Faktor9 lv utdrag blabok by Cappelen Damm

Espen Hjardar Jan-Erik Pedersen

Faktor

LĂŚrerens bok

Matematikk for ungdomstrinnet

Espen Hjardar Jan-Erik Pedersen IllustratĂ¸r: Line Jerner

Faktor

9 LĂŚrerens bok

Dette er Faktor 9 Grunnbok. Til grunnboka hører det en oppgavebok. Her ser du ungdommene som følger deg gjennom alle bøkene på ungdomstrinnet:

Hvert kapittel i grunnboka består av fire deler:

Noen oppgaver er merket med disse symbolene:

Lærestoff og oppgaver

Kalkulator

Prøv deg selv

Finn ut

Noe å lure på Oppsummering

Faktor 9

Hei til deg som skal bruke Faktor!

Frioppgave Digitale verktøy Utfordrende oppgave

Bakerst i boka finner du en liten manual for bruk av kalkulator, regneark og GeoGebra. I oppgaveboka finner du øvingsoppgaver i tre vanskelighetsgrader til hvert kapittel. Alle kapitler har også et oppgavesett med repetisjonsoppgaver. Kategori 1 Litt av hvert

Kategori 2 Kategori 3 Øvingsoppgaver for digitale verktøy

Å kunne matematikk er nyttig, og matematikk er spennende å lære! Vi har lagd en bok som vil hjelpe deg med å nå målene for matematikkfaget på ungdomstrinnet. Lykke til med arbeidet!

Hilsen forfatterne Espen Hjardar og Jan-Erik Pedersen

Innledning

Faktor 9 Lærerens bok Her finner du alle sideoppslagene fra elevens grunnbok. I margene rundt oppslagene finner du kommentarer til innholdet og tips til undervisningen. Innholdet er organisert under disse overskriftene:

Begreper Matematiske begreper og uttrykk som elevene møter i arbeidet med delemnet.

Bakgrunnsstoff Bakgrunnsstoff og teori som er relevant for forberedelse og gjennomføring av en time. Tips til andre innfallsvinkler, andre eksempler og andre metoder enn det som er presentert i elevboka.

Frioppgaver Unummererte oppgaver som er merket ?. Oppgavene egner seg godt som utgangspunkt for diskusjoner og gruppearbeid. De har ofte flere løsninger, og de er lagd for å tydeliggjøre elevenes resonnement og tankegang.

Oppgavehenvisning Henvisning til tilhørende oppgaver i Oppgavebok og i Alternativ oppgavebok slik at videre arbeid gjøres lettere.

Aktiviteter Konkrete spørsmål og problemstillinger til bruk i klasserommet. Målet er å legge til rette for samtale rundt ulike emner. Aktivitetene kan ta utgangspunkt i oppgaver, eller de kan være et supplement til teori for å trene på de grunnleggende ferdighetene i matematikkfaget.

Kopieringsoriginaler Aktiviteter som krever bruk av kopieringsoriginaler eller opptegning av oppgaven på tavla. De mest vanlige oppgavetypene er: Stafett, Hvem skal ut?, 10 rette, Hjørnerebus, Sant eller usant? og Labyrint. Kopieringsoriginalene ligger på Faktor Digital (faktor.cdu.no). Oppgavene er lagd for å skape aktivitet rundt ulike emner, og de er med på å gjøre elevene tryggere når de skal begrunne og forklare hvordan de tenker.

Innledning

Innhold 1 Tall og tallforståelse......................................7 Potenser ...............................................................8 Kvadrattall .......................................................... 16 Regning med fortegnstall .................................. 20 Forhold ............................................................... 23 Figurtall og tallrekker......................................... 27 Prøv deg selv....................................................... 30 Noe å lure på...................................................... 32 Oppsummering ................................................... 34

2 Algebra ......................................................... 37 Bokstavuttrykk.................................................... 38 Likninger............................................................. 47 Ulikheter ............................................................. 57 Prøv deg selv....................................................... 59 Noe å lure på...................................................... 61 Oppsummering ................................................... 63

3 Geometri ....................................................... 67 Mangekanter ...................................................... 68 Omkrets og areal av mangekanter ............................................ 72 Omkrets og areal av en sirkel ........................... 84 Pytagoras-setningen .......................................... 88 Konstruksjon og beregninger ............................ 96 Geometri i natur og kunst............................... 102 Det gylne snitt og det gylne rektangel..................................... 107 Prøv deg selv..................................................... 113 Noe å lure på.................................................... 117 Oppsummering ................................................. 119

Innhold

4 Statistikk og sannsynlighetsregning............................... 123 Relativ frekvens ................................................ 124 Sektordiagram .................................................. 130 Andre diagrammer........................................... 135 Kritisk bruk av diagrammer ............................. 140 Sentralmål og variasjonsbredde ...................... 143 Antall mulige utfall .......................................... 148 Å finne sannsynligheten .................................. 151 Å finne sannsynligheten ved flere hendelser ............................................ 155 Like stor sannsynlighet hver gang? .................................................. 162 Prøv deg selv..................................................... 164 Noe å lure på.................................................... 167 Oppsummering ................................................. 169

5 Måling og beregninger.............................. 173 Målenøyaktighet .............................................. 174 Målestokk ......................................................... 177 Volum og overflate .......................................... 185 Prøv deg selv..................................................... 196 Noe å lure på.................................................... 198 Oppsummering ................................................. 199

6 Funksjoner .................................................. 201 Koordinatsystemet ........................................... 202 Formler og funksjoner ..................................... 207 Grafen til en funksjon ...................................... 211 Mer om funksjoner .......................................... 215 Prøv deg selv..................................................... 218 Noe å lure på.................................................... 220 Oppsummering ................................................. 222

7 Økonomi ..................................................... 225 Prosent og promille ......................................... 226 Merverdiavgift .................................................. 231 Rabatt ............................................................... 234 Tilbud ............................................................... 236 Renteregning.................................................... 239 Kredittkort ........................................................ 246 Prøv deg selv..................................................... 249 Noe å lure på.................................................... 251 Oppsummering ................................................. 253 Manual for digitale verktøy........................... 254 Kalkulatoren ..................................................... 255 Regneark .......................................................... 258 GeoGebra ......................................................... 262 Fasit ................................................................. 270 Stikkord............................................................ 291

Innhold

Kapittelinnledning Hvert kapittel innledes med en introduksjon som består av en illustrasjon, en liten tekst og en oversikt over hva som er målet med kapitlet. Dette kan danne utgangspunkt for en samtale og bidra til å bevisstgjøre elevene om hva som er hovedintensjonen med kapitlet. Målene er brutt ned og blir tydeliggjort gjennom «Prøv deg selv»oppgavene på side 30. Elevene kan også teste seg selv via digital versjon av «Prøv deg selv», som fins på Faktors elevnettsider.

Digitale ressurser til kapitlet (faktor.cdu.no) • Digital versjon av grunnboka (Tavlebok) • Campus Inkrements verktøy for Omvendt • • • • • • •

undervisning (video med oppgaver) Målark til «Prøv deg selv» Komplette løsningsforslag til alle oppgavene i grunnboka og oppgaveboka Kapittelprøver og terminprøver Digitale hel- og halvårsprøver i Vokal Kopieringsoriginaler 52 nøtter Øvingsoppgaver for digitale verktøy

Kopieringsoriginaler K K K K K K K K

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8

Hjørnerebus: Potens Hvilken skal ut? Potenser Stafett: Potenser Hjørnerebus: Tall på standardform Stafett: Fortegnstall Stafett: Forhold Hvilket skal ut? Tall og tallrekker 10 rette: Tall og tallforståelse

Tall og tallforståelse

Det er 384 000 km til månen. Alpha Kentauri er 40 000 000 000 000 km unna jorda.

Er det 400 000 000 000 eller 40 000 000 000 stjerner i vår galakse, Melkeveien?

Et romskip flyr med ca. 40 000 km/h. Hvor lang tid ville det tatt å reise dit?

.........................................

Tall og

.........................................

tallforståelse

.........................................

Noen ganger har vi bruk for å skrive svært store tall, for eksempel i forbindelse med avstander i verdensrommet. For å få bedre oversikt kan vi skrive tallene som produkter av et desimaltall mellom 1 og 10 og en tierpotens:

.........................................

384 000 = 3,84 105

.........................................

Mål I dette kapitlet skal du få lære om . . . .

tall på standardform faktorer, potenser, kvadratrot og forhold mellom størrelser i beregninger fortegnstall tallmønstre

......................................... Mange nuller å holde orden på!

......................................... .........................................

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0

.........................................

Tall og tallforståelse

Begreper

Notater

Potens, grunntall, eksponent, produkt, faktor, multiplikasjon, divisjon, summere, subtrahere, teller, nevner, utvidet form, standardform

.........................................

Bakgrunnsstoff

.........................................

Dette er en kort repetisjon fra Faktor 8. Det er helt avgjørende at elevene er fortrolige med begrepene faktor og produkt for å få forståelse for potensbegrepet og seinere regning med potenser. I regelen går det fram at en potens egentlig er et produkt av like faktorer.

.........................................

......................................... ......................................... .........................................

Aktiviteter

.........................................

Det kan være lurt å øve på enda flere oppgaver og se på forskjellen mellom for eksempel 52 og 25 , eller 72 og 27 og ikke minst forskjellen mellom 52 og 5 2 eller 72 og 7 2.

Tall og tallforståelse

Produkt og faktor Drøft med elevene forskjellen på et produkt av like faktorer og summen av like ledd.

Potenser To i femte er en potens.

Hva betyr to i femte? 25 er en potens med 2 som grunntall og 5 som eksponent. 25 uttales to i femte. 25 = 2 2 2 2 2 = 32 Regel

Et produkt der alle faktorene er like, kan vi skrive som en potens. Eksponenten forteller hvor mange ganger vi skal multiplisere grunntallet med seg selv. Oppgaver 1.1

1.2

Tall og tallforståelse 8

Skriv som potens. a) 2 2 2 2 b) 3 3 3 3

c) 10 10 10 d) 7 7 7 7 7

e) 5 5 5 5 5 5 f) 9 9 9 9

Regn ut potensen. a) 23 b) 35

c) 53 d) 105

e) 55 f ) 210

Bakgrunnsstoff

Kopieringsoriginaler

Vi kan velge å forklare divisjon av potenser mer inngående for å vise at regelen stemmer:

K 1.1

56 5 5 5 5 = 5 = 5 5 5 5 5 = = = 54 2 5 =5 = 5 1

Det vil si at eksponenten 4 i svaret er det samme sifferet som differensen mellom eksponentene i telleren og nevneren ð6 -- 2 = 4Þ. Hvis elevene kommer inn på spørsmålet om hva svaret blir på oppgaven 52 : 53 , vil vi på dette nivået løse det slik: 52 : 53 =

52 5 = = 5 1 = = 3 5 5 = 5 = 5 5

I Faktor 10 vil vi innføre potenser med negative eksponenter.

De fire opplysningene er: – Verdien av potensen er 625. – Grunntallet er mindre enn 7. – Grunntallet er et oddetall. – Eksponenten er et partall. Løsning: 54

K 1.2 Skriv av tabellen og fyll inn det som mangler. Grunntall

Eksponent

Regn ut. a) 3 4 4 4 b) 5 23

8 4

1.4

Potens

Tall og tallforståelse

1.3

2,34

c) 24 33 d) 52 + 42

e) 103 -- 101 f ) 35 -- 53

Hvilken skal ut? Potenser

Antall deltakere: Grupper på to, tre eller fire La elevene snakke sammen og forklare for hverandre hvordan de tenker. Her er det viktig at elevene selv begrunner hvorfor de mener at akkurat den potensen, eller det tallet, skal ut. Svaret er ikke det viktigste i denne oppgaven, men det at elevene bruker språket og begrunner sine valg. I) De fire opplysningene er: a) 24 ! grunntall og eksponent er partall, høyest eksponent, svar: 16 b) 42 ! grunntall og eksponent er partall, svar: 16 c) 52 ! grunntall er oddetall, høyest grunntall, høyest verdi, svar: 25 d) 23 ! eksponent er oddetall, lavest verdi, svar: 8

Multiplikasjon og divisjon av potenser Når vi skal multiplisere to potenser som har samme grunntall, lar vi grunntallet stå og summerer eksponentene. 23 24 = 2 2 2 2 2 2 2 = 23 + 4 = 27

Hjørnerebus: Potens

Husk! 2 = 21 , 3 = 31 osv.

Når vi skal dividere en potens med en potens som har samme grunntall, lar vi grunntallet stå og subtraherer eksponentene.

II) De fire opplysningene er: a) 16 ! 24 og 42, lavest verdi b) 25 ! 52, ikke delelig med 2, primtall c) 32 ! 25, høyest eksponent d) 64 ! 82, høyest verdi

56 = 56 : 52 = 56 -- 2 = 54 52

Regel

Når vi multipliserer potenser som har samme grunntall, beholder vi grunntallet og summerer eksponentene. Når vi dividerer potenser som har samme grunntall, beholder vi grunntallet og subtraherer eksponentene.

Tall og tallforståelse 9

Bakgrunnsstoff 50 , 100 , a0 osv. gir egentlig ingen mening slik vi definerer en potens. Men ved å vise det slik vi gjør det her, kan det gi en viss innsikt i hvordan matematikken på dette feltet er bygd opp. Noen elever vil kanskje være nysgjerrige og spørre om hva 5--2 , 10--3 , a--4 osv. kan være. Dette ser vi nærmere på i Faktor 10 (se også kommentar på forrige side).

Frioppgave

Her bør elevene få jobbe sammen to og to, slik at de kan diskutere seg fram til en løsning. Dette er en fin måte å repetere på, og det gir deg anledning til å undersøke om elevene kan viktige begreper som sum, potens, like faktorer, ledd, grunntall og eksponent. Her er fire mulige løsninger:

I forbindelse med divisjon av potenser, og særlig når vi setter divisjonen opp som brøk, er det viktig å fokusere på og skille mellom at 5 7 x = 1, = 1, = 1 5 7 x og 5 7 x = 5, = 7, = x 1 1 1

1881 + 11 53 + 26 53 + 43 53 + 82 Løsninger som 1881 + x 0 er også mulig siden x 0 = 1.

Skriv inn et tresifret tall der sifferet på hundreplassen er større enn sifferet på enerplassen. Subtraher med det omvendte tallet. Det tallet eleven har fått nå, skal adderes med det omvendte tallet.

Tall og tallforståelse

Aktiviteter

Hvis vi dividerer to like potenser med hverandre, blir svaret lik 1 fordi telleren og nevneren er like store. Hvis vi bruker regelen for divisjon av potenser, får vi 53 = 53 -- 3 = 50 53 Det betyr altså at 50 = 1. Regel

For alle tall a er a0 = 1. Når vi skal multiplisere eller dividere to potenser som ikke har samme grunntall, må vi regne ut potensene hver for seg.

Hva blir svaret?

Eksempel 1:1

Gjør dette flere ganger, og undersøk om svaret blir det samme hver gang. 4 – 1 = 2 + 7 = 1 0

6 6 9 9 8

Regn ut. Skriv svaret som én potens hvis det mulig.

