CaoStabile N.6 [09.01.2012] by Caos Stabile

Numero 6, 9 Gennaio 2012. Licenza Creative Commons CC-BY-NC-SA.

Editoriale “Anno nuovo, vita nuova!” si dice spesso, e per CaoStabile in effetti questo è parzialmente vero! Con l’anno nuovo abbiamo deciso di dare una ristrutturata alla casa di CaoStabile, naturalmente stiamo parlando della nostra casa virtuale... Abbiamo infatti deciso di dare nuova vita al nostro sito internet, una ristrutturazione più che altro grafica, ma che ci permetterà allo stesso tempo di gestire meglio i vari contenuti! Speriamo in breve tempo di completare il progetto che abbiamo in mente, creando una sezione di contributi extra che comprendano programmi di carattere scientifico che ti permettano di riprodurre alcuni esperimenti numerici direttamente sul tuo computer, immagini dallo spazio e di alcune strutture matematiche complesse, e tutto quel che ci verrà in mente! Con l’anno nuovo abbiamo anche istituito una newsletter, iscriviti e sarai sempre informato sulle nuove uscite, la creazione di nuovi contenuti e su tutto quel che succede attorno al progetto CaoStabile! Buona lettura e vieni a trovarci presto sulla nostra pagina Facebook, il nostro Blog e tieniti informato con la nuova newsletter! Lasciaci un commento, un tuo parere o quel che ti passa per la testa...sapere che ci stai leggendo e che apprezzi il nostro sforzo è la ricompensa più grande!

In questo numero: Previsioni meteo per lo spazio Da nord e da sud Frazioni continue In viaggio verso Saturno

Chiedi alla Ga’: Dimostrazioni con i criteri di congruenza Pausa caffè: Le due micce Una sequenza ordinata Le camere d’albergo Recensioni: “Lo strano caso del cane ucciso a mezzanotte”

Il Team CaoStabile

P REVISIONI METEO PER LO SPAZIO Nel marzo del 1989, una serie di blackout elettrici, interruzioni nelle comunica-

zioni e problemi a satelliti artificiali attirò l’attenzione mondiale su un gruppetto 1

ne, ampie anche migliaia di km, sulla superficie del Sole in cui campi magnetici molto intensi impediscono la risalita di materiale caldo per convezione dall’interno, pertanto si creano delle zone più fredde (anche se parliamo comunque di 5000 K!) che assumono una colorazione più scura rispetto all’ambiente circostante. In tali regioni, l’intensificazione del campo magnetico è dovuta all’affioramento di un “cappio” di linee di forza che quando attraversano la fotosfera (la regione visibile del Sole attraverso la quale passa tutta l’energia irradiata dalla stella) creano appunto le macchie solari.

di macchie scure apparse sulla superficie del Sole. Ciò che fino ad allora aveva interessato la sola comunità scientifica uscì dalle porte delle accademie ed assunse una reale importanza economica e sociale. Le macchie solari (cosa sono lo scopriremo a breve) rappresentano, tuttavia, solo uno dei fenomeni che la meteorologia spaziale (space wether) si propone di studiare. Per le attività terresti, nonché per la nostra stessa salute, infatti, oltre i processi che avvengono sul Sole, anche il flusso di particelle che da esso ci investe, il vento solare, e la sua interazione con la magnetosfera e la ionosfera terrestre risultano essere assolutamente determinanti. Abbiamo introdotto fin qui un gran numero di parole e concetti che suonano alquanto generici e non meglio definiti che in un film, vediamo quindi di approfondire almeno i principali su cui la meteorologia spaziale si basa.

Quando un cappio di linee di campo magnetico attraversa la fotosfera crea le macchie solari.

Il Sole, inoltre, non essendo un corpo solido è contraddistinto da differenti velocità di rotazione attorno al proprio asse: più veloce all’equatore (con un periodo di circa 25.6 giorni) e più lento ai poli (circa 33.5 giorni). Questa cosiddetta rotazione differenziale causa un avvolgimento delle linee di campo magnetico su se stesse creando i cappi che sono all’origine delle macchie solari. Lo stesso fenomeno, inoltre, genera quell’effetto dinamo che creando e distruggendo macchie solari dà vita al cosiddetto ciclo solare, Ogni 11 anni, infatti, il campo magnetico solare si inverte e di conseguenza cambia drasticamente anche la sua influenza sul nostro pianeta. Il ciclo solare ha un profondo effetto sul “clima dello spazio” e su quello terrestre. Nel 17◦ secolo, ad esempio, il ciclo solare sembrò interrompersi per diversi anni (con l’apparizione di pochissime mac-

Principali concetti cui si concentra la meteorologia spaziale.

Il Sole è una stella veramente dinamica, è molto attiva ed in continuo cambiamento. E’ composta di gas ionizzato formato da ioni ed elettroni e globalmente neutro (il plasma) intrecciato con potenti campi magnetici. Ha un diametro di circa 109 volte quello della Terra, una massa di 330000 volte e la sua temperatura varia da 5800 K (superficie) a 15.6 milioni K (nucleo)! Chimicamente è composta per circa tre quarti da idrogeno (che brucia ad una velocità di circa 700 milioni di tonnellate al secondo!) ed elio. L’attività solare è contraddistinta da svariati fenomeni, ma tra questi il più significativo ed il primo ad esser stato studiato (già dai tempi di Galileo) è quello delle macchie solari. Queste sono alcune zo2

tosfera; quella regione di spazio entro la quale il campo magnetico terrestre genera particelle cariche e ne domina il moto. La forma di questa specie di “bolla” che ci avvolge è profondamente influenzata dalla presenza e dall’intensità del vento solare. La magnetosfera, infatti, è fortemente schiacciata sul lato diurno e molto allungata su quello notturno.

