e_Electrostatica

Esta imagen ilustra la visiĂłn de los autores de esta Unidad.

Material desarrollado por Prof. Juan VĂ­ctor Retamal vretamal@unet.edu.ve Ing. Carmen Saldivia Luongo csaldiva@unet.edu.ve Universidad Nacional Experimental del TĂĄchira 2011

Dos monedas reposan sobre una mesa, con una separación de 1.5 m y contienen cargas idénticas, ¿De qué magnitud es la carga en cada una si una de las monedas experimenta una fuerza de magnitud 2 N? R: q = 2 10-5 C En el problema anterior, Sí la separación entre las monedas es de 1.5 m y se encuentran dentro de una tina de agua. ¿Cuánto vale la carga si la constante dieléctrica es aproximadamente 80?

R: q = 2 10-4 C

Un núcleo de helio tiene una carga +2e y uno de neón de +10e, donde e es el quantum de carga 1.6 10-19 C. Encuéntrese la fuerza de repulsión ejercida sobre cada uno de ellos debido al otro, cuando se encuentran apartados 3.0 nm.

Considérese que se encuentran en el vacío.

R: F = 0.51 nN

En el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno, el electrón circunda a un protón en una órbita de radio 5.3 10-11 m. La atracción del protón por el electrón aporta la fuerza centrípeta para mantener al electrón en la órbita. Encuéntrese a) La fuerza de atracción eléctrica entre las partículas b) La rapidez del electrón.

R: F=82 nN; v=2.2 106 m/s Tres cargas puntuales se colocan sobre el eje x como muestra la figura.

Determínese la fuerza neta sobre la carga de -5μC ocasionada por las otras dos cargas.

R: F=0.6 N

Determínese la razón de La fuerza eléctrica de Coulomb Fe a la fuerza gravitacional de Newton Fg entre dos electrones en el vacío.

R: Fe/Fg = 4.2 1042

La figura muestra dos esferas idénticas en equilibrio, cada una de masa 0.1 10-3 kg, portan cargas iguales y están suspendidas por un hilo de igual longitud.

Encuéntrese la carga de cada esfera.

R: q=0.1 μC

Las cargas de la figura son estacionarias. Encuéntrese la fuerza ejercida sobre la carga de 4 μC, debida a las otras dos cargas.

R: Fx=-0.45 N; Fy=3.9 N

Dos cargas están colocadas sobre el eje x: +3.0 μC en x=0 y -5.0 μC en x=0.4 m ¿Dónde debe colocarse una tercera carga q si la fuerza resultante sobre ésta debe ser cero?

R: x=1.4 m

¿Cuántos electrones están contenidos en una carga de 1.0 C? ¿Cuál es la masa de los electrones en 1.0 C de carga?

R: n=6.2 1018 electrones; m=5.7 10-12 kg

Si dos cargas iguales de 1 C están separadas en el aire por una distancia de 1 km ¿Cuál sería la fuerza entre ellas?

R: 9 kN

Determínese la fuerza entre dos electrones libres separados 1.0 angstrom.

R: 23 nN

¿Cuál es la fuerza de repulsión entre dos núcleos de argón que están separados por una distancia de 1.0 nm. La carga del núcleo de argón es de 18e.

R: 75 nN

Dos esferas igualmente cargadas están separadas por una distancia de 3 10-2 m en el aire y se repelen con una fuerza de 40 μN. Calcúlese la carga de cada esfera.

R: 2 nC Tres cargas puntuales se colocan sobre el eje X: +2.0 μC en x=0, -3.0 μC en x=0.4 m, y -5.0 μC en x=1.2 m. Encuéntrese la fuerza: a) sobre la carga de -3.0 μC b) sobre la carga de -5.0 μC R: +0.55 N; 0.15 N Cuatro cargas puntuales iguales de +3.0 μC se colocan en los cuatro vértices de un cuadrado cuyo lado es de 0.4 m. Determínese el tamaño de la fuerza sobre una de las cargas R: 0.97 N

Cuatro cargas puntuales de igual magnitud 3.0 μC, se colocan en los vértices de un cuadrado de 0.4 m de lado. Dos, diagonalmente opuestas, son positivas y las otras dos son negativas. Determínese la magnitud de la fuerza sobre una de las cargas negativas R: 0.46 N Cargas de +2.0; +3.0 y -8.0 μC se colocan en los vértices de un triángulo equilátero cuyo lado es de 0.1 m. Calcúlese la magnitud de la fuerza que actúa sobre la carga de -8.0 μC debida a las otras dos cargas R: 31 N Una carga de +5.0 μC es colocada en x=0 y una segunda carga de +7.0 μC en x=1 m ¿Dónde debe colocarse una tercera carga para que la fuerza neta debida a las otras dos sea cero?

