Aralık 2009
8. B Ö L Ü M BİLEŞİK EĞİLME TESİRİNDEKİ KESİTLER
8.1 Bileşik Eğilmenin Tanımı Bu bölüme kadar görülen konularda, kesit tesirleri olarak ele alınan Normal Kuvvet ve Eğilme Momentinin kesitlere teker teker tesir etmesi durumu incelenmişti. Normal kuvvetin tesir ettiği yapı elemanı olarak kolonlar, Eğilme momentinin tesir ettiği yapı elemanı olarak kirişler ele alınmıştı. Acaba kolon ve kirişlere bu kesit tesirleri gerçekten de ayrı ayrı mı etki ederler? Önceki bölümlerde incelenen kirişler, sadece (M) eğilme momenti tesirine göre hesaplanmıştı. Bir kirişe sadece (M) eğilme momentinin tesir etmesi durumu, çok seyrek karşılaşılan bir durumdur. Genelde, bilhassa yapılardaki kirişlere, düşey yükten dolayı M eğilme momenti ile beraber (V) kesme kuvveti de tesir etmektedir. Kirişlerde eğilme momentinden dolayı kesite dik olan normal gerilmeler meydana geldiği halde, kesme kuvvetinden dolayı kesite paralel kayma gerilmeleri meydana geleceğinden Moment ve Kesme kuvvetinin tesir ettiği kesit, bu kesit tesirlerine göre ayrı ayrı hesaplanmalıdır. V
+
q t/m
Kesme Kuvveti L
V
Kiriş ve yükü +M Şekil 8.1
Eğilme Momenti
İlk konulardan da bilindiği gibi betonarme yapılar süreklidir. Aynı kattaki kolonlar, kiriş ve döşemeler birlikte imal edilirler. Kolonlarda bırakılan filizler sayesinde katlar arasındakiAbütünlüğün kabul edilecektir. B C de sağlandığı D 3 (A-A) (B-B) 2 Bu şekildeki bir kabul ile betonarme (1-1) (2-2)karkas (3- bir yapının(C-C) her iki yönde çerçevelerden (D-D) 3) (Şekil 8.2) meydana geldiği kabul edilmiş olur. 1 Çerçevelerin düşey yüklere göre hesabı yapıldığında, statikten bilindiği gibi kolonlara Normal kuvvetle beraber Eğilme momenti de tesir etmektedir. Kolonlarda düşey yükten dolayı büyük normal kuvvetlerle birlikte hayli küçük olan eğilme momentlerinin de tesir ettiği görülecektir. (Şekil 8.3)
Hy
Hx
Hx Şekil 8.2
Hy
130
Ayrıca yapılara düşey yüklerle birlikte, aynı zamanda Rüzgar ve Deprem yükleri gibi yatay yükler de tesir etmektedir. Bu yatay yükler için gerekli hesaplar yapıldığında, çerçeveyi meydana getiren kolonlar ve kirişlerdeki moment kesit tesirleri bulunacaktır.(Şekil 8.4)
q t/m
+
+
Şekil 8.3 Yukarda sayılan sebeplerin dışında, özellikle kenar kolonlarda, alt kattaki kolonların büyümesinden dolayı eksen dışı normal kuvvet uygulaması ortaya çıkmaktadır. (Şekil 8.4) Deprem tesirinden dolayı kolonların alt ve üst uçlarında meydana gelen momentin, düşey yüklerden dolayı meydana gelen momentten daha büyük olduğu görülmektedir. Ancak deprem tesirinden dolayı kolonlarda meydana gelen normal kuvvetin ise düşey yüklerden dolayı meydana gelen normal kuvvetten küçük olduğu bilinmektedir.
M
M M
Çerçeve ve Yatay Yükler Şekil 8.4
M
M M
M
M N
N
N
Kolon uç momentleri ve kolon normal kuvvetleri
M
N
M Kenar Kolonlarda Eksantriste Momentleri
131
Belirtilen bu sebeplerden dolayı çerçeveleri oluşturan kolonlarda sadece normal kuvvet tesir etmesi durumu meydana gelmez. Normal kuvvetle beraber moment tesiri de bulunur. Bu sebeplerden dolayı yönetmelikler, kolonların sadece normal kuvvete göre hesaplanmasına izin vermezler. Eğer herhangi bir kolonda, yapılan hesaplar sonucunda eğilme momenti bulunmuyor veya çok küçük ise, yönetmeliğin verdiği minumum moment dikkate alınarak hesap yapılmalıdır. N
Mx N h
b h
N b
Mx = (e ) N
Şekil 8.5
My
ex = (0,03*h +1,5cm )
My = (e ) N ey = (0,03*b +1,5cm )
b ve h cm. olarak alınmalıdır. T.S.500 eksantrisitenin en az (e) kadar olması gerektiğini belirtmektedir. 8.2 Bileşik Eğilme Tesiri Altındaki Kesitlerin Hesap Esası Kolon kesitinin merkezinde sadece normal basınç kuvvetinin tesir etmesi halinde kesitte, basınç gerilmeleri meydana gelir. Bu gerilmeler kesite dik olarak meydana gelir, kesitteki dağılışı üniformdur ve gerilmenin değeri ise kuvvetin alana bölünmesiyle bulunur.
N
N
Şekil 8.6 σN = N / F b h
F = h* b
132
Aynı kesite Eğilme momentinin tesir etmesi durumunda kesitin bir kısmında basınç gerilmeleri, diğer kısmında ise çekme gerilmeleri meydana gelecektir. Eğilme momentinden dolayı meydana gelen gerilmelerde kesite dik doğrultudaki normal gerilmelerdir.
