CaoStabile N.1 [04.04.2011] by Caos Stabile

Numero 1, 4 Aprile 2011. Licenza Creative Commons CC-BY-NC-SA.

Editoriale

Eccoci qua! È stata una lotta contro il tempo, non che ci fosse una data ufficiale per il lancio del progetto, ma la nostra tabella di marcia recitava qualcosa del tipo “il primo lunedì del mese a partire da Aprile”. . .e non volevamo certo rimandare il tutto! Questo documento è quindi la dimostrazione che il progetto CaoStabile ha ufficialmente preso il via! Chi siamo e cosa c’è dietro al nome CaoStabile? CaoStabile è un progetto no-profit italiano di divulgazione scientifica mirato agli studenti delle scuole superiori e a tutti gli appassionati di scienza e tecnologia. Il progetto nasce dalla collaborazione volontaria di un manipolo di ragazzi, dottori e dottori di ricerca, che sentono la necessità di promuovere le materie scientifiche presso gli studenti delle scuole superiori. Le tematiche trattate saranno le più vaste e rifletteranno le conoscenze dei partecipanti al progetto: si parlerà quindi di matematica, fisica, chimica ed informatica. La componente principale è costituita da questa rivista, che avrà cadenza mensile e sarà liberamente disponibile in formato PDF. La rivista includerà articoli divulgativi, rubriche varie ed una sezione di giochi logico-matematici. Come ideatore della folle idea lanciata lo scorso 25 Gennaio via email, voglio ringraziare tutti coloro che hanno partecipato alla messa in opera del progetto!

In questo numero: Le figuracce (a spessore costante) della NASA La matematica e i problemi di cuore Sistemi dinamici: alcuni concetti di base Conti indiani Chiedi alla Ga’: Studio di funzione: uno schema riassuntivo Pausa caffè: Bilancia In-Stabile Acqua e vino “Die Hard” Recensioni: “Domani niente scuola”

Il Team CaoStabile

L E FIGURACCE ( A SPESSORE COSTANTE ) DELLA NASA Analizzando le cause dell’esplosione dello Space Shuttle Challenger, del 28 gennaio 1986, si è scoperto che alla ba-

se di uno dei fattori che hanno portato al disastro, vi era una falla nei sistemi di controllo della qualità dei pezzi 1

misura: il diametro. Ricordo che il concetto di diametro è definito per qualsiasi figura come la massima distanza tra due punti appartenenti ad essa. Ad esempio, se consideriamo un rettangolo, il diametro coinciderà con la lunghezza della sua diagonale; nel caso della circonferenza, ovviamente, la definizione corrisponde esattamente a quella che conosciamo sin dalle elementari. Consideriamo ora un triangolo equilatero: il diametro in questo caso coincide con la lunghezza di un suo lato. Per quanto riguarda lo spessore, invece, a seconda di come orientiamo il calibro, potremmo ottenere un valore che varia tra l’altezza del triangolo e il suo diametro. In ogni caso, una volta scelta una direzione, se ruotiamo il calibro di 60 gradi, per evidenti questioni di simmetria, otterremmo sempre la stessa misura. La stessa cosa succede per qualsiasi poligono regolare con un numero di lati che sia multiplo di tre (provare per credere). Da ciò si deduce che misurare lo spessore in sole tre direzioni non garantisce affatto che l’oggetto abbia effettivamente una sezione circolare. Aumentare il numero dei controlli però non basta. Innanzitutto, per avere la certezza assoluta, dovremmo effettuare un’infinità di misure, ma anche questo non sarebbe sufficiente. Può sembrare strano, ma la circonferenza non è l’unica figura ad avere lo stesso spessore in ogni direzione! Proviamo a costruire una figura come segue:

meccanici.

Esplosione dello Space Shuttle Challenger.

Gli Shuttle, infatti, sono collegati a due “rocket booster” che ne garantiscono la spinta iniziale per sfuggire alla forza gravitazionale della terra. I booster possono essere immaginati come due grossi cilindri contenenti il propellente, anche se in realtà i booster dello Shuttle sono costituiti da varie sezioni cilindriche connesse tra loro. Durante la salita dello Shuttle i razzi booster si svuotano e, una volta terminata la loro funzione, vengono sganciati nell’oceano. Dopo essere stati ripescati, vengono separati nelle varie sezioni, riparati, controllati, riassemblati ed infine riutilizzati.

