ZEM NDE GER LMELER
ZEM NDE GER LMELER 1. Öza ırlık, suyun etkisi, olu um sırası ve sonrasında edinilen “do al gerilmeler”. 2. Zemin - dı yük (temel) ara yüzeyinde beliren “taban basınçları”. 3. Dı yüklemeden zemin kitlesi içinde olu an “kitle gerilmeleri”.
AÇIKLAMALAR • Normal Gerilme (σ σ): Birim alana etkiyen ve bu alana dik (normal) olan yüke denir. • Normal gerilmeler bir malzemeyi ya sıkı tırmaya ya da uzatmaya zorlarlar. • Zeminler sadece sıkı ma gerilmelerine direnebilirler, çekme gerilmesi almazlar. • Kayma Gerilmesi (ττ): Birim alana etkiyen ve bu alana paralel olan yüke denir. • Asal Gerilmeler (σ σ1, σ3): kayma gerilmelerinin sıfır oldu u düzleme etkiyen normal gerilmelerdir.
GER LME (STRESS) Gerilme kuvvetin alana bölünmesiyle elde edilir. Zeminler sadece sıkı ma gerilmesi alır, çekme gerilmesi almazlar. +F
Ho
Do
+F σ= (kN/m2 ) A F= Kuvvet (kN) A= Alan
(m2 ) P
+F
P A
σ = P/A
B R M BOY DE T RME ZORLANMA (STRAIN) Birim boy de i tirme (zorlanma): deformasyon miktarının (boy de i iminin) orijinal boyuta (ilk boya) bölünmesiyle bulunur. Enine veya boyuna olarak % cinsinden ifade ediliyor.
+F δx 2 δz
εx =
δx Do
εz =
Ho Do
+F
Ao A= 1− εz
δz Ho
GERÇEK GER LME Kum sütunu, planda 1 m x 1 m 10 m yükseklik, ρk=16.25 kN/m3. Toplam a ırlık=16.25x10x1x1=162.5 kN, 1m2 ’lik temelde 1m
162.5 kN
10m
Zemin içinde bu düzlemde gerçek gerilme nedir ?
ρk Temelde gerçek gerilme >>> σz= 162.5 kN/m2 Dü ey Gerilme =σz=162.5 kN/m2 (kPa)
GERÇEK GER LME
TOPLAM GER LME (σ σ) ve EFEKT F GER ME (σ σ’) σ normal gerilmesine maruz bir eleman görülmektedir. Zemin denge için σ gerilmesinin aksi yönünde adına toplam gerilme denilen ve de eri σ’ ya e it olan bir gerilmeyle kar ılık verecektir. Bu direnç veya reaksiyon; zemin danelerinin birbirlerine kontak yaptı ı noktalardan iletilen efektif gerilme (σ’) ile bo luklarda bulunan su tarafından (bo luk suyu basıncı, uw) kar ılanır.
σ
σ = σ′ + uw su
σ′
uw
σ′ dane
σ
σ′ = σ − uw
Efektif gerilme prensibi zemin mekani inin en önemli prensiplerinden biridir. Zeminde deformasyonlar efektif gerilmenin bir fonksiyonudur (toplam gerilmenin de il). Su kesme gerilmeleri alamayaca ından; efektif gerilme prensibi sadece normal gerilmelere uygulanır, kesme gerilmelerine uygulanmaz. Efektif gerilme zemin içinde bir düzleme etkiyen ortalama gerilmedir, gerçek gerilme de ildir.
ZEM NDE TOPLAM GER LME
ρn z
X
σz
σz σx
X’
σz σz = ρn × z
(kPa)
Herhangi bir yatay düzlemdeki toplam gerilme derinlik boyunca o noktanın üzerindeki a ırlı ın toplamına e ittir.
ZEM NDE EFEKT F GER LME YASS
z
X
σ σZ
σ , σ′
σ z = ρd ⋅ z
ρd su
uw
X’ dane
kuru
uw = ρw ⋅ z σ′z = σ z − uw
σ z = σ ′z = ρk ⋅ z
Zemin danelerinin birbiri üzerine yüklenmeleri sonucu bir düzlemde beliren ortalama gerilmedir. Bir zemin kütlesi içinde danelerin birbirleriyle olan kontak noktalarından ilettikleri gerilmeye efektif gerilme denir.
KURU ORTAM ρk z
X
σ σZ
hava
X’ dane
Kuru ortamda toplam gerilme efektif gerilmeye e ittir
σz = σz = ρk .z
(kPa)
BATIK ORTAM Toplam Gerilme
YASS
σ z = ρd .z
ρd z
Bo luk Suyu Basıncı
σz
uw = ρ w .z σx
X
(kPa)
X’
uw = ρw .z
(-)
Efektif Gerilme σ z = σ z − uw = ρd .z − ρw .z
su
uw dane
= ( ρd − ρ w ) .z
= ρ′.z
TABAKALI ZEM N Toplam Gerilme σ xx = ρn .h1 + ρd .z Bo luk Suyu Basıncı YASS
ρn
uw = ρw .z
ρd
Efektif Gerilme σ xx = σ xx − uw = ρn .h1 + ρd .z − ρw .z = ρn .h1 + (ρd − ρw ).z = ρn .h1 + ρ′.z
ÖRNEK-1 A, B, C ve D noktalarında toplam gerilme, efektif gerilme ve bo luk suyu basınçlarını hesapla, Derinli e göre gerilme diyagramlarını çiz.
ρ n = 17 kN/m3 KUM
YASS
ρ n = 18 kN/m3 ρ d = 20 kN/m3
KL
ρ d = 18.5 kN/m3
KAYA
σ = σ + uw A NOKTASI
ÇÖZÜM-1
σ A = ρn .z = 17 × 3 = 51 kN/m2 uwA = ρw .z = 0 σ A = σ A − uw = 51 kN/m2 B NOKTASI σB = 17 × 3 + 18 × 2 = 87 kN/m2
ρ n = 17 kN/m3 KUM
ρ n = 18 kN/m
uwB = ρw .z = 0
3
σB = σB − uw = 87 kN/m2
YASS
C NOKTASI
ρ d = 20 kN/m3
σC = 17 × 3 + 18 × 2 + 20 × 1 = 107 kN/m2
KL
ρ d = 18.5 kN/m KAYA
3
uwC = ρw .z = 9.81× 1 = 9.81 kN/m2 σC = σC − uw = 107 − 9.81 = 97.19 kN/m2 D NOKTASI σD = 17 × 3 + 18 × 2 + 20 × 1 + 18.5 × 2.5 = 153.25 kN/m2 uwD = ρw .z = 9.81× 3.5 = 34.34 kN/m2 σD = σD − uw = 153.25 − 34.34 = 118.91 kN/m2
KISACA:
σD = 17 × 3 + 18 × 2 + (20 − 9.81) × 1 + (18.5 − 9.81) × 2.5 = 118.91 kN/m2
GER LME D YAGRAMLARI Yüzey
A
B
C
D
Taban
Toplam Gerilme,
σ
0
51
87
107
153.25
199.5
Bo uk Suyu Basıncı,
uw
0
0
0
9.81
34.34
58.86
Efektif Gerilme,
σ’
0
51
87
97.19
118.91
140.14
Toplam Gerilme
Bo luk Suyu Basıncı
Efektif Gerilme
KUM
KL
34.34 153.25
KAYA
118.91
YASS’DA DÜ Ü ÜN ETK S Su seviyesi yüzeyden 2 metre üstte bulunurken (SS-I) yüzeyden 5 metre a a ıya dü üyor (YASS-II), efektif gerilmedeki artı ne olur? ÖNCE SS I:
SS-I
σI = 2 ⋅ 9.81 + 7 ⋅ 22 = 173.62 kPa
2m
ρd = 22.0 kN / m
SW
ρk = 17.5 kN / m
5m
3
3
YASS-II 2m
x
x’
uw = (2 + 7) ⋅ 9.81 = 88.29 σI = 85.33 SONRA YASS II:
σII = 5 ⋅ 17.5 + 2 ⋅ 22 = 131.5 uw = 2 ⋅ 9.81 = 19.62 σII = 111.88 kPa
Su seviyesindeki dü ü ten:
∆σ = σI − σII = 26.55 kPa
KILCAL BÖLGEDE GER LMELER Bo luk Suyu Basıncı
hw
ρd
x
D
(-)
h1
x’ YASS
MH (+)
σD = ρd ⋅ h1 uw = −ρ w ⋅ (hw − h1 ) σD = ρd ⋅ h1 + ρ w ⋅ (hw − h1 )
S LTTE YASS DÜ Ü ÜNÜN ETK S YASS-I
MH
3m
A
ρd = 18 kN / m3 YASS-II
(-)
5m YASS-II 3m YASS-I
B
σ A = 3 × (18 − 9.81) = 24.57 σB = 11× (18 − 9.81) = 90.09
σ A = 3 × 18 = 54 uA =-5 × 9.81=-49.05 σ A = 54 − ( −49.05) = 103.05 σB = 8 × 18 + 3 × (18 − 9.81) = 168.57
(+)
ARTEZYEN KO ULLARDA EFEKT F GER LME
h4 h11
SS
A
σ A = ρ w ⋅ h2 − ρ w ⋅ h2 = 0
h4/2 h12
h13
h3 2
h2
σB = ρıCH ⋅
h3
σC = ρ w ⋅ h2 + ρdCH ⋅ h3 + ρdSP ⋅
CH ρd CH
B
uw1
uw3
uw2
uw1 = ρ w ⋅ (h11 + h2 + h3 )
Piyezometre
SP ρd SP uw KAYA
C
h4/2
h4
h4 2
h4 ) 2 + h2 + h3 + h4 )
uw 2 = ρ w ⋅ (h12 + h2 + h3 + uw3 = ρ w ⋅ (h13
uw1 = uw2 = uw3 σC = ρıCH ⋅ h3 + ρıSP ⋅
h4 − ρw ⋅ h1 2
PROBLEM 2. Kesidi verilen zeminde efektif gerilme diyagramını çiziniz. 1m 1m
GW
ρd=22.5 kN/m3
ρn=21.5 kN/m3
2m
MH
ρd=19 kN/m3
ρn=17.8 kN/m3
0.5m
SP
ρd=24 kN/m3
ρk=19 kN/m3
2m
ML
ρd=18.5 kN/m3
ρk=17.5 kN/m3
1.5m
CH
ρd=18.3 kN/m3
ρk=17.5 kN/m3
1m
SP
ρd=21 kN/m3
ρk=19 kN/m3
ANAKAYA
YASS
Piyezometre
PROBLEM 2. Kesidi verilen zeminde efektif gerilme diyagramını çiziniz. Bo luk Suyu Basıncı
Toplam Gerilme
1m 1m
GW
ρn=21.5 kN/m3
2m
MH
ρn=17.8 kN/m3
1x21.5: 21.5
21.5+2x17.8: 57.1
0.5m
SP
ρk=19 kN/m3
2m
ML
ρd=18.5 kN/m3
57.1+0.5x19: 66.6
66.6+2x18.5 =103.6
1.5m
CH
ρd=18.3 kN/m3
1m
SP
ρd=21
103.6+1.5x18.3 =131.05
Efektif Gerilme
21.5-0: 21.5
0
57.1-0: 57.1
0 0
YASS
ANAKAYA
131.05+1x21:152.05
103.6-19.62: 83.98
2x9.81: 19.62 3.5x9.81: 34.34 8x9.81: 78.48
kN/m3
66.6-0: 66.6
8x9.81: 78.48
131.05-78.48 =52.57
131.05-34.34 =96.71 152.05-78.48 =73.57
SS--I SS 3m
PROBLEM 3. Verilen zemin kesidinde SS I’ de ve YASS-II’ deyken A, B, C noktalarında efektif gerilmeleri hesaplayınız.
A ρ =22 kN/m3
3m
GW ρd=20.4 kN/m3
5m
ρ =18.2 kN/m3 MH ρd=16.3 kN/m3 k
k
2m
SP ρd=20 kN/m3
5m
ρs=26.5 kN/m3 CH wn=%28
B
YASS YASS--II
Vs = 1 Kabul M Vs = s Ms = Vs ⋅ ρs = 1⋅ 2.7 = 2.7 ρs w=
C
ANAKAYA
SS − I'deyken
Mw Ms
Mw = w ⋅ Ms = 0.28 ⋅ 2.7 = 0.756
Md = Mw + Ms = 0.756 + 2.7 = 3.456 V = Vs + Vw = 1 + 0.756 = 1.756 ρd =
Md 3.456 = = 1.97 ⋅ 9.81 = 19.32 kN/m3 V 1.756
σ A = 3 ⋅ 9.81 − 3x9.81 = 0 σB = 3 ⋅ (22 − 9.81) + 2.5 ⋅ (18.2 − 9.81) = 57.55 kPa σC = 3 ⋅ (22 − 9.81) + 5 ⋅ (18.2 − 9.81) + 2 ⋅ (20 − 9.81) + 2.5 ⋅ (19.32 − 9.81) = 122.68 kPa YASS-II'deyken σA = 0 σB = 3 ⋅ 20.4 + 2.5 ⋅ 18.2 − ( −2.5 ⋅ 9.81) = 131.22 kPa σC = 3 ⋅ 20.4 + 5 ⋅ 18.2 + 2 ⋅ (20 − 9.81) + 2.5 ⋅ (19.32 − 9.81) = 196.36 kPa
PROBLEM 4k. Verilen zemin kesidinde suyun SS-I ve YASS-II düzeylerinde bulunması durumu için gerilme diyagramlarını tabaka sınırlarına göre çiziniz SS-I Durumu: SS--I SS
Toplam Gerilme
1.5m
Bo luk Suyu Basıncı
(-)
0
3m 2m 4m
CH
ρd=21.78 ρk=18.52 kN/m3
MH
ρd=17.17 kN/m3 ρk=12.85 kN/m3
0 3x9.81: 29.43
29.43+2x21.78: 72.99
YASS YASS--II
Efektif Gerilme
0 3x9.81: 29.43
kN/m3
=
5x9.81: 49.05
72.99+4x17.17: 141.67
9x9.81: 88.29
29.43-29.43: 0 72.99-49.05: 23.94
141.67-88.29: 53.38
CH ρd=18.44 kN/m3
5m
141.67+5x18.44 =233.87
1m
SP
ρd=21.09 kN/m3
14x9.81 =137.34
233.87-137.34 =96.53
0.5m
KAYAÇ
233.87-137.34 =76.91 233.87+1x21.09=254.96
(1.5+3+2+4+5+0.5)x9.81: 156.96
254.96-156.96: 98
SS − I'deyken σ = 3 ⋅ 9.81 + 2 ⋅ 21.78 + 4 ⋅ 17.17 + 5 ⋅ 18.44 + 1⋅ 21.09 = 254.96 kPa uw = 9.81⋅ (1.5 + 3 + 2 + 4 + 5 + 0.5) = 156.96kPa σ = 98.00 kPa
YASS-II Durumu:
1.5m
3m
0
0
2m 4m
CH
ρd=21.78 ρk=18.52 kN/m3
MH
ρd=17.17 kN/m3 ρk=12.85 kN/m3
kN/m3
Efektif Gerilme
Bo luk Suyu Basıncı
Toplam Gerilme
2x18.52: 37.04
-4x9.81 =-39.24
0 37.04-0: 37.04
0
37.04-(-39.24): 76.28
YASS YASS--II
37.04+4x17.17: 105.72
105.72-0: 105.72
0
CH ρd=18.44 kN/m3
5m
105.72+5x18.44 =197.92
1m
SP
ρd=21.09 kN/m3
5x9.81 =49.05
197.92-156.96 =40.96
0.5m
KAYAÇ
197.92-49.05 =148.87
197.92+1x21.09=219.01
(1.5+3+2+4+5+0.5)x9.81: 156.96
219.01-156.96: 62.05
σ = 2 ⋅ 18.52 + 4 ⋅ 17.17 + 5 ⋅ 18.44 + 1⋅ 21.09 = 219.01 kPa uw = 9.81⋅ (1.5 + 3 + 2 + 4 + 5 + 0.5) = 156.96kPa σ = 62.05 kPa
KR T K H DROL K E
M
B Hidrostatik Denge
λ
C
σ′ = σ − uw σ = uw
σ xx = ρw ⋅ hw + ρd ⋅ L uw = ρw ⋅ (hw + L ) σ = ρ w ⋅ h w + ρd ⋅ L − ρ w ⋅ h w − ρ w ⋅ L σ = ( ρd − ρ w ) ⋅ L σ = ρı ⋅ L
∆h
Su seviyesi C 'ye do ru artıyor (efektif gerilme ne zaman 0 'a dü ecek )
B
uw = ρw ⋅ (L + hw + ∆h)
hw
∆uw = ρw ⋅ ∆h
σ′=0
L
KUM
A
σ xx = ρı ⋅ L − ρw .∆h
0
ρı ⋅ L − ρw .∆h =0 ρı ⋅ L = ρw .∆h ∆h ρı = L ρw ρı iCR = ρw
KAYNAMA: Laminer → Türbülans i≥iCR
Ta ıyıcı özellik kaybı
iCR =
ρ 1 Gs − 1 ⋅ s −1 = 1 + e ρw 1+ e
PROBLEM 6. ekilde gösterilen siltte taban stabilitesi kaybolmadan ne kadar kazı yapılabilir?
σ′ = σ − uw
1.5m
σ = uw
MH
σ′=0
H=7-x
7m ρdMH=18.5 kN/m3
SP ANAKAYA
x
ρMH ⋅ x − ρ w ⋅ hw ≥ 0 18.5 ⋅ x = 9.81⋅ 8.5 x = 4.51 m Hmax = 7 − 4.51 = 2.49 m
EK SORU: Sert kilde geni bir temel çukuru açılıyor. Kilin suya doygun birim hacim a ırlı ı 19.50 kN/m3 dir. Kazı derinli i 6 m'ye vardı ında tabanda yükselme ve kabarma meydana geliyor. Bundan hemen sonra yapılan sondajlarda 11 m derinlikte artezyen durumunda basınçlı su ta ıyan bir kum tabakası bulunuyor. Kazıya ba lamadan önce kuma piyozemetre yerle tirilseydi belirecek su düzeyi ne olurdu.
1.1 m
CH Kil 6m
11 m
9.9 m
SP Kum
ρCH ⋅ 5 − ρw ⋅ hw = 0 σ′ = σ − uw σ = uw
σ′=0
19.5 ⋅ 5 = 9.81⋅ hw hw = 9.9 m
Piyezometrik Yükseklik = 11 − 9.9 = 1.1 metre yüzeyden a a ıda
EK SORU. Göl altında bulunan zemin su düzeyinin 6 m dü mesiyle açı a çıkıyor. Önceki ve imdiki gerilme diyagramlarını çiziniz.
I) DO AL DURUM A
B
σ
σA =0
σ
σ B = 24.57 kPa C
D
σ
σ
σ C = 47.54 kPa
σ D = 51.09 kPa
I) DO AL DURUM
II) YASS 6 m dü üyor, silt kılcal doygun, artezyen durumu sürüyor A σ
C
σ A = 29.43 kPa B
σ
σ B = 54 kPa
σ
σ C = 76.97 kPa D
σ
σ D = 21.66 kPa
II) YASS 6 m DÜ ÜK