Eylül 2009
5. B Ö L Ü M BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER Yapı Statiğinden bilindiği gibi yapı elemanlarının statik çözümleri sonunda bu elemanlara Normal Kuvvet N, Moment M, Kesme Kuvveti T veya Burulma Momenti Mb gibi tesirler gelecektir. Bunların tek olarak N,M,T,M b veya çeşitli kombinezonlarla N,M ve T,M vb. yapı elemanlarına tesir etmesi hallerinin ayrı ayrı hesabı yapılacaktır. Bundan önceki bölümde düşey yapı elemanlarına (kolonlara) sadece N normal kuvvetinin tesir etmesi hali incelenmişti. Bu bölümde ise yatay yapı elemanları olan döşeme ve kirişlere düşey yüklerden dolayı gelen tesirlerden sadece Eğilme Momenti tesiri göz önüne alınarak inceleme yapılacaktır. Şekil 5.1 de yükü ve kesiti verilen bir basit kirişin moment ve kesme kuvvet diyagramları, Şekil 5.2 de ise boy kesitte tesir eden moment ve iç kuvvetler verilmiştir. I
q t/m
I
M1
I
L
I
Boykesit
+
_
T Fc
I
M
+
z
M1
Şekil 5.1
Fs
I
Boykesit Şekil 5.2
Şekil 5.3 de ise 1–1 den alınan enkesit ve iç kuvvetler görülmektedir.
b.b.b Şekil 5.3
h
M1 A
s
Fc
b.b.b h d
z
M1= Fs * z
A
s
Fs
bw bw q üniform yayılı yükü altında bulunan bir basit kirişe ait moment ve kesme kuvveti diyagramı Şekil 5.1 de gösterilmiştir. Kirişin kesitlerinde pozitif (+) eğilme momenti
58
mevcuttur. Bunun sonucunda bütün kesitlerde tarafsız eksenin üst kısmında basınç, alt kısmında ise çekme gerilmeleri meydana gelir. Bu bölümde cevabı aranacak olan sorular şunlardır: a) Beton çekme gerilmeleri karşılayamadığına göre kesitte meydana gelen çekme kuvvetini karşılayacak demir miktarı ne olmalıdır? Bu demir kesite nasıl, ne kadar ve kesitin neresine konulmalıdır? b) Kesitin basınç bölgesinde meydana gelen basınç gerilmelerini beton tek başına karşılayabilecek midir? c) Yukarıda verilen iki şartı da sağlayan kesitin boyutları ne kadar olmalıdır? Basit eğilme tesirindeki kesitlere konulması gereken donatıya Çekme Donatısı denir. Eğilme momentinin tesir ettiği yapı elemanlarına aynı anda kesme kuvvetleri de tesir etmektedir. Kesme kuvvetinden dolayı meydana gelen kayma gerilmelerini karşılamak üzere yapı elemanına konulması gereken donatıya kayma donatısı denilmektedir. Kayma donatısı hesabı ilerdeki konularda ele alınacaktır. 5.1 Temel İlke ve Tanımlar. Temel İlke: Basit eğilme tesirindeki elemana tesir eden eğilme momentinin hesabında, kirişin yükleri, projeye bağlı olarak TS 498 in verdiği karakteristik yükler ise, bulunan moment karakteristik momenttir. Bu momentin kesit taşıma gücü momentiyle karşılaştırılması doğru değildir. TS 498 de verilen karakteristik yükler TS 500 de verilen yapı güvenliği açısından yük katsayılarıyla çarpılarak bulunan hesap momenti veya dizayn momenti, taşıma gücü momentiyle karşılaştırılmalıdır. εc
Fc
x
b.b.b h d
σc
z
M1 A
s
bw Enkesit
Fs εs Deformasyon Diy.
Boykesit ve İç kuvvetler
Şekil 5.4 Tanımlar: Boy kesitte tesir eden M1 momenti, enkesite dik olarak tesir etmektedir. Şekil 5.4 de görüldüğü gibi kesitin üst tarafında betonda σc basınç gerilmeleri ve εc kısalma
59
deformasyonları, kesitin alt tarafında donatıda ise çekme gerilmeleri εs uzama deformasyonları ve meydana gelmektedir Eğilme momenti tesirindeki bir dikdörtgen kesitte meydana gelen deformasyonlar, iç kuvvetler ve bunlara ait gerilme diyagramı Şekil 5.4 de gösterilmiştir. Bundan sonraki hesaplarda kullanılacak olan notasyonlar ve anlamları şu şekildedir. h: Kiriş toplam yüksekliği: 30 cm den ve döşeme kalınlığının 3 katından az olamaz. TS 500 de “net açıklığı toplam yüksekliğinin 2,5 katından küçük olan sürekli kirişlerin yüksek kiriş olarak tasarlanıp donatılacağı” hükmü vardır. Sürekli kirişlerde
h ≤ ln / 2,5
ln ≥ 2,5 *h
h ≤ 0,40*ln olmalıdır.
h
h bw
ln
Deprem yönetmeliğinde ise: h ≤ 3,5*bw olmalıdır. Çerçeve kirişlerinde h ≤ 1/4 *ln h ≤ 0,25*ln
şartları getirilmiştir.
d: Faydalı yükseklik: Çekme donatısı ağırlık merkezinden beton basınç bölgesinin en dıştaki lifine olan mesafedir. c: Beton örtü kalınlığı: Donatının ağırlık merkezinden çekme bölgesinin en dıştaki lifi arasındaki mesafedir. Kirişlerde ve diğer yapı elemanlarında bu mesafeye paspayı denilmektedir. cc: Net Beton örtü kalınlığıdır. En dış donatının dış yüzünden ölçülen beton örtüsünün kalınlığıdır.
Donatı Yarıçapı ∅/2
h
h d c
d
Etriye çapı ∅ etr
cc bw Şekil 5.5a
bw
Net beton örtüsü cc
Şekil 5.5b
Beton örtü tabakasının aderansın sağlanmasında çok önemli bir etkisi vardır. Beton örtü tabakası yeterince kalın olmadığı takdirde beton ile donatının birlikte çalışması azalacaktır. Ayrıca beton örtü tabakasının yeterince bırakılmadığı durumlarda aderans azalacaktır. Aynı zamanda bu beton örtü tabakası, donatıyı dış etkilerden korur ve donatının paslanarak mukavemetinin azalmasına ve zamanla kaybolmasına mani olur. Paslanmanın ve
60
dış etkilerin önemli olduğu durumlarda beton örtü tabakası gerektiği kadar artırılmalıdır. Kirişlerde ve diğer betonarme yapı elemanlarında çekme donatısı altında yeterince beton örtü tabakası bulunmalıdır. Kalıp söküldükten sonra donatı görülmemelidir.Net beton örtü tabakasını sağlamak amacıyla donatı ile kalıp arasına donatı çapına göre değişen boyutlarda plastik PASPAYI ELEMANLARI kullanılması tavsiye edilmektedir. Tablo 5.1 Net Beton Örtü kalınlığının en az değerleri (TS 500) Zeminle doğrudan ilişkide olan elemanlarda Hava koşullarına açık kolon ve kirişlerde Yapı içinde, dış etkilere açık olmayan kolon ve kirişlerde Perde duvar ve döşemelerde Kabuk ve katlanmış plaklarda
bw
≥ 50 mm ≥ 25 mm ≥ 20 mm ≥ 15 mm ≥ 15 mm
cc Net beton örtü tabakası
Doğru düzenleme
bw Yanlış düzenleme
bw, Kiriş Gövde Genişliği: Çekme donatılarının yerleştirildiği kısımdır. En az 20 cm olmak üzere kesite konulması gereken donatının şartnamelerde verilen aralıklarla konulabilmesine yetecek genişlikte olmalıdır. TS 500 Bölüm 7.3 Eğilme elemanlarının boyutları ve donatıları ile ilgili koşullar kısmında “Kirişlerde sıra içinde veya sıralar arasında donatı çubukları arasında kalan net aralık; • 20mm den • Donatı çapından • En büyük agrega boyutunun 4/3 ünden az olmamalıdır.” İfadesi yer almaktadır. Aynı zamanda birden fazla sıra oluşturulduğunda üst üste çubukların aynı hizaya getirilmesi istenmektedir. (Sh.22)
a: Donatılar arası mesafe en az donatı çapı (∅ ) kadar olmalı, 2,0 cm. den az olmamalıdır. e
∅ a∅ a ∅ a ∅ e bw
e: iç kirişlerde 2 cm + ∅etriye dış kirişlerde 2,5 cm + ∅etriye olmalıdır.
61
Eşit çaplı 4 donatı olması halinde şartnameye göre gerekli en küçük gövde genişliği aşağıdaki gibi hesaplanabilir. bw= 2e+4Ø+3a Örnek: Etriye çapı 6 mm olması halinde 4 tane 16 mm donatı için iç hacımdaki bir kirişin şartnameye göre yerleştirilebilmesi için gereken en az gövde genişliğinin hesabı: • • • •
Donatıların çaplarının toplamı 4*1,6 = 6,4 cm Donatılar arası mesafe 2,0 >1,6 olduğundan 3*2,0 = 6 cm İç kirişlerde 2*e = 2(2,0 +0,6) = 5,2 cm. En az gövde genişliği bw = 6,4 + 6 + 5,2 = 17,6 cm olmalıdır.
Tablo 6.b de demir çap ve sayısına göre en az kiriş gövde genişlikleri verilmiştir. Bu tablo iç kirişler için düzenlenmiştir. Dış kirişler için bulunan değer 2*0,5=1 cm artırılmalıdır. Tablo 6a da ise mevcut kiriş genişliğine yönetmelik şartlarına uygun olarak tek sıra halinde sığabilecek donatı çubuk sayısı ve alanı verilmiştir. Verilen donatının mevcut gövde genişliğine tek sıraya sığmaması halinde, gövde genişliğine tek sıra halinde donatı yerleştirilmeli, daha sonra artan donatı alt sıradakilerle aynı düşey eksen üzerinde olacak şekilde üste konulmalıdır. İki sıra donatı olması halinde bu donatıların arasında da düşey doğrultuda donatı çapı kadar veya en az 2,0 cm. mesafe bulunmalıdır. Donatı çaplarının farklı olması halinde kalın donatıların alta konulması gerektiği unutulmamalıdır. Çift sıra donatı konulması halinde faydalı yükseklikteki değişiklik dikkate alınarak hesabın tekrar tahkik edilmesinde fayda vardır. M: Kesite tesir eden eğilme momentidir. Statik hesap sonucu bulunan momenttir. Yapı elemanına tesir eden karakteristik yüklerin, γf yük katsayılarıyla çarpılması sonucu bulunan dayanım yüklerine göre hesaplanan (Md) dizayn momenti veya Hesap Momenti ile hesap yapılacaktır. x: Tarafsız eksen. Eğilme momentinin tesir ettiği kesitin üst kısmında basınç gerilmeleri, alt kısmında çekme gerilmeleri meydana gelecektir. Gerilmelerin sıfır olduğu bölge tarafsız eksen bölgesi olup, bu bölge ile beton basınç bölgesinin en dıştaki lifi arasına tarafsız eksen mesafesi denir. As: Toplam çekme donatısı alanıdır. Tarafsız eksenin alt tarafındaki betonda çekme gerilmeleri meydana gelecektir. Betonun çekme gerilmeleri karşılamadığı kabul edildiğinden çekme kuvvetinin tamamını As donatısı karşılamalıdır. ρ: Donatı oranı veya demir yüzdesidir.
ρ =As / (bw*d)
Kesitteki toplam çekme donatısı alanının, (bw*d) çarpımına oranıdır. εc: Beton basınç bölgesinde betona uygulanan σc gerilmesinden dolayı, tarafsız eksene en uzak beton lifinde meydana gelen birim deformasyon (birim boy kısalması) dur.
62
εco: Betona deformasyondur.
uygulanan
maksimum
gerilme
altında
meydana
gelen
birim
εcu: Betonda kırılma anında meydana gelen birim deformasyondur. εs: Çeliğe uygulanan σs gerilmesi altında çelikte meydana gelen birim deformasyondur. (birim boy uzaması) εsy: Çelikte akma mukavemeti (fyk) altında meydana gelen birim deformasyondur. Fc: Tarafsız eksen üzerindeki beton basınç bölgesinde meydana gelen basınç gerilmelerinin bileşkesidir. Fs: Çekme bölgesindeki donatının tamamına uygulanan çekme kuvvetidir. z: Manivela koludur. Beton basınç gerilmeleri bileşkesi ile donatı çekme kuvveti arasındaki mesafedir. Beton ve Çeliğin Gerilme-Deformasyon diyagramlarını şematik olarak tekrar çizmek gerekirse, şekildeki diyagramlar elde edilir.