• partiamo da un triangolo equilatero; Un booster dello Shuttle recuperato in mare.

• puntiamo il compasso in un vertice e tracciamo l’arco che congiunge gli altri due vertici;

Prima del disastro, per verificare che il tubo fosse rimasto di forma cilindrica, veniva semplicemente misurato lo spessore della sezione del booster lungo tre direzioni, con angolazione reciproca di 60 gradi, appurando che esse coincidessero. Infatti se misuriamo lo spessore di una circonferenza con un calibro, comunque orientiamo il calibro, otteniamo sempre la stessa

• ripetiamo l’operazione precedente per gli altri due vertici. L’insieme così ottenuto si chiama triangolo di Reuleaux ed ha delle proprietà molto particolari. 2

ta del carburante): perdevano elasticità a basse temperature.

Costruzione del triangolo di Reuleaux.

Pensandoci un attimo si capisce che se lo misurassimo con un calibro, indipendentemente dalla direzione scelta, otterremmo sempre sempre la stessa misura: la lunghezza del lato. Questo significa che il triangolo di Reuleaux può rotolare tra due rette parallele toccandole costantemente entrambe! Figure di questo tipo si dicono a spessore costante. Di oggetti come questo ce ne sono infiniti ed ognuno di essi passerebbe il vecchio test di rotondità della NASA, anche aumentando a dismisura il numero di misurazioni. Si capisce quindi che il sistema di controllo utilizzato fino ad allora non potesse essere considerato un buon test. Questo non fu probabilmente il problema principale che portò alla sciagura dell’86: il fisico e premio Nobel Richard Feynman (che partecipò alla commissione di inchiesta) dimostrò in diretta televisiva che c’era un difetto di progettazione negli O-ring (le guarnizioni che poste tra i vari segmenti impedivano la fuoriusci-

Fumo grigio che fuoriesce da una giuntura del booster di destra, pochi minuti prima della sciagura.

Effettivamente una guarnizione diventa tanto più importante quando i due pezzi da congiungere non combaciano alla perfezione. Se una sezione è rotonda e quella ad essa collegata no. . . . Durante l’indagine della commissione, i meccanici addetti al riassemblamento dei booster lamentarono le grandi difficoltà nel far combaciare i vari segmenti. Come già detto il problema più grave fu il malfunzionamento di una guarnizione tra i vari segmenti, ma di fatto dopo quell’incidente la NASA ha modificato i test di rotondità dei moduli dei booster: ora li fa passare attraverso un buco circolare perpendicolare all’asse del cilindro! Luigi Caspani

L A MATEMATICA E I PROBLEMI DI CUORE fan della Juventus e tutte le domeniche va allo stadio per sostenere la sua squadra. “Un mio amico domenica prossima non può venire, per cui se vuoi ho un biglietto anche per te. Ci vediamo là se ne hai voglia”. Il punto comune è che Elena e Gabriele vorrebbero tanto poter passare la domenica pomeriggio insieme, ma durante il loro primo incontro non si sono scambiati il numero di cellulare.

Elena e Gabriele si sono conosciuti appena una settimana fa ad una festa di compleanno e si sono subito piaciuti. Hanno avuto modo di parlare per circa un’ora, durante la quale Elena ha rivelato la sua passione per il cinema, in particolare per i film romantici. “Se ti va domenica prossima vorrei andare a vedere un nuovo film bellissimo! Se hai voglia di fare un salto. . .”. Gabriele invece è un accanito

l’altro: entrambi sono in un luogo che non amano e in più sono da soli! L’utilità sará quindi 0. Per chiarezza rappresentiamo la situazione attraverso una cosiddetta bimatrice

Adesso un po’ di matematica. Rappresentiamo la nostra situazione, nota in letteratura come “La Battaglia dei Sessi”, attraverso la Teoria dei Giochi. Ovviamente i nostri “giocatori” sono Elena (che indicheremo brevemente con E) e Gabriele (G). Definire una funzione di utilità significa assegnare, per ogni possibile esito, un’utilità numerica per E e una per G. Possiamo per semplicità supporre che la loro utilità rappresenti quanto sono contenti della loro domenica pomeriggio su una scala da 0 a 10. Se entrambi decidono di andare al cinema, l’utilità di Elena è 10, poichè può passare la domenica pomeriggio facendo ciò che voleva (andare al cinema) in compagnia del ragazzo che le piace. Per Gabriele, invece, abbiamo un’utilità di 8, poichè, pur essendo con Elena, non può vedere la partita. Per motivazioni analoghe se i due si incontrano allo stadio G sarà contento 10 ed E solo 8. Se ognuno va dove preferisce, entrambi hanno utilità 5, poichè comunque non sono insieme, ma la situazione peggiore si verifica quando ognuno si reca nel posto suggerito dal-