1 4 7 2 9

a) 22 25 b) 46 : 42

c) 32 43 d) 44 : 23

Løsning a) 22 25 = 22 + 5 = 27 b) 46 : 42 = 46 -- 2 = 44

c) 32 43 = 9 64 ¼ 576 d) 44 : 23 = 256 : 8 = 32

Oppgaver 1.5

1.6

1.7

10 Tall og tallforståelse 10

Skriv svaret som én potens. c) 22 23 a) 32 35 b) 52 52 d) 52 54

e) 102 103 f ) 72 73

Skriv svaret som én potens. c) 122 123 a) 132 133 b) 52 5 d) 102 104

e) 100 105 f ) 70 73

Skriv svaret som én potens. c) 22 26 a) 32 3 d) 102 104 102 b) 152 152

e) 103 105 10 f ) 7 73 70 72

Hvordan kan vi skrive tallet 189 som en sum av to potenser?

Aktiviteter

I Faktor 8 skrev vi tallene på utvidet form, men uten å skrive tallene 1, 10, 100, 1000, osv. på potensform. Det må vi gjøre nå ettersom som vi i fortsettelsen skal skrive store tall på standardform.

Aktiviser elevene i en tierpotensstafett. Del elevene inn i to lag, og still dem opp på to rekker. La to og to elever få samme tall (1, 10, 100, 1000, osv.) som de så skal oppgi som tierpotens. Den som svarer riktig, går bakerst i sin rekke.

Denne måten å skrive tall på vil gi ytterligere trening i å bruke potenser. Her er det fokusert på tierpotenser og på å øke forståelsen for vårt posisjonssystem.

Kopieringsoriginal

For å se systemet med tierpotenser, kan du utfordre elevene på å se sammenhengen 103 -- 102 -- 101 -- 100

Skriv svaret som én potens. 27 24 65 b) 2 6 a)

1.9

106 102 312 d) 8 3 c)

Skriv svaret som én potens. c) 35 : 34 a) 55 : 52 d) 74 : 73 b) 105 : 103

55 52 35 f) 4 3 e)

Tall og tallforståelse

1.8

Bakgrunnsstoff

e) 155 : 153 f ) 109 : 103

1.10 Skriv svaret som én potens hvis det er mulig. Hvis ikke, regn ut. c) 26 -- 24 e) 124 : 123 a) 95 : 92 f ) 34 + 24 b) 34 + 33 d) 104 + 103

K 1.3

Stafett: Potenser

1) Alle enerne kommer fram og får etappe (oppgave) 1A av læreren. 2) Elev 1 skal nå løse oppgaven sammen med gruppa. 3) Elev 1 går så opp og forklarer eller gir svaret til læreren. 4) Hvis svaret er riktig, mottar elev 1 etappe 2A. 5) Oppgaven løses i gruppa. 6) Elev 2 går opp og forklarer eller gir svaret på 2A til læreren. osv. Løsning: 1A) 35 2A) 64 3A) 32 = 25 4A) 81 = 92

1.11 Skriv svaret som én potens hvis det er mulig. Hvis ikke, regn ut. c) 122 23 e) 82 8 a) 32 35 b) 52 53 d) 52 102 f ) 5 43 1.12 Skriv svaret som én potens hvis det er mulig. Hvis ikke, regn ut. a) 136 : 134 c) 5 42 -- 16 b) 84 -- 44 d) 3 52 + 5 32

Potenser med 10 som grunntall Nedenfor ser du noen eksempler på potenser med 10 som grunntall. 100 101 102 103 104 105 106

= = = = = = =

1B) 2B) 3B) 4B)

1 10 100 1000 10 000 100 000 1 000 000

16 807 ¼ 75 1296 = 64 24 210

Vi bruker tallene 1, 10, 100 osv. når vi skriver naturlige tall på utvidet form: 3456 = 3 1000 + 4 100 + 5 10 + 6 1 Ettersom 10, 100, 1000 osv. kan skrives som potenser med 10 som grunntall, får vi: 3456 = 3 103 + 4 102 + 5 101 + 6 100

Tall og tallforståelse 11

Bakgrunnsstoff Hvis man vil skape litt undring rundt store tall og potenser med 10 som grunntall, kan opplysningene nedenfor gjøres om til vanlige tall eller potenser med 10 som grunntall.

• Melkeveien har en diameter på omkring

105 lysår. • Jordas volum er omkring 1018 m3. • Et virus inneholder omkring 100 000 000 atomer. • I Norge spises det omkring 108 kg poteter hvert år.

Tall og tallforståelse

.........................................

Eksempel 1:2

Skriv 1 205 604 på utvidet form ved å bruke potenser av 10. Løsning 1 205 604 = 1 1 000 000 + 2 100 000 + 0 10 000 + 5 1000 + 6 100 + 0 10 + 4 1 1 205 604 = 1 106 + 2 105 + 5 103 + 6 102 + 4 100 Oppgaver 1.13 Skriv tallene som potenser med 10 som grunntall. a) 100 c) 100 000 e) Ti millioner b) 1000 d) 1 000 000 f ) En milliard 1.14 Skriv tallene på utvidet form ved å bruke potenser av 10. a) 6543 c) 12 675 e) 2 450 565 b) 3409 d) 125 308 f ) 2 907 530 1.15 Skriv tallene på vanlig måte. a) 5 103 + 4 102 + 1 101 + b) 3 104 + 4 103 + 5 102 + c) 7 105 + 4 104 + 5 103 + d) 2 105 + 4 103 + 5 102 + e) 1 106 + 4 105 + 5 103 + f ) 3 105 + 4 102 + 9 101 +

6 100 6 101 + 5 100 6 102 + 3 101 + 4 100 6 100 6 102 + 1 101 + 2 100 1 100

1.16 Skriv 7 milliarder på vanlig måte og deretter ved å bruke tierpotens. Det er over 7 milliarder mennesker på jorda.

12 Tall og tallforståelse 12

Bakgrunnsstoff Tall på standardform kalles også for tall med eksponentiell notasjon.

Hvor store er disse avstandene når vi vet at lyset går med en hastighet på 300 000 km/s?

Det er særlig i forbindelse med svært store eller svært små tall, at vi skriver tallene på standardform.

En utfordrende oppgave kan være: Jordas masse (vekt) er beregnet til 5,98 1021 tonn. En supertanker kan transportere 250 000 tonn.

Her er noen eksempler som kan skape litt undring om avstander: Lyset fra sola bruker omtrent • 8 minutter til jorda • 7 timer til Pluto • 4,3 år til Proxima Centauri (nærmeste stjerne) • 2 millioner år til Andromedagalaksen (den nærmeste galaksen) • 100 000 år tvers gjennom Melkeveien (gjennom Melkeveiens diameter)

For å få bedre oversikt over et stort tall, kan vi skrive tallet som et produkt av et desimaltall mellom 1 og 10 og en tierpotens. 150 000 000 km kan vi skrive slik: 1,5 108 km Tierpotens Desimaltall mellom 1 og 10

Tall og tallforståelse

Tall på standardform

Hvor mange supertankere trenger vi for å transportere hele jorda? Løsning: 5 980 000 000 000 000 000 000 250 000 Løsning på standardform: 5,98 1021 5,98 = 1021 -- 5 2,4 1016 2,5 105 2,5 Det vil altså si 24 000 000 000 000 000 supertankere!

Notater

Når vi skriver om store tall på denne måten, flytter vi desimaltegnet og setter det mellom det første og det andre sifferet. Deretter multipliserer vi med en tierpotens. Ovenfor har vi flyttet desimaltegnet åtte plasser. Derfor blir tierpotensen 108 .

.........................................

Skrivemåten 1,5 108 kaller vi standardform.

.........................................

Sola, vår egen stjerne

......................................... ......................................... ......................................... Avstanden fra jorda til sola er ca. 150 000 000 km!

.........................................

Tall og tallforståelse 13

Bakgrunnsstoff Det er viktig å øve mye på oppgaver av typen 25 000 = 2,5 104 . Vi ser svært ofte feil som dette: 25 000 = 2,54 . Oppdager du slike feil, må du gå tilbake og tydeliggjøre at 25 000 = 2,5 10 000, altså at 25 000 = 2,5 104 .

Notater

.........................................

Tall og tallforståelse

.........................................

Regel

Vi skriver store tall på standardform ved å plassere desimaltegnet mellom det første og det andre sifferet. Deretter multipliserer vi med en tierpotens. Eksponenten i tierpotensen svarer til antallet plasser vi har flyttet desimaltegnet. Eksempel 1:3

Skriv tallet 340 000 000 på standardform. Løsning 340 000 000 = 3,4 108

.........................................

Oppgaver

.........................................

1.17 Skriv tallene på standardform. a) 25 000 c) 24 000 000 b) 14 000 d) 910 000

.........................................

e) 4 500 000 f ) 4 500 000 000

1.18 Skriv avstandene fra sola til planetene på standardform. a) Sola – Venus 108 000 000 km b) Sola – Jorda 150 000 000 km c) Sola – Jupiter 778 000 000 km

......................................... ......................................... .........................................

14 Tall og tallforståelse 14

Oppgavehenvisning

Kopieringsoriginal K 1.4

Hjørnerebus: Tall på standardform

Oppgavebok 1.101–1.115 1.201–1.217 1.301–1.309 Alternativ oppgavebok 1.1–1.15

De fire opplysningene er: – Tallet er skrevet på standardform. – Verdien av tallet er mellom 4 og 5 millioner. – Tallet har én desimal. – Desimalen er et tall som kan skrives som en brøk der nevneren er dobbelt så stor som telleren. Løsning: 4,5 106 Notater ......................................... e) 1,05 107 f ) 4,08 109

1.20 Massen til månen har blitt beregnet til ca. 73 500 000 000 000 000 000 tonn. Skriv tallet ved å bruke tierpotens.

Tall og tallforståelse

1.19 Skriv tallene på vanlig måte. c) 9,1 105 a) 4,5 103 b) 2,7 104 d) 4,5 106

......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... .........................................

Landingsmodulen The Eagle (Apollo 11) var det første romfartøyet som landet på månen, 20. juli 1969.

1.21 Finn ut hvor mye jorda veier. Skriv tallet både på vanlig måte og ved å bruke tierpotens.

Massen til månen er ca. 0,0123 av massen til jorda!

.........................................

Tall og tallforståelse 15

Begreper Kvadrattall, kvadratrot

Bakgrunnsstoff Vi kan tenke oss flere innfallsvinkler til kvadrattall: • som ren «tallteori» der vi fokuserer på at et kvadrattall er et produkt av to like faktorer (2 2 = 22 , 3 3 = 32 , osv.) • kvadrattallene kan ses i sammenheng med arealet av et kvadrat (5 cm 5 cm = 52 cm2 = 25 cm2 , osv.) • vi legger ut brikker (papirlapper) for å se hvor mange brikker det blir når det er like mange i radene som i kolonnene

Lage gangetabellen La elevene jobbe én og én eller to og to med å lage den lille gangetabellen.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 2 4 6 8 10 12 14 16 18

3 3 6 9 12 15 18 21 24

4 4 8 12 16 20 24 28

5 5 10 15 20 25 30

6 6 12 18 24 30 36

7 8 9 10 7 8 9 10 14 16 18 21 24 28

47 64 81 100

Hvilke tall «dukker opp» langs diagonalen?

Bygge kvadrat Utstyr: Centikuber La elevene jobbe sammen to og to med å lage ulike kvadrater. Her er tre oppgaver med oppfølgingsspørsmål: 1) Bygg et kvadrat med sidekanter 4 cm. ! Hvor mange klosser består figuren av totalt? 2) Bygg et kvadrat med sidekanter 16 cm. ! Hvor mange klosser består figuren av totalt? 3) Bygg et kvadrat med totalt 25 klosser. ! Hvor lange er kvadratets sideflater?

Tall og tallforståelse

Aktiviteter

Kvadrattall Alle tallene er kvadrattall!

Hva mener vi med kvadrattall? Vi kan legge ut brikker i kvadratform på denne måten:

&& &&

&&& &&& &&&

&&&&& &&&&& &&&&& &&&&& &&&&&

Se på regnestykkene nedenfor. 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5

= = = = =

12 22 32 42 52

= = = = =

1 4 9 16 25

Tallene 1, 4, 9, 16, 25 osv. kaller vi kvadrattall fordi vi kan illustrere disse tallene i et kvadratisk mønster som ovenfor. Regel

Hvis x er et helt tall, er x x = x 2 et kvadrattall.

16 Tall og tallforståelse 16

Aktiviteter Velg tre ulike sifre og lag det største og det minste tresifrete tallet du klarer. Finn differensen mellom de to tallene. Fortsett videre på samme måte med de sifrene du får i svaret. Eksempel: 321 – 123 981 – 189 972 – 279 963 – 369 954 – 459 954 – 459

Frioppgave

Her kan elevene jobbe én og én eller to og to. Det fins to mulige løsninger: 1

= = = = = =

198 792 693 594 495 495

Etter noen «runder» ender vi alltid med tallet 495!

6 5

1 3

2 3

Etterarbeid: Som vi ser, blir sidesummen 9 eller 12. Hvorfor blir det slik? Fins det en forklaring? Hva blir summen av alle tallene? ð1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21Þ Hva får vi når vi dividerer summen på 3? ð21 : 3 = 7Þ Blir noen tall summert flere ganger? (hjørnene)

1.22 Hvilke av disse tallene er kvadrattall? 4 9 7 8

1.23 Lag en tegning som illustrerer kvadrattallene. a) 4 b) 9 c) 16

d) 25

Tall og tallforståelse

Oppgaver

21 + ð1 + 2 + 3Þ = 27 21 + ð4 + 5 + 6Þ = 36 Hvis vi nå dividerer på 3, ser vi at vi får 9 eller 12.

1.24 Hvilke kvadrattall illustrerer disse figurene? a)

1.25 Regn ut kvadrattallet x 2 når x er a) 5 c) 10 b) 8 d) 15

e) 20 f ) 100

1.26 81 brikker blir lagt ut som et kvadrat. Hvor mange brikker er det langs sidene av kvadratet? 1.27 Stolene i en kinosal er plassert som et kvadrat. Det er 625 plasser i salen. Hvor mange stoler er det i hver rad?

Plasser tallene fra 1 til 6 i trekanten slik at summen langs hver av sidene blir den samme.

Tall og tallforståelse 17

Bakgrunnsstoff

Notater

Vi må presisere at kvadratroten av et tall er det positive tallet som multiplisert med seg selv gir det opprinnelige tallet.

......................................... .........................................

Når vi derimot skal løse en kvadratisk likning, får vi to løsninger: x 2 = 25 pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi x = + 25 eller x = – 25 x = +5 eller x = –5

......................................... ......................................... .........................................

Vi skriver «eller» fordi x ikke kan være både 5 og –5, men enten 5 eller –5.

.........................................

Vi kommer tilbake til dette i kapittel 3. .........................................

Kvadratroten av 36 blir et helt tall (rasjonalt tall), mens kvadratroten av 2 blir et irrasjonalt tall. Det vil si et desimaltall uten endelig eller periodisk desimalutvikling, og som dermed ikke kan skrives som en brøk.