σc
σs
fck
fyk
σc
σs εs
εc εc
ε co
ε cu
εs
ε sy
Şekil 5.6 Beton ve Çelik için basınçta Gerilme-Deformasyon Diyagramı 5.2 Basit Eğilme Tesirindeki Kirişlerin Davranışı. Boyutları bw*h olan dikdörtgen kesitli bir kirişe tesir eden Momentin, çok küçük olan bir değerden başlayarak gittikçe artması halinde kesitin davranışı adım adım incelenecektir. Son safhada bu kirişin kırılma durumu ele alınarak kırılmaya sebep olan unsurlar ve kırılma şekilleri irdelenecektir. 1) Kesite tesir eden M1 momentinin çok küçük olduğunu kabul edelim. Öyle ki, bu momentten dolayı çekme bölgesindeki beton henüz çatlamamış olsun. Buna göre çekme kuvvetleri çekme bölgesindeki beton tarafından taşınacak ve donatıya ihtiyaç olmayacaktır. Bu şartlar altında kesitin taşıyabileceği en fazla moment, donatısız beton kesitin taşıyabileceği momenttir. (Şekil 5.7)
63
εc < εco
h
M1 < Mckır
fctk σc
εct εctu Betonun çekmede gerilme deformasyon diyagramı Şekil 5.7 Donatısız Beton kesitin Taşıdığı Moment εct < εctu
bw
εct: Betonda σc çekme gerilmesi altında oluşan birim deformasyonu, εctu: Betonda fctk maksimum çekme gerilmesi altında oluşan birim deformasyon göstermektedir. Çekme bölgesindeki betonun deformasyonu, müsaade edilen maksimum çekme birim deformasyonu olan εctu ya eriştiğinde, kesitin taşıyabileceği moment, donatısız betonun kırılma anında taşıyabileceği momente eşit olacaktır. (Mckır) Kesit homojen olduğundan Moment, gerilme ve atalet momenti arasında aşağıdaki ifadeler yazılabilir. σ M σ =-----* y I
h
M M = σ *I / y σ
bw Mckır=fctf * Ι / y fctf = 2*fctk Ι= bw*h3/12
fctf, betonun eğilmede çekme mukavemetidir. Betonun eğilmedeki çekme dayanımı, eksenel çekme dayanımının 2 katı olarak alınabilir. y=h/2 yerine konursa
Mckır= 2*fctk*(bw*h3/12) / (h/2)
Mckır= fctk*bw*h²/3
Mckır; Çekme bölgesindeki betonu çatlatan, kıran momenttir. Betonu çatlatan taşıma gücü momentinin (Mcr) bulunması için fctk karakteristik eksenel çekme mukavemeti yerine fctd eksenel hesap çekme mukavemeti yazılmalıdır. Bu durumda kesiti çatlatan taşıma gücü momenti Mcr aşağıdaki gibi bulunabilir. Mcr = fctd*bw*h²/3
64
Betonu çatlatan Dizayn momenti (Mcd) en fazla taşıma gücüne eşit olabileceğinden aşağıdaki şekilde yazılabilir. Mcd = fctd*bw*h²/3 Kesite tesir eden dizayn momentin veya hesap momentinin, M cd momentinden küçük olduğu sürece çekme bölgesindeki betonun çatlamadığı kabul edilecektir. Kesite tesir eden dizayn momentin Mcd < Md <Mckır olması halinde, kesit çekmeden dolayı kırılmayacak fakat tesir eden Md momentini de çatlama olmadan için güvenle taşıyamayacaktır. Kesite tesir eden dizayn momenti Mc,kır ulaştığında kesit çatlayacak kırılacaktır. 2) M2 ≥ Mckır Kesite tesir eden M2 momentinin, çekme bölgesindeki betonu çatlatan, kıran momentten büyük olması halinde, betonun çekme bölgesinde meydana gelen birim deformasyonu εct, çekme sınır deformasyonunu aşacaktır. (εct > εctu) Dolayısıyla beton, çekme bölgesinde çatlayacak ve kuvvet taşıyamayacaktır. Çekme bölgesindeki bu kuvvet donatı tarafından taşınacaktır. Bu duruma ait en kesit, deformasyon diyagramı, boykesit ve iç kuvvetler aşağıda verilmiştir. σc < fck
ε c< εco b.b.b h d
Fc2
x2 M2
A
z2
s
εs < εsy Bu safhada =As*σ deformasyonu olan εsy bw donatıda meydana gelen deformasyonun çeliğinFakma s2 s den küçük olduğu kabul edildiğinde, ε deformasyonuna sebep olan gerilme çeliğin akma s εct > εctu gerilmesinden küçük olacaktır. σs < fykŞekil Çekme 5.8 bölgesindeki As donatısının bu gerilme ile taşıyabileceği çekme kuvveti Fs2= As*σs
olarak bulunabilir.
Basınç bölgesindeki betonda meydana gelen birim deformasyon εc, karakteristik basınç gerilmeleri altında meydana gelecek olan birim deformasyon olan εco dan küçüktür. Dolayısıyla basınç bölgesinde meydana gelen beton basınç gerilmeleri, karakteristik beton basınç mukavemetine henüz erişmemiştir. Kesite M2 momentinin tesir etmesi durumunda beton ve çelik gerilmedeformasyonlarındaki durum aşağıdaki gibidir. σc σ s
σc
2
εc
σs
εc
2
εs
εs
65
Şekil 5.9 Beton ve Çelik için basınçta Gerilme-Deformasyon Diyagramı Bu durumda kesit M2 momentinden daha fazla moment taşıyabilir. Moment büyüdükçe beton ve çelikteki gerilmeler ve birim deformasyonlar artabilecektir. 3)
M3 > M2
Kesite o şekilde bir M3 momenti tesir ettirelim ki, bu moment etkisi altında çekme bölgesindeki donatının birim deformasyonu olan εs, akma durumundaki deformasyon olan (εsy) değerine erişsin, fakat basınç bölgesindeki betonun birim deformasyonu (εc),betonun maksimum gerile altında yapacağı birim deformasyondan (εco) küçük olsun σc < fck
εc < εco b.b.b
Fc3
x3
h d
M3
z3
A
s
Fs3
εs = εsy
bw Fs3=Agerilmesine *f s yk Bu durumda donatıda meydana gelen gerilme, fyk akma erişecek ve Şekil 5.10 donatının taşıdığı toplam yük; Fs3=As*fyk
ile bulunacaktır.
Bu durumda taşınan moment
Fs3 > Fs2 dir.
M3= Fs3*z3
Donatı akma durumunda olduğu için gerilmesi fyk dan daha fazla değer alamaz. Momentin artması halinde dahi Fs3 ün değerinde bir artma olmayacaktır. Yatay denge denklemi gereği Fc3=Fs3 dir. Dolayısıyla beton basınç bölgesi bileşkesi olan Fc3 de de bir artma meydana gelmeyecektir. Beton basınç bölgesindeki birim deformasyon εc, karakteristik basınç gerilmesi altındaki maksimum birim deformasyondan (εco), küçük olduğundan beton basınç bölgesi daha fazla kuvvet taşıyabilir, dolayısıyla kesit M3 momentinden daha fazla momenti taşıyabilir. Bu durumda beton ve çelikte gerilme-deformasyon diyagramları aşağıdaki gibi σs olacaktır.σ c σc
fyk
3
εc
εc
3
ε sy
εs
66
4)
M4 > M3
Kesite M3 momentinden büyük M4 momenti tesir etmesi durumu: Donatıdaki gerilme akma gerilmesi olan fyk ya ulaşmıştır. Donatı alanı da As olarak sabit olduğundan donatının taşıyabileceği kuvvet Fs3 = As*fyk olarak sabitlenmiştir. Yatay denge denklemi gereği sabittir, değişmez artmaz.
Fc3 = Fs3 olacağından betonun karşılayacağı kuvvet de
Fc3 ve Fs3 ün değerleri değişmeden kesit M4 momentini nasıl taşıyacaktır. σc = fck
εc = εco
h d
Fc3
x4
b.b.b
z4
M4 A
s
εs > εsy
Fs3 = A *f bw s yk Kesite M3 Momentinden biraz daha fazla moment tesir etmesi halinde, donatıda meydana gelen deformasyon, akma deformasyonun başlangıç değeri olan ε Şekil 5.11 sy değerini geçecek donatı akmaya başlayacaktır. Donatının akmaya başlamasıyla tarafsız eksen yukarı doğru kayacak, tarafsız eksen mesafesinde küçülme meydana gelecektir. (x 4 < x3 ) Bu durumda manivela kolunda büyüme meydana gelecektir. (z4 > z3)
εc < εco b.b.b
Fc3
x3
h d
εc = εco x4
z3
Fc3
z4
A
s
bw
Şekil 5.12
εs = εsy
Fs3= As*fyk
Şekil 5.12a M3 momentinin tesir etmesi durumundaki deformasyon diyagramı
εs > εsy
Fs3= As*fyk
Şekil 5.12b M4 momentinin tesir etmesi durumundaki deformasyon diyagramı
67
Manivela kolunun büyümesi ile Fs3 ve Fc3 kuvvetleri artmadığı halde taşınan M3 momenti artacak ve bu şekilde M4 momenti taşınabilecektir. (M4=Fs3*z4) Tarafsız eksen yukarı doğru çıktığından beton basınç bölgesi bir önceki duruma göre küçülmüştür. Alan küçüldüğünden aynı bileşkeyi verebilmesi için gerilmenin artması gerekir. Beton basınç bölgesindeki σc gerilmeleri, maksimum beton basınç gerilmesi olan fck değerine kadar çıkacaktır. Bu durumda betonda meydana gelen deformasyonda εco değerine ulaşacaktır. Bu durumda (M4 tesir etmesi halinde) beton ve çeliğin gerilme- deformasyon diyagramları aşağıdaki gibi olacaktır. σc
σs
4
4
fyk
fck
εco
εsy
εc
εs>εsy
εs
5) M5 > M4 Kesite tesir eden M4 momentini biraz daha artırdığımız zaman ne olacaktır? Artık beton ve donatının alacağı gerilmeler son değerine ulaşmıştır. Bundan sonra betonun deformasyonu, εco değerinden, kopma (ezilme) deformasyonu olan εcu değerine kadar artmaya devam edecektir. Bu anda betonda gerilme düşmesi meydana gelecektir. Bu durumda en büyük deformasyonun karşılığında fck dan küçük bir σc gerilmesi, en büyük gerilme karşılığında ise εcu dan küçük bir εc deformasyon meydana gelmektedir Aynı anda donatıdaki deformasyonda pekleşme sınır deformasyonuna doğru yaklaşacaktır. Deformasyondaki bu artış nedeniyle manivela kolunda büyüme meydana gelecek dolayısıyla taşınan moment M5 değerine kadar artabilecektir. Fakat donatının gerilmesinde herhangi bir artma meydana gelmeyecektir. Betondaki deformasyonun εcu değerine ulaşmasıyla beton ezilerek dağılacak ve kiriş kırılacaktır. σc= fck εc= εcu b.b.b h d
x5
Fc3
εco z5
M5 A
s
bw
εs >> εsy Şekil 5.13
Fs3= As*fyk
68
Kırılma anında beton ve çeliğin gerilme-deformasyon diyagramı aşağıdaki gibi olacaktır.
σc
σs
σc
εcu
5
fyk
5
εc
εsy
εs
εs >> εsy
5.3 Kırılma Çeşitleri Bir önceki bölümde betonarme bir kesitin kırılması, taşıma özelliğini kaybetmesi, betonun ezilmesi ve donatının akması sonucu meydana geldiği görülmüştü. Acaba donatı miktarının değişmesiyle bunlardan hangisi daha önce meydana gelir ve kırılma üzerinde beton ve çelikten hangisi etkili olur? Bu bölümde bu konu araştırılacaktır. 5.3.1 Kuvvetli Donatılı Kirişlerde Kırılma: Kesite tesir eden M eğilme momentinden dolayı meydana gelen Fs çekme kuvvetlerini taşıyan As donatısının gereğinden fazla olarak seçilmesi halini inceleyelim. Bu durumda, basınç kuvvetlerinden dolayı betonda meydana gelen birim deformasyon εc, beton için maksimum gerilme karşılığı birim deformasyon olan εco ya ulaştığı halde, donatıda meydana gelen birim deformasyon εs, donatı akma birim deformasyonu olan εsy den küçük kalacaktır. Bu durumdaki kirişlere kuvvetli donatılı kiriş denilmektedir.
εc = εco x
b.b.b h d
σc= fck Fc
M
z
A
s
bw
εs < εsy Şekil 5.14
Fs = As*fyk
69
AS donatısının alanı fazla seçildiği için donatıda meydana gelen gerilme (σs ) olacaktır. Kesitteki donatı, akma gerilmesi olan fyk değerine ulaşmadığı için donatının tamamından henüz istifade edilmemiştir. Donatıda meydana gelen deformasyon akma deformasyonundan küçüktür. As donatısının taşıdığı çekme kuvveti Fs = As* σs olacaktır. Halbuki mevcut donatı akma gerilmesi ile Fs = As* fyk kadar çekme kuvveti taşıyabilecektir. Betonda meydana gelen (εc) deformasyonu, maksimum gerilme altındaki birim deformasyona (εco) ulaşmıştır. Bu durumda çok küçük bir moment artışında betonda meydana gelen birim deformasyon artacak ve betonda ezilme başlayacaktır. Bu durumda kesit kırılacak ve taşıma özelliğini kaybedecektir. Donatıdan tam istifade edilemeyen bir kırılma şeklidir. Kırılma önce basınç bölgesindeki betonun ezilmesiyle meydana geldiğinden, basınç kırılması veya gevrek kırılma denir. Kırılma ani olarak meydana gelmektedir. İstenmeyen bir kırılma çeşididir. Bu çeşit kırılmaya betonun özelliği hakimdir. Yapı malzemesi olarak betona, çelikten daha az güvenildiğinden dolayı da istenmeyen bir kırılma çeşididir. Bu tür kırılmalar kuvvetli donatılı kesitlerde meydana gelmektedir. 5.3.2 Dengeli Donatılı Kirişlerde Kırılma Bir önceki kirişteki çekme donatısını o şekilde azaltabiliriz ki basınç bölgesindeki betonda meydana gelen birim deformasyon maksimum gerilme altındaki birim deformasyon olan εco değerine ulaştığı anda, çekme bölgesindeki donatıda, akma birim deformasyonu olan (εsy) değerine ulaşmış olsun.
