Maratón matemático 4º eso by kati ayala

MARATÓN MATEMÁTICO 4º ESO. 1. Indica a cuáles de los conjuntos N, Z, Q, R pertenece cada uno de los siguientes números: −

5 4

13 6

−3

2. Representa en la recta real los números

152

1+ 3 2

26 y 14 .

3. Escribe en forma de intervalo o semirrecta y representa en la recta real los números que cumplen la desigualdad indicada en cada caso: a) -3 ≤ x ≤ 2

b) − 1 < x < 5

c) 0 < x ≤ 7

d) x > −5

4. Efectúa: a) 3 54 + 3 2 7 4

b) 108 − 2 12 − 28 + c) 5 6 ⋅ 3 d) 3 4 : 2 5. Racionaliza y simplifica: a)

1+ 6 2 3

14 3− 2

11 2 5 +3

2 3

6. Expresa en notación científica: a) 752000000 b) 0,0000512 c) 32 · 105 d) 0,0025 · 10-5 7. Teniendo en cuenta que la distancia media de la Tierra al Sol es de 1’496x108 Km, calcula el tiempo que tarda en llegar un rayo de Sol a la Tierra, sabiendo que el rayo recorre 2’998x105 Km en cada segundo. 8. Halla el área de un triángulo isósceles en el que los lados iguales miden el doble de la base cuya longitud es 3 cm. Expresa el resultado con radicales. 9. ¿Cuál de los números 1 − 3 o

1+ 3 es solución de la ecuación 2x2- 2x – 1= 0? 2

10. Dados los polinomios: A(x) = x5 - 2x4 + 3x3 + 5x2 - 9x + 2, B(x) = x2 2x + 3, C(x) = 2x3 + 5x2 - 4x - 1, D(x) = 4x2 + 3x - 2, hallar: a) A(x)·B(x) b) A(x)·C(x) c) A(x)·[B(x) + C(x)] d) A(x)·[B(x) - C(x) - D(x)] 11. Halla el cociente y el resto de cada división:

a) b) c) d)

(-2x4 + 3x3 – 2x + 3) : (x2 – 2x + 2) (-x4 + 2x2 – x + 2) : (x + 2) (2x4 -7x3 + 3x2 – 1) : (x2 + 2) (-3x4 + 6x2 +x – 2) : (x – 1)

12. Halla "a" para que la siguiente división tenga de resto 2: x6-4x5+5x4-5x3+4x2+ax+2 : x-1 13. Factoriza los siguientes polinomios: a)

x3 + 6x2 + 5x – 12

x4 – x3 – 6x2

x3 + 3x2 + 3x + 2

14. Indica el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo en cada caso: a) x2+2x+1 y 3x+3

b) x3-2x2 y x3-4x

c) x2-x, x2-1 y x2-2x+1

15. Escribe un polinomio que tenga por raíces los números 1, 2 y –1. 16. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: x 2 − 2x = 2x − 4 9 − x2 2) = x 2 − 3x 2x 2 − 32

= 2 2x + 6x − 8 5x 2 − 10x x 3 − x 2 − 8x + 12

17. Opera y simplifica:

3x 2 − 1 x+5 = + 2x 2 + 4x − 30 x 2 − 6x + 9

x2 + x x2 − 1 = · (x − 1)2 x3

18. Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado completas:

a) 11x + 21 = 2x 2 d) 2x 2 − 1 = 1 − x − x 2

b) 3( x − 1)( x + 2) = 3x − 6 2

e) ( x − 2) = 3 x 1 2x h) x 2 − = − 2 3 3

g) ( 4x − 1)( 2x + 2) = 12

c) 21x − 100 = x 2 + 21 − x 2

f) ( 5x − 3) − 11( 4x + 1) = 1 i) x 2 −

3x + 1 2 = 2 3

19. Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas: a) 4 x 2 − 12 x = 0 b) x 2 − 16 = 0 20. Resolver las siguientes ecuaciones bicuadradas: a) x 4 − 5x 2 + 4 = 0 d) 3x 4 − 27x 2 + 60 = 0 g)

x4 − 6x 2 + 27 = 0 2

b) x 4 − 12x 2 + 27 = 0 e) x 4 − 17x 2 + 16 = 0

c) 2x 4 − 2 = 0 f) 2x 4 − 32 = 0

h) 3x 4 + 18 = 15x 2

i) 5x 4 + 20x 2 + 15 = 0

21. Resuelve las siguientes ecuaciones con radicales a) x − 5 = 2

b) − 3x − 2 = −1

c) 5 − 2x = x − 1

d) 4 − 4x − 2 = 3x

e) 3 3x + 16 − 12 = x

f) 2x + 5 − 2x = 3

g) 2x + 3x − 1 − 5x = −2x − 3

h) 2 5x − 1 − 2x + 3 = 1 + 4x

i) x − 3 + x + 5 = 4

j) x − 2 + x + 1 = 3

22. Resuelve las siguientes ecuaciones con x en el denominador:

23. Resolver las siguientes ecuaciones factorizando previamente: a)

x4 – x3 – 11x2 + 9x + 18 = 0

x3 – 6x2 + 11x – 6 = 0

24. Resolver las siguientes inecuaciones: a)

4 · ( 2 − x ) + x − 2 ≥ 3 x − 2 · (1 − 5 x )