chie solari) e tutta l’Europa registrò temperature inusualmente basse (la cosiddetta Little Ice Age). In generale i minimi del ciclo solare tendono a coincidere con temperature più basse, ma mancano ancora prove definitive a rigurado. In realtà l’intenso campo magnetico solare causa anche un forte riscaldamento di tutta la corona (quella parte dell’atmosfera solare così tenue che è possibile vedere solo durante un’eclissi di Sole) formando regioni di particolare attività. In queste regioni capita che le strutture magnetiche tendano localmente a rompersi causando sbuffi di massa e brillamenti (solar flares). Ma la storia non finisce qui. La forte attività solare si ripercuote anche a grande distanza dalla nostra stella. Studiando la coda delle comete, a metà del secolo scorso, gli scienziati di tutto il mondo raccolsero prove sperimentali significative che il Sole emettesse con continuità una qualche forma di “radiazione corpuscolare”. Le comete, infatti, mostrano una doppia coda, una neutra ed un’altra composta di gas ionizzato che si orienta non lungo la velocità dell’orbita, ma con una leggera inclinazione rispetto a questa. Tale orientazione è il frutto dell’interazione con un flusso di particelle cariche che emana continuamente dal Sole: il vento solare. Tale vento è un flusso di particelle cariche, globalmente neutro, che evapora dalla corona ad una velocità fra 200 e 900 km/s! Fin qui abbiamo analizzato tutti i fenomeni che avvengono sulla nostra stella e che influiscono anche sul nostro pianeta, ma anche la Terra ci mette del proprio per contribuire al meteo spaziale. Il campo magnetico terrestre si origina nel nucleo esterno del nostro pianeta ed è assimilabile ad un dipolo magnetico (una calamita, per intenderci) inclinato di circa 11◦ rispetto all’asse di rotazione terrestre. Tale campo magnetico, ovviamente, si estende ben al di fuori della superficie terrestre e genera la nostra magne-

La forma della magnetosfera terrestre è determinata dal vento solare: schiacciata sul lato esposto al Sole ed allungata nel lato in ombra.

L’ultimo ingrediente che gioca un ruolo fondamentale nella determinazione del meteo dello spazio è la nostra ionosfera. Con questo termine si intende quella parte dell’atmosfera terrestre (stiamo parlando di almeno 50 km dalla superficie) in cui la densità di ioni ed elettroni è molto elevata. Tale regione si comporta come una specie di specchio elettromagnetico sia per segnali provenienti dalla Terra che dallo spazio. E’ proprio sfruttando la riflessione delle onde corte ad opera della ionosfera che Marconi nel 1901 riuscì a trasmettere un segnale radio fra Inghilterra e Canada che non si “vedono” a causa della curvatura terrestre. La ionosfera si compone di tre regioni. La prima, a circa 60-90 km di quota è la principale responsabile dell’assorbimento di radioonde. La seconda, a circa 90-150 km riflette le radioonde medie e lunghe; l’ultima, infine, si estenda fra i 150 ed i 400 km, riflette le radioonde corte ed è l’unica presente anche nel lato in ombra. Sulla base di quanto finora introdotto è evidente che esistono molti fattori in gioco, energie molto elevate e un altissimo 3

vedere, ma alla base di forti ritardi nelle trasmissioni a causa di elevati assorbimenti nella banda delle frequenze alte e molto alte (HF e VHF, le più usate per telecomunicazioni) dovuti alla forte ionizzazione dell’atmosfera. In alcune occasioni, inoltre, un solar flare può esser anche caratterizzato da emissioni di nubi di plasma o massa coronale. Tale massa, trasportata dal vento solare, può arrivare a colpire la Terra. Anche in questo caso l’energia in gioco è estremamente elevata e all’impatto con la magnetosfera terrestre si generano le cosiddette tempeste geomagnetiche. Nel corso di una di queste la magnetosfera stessa cambia repentinamente configurazione (subendo un forte schiacciamento sul lato diurno) e non solo la parte esposta al Sole del nostro pianeta è interessata. Il campo magnetico terrestre subisce variazioni irregolari su scala planetaria sovraccaricando linee elettriche e sistemi di comunicazione. Le tempeste geomagnetiche sono anche accompagnate da disturbi alla ionosfera terrestre, con i conseguenti problemi nelle comunicazioni ad alta frequenza.

grado di interazione da considerare per fare “previsioni del meteo spaziali”. Le forti forze magnetiche che regolano i fenomeni solari possono facilmente rilasciare durante uno degli innumerevoli brillamenti solari un’energia pari a quella di milioni di bombe atomiche. In corrispondenza di uno di questi flare, inoltre, vi è una forte emissione di raggi X che penetrano l’atmosfera terrestre fino a raggiungere le quote più basse. In particolare questi raggi possono arrivare alla zona più bassa della ionosfera ed aumentarne il grado di ionizzazione con conseguente aumento di assorbimento di radioonde. Anche la parte più alta dell’atmosfera risente di una intensa attività solare, infatti, questa può aumentare di densità ed espandersi fino a raggiungere l’orbita dei satelliti artificiali causando una diminuzione della loro orbita (o il completo rientro) per attrito.

L’interazione di particelle cariche di vento solare con l’atmosfera genera aurore polari (australi o boreali) all’interno dell’ovale aurorale.

Come se non bastasse, inoltre, alcuni brillamenti particolarmente intensi possono anche esser accompagnati da un flusso di particelle energetiche, elettroni e protoni. I protoni, lanciati quasi alla velocità della luce, riescono a trapassare lo scudo della magnetosfera e colpiscono la Terra. Qui vengono accelerati verso le regioni polari (tra 60◦ e 70◦ di latitudine magnetica, l’ovale aurorale, ove il campo magnetico è più intenso e “trafigge” la superficie terrestre), e qui, collidendo con le molecole neutre della nostra atmosfera, generano le aurore polari. Molto belle da

Eruzioni di massa coronale ad alta energia impattano la magnetosfera terrestre deformandola e dando luogo alle tempeste geomagnetiche.