Tall og tallforståelse

Overfor flinkere elever kan du også diskutere forskjellen på kvadratroten av 36 og kvadratroten av 2. Kvadratrot Når vi multipliserer to like tall med hverandre, får vi et kvadrattall. 3 3 = 9 Det vil si at 9 er et kvadrattall. Motsatt sier vi at 3 er kvadratroten av 9. pffiffiffi . Vi kan skrive kvadratroten av 9 slik:

Tegnet for kvadratrot er pffiffiffi 9=3 På samme måte er pffiffiffiffiffi 25 = 5 fordi 5 5 = 25: Regel

Vi finner kvadratroten av et bestemt tall ved å finne det positive tallet som multiplisert med seg selv, gir det bestemte tallet. Eksempel 1:4

Finn kvadratroten av 36. Løsning Ettersom 6 6 = 36, er

pffiffiffiffiffi 36 = 6.

Oppgaver 1.28 Finn kvadratroten av a) 9 b) 25 c) 16 d) 36 e) 81 f ) 100

18 Tall og tallforståelse 18

Vi må bruke kalkulator for å regne ut kvadratroten av tall som ikke er kvadrattall.

Bakgrunnsstoff

Oppgavehenvisning

Minn elevene på at de i oppgave 1.30 må kvadrere før de adderer eller subtraherer.

Oppgavebok 1.116–1.122 1.218–1.226 1.310–1.316

Frioppgave

La elevene jobbe sammen i mindre grupper. Her kan det være lurt å repetere begreper som faktor, primtall (primtallsfaktor) og tverrsum.

Alternativ oppgavebok 1.16–1.23

Løsning: 7 7 = 49

Notater ......................................... pffiffiffiffiffiffiffiffi c) 144 pffiffiffiffiffiffiffiffi d) 400

pffiffiffiffiffi e) 85 pffiffiffiffiffiffiffiffi f ) 128

1.30 Regn ut. pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi a) 25 + 81 pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffi b) 36 + 100

pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi c) 25 + 16 pffiffiffi pffiffiffiffiffi d) 9 + 36

pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi e) 81 -- 36 pffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffi f ) 100 -- 121

Tall og tallforståelse

1.29 Regn ut. pffiffiffiffiffi a) 25 pffiffiffiffiffi b) 36

......................................... .........................................

Finn tallet! . . .

Tallet har to faktorer som også er primtall. Kvadratroten av tallet er mindre enn 10. Tallet har tverrsummen 13.

......................................... .........................................

1.31 a) Sidene i et kvadrat er 6,5 cm. Hvor stort er arealet? b) Arealet av et kvadrat er 23,04 cm2 . Hvor lang er siden?

.........................................

1.32 En håndballbane har form som et rektangel som er dobbelt så langt som det er bredt. Arealet av håndballbanen er 800 m2 . Regn ut lengden og bredden av håndballbanen.

.........................................

Håndballcup i Ski

......................................... .........................................

Tall og tallforståelse 19

Begreper

Notater

Negative tall, positive tall

.........................................

Bakgrunnsstoff Regning med fortegnstall har lett for å bli «puggestoff». Men det er fornuftig å gi elevene en viss forståelse. Presenter i alle fall en logisk sammenheng, ved å bruke en induktiv metode, slik at de får muligheten til selv å trekke slutninger. Det er greit å vise sammenhenger mellom 4 3 og 4 ð–3Þ. Det er imidlertid ikke like lett å forklare hvorfor ð–4Þ ð–3Þ gir +12 til svar. Vi har valgt å gjøre dette kort ved å gå rett på sak og presentere reglene eller sammenhengene.

ð–4Þ 3 = –12 ð–4Þ 2 = –8 ð–4Þ 1 = –4 ð–4Þ 0 = 0 ð–4Þ ð–1Þ = 4 ð–4Þ ð–2Þ = 8 ð–4Þ ð–3Þ = 12

Tall og tallforståelse

For å skape større forståelse kan likevel bruk av tabeller være lurt: Regning med fortegnstall Hm ... 5–3=2 5–2=3 5–1=4 5–0=5 5–(–1) = ? 5–(–2) = ?

– 1 ∙3 = – 3 –1∙2=– 2 –1∙1 = –1 –1∙0= 0 – 1 ∙(– 1) = ? – 1 ∙(– 2) = ?

Hva blir svaret på oppgavene? Vi kan legge til og trekke fra negative tall. Jo mindre tall vi legger til, desto mindre tall får vi til svar. Jo mindre tall vi trekker fra, desto større tall får vi til svar. 5+3 5+2 5+1 5+0 5 + ð--1Þ 5 + ð--2Þ 5 + ð--3Þ

= = = = = = =

8 7 6 5 4 3 2

5 -- 3 5 -- 2 5 -- 1 5 -- 0 5 -- ð--1Þ 5 -- ð--2Þ 5 -- ð--3Þ

= = = = = = =

2 3 4 5 6 7 8

Regel

Å trekke fra et negativt tall er det samme som å legge til det tilsvarende positive tallet. Å legge til et negativt tall er det samme som å trekke fra det tilsvarende positive tallet. Hvis vi multipliserer eller dividerer to negative tall med hverandre, blir svaret et positivt tall: --6 ð--3Þ = 18 --3 ð--3Þ = 9

20 Tall og tallforståelse 20

--6 : ð--3Þ = 2 --3 : ð--3Þ = 1

Bakgrunnsstoff

Aktiviteter

Ved regneuttrykk som 5 -- ð–2Þ kommer vi inn på forskjellen mellom regnetegn og fortegn.

Lage regnestykker La elevene jobbe i grupper. Hver gruppe klipper ut kort med tallene fra 1 til 5 samt regnetegn og likhetstegn.

Regnetegn: Fortegn:

Angir hvilken regneart som skal brukes Viser om tallet er negativt eller positivt

–

Det er lurt å vise dette ved hjelp av en tallinje. Elevene lager nå så mange regnestykker med kortene som mulig, og skriver opp regnestykkene med svar.

Eksempel: 5 -- ð--2Þ Her skal vi finne differansen mellom 5 og –2. Vi ser på tallinja at denne differansen er 7. –5 –4 –3 –2 –1 0

Kopieringsoriginal K 1.5

Differansen mellom 5 og –2 er 7.

Når vi multipliserer eller dividerer et positivt tall med et negativt tall, blir svaret et negativt tall. Når vi multipliserer eller dividerer to negative tall med hverandre, blir svaret et positivt tall.

Tall og tallforståelse

Regel

Minus minus = pluss! Minus pluss = minus!

Eksempel 1:5

Regn ut. a) 10 + ð--12Þ b) 10 -- ð--12Þ c) 5 ð--4Þ

d) --5 ð--4Þ e) --20 : 4 f ) --20 : ð--4Þ

Løsning a) 10 + ð--12Þ = 10 -- 12 = --2 b) 10 -- ð--12Þ = 10 + 12 = 22 c) 5 ð--4Þ = --20

d) --5 ð--4Þ = 20 e) --20 : 4 = --5 f ) --20 : ð--4Þ = 5

Stafett: Fortegnstall

Antall deltakere: Grupper på fire og fire Del elevene inn i grupper på fire. La de elevene som strever mest i faget, være nummer 1, og de med høyere kompetanse nummer 4. Klipp opp kopieringsoriginalen i åtte deler. 1) Alle enerne kommer fram og får lapp etappe (oppgave) 1A av læreren. 2) Elev 1 skal nå løse oppgaven sammen med gruppa. 3) Elev 1 går så opp og forklarer eller gir svaret til læreren. 4) Hvis svaret er riktig, mottar elev 1 etappe 2A. 5) Oppgaven løses i gruppa. 6) Elev 2 går opp og forklarer eller gir svaret på 2A til læreren. osv. Løsning: 1A) 1 2A) –4 3A) –20 4A) 9

1B) 2B) 3B) 4B)

–75 9 –6 8

Oppgaver 1.33 Regn ut. a) 5 -- ð--4Þ

b) 9 -- ð--9Þ

c) 10 -- ð--5Þ

d) 50 -- ð--100Þ

1.34 Regn ut. a) 5 + ð--2Þ b) 20 + ð--12Þ

c) 13 + ð--12Þ d) 25 + ð--20Þ

e) --5 + ð--2Þ f ) --5 -- ð--2Þ

g) --10 + ð--8Þ h) --10 -- ð--8Þ

Tall og tallforståelse 21

Sant eller usant Dette er en fin aktivitet å gjøre med hele klassen for å repetere begreper og matematiske uttrykk. Samle alle elevene i midten av klasserommet, og la for eksempel venstre side av rommet representere sant og høyre side usant. Si så påstandene under, og elevene går til den siden (sant eller usant) som de mener er riktig. Her må alle ta et valg. Påstander: 1. Summen av to positive tall er alltid et positivt tall. (S) 2. Tallet 11 er et primtall. (S) 3. Differansen mellom to positive tall er alltid et positivt tall. (U) 4. Tallet 5 har kun to faktorer. (S) 5. Summen av to oddetall blir alltid et oddetall. (U) 6. Produktet av to oddetall blir alltid et partall. (U) 7. Summen av to negative tall er alltid et negativt tall. (S) 8. Tallet 50 er et kvadrattall. (U) 9. Produktet av to negative tall er alltid et positivt tall. (S) 10. Tallet 30 har tre primtallsfaktorer. (S) 11. Halvparten av et negativt tall er et større tall enn utgangspunktet. (S) 12. En potens består alltid av et grunntall og en eksponent. (S) 13. Kvadratroten av et naturlig tall blir alltid et naturlig tall. (U) 14. Et tall på standardform er alltid et produkt av et desimaltall og en tierpotens. (S)

Frioppgave

Her kan elevene jobbe én og én eller to og to. Elevene må finne seg et system for å løse oppgaven. Løsning: 1) 10 – 2 2) 12 – 3 3) 14 – 4 4) 16 – 5 5) 18 – 6 6) 20 – 7 7) 22 – 8

= = = = = = =

8 9 10 11 12 13 14

Totalt 77 gjester

Tall og tallforståelse

Aktivitet

1.35 Regn ut. a) 12 + ð--3Þ b) 12 -- ð--3Þ

c) 12 -- ð+3Þ d) 12 + ð+3Þ

e) 12 + ð--15Þ f ) --20 -- ð--20Þ

g) --9 + ð--17Þ h) --14 -- ð--6Þ

1.36 Hvilket av svarene er riktig? A 5 -- ð--5Þ -- ð+1Þ = 1 B 5 -- ð--5Þ -- ð+1Þ = 9

C 5 -- ð--5Þ -- ð+1Þ = 11 D 5 -- ð--5Þ -- ð+1Þ = --1

1.37 Regn ut. a) 5 ð--6Þ

b) --4 6

c) --3 ð--7Þ

d) 5 ð--10Þ

1.38 Regn ut. a) 25 : ð--5Þ

b) --25 : 5

c) --30 : ð--6Þ

d) --42 : 7

1.39 Regn ut. a) 2,5 ð--6Þ

b) 4 ð--2,5Þ

c) --3 1,5

d) --10 ð--3,7Þ

1.40 Regn ut. a) 4 + ð--3Þ -- ð--4Þ b) 5 -- ð--3Þ + ð--4Þ

c) 10 + ð--4Þ -- ð--15Þ d) 50 + ð+50Þ -- ð--100Þ

1.41 Regn ut. a) 15 -- ð+17Þ b) --2 -- ð+2Þ

c) 50 -- ð--50Þ + ð--25Þ d) --100 -- ð+100Þ -- ð--100Þ + ð--100Þ

1.42 Skriv av og sett de riktige tallene inn i rutene. a) 5 ð--7Þ = & c) & ð--8Þ = --80 b) --3 & = 21 d) --10 ð--10Þ = &

Til en teltplass på en øy kom det 10 gjester den første dagen teltplassen var åpen for sesongen. 2 gjester dro tilbake den samme kvelden. Den andre dagen kom det 12 gjester, men 3 dro tilbake samme kveld. Dette mønsteret fortsatte. Hvor mange gjester var det på teltplassen ved slutten av den syvende dagen?

22 Tall og tallforståelse 22

Oppgavehenvisning

Begreper

Oppgavebok 1.123–1.130 1.227–1.230 1.317–1.321

Forhold, forkorte

Bakgrunnsstoff Alternativ oppgavebok 1.24– 1.29

Her kan du godt minne om at målestokk også er et forhold. Målestokken (forholdet) 1 : 100 betyr for eksempel at 1 cm på en tegning svarer til 100 cm i virkeligheten. I dagligtalen brukes begrepet forhold ofte på en annen måte enn i matematikken. Eksempler: – vi må se på oppgavene i forhold til planen – i forhold til ansvaret er ikke lønnen så høy osv. I matematikk er det entydig: forhold er et tall som vi finner ved divisjon.

Vi blander i forholdet én til fem!

Tall og tallforståelse

Forhold

Notater ......................................... ......................................... ......................................... .........................................

Hva vil det si å blande i forholdet én til fem? Når vi blander saft og vann i forholdet én til fem, blander vi én del saft med fem deler vann. Det kan for eksempel være 1 dL saft og 5 dL vann.

.........................................

Ettersom 10 dL er fem ganger så mye som 2 dL, kan vi også blande 2 dL saft og 10 dL vann. Forholdet mellom mengden av saft og mengden av vann blir også da én til fem.

.........................................

Forholdet én til fem kan vi skrive slik: 1 : 5 eller

1 5

.........................................

Brøkstreken er her det samme som et divisjonstegn. Når vi skal finne forholdet mellom to størrelser, forkorter vi brøken så mye som mulig.

.........................................

Regel

Vi finner forholdet mellom to tall ved å dividere tallene med hverandre.

Tall og tallforståelse 23

Bakgrunnsstoff Det er viktig å presisere for elevene at vi alltid må ha samme benevning når vi regner med forhold.

Notater

.........................................

Tall og tallforståelse

.........................................

Eksempel 1:6

Hanna bor 12 km fra skolen, mens Simen bor 3 km fra skolen. Hva er forholdet mellom 12 km og 3 km? Løsning 12 km 12 4 = = 3 km 3 1

Husk! I noen av oppgavene må du gjøre om til samme benevning.

Forholdet er 4 : 1

.........................................

Oppgaver

.........................................

1.43 Finn forholdet mellom størrelsene. a) 2 km og 10 km b) 3 bøtter og 12 bøtter c) 500 kr og 250 kr e) 2 cm og 20 cm d) 15 kg og 45 kg f ) 4 cm og 80 000 cm 1.44 Finn forholdet mellom størrelsene. a) 500 kr og 125 kr d) 12 km og 3 cm b) 4 cm og 1 m e) 50 øre og 50 kr c) 3 g og 12 kg f ) 500 km og 5 cm

......................................... .........................................

1.45 Simen blander 2 dL iste med 16 dL vann. Sara blander 3 dL iste med 27 dL vann. Hvem lager den sterkeste blandingen?

.........................................

1.46 Martin tjener 360 kr på 4 timer. Hanna arbeider i 5 timer. Hvor mye må Hanna få i lønn hvis hun skal tjene like mye per time som Martin?

.........................................