εc = εco x
b.b.b h d
σc= fck F
c
z
Mb A
s
bw
εs = εsy
Fs = As*fyk
Şekil 5.15 Bu şekilde donatılan kirişlere dengeli donatılı kirişler denir. Basınç bölgesindeki betonun ezilmesiyle, çekme bölgesindeki donatının akmaya başlaması aynı anda olmaktadır. Bu kırıma şeklinde acaba hangi eleman etkilidir.
70
Beton ve çeliğe ait gerilme deformasyon bağlantıları hatırlanırsa çelik akma sınırına ulaştığı an (fyk), deformasyon akma deformasyonuna (εsy) ye ulaşmıştır. Donatı henüz taşıma özelliğini kaybetmemiştir. Momentin, dolayısıyla çeliğe gelen kuvvetin artmasıyla donatı sabit gerilme altında bir miktar daha deformasyon yapabilir. Daha sonra pekleşme sınırına gelir. Aynı anda betonda maksimum gerilme altındaki birim deformasyon meydana gelmiştir (εco). Momentin çok az artması ile beton basınç bölgesine tesir eden kuvvet artacak, betondaki birim deformasyon ise hızla ezilme deformasyonuna (εcu) doğru gidecek ve betonda ezilmeler başlayacaktır. Kesit kırılacak kiriş taşıma özelliğini kaybedecektir. Görüldüğü gibi kırılma önce basınç bölgesinde meydana gelmekte, kırılmaya betonun özellikleri hakim olmaktadır. Bu şekildeki kırılmalara Basınç kırılması veya Gevrek kırılma denir. Kuvvetli donatılı kirişlerde olduğu gibi ani kırılma meydana gelmektedir. İstenmeyen bir kırılma çeşididir. 5.3.3. Zayıf Donatılı Kirişlerde Kırılma Bir önceki kesite, dengeli donatılı kırılmayı meydana getiren donatıdan biraz daha az donatı konulduğunu kabul edelim. Bu durumda basınç bölgesindeki beton, maksimum gerilme altında yapacağı deformasyona (εco) ulaşmadan, çekme bölgesindeki donatı akma birim deformasyonuna ulaşacaktır. εc < εco b.b.b h d
σc < fck Fc1
x1 z1
M
1
A
s
bw
εs = εsy
Fs1 = As*fyk
Şekil 5.16 Önce donatı akma birim deformasyona ulaşmıştır. Donatıda meydana gelen gerilme fyk olduğundan donatının taşıyabileceği toplam çekme kuvveti Fs1=As*fyk olarak bulunur. Bu safhadan sonra kesite tesir eden M1 momentin artması halinde Fs1 kuvvetinde bir artma olmayacaktır. Donatı akma deformasyonuna yeni erişmiştir. Yatay kuvvetlerin denge şartından Fs1=Fc1 olur. Dolayısıyla kesite tesir eden M1 momentin artması halinde, beton basınç bölgesi bileşkesi de değişmeyecektir. Bu anda betonda meydana gelen deformasyonlar ise maksimum basınç gerilmesi altında meydana gelecek εco deformasyonundan küçüktür. Başka bir deyişle beton basınç bölgesinden tam istifade edilmemiştir, bu bölgedeki gerilmeler biraz daha artabilir.
71
Beton basınç bölgesine ve donatıya tesir eden kuvvetlerde herhangi bir değişiklik olamadan kesit daha fazla momenti taşıyabilecek midir? Kesite tesir eden M1 momentin biraz artması halinde; donatı akma deformasyonuna ulaştığından donatıda akmalar başlayacaktır. Bu durumda tarafsız eksenin yukarı doğru kaymasıyla (x ) tarafsız eksen mesafesinde küçülme olacak (z ) manivela kolunda ise büyüme meydana gelecektir. Böylece betondaki ve donatıdaki bileşke kuvvetler değişmediği halde (z) manivela kolunun büyümesi ile kesit, M1 momentinden daha fazla momenti taşıyabilecektir. Bu durumda M1 momentinin artması esnasında donatıdaki deformasyonların artmasıyla kesitin çekme bölgelerinde (kirişlerin alt kısımlarında) çatlaklar meydana gelecektir. Beton basınç bölgesi küçüldüğünden betondaki gerilmeler ve deformasyonlar artacak, betonun deformasyonu ezilme birim deformasyonuna (εcu) ya eriştiği an kesit kırılacak ve taşıma özelliğini kaybedecektir. Donatıdaki akma deformasyonlarının artmasıyla kirişin çekme bölgesinde meydana gelen çatlaklar, momentin daha da artması halinde kirişteki kırılma olabileceğini önceden haber verecektir. σc= fck εc = εcu
b.b.b h d
x2
Fc2
εco z2
M
2
A
s
bw
εs >> εsy
Fs1 = As*fyk
Şekil 5.17 Şekil 5.17 de artan M2 momenti etkisi altında, kiriş çekme bölgesinde çatlaklar meydana gelmeğe başlamıştır. Momentin biraz daha artması sonucu kesit kırılacaktır. Dolayısıyla kesit kırılmadan önce çekme bölgesindeki betonda çatlakların oluşmasıyla kırılmayı haber vermektedir. Kırılma ani değildir. Bu tür kırılmalar Yapı elemanlarında istenilen bir kırılma çeşididir. Güç tükenmesi önce çekme bölgesindeki donatıda meydana gelmektedir. Kırılmaya donatının özellikleri hakimdir. Bu tür kırılmaya Çekme kırılması veya Sünek kırılma denilmektedir. Şartnameler Gevrek kırılma meydana gelmemesi için Kuvvetli donatılı veya Dengeli donatılı kiriş yapımına izin vermezler. Belirli bir değerden az olmamak şartıyla kesitlerin sünek kırılma meydana gelecek şekilde zayıf donatı kesitler olarak planlanması
72
öngörülmüştür. 5.4. Taşıma Gücü Hesabında Yapılan Kabuller: Betonarme bir kesitin taşıma gücüne göre hesabında aşağıdaki kabuller yapılmıştır. 1- Bir kirişte şekil değişiminden önce düzlem ve birbirine paralel olan kesitler, şekil değişiminden sonra da düzlem olarak kalırlar fakat paralellik bozulmuştur. (Bernoulli-Navier hipotezi) Bu kabul sonucunda şekil değiştirmelerin tarafsız eksenden uzaklıkla doğru orantılı olduğu söylenebilir. (Şekil 5.18c) 11
1
2
ε
2
1
Tarafsız eksen
a) Şekil değişiminden önce
1
2
1
c
ε
s
c) Enkesit ve Deformasyon 1
2
b) Şekil değişiminden sonra Şekil 5.18 2- Kesit taşıma gücüne eriştiğinde tarafsız eksene en uzak beton basınç lifindeki birim deformasyon (kısalma) εcu=0.003 olarak kabul edilmiştir. 3- Betonun çekme mukavemeti tamamen ihmal edilecektir. Gerçekte, tarafsız eksenin alt kısmında eğilmede sınır deformasyon olan εctu değerine kadar olan bölge, çekme gerilmeleri taşıyabilmektedir, fakat yapılan kabul gereği tarafsız eksenin alt kısmındaki betonun çekme gerilmelerini karşılamadığı kabul edilecektir. (Şekil 5.19a) 4- Betonla çelik arasındaki aderans tamdır. Herhangi bir (a) noktasında çelikte meydana gelen εsa birim deformasyonu aynı kesitteki betonda meydana gelen εca birim deformasyonuna eşit olduğu kabul edilmiştir. (Şekil 5.19a) εcu=0,003 a
εca=εsa Tarafsız eksen
εctu
σ fck σc ε
εsy =0,01 Şekil 5.19a
εc
εco=0,002 εcu=0,003
Şekil 5.19b
73
5- Donatıda meydana gelen birim deformasyon (uzama) 0.01 ile sınırlandırılmıştır. Kopma birim uzaması εsu = 0,10 alınmalıdır. Hatırlanacağı gibi TS 500 de çelik cinsine bağlı olarak, doğal sertlikte işlem gören çeliklerin birim kopma uzamasının minimum değerleri aşağıdaki gibi verilmişti.
εsu
S220 0.18
S420 0.10
S500 0.10
Tablo 5.1 100cm uzunluğundaki S220 çeliğinin kopma anındaki boyunun 118 cm. olabileceği, ancak yapılan bu kabulle kopma anındaki uzamanın 10 cm. olarak alınacağı, taşıma gücü kesit hesaplarında ise ancak 1 cm. olarak kabul edilebileceği ifade edilmektedir. Ayrıca fyk akma sınırı, TS 500 de yükün artmadığı uzamanın sürmesinin başladığı ilk gerilme olarak tarif edilmiş ve bu andaki deformasyonun 0.002 olarak kabul edileceği belirtilmiştir. Taşıma gücündeki kabule göre 100 cm uzunluğundaki S220 çeliğinin çeliğin akmaya başladığı andaki uzunluğunun ise 100,2 cm, ve kopma anındaki uzunluğunun ise 101 cm olarak kabul edileceği anlaşılmaktadır. Sonuçta çelik için gerilme-deformasyon ilişkisinin Şekil 5.20.b de olduğu gibi olduğu varsayılmıştır. σs
σs fyk
fyk
0,002
εsu
Şekil 5.20a
εs
εsy=0,002
εsy=0,01
εsu=0,018
εs
Şekil 5.20b
6- Donatı çubuğundaki Gerilme-Deformasyon ilişkisi Elasto-Plastik varsayılacaktır. Donatı çubuğundaki εs birim deformasyonuna sebep olan gerilme σs=Es*εs bağıntısıyla
74
hesaplanabilir. Çelik cinslerine bakılmaksızın Çelik Elastisite modülü E s=2*106 kg/cm² olarak alınacaktır. Donatı çubuğunda meydana gelen maksimum hesap akma gerilmeleri fyd= Es*εsy olarak hesaplanacaktır. 7- Betonarme kesit Taşıma Gücüne eriştiğinde gerilmeler ile deformasyonlar orantılı değildir. 1985 yılına kadar yürürlükte olan Emniyet Gerilmeleri metodunda gerilmeler ile deformasyonların orantılı olduğu kabul edilmişti.(Şekil 5.21) εcu=0,003 M
σc Fc
x
x
Fc = σc*x /3 z = d- x /3
d z
As εs = εsy
bw
M = Fc * z
Fs = As * σe
Şekil 5.21 Taşıma Gücü metodunda yapılan kabule göre Şekil 5.18a dan da görüleceği gibi betonda ezilme anında, tarafsız eksene en uzak lifteki basınç gerilmeleri, maksimum basınç gerilmelerinden biraz daha küçüktür. Betonda ezilme; gerilmenin maksimum olması ile değil, deformasyonun maksimum (εcu=0,003 ) olması ile meydana gelmektedir. Betonun Gerilme Şekil değiştirme diyagramından hatırlanacağı gibi betonda deformasyon 0.002 civarında iken gerilme maksimum olmakta ve deformasyon ezilme deformasyonu olan 0,003 e giderken gerilmede düşme olmaktadır. (gerilmenin boşalması). Betonun gerilme-deformasyon Şekil 5.23 deki diyagramından da görüldüğü gibi, maksimum gerime altındaki deformasyon 0,002 olduğu halde, maksimum deformasyon olan 0,003 değeri karşısındaki gerilmede bir düşme olmaktadır. Betonun Gerilme-Deformasyon diyagramında eksenler değiştirilip diyagram döndürüldüğünde aşağıdaki 5.22b deki şekil elde edilmektedir. TS 500 2000 öngördüğü deformasyon diyagramı ile betonda oluşan gerilme σc= fcdŞekil 5.22 de görüldüğü diyagramı ile kabul edilen eşdeğer beton basınç bloğu 0,85* fcdgibidir. εcu=0,003 Mr
x
Fc
εco x
d z
As bw
εs < εsy Şekil 5.22a
Fs = As* σs Şekil 5.22b
k1x
Fc z
Fs = As* σs Şekil 5.22c
75
Şekil 5.22 da gerilme olarak karakteristik değerler alındığında kesitin kırılma anında taşıyabileceği moment bulunmaktadır. Kesitin Taşıma gücü momenti olan Mr değerinin bulunabilmesi için gerilme olarak malzemenin hesap değerleri olan fcd ve fyd nin kullanılacağı unutulmamalıdır.