M
M
σM
b σM
h
σM = M / W Şekil 8.7
W = (b * h2 ) / 6
Kesite tesir eden Normal kuvvet ve Eğilme momentinden dolayı aynı cins gerilmeler oluştuğundan bu kesit tesirlerinin birlikte etki etmesi halinde meydana gelen gerilmelerin cebrik olarak toplanabileceği ortaya çıkmaktadır. Bundan dolayı kesitlerde Normal kuvvet ve Eğilme momentinin birlikte tesir etmesi haline ait betonarme hesap yapmak mümkündür. Bu şekilde kesitlere Normal kuvvet ve Eğilme momentinin birlikte tesir etmesi haline BİLEŞİK EĞİLME durumu denir. Bileşik eğilme halinde kesitte meydana gelen gerilmeler, kesit tesirlerinin birbirine göre büyüklüklerine bağlı olarak iki farklı durumda meydana gelmektedir. a) Kesitte Normal kuvvetin hakim olması durumu: Normal kuvvetten dolayı meydana gelen gerilmeler, eğilme momentinden dolayı meydana gelen gerilmelerden büyüktür. Kesitin tamamında basınç gerilmeleri vardır. Moment den oluşan gerilmelerin ± 5 kg/cm2, Normal kuvvetden oluşan gerilmelerin + 20 kg/cm2 olduğunun kabul edilmesi durumunda, Normal kuvvet ile Momentin beraber tesir etmesi halinde gerilme dağılışı aşağıdaki gibi olacaktır. M +
M
N
-
σM=5 kg/cm2
N
σ1
σ2
+ σN=20kg/cm2
σ1=25 kg/cm2 Şekil 8.8
σ2 =15 kg/cm2
133
Bu durumda kesitin her tarafında basınç gerilmelerinin oluştuğu görülmektedir. Sadece Normal kuvvet tesirinde de kesitin her tarafında basınç gerilmelerinin meydana geldiğini biliyoruz. Dolayısıyla burada M ve N tesirindeki gerilme dağılışı Normal kuvvetin tesir ettiği duruma benzemektedir. Normal Kuvvetin Hakim olduğu Bileşik Eğilme Halidir. b) Kesitte Eğilme momentinin hakim olması durumu: Eğilme momentinden dolayı meydana gelen gerilmelerin, normal kuvvetten dolayı meydana gelen gerilmelerden büyük olması halidir. (Şekil 8.9) M
M
+
N
-
σM=20 kg/cm
2
σ2
N σ1
+
σ2 = - 15 kg/cm2
σ1=+25 kg/cm2
σN=5 kg/cm2
Şekil 8.9 Bu durumda kesitte bir tarafta +25 kg/cm2 basınç diğer tarafta ise - 15 kg/cm2 çekme gerilmeleri meydana gelecektir. Sadece M eğilme momentinin tesir etmesi durumdaki gibi, kesitte basınç ve çekme gerilmeleri meydana gelmiştir. Dolayısıyla bileşik eğilme durumunda gerilme dağılışına Eğilme momenti hakimdir. Bileşik eğilme halinde kesitte meydana gelen gerilmeler ve deformasyonlar tesir eden kesit tesirlerin birbirine göre büyüklüğüne bağlıdır. Sınır durumları incelendiğinde iki farklı durumla karşılaşılır: A) [M=0, N≠0] Basit basınç durumudur. Kesite sadece normal kuvvet tesir etmiştir. Bütün kesitte eşit büyüklükte kısalma deformasyonları meydana gelecektir. ε cu =0,003 ε s2 =ε sy
As1 As1
N0
ε s1 =ε sy
ε cu =0,003
Şekil 8.10
e=M/N
M =0
e =0
134
Betonda meydana gelen deformasyonlar, betonun ezilme deformasyon değeri olan 0.003 değerine, çelikte meydana gelen deformasyonlar ise çeliğin basınçta akma deformasyonuna (εsy) erişmesiyle kesit taşıma gücüne erişecektir. B) [M≠0, N=0] Basit eğilme durumudur. Kesite sadece eğilme momenti tesir etmiştir. Kesitin basınç bölgesinde kısalma deformasyonları, çekme bölgesinde ise uzama deformasyonları meydana gelecektir. Kesitin taşıma gücüne erişmesi, basınç bölgesindeki betonun 0.003 ezilme deformasyonuna, çekme bölgesindeki çeliğin ise çekmede akma deformasyonuna erişmesiyle meydana gelecektir. ε cu =0,003
As2
ε s2 M0
As1
ε s1 =ε sy
Şekil 8.11 e=M/N N =0 e =∞ Acaba Normal kuvvet ve Momentin birlikte tesir etmesi halinde deformasyonların durumu nasıl olacaktır. ε cu=0,003
εc As2 As1
M
ε s2
ε s2
N ε s1
ε s1 =ε sy
Normal Şekil kuvvet8.12 ve moment,e = basınç Bu M / Nbölgesindeki M ≠ 0 betona N ≠ 0basınç e =uygulamaktadırlar. eb bölgedeki betondaki deformasyon ezilme deformasyonuna (0.003) ulaştığında beton taşıma gücünü kaybedecektir. Basınç bölgesindeki donatı, basınç gerilmeleri altında kısalma deformasyonu yapmaktadır. Çekme bölgesindeki donatı ise Normal kuvvetin etkisinde basınç gerilmeleri, Momentin etkisinde ise çekme gerilmeleri etkisi altındadır. Çekme bölgesindeki donatıya hakim olan deformasyon, Moment ve Normal kuvvet tesirlerinin birbirlerine göre büyüklüğüne bağlıdır. Dolayısıyla çekme bölgesindeki donatı, momentin normal kuvvete göre büyük olması durumunda çekmeye, normal kuvvetin momente göre büyük olması halinde ise basınca çalışacaktır. Ancak çekme bölgesindeki donatının akma deformasyonuna erişmesiyle donatı ve dolayısıyla kesit taşıma gücünü kaybedecektir. 8.3 Bileşik Eğilmede Kırılma Çeşitleri
135
Kesite tesir eden Eğilme momenti ve Normal kuvvetin büyüklüklerine bağlı olarak üç farklı şekilde kırılma durumu meydana gelmektedir. 8.3.1 Dengeli Kırılma ε cu =0,003 ε s2
Mb
As2
e = eb
Nb
As1
e b = Mb / Nb
ε s1 = ε sy Şekil 8.13
Basınç bölgesindeki betonun ezildiği anda, çekme bölgesindeki çeliğin akma mukavemetine erişmesi durumunda meydana gelen kırılma çeşididir. Bu anda beton ezilmiştir fakat çelik akma deformasyonuna yeni erişmiştir. Çelik sabit yük altında akma deformasyonu yaptıktan sonra pekleşme sınırına erişecek ve ondan sonra da tekrar kuvvet karşılayabilecektir. Fakat bu anda betonun ezilmesiyle kesit ani olarak taşıma kapasitesini kaybeder. Güç tükenmesi ilk anda basınç bölgesinde meydana geldiğinden bu şekildeki kırılmalara basınç kırılması denir. Kırılma ani olarak meydana gelir, istenmeyen bir durumdur. Bu kırılmaya sebep olan normal kuvvete "Dengeli Normal Kuvvet" denir ve (N b) ile gösterilir. Bu andaki eksantrisiteye ise dengeli eksantrisite denilir.