C P

C (10, 8) (0, 0)

P (5, 5) (8, 10)

dove Elena sceglie quale riga giocare; la prima per andare al cinema (C), la seconda per andare alla partita (P) e analogamente Gabriele sceglie la colonna, C o P. I numeri in parentesi contengono le utilità dei due giocatori, al primo posto quella di Elena e al secondo quella di Gabriele. Cosa faranno Elena e Gabriele (ricordando che non si sono scambiati i numeri di telefono e non possono comunicare)? Possiamo osservare che, probabilmente, i due dovrebbero cercare di stare insieme. Andare entrambi alla partita o entrambi allo stadio sono entrambe soluzioni del gioco, ovvero dei cosiddetti Equilibri di Nash, ma cosa ne sarà, in pratica, della loro domenica? Michela Chessa

S ISTEMI DINAMICI :

ALCUNI CONCETTI DI BASE

Probabilmente ti starai chiedendo, ma cosa diavolo è un sistema dinamico? Potrei iniziare con complicate definizioni o, in breve, dirti che in sostanza un sistema dinamico è un modello matematico che descrive l’evoluzione temporale di un sistema secondo opportune leggi che legano lo stato presente a quello futuro. . . nebuloso vero! Bene, allora prendi una calcolatrice (meglio se scientifica) e digita un numero a caso, ora scegli il tastino con la funzione che preferisci, cosa ne dici della funzione esponenziale (indicata solitamente con ex )? Premi ripetutamente il tasto scelto ed osserva come cambiano i numeri man mano

che procedi. . . complimenti hai appena costruito un sistema dinamico discreto! L’aggettivo discreto è dovuto al fatto che il sistema che hai appena creato può essere messo in corrispondenza biunivoca con l’insieme dei numeri naturali (1, 2, 3, . . . , ) dove al numero 1 corrisponde idealmente il numero che hai scelto inizialmente, al numero 2 quello ottenuto dopo aver digitato la funzione scelta e così via. E l’evoluzione temporale dove sarebbe? Dai, un po’ di fantasia, pensa alla successione di numeri come allo scorrere dei secondi sul tuo orologio e il gioco è fatto! Ora un po’ di matematica: introducia4

che possa sembrare. Funzioni molto semplici possono dare luogo a fenomeni molto complessi ed imprevedibili considerandone le iterate. Ad esempio considera la funzione f (x) = 4x(1 − x) e un punto iniziale compreso tra 0 ed 1, ad ogni iterazione otterrai un numero sempre compreso tra 0 ed 1, ma prova a vedere come si comportano le successioni numeriche che ottieni al variare del dato iniziale. Quel che otterrai sarà una successione di numeri sempre compresa tra 0 ed 1, ma tutt’altro che regolare, se non ci credi, prova! Questa semplice mappa è la famosa mappa logistica e rappresenta un semplice esempio di sistema caotico! Non voglio affrontare ora il caos (quello matematico), ma sappi che esiste ed è uno dei motivi per cui le previsioni del tempo non possono e non potranno mai essere accurate per tempi lunghi!

