CaoStabile N.3 [06.06.2011] by Caos Stabile

Numero 3, 6 Giugno 2011. Licenza Creative Commons CC-BY-NC-SA.

Editoriale

In questo numero:

È passato un altro mese e si avvicina l’estate, ma anche questa volta per il primo lunedì del mese torna l’appuntamento con CaoStabile! Le soluzioni dei giochi precedenti le puoi trovare direttamente sul nostro sito internet. Inoltre puoi interagire con noi tramite il nostro Blog e la pagina Facebook: lasciaci un commento o qualche soluzione alternativa se la trovi! In questo numero parleremo della forza di gravità, cercheremo di scoprire perché il cielo è nero e cosa sia questa misteriosa materia oscura di cui probabilmente avrai sentito parlare qualche volta (spesso a sproposito)! La matematica e il matrimonio hanno qualcosa in comune? Scoprilo! Come al solito non mancherà l’angolo dei giochi, un aiuto agli studenti ed una bella recensione! Buona lettura e passa a trovarci sul nostro Blog e sulla pagina Facebook, sapere che apprezzi il nostro sforzo è la ricompensa più gradita!

Quanto è oscuro l’Universo? La forza di gravità Perché il cielo è nero? La matematica e il matrimonio Chiedi alla Ga’: Equazioni logaritmiche Pausa caffè: Gli studenti alla festa Tartine zola e noci La divisione del resto Recensioni: “Perle ai porci”

Il Team CaoStabile

QUANTO È OSCURO L’U NIVERSO ? Che di notte il cielo sia nero e buio lo sappiamo bene. E sappiamo altrettanto bene che quasi tutti quei puntini che vediamo sono stelle lontane da noi almeno qualche anno luce (la distanza che compie la luce in un anno, circa 9500 miliardi di km!). E’ ben noto anche il motivo per cui il cielo ci appare così nero. Quando il Sole

illumina l’emisfero terrestre a noi opposto l’atmosfera non può diffondere i suoi raggi dandoci quella tipica impressione di cielo azzurro che fa tanto primavera. In realtà nel nostro universo di cose oscure ve ne sono parecchie e non stò certo parlando del cielo, anzi ciò di cui ti voglio parlare non è affatto ben chiaro come il motivo 1

Qualunque sia la causa, stiamo osservando qualcosa di strano dal momento che tutti i nostri modelli prevedono una gravità che faccia in qualche modo da freno all’espansione dell’universo, non certo da spinta! E’ come se esistesse una forza antigravitazionale su larga scala, o dovremmo rivedere il nostro concetto di gravità su scale molto grandi. Anche Einstein non riusciva a spiegarselo, tant’è che ipotizzo una costante che riflettesse tale fenomeno. Una sorta di “pressione negativa” che tende a controbilanciare la gravità e far accelerare l’espansione dell’universo. Beh, a tale energia venne dato il nome di “Energia Oscura”, nome abbastanza calzante dato che compete al nero cosmico e ben “oscure” rimangono tutt’oggi le sue origini. L’energia oscura è una sorta di energia del vuoto molto omogenea (agisce ovunque con la stessa intensità) ed interagente solo mediante la sua gravità (non vi sono altre prove della sua interazione con la materia ordinaria), come dire “il prezzo da pagare per avere tanto spazio a disposizione”.

per cui il cielo notturno è nero. Avrai di sicuro già sentito parlare della gravità. Quella forza (tutt’oggi ancora alquanto misteriosa) propria della materia che tende a far avvicinare due corpi qualunque in maniera direttamente proporzionale al prodotto delle loro masse e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza. Che vuol dire? Beh, che più i corpi sono massicci e vicini e più è intensa la forza che li attrae. In altre parole, la Terra attira la mela e la mela attira la Terra, ma poiché la Terra è miliardi di miliardi di volte più grande della mela, la mela cade a Terra, ma la Terra non cade sulla mela. E fin qui siamo ancora nel campo del “certo che lo so” o “mi sembra ragionevole”. Ora proviamo a pensare a tutto l’universo nel suo insieme, quindi pianeti, stelle, galassie, ammassi di galassie e via via oggetti sempre più grandi e massicci, se la gravità funziona come per la Terra e la mela cosa dovrebbe succedere? Sembra abbastanza ovvio che le masse più grandi dovrebbero attirare le più piccole e masse comparabili attirarsi fra loro. Una cosa è però chiara: essendo la gravità una forza puramente attrattiva questa dovrebbe portare, in ogni caso, le galassie (e tutto ciò che esse contengono) ad avvicinarsi le une alle altre o quantomeno allontanarsi decelerando se la loro velocità iniziale fosse sufficientemente elevata. Al limite l’universo potrebbe addirittura collassare su se stesso a causa della forza di gravità! Ovviamente questo è frutto di puro ragionamento che va in qualche modo verificato mediante osservazioni ed analisi “sul campo”, anzi, in questo caso “sul telescopio”. Tali osservazioni furono effettivamente condotte dagli anni 90 in poi proprio al fine di confermare questa “contrazione” dell’universo (in uno dei prossimi articoli ti racconto come hanno fatto a scoprirlo). Ciò che, con molto stupore e malincuore, si scoprì è che l’universo anziché contrarsi sta addirittura accelerando la sua espansione! Ma è assurdo!

Rappresentazione artistica dell’Energia Oscura (gli ovali neri) all’interno di regioni di energia ordinaria.

E non è certo finita qui! Alla luce di questa oscurità, si è provato anche, descrivendo ancora la gravità come la conosciamo noi, a calcolare la massa degli oggetti del cosmo (in particolare delle galassie) da osservazioni sul loro moto. In altre parole, ancora “telescopio alla mano” si è proceduto negli anni a fare una stima della massa delle galassie partendo, in particolare, dalla loro velocità di rotazione. La terza legge di Keplero ci dice 2

che dovremmo aspettarci che tale velocità decresca al crescere della distanza (come accade per i pianeti, infatti Giove si muove molto più lentamente della Terra, ovvero ha un periodo molto maggiore), ma ancora una volta calare il modello teorico nella realtà fornisce inattese sorprese. Analizzando in particolare i bracci esterni di galassie a spirale (come la nostra Via Lattea, per intenderci), infatti, si è osservata una velocità che non decresce con la distanza, ma rimane pressappoco costante. Ed ora?! E’ come dire che se la massa di una galassia forse solo quella che vediamo allora le stelle più esterne (incluso il nostro Sole) ruoterebbero troppo velocemente e sarebbero già state lanciate via miliardi di anni fa!

vicini alla verità. Infatti, utlizzando sia un sistema di telescopi a terra che diversi satelliti spaziali (come Chandra e Hubble), gli studiosi hanno dichiarato di aver osservato in una collisione fra galassie (nell’ammasso 1E0657-56, anche noto come “ammasso proiettile”) la maggiore forza gravitazionale in un’area relativamente sgombra di materia visibile (... ma questa è davvero un’ altra storia). Allora, riassumendo, finora abbiamo avuto a che fare con la gravità, l’abbiamo studiata e modellata e poi abbiamo provato a vedere cosa ci aspettavamo dal nostro universo. Abbiamo visto che sia in termini di energia che di materia le cose non tornavano e siamo pertanto ricorsi alle cose “oscure”. In altre parole l’universo contiene una grande quantità di materia e di energia non direttamente osservabili, ma percebili solo tramite la loro influenza gravitazionale. Ovviamente le oscurità di cui ti sto parlando sono intimamente legate! Perché? Beh, la celebre equazione di Einstein E = mc2 è sufficiente a dirci che ragionare in termini di materia o di energia è esattamente equivalente.

Velocità di rotazione galattica attesa e rilevata. La differenza puo essere spiegata solo assumendo un “alone” di Materia Oscura attorno alla galassia.

Ancora una volta il termine “oscuro” ci viene in soccorso. Infatti, a questo deficit di massa è stato assegnato il nome di “Materia Oscura”. Attenzione, non vuol dire che questa massa non c’è! La materia oscura indica un certo tipo (alquanto esotico) di materia che interagisce solo mediante la sua forza di gravità. Cioè non può esser visto con alcun telescopio! E tanto per capirci non stiamo parlando di qualche chilogrammo di massa, né tanto meno di una stella o al limite una galassia, stiamo dicendo che il 90 % della materia del cosmo è materia oscura! Possiamo vedere il 10 % di ciò che ci circonda! Beh, effettivamente alquanto bizzarro ed imbarazzante per la scienza moderna. Ovviamente anche in questo caso le nostre idee sono molto vaghe, ma (forse) rispetto all’energia oscura siamo un po’ più

Distribuzione stimata di materia ordinaria ed oscura nel nostro universo. Solo il 4 % di tutta la materia del cosmo è fatta di atomi come noi.

Ma c’è un’ultima cosa di cui ti voglio parlare e che forse più delle altre denota che le strutture a grande scala del cosmo hanno ancora tanto da nascondere. Anche assumendo l’esistenza della materia e dell’energia oscura alcuni oggetti dell’universo, si muovono in modo decisamente bizzarro. A circa 2,5 miliardi di anni luce da noi, infatti, c’è un gruppo di ga3

vazioni. Ci sono molti scettici che pensano addirittura che tale moto non sia reale ma sia solo il frutto di errori statistici nelle osservazioni. Basti pensare che tutti i dati che abbiamo a disposizione non sono sufficienti neanche a capire se tale flusso si stia allontanando o avvicinando rispetto a noi! Ora che abbiamo un’idea di quante cose oscure ci sono ancora nel nostro universo sembra un po’ più legittimo stare con il naso all’insù e gli occhi dietro un telescopio, o spingersi sempre al limite per realizzare missioni spaziali sempre più sofisticate, pur di cercar di far un po’ di luce su tutta questa oscurità.

lassie che si muove lungo la linea di vista che ci unisce all’ammasso di galassie noto come Idra-Centauro. E questo da dove esce? Non è un moto ed una velocità (circa 900 km/s!) spiegabile con la distribuzione di materia a noi nota, quindi è stata (ovviamente) chiamata “Flusso Oscuro”. Qui non sappiamo (ancora) che pesci prendere e per spiegarlo è necessario ricorrere a strutture che sono ben al di la di tutto ciò che noi possiamo vedere (l’universo osservabile), ma che nonostante ciò esercitano una influenza significativa sulla materia che ci circonda. Il flusso oscuro è controverso, data la difficoltà e la delicatezza di questo genere di osser-

Pierpaolo Pergola

L A FORZA DI GRAVITÀ regola anche il moto dei pianeti intorno al Sole e in generale di tutti i corpi dotati di massa. Vi ricordate cosa si intende per massa? Si può dire che rappresenta la quantità di materia contenuta in un corpo, ma più precisamente è una misura della sua inerzia, cioè di quanto sia difficile cambiare lo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme del corpo in questione. Cosa succede tra due corpi dotati di massa quando interagiscono tra loro? Si attraggono con una forza direttamente proporzionale al prodotto delle loro masse e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza reciproca. In termini matematici, questa forza si scrive come:

Spesso grandi idee scientifiche (e non) prendono inizio da piccoli dettagli della vita quotidiana. Si racconta che un pomeriggio del XVII secolo Isaac Newton notò una mela cadere dall’albero del suo giardino e di conseguenza nella sua mente nacquero le domande che lo portarono a sviluppare la teoria della gravitazione universale. “Perché è caduta verso il basso? Non poteva muoversi verso l’alto o di lato?”

F =G

m1 m2 , d2

dove G si chiama costante di gravitazione universale. Ora, supponendo che la massa della mela sia m1 e quella della Terra m2 , e utilizzando il secondo principio della dinamica:

Ovviamente, la responsabile del fenomeno è la forza di gravità, che oltre ad attrarre la mela e noi stessi verso la Terra,

F = m1 a1 , 4

dove a1 è l’accelerazione di cui risente m1 a causa della forza F, troviamo: G

P = mg e come tale dovrebbe essere definita in N (unità di misura della forza) e non in kg. L’equivoco nasce da come funzionano le comuni bilance. Nella tabella riportiamo i valori che g assume su altri corpi importanti del Sistema Solare, come cambia il nostro peso se ci spostiamo per esempio su Marte, ora che sappiamo che la massa è una proprietà intrinseca del nostro corpo e come tale non varia?

