ZEM NLER N KAYMA D RENC
AÇIKLAMALAR • Normal Gerilme (σ σ): Birim alana etkiyen ve bu alana dik (normal) olan yüke denir. – Normal gerilmeler bir malzemeyi ya sıkı tırmaya ya da uzatmaya zorlarlar.
• Kayma Gerilmesi (ττ): Birim alana etkiyen ve bu alana paralel olan yüke denir. • Asal Gerilmeler (σ σ1, σ3): Kayma gerilmelerinin sıfır oldu u düzleme etkiyen normal gerilmelerdir. – Zeminler sadece sıkı ma gerilmelerine direnebilirler, çekme gerilmesi almazlar.
GER LME (STRESS) Gerilme kuvvetin alana bölünmesiyle elde edilir. Zeminler sadece sıkı ma gerilmesi alır, çekme gerilmesi almazlar. +F
Ho
Do
+F σ= (kN/m2 ) A F= Kuvvet (kN) A= Alan
(m2 ) P
+F
P A
σ = P/A
B R M BOY DE T RME ZORLANMA (STRAIN) Birim boy de i tirme (zorlanma): deformasyon miktarının (boy de i iminin) orijinal boyuta (ilk boya) bölünmesiyle bulunur. Enine veya boyuna olarak % cinsinden ifade ediliyor.
+F δx 2
δz
Ho Do
+F
δx εx = Do εx υ = εz
δz εz = Ho mantar ν=0 zeminler ν~0.3
Ao A= 1 − εz
MALZEMELER N GER LME ALTINDA DAVRANI I
gerilme -σ
ölçeksiz Yumu ak Çelik
Birim Boy De i imi , ε
ELAST K MALZEME “ELAST K”; yükün kaldırılmasıyla orjinal ekle dönü ü ifade eder. *Elastik bir malzeme Hook Kanunu’ na uyar. *Buna göre zorlanma (deformasyon) gerilme ile orantılı olarak de i ir. σz
∆H εz = H0
∆H
σ
Ho
∆D/2
Do
∆D εx = D0
E 1
Hooke Kanunu εz
σ E= ε
PLAST K MALZEME • Plastik malzemeler, üzerlerindeki yük kalkınca ilk ekillerine dönmezler.
σ ,τ
ε
ZEM N • Bir ba layıcı madde ile tamamen veya kısmen çimentolanmamı de i ik türden mineraller, organik atıklar, su ve hava karı ımından olu an bir gereçtir. • Zeminler elastik malzemeler de ildir.
• Zeminler elasto-plastik malzemeler olarak kabul edilirler.
σ ,τ
ε
ELAST K DENGE
ZEM NDE DO AL GER LMELER Do al durumda zeminler elastik dengededir. Zemin kendi a ırlı ı altında dengededir, akıp gitmiyor. Gerilme dairesi kırılma zarfına te et de il.
σ3
σ
τ
σ1
τ
K0 =
σx ⇐ K 0 < 3 ( ze min) σz
φ
c
σ3
σ1
σ
KIRILMA ((yenilme yenilme veya akma)’ NIN TEMS L • Malzemenin direnci uygulanan gerilmeden dü ükse yenilme meydana gelir ve PLAST K DENGE olarak isimlendirilir. • Bu durum gerilme dairelerinin kırılma zarfına te et olmaları ile temsil edilir. • Kırılma, gerilme dairelerinin kırılma zarfına te et olması ile gerçekle ti ine göre bu durumda gerilmeler arasında bir ba ıntı olmalı. τ
σ = τmax = f( σ )
τ σ
τ = c + σ ⋅ tan φ
φ
c
σ3
σ1
σ1 = σ3Nφ + 2c Nφ
σ
PLAST K DENGE
σ1 σ3
τ
σ3
σ1
τ
OB =Yenilme Yok
B=Yenilme
τ
σ
c
σ3
σ1
φ
σ
c-φ ZEM NDE PLAST K DENGE
σ1 = σ3 ⋅ Nφ + 2 ⋅ c ⋅ Nφ
YEN LEN ZEM NDE (c(c-φ) BÜYÜK BÜYÜK--KÜÇÜK ASAL GER LME BA INTISI
tan φ =
2
2
c d
Sin φ + Cos φ = 1
d=
c c c ⋅ Cosφ = = tan φ Sinφ Sinφ Cosφ 2
Cosφ = 1 − Sin φ
c ⋅ 1 − Sin2 φ d= Sinφ
Sinφ =
BD AD
BD = AD ⋅ Sinφ
σ1 + d = AD + BD = AD + AD ⋅ Sinφ = AD ⋅ (1 + Sinφ )
σ1 + d AD = 1 + Sinφ
σ3 + d = AD − BD = AD − AD ⋅ Sinφ = AD ⋅ (1 − Sinφ )
σ3 + d AD = 1 − Sinφ
σ +d σ1 + d = 3 1 + Sinφ 1 − Sinφ
( σ1 + d) ⋅ (1 − Sinφ ) = ( σ3 + d) ⋅ (1 + Sinφ) σ1 ⋅ (1 − Sinφ ) + d ⋅ (1 − Sinφ ) = σ3 ⋅ (1 + Sinφ ) + d ⋅ (1 + Sinφ ) σ1 ⋅ (1 − Sinφ ) = σ3 ⋅ (1 + Sinφ ) + d ⋅ (1 + Sinφ ) − d ⋅ (1 − Sinφ )
σ1 ⋅ (1 − Sinφ ) 1 − Sinφ
=
σ3 ⋅ (1 + Sinφ ) 1 − Sinφ
+
d ⋅ (1 + Sinφ ) 1 − Sinφ
−
d ⋅ (1 − Sinφ ) 1 − Sinφ
1 + Sinφ 1 + Sinφ σ1 = σ3 ⋅ + d⋅ −1 1 − Sinφ 1 − Sinφ
1 − Sin2 φ 1 + Sinφ 1 + Sinφ σ1 = σ3 ⋅ +c⋅ ⋅ −1 1 − Sinφ Sinφ 1 − Sinφ
1 − Sin2 φ 1 + Sinφ − 1 + Sinφ 1 + Sinφ σ1 = σ3 ⋅ +c⋅ ⋅ 1 − Sinφ Sinφ 1 − Sinφ 1 − Sin2 φ 2 ⋅ Sinφ 1 + Sinφ σ1 = σ3 ⋅ +c⋅ ⋅ 1 − Sinφ Sinφ 1 − Sinφ 1 + Sinφ (1 − Sinφ) ⋅ (1 + Sinφ) σ1 = σ3 ⋅ + 2⋅c ⋅ 1 − Sinφ (1 − Sinφ)2
1 + Sinφ 1 + Sinφ σ1 = σ3 ⋅ + 2⋅c ⋅ 1 − Sinφ 1 − Sinφ
1 + Sinφ φ 2 = tan 45 + Nφ = 1 − Sinφ 2
Akma Sayısı
σ1 = σ3 ⋅ Nφ + 2 ⋅ c ⋅ Nφ Plastik Denge Denklemi
φ θ = 45 + 2
Kırılma Düzlemi
φ ZEM NDE PLAST K DENGE (c=0)
σ1 = σ3 ⋅ Nφ
Sinφ =
BD AD
BD = AD ⋅ Sinφ σ1 1 + Sinφ
σ1 = AD + BD = AD + AD ⋅ Sinφ = AD ⋅ (1 + Sinφ )
AD =
σ3 = AD − BD = AD − AD ⋅ Sinφ = AD ⋅ (1 − Sinφ )
σ3 AD = 1 − Sinφ
σ3 σ1 = 1 + Sinφ 1 − Sinφ
σ1 1 + Sinφ = σ3 1 − Sinφ σ1 = σ3 ⋅
1 + Sinφ 1 − Sinφ
σ1 = σ3 ⋅ Nφ
Nφ =
1 + Sinφ φ = tan2 45 + 1 − Sinφ 2
YUMU AK K LDE (NL K L) KIRILMA τ c
φ =0
σ1
σ3 σd = 2c
σ1 = σ3 + 2c
σ
MOHR MOHR--COULOMB KIRILMA KR TER τ ve σ arasında do rusal bir ili ki oldu unu varsayıyor.
τ
σ KUM
s = τ max = σ tan φ
YUMU AK (NL) K L
s=c
A IRI KONSOL DE K L (c-φ soil)
s = c + σ tan φ
YUMU AK K LLER N KAYMA D RENC (NL K L) τ c
τ′ s=c
φ
s = σ ′ tan φ ′
σ
σ′
A IRI KONSOL DE K LLER N KAYMA D RENC (OC K L) τ c
τ′
φ
s = c + σ ⋅ tan φ
σ
c′
φ′
s = c ′ + (σ − u ) ⋅ tan φ ′
σ′
YATAY DÜZLEMDE SÜRTÜNME (KAYMA D RENC )
W
Yüzey
R
W
Blok
τ µ = tan φ = σ
α
N 1-Yanal itki yok (dengede)
S
S’
R
W
φd N R’ 2-Yanal itki var Hareket yok (sürtünme direniyor) S τ= Alan W σ= Alan
αmax S S’
φ R’
N 3-Yanal itki var Hareket var (sürtünme yenildi)
KESME KUTUSU DENEY
KESME KUTUSU DENEY
KESME KUTUSU DENEY Y端k
Kayma Y端zeyi Poroz Ta
Drenaj Delikleri
Yük (P)
KESME KUTUSU DENEY
Yanal tki (S) (Sabit de il)
τ
δ
τ=
S Alan
σ=
P Alan
ZEM NLER N KES LME ESNASINDAK DAVRANI LARI τ
Sıkı kum A ırı konsolide (OC) kil
Gev ek kum Normal konsolide (NL) kil Hafif OCR killer (OCR≈2-3)
δ
KESME KUTUSU DENEY NDE NORMAL GER LME - KAYMA D RENC τ
τ
σ3 σ2 σ1
Kesme Hareketi
τ = c + σ ⋅ tan φ
δ
σ1
σ2
σ3
Normal Gerilme
kumda c=0
τ = σ ⋅ tan φ
σ
σ=100 kPa
KESME KUTUSU DENEY 1. NUMUNE
Yanal tki (S)
τ 58
δ
P = 100 kPa σ= Alan S τ= = 58 kPa Alan
σ=200 kPa
KESME KUTUSU DENEY 2. NUMUNE
Yanal tki (S)
τ 115
δ
P σ= = 200 kPa Alan S = 115 kPa τ= Alan
σ=300 kPa
KESME KUTUSU DENEY 3. NUMUNE
Yanal tki (S)
τ 175
δ
P σ= = 300 kPa Alan S = 175 kPa τ= Alan
PROBLEM
Zemin örnekleri üzerinde yapılan kesme kutusu deneyinde a a ıdaki sonuçlar alındı ına göre, bu zeminin türünü tahmin ediniz.
σ
100
200
300
τmax
58
115
175
τ
φ = 300
175
c=0 φ=30° Zemin Türü KUM
115 58
100
200
300
σ
PROBLEM Zemin örnekleri üzerinde yapılan kesme kutusu deneyinde a a ıdaki sonuçlar elde edildi ine göre; bu zeminlerin türünü tayin ediniz. σ (kPa)
100
200
300
τ1 (kPa)
62.5
124.9
187.6
τ2 (kPa)
185.4
226.7
265.1
Simge
ÜÇ EKSENL HÜCRE KESME DENEY
ÜÇ EKSENL HÜCRE KESME DENEY DÜZENE YÜK, σdeviatör
Yükleme Pistonu
Halka Conta (O-Ring)
Yükleme Ba lı ı Plexiglas Hücre Zemin Numunesi Koruyucu Membran
Poröz Ta
Hücre Basıncı, σ3
Vana
Bo luk Suyu Basıncı Öçümü (uw) Drenaj
ÜÇ EKSENL HÜCRE KESME DENEY YÜK, σdeviatör
σ3
σ3
σσ
d
ε
τ
σ3 σd Hücre Basıncı σ3
Vana
σ1 = σ d + σ 3
σ1
σ
ÜÇ EKSENL HÜCRE KESME DENEY
ÜÇ EKSENL HÜCRE KESME DENEY SONUÇLARI σ1 σ3
τ
σ1
σ3
PROBLEM: Dört adet üç eksenli hücre kesme deneyi sonucu a a ıda verilmi tir. Kayma direnci parametrelerini hesaplayınız. E er bu zemin kesme kutusunda 200 kPa’ lık normal bir gerilmede kesilecek olsa idi kayma direnci ne olacaktı? σ3 (kPa)
50
100
200
300
σ1 (kPa)
150
300
600
700
kiden fazla deney sonucu oldu u için grafik çözüm yapmalıyız
τ
300
50
100
150 200
c=0 φ=30°
300
600
700
σ
τ = c + σ ⋅ tan φ = 0 + 200 ⋅ tan 30 = 115 kPa
PROBLEM: Deney sonuçları tabloda verilen kum zemin için, 100 kPa normal
gerilme altında kayma direncini hesaplayınız. σ3 σ d = σ1 − σ 3
σ1 = σ d + σ 3
Deney No Hücre Basıncı (kPa) Deviator Gerilme Büyük Asal Gerilme (kPa) 1
100
277.5
377.5
2
200
524.0
724.0
3
300
770.0
1070.0
Üç deney sonucu verildi inden grafik çözüm uygun olacaktır. φ=34
500
τ (kPa)
400 300 200 100
σ (kPa) 100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
c=0 ve φ=34°: KUM; qu=0 olur.
s = c + σ ⋅ tan φ = 0 + 100 ⋅ tan 34 = 67.5 kPa
PROBLEM Bir kil numunesi üzerinde yapılan üç eksenli konsolidasyonsuz-drenajsız
(UU) deneyinde a a ıdaki sonuçlar alınmı tır. Buna göre; zeminin türünü, kohezyonunu ve kayma direnci açısını bulunuz. DeneyNo
Hücre Basıncı σ3 (kPa)
Deviatör Gerilme σd (kPa)
Büyük Asal Gerilme σ1 (kPa)
1
100
140
240
2
200
135
335
3
300 200
σ deviatör =150σ 1 − σ 3
τ
450
τ de erlerinden ortalama bir do ru geçirilir 100
φ=0
100
200
300
400
Zeminin Türü: Normal Yüklenmi Kil
70 + 67.5 + 75 c= = 71 kPa 3
σ
σ
SERBEST BASMA DENEY τ A ırı Konsolide (OC) Kil Yumu ak (NL) Kil
q c= u 2
εz
Kırılma Zarfı (kabul)
qu
σ
PROBLEM: PROBLEM: Bir kil numunesi üzerinde tek eksenli serbest basma deneyi (UC)
yapılmı tır. Kilin direndi i maksimum yük 127 N ve bu esnada dü ey boy kısalması 0.8 mm’ dir. Silindirik zemin numunesi 38 mm çapa ve 76 mm boya sahiptir. Buna göre mohr dairesini çiziniz ve drenajsız kayma direncini (su) tayin ediniz. 1- Yenilme anında numune alanını hesapla:
A0 =
π D02 4
=
π 0.0382 4
= 11.3 × 10−4 m 2
δz
Ao 11.3 × 10−4 A= = = 11.4 × 10−4 m 2 1− εz 1 − 0.01
0.8 εz = = = 0.01 H o 76
2- Yenilme anında asal gerilmeleri hesapla:
UC ' de Çevre Basıncı Yok
σ3 = 0
P 127 × 10−3 σ1 = = = 111.4 kPa A 11.4 × 10−4 3- Drenajsız kayma direncini (su) hesapla:
su = 4- Mohr dairesinde göster:
σ1 − σ 3 2
τ
=
111.4 − 0 = 55.7 kPa 2
55.7
111.4
σ
PROBLEM: PROBLEM: Bir zeminin qu de eri 130 kPa olarak veriliyor. Aynı zemin qu’ya e de er hücre basıncında üç eksenli olarak denendi inde ölçülen deviatör gerilme 230 kPa ise bu zeminin kayma direnci parametrelerini bulunuz ve türünü belirleyiniz. 1- Serbest basma deneyinde
σ3=0
σ 1 = qu = 130 kPa
2- σ3=130 σ 1 = σ 3 +σ d = 130 + 230 = 360 kPa
τ
Analitik Çözüm σ 1 = σ 3 ⋅ Nφ + 2 ⋅ c ⋅ Nφ 130 = 0 ⋅ Nφ + 2 ⋅ c ⋅ Nφ
200
360 = 130 ⋅ Nφ + 2 ⋅ c ⋅ Nφ
100
Nφ =
c = 50 100
200
300
400
σ
Grafikten c=50 kPa (kohezyon) φ=16° (kayma direnci açısı) bulunur. Zemin türü c-φ zemini
230 = 1.769 130
Nφ = tan 2 45 +
φ 2
= 1.769
φ = 16 0 130 = 2 ⋅ c ⋅ Nφ
c = 49 kPa
PROBLEM PROBLEM:: Serbest basma dayanımı qu=100 kPa olan yumu
ak kil ve kayma direnci açısı φ=30° olan kum için σ-τ diyagramı çizerek kırılma zarflarını i aretleyiniz. Bu zeminlerin ρd=20 kN/m3 ise yüzeyden 5 m derinlikte kayma direnci denklemlerini yazınız.
τ
Kum NL Kil
φ = 300 100
σ
Kayma direnci denklemleri
NL K L KUM
qu 100 s=c= = = 50 kPa 2 2
s = σ ⋅ tan φ = ρ ⋅ z ⋅ tan φ = 5 ⋅ 20 ⋅ tan 30 = 57.7 kPa
PROBLEM: A
a ıda kesiti verilen zeminden alınan numuneler üzerinde üç eksenli kesme deneyi yapılmı tır. Buna göre kesitte a) efektif gerilmenin, b) kayma direncinin derinlikle de i imini gösteren σ−τ do rularını çiziniz. 2m
ρ n = 18.5 kN / m3
3m
ρ d = 22.1 kN / m
8m
3
YASS
KUM
ρd = 18.7 kN / m3
UU Deney Sonuçları ( σdeviatörmax deviatörmax ) σ3
100
200
σd( SP SP))
70
140
σd( CH)
59
55
KL
a) EFEKT F GER LME KUMDA
σ 2 m = 2 ⋅ 18.5 = 37 kPa
σ 5 m = 37 + 3 ⋅ ( 22.1 − 9.81) = 73.9 kPa
K LDE
σ 13m = 73.9 + 8 ⋅ (18.7 − 9.81) = 145.1 kPa
b) KAYMA D RENC KUMDA
σ 1 = σ 3 + σ deviatör max
σ3(SP)
100
200
σd(SP)
70
140
σ1(SP)
170
340
σ 1 = σ 3 ⋅ Nφ + 2 ⋅ c ⋅ Nφ 340 = 200 ⋅ Nφ
τ
170 = 100 ⋅ Nφ 100 ⋅ Nφ = 170 Nφ = tan
2
φ = 15°
45 +
Nφ = 1.70
φ
= 1.70
2 s = σ ⋅ tan15
100
φ = 150
100
200 170
300
400 340
σ
K LDE
σ1 = σ 3 + σ d
σ3( CH)
100
200
σd( CH)
59
55
σ1( CH)
159
255
τ 100 φ = 00
c ≅ 30 kPa
100
200 159
300
400
σ
s = c veya
ρ n = 18.5 kN / m3
3m
ρ d = 22.1 kN / m3
σ0
= 0.11 + 0.037 ⋅ I P
59 + 55 2 c= ≅ 30 kPa 2 s = c = 30 kPa
255
Efektif Gerilme, σ’ 2m
cu
37 = 2 × 18.5 74 = 37 + 3 × (22.1 − 9.81)
Kayma Direnci, s 9.9 = 37 ⋅ tan15
s = σ ⋅ tan15
KUM
19.8 = 74 ⋅ tan15 s = c = 30
8m
KL
ρd = 18.7 kN / m3
s = c = 30 kPa 145 = 74 + 8 × (18.7 − 9.81)
s = c = 30