toan1_Bai1_dãy số - bookbooming

BOÄ MOÂN TOAÙN ÖÙNG DUÏNG ÑHBK -------------------------------------------------------------------------------------

TOAÙN 1 – HOÏC KYØ 1 0708 BAØI 1: DAÕY SOÁ. GIÔÙI HAÏN DAÕY SOÁ (SV) •

. NGUYEÃN QUOÁC LAÂN (9/2007) SGK: Giaûi TS tích haøm 1 bieán – BM Toaùn ÖÙng

Duïng (ÑHBK) Giaûi tích haøm 1 bieán – Ñoã Coâng Khanh Toaùn hoïc cao caáp – Taäp hai – Nguyeãn Ñình Trí (chuû bieân)

NOÄI DUNG

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1-

KHAÙI

NIEÄM

DAÕY SOÁ 2- DAÕY TAÊNG, GIAÛM, BÒ CHAËN, DAÕY CON 3- GIÔÙI

HAÏN

DAÕY SOÁ 4- TÍNH CHAÁT GIÔÙI HAÏN 5- TIEÂU CHUAÅN WEIRSTRASS: DAÕY ÑÔN ÑIEÄU, BÒ CHAËN 6- GIÔÙI HAÏN KEÏP

KHAÙI NIEÄM GIÔÙI HAÏN (PHOÅ THOÂNG – ÑAÏI HOÏC)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Giôùi haïn: Khaùi nieäm cô baûn cuûa Giaûi tích.

“Khoâng coù giôùi haïn thì giaûi tích khoâng toàn taïi. Moãi khaùi nieäm cuûa giaûi tích ñeàu laø giôùi haïn theo moät nghóa naøo ñoù” Ñaïo haøm (theo ñònh nghóa): giôùi haïn / ∆x hình hoïc: Hsgoùc tieáp tuyeán = lim ÖÙng∆y duïng Hsgoùc daâyvaät cunglyù: Vaän toác töùc thôøi = lim ÖÙng duïng Vaän toácñöôøng trung bình Ñoä daøi cong = lim ñoä daøi ñöôøng gaáp noäithang tieáp cong (tích phaân) = lim S Dieänkhuùc tích hình hình chöõ nhaät Giôùihaïndaõysoá Giôùi Giôùihaïnhaøm soá 

DAÕY SOÁ THÖÏC

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Taäp hôïp voâ haïn caùc soá ñöôïc ñaùnh soá töø 1 ñeán ∞: x1, x2 … xn … ⇒ Daõy soá {xn}n ≥ 1 (hoaëc töø ñeánsoá ∞: xnguyeân … → {xn}n 2, VD: 0Daõy 0, x1 … xn döông:1, ≥ 0) 3, 4 … Daõy soá chaün: 4, 6 …soá Caâu hoûi:2, Tìm

haïng

cuoái

cuøng cuûa 1 daõy soá?

Thoâng thöôøng, daõy soá ñöôïc xaùc ñònh theo 1 coâng thöùc toång quaùt daønh cho soá haïng thöù n n  1 2 3 n   { xn } =   →  , ,   VD:  n + 1n≥1  2 3 4 n + 1  Daõy xn-1: soá n n −1 { xn } = ( − 1) n n≥0 → 0, − 1, 2  ( − 1) ( n − 1)  haïng thöù n

{

}

{

}

COÂNG THÖÙC TOÅNG QUAÙT – SOÁ HAÏNG THÖÙ n

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1/ Daõy haèng 1, 1 … 1 …: Höõu haïn giaù trò & vaãn voâcaùc haïn phaàn töû 2/ Daõy soá nguyeân toá: 1, 2, 3, 5 … : Coâng thöùc toång quaùt?

Coù theå xem daõy soá {xn} vôùi soá haïng toång quaùt: xn = f(n) nhö haøm soá töø taäp soá VD: Daõydöông soá chính 1, 4, 9, 16 … ⇒ xn = nguyeân N* →phöông R. n2 ⇒ f(x) = x2 VD: Tìm soá haïng toång quaùt (soá haïng thöù n) 1 1 1 1 2 3 : cuûa a / , caùc , ,  daõy b / , −{x,n}n≥1 , c / 1,3,5, Maple: > n^2 $n = 2 4 8 2 3 4 1..5; > array( [ [n, 1 n +1 n c / 2n − 1 ÑS: a / n b / ( − 1) 2 n +1 n^2]$ n = 1 ..

DAÕY TAÊNG – GIAÛM: ÑÔN ÑIEÄU

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

{xn} TAÊNG: xn ≤ xn+1 ∀ n ≥ 1. Toång quaùt: xn ≤ xn+1 ∀ n ≥ N10 1 a / x = 1 + +  + : chöùa TOÅNG→ neânxeùtHIEÄUxn +1 − xn VD: n 2 n 2n − 3 2x − 3 b / xn = : bthöùc gioángHAØMSOÁ → xeùtf ( x ) = & tính f '!

3n − 4 3x − 4 {xn} GIAÛM: xn ≥ xn+1 ∀ n ≥ 1. Toång quaùt: xn ≥ xn+1 ∀1 n ≥ N01  xn +1  xn = 1 −  1 − , n ≥ 2 : döông,daïngTÍCH → XeùtTHÖÔNG xn  2  n Daõy {xn} LUOÂN taêng hoaëc LUOÂN giaûm (töø N0 naøo ñoù): daõy ÑÔN ÑIEÄU

DAÕY BÒ CHAËN – DAÕY CON

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

{xn} bò chaën treân: xn ≤ M ∀ n ≥ 1. Toång quaùt: x n ≥ N0 döôùi: xn ≥ m ∀ n ≥ 1. Toång quaùt: {x }M bò∀ chaën n≤ n xDaõy ≥ N0 treân laãn döôùi: goïi chung bò bòn chaën n≥ m ∀ chaën ⇒ m ≤ xn ≤ M 1 n  n { } a / b / 3 c / ( − 1 ) n VD: Xeùt tính bò chaën  2 n  cuûa caùc daõy a/ Bò chaën. Treân: 1, Döôùi: 0. b/ Döôùi: 0. c/ K0

{

}

bò chaën treân, döôùi {xn} ⇒ Daõy xn1 , , xnk ,  , n1 <  < nk <  , lim nk = ∞

{

con VD:

}

k →∞

 1 , 3  :↑ &− 2 ,− 4  :↓ 1 2 3 4  , − , , −  →     Daõy   2 4   3 5  2 3 4 5  con Daõy Chuù yù: Töø daõy {xn} → Hay xeùt 2 daõy

GIÔÙI HAÏN DAÕY SOÁ: ÑÒNH NGHÓA “DEÃ CHÒU”

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Laäp baûng giaù trò 2 daõy soá sau. Quan n n n saùt vaø ruùt ra keát luaän a / xn = b / yn = ( − 1) n +1 n +1

 5   0 1   5 1   0 2   5 2   0 3

0 .8 35

-0 .8 35

0 .9 1

0 .9 1

0 .9 4

-0 .9 4

0 .9 5

0 .9 5

0 .9 6

-0 .9 6

0 .9 7

0 .9 7

Nhaän xeùt: n taêng, x ñeán  n   gaàn 1 coøn yn ñeán gaàn ±1 ⇒   Khi n → ∞: Giaù trò xn ≈ 1, coøn yn   ñeán gaàn giaù trò cuï KHOÂNG Ñònh nghóa (“deã chòu”):  theå naøo!  Daõy {xn} coù giôùi haïn baèng   a ⇔ xn ≈ a khi n ñuû lôùn a / 0 b /1 2 Maùnh: n ñuû lôùn (n =

sin 3 n + n 2 lim : 2 n →∞ 2n − n c /1

d /∞

1000)

&

MTBTuùi

→

GIÔÙI HAÏN DAÕY SOÁ: ÑÒNH NGHÓA CHAËT CHEÕ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------a Toaùn hoïc (ngoân x x N 0a + ε x1000 1 a − ε x N +1 0 ngöõ ε – N0): xn “raát gaàn” a, n ñuû lôùn ⇔ ∀ε > 0 ∃ N0: | xn– a | < ε ∀ n ≥ N0 xn = a : höõuhaïn Daõy {xn} hoäi tuï lim n →∞ ⇔ ∀a ε >⇔0, ∃ N 0 ∈ N : xn − a < ε ∀ n ≥ N 0 veà ⇔ ∀ ε > 0, ∃ N 0 : a − ε ≤ xn ≤ a + ε ∀ n ≥ N 0

Coù

ghaïn:

Hoäi tuï. K0 coù

ghaïn

(hoaëc lim = n ∞): limphaân " Ñoaùn" =1 VD: Xeùt daõy {n/(n + 1)} a/ n →∞ n + 1 kyø n -2 “Ñoaùn” lim x − 1 ≤ ε = 10 −1 n b/ Vôùi lim vöøa ñoaùn & ε = 10 , n +1 -3 10 ⇒ N0 = minh ? c/ Chöùng chaët ⇒ n ≥ N0 = ?

GIÔÙI HAÏN VOÂ CUØNG – DAÕY PHAÂN KYØ

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Giôùi haïn = ±∞ (vaãn laø phaân kyø): Khoâng theå | x∀ alôùn | ! baát kyø n – lim xxeùt = ∞ ⇔ M , ∃ N 0 ∈ N : xn > M ∀ n ≥ N 0 n n →∞

lim xn = ∞ ⇔ ∀ M (aâm)tuyøyù, ∃ N 0 ∈ N : xn < M ∀ n ≥ N 0 n →∞

Ñònh

nghóa

{xn}

phaân

kyø:

Phuû

ñònh

(loâgich)∃ meänh hoäi a ∈ R, ∀ εñeà > 0 luoân ∃ Ntuï Hoäi 0 ∈ N : xn − a < ε ∀ n ≥ N 0 tuï: Phaân

∀ a ∈ R, ∃ ε > 0 : ∀ N 0 ∈ N ∃ n ≥ N 0 ñeåxn − a ≥ ε

kyø: Thöïc teá tìm giôùi haïn: Ít duøng caùch chöùng

TÍNH CHAÁT GIÔÙI HAÏN

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

lim toång (hieäu, tích, thöông, caên v.v…) = Toång (hieäu …lim ) lim ( xn ± yn ) = lim xn ± lim yn n →∞ n →∞ n →∞  ∃ lim xn , lim yn ⇒ lim xn yn = lim xn lim yn ÑK : lim yn ≠ 0 n →∞ n →∞ n →∞ n →∞ n →∞ n →∞  xn = lim xn ÑK : xn ≥ 0 & lim xn ≥ 0 lim n →∞ n →∞ n →∞

(

(

)

)

lim xn = a ⇔ Moïi daõy con cuûa {xn}lim xnk = a ñeàu → a: Daõy {xn} phaân kyø ⇔

k →∞

∃ moät daõy con phaân kyø cuûa {xcon } hoäi tuï coù ∃ hai daõy n

lim ≠ nhau VD: Chöùng toû daõy {xn} = {(–1)n}

GIÔÙI HAÏN CÔ BAÛN

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Luõy thöøa:

α > 0 ⇒ lim nα = ∞  n →∞ Haøm  α n =0 α < 0 ⇒ lim n →∞ muõ:

a > 1 ⇒ lim a n = ∞  n →∞  n 0 < a < 1 ⇒ lim a =0  n →∞ n

1 1  n 2 −1 2 a / lim n = ∞ b / lim n = lim = 0 c / lim 2 = ∞ & lim   = 0 n →∞ n →∞  3  n →∞ n →∞ n →∞ n 1 1 1 1  =2 VD: (Toång caáp lim 1 + + +  + n  KQ n →∞  2 4 2  1 −1 2 soá nhaân) : n +1 1 − q 2 n lim (1 + q + q +  + q ) Hdaã 1 + q +  + q n = Toång n →∞ 1− q quaùt: n: n n 1 a 1 +  = e & lim 1 +  = e a n lim n =1 Soá lim Hay     n → ∞ n →∞  n → ∞ n  n e: gaëp:

NGUYEÂN TAÉC TÍNH GIÔÙI HAÏN

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bieán ñoåi bieåu thöùc caàn tính lim veà giôùi haïn cô baûn & thay2 vaøo 2n + 1 3 ⋅ 5n − 2 n lim ( n − n − 1) lim n VD: Tính giôùi lim 2 n →∞ n →∞ n − 1 n →∞ 4 + 2 ⋅ 5 n haïn: 2 2 2 2 ( ) 2+0 2 + lim 1 n 2n + 1 n [2 + 1 n ] n →∞ = lim 2 = = =2 Giaû lim 2 2 n →∞ n − 1 n →∞ n [1 − 1 n 2 ] 1 − lim (1 n ) 1 − 0 n →∞ i: n 3 ⋅ 5n − 2 n 5n 3 − ( 2 5) 3 lim n = lim n = n →∞ 4 + 2 ⋅ 5 n n →∞ 5 ( 4 5 ) n + 2 2

[ [

] ]

n − ( n − 1) 1 lim ( n − n − 1) = lim = lim =0 n →∞ n →∞ n → ∞ n + n −1 n (1 + 1 − 1 n ) Thöïc

2n 2 + 1 2x2 +1 lim 2 → lim 2 : Giôùi haïn haøm → n →∞ n − 1 x →∞ x − 1

GIÔÙI HAÏN KEÏP

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Cho

3

daõy

{xn},

{ynx}, ≤{zy n}≤ z ∀ n ≥ N  n n n 0 ⇒ ∃ lim yn & lim yn = a  lim x = lim z = a n →∞ n →∞ n→∞ n n→∞ n Heä

quaû

a

yn = 0 ⇒ lim xn = 0 (hay 0 ≤ xn ≤ yn ∀ n & lim n →∞ n →∞

söû duïng): n! n sin n VD: lim n lim 2 n →∞ n n →∞ n + 1 n sin n n 0≤ 2 ≤ 2 →0 n +1 n +1 n n VD: lim n →∞

xn ≤ y n ≤ z n

n

n! 1⋅ 2 n 1 0< n = ≤ →0 n n ⋅ n n n n n 1000 1   ≤  →0 Vôùi n ≥ 0 <     n    2 2000: n + n + 1 + 1 n n n ⋅ n ⋅11 ≤ →1 Coâ 1 ≤ n = n 1000   lim   n →∞  n 

TIEÂU CHUAÅN WEIRSTRASS

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Chöùng minh daõy hoäi tuï → Hay duøng: Tính ñôn ñieäu & bò chaën Tieâu chuaån Daõy taêng & chaën treân Weirstrass:

thì hoäi tuï & chaën döôùi Daõy giaûm

n thì hoäi tuï 1 1 +  VD: Chöùng minh toàn taïi giôùi lim   n →∞  n haïn (soá e) n n +1 n 1 1 1 1 +  ≤ 1 +  ⇔ n +1 1 +  ≤ 1 + 1 Giaûi: Daõy       n n + 1 n n +1       taêng: n 1 + 1  ⋅ 1 ≤ ( 1 + 1 n ) +  + 1 = n ( 1 + 1 n ) + 1 = 1 + 1 n + 1 Bñt   n +1 n +1 n +1  n Coâsi: Bò chaën treân: Xem SGK, Ñoã Coâng Khanh,

TOÅNG KEÁT

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Caùc kyõ thuaät chöùng minh daõy hoäi tuï  Baèng ñònh nghóa: Tìm giaù trò a = limxn .  Tính Ñöa veà bieåu thöùc theo Giaûi |xngiôùi − a| ≤ haïn: ε caùc giôùi côphía baûn xnhaïn töø 2 ⇒ Tính chaát  Chaën  3 daõy keïp minh daõy taêng & chaën treân Chöùng (giaûm & chaën döôùi) Chöùng minh daõy phaân kyø: Chæ ra 2 daõy con coù lim khaùc nhau hoaëc toái thieåu moät daõy con khoâng coù giôùi haïn Maple: >limit( …, n=infinity); VD: limit( n/(n+1), n=infinity) BT: Saùch giaùo khoa & Boå sung