R: x=0.46 m Dos diminutas esferas metálicas idénticas portan cargas de +3 nC y -12 nC. Calcúlese: a) La fuerza de atracción, si las esferas están separadas 0.03 m b) La fuerza de repulsión, si las esferas se juntan y después se separan a 0.03 m R: 4 10-4 N; 2 10-4 N

Tres cargas puntuales de q=3 [µC] se localizan en los puntos (-2 ; 5), (1 ; 5), (9 ; -5). Determinar cuál es la fuerza neta ejercida sobre una cuarta carga de -5 [µC] ubicada en (1 ; 1)

q2

q1 -q4

q3

1. Se tiene un cuadrado de lado L en cuyos vértices se sitúan cargas puntuales tal como se muestra en la figura. Determinar el valor de la carga +Q para que la fuerza neta sobre la carga +Q4 sea cero.

-q1

+Q2

+Q4

-q3

 F41

 F43

 F42 x  F42

F42 x

K

F42 y

K

F41 F43

 F42 y Q.Q2 (L 2 )2 Q.Q2

(L 2 )2 Q.q K 2 L Q.q K 2 L

cos 45 0

K

Q.Q2 2 2 L2 2

sen 45 0

K

Q.Q2 2 2 L2 2

Fx

0

Fx

F43

F42 x

Q.q L2

K

K

Q.Q2 2 2 L2 2

0

Q2

Fy

0

Fy

F41

4q 2

F42 y

2 2q

Cinco carga iguales Q están igualmente espaciadas en un semicírculo de radio R. Calcular la fuerza eléctrica que experimenta una carga q situada en el centro del semicírculo. y

2 Q

5

Q

Fr

( F4 cos 45 o

Fr

k

45o

3

q

Q

x

4

Q

Q

1

 Fr

F5 cos 45 o

Qq 2 Qq 2 k R2 2 R2 2 Qq k 2 ( 2 1)iˆ R

k

F3 ) Qq R2

¿Cuál es la magnitud y la dirección de E en el centro del cuadrado en la figura?. Supóngase que q=1.0 10-8 [C] y que a = 0,05 [m].  E3

 E1

Er

2q

K

2

a Er

K

cos 45 0

2 2 2q 2

cos 45 0

2 a 2 Er

1,018 .10 5

N ˆ j C

K

2 2

2q 2 a2

 E3

 E4  E2

P

 E1

a

a

 E2

2

a

-2q3

 E4

2q

K

+q1

-q2

cos 45 0

q

K

2

a

2 2

cos 45 0

+2q4

q

K

2

a

2 2

cos 45 0

Una carga de 3 C está distribuida uniformemente a lo largo de un hilo de 0,6 m de longitud. Calcular el campo eléctrico en un punto situado sobre su eje a 0,3 m de uno de sus extremos.

 dE 0

dq r2 dq dl dl dx x r 0 .9 dE

0.6

x

0.9

r

k

dx k (0.9 x)2

dE

E

k

1 0.9 x

0.6

E 0

0.6

E 0

0.6

dx k (0.9 x)2

9 109 5 10

6

E

k 0

1 0.3

dx (0.9 x)2

1 0.9 E 1 105

N ˆ i C

Una barra delgada no conductora de longitud finita L, contiene una carga positiva Q distribuida uniformemente. Determinar el campo eléctrico: a) En un punto ubicado a una distancia a sobre la mediatriz perpendicular a la barra b) Producido por una barra delgada e infinitamente larga.

Y

 dE

dq r2 dl

dE

k

dq dl

dx

r

x2

θ

a2

dE y

dE cos

dE y

k

r

a

x L

dx x2 a2 L

Ey

dE y a x2

a2

x2 k a

a2 dx 3 (x 2 a 2 ) 2 L

dx 2k a 2 2 32 (x a ) 0

2k

dE y

a

2

X

Ey

dx x2 a2

k

L 2

a L

4a

2

Ey

E

2k a

2k

x a2 x2

a2

L 2

a L

4a

2

ˆj

0

2

Una barra delgada no conductora semi infinita, tiene una carga positiva distribuida uniformemente en su longitud λ. Demuestre que el campo eléctrico en el punto P de la figura forma un ángulo de 45° con la barra independiente de la distancia a.

Y

dE

X

k

x

dE x a

r θ

dE x

Ex

dE sin

k 0

 dE

dE y

Ey

dE x

xdx 3 (x 2 a 2 ) 2

dE cos

k a 0

dx 3 (x 2 a 2 ) 2

k

k

k dx (x 2 a 2 )

Ey

dq

dl

dE cos

dx (x 2 a 2 )

Ex

dE y

dq r2

k a

dl

dE y

dE x

a2

1 x2

a2

k a

0

dE y

a2

x a2 x2

a2

a2

k a

Ey 0

xdx 3 (x 2 a 2 ) 2

k

Ex

a x2

x2

r

dE sin

x x2

dx

dx 3 (x 2 a 2 ) 2

k a

dq k 2 R

dE R

dq R

R2 r2

dE z dE

dx dy x

x2 y2

dE x

y z dE y

r2

dE

dE x

dE

dE x ˆi dE y ˆj dE z kˆ

dE y

dE r sin

dE x

dE sin

sin

a2 Φ z θ

sin

dE y

y y2

z2

x x2

r2

dE z

dE z

dE r cos

cos

dE r cos

dE cos z y2

r x2

r

R

y

x

Y

Sigue X

z2

r2

dE R

dE R

dE x ˆi dE y ˆj dE z kˆ

a

ER

k z

(x 2

a

(x

a

ER

4k z 0

y2

z z2

y2

2

2

z ) x

1 (x 2

z2 )

