Faktor 10 gb nn blabok 2

Faktor

atiinknket Mauntgedm omstr

10

Faktor

for

på Komponentar ne: 8.u–n1nb0ok. tOrpipn gåv Gr

Nynorsk

Lærarens bok åvebok

pg Alternativ op

l a t i g i D r o t k a F du.no) (faktor.c

PONENTAR: M O K S G G E L IL T Eksamensførebuande hefte

Temahefte

Regelhefte

ttstad)

ma (ne Faktora

Faktor

te

Grunnbok

Fordjupingshef

10

Espen Hjardar Jan-Erik Pedersen

Grunnbok ISBN 978-82-02-47558-1 ISBN 978-82-02-47558-1

9 788202 475581 www.cdu.no

Matematikk for ungdomstrinnet

Nynorsk

Espen Hjardar Jan-Erik Pedersen Illustratør: Line Jerner

Faktor

10 Grunnbok Nynorsk

Dette er Faktor 10 Grunnbok. Til grunnboka høyrer det ei oppgåvebok. Her ser du ungdommane som følgjer deg gjennom alle bøkene på ungdomstrinnet:

Kvart kapittel i grunnboka består av fire delar:

Nokre oppgåver er merkte med desse symbola:

Lærestoff og oppgåver

Kalkulator

Prøv deg sjølv

Finn ut

Noko å lure på Oppsummering

Faktor 10

Hei til deg som skal bruke Faktor!

?

Frioppgåve Digitale verktøy Utfordrande oppgåve

Bakarst i boka finn du ein liten manual for bruk av kalkulator, rekneark og GeoGebra.

I oppgåveboka finn du øvingsoppgåver i tre vanskegrader til kvart kapittel.

Alle kapittel har også eit oppgåvesett med repetisjonsoppgåver.

Kategori 1 Litt av kvart

Kategori 2 Kategori 3 Øvingsoppgåver for digitale verktøy

Å kunne matematikk er nyttig, og matematikk er spennande å lære! Vi har laga en bok som vil hjelpe deg med å nå måla for matematikkfaget på ungdomstrinnet. Lykke til med arbeidet!

Helsing forfattarane Espen Hjardar og Jan-Erik Pedersen

3

Innhald

Innhald 1 Tal og algebra ........................... 6 Talsystem ......................................... 8 Problemløysing .............................. 15 Proporsjonar .................................. 19 Rekning med variablar .................. 23 Prøv deg sjølv ................................. 36 Noko å lure på ............................... 38 Oppsummering ............................... 40 2 Geometri og berekningar ....... 42 Pytagoras-setninga ........................ 44 Spesielle trekantar ......................... 49 Konstruksjon og berekning ........... 54 Formlikskap og kongruens............ 64 Kongruensavbildingar.................... 71 Perspektivteikning ......................... 84 Geometri i teknologi, kunst og arkitektur .................................. 89 Prøv deg sjølv ................................. 95 Noko å lure på ............................... 99 Oppsummering ............................. 100 3 Funksjonar ............................. 104 Funksjonar i dagleglivet .............. 106 Lineære funksjonar...................... 111 Grafen til kvadratiske funksjonar .................................... 119 Proporsjonale storleikar............... 124 Omvend proporsjonale storleikar ...................................... 129 Prøv deg sjølv ............................... 133 Noko å lure på ............................. 135 Oppsummering ............................. 137

4

4 Likningar og ulikskapar........ 140 Å løyse likningar.......................... 142 Problemløysing og likningar ....... 149 Grafisk løysing av likningar ......... 153 To likningar med to ukjende ...... 157 Ulikskapar .................................... 165 Omforming av formlar ................ 170 Prøv deg sjølv ............................... 173 Noko å lure på ............................. 175 Oppsummering ............................. 177 5 Romgeometri og massetettleik.......................... 180 Rett prisme og sylinder............... 182 Volumet til ein pyramide ............ 187 Volumet til ei kjegle .................... 190 Volumet og arealet av overflata til ei kule....................... 195 Massetettleik................................ 199 Bruk av formlar til problemløysing............................ 206 Prøv deg sjølv ............................... 210 Noko å lure på ............................. 213 Oppsummering ............................. 215

7 Økonomi................................. 262 Lønn og skatt .............................. 264 Lån og kredittkort ....................... 271 Forsikringar .................................. 277 Budsjett og rekneskap................. 279 Valuta ........................................... 283 Prøv deg sjølv ............................... 290 Noko å lure på ............................. 293 Oppsummering ............................. 295

Innhald

6 Statistikk, kombinatorikk og sannsyn............................. 218 Statistiske undersøkingar ............ 220 Feilkjelder i statistikk ................... 225 Tolking av linjediagram............... 230 Kombinatorikk ............................. 233 Sannsyn ved éi eller fleire hendingar ........................... 240 Forsøk og simulering................... 245 Vanlege feil i sannsynsrekning......................................... 250 Prøv deg sjølv ............................... 254 Noko å lure på ............................. 257 Oppsummering ............................. 259

Manual for digitale verktøy ...... 296 Kalkulatoren................................. 297 Rekneark ...................................... 300 GeoGebra..................................... 304 Fasit ............................................. 312 Stikkord ....................................... 344

5

Avstanden til sola er 1,5 108 km.

Bakterien er 1,5 10 -- 3 mm.

1

Tal og

algebra

Vi kan skrive tal på ulike måtar. Når tala er svært store eller svært små, er det vanleg å skrive dei på standardform. Vi brukar potensar av 10 (10--3 , 10--2 , 10--1 , 100 , 101 , 102 , 103 , osv.) når vi skriv tala på den måten.

Mål I dette kapittelet skal du få lære om . . . . .

tal i ulike posisjonssystem store og små tal på standardform eigenskapar ved spesielle tal proporsjonar variabeluttrykk med parentesar og brøk

Kva er skilnaden på tala?

Tal og algebra

Talsystem Eg trur dei to tala er like store.

Eg er ikkje sikker!

250 000 000 2,5 . 10 8

Korleis skriv vi store og små tal på standardform?

Titalssystemet Vi kan skrive 250 000 000 på standardform. Då set vi desimalteiknet mellom det første og det andre sifferet og multipliserer med ein tiarpotens: 250 000 000 = 2,5 108

Vi har flytt desimalteiknet åtte plassar til venstre.

8

Tal og algebra

Vi kan òg skrive små tal på standardform. Vi ser først på desse samanhengane an ved hjelp av regelen m = an -- m : a 1 10 = 101--0 = 101 = 10 100 101 = 101--1 = 100 = 1 101 101 Den negative = 101--2 = 10--1 = 0,1 eksponenten fortel oss kor 102 mange plassar vi har flytt osv.

desimalteiknet!

På same måten blir 0,01 = 10–2 , 0,001 = 10–3 , osv.

Det betyr at vi kan skrive for eksempel 0,0000025 slik: 0,0000025 =

2,5 = 2,5 10--6 106

Vi set altså desimalteiknet mellom den siste og den nest siste desimalen og dividerer med ein tiarpotens.

Det talsystemet vi brukar – titalssystemet – er eit plassverdisystem. Det betyr at kvart siffer i eit tal har ein verdi som blir bestemt av kvar sifferet er plassert.

HUNDRARAR

TIARAR

EINARAR

TIDELAR

HUNDREDELAR

TUSENDELAR

Vi seier at sifferet 4 har plassverdi hundre, sifferet 3 plassverdi ti, sifferet 5 plassverdi ein, sifferet 8 plassverdi tidel, sifferet 7 plassverdi hundredel og sifferet 6 plassverdi tusendel.

1 Vi kan skrive talet 435,87 på utvida form:

Hugs! 10 = 10 og 100 = 1

435,87 = 4 100 + 3 10 + 5 1 + 8 0,1 + 7 0,01 Når vi brukar standardform på tiarpotensane, blir det slik: 435,87 = 4 102 + 3 101 + 5 100 + 8 10--1 + 7 10--2

9

Tal og algebra

Regel

Vi skriv store tal på standardform ved å plassere desimalteiknet mellom det første og det andre sifferet. Deretter multipliserer vi med ein tiarpotens.

Vi skriv små tal som er mindre enn 1 på standardform ved å plassere desimalteiknet bak den første desimalen som ikkje er 0. Deretter multipliserer vi med ein tiarpotens med negativ eksponent.

Eksponenten i tiarpotensen svarar til talet på plassar vi har flytta desimalteiknet.

Eksempel 1:1

Skriv tala på standardform. a) 29 000 000

b) 0,00034

Løysing a) 29 000 000 = 2,9 107

b) 0,00034 = 3,4 10--4

Oppgåver 1.1

1.2

Skriv tala på standardform. a) 2500 c) 42 000 b) 35 000 d) 120 000

e) 270 000 f ) 1 300 000

g) 2070 h) 30 040

Ammonittar var ei gruppe blekksprutar som det fanst mange av for ca. 200 millionar år sidan.

Skriv 200 millionar på standardform.

Ammonittar døydde ut på slutten av perioden kritt for ca. 65 millionar år sidan.

10

1.4

Skriv tala på standardform. a) 5 400 000 c) 2 050 000 b) 103 000 d) 25 000 000

e) 4 070 000 f) 9 060 000 000

Skriv tala på standardform. a) 0,05 c) 0,0008 b) 0,006 d) 0,00075

e) 0,0085 f) 0,00039

1.5

Rekn ut og skriv svara på standardform. a) 500 4000 c) 2 400 000 000 : 3000 b) 2400 15000 d) 65 000 000 000 : 50

1.6

Skriv tala på utvida form. a) 23 493 c) 4 003 129 b) 102 784 d) 50 362 100

e) 500 603 f) 1 030 406

1.7

Skriv tala på vanleg måte. a) 3 100 + 2 10 + 7 1 b) 5 1000 + 7 100 + 4 1 c) 5 10000 + 7 1000 + 4 10 d) 5 100000 + 7 10000 + 4 100 + 9 1

1.8

Skriv tala på vanleg måte. a) 3 102 + 2 101 + 7 10 + 5 10--1 b) 5 103 + 7 102 + 4 10--1 + 3 10--2 c) 5 104 + 7 103 + 4 101 d) 5 103 + 7 102 + 4 101 + 3 10--1 + 2 10--2

?

1.9

Tal og algebra

1.3

Finn tre eksempel på at eit produkt av to tiarpotensar blir 1 million.

Skriv tala på vanleg måte. a) 6 104 + 7 103 + 5 101 + 9 10--1 b) 2 103 + 8 102 + 5 10 + 9 10--1 + 3 10--2 c) 5 103 + 4 102 + 1 10 + 7 10--1 + 8 10--2 + 2 10--3 d) 1 103 + 7 102 + 5 101 + 5 10--1 + 9 10--2 + 4 10--3 + 7 10--4

1.10 Skriv tala på utvida form. a) 483 c) 291,67 b) 34,75 d) 29,273

e) 7,938 f) 5,076

11

Tal og algebra

Totalssystemet Databehandling i datamaskinar byggjer på totalssystemet. Det er også eit plassverdisystem. Titalssystemet består av ti siffer, mens totalssystemet berre har to siffer, 0 og 1.

Datamaskinen bruker straum og totalssystemet for å vise data!

Ja, «straum» = 1 og «ikkje straum» = 0.

Verdien til kvar sifferplass i titalssystemet er ein potens av talet 10, mens verdien til kvar sifferplass i totalssystemet er ein potens av talet 2.

Her ser du verdiane til dei fem første posisjonane i totalssystemet: Plassverdi

Seksten

Åtte

Fire

To

Éin

24

23

22

21

20

Potens av 2

Eit eksempel på eit tal i totalssystemet er 11011 (éin, éin, null, éin, éin):

1 1 0 1 1

16 ð24 Þ

8 ð23 Þ

4 ð22 Þ

2 ð21 Þ

Vi ser at plassverdiane her er seksten, åtte, fire, to og éin.

12

1 ð20 Þ

11011 = = = =

1 24 + 1 23 + 0 22 + 1 21 + 1 20 1 16 + 1 8 + 0 4 + 1 2 + 1 1 16 + 8 + 0 + 2 + 1 27

Tal og algebra

Talet 11011 (éin, éin, null, éin, éin) i totalssystemet kan skrivast i titalssystemet:

Talet 11011 i totalssystemet er altså 27 i titalssystemet.

Totalssystemet blir òg kalla det binære talsystemet!

250 000 000 2,5 · 10⁸

Eksempel 1:2

Skriv 10111 i totalssystemet som eit tal i titalssystemet.

Løysing 10111 = 1 24 + 0 23 + 1 22 + 1 21 + 1 20 = 16 + 0 + 4 + 2 + 1 = 23 Talet 10111 i totalssystemet er 23 i titalssystemet.

13

Tal og algebra

Oppgåver 1.11 Tala nedanfor er skrivne i totalssystemet. Skriv tala som tal i titalssystemet. a) 11 c) 101 e) 10101 b) 111 d) 1101 f) 110011 1.12 Tala nedanfor er skrivne i totalssystemet. Skriv tala som tal i titalssystemet. a) 1111 c) 110100 e) 110001 b) 1000 d) 1001 f) 111111 1.13 Skriv av og set inn rett teikn, >, < eller =, i dei tomme rutene.

Tal i totalssystemet

>, < eller =

Tal i titalssystemet

10101

21

11011

24

1001

10

111111

111

1.14 Tala nedanfor er skrivne i titalssystemet.

Skriv tala i totalssystemet. a) 7 d) 48 b) 13 e) 10 c) 29 f) 100

?

Når du multipliserer to tal som begge endar på 5, vil svaret også alltid ende på 5.

Kvifor blir det slik?

14

«Bi» betyr dobbelt, det vil seie to gonger.

Du er tre gonger så gammal som syster di.

Eg er også ti år eldre enn henne!

Tal og algebra

Problemløysing

Kor gammal er Herman og systera hans?

Løysing ved hjelp av ein tabell Vi kan bruke ein tabell til å vise at Herman er både ti år eldre og tre gonger så gammal som syster si.

Vi prøver oss fram med ulike aldrar: Alderen til systera

Ti år eldre enn systera

Tre gonger så gammal som systera

1 år

11 år

3 år

2 år

12 år

6 år

3 år

13 år

9 år

4 år

14 år

12 år

5 år

15 år

15 år

6 år

16 år

18 år

Vi ser her at når Herman er 15 år, er han både ti år eldre enn syster si og tre gonger så gammal som henne når ho er 5 år.

15

Tal og algebra

Løysing ved hjelp av likning Vi kan òg løyse problemet ved å setje opp ei likning: Alderen til systera:

Ti år eldre enn systera:

x år

(x + 10) år

Vi løyser likninga.

Tre gonger så gammal som systera: 3 x år

Ettersom Herman både skal vere ti år eldre enn og tre gonger så gammal som systera, får vi denne likninga: x + 10 = 3 x Vi løyser likninga slik: x + 10 = 3 x 10 = 3x -- x

Vi trekkjer frå x på begge sider av likskapsteiknet.

10 = 2x 2x = 10 x=5 Det betyr at systera er 5 år.

Vi ser at både 5 + 10 og 3 5 blir 15. Altså er Herman 15 år.

Eksempel 1:3

Simen har 40 kr meir enn Lotte. Det er samtidig dobbelt så mykje som det Lotte har.

Kor mange kroner har Simen?

Løysing Vi løyser oppgåva ved å setje opp ei likning.

Lotte har: 40 kr meir enn Lotte: Dobbelt så mykje som Lotte: x kr (x + 40) kr 2 x kr x + 40 40 40 x

= = = =

2 x 2x -- x x 40

Vi trekkjer frå x på begge sider av likskapsteiknet.

Lotte har 40 kr.

40 + 40 = 2 40 = 80 Simen har 80 kr.

16

Tal og algebra

Oppgåver 1.15 Sara har dobbelt så mange kroner som Herman. Det er 20 kr meir enn det Herman har.

Kor mange kroner har Herman?

1.16 Eit tal er dobbelt så stort som eit anna tal. Summen av dei to tala er 45.

Kva for to tal er det?

1.17 Summen av to tal er 25. Differansen mellom dei same to tala er 5.

Kva for to tal er det?

ledd + ledd = sum ledd – ledd = diff eranse faktor faktor = produkt dividend : divisor = kvotient

Hugs dette!

?

Ei flaggermus åt totalt over 1000 mygg i løpet av fire etterfølgjande netter. Kvar natt åt ho 25 fleire mygg enn natta før.

Kor mange mygg kan ho ha ete den første natta?

17

Tal og algebra

Geysiren Stokkur har regelmessige utbrot kvart 2. til kvart 6. minutt.

Kokande vatn sprutar opptil 20 m opp i lufta.

1.18 Sara, Martin og Lotte tek ulike småjobbar for å skaffe seg lommepengar til ein tur til Island. No skal dei dele 490 kr. Sara skal ha dobbelt så mykje som Martin. Lotte skal ha 10 kr mindre enn Sara.

Kor mange kroner skal kvar av dei ha?

1.19 Eit tal er 9 større enn eit anna tal. Når du multipliserer det minste talet med 8 og det største talet med 2, får du det same produktet.

Kva for to tal er det?

Originale Originale

1.20 Simen kjøper nokre små pizzaer og nokre store pizzaer. Ein liten pizza kostar 120 kr. Ein stor pizza kostar 160 kr. Simen betalar 920 kr til saman.

Kor mange pizzaer kjøper han?

18

Originale Originale Originale Originale

Originale Originale Originale Originale Originale Originale Originale Originale

Eg skal bruke ein tredel av sparepengane mine.

Eg skal bruke ein firedel av sparepengane mine.

Tal og algebra

Proporsjonar

Korleis forklarer du at Simon og Lotte vil bruke like mykje pengar?

Ein firedel av 1600 kr er

1600 kr = 400 kr.

4

Ein tredel av 1200 kr er

1200 kr = 400 kr.

3

Brøkane

1600 1200 og har same verdi.

4 3

Dette kan vi setje opp slik: 1600 kr 1200 kr = = 400 kr 4 3 Uttrykket

1600 1200 = er ein proporsjon.

4 3

Ein proporsjon er eit uttrykk som viser at to forhold er like store.

Dersom eitt av tala i ein proporsjon er ukjent, kan vi finne dette talet ved ü løyse proporsjonen som ei likning.

19

Tal og algebra

Eksempel 1:4

Onkel Jens tener 40 000 kr per månad. Han sparar Tante Monica sparar

1 av lønna kvar månad.

20

1 av lønna si kvar månad. Dei sparar like mange 25

kroner.

Kor mykje tener tante Monica per månad?

Løysing Tante Monica tener x kr.

Ho sparar

x kr per månad.

25

Onkel Jens sparar

40 000 kr per månad.

20

Proporsjonen blir: x 40 000 = 25 20 x 25 40 000 25 = 25 20

Vi multipliserer alle ledda med 25.

x = 50 000 Tante Monica tener 50 000 kr per månad.

Oppgåver 1.21 Rekn ut x i proporsjonane.

20

a)

x 50 = 5 10

d)

2800 x = 100 8

g)

15 10 = 6 x

b)

x 90 = 8 6

e)

5 10 = x 6

h)

15 3 = 10 x

c)

250 x = 10 12

f)

12 2 = x 3

i)

15 x = 6 4

Tal og algebra

1.22 Sara har 6000 kr i banken. Ho tek ut ein tredel av pengane. Simen tek ut ein firedel av dei pengane han har i banken. Dei tek ut like mange kroner.

Set opp ein proporsjon, og rekn ut kor mange kroner Simen har i banken.

1.23 Ei sementblanding bestür av 5 bøtter sement og 20 bøtter sand.

I ei anna sementblanding, med same blandingsforhold, er det 24 bøtter sand.

Set opp ein proporsjon, og rekn ut kor mange bøtter sement det er i den andre blandinga.

1.24 Forholdet mellom dei lengste og dei kortaste sidene i to formlike rektangel er likt.

6 cm 4 cm

9 cm

Set opp ein proporsjon og rekn ut kor lang den kortaste sida i det minste rektangelet er.

21

Tal og algebra

?

Hanna, Sara og Lotte har 21 brusflasker: 7 er fulle, 7 er halvfulle og 7 er tomme.

Kan dei fordele flasker og innhald slik at alle inneheld like mykje?

Grunngi svaret.

1.25 På ein skule er forholdet mellom talet på jenter og talet på gutar 5 : 4.

Det er 108 gutar på skulen.

Set opp ein proporsjon, og rekn ut kor mange jenter det er på skulen.

1.26 På eit kart i målestokken 1 : 10 000 er det 9 cm mellom Hoppegropa og Buldrefossen. På eit anna kart er det 6 cm mellom dei to stadene.

Set opp ein proporsjon, og rekn ut kva målestokk det andre kartet har.

22

???

Tal og algebra

Rekning med variablar

2(x – 2y) – 2(x – y)

Korleis kan Herman rekne ut uttrykket på tavla?

Når vi skal rekne ut bokstavuttrykk med parentesar, må vi løyse opp parentesane. Dersom det står eit tal eller eit bokstavuttrykk framfor parentesen, må vi multiplisere kvart ledd inne i parentesen med dette talet eller bokstavuttrykket.

Vi reknar ut uttrykket på tavla slik: 1

2

1

2

2ðx -- 2yÞ -- 2ðx -- yÞ = ð2x -- 4yÞ -- ð2x -- 2yÞ = 2x -- 4y -- 2x + 2y = --2y

Hugs at vi forandrar forteiknet framfor ledda inne i parentesen når det står minus framfor parentesen!

23

Tal og algebra

Eksempel 1:5

Trekk saman uttrykket 3xðx -- 2Þ -- 2xðx + 4Þ så mykje som mogleg.

Løysing 3xðx -- 2Þ -- 2xðx + 4Þ = ð3x 2 -- 6xÞ -- ð2x 2 + 8xÞ = 3x 2 -- 6x -- 2x 2 -- 8x = x 2 -- 14x

Oppgåver 1.27 Trekk saman. a) 3x + 2x b) 5x -- x c) 5a -- 4a

d) 3a + b -- a -- 3b e) 3x -- y -- 5x + 4y f) x + 2y -- y -- 3x + 2x

1.28 Løys opp parentesane og rekn ut. a) ð2x -- 2yÞ -- ðx -- 3yÞ d) 3a -- ða -- bÞ + ð2a -- 3bÞ b) ð5x -- yÞ + ð--2x + 3yÞ e) ð--3a + bÞ -- ð3a + bÞ f) 2x -- ð--x -- 2yÞ -- 3x c) ð--2a + bÞ + ð5a + 2bÞ 1.29 Rekn ut. a) 2ðx -- 3Þ + 3x b) 5a -- 2ð2a -- 3Þ c) ðx -- 2yÞ + 2ðx -- yÞ

d) 2x -- 2ð2x -- yÞ + 3x e) 3ð2a -- 2bÞ -- 2ða + 3bÞ f) 5x -- 2ðx -- 2yÞ + 3ðx + yÞ

1.30 Rekn ut. a) 2xðx -- 3Þ -- 2x b) xðx -- yÞ + 2x 2 c) xð2x -- yÞ -- 2xðx -- 2yÞ

d) 5x -- 3xðx -- 2Þ -- xðx + 2Þ e) a2 -- 2aða -- bÞ + 2ab f) að2a -- bÞ -- 3aða + 2bÞ

?

24

Kor mange gonger i løpet av ein 12-timars periode blir summen av timar og minutt som blir viste på ei digital klokke, lik 6?

Somme multiplikasjonsstykke består av to eller fleire parentesuttrykk, som for eksempel ða + bÞ ðc + dÞ Når vi skal multiplisere parentesuttrykka med kvarandre, multipliserer vi kvart ledd i den første parentesen med kvart ledd i den andre parentesen.

Tal og algebra

Multiplikasjon av to parentesuttrykk

ða + bÞ ðc + dÞ = ac + ad + bc + bd Vi kan illustrere dette slik: 2

1

(a + b) · (c + d) = ac + ad + bc + bd 3

4

Regel

Vi multipliserer to parentesuttrykk ved å multiplisere kvart ledd i den første parentesen med kvart ledd i den andre parentesen: ða + bÞðc + dÞ = ac + ad + bc + bd Eksempel 1:6

Rekn ut. a) ða + 2Þ ða -- 3Þ

b) ð2x -- 1Þ ðx + 2Þ -- 2ðx + 1Þ

Løysing a) ða + 2Þ ða -- 3Þ

b) ð2x -- 1Þ ðx + 2Þ -- 2ðx + 1Þ

= a -- 3a + 2a -- 6

= ð2x 2 + 4x -- x -- 2Þ -- ð2x + 2Þ

= a2 -- a -- 6

= 2x 2 + 4x -- x -- 2 -- 2x -- 2

2

= 2x 2 + x -- 4

25

Tal og algebra

Oppgåver 1.31 Rekn ut. a) ðx + 1Þ ðx + 2Þ b) ðx + 2Þ ð2x -- 1Þ c) ð2 -- aÞ ða + 3Þ

d) ða -- 2Þ ða + 2Þ e) ð2x -- 1Þ ð2 -- xÞ f) ðx -- 4Þ ð2 -- xÞ

1.32 Rekn ut. a) ða -- 2Þð2a -- 1Þ + 3a b) 2a + ða + 1Þð3a -- 2Þ

c) ð4a + 1Þða -- 1Þ -- 2a d) ðx + 2Þðx -- 2Þ -- ðx -- 3Þ

1.33 Rekn ut. a) ð3x -- 1Þð2 -- xÞ b) ð2x -- 4Þð2 + xÞ c) ð4a + 1Þða -- 1Þ -- 2a

d) ðx + 2Þðx -- 2Þ -- 3x e) ð2x + 1Þ2 -- 4x 2 f) 4xðx -- 1Þ2

Kvadratsetningane Vi multipliserer tre spesielle parentesuttrykk: ða + bÞ2 = ða + bÞða + bÞ = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 ða -- bÞ2 = ða -- bÞða -- bÞ = a2 -- ab -- ab + b2 = a2 -- 2ab + b2 ða + bÞða -- bÞ = a2 -- ab + ab -- b2 = a2 -- b2

Den tredje kvadratsetninga blir òg kalla for konjugatsetninga!

Desse utrekningane viser dei tre kvadratsetningane: = a2 + 2ab + b2 Første kvadratsetning: ða + bÞ2 Andre kvadratsetning: ða -- bÞ2 = a2 -- 2ab + b2 Tredje kvadratsetning: ða + bÞða -- bÞ = a2 -- b2 Eksempel 1:7

Rekn ut. a) ðx + 3Þ2

b) ða -- 5Þ2

c) ðx + 2Þðx -- 2Þ

Løysing a) ðx + 3Þ2 = x + 2 x 3 + 3 2

= x 2 + 6x + 9

26

c) ðx + 2Þðx -- 2Þ

b) ða -- 5Þ2 2

= a -- 2 a 5 + 5 2

= a2 -- 10a + 25

2

= x 2 -- 22 = x 2 -- 4

+ 2)(x + 2)

Tal og algebra

2 2 (x (x + ) =

Oppgåver 1.34 Rekn ut. a) ðx + 5Þ2 b) ðx + 4Þ2

c) ða -- 2Þ2 d) ða + 2Þða -- 2Þ

e) ðx -- 3Þ2 + 2x f) ðx + 1Þ2 -- 1

1.35 Rekn ut. a) ðx -- 2Þ2 + 2x b) ð3x + 1Þ2 -- 4x 2

c) ðx -- 3Þ2 + x 2 d) ðx + 1Þ2 -- ðx -- 1Þ

e) ð3a + 2Þð3a -- 2Þ f) ðx + 4Þ2 -- 2ðx -- 2Þ

Faktorisering Samansette tal kan skrivast som eit produkt av primtal: 6 = 2 3 18 = 2 3 3 30 = 2 3 5

Primtal kan delast berre på seg sjølv og på 1!

På tilsvarande måte kan bokstavuttrykk skrivast som eit produkt av primtal og variablar: 6xy = 2 3 x y 10x 2 = 2 5 x x Når bokstavuttrykket har fleire ledd, kan vi faktorisere uttrykket dersom ledda har éin eller fleire faktorar felles: 2x + 4 = 2 x + 2 2 = 2 ðx + 2Þ Her er 2 felles faktor. Vi set han utanfor ein parentes.

4a -- 8 = 2 2 a -- 2 2 2 = 2 2 ða -- 2Þ Her er 2 2 felles faktorar. Vi set dei utanfor ein parentes.

27

Tal og algebra

Eksempel 1:8

Faktoriser uttrykka. a) 9xy

b) 6x 2 y

c) 12x -- 18

Løysing a) 9xy = 3 3 x y b) 6x 2 y = 2 3 x x y c) 12x -- 18 = 2 2 3 x -- 2 3 3 = 2 3 ð2x -- 3Þ

Vi får bruk for faktorisering når vi skal forkorte brøkar, særleg når tala er store eller brøken inneheld bokstavuttrykk.

Eksempel 1:9

Forkort brøkane så mykje som mogleg.

12 4x 2 6x -- 9 c) a) b) 6xy 18 6 Løysing a)

12 2 2 3 2 = = 18 2 3 3 3

b)

4x 2 2 2 x x 2x = = 6xy 2 3 x y 3y

c)

6x -- 9 2 3 x -- 3 3 3 ð2x -- 3Þ 2x -- 3 = = = 6 2 3 2 3 2

Oppgåver

28

1.36 Skriv tala som produkt av primtal. a) 8 d) 16 b) 12 e) 18 c) 15 f) 22

g) 36 h) 56 i) 84

1.37 Faktoriser uttrykka. a) 10xy b) 12ab

e) 15xy 2 f) 51a3 b

c) 6a2 b d) 8x 2 y 2

c) 4x + 6 d) 10a -- 15

e) 12a + 18 f) 8a -- 12

1.39 Faktoriser uttrykka. a) 4ab -- 6b b) 9ab + 6a

c) 8x 2 -- 2x d) 4a2 -- 6a

e) 10x 2 y -- 4x f) 12a + 18a2

Tal og algebra

1.38 Faktoriser uttrykka. a) 2x + 6 b) 3x -- 9

1.40 Forkort brøkane så mykje som mogleg. a)

6xy 8y

c)

4x 2 6x

e)

8xy 6x 2 y

g)

10a3 8a

b)

12xy 16xy

d)

4x 10x 2

f)

6a 10a2

h)

12a2 16a3

1.41 Forkort brøkane så mykje som mogleg. a)

4x + 8 2

c)

2a + 12 2a

e)

6xy + 3x 3x

b)

6x -- 9 6

d)

6a2 + 4a 8a

f)

8x 2 y -- 4xy 2 4xy

Faktorisering ved hjelp av tredje kvadratsetning Vi kan bruke tredje kvadratsetning (konjugatsetninga) til å faktorisere ein differanse mellom to kvadrat. Då brukar vi setninga slik: a2 -- b2 = ða + bÞða -- bÞ Eksempel 1:10

Faktoriser uttrykka. a) x 2 -- 9

b) a2 -- 25

c) 2x 2 -- 8

b) a2 -- 25

c) 2x 2 -- 8

Løysing a) x 2 -- 9 = x 2 -- 32

= a2 -- 52

= 2ðx 2 -- 4Þ

= ðx + 3Þðx -- 3Þ

= ða + 5Þða -- 5Þ

= 2ðx 2 -- 22 Þ = 2ðx + 2Þðx -- 2Þ

29

Tal og algebra

Oppgåver 1.42 Faktoriser uttrykka. b) x 2 -- 36 a) x 2 -- 16

c) x 2 -- 49

d) x 2 -- 100

1.43 Faktoriser uttrykka. a) x 2 -- 4 c) 2a2 -- 8 b) x 2 -- 1 d) 3a2 -- 12

e) 3x 2 -- 27 f) 2x 2 -- 18

g) 2a2 -- 50 h) 2x 2 -- 200

Samantrekking av brøkuttrykk Vi kan trekkje saman brøkar når dei har same nemnar (fellesnemnar): 2 3 2+3 5 + = = 7 7 7 7 1 3 1 2 3 3 2 9 11 + = + = + = 6 4 6 2 4 3 12 12 12

Fellesnemnaren for 6 og 4 er 12.

Vi brukar same framgangsmåte når vi trekkjer saman bokstavuttrykk.

2x 3x 2x + 3x 5x + = = 7 7 7 7 x 3x x 2 3x 3 2x 9x 11x + = + = + = 6 4 6 2 4 3 12 12 12

Fellesnemnaren for 6 og 4 er 12.

Eksempel 1:11

Trekk saman brøkane. a)

2a a + 9 6

b)

x 1 4 + -3 2x 6x

c)

3 2 + 2x -- 2 x -- 1

Løysing a) Fellesnemnaren for 9 og 6 er 18.

2a a + 9 6

30

=

2a 2 a 3 + 9 2 6 3

=

4a 3a + 18 18

=

7a 18

Vi utvidar brøkane slik at dei får fellesnemnaren 18.

Tal og algebra

b) Vi finn fellesnemnaren: 3=3 2x = 2 x 6x = 2 3 x Fellesnemnar: 2 3 x = 6x x 1 4 + -3 2x 6x =

x 2 x 1 3 4 + -3 2 x 2x 3 6x

=

2x 2 3 4 + -6x 6x 6x

=

2x 2 + 3 -- 4 6x

=

2x 2 -- 1 6x

Vi utvidar to av brøkane slik at dei får fellesnemnar 6x.

c) Vi finn fellesnemnaren: 2x -- 2 = 2ðx -- 1Þ x -- 1 = x -- 1 Fellesnemnar: 2(x - 1) 3 2 + 2x -- 2 x -- 1 =

3 2 2 + 2ðx -- 1Þ 2ðx -- 1Þ

=

3 4 + 2ðx -- 1Þ 2ðx -- 1Þ

=

3+4 2ðx -- 1Þ

=

7 2x -- 2

Vi utvidar den andre brøken slik at begge brøkane får fellesnemnaren 2ðx -- 1Þ.

31

Tal og algebra

Oppg책ver 1.44 Rekn ut. Forkort svaret dersom det er mogleg.

2 1 + 3 9 5 1 b) -12 6

2x 4x + 3 9 5 2 d) -6 9

2x x + 9 6 3x 3x f) -5 10

c)

a)

e)

1.45 Rekn ut. Forkort svaret dersom det er mogleg. a)

5x 4x + 12 15

c)

2a 4a a + + 5 3 10

b)

7a 5a -8 6

d)

3a 4a 5a -+ 4 9 6

Her blir fellesnemnaren eit bokstavuttrykk!

1.46 Rekn ut. Forkort svaret dersom det er mogleg.

?

a)

2 3 + x 4x

d)

1 3 1 + -3a 4a 6a

b)

2 1 -3x 6x

e)

3x x 2x + + x -- 1 x -- 1 x -- 1

c)

3 3 + 8a 2a

Kva for eit av desse tala eller bokstavuttrykka passar ikkje inn?

30

a2 b

4b

50

1.47 Rekn ut. Forkort svaret dersom det er mogleg.

32

a)

3x x -- 8 + x -- 2 x -- 2

d)

6x 6x + 4 + 2x + 4 x+2

b)

a+1 2a + 2 + 2a + 2 3a + 3

e)

2 2 + 4x -- 16 3x -- 12

c)

2a -- 2 a -2a -- 4 3a -- 6

f)

3 x -- 1 1 + -3x -- 3 2x -- 2 x -- 1

Tal og algebra

Å setje inn tal i formlar og uttrykk

Formelen for arealet A av ein trekant med grunnlinje g og høgd h er

A=

g h 2

h

g

Dersom g = 8 cm og h = 9 cm, blir arealet A=

8 cm 9 cm = 36 cm2 2

Vi kan òg setje inn tal som verdiar for variablane i bokstavuttrykk.

Dersom x = 3 og y = 5, så er 6x -- 2y = 6 3 -- 2 5 = 18 -- 10 = 8

33

Tal og algebra

Eksempel 1:12

a) Trekk saman.

4x -- 2ðx -- yÞ b) Set x = 2 og y = 3 inn i oppgåve a og i svaret på oppgåva.

Samanlikn dei verdiane du får.

Løysing a) 4x -- 2ðx -- yÞ = 4x -- ð2x -- 2yÞ = 4x -- 2x + 2y = 2x + 2y b) Vi set x = 2 og y = 3 inn i oppgåva: 4x -- 2ðx -- yÞ = 4 2 -- 2ð2 -- 3Þ = 8 -- 2 ð -- 1Þ = 8 + 2 = 10 Vi set x = 2 og y = 3 inn i svaret: 2x + 2y = 2 2 + 2 3 = 4 + 6 = 10 Vi får 10 i begge tilfella.

Oppgåver 1.48 Formelen for omkrinsen av ein sirkel er: O = O står for omkrinsen, og d står for diameteren i sirkelen.

d r

Rekn ut omkrinsen når a) d = 10,0 cm b) d = 17,0 cm Formelen for arealet av ein sirkel er: A = r 2 A står for arealet, og r står for radien i sirkelen.

Rekn ut arealet når c) r = 5,0 dm d) r = 8,5 dm

34

d

b

O = 2a + 2b

Tal og algebra

1.49 Formelen for omkrinsen O av eit rektangel med lengda a og breidda b er:

a

der O står for omkrinsen, a for lengda og b for breidda i rektangelet.

Rekn ut omkrinsen når a) a = 8 cm og b = 5 cm b) a = 7,5 m og b = 4,5 m

1.50 Set x = 2 og y = 4 inn i uttrykka og rekn ut. a) x + y c) 3x + 2y b) 2x + y d) 3x -- y

e) 4x -- 2y f) x -- 3y

1.51 a) Set a = 3 og b = 2 inn i uttrykket og rekn ut.

2a -- b + 3a b) Trekk saman uttrykket i oppgåve a, og set deretter a = 3 og b = 2 inn i svaret.

1.52 a) Set x = 1 og y = 3 inn i uttrykket og rekn ut.

2ð2x -- yÞ -- 3ðx -- 2yÞ b) Trekk saman uttrykket i oppgåve a, og set deretter x = 1 og y = 3 inn i svaret.

1.53 Formelen for arealet A av ein trekant med grunnlinje g og høgd h er

A=

g h 2

h g

a) Rekn ut arealet av trekanten når g = 12 cm og h = 8 cm. b) Rekn ut grunnlinja når A = 84 cm2 og h = 24 cm. c) Rekn ut høgda når A = 55 cm2 og g = 15 cm.

35

Tal og algebra

Prøv deg sjølv 1

2

3

Skriv tala på standardform. a) 4500 b) 25 000

c) 370 000

d) 1 200 000

Skriv tala på standardform. a) 0,008 b) 0,0005

c) 0,00007

d) 0,00049

Skriv tala på utvida form. a) 4517 b) 27 019

c) 205 640

d) 1 280 409

4

Skriv tala på vanleg måte. a) 2 100 + 3 10 + 9 1 b) 4 1000 + 3 100 + 9 1 c) 7 1000 + 6 100 + 1 10 + 4 1 + 2 0,1 + 3 0,01 d) 3 1000 + 9 10 + 5 1 + 6 0,1 + 2 0,01 + 3 0,001

5

Tala nedanfor er skrivne i totalssystemet.

Skriv tala i titalssystemet. a) 111 d) 1001 b) 101 e) 10101 c) 1111 f) 110011

6

Tala nedanfor er skrivne i titalssystemet.

Skriv tala i totalssystemet. a) 5 c) 13 b) 8 d) 16

7

a) Summen av to tal er 60. Differansen mellom dei same to tala er 10.

Kva for to tal er det? b) Simen er ni år eldre enn syster si. Om tre år er Simen dobbelt så gammal som henne.

Kor gamle er dei no?

8

Rekn ut x i proporsjonane. a)

36

x 24 = 3 8

b)

36 x = 8 16

10

11

12

Løys opp parentesane og rekn ut. a) 3x -- ðx -- 3Þ c) 3a -- 2ða -- 2bÞ -- 3ða + bÞ b) ð2x -- 1Þ + ðx + 3Þ Rekn ut. a) ð2x + 1Þðx -- 2Þ b) ð3a -- 2Þða + 2Þ -- 3a

c) ðx + 2Þ2 -- 4x d) ð3x + 4Þð3x -- 4Þ

Primtalsfaktoriser tala. a) 12 b) 20

c) 42

14

d) 91

Faktoriser uttrykka slik at tala i uttrykka blir primtal. a) 12xy

13

Tal og algebra

9

b) 6a2 b

c) 8a2 b2

d) 3x + 9

e)

8xy + 12x 2 y 4xy

Rekn ut. Forkort svaret dersom det er mogleg. a)

1 2 + 6 3

c)

2x x -5 3

e)

3 2 1 + -5a 15a 10a

b)

1 5 + 6 10

d)

5a 1 + 8 12

f)

x 3x -- 1 + 2x -- 4 3x -- 6

Formelen for arealet A av ein sirkel med radius r er: A=

r2 = r r

r 2

der A står for arealet og r for radien i sirkelen. a) Rekn ut arealet når r = 8 cm. b) Rekn ut arealet når r = 6 m.

15

a) Set x = 2 og y = 1 inn i uttrykket og rekn ut.

3ð2x -- yÞ -- 3x b) Trekk saman uttrykket i oppgåve a, og set deretter x = 2 og y = 1 inn i svaret.

37

Tal og algebra

Noko å lure på 1

Talet 111 i totalssystemet er det same som 7 i titalssystemet.

Talet 11011 i totalssystemet er det same som 27 i titalssystemet.

I begge tilfella består tala i totalssystemet av fleire siffer enn tilsvarande tal i titalssystemet.

Kvifor er det slik?

Hm...

2

Vi veit at 105 : 102 = 105 -- 2 = 103 .

Bruk tilsvarande reknestykke for å forklare at

1 = 10--3 : 103

3

Du kjenner aldersskilnaden mellom to menneske.

Korleis kan du på grunnlag av dette alltid finne ut når den eine var eller blir dobbelt så gammal som den andre?

4

I ei blanding av tre stoff er det 30 % av eitt stoff og 50 % av eit anna stoff.

Korleis kan du setje opp samansetjinga i denne blandinga som eit forhold?

5

Talet 6 er interessant. Det er eit fullkomment tal.

6 = 1 2 3 Faktorane er 1, 2 og 3.

6=1+2+3 Kan du finne eit anna tal der summen av faktorane er talet sjølv?

Tips: Eit mogleg tal er mindre enn 30.

38

Talet sju finn vi att i mange samanhengar: sjuande far i huset, sjumilsstøvlar, sju underverk, osv.

13 er eit ulykkestal. Mange trur at det ikkje bør sitje 13 til bords, og at fredag den 13. er ein ulykkesdag.

Tal og algebra

6

Talet tre finn vi i ein del eventyr.

Finn ut meir om tal og mystikk.

Dei hengande hagane i Babylon, eit av verdas sju underverk frå antikken.

Frå «Histoire Ancienne» av Charles Rollin (1829).

7

Vi dividerer 1 og 2 med 7: 1 = 0,142857 . . .

7

2 = 0,285714 . . .

7

Divider fleire tal med 7, og finn ut korleis svaret endrar seg.

8

Herman påstår at elleve tusen, elleve hundre og elleve er det same som 11 111.

Har Herman rett?

39

Tal og algebra

Oppsummering Tal på standardform og på utvida form Vi kan skrive naturlege tal på standardform.

250 000 =

2,5 105

0,0025 =

2; 5 10--3

Vanleg form

Standardform

Vanleg form

Standardform

Vi kan skrive naturlege tal og desimaltal på utvida form.

