Matemática 12º Ano Ficha de Trabalho Nº2 – Problemas usando a Função Exponencial e Logaritmica www.matmoz.tk
Nada se aprende sem trabalho e dedicação
1. Uma população de mosquitos desenvolve-se segundo o modelo dado pela função:
P(t ) = P(0 ) × e 0,01t
onde a variável t indica o tempo em dias.
Qual é a população inicial, sabendo que após 40 dias a população é de, aproximadamente, 400.000 indivíduas?
2. Uma determinada substância radioactiva desintegra-se com o tempo, segundo o modelo dado por
m(t ) = m0 × e − kt
onde m0 é a massa inicial, k é uma constante característica da substância e t é o tempo dado em anos. 2.1. Mostra que a meia-vida depende apenas da substância e é independente da massa inicial. 2.2. Sabendo que 100g de Tório diminuem para 75g em 33600 anos, calcula em quanto tempo 100g se reduzem a 90g. 3. Coloca-se um produto solúvel num recipiente com água. Em cada instante t, em minutos, a quantidade do produto ainda não dissolvida é, em gramas, dada por Q(t ) =
60 5e
0 , 09 t
−3
, com t ≥ 0
3.1. Indica a quantidade de produto colocada inicialmente na água. 3.2. Calcula, analiticamente, ao fim de quanto tempo estão ainda por dissolver 20 gramas do produto.
3.3. Resolve a alínea anterior graficamente. Elabora uma pequena composição.
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4. Numa pastelaria a temperatura ambiente é constante. Admite que a temperatura T, em graus centigrados, de um café servido nessa pastelaria, t minutos após ter sido colocado na chávena, é dada por
T (t ) = 20 + 50 × e −0,04t , t ∈ [0 ; + ∞[ 4.1. Determina, analiticamente, a temperatura do café no instante em que é colocado na chávena.
4.2. Calcula, analiticamente, a tempo que decorre entre o instante em que o café é colocado na chávena e o instante em que a sua temperatura atinge os 65 graus centígrados? 4.3. Qual a temperatura ambiente na pastelaria? Elabore uma pequena composição matemática descrevendo o seu raciocínio.
5. Numa empresa o lucro L, em milhares de euros, originado pela produção de n peças é dado por
L( p ) = 3 log(100 + n ) − 6
5.1. Determina o lucro quando são produzidas 300 peças. 5.2. Calcula o número mínimo de peças que é necessário produzir para que o lucro seja superior a 3 milhares de euros.
6. As dimensões médias da altura e o diâmetro do tronco de certa espécie de árvores, que se destina à produção de madeira, evoluem, desde que são plantadas, segundo os seguintes modelos matemáticos: Altura: h(t ) =1,5 + log 3 (t + 1)
Diâmetro do tronco: d (t ) = 0,2 × 2 0,08t h(t) e d(t) em metros e t em anos
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6.1. Quando as árvores são plantadas, quais as dimensões médias da altura e do diâmetro do tronco?
6.2. Uma das árvores foi cortada com 3,5 m de altura. Qual o valor médio do diâmetro do tronco?
6.3. O diâmetro do tronco de uma árvore é de 50 cm. Qual a altura prevista para esta árvore?
7. Uma empresa de detergentes lançou um novo produto no mercado e não obteve o êxito esperado. Para minorar as baixas vendas do produto, a empresa investiu numa campanha publicitária. Após t dias do início da campanha publicitária o número V, em milhares, de vendas do novo produto é dado pela expressão
V (t ) = k × e 0, 2t
7.1. Calcule o valor de k, sabendo que dois dias após o início da campanha o número de vendas era de 746. Indique o significado do valor encontrado. 7.2. A campanha publicitária termina quando o número de vendas atingir a produção máxima da empresa que corresponde a 10000. Quantos dias durou a campanha publicitária? 8. Numa experiência laboratorial para obter cloreto de sódio (sal de cozinha), colocou-se numa tina uma certa quantidade de água do mar e expôs-se a uma fonte de calor.
Em cada instante t a quantidade de água existente na tina é dada pela expressão: ⎛ 10 ⎞ Q (t ) = 10 3 × log⎜ ⎟ ; Q em ml e t em horas ⎝ t +1⎠ 8.1. Ao fim de quanto tempo se verifica que 75% da água, inicialmente
colocada na tina, tenha passado ao estado gasoso? Dê a resposta em horas e minutos
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8.2. A experiência termina quando a água se evaporar na totalidade. Quanto tempo durou a experiência? 8.3. Considere a função E definida por E (t ) = 1000 − Q (t ) . No contexto da experiência, diga qual o significado da função E(t). Professor: Nuno Adão Soluções: 1.
aproximadamente 268128 mosquitos.
2.1. t =
ln (2 ) k
3.1. 30 gramas
4.1. 70 ºC
2.2. 12308 anos ⎛6⎞ ln⎜ ⎟ 5 3.2. t = ⎝ ⎠ 0,09 ⎛ 45 ⎞ ln⎜ ⎟ 50 4.2. t = ⎝ ⎠ − 0,04
5.1. L(300) = 3 log(400) − 6 5.2. 900 peças 6.1. R: 1,5m e 0,2m 6.2. R: 0,31m 6.3. R: 4,11m 7.1. 0,5 . Representa o número de vendas antes do início da campanha. 7.2. 15 dias
8.1. 4h 36m 8.2. 9h
8.3. Representa a quantidade de água evaporada ( ou no estado gasoso) desde o início da experiência