m1 m2 = m1 a1 , d2

cioè

m2 . d2 Allo stesso modo si trova: a1 = G

a2 = G

m1 , d2

e dunque la mela accelera verso la Terra, ma anche la Terra accelera verso la mela, ma in misura molto minore dal momento che la massa della Terra è infinitamente maggiore! Inoltre, più i due corpi sono vicini, più saranno attratti l’uno dall’altro: se la mela si trovasse nello spazio insieme ai satelliti artificiali, l’attrazione che sentirebbe sarebbe molto minore e non cadrebbe sulla Terra, ma le ruoterebbe intorno. In generale, per un corpo qualsiasi sulla superficie della Terra si assume d = R dove R è il raggio della Terra e si chiama accelerazione di gravità: g=G

CORPO CELESTE Mercurio Venere Marte Giove Saturno Urano Nettuno Plutone Sole Luna

g (m/s2 ) 3.70 8.87 3.69 23.12 8.96 8.69 11.15 0.58 274.00 1.62

Come ultimo commento, una piccola nota storica. Già Keplero e Galileo avevano ipotizzato lo stesso concetto, ma una formulazione completa per la teoria della gravitazione universale la si deve a Newton. Keplero formulò le famose tre leggi (che approfondiremo in futuro) basandosi solo su risultati sperimentali (osservazioni al telescopio) e pensando al Sole come un “punto magico” intorno a cui i pianeti ruotavano: ancora non sapeva che in quanto dotata di massa la nostra stella esercita appunto la forza di attrazione gravitazionale. Galileo c’era arrivato molto più vicino, soprattutto con i suoi studi sulla caduta dei gravi, ma non aveva intuito che le leggi da lui formulate avevano carattere universale.

mT erra m ≈ 9.78 2 . 2 R s

Questa formula ha due importanti conseguenze: innanzitutto una piuma e un palla da bowling a una stessa altezza fissata cadono sulla Terra con la stessa velocità, a noi ci sembra di no a causa di effetti ulteriori dovuti soprattutto alla resistenza dell’aria. Sapreste esprimere il tempo di caduta di questi due oggetti matematicamente? In secondo luogo, quello che noi denotiamo come peso (Ottavio pesa 50 kg) è più correttamente una forza peso, cioè

Elisa Maria Alessi

P ERCHÉ IL CIELO È NERO ? Vi siete mai chiesti come é possibile che il cielo notturno sia buio nonostante

l’infinità (o quasi) di stelle presenti nell’universo? Quella che potrebbe sembrare 5

una domanda banale (si direbbe facile, non c’è il sole) in realtà non lo è. La domanda prende il nome di paradosso di Olbers, l’astronomo che la ripropose (l’origine è in realtà attribuita a Keplero, già nei primi anni del XVII secolo) e si basa su tre presupposti:

In questo modo è facile mostrare che l’intensità luminosa I prodotta dalle stelle site sulla superficie sferica a distanza d osservata è indipendente dalla distanza dalla terra, infatti è data dall’intensità luminosa (media) I0 di ogni stella diviso per il quadrato della distanza e moltiplicato per numero di stelle 4πd2 D:

1. l’universo ha estensione infinita; 2. l’universo esiste immutabile da un tempo infinito;

I(d) =

I0 · 4πd2 D = 4πDI0 . d2

3. l’universo è omogeneo ed isotropo nello spazio (ossia le stelle sono disposte in modo uniforme). La validità di queste ipotesi può certamente essere messa in discussione, ma ne discuteremo più tardi: per ora limitiamoci a esaminare il quesito. La ragione apparentemente più ovvia per cui il cielo dovrebbe apparire nero è che le stelle più lontane paiono meno luminose. E questo è verissimo: l’intensità luminosa che osserviamo decresce con l’inverso del quadrato della distanza tra la stella e noi. Consideriamo d’altra parte quante stelle sono presenti (in media) alla distanza corrispondente. La superficie della sfera di raggio r concentrica alla terra è proporzionale al quadrato del raggio, ossia della distanza dalla terra: 4πd2 . Poiché abbiamo assunto l’universo isotropo la densità di stelle su questa superficie è costante (indichiamola con D), ed il loro numero cresce con il quadrato della distanza.

Il numero di stelle in nella porzione di cielo definita da un determinato angolo solido cresce con l’area, ossia con il quadrato del raggio.

Ma attenzione, questo è solamente il contributo dato dalle stelle a distanza d: poichè l’intensità luminosa osservata è la somma di tutte le stelle si dovrebbe avere un’intensità infinita! Se anche trascurassimo l’ipotesi di estensione infinita dell’universo, la luminosità sarebbe data da una somma di contributi paragonabili a quelli del sole, che illuminerebbero la notte.

Considerando il contributo di stelle sempre più distanti, questa è l’immagine di cielo che ci potremmo aspettare.

L’intensità luminosa decresce con il quadrato della distanza. I contributi alla luminosità totale sembrano diventare velocemente trascurabili.

effetto doppler. La luce subisce un effetto analogo: la frequenza (il colore, per intenderci) di una sorgente luminosa in allontanamento risulta più bassa, ossia spostata verso il rosso, ed energia minore.

Sono state proposte differenti soluzioni al paradosso, ma ci limiteremo a descrivere quella data dall’unione della teoria del Big Bang (la più comune teoria che descrive formazione dell’universo) con la relatività ristretta. Secondo la teoria del Big Bang l’universo era inizialmente concentrato in una piccolissima regione di spazio, e successivamente si è espanso con una espansione che dura tutt’oggi. Dal nostro punto di vista le galassie appaiono allontanarsi con velocità proporzionale alla distanza (cade quindi il presupposto di immutabilità dell’universo). A questo punto entra in gioco la teoria della relatività: tra le ipotesi su cui si basa vi è un limite alla velocità della luce (solitamente indicata con c). Questo comporta alcuni effetti molto particolari, tra cui il redshift o spostamento verso il rosso. Per descriverlo consideriamo l’analogo sonoro: quando sentiamo il fischio di un treno o la sirena di un’ambulanza in avvicinamento il suono risulta più acuto (ossia con una frequenza maggiore) dello stesso fischio nel caso il treno si allontani: questo fenomeno è noto come

Una sorgente emette onde luminose spostandosi da sinistra verso destra: chi la osserva avvicinarsi percepirà una frequenza luminosa maggiore, ossia un colore spostato verso le tonalità di blu, mentre chi la osseva allontanarsi vedrà i colori spostati verso il rosso.

Questa è una delle possibili spiegazioni del buio notturno: l’intensità osservata decresce molto più rapidamente di quanto ipotizzato nel paradosso. Sono possibili anche altre spiegazioni, ma richiedono ipotesi alternative che sono dal punto di vista fisico meno naturali. Michele Brambilla

L A MATEMATICA E IL MATRIMONIO In un villaggio ci sono 10 donzelle in età da marito e altrettanti baldi giovani pronti al matrimonio. Si è deciso di rendere tutti contenti e non lasciare nessuno da solo, in modo che tutti possano avere un compagno con cui passare il resto della vita, ma il vecchio sindaco, stanco dei numerosi scandali accaduti negli ultimi mesi, che hanno fatto molto mormorare i paesi vicini, vorrebbe evitare ogni futura forma di tradimento.

contraccambiati. Supponiamo, per semplicità, che pur di non rimanere da soli accettino di sposare anche la persona da cui sono meno attratti e che siano in grado di stilare un elenco ordinato di tutti gli appartenenti al sesso opposto in ordine decrescente di preferenza. Il problema è che più di una ragazza è innamorata dello stesso giovane, che è particolarmente simpatico e affascinante, così come non tutte le ragazze riscuotono lo stesso successo! Il giorno del matrimonio è stato fissato per l’anno prossimo, ma dopo i primi giorni di furiose liti tra ragazze gelose e arroganti giovani troppo convinti della propria bellezza, il sindaco capisce che mai

Sfortunatamente, i 20 giovani non hanno ancora scelto il compagno/a della vita, ma hanno delle preferenze sulla persona con cui vorrebbero sposarsi e su tutte le successive scelte nel caso non siano 7

plice: prima di tutto in un numero finito di giorni tutti i ragazzi avranno trovato moglie e tutte le ragazze marito, inoltre il sindaco avrà evitato il rischio di tradimenti e conseguenti scandali! Come è possibile? La risposta è semplice: questo semplice algoritmo garantisce una soluzione stabile del problema e la stabilità si può riassumere con poche parole. Nel caso, per esempio, un ragazzo, ormai sposato, decidesse di invitare a cena una ragazza che in origine, nel suo personale ordine iniziale, occupava una posizione migliore della sua attuale moglie, questa non accetterà mai, poichè il suo attuale marito, anche se non fosse il preferito, sarà comunque in una posizione migliore del possibile amante. Analogamente, se una giovane sposa decidesse di ammaliare un altro ragazzo, questo non avrebbe alcun interesse a scappare con lei, perché preferirebbe comunque l’attuale mogliettina. E nel villaggio vissero tutti felici e contenti!

si giungerà ad una soluzione del problema senza il suo intervento. Decide quindi di risolvere la situazione nel seguente modo: il primo giorno annuncia pubblicamente nella piazza del villaggio che tutti i ragazzi dovranno recarsi dalla loro fanciulla preferita; le ragazze che saranno tanto fortunate da avere più di un pretendente potranno scegliere il loro favorito, quelle con un solo spasimante dovranno accoglierlo nella propria casa, quelle rimaste da sole dovranno attendere. Il secondo giorno tutti i ragazzi che non sono stati scelti dovranno recarsi dalla loro seconda preferita e di nuovo le ragazze potranno scegliere tra i vari pretendenti, eventualmente anche mandando via il ragazzo scelto il giorno precedente, se almeno uno dei nuovi pretendenti è maggiormente di loro gradimento. Il procedimento si ripete fino a che tutti i ragazzi verranno accolti da una ragazza. Perché, in questo modo, dovrebbero essere tutti soddisfatti? La risposta è sem-

Michela Chessa

C HIEDI R UBRICA

ALLA

G A’

DI AIUTO AGLI STUDENTI

- E QUAZIONI LOGARITMICHE -

Ma non potete immaginare quante volte mi sono sentita dire dai ragazzi “ma perché il mio professore non ce le dice queste cose?!”. Innanzitutto il punto di partenza: per risolvere un’equazione logaritmica sarà necessario avere un log a primo membro e uno al secondo membro, con la stessa base e senza nessun numero né segno meno davanti. Cioè stiamo cercando di arrivare a

Nelle mie varie attività di insegnante, in classe e non, spesso mi sono ritrovata ad aiutare ragazzi che hanno litigato con la matematica fin dalle elementari e che proprio non ne vogliono sapere di fare pace con questa materia. Fino a quando non arrivano esponenziali e logaritmi. Durante questi ultimi anni ho sviluppato delle piccole tecniche di sopravvivenza per evitare che le lacune accumulate impediscano di arrivare alla tanto desiderata sufficienza. Quando racconto questi trucchetti a coloro che con la matematica sono sempre andati d’accordo mi sento prendere in giro come se avessi scoperto l’acqua calda... e in effetti è così, vi sto per raccontare delle piccole banalità.

log(...) = log(...) per poi poter togliere i logaritmi eguagliando i due argomenti.

• TRUCCO N.1: IL MENO 8

Indicando con Log il logaritmo in base 10, consideriamo l’equazione

• TRUCCO N.2: FRAZIONI Consideriamo l’equazione

Log(x + 5) − Log(x − 5) = Log(2) .

1 Log(x) = 2Log(2) 3

Dopo aver determinato che le condizioni di esistenza ci danno come ammissibili le x > 5, ci apprestiamo ad utilizzare le proprietà dei logaritmi. Sappiamo che

di dominio x proprietà

Conoscendo la

log(a) − log(b) = log (a/b) n · log(x) = log(xn )

e quindi otteniamo x+5 Log = Log(2) x−5

possiamo scrivere 1 Log x 3 = Log 22

con la conseguente equazione frazionaria, che qui non risolviamo, e quindi

x+5 =2. x−5

x 3 = 22 ,

Ora ripartiamo dall’inizio e prima di utilizzare le proprietà dei logaritmi spostiamo a secondo membro il logaritmo di segno negativo, cioè

cioè

√ 3

x=4.

Bene, oltre ai logaritmi ci mancavano pure i radicali!! Proviamo un modo alternativo: prima di applicare la proprietà, facciamo il denominatore comune tra i due membri

Log(x + 5) = Log(x − 5) + Log(2) . La proprietà da utilizzare è ora log(a) + log(b) = log (ab)

6 Log(2) 1 Log(x) = 3 3

con la conseguente equazione intera x + 5 = 2(x − 5) .

da cui otteniamo

Considerate le C.E. scritte prima, le due equazioni sono equivalenti, quindi è indifferente risolvere l’esercizio nel primo o nel secondo modo, ma sapendo per esperienza come reagiscono alcuni studenti davanti alle equazioni frazionarie...