1.47 Elevene i 9A solgte vafler for 375 kr. Det er 25 elever i gruppa. I 9B er det 28 elever. Hvor mye må elevene i 9B selge vafler for hvis de skal selge like mye i forhold til elevtallet?

24 Tall og tallforståelse 24

Bakgrunnsstoff

Kopieringsoriginal

Når vi skal regne med forhold, kan vi ikke uten videre sammenlikne med målestokk som på side 23. I dette avsnittet er det viktig å fokusere på hvordan vi deler en mengde i et bestemt forhold. Det vil si at hvis forholdet er 1 : 3, så er det snakk om 4 deler til sammen.

K 1.6

Det er jo nettopp det som er problemet for elevene. Når forholdet er 2 : 5, så er det 2 deler av den ene og 5 deler av den andre, til sammen 7 deler.

Vi regner med forhold i mange sammenhenger, for eksempel – når vi blander saft og vann – når vi blander sement og sand – når vi får lønn i forhold til den tiden vi arbeider

Tall og tallforståelse

Regning med forhold

Martin og Lotte hjalp naboen med å male huset. Martin arbeidet i 10 timer og Lotte i 8 timer. For dette fikk Martin 750 kr og Lotte 600 kr. Vi regner ut timelønnen: Martin: Lotte:

Antall deltakere: Grupper på fire og fire Del elevene inn i grupper på fire. La de elevene som strever mest i faget, være nummer 1, og de med høyere kompetanse nummer 4. Klipp opp kopieringsoriginalen i åtte deler. 1) Alle enerne kommer fram og får etappe (oppgave) 1A av læreren. 2) Elev 1 skal nå løse oppgaven sammen med gruppa. 3) Elev 1 går så opp og forklarer eller gir svaret til læreren. 4) Hvis svaret er riktig, mottar elev 1 etappe 2A. 5) Oppgaven løses i gruppa. 6) Elev 2 går opp og forklarer eller gir svaret på 2A til læreren. osv. Løsning: 1A) 1 : 10 2A) 8 : 1 3A) 640 kr 4A) 30 dL = 3 L 1B) 2B) 3B) 4B)

750 kr : 10 = 75 kr 600 kr : 8 = 75 kr

Stafett: Forhold

1:3 Trine: 200 kr, Lise: 600 kr 2 kg 125 kg

Det betyr at forholdet mellom 750 og 10 er det samme som forholdet mellom 600 og 8. Martin og Lotte har derfor fått like mye betalt i forhold til de timene de har arbeidet, selv om de har fått forskjellige kronebeløp. Eksempel 1:7

Herman arbeider i 3 timer, og Sara arbeider i 4 timer. De får 770 kr til sammen for dette arbeidet. Hvor mye får hver av dem? Løsning Herman arbeider: Sara arbeider: Til sammen:

3 timer 4 timer 7 timer

Lønnen for én time blir: 770 kr : 7 = 110 kr Herman får: 3 110 kr = 330 kr Sara får: 4 110 kr = 440 kr Vi kontrollerer svaret: 330 kr + 440 kr = 770 kr

Tall og tallforståelse 25

Aktiviteter

Oppgavehenvisning

A4-arkets oppbygning Her kan elevene jobbe to og to og utforske A4-arket. Gode oppgaver kan være: • Regn ut forholdet mellom langsiden og kortsiden. • Brett arket på midten slik at dere får et A5-ark. Regn ut forholdet mellom sidene. • Legg to A4-ark ved siden av hverandre slik at dere får et A3-ark. Regn ut forholdet mellom sidene. • Et A0-ark er dobbelt så stort som et A1-ark, som igjen er dobbelt så stort som et A2-ark. Arealet av et A0-ark er 1 m2. Finn ut om dette stemmer ved hjelp av A4-ark eller ved regning.

Oppgavebok 1.131–1.136 1.231–1.240 1.322–1.325

Etterarbeid og undring: Utregningene bør gjøres ved hjelp av et regneark. • Hvor mye høyere/tykkere blir hver brett? (dobbelt så høy) • Hvor tykt er et A4-ark? (ca. 0,1 mm = 0,0001 m) • Hvor mange bretter trenger vi for å nå – 1 m (mellom brett 13 og 14) – Mt. Everest (mellom brett 26 og 27) – Månen (ved brett 42) Sola (ved brett 50) • Ved hvilken brett er vi halvveis til sola? (ved brett 49)

Tall og tallforståelse

Hvor mange ganger klarer du å brette et A4-ark? Det sies at det ikke går an å brette et ark mer enn syv ganger. La elevene prøve selv, og se hvor mange ganger de klarer. På YouTube ligger det en film hvor Myth Busters tar for seg denne myten. Etter at elevene har prøvd, kan dere se denne filmen sammen.

Alternativ oppgavebok 1.30–1.36

Oppgaver 1.48 Martin og Lotte skal dele 450 kr i forholdet 4 : 5. Hvor mye får hver av dem? 1.49 Sara og Herman skal dele et overskudd fra et loddsalg. Sara solgte 50 lodd, og Herman solgte 75 lodd. Overskuddet var 150 kr. a) Regn ut forholdet mellom antallet lodd Sara og Herman solgte. b) Hvor stor del av overskuddet fikk hver av dem? 1.50 Simen skal fylle 2 dL olje og 48 dL bensin på mopeden. Hanna skal fylle olje og bensin i samme forhold.

a) Regn ut forholdet mellom mengden av olje og mengden av bensin. b) Hvor mange desiliter bensin må Hanna fylle hvis hun bruker 1 dL olje? 1.51 Sara skal blande iste og vann i forholdet 1 : 9. Hun vil bruke 2 dL iste i blandingen. Hvor mange desiliter ferdigblandet iste får hun? 1.52 I en oppskrift på hasselnøttbrød står det blant annet at vi skal bruke 7 dL grovt rugmel og 6 dL hvetemel Herman skal lage en brøddeig med 9 dL hvetemel. Hvor mye rugmel må Herman bruke hvis forholdet mellom mengden av hvetemel og mengden av rugmel fortsatt skal være det samme?

26 Tall og tallforståelse 26

Pluss-form:

Begreper Trekanttall, kvadrattall

Bakgrunnsstoff Temaet i dette avsnittet er trekanttall og tallrekker satt opp etter et bestemt system. Det er sikkert nødvendig å repetere kvadrattall også. Vi tror elevenes tallforståelse vil øke ytterligere om de får anledning til å utforske tallmønster, og de må gjerne finne andre typer tallmønster enn nevnt her. Rektangeltall:

Fugler som flyr i V-form:

Fins det en formel? Det å finne en formel for slike figurer, kan være vanskelig. Et hint er å finne et system i økningen. Rektangel: Pluss-form: V-form:

Tall og tallforståelse

Figurtall og tallrekker

Fn ¼ 2n Fn ¼ 4n Fn ¼ 3n + 2

Aktiviteter En fin aktivitet her er å bruke fyrstikker:

Hvilke tall får vi videre etter dette mønsteret? Hvis vi fortsetter å legge ut brikker etter det samme mønsteret, får vi følgende figurer og tall: & & && & && &&& & && &&& &&&& & && &&& &&&& &&&&& 1 3 6 10 15 osv. Antall brikker er: 1 brikke 3 brikker ð1 + 2Þ 6 brikker ð1 + 2 + 3Þ 10 brikker ð1 + 2 + 3 + 4Þ 15 brikker ð1 + 2 + 3 + 4 + 5Þ osv.

Husk! 1, 4, 9, 16 osv. kaller vi kvadrattall.

Snakk med elevene om hvordan de kan finne et mønster.

Tallene 1, 3, 6, 10, 15 osv. kaller vi trekanttall fordi vi kan illustrere disse tallene i et geometrisk trekantet mønster. Tallene 1, 3, 6, 10 og 15 er de fem første trekanttallene.

Tall og tallforståelse 27

Bakgrunnsstoff

Aktiviteter

For mer utdyping kan det være interessant for elevene å undersøke fibonaccitallene (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …) eller kubikktall (1, 8, 27, 64, …).

Nim Elevene arbeider sammen to og to. Legg 21 fyrstikker eller noe annet etter hverandre. Spillerne trekker annen hver gang én, to eller tre fyrstikker. Den som trekker den siste fyrstikken, har tapt! Forsøk å finne den beste strategien for å vinne.

Kopieringsoriginal K 1.7

Hvilket skal ut? Tall og tallrekker

Den som må trekke den siste fyrstikken, har tapt.

De fire opplysningene er: 5 ! primtall, oddetall, delelig med 5 10 ! trekanttall, partall, delelig med 2 og 5 15 ! trekanttall, oddetall, delelig med 2, 3 og 5 21 ! oddetall, delelig med 3 og 7

II) De fire opplysningene er: ! potens med grunntall 2 og a) 23 eksponent 3, svar: 8 b) 2 3 ! multiplikasjon av faktorene 2 og 3, svar: 6 c) 6 ! faktorer 2 og 3, svar: 6 pffiffiffiffiffi d) 36 ! kvadratrot, svaret har faktorene 2 og 3, svar: 6

Tall og tallforståelse

I) a) b) c) d)

Start her

Vi kan lage andre tallrekker ved å bruke et bestemt system eller mønster. Systemet vi bruker, kan være addisjon, subtraksjon, multiplikasjon eller divisjon mellom leddene i rekken. Her er noen eksempler på hvordan vi kan bygge opp tallrekker: Ved addisjon: 1 3 +2

5 +2

Ved subtraksjon: 12 7 –5

7 +2

–5

Ved multiplikasjon: 1 3 9 3

Ved divisjon: 64 32 2

–5

16 2

1+2

–8

81 3

8 2

Ved summering av ledd: 1 1 2 1+1

–3

–5

4 2

2+3

Vær oppmerksom på at tallrekker også kan være lagd etter flere enn ett mønster. Prøv å finne ut hvordan tallrekkene er bygd opp når du løser oppgavene på neste side. Oppgaver

28 Tall og tallforståelse 28

1.53 Hvilke av tallene er kvadrattall? A 9 C 50 B 36 D 81

E 20 F 144

G1 H 169

1.54 Hvilke av tallene er trekanttall? A 10 C 20 B 15 D 25

E 21 F 100

G 28 H 50

Kopieringsoriginal

Frioppgave

K 1.8

La elevene prøve seg litt selv før de snakker sammen to og to.

10 rette: Tall og tallforståelse

Antall deltakere: Én og én eller to og to La elevene avgjøre hvilket svaralternativ som er det riktige.

Her bør elevene også få prøve seg fram med noen eksempler siden det ikke står noe om hvilken plassering tallene skal ha.

Oppgavehenvisning Løsningsforslag:

Oppgavebok 1.137–1.140 1.241–1.247 1.326–1.329

–5 – (–2) = –5 + 2 = –3 –2 – (–5) = –2 + 5 = 3

Øving før kapittelprøve

Tall og tallforståelse

1.55 Hvilke av tallene er ikke kvadrattall? A 16 C 14 E 20 B 8 D 18 F 24

G 36 H 38

1.56 Se på regnestykkene nedenfor. Fortsett fire linjer til etter det samme systemet. Skriv en regel ut fra den sammenhengen du ser. 1 = 1 = 12 1 + 3 = 4 = 22 1 + 3 + 5 = 9 = 32 1.57 De seks første trekanttallene er 1, 3, 6, 10, 15 og 21. Legg sammen a) det første og det andre trekanttallet b) det andre og det tredje trekanttallet. c) det tredje og det fjerde trekanttallet

Faktor Digital: åpen elevside, faktor.cdu.no • Øvingsoppgaver i tre kategorier • Videogjennomgang av kapittel 1 med oppgaver (Omvendt undervisning) • Digital kapittelkartlegger (Digital versjon av Prøv deg selv.) Faktor Digital: lærersider med innlogging, faktor.cdu.no • Målark til «Prøv deg selv» • Kapittelprøve 1 • Vurderingsskjema til kapittelprøve • Faktornøtter

d) Hva slags tall får du i oppgave a, b og c? 1.58 Skriv de tre neste tallene i tallrekkene. & & a) 1 4 9 b) 1 2 4 7 11 & c) 2 4 8 16 & d) 2 6 18 54

& & & &

1.59 Skriv av og sett inn tallene som mangler i tallrekkene. & & & a) 2 4 8 & & b) 1 4 8 13 & & & c) 1 9 25

& & &

128 34 169

Hva kan differansen mellom to negative tall bli?

1.60 Se på regnestykkene nedenfor: 1 1 = 12 = 1 11 11 = 112 = 121 111 111 = 1112 = 12321 Ser du et system som gjør at du raskt kan finne ut hvilket tall 11 1112 er?

Tall og tallforståelse 29

Fasit Prøv deg selv

Notater .........................................

1 a) 3 b) 54

c) 2 d) 73

2 a) 1000 b) 27

c) 625 d) 256

.........................................

3 a) 105 b) 47

c) 55 d) 103

.........................................

4 a) 53 b) 104

c) 72 d) 21 = 2

.........................................

+ + + + + + +

5 102 + 6 101 2 103 + 8 102 5 100 0 103 + 4 102 6 100 2 104 + 0 103 0 101 þ 3 100

6 a) 2; 4 104 b) 5; 4 105

+ 3 100 +

......................................... + +

c) 7; 6 108 d) 5; 01 1010

.........................................

7 a) 16 cm b) 81 cm2

c) 49 cm d) 12,96 cm2

8 a) 4 b) 49

c) 1 d) 0,25

Tall og tallforståelse

5 a) 3 103 b) 1 104 7 101 c) 2 104 5 101 d) 1 105 5 102

.........................................

Prøv deg selv 1

9 a) 8 b) 9 10 a) 20,25 cm

c) 11 d) 11 2

11 a) 9 b) 0 c) 8

Regn ut potensen. b) 33 a) 103

c) 54

d) 28

Skriv svaret som én potens. a) 103 102 b) 43 44

c) 53 52

d) 102 10

Skriv svaret som én potens. a) 55 : 52 b) 106 : 102

c) 74 : 72

d) 25 : 24

Skriv tallene på utvidet form ved å bruke potenser av 10. a) 3563 b) 12 875 c) 20 456 d) 120 503

Skriv tallene på standardform. a) 24 000 b) 540 000

c) 760 000 000 d) 50 100 000 000

Regn ut arealet av et kvadrat når sidene i kvadratet er a) 4 cm b) 9 cm c) 7 cm d) 3,6 cm

Regn ut x 2 . a) x = 2

b) x = 7

Regn ut. pffiffiffiffiffi a) 64

30 Tall og tallforståelse

c) 2 2 2 2 2 d) 7 7 7

b) 3,6 m d) 16 e) –5 f) 26

Skriv som én potens. a) 3 3 b) 5 5 5 5

pffiffiffiffiffi 81

c) x = 1

a) Sidene i et kvadrat er 4,5 cm Hvor stort er arealet? b) Arealet av et kvadrat er 12,96 m2 . Hvor lange er sidene?

