Portafolio de Curso Errores y Ajustes Geodesicos

BRYAN JIMENEZ MONTOYA

errores y ajustes geodesicos portafolio de curso

UNIVERSIDAD DE COSTA RICA I SEMESTRE, 2013.

1

INDICE INTRODUCCIÓN

3

TEORÍA DE ERRORES

4

EJERCICIO 1 EJERCICIO 2

5 7

PROPAGACIÓN DE ERRORES EJERCICIO 1

AJUSTE DE OBSERVACIONES DIRECTAS

9

15

EJERCICIO 1

16

EJERCICIO 2

22

AJUSTE DE AMARRADO CON OBSERVACIONES MEDIATAS EJERCICIO 1 EJERCICIO 2 EJERCICIO 3 EJERCICIO 4 EJERCICIO 6

CONCLUSIÓN 2

8

25 26 32 36 40 44

48

INTRODUCCION

Geodesia es la ciencia para determinar el tamaño y la for-

ma de la Tierra (incluyendo variaciones temporales), usando mediciones principalmente de distancias y angulos. Estas han convertido a la geodesia en una de las principales ciencias de la Tierra, donde la alta precisión de las observaciones ha permitido su aplicación en muchas ramas del estudio físico del planeta y también de cuerpos celestes.

El siguiente documento trata de una modesta bitácora donde se encontraran diversas prácticas que fueron necesarias para la enseñanza del tratamiento de los errores y ajustes en las mediciones geodésicas, a lo largo del curso impartido por la profesora e ingeniera Gabriela Cordero Gamboa en la Universidad de Costa Rica para la escuela de Ingeniería Topográfica de la Facultad de Ingeniería.

El curso se enfoca en los siguientes temas: Teoría de errores, Propagación de Errores, Ajuste y Observación directas y Ajuste amarrado.

3

TEORIA DE ERRORES

En la geodesia y la topografía se consideran variables aleatorias continuas, es decir, las que permiten obtener varios resultados de una medición determinada, incurriendo a varios tipos de errores en la misma, el ajuste se basa precisamente en la existencia de estos errores.

La teoría de errores trae como el resultante el valor más probable y verdadero, entre más datos de una medición de distancia fija se tengan, mayor exactitud va poseer el cálculo.

4

EJERCICIO 1 Para esta práctica se dividió el grupo en cuadrillas para realizar la medición de las paredes del laboratorio de fotogrametría varias veces, para de esta forma tener varias medidas de cada una de las cuatro paredes y así poder realizar el ajuste correspondiente.

De estos datos se eliminan los errores groseros, una vez hecho esto obtenemos el promedio de dichas mediciones, con este promedio hacemos la matriz de residuos restándole a cada observación el promedio, se comprueba el cálculo con la suma de la matriz de residuos ‘’vi’’ igual a cero. Con la matriz anterior (vi) se obtendrá la matriz ‘’vi²’’ tomando cada entrada y elevándola al cuadrado. Como resultado de esta práctica obtendremos la desviación estándar de cada observación (so) y la desviación estándar del promedio (sx), utilizando las siguientes formulas:

5

A continuación la tabla con los resultados resultados.

L (m) 7,865 7,800 7,750 7,785 7,765 L=7,79m

Residuo (m) 0,072 0,007 -0,043 -0,008 -0,028 Σ 0,000

V (mm) 72,000 7,000 -43,000 -8,000 -28,000 Σ 0,000

V� (mm) 5184 49 1849 64 784 Σ 7930,000

L (m) 6,558 6,552 6,525 6,525 6,560 L=6,54m

Residuo (m) 0,01m 0,01m -0,02m -0,02m 0,02m Σ 0,000

V (mm) 14,00mm 8,00mm -19,00mm -19,00mm 16,00mm Σ 0,000

V� (mm) 196 64 361 361 256 Σ 1238,000

L (m) 7,770

Residuo (m) 0,01m

V (mm) 6,50mm

V� (mm) 42,25

PROMEDIO

7,757 7,752 7,775 L=7,76m

-0,01m -0,01m 0,01m Σ 0,000

-6,50mm -11,50mm 11,50mm Σ 0,000

42,25 132,25 132,25 Σ 349,000

D

L (m) 6,486 6,480 6,490

Residuo (m) 0,00m -0,01m 0,00m

V (mm) -1,75mm -7,75mm 2,25mm

V� (mm) 3,0625 60,0625 5,0625

PROMEDIO

6,495 L=6,49m

0,01m Σ 0,000

7,25mm Σ 0,000

52,5625 Σ 120,750

A

PROMEDIO

B

PROMEDIO

C

6

±44,53mm DESVIACION ESTANDAR

±19,91mm DESV. ESTANDAR PROMEDIO

±17,59mm DESVIACION ESTANDAR

±7,87mm DESV. ESTANDAR PROMEDIO

±10,79mm DESVIACION ESTANDAR

±5,39mm DESV. ESTANDAR PROMEDIO

±6,34mm DESVIACION ESTANDAR

±3,17mm DESV. ESTANDAR PROMEDIO

EJERCICIO 2 La segunda parte de la practica fue medir una de las mesas del laboratorio de Fotogrametría, con estos valores y unas desviaciones estándar de los equipos de medición dadas por la profesora procedimos a sacar la desviación estándar de las observaciones.

El procedimiento fue el siguiente con las matriz L de distancias observadas se sacó la matriz F(A) que era igual al área de la mesa (L*l), la profesora nos proporcionó los datos de las desviaciones del equipo los cuales fueron 0.01m y 0.015m.

La matriz ∑LL utiliza el cuadrado de esos valores y los acomoda en diagonal y la matriz F proviene de las derivadas parciales de T fórmula de la matriz F(A) L*l, y esta matriz F se traspone F .

Se manipulan algebraicamente las matrices anteriores para ir obteniendo los resultados con las formulas dadas a continuación en el cuadro de cálculo.

L=

3,6 0,6

m

F(A)=

2,16

m²

∑LL= F=

F*∑LL= T F*∑LL*F =

0,0001 0

0 0,000225 m�

0,6

0,00006

3,6

m

T

F=

0,6 3,6

m

0,00081

0,002952 0,0543323 m

Nota resultados

DESVIACION ESTANDAR OBSERVADA

2,5

±5,43cm

7

PROPAGACION DE ERRORES

Es topografía y geodesia, es común efectuar mediciones para determinar ciertas magnitudes, las cuales no se puede medir de forma directa.

De esta forma, los errores que afectan las observaciones, también afectaran las variables calculadas, por lo que para conocer el error del valor calculado, se recurre a la propagación de errores.

De forma matricial, la ley general de propagación de errores es la siguiente: T ∑ff=F*∑LL*F ∑ff =matriz de varianza-covarianza de las funciones ∑LL =matriz de varianza-covarianza de las observaciones F=matriz de derivadas parciales de las funciones

8

EJERCICIO Ya anteriormente lo habíamos utilizado en la segunda parte de la practica 1, pero aquí lo profundizamos.

En esta ocasión se divido el grupo en cuadrillas a recolectar datos en el campo con una Estación Total de la marca Sokkia con una desviación dado por el fabricador del equipo de 3mm±2ppm lineal y angular de 5’’, Los datos a recolectar era salir del punto conocido “CON” (1000,1000) y llegar al otro punto conocido “IGN” ahí en la misma Universidad de Costa Rica, una cuadrilla iba en una dirección opuesta a la otra cuadrilla con el fin de obtener más da-

CUADRILLA #1

E 1000,0000 1099,8897 1170,9364 1337,1318

N 1000,0000 963,2468 949,7608 1047,0094

E 1000,0000 CUADRILLA 885,8370 #2 897,2190 924,3940

N 1000,0000 845,4320 765,3460 668,1660

9

tos de una misma medida y hacer más precisa la práctica. El procedimiento del cálculo comenzó con la transformación de puntos de coordenadas a datos polares, con esto sacamos la matriz L. La matriz s0 son las desviaciones lineales y angulares del equipo, las primeras vienen dadas por el fabricantes “3mm±2ppm y tratada por la formula Donde “a” corresponde a 3 mm, “b” a 2ppm y “d” la distancia en la matriz L en kilómetros.

La matriz SLL viene dada por el cuadrado de la matriz s0 acomodada en diagonal, la matriz f es consecuencia de la función que determina las componentes en “x” y “y” de la distancia L, más la suma de los valores iniciales de las coordenadas (1000,1000), este proceso es el que cambiara los valores del calculo que reptitivo a lo largo de todo el ajustes ya que se irán concatenando los valores de las coordenadas obtenidas al final de este, para calcular el siguiente punto.

Con estas funciones dadas es necesario sacar las derivadas parciales de ellas, tomando como variables el valor de L igual a “d” y en la otra derivada parcial el valor del ángulo en azimut “t” a esta última función debemos multiplicarla por el valor P (π/180) para linealizar el ángulo y trabajar congruentemente a lo que buscamos, que son valores lineales.

Ya con estas matrices iniciales y manipulación algebraica de ellas con las formulas anexas en los cuadros siguientes se procede al finalizar el ajuste.

10

L=

0,1064366 110,2013889

km °

s 0=

3,007543017 5

mm "

SLL=

9,045314999 0

f=

F*SLL=

1099,8891 963,2452

8,489 -3,124

E1 1000,000m N1 1000,000m

L= 106,4366 m 110,2014 °

0,0000 25

mm� seg2

F=

m

-16,037 -43,585

d1

t1

0,938485 -0,345321

-0,641492061 -1,743393953

FT=

F*SLL*FT=

18,25449393 25,02794319

25,0279432 77,0641846

0,93848465 -0,345321 -0,6414921 -1,743394

INCOGNITAS AJUSTADAS Y SU RESPECTIVA DESVIACION ESTANDAR SE2 ±4,273mm E2 1099,889m N2 963,245m SN2 ±8,779mm

Como resultados del ajustes obtenemos las incógnitas de las coordenadas del siguiente punto en la matriz f y su respectiva desviación estándar dada por la raíz de los valores diagonales en matriz. F*SLL*FT. Era de esperarse que los puntos siguientes no estuvieran en coordenadas lejanas puesto que en el campo no se hicieron puntos de cambio con mucha longitud de por medio, como también era de esperarse que la desviación nos diera milimétrica, por obvias razones de precisión.