Un ulteriore effetto di brillamenti solari ed eruzioni coronali, è, inoltre, riscontrabile su piccola scala nella ionosfera. Durante i periodi di forte attività solare, infatti, la ionosfera presenta molte irregolarità (soprattutto a basse latitudini) con dimensioni che vanno dal metro al centimetro. 4

Ma evidentemente il solo monitoraggio del Sole non è sufficiente a prevedere tutti i fenomeni alla base della meteorologia spaziale. Il sondaggio ionosferico richiede delle “ionosonde” che non sono altro che sistemi radar ad alta frequenza. Il trasmettitore emette onde radio e misura il ritardo temporale dopo il quale raggiungono un ricevitore. Variando la frequenza di trasmissione, il tempo di ritardo viene registrato e riportato in un grafico (lo ionogramma) per ottenere informazioni circa il contenuto di particelle cariche a varie altezze. Ogni giorno tutti gli osservatori solari, magnetici e ionosferici sono continuamente attivi ed anche i modelli di previsione, sviluppati sui dati da questi raccolti, sono in continua evoluzione, esattamente come accade per la meteorologia terrestre. Vi sono organi specifici, come il National Oceanic Atmospheric Administration (NOAA) che sono continuamente all’erta e pronti a segnalare ogni evento “meteo” che possa avere conseguenze significative sullo spazio circumterrestre. L’idea è quella di sviluppare procedure capaci di segnalare un allarme con almeno qualche ora di anticipo rispetto al verificarsi dell’evento stesso e con una sicurezza prossima al 90%. Tutto ciò al fine di mitigare l’impatto di tali fenomeni dal punto di vista tecnologico, economico e sociale e far sì che si sappia con sufficiente preavviso quando prendere l’ombrello, o il suo equivalente spaziale.

Tali fluttuazioni si ripercuotono, ovviamente, sui segnali che si trasmettono proprio attraverso la ionosfera. Queste scintillazioni ionosferiche causano fluttuazioni in ampiezza e fase di segnali sia terrestri che satellitari (come il GPS) che sono tanto più intense quanto maggiore è l’ampiezza della fluttuazione stessa. Ok, ma cosa possiamo fare per proteggerci da tutti questi fenomeni? Sicuramente la prima cosa è monitorare continuamente la nostra stella. I telescopi terrestri possono osservare la nostra stella solo su alcune lunghezze d’onda (visibile e radio), ma per osservarlo nella finestra di tutto lo spettro elettromagnetico è necessario porci al di sopra dell’atmosfera. Lo Skylab (1973) fu il primo osservatorio solare, seguito parecchi anni più tardi (1996) da SOHO. Dal 2006, infine, la missione STEREO è in orbita attorno al Sole per raccogliere immagini (3D!) e dati con una precisione mai raggiunta prima.

La missione NASA STEREO è composta da due satelliti, uno che anticipa ed uno che segue la posizione della Terra attorno al Sole, che raccolgono e trasmettono continuatamente dati ed immagini sull’attività della nostra stella.

Pierpaolo Pergola

D A NORD E DA SUD Convenzionalmente la sfera terrestre si divide in due emisferi, quello boreale situato a nord dell’equatore e quello australe posto a sud.

pianeta può essere individuato mediante le due coordinate geografiche chiamate latitudine e longitudine. Supponiamo di trovarci a Roma e di poter tracciare una linea che vada da dove siamo al centro

Ogni punto sulla superficie del nostro 5

della Terra. L’angolo tra questa linea e il piano equatoriale è la latitudine (circa 41◦ Nord per Roma), mentre la distanza angolare in senso Est o Ovest tra il meridiano fondamentale di Greenwich e noi viene detta longitudine (circa 12◦ Est per Roma).

Il piano dell’orbita della Terra si chiama eclittica e con questo nome si indica anche l’apparente giro del Sole nel periodo di un anno. L’equatore terrestre e l’eclittica non giacciono sullo stesso piano.

punto vernale, punto dell’Ariete o punto gamma γ. L ’equinozio di settembre (che cade il 23 settembre) è l’equinozio d’autunno, anche detto punto della Bilancia o punto Omega Ω. Nell’emisfero meridionale, questi nomi sono invertiti. L’angolo φ è la latitudine, λ la longitudine.

Quello che ci proponiamo è capire cosa cambia nella nostra vita al variare della latitudine in cui ci troviamo. I due fenomeni più conosciuti e rilevanti sono l’alternarsi delle stagioni e la durata del giorno e della notte. Abbiamo visto precedentemente (CaoStabile n.3 e 4) che la Terra, come tutti gli altri pianeti, si muove lungo un’orbita ellittica tale che il Sole occupa uno dei fuochi. L’equatore terrestre non giace però sul piano di quest’orbita, chiamato eclittica, ma è bensì inclinato di 23◦ 27’ rispetto ad esso. A causa di questo fatto i raggi solari toccano la superficie del nostro pianeta con un angolo d’incidenza diverso a seconda della latitudine e del momento dell’anno.

A seconda di dove si trova la Terra lungo la sua orbita, l’angolo d’incidenza tra i raggi solari e un dato punto sulla superficie cambia.

Durante gli equinozi, l’asse terrestre è perfettamente perpendicolare al piano dell’orbita e dunque la durata del giorno e della notte è la stessa in tutti i punti della Terra. Superato l’equinozio di primavera, le notti diventano sempre più corte nell’emisfero boreale e sempre più lunghe in quello australe.

Se guardiamo la figura ci accorgiamo che esistono dei momenti particolari nel moto di rivoluzione della Terra intorno al Sole.

D’altra parte, il solstizio è ciascuno dei due punti due punti dell’orbita terrestre in cui il Sole è alla massima distanza angolare rispetto al piano dell’equatore terrestre.