mo qualche formula. Considera un punto iniziale x0 , ed una funzione f . La prima iterata è ovviamente x1 = f (x0 ), la seconda x2 = f (x1 ) = f (f (x0 )) = f 2 (x0 ) e così via, non ti sarà difficile capire come costruire l’iterata n-esima, xn = f n (x0 ). La domanda ora sorge spontanea, “cosa succede alle iterate di un punto iniziale tramite una funzione assegnata”? E ancora, “posso prevedere, dato un punto iniziale, cosa succederà dopo un certo numero di iterazioni”? Questo è il genere di domande a cui la Teoria dei Sistemi Dinamici prova a rispondere. Proviamo a vedere direttamente cosa succede in alcuni semplici casi. Se prima come suggerito hai scelto la funzione esponenziale, avrai notato che dopo un certo numero di iterazioni la tua calcolatrice produceva un errore, come mai? Semplice, il numero era diventato troppo grande per poter essere rappresentato nella tua calcolatrice, infatti, come saprai, la funzione esponenziale tende ad infinito per x che tende ad infinito. . . e se non lo sapevi, ora lo sai! Prova a fare lo stesso con una funzione diversa come il seno o il coseno, noterai che potrai ripetere la procedura sino a stancarti, nessun errore questa volta! A dire il vero se presti un po’ di attenzione in più osserverai che con la funzione seno, per qualunque scelta iniziale, dopo un certo numero di iterazioni otterrai sempre e soltanto 0, mentre con la funzione coseno otterrai 0.73908 . . . radianti (o 0.99984 . . . gradi decimali). Se invece provi a schiacciare il tastino corrispondente alla radice quadrata, assicurandoti di iniziare con un numero non negativo (perchè?), inevitabilmente, dopo un certo numero di iterazioni, otterrai sempre e soltanto 1, a meno che tu non abbia scelto proprio lo zero come punto iniziale, in tal caso otterrai sempre 0.

Se vuoi provare a visualizzare questi fenomeni, in prima approssimazione puoi segnarti su un foglio di carta i numeri che ottieni e provare a fare qualche grafico, noioso, ma è questo il modo in cui dovevano procedere i nostri padri! Tuttavia puoi provare a sfruttare la tecnologia di cui disponi, di cosa sto parlando? Del tuo computer naturalmente! Non ti sarà difficile scrivere un programmino che faccia il lavoro sporco per te e visualizzare poi i risultati creando un grafico. . . non hai idea di come fare? Controlla sul sito del progetto, a breve nella sezione “Allegati” troverai tutte le informazioni sul come fare, i programmi e molto altro ancora! Ma non avevamo parlato di evoluzione di un sistema? Cosa c’entra con lo schiacciare i tastini di una calcolatrice? Non ci crederai, ma il legame con un sistema reale è molto più forte di quel che immagini! Non voglio dirti che modelli semplici come quelli visti poco fa possano descrivere in modo accurato un sistema reale, ma le caratteristiche fondamentali possono essere studiate e capite a partire da modelli semplici (almeno all’apparenza). La matematica in fondo serve anche a

A questo punto inizierai a sospettare che le iterate di una qualsiasi funzione, per un certo dato iniziale, tendano tutte ad un numero fissato. Niente di più sbagliato! La situazione è molto più intricata di quel 5

1976 dal biologo Robert May, modellizza la crescita di una popolazione, aggiungendo l’informazione che i tassi di natalità e mortalità dipendono dalla densità di popolazione. Lo scopo di questo articolo era semplicemente quello di togliere il coperchio da un pentola e farti guardare dentro, nulla di più. Spero soltanto di aver suscitato in te un pò di curiosità, tornerò sull’argomento nelle prossime puntate, per ora è tutto!

questo, creare modelli ideali che racchiudano in sè l’essenza del problema, cercare di capirli a fondo ed infine tornare al sistema reale e vedere quanto bene possiamo approssimare la realtà con il nostro modello. Ad esempio la funzione esponenziale rappresenta un modello matematico (rozzo) che descrive la crescita di una popolazione o la diffusione di un virus, anche la mappa logistica, resa popolare nel

Marco Sansottera

C ONTI INDIANI Scopo di questo articolo vuole essere proprio quello di mostrarne alcune: vediamo in che modo il calcolo di 1/29 può essere facile e perfino nascondere delle sorprese. Come si trasforma una frazione in decimale? Facile, a scuola insegnano il metodo maestro per eseguire questa trasformazione. Il metodo è quello delle divisioni successive e si applica nel seguente modo:

1 = 0.0344827586206896551724137931 29 Se ci viene richiesto di calcolare la forma decimale di una frazione (ovviamente senza ausili tecnici) la nostra reazione (probabilmente) sarà di immane sconforto. Perché? Probabilmente perché conosciamo il procedimento da adoperare, ma è lungo e noioso. Procedendo negli studi il numero perde di importanza e questo è probabilmente legato alle necessità e agli strumenti di cui diponiamo. Detto più chiaramente, i numeri sono importantissimi nella nostra vita, ma non abbiamo più molta necessità di interagire con loro in modo diretto. Il mio computer esegue al posto mio tutti i calcoli necessari a scrivere, salvare ed inviare tramite email questo articolo, le matematiche superiori tendono a contenere solo alcune immagini delle strutture numeriche e così via. Il risultato è che se dobbiamo calcolare anche solo qualcosa di semplice, ci troviamo più in difficoltà di uno studente del secolo scorso! Effetto ancora peggiore, perdiamo la possibilità di entrare in contatto con tutte le proprietà curiose ed affascinanti che i numeri hanno da svelare.