σ
ε
fck
εcu =0,003 εco =0,002
σc ε
σ
fck
εc εco =0,002 εcu =0,003 Şekil 5.23
Taşıma Gücüne erişildiğinde kesit kuvvet diyagramı incelenirse beton basınç bölgesindeki gerilmelerin dağılışının Şekil 5.22b deki gibi olduğu yapılan deneylerle bulunmuştur. Beton basınç gerilmelerinin bileşkesi olan Fc nin gerçek dağılım üzerinde entegrasyonla hesabı pratik değildir. Hesaplarda kolaylık sağlamak maksadıyla beton basınç gerilmelerinin dağılımı için TS 500, Şekil 5.22c de olduğu gibi eşdeğer beton basınç bölgesini dikdörtgen olarak kabul etmektedir. Şekil 5.22b deki gerçek beton basınç gerilmelerinin bileşkesi olan F c nin, Şekil 5.22c deki eşdeğer beton basınç bölgesindeki gerilmelerin bileşkesine eşit olabilmesi için tarafsız eksen mesafesi (k1) ile, beton basınç gerilmeleri ise (0,85 ) ile çarpılarak azaltılacaktır. Yeni meydana gelen ve boyutları (k1*x) ile (0,85*fcd ) olan dikdörtgene “Eşdeğer Beton Basınç Bloğu” denilecektir. Bu dikdörtgenin bileşkesinin Şekil 5.22.b deki beton gerilmelerinin bileşkesine eşit olduğu kabul edilmektedir. TS 500 de k1 değerleri beton sınıfına bağlı olarak şu şekilde verilmiştir. Tablo 5.2 Beton sınıfına bağlı k1 değerleri. (TS 500) BS
C16
C18
C20
C25
C30
C35
C40
C45
C50
k1
0,85
0,85
0,85
0,85
0,82
0,79
0,76
0,7 3
0,70
76
Görüldüğü gibi normal mukavemetli betonlarda (C16-C25 arası) k1=0.85 alınabilmekte, yüksek mukavemetli betonlarda ise beton kalitesine bağlı olarak azalmaktadır. Bu durumda Beton basınç gerilmeleri bileşkesi;
Fc=0,85*fcd*k1*x*bw
Donatıda meydana gelen toplam donatı çekme kuvveti; Manivela kolu ise
z=d – (k 1x) / 2
Taşıma Gücü Momenti
M= Fc * z
Fs=As*σs
olarak yazılabilmektedir.
5.5 Dengeli Donatılı Kirişlerde Taşıma Gücü Hesabı Kırılma çeşitleri incelenirken, dengeli donatılı kirişlerdeki kırılmanın gevrek kırılma olduğu (istenmeyen bir kırılma şekli olduğundan), şartnamelerin bu tür donatılı kirişlere izin vermediği belirtilmiş olmasına rağmen, sınır bir durum olması dolayısıyla burada dengeli donatılı kirişlerde taşıma gücü hesabı anlatılacaktır. Dengeli donatılı kirişlerde deformasyon ve kuvvet diyagramları yapılan, bazı kabuller sonunda Şekil 5.24 de verildiği gibi olur. Yatay Denge denklemleri ile dış kuvvetin momentinin iç kuvvetlerin momentine eşit olacağı ifadelerinden yararlanarak, betonun ezilmesi ve donatının akmasının aynı anda olması durumunda, kesitin taşıyabileceği Mb momenti için çekme bölgesine konulması gereken As çekme donatısı araştırılacaktır. Dengeli haldeki donatıya Asb denilecektir. εcu=0,003 Mb
xb
εco
0,85*
σc= fcd F
xb
c
d z
Asb bw
Fs
εs = εsy Şekil 5.24
a) Σx=0 Yatay izdüşüm denklemi yazılırsa: Fc=Fs ;
Fc=0,85*fcd*k1*xb*bw ;
Fs=Asb * fyd
fcd
k1*xb
Fc z
Fs=Asb * fyd
77
Beton ve çeliğin hesap mukavemet değerleri kullanılarak kesitin taşıma gücü momenti hesaplanacaktır. Asb * fyd = 0,85*fcd*k1*xb*bw ρb=Asb / bw*d
Asb = 0,85*(fcd / fyd )*k1*xb*bw
dengeli donatı oranı ifadesinden
Asb=ρb*bw*d
Asb=ρb*bw*d=0,85*(fcd/ fyd )*k1*xb*bw ρb = 0,85*(fcd / fyd )*k1*(xb/d)*bw kx = (xb / d) Olarak tarif edilir ve yerine konursa dengeli donatının en genel ifadesi aşağıdaki gibi bulunur ρb=0.85*(fcd / fyd)*k1*kx
Dengeli donatı miktarı ise
Asb= ρb *bw*d
ile bulunur.
b) ΣM=0 İç kuvvetlerin momentinin dış kuvvet momentine eşitliği yazılırsa; Mb= Fs*z = Fc*z (xb/d)=kx xb=kx*d kz= 1- (k1*kx) / 2
z= d - (k1* xb) / 2 z= d - (k1*kx*d ) / 2
z= d [1- (k1*kx) / 2 ]
Olarak tarif edilirse
manivela kolu z= kz*d olarak bulunur. Görüldüğü gibi manivela kolu kz değerine dolayısıyla beton sınıfına (k 1) ve kx değerine bağlıdır. Mb= Fs*z = Fc*z ifadesinde moment aşağıdaki ifade ile bulunabilir. Mb= Asb*fyd*z
Fc, Fs, z için değerleri yerine yazılırsa Dengeli Mb= 0.85*fcd*k1*xb*bw*z
Görüldüğü gibi dengeli donatı ile taşınabilen moment; malzeme, kesit ve tarafsız eksenin yerine bağlıdır. Tarafsız eksen mesafesinin bulunması:
xb= kx*d
Birim deformasyon diyagramı üzerinde tales bağıntısı yazılırsa; εcu /xb = εsy /d-xb bulunur.
78
Orantı özelliğinden
εcu /xb = εsy / d-xb=εsy +εcu /d
εcu /xb= εsy +εcu /d
xb/d=εcu /(εcu +εsy )
yazılabilir.
Betonun ezilme durumunda deformasyon oranı
εcu =0.003
Çelikteki Hooke kanunu akma durumunda σs =εs *Es
εsy =fyd/Es
fyd=εsy *Es
xb/d=0.003/(0.003+fyd/Es)
uygulanırsa
xb/d=0.003*Es/(0.003*Es+fyd)
xb/d= kx
kx=0.003*Es / (0.003*Es+fyd)
xb=k x*d Dengeli donatı oranını veren tarafsız eksen mesafesi bulunur. Görüldüğü gibi kx ve kz değerleri sadece malzemeye bağlıdır. Es= 2*106 kg/cm² olduğu kabul edilirse olarak da bulunabilir.
kx=6000 / (6000+fyd)
Donatı cinsine göre kx ve kz değerleri ise Tablo 5.3 de verilmiştir. Tablo 5.3 kx ve kz değerleri Donatı fyd kx kz
S220 1910 0.7585 0.6776
S420 3650 0.6218 0.7358
S500 4350 0.5797 0.7536
Dengeli donatı oranı ρb sadece malzemeye bağlı olarak bulunabilir. Normal betonlar (C16-C25) için k1=0.85 ve beton ile çeliğin fcd, fyd değerleri yerine konursa dengeli donatı oranları Tablo 5.4 deki gibi bulunabilir. Tablo 5.4 Malzeme S220 S420 S500
Dengeli donatı oranları
C16 0.03156 0.01354 0.01059
C18 0.03443 0.01477 0.01155
(ρb)
C20 0.03730 0.01600 0.01252
C25 0.04878 0.02092 0.01637
Kesit ve malzeme verildiği takdirde dengeli kırılmayı sağlayan donatı miktarı: Asb= ρb *bw*d ifadesi ile bulunacaktır. Bu donatı miktarıyla kesitin taşıyabileceği dengeli moment ise Mb= Asb*fyd*z olarak bulunur. Burada z= kz*d ile bulunacaktır. Dengeli kırılma halinde beton ve çeliğe tesir eden kuvvetler ise:
79
Fc= 0.85*fcd*k1*xb*bw
Fs= Asb*fyd
Fs=Fc
olarak bulunur.
Burada da xb=kx*d olduğu, kx değerinin de dengeli donatı durumuna ait olduğu unutulmamalıdır. Momentin katsayı yardımıyla hesabı: Mb= Fs*z
ifadesine
Fs=Asb*fyd ,
z= kz*d uygulanırsa
Mb= Asb*fyd*kz*d
Eşitliğin her iki tarafı bw*d² ile bölündüğünde; Mb/(bw*d²)= Asb*fyd*kz*d / (bw*d2) Mb/(bw*d²)= Asb/(bw*d)*fyd*kz Mb / (bw*d²)= ρb *fyd*kz Mb / (bw*d²)=1 / Kb Mb = bw*d²/ Kb
Asb/(bw*d)= ρb olduğundan
ρb *fyd*kz = 1 / Kb
olarak tarif edilirse
Mb = bw*d²/ Kb temel formülü bulunur.
Kb= 1 / (ρb*fyd*kz); cm²/t boyutunda, beton ve çelik malzemesine bağlı olan bir katsayıdır. Daha önce bulunan ρb, kz değerleri, son bulunan Kb ifadesine uygulanırsa normal betonlar için Kb katsayıları aşağıdaki gibi bulunur. Tablo 5.5 Malzeme S220 S420 S500
Dengeli donatı için Kb değerleri. C16 24.480 27.505 28.801
C18 22.441 25.211 26.410
C20 20.714 23.274 24.370
C25 15.840 17.798 18.636
Problem: Kesit ve malzemesi verilen bir kirişin dengeli donatılı halde taşıyabileceği moment ve gereken donatının hesabı: Çözüm: Verilen malzemenin cinsine göre Tablo 5.5 den Kb katsayısı okunur. Mb= bw*d²/Kb kesitin taşıyabileceği moment bulunur. Gereken donatı ise Tablo 5.4 den malzeme cinsine bağlı olarak dengeli donatı oranı ρb okunduktan sonra; Asb= ρb *bw*d ile hesaplanır.
80
Kesite ait tarafsız eksen mesafesi ve manivela kolu hesaplanmak istenirse Tablo5.3 ten kx ve kz değerleri alınarak: x= kx*d , z= kz*d
değerleri bulunur.
Not: Verilen beton, yüksek mukavemetli beton ise k1< 0.85 olacaktır. Beton cinsine göre tablo 5.2 den k1 sayıları alındıktan sonra kz, ρb ve Kb değerleri verilen ifadelerden tekrar hesaplanmalıdır. Daha sonra bu değerlere bağlı olarak moment ve donatı hesabına geçilmelidir. Beton ve Çeliğin, tablolarda olmayan malzeme olarak verilmesi halinde, verilen malzemeye ait beton ve çelik hesap dayanımları bulunur. Daha sonra bu değerler yardımıyla kx , kz, ρb ve Kb değerleri hesaplanır. Bunlar yardımıyla moment ve donatı hesaplanmalıdır. Uygulama: Malzemesi ve boyutları verilen bir kirişin dengeli donatı halinde taşıyabileceği momentin ve gereken donatının çeşitli yollarla bulunması: 0,85*
εcu = 0,003
Fc
k1 xb
xb 60
fcd
M =?
z
b
Asb=? Fs = As * fyd
εs = εsy
25cm
Şekil 5.25 Malzeme C20-S220, Kesit boyutları bw =25 cm , d=60 cm olsun. Dengeli donatı halinde tarafsız eksen ve manivela kolu açık hesapla aşağıdaki gibi bulunur: xb= kx*d ;
kx= 0.003*Es/(0.003*Es+fyd)
kx=6000/(6000+1910)= 0.75853 z= kz*d
kz= 1-(k1*kx)/2
z = 0.67762*60
xb= 0.75853*60= 45.5 cm
kz= 1-0.85*0.75853/2
kz= 0.67762
z = 40.66 cm
Malzemenin aykırı olması veya beton ezilme deformasyonunun farklı olması halinde k x değeri yeniden hesaplanarak işleme başlanılmalıdır. Beton basınç bloğu bileşkesi ve dengeli moment aşağıdaki gibi hesaplanır. Fc= 0.85*fcd*k1*x*bw Fc= 0.85*0.130*0.85*45.5*25 Mb= Fc*z= 106,84*0.4066
Mb= 43,44 tm
Fc= 106,84 t
81
Bu moment için gereken donatı ise: Fs= Fc olduğundan Fs= Fc=106,84t Fs= As*fyd
As=Fs / fyd
As=106,84/1.91
As = 55,94 cm²
Katsayılar yardımıyla çözüm: Tablo 5.5'den
Kb=20,714
Tablo 5.4'den
ρb = 0,0373 alınacaktır.
Mb= bw*d²/ Kb Mb= 25*60²/20,714 Mb=4345 tcm Asb= ρb *bw*d = 0.0373*25*60 Asb = 55,95 cm²
(43,45 tm.) olarak bulunur.