dx

z2

2k z a 0

kˆ

dE R

y

2

(x 2

z

4k z

2

0

o

1 4k z tg z

1

x z

1 (x

2

2

z )

a

4k tg 0

k z dx dy 3 (x 2 y 2 z 2 ) 2

dy 3 dx y2 z2 ) 2 a

2

dE cos cos kˆ

dE R

a

y

2k z a

x2

z2

dy 3 dx y2 z2 ) 2

a

ER

y2

dx dy k (x 2 y 2 z 2 )

dE z kˆ

dE R

1

dx

a z

ER

4k tg

1

a ˆ k z

1.2 Un anillo de radio R tiene una densidad de carga lineal positiva y uniforme. Calcule el campo eléctrico en un punto P situado sobre el eje X. dq

R

dE 2 x

θ

dE 2

P

θ

θ θ

dq

dE 2 dE1

dE1 dE1

Sigue

dE

dE cos

dE dE

k

dq r2

k

dq cos 2 r

dE r

cos

R

2

x r

x

dq

k R

2

E

2

x x

R

2

2

x

x2

x x

kx R

R2

dq

k

E

2

2

2

2

Q 2 3/ 2

0

dq

R2

x2

1.3 Un disco de radio R tiene una densidad de carga superficial positiva y uniforme. Calcule el campo eléctrico en un punto P situado sobre el eje X.

dq

R2

r

x2

R

dA

dA

2 RdR

dE

dE cos

dE θ x

dE

dE

k

dq r2

P

θ θ

dE

dE dE

dE

Sigue

dq

dA

dA

2 RdR

dE

dE cos

dE r

dq k 2 r R2

2 RdR

dE

k

dq cos 2 r

dE

k

2 RdR (R 2 x 2 )

x2

x

cos

E

dq

R2

k

x2

2 RdR (R 2 x 2 )

x R2

x2

E

k

x

2RdR (R 2 x 2 )3/ 2

x R2

x2

Una varilla de vidrio se dobla en forma de un semicírculo de radio R. En la mitad superior se distribuye uniformemente una carga +Q, y en el inferior se distribuye uniformemente una carga –Q, tal como se muestra en la figura. Determinar el campo eléctrico en el punto P situado en el centro del semicírculo.

Y

dE y

dq

dE

+Q

dq dE x

P

dE x

dE

dE

dl

dE cos kdq r2 dl

Rd

dE y

2

Ey

2k R

X

Ey

dq

/2 0

cos d

2k sen R

dE y dE y

-Q

k Rd cos 2 R

E

/2 0

2k ˆ j R

Un hemisferio hueco, no conductor de radio interno a, tiene una carga q, distribuida uniformemente en su superficie interna. Determinar el campo elĂŠctrico de su centro de curvatura.

Y

dE y

dE sen

dE

kdq r2

dq

dA

dA

2 xds

ds

rd

x

dE

dq= dA Z

Ey

Ey

r sen

k 2 r cos rd sen 2 r

dE y X

z

r cos

/2

k 2

k

0

sen Ey

sen cos d /2

2 0

4

ˆj 0

Se ubica una carga puntual positiva +q en el centro de un cascarón no conductor con carga -2q de radio interno a y externo b. Determinar la expresión del campo eléctrico en las tres zonas indicadas.

Nota: Asuma la zona 2 a un radio equivalente de (a+b)/2

3

Para la superficie Gaussiana 1

  E dA

1

qn

qn

q

A

4 r1

2

2

0

q

E

0 4 r1

2

Para la superficie Gaussiana 3

  E dA

qn

qn

q

2q

0

E

q 0 4 r3

2

A

4 r2

2

a

b

3

Para la superficie Gaussiana 2

qn

E dA

1

0

qn

q

a

2

(a b) / 2

b

4 r 2dr

.dV con dV a (a b) / 2

qn

q

3

2

4

r dr q n

q

a

qn A

q 4 (

(a

4 a

b 2

)2

b)3 / 8 3

4

r 3

a3 3

(a b) / 2

a

q E

b)3 / 8 4 3 a b 2 4 ( ) 0 2 (a

a3 3

Campo de un cilindro largo cargado: Consideremos un cilindro infinito de radio a, cargado con densidad uniforme . a

Usando la ley de Gauss podemos encontrar el campo en la superficie gaussiana indicada Superficie Gaussiana

E dA

qn

qn

r 2L A

2 rL

0

E

a 2L 0 2 rL

E

a2 0 2r

r

ď ˛ E ď ˛ A

Calcúlese: a) La intensidad de campo eléctrico E en el aire a una distancia de 0.3 m de una carga puntual q1=5.0 nC b) La fuerza sobre una carga q2=0.4 nC colocada a 0.3 m de q1 c) la fuerza sobre la carga q3=-0.4 nC colocada a 0.3 m de q1 (en ausencia de q2) R: 0.5 kN/C; 0.2 μN; 0.2 μN

Para la situación que se muestra en la figura, encuéntrese:

a) la intensidad de campo eléctrico E en el punto P b) la fuerza sobre una carga q3= -4.0 10-8 C colocada en el punto P c) el lugar en donde el campo eléctrico será igual a cero (en ausencia de la carga q3) R: 9 105 N/C; -0.036 N; 0.1 m

Tres cargas están colocadas sobre vértices de un cuadrado de lado 0.3 m, como se muestra en la figura. ¿Cuál sería la fuerza sobre una carga de 6 μC situada en la esquina vacante?