8.3.2 Sünek Kırılma (Çekme kırılması) Basınç bölgesindeki betonun ezilme deformasyonuna erişmesinden önce çekme bölgesindeki donatının akma deformasyonuna erişmesi durumunda meydana gelen kırılma durumudur. Akma deformasyonuna erişen donatı, sabit yük altında bir miktar deformasyon yaparak pekleşme sınırına erişinceye kadar kesit kırılmayacaktır. Bu anda kesitin çekme bölgesinde çekme çatlakları meydana gelecek ve kırılmayı haber verecektir. Çelikteki artan deformasyonlar sonucunda betonda ezilme deformasyonuna erişecek ve kesit taşıma kapasitesi sona erecektir. ε cu < 0,003 As2 As1
Şekil 8.14
ε cu = 0,003 ε s2
ε s2
M N
ε s1 = ε sy N < Nb
e>eb
ε s1 > ε sy b.e.b.h
136
Bu tür kırılmalarda, güç tükenmesi önce çekme bölgesindeki donatıda meydana geldiğinden, bu kırılmalara " Çekme Kırılması" veya sünek kırılma denilmektedir. Bu tür kirişlere zayıf donatılı kirişler denilmektedir. Normal kuvvetin dengeli normal kuvvetten küçük olduğu durumlarda meydana gelmektedir. Kırılmaya Moment hakim olmuştur. Dolayısıyla eksantrisite büyümüştür. Bu tür bileşik eğilme durumuna Büyük Eksantrik Basınç Hali de denilmektedir. 8.3.3 Gevrek Kırılma (Basınç kırılması) Çekme bölgesindeki donatının deformasyonu, akma deformasyonuna erişmeden önce, basınç bölgesindeki betonun ezilme deformasyonuna erişmesi durumunda meydana gelen kırılma çeşididir. Beton ezildiği anda donatı daha kuvvet karşılayabilecek durumda olmasına rağmen kesit taşıma kapasitesine erişmiştir. Kuvvetli donatılı kirişlerde bu tür kırılmalar meydana gelmektedir. ε cu = 0,003 As2 As1
M
ε s2 < ε sy
N ε s1 < ε sy
ε cu = 0,003 ε s2 < ε sy N > Nb e<eb k.e.b.h. ε s1 < ε sy
Şekil 8.15b Şekil 8.15a Güç tükenmesi, önce basınç bölgesindeki betonda meydana geldiğinden "Basınç Kırılması" veya gevrek kırılma denilmektedir. İstenmeyen bir kırılma çeşididir. Normal kuvvetin, dengeli normal kuvvetten büyük olduğu durumlarda meydana gelir. Kırılma üzerinde normal kuvvet hakimdir. Bu tür bileşik eğilme durumuna küçük eksantrik basınç hali de denilmektedir. Momentin büyüklüğüne göre kesitte iki farklı deformasyon durumu meydana gelebilir. (Şekil 8.15a ve 8.15b) Momentin çok küçük olması durumunda, kesitin tamamında basınç gerilmeleri meydana gelebilmektedir.(Şekil 8.15b ) İncelenen bu üç farklı kırılma durumunu, eksenleri Normal kuvvet ve Eğilme Momenti olan bir eksen takımında aşağıdaki gibi göstermek mümkündür. 1. Dengeli Kırılma Mb ve Nb 2. Sünek kırılma M1 ve N1 3. Gevrek kırılma M2 ve N2 Dengeli kırılmayı meydana getiren Nb, Mb çiftinin meydana getirdiği (b) noktası belirlenir. Sünek kırılmanın meydana geldiği M1 ve N1 in oluşturduğu 1 noktası ile Gevrek kırılmanın meydana geldiği M2 ve N2 nin oluşturduğu 2 noktası eksen takımı üzerinde işaretlenir.
137
N N0
N > Nb
e < eb
N2
2
k
b
Nb 1
N1 M0
e.b.h
N<Nb e > eb b .e. b. h
Gevrek kırılma. N = N b e = eb Sünek kırılma.