El siguiente paso se trata de lo mismo básicamente, solo que tomaremos como coordenadas iniciales las obtenidas como respuesta en el ajuste anterior, además de agregarle a la matriz de desviaciones s0 los nuevos valores correspondientes a las coordenadas antes citadas.

11

L=

72,3628 100,7472222 1,099889116 963,2452123

km "

s0 =

3,003488888 5 4,273 8,779

mm " mm mm

SLL=

f=

F*SLL=

L=

E2 1099,889m N2 963,245m

72,3628 m 100,7472222 °

9,021

0,000

0,000

0,000

mm�

0,000 0,000 0,000

25,000 0,000 0,000

0,000 18,254 0,000

0,000 0,000 77,064

seg mm mm

1170,9826 949,7513

F=

m

8,863 -1,682

-5,888 -31,020

18,254 0,000

2

d1

t1

E2

N2

0,98245944 -0,186476405

-0,235514 -1,240816

1 0

0 1

0 77,06418456

F*SLL*FT=

28,3484204 5,65304936

0,98245944 -0,186476 -0,235513941 -1,240816 F= 1,000 0,000 0,000 1,000 T

5,653049 115,8685

INCOGNITAS AJUSTADAS Y SU RESPECTIVA DESVIACION ESTANDAR SE3 ±5,324mm E3 1170,983m SN3 ±10,76mm N3 949,751m

Se repite la misma metodología a lo largo de todo el circuito concatenado las coordenadas y sus desviaciones para obtener las siguientes hasta llegar al inicio del circuito.

L=

192,5328 59,66611111 1,170982631 949,7512575

km "

s0=

3,024611631 5 5,324 10,764

mm " mm mm

SLL=

f=

F*SLL=

L=

192,5328 59,66611111

E3 1170,983m N3 949,751m

m °

9,148

0,000

0,000

0,000

mm�

0,000 0,000 0,000

25,000 0,000 0,000

0,000 28,348 0,000

0,000 0,000 115,868

seg2 mm mm

1337,1571 1046,9877

7,896 4,620

F=

m

42,427 -72,507

28,348 0,000

d1

t1

E3

N3

0,8631 0,5050

1,6971 -2,9003

1,0000 0,0000

0,0000 1,0000

0 115,8684782

F*SLL*FT=

107,166649 -119,0641 -119,06411 328,49418

INCOGNITAS AJUSTADAS Y SU RESPECTIVA DESVIACION ESTANDAR E4 SE4 ±10,35mm 1337,157m SN4 ±18,12mm N4 1046,988m

12

FT=

0,863096985 1,697095695 1,000 0,000

0,5050382 -2,900292 0,000 1,000

L=

192,137 233,5508333 1,337157111 1046,987678

km "

s0=

3,024510953 5 10,352 18,124

mm " mm mm

SLL=

f=

F*SLL=

L=

192,137 233,5508333

E4 1337,157m N4 1046,988m

m °

9,148

0,000

0,000

0,000

mm�

0,000 0,000 0,000

25,000 0,000 0,000

0,000 107,167 0,000

0,000 0,000 328,494

seg2 mm mm

1182,6051 932,8373

F=

m

-7,358 -5,435

-49,808 67,436

107,167 0,000

d1

t1

E4

E4

-0,8044 -0,5941

-1,9923 2,6974

1,0000 0,0000

0,0000 1,0000

F*SLL*FT=

0 328,4941828

FT=

-0,804384276 -0,594109 -1,992300162 2,6974409 1,000 0,000 0,000 1,000

212,316999 -129,9812 -129,9812 513,62769

INCOGNITAS AJUSTADAS Y SU RESPECTIVA DESVIACION ESTANDAR SE5 ±14,57mm E5 1182,605m SN5 ±22,66mm N5 932,837m

L=

80,89 278,0886111 1,182605129 932,8372875

km "

s0=

3,004358961 5 14,571 22,663

mm " mm mm

SLL=

f=

F*SLL=

L=

80,89 278,0886111

E5 1182,605m N5 932,837m

m °

9,026

0,000

0,000

0,000

mm�

0,000 0,000 0,000

25,000 0,000 0,000

0,000 212,317 0,000

0,000 0,000 513,628

seg2 mm mm

1102,5199 944,2189

-8,936 1,270

F=

m

4,966 34,944

212,317 0,000

d1

t1

E5

E5

-0,9901 0,1407

0,1986 1,3978

1,0000 0,0000

0,0000 1,0000

0 513,6276889

F*SLL*FT=

FT= -0,990051646 0,1407044 0,198646081 1,3977518 1,000 0,000 0,000 1,000

222,150981 5,6840599 5,68405987 562,64914

INCOGNITAS AJUSTADAS Y SU RESPECTIVA DESVIACION ESTANDAR SE6 ±14,9mm E6 1102,520m SN6 ±23,72mm N6 944,219m

13

L=

100,911 285,635 1,102519851 944,2188695

km "

s0=

3,006781023 5 14,905 23,720

mm " mm mm

SLL=

f=

F*SLL=

L=

100,911 285,635

E6 1102,520m N6 944,219m

m °

9,041

0,000

0,000

0,000

mm�

0,000 0,000 0,000

25,000 0,000 0,000

0,000 222,151 0,000

0,000 0,000 562,649

seg2 mm mm

1005,3427 971,4152

-8,706 2,437

F=

m

11,867 42,402

222,151 0,000

d1

t1

E6

E6

-0,9630 0,2695

0,4747 1,6961

1,0000 0,0000

0,0000 1,0000

0 562,6491374

FT= -0,962998113 0,2695081 0,474665594 1,6960604 1,000 0,000 0,000 1,000

F*SLL*FT= 236,167728 17,780144 17,780144 635,22133

INCOGNITAS AJUSTADAS Y SU RESPECTIVA DESVIACION ESTANDAR SE1 ±15,37mm E1 1005,343m SN1 ±25,2mm N1 971,415m

Al llegar al resultado final es decir a la coordenada inicial se nota una clara diferencia lineal, además de una desviación estándar muy alta, la primera se debe muchos factores como lo pueden ser equipos mal calibrados, mal operadum en la labor de medición o de estacionarse, la segunda se debe a que el trayecto concatenado de desviaciones crece con respectos a los puntos que vayamos pasando a lo largo del ajuste, entre mayor sea la ruta de coordenadas, más alta será la desviación en el final, es decir la coordenada de partida.

Para esta práctica se realizó también este procedimiento pero con las coordenadas reales, pero al ser el mismo procedimiento de obvío a la hora de bitacorarlo en el portafolio.

14

AJUSTE DE OBSERVACIONES DIRECTAS

Una sola variable aleatoria se determina por una sola observación. La observación despeja la incógnita que es el valor de la variable.

Si se realizan más de una observación se dice que la incógnita se determina por medio de un ajuste de mínimos cuadrados.

-n cantidad de observaciones y u cantidad de incógnitas.

-El valor ajustado de la incógnita se determina con f=n-u.

-En el ajuste de observaciones directas siempre se considera UNA INCÓGNITA, entonces u=1 y f=n–1.

15

EJERCICIO 1 En la medición de una distancia se usaron distanciómetros de exactitudes nominales diferentes. El equipo A tiene una exactitud nominal de ± 3mm ± 2 ppm y el equipo B una exactitud de ± 5mm ± 3ppm. Los valores en metros están en el cuadro de la derecha, donde los primeros seis valores corresponden con los resultados de la medición con el equipo A y los últimos seis a las mediciones con el equipo B. Usando el algoritmo de ajuste de observaciones directas y cálculo matricial resuelva lo siguiente: a) Asumiendo que no hay correlación, calcule el promedio de la distancia y su desviación estándar. b) Asumiendo que todas las observaciones tienen igual peso P=I y que no hay correlación, calcule el promedio y su desviación estándar. c) Asumiendo que existe un coeficiente de correlación teórico p = 0.75 entre las observaciones medidas con un mismo equipo, pero que entre los conjuntos de observaciones con el equipo A y el equipo B no hay correlación, calcule el promedio de la distancia y desviación estándar.