Log(x) = 6 Log(2) e infine Log(x) = Log(26 ) . E la soluzione è servita. Gabriella Pina

PAUSA R UBRICA

CAFFÈ DI

E NIGMI

G IOCHI M ATEMATICI

- G LI STUDENTI ALLA FESTA -

festa in un altro Stato, e tornano quando l’esame è già finito. Si giustificano con il professore dicendo di aver bucato una gomma, e chiedono il permesso di poter sostenere l’esame.

Tre studenti hanno preso il massimo dei voti in chimica per tutto il semestre. La sera prima dell’esame finale vanno ad una 9

no la seconda domanda, che vale ben 95 punti: “Quale delle quattro gomme avete bucato?”.

Il professore accetta, ma li manda in tre aule separate. L’esame consiste di due domande, scritte su due lati del foglio, da svolgere necessariamente secondo l’ordine indicato. La prima domanda, alla quale gli studenti rispondono correttamente, vale 5 punti. Quando girano il foglio trova-

Qual è la probabilità che gli studenti rispondano allo stesso modo? Michele Brambilla

- TARTINE ZOLA E NOCI -

una delle due porte con la tartina e vi lascia la possibilità di cambiare la vostra scelta.

Immaginate di trovarvi ad un quiz televisivo. Davanti a voi ci sono tre porte e dietro ad ogni porta un possibile premio. Dietro a due delle tre porte il premio è una tartina gongorzola e noci, mentre dietro la rimanente una Maserati. Il gioco funziona così: voi scegliete una porta, dopodichè il presentatore rivela

Ipotizzando che preferiate vincere la Maserati rispetto alla rimanente tartina al gongorzola e noci, vi conviene restare sulla vostra scelta iniziale o cambiare?

Michele Brambilla

- L A DIVISIONE DEL RESTO -

I tre decidono di riprendersi 1 euro ciascuno e di lasciare 2 euro di mancia. A questo punto però la situazione è la seguente: ciascuno ha messo 9 euro; questa cifra moltiplicata per 3 fa 27 e sommata ai 2 euro di mancia fa 29 e non 30. Com’è possibile?

Tre amici al bar, al momento di pagare il conto, mettono ognuno 10 euro; il cameriere prende i 30 euro e dopo un po’ torna con 5 euro di resto.

Marco Sansottera

R ECENSIONI S CELTI

DA NOI

- “P ERLE AI PORCI ” -

mo utilizzato da un professore di inglese e tedesco con esperienza ventennale nella scuola, che ha scritto un libro il cui sottotitolo ne spiega chiaramente il contenuto: “Diario di un anno in cattedra. Da carogna”. L’ironia con cui Perboni descrive la situazione della scuola in Italia è evidente, se qualcuno avesse dei dubbi, nell’epilogo del libro, ma nel blog

Il conto alla rovescia è agli sgoccioli e a tirare un sospiro di sollievo non sono solo gli studenti. Dopo un anno di sopravvivenza in mezzo agli adolescenti, arriva anche per gli insegnanti il momento di tirare il fiato: quale periodo migliore per leggere “Perle ai porci” di Gianmarco Perboni?! Questo è lo pseudoni10

gusto è quello in cui vengono trascritte le varie traduzioni dei ragazzi dello slogantormentone di qualche anno fa “Life is Now”. Non riesco a tenerlo per me e vi anticipo che è stata tirata in ballo anche la neve... Ma non fraintendetemi, questo libro non è uno stupidario degli studenti, rappresenta un modo intelligente per mostrare cosa non funziona nella vita di tutti i giorni di un insegnante: la troppa burocrazia, la minaccia dei ricorsi in tribunale, gli stipendi bassi e il precariato a vita. Giusto per citarne alcuni.

http://profperboni.blogspot.com/ compaiono comunque post che criticano la durezza dell’autore nei confronti della missione dell’insegnamento. Eppure Perboni descrive, con un’ottima dose dell’ironia già citata sopra, situazioni reali: sono innumerevoli le volte in cui quest’anno mi sono sentita ripetere le parole “sindrome da burnout”, counselling, competenze e interdisciplinarietà. Finalmente qualcuno è riuscito a usarle per strapparmi una risata! Parlando di comicità, però, il brano del libro che mi ha davvero fatto ridere di

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