5.6 Denge Altı Kirişlerde Taşıma Gücü Hesabı: Dengeli donatılı kirişlerde, kırılmanın, ani kırılma cinsi olan gevrek kırılma olduğu daha önce belirtilmişti. Bir kirişteki As donatı miktarına göre bulunan donatı oranına göre kirişleri kırılma şekilleri bakımından şu şekilde sınıflara ayırmak mümkündür. a) ρ > ρb denge üstü kirişlerdir. Gevrek kırılma meydana gelen bu kirişlere yönetmelikler izin vermezler. b) ρ = ρb dengeli donatılı kirişlerdir. Bu şekilde donatılan kirişlerde de kırılma ani olur. Gevrek kırılma meydana geleceği için yönetmeliklerce yasaklanmıştır. c) ρ < ρb denge altı kirişlerdir. Donatı oranından da görüldüğü gibi bu şekilde donatılan kirişlere zayıf donatılı kirişler de denilmektedir. Kırılma ani olarak meydana gelmez. Beton ezilme deformasyonuna erişmeden önce donatı akma deformasyonuna geleceğinden, donatının uzamasıyla meydana gelen çatlaklar kirişin göçmesinden önce haber verici unsurlar olarak değerlendirilmiştir. Dolayısıyla yönetmelikler kirişlerin denge altı olacak şekilde donatılmasını öngörmektedir. εcu =0,003
εc < εco x
x
d
k1x
fcd
F
c
z
M As
0,85*
r
Fs = As * fyd εs = εsy εs >εsy bw Şekil 5.26a deki Şekil birim5.26a deformasyon donatının akma deformasyonuna Şekil 5.26c Şekildiyagramı; 5.26b eriştiği anda, basınç bölgesindeki betonun henüz maksimum basınç altında yapacağı εco birim deformasyonuna ulaşmadığı andaki durumdur. Bu durumda donatının karşılayabileceği çekme kuvveti en üst seviyede olup Fs= As*fyd ifadesiyle hesaplanacaktır. Donatı akma deformasyonuna eriştiğinden gerilmeleri de akma
82
gerilmelerine (hesap değeri olarak alınmıştır) ulaşmıştır. Bu safhadan sonra Fs kuvvetinde bir artma meydana gelmeyecektir, fakat henüz kiriş taşıma gücüne erişmemiştir, biraz daha moment taşıyabilecektir. Şekil 5.26b den de görüldüğü gibi donatının akmasıyla beton basınç bölgesi küçülecektir. Bileşke kuvvet değişmeyeceğine göre gerilmenin değeri artacaktır. Beton basınç bölgesine tesir eden gerilmenin değeri artması ve beton basınç bölgesinde tarafsız eksene en uzak lifteki birim deformasyonun, betonun ezilmedeki birim deformasyonuna (εcu= 0.003) erişmesiyle kesit taşıma gücüne erişecektir. Kesit ve malzemenin verilmesi halinde, önce Şekil 5.26c deki iç kuvvetler üzerinde yatay denge denklemi yazılır. Sonra dış kuvvetlerin momenti iç kuvvetlerin momentine eşitlenir. Bu şekilde kesitin taşıma gücü momenti olan Mr in hesabı yapılır. 1) Σx= 0; yatay denge denklemi yazıldığında: Fc=Fs ;
Fc=0,85*fcd*k1*x*bw ;
Fs=A * fyd
As * fyd = 0,85*fcd*k1*x*bw x/d=kx olarak tarif edilir ve x=kx*d As * fyd = 0,85*fcd*k1* kx*d *bw
uygulanırsa;
As/ (bw*d)= 0.85*(fcd/fyd)*k1*kx
As/ (bw*d)= ρ donatı oranı olduğundan
kx= ρ*(fyd / fcd)* 1/ (0.85*k1)
ρ=0.85*(fcd/fyd)*k1*kx ; buradan x = kx * d
Denge altı kirişlerde tarafsız eksen mesafesidir.
Hatırlanacağı gibi dengeli donatılı kirişlerde, tarafsız ekseni veren k x ifadesi sadece malzemeye (Çelik Elastisite modülüne ve çelik hesap değerine) bağlı olduğu halde [k x= (0.003*Es) / (0.003*Es+fyd)] Denge altı kirişlerde tarafsız ekseni veren kx ifadesi malzemeye bağlı olduğu gibi ρ=As/ (bw*d) donatı oranına dolayısıyla donatıya da bağlıdır. Dolayısıyla değişen her As donatısı için farklı kx değeri ve buna bağlı olarak farklı tarafsız eksen mesafesi bulunacaktır. Beton kalitesinin normal betonlar olması halinde (C16- C25) kx= ρ*(fyd / fcd)* 1/ (0.85*0,85)
k1= 0.85 alınabileceğinden;
kx= 1.384*ρ *(fyd / fcd)
kx, tarafsız ekseni veren ifade son şekliyle yukarıdaki gibi yazılabilir. 2) ΣM= 0 Moment şartı yazıldığında; Şekil 5.21.c de dış kuvvet momentinin iç kuvvetlerin oluşturacağı momente eşit olduğu
83
yazılırsa; Mr= Fs*z
Fs= As*fyd
z= d*[1-(k1/2)*kx ]
z= d - (k1*x/2)
z/d= kz
z= d*[1-(k1/2)*(x/d)]
kz= 1-(k1*kx)/2 Taşıma Gücü Momenti bulunabilir.
Mr = As * fyd * kz * d
Momentin katsayı yardımıyla bulunabilecek şekilde yazılışı: Mr= As*fyd*kz*d
eşitliğin her iki tarafı ( bw*d² ) ile bölünürse :
Mr / (bw*d²)= As*fyd*kz*d / (bw*d²)
Mr / (bw*d²)= (As/bw*d)*fyd*kz
As/bw*d=ρ olduğundan Mr / (bw*d²)= ρ *fyd*kz (ρ * fyd * kz) = 1 / K
olarak tarif edilir ve yerine yazılırsa
Mr / (bw*d²) = 1/ K ve buradan
Mr = bw * d² / K
denge altı kirişlerde taşıma gücünü veren temel formül bulunmuş olur. K katsayısı malzemeye, kesite ve donatıya bağlıdır 5.6.1 Denge Altı Kirişlerde Taşıma Gücü Momentinin Katsayılarla Hesabı: Bölüm 5.6 da, son bulunan kx ve kz ifadeleri incelendiğinde normal kalitede betonlar için (C16-C25) kx= 1.384*ρ*(fyd / fcd) olduğu bulunmuştu. ρ*(fyd / fcd)= w
donatı göstergesi olarak tarif edilirse;
Tarafsız ekseninin yerini veren kx katsayısı sadece ( w ) donatı göstergesine bağlı olarak ifade edilmiş olur. kx= 1.384*w Benzer şekilde manivela kolu mesafesini veren k z katsayısının da sadece w donatı göstergesine bağlı olduğu görülür. kz= 1- (k1*kx) / 2 = 1- (0.85*1.384w) / 2
kz= 1–0.588*w
Bölüm 5.6.1 de bulunan K ifadesi de normal kalitedeki betonlar için w donatı göstergesine bağlı olarak ifade edilirse; K= 1/(ρ*fyd*kz)
kz= (1-0.588*w)
w= ρ*(fyd/fcd)
K= 1/ [w*fcd*(1–0.588*w)]
ρ*fyd= w*fcd
84
K katsayısı da w donatı göstergesine ve beton hesap mukavemeti değerine bağlı olarak ifade edilmiş olur. Donatı göstergesi ise donatı oranı ve malzemeye bağlıdır. Malzeme ve donatı oranına bağlı olarak betonarme hesap tablolarının hazırlanması: K, kx, kz değerlerinin her üçünün de bağlı olduğu değişkenler; • Beton hesap mukavemeti (fcd ) , • Donatı hesap akma mukavemeti (fyd ), • Donatı oranı (ρ) değerleridir. Malzeme ve donatı oranı biliniyorsa, donatı oranı ile donatı göstergesi bulunarak tablolar düzenlenebilir. Tablolar beton ve çelik sınıflarına bağlı olarak donatı göstergesi olan ( w ) nin 0.020 ile 0.470 sınırları arasında ve 0.005 lik artımlarla değişmesi haline göre ve normal kalitede betonlar için düzenlenmiştir. BETONARME TABLOLARI w
kx
kz
K
0,020 0,025 0,030 0,035
0,0277 0,0346 0,0415 0,0484
0,9882 0,9853 0,9824 0,9794
389,192 312,283 261,015 224,398
C 20 S220 ρ 0,00136 0,00170 0,00204 0,00238
S420 ρ 0,00071 0,00089 0,00107 0,00125
S500 ρ 0,00060 0,00075 0,00090 0,00105
Uygulama: Denge altı kirişlerde (zayıf donatılı kirişler) kesit, malzeme ve donatının verilmesi halinde kesit taşıma gücünün hesabı. Boyutları bw=25 cm, d=60 cm; malzemesi C20-S220 olan bu kirişte çekme donatısı olarak 4∅28 (24.63 cm²) demir bulunması halinde bu kesit ne kadar moment taşıyabilir ve kırılmanın cinsi (deformasyon durumu) nedir. Önce deformasyon durumuna karar vermek gerekir. Bunun için kesitteki donatı oranı (ρ) hesabedilerek, dengeli donatı oranı ρb ile karşılaştırılmalıdır. ρ = As/(bw*d) ρ= 24.63/(25*60) ρ= 0.01642 Dengeli donatı oranı Tablo 5.4 den ρb = 0.03156 alınır. ρ < ρb olduğundan kirişte sünek kırılma meydana gelecektir. Deformasyon diyagramı üzerinde tales yazılarak tarafsız eksenin yerifcdbulunamaz. 0,85* εc < 0,003 x
k1 x
60
Fc z
4∅28
25cm
M
r=
? εs = εsy Şekil 5.27
Fs = As * fyd
85
Tarafsız eksenin yeri ve manivela kolu donatı miktarına, dolayısıyla donatı oranına bağlıdır ve aşağıdaki gibi üç ayrı şekilde bulunabilir. a) kx=ρ*(fyd / fcd)*[ 1/ (0.85*k1)] kx = 0.01642*(1910/110)* [ 1/ (0.85*0.85)] kx= 0.3946 kz= 1- k1*kx /2
x= kx*d
x= 0.3946*60
kz = 1-0.85*0.3946 /2
z = kz*d z = 0.8323*60
x= 23,68 cm
kz = 0.8323
z = 49,94 cm
Bunlar yardımıyla Beton basınç bölgesinin bileşkesini ve kesitin taşıma gücü momentini bulabiliriz. Fc= 0.85*fcd*k1*x*bw Mr= Fc*z
Fc = 0.85*0.110*0.85*23,68*25
Mr = 47,049*0,4994
Fc= 47,049 t
Mr =23,50 tm
b) Tarafsız eksenin yeri aşağıdaki gibi de bulunarak da çözüm yapılabilir: Fc=Fs olacaktır. Fs= As*fyd Fc= 0.85*fcd*k1*x*bw
Fs= 24.63*1.91
Fs = 47,043 ton
47,043= 0.85*0.110*0.85*x*25
x= 23,68 cm
z= d- k1*x / 2 z = 60- 0.85*23,68 / 2 z= 49,94 cm Mr= Fc*z= Mr = 47,043*0,4994 Mr = 23,49 tm bulunur. c) Aynı problemin tablolar ve katsayılar yardımıyla çözümü: ρ= As/(bw*d) ρ = 24.63/(25*60) ρ = 0.01642 Mr= bw*d²/K
t → K= 38,320
Mr = 25*60²/38,320 Mr = 2349 tcm
Mr = 23,49 tm
Görüldüğü gibi her üç yolda bulunan momentler birbirlerinin aynısıdır. Elde tablolar mevcutsa ve beton kalitesi normal betonlar sınıfında ve çelikte standartlara uygun malzeme ise, betonun kısalma deformasyonu ve çeliğin elastisite modülü Taşıma gücünde kabul edilen değerler olması halinde K katsayısı ile çözüm en kısa ve pratik çözümdür. Beton kalitesinin yüksek mukavemetli betonlar olması halinde veya malzemelerin bilinen malzemelerden farklı bir şekilde (aykırı malzeme) verilmesi halinde, ilk iki yoldan
86
açık hesaplar yapılarak sonuca gidilmelidir. Sonuç: Verilen kesitin mevcut donatısıyla taşıma gücü Momenti Mr = 23,49 tm dir. TS 500 de verilen artırma katsayılarıyla artırılmış yüklerle bulunan M d hesap momenti (dizayn momenti veya artırılmış moment de denilebilir.), Mr değerine eşit veya ondan küçük olduğu sürece kesit güvenlidir. (Md ≤ Mr ) Md > Mr olduğu durumda ise bu kesit mevcut donatısıyla verilen momenti güvenlikle taşıyamaz sonucu ortaya çıkar. 5.6.2 Denge Altı Kirişlerde Donatı Yüzdesi Üzerine Konulan Sınırlamalar: 1- Sünek Kırılma Şartı: Betonarme bir yapının düktilitesinin korunması ve kırılmanın sünek kırılma olması istenir. Daha önceki bölümlerde bahsedildiği gibi kuvvetli donatılı kirişlerde ve dengeli donatılı kirişlerde meydana gelen, ani kırılma olarak da adlandırılan kırılma, Gevrek Kırılmadır. Yönetmelikler kirişlerdeki donatı oranının, dengeli donatı oranına eşit ve dengeli donatı oranından fazla olmasına (ρ ≥ ρb) izin vermezler. Ancak zayıf donatılı kirişlerde, (ρ < ρb) sünek kırılma meydana geleceğinden yönetmelikler kirişlerde zayıf donatılı olacak şekilde demir konmasını öngörmüşlerdir. ρmax = 0.85*ρb
TS 500 de süneklik şartı için;
şartını belirtilmiştir. ρ ≤ ρ max olması halinde TS 500 ün kabul edeceği sünek kırılmanın meydana geldiği kabul edilmiştir. Donatı oranının ρb > ρ > 0.85*ρb olması halinde, kirişlerin zayıf donatılı kirişler olduğu, kırılmanın sünek kırılma türünde gerçekleşeceği fakat bu sünek kırılmayı TS 500 ün kabul etmediği söylenebilir. Normal kalitedeki betonlar için Tablo 5.4 de verilen dengeli donatı oranlarının 0.85 katı alınarak ρmax değerleri bulunabilir. Tablo 5.6 Sünek kırılma için ρmax değerleri ρmax S220 S420 S500
C16 0 0268 0,0115 0,0090
C18 0,02927 0,0126 0,0098
C20 0,0317 0,0136 0,0106
C25 0,0415 0,0178 0,0139
2- Deprem Etkileri İçin Sınırlamalar: Çerçevelerden meydana gelen Betonarme Karkas yapının bir çerçevesini ele alalım (Şekil 5.28) Çerçevenin düşey yükler ve yatay yüklere göre çözümünden dolayı düğüm noktaları olan kolon ve kiriş uç noktalarında, Moment ve Kesme Kuvveti ve Normal kuvvet meydana gelecektir.