95.1010 95.1020 95.0990 95.1120 95.0990 L(gon)= 95.1000 95.1000 95.1010 95.1020 95.0990 95.0900 95.0100 16

PASO 1-INSUMOS

L(m)=

3-PROM

PASO 2-DESV. NOMINAL mm 3 3 3 3 3 3 5 5 5 5 5 5

95,101 95,102 95,099 95,112 95,099 95,100 95,100 95,101 95,102 95,099 95,090 95,010

95,093

ppm 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3

3,00602 3,00602 3,00602 3,00602 3,00602 3,00602 5,00813 5,00813 5,00813 5,00813 5,00813 5,00812

s=

l=

mm

0 0 9,036 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 9,036 0 0 0 0 0 0 0 0

0,111 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,111 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,111 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,111 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

eT=

1

1

1

1

1

e *PLL=

0,111

0,111

0,111

0,111

0,111

T

e=

mm

PASO 6- MATRIZ DE COVARIANZA 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9,036 0 0 0 9,036 0 0 0 25,081 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 9,036 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

PLL=

8,083 9,083 6,083 19,083 6,083 7,083 7,083 8,083 9,083 6,083 -2,917 -82,917

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

m

9,036 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

SLL=

PASO 5-VECTOR UNIATRIO

PASO4-OBS. REDUCIDAS

0 0 0 0 0 0 0 25,081 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 25,081 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 25,081 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 25,081 0

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,040 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,040 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,040 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,040 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,040 0,000

1

1

1

1

1

1

1

0,111

0,040

0,040

0,040

0,040

0,040

0,040

-4,733158 -1,733158482 -14,73315848 -1,733158482 -2,733158482 -2,733158482

-3,733158

-4,733158

-1,733158 7,2668415

87,266842

9,0833333

8,0833333

9,0833333

6,0833333

-82,91667

PASO 7- MATRIZ DE PESOS 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,111 0,000 0,000 0,111 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 25,081 mm�

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,040 1/mm�

T

e *PLL*l= 3,929160435 eT*PLL*e= 0,903218967

PASO 9-REDUCIDAS -3,733 -4,733 -1,733 -14,733 v= -1,733 -2,733 -2,733 -3,733 -4,733 -1,733 7,267 87,267 mm

vT=

-3,73315848

T

l = 8,083333333

L^=

x=

PASO 8-PROM GENERAL 4,350174851 mm

PASO 10-PRUEBAS eT*P*v= vT*P*v= T l *P*v=

6,083333333

95,097 95,097 95,097 95,097 95,097 95,097 95,097 95,097 95,097 95,097 95,097 95,097 m

X^= s 0= Sx=

0  337,140162  -337,140162

19,08333333

6,083333333

95,09726684 m 5,53616344 mm 5,825220625 mm

-0,413 -0,52380096 -0,19180222 -1,630462214 -0,19180222 -0,302468486 P*v= -0,108971545 -0,148841724 -0,188711897 -0,069101361 0,289730542 3,479366818

7,083333333

7,083333333

-2,916667

PASO 11- INCOGNITA AJUSTADA PASO 12- DESV. ESTANDAR DE UNA OBSERVACION PASO13- DESV. ESTANDAR DE LA INCOGNITA AJUSTADA

17

En la página anterior se resolvió parte a del ejercicio 1, para este se comenzó sacando la desviación nominal con la formula ya antes expuesta.

Con el promedio de la matriz L se saca la matriz de observaciones reducidas “l” simplemente restando el promedio en cada valor en L. La matriz “SLL” resulto del cuadrado de la matriz “s”, acomodado en diagonal y como en el ejercicio aclara que no hay correlación entonces la matriz se llena de ceros. La matriz de pesos es la inversa de la matriz de covariancia.

Con una matriz unitaria llena de unos “e” y su inversa, se manipula algebraicamente con las formulas mostradas en el cuadro para llegar al paso 8 el “promedio general” este se obtiene de la división T T e *PLL*l/e *PLL*e La matriz “v” sale de la resta de los componentes de la matriz “l” y el valor “x”, que cabidad al paso 10, las pruebas que consisten en verificar que: T e *P*v = 0 T T v *P*v = -l *P*v Después de esto se procede a obtener los resultados: X^ = (Promedio de matriz “L”) - (Promedio General “x”) T

1/2

s0 = ( v *P*v/n-1) T

1/2

sx = s0/(e *PLL*e) 18

Se vuelve a calcular la matriz L para verificar el ajuste: L^ = L - v Como era de esperarse las desviaciones de la incógnita y de una observación se dieron valores de orden milimétricos y la incógnita ajustada concuerda con la matriz L^, dando por satisfecho el ajuste.

En la parte B del ejercicio básicamente es el mismo la diferencia yace en la condición del enunciado que nos dice que las mediciones tienen igual peso o sea que no hay correlación, en el la página siguiente se resuelve el ejercicio donde se nota que la matriz SLL es una matriz identidad por ende la matriz PLL también lo es, por no haber correlación.

La parte C resuelta en la página 21, vuelve a ser similar a los dos anteriores con la particularidad, de que la matriz SLL es más elaborada por la condición del enunciado que expone que hay una correlación entre las observaciones medidas, de 0.75, esto se refleja en la matriz SLL de la siguiete forma; los valores celeste claro son la multiplicación de la primera desviación al cuadrado por el factor de 0.75, y la celeste oscuro es la multiplicación de la segunda desviación al cuadrado por el factor de 0.75, este acomodo en la matriz SLL debe ser específicamente así para obtener el resultado correcto.

En conclusión podemos observar que la incógnita ajustada va ser muy similar en las tres partes, sus variantes se van a dar en las desviaciones estándar pricipalmente; consecuente a que los cambios de condición en los diferentes ejercicios en las correlaciones, se daban en la matrices relacionadas a las desviaciones nominales.

19

PASO 1-INSUMOS

PASO 2-DESV. NOMINAL mm

L(m)=

3-PROM

95,093

PASO 5-VECTOR UNIATRIO

ppm 3 3 3 3 3 3 5 5 5 5 5 5

95,101 95,102 95,099 95,112 95,099 95,100 95,100 95,101 95,102 95,099 95,090 95,010

PASO4-OBS. REDUCIDAS

2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3

1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000

s=

l=

mm

8,083 9,083 6,083 19,083 6,083 7,083 7,083 8,083 9,083 6,083 -2,917 -82,917

e=

mm

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

m

1,000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1,000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1,000 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1,000 0 0 0 0 0 0 0 0

PASO 6- MATRIZ DE COVARIANZA 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,000 0 0 0 1,000 0 0 0 1,000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1,000 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1,000 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,000 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,000 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,000 mm�

1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

PASO 7- MATRIZ DE PESOS 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000 0,000 0,000 0,000 1,000 0,000 0,000 0,000 1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000 1/mm�

e=

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

e *PLL=

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

eT*PLL*l=

0

-7,083333333 -7,0833333 -8,0833333 -9,0833333 -6,0833333

2,9166667

82,916667

SLL=

PLL=

T

T

T

e *PLL*e=

12

PASO 9-REDUCIDAS -8,083 -9,083 -6,083 -19,083 v= -6,083 -7,083 -7,083 -8,083 -9,083 -6,083 2,917 82,917

x=

PASO 8-PROM GENERAL 0 mm

PASO 10-PRUEBAS T 0  e *P*v= vT*P*v= 7754,9167  lT*P*v= 7754,9167

mm

T v = -8,083333333 -9,0833333 -6,0833333 -19,083333 T l = 8,083333333

L^=

20

-8,083 -9,0833333 -6,0833333 -19,083333 -6,0833333 -7,0833333 P*v= -7,0833333 -8,0833333 -9,0833333 -6,0833333 2,9166667 82,916667

9,0833333

95,093 95,093 95,093 95,093 95,093 95,093 95,093 95,093 95,093 95,093 95,093 95,093

6,0833333

19,083333

-6,083333333 6,083333333

X^= 95,092917 m s0= 26,551693 mm Sx= 7,6648137 mm

m

7,083333333

7,0833333

8,0833333

9,0833333

6,0833333 -2,9166667 -82,916667

PASO 11- INCOGNITA AJUSTADA PASO 12- DESV, ESTANDAR DE UNA OBSERVACION PASO13- DESV,ESTANDAR DE LA INCOGNITA AJUSTADA

PASO 1-INSUMOS

L(m)=

3-PROM

PASO 2-DESV. NOMINAL mm 3 3 3 3 3 3 5 5 5 5 5 5

95,101 95,102 95,099 95,112 95,099 95,100 95,100 95,101 95,102 95,099 95,090 95,010

95,093

ppm 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3

3,00602 3,00602 3,00602 3,00602 3,00602 3,00602 5,00813 5,00813 5,00813 5,00813 5,00813 5,00812

s=

PASO 5VECTOR UNIATRIO

PASO4-OBS. REDUCIDAS

l=

mm

8,083 9,083 6,083 19,083 6,083 7,083 7,083 8,083 9,083 6,083 -2,917 -82,917

e=

mm

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

m

9,036 6,777132601 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

6,7771326 9,036 6,7771326 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 6,7771326 9,036 6,7771326 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 6,7771326 9,036 6,7771326 0 0 0 0 0 0 0

PASO 6- MATRIZ DE COVARIANZA 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6,777132601 0 0 9,036 6,7771326 0 6,777132601 9,036 0 0 0 25,081 0 0 18,81104707 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 18,811047 25,081 18,811047 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 18,811047 25,081 18,811047 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 18,811047 25,081 18,811047 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 18,811047 25,081 18,811047

0,362 -0,335 0,085 0,222 -0,380 0,285 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

-0,335 0,446 -0,113 -0,296 0,507 -0,380 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,085 -0,113 0,066 0,173 -0,296 0,222 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,222 -0,296 0,173 0,066 -0,113 0,085 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

PASO 7- MATRIZ DE PESOS -0,380 0,285 0,000 0,507 -0,380 0,000 -0,296 0,222 0,000 -0,113 0,085 0,000 0,446 -0,335 0,000 -0,335 0,362 0,000 0,000 0,000 0,130 0,000 0,000 -0,121 0,000 0,000 0,030 0,000 0,000 0,080 0,000 0,000 -0,137 0,000 0,000 0,103

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 -0,121 0,161 -0,041 -0,107 0,183 -0,137

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,030 -0,041 0,024 0,062 -0,107 0,080

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,080 -0,107 0,062 0,024 -0,041 0,030

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 -0,137 0,183 -0,107 -0,041 0,161 -0,121

eT=

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

eT*PLL=

0,238

-0,170

0,136

0,136

-0,170

0,238

0,086

-0,061

0,049

0,049

-0,061

0,086

-10,00553416 -11,005534 -12,005534 -9,0055342 -0,0055342

79,994466

SLL=

PLL=

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 18,811047 25,081 mm�

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,103 -0,137 0,080 0,030 -0,121 0,130 1/mm�

T

e *PLL*l= -1,624241217 eT*PLL*e=

0,55582806

PASO 9-REDUCIDAS -11,006 -12,006 -9,006 -22,006 v= -9,006 -10,006 -10,006 -11,006 -12,006 -9,006 -0,006 79,994

PASO 8PROM GENERAL x= -2,9222008 mm

P*v= PASO 10-PRUEBAS eT*P*v= vT*P*v= lT*P*v=

mm

8,882E-16  798,94658  798,94658

vT= -11,00553416 -12,005534 -9,0055342 -22,005534 T

l=

8,083333333

L^=

9,0833333

95,090 95,090 95,090 95,090 95,090 95,090 95,090 95,090 95,090 95,090 95,090 95,090

6,0833333

X^= s0= Sx=

19,083333

-9,005534159 -10,005534 6,083333333

95,090 m 8,522 mm 11,431 mm

7,0833333

-5,036 5,091001123 -3,523286735 -1,722098125 2,572392456 -3,036569762 7,161523761 -10,08059506 5,694213607 1,850091998 -8,639739234 9,669258255

7,083333333

8,0833333

9,0833333

6,0833333 -2,9166667 -82,916667

PASO 11- INCOGNITA AJUSTADA PASO 12- DESV, ESTANDAR DE UNA OBSERVACION PASO13- DESV,ESTANDAR DE LA INCOGNITA AJUSTADA

m

21

EJERCICIO 2 Las líneas MN y P1P2, representan en teoría dos ejes perpendiculares que se usan como apoyo para el replanteo de diferentes elementos en la construcción de una represa. El punto N es punto elevado e inaccesible para la colocación de un prisma, pero accesible para hacer puntería. Se requiere prolongar la línea MN definiendo un punto C sobre el eje P1P2. El topógrafo de la compañía diseña el sistema que se muestra en el gráfico en el cual replantea los puntos A y B de forma de que sean colineales con P1P2. Desde estos dos puntos mide los ángulos correspondientes y la distancia de la base AB con los equipos de la empresa. Con este sistema, el topógrafo aplica la ley general de propagación de errores para determinar si el punto C se puede replantear con una exactitud de ± 5 mm desde los puntos A y B, marcando las distancias p y q respectivamente. La medición de la base AB y del ángulo α se hizo con una estación total de ± 3mm ± 2 ppm y ± 3 mgon por dirección medida en dos posiciones en la parte lineal y angular respectivamente. Adicionalmente el ángulo β y la base AB se midieron con otra estación total de la empresa de exactitud nominal ± 5 mm ± 3 ppm y 5 mgon por dirección medida en dos posiciones. Con esta información determine: Mediante un ajuste de observaciones directas, el promedio de la base AB, el promedio del ángulo α y el promedio del ángulo β, así como Mediciones en A Mediciones en B sus desviaciones estándar.

M CROQUIS SIN ESCALA

N

A P2

22

α

p

β

C

q

B P1

n

L n

L

1 2 3

1 2 3 4 5 6

199,998 m 200,002 m 199,999 m

64,154 gon 64,155 gon 64,159 gon 64,157 gon 64,150 gon 64,154 gon

1 2 3

199,997 m 200,002 m 200,009 m

1 2 3 4 5 6

70,825 gon 70,824 gon 70,823 gon 70,830 gon 70,829 gon 70,828 gon

PASO 1-INSUMOS

199,998 200,002 199,999 199,997 200,002 200,009

L (m) =

± 3 mm ± 3 mm ± 3 mm ± 5 mm ± 5 mm ± 5 mm

200,001

3-PROM

PASO 2-DESV. NOMINAL

± 2 ppm ± 2 ppm ± 2 ppm ± 3 ppm ± 3 ppm ± 3 ppm

0 9,1600032 0 0 0 0

0,1091703 0 0 0 0 0

0 0,1091703 0 0 0 0

eT=

1

1

eT*PLL=

0,1091703

0,1091703

PLL=

± 3,026548661 mm ± 3,026549719 mm ± 3,026548926 mm s= ± 5,035870253 mm ± 5,03587204 mm ± 5,035874542 mm

l =

PASO 5-VECTOR UNIATRIO

-3,166666667 0,833333333 -2,166666667 e= -4,166666667 0,833333333 7,833333333 mm

1 1 1 1 1 1

m

9,1599968 0 0 0 0 0

SLL=

PASO4-OBS. REDUCIDAS

PASO 6- MATRIZ DE COVARIANZA 0 0 0 0 0 0 9,1599984 0 0 0 25,3599892 0 0 0 25,3600072 0 0 0 PASO 7- MATRIZ DE PESOS 0 0 0 0 0,1091703 0 0 0,039432193 0 0 0 0

1

0 0 0 0 0,039432165 0

0 0 0 0 0 25,360032 mm�

0 0 0 0 0 0,0394321 1/mm�

1

1

1

0,1091703 0,039432193

0,039432165

0,0394321

0,833333333

7,8333333

eT*PLL*l= -0,3138222 eT*PLL*e=

0,4458074

PASO 9-REDUCIDAS 2,4627254 -1,5372746 v= 1,4627254 3,4627254 -1,5372746 -8,5372746 mm

lT =

-3,1666667

PASO 8PROM GENERAL x= -0,7039413 mm PASO 10-PRUEBAS 0  vT*P*v= 4,593699443  lT*P*v= -4,593699443

0,8333333 -2,1666667 -4,166666667

vT =

2,4627254 -1,5372746

1,4627254 3,462725383

-1,537274617 -8,5372746

vTPLL =

0,2688566 -0,1678247

0,1596862 0,136542857

-0,060618067 -0,3366429

lTPLL =

-0,3457061

0,0909752 -0,2365357 -0,164300806

200,0005 m X^= s0= ±0,958509201151774 mm Sx= ±1,43556426581079 mm

0,032860138

0,308885

PASO 11- INCOGNITA AJUSTADA PASO 12- DESV, ESTANDAR DE UNA OBSERVACION PASO13- DESV,ESTANDAR DE LA INCOGNITA AJUSTADA

L^=

200,00046 200,00046 200,00046 200,00046 200,00046 200,00046

23

Este ejercicio es básicamente lo mismo que la parte a del ejercicio anterior por esa razón no explicare los detalles de la solución.

Los resultados expone que la incógnita ajustada es muy similar al promedio en la matriz de observaciones lo cual era de esperarse, y las desviaciones totales son menores a las dadas al principio, es importante rescatar esto ya que las desviaciones obtenidas son muy pequeñas, eso refleja una mayor precisión en el ajuste.

Se puede probar si el ejercicio esta bueno con la suma en la matriz L^ debe dar igual en todas sus componentes, esta suma esta dadapor la matriz “L” y la matriz “v”.

24

AJUSTE DE AMARRADO OBSERVACIONES MEDIATAS

Las observaciones mediatas se deducen o se calculan a partir de observaciones directas. En topografía y geodesia, son las que se miden en el campo. Para calcularlas se necesitan fórmulas o funciones.

El ajuste establece una relación entre las observaciones y las coordenadas a determinar, las cuales representan a las incógnitas, este planteamiento matemático es una de las bases del ajuste de observaciones mediatas.

25

EJERCICIO 1 Calcule: 1. Las coordenadas ajustadas del punto nuevo CABUYAL. 2. La desviación estándar de las coordenadas ajustadas.

3. Las observaciones ajustadas.

4. La desviación estándar de las observaciones ajustadas.

Los puntos LAGARTO y BASE NORTE son fijos el punto nuevo es CABUYAL. Las observaciones se asumen sin correlacion, los datos para la desviación estándar a priori son: S= ±10mm+3ppm α= ±3CC SI S2 L=αl α2 α3

26

17932,709 12380,150 48,006090 91,777716 60,216763

Norte Lagarto m Este Lagarto m X= Norte Base Norte gon Este Base Norte gon Norte Cabuyal gon Este Cabuyal

229758,605 436078,236 224075,445 449597,896 236011,2 452885,3

Para la resolución de este ejercicio primero se saca los grados de libertad que necesitaremos más adelante con la formula: f=n-u Se obtienen con las coordenadas previas las observaciones aproximadas, para el caso de las distancias con la fórmula: 1/2

d=((n2-n1)2+(E1-E2)) Para el caso de los ángulos:

α=arctan((E1-E2)/(N1-N2)) Seguidamente la matriz “l” es consecuencia de la resta de las observaciones y las observaciones aproximadas, he aquí la base de la solución del problema, la relación entre lo que se obtienen en el campo con mediciones y lo que se puede obtener matemáticamente.

Los pasos 3 y 4 son básicamente lo mismo que en los ejercicios anteriores. Con el paso 5 es donde se debe poner la mayor atención y es donde se encuentre la mayor dificultad en el problema; la matriz de configuración “A” sale de las derivadas parciales de las fórmulas para sacar los valores aproximados, es de suma importancia saber que se está derivando con respecto a que, para facilitar el cálculo se hace una matriz de posición que se encuentra al lado de la matriz A; esta funciona de la siguiente manera: Utilizaremos como ejemplo la primera derivada, la distancia S1, esta se midió estacionado en BASE NORTE, según el croquis, eso quiere decir que a la izquierda tengo LAGARTO y a la derecha a CABUYAL, con la convención donde “i” es izquierda 27

y “j” es derecha, y como lo que me piden es CABUYAL entonces derivo parcialmente con respecto a “j” lo que me queda la siguiente función: Esta metodología se usa para obtener todos los valores de la matriz A, ademas se linealizan los valores angulares por el numero rho (л/180).

Para los pasos 6, 7, 8, 9 y 10 basta con seguir las formulas expuestas en el mismo ejercicio para manipular algebraicamente las matrices.