Gli equinozi sono i due istanti in cui il piano equatoriale e l’eclittica si incontrano. Nell’emisfero settentrionale, l’equinozio di marzo (che cade il 21 Marzo) è l’equinozio di primavera, anche chiamato 6

dell’equatore. Dall’Italia, per esempio, il primo quarto di Luna crescente appare come una D, mentre dall’Argentina come una C. Viceversa succede per l’ultimo quarto decrescente. Vicino all’equatore il primo quarto sembra una N quando la Luna sorge, ma una U quando la Luna tramonta. Per l’ultimo quarto il contrario. Se ci riferiamo alle figure, notiamo inoltre che dall’emisfero meridionale la superficie lunare appare a ‘faccia in giù’ (provate a confrontare la posizione di mari e crateri).

L’inclinazione dei raggi solari in corrispondenza dei solstizi a seconda della latitudine.

Al solstizio d’estate (21 giugno), i raggi solari sono perpendicolari al Tropico del Cancro che si trova a latitudine 23◦ 27’ Nord: la Terra volge al Sole il polo Nord e nell’emisfero boreale comincia l’estate, mentre in quello australe l’inverno. Al polo Nord il Sole rimane sopra l’orizzonte per sei mesi, mentre al polo Sud rimane sotto per un periodo altrettanto lungo. A partire dal 22 giugno le ore di luce diminuiscono gradualmente per l’emisfero settentrionale, fino a raggiungere il minimo durante il solstizio d’inverno del 21 dicembre. A questo punto i raggi del Sole sono perpendicolari al Tropico del Capricorno situato a latitudine 23◦ 27’ Sud: per noi la durata dell’illuminamento solare è minore, le notti sono più lunghe e comincia l’inverno. Il contrario succede nell’emisfero meridionale. Alternarsi delle stagioni e durata del giorno e della notte non dipendono dunque dalla distanza tra il Sole e la Terra durante l’anno, ma dall’angolo d’incidenza con cui i raggi solari arrivano alla superficie terrestre. Dalla posizione in cui ci troviamo sulla Terra dipende anche come vediamo il cielo, in particolare la Luna e le costellazioni. La Luna orbita intorno alla Terra su un piano molto vicino al piano dell’eclittica e quello che riusciamo a vedere è la parte illuminata dal Sole. Di conseguenza, dall’emisfero boreale si vede la Luna verso sud, mentre il contrario succede dall’emisfero australe. E questo significa che sia l’aspetto che l’orientazione della superficie lunare si vedono invertite a seconda che ci troviamo da una parte o dall’altra

Le fasi lunari come vengono viste dall’emisfero boreale.

Le fasi lunari come vengono viste dall’emisfero australe.

In generale, la visione del cielo dipende dalla latitudine e dal periodo dell’anno in cui ci troviamo.

La porzione del cielo visibile varia a seconda della latitudine.

Possiamo vedere le stelle se si trovano sopra il nostro orizzonte, a patto che la luce del Sole non le celi alla nostra vista. Al polo Nord e al polo Sud possiamo osservare solo metà della volta celeste, più ci avviciniamo all’equatore più siamo in grado di ampliare la nostra prospettiva. Inoltre, man mano che la Terra gira intorno al Sole, cambia anche la porzione di cielo visibile e di conseguenza le mappe 7

Cefeo, Dragone e Giraffa.

celesti sono suddivise per stagioni o, più in dettaglio, per mesi. Dal nostro punto di vista, sembra che le stelle ruotino da Est verso Ovest, spostandosi di circa un grado al giorno (360◦ in 365 giorni). Le stelle che non tramontano mai e dunque sono visibili per tutta la notte per tutto l’anno sono dette circumpolari. Ai poli, tutto l’emisfero celeste visibile è circumpolare, ma avvicinandoci all’equatore il cerchio che delimita la zona delle costellazioni circumpolari diventa sempre più piccolo. In un anno un abitante della zona equatoriale può vedere tutte le 88 costellazioni, ma tutte sorgono e tramontano e dunque nessuna risulta essere circumpolare. Un italiano ammira tutte le costellazioni boreali e una parte di quelle australi, per lui le costellazioni circumpolari sono Orsa Maggiore, Orsa Minore, Cassiopea,

Movimento delle costellazioni circumpolari in circa 10 ore.

Elisa Maria Alessi

F RAZIONI CONTINUE Un sistema di numerazione è un metodo che ci permette di rappresentare i numeri attraverso un insieme di simboli. I sistemi di numerazione più diffusi sono quelli posizionali e in particolare quello decimale.

simile, ma dobbiamo sostituire l’operazione di moltiplicazione con quella di divisione. Complicato starai pensando, ma forse un esempio servirà a farti capire che quel che sto cercando di spiegarti lo conosci perfettamente sin dalle scuole elementari,

In un sistema posizionale, per rappresentare i numeri, si scelgono dei simboli (cifre) che assumono valori diversi a seconda della posizione che occupano nella notazione. Nella rappresentazione decimale abbiamo scelto come simboli i numeri da zero a nove (0, 1, . . ., 9) ed attribuito un significato alla posizione dei simboli: alla cifra che occupa la prima posizione a sinistra della virgola (o del punto decimale) dobbiamo sommare quella immediatamente alla sinistra moltiplicata per 10, poi quella ancora a sinistra moltiplicandola per 100 = 102 e così via sino ad esaurire le cifre. Per le cifre alla destra della virgola la convenzione è molto