Regn ut. a) 4 -- ð--2Þ + 3 b) 15 + ð--5Þ -- 10 c) --20 -- ð--30Þ -- 2

pffiffiffiffiffiffiffiffi 121

d) x = 0,5

pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi 16 + 49

d) 23 -- ð12 -- 5Þ e) ð12 -- 4Þ -- ð15 -- 2Þ f ) ð7 -- 4 + 23Þ -- 3 + ð6 -- 3Þ

12 a) –6 b) –50 c) 32

d) 4 e) –5 f) –5

13 a) 20 dL

b) 1 : 5

Notater ......................................... .........................................

14 a) 30 skuffer 15 a) 1 b) 1 c) 1

4 9 1 2 3 6

b) 24 skuffer 16 3 10

25 5 15

.........................................

36 8 13 21

.........................................

16 Tallene 16, 4, 25 og 36 er kvadrattall. Tallene 21, 10 og 6 er trekanttall.

Regn ut. a) --2 3 b) 5 ð--10Þ

c) --4 ð--8Þ d) --32 : ð--8Þ

e) 45 : ð--9Þ f ) --45 : 9

Lotte blander 2 dL iste med 10 dL vann. a) Hvor mange desiliter ferdigblandet iste får Lotte? b) Regn ut forholdet mellom volumet av iste og volumet av vann.

Murer Sand blander sement og sand i forholdet 1 : 5. Han har 6 skuffer sement i blandemaskinen.

Tall og tallforståelse

......................................... ......................................... .........................................

a) Hvor mange skuffer sand har mureren i blandemaskinen? b) En annen gang har mureren 20 skuffer sand i blandemaskinen. Hvor mange skuffer sement og sand har han da til sammen i blandemaskinen?

......................................... ......................................... ......................................... .........................................

Pantheon i Roma (bygd i år 118–125) har en selvbærende kuppel av betong.

Hvilke tall mangler a) 1 4 b) 1 1 c) 1 3

i tallrekkene? & 9 2 3 & 6

......................................... & & &

36 & 21

Hvilke av tallene er kvadrattall, og hvilke av tallene er trekanttall? 16 4 21 25 10 36 6

Tall og tallforståelse 31

Fasit Noe å lure på

Notater .........................................

1 Til 6 dL saft trenger vi 6 9 dL = 54 dL vann. Ferdigblandet saft til sammen: 6 dL + 54 dL = 60 dL = 6 L 2 Den neste rekka blir 13 + 15 + 17 + 19 = 43 Summen av fire oddetall etter hverandre gir 43. Summen av de fem neste oddetallene blir 53, osv.

Tall og tallforståelse

3 a) Ca. 400 : 1 b) Ca. 1 : 400 c) Ettersom forholdet mellom avstanden og diameteren er tilnærmet lik, vil månen kunne dekke hele sola, dvs. at det blir total solformørkelse.

.........................................

Noe å lure på 1

En flaske inneholder 6 dL saft. Simen skal blande saft og vann ved å bruke 1 del saft og 9 deler vann. På flasken står det at det kan bli 6 liter ferdigblandet saft. Forklar hvorfor det er riktig.

Se på utregningene nedenfor. 1 = 13 3 + 5 = 23 7 + 9 + 11 = 33 Hvordan fortsetter dette mønsteret?

Avstanden fra jorda til månen er ca. 380 000 km, og avstanden fra jorda til sola er ca. 150 000 000 km. Månens diameter er ca. 3480 km, og solas diameter er ca. 1 400 000 km. Regn ut forholdet mellom a) avstanden fra jorda til sola og avstanden fra jorda til månen b) diameteren til månen og diameteren til sola c) Hva har svarene i a) og b) å si for en solformørkelse?

32 Tall og tallforståelse 32

4 5 cm2

8 Sudoku

5 2 6 0,0000025 7 a)

1 1 1 3

1 1

1 3

1 2

1 4

1 5

b) Dette kalles Pascals trekant. Trekanten bygges opp med 1-ere på kantene. Hvert tall innenfor 1-erne er summen av de to tallene som ligger i raden over, til høyre og til venstre for tallet.

Notater pffiffiffi Sidene i et kvadrat er 5 cm. Regn ut arealet av kvadratet.

Regn ut

Vi vet at 2,5 106 = 2 500 000. Men hva er 2,5 10 -- 6 ?

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi pp ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffiffiffiffiffiffiffiffi 256.

......................................... Tall og tallforståelse

.........................................

a) Hvordan fortsetter dette mønsteret? 1 1 1 1 1

.........................................

3 4

.........................................

1 2

1 3

1 4

.........................................

b) Hva kjennetegner tallene du finner?

.........................................

Tegn av og plasser tallene 1, 2, 3, 4, 5 og 6 slik at alle rader, kolonner og bokser (2 3Þ inneholder disse tallene. Samme tall kan ikke opptre to ganger i en rad, kolonne eller i en boks.

.........................................

4 5

3 1 1 4

.........................................

2 5

.........................................

1 6 3

Sudoku

Tall og tallforståelse 33

.........................................

Tall og tallforståelse

.........................................

Oppsummering Potenser Når vi multipliserer tall som er like store, kan vi skrive dem som en potens. 5 5 5 5 5 5 = 56 x x x = x3 Når vi multipliserer potenser som har samme grunntall, blir svaret en potens med det samme grunntallet. Eksponenten i svaret blir summen av eksponentene i de potensene vi multipliserer.

.........................................

2 3 24 = 2 3 + 4 = 2 7 x3 x2 = x3 + 2 = x5

.........................................

Når vi dividerer potenser som har samme grunntall, blir svaret en potens med det samme grunntallet. Eksponenten i svaret blir eksponenten i telleren minus eksponenten i nevneren.

.........................................

56 = 56 -- 2 = 54 52 x 6 : x 2 = x 6 -- 2 = x 4

.........................................

Tall på standardform Tall kan skrives på vanlig form eller på standardform. Vanlig form: 450 000 000 Standardform: 4,5 108

.........................................

Kvadrattall Hvis x er et helt tall, kaller vi x 2 et kvadrattall.

.........................................

5 5 = 52 = 25 25 er et kvadrattall.

Kvadratrot Kvadratroten av et tall x er det positive tallet som multiplisert med seg selv gir tallet x. pffiffiffiffiffi 25 = 5 fordi 5 5 = 25

34 Tall og tallforståelse 34

Notater ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... Å legge til et negativt tall er det samme som å trekke fra det tilsvarende positive tallet. 10 + ð--7Þ = 10 -- 7 = 3

Tall og tallforståelse

Regning med fortegnstall

......................................... .........................................

Å trekke fra et negativt tall er det samme som å legge til det tilsvarende positive tallet. 10 -- ð--7Þ = 10 + 7 = 17

.........................................

Når vi multipliserer et positivt tall og et negativt tall, blir svaret et negativt tall. 25 ð--5Þ = --125

.........................................

Når vi dividerer et positivt tall med et negativt tall, blir svaret et negativt tall. 25 : ð--5Þ ¼ --5

.........................................

Når vi multipliserer to negative tall, blir svaret et positivt tall. --25 ð--5Þ = 125

.........................................

Når vi dividerer et negativt tall med et negativt tall, blir svaret et positivt tall. --25 : ð--5Þ = 5

.........................................

Forhold Forholdet mellom to tall finner vi ved å dividere tallene med hverandre. Forholdet mellom 5 og 25 er

.........................................

5 : 25 = 1 : 5

Trekanttall Vi får trekanttall ved å summere naturlige tall fortløpende fra 1 og oppover. 1+2=3 1+2+3=6

3 er et trekanttall 6 er et trekanttall

Tall og tallforståelse 35

Kapittelinnledning Hvert kapittel innledes med en introduksjon som består av en illustrasjon, en liten tekst og en oversikt over hva som er målet med kapitlet. Dette kan danne utgangspunkt for en samtale og bidra til å bevisstgjøre elevene om hva som er hovedintensjonen med kapitlet. Målene er brutt ned og blir tydeliggjort gjennom «Prøv deg selv»oppgavene på side 59. Elevene kan også teste seg selv via digital versjon av «Prøv deg selv», som fins på Faktors elevnettsider.

Digitale ressurser til kapitlet (faktor.cdu.no) • Digital versjon av grunnboka (Tavlebok) • Campus Inkrements verktøy for Omvendt • • • • • • •

Kopieringsoriginaler K K K K

2.1 2.2 2.3 2.4

K 2.5 K 2.6

36 Algebra

Hjørnerebus: Finn siden x Algebraløpet Hvilken skal ut? Likninger Hvilken skal ut? Kvadratiske likninger Stafett: Likninger 10 rette: Algebra

2xei + xei + 5 = 3xei + 5

2x + x + 5 = 3x + 5

2Algebra

......................................... ......................................... .........................................

Det var araberne som først begynte å regne med bokstaver. De brukte ordet «sai» når de regnet med ukjente tall. I middelalderen ble mange bøker oversatt fra arabisk til spansk av spanske munker. De oversatte ordet «sai» med «xei», og etter hver gikk man over til å bruke bare den første bokstaven i ordet «xei», nemlig x, når man regnet med ukjente tall. Derfor er det vanlig å bruke bokstaven x når vi regner med ukjente tall i dag.

Mål I dette kapitlet skal du få lære om . . . . .

enkle algebraiske uttrykk regning med parenteser likninger med en ukjent løsning av ulikheter praktiske problemer med tall og regnemetoder

......................................... .........................................

Han bruker x i stedet for den ukjente!

......................................... ......................................... ......................................... .........................................

Algebra

Begreper Talluttrykk, bokstavuttrykk, algebraiske uttrykk, variabel, ledd, potens

Bakgrunnsstoff Vi bruker begrepet bokstavuttrykk, altså et uttrykk som inneholder bokstaver. Men da er det viktig å presisere at bokstaver i denne sammenhengen ikke er bokstaver i vanlig betydning av ordet, men at de er symboler for tall. Her bør du minne om at for eksempel 3x er det samme som 3 x, og at for eksempel a er det samme som 1a eller 1 a. Drøft også begrepet algebraiske uttrykk. Hva er algebra? Notater

Algebra

.........................................

Bokstavuttrykk Hm, det blir 2x + 7y.

......................................... Jeg vil gjerne ha to x-er og sju y-er.

.........................................

Talluttrykk inneholder bare tall. Uttrykk som inneholder bokstaver, kaller vi for algebraiske uttrykk eller bokstavuttrykk. Bokstavene står da i stedet for tall. Hver bokstav kaller vi en variabel. En variabel er noe som varierer, det betyr at den kan ha forskjellig verdi.

.........................................

2 5 + 7 10 er et talluttrykk. 2x + 7y

er et bokstavuttrykk.

Eksempel 2:1

Familien til Hanna skal på bilferie. De skal kjøre y kilometer. Lag et bokstavuttrykk som viser utgiftene dersom de må beregne 4 kr per kilometer. Løsning Utgiftene i kroner blir: 4y

38 Algebra 38

Bakgrunnsstoff For mange elever er det ikke uten videre greit å komme fram til uttrykket 4y i eksemplet. Hvis utgiftene er 4 kr per kilometer, vil mange tenke slik: For 1 kilometer: 4 kr For 2 kilometer: 4 kr + 4 kr For 3 kilometer: 4 kr + 4 kr + 4 kr

Først da vil mange elever se at uttrykket må bli 4 y eller 4y.

Ved å sette det opp slik under hverandre, kan dere drøfte hva som er konstant, og hva som varierer. Det som varierer, kan erstattes med en variabel: 4 1 4 2 4 3 … Notater ......................................... 2.1

Forklar forskjellen på talluttrykk og bokstavuttrykk.

2.2

Hvilke av regneuttrykkene er talluttrykk og hvilke er bokstavuttrykk? A 235 -- 34 B 3x 5 C 15 -- y D 2ð5 + 4Þ

2.3

I en kiosk koster en brus 15 kr og et skolebrød 19 kr. Sara handler 3 flasker brus og 2 skolebrød. Hvilket talluttrykk viser hvor mye Sara må betale? A 15 + 3 + 19 + 2 C 15 3 19 2 B 15 3 + 19 + 2 D 15 3 + 19 2

2.4

Skriv et bokstavuttrykk som viser a) x multiplisert med 3 b) summen av 2x og 3y c) differansen mellom 2x og 3

2.5

Lotte kjøper smågodt til 99 kr per kg. Lag et bokstavuttrykk som viser hvor mye Lotte må betale for x kg.

2.6

Sara leser n blader hver uke. Hvilket av disse regneuttrykkene viser hvor mange blader Sara leser på 6 uker? A 6 n B 6+n C n -- 6 D n + n 6

Algebra

Oppgaver

Algebra 39

.........................................

Algebra

......................................... 2.7

Herman sykler 2 km hver vei til skolen. Han sykler i x dager. Hva står bokstavuttrykket 4x for?

2.8

Lag et bokstavuttrykk som viser hva som finnes i sirkelen.

.........................................

z x

.........................................

2.9

x y

z z

Lag et bokstavuttrykk som viser omkretsen av figurene. a) b) c) b

.........................................

b a

a b

2.10 Lag et bokstavuttrykk som viser hvor mye Simen må betale for x liter melk, y liter jus og z liter brus til sammen.

......................................... .........................................

14,90 per liter

.........................................

15,90 per liter

13,90 per liter

2.11 Martin svømmer to ganger i uka. Prisen for buss tur–retur svømmehallen er 50 kr, og det koster 60 kr i inngangspenger. Lag et bokstavuttrykk som viser hvor mye Martin må betale for n uker med svømming.

40 Algebra 40

Bakgrunnsstoff Det er svært viktig å øve mye på innsetting av tall i et bokstavuttrykk. Det er et tema som går igjen i hele grunnskolen og i videregående skole. Det viser seg ofte at elever langt opp i høyere klassetrinn ikke har fått med seg hva det egentlig innebærer å erstatte en variabel med et tall. Fokuser på at variabelen representerer et tall, slik som r og d i formler for beregninger i forbindelse med sirkler.

Frioppgave

Her kan elevene godt få prøve seg litt hver for seg før de sammenlikner svarene sine med hverandre.

Først må en finne hvilke mynter en har: 1 kr, 5 kr, 10 kr og 20 kr. Her er noen eksempler på muligheter: 3 20 kr = 60 kr og 3 mynter 6 10 kr = 60 kr og 6 mynter 4 10 kr + 1 20 kr = 60 kr og 5 mynter 2 10 kr + 2 20 kr = 60 kr og 4 mynter 2 5 kr + 5 10 kr = 60 kr og 7 mynter 2 5 kr + 3 10 kr + 1 20 kr = 60 kr og 6 mynter Snakk så med elevene om hvordan de kan finne alle løsningene. Bør de bruke et system? Her er det også aktuelt å komme inn på regnerekkefølgen.

Notater ......................................... Vi regner ut verdien av et bokstavuttrykk ved å sette inn verdien til variablene.

Algebra

Sette tall inn i bokstavuttrykk

2x + 7y = ?

......................................... ......................................... .........................................

Hva blir svaret når x = 4 og y = 2?

......................................... Hvis x = 4 og y = 2 i bokstavuttrykket 2x + 7y, setter vi inn verdien til variablene og regner ut.

.........................................

2x + 7y = 2 4 + 7 2 = 8 + 14 = 22

.........................................