El paso 11 y 12 son las pruebas, las cuales deben cumplir las mismas que antes vimos en la página 18, en los pasos 15, 16 y 17 es manipulación algebraica de matrices con las formulas expuestas en la solución.

En el último paso el 17 es usa la formula expuesta con el cuidado que los valores que se deben usar para la QLL^ es la diagonal solamente marcada con el color celeste en el ejercicio resuelto, esto va aplicar para el resto de soluciones en las futuras practicas que aparecerán.

28

1. GRADOS DE LIBERTAD n 5

u 2

f 3

COORDENADAS PREVIAS N Lagarto E Lagarto X= N Base Norte E Base Norte N Cabuyal E Cabuyal

l=L-L0=

229758,605 436078,236 224075,445 449597,896 236011,2 452885,3

27,0668 -4,6787

mm mm

-9,8370

cc

12,5393

cc

2,9876

cc

PASO 2. OBSERVACIONES MEDIDAS 17932,709 s1 12380,15 s2 48,00609 L= α1 91,777716 α2 60,216763 α3

OBSERVACIONES APROXIMADAS 1793243,8 cm s1 1238019,7 cm s2 L= α1 48,0070737 gon α2 91,77646207 gon α3 60,21646424 gon

s1 s2 s= α1 α2 α3

5,47196 3,84631

mm mm

3,00000

cc

3,00000

cc

3,00000

cc

PASO 3. COFACTORES DE COVARIANZA

QLL=

29,942 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 14,794 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 9,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 9,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 9,000

PASO 4. PESOS DE LAS OBSERVACIONES

PLL=

0,0334 0,0000 0,0000

0,0000 0,0676 0,0000

0,0000 0,0000 0,1111

0,0000 0,0000 0,0000

0,0000 0,0000 0,0000

0,0000 0,0000

0,0000 0,0000

0,0000 0,0000

0,1111 0,0000

0,0000 0,1111

PASO 5. MATRIZ DE CONFIGURACION

s1 s2 A= α1 α2 α3 AT=

N 0,34868 0,96410 0,33273 -0,13655 -0,19619 0,348675115 0,937243652

E 0,93724 0,26554 -0,12378 0,49576 -0,3720 0,964100588 0,265537298

i L BN L BN C 0,332731015 -0,123783207

j C C C L BN -0,136545725 0,495763926

k . .

BN C L

L1 L2 L3 L4 L5

-0,19618529 -0,371980719

29

PASO 6. MATRIZ DE COEFICIENTES DE LAS ECUACIONES NORMALES T

A *P= N=AT*P*A=

0,011644868 0,03130157

0,065167777 0,017948828

0,085537827 0,024229242

0,024229242 0,07848926

PASO 7. MATRIZ DE COFACTORES DE LAS INCOGNITAS AJUSTADAS Qxx=

12,81092408 -3,954668151 -3,954668151 13,9613829

0,036970113 -0,01375369

-13,595 22,872

A*x^=

16,696 -7,034 -7,355 13,195 -5,841

VT=

-0,6088 1,4658

T

n=A *P*l=

PASO 10. RESIDUOS

-10,371 -2,355 2,482 0,656 -8,828

v=A*x^-l=

-10,37057099 -2,355324068

-0,021798366 -0,041331191

PASO 8. SISTEMAS DE ECUACIONES NORMALES

PASO 9. VECTOR DE LAS INCOGNITAS AJUSTADAS x^=Qxx*n=

-0,015171747 0,055084881

2,482187893

0,656150396

-8,828338289

PASO 11. PRUEBA PARCIAL DE CALCULO T

A Pv=0=

0,000 0,000



PASO 12. PRUEBA NUMERICA DE AJUSTE vT*P= -0,3463508701

-0,15920666

0,275798655

0,0729056

-0,980926477

27,066791

-4,678677

-9,836975

12,539345

2,987630

l *P=

T

0,9039624443

-0,316252276

-1,092997227

1,393260563

0,331958886

L *P*v=

-13,35921145

T

l=

T

 T

v *P*v=

13,35921145

PASO 13. DESV. EST. A POSTERIORI T

so=V (l *P*v)/(n-u)=

PASO 14. OBSERVACIONES AJUSTADAS

2,11 L^=L+v=

30

17932,605 12380,126 48,006 91,778 60,216

m m gon gon gon

PASO 15. INCOGNITAS AJUSTADAS X^=X°+ x^=

236011,064 452885,5287 m

PASO 16. COVARIANZAS AJUSTADAS 7,6 7,9

Sxx=s0*(QXX)1/2=

cm N cm E

PASO 17. COFACTORES DE OBSERVACIONES AJUSTADAS

A*Qxx=

QLL^= A*Qxx*AT

0,760362807 11,30090754 4,752113278 -3,709858721 -1,042254557

11,70632313 -0,105430001 -3,044025496 7,461543033 -4,417517537

11,24 3,84 -1,20 5,70 -4,50

3,84 10,87 3,77 -1,60 -2,18

-1,20 3,77 1,96 -2,16 0,20

5,70 -1,60 -2,16 4,21 -2,05

-4,50 -2,18 0,20 -2,05 1,85

PASO 18. COVARIANZA DE OBSERVACIONES AJUSTADAS

SLL= s0(QLL^)1/2=

s1 s2 L= α1 α2 α3

7,07 6,96 2,95 4,33 2,87

cm cm cc cc cc

Como resultados al ejercicio obtenemos en el paso 15 las coordenadas del punto nuevo ajustadas, estas no andan muy lejos del valor de las aproximadas por lo que se deduce un buen ajuste, la desviación estándar de estas coordenadas se ven el paso 16, es congruente el orden en centímetros viendo la diferencia entre coordenadas aproximadas y las nuevas ajustadas que también cambian en el mismo rango haciendo valido el ajuste.

Las observaciones ajustadas se obtienen en el paso 14 notamos que son muy parecidas a las medidas en el campo claro esto producto a que la desviación si cubre ese rango de diferencia, estas desviaciones de observaciones ajustadas se obtienen en el paso 18.

31

EJERCICIO 2 Calcule las cotas ajustadas de los puntos 1, 2 y 3 y sus desviaciones estándar, por un ajuste de observaciones mediatas, amarrado a las cotas de los puntos fijos A y B. 1/2

Usar como modelo estocástico ± 4 mm (D km) y considerar que todas las distancias son de 1km, para usar una varianza a priori de 4 para tener una P = I

En el ejercicio 2, es básicamente los mismos pasos del ejercicio anterior con la variante de que la función matemática es más fácil, ya que se saca la observación aproximada con restas de alturas de punto, según la distancia que se pida, consecuencia de esto la matriz A de derivas parciales solo van a tener 1, -1 y 0, esto porque las variables en cada función van a hacer negativas o positivas y en ciertos casos no va a ver variable y la derivada en una constante siempre es cero.

La matriz SLL es identidad porque así lo dice le enunciado, en lo demás el procedimiento es el mismo por lo que no se explicara detalladamente.

32

PASO 2. OBSERVACIONES MEDIDAS

L=

A-1 A-2 1-2 1-3 2-3 2-B 3-B

3,350 n 3,944 0,594 1,295 0,702 -4,220 -4,921 m

OBSERVACIONES APROXIMADAS A-1 3,3560 A-2 3,9560 1-2 0,6000 L0= 1-3 1,3000 2-3 0,7000 2-B -4,2230 3-B -4,9230 m

l=L-L0=

-0,0060 -0,0120 -0,0060 -0,0050 0,0020 0,0030 0,0020 m

1. GRADOS DE LIBERTAD u f=n-u 7 3 4

COORDENADAS PREVIAS A 842,1940 B 841,9270 X°= 1 845,5500 2 846,1500 3 846,8500

s=

Matriz de varianza-covarianza A-1 1 mm A-2 1 mm 1-2 1 mm 1-3 1 mm 2-3 1 mm 2-B 1 mm 3-B 1 mm

QLL=

1 0 0 0 0 0 0

PASO 3. COFACTORES DE COVARIANZA 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 1

mm� mm� mm� mm� mm� mm� mm�

PLL=

1 0 0 0 0 0 0

PASO 4. PESOS DE OBSERVACIONES 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 1

1/mm� 1/mm� 1/mm� 1/mm� 1/mm� 1/mm� 1/mm�

PASO 5. MATRIZ DE CONFIGURACION

A=

AT=

T

A *P=

1

2

3

A-1 A-2 1-2 1-3 2-3 2-B 3-B

1 0 -1 -1 0 0 0

0 1 1 0 -1 -1 0

0 0 0 1 1 0 -1

1 0 0

0 1 0

-1 1 0

-1 0 1

0 -1 1

0 -1 0

0 0 -1

1 0 0

0 1 0

-1 1 0

-1 0 1

0 -1 1

0 -1 0

0 0 -1

33

PASO 6. MATRIZ DE COEFICIENTEES DE LAS ECUACIONES NORMALES

T

N=A *P*A=

3 -1 -1

-1 4 -1

PASO 7. MATRIZ DE COFACTORES DE LAS INCOGNITAS AJUSTADAS

-1 -1 3

PASO 8. SISTEMAS DE ECUACIONES NORMALES

Qxx=N

0,208333333 0,166666667 0,458333333

PASO 9. VECTOR DE LAS INCOGNITAS AJUSTADAS x^=Qxxn=

n=AT*P*l=

0,458333333 0,16666667 0,166666667 0,33333333 0,208333333 0,16666667

-1

0,005 -0,023 -0,005

-0,002583333 -0,007666667 -0,005083333

-0,002583333 -0,007666667 -0,005083333 A*x^= -0,0025 0,002583333 0,007666667 0,005083333