183.32 = 1 · 102 + 8 · 101 + 3 + 3 ·

1 1 +2· 2 . 10 10

Se ci pensi un momento, ti accorgerai che la scelta del numero 10 (la base dieci) è del tutto arbitraria, puoi scegliere un qualsiasi numero maggiore di 1 (prova a pensare perchè 1 non va bene!) e, utilizzando le stesse regole, definire le rappresentazioni in base 2, 3, etc., naturalmente se decidi di scegliere una base superiore a 10 dovrai inventarti dei nuovi simboli, la scelta comune (e di grande fantasia!) è quella di utilizzare le lettere dell’alfabeto come “nuovi” simboli (a, b, . . .). Queste rappresentazioni sono del tutto equivalenti ed è possibile passare da 8

una base all’altra in modo estremamente semplice, consideriamo dunque come riferimento la rappresentazione più comune per tutti noi: la rappresentazione decimale posizionale! Come nota a margine prova a pensare a quanto sia semplice effettuare la divisione utilizzando la rappresentazione in base due, ci sono solo due possibilità: o il numero ci sta oppure non ci sta... ricordi come era difficile decidere quante volete il divisore era contenuto nel dividendo quando hai imparato la divisione? Ma siamo sicuri che queste rappresentazioni posizionali siano le più efficaci? E cosa intendiamo per “più efficaci”? Dal punto di vista matematico, uno dei problemi è che la rappresentazione di alcuni numeri “semplici”, come ad esempio 1/3, richiede un numero infinito di cifre (1/3 = 0.333 . . .). Questo fatto ci fa pensare che una rappresentazione simile a quella che utilizzavamo per i numeri razionali, le care vecchie frazioni, potrebbe presentare alcuni vantaggi rispetto alla classica notazione decimale posizionale, ma dobbiamo trovare un modo per poter rappresentare anche i numeri irrazionali, come √ ad esempio la radice quadrata di 2 ( 2). Da un punto di vista più fisico (o pratico) sappiamo che ogni quantità misurabile è spesso rappresentata da un numero che può solamente approssimare il dato reale. Dunque, in alcuni ambiti, è importante avere una rappresentazione che permetta di approssimare nel miglior modo possibile un determinato numero reale, naturalmente utilizzando una notazione che sia al tempo stesso la più compatta possibile. Supponiamo ora di voler costruire un modellino in scala di un sistema planetario, possiamo pensare di mimare il movimento dei pianeti utilizzando delle ruote dentate... ma come? Semplice, se vogliamo che il pianeta A compia due rivoluzioni mentre il pianeta B ne compie tre, basterà prendere una ruota dentata con 3 denti collegata al pianeta A ed una

con 2 denti per il pianeta B (prova a pensare al perché!). Naturalmente possiamo anche moltiplicare il numero dei denti di ogni ruota per lo stesso numero ed ottenere il medesimo risultato. Ma se il rapporto tra le frequenze di rotazione fosse pari a 0.5157411, quale rapporto tra numeri razionali dovremmo considerare per costruire un modello che sia il più verosimile possibile? In prima approssimazione naturalmente 5/10 = 1/2 potrebbe anche andar bene, ma per essere più precisi dovremmo considerare anche le approssimazioni successive: 51/100, 515/1000, etc.. Probabilmente dovremmo anche fermarci all’approssimazione 51/100, costruire una ruota dentata con 1000 denti sarebbe un po’ troppo complicato! Ma siamo sicuri che, limitando ad esempio il numero di denti per ogni ruota a 100, la nostra approssimazione 51/100 sia la migliore possibile? L’errore che commettiamo considerando questa approssimazione è superiore a 5/1000 = 5 · 10−3 , possiamo fare di meglio? Certamente, se prendiamo 16/31, l’errore che commettiamo è inferiore a 4 · 10−4 , e il rapporto 49/95 ci da un’approssimazione con un errore inferiore a 5 · 10−5 ! Ottimo, ma come facciamo a trovare queste approssimazioni? La risposta è data dalla rappresentazione in frazioni continue di un numero reale. Una frazione continua è una espressione del tipo 1

x = a0 +

a1 + a2 +

1 a3 + · · ·

dove a0 è un numero intero e tutti gli an sono interi positivi detti quozienti parziali. Questo tipo di frazioni continue, dove tutti i numeratori sono pari ad 1, sono anche dette frazioni continue semplici. La scrittura estesa delle frazioni continue è poco pratica e sono state introdotte diverse notazioni per semplificarla. Se ad esempio i termini della frazione continua 9

Abbiamo quindi ottenuto la rappresentazione 1 4.12 = 4 + . 1 8+ 3 Lo sviluppo in frazioni continue può anche essere utilizzato per definire delle approssimazioni successive di un numero reale. Infatti, dato un numero

sono a0 , a1 , a2 , . . . scriveremo [a0 ; a1 , a2 , . . .] . La rappresentazione dei numeri reali in frazioni continue ha alcune utili proprietà: • è finita se e solo se il numero è razionale; • i numeri irrazionali hanno una rappresentazione unica;

α = [a0 ; a1 , a2 , . . . , an ] ,

• i numeri razionali hanno una rappresentazione quasi unica: ogni numero razionale ne ha esattamente due che si differenziano solo dal fatto che una termina con [...an , 1] e l’altra con [...an + 1];

abbiamo a disposizione n + 1 differenti approssimazioni, a0 è l’approssimazione più rozza, quella di ordine 0 (la parte intera del numero α), [a0 ; a1 ] è l’approssimazione di ordine 1 e così via sino all’approssimazione di ordine n costituita da [a0 ; a1 , . . . , an ]. È naturale attendersi che, aumentando l’ordine dell’approssimazione, migliori anche l’accuratezza della rappresentazione del numero α. La dimostrazione di questa affermazione, che è naturalmente vera, va oltre lo scopo di questo breve articolo, ma se sei interessato all’argomento non ti sarà difficile farla da solo! Ad ogni approssimazione possiamo naturalmente associare una frazione, An /Bn e vale la comoda relazione ricorsiva

• troncando la frazione continua di un numero x si ottiene un’approssimazione razionale di x che, in un certo senso, è la migliore approssimazione possibile. Il calcolo della frazione continua di un numero reale è estremamente semplice, si tratta di ripetere due operazioni: considerare la parte intera di un numero e calcolare il reciproco della sua parte frazionaria. Dato un numero reale x, chiamiamo xint la sua parte intera e xf raz la sua parte frazionaria, possiamo dunque scrivere x = xint + xf raz = xint +