• 1/29 = 0 con il resto di 1; • mettiamo il punto decimale ed aggiungiamo uno 0 al numeratore; • 10/29 = 0 con il resto di 10; • aggiungiamo un altro 0; • 100/29 = 3 con il resto di 13; • ...; e dopo 29 divisioni otterresti finalmente: 0.0344827586206896551724137931 . La prossima divisione darà lo stesso resto della prima: ci si accorge dunque che le stesse cifre sono destinate a ripetersi infinitamente. L’algoritmo appena descritto ha un ottimo pregio: funziona sempre, e un grande difetto: tranne in casi veramente semplici, è lungo e noioso. C’è da dire però che, pur essendo IL metodo insegnato a scuola, è soltanto UN metodo che permette di arrivare al risultato. 6

Vediamone allora altri due molto più veloci. La frazione 1/29 possiede alcune simmetrie dovute al denominatore. La caratteristica principale che ci interessa è che il denominatore appartiene all’insieme dei numeri primi (infatti 29 ha solo due divisori positivi: 1 e 29) che finiscono per 9. La forma decimale delle frazioni che hanno per numeratore 1 e denominatore un numero di questo insieme:

Nel secondo metodo la procedura risulta speculare: anziché dividere per 3 si moltiplica, non si parte dalla prima ma dall’ultima cifra del periodo, che sappiamo essere un 1. Scriviamo l’1 finale e il 3 ottenuto dalla prima moltiplicazione alla sua sinistra: 3 1 Iterando il procedimento otteniamo 3 · 3 = 9 e lo affianchiamo, 9 · 3 = 27 e, in questo caso affianchiamo solo il 7 e il 2 lo incolonniamo sopra:

• avrà come ultima cifra della parte periodica un 1,

2 7 9 3 1

• il numero di cifre che compongono la parte periodica sarà uguale al denominatore meno 1 (in questo caso 29 − 1 = 28 cifre del periodo).

Moltiplichiamo 7 per 3 ottenendo 21 e sommiamo il 2 della riga soprastante: il 23 lo scriviamo incolonnato come il 27 di prima: 2 2 3 7 9 3 1

Per ottenere tutte le cifre della parte periodica si possono utilizzare due diversi metodi che sfruttano queste due caratteristiche. Il primo passo per entrambi i metodi consiste nel trovare un particolare numero, che si ottiene togliendo la cifra 9 al denominatore e sommando 1 al numero rimasto (in questo caso, togliendo la cifra 9 al 29 si ottiene 2, dopodiché 2 + 1 = 3). Nel primo metodo questo numero viene utilizzato per eseguire delle divisioni: si parte dal numeratore e lo si divide, in questo caso per 3 ottenendo uno 0 con il resto di 1 (per comodità scrivo il resto incolonnato nella riga superiore):

Possiamo già intuire che la riga sopra le cifre del periodo sarà identica alla riga dei resti del metodo precedente. A questo punto si procede con le moltiplicazioni fino ad ottenere le 28 cifre del periodo: 1112 2121 222111 2 1 122 0344827586206896551724137931 Non intendo presentare qui la giustificazione rigorosa di questi algoritmi (che sarà oggetto dei prossimi articoli), ma dare dei suggerimenti per chi volesse cercare di indovinare qualcosa di più. La possibilità di trovare metodologie di questo tipo deriva dal fatto che i numeri razionali sono molto “pochi” rispetto ai reali e sono molto particolari (possono essere sempre scritti come rapporto di numeri coprimi). Questo li rende inclini ad avere simmetrie e strutture che, magari a prima vista, non sono così evidenti. Per esempio, nel nostro caso possiamo osservare che dividendo la parte decimale di 1/29 in due parti di uguale lunghezza e sommandole otteniamo: 03448275862068 + 96551724137931 = 99999999999999

