar els últims que havia fet per a la primera quena i en vaig fer de nous. Apurant més amb dècimes de mil·límetre per quadrar el que em deien els nous càlculs vaig elaborar la taula següent:
61
Fig 61: Elaboració pròpia
68
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
Freqüència
Longitud
Juli Serra Balaguer
LA MEVA QUENA Longitud real Radi Longitud teòrica Segons realitat Segons teoria 8,00 279,40 279,45 326,8
523,25
253,00
587,33
224,00
6,00
243,80
243,80
291,1
659,24 698,44
195,50 179,70
5,00 5,40
212,00 197,52
212,04 197,48
259,4 244,8
784,00
154,20
5,00
170,70
170,76
218,1
880,00
133,80
4,00
147,00
146,97
194,3
987,76 1046,48
110,90 107,80
4,50 2,50
125,75 116,05
125,77 116,05
173,1 163,4 47,35
Fig 6262 Tercera taula de valors de la meva quena
Vaig tenir en compte que els valors dels radis no fossin molt grans i en tot moment pogués tapar el forat amb els dits.
Vaig fer el tub més estret, doncs creia que així no dependria tant del bisell per a que es formessin ones estacionàries. El forat del final del tub el vaig fer completament recte i no amb angle com havia fet el primer cop i el que veia en les quenes de bambú. Vaig pensar que així es "trencaria" millor el so i sonaria més fàcilment Vaig fer un bisell directament al disseny per no haver de llimar i mantenir els càlculs el més fidels possible.
Vaig fer-li una mica d'angle a l'embocadura per acomodar la barbeta amb més comoditat, i així poder dirigir l'aire cap al bisell sense tantes complicacions.
Vaig moure la separació entre les dues parts de la quena a la part de dalt, entre l'embocadura i la primera mà. Així podria fer petites correccions en l'afinació si es donés el cas només deixant una mica de marge a la junta. Amb totes aquestes modificacions, vaig fer el disseny de la segona quena, va quedar així:
62
Fig 62: Elaboració pròpia
69
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
Juli Serra Balaguer
Fig 6363 Segon disseny amb autodesk de la quena
3.2.4.
Resultat
Un cop la segona quena va estar impresa el resultat va ser aquest:
Fig 6464 Segona quena
63 64
Fig 63: Elaboració pròpia Fig 64: Elaboració pròpia
70
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
Juli Serra Balaguer
El disseny de bisell que vaig fer funcionava perfectament i no vaig haver de llimar res per a que la quena sonés.
Al ser una quena molt més prima no va necessitar tant tefló per mantenir la junta immòbil, el primer cop que en vaig posar no ho vaig tenir en compte i vaig fer la junta tant gruixuda amb el tefló que no es podia encaixar. Vaig reduir una mica la quantitat de tefló i ara encaixa una mica dura però sense problemes.
Els forats estaven bé de mida per a poder tapar-los amb els dits i la quena sonava bé per tots els forats. Tocava analitzar quina nota feia cada forat: Nota teòrica C5 D5 E5 F5 G5 A5 B5 C6
Freqüència tòrica (Hz) 523,24 587,32 659,24 698,44 784,00 880,00 987,76 1046,48
Nota real + correcció Db5 - 15 cents D5 + 35 cents E5 F5 + 35 cents G5 Ab5 + 30 cents Bb5 + 45 cents B5 65
Freqüència real (Hz) 549,58 599,31 659,24 712,70 784,00 845,12 956,87 987,76
Fig 65 Anàlisi de la segona quena
Error (f real / f teòrica) 1,0503 1,0204 1,0000 1,0204 1,0000 0,9604 0,9687 0,9439
Aquesta quena estava feta segons la teoria però amb els càlculs ben aplicats. Es veu sorprenentment que per a algunes notes els càlculs funcionen, per a altres queden curts i per a altres llargs fent un mateix càlcul.
Crec que les notes que estan afinades correctament és perquè són els primers harmònics de la fonamental que és el Do, en el primer hi ha alguna cosa que falla perquè està més d'un quart de to desafinat. El segon harmònic seria la octava i també està desafinada però aquest cop cap avall. L'interessant és que el tercer i el quart harmònic, la quinta i la tercera major respectivament, estan ben afinades. Això pot ser degut a que la longitud permet l'aparició d'aquests harmònics més fàcilment, ja que les longituds són correctes segons la teoria.