PASO 10. RESIDUOS

VT= 0,003416667

0,0043333

v=A*x^-l=

0,0034 0,0043 0,0009 0,0025 0,0006 0,0047 0,0031 m

0,0009167

0,0025

PASO 11. PRUEBA PARCIAL DE CALCULO

T

A Pv=0=

-6,91667E-05

 T

v Pv=

6,91667E-05

Pv=

lT=

-0,006

-0,012

PASO 13. DESV. EST. A POSTERIORI

-0,006

-0,005

0,002

0,003

PASO 14. OBSERVACIONES AJUSTADAS

so=V (lT*P*v)/(n-u)= ± 0,004158 m

L^=L+v=

34

0,003083333

PASO 12. PRUEBA NUMERICA DE AJUSTE lTPv=

0,00 0,00  0,00

0,000583333 0,00466667

3,35342 3,94833 0,59492 1,29750 0,70258 -4,21533 -4,91792 m

0,003416667 0,004333333 0,000916667 0,0025 0,000583333 0,004666667 0,003083333 0,002

PASO 15. INCOGNITAS AJUSTADAS

PASO 16. COVARIANZAS AJUSTADAS

845,5474 X^=X°+ x^=

846,1423

Sxx=s0*(QXX)

1/2

=

846,8449 m

0,02955566 s1 0,021495025 s2 0,002815199 s3 (m)

PASO 17. COFACTORES DE OBSERVACIONES AJUSTADAS 0,458333333 0,1666667 0,20833333 0,166666667 0,3333333 0,16666667 -0,29166667 0,1666667 -0,0416667 A*Qxx= -0,25 2,776E-17 0,25 0,041666667 -0,1666667 0,29166667 -0,16666667 -0,3333333 -0,1666667 -0,20833333 -0,1666667 -0,4583333 0,458333333 0,1666667 -0,2916667 0,166666667 0,3333333 0,16666667 -0,29166667 0,1666667 0,45833333 T -0,25 2,776E-17 0,25 QLL^=AQxxA = 0,041666667 -0,1666667 -0,2083333 -0,16666667 -0,3333333 -0,1666667 -0,20833333 -0,1666667 0,04166667

-0,25 0 0,25 0,5 0,25 0 -0,25

0,041666667 -0,166666667 -0,208333333 0,25 0,458333333 0,166666667 -0,291666667

-0,1666667 -0,208333333 -0,3333333 -0,166666667 -0,1666667 0,041666667 -2,776E-17 -0,25 0,16666667 -0,291666667 0,33333333 0,166666667 0,16666667 0,458333333

PASO 18. COVARIANZA DE OBSERVACIONES AJUSTADAS 0,002815199 sL1 0,00240081 sL2 0,002815199 sL3 SLL=s0QLL= 0,00294038 sL4 0,002815199 sL5 0,00240081 sL6 0,002815199 sL7 (m) PASO 19, PRUEBA FINAL DE AJUSTE

Observaciones aproximadas A-1 3,35342 A-2 3,94833 1-2 0,59492 L^=F(X^)= 1-3 1,29750 2-3 0,70258 2-B -4,21533 3-B -4,91792 m

L^-L0=0

0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000

Las cotas ajustadas se obtienen de la matriz del paso 15 y las desviaciones en el paso 18, tienen sentido las respuestas ya que la primera respuesta es similar pero no igual a la coordenada aproximada lo que quiere decir que nuestra respuesta está ya ajustada.

La respuesta se pureba con L^ - L0 = 0, esto porque si el ejercicio está bien hecho estas dos matrices deben ser la mismas.

35

EJERCICIO 3 Los puntos fijos A, B y C pertenecen a un sistema de referencia local usado para el replanteo de los puntos 1, 2 y 3, los cuales son la base para la colocación de un tanque circular de 5,00 m de diámetro (ver figura). El trabajo de colocación del tanque exige una alta exactitud, por lo que el ingeniero topógrafo, provechando las condiciones del sitio de trabajo, decide realizar intersecciones desde cada punto fijo a cada punto nuevo con mediciones realizadas con cinta de acero y tensómetro (no considera medir las distancias entre los puntos nuevos).

Con esta metodología para hacer las mediciones apriorísticamente se puede garantizar una exactitud de ± 1 mm en las distancias. Los datos de las coordenadas de los puntos y de las observaciones están en el cuadro. Determine las coordenadas ajustadas de los tres puntos nuevos y su desviación estándar, así como las observaciones ajustadas y sus desviaciones estándar, realizando las pruebas correspondientes.

Obviare el sistema de solución ya que es igual a los ejercicios anteriores, me enfocare en la matriz “L” y “A” que es siempre lo diferente en todos estos ejercicios.

Matriz L sale de la función pitagórica para sacar una distancia D = ((n2-n1)2+(E1-E2))1/2 La matriz A su derivada parcial: dA/d1 = NA-N1/DA-1 36

1. GRADOS DE LIBERTAD n 9

u 6

PASO 2. OBSERVACIONES MEDIDAS A-1 7,5961 A-2 16,4094 A-3 14,5212 L= B-1 13,2058 B-2 12,5625 B-3 4,9814 C-1 9,6594 C-2 6,2796 C-3 13,3267 m

f 3

OBSERVACIONES APROXIMADAS A-1 A-2 A-3 B-1 L0= B-2 B-3 C-1 C-2 C-3

7,595 16,408 14,520 13,205 12,561 4,981 9,659 6,280 13,326

COORDENADAS PREVIAS

X째= m

1,4723 1,3335 1,5672 0,7442

l=L-L0=

EA NA EB NB EC NC E1 N1 E2 N2 E3 N3

s=

1,2839 0,6144 0,1046 -0,4179 0,9644

1 1 1 1

mm 1

2,259 18,127 6,823 2,007 18,802 15,848 9,180 15,000 16,513 10,000 10,000 5,843 ppm 1

1 1 1 1 1

mm

PASO 3. COFACTORES DE COVARIANZA

QLL=

1,000 0,000 0,000

0,000 1,000 0,000

0,000 0,000 1,000

0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 1,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 1,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 1,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 1,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000

PASO 4. PESOS DE OBSERVACIONES

PLL=

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

PASO 5. MATRIZ DE CONFIGURACION N1 -0,41174 0,00000 0,00000 0,98394 0,00000 0,00000 -0,08779 0,00000 0,00000

E1 0,91130 0,00000 0,00000 0,17849 0,00000 0,00000 -0,99614 0,00000 0,00000

N2 0,00000 -0,49531 0,00000 0,00000 0,63632 0,00000 0,00000 -0,93121 0,00000

E2 0,00000 0,86872 0,00000 0,00000 0,77142 0,00000 0,00000 -0,36449 0,00000

N3 0,00000 0,00000 -0,84603 0,00000 0,00000 0,77016 0,00000 0,00000 -0,75080

E3 0,00000 0,00000 0,53314 0,00000 0,00000 0,63785 0,00000 0,00000 -0,66053

-0,412 0,911 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 -0,495 0,869 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 -0,846 0,533

0,984 0,178 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,636 0,771 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,770 0,638

-0,088 -0,996 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 -0,931 -0,364 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 -0,751 -0,661

-0,41171 0,91125 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000

0,00000 0,00000 -0,49517 0,86849 0,00000 0,00000

0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 -0,84585 0,53303

0,98377 0,17846 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000

0,00000 0,00000 0,63622 0,77130 0,00000 0,00000

0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,77014 0,63784

-0,08778 -0,99605 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000

0,00000 0,00000 -0,93117 -0,36448 0,00000 0,00000

0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 -0,75067 -0,66041

A-1 A-2 A-3 B-1 B-2 B-3 C-1 C-2 C-3

A=

AT=

T

A *P=

37

PASO 6. MATRIZ DE COEFICIENTEES DE LAS ECUACIONES NORMALES

N=AT*P*A=

1,145 -0,112 0,000

-0,112 1,854 0,000

0,000 0,000 1,517

0,000 0,000 0,400

0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000

0,400 0,000 0,000

1,482 0,000 0,000

0,000 1,872 0,536

0,000 0,536 1,127

PASO 7. MATRIZ DE COFACTORES DE LAS INCOGNITAS AJUSTADAS 0,878 0,053 0,000 0,000 0,000 0,000

-1

Qxx=N

0,053 0,542 0,000 0,000 0,000 0,000

PASO 8. SISTEMAS DE ECUACIONES NORMALES 0,1168 1,3703 0,5457 2,3008 -1,5764 0,5903

n=AT*P*l=

0,000 0,000 0,710 -0,191 0,000 0,000

0,000 0,000 -0,191 0,726 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,618 -0,294