( 2 − x ) 2 + x < x 2 − 2 · (1 + x )

25. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: 2 x + 3 y = − 1 a)  5x + 4 y = 8 b)

2 x + y = − 1  3x + 2 y = 0

26. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales: y  = 1 x  x + y = 5 

x+y-

3x 2 − 5y 2 = 30   x 2 − 2y 2 = 7 

27. Resolver los siguientes sistemas de inecuaciones:  6 - x ≤ 4x - 5  1 - 2x ≥ -3

 2x − 6 < 0  x − 4 > −5

28. Partiendo de la ecuación: 2x + y = 9 añade otra que forme con esta un sistema que no tenga solución. 29. En una sala el número de chicas es igual al doble del de chicos menos 4. Con dos chicas menos habría el mismo número de chicas que de chicos. ¿Cuántos chicos y chicas había en la sala? 30. Un librero vende 84 libros a dos precios distintos; unos a 4,50 €, y otros, a 3,60 euros, obteniendo por la venta 310,50 €. ¿Cuántos libros vendió de cada clase? 31. El producto de dos números es 4, y la suma de sus cuadrados 17. ¿Cuáles son esos números? 32. Le pregunté a mi padre: ¿Cuánto vale el chocolate con churros en la cafetería de la esquina? -No sé, nunca me he fijado. -Pero hombre... lo acabamos de tomar mamá, la abuela, mis dos hermanos, tú y yo. ¿Cuánto has pagado? -Algo más de 7 euros.. -El domingo pasado además de nosotros seis invitaste a dos amigos míos. ¿Cuánto pagaste? -Era poco menos de 10 euros, pues puse un billete y dejé la vuelta. ¿Cuánto vale el chocolate con churros en la cafetería de la esquina? 33. Para comprar un regalo, Emilia ha ido reuniendo monedas de 50 céntimos y de 1 euro, juntando en total 20 monedas. Si el precio del regalo es mayor que 16 euros y menor que 18 euros, ¿qué número de monedas podía tener de 1 euro? 34. Un campo de baloncesto, de forma rectangular, tiene 40 m más de largo que de ancho. Calcula las dimensiones de dicho campo sabiendo que el área es de 2 680,25

m2. 35. Preguntado un padre por la edad de su hijo contesta: “el producto de su edad hace 6 años por el de su edad hace 4 años es mi edad actual que son 48 años. Calcula la edad del hijo. 36. El área de un triángulo rectángulo es 6m2 y su perímetro 12 m. Calcula la longitud de los lados del triángulo. 37. Un vendedor de seguros tiene dos opciones de sueldo, debe elegir entre un fijo de 800 Euros más 80 Euros por póliza o cobrar 150 Euros de comisión pura (sin fijo) por póliza. ¿A partir de que cantidad de pólizas es más rentable la opción de comisión pura? 38. La tarifa de telefonía de la empresa A es 20 Euros fijos mensuales más 7 céntimos de euro por minuto de conversación, la de la empresa B es 11 Euros fijos más 12 céntimos por minuto de conversación. ¿A partir de cuantos minutos empieza a ser más rentable la tarifa de la empresa A? 39. En una clase deciden que este verano van a escribir todos una carta al resto de compañeros. El listillo de la clase dice: ¡Los de correos se van a poner contentos porque vamos a escribir 600 cartas!. Calcula el número de alumnos que hay en la clase. 40. Se desea mezclar vino de 5,50 €/l. con otro de 4 €/l. de modo que la mezcla resulte a 4,50 €/l. ¿Cuántos litros de cada clase deben mezclarse para obtener 300 litros de la mezcla?. 41. El cociente de una división es 3 y el resto es 5. Si el divisor disminuye en 2 unidades, el cociente aumenta en 1 y el resto nuevo es 1. Hallar el dividendo y el divisor. 42. La suma de las 2 cifras de un número es 8. Si al número se le añade 18, el número resultante está formado por las mismas cifras en orden inverso. Hallar el número.