M2 M1 Mb
Şekil 8.16 Bileşik Eğilmede Dayanım Zarfı Aynı kesitin, aynı donatıyla taşıyabileceği Mi ,Ni kuvvetlerinin oluşturduğu noktalar birleştirildiğinde elde edilen eğriye "Karşılıklı Etki Diyagramı" veya Dayanım zarfı denilmektedir. Bu eğrinin üzerinde ve iç kısmında bulunan noktalara karşılık gelen M, N tesirleri, verilen kesit ve donatı tarafından güvenlikle taşınıyor demektir. Verilen M ve N kuvvet çiftinin oluşturduğu nokta karşılıklı etki diyagramının dışında olması halinde bu kesitin verilen donatı ile bu kuvvet çiftini taşıyamayacağı anlaşılır. Bileşik eğilme halinde sınır durumlar incelendiğinde, momentin olmadığı durumda kesitin taşıyabileceği normal kuvvet N0 olarak bulunmuştu. Karşılıklı Etki diyagramının düşey ekseni kestiği nokta N0 değeridir. Benzer şekilde normal kuvvetin olmadığı kesitin taşıyabileceği eğilme momenti M0 ise karşılıklı etki diyagramının yatay ekseni kestiği noktadır. Bileşik eğilmede kesite tesir eden normal kuvvetin, dengeli normal kuvvete eşit olması durumunda meydana gelen kırılma, kirişlerde, basit eğilme halinde meydana gelen dengeli kırılma durumunun aynısıdır. İstenmeyen bu kırılma durumunun önlenmesi için basit eğilme halinde donatı oranı üzerine sınırlamalar konulmuş ve bu şekilde gevrek kırılma önlenmişti. Bileşik eğilme halinde ise kırılmanın cinsi donatı oranından bağımsızdır. Dolayısıyla donatı oranı üzerine sınırlamalar konularak gevrek kırılma önlenemez. Bileşik eğilmede kırılma cinsi; kesite tesir eden Normal kuvvetin büyüklüğüne bağlıdır. Düşey yük sınırlanarak gevrek kırılmanın önüne geçmek mümkündür. Aşırı gevrek kırılmanın önlenmesi için T.S 500 de eksenel yük için bir üst sınır getirilmiştir. Nd= 0.6*fck*Ac
veya
Nd = 0.9*fcd*Ac
TS 500 Nd tanımını “Tasarım Eksenel Kuvveti” olarak vermektedir. Deprem Yönetmeliği Normal bölgelerdeki tasarım eksenel yükünü “Nd; Yük katsayıları ile çarpılmış
M
138
düşey yükler ve deprem yüklerinin ortak etkisi altında hesaplanan eksenel kuvvet” olarak vermektedir. Tasarım Eksenel Yükü olarak deprem söz konusu olduğunda; Nd= 1,4G+1,6Q (Depremsiz dizayn) Nd=G+Q+E (Depremli Dizayn) değerlerinden büyük olan alınmalıdır. Kolon yükünün yukarda verilen değerden fazla olması halinde aşırı gevrek kırılma meydana gelmektedir. T.S 500 bu şekilde yük taşınmasına izin vermez. Aşırı gevrek kırılmanın önlenmesi veya azaltılması için tavsiye edilen bir başka yol ise etriye adım mesafesini azaltarak burkulma boyunu küçültmek ve bu şekilde sünekliğin sağlanmasına yardımcı olmaktır. Ancak bu durumda dahi kolona gelen dizayn yükü hiçbir zaman 0.9*fcd*Ac değerini geçmemelidir. 2007 de yürürlüğe giren Deprem Bölgelerinde Yapılacak Binalar Hakkında Yönetmelik te Ndm ≤ 0.5*fck*Ac şartı getirilmiştir. Benzer düşünce ile Deprem Bölgelerinde aşırı gevrek kırılmanın önlenmesi için; Ndm ≤ 0.75*fcd*Ac olmalıdır. Deprem Yönetmeliğinde “Ndm; Düşey yükler ve deprem yüklerinin ortak etkisi altında hesaplanan eksenel basınç kuvvetlerinin en büyüğü” olarak tarif etmektedir. Tariften de görüldüğü gibi Deprem bölgelerinde Ndm içerisinde “Yük katsayıları ile çarpılmış düşey yükler” terimi bulunmamaktadır. Düşey yükler ve deprem yüklerinin ortak etkisi dikkate alındığında; Ndm= G + Q+ E Alınması gerektiği anlaşılmaktadır. Not: 1998 TDY de Ndmax = 0,5*fck*Ac verilmişti. “Ndmax; Yük katsayıları kullanılarak sadece düşey yüklere göre veya düşey yükler ve deprem yüklerine göre hesaplanan eksenel basınç kuvvetlerinin en büyüğü” olarak tarif edilmiştir. . 8.4 Betonarme Hesap 8.4.1 Bileşik Eğilme Tesirindeki Genel Donatılı Dikdörtgen Kesitlerin Hesabı Boyutları b ve h, paspayı d! olan dikdörtgen bir kesite M eğilme momenti ile N normal kuvvetinin birlikte tesir etmesi durumunda deformasyon diyagramı iki ayrı şekilde meydana gelebilir. Önce kesite Momentin hakim olduğu, tesir eden normal kuvvetin dengeli normal kuvvetten küçük deformasyon diyagramı ve iç d! olduğu durumu inceleyelim. 0,85*f εc=0,003 Bu durumda cd kuvvetler aşağıda verildiği gibidir. F! ! s
A
h/ 2
d!!
h h/ 2
d!
M
x
r
Ağr.mr k. As
b
ε!s
z2
s
k1x
z1
d N
d-x
z3
r
Fs ε s< ε sy Şekil 8.17
Fc
139
Kuvvet diyagramı üzerinde yatay denge denklemi yazılırsa; Nr= Fc+ F!s − Fs
1
Nr = 0.85*fcd*k1*x*b + As'*σs'- As*σs
Ağırlık merkezine göre moment alınırsa; Mr = Fc*z1 + Fs'*z2 + Fs*z3
z1= h / 2 - k1*x / 2
z2=z3 = d"/2 2
Mr = 0.85*fcd*k1*x*b*(h-k1*x) / 2 + As'*σs' (d"/2) + As*σs *(d"/2) (1) ve (2) ifadeleri bulunur.
Deformasyon diyagramı üzerinde çekme bölgesinde uygunluk denklemleri yazıldığında ise; εs / (d-x ) = 0.003 / x (σs/Es) / (d- x)=0.003/x
εs *Es= σs
εs = σs /Es
σs = [0.003*Es*(d- x ) / x] ≤ fyd
3
Bulunan σs, çekme bölgesindeki donatıya ait gerilmedir. Deformasyon diyagramı üzerinde basınç bölgesinde uygunluk denklemleri yazıldığında ise εs' / (x -d') = 0.003/ x (σ!s /Es)/(x- d')= 0.003/x
εs' Es = σs'
εs'= σs' / Es
σs'= [0.003*Es (x-d') / x ] ≤ fyd
4
σs', basınç bölgesindeki donatının basınç gerilmesidir. Kesit, malzeme ve donatının bilinmesi durumunda, kesite tesir eden normal kuvvet ve moment değerlerinden bir tanesinin bilinmesi halinde, diğeri yukarıda verilen 4 ifade yardımıyla bulunabilir. Yazılan bu 4 ifadede bilinmeyen olarak M ve N değerlerinden birisi ile birlikte x, σs, σs' olmak üzere 4 bilinmeyen vardır. Bunların bulunmasından sonra, belirli donatı oranları için, M ve N ikilisine ait noktalar bulunabilir. Bu işlem yardımıyla karşılıklı etki diyagramı elde edilebilir. Yukarda Şekil 8.17 de verilen deformasyon diyagramı, daha önce de belirtildiği gibi N < Nb olan büyük eksantrik basınç haline ait olan diyagramdır. Kesite normal kuvvetin hakim olması durumunda (N > Nb) eksantrisite büyüdükçe deformasyon diyagramı da değişecek ve aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi trapez şeklinde meydana gelecektir.(Şekil 8.18 )
140
A!
s
M
F!s
εs'
Fc
r
d A
x
N
r
εs
s
Fs Şekil 8.18
x-d
Bu durumda yatay denge denklemi ve Ağırlık merkezine göre moment yazılırsa: Nr=Fc + Fs + Fs'; Nr=0.85*fcd*k1x*b + As'*σs'+ As*σs Mr=Fc*z1 + Fs*z2 –Fs*z3 Mr=0.85*fcd*k1x*b*(h-k1x) / 2+As'*σs'*(d"/2)-As*σs *(d"/2) Çekme ve basınç bölgelerinde uygunluk denklemleri yazılırsa; εs / (x-d ) = 0.003 / x , εs'/ (x-d! ) = 0.003 / x ,
σs = - 0.003*Es* ( d- x ) / x ≤ fyd σs'= + 0.003*Es* ( x- d' ) / x ≤ fyd
Gerilmeler bu şekilde bulunur. Yukarda görüldüğü gibi uygunluk denklemlerinden σs için bulunan değer bir önceki işlemde bulunan değerin zıt işaretlisidir. Başka bir deyişle çekme bölgesindeki donatı da basınca çalışmaktadır. Bir önceki çözümde denge denklemlerinden bulunan Nr ve Mr ifadelerindeki σs yerine (-σs) konulduğunda küçük eksantrik basınç haline ait trapez şeklindeki deformasyon diyagramı için Mr ve Nr değerleri elde edilmiş olur. 8.4.2 Bileşik Eğilme Tesirindeki Simetrik Donatılı Dikdörtgen Kesitlerin Hesabı. Bileşik eğilme tesirindeki yapı elemanları genellikle kolonlardır. Deprem bölgelerinde bulunan kolonlar, depremin yön değiştirme özelliğinden dolayı yön değiştiren momentin etkisi altında bulunurlar.
Şekil 8.19
As! As
M N
As As!
N M
141
Deprem kuvvetinin yön değiştirmesinden dolayı kesitin çekme ve basınç bölgelerinde gereken donatıların da yer değiştirmesi gerekecektir. Bunun mümkün olmamasından dolayı donatıların kesite simetrik olarak yerleştirilmesi ile probleme çözüm getirilmiş olur.
Dengeli Donatı halinde simetrik kesitlerin hesabı: 0,85*fcd
ε cu = 0,003 As
M
ε s = ε sy
xb
b
k1xb
d
d!! As
N
b
Fc z 2 z1
d – xb ε s = ε sy
b
F!s
z3 Fs
Şekil 8.20
Çekme ve basınç bölgelerindeki donatıların akma durumunda olduğunu kabul ederek yatay denge denklemi yazılırsa; Nb= Fc+Fs'-Fs
As=A!s
Fs'=As*fyd
Fs=As*fyd
Fs'=Fs
Nb = 0.85 * fcd * k1 * xb * b Dengeli normal kuvvet bu ifade ile bulunabilir, fakat bu anda xb dengeli haldeki tarafsız eksen mesafesi belli değildir. Kesitin ağırlık merkezine göre moment yazılırsa; Mb = Fc*z1 + F!s*z2 + F*z3 Fs'= Fs =As*fyd ; z1 = h/2 – k1*xb/2
z2 = z3 = d"/2
Mb=0.85*fcd*k1*x*b*(h-k1*xb)/2+As*fyd*(d"/2)+As*fyd*(d"/2) Mb=Nb (h-k1*xb)/2+2As*fyd (d"/2) Mb= Nb (h- k1*xb) / 2 + As*fyd*d" Bu şekilde dengeli kırılmayı sağlayan Eğilme momenti Mb bulunmuş olur. Bu değer de xb tarafsız eksen mesafesine bağlıdır. Çekme ve basınç donatılarının toplamı Ast olarak gösterilirse
142
Ast = 2As
ve
As = Ast / 2 olacaktır.
Deformasyon diyagramında uygunluk şartı yazılırsa; εsy /(d-xb)=(0.003 / xb)=(εsy +0.003)/d
εsy *Es=fyd
εsy =fyd / Es
xb=(0.003/0.003+ εsy) * d xb=(0,003Es/0,003Es +fyd )*d Dengeli tarafsız eksen mesafesi olan xb değeri, kesitin (d) boyutuna ve malzemesinin cinsine bağlı olarak bulunabilir. Bulunan bu değer Nb ve Mb ifadelerine uygulanarak dengeli kırılmayı meydana getiren dengeli normal kuvvet ve dengeli moment değerleri bulunabilir. Malzemenin standart değerlere sahip olması durumunda; S220 çeliği için S420çeliği için ise
xb=0,7585*d xb=0,6218*d değerleri bulunur.