An an An−1 + An−2 = . Bn an Bn−1 + Bn−2 Questa relazione è estremamente comoda per calcolare le migliori approssimazioni successive di un numero reale e possono essere facilmente implementate su un calcolatore! Se sei interessato potrai trovare il codice del programma per farlo direttamente sul sito di CaoStabile...vieni a trovarci! Con questo breve articolo abbiamo solamente intravisto alcune delle sorprendenti proprietà che nascondono le frazioni continue. L’idea era di farti capire che spesso anche argomenti semplici come la rappresentazione di un numero reale, che conosci sin dalle scuole elementari e potresti pensare non abbiano più nulla di interessante da rivelarti, possono ancora riservare sorprese!

1 . 1/xf raz

Naturalmente 1/xf raz è un numero maggiore di 1 e possiamo quindi considerare la sua parte intera, e ripetere nuovamente il procedimento calcolando gli altri coefficienti. L’algoritmo termina solamente quando xf raz è uguale a zero, ovvero se e solo se x è un numero razionale. Forse un esempio vale più di mille parole, consideriamo il numero 4.12: • 4.12 = 4 + 0.12 = 4 + 12/100 ; • 1/(12/100) = 8 + 4/12 ; • 1/(4/12) = 3 + 0 . 10

Come ti ho detto all’inizio dell’articolo, per semplicità ho deciso di considerare solamente le frazioni continue semplici, dove tutti i numeratori sono uguali ad uno. Prima di concludere però proviamo ad eliminare la restrizione sui numeratori, permettendo ad essi di assumere un valore diverso da uno. Non voglio dilungarmi ora su quali caratteristiche debbano avere, ma solo presentarti un esempio che spero possa essere interessante...ancora una volta, per maggiori approfondimenti, passa a trovarci sul nostro sito Internet! Se ti dicessi di estrarre la radice quadrata di un numero naturale con carta e penna, sapresti come fare? Siamo così abituati all’uso della calcolatrice che ormai abbiamo quasi dimenticato come fare semplici operazioni con carta e penna, e sicuramente l’estrazione di una radice quadrata non è l’operazione più semplice da fare con carta e penna! Vediamo come questa operazione sia effettivamente semplice da effettuare utilizzando le frazioni continue. Preso un numero naturale, n, calcoliamo il più grande quadrato perfetto (il quadrato di un numero intero, e.g. 4, 9, . . .) più piccolo di n, che indichiamo con q 2 , e scriviamo

per costruzione, possiamo considerare l’intero q, e scrivere p √ n = q2 + r = q + α , dove α è una quantità incognita che (per la scelta di q) è un numero minore di 1. Vediamo ora come sia possibile scrivere α come frazione continua generalizzata, p p 2 + r − q)( q 2 + r + q) p ( q p α = q 2 + r−q = q2 + r + q e con un semplice calcolo otteniamo α=

L’espressione precedente è una frazione continua generalizzata ed è immediato ottenere √

√

p q2 + r = q +

2q + 2q +

r 2q + · · ·

Per ottenere il valore approssimato della radice quadrata di un numero naturale quindi dobbiamo semplicemente prendere carta e penna e, armati di un po’ di pazienza, effettuare una serie di semplici calcoli che coinvolgono solamente le care vecchie frazioni, facile no?

n = q2 + r . Come prima approssimazione di

r . 2q + α

Marco Sansottera

I N VIAGGIO VERSO S ATURNO — C APITOLO 1 come possa tuttora orbitare intorno a Saturno vagando tra i suoi satelliti, quali sono le grandi scoperte che ci ha permesso di fare e quali sono gli esperimenti che ha compiuto in tutti questi anni; ripercorreremo l’importante discesa della sonda Huygens sulla superficie di Titano (il satellite naturale più grande di Saturno); scopriremo infine quale sarà il termine di questa missione e se essa sia destinata ad ave-

Inizieremo ora un tour che ci accompagnerà per diversi numeri. Vogliamo ripercorrere l’importante viaggio svolto da una navicella (la missione spaziale “Cassini-Huygens”), partita 15 anni fa dalla Terra per andare su Saturno, che ancora oggi gira intorno al pianeta e lo osserva insieme ai suoi anelli e ai suoi satelliti. Vogliamo scoprire come la navicella si sia potuta spingere così lontano dalla Terra, 11

re successori che ripercorreranno le sue imprese. In questo primo capitolo introdurremo la missione, mentre nei prossimi numeri racconteremo nel dettaglio i diversi temi.

esperimenti che sono stati svolti durante il viaggio e agli strumenti che sono stati installati sulla navicella che hanno fornito e continuano a fornire informazioni preziose per lo studio del sistema solare, dalla sua formazione alla sua evoluzione, dai materiali da cui è composto fino alla possibilità di capire se esistono altri ambienti adatti alla nascita della vita oltre la Terra. Questa missione nasce dalla collaborazione di NASA (Agenzia spaziale americana), ESA (Agenzia spaziale europea), ASI (agenzia spaziale italiana) e la partecipazione di altri enti e industrie di vari Paesi. La NASA ha realizzato la navicella principale che tuttora orbita intorno a Saturno e l’ha chiamata Cassini in memoria dell’astronomo italiano Gian Domenico Cassini (1625-1712) che scoprì 4 satelliti di Saturno e la divisione negli anelli che porta il suo nome. L’ASI ha gestito la progettazione e la costruzione di parti importanti della navicella Cassini, come la grande antenna di 4 m di diametro che permette le comunicazioni con la Terra, e inoltre si è occupata della realizzazione di importanti strumenti ed esperimenti scientifici. L’ESA si è occupata della progettazione e della realizzazione di un’importante componente della missione, la sonda Huygens, il cui nome è stato dato in onore dell’astronomo olandese Christiaan Huygens (1629-1695) che ipotizzò l’esistenza degli anelli di Saturno e che scoprì il suo satellite Titano. Questa sonda gioca nella missione un ruolo fondamentale: essa è stata pensata per viaggiare unita a Cassini per tutto il tragitto da Terra a Saturno per poi separarsi da Cassini dopo aver raggiunto il sistema di Saturno; il suo scopo era quello di avvicinarsi al satellite Titano, entrare nella sua atmosfera e scendere fino a toccare il suolo del grande satellite per fotografarlo e inviare immagini alla Terra. Tale sonda è stata progettata per avere una vita breve sul satellite saturniano (15 minuti), ma il tempo era sufficiente per ottenere le informazioni per cui la sonda è stata realizzata; la sonda è vissuta

Saturno (immagine NASA).

L’uomo è da sempre affascinato dall’idea di viaggiare nello spazio. Negli ultimi decenni sono stati fatti importanti passi avanti in questa direzione e, benché l’uomo ancora non si sia spinto oltre la Luna, diverse navicelle senza uomini a bordo sono arrivate fino ai confini del nostro sistema solare mostrandoci spettacolari immagini che ci hanno permesso di vedere scenari che difficilmente potremo osservare ad occhio nudo. Nel particolare, Saturno è un pianeta che ha sempre destato un grande interesse tra gli osservatori del cielo grazie ai suoi affascinanti anelli e al gran numero di satelliti che vi orbitano intorno. La missione Cassini-Huygens è una delle più importanti e ben riuscite missioni spaziali che hanno intrapreso un viaggio interplanetario. La spettacolarità di tale missione è data dai molteplici successi che essa ha avuto dal momento del suo lancio ad oggi. La navicella, partita nel 1997, ancora oggi orbita con estrema precisione intorno a Saturno; tale precisione, unita all’accuratezza con cui essa è giunta nel sistema planetario di Saturno, è frutto di difficili studi da parte di meccanici celesti e studiosi di dinamica del volo, i quali hanno determinato in anticipo l’orbita che la navicella avrebbe dovuto seguire. I successi di Cassini-Huygens sono dovuti anche ai risultati ottenuti dagli 12

ma precisione e sono stati necessari per permettere alla navicella di giungere fino a Saturno grazie all’“assistenza gravitazionale”che questi pianeti hanno fornito alla navicella. Finalmente, il primo luglio 2004 la Cassini-Huygens entra nell’orbita di Saturno per iniziare il suo tour attraverso i numerosi satelliti del pianeta. Il 25 dicembre 2004, la sonda Huygens si separa da Cassini e inizia il suo avvicinamento al satellite Titano per arrivare sulla sua superficie il 14 gennaio 2005. Nella frattempo Cassini continua ad orbitare intorno a Saturno compiendo ripetuti avvicinamenti ai tanti satelliti (pensate che Saturno ha più di 50 satelliti naturali). In particolare, la navicella avrà moltissimi incontri ravvicinati con Titano che rappresenta un vero e proprio motore per il continuo moto di Cassini (gli incontri ravvicinati li chiameremo flyby, ma vedremo questo argomento nel dettaglio in uno dei prossimi numeri!)

anche di più di quanto si pensasse (3 ore), e poche ore dopo l’atterraggio le batterie non le hanno più fornito energia, così si è spenta e ha smesso di comunicare con la Terra

Il lancio di Cassini (immagine NASA).

Il viaggio verso Saturno è iniziato nel 1997 dopo 15 anni di progettazione della missione; la navicella Cassini (unita alla sonda Huygens) è stata lanciata il 15 ottobre 1997 dalla Florida e ha iniziato il suo tour attraverso i pianeti; ha avuto due incontri ravvicinati con Venere (uno nel 1998 e uno nel 1999), uno con la Terra (ancora nel 1999), uno con Giove (fine del 2000), per arrivare nelle prossimità di Saturno nel 2004. Ovviamente questi incontri non sono stati casuali, anzi, sono stati studiati affinché avvenissero con estre-

Cassini giunge fino a Saturno (immagine NASA).

Credo che sia incredibile pensare che l’uomo si sia spinto così lontano dalla Terra e che riesca a controllare una piccola navicella distante milioni di km da sé. Per questo motivo, nei prossimi numeri scopriremo insieme i segreti di questa missione. Sara Di Ruzza

C HIEDI R UBRICA

ALLA

G A’

DI AIUTO AGLI STUDENTI

- D IMOSTRAZIONI CON I CRITERI DI CONGRUENZA -

gure “particolari” se non viene esplicitamente richiesto: se si parla di un triangolo qualsiasi, conviene non disegnare triangoli equilateri, isosceli o rettangoli. 2. IPOTESI E TESI. Rileggere di nuovo il testo in modo da separare i dati (le ipotesi) dalla tesi (ciò che dobbiamo dimostrare). Scrivere entrambe utilizzando i simboli: ad esempio se nel testo ci informano che il triangolo ABC è isoscele di base BC dovremo scrivere che AB ∼ = AC. 3. SCELTA DEI TRIANGOLI. Se nelle tesi non compaiono triangoli ma solo lati o angoli, conviene andare a considerare per la dimostrazione triangoli che possiedano questi elementi: spesso risulta inutile andare a considerare i triangoli ABC e DEF se nella tesi compaiono i lati CD e AF. Questo è un suggerimento valido soprattutto per le dimostrazioni più semplici, in quelle più complesse può essere necessario considerare prima triangoli ausiliari per poi andare a fare la dimostrazione vera e propria. 4. DIMOSTRAZIONE. È il momento di andare a elencare gli elementi rispettivamente congruenti dei vari triangoli. 5. CONCLUSIONE. I due triangoli devono risultare congruenti grazie a uno dei tre criteri, se la tesi riguarda solo alcuni elementi bisogna specificare che risultano congruenti perchè elementi corrispondenti di triangoli congruenti.

Quando un insegnante di scuola secondaria di secondo grado entra in prima dicendo “Oggi cominciamo geometria”, di solito si alza un coro di disapprovazione, perchè molti ricordano le difficoltà già avute durante la scuola secondaria di primo grado. Questi ragazzi ancora non sanno cosa li aspetta: non saranno più i problemi con perimetri e aree a farli impazzire, la geometria viene affrontata in maniera diversa. Ci saranno ancora triangoli, rette parallele e perpendicolari, quadrilateri... ma gli esercizi consisteranno nel dimostrare teoremi. Recentemente, dopo aver svolto una di queste dimostrazioni alla lavagna, una mia alunna mi ha chiesto “Possiamo fare qualche esercizio in modo che possa comprendere meglio la teoria?”. Ho dovuto risponderle che quello che avevamo appena fatto era a tutti gli effetti un esercizio. Di solito il primo argomento riguarda i triangoli, qui di seguito riporterò alcuni consigli per chi affronta una dimostrazione di geometria che richieda l’utilizzo di uno dei criteri di congruenza: 1. DISEGNO. Leggere più volte il testo della dimostrazione in modo da poter disegnare la figura nel modo più preciso possibile. È consigliabile non disegnare fi-

Gabriella Pina

PAUSA R UBRICA

CAFFÈ DI

E NIGMI

G IOCHI M ATEMATICI

- L E DUE MICCE -

mente. Queste però non bruciano in modo regolare, in particolare la lunghezza della miccia bruciata non è proporzionale al tempo impiegato! Come fare dunque per cronometrare 45 minuti esatti?

Avete a disposizione due micce che, se incendiate ad una estremità, impiegano un’ora ciascuna per bruciare completa-

Marco Sansottera

- U NA SEQUENZA ORDINATA -

Sapresti dire con quale criterio sono stati ordinati i numeri?

La sequenza di numeri 5 2 9 8 4 6 7 3 1 0 sembra apparentemente in disordine.

Marco Sansottera

- L E CAMERE D ’ ALBERGO -

4. Ogni numero di stanza, dal più basso al più alto, è rappresentato dal seguente elenco: la signora che ha guardato il talk show, la signora Verdi, Giulia, la signora che ha guardato il film e quella che ha sostituito gli asciugamani.

Cinque signore hanno sistemato le camere d’albergo. Durante le pulizie, ogni signora ha guardato la televisione nella camera in cui si trovava e in ogni camera c’era qualcosa da sostituire a causa dell’utilizzo da parte degli ospiti precedenti! Dagli indizi, determina il nome completo di ogni signora, quale programma televisivo ha guardato, quali oggetti ha dovuto sostituire ed il numero della stanza che ha sistemato.

5. La signora Rossi, il cui nome non è Luisa, non ha sostituito la carta igienica. 6. Patrizia è la signora Colombo. Infine, ecco la lista con le possibili scelte da ordinare:

1. Beatrice, che non ha sistemato la stanza 607, non ama le telenovele e ha sostituito il sapone. La signora a cui piace guardare il canale religioso, ha sostituito i bicchieri, ma non era né la signora Rossi né Patrizia.

• Anna, Beatrice, Giulia, Luisa, Patrizia; • Bianchi, Colombo, Ferrari, Rossi, Verdi;

2. Luisa, che non è la signora Bianchi, ha pulito la stanza 622.

• film, gioco, telenovela;

3. La signora che ha sostituito i bicchieri, quella che ha guardato il gioco in tv e Anna non hanno sistemato al sesto piano.

• asciugamani, bicchieri, carta igienica, cuscini, sapone;

religioso,

talk show,

• 504, 512, 531, 607, 622; Marco Sansottera

R ECENSIONI S CELTI

DA NOI

- “L O STRANO CASO DEL CANE UCCISO A MEZZANOTTE ” -

dici anni affetto dalla sindrome di Asperger (come si può capire dal retrocopertina, perchè nel testo non viene specificato), e il romanzo racconta il modo in cui riesce a scoprire come è stato ucciso il cane della vicina. In realtà Christopher riuscirà a scoprire molto di più: suo padre

Niente libri riguardanti la scuola né saggi scientifici, cominciamo l’anno con il romanzo di Mark Haddon “Lo strano caso del cane ucciso a mezzanotte”. Il protagonista è Christopher, un ragazzo di quin15

tre uomini su un treno. Uno è un economista, il secondo è un logico e il terzo è un matematico. Hanno appena oltrepassato il confine per la Scozia, quando dal finestrino del treno vedono una mucca in un campo, posta in posizione parallela rispetto al treno. L’economista dice: “Le mucche in Scozia sono marroni”. Il logico commenta: “No. In Scozia ci sono le mucche e almeno una è marrone”. Il matematico conclude: “No. C’è almeno una mucca in Scozia e uno dei suoi fianchi è visibilmente marrone”. Haddon a questo punto fa dire a Christopher che gli economisti non sono dei veri scienziati, i logici hanno una visione più chiara delle cose, ma i matematici sono i migliori di tutti.

gli nasconde un importante segreto. Il protagonista soffre di vari disturbi del comportamento e dell’apprendimento, ma ha una grande passione per la scienza e in particolare per la matematica: per questo motivo all’interno della narrazione vengono citati molti quesiti e curiosità riguardanti questa materia. Niente di nuovo per chi la matematica la “frequenta” abitualmente, ma questo libro può rappresentare un buon modo per scoprire che matematica non è, come molti pensano, sinonimo di noiosi esercizi. Un esempio di curiosità citate nel libro è rappresentato da questa “barzelletta”, la cui intenzione non è solo far sorridere, ma anche spiegare in modo semplice cosa significa essere un matematico: Ci sono

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