0,000 0,000 0,000 0,000 -0,294 1,027

PASO 9. VECTOR DE LAS INCOGNITAS AJUSTADAS

x^=Qxxn=

0,175 0,750 -0,053 1,567 -1,148 1,070

A*x^=

0,611 1,387 1,542 0,306 1,175 -0,202 -0,762 -0,521 0,155

PASO 10. RESIDUOS

v=A*x^-l=

VT=

-0,8615

0,0538

-0,0254

-0,4379

lTPv=

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

vT*P

-0,8164

-0,8666

-0,1034

-0,8089

-3,031628511

 vTPv= 3,031628511



-0,861

0,054

-0,025

-0,438

-0,109

-0,816

-0,867

-0,103

-0,809

lT=

1,47229

1,33354

1,56719

0,74423

1,28394

0,61442

0,10458

-0,41791

0,96441

lT*P=

1,4722

1,3332

1,5669

0,7441

1,2837

0,6144

0,1046

-0,4179

0,9642

PASO 13. DESV. EST. A POSTERIORI T

so=V (l *P*v)/(n-u)=

PASO 14. OBSERVACIONES AJUSTADAS

1,0053

L^=L+v=

PASO 15. INCOGNITAS AJUSTADAS

X^=X°+ x^=

38

-0,1094

PASO 12. PRUEBA NUMERICA DE AJUSTE

PASO 11. PRUEBA PARCIAL DE CALCULO

ATPv=0=

-0,8615 0,0538 -0,0254 -0,4379 -0,1094 -0,8164 -0,8666 -0,1034 -0,8089

9,1807 15,0002 16,5146 9,9999 10,0011 5,8419

E1 N1 E2 N2 E3 N3

7,5952 16,4095 14,5212 13,2054 12,5624 4,9806 9,6585 6,2795 13,3259

m

PASO 16. COVARIANZAS AJUSTADAS

Sxx=s0*(QXX)1/2=

sN1= sE1= sN2= sE2= sN3= sE3=

0,942 0,740 0,847 0,857 0,790 1,019

mm

PASO 17. COFACTORES DE OBSERVACIONES AJUSTADAS

A*Qxx=

-0,313 0,000 0,000 0,874 0,000 0,000 -0,130 0,000 0,000

0,472 0,000 0,000 0,149 0,000 0,000 -0,545 0,000 0,000

0,000 -0,518 0,000 0,000 0,304 0,000 0,000 -0,591 0,000

0,000 0,726 0,000 0,000 0,438 0,000 0,000 -0,086 0,000

0,000 0,000 -0,680 0,000 0,000 0,289 0,000 0,000 -0,270

0,000 0,000 0,796 0,000 0,000 0,429 0,000 0,000 -0,458

QLL^=AQxxAT=

0,56 0,00 0,00 -0,22 0,00 0,00 -0,44 0,00 0,00

0,00 0,89 0,00 0,00 0,23 0,00 0,00 0,22 0,00

0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 -0,02 0,00 0,00 -0,02

-0,22 0,00 0,00 0,89 0,00 0,00 -0,23 0,00 0,00

0,00 0,23 0,00 0,00 0,53 0,00 0,00 -0,44 0,00

0,00 0,00 -0,02 0,00 0,00 0,50 0,00 0,00 -0,50

-0,44 0,00 0,00 -0,23 0,00 0,00 0,55 0,00 0,00

0,00 0,22 0,00 0,00 -0,44 0,00 0,00 0,58 0,00

0,00 0,00 -0,02 0,00 0,00 -0,50 0,00 0,00 0,50

PASO 18. COVARIANZA DE OBSERVACIONES AJUSTADAS sl1= sl2= sl3= sl4= sl5= sl6= sl7= sl8= sl9=

SLL= s0(QLL^)1/2=

0,75 0,95 1,01 0,95 0,73 0,71 0,75 0,77 0,71

mm

PASO 19, PRUEBA FINAL DE AJUSTE

COORDENADAS PREVIAS AJUSTADAS EA NA EB NB EC

x^= NC E1 N1 E2 N2 E3 N3

2,259 18,127 6,823 2,007 18,802 15,848 9,181 15,000 16,515 10,000 10,001 5,842

OBSERVACIONES AJUSTADAS

L^=F(X^)=

A-1 A-2 A-3 B-1 B-2 B-3 C-1 C-2 C-3

7,595 16,409 14,521 13,205 12,562 4,981 9,659 6,279 13,326

m

0,0000 0,0000 0,0000

m

L^-L0=0

0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

Las coordenadas ajustadas x^ se comprueban por la insignificable diferencia a las a dadas crudas en el campo, las observaciones ajustadas y sus desviaciones mantienen coherencia con lo dado y lo obtenido ademรกs se puede comprobar la respuesta probando que L^ - L0 = 0.

39

EJERCICIO 4 Los puntos MABE y SPIN pertenecen a la red del proyecto “Geoide” de la ETCG medida con GPS. Con el objetivo de verificar la distancia entre ellos, se corrió una poligonal medida con una estación total de ± 1.5 mgon y ± 2 mm ± 2 ppm de exactitud nominal angular y lineal respectivamente. Las coordenadas de los dos puntos están en el sistema cartográfico CRTM, así como las coordenadas aproximadas de los tres puntos poligonales. Las observaciones angulares y las distancias reducidas al plano cartográfico están en el cuadro. Con base en la información aplique el algoritmo de ajuste amarrado de observaciones mediatas para calcular las coordenadas ajustadas de los puntos poligonales, su desviación estándar así como las observaciones ajustadas y su desviación estándar. Coordenas en m.

40

n 7

PASO 1. GRADOS DE LIBERTAD u 6

PASO 2. OBSERVACIONES MEDIDAS b1 221,327 b2 194,961 b3 186,047 L= MABE-1 158,753 1-2 123,185 2-3 81,839 3-SPIN 87,723 m

f 1

OBSERVACIONES APROXIMADAS b1 b2 b3 MABE-1 1-2 2-3 3-SPIN

L0=

COORDENADAS PREVIAS

221,326 194,966 186,043 158,765 123,189 81,849 87,730

X째=

1,4537 -4,6572

l=L-L0=

E MABE 489495,721 N MABE 1105504,215 E 1 489501,900 N 1 1105345,570 E 2 489465,960 N 2 1105227,740 E 3 489448,340 N 3 1105147,810 E SPIN 489448,538 N SPIN 1105060,080