8.5. Bileşik Eğilmede Kırılma Cinsine Karar Verilmesi Bileşik eğilme halinde kırılma cinsi, kesite tesir eden normal kuvvetin büyüklüğüne bağlıdır. Normal kuvvete bağlı olarak dengeli, sünek ve gevrek kırılma meydana gelmektedir. Dengeli kırılma da bir gevrek kırılmadır. Kesit boyutları, kesite tesir eden moment ve normal kuvvet verildiğinde bileşik eğilmenin cinsine karar verebilmek için, önce dengeli kırılma durumuna ait dengeli tarafsız eksen mesafesi olan xb değeri ve sonra da bu değer yardımıyla dengeli normal kuvvet olan Nb değeri; Nb = 0.85*fcd*k1*xb*b olarak bulunur. Kesite tesir eden N normal kuvveti, Nb ile karşılaştırılarak kırılma cinsine şu şekilde karar verilir: a) N < Nb olması durumunda; kesitte moment hakimdir. Çekme kırılması meydana gelir. Sünek kırılmadır. Büyük eksantrik basınç hali de denir. e > eb dir. b) N > Nb olması halinde; kesitte normal kuvvet hakimdir. Basınç kırılması meydana gelir. Gevrek kırılmadır. Küçük eksantrik basınç hali de denir. e < eb dir. 8.6 Bileşik Eğilmede Kesit Moment Kapasitesinin Hesabı Kesit, donatı, malzeme ve normal kuvvetin verilmesi halinde bu kesitin taşıyabileceği Momentin hesabı ve kırılma cinsinin belirlenmesi (eksantrisitenin tayini).
h d
d!!
As =..
M =?
As=..
N=.. =..
b
Çözüm: Yukarda çıkarılan ifadeler yardımıyla, önce dengeli tarafsız eksen mesafesi, sonra da bunun yardımıyla dengeli normal kuvvet bulunur.
143
a) N < Nb olması durumunda kesitte sünek kırılma meydana gelecektir. Büyük eksantrik basınç halidir. Basınç donatısının akıp akmadığı araştırılmalıdır. Bunun için: αc = 0.85k1*(0.003Es*d'/d)/(0.003Es-fyd) ;
ifadesi ile αc bulunur.
αc = 1.06 (d! / d ) αc = 1.845 (d! /d )
Normal sınıf betonlarda S220 çeliği için Normal sınıf betonlarda S420 çeliği için
olduğu daha önceki bölümlerde bulunmuştu. α = N / (b*h*fcd) ifadesinden α bulunduktan sonra, α > αc olması durumunda basınç bölgesindeki donatının aktığı kabul edildiğinden σc = fyd alınacaktır. α < αc olması halinde ise çift donatılı kesitlerde olduğu gibi hesap yapılmalıdır.. Kesite tesir eden Normal kuvvetten dolayı kesitte meydana gelen tarafsız eksen mesafesi N = 0.85*fcd*k1*x*b ifadesinden bulunabilir. x bulunduktan sonra kesitin taşıyabileceği moment ise; M = N (h/2 – k1*x/2 ) + As*fyd*d!!
ifadesinden bulunacaktır.
b) N >Nb olması durumunda kırılma üzerinde normal kuvvet hakimdir. Küçük eksantrik basınç halidir. ε cu = 0,003 ! s
A As
M
ε'=ε s
F!s
sy
Fc
N ε <ε s
Fs
sy
Şekil 8.21 Basınç bölgesindeki betonun ezildiği ve donatının aktığı kabul edilmiştir. εc →εcu = 0.003 ;
εs' = εsy ;
σs' = fyd
Çekme bölgesindeki donatı üzerinde basınç gerilmeleri hakimdir ve deformasyonu εs
144
kısalma birim deformasyonu henüz akma durumunda değildir. Çekme bölgesindeki donatının gerilmesi σs ise σs < fyd dir. Deformasyon diyagramında uygunluk denklemiyle, kuvvet diyagramı üzerinde yatay denge denklemi yazılırsa; σs = 0.003*Es*(x-d ) / x
N= 0.85*fcd*k1*x*b + As'*fyd +As*σs
elde edilir. Bu iki ifadeden bilinmeyen olarak x ve σs değerleri bulunabilir. σs Çekme bölgesindeki donatının gerilmesidir. Bunların da yardımıyla kesitin taşıyabileceği moment ise; M = 0.85*fcd*k1*x*b*(h/2-k1 x/2)+ As'*fyd*d"/2 – As*σs * d"/2
ifadesiyle bulunur.
8.7 Bileşik Eğilmenin Abaklarla Çözümü: Abaklar; çelik sınıfına, donatının kesit içindeki dağılım şekline ve paspayına göre düzenlenmiştir. Yatay eksende
m = M / (b*h²*fcd),
Düşey eksende
n = N / (b*h*fcd)
N
M
değerleri vardır. h: Momentin tesir ettiği doğrultudaki kenar olarak alınmalıdır. n = N / (b*h*fcd) ; m, n ifadelerindeki boyutlar cm, m = M / (b*h²*fcd)
b d!! h Abaklardaki düşey eksendeki düzenlenmiştir.