Les notes al voltant d'aquests harmònics tendeixen a apropar-se, el Re s'acosta al Mi i el Fa al Sol. S'apropen per quedar més aguts, sempre es pot formar el ventre de l'ona dins del tub i no ben bé a l'extrem però un cop no hi ha tub no pots forçar-n'hi la forma de l'ona. També ho vaig veure amb el cinquè harmònic, es tracta de la setena menor, que en l'escala de Do és el Si bemol, els dos forats més aguts tendeixen a la baixa i potser és degut a aquest fenomen.
És clar també que l'afinació dels primers 5 forats és més aguda del que hauria o perfecta. Amb els tres forats més aguts l'afinació falla cap als greus. Els sons més aguts, al tenir longituds d'ona més petites són més susceptibles a petits canvis. Crec que aquest és el motiu d'aquesta diferenciació en l'afinació de les notes de la quena.
65
Fig 65: Elaboració pròpia
71
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
Juli Serra Balaguer
Per afinar les notes menys desafinades, com són el Re i el Fa, amb deixar la junta oberta uns 4mm n'hi havia prou per corregir aquests 35 cents de desafinació. Per a corregir les desafinacions negatives, com eren les del La , Si i Do' havia de fer el tub més curt i no ho podia fer modificant la junta un cop impresa. Així doncs, per a una futura impressió, hauria de moure els forats 1, 2 i 4 una mica més cap avall, més longitud, i el 6 i el 7 amb menys longitud. Vaig pensar que aleshores els diàmetres del forat variarien i que el millor seria fer-los escoltant el so, es a dir, taladrar jo els forats per poder comprovar l'afinació en tot moment.
Com que no vaig tenir temps de fer més correccions i impressions vaig deixar aquest resultat com a resultat final de la part pràctica del meu treball de recerca. Era el torn d'extreure conclusions.
72
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
Juli Serra Balaguer
4. CONCLUSIONS Del treball realitzat n'he tret sensacions bones i dolentes, hi ha hagut moments on tot em sortia bé i després m'he equivocat i els resultats no han estat bons. En general estic content del treball i crec que ha estat una bona experiència però, com tot, podria haver estat millor. He aprés moltes coses al fer aquest treball, he disfrutat molt fent el marc teòric. Estic content d'haver pogut comprendre quina explicació física té una cosa que faig quasi cada dia, i és tocar el trombó de vares. No puc dir que el treball hagi sortit malament.
M'ho he pres molt com un treball per a mi mateix, perquè volia fer-lo. Això ha tingut moltes coses positives, però també de negatives. Ha fet que m'ho hagi passat molt bé fent la feina i entenent a partir de la recerca bibliogràfica el perquè de les qüestions que m'havia plantejat. Ha sigut la clau per a arribar fins a on he arribat i haver-li dedicat tantes hores sense acabar fastiguejat amb mi mateix. De coses negatives té que no he fet aquest treball pensant gaire en la resta, pensant en que me l'han d'avaluar i potser hauria d'haver fet coses d'una altra manera perquè fos un treball més vistós i agradés més a la gent. No he arribat a la definició que esperava trobar. El primer objectiu l'he complert, sens dubte. Els altres dos, en canvi, no han anat tant bé. Esperava poder obtenir més informació de l'anàlisi de les quenes, al final ha acabat sent quasi una pèrdua de temps. A dia d'entregar aquest treball encara no tinc una quena dissenyada i impresa que estigui correctament afinada. Així doncs, només he complert un dels tres objectius així que no puc dir certament que el treball hagi sortit bé.
No he comprovat que la teoria falli completament. El tub sonor que he volgut dissenyar era complex i amb paràmetres que no he tingut en compte. Segurament hauria estat bé i no ho he fet el construir tubs senzills per demostrar que la teoria es compleix. Són diferents coses que, un cop acabat el treball, veus que hauries pogut fer diferent per tal d'aconseguir un resultat millor. Els estudis són els que són, això que he posat com a teoria ha estat demostrat, el fet que no ho hagi pogut fer de manera simple determina la complexitat d'aquestes teories. Qualsevol petit error, qualsevol modificació que no haguessis tingut en compte pot fer que canvi una mica el resultat, i amb un llenguatge com són les matemàtiques on cada petit error s'arrossega i es fa una bola crea la necessitat de ser molt precís per aconseguir fer un instrument. I jo no ho he estat. No m'he planificat bé el temps. Vaig pensar que el marc teòric m'ocuparia menys i a l'estiu el podria deixar acabat. No ha estat així. Fins a finals d'octubre no vaig començar a fer el marc pràctic quan hauria d'haver començat molt abans. Si hagués repartit millor la feina i hagués tingut més temps pel marc pràctic segurament hauria pogut tenir la quena ben afinada a l'hora d'entregar el treball. Ha estat un gran error per part meva que ha afectat bastant al resultat del treball. Tot i la pèrdua de temps que va suposar que l'impressora de l'institut no funcionés al final crec que ha sigut millor. Si hagués hagut de fer jo tots els passos pel software hagués tardat molt més. Evidentment hagués sigut súper útil i beneficiós pel contingut del treball però el temps que hagués invertit i els maldecaps que m'hagués portat fan que hagi sigut molt millor el fet que he pogut comptar amb el Ton i les impressions han sigut senzilles.
73
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
Juli Serra Balaguer
Quan al febrer, març em plantejava el treball vaig incloure molts temes que al final no he pogut tractar per falta de temps i no estaven estrictament relacionats amb el camp de l'afinació dels instruments de vent però si sobre la música i curiositats que tinc sobre el tema.
Volia parlar de biologia, de com funciona el nostre aparell auditiu i com interpretem els sons. També un apartat que podia estar més relacionat amb les matemàtiques i la informàtica sobre digitalització, edició i reproducció de música o àudio en general. Són temes que em queden pendents i em fa una mica de pena no haver pogut mirar-me aquests temes ara que hi estava disposat. La quena acabada sona. No fa les notes que hauria però sona. Estic content d'això i crec que reflexa prou bé com ha estat aquest treball. Una bona recerca, una bona base però una mala planificació que deixen amb aquest mal regust de boca. El treball s'ha fet, sí. S'ha fet bé, sí. Però es podia haver fet millor. Sempre es pot fer millor.
Així doncs només desitjo esperar que tot aquest procés no acabi amb l'entrega d'aquest treball, que segueixi fent dissenys fins a aconseguir una quena ben afinada, que faci recerca sobre tot el que m'intriga per a trobar les respostes. I tot això només depèn de mi.
74
Les matemàtiques en l'afinació d'instruments de vent
Juli Serra Balaguer
5. BIBLIOGRAFIA Llibres:
Llibre sobre teoria acústica: Calvo A. i Ruiz M. (1991) Acústica Fisico-Musical (1ra edició) Madrid: Carlos III
Llibre sobre física De la Puente J. (1954) Compendio de física elemental (7na edició) Barcelona: Bosch
Treball de recerca de música i matemàtiques Casadevall A. (2018) La música de les matemàtiques. Sant Celoni: Treball de Recerca
Webs:
So Franco García A. (2009) Movimiento ondulatorio. juliol del 2019 http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/ondas/ondas.html#acustica
So en la música EcuRed - Música. abril del 2019 https://www.ecured.cu/M%C3%BAsica
Mètode temperat Almudena M. Castro. (2009) Música y matemáticas. La afinación temperada. abril del 2019 https://www.enchufa2.es/archives/musica-y-matematicas-la-afinacion-temperada.html Instruments de vent Almudena M. Castro i Úcar Iñaki. (2017) El sonido del viento. abril del 2019 https://www.eitb.eus/es/divulgacion/naukas-bilbao/videos/detalle/5083118/naukasbilbao-2017-almudena-m-castro-inaki-ucar-el-sonido-viento/ Reverberació ¿Que es la reverberación? (2015) setembre del 2019 http://www.acusticaintegral.com/reverberacion.htm
Ressonància Quintanilla M. (2010) Resonancia setembre del 2019 http://cpms-acusticamusical.blogspot.com/2010/03/resonancia.html
Com fer una quena Medidas de una quena y un quenacho (2013) octubre del 2019 http://trovadoresco65.blogspot.com/2013/10/medidas-de-una-quena-y-unquenacho.html
75