1 0 Il prossimo numero da dividere per 3 sarà il 10, che si legge sulla colonna. Il quoziente 3 e il resto 1 vanno posizionati sulle righe corrispondenti: 1 1 resti 0 3 quozienti = cifre del periodo. Ripetendo i passaggi descritti si procede fino a trovare, sulla seconda riga, le 28 cifre del periodo: 1112 2121 222111 2 1 122 0344827586206896551724137931 | {z } 28 cifre

del numeratore: 28 = 29 − 1. Queste proprietà valgono per ogni numero primo che finisce per 9. Vi invito quindi a provare che:

più precisamente, la somma di ogni coppia di cifre che occupano la stessa posizione dà 9: 0 3 4 4 8 2 7 5 8 6 2 0 6 8 ++++++++++++++ 9 6 5 5 1 7 2 4 1 3 7 9 3 1 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

1 = 0, 052631578947368421 , 19 o, con un po’ più di fatica (ma non troppa) a calcolare:

Si può sfruttare questo fatto per dimezzare il numero di divisioni o moltiplicazioni da eseguire: giunti alla quattordicesima cifra del periodo le altre si possono determinare sottraendo da 9 ciascuna cifra trovata. Per scoprire un’altra proprietà dobbiamo ripercorrere uno dei due metodi arrivando alla metà delle cifre:

1 . 59 Potrebbe essere interessante provare ad utilizzare questi metodi su 1/49: si può scoprire che, anche se 49 non è primo (7 è un suo divisore), le cifre trovate sono corrette (questo è vero ogni volta che si divide per un numero che finisce per 9) ma la lunghezza del periodo è inferiore a 48. Ma perché “conti indiani”? L’arcano verrà svelato nelle prossime puntate. . . .

1112 2121 222 03448275862068 Leggendo l’ultima colonna troviamo esattamente il denominatore diminuito

Gabriele Lami

C HIEDI R UBRICA

ALLA

G A’

DI AIUTO AGLI STUDENTI

- S TUDIO DI FUNZIONE : UNO SCHEMA RIASSUNTIVO -

1. I L

DOMINIO

I classici casi in cui si pongono delle limitazioni sono tre: Come primo articolo di questa rubrica non potevo non affrontare lo studio di funzione: per me, perché è l’esercizio più completo e divertente (sì, avete letto bene!) che viene svolto nelle scuole secondarie di II grado e per voi, che fate finta di non aver paura dell’Esame di Stato. Questo argomento, appunto, viene affrontato generalmente al quinto anno, ma alcuni di voi lo stanno già studiando in quarta. Quello che vi propongo qui sotto vuole essere soltanto uno schema riassuntivo dei classici punti previsti dall’esercizio, è volutamente non esaustivo perché intende essere solo un promemoria e non una trattazione dell’intero (vastissimo) argomento.

• frazione N/D: si pone il denominatore diverso da zero D 6= 0 ; • radice di indice pari: il radicando deve √ essere non-negativo, cioè se si ha R si pone R ≥ 0 ; • logaritmo: l’argomento del logaritmo deve essere maggiore di zero, cioè se si ha log(A) si pone A > 0 . Se compaiono più di una di queste limitazioni, allora vanno messe a sistema; se invece non compare nessuno dei precedenti casi, il dominio risulta (−∞, +∞) . Consiglio: conviene scrivere il dominio sotto forma di intervalli perché questo ci 8

5. I

aiuta nel momento in cui dovremo fare i limiti.

2. L E

Si riprende il dominio scritto come unione di intervalli (punto 1) e si fanno i limiti ai suoi estremi. Consiglio: i limiti devono risultare coerenti con i punti precedenti (niente limiti che vanno a finire in zone del piano cartesiano cancellate al punto 4!!)

SIMMETRIE

Si considera la funzione nel punto −x, f (−x) : • se risulta uguale a f (x) allora la funzione è pari ed è simmetrica rispetto all’asse y ;

5 BIS . G LI

ASINTOTI

Per quanto riguarda gli asintoti si devono considerare due differenti casi:

• se risulta uguale a −f (x) allora la funzione è dispari ed è simmetrica rispetto all’origine.

• asintoto orizzontale y = k : se il limite per x → ∞ dà come risultato il numero k .

Consiglio: una funzione non può essere pari E dispari e non è necessariamente pari O dispari. La maggior parte delle funzioni che si studiano abitualmente non ha queste simmetrie.

3. L E

LIMITI

• asintoto verticale x = k: se il limite per x → k dà come risultato ∞ . • asintoto obliquo y = mx + q : lo si cerca se il limite per x → ∞ dà come risultato ∞ .