gerilme t/cm², normal kuvvet ton, moment ise tcm. olarak alınmalıdır. (n) değerleri 0–1,8 arasında değişen değerlere göre
T.S.500 Kolonlardaki aşırı gevrek kırılmayı önlemek için; Nd ≤ 0.60*Ac*fck şartını getirmiştir. Bu ifadede f ck= 1.5*fcd ve Ac = b*h değerleri yazılırsa Nd = 0.9*b*h*fcd ;
n = Nd / (b*h*fcd) = 0,9
olarak bulunur. Buradan n > 0.9 için kolonlarda aşırı gevrek kırılma meydana geleceğinden bu değerler kullanılmaz. Abaklarda n=0.9 değeri koyu yatay çizgi olarak belirtilmiştir. 2007 de yürürlüğe giren deprem yönetmeliğine göre aşırı gevrek kırılmanın önlenmesi için Nd ≤ 0.50*Ac*fck şartı getirildiğinden, normal bölgedeki işlem tekrar yapıldığında aşırı gevrek kırılmanın önlenmesi için
145
n = Nd / (b*h*fcd) = 0,75 değeri bulunur. Abaklarda n=0,75 değerinin üstünde bulunan noktalarda deprem yönetmeliğinin kabul etmediği aşırı gevrek kırılma meydana gelecektir. Ayrıca Abaklarda orijinden geçen ve e/h değerlerinin yer aldığı ışınlar mevcuttur. TS 500 ün Şubat 2000 den önceki baskılarında eksantristenin en az değeri e=0,1*h olarak verildiğinden Abaklarda bu ışınlar yer almıştır. Eski Yönetmeliklere göre orijinden geçen ışınların sol tarafında kalan noktalar e/h= 0.1 değerinden daha küçük eksantriste meydana getireceğinden kullanılması uygun değildi. 2007 Deprem Yönetmeliği ise eksantristenin en az değerini ex = (0,03*h +1,5cm ) olarak belirlemiştir.
e / h = 0,1
n 4 3
Kullanılmayan Bölge 0,90
Kullanılan Bölge (3)
0,75
2
Kullanılan Bölge (2) 0,52
1
Kullanılan Bölge (1) m Şekil 8.22
Dolayısıyla yatay eksen olan (m) ile bu iki koyu çizginin içinde kalan noktalar kullanılacaktır. Ayrıca T.S.500 kırılmanın da sünek olmasını istemektedir. Sünek kırılmayı meydana getiren dengeli normal kuvvetin ve tarafsız eksenin değeri: Nb = 0.85*fcd*k1*xb*b ;
xb = (0.003*Es / 0.003Es + fyd) *d olarak
BÇ I için ; xb = 6000 / (6000+ 1910 ) = 0.7585*d bulunmuştu. Normal kalitedeki betonlar için k1=0.85 ve faydalı yükseklikle (h) arasında yaklaşık olarak d ≅ 0,95*h olduğu düşünülürse; Nb = 0.85*fcd*0.85*0.7585* 0,95*h *b ; n= Nb / (b*h*fcd) ;
Nb = 0.52*b*h*fcd
n = 0.52
değeri yaklaşık olarak kırılmanın sünek olması şartını vermektedir. Bu değer yaklaşık olarak sünek kırılmayı veren Normal kuvveti bulmak için kullanılabilir. Kesin karar vermek için Dengeli normal kuvvet hesabedilerek kolona tesir eden N ile karşılaştırılarak yapılmalıdır.
146
Abaklar (n) açısından dört kısma ayrılabilir: Şekil 8.22
1. Bölgesi
2. Bölgesi
(n < 0.52) N < Nb halidir. Sünek kırılma meydana gelir. Kırılma üzerinde Moment hakimdir. Normal Bölge ve Deprem bölgelerinde kullanılır. (0.52 < n < 0.75) Nb<N≤ Nd olması durumudur. Gevrek kırılma meydana gelir. Kırılma T.S.500 ün kabul ettiği sınırlar içindedir. Normal bölge ve Deprem bölgelerinde kullanılır.
3. Bölgesi
0,75 < n < 0.90 Gevrek kırılma meydana gelir. Normal bölgelerde kabul edilen Deprem bölgelerinde kabul edilmeyen gevrek kırılma şeklidir.
4. Bölgesi
(n > 0.9) N > Nd durumudur. T.S.500 ün ve deprem yönetmeliğinin kabul etmediği aşırı gevrek kırılma meydana gelir.
Abaklarda yatay eksen (m) değerleri için düzenlenmiştir. m değerleri 0,05 den başlayan ve 0,125 lik artımlarla devam etmektedir. Abaklar ρt *mt değerlerinden oluşan eğrilerden meydana gelmiştir. Bu eğriler 0,1 den başlayarak 1,0 değerine kadar farklı değerler almaktadır. mt = fyd / fcd olarak malzeme hesap dayanımına bağlı bir değerdir. ρt ise kesitte bulunan toplam donatı oranıdır. Toplam donatı (Ast) kesite simetrik olarak yerleştirilecektir. Momentin tesir ettiği yöne göre donatının yarısı (As1) çekme bölgesine, diğer yarısı da basınç bölgesine konulmalıdır. Abaklar ayrıca d!!/ h oranına göre de düzenlenmiştir. d"= h–2*p.p. olarak hesaplanır. d!! Kesit dış yüzüne konulan donatılar arasındaki mesafedir. h ise momentin tesir ettiği doğrultuda kesit boyutudur. d!! / h değerleri için abaklarda 0,8 ve 0,9 gibi iki değer verilmiştir. Kolonun d!! / h oranı tablodaki değerlerden hangisine yakın ise o abak kullanılmalıdır.
n
147
ρt*mt=1,0 ρt = Ast / (b*h) mt = fyd / fcd
ρt*mt=0,1 m
Donatının kesit içindeki dağılımına göre (λ) değerleri belirlenmiştir. λ kesit ortasındaki donatının kesitteki toplam donatıya oranıdır. Kesit As1
Toplam Donatı : Ast= 2*As1
As1
λ=0
As2 /Ast= 0
As2 As1
As1
Toplam Donatı : Ast= 2*As1 + As2 λ=1/4
As2 /Ast= 1 / 4
Toplam Donatı : Ast= 2*As1 + 2*As2 λ=2/6
As2 /Ast= 2 / 6
A s2 A s1
8.8. Kesit Tesirlerine Karar Verilmesi İki yönde deprem hesabının yapıldığı betonarme çerçeveli yapılarda, kolonların bileşik eğilme hesabı yapılırken, kolona tesir eden Eğilme Momenti ve Normal Kuvvet değerlerinin alınmasında çok dikkatli olunmalıdır. Karakteristik düşey sabit ve hareketli yüklerden yararlanarak elde edilen karakteristik kesit tesirleri ile bu değerlerin bazı katsayılarla artırılmış değerleri olan dayanım kesit tesirleri, depremden dolayı meydana gelen kesit tesirleri ile toplanırken yönetmelik hükümlerine uyulmalıdır. Aksi halde, bulunan kesit tesirlerinin daima en büyüklerini alarak hesap yapmak, her zaman uygun olmayabilir. Taşıma Gücü metoduna göre hesapta, kesit tesirleri alınırken Dizayn kesit tesirlerinin (Artırılmış kesit tesirleri) alınacağı bilinen bir gerçektir. Bölüm 3 de anlatıldığı gibi deprem olması halinde Dizayn kesit tesirleri olarak aşağıdaki değerlerden büyük olanı alınmalıdır. DEPREMSİZ DİZAYN DEPREMLİ DİZAYN
1,4 * G + 1,6 * Q 1,0 * G + 1,0 * Q + 1,0 * E
148
Burada E olarak verilen Depremden dolayı meydana gelen iç kuvvettir. Deprem Bölgelerinde Yapılacak Binalar Hakkında Yönetmelikte (2007 TDY) : “Bu Yönetmelikte aksi belirtilmedikçe, deprem yüklerinin sadece yatay düzlemde ve birbirine dik iki eksen doğrultusunda etkidikleri varsayılacaktır.” denilmektedir.1998 TDY deki “ayrı ayrı etkidikleri varsayılacaktır” ifadesi değişmiştir. 2007 TDY Depremden meydana gelen iç kuvvetlerin büyüklüğünü B olarak vermiştir. Aslına sadık kalmak için bu bölümde iç kuvvetler B ile gösterilmiştir. 2007 TDY Göz önüne alınan doğrultulardaki depremlerin ortak etkisinin nasıl hesaplanacağını aşağıdaki şekilde vermiştir: b
Taşıyıcı Sistem elemanı olan Kolon ve kolonun asal eksenlerinin yanda verildiği gibi olduğunu kabul edelim.
a
a b
Deprem doğrultuları ise bilinen x ve y doğrultularıdır. Deprem doğrultuları ile asal eksen doğrultularının çakışması halinde ve çakışmaması halinde, kolonun (a) asal ekseni doğrultusunda x ve y doğrultularındaki depremlerden oluşan iç kuvvetler aşağıdaki gibi hesaplanacaktır. Ba= ± Bax ± 0,30*Bay
Ba= ± Bay ± 0,30*Bax
B= ± Bbx ± 0,30*Bby
Bb= ± Bby ± 0,30*Bbx
Ba ; Taşıyıcı sistem elemanının (a) asal ekseni doğrultusunda iç kuvveti, Bax; Taşıyıcı sistem elemanının (a) asal ekseni doğrultusunda, (x) doğrultusundaki depremden oluşan iç kuvveti, Bay; Taşıyıcı sistem elemanının (a) asal ekseni doğrultusunda, x e dik (y) ekseni doğrultusundaki depremden oluşan iç kuvveti göstermektedir.
Mxx
Mxy
y x
y x
y DEPREM
x
x y
DEPREM
Özel durum: Deprem yönleri ile kolonun asal eksenlerinin çakışması halinde kolon momenti aşağıdaki gibi hesaplanacaktır.
149
Mx= ± Mxx ± 0,30*Mxy
Mx= ± Mxy ± 0,30*Mxx
Mx; Depremden dolayı kolonda x doğrultusunda oluşan Moment Mxx; x doğrultusunda tesir eden depremden dolayı kolonda x doğrultusunda oluşan Moment Mxy; y doğrultusunda tesir eden depremden dolayı kolonda x doğrultusunda oluşan Moment Depremden dolayı Kolonun (x) asal eksenindeki moment olarak yukarda hesaplanan iki değerden büyük olanı alınacaktır. Bulunan bu Mx değeri kolonun x asal ekseni doğrultusunda deprem tesirinden dolayı oluşan momenttir. Aşağıdaki ifadede E ile gösterilen terimdir DEPREMLİ DİZAYN
1,0 G + 1,0 Q + 1,0 E
Sonuç olarak Deprem olması halinde dizayn kuvveti aranırken aşağıda verilen iki değerden büyük olanın alınması gerektiği unutulmamalıdır. DEPREMSİZ DİZAYN DEPREMLİ DİZAYN DEPREMLİ DİZAYN
1,4 G + 1,6 Q 1,0 G + 1,0 Q ± Mxx ± 0,30*Mxy 1,0 G + 1,0 Q ± Mxy ± 0,30*Mxx
Dikdörtgen bir binada (x) ve (y) yönlerinde ayrı ayrı deprem hesabının yapıldığını, depremin etkimediği hale ait karakteristik ve dayanım kesit tesirlerinin bilindiğini varsayarak yapıda herhangi bir kolonun alt kesitinde betonarme hesaba esas olacak kesit tesirlerinin nasıl alınması gerektiği şu şekilde özetlenebilir.
1
A
B
y 2 x
3
Planda Bina
C
D
150
Mxx
, Nxx
Deprem Yönü (x)
Myx Nyx
Mxy
, Nxy
Deprem Yönü (y) Mx=±Mxx ± 0,3Mxy My=±Myy ± 0,3Myx
Myy Nyy Mx=±Mxy ± 0,3Mxx My=±Myx ± 0,3Myy
Mx ve My momentleri için yukarda verilen iki değer hesaplanıp büyük olanı alınmalıdır. Aynı işlem Normal kuvvetler için de yapılarak Nx ve Ny bulunmalıdır.