R: 1.48 N a 118°

Sean dos placas metálicas en el vacío, separadas 0.15 m, como se muestra en la figura. El campo eléctrico entre las placas es uniforme y tiene una intensidad E=3000 N/C. Un electrón está en reposo en el punto P justamente sobre la superficie de la placa negativa. a) ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzar la otra placa? b) ¿Cuál será la rapidez a la que viajará exactamente antes de chocar?

R: 2.4 10-8 s; 1.3 107 m/s

Supóngase que en la figura anterior que un electrón se dispara en línea recta hacia arriba desde el punto P con una rapidez de 5 106 m/s ¿A qué distancia sobre el punto A golpea la placa positiva?

R: 0.12 m

En la figura anterior un protón se dispara con una rapidez de 2.0 105 m/s desde A hacia P ¿Cuál será su rapidez inmediatamente antes de golpear la placa en el punto P? R: 356 km/s

Dos diminutas esferas metálicas idénticas tienen cargas q1 y q2. La fuerza repulsiva que una ejerce sobre la otra cuando están separadas 0.2 m es de 1.35 10-4 N. Posteriormente se tocan una a la otra y se vuelven a separar a 0.2 m, ahora la fuerza repulsiva es de 1.406 10-4 N. Determínese q1 y q2 R: q1=20 nC; q2=30 nC

En cierto punto del espacio una carga de +6.0 μC experimenta una fuerza de 2.0 mN en la dirección +x. a) ¿Cuál era el campo eléctrico en ese punto antes de que la carga se colocara? b) Descríbase la fuerza que experimentará una carga de -2.0 μC si se situara en el lugar de la carga de +6.0 μC? R: 0.33 kN/C; 0.67 mN en la dirección -x

Una carga puntual de -3.0 10-5 C recoloca en el origen de coordenadas. Encuéntrese el campo eléctrico en x=5.0 m R: 11 kN/C en dirección -x Cuatro cargas de 4.0 μC se colocan en las esquinas de un cuadrado de lado 0.2 m, Determínese el campo eléctrico en el centro del cuadrado a) sí todas las cargas son positivas b) si los signos de las cargas se alternan alrededor del perímetro del cuadrado c) si las cargas tienen la secuencia alrededor del cuadrado; más, más , menos, menos R: cero; cero; 5.1 MN/C hacia el lado negativo

Una esfera de 0.2 g cuelga de un hilo en eun campo eléctrico de 3.0 kN/C dirigido hacaia arriba. ¿Cuál es la carga de la esfera si la tensión en la cuerda es: a) cero b) 4.0 N R: +653 nC; -680 nC

Determínese la aceleración de un protón en un campo eléctrico de intensidad 0.5 kN/C ¿Cuántas veces es más grande esta aceleración que la debida a la gravedad?

R: 4.8 1010 m/s2; 4.9 109 Una pequeña esfera de 0.6 g tiene una carga cuya magnitud es 8.0 μC. Está suspendida por un hilo en un campo eléctrico de 300N/C dirigido hacia abajo ¿Cuál es la tensión en el hilo si la carga de la esfera: a) positiva b) negativa R: 8.3 mN; 3.5 mN

La pequeña esfera que se encuentra en el extremo de un hilo, como muestra la figura, tiene una masa de 0.6 g y está en un campo eléctrico horizontal y uniforme de intensidad 700 N/C. Si se encuentra en equilibrio en la posición que se muestra ¿Cuál es la magnitud y el signo de la carga de la esfera?

R: -3.1 μC Un electrón se proyecta en el eje de las x con rapidez inicial de 3.0 106 m/s. Se mueve 0.45 m y se detiene debido a un campo eléctrico uniforme en la región. Encuentre la magnitud y dirección del campo.

R: 57 N/C en dirección +x Una partícula de masa m y carga –e se proyecta con velocidad horizontal v, en un campo eléctrico de intensidad E dirigido hacia abajo. Encuentre: a) las componentes horizontal y vertical de su aceleración b) sus desplazamientos horizontal y vertical después de un tiempo t c) la ecuación de su trayectoria R: ax=0, ay=Ee/m; x=vt, y=0.5ayt2; y=0.5(Ee/mv2)x2

Los protones de los rayos cósmicos inciden sobre la atmósfera de la tierra a razón de 0,15 protones/cm2s. ¿Cuál es la tasa de carga por unidad de tiempo que irradia la tierra en forma de protones de radiación cósmica?

La expresión para el cálculo de la superficie terrestre es S

4 r2

Sustituyendo r por el radio promedio de la tierra 6,4 x 10 6 m.