INTERSEZIONI CON GLI ASSI

f (x) = m deve essere finito e non nullo! x→∞ x lim

Per quanto riguarda le intersezioni con gli assi si devono considerare due differenti casi:

6. L A

Si calcola la derivata della funzione e la si pone ≥ 0 . Negli intervalli dove la derivata è positiva la funzione è crescente, dove è negativa la funzione è decrescente. I punti dove la derivata si annulla (se appartengono al dominio e se sono punti in cui la derivata cambia segno) sono estremanti: punti di massimo se la funzione “prima sale e poi scende”, altrimenti sono punti di minimo.

• asse x: si mette a sistema la funzione con y = 0 ; • asse y: si mette a sistema la funzione con x = 0 . Consiglio: controllare che x = 0 appartenga al dominio prima di studiare le intersezioni con l’asse y .

4. L O

DERIVATA PRIMA

STUDIO DEL SEGNO

7. L A

Si pone la funzione maggiore di zero. ATTENZIONE!! Ricorda che le radici di indice pari, le potenze pari e gli esponenziali sono sempre non-negativi. Consiglio: è un buon momento per cominciare a lavorare al grafico.

DERIVATA SECONDA

Si deriva la derivata prima e la si pone ≥ 0 : dove la derivata seconda risulta positiva, la funzione è concava verso l’alto, altrimenti verso il basso. I punti dove la derivata seconda si annulla (se appartengono al dominio e se sono punti in cui la de9

tivo dei classici punti previsti dall’esercizio, è volutamente non esaustivo perché intende essere solo un promemoria! Vorresti trovare altri approfondimenti relativi agli argomenti che stai studiando a scuola? Hai idee da propormi sulle tematiche da trattare? Bene, vieni a trovarci sul blog e proponi nuove idee!

rivata seconda cambia segno) si dicono punti di flesso. Consiglio: quando si disegna il grafico attenzione a non creare curvature aggiuntive solo al fine di collegare i trattini che indicano i limiti sul piano cartesiano!! Ti ricordo ancora che ciò che ho proposto è solamente uno schema riassun-

Gabriella Pina

PAUSA R UBRICA

CAFFÈ DI

E NIGMI

G IOCHI M ATEMATICI

- B ILANCIA I N -S TABILE -

taccare il peso da 2kg ad un quarto del braccio lungo non vale”.

Un professore fa risolvere alla lavagna questo problema:

Lo studente gli risponde: “Non mi sognerei mai di utilizzare questo tipo di sotterfugi, basta scegliere i bracci della lunghezza giusta” e scrive la lunghezza alla lavagna lasciando di sasso il professore. Poi ci pensa un attimo e aggiunge “Anche questo però potrebbe essere considerato un sotterfugio”, quindi si mette a scrivere e dopo cinque minuti di conti arriva ad una soluzione in cui la bilancia è effettivamente in equilibrio.

Una bilancia a due piatti ha un braccio che è lungo il doppio dell’altro; sapendo che sul braccio corto è posto un peso da 1Kg, che peso è posto sul braccio lungo perché la bilancia sia in equilibrio?

Il povero studente svolge i calcoli ma per distrazione scrive 2kg anziché 0.5Kg. Subito il professore pignolo gli fa notare che ha commesso un errore e che con quel peso la bilancia non sarà MAI in equilibrio. Lo studente, che è molto sveglio, gli dice: “E invece si sbaglia! Se supponiamo che i bracci della bilancia siano ideali e non abbiano quindi peso, quella bilancia può stare in equilibrio!” Il professore, sicuro di sè, lo sfida a dimostrarlo ma aggiunge: “Guarda che at-

La soluzione proposta dallo studente

Il professore prova a dire che una bilancia così non potrebbe essere costruita ma lo studente gli fa subito notare che più della metà degli esercizi che erano costretti a svolgere parlavano di situazioni ideali (ben lontane dalla realtà). L’imbarazzo del professore dura poco, ma solo perché viene graziato dalla campanella. Sapresti trovare le due soluzioni proposte dallo studente? Luigi Caspani

- ACQUA E VINO -

(non uniforme) di tè e vino dalla tua tazza e rimettilo nella botte. A questo punto hai un po’ di vino nella tazza di tè e un po’ di tè nella botte di vino. Quale delle due è maggiore: la quantità di vino nella tazza o la quantità di tè nel barile?

Quello che ti propongo è un semplice indovinello, ma prova a risolverlo senza carta e penna! Prendi un cucchiaio di vino da una botte di vino e mettilo nella tua tazza di tè. Poi prendi un cucchiaio della miscela

La soluzione nel prossimo numero! Marco Sansottera

- “D IE H ARD ” -

nuto di tempo prima che la bomba esploda, quindi per misurare i 4 galloni puoi usare solo le due taniche che hai a portata di mano. Come fare?

Ecco un altro indovinello, preso dal film “Die Hard”, prova a risolvere anche questo senza carta e penna! Di fianco ad una fontana ci sono una valigetta e due taniche, una da 3 galloni ed una da 5 galloni. Nella valigetta c’è una bomba controllata da una bilancia. Per disinnescare la bomba devi appoggiare sopra la bilancia una tanica con esattamente 4 galloni d’acqua. Hai un mi-

Se anche tu sei tra quelli che hanno visto e rivisto quel film sino a saperlo a memoria, starai sorridendo e pensando “Sì, me lo ricordo!”. Tuttavia l’indovinello resta valido, almeno a metà, infatti nel film viene svelata solamente una delle due possibili soluzioni! Marco Sansottera

R ECENSIONI S CELTI

DA NOI

- “D OMANI NIENTE SCUOLA” -

vo gettare un ponte oltre quel fossato (ribadito ogni giorno da giornali e tv) che separa adulti e ragazzi e che relega i più giovani in una riserva in cui nessuno vuole metter piede, nella presunzione di sapere già, risponde Bajani nei ringraziamenti alla fine del viaggio. Il suo intento è provare a raccontare il mondo degli adolescenti dall’interno, gettandosi nella mischia. Ma il suo libro rappresenta anche una magica DeLorean che riporta me, della stessa generazione di Bajani (e della DeLorean!), un po’ indietro nei ricordi e un po’ avanti nel futuro: molte delle emozioni, delle reazioni, dei pensieri, infatti, sembrano essere gli stessi, ma il nostro zaino che una volta conteneva il walkman, le cassette, la macchina fotografica e i rullini ora è vuoto

Qualcosa è cambiato. Basta che uno spicchio di orologio se ne vada via un sabato notte di fine marzo, portando via con sé il freddo, i vestiti pesanti, il recupero dei debiti. . . e sulla nuova pagina del calendario si trova una data già cerchiata da tempo: il giorno della gita. In questo nuovo clima primaverile mi è venuta voglia di riaprire “Domani niente scuola”, il libro in cui Andrea Bajani, trentacinquenne giornalista torinese, descrive i suoi viaggi a Praga e a Parigi insieme a tre comitive di ragazzi in gita scolastica. Perché un adulto sano di mente e non coinvolto nella scuola dovrebbe affrontare questo incubo. . . che rappresenterebbe il sogno di ogni adolescente? “Vole11

rella di Bajani (a cui il libro è dedicato) è insegnante e l’autore non ha infierito eccessivamente sulla categoria. Solo l’episodio della visita a un campo di concentramento e il ripetersi di parole quali “programma” e “interdisciplinare” permettono al corpo docente di fare un po’ di autoironia. I genitori, invece, ne escono con qualche occhio nero in più.

e contiene solo un cellulare. A dirla tutta, il libro, scritto nel 2008, in alcuni punti suona già obsoleto: i ragazzi che l’autore conosce trascorrono il pomeriggio chattando con Windows Live Messenger e nessuno accenna a un profilo su Facebook. Il Presidente del Consiglio era Silvio Berlusconi, lo stesso di oggi. Il rapporto con le nuove tecnologie e il generale disinteresse verso la politica sono due dei temi che emergono da queste pagine, ma tra auricolari e autogrill fanno in tempo a risaltare anche le figure degli adulti che stanno vicini ai ragazzi: professori e genitori. Per mia fortuna la so-

Il clima di aprile, però, ci impedisce di lasciarci andare a riflessioni troppo serie: la data è già lì, segnata sul calendario. Andrea Bajani: “Domani niente scuola”, Einaudi editore, 2008. Gabriella Pina

Continua a seguirci tramite i vari canali disponibili: • • • •

il nostro sito internet: http://caostabile.altervista.org ; il nostro blog: http://caostabile.blogspot.com ; la nostra pagina Facebook: http://www.facebook.com/pages/CaoStabile/107200479359132 ; la nostra pagina su Issuu: http://issuu.com/caostabile .