Eksempel 2:2

Regn ut 3a + 2b når a = 5 og b = 6

Løsning 3a + 2b = 3 5 + 2 6 = 15 + 12 = 27

......................................... .........................................

Oppgaver 2.12 Sett inn x = 8 og y = 7. Regn ut. a) x + y b) 2x + 6y c) 4y – 4x

d) 4x + 3y

Martin har færre enn åtte mynter i lomma. Til sammen har han 60 kroner. Hvilke mynter kan Martin ha i lomma?

Algebra 41

Bakgrunnsstoff Det er viktig å vise sammenhengen mellom tallregning og regning med bokstavuttrykk (algebraiske uttrykk). Det vil skape mer forståelse for algebra. Dette gjelder også det neste avsnittet på side 44. Det er vel ikke noen prinsipiell forskjell mellom • 5 tiere + 2 tiere = 7 tiere og 5x + 2x = 7x • 7 enere – 3 enere = 4 enere og 7x–3x = 4x osv.

K 2.1

Hjørnerebus: Finn siden x

Antall deltakere: Grupper på fire og fire Opplysningene legges på fire ulike steder i klasserommet. Elevene, som er inndelt i grupper, henter hver sin opplysning og returnerer til sin gruppe. Her sammenfatter de det de har fått av opplysninger, og løser oppgaven. De fire opplysningene er: – Figuren er en firkant. – To av sidene er like lange. – Omkretsen er 37 m. – Den korteste siden er 5 m.

......................................... .........................................

Algebra

Kopieringsoriginaler

2.13 a) Lag et bokstavuttrykk for omkretsen av figuren. b) Regn ut omkretsen av figuren når 1 a = 2, b = 3 og c = 1 2 a = 4, b = 6 og c = 2 a 3 a = 8, b = 12 og c = 4

2.14 Sara er x år eldre enn Aurora, som er 13 år. a) Skriv et bokstavuttrykk som viser hvor gammel Sara er. b) Hvor gammel er Sara hvis x = 4? 2.15 Regn ut omkretsen O av figurene når a = 3 cm, b = 4 cm, c = 5 cm, d = 4 cm, g = 4 cm og h = 3 cm. c) O = g + h + c a) O = 2a + 2b b) O = d

Løsning: 10 m, 10 m, 12 m og 5 m

c h

b g

2.16 Sett inn x = 3, y = 4 og z = 2 og regn ut. y 4x 2x + y b) a) c) z y z

2x + 2y x z

Regning med bokstavuttrykk Vi kan regne med variabler på samme måte som vi regner med tall. Vi vet at 2 + 2 + 2 = 3 2 6 + 6 + 6 = 3 6 På samme måte er x + x + x = 3 x a + a + a = 3 a 3 a = 3a

42 Algebra 42

Husk! Vi sløyfer gangetegnet mellom tall og bokstaver (variabler).

Kopieringsoriginal

Notater

K 2.2

.........................................

Algebraløpet

Antall deltakere: To og to Se kopieringsoriginalen for instruksjoner.

Vi ordner bokstavleddene i svaret etter alfabetet. 4x + 2y -- 2x + 3y = 4x -- 2x + 2y + 3y = 2x + 5y

Algebra

Når vi har bokstavuttrykk med flere variabler, trekker vi sammen ledd med for eksempel x og y hver for seg.

Regel

......................................... .........................................

Når vi skal trekke sammen et bokstavuttrykk, adderer eller subtraherer vi ledd med like variabler.

......................................... Eksempel 2:3

Regn ut.

.........................................

a) 7y + 3y – y b) 4a + 6b – 2a + 3b Løsning a) 7y + 3y – y = 9y

.........................................

b) 4a + 6b – 2a + 3b = 4a – 2a + 6b + 3b = 2a + 9b

......................................... Oppgaver 2.17 Regn ut. a) x + x + x + x b) b + b + b

c) a + a + a + a d) xy + xy + xy

.........................................

2.18 Regn ut. a) 2b + 2b b) 4x + 7x c) 11a – 7a

d) 4y + 2y + 3y e) 2a + b + a + 4c -- 3b f ) 3x + y + z -- 4x + 3z

.........................................

2.19 Regn ut. a) x + y + 3x + 5y b) 5b + 2a + 4a – 2b c) 3ab – 2ab + 3ab + 3ab

d) 3a + 4b + 4a – 6b e) 2xy + 4ab + 6xy -- 8ab f ) 12ab -- 9xy -- 9ab + 3xy

Algebra 43

Bakgrunnsstoff Som på side 42 kan du også her understreke sammenhengen mellom tallregning og regning med bokstavuttrykk. • 3 3 = 32 og x x = x 2 • 5 5 5 = 53 og x x x = x 3 osv.

Notater

.........................................

Algebra

......................................... Potenser og bokstavuttrykk På samme måte som vi kan skrive tall som potens, kan vi også gjøre det med variabler. 4 4 4 = 43 x x x = x3 Vi multipliserer og dividerer potenser med samme variabel på samme måte som med tall.

.........................................

5 3 54 = 5 3 + 4 = 5 7 a3 a4 = a3 + 4 = a7

.........................................

76 : 74 = 76 -- 4 = 72 y 6 : y 4 = y 6 -- 4 = y 2 Eksempel 2:4

.........................................

Regn ut.

.........................................

a) a6 a2

d) ab ab

b) 2y 3 3y 2

e) 2x 3 + x + x

c) x 7 : x 5 Løsning

.........................................

a) a6 a2 = a6 + 2 = a8

d) ab ab = ðabÞ2

b) 2y 3 3y 2 = 2 3 y 3 + 2 = 6y 5

e) 2x 3 + x + x = 2x 3 + 2x

c) x 7 : x 5 = x 7 -- 5 = x 2

.........................................

(ab )² =

a²b ²

Oppgaver 2.20 Skriv svaret som én potens. a) y y b) a a a a c) x x x x x x d) ab ab ab

.........................................

44 Algebra 44

2.21 Skriv svaret som én potens. b) a2 a8 a) y 4 y 3

c) b4 b3 b2

d) x x 6 x 3

2.22 Skriv svaret som én potens. a) a4 : a2 b) x 8 : x 4

c) y 5 : y 5

d) ð2aÞ9 : ð2aÞ5

Bakgrunnsstoff I dette avsnittet vil tallregning skille seg fra algebra. Det kan være lurt å vise elevene disse oppgavene: A 4(10 – 2) B 4(10x – 2y) I den første oppgaven kan vi trekke sammen inne i parentesen først: 4ð10 -- 2Þ = 4 8 = 32 I den andre oppgaven kan vi ikke trekke sammen inne i parentesen, og vi må multiplisere 4 med hvert av leddene i parentesen: 4(10x – 2y) = 40x – 8y

Det kan ofte være lettest å se hva som skjer når man setter utregningen under hverandre slik som ovenfor. Dette kunne du selvfølgelig gjort i den første oppgaven også og fått det samme svaret: 4(10 – 2) = 40 – 8 = 32 På den måten kan du sammenlikne og vise at det blir riktig å multiplisere med hvert ledd når vi multipliserer et tall eller et bokstavuttrykk med en parentes. Vi mener at det er viktig å påpeke både likheter og forskjeller mellom tallregning og algebra.

Notater ......................................... c) 7ðabÞ2 8ab d) 3x 2x 2 4x 3

2.24 Trekk sammen. a) y 4 + y 2 + y 2 b) 3x -- 2x 2 + x þ 2x 2

c) 3a + 3a2 + a -- 2a2 d) 3x + 2x 2 + 4x 3

2.25 Regn ut. a) 2ab 6ab b) 4b : 4b

c) 5z 2 4yz 3 d) 3y x 4 3y 3 2x 5

x ¹= x¹ˉ¹ = x˚ =1 x¹

Algebra

2.23 Regn ut. a) 3b 5b b) 3x 2 5x 3

......................................... ......................................... .........................................

Parenteser og bokstavuttrykk Når vi skal trekke sammen bokstavuttrykk som inneholder parenteser, løser vi opp parentesene på denne måten:

.........................................

Positivt fortegn: +ð4x + 3xÞ = 4x + 3x = 7x +ð4x -- 3xÞ = 4x -- 3x = x Negativt fortegn: --ð4x + 3xÞ = --4x -- 3x = --7x --ð4x -- 3xÞ = --4x + 3x = --x

.........................................

Legg merke til at vi bytter fortegn inne i parentesen når det står et minustegn foran parentesen.

.........................................

Regel

Når vi løser opp parenteser med plusstegn foran, forandrer vi ikke fortegnene inne i parentesen.

.........................................

Når vi løser opp parenteser med minustegn foran, forandrer vi fortegnet foran hvert ledd inne i parentesen.

.........................................

Hvis det står et tall eller bokstavuttrykk foran parentesen, multipliserer vi dette med hvert ledd inne i parentesen. Hvis tallet eller bokstavuttrykket er negativt, må vi også forandre fortegn. Positivt fortegn: 5ð2a + 4aÞ = 5 2a + 5 4a = 10a + 20a = 30a Negativt fortegn: --5ð2a + 4aÞ = --5 2a -- 5 4a = --10a -- 20a = --30a

Algebra 45

Frioppgave

La elevene jobbe én og én eller to og to. Denne oppgaven kan være litt vanskelig, men –5x i første etasje er lettest å se. Løsningen i de andre tomme rutene kan variere, så snakk litt om hva det kan stå under x i øverste etasje. Her er én mulig løsning: x –2x 3x –3x x 2x 2x –5x 6x –4x

La også elevene lage egne pyramider som for eksempel sidepersonen kan prøve å løse. Her kan også kopieringsoriginal 1.12 i Faktor 8 brukes.

Oppgavebok 2.101–2.118 2.201–2.226 2.301–2.313

Algebra

Oppgavehenvisning

Regel

Vi multipliserer et tall eller bokstavuttrykk med en parentes ved å multiplisere med hvert ledd inne i parentesen. Hvis tallet eller bokstavuttrykket er negativt, må vi også forandre fortegn. Eksempel 2:5

Regn ut. Skriv svaret så enkelt som mulig. a) -- ð3a -- aÞ

Alternativ oppgavebok 2.1–2.22

Løsning a) --ð3a -- aÞ = --3a + a = --2a

b) 4xð2x--3Þ

c) --2að2a--3aÞ

b) 4xð2x -- 3Þ = 4x 2x -- 4x 3 = 8x 2 -- 12x

c) --2að2a -- 3aÞ = --2a 2a -- 2a ð--3aÞ = --4a2 + 6a2 = 2a2

Oppgaver

Vi skriver bokstavuttrykk før talluttrykk i svaret.

2.26 Løs opp parentesene og regn ut. a) +ð3x + 4xÞ c) --ð4y + 4yÞ b) +ð5a -- 3aÞ d) --ð--4b -- 2bÞ

2+a =a +2

2.27 Løs opp parentesene og regn ut. a) 2ða + bÞ c) --3ð2 + xÞ b) 4ð2x -- yÞ d) --4ða + bÞ 2.28 Løs opp parentesene og regn ut. a) 3að2a + aÞ c) --xðx + 2Þ b) 2xð3x -- 2xÞ d) --3aða -- 3aÞ

Hver rute skal inneholde summen av uttrykkene i de to rutene under. Forklar hvordan du vil gå fram for å fylle ut alle rutene i algebrapyramiden.

x –3x 2x

2.29 Løs opp parentesene og regn ut. a) 3ð5 + 6Þ + 4ð2 -- 5Þ c) 3xð2x + 4xÞ + 2xðx + 3xÞ b) 2að3 -- 5Þ -- 3að2 + 3Þ d) --að--4 -- 5aÞ -- 3að2 + aÞ

46 Algebra 46

Begreper

Notater

Likning, ledd, å sette prøve, problemløsing

......................................... .........................................

Bakgrunnsstoff Hva vil det si å løse en likning? Elevene kan svare • å finne x • å finne den ukjente • å finne et tall som stemmer osv. Presiser at å løse en likning vil si å finne det tallet man kan sette inn i stedet for den variable størrelsen, slik at verdien av venstre og høyre side av likhetstegnet blir lik. Du må altså fokusere på likheten (= betyr jo «er lik»).

Algebra

Likninger Lurer på hva x kan være ...

......................................... ......................................... ......................................... .........................................

Hvordan løser vi likningen 2x = 9?

.........................................

Vi kan løse likninger ved å legge til eller trekke fra like mye på hver side av likhetstegnet. Vi kan også multiplisere eller dividere alle leddene med det samme tallet.

.........................................

Når vi løser en likning vil vi vanligvis at den ukjente skal stå alene på venstre side av likhetstegnet, men den ukjente kan også stå alene på høyre side.

.........................................

Vi bruker ofte x for den ukjente i en likning, men vi kan også bruke andre bokstaver, som for eksempel a, t eller y. Regel

Husk at pluss, minus og er lik skiller de ulike leddene!

.........................................

Vi kan løse en likning ved å legge til eller trekke fra det samme tallet på begge sider av likhetstegnet. Vi kan også løse en likning ved å multiplisere eller dividere alle leddene med det samme tallet.

Algebra 47

Bakgrunnsstoff I forbindelse med likninger er det viktig å repetere ofte. Vær også nøye med å ha en tydelig struktur som elevene bør kopiere. Her er noen likninger i stigende vanskelighetsgrad som kan tas på tavla:

II) De fire opplysningene er: x ! 6 som nevner, x = 42 a) = 7 6 x b) 6 = ! x på høyre side, x = 42 7 x c) -- 2 = 4 ! negativt ledd, x = 42 7 x d) 3 + = 9 ! positivt ledd, x = 42 7

Addere og subtrahere: • 12 + x = 14 • x–9=–5 Multiplisere og dividere:

• 5x = 25 • 3x + 3 = 9 x • =7 4 2x • -- 5 = 7 3

K 2.3

Hvilken skal ut? Likninger

Algebra

Kopieringsoriginal

Eksempel 2:6

Løs likningene. a) 7 + x = 12

c) 3x = 18 z d) =8 12

b) 15 = a -- 6 Løsning a) 7 + x = 12 7 + x -- 7 = 12 -- 7 x=5 b)

Trekker fra 7 på begge sider

15 = a -- 6 15 + 6 = a -- 6 + 6 21 = a a = 21

De fire opplysningene er: x + 3 = 13 ! addisjon, oddetall, x = 10 x + 2 = 12 ! addisjon, partall, x = 10 x – 3 = 7 ! subtraksjon, oddetall, x = 10 x – 1 = 9 ! subtraksjon, oddetall, x = 10

Legger til 6 på begge sider

Ettersom 21 = a, er også a = 21

3x = 18 3x 18 = 3 3 x=6

Dividerer alle ledd med 3

z =8 12

z 12 = 8 12 12 z = 96

Multipliserer alle ledd med 12

Oppgaver 2.30 Løs likningene. a) x + 3 = 13

b) x – 5 = 17

c) 56 = x – 22

d) 11 = x + 7

2.31 Løs likningene. a) 2x = 42

b) 7x = 28

c) 3a = 15

d) 100 = 5x

2.32 Løs likningene. x a) = 6 7

48 Algebra 48

x =3 5

c) 12 =

x 2

a = 10 12

Bakgrunnsstoff På de neste sidene er det viktig å arbeide grundig med ulike typer likninger for at metoden skal bli godt kjent: • Vi adderer eller subtraherer med tall eller variabler på begge sider av likhetstegnet. • Vi multipliserer eller dividerer med tall eller variabler i alle ledd. Husk da å minne elevene på hva et ledd er.