87
Yatay yük olarak tesir eden deprem kuvvetinden dolayı meydana gelen Momentler, genellikle düşey yükten dolayı oluşan Momentlerden daha fazladır. Alttaki şekilde sembolize edilen çerçeveye ait bir düğüm noktası A, B gibi iki kolon uç noktası ve C gibi kiriş uç noktasının birleşmesinden meydana gelmiştir. Düğüm noktalarının ankastre mesnet olarak çalıştığı kabul edilmektedir. Yatay ve Düşey yüklerden dolayı bu düğüm noktalarında büyük momentler meydana gelecektir. Düğüm noktasına gelen momenti düğüm noktasında birleşen çubuk elemanları (kolonlar ve kirişler) rijitlikleri oranında paylaşacaklardır. Düğüm noktasına gelen moment, düğüm noktasında birleşen kolon ve kiriş uçlarının taşıyabileceği toplam moment kapasitesinden daha büyük olması halinde bu düğüm noktası plastik mafsal haline dönüşecektir. Düğüm noktası plastik mafsal haline dönüşünce yatay ve düşey kesit tesirlerini karşılayacak fakat moment karşılayamayacaktır. Taşınamayan bu moment düğüm noktasına komşu diğer düğüm noktalarına dağıtılacaktır. Bu şekilde çerçevedeki son düğüm noktası da plastik mafsal haline dönüştükten sonra çerçeve yıkılacaktır
A Şekil 5.28
B
C
Düğüm noktasında plastik mafsal oluşması (Şekil 5.29a), düğüm noktasını oluşturan kolonların veya kirişlerin uçlarında plastik mafsal oluşmasıyla meydana gelecektir. Burada şu soruya cevap aranmalıdır; Plastik mafsalın önce kolon uçlarında mı yoksa kiriş uçlarında mı gelmesi yapı için daha uygundur? Önce kolon uçlarında plastik mafsal oluşması durumunda ise son düğüm noktası da plastik mafsal haline geldikten sonra göçme, önce kolonlarda meydana gelecek ve ilk kolonun göçmesiyle yapı işlevini kaybedecektir Önce Kiriş uçlarında plastik mafsalın oluşması, daha az tehlikelidir. Çünkü Önce kiriş uçlarında plastik mafsal oluşması halinde son düğüm noktası da plastik mafsal haline geldikten sonra göçme kirişlerden başlayarak oluşacak yapı gene ayakta kalabilecektir. Önce Kiriş uçlarında Plastik mafsal oluşması
Önce Kolon uçlarında Plastik mafsal oluşması
Şekil 5.29a
Şekil 5.29b
88
Bu durumda kolon kiriş birleşim yerlerinde meydana gelecek olan sünek kırılmanın, önce kiriş uçlarında oluşacak şekilde donatının planlanması gereklidir. TS 500 şartnamesinde, deprem bölgelerinde yapılacak yapıların çerçeve kirişlerinin mesnetlerinde kullanılacak olan donatı oranının, dengeli donatı oranının % 60' ını geçmemesi istenmektedir. ρdep≤ 0,60*ρb Bu şartın sağlanması halinde düğüm noktalarında birleşen kiriş uçlarında plastik mafsal meydana geleceğini kabul edilmiştir. Tablo 5.4 de verilen dengeli donatı oranlarının 0.60 katı alınarak deprem için maksimum donatı oranları bulunabilir.
Tablo 5.7 Deprem için donatı oranları ρ deprem S.220 S.420 S.500
C16 0,01894 0,00812 0,00635
C18 0.02066 0.00890 0.00690
(0.6*ρb)
C20 0,02238 0,00960 0,00751
C25 0,02927 0,01255 0,00982
3- Sehim Kontrolü Gerektirmeyen Sınırlama: Yukarda anlatılan ilk iki deformasyon durumu dikkate alındığında kesitlerin moment taşıma kapasiteleri çok fazla olacaktır. Bu kesitlere kapasitelerinin hayli altında momentlerin tesir etmesi halinde kesit boyutları çok küçük çıkar. Bu durumda TS 500 de verilen kirişlerde sehim kontrolünü gerektirmeyen yükseklik şartı sağlanmayabilir. Bu şartların sağlanmadığı durumda o kirişlere ait sehim kontrolü yapmak gerekmektedir. Kiriş açıklıklarında sehim meydana gelmemesi için TS 500 ün verdiği yükseklik şartını yerine getirdikten sonra kirişin taşıması gereken moment için konulacak olan donatıya da (donatı oranına da) bir üst sınır getirilmiştir. Kiriş açıklıklarında bu donatı oranına da uyulması halinde sehim kontrolü gerekmeyecektir. Bir yapıda çok sayıdaki kiriş için sehim kontrol hesabı yapmak zor ve külfetli bir iştir. Bu durumdan kurtulmak için sehim kontrol hesabı gerektirmeyen bir donatı yüzdesi sınırlamasına uyulmalıdır.
89
ρdef = ρL = 0.235*(fcd / fyd) Kirişteki donatı oranı, ρdef veya ρL ile göstereceğimiz sınır değerden küçük kaldığı sürece, TS 500 de verilen minimum boyutları da sağladığı takdirde sehim kontrol hesabı gerekmeyecektir. Malzemeye bağlı olarak ρL değerleri aşağıda tablo halinde verilmiştir. Tablo 5.8 ρL Sehim kontrolü gerektirmeyen donatı oranları ρdef = ρL S.220 S.420 S.500
C16 0.01353 0.00708 0.00594
C18 0.01476 0.00773 0.00648
C20 0.01599 0.00837 0.00702
C25 0.02091 0.01094 0.00918
Tablo 5.9 Eğilme elemanlarında sehim hesabı Gerektirmeyen ( Yükseklik / Açıklık ) Oranları (TS 500) Basit mesnet
Eleman Tek doğrultuda çalışan döşeme İki doğ. Çalışan döşeme (kısa kenar) Kiriş
Sürekli Kiriş
Konsol
1/20
Kenar açıklık 1/25
İç açıklık 1/30
1/10
1/25
1/30
1/35
--
1/10
1/12
1/15
1/5
4- Donatının Minimum Yüzdesi: Buraya kadar olan donatı yüzdesi üzerindeki sınırlamalar, sünek kırılmanın sağlanması açısından düşünüldüğünden, donatı yüzdesinin daima verilen değerlerin altında olması istenmiştir. Ancak kırılmanın ani olmaması için çekme donatısına bir de alt sınır getirmek gerekmektedir. Bu değer beton ve donatı cinsine bağlı olarak TS 500 de şu şekilde verilmiştir; ρmin = 0,8* f ctd / f yd Tablo 5.10 Beton ve Donatı cinsine bağlı olarak ρmin değerleri. ρmin BS16
S220 0,00390
S420 0,00204
S500 0,00171
90
BS18 BS20 BS25
0,00419 0,00448 0,00503
0,00219 0,00235 0,00263
0,00184 0,00197 0,00221
Taşıma gücü basit eğilme sınır değerleri, çeşitli deformasyon durumlarına ait, beton ve çelik sınıfına bağlı olarak hesaplarda kullanılan, ρ, K, kx, kz değerlerinin toplu olarak verildiği iki tablo hazırlanmış tablolar bölümünde verilmiştir. (Tablo 7 ve Tablo 8) ρb ρmax
:
Dengeli donatı oranını, TS 500 ün izin verdiği sünek kırılmayı sağlayan maksimum donatı oranını, 0.6*ρb : Deprem bölgesinde yeniden dağılımın sağlanmasına imkan veren donatı oranını, ρL : Sehim kontrolü gerektirmeyen en fazla donatı oranını, ρmin : Kesitte bulunması gereken en az donatı oranını göstermektedir. :
5.7 Emniyet Gerilmelerine Göre Basit Eğilme Hesabı: 1975 TS 500 de mecburi yürürlükte olan bu metot, 1985 TS500 de taşıma gücü metodu ile birlikte yürürlükte kalmıştır. Ancak Şubat 2000 de yayınlanan TS 500 de emniyet gerilmeleri metodundan söz edilmemektedir. Dolayısıyla son TS 500 emniyet gerilmesi metodu ile hesap yapılmasına izin vermemektedir. Ancak Taşıma Gücü metoduna geçişin sebeplerini daha iyi anlamak ve Taşıma Gücü Metodunu daha iyi anlayabilmek için bu kısımda emniyet Gerilmelerine göre hesap esasları özet olarak anlatılmıştır. Emniyet gerilmeleri metodunda güvenlik, sadece malzeme mukavemetleri üzerinde sağlanmaya çalışılır. Basit eğilme halinde kullanılacak olan malzeme emniyet gerilmeleri yapı elemanının zorlanma biçimine ve kullanıldığı yere göre 1985 TS 500 Sh. 47–48 de verilmiştir. Bu çizelgenin kullanılmasında 1985 TS 500 Sh.44 de eski beton sınıflarının, yeni sınıflandırılan beton cinsleriyle aşağıdaki şekilde eşdeğer olduğu kabul edilmiştir. Tablo 5.11 Beton sınıfları. (1985 TS 500) Eski Sınıflama
Yeni Sınıflama
BIIb, B.160 BIIa, B.225 BI , B.300
C14, BS 14 C20, BS 20 C25, BS 25
σc εc Yapı elemanının statik hesaplarında TS 498 in verdiği karakteristik yükler aynen kullanılır. Dolayısıyla momentler karakteristik momentlerdir. b.b.bkesitlere tesir eden x x Fc Yukarda anlatılan şekilde bulunan bir momentin dikdörtgen bir kesite etkimesi h d deformasyon ve iç kuvvetlerin diyagramları aşağıdaki gibidir. durumunda z M k
A
s
bw
εs Şekil 5.30
σe / n
Fs
91
Betonarme kesitlerin hesabında beton ve çeliğin doğrusal elastik davrandıkları kabul edilmiştir. Homojen kesit elde edebilmek için çeliğin alanı n= E e/Eb elastisite modülleri oranı ile artırılmalı veya çeliğin gerilmesi n ile bölünmelidir. Bu şekilde bulunan iç kuvvetler diyagramı sürekli olacaktır. Emniyet gerilmeleri ile betonarme hesapta yapılan kabullerin çoğu taşıma gücü hesabında yapılan kabuller ile aynıdır. Bu metotta gerilme diyagramı, deformasyon diyagramı gibi lineer kabul edilmiştir. Emniyet gerilmeleri metodunda x tarafsız eksenden en uzaktaki beton lifinde meydana gelen basınç gerilmeleri, betonun σb emniyet gerilmelerine eriştiği an, donatıda meydana gelen gerilmelerde çeliğin σe emniyet gerilmesini geçmiyorsa, mevcut kesit verilen donatısıyla tesir eden momenti emniyetle taşıyor denilir. Hesap Şekli: Şekil 5.30 da Σx= 0; yatay kuvvetlerin denge şartı ile iç kuvvetlerin momentinin dış kuvvetlerin momentine eşitliği düşünülerek aşağıdaki ifadeler yazılabilir. Σx= 0 ;
Fc=Fs ;
ΣM= 0 ;
M= Fc*z ;
Fs= As * σe
Fc=σb *x* bw / 2 ; M= σb * x * bw * z / 2 ;
z= d - x / 3
Görüldüğü gibi moment x tarafsız eksene bağlıdır. Gerilme diyagramı üzerinde Tales bağıntısı yazılırsa; x / σb = (d-x) /( σe /n) = d / (σb+σe / n) x / d = σb / (σb+ σe / n ) ; x = n *σb *d / (n *σb + σe) kx = n * σb / ( n* σb + σe)
;
x= kx*d
x bulunduktan sonra yukarıdaki ifadelerden donatı ve moment bulunabilir. Hesap katsayılarının çıkarılması: 1) M= Fc * z
;
Fc = σb *x * bw / 2
Son iki ifadede; Fc= σb * kx * d * bw / 2 ;
z= d - x / 3
x, yerine x= kx * d
z= d – kx* d / 3 ;
z= d*(1- kx / 3)
92
M= σb kx *d* bw* [d*(1-kx / 3)] / 2
M= σb *kx* d² *bw* (1-kx / 3) /2
M= bw* d² / (2/[σb *kx*(1-kx / 3)])
k6= 2 / [σb *kx*(1-kx / 3)] kabul edilirse;
M = bw*d² / k6
Fc= σb *x*bw/2 ;
2) Fc=Fs ;
Fs=As*σe ;
x=kx*d uygularsak
As*σe = σb *kx*d*bw / 2 As= (σb/σe)*kx*bw*d / 2 ; As= bw*d / k4 kx*(σb /σe) / 2= 1/ k4 denirse; Emniyet gerilmeleri ile ilgili kitaplarda k4 k6 katsayıları çelik emniyet gerilmesine bağlı olarak çeşitli beton emniyet gerilmelerine göre ayrı ayrı verilmiştir. σe = 1400 (S 220) kz k2
Tablo 5.12 kx σb 8 10 . 60
. . . 0.391 . 0,461
80
. . . 0.870 . 0,846
.
.
. . . 9.897 . 8,001 .
k4
k6
. . . 119.3 . 75,83
. . . 97.96 64,01 .
.
160 Görüldüğü gibi k4 ve k6 değerleri sadece σb ve σe değerlerine bağlıdır. Çelik cinsine göre sabit olan her demir cinsi için değişken σb değerlerine karşılık katsayıları tablolaştırmak mümkündür. Uygulama 1: Malzemesi C20-S220 olan aşağıda verilen kesit tek donatılı olarak emniyet gerilmelerine göre emniyetle ne kadar moment taşır ve bu moment için gereken donatı alanı ne kadardır?