S 4 (6,4 x10 6 ) 2 5,14 x1014 m 2 Llevando la tasa de protones a protones/m2s, queda 0,15 protones / cm 2 s 1500 protones / m 2 s

Por lo tanto la tasa de carga por unidad de tiempo que recibe la tierra proveniente del espacio es: q

1500 protones / m 2 s(1,6 x10

Por lo tanto q

19

s

0.1236

C s

C / protón)(5,14 x10 14 m 2 )

Se tienen dos partículas iguales de cargas q y masa m en equilibrio, suspendidas de

hilos no conductores de longitud L , tal como se muestra en la figura 19a.

Determine

una

expresión

para

la

separación horizontal x de las partículas.

Realizando un diagrama de cuerpo libre, se puede observar que para que la partícula esté en equilibrio, la suma de las fuerzas debe ser igual a cero    (segunda Ley de Newton). En este caso, mg Fe T . Y por la geometría del problema, la relación de triángulos semejantes da: x 2 L

Fe mg

x 2L

4

q2 , 2 x mg 0

2

despejando x

q L 2 0 mg

1 3

Un sistema está compuesto de cuatro cargas puntuales dispuestas sobre los vértices de un cuadrado de lado a , tal como se muestra en la Fig. 20.

Determinar la fuerza resultante sobre la carga que está en el vértice inferior izquierdo del cuadrado. La fuerza resultante sobre la partícula ubicada en la esquina inferior izquierda vendrá dada por la suma de todas las fuerzas, de donde:

 FR 4

 F41

 F42

 F43

Considerando un eje de coordenadas cartesianas convencional tenemos:

 F4 x

F43 iˆ

iˆ

F42 cos

 F4 y

F41 ˆj

F42 sen

ˆj

Reemplazando los valores de carga y distancias, y considerando que

 F4 x

2q 2 ˆ K i a2

2q 2 K 2a 2

2 ˆ i 2

 F4 y

2q 2 ˆ K j a2

Por lo tanto la fuerza resultante sobre la partícula es: F4

K

q2 a2

2

2 2

ˆi

ˆj

2q 2 K 2a 2

2 ˆ j 2

45o

Una partícula cargada q 0 y de masa m entra en un campo eléctrico   uniforme E E0 ˆj con velocidad de v 0 0.6v 0 , 0.8v 0 . Determine: a) Altura máxima que alcanza la partícula. b) Velocidad de la partícula al volver a la altura inicial. c) Posición al llegar a su alcance horizontal máximo. d) Describa la trayectoria que debería seguir la partícula.

Consideración 1:

 Por definición de campo eléctrico F

 qE

 F

q0 E0 ˆj

 Según la segunda ley de Newton F

 ma

 a

q0 E 0 ˆ j m

Consideración 2: Ya que la aceleración es constante y vertical hacia abajo, entonces las

Sigue

ecuaciones cinemáticas del movimiento son: (1)

x

v0 x t

(2)

y

y0

(3)

vx

v0 x

(4)

vy

v0 y

v0 y ayt

1 ayt 2 2

Consideración 3: En el punto más alto de la trayectoria la componente vertical de la velocidad es nula y solo existe componente horizontal, reemplazando en la ec. (4) 0

q0 E 0 t m áx m

0.8v 0

t m áx

0.8

v0 m q0 E 0

sustituyendo en ec. (2) (a)

hmáx

h0

v 02 m 0.32 q0 E 0

Consideración 4: Dado que la partícula se mueve en un campo eléctrico uniforme, con aceleración constante, la componente vertical de la velocidad será de igual magnitud y de sentido contrario, a la componente vertical inicial de la velocidad (b)

 v

0.6v 0 ; 0.8v 0

Sigue

Consideración 5: Para llegar al alcance horizontal máximo (R) la partícula debe subir y bajar en el campo, luego el tiempo de subida y bajada son iguales t

2t m áx

Según la ec.(1)

vm R 2 0.6v0 0.8 0 q0 E0

x v0 x t  r

(c)

v02 m 0.96 q0 E 0

v 02 m 0.96 ; h0 q0 E 0

Consideración 6: La ecuación de la trayectoria y

f x la podemos obtener de la composición

de las ec. (1) y (2)

y

(d)

y0

v0 y

x v0 x

1 q0 E 0 x 2 2 m v02x

y h0

4 x 3

25 q0 E0 2 x 18 v02 m

la trayectoria es una parábola convexa

Se tiene una lĂ­nea de carga de longitud L con una densidad lineal de carga constante

, y una carga puntual Q a una distancia a sobre la mediatriz, tal

como muestra la Fig. 22. Determine la fuerza resultante sobre la partĂ­cula.

ConsideraciĂłn 1: dq , pero dl dl

dy

entonces dq

dy

Sigue

Consideración 2: Observando la simetría del dibujo respecto del eje X, los elementos dq se han tomados simétricamente.

Consideración 3: Las componentes verticales de las fuerzas producidas por los diferenciales de carga se anulan entre sí, ya que cada elemento de carga dq ejerce la misma fuerza sobre la partícula Q .