Multiplisere og dividere: • 6x -- 2 = 2x + 10 • --2x + 9 = 4x -- 15

Her er noen likninger i stigende vanskelighetsgrad som kan tas på tavla: Addere og subtrahere: • 3x þ 5 ¼ 2x þ 8 • 2x–6 ¼ 3x–6

Notater ......................................... a) 9 = 3 -- x

b) 2x + x = 12

3x =6 2

d) 3x =

3 2

Algebra

2.33 Løs likningene.

Addere og subtrahere med x Vi kan legge til og trekke fra samme tall eller bokstavuttrykk på begge sider av likhetstegnet i en likning.

......................................... .........................................

Vi løser likningen 2x = 9 + x slik: 2x = 9 + x 2x -- x = 9 + x -- x x=9

.........................................

Trekker fra x på begge sider

.........................................

Eksempel 2:7

Løs likningene. a) 4x = 3x + 9

.........................................

b) x = 10 -- 4x Løsning a) 4x = 3x + 9 4x -- 3x = 3x + 9 -- 3x

.........................................

Trekker fra 3x på begge sider

1x = 9 x=9 b)

x = 10 -- 4x x + 4x = 10 -- 4x + 4x 5x = 10 5x 10 = 5 5 x=2

......................................... Legger til 4x på begge sider

.........................................

Dividerer alle leddene med 5

Husk! Likningen må alltid balansere!

Algebra 49

Bakgrunnsstoff Her er noen likninger i stigende vanskelighetsgrad som kan tas på tavla: Multiplisere med tall og variabel: 12 • 3= x 5x • =4+x 4 8x • -- 6 = 2x 3 16 • +2=6 x

Frioppgave

Her kan elevene jobbe sammen to og to. Etter at de har kommet fram til et svar, kan det være på sin plass å prøve å generalisere. x = antall pizzabiter Herman x

Martin x + 20

Simen x – 40

Herman må da ha solgt flere enn 40 pizzabiter ettersom Simen i alle fall har solgt én pizzabit.

Aktivitet Bytt ut bokstavene i regnestykket slik at det går opp.

Fins det flere løsninger?

Algebra

ONE + ONE = TWO Oppgaver 2.34 Løs likningene. a) 2x = 9 + x

b) 5x = 15 + 2x c) 3x = 12 – x

2.35 Løs likningene. a) 2x – 4 = 11 – 3x b) 7x + 6 = 12 + 3x

Her ser vi at E + E blir O-enere, og O + O blir mindre enn 10. Da må E + E være 1 eller 2, og N + N kan igjen ikke bli E.

Her er tre løsninger: 231 + 231 = 462 241 + 241 = 482 432 + 432 = 864

d) x – 8 = –3x

c) 8 + 6x = 3x + 20 d) –7x – 6 = –6x – 5

Martin, Simen og Herman selger pizzabiter på skolefesten. Martin selger 20 flere biter enn Simen, og Simen selger 40 færre biter enn Herman. Hvor mange pizzabiter kan de ha solgt?

2.36 Løs likningene. a) 4ðx -- 3Þ = 8 b) xð2 + 3Þ = 10

c) 3ð2 + xÞ = 4ðx -- 3Þ d) 2ðx + 5Þ -- 3ðx -- 2Þ = 4x -- 4

Multiplisere med x På samme måte som vi kan multiplisere alle leddene i en likning med tall, kan vi også multiplisere alle leddene med en variabel (bokstav). 4 må vi «fjerne» x 4 x i nevneren i brøken . Det gjør vi ved x å multiplisere alle leddene med x. For å løse likningen 2 =

2= 2 x =

4 x 4 x x

2x 4 = 2 2 x=2

50 Algebra 50

Multipliserer alle leddene med x

Dividerer alle leddene med 2

Notater ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... Husk! Vi skiller leddene fra hverandre med + tegn og – tegn.

Algebra

Hvis likningen består av flere ledd, må vi huske på å multiplisere eller dividere alle leddene med samme tall eller samme bokstavuttrykk.

3+ x 3 =9–x

.........................................

Regel

.........................................

Vi kan løse en likning ved å addere, subtrahere, multiplisere eller dividere med det samme tallet eller bokstavuttrykket på begge sider av likhetstegnet.

......................................... Eksempel 2:8

Løs likningene. 9 a) = 3 x

.........................................

4x =8+x 3

Løsning a) 9 =3 x

.........................................

9 x = 3 x x

Multipliserer alle ledd med x

9 3x = 3 3

Dividerer alle ledd med 3

.........................................

3=x

.........................................

x=3 b)

4x =8+x 3 4x 3 = 8 3 + x 3 3 4x = 24 + 3x 4x -- 3x = 24 + 3x -- 3x

.........................................

Multipliserer alle ledd med 3

Trekker fra 3x på begge sider

1x = 24 x = 24

Algebra 51

Bakgrunnsstoff Vi viser til tidligere kommentarer til kapittel 1, side 18. Kvadratroten til et tall er et positivt tall. Derfor må vi sette + og – foran kvadratrottegnet. Løsningen på likningen må altså settes opp slik: x 2 = 16 x= +

pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi 16 eller x = -- 16

x = +4

eller x = –4

Vi må imidlertid minne elevene på at det bare fins én løsning på likningen x2 = 16 hvis det er snakk om en likning for å finne siden i et kvadrat, som jo alltid må bli en positiv størrelse.

Kopieringsoriginal Hvilken skal ut? Kvadratiske likninger

De fire opplysningene er: x2 = 1,44 ! x = 1,2 eller x2 = 4,41 ! x = 2,1 eller x2 = 1,69 ! x = 1,3 eller x2 = 1,96 ! x = 1,4 eller

Algebra

K 2.4

Oppgaver 2.37 Løs likningene. 2 a) = 4 x

x =4 2

c) 6 =

3 x

4x =8 2

2.38 Løs likningene. 15 a) =3 x

x = 100 5

c) 4 =

24 2x

5x = 25 2

4 +4=2 x

c) 3 +

x x x = 9 -- x d) + x = + 3 3 4 2

2.39 Løs likningene. 3 a) 6 + = 9 x

x x x x

= = = =

–1,2 –2,1 –1,3 –1,4

Kvadratiske likninger Hm, denne likningen har to løsninger ...

x ² = 16

II) De fire opplysningene er: ! irrasjonelt svar (1,4142…) a) x2 = 2, 2 b) x = 2,25 ! x = 1,5 eller x = –1,5 c) x2 = 2,0736 ! x = 1,44 eller x = –1,44 d) x2 = 1,96 ! x = 1,4 eller x = –1,4 Likninger av typen x 2 = 16 kaller vi kvadratiske likninger. Ettersom både 42 og ð--4Þ2 er lik 16, så vil både x = 4 og x = –4 være løsningen på likningen x 2 = 16: Det vil altså si at x = 4 og x = –4 er løsningen på likningen x 2 = 16: Regel

Kvadratiske likninger har alltid to løsninger.

52 Algebra 52

Ved regning: A=4:2=2!2:2=1

Frioppgave

La elevene gjette først. Her lønner det seg for elevene å tegne et kvadrat som de halverer to ganger før de eventuelt regner.

Arealet blir da

1 når lengden blir halvert. 4

Ved tegning:

Det letteste er å gå via et rektangel som utgjør halve arealet av kvadratet, og så gå tilbake til kvadrat igjen. Notater ......................................... Løs likningene. a) x 2 = 25 Løsning a) x 2 = 25 pffiffiffiffiffi x = 25 eller x=5

eller

b) x 2 + 5 = 55

Algebra

Eksempel 2:9

pffiffiffiffiffi x = -- 25

.........................................

x = --5

x 2 + 5 = 55

x 2 + 5 -- 5 = 55 -- 5

.........................................

Trekker fra 5 på begge sider

x 2 = 50 pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi x = 50 eller x = -- 50

.........................................

x 7,07 eller x --7,07

Oppgaver 2.40 Løs likningene. a) x 2 = 16 b) x 2 = 4

c) x 2 = 36 d) x 2 = 64

2.41 Løs likningene. a) x 2 = 62 b) x 2 = 9,5

c) x 2 = 121 d) x 2 = 30,25

2.42 Løs likningene. a) x 2 + 4 = 40 b) x 2 -- 5 = 76

c) x 2 + 17 = 66 d) 78 = x 2 -- 67

2.43 Løs likningene. a) 2x 2 = 50 b) 3x 2 -- 5 = 28

.........................................

For å finne kvadratroten av et tall bruker jeg som regel kalkulatoren!

......................................... ......................................... ......................................... 2

c) 4x + 3 = 9 d) 5x 2 -- 7 = 3x 2 + 11

I et tegneprogram blir arealet av et kvadratisk bilde halvert to ganger. Hva vil da ha skjedd med lengden på sidene til bildet?

Algebra 53

Bakgrunnsstoff En vanlig feil er at elevene setter prøve på en likning på samme måte som de løser likningen. Presiser at det er to ting som er viktig: • Verdien av høyre og venstre side av likhetstegnet skal regnes ut hver for seg. • Det skal være en konklusjon til slutt som forteller at den verdien en har funnet, er riktig løsning.

Notater

.........................................

Algebra

......................................... Å sette prøve på likninger Vi kan sette prøve på en likning ved å undersøke om venstre og høyre side av likningen har samme verdi. Vi setter da inn verdien for x og regner ut venstre og høyre side av likningen hver for seg.

Jeg tror svaret blir 6! Jeg undersøker ved å sette prøve!

.........................................

Venstre side:

5x =4+x 3

......................................... ......................................... .........................................

Høyre side: 4+x

5x 3 5 6 3 30 3 10

4+ 6 10

Verdien av venstre side av likhetstegnet er lik verdien av høyre side. x = 6 er derfor en riktig løsning.

.........................................

Oppgaver 2.44 Hvilken av likningene gir x = 6 til svar? A 45 = 2x B 3x = 18 C 21 = 4x

.........................................

2.45 Løs likningene og sett prøve på svaret. a) 7x = 42 b) 5x = 50 c) 64 = 4x 2

.........................................

d) x 2 + 4 = 125

2.46 Løs likningene og sett prøve på svaret. x a) 2x – 3 = x c) = 7 6 b) 2 -- 3x = 8 -- 5x d) 2x 2 -- 5 = x 2 + 31 2.47 Løs likningene og sett prøve på svaret. x 7x a) + 5 = 9 -- 3x b) + x = 30 2 3

54 Algebra 54

c) 3x 2 + 8 = 2x 2 + 152

Bakgrunnsstoff

Kopieringsoriginal

Det vil alltid være flere måter å løse et problem på. Men hensikten med dette avsnittet er å gi elevene trening i å bruke likningsmetoden. Det vil si å stille opp og å løse en likning som gir svaret på problemet. Det er selvfølgelig lurt å bruke litt tid på å drøfte andre løsningsmetoder også. Elevene bør dessuten øves i å tegne problemet, for så å sette inn den informasjonen de kjenner til.

K 2.5

Vi kan løse mange ulike problemer ved hjelp av likninger. Noen ganger kan det være lurt å lage en hjelpefigur.

Omkretsen av den likebeinte trekanten er 30 cm.

Algebra

Problemløsing og likninger

Hvor lange er sidene?

Antall deltakere: Grupper på fire og fire Del elevene inn i grupper på fire. La de elevene som strever mest i faget, være nummer 1, og de med høyere kompetanse nummer 4. Klipp opp kopieringsoriginalen i åtte deler. 1) Alle enerne kommer fram og får etappe (oppgave) 1A av læreren. 2) Elev 1 skal nå løse oppgaven sammen med gruppa. 3) Elev 1 går så opp og forklarer eller gir svaret til læreren. 4) Hvis svaret er riktig, mottar elev 1 etappe 2A. 5) Oppgaven løses i gruppa. 6) Elev 2 går opp og forklarer eller gir svaret på 2A til læreren. osv. Løsning: 1A) x = 3 2A) x = 11 eller x = –11 3A) x = –10 4A) x = 4 1B) 2B) 3B) 4B)

Stafett: Likninger

x + 17 = 54 x = 37 7x = 49 kortside = 7 cm, lange sider = 21 cm 15 år, 30 år og 45 år

I en likebeint trekant er de lengste sidene dobbelt så lange som den korte. Vi kaller den korte siden for x. De lange sidene blir da 2x. Vi får likningen 2x + 2x + x = 30, der x er den korte siden. 2x + 2x + x 5x 5x 5 x

= 30 = 30 30 = 5 =6

De lange sidene finner vi slik: 2x = 2 6 = 12 De lange sidene er 12 cm, og den korte siden er 6 cm. Vi kan kontrollere svaret slik: Omkretsen er 12 cm + 12 cm + 6 cm = 30 cm.

Algebra 55

Aktiviteter

Oppgavehenvisning

Elevene synes ofte slike oppgaver er vanskelige. Derfor er det kanskje beste å løse dem i fellesskap eller i mindre grupper, før elevene går videre til sin kategori i oppgaveboka.

Oppgavebok 2.119–2.130 2.227–2.237 2.314–2.324

2.48

Alternativ oppgavebok 2.24–2.30

2x x

42 cm = x + 2x + x + 2x 2.49 x – 23 = 71

2.51 Herman = x Hanna = x + 11

Algebra

2.50 18 10 + 5 x = 650

x + x + 11 = 47 2.52 Simen = x Espen = x + 2 Tone = 2x

Oppgaver 2.48 I et rektangel er lengden dobbelt så stor som bredden. Omkretsen av rektangelet er 42 cm. a) Kall bredden for x cm og still opp en likning. b) Hvor lange er sidene i rektangelet? 2.49 Du trekker 23 fra et ukjent tall og får 71 til svar. a) Kall det ukjente tallet for x, og still opp likningen. b) Løs likningen. 2.50 Hanna kjøper 5 pizzaer og 10 brus til en klassefest. Det koster til sammen 650 kr. Hvor mye koster en pizza dersom brusen koster 18 kr per flaske? Løs oppgaven ved hjelp av likning.

x + x + 2 + 2x = 54

2.51 Hanna og Herman vil dele en pose med 47 karameller slik at Hanna får 11 karameller mer enn Herman. Hvor mange karameller får de hver? Løs oppgaven ved hjelp av likning. 2.52 Simen har to søsken som heter Tone og Espen. Espen er to år eldre enn Simen, mens Tone er dobbelt så gammel som Simen. Til sammen er de 54 år. Hvor gamle er hver av dem?

56 Algebra 56

Dette gir jo galt svar. For når x > --2, så kan jo x for eksempel være 0. Da vil prøve på ulikheten bli

Begreper Mindre enn (<), større enn (>), er lik (=), ulikhet

--2x > 4 --2 0 > 4 0>4

Bakgrunnsstoff Vi tar bare for oss enkle ulikheter, slik at vi kan bruke de samme reglene som for løsing av likninger. Vær oppmerksom på eventuelle spørsmål fra noen av elevene vedrørende dividering med det samme tallet på hver side av ulikhetstegnet. Denne ulikheten illustrerer problemet:

og det må åpenbart være feil. Skulle du komme borti denne problemstillingen, kan du drøfte det med elevene. Hva må vi gjøre her?