60
As0 = ?
Tablo ve katsayı ile çözüm: σb,em =80 kg/cm² ; σe =1400 kg/cm² ise tablo 5.11 den; k4=75,83 , k6=64,01 okunur.
M0
M0= bw*d²/ k6= 25*60²/ 64,01= 1406 tcm. As0= bw*d/ k4= 25*60/ 75,83= 19,78 cm²
25cm
Aynı problemin açık yol ile çözümü: b.b.b x 60
A
80
εc x
Fc z
Mk
Şekil 5.31
s
25
εs
1400 / 15=93,33
Fs
93
Kuvvet diyagramı üzerinde tales bağlantısı yazılarak x tarafsız eksen mesafesi ve z manivela kolu bulunabilir. x/80=(60-x)/93,33 x=27,69cm z=d-x/3 z=60-27,69/3 z=50,77cm Beton basınç bölgesi bileşkesi, moment ve donatı aşağıdaki gibi de bulunabilir. Fc=(σb*x)/2*bw
Fc=(80*27,69)/2*25
Fc=27,69 t.
M= Fc*z M=27,69*0,5077 M=14,06 tm Fs=Fc
Fs=As* σs
Fs=As*1,4=27,69 As=19,78 cm2
Uygulama 2: Malzeme, kesit ve tesir eden moment verildiğinde beton gerilmesinin ve gereken donatı alanının hesabı: Malzeme: C20-S.220 M=7.15 tm. 60
As0 = ? 25cm
M
k6= bw*d²/M= 25*60²/ 715= 125.9 ise tablodan; σb =51 kg/cm < σb,em k4=155.4 okunur.
As= bw*d/ k4= 25*60/155.4 = 9.65 cm²
5.8 Emniyet Gerilmeleri Metodu İle Taşıma Gücü Metodunun Karşılaştırılması: 5.8.1 Moment Karşılaştırması: Önce malzemesi ve boyutları aynı olan bir kesitin, emniyet gerilmelerine göre tek donatılı olarak, malzemenin emniyet gerilmelerine çalışması halinde taşıyabileceği en fazla moment ve bunun için gereken donatı alanı bulunur. Daha sonra aynı kesitin taşıma gücü metoduna göre tek donatılı olarak çeşitli deformasyon durumlarında taşıyabileceği moment ve bunun için gereken donatı hesap edilir. Taşıma gücü metoduna göre bulunan dizayn momentleri (γf) malzeme güvenlik katsayılarına ( γf =1.5 alınacaktır) bölünerek bulunan karakteristik momentlerle, emniyet gerilmeleri metodunda bulunan karakteristik momentler birbiriyle karşılaştırılacaktır.
94
Malzemesi C20-S220, boyutları bw=25; d=60 cm olan bir kesiti inceleyelim. 1) Emniyet gerilmeleri metodu ile hesap yapıldığında: σb = 80 kg/cm² ; σe = 1400 kg/cm² için M0= 1406 tcm; As0= 19,78 cm² olarak bulunmuştu. 2) Taşıma gücü metoduna göre çeşitli deformasyon durumları için moment ve donatı hesabı yapılırsa: a) Dengeli donatılı kırılma hali: Kb=20,713 ; ρ b = 0.0373 ;
Mb=25*60²/20,713 As= 0.0373*25*60
Mb = 4345 tcm ;
Mk=Mb/1.5
Mk =2897 tcm
As = 55,95 cm²
b) TS 500 ün izin verdiği sünek kırılma hali: (ρ ≤ 0.85 ρb) K= 22,745 ;
M= 25*60²/22,745
M=3957 tcm ;
ρ= 0.0317;
As= 0.0317*25*60
As = 47,55 cm²
M k= M/1.5
Mk = 2638 tcm
c) Deprem bölgelerinde kullanılabilme şartı: ( ρ ≤ 0.6 ρb) K= 29,003; ρ= 0,02238 ;
M= 25*60²/29,003 As= 0.02238*25*60
M=3103tcm ;
Mk= M/1.5
Mk = 2069 tcm
As = 33,57 cm²
d) Sehim kontrolü gerektirmeyen donatı sınırlaması: ( ρ = ρL ) K= 37,983 ; ρL = 0.01599 ;
M= 25*60²/37,983 As= 0.01599*25*60
M=2369tcm ;
Mk= M/1.5
Mk = 1580 tcm
As = 23,99 cm²
Emniyet gerilmeleri metodunda emniyet gerilmeleri altında bulunan moment ve donatının, taşıma gücü ile çeşitli deformasyon durumlarında bulunan sonuçlarla karşılaştırılması tablo 5.13 de verilmişti.
Moment (tcm) (Mk-M0) /M0 Donatı (cm²) (As-As0) /As0
Tablo 5.13 T.G E.G. Dengeli 1406 2897 %106 19,78 55,95 %183
T.G Sünek 2638 %88 47,55 %140
T.G Deprem 2069 %47 33,57 %70
T.G Sehim 1580 %12 23,99 %21
Tablodan da görüldüğü gibi en alt deformasyon durumu olan sehim kontrolü gerektirmeyen donatı sınırlamasında dahi taşıma gücüne göre taşınabilen moment, emniyet gerilmeleri ile taşınabilen momentten %12 daha fazladır. Buna karşılık olarak taşıma gücü metodunda donatı, emniyet gerilmeleri metodunda bulunan değerden biraz daha fazla
95
çıkmaktadır. Sehim kontrolü gerektirmeyen donatı sınırlamasındaki donatı, emniyet gerilmesi metodundaki donatıdan %21 fazla çıkmıştır. Burada bulunan yüzdeler ancak tek donatı halinde belirli bir kesit ve malzeme için geçerlidir. Veriler değiştikçe bu oranların da değişeceği aşikardır. Ancak kesin olarak şu husus söylenebilir: Taşıma gücü metodunda kesitin moment taşıma kapasitesi emniyet gerilmeleri metoduna göre artmaktadır. Buna karşılık olarak donatı miktarı da taşıma gücü metodunda biraz daha fazla çıkmaktadır. 5.8.2 Boyut Karşılaştırması: Malzemesi C20-S220 olan bir kirişe karakteristik moment olarak M k= 10 tm tesir ettiğini düşünelim. Kiriş genişliği bw= 25 cm olarak verilsin. Çözüm tek donatılı olarak planlandığına göre, acaba her iki metoda göre ayrı ayrı hesap yapıldığında kesit için gereken (d) faydalı yüksekliği ne kadar olacaktır? 1) Emniyet gerilmeleri metodu: σb = 80 kg/cm² ; σe = 1400 kg/cm² ; tablodan k6=64,01; M=bw*d²/k6
k4=75,83 alınır.
1000= 25*d²/64,01; d= 51 cm. bulunur. As= 25*55/64,01= 21,48 cm²
2) Taşıma gücü metoduna göre çeşitli deformasyon (Md=1.5*Mk=1.5*10 Md=15 tm olduğu unutulmamalıdır) a) Dengeli donatılı kırılma hali: ( ρ=ρb) Kb= 20,713; ρb = 0.0373 ;
M= 25*d²/Kb
M=1500 tcm buradan
As= 0.0373*25*35,3
d= 35,3 cm
As = 32,92 cm² olmaktadır.
b) TS 500 ün izin verdiği sünek kırılma hali (ρ ≤ 0.85ρb) K= 22,745;
M= 25*d²/K
M= 1500 tcm ise
ρ= 0.0317;
As= 0.0317*25*36,9
buradan d= 36,9 cm
As = 29,24 cm² olur.
c) Deprem bölgelerinde kullanılabilme şartı (ρ ≤ 0.6ρb) K= 29,003 ; M= 25*d²/K M= 1500 tcm
buradan d= 41,7 cm dir.
ρ= 0.02238 ; As= 0.02238*25*41,7 As= 23,33 cm² olur. d) Sehim kontrolü gerektirmeyen donatı sınırlaması: K= 37,983 ; M= 25*d²/K M= 1500 tcm buradan ρL= 0.01599 ; As= 0.01599*25*47,7
d= 47,7 cm dir.
As= 19,07 cm² olur.
durumları
için
96
Sonuçların karşılaştırılması: Hesaplardan da görüleceği gibi malzemesi ve bw gövde genişliği aynı olan kesitin d faydalı yükseklikleri taşıma gücü hesabında daima emniyet gerilmesi metodundakinden az çıkmaktadır. Tablo 5.14
d (cm) Azalma oranı
E.G. 51
T.G Dengeli 35,3 %44
T.G Sünek 36,9 %38
T.G Deprem 41,7 %22
T.G Sehim 47,7 %7
Aynı malzeme cinsi ve belirli bir moment değeri için bulunan bu sonuçlar genel olmamakla beraber bir fikir vermek açısından önemlidir. Yapılan bu hesaplar sonucunda deformasyon durumunun en alt sınırı olan sehim kontrolü gerektirmeyen deformasyon durumu dahi ele alındığında gereken faydalı yükseklik, emniyet gerilmelerine göre gereken faydalı yükseklikten %7 daha küçüktür. Diğer deformasyon durumlarında bu oranın daha yüksek olduğu görülmektedir. Sonuç: Her iki metoda göre yapılan hesaplar karşılaştırıldığında, taşıma gücüne göre hesap yapıldığında sehim kontrolü gerektirmeyen deformasyon durumuna göre hesap yapmanın, diğer bütün deformasyon şartlarını sağladığı gibi, kapasite olarak da emniyet gerilmeleri metodundan daha üstün olduğu görülmüştür. Zorlayıcı sebepler olmadığı takdirde taşıma gücü hesabında kirişlerin açıklık kesitlerinde sehim kontrolü gerektirmeyen deformasyon durumundan çıkılmaması tavsiye edilmektedir. 5.9 Çift Donatılı Dikdörtgen Kesitler Dikdörtgen kesitli bir kirişte malzeme ve kesit boyutları değişmediği sürece, kesitin sadece çekme bölgesine konulacak olan donatı ile taşıyabileceği moment, çeşitli deformasyon durumları ile sınırlandırılmıştır. Mevcut kesite herhangi bir deformasyon durumunda sınır değerde taşıtabileceğimiz moment ve bunun için gereken donatı alanı hesabı geçen bahiste görülmüştü. Kesite işte bu sınır değer momentinden daha fazla bir momentin tesir etmesi halinde daha fazla donatı gerekecek, kesitin mevcut olan donatı oranı ρ, ρi ile göstereceğimiz istenilen deformasyon durumunu aşacaktır. (ρ > ρi ) Kesitin taşıma kapasitesinin artırılması gerektiği durumlarda, sadece çekme donatısının artırılması halinde istenilen deformasyon durumunun dışına çıkılacaktır. Verilen deformasyon durumu aynı kalmak şartıyla kesit moment taşıma kapasitesini artırabilmek için kesitin basınç ve çekme bölgelerine ilave donatılar konulur. İşte bu şekilde
97
elde edilen kesitlere çift donatılı kesitler denir. Ayrıca konstruktif olarak kirişlerde basınç bölgelerinde de donatılar bulunur. Hesap sonucu gerekmediği halde şartname gereği konulan bu donatılar, kesitin betonarme hesap sonucunda çift donatılı çıkması halinde dikkate alınmalıdır. Kesit çift donatılı çıkmıyorsa kesitin daha emniyetli olarak çalışmasını temin ederler. Kirişlerde, kirişin enine donatısı olan etriyeleri sarabilmek maksadıyla açıklık ortalarında kirişlerin üst kısımlarına yani basınç bölgelerine en az iki adet konulan montaj demirleri, gerektiğinde kesitin açıklıkta çift donatılı olarak çalışmasını sağlayacaktır. Montaj demiri
→1
→1
1–1 Kesiti
M
M Çekme Demiri Şekil 5.32 Deprem bölgelerinde, mesnet üst donatısının en az 1/2 si veya 1/3 ü mesnette kesitin altında bulunmalıdır. Bu şarttan dolayı da mesnetlerde kesit çift donatılı olarak çalışır.
I
I
A Is
I- I Kesiti
M
(1/2 ≈ 1/3) A
s
Şekil 5.33
Hesap Esası: Bir kesitin istenilen deformasyon durumunda sadece çekme bölgesine donatı konularak (tek donatılı olarak) taşıyabileceği momente Mr0 ve bu Mr0 momenti için gereken donatı alanına As0 denir. Kesite tesir eden M momenti:
98
a) M ≤ Mr0 ise kesit tek donatılı olarak verilen momenti taşıyacaktır. (Şekil 5.34) Deformasyon durumu, verilen deformasyon durumunun altındadır. Gereken donatı ise; K = bw*d²/ M ; K=.... tablodan ρ alınıp
d As0 bw
As = ρ *bw*d
bulunur.
d
Mr0
M < M r0
As
As < As0
bw
Şekil 5.34
b) M > Mr0 ise kesit tek donatılı olarak, yani sadece çekme bölgesine donatı konularak bu M momentini taşıyamaz. M momenti için gereken demir yalnız çekme bölgesine konduğu takdirde donatı miktarı ve dolayısıyla donatı yüzdesi artacak, kesit istenilen deformasyon durumunun üstünde davranış gösterecektir. Bunu önlemek için tek donatılı olarak taşınamayan ∆M momenti bulunur. ∆M = MMr0 taşınamayan momenttir. Bu momentin taşınması için kesitin çekme ve basınç bölgelerine ilave donatılar konulacaktır. Bu şekilde elde edilen kesitlere çift donatılı kesitler denilmektedir. ( Şekil 5.35 ) 0,85*f
cd
!
d A!
x
s
x-d
0,003 !