Consideración 4: La fuerza resultante sobre la partícula Q corresponderá a la suma de las componentes horizontales de las fuerzas producidas por cada uno de los elementos de carga.

 dF

 dFrx

 dFax

luego dF

2dFx

F

2

K Q dq cos r2

Sigue

de acuerdo a las consideraciones y la geometrĂ­a del problema, se tiene 0

F L 2

2 K Q dy a a2 y2 a2 y2

resolviendo la integral y respetando el carĂĄcter

vectorial de la fuerza se obtiene

F

2KQL a 4a

2

2

L

i

Se tienen tres partículas cargadas con igual carga

q situadas en los

extremos de un triángulo equilátero de lado 2a como muestra la Fig. 23.

Determine el campo eléctrico en el centro de gravedad del triángulo.

Consideración 1: Al colocar una partícula de prueba en el punto central del triángulo el campo eléctrico en tal punto, será la resultante de los campos de cada partícula sobre ese punto, es decir por el principio de superposición tenemos:     E E1 E2 E3

Sigue

Consideración 2: Por la simetría del triángulo, cada partícula cargada esta a la misma distancia del punto central, la cual se puede obtener aplicando el teorema de Pitágoras y sabiendo que el punto central divide la mediatriz en razón de 2:1, se obtiene: 4a 2

a2

h2

además

E1

Ex

E1x

E2 x

Ey

E1 y

E2 y

Ey

3 Kq 1 4 a2 2

h

a 3

E2

E3

pero y

Ex

E3 y

3 Kq 1 4 a2 2

h 3x

E1

E1 cos30o

Ey

Kq 4 2 a 3

3 Kq 4 a2

Ey

E

E1

E2 cos30o

E1 sen30o

0

0

2 3a 3

2x

E2 sen30o

3 Kq 4 a2

Ex

E3

0

Una barra cargada de longitud 2L tiene una densidad de carga lineal homogénea

y una carga total

Q . Calcúlese el campo eléctrico en el

punto P localizado en las coordenadas a, d como se muestra en la figura.

Consideración 1: Por principio de superposición el campo resultante en el punto es la suma de los campos producidos por la distribución de carga situada por encima de la coordenada d y por debajo de ella, es decir:     dE R dE1 dE 2 dE R dE x1iˆ dE y1 ˆj

dE x 2 iˆ dE y 2 ˆj

de la figura tenemos: dE x1

dE1 cos

dE y1

dE1 sen

1

1

dE x 2

dE 2 cos

2

dE y 2

dE 2 sen

2

dE 2

kq r22

pero dE1

kq r12

Sigue

Consideración 2: Ya que la línea de carga esta ubicada sobre el eje Y entonces dl que dq y

cos

dy con lo

dy y tomando dy

a sec2

r12

a 2 sec2

a tan

a r1

1

d

además de la figura tenemos:

 Luego para las coordenadas cartesianas de E 1 tenemos: 1 máx

E x1 0

E x1

k a sec2 cos d a 2 sec2 k a a2

k a

1 máx

cos d 0

L d L d

2

1

2

Sigue

E y1

k a

1 m áx

sen d 0

E y1

k 1 a

a a

2

L d

2

1

2

 Luego para las coordenadas cartesianas de E 2 tenemos:

E x2

E y2

k a

2 m áx

k a

2 máx

cos d

E x2

0

sen d

E y2

0

k a

L a

2

d

L

k 1 a

d

2

1

2

a a2

2

L d

1

2

 Finalmente el campo resultante E R es:

 E xR

 E yR

k a

k a

L d a2

L d

L 2

1

a2

2

a a2

L

d

L

d

2

1

iˆ 2

a d

2

1

a2

2

L d

2

1

ˆj 2

Consideración 3: Si el punto donde estamos evaluando el campo eléctrico estuviera sobre la simetral, es decir, si d

0 entonces el campo para estos puntos tomará el

valor:

E xR

2k L a a2

L2

1

ˆi 2

Hallar el campo y el potencial elĂŠctrico creados por una esfera conductora de radio R cargada positivamente con carga Q. a) En el interior de la esfera b) En el exterior de la esfera

ConsideraciĂłn 1: Debido a que la esfera es conductora, la carga estĂĄ distribuida uniformemente sobre la superficie de ella, pudiendo expresarse la densidad superficial de carga, como:

Q 4 R2

Sigue

Consideración 2: Dibujando una superficie gaussiana de radio r

R , se observa que la carga

neta encerrada en ella es cero.

Por lo tanto en virtud de la Ley de Gauss el campo eléctrico en el interior de  la esfera gaussiana es nulo, es decir: E 0

Consideración 3: El potencial en un punto, corresponde a traer una carga desde el infinito hasta dicho punto, es decir, se debe trabajar en dos etapas la primera consiste en traer la carga desde el infinito hasta la superficie y la segunda desde la superficie hasta el punto interno (r < R).

Vr

V

VR ,r

,r

i. Potencial desde el infinito hasta un punto externo a la superficie conductora.