--2x > 4 --2x 4 > --2 --2 x > --2 Notater ......................................... Jeg er 13 år og større enn deg.

Algebra

Ulikheter

Ja, jeg er bare 8 år og mindre enn deg.

......................................... ......................................... ......................................... .........................................

Hvordan kan vi lage et uttrykk som viser aldersforskjellen?

.........................................

Vi bruker symbolene < (mindre enn) og > (større enn) for å vise ulikheter. Vi skriver 13 > 8

13 er større enn 8

8 < 13

8 er mindre enn 13

......................................... .........................................

Vi kan legge til eller trekke fra like mye på hver side i en ulikhet, som for eksempel: 13 > 8 13 + 3 > 8 + 3 16 > 11 16 > 11 16 -- 3 > 11 -- 3

......................................... Legger til 3 på begge sider

Trekker fra 3 på begge sider

13 > 8

Algebra 57

Frioppgave

La elevene jobbe én og én eller to og to. Her er det viktig å fokusere på hva som blir lagt til.

Ved hjelp av tegning er det enklere å se at det blir lagt til 5 pinner. Ettersom det ikke blir lagt til noe i første ledd, må vi trekke fra 5 pinner slik at vi kan lage en formel.

Øving før kapittelprøve Faktor Digital: åpen elevside, faktor.cdu.no • Øvingsoppgaver i tre kategorier • Videogjennomgang av kapittel 2 med oppgaver (Omvendt undervisning) • Digital kapittelkartlegger (Digital versjon av Prøv deg selv.) Faktor Digital: lærersider med innlogging, faktor.cdu.no • Målark til «Prøv deg selv» • Kapittelprøve 2 • Vurderingsskjema til kapittelprøve • Faktornøtter

Snakk med elevene om hva n representerer. n representerer ofte et nummer (n) i en rekke, som for eksempel n-te kvadrattall eller n-te trekanttall.

Algebra

Uttrykket blir da 6 + ð5n -- 5Þ eller ð5n -- 5Þ + 6.

Ofte skriver vi det slik: Fn ðFigurtallnummer Þ =

Eksempel 2:10

Løs ulikheten. x +4<8 Løsning x +4<8 x + 4 -- 4 < 8 -- 4

Trekker fra 4 på begge sider

x<4

Kopieringsoriginal K 2.6

Oppgaver

10 rette: Algebra

2.53 Løs ulikhetene. a) x + 3 < 9

Antall deltakere: To og to La elevene avgjøre hvilket svaralternativ som er det riktige.

b) x + 7 < 12

c) x -- 5 < 5

d) x + 3 > 11

2.54 Løs ulikhetene. a) x + 1,5 < 6,5 b) x + 3,5 > 6

c) --2,5 + x < 4

d) x + 11 > 3

2.55 Løs ulikhetene. a) 2x + 2 < x + 8 b) 3x + 5,5 > 2x + 6,5

c) --2,5 -- 5x < 3,5 -- 6x d) 5x -- 1,5 > 3x + 3,5

Vi kaller uttrykket for en ulikhet.

Oppgavehenvisning Oppgavebok 2.131–2.132 2.238–2.239 2.325–2.326

6> 3

? 58 Algebra 58

Figurene er lagd av pinner. Finn et uttrykk for neste figur i mønsteret.

Fasit Prøv deg selv

7 a) a7 b) x 6

c) x 5 d) 6a7

1 Et talluttrykk inneholder bare tall. Et bokstavuttrykk kan inneholde enten bare bokstaver eller en blanding av bokstaver og tall.

8 a) 3x – 15 b) 21a

c) –7x d) 3x

2 a) 2a + 2b + 2c

b) 69x

9 a) x = 29 b) a = 9

c) x = 24 d) x = 10

3 a) 4z b) 11a

c) 5r d) 8y – x

4 a) 21 b) 8

c) 19 d) 30

5 a) a3 b) x 5

c) z 2 d) ð2bÞ4 = 16b4

6 a) 2x 3 b) 2a4

c) 4x 5 d) 2y 2 + y 3

Notater ......................................... 1

Hva er forskjellen på et talluttrykk og et bokstavuttrykk?

a) Lag et bokstavuttrykk som viser omkretsen av figuren.

Algebra

Prøv deg selv

.........................................

a b

.........................................

c c

b) Hanna kjøper kjøttdeig til 69 kr/kg. Lag et bokstavuttrykk som viser hvor mye Hanna må betale for x kg. 3

Skriv så enkelt som mulig. a) z + z + z + z b) 6a + 5a

c) 2r + 4r – r d) 7y + 2x – 3x + y

Sett inn x = 3 og y = 5 og regn ut. a) 2x + 3y c) 3x + 2y b) x + y d) x 2y

Skriv som potens. a) a a a b) x x x x x

c) z z d) 2b 2b 2b 2b

Regn ut. a) x 3 + x 3

b) a4 + a4

c) 2x 5 + 2x 5

d) 2y 2 + y 3

Regn ut. a) a4 a3

b) x 3 x 3

c) x 7 : x 2

d) 3a3 2a4

......................................... ......................................... ......................................... .........................................

Løs opp parentesene og regn ut. a) 3ðx -- 5Þ c) --ð4x + 3xÞ b) 3ð4a + 3aÞ d) --ð2x -- 5xÞ

Løs likningene. a) 42 = 13 + x b) a – 9 = 0

.........................................

c) x – 12 = 12 d) 22 + 2 = 14 + x

Algebra 59

10 a) x = 8 b) x = 7

c) x = 16 d) x = 10

11 a) x = 3 b) x = 6

c) x = 2,5 d) x = 6

12 a) x = 7 eller x = –7 b) x = 8 eller x = –8

c) x = 2 eller x = –2 d) x 3,46 eller x –3,46

13 A og B A) x = 4, V.s. = h.s. = 24 B) x = 4, V.s. = h.s. = 18 14 20x = 200 10 minutter 15 a) x > 1 b) x < 195

c) x > 10 d) x > 140

Notater

.........................................

Algebra

......................................... 10

Løs likningene. a) 2x = 16

......................................... 12

Løs likningene. 3 a) 1 = x b) 4x -- 2 = 3x + 4

b) x 2 = 64 13

x =4 4

3x = 15 2

c) --x + 2 = 3x -- 8 x d) 3x = + 15 2

Løs likningene. a) x 2 = 49

.........................................

b) 35 = 5x

8 x d) 3x 2 + 3 = x 2 + 27

c) 2x =

Sett prøve og vis hvilke av likningene som har løsningen x = 4. 4 B x 2 + 2 = 18 C =2 x

A 6x = 24

......................................... 14

Fra vannkranen til badekaret kommer det 20 liter vann på ett minutt. Hvor lang tid vil du bruke på å fylle hele badekaret hvis det rommer 200 liter? Still opp en likning og finn svaret.

Løs ulikhetene. a) 9 + x > 10 b) x -- 50 < 145

......................................... ......................................... ......................................... .........................................

60 Algebra 60

c) x -- 8 > 2 d) x + 60 > 200

Fasit Noe å lure på

3 Vi kan kalle prisen på en potte for p og prisen på en blomst for b. Da får vi

1 Gauss la sammen 1 og 99, 2 og 98, 3 og 97, … 49 og 51. Da fikk han til sammen 49 100. Deretter la han til 100 som er det siste tallet, og 50 som ikke var tatt med. Formelen blir da: 49 100 + 100 + 50 = 5050 2

ð190 + pÞ + p = 260 p = 35 b = 190 + p = 190 + 35 = 225 Potten: Blomsten:

10x -- 5x > 75 5x > 75 x > 15

35 kr 225 kr

Alternativet er å bruke et likningssett med to ukjente. I: b + p = 260 II: p + 190 = b

10 15 kr + 5 15 kr = 225 kr

I + II: p + 190 = 260 -- p 2p + 190 + 260 Potten: Blomsten:

Algebra

Noe å lure på Matematikkgeniet Carl Friedrich Gauss (1777–1855) fant i ung alder en formel for å summere de hundre første naturlige tallene. Summen blir 5050, men hva er formelen?

35 kr 225 kr

Notater ......................................... .........................................

Hva blir summen av de ti første naturlige tallene?

.........................................

Carl Friedrich Gauss

......................................... ......................................... 2

Sara har like mange 10-kronestykker som Martin har 5-kronestykker. 10-kronestykkene til Sara er verdt 75 kr mer enn 5-kronestykkene til Martin. Hvor mange kroner har de til sammen?

.........................................

En blomst med potte koster 260 kr. Blomsten koster 190 kr mer enn potta. Hvor mye koster blomsten, og hvor mye koster potta? Sett opp en likning og finn svaret.

......................................... .........................................

Algebra 61

4 Sammenhengen mellom gullbarre (g) og sølvbarre (s) blir g = s + 4,5

Notater .........................................

Likning: 6g + 2s = 3g + 6s 6ðs + 4,5Þ + 2s = 3ðs + 4,5Þ + 6s 6s + 18 + 2s = 3s + 13,5 + 6s 27 -- 13,5 = 3s + 6s -- 6s -- 2s

......................................... .........................................

13,5 = s g = 13,5 + 4,5 g = 18

......................................... .........................................

En sølvbarre veier 13,5 kg. En gullbarre veier 18 kg. 5 Her må vi starte med å fylle inn 2 kg ved siden av 2 kg, slik at den er i balanse.

......................................... .........................................

Algebra

x = 4, y = 16

Gull- og sølvbarre

En gullbarre veier 4,5 kg mer enn en sølvbarre. Seks gullbarrer og to sølvbarrer veier like mye som tre gullbarrer og seks sølvbarrer. Hvor mye veier én gullbarre, og hvor mye veier én sølvbarre?

Her ser du en vekt som er i balanse. Hvilke tall skal stå i stedet for x og y?

x y 2kg

62 Algebra 62

Oppsummering

.........................................

Bokstavuttrykk Regneuttrykk som inneholder bokstaver, kaller vi for algebraiske uttrykk eller bokstavuttrykk. Bokstaven står da i stedet for et hvilket som helst tall. Bokstaven kaller vi en variabel.

.........................................

A = g h O = 2a + 2b

Sette inn tall i bokstavuttrykk

.........................................

Vi finner verdien av et bokstavuttrykk ved å sette inn tall for variablene og regne ut uttrykket som et talluttrykk. Hvis vi setter a = 4 og b = 6 inn i bokstavuttrykket 2a + 2b får vi:

.........................................

2a + 2b = 2 4 + 2 6 = 8 + 12 = 20

.........................................

Regning med bokstavuttrykk Når vi regner med bokstavuttrykk, kan vi bare trekke sammen ledd som har den samme variabelen. Hvis vi skal multiplisere eller dividere ulike bokstavledd med hverandre, multipliserer eller dividerer vi tall med tall og bokstavledd med bokstavledd.

.........................................

5a + 3b + 2a -- 2b = 7a + b 3x 5y = 15xy 3a2 2a3 = 6a5 x7 : x3 = x4

.........................................

Bokstavuttrykk og parenteser Når vi løser opp en parentes med plusstegn foran, endrer vi ikke fortegnene inne i parentesen. Vi løser opp en parentes med minustegn foran ved å endre fortegnene på alle leddene inne i parentesen.

.........................................

4x + ð2x + 3Þ = 4x + 2x + 3 = 6x + 3 6x -- ð3x -- yÞ = 6x -- 3x + y = 3x + y

Algebra 63

Algebra

......................................... .........................................

Hvis det står et tall eller et bokstavuttrykk foran parentesen, multipliserer vi tallet eller bokstavuttrykket med alle leddene inne i parentesen. Hvis tallet eller bokstavuttrykket er negativt, må vi bytte fortegn på alle leddene inne i parentesen. 2xð5 + 7Þ = 2x 5 + 2x 7 = 10x + 14x = 24x

.........................................

--2xð5 -- 7Þ = --2x 5 -- 2x ð--7Þ = --10x + 14x = 4x

.........................................

Likninger Vi kan legge til eller trekke fra samme tall eller samme bokstavuttrykk på begge sider av likhetstegnet i en likning. Vi kan også multiplisere eller dividere alle leddene i en likning med det samme tallet eller det samme bokstavuttrykket.

.........................................

6 x = 6x 6x -- 4x 2x 2 x

......................................... .........................................

= = = =

4 +4 x 4 x + 4 x x 4 + 4x 4 + 4x -- 4x 4 2 2

Likninger av typen x 2 = 25 kaller vi kvadratiske likninger. Kvadratiske likninger har alltid to løsninger. x 2 = 25 pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi x = 25 eller x = -- 25 x=5 eller x = --5

.........................................

64 Algebra 64

Notater ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... Vi setter prøve på en likning ved å sette inn verdien for den ukjente og undersøke om venstre og høyre side av likhetstegnet får samme verdi.

Algebra

Å sette prøve på likninger

.........................................

3x + 4 = 8 + 2x 3x -- 2x = 8 -- 4 x=4

.........................................

Prøve: Venstre side:

Høyre side:

3x + 4 3 4 + 4 12 + 4 16

8 + 2x 8 + 2 4 8+8 16

.........................................

Verdien av venstre side er lik verdien av høyre side. x = 4 er derfor riktig løsning.

.........................................

Ulikheter Vi løser ulikheter ved å legge til eller trekke fra samme tall på begge sider av ulikhetstegnet. Symbolet < betyr mindre enn, og symbolet > betyr større enn.

.........................................

x + 4 < 12 x + 4 -- 4 < 12 -- 4 x<8

.........................................

x er mindre enn 8.

......................................... .........................................

Algebra 65

Kapittelinnledning Hvert kapittel innledes med en introduksjon som består av en illustrasjon, en liten tekst og en oversikt over hva som er målet med kapitlet. Dette kan danne utgangspunkt for en samtale og bidra til å bevisstgjøre elevene om hva som er hovedintensjonen med kapitlet. Målene er brutt ned og blir tydeliggjort gjennom «Prøv deg selv»oppgavene på side 113. Elevene kan også teste seg selv via digital versjon av «Prøv deg selv», som fins på Faktors elevnettsider.

Digitale ressurser til kapitlet (faktor.cdu.no) • Digital versjon av grunnboka (Tavlebok) • Campus Inkrements verktøy for Omvendt • • • • • • •

66 Geometri

Kopieringsoriginaler K 3.1 K 3.2 K 3.3 K K K K K K K K

3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11

K 3.12

Hjørnerebus: Vinkelsum Hvilken skal ut? Firkanter Stafett: Omkrets og areal av tre- og firkanter Tangram Sant – usant: Areal Hvilken skal ut? Sirkelen Hvilken skal ut? Pytagoras Stafett: Pytagoras Mangekanter Nidarosdomen, gylne snitt Kunstbilder: Det gylne snitt og gylne rektangler Geometrilabyrint

Kongen skal ha betaling for kvadratene dine!

Slapp av, jeg måler så fort jeg kan ...