24 537 = 2 10 000 + 4 1000 + 5 100 + 3 10 + 7 1 = 2 104 + 4 103 + 5 102 + 3 101 + 7 100 385,39 = 3 100 + 8 10 + 5 1 + 3 0,1 + 9 0,01 = 3 102 + 8 101 + 5 100 + 3 10--1 + 9 10--2

Totalssystemet I totalssystemet brukar vi berre siffera 0 og 1. Plassverdiane i dette talsystemet er potensar av 2 (1, 2, 4, 8, osv.).

Talet 1101 i totalssystemet er 1101 = 1 23 + 1 22 + 0 2 + 1 1 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13 i titalssystemet.

Parentesar Når vi løyser opp parentesar med minusteikn framfor, skiftar vi forteikn på kvart ledd inne i parentesen.

5x -- ð2x -- 3Þ = 5x -- 2x + 3 = 3x + 3 Når vi løyser opp parentesar med plussteikn framfor, skiftar vi ikkje forteikn.

5x + ð2x -- 3Þ = 5x + 2x -- 3 = 7x -- 3

Multiplikasjon av tal med parentesuttrykk Dersom det står eit tal eller eit variabeluttrykk framfor ein parentes, må vi multiplisere talet eller variabeluttrykket med kvart ledd inne i parentesen før vi løyser han opp.

5x -- 2ð2x -- 3Þ = 5x -- ð4x -- 6Þ = 5x -- 4x + 6 = x + 6

40

Vi kan multiplisere to parentesuttrykk med kvarandre. Vi multipliserer kvart ledd i den første parentesen med kvart ledd i den andre parentesen. ða + 2Þ ð2a -- 3Þ

Tal og algebra

Multiplikasjon av to parentesuttrykk

= 2a2 -- 3a + 4a -- 6 = 2a2 + a -- 6

Kvadratsetningane Første kvadratsetning: Andre kvadratsetning: Tredje kvadratsetning:

ða + bÞ2 = a2 + 2ab + b2 ða -- bÞ2 = a2 -- 2ab + b2 ða + bÞða -- bÞ = a2 -- b2

Faktorisering Vi kan faktorisere variabeluttrykk. Då skriv vi tala som produkt av primtalsfaktorar.

15x 2 y = 3 5 x x y Vi kan bruke tredje kvadratsetning til å faktorisere ein differanse mellom to kvadrat. Då brukar vi setninga slik: a2 -- b2 = ða + bÞða -- bÞ

Samantrekking av brøkuttrykk Vi kan trekkje saman brøkuttrykk som inneheld bokstavuttrykk.

Fellesnemnar er 12x.

Fellesnemnar er 6(a + 1).

3 5 2 + -4x 6x 3x

a+1 2a + 2 + 2a + 2 3a + 3

=

3 3 5 2 2 4 + -4x 3 6x 2 3x 4

=

a+1 2a + 2 + 2ða + 1Þ 3ða + 1Þ

=

9 10 8 + -12x 12x 12x

=

ða + 1Þ 3 ð2a + 2Þ 2 + 2ða + 1Þ 3 3ða + 1Þ 2

=

11 12x

=

3a + 3 + 4a + 4 6ða + 1Þ

=

7a + 7 7ða + 1Þ 7 = = 6ða + 1Þ 6ða + 1Þ 6

41

Korleis klarte romarane 책 rekne ut halvsirklane?

Hm, hypotenusen m책 vere dobbelt s책 lang som den kortaste kateten!

Desse er formlike!

2

Geometri og

berekningar

Geometri og berekningar blir nytta i mange yrke. Om du er matematikar, arkitekt, snikkar, murar eller astronom, må du kjenne litt til dei ulike områda innanfor geometrien og kunne gjere ulike berekningar.

Mål I dette kapittelet skal du få lære om . . . . . .

Pytagoras-setninga eigenskapane ved spesielle trekantar konstruksjon av trekantar og firkantar perspektivteikning med eitt og to forsvinningspunkt formlikskap og kongruens geometri i teknologi, kunst og arkitektur

Geometri blir jo brukt overalt!

Geometri og berekningar

Pytagoras-setninga Korleis kan vi finne den ukjende sida i den rettvinkla trekanten?

Vi kan bruke Pytagorassetninga!

N책r kan vi bruke Pytagoras-setninga?

Ein trekant der ein av vinklane er 90째, kallar vi ein rettvinkla trekant. Den lengste sida ligg alltid lengst vekk fr책 den rette vinkelen. Den lengste sida kallar vi hypotenus, mens dei to andre sidene kallar vi katetar.

C katet

A

hypotenus

katet

B

Vi brukar Pytagoras-setninga til 책 rekne ut lengda av ein ukjend hypotenus eller katet i ein rettvinkla trekant.

44

Vi finn hypotenusen eller den ukjende kateten i ein rettvinkla trekant ved å bruke formelen: katet2 + katet2 = hypotenus2 Eksempel 2:1

Rekn ut hypotenusen.

Geometri og berekningar

Regel

C

x cm

6 cm

A

8 cm

B

Løysing katet2 + katet2 = hypotenus2 62 + 82 = x 2 36 + 64 = x 2 100 = x 2 pffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi 100 = x 2

Vi finn kvadratrota på begge sider.

10 = x x = 10 Hypotenusen er 10 cm.

45

Geometri og berekningar

Eksempel 2:2

Rekn ut den ukjende kateten.

C

2,5 cm

1,5 cm

A

B

x cm

Løysing katet2 + katet2 = hypotenus2 x 2 + 1,52 = 2,52 x 2 + 2,25 = 6,25 x 2 + 2,25 -- 2,25 = 6,25 -- 2,25

Vi trekkjer frå 2,25 på begge sider.

2

x = 4,0 pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi x 2 = 4,0

Vi finn kvadratrota på begge sider.

x=2 Den ukjende kateten er 2,0 cm.

Oppgåver 2.1

Rekn ut hypotenusen. a) C

9 cm

A

46

12 cm

B

C

7 cm

A

c)

B

24 cm

Geometri og berekningar

b)

C 2,8 cm

A

2.2

B

4,5 cm

Rekn ut den ukjende kateten. a) b)

c)

C

C

4 cm

C

4,1 cm 6 cm

17 cm

6,1 cm

15 cm A

B A

A

2.3

B

B

Rekn ut den ukjende sida i dei rettvinkla trekantane n책r a) hypotenusen er 15 m, og den eine kateten er 5 m b) den eine kateten er 12 dm, og den andre kateten er 9,5 dm c) hypotenusen er 2,5 km, og den eine kateten er 2,0 km

47

Geometri og berekningar

?

2.4

Kan vi bruke Pytagoras-setninga til ĂĽ rekne ut sidene i ein likebeint trekant?

Grunngi svaret.

Rekn ut arealet av dei ulike farga felta i flagga. a) b) 6m

4,5 m 1m

1,5 m

1m 1,5 m 1m 2m

1,5 m Kuwait

2.5

I glaspyramiden til museet Louvre i Paris har grunnflata form som eit kvadrat. Sida i kvadratet er 35 m. Høgda i pyramiden er 20,6 m.

Kor stort areal har kvar av sideflatene i pyramiden?

Glaspyramiden framfor Louvre i Paris

48

Tsjekkia

Hm, to av sidene er like lange!

Geometri og berekningar

Spesielle trekantar Trekanten er halvparten så stor som ein likesida trekant!

Kva er spesielt med desse to trekantane?

Rettvinkla, likebeint trekant I ein rettvinkla, likebeint trekant er éin vinkel 90° og to vinklar 45°.

I ein slik trekant er katetane like lange.

Vi kan finne dei ukjende sidene ved hjelp av Pytagoras-setninga sjølv om vi kjenner lengda til berre éi av sidene.

Dei to sidene x er like lange.

C 45°

x

45° A

x

B

49

Geometri og berekningar

Eksempel 2:3

C

Rekn ut dei ukjende katetane.

45°

Løysing AB = AC Vi kallar sidene AB og AC for x.

4,8 cm

katet2 + katet2 = hypotenus2

45°

x 2 + x 2 = 4,82

A

B

2

2x = 23,04 2x 2 23,04 = 2 2

Vi dividerer alle ledd med 2.

x 2 = 11,52 pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x 2 = 11; 52

Vi finn kvadratrota på begge sider.

x = 3,4 AB = AC = 3,4 cm:

Trekantar med vinklar på 30°, 60° og 90° I ein likesida trekant er alle sider like lange og alle vinklar like store (60°). Dersom vi deler ein likesida trekant i to like store trekantar, får vi to like rettvinkla trekantar der vinklane er 30°, 60° og 90°.

C

C

60°

60° A

Kor lang er den kortaste kateten i forhold til hypotenusen?

30°

60°

30°

60° B

A

60° D D

Vi ser at hypotenusen er dobbelt så lang som den kortaste kateten i dei to trekantane til høgre.

50

C

B

AB = AD + DB

I ein rettvinkla trekant der vinklane er 30°, 60° og 90°, er hypotenusen dobbelt så lang som den kortaste kateten.

Vi kan finne dei ukjende sidene ved hjelp av Pytagoras-setninga sjølv om vi kjenner lengda til berre éi av sidene.

Eksempel 2:4

Geometri og berekningar

Regel

Rekn ut hypotenusen og den lengste kateten.

C

Løysing BC = 2 AB BC = 2 4,2 cm

30°

BC = 8,4 cm

Vi kallar AC for x.

60°

katet2 + katet2 = hypotenus2 A

x 2 + 4,22 = 8,42

4,2 cm

B

x 2 + 17,64 = 70,56 x 2 + 17,64 -- 17,64 = 70,56 -- 17,64

Vi trekkjer frå 17,64 på begge sider.

2

x = 52,92 pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x 2 = 52,92

Vi finn kvadratrota på begge sider.

x 7,3 Den lengste kateten AC er 7,3 cm, og hypotenusen BC er 8,4 cm.

Eg flyttar over og skiftar forteikn.

51

Geometri og berekningar

Eksempel 2:5

C

Rekn ut hypotenusen og den kortaste kateten.

30°

Løysing Vi kallar AB for x. Då blir BC = 2x.

5,2 cm

katet2 + katet2 = hypotenus2 60°

x + 5,2 = ð2xÞ 2

2

2

A

x 2 + 27,04 = 4x 2

B

ð2xÞ2 = ð2xÞ ð2xÞ = 4x 2

x 2 -- x 2 + 27,04 = 4x 2 -- x 2

Vi trekkjer frå x 2 på begge sider.

27,04 = 3x 2 27,04 3 9,0 pffiffiffiffiffiffi 9,0 x

3x 2 3 = x2 pffiffiffiffiffi = x2 = 3; 0 =

Vi dividerer begge ledda med 3.

Vi finn kvadratrota på begge sider.

BC = 2 3,0 cm = 6,0 cm Den kortaste kateten AB er 3,0 cm, og hypotenusen BC er 6,0 cm.

Oppgåver 2.6

Rekn ut dei ukjende sidene i dei rettvinkla, likebeinte trekantane. a) b) C

C

45° 45°

9,0 cm 45° 45° A

52

6,0 cm

B

A

B

Rekn ut dei ukjende sidene i dei rettvinkla trekantane. a) b) C

Geometri og berekningar

2.7

C

30°

30°

10 cm 60° A

3,5 cm

B

60° A

2.8

B

Rekn ut dei ukjende sidene i dei rettvinkla trekantane. a) b) C

C

30°

30° 4,5 cm 6,0 cm

60° A

B

60° A

2.9

B

a) Lag ei konstruksjonsoppgåve der du brukar minst tre av storleikane under.

3,5 cm

45°

5,0 cm

60°

7,0 cm

90°

b) La ein medelev løyse oppgåva.

53

Geometri og berekningar

Konstruksjon og berekning Rekn ut omkrinsen og arealet av firkanten!

D

A

C

B

Kva må vi kunne for å berekne omkrinsen eller arealet av ein figur vi har konstruert?

Mangekantar Når vi konstruerer mangekantar, kombinerer vi ofte fleire vinkelkonstruksjonar for å oppnå ønskt vinkelstorleik.

Normal i eit punkt (90°)

Nedfelle ein normal (90°)

P

54

Halvere ein vinkel

Når vi skal berekne sider, omkrins eller areal av ulike mangekantar, får vi bruk for kunnskap om – ulike mangekantar – Pytagoras-setninga – trekantar med vinklar på 45°, 45° og 90° – trekantar med vinklar på 30°, 60° og 90°

Geometri og berekningar

Konstruere 60°

Eksempel 2:6

Ein 4ABC har desse måla: AB = 5,5 cm, a) Teikn ein hjelpefigur. b) Konstruer trekanten. c) Skriv forklaring. d) Kor stor er B? e) Rekn ut AC. Løysing a)

A = 45° og

C = 90°

C

45° A

B

5,5 cm

b)

C

A

B

55

Geometri og berekningar

c) 1.

2.

3.

4.

Sette av AB = 5,5 cm.

Konstruerte 45° i A. Nedfelte normalen frå B til det venstre vinkelbeinet til A. Fann C der normalen skar det venstre vinkelbeinet til A, C = 90°.

d) B = 180° -- 90° -- 45° = 45° e) AC = BC. Vi kallar sidene AC og BC for x. katet2 + katet2 = hypotenus2 x 2 + x 2 = 5,52 2x 2 = 30,25 2x 2 30,25 = 2 2 2 x = 15,13 pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x 2 = 15,13

Vi dividerer begge ledda med 2.

Vi finn kvadratrota på begge sider.

x 3,89 AC = BC = 3,9 cm

Eksempel 2:7

Ein firkant ABCD har desse måla: AB = 3,0 cm, A = 90°, ABD = 60°, BDC =

DBC = 45°

a) Teikn ein hjelpefigur. b) Konstruer firkanten. c) Rekn ut dei ukjende sidene AD, BD, BC og CD. d) Rekn ut arealet av firkanten ABCD. Løysing a) D 45°

90° A

56

C

45° 60° 3,0 cm

B

D

C

A

Geometri og berekningar

b)

B

c) I 4ABD er vinklane 30°, 60° og 90°.

BD = 2 AB BD = 2 3,0 cm BD = 6,0 cm AB2 + AD2 = BD2 Vi kallar AD for x.

3,02 + x 2 = 6,02 9,0 + x 2 = 36,0 9,0 -- 9,0 + x 2 = 36,0 -- 9,0 x 2 = 27,0 pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffi x 2 = 27,0

Vi trekkjer frå 9,0 på begge sider.

Vi finn kvadratrota på begge sider.

x 5,2