V

V

.r

r .r

KQ r

  E dr

r

E dr

r

KQ dr 2 r

KQ

r

dr r2

1 KQ r

r

KQ r

Potencial para puntos externos a la esfera conductora

Sigue

Consideración 4: Por consiguiente, el potencial en la superficie de la esfera conductora es:

VR

KQ R

i. Diferencia de potencial para ir desde R a r (punto interno), es: VR ,r

Vr

VR , pero:

Consideración 5: La diferencia de potencial entre dos puntos A y B es:

B

V

A

  E d r y dado

que el campo eléctrico en el interior de la esfera conductora es nulo, la diferencia de potencial para puntos internos es nula, es decir: V

VR ,r

Vr

VR

0

Vr

VR

Vr

KQ R

Resultado que indica que el potencial en el interior de la esfera conductora es constante e igual al potencial en su superficie.

Sigue

a) Campo y potencial en el exterior de la esfera

Consideración 6: Debido a la simetría del problema, es recomendable elegir una superficie gaussiana externa esférica de radio r’ > R, en tal situación el campo eléctrico   Q es radial y paralelo al vector área, por lo cual, se tiene: E dA 0

  E dA

E dA

E dA

E(4 r '2 )

E(4 r' 2 )

Q 0

 E

E

KQ (r ' ) 2

KQ rˆ 2 (r ' )

Consideración 7: El potencial eléctrico para puntos externos de la esfera se cálculo anteriormente en el punto i.

V

.r

KQ r

Determinar la fuerza que ejerce una barra cargada de longitud densidad

de

carga

2L

con

lineal

homogĂŠnea, sobre una partĂ­cula con carga

Q , ubicada en las coordenadas

(a , d ) como se muestra en la figura. dFx

dq

r

dFx

dFy

dF cos

dy dF

a2

y2

dFy

dFsen

kQdq r2 y a tag

dy a sec2 d

kQ a sec2 cos 2 2 2 (a a tag )

dFx

kQ a sec2 d sen (a 2 a 2 tag 2 )

dFy

kQ cos d a kQ sen d a

Sigue

Fx

kQ a

Fy

kQ a

Fx

kQ a

sen

Fy

kQ a

cos

1 màx

0

cos d

1 máx

0

sen d

1m áx

sen

1m áx

cos

2 màx

0

cosd

2 máx

0

2 m áx

2 m áx

sen d

kQ a

kQ a

kQ sen a

1máx

kQ cos a

sen

1máx

2 máx

cos

2 máx

L d

L d

(L d) 2 a 2

(L d) 2 a 2

a

a

(L d) 2 a 2

(L d ) 2 a 2

Una lámina infinita cargada, tiene una densidad superficial de carga

de

10-7 C/m2 ¿Qué separación tienen dos superficies equipotenciales entre las cuales hay una diferencia de potencial de 50 V ?

Dado que la lámina es infinita cargada y tiene una densidad superficial de carga  E

E E

constante se obtiene: V

V d 2 2

0

V d

d

2 0V

0

d

2 0V

2 8.8510 12 10 7

50

8.85 mV

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + +

V

 E

Calcular la capacidad de un condensador cilíndrico que consta de un conductor cilíndrico de radio a y carga +q concéntrico; con un cascarón cilíndrico de radio b y carga –q (b > a). La longitud del condensador es L; se supone que es mucho mayor que los radios a y b para despreciar los efectos en los extremos. b

Vb Va

a

E dr

donde E es el campo entre a y b

2K a partir de la ley de Gauss se tiene: E= r b dr b q b Vb Va 2K 2K ln ln a r a 2 0 a C

q V

q

C

q 2

0

L

C ln ba

C es siempre positiva por definición

2 ln

con

0 b a

L

q L

Un cable coaxial está compuesto de un conductor macizo cilíndrico en el centro, y por fuera un conductor cilíndrico. Suponga que el espacio entre los dos conductores es aire. El radio del conductor interno es 5.0 [mm], y el del conductor externo es 5.0 [cm]. radio interior. Suponga que el conductor del centro tiene una carga de

[C/m] y que el conductor de afuera está colocado a tierra. Use el teorema de

Gauss para determinar el campo eléctrico en cualquier punto entre los dos conductores.

¿Cómo se ven las superficies equipotenciales?

Dado que el campo eléctrico es radial desde el eje del conductor central y este desminuye en valor hasta alcanzar el conductor cilíndrico externo, las superficies equipotenciales son mantos cilíndricos concéntricos a los conductores interno y externo. ¿Cómo cambiaría el resultado si el conductor externo no estuviera aislado?

La situación es análoga a la anterior, aunque el valor del potencial no llega a cero, en cilindro externo.

Un condensador de 4 F cargado a 400 V, y otro de 2 F cargado a 200 V, se ponen en contacto entre sĂ­, con la placa positiva de uno conectado a la negativa del otro. Determinar, despuĂŠs de haberse conectado: a) La carga elĂŠctrica de cada condensador. b) La diferencia de potencial entre las placas de cada condensador.