1,50 1,50

3,5916 -12,2861 -4,2548 -10,0641 -7,2234

s=

mm

1,50 2,03 2,02 2,01 2,01

mm 2

ppm 2

mgon 1,5 mgon, mm

PASO 3. COFACTORES DE COVARIANZA

QLL=

2,250 0,000 0,000

0,000 2,250 0,000

0,000 0,000 2,250

0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000

4,101 0,000 0,000 0,000

0,000 4,061 0,000 0,000

0,000 0,000 4,027 0,000

0,000 0,000 0,000 4,031

PASO 4. PESOS DE OBSERVACIONES

PLL=

0,44 0,00 0,00

0,00 0,44 0,00

0,00 0,00 0,44

0,00 0,00 0,00

0,00 0,00 0,00

0,00 0,00 0,00

0,00 0,00 0,00

0,00 0,00 0,00 0,00

0,00 0,00 0,00 0,00

0,00 0,00 0,00 0,00

0,24 0,00 0,00 0,00

0,00 0,25 0,00 0,00

0,00 0,00 0,25 0,00

0,00 0,00 0,00 0,25

PASO 5. MATRIZ DE CONFIGURACION

A=

AT=

T A *P=

b1 b2 b3 MABE-1 1-2 2-3 3-SPIN

N1 -0,1351633 0,15077 0,00000 -0,99924 0,95650 0,00000 0,00000

E1 0,89498 -0,49430 0,00000 0,03892 0,29175 0,00000 0,00000

N2 0,15077 -0,31821 0,16744 0,00000 -0,95650 0,97655 0,00000

E2 -0,49430 1,25386 -0,75956 0,00000 -0,29175 0,21527 0,00000

N3 0,00000 0,16744 -0,16580 0,00000 0,00000 -0,97655 1,00000

E3 0,00000 -0,75956 1,48522 0,00000 0,00000 -0,21527 -0,00226

-0,135 0,895 0,151 -0,494 0,000 0,000

0,151 -0,494 -0,318 1,254 0,167 -0,760

0,000 0,000 0,167 -0,760 -0,166 1,485

-0,999 0,039 0,000 0,000 0,000 0,000

0,956 0,292 -0,956 -0,292 0,000 0,000

0,000 0,000 0,977 0,215 -0,977 -0,215

0,000 0,000 0,000 0,000 1,000 -0,002

-0,06007 0,39777 0,06701 -0,21969 0,00000 0,00000

0,06701 -0,21969 -0,14143 0,55727 0,07442 -0,33758

0,00000 0,00000 0,07442 -0,33758 -0,07369 0,66010

-0,24367 0,00949 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000

0,23555 0,07185 -0,23555 -0,07185 0,00000 0,00000

0,00000 0,00000 0,24251 0,05346 -0,24251 -0,05346

0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,24809 -0,00056

41

PASO 6. MATRIZ DE COEFICIENTEES DE LAS ECUACIONES NORMALES 0,487 -0,028 -0,256 0,045 0,011 -0,051

N=AT*P*A=

-0,028 0,486 0,061 -0,493 -0,037 0,167

-0,256 0,061 0,530 -0,146 -0,273 0,166

0,045 -0,493 -0,146 1,096 0,097 -0,936

0,011 -0,037 -0,273 0,097 0,510 -0,114

-0,051 0,167 0,166 -0,936 -0,114 1,248

PASO 7. MATRIZ DE COFACTORES DE LAS INCOGNITAS AJUSTADAS

Qxx=N-1

3,090 0,149 2,021 0,168 1,005 0,056

0,149 8,375 -0,195 7,802 0,081 4,771

2,021 -0,195 4,006 -0,054 2,034 -0,278

PASO 8. SISTEMAS DE ECUACIONES NORMALES 1,5921 1,1791 -0,4151 -4,3595 0,0374 4,4851

n=AT*P*l=

0,168 7,802 -0,054 9,811 0,083 6,337

1,005 0,081 2,034 0,083 3,042 0,101

0,056 4,771 -0,278 6,337 0,101 4,964

PASO 9. VECTOR DE LAS INCOGNITAS AJUSTADAS

x^=Qxxn=

3,812 -2,418 0,392 -4,859 1,056 0,472

A*x^=

-0,219 -4,629 4,283 -3,903 3,983 -1,796 1,055

PASO 10. RESIDUOS

v=A*x^-l=

VT=

-1,6723

0,0283

0,6911

ATPv=0=

vT*P

8,3833

lTPv=

8,2677

8,2786

69,28311874

 vTPv= 69,28311874



-0,743

0,013

0,307

2,044

2,029

2,053

2,054

l T=

-1,45372

4,65721

-3,59158

12,28609

4,25481

10,06414

7,22344

lT*P=

-0,6461

2,0699

-1,5963

2,9960

1,0478

2,4993

1,7921

PASO 13. DESV. EST. A POSTERIORI so=V (lT*P*v)/(n-u)=

PASO 14. OBSERVACIONES AJUSTADAS

8,32 L^=L+v=

42

8,2377

PASO 12. PRUEBA NUMERICA DE AJUSTE

PASO 11. PRUEBA PARCIAL DE CALCULO 0,0000000000 0,0000000000 0,0000000000 0,0000000000 0,0000000000 0,0000000000

-1,6723 0,0283 0,6911 8,3833 8,2377 8,2677 8,2786

221,325 194,961 186,048 158,761 123,193 81,847 87,731

m

PASO 17. COFACTORES DE OBSERVACIONES AJUSTADAS

A*Qxx=

-0,063 0,086 0,127 -3,082 1,017 1,016 1,005

3,589 2,117 1,114 0,177 0,496 0,383 0,070

0,183 -0,390 -0,038 -2,027 -1,939 1,973 2,035

2,102 3,689 1,936 0,135 -0,373 0,614 0,069

0,202 0,001 -0,077 -1,001 -0,985 -0,988 3,042

1,088 1,930 2,496 0,130 -0,138 -0,074 0,090

QLL^=AQxxAT=

2,21 0,00 0,02 0,20 0,20 0,20 0,20

0,00 2,25 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

0,02 0,00 2,24 -0,08 -0,08 -0,08 -0,08

0,20 0,00 -0,08 3,09 -1,00 -1,00 -1,00

0,20 0,00 -0,08 -1,00 3,08 -0,98 -0,98

0,20 0,00 -0,08 -1,00 -0,98 3,04 -0,99

0,20 0,00 -0,08 -1,00 -0,98 -0,99 3,04

PASO 18. COVARIANZA DE OBSERVACIONES AJUSTADAS sl1= sl2= sl3= sl4= sl5= sl6= sl7=

SLL= s0(QLL^)1/2=

12,37 12,49 12,47 14,62 14,61 14,51 14,52 mm PASO 19, PRUEBA FINAL DE AJUSTE

COORDENADAS PREVIAS AJUSTADAS

x^=

E MABE N MABE

489495,721 1105504,215

E1 N1

489501,898 1105345,574 489465,955 1105227,740 489448,340 1105147,811 489448,538 1105060,080

E2 N2 E3 N3 E SPIN N SPIN

OBSERVACIONES AJUSTADAS

L^=F(X^)=

b1 b2

221,3253 194,9610

b3 MABE-1 1-2 2-3 3-SPIN

186,0477 158,7614 123,1932 81,8473 87,7313

0,0000 0,0000

L^-L0=0

0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

m

Este ejercicio es muy similar el ejercicio anterior con la variable de que hay que linealizar los datos de medidas angulares, el tratamiento en las respuestas finales es igual a lo que hemos venido haciendo a lo largo de la bitรกcora de curso.

43

EJERCICIO 6 Ajuste de los ángulos medidos en todas las combinaciones den una estación.

Los ángulos del vector de observaciones son los promedios determinados con una cantidad determinada de series completas, a partir de las cuales se estimó la exactitud de la medición en ± 0,3 mgon.

Calcule los ángulos ajustados y sus desviaciones estándar.

Esta última no discrepa de las demás en metodología de resolución la única diferencia es estamos tratando medidas angulares y su matriz de aproximadas está dada por la función por la suma de ángulos, por lo que su matriz A van hacer solo 1 y 0 ya que sus derivadas parciales siempre van a ser positivas porque las variables lo son, y ceros porque no hay variables y la derivada de una constante siempre es cero.

44

PASO 1. GRADOS DE LIBERTAD

n 6

PASO 2. OBSERVACIONES MEDIDAS

u 3

f 3 L=

OBSERVACIONES APROXIMADAS

1 2 3 4 5 6

L0=

l=L-L0=

0 -0,4 -0,68 0 -0,82 0

1 2 3 4 5 6

34,12868 73,95495 198,75503 39,82667 164,62621 124,80036

gon

COORDENADAS PREVIAS

34,12868 73,95535 198,75571 39,82667 164,62703 124,80036

X1 X2 X3

X째=

34,12868 39,82667 124,80036

gon

gon

s=

mgon

1 1 1 1 1 1

mgon

PASO 3. COFACTORES DE COVARIANZA

1 0 0 0 0 0

QLL=

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

mgon2

PASO 4. PESOS DE OBSERVACIONES

PLL=

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

PASO 5. MATRIZ DE CONFIGURACION

1 2 3 4 5 6

A=

X1 1 1 1 0 0 0

X2 0 1 1 1 1 0

X3 0 0 1 0 1 1

AT=

1 0 0

1 1 0

1 1 1

0 1 0

0 1 1

0 0 1

AT*P=

1 0 0

1 1 0

1 1 1

0 1 0

0 1 1

0 0 1

45

PASO 6. MATRIZ DE COEFICIENTEES DE LAS ECUACIONES NORMALES

3 2 1

N=AT*P*A=

2 4 2

1 2 3

PASO 7. MATRIZ DE COFACTORES DE LAS INCOGNITAS AJUSTADAS

0,5 -0,25 0

Qxx=N-1

-0,25 0,5 -0,25

PASO 8. SISTEMAS DE ECUACIONES NORMALES

PASO 9. VECTOR DE LAS INCOGNITAS AJUSTADAS

-1,08 -1,9 -1,5

n=AT*P*l=

0 -0,25 0,5

x^=Qxxn=

-0,065 -0,305 -0,275

mgon

PASO 10. RESIDUOS

v=A*x^-l=

vT

-0,065 0,03 0,035 -0,305 0,24 -0,275

A*x^= mgon

-0,065

0,03

0,035

-0,065 -0,37 -0,645 -0,305 -0,58 -0,275 -0,305

PASO 11. PRUEBA PARCIAL DE CALCULO

A *P*v =

v *P

T

-0,065

lT=

0,2326

T

l *P=

 T

v Pv=

so=V (lT*P*v)/(n-u)=

0,035

-0,305

0,24

-0,275

0,4

0,68

0

0,82

0

0,2784

mm

PASO 15. INCOGNITAS AJUSTADAS

46

0,2326

0,03

PASO 13. DESV. EST. A POSTERIORI

X^=X°+ x^=

-0,2326



0

-0,275

PASO 12. PRUEBA NUMERICA DE AJUSTE lTPv=

0,000000 0,000000 0,000000

T

0,24

X1 34,128615 X2 39,826365 X3 124,800085

PASO 14. OBSERVACIONES AJUSTADAS

34,128615 73,954980 L^=L+v= 198,755065 39,826365 164,626450 124,800085

PASO 16. COVARIANZAS AJUSTADAS

Sxx=s0*(QXX)1/2=

gon

gon

SX1 = ± SX2 = ± SX3 = ±

0,2 0,2 0,2

mgon

PASO 17. COFACTORES DE OBSERVACIONES AJUSTADAS

A*Qxx=

0,5 0,25 0,25 -0,25 -0,25 0

-0,25 0,25 0 0,5 0,25 -0,25

0 -0,25 0,25 -0,25 0,25 0,5

QLL^=AQxxAT=

0,5 0,25 0,25 -0,25 -0,25 0

0,25 0,5 0,25 0,25 5,55112E-17 -0,25

0,25 0,25 0,5 5,55112E-17 0,25 0,25

-0,25 0,25 0 0,5 0,25 -0,25

-0,25 0 0,25 0,25 0,5 0,25

0 -0,25 0,25 -0,25 0,25 0,5

PASO 18. COVARIANZA DE OBSERVACIONES AJUSTADAS

SLL= s0(QLL^)1/2=

Sl1=± Sl2=± Sl3=± Sl4=± Sl5=± Sl6=±

0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2

mgon PASO 19, PRUEBA FINAL DE AJUSTE

L^=F(X^)=

1 34,128615 2 73,95498 3 198,755065 4 39,826365 5 164,62645 6 124,800085

L^-L0=0

gon

0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

Los ángulos ajustados están dados en la matriz L^ son muy similares a los obtenidos crudos en el campo lo que indica que si están ajustados los nuevos, la desviación está dada en la matriz SLL como era de esperarse la desviación es milimétrica y es igual para todos los ángulos puesto que se estimó con una misma exactitud de medición.

47

CONCLUSION Al realizar un trabajo de precisión siempre es importante encontrarse con algunos de los métodos expuesto en el portafolio, saber tratar errores de mediciones y ajustarlos, para llegar a la máxima precisión, es el que hacer del topógrafo, debe conocerlo de pies cabeza, porque no se puede ser exacto pero si muy preciso y este curso es una muestra de ello.

Si bien a la hora de hacer mediciones ya existen software especializados para hacer estos trabajos de ajustes, es un deber conocer los diferentes métodos “a pie” como se dice popularmente ya sea por principios profesionales, sino también porque no siempre se dispone de las comodidades de un buen software por cuestiones precio o difícultad en el manejo, son simplemente bases que no se pueden ignorar.

Es claro que usar métodos matemáticos para hacer este tipo de trabajo es vital, y hay varios caminos que tomar para llegar al resultado, es importante tener malicia, y ver que función me lleva mejor y más rápido a una respuesta; por ejemplo cual tiene una función derivable fácil o bien si tengo otros tipo de datos con otra función me ahorro de linealizar.

A manera de cierre hay que tener una visión sistemática del asunto a ajustar y saber siempre que datos tengo y a cuales quiero llegar con la manipulación de la algebra lineal en matrices

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