ε!s
k1x
Fc0
h d M
z0
A
F!s z1
s
bw
εs > εsy
Fs
Şekil 5.35 Kesite tesir eden (M) momenti, istenilen deformasyon durumunda tek donatıyla taşınabilen Mr0 momenti ile taşınamayan (∆M ) momentinin toplamı şeklinde düşünülebilir. ( Şekil 5.37 ) Mr0 momenti mevcut betonarme kesite tesir etmekte, bu momentten dolayı beton basınç bölgesinde basınç gerilmeleri meydana gelmekte, beton çekme bölgesinde ise çekme gerilmelerini karşılayan As0 donatısı bulunmaktadır. Bu As0 donatısından dolayı kesitte oluşan donatı oranı ρ0 = As0 / bwd ifadesi ile bulunulmaktadır
99
Mevcut betonarme kesit tarafından taşınamayan ∆M momenti, kesitin basınç ve çekme bölgelerine tesir eden kuvvet çiftine dönüştürülebilir. Bu kuvvetler, beton basınç bölgesine tesir eden F!s ile çekme donatısı hizasında tesir eden Fs1 kuvvetleridir. Bu kuvvetlerden oluşan basınç ve çekme gerilmelerini karşılamak için boyutları bwxd olan hayali bir kesit düşünülür ve bu kesite As ve A’s donatıları yerleştirilir. Şekil 5.37 ∆M momentinden dolayı kesite konulan As ve A’s donatıları hayali kesite tesir ettiğinden herhangi bir donatı oranı hesabı yapmak uygun değildir. 0,85*fcd
F!s
Fc0
k1x h d
Mr0
z0
As0
A!S
+
z1
∆M
A1 s
Fs1
Fs0
bw
Şekil 5.36 Beton basınç bölgesi, Mr0 momentinden dolayı oluşan Fc0 basınç kuvvetini karşıladığından F!s kuvvetini karşılayamaz. F!s kuvveti için kesitin üst tarafına A!s basınç donatısı konulmalıdır. Fs1 kuvveti için ise kesitin çekme bölgesine As1 demirleri ilave edilmelidir.
F!s
A!s As0
As0
Mr0
+
z1 As1
∆M Fs1
As1 = A!s
A!S
=
M As As = As0 + As1
Şekil 5.37 Kesite tesir eden M momentinden dolayı, kesitin çekme bölgesine konulması gereken toplam donatı As= As0+As1 Kesitin basınç bölgesine konulması gereken toplam donatı ise A!s dür. Çift donatılı bir kesitte kesit ve malzemeye ilave olarak donatıların verilmesi halinde kesitin taşıyabileceği momentin hesabında önce Şekil 5.35 deki kuvvet diyagramı üzerinde
100
∑x= 0 yatay denge ifadesi yazılırsa: ∑x= 0 ;
Fc0+F!s – Fs= 0
Fc0= 0.85*fcd*k1*x*bw ;
F!s = A!s * σ!s ;
Fs= As * fyd
Burada yeni bir terim olarak σ!s gelmektedir. σ!s: Basınç bölgesine konulan donatının basınç gerilmesidir. Donatı miktarına bağlı olarak akma durumuna geçebilir veya geçmeyebilir. Bu durumda konu iki farklı durumda ayrı ayrı incelenecektir. 1) Basınç bölgesindeki basınç donatısının akma konumunda olması hali: (σ!s=fyd ; ε!s =εsy ∑x= 0 ;
olacaktır.) Bu durumda ∑x = 0 yatay denge ifadesi tekrar yazılırsa:
Fc0 + F!s – Fs = 0 F!s = A!s * fyd ;
Fc0= 0.85*fcd*k1*x*bw ;
Fs= As * fyd
0.85*fcd*k1*x*bw + A!s * fyd - As *f yd= 0 Şekil 5.35 da basınç bölgesinde birim deformasyon diyagramı üzerine Tales bağıntısı yazılırsa; ε!s / 0.003 = (x - d' ) / x ;
ε!s = εsy ;
(fyd/Es) / 0.003 = (x - d' ) / x x= kx*d yazılırsa;
fyd= εsy * Es ; εsy = fyd / Es
x = [0.003 * Es / (0.003 *Es – fyd )]* d' kx= [0.003*Es / (0.003*Es- fyd) ] * (d' / d )
(d!) nün basınç donatısının paspayı olduğu unutulmamalıdır. kx ifadesi d'/d oranı ve malzemeye bağlı olarak bulunabilir. ∑x=0 ifadesinden bulunan son eşitlik tekrar yazılırsa; 0.85*fcd*k1*x*bw + A!s * fyd – As * fyd= 0 Bu ifadede As=ρ*bw*d; A!s =ρ'*bw*d; kx= [0.003*Es / (0.003*Es-fyd) ] * (d' /d )
x=kx*d
ve kx ifadesini
olarak uygulayalım:
0.85*fcd*k1*kx*d*bw+ρ'*bw*d*fyd- ρ*bw*d*fyd= 0 0.85*fcd*k1*[0.003*Es /(0.003*Es-fyd)] (d'/d) = (ρ -ρ ')*fyd (ρ -ρ ') *fyd / fcd= 0.85*k1*[0.003*Es / (0.003*Es-fyd)] ( d'/d ) α = (ρ -ρ ') * fyd / fcd
αc = 0.85*k1*[0.003*Es* / (0.003*Es-fyd)] (d'/d)
101
olarak tarif edilirse; α ≥ αc olması durumunda basınç donatısının akma durumunda olduğu kabul edilecektir. Normal sınıf betonlar için (BS ≤ BS.25) k1= 0.85 alınacağından; S.220 çeliği kullanılması halinde S.420 çeliği kullanılması halinde
αc = 1.06* ( d'/d ) αc = 1.845* (d'/d )
kullanılabilir.
∑x= 0 ifadesinden bulunan son eşitlik tekrar yazıldığında, 0.85*fcd*k1 * x * bw + A!s * fyd – As*fyd = 0
0.85*cd k1*x*bw = fyd * (As - A!s)
k1*x= [fyd / ( 0.85*fcd)]*(As-A!s) / bw Bu ifadeden k1*x değeri ve beton sınıfına bağlı olarak x değeri bulunabilir. Şekil 5.35 deki kuvvet diyagramı üzerinde, çekme bölgesindeki donatı hizasında iç kuvvetlerin momenti yazılırsa; Mr= Fc0*z0+ F!s *z1 ;
z0= d – (k1 *x) / 2 ;
z1= d - d'
Fc0 ve F!s değerleri yerine yazılırsa; Mr= 0.85*fcd*k1*x*bw* (d – k1* x / 2 ) + A!s * fyd* ( d - d') Basınç bölgesindeki donatının akması halinde çift donatılı bir kesitin A s ve A!s donatılarıyla taşıyabileceği moment, kesitin taşıma gücü Mr momenti bu şekilde bulunabilir. 2)Basınç bölgesindeki basınç donatısının akma konumunda olmaması hali: α < αc olması durumunda basınç donatısının akma durumunda olmadığı olduğu kabul edilecektir. Basınç bölgesindeki basınç donatısının akma durumunda olmaması halinde ( σ!s < fyd ; ε!s < εsy olacaktır.) Bu durumda ∑x= 0 yatay denge ifadesi; (Şekil 5.36) Fc0+F!s –Fs= 0 ; Şekil 5.36 yazılırsa;
1
0.85*fcd*k1*x*bw+A!s *σ!s –As*fyd= 0
olur.
deki birim deformasyon diyagramı üzerine basınç bölgesinde Tales bağıntısı
ε!s /0.003= (x-d')/x ;
ε!s *Es= σ!s ;
σ!s = 0.003*Es*(x-d') / x
ε!s = σ!s /Es 2
uygulanırsa;
Olarak bulunur.
Malzeme, kesit ve donatılar bilindiğine göre son iki ifadede bilinmeyen olarak sadece
102
x ve σ!s değerleri vardır. 1 ve 2 nolu ifadelerden x ve σ!s bulunabilir. Daha sonra, önceki çözümde de olduğu gibi Şekil 5.36 da kuvvet diyagramı üzerinde, çekme bölgesindeki donatı hizasında iç kuvvetlerin momenti yazılırsa; Mr= Fc0*z0+F1s*z1
Mr= 0.85fcd k1 x bw (d–k1x/2) + A!s σ!s (d - d' )
Çift donatılı bir kesitte basınç bölgesindeki donatının akma durumuna geçmemesi durumunda As ve A!s donatılarıyla taşıyabileceği momentin ifadesi bulunmuş olur. 5.9.1 Çift Donatılı Kesitlerde Donatı Oranı Üzerine Konulan Sınırlamalar: Şekil 5.37 dan da görüldüğü gibi çift donatılı bir kesitin taşıma gücü momenti olan M r, iki kısma rahatlıkla ayrılabilir. Bunlar Mr0 ve ∆M momentleridir. Mr0 mevcut kesit üzerine tesir etmektedir. Beton basınç bölgesinde meydana gelecek olan εc beton birim deformasyonları üzerinde Mr0 momenti tesirli olacaktır. ∆M momenti ise hayali kesite tesir etmektedir. ∆M momentinden oluşan kuvvet çiftlerini sadece A!s ve As1 donatıları karşılamakta, ∆M momentinin beton kesit üzerine hiç etkisi olmamaktadır. Yapılan bu kabullerden sonra betonarme kesitin davranışına tesir eden momentin Mr0 olduğu rahatlıkla söylenebilir. Mr0 momentinin gerektirdiği donatı As0 ise, çift donatılı bir kesitte donatı oranı üzerine konulan sınırlamalar; ρ0 = As0/(bw*d) ile tarif edilen ρ0 üzerine yapılmalıdır. ρ ; toplam çekme donatısı oranı ; ρ= As / (bw*d) ρ' ; basınç donatısı oranı ; ρ'= A!s / (bw*d) ise ρ0 = ρ - ρ' deformasyon yorumunun yapılacağı donatı oranıdır. TS 500 Şubat 2000 çift donatılı kesitlerde donatı oranları ile ilgili aşağıda verilen iki şartı getirmiştir. ρ - ρ' = ρ0 ≤ 0,85 *ρb ρ ≤ 0,02 5.9.2 Çift Donatılı Dikdörtgen Kesitlerde Karşılaşılan Problemler Ve Çözüm Yolları: A: Kesit malzeme ve donatıların verilmesi halinde bu kesitin taşıyabileceği Mr momentinin hesabı ve deformasyon durumunun tayini.
d! d
As' M =? r
As d! bw
103
Çözüm: ρ= As/(bw*d) ; ρ'= As'/(bw*d) ;
ρ0 = ρ - ρ'
bulunur
α= (ρ - ρ')*fyd / fcd ; αc = 0.85*k1*[0.003*Es* /(0.003*Es-fyd) ](d'/d)
α ve αc hesaplanır.
1) α ≥ αc ise basınç donatısının aktığı kabul edilerek; ρ0 →
K;
∆M= F!s *z1 Mr= Mr0 + ∆M ;
Mr0= bw*d²/K tek donatılı halin taşıdığı moment bulunur. ∆M = A!s* fyd* (d-d') ile hayali kesitin momenti ∆M bulunur. kesit taşıma gücü bulunur.
Deformasyon durumu için ρ0 üzerinde gerekli inceleme yapılmalıdır.. 2) α < αc ise basınç donatısının akmadığı kabul edilir; σ!s = 0.003*Es* (x-d') / x ;
0.85*fcd*k1*x*bw+ A!s *σ!s – As*fyd = 0
iki denklemden x ve σ!s bulunduktan sonra; Mr = 0.85*fcd*k1*x*bw*( d- k1*x / 2) + A!s *σ!s * (d-d') ile moment hesaplanır.
B. Kesit, malzeme ve kesite tesir eden momentin verilmesi halinde istenilen deformasyon durumunda gereken donatının hesabı.
d! d
İlk yapılacak olan işlem kesite tesir eden moment, karakteristik moment ise gerekli katsayılarla çarparak dizayn momentini bulmaktır.
As'=? M = ... d
A =? s
d!
bw
Daha sonra kesitin hangi deformasyon durumunda çalışması isteniyorsa o durum için tablodan K ve ρ0 değerleri alındıktan sonra: Mr0= bw*d² / K ;
As0=ρ0 *bw*d değerleri bulunur.
B1) Md ≤ Mr0 ise kesitin tek donatılıdır. K= bw*d2 / Md
104
K B2)
tablodan
ρ ,
As0 =ρ*bw*d
Md > Mr0 ise kesitin çift donatılıdır.
Kesitin Mr0 momentini taşıyabilmesi için As0 donatısı gerekecektir. Taşınamayan Moment ∆M= Md – Mr0 ifadesi ile bulunur. Bu momenti hayali kesit taşıyacaktır. ∆M Hayali momenti için kesitin üstüne ve altına konulması gereken donatıların hesabı: ∆M= Fs * z
∆M= A!s * fyd* (d-d'),
A!s = ∆M / [ fyd* (d-d')] ile
A!s bulunur
A!s = As1 olmalıdır. Çekme bölgesindeki toplam donatı As= As0+As1 Basınç bölgesindeki donatı ise A!s olacaktır. Yukarda yapılan çözümde σ!s = fyd alınarak donatının aktığı kabul edilmiştir. Yapılan işlemde hata olup olmadığının kontrolü için α > αc olduğuna bakılmalıdır.