Q1

C1V1

Q2

C 2 V2

Q1

4 10 6 400

Q2

2 10 6 200

Q2

400 10

Q1 1600 10

6

C

6

C

Al conectar los condensadores se redistribuye la carga uniformemente QT

Q1 Q 2

QT

Q1

Q1

C1V1

1200

QT

1600 400 C

Q 1200 C

Q2 Q2

4 V1

V1

300 V

VT

V1 V2

VT

900 V

C 2 V2

1200

2 V2

V2

600 V

En un condensador de placas paralelas se ponen dos dielĂŠctricos llenĂĄndose como se muestra en la figura. Demostrar que la capacidad del condensador lleno esta dada por:

C

A d

0

1

2

2

1

Ce

C1 C2

2

Ce

A 2d 0

1

A 2d 0

2

Ce

A d

0

1

2

2

En un condensador de placas paralelas se ponen dos dielĂŠctricos llenĂĄndolo como se muestra en la figura. Demostrar que la capacidad del condensador lleno esta dada por:

C

2 0A d

1

2

1

2

1 2

A2 d 0 A2 d 0

1 Ce

1 C1

1 C2

Ce

C1C2 C1 C2

1

1

A2 d 0 A2 d

0 2

2

Ce

2 0A d

1 1

2 2

Una placa de diel茅ctrico de espesor b se introduce entre las placas de un condensador de placas paralelas cuya separaci贸n de placas es d. Demostrar que la capacidad de este condensador es: C

0

d

A

(

d

1)

b

El condensador de la figura equivale a dos condensadores conectados en serie, uno de espesor b y constante , y el otro de espesor (d-b) y vacio 1 Ce

1 C1 1 Ce

1 C2

1 Ce

1 b 0A

1 0

b (d b) 1 (d b)

Ce

0A

Ce

A d b( 1)

b 0

A

1 0A d b

0A

1 1 0A b

b

1 d

1 1 d b

b)

1 b 0A

d b 1

Calcule la capacitancia equivalente de la combinaci贸n de tres capacitores de la figura.

La capacidad para la combinacion en paralelo, es: Cp

3 1

Cp

4 F

La capacidad para la nueva combinacion serie, es: 1 1 1 1 1 Cs 2.4 F Cs C1 Cp 6 4

En la figura la capacitancia de cada uno de los condensadores es de 4 F. Calcule la carga y la energĂ­a almacenada en cada uno de los capacitores.

La capacidad para la serie, es: 1 Cs

1 4

1 4

Cs

2 F

La capacidad en paralelo, es: Cp

4 2

Cp

6 F

La carga total en el circuito, es: Qt

CV

Q1

C1Vt

Qs

Cs Vt

Qt

6 12

Q1

4 12

Qs

2 12

Qt

72 C

Q1

48 C

Qs

24 C

Q3 C3

24 4

Pero : Qs V2 U

Q2 C2

Q2 24 4

Q3 V2

6 V

V3

1 1 CV 2 U1 4 122 U1 2 2 1 U2 4 62 U 2 72 J 2 1 U3 4 62 U 3 72 J 2

288 J

V3

6 V

Los capacitores de la figura inicialmente estaban descargados.

Determine el voltaje de cada uno de los tres capacitores despuĂŠs de cerrar el interruptor S. Si luego se introduce una hoja de material de constante dielĂŠctrica

= 4, que llena completamente el espacio entre las

placas del capacitor de 12 F, calcule el nuevo potencial en cada uno de los capacitores

La capacidad del paralelo, es: Cp

12 8

Cp

20 F

La capacidad de la serie, es: 1 Cs

1 16

1 20

Cs

8.9 F

La carga total en el circuito, es: Qt V16 Vt

8.9 30 Q16 C16 V16

Qt 267 16

Vp

267 C Sigue

V16 16.7 V Vp

30 16.7

Vp

13.3 V

Vp

V12

V8

Si se introduce un dielectrico en algun capacitor, cambia su capacidad, lo que equivale a calcular todo de nuevo, por lo tanto: C= C0

C

4 12

C

48 F

La capacidad del nuevo paralelo, es: Cp

48 8

Cp

56 F

La capacidad de la nueva serie, es: 1 Cs

1 16

1 56

Cs

12.4 F

La carga total en el circuito, es: Qt V16 Vt

12.4 30 Q16 C16 V16

Qt

373 16 Vp

373 C V16

Vp

23 V

30 23

Vp

7 V

Vp

V12

V8

Cuatro capacitores inicialmente descargados son conectados como muestra la figura. Los valores de ellos son C1=4 F, C2= 2 F, C3=5 F y C4=8 F. Calcule la diferencia de potencial entre los puntos A y B.

Los condensadores C1 y C3 estan conectados en serie: 1 Cs1

1 4

1 5

Cs1

2.2 F

Los condensadores C 2 y C 4 estan conectados en serie: 1 Cs1

1 2

1 8

Qs1

Cs1Vt

Qs1

2.2 100

Qs1

222 C

Qs2

Cs2 Vt

Qs2

1.6 100

Qs2

160 C

Cs1 1.6 F

V3

Q3 C3

222 5

V3

44.4 V

V4

Q4 C4

160 8

V4

20 V

Siendo Vx VA

VB

0, entonces V3 44.4 20

V

VA y V4 24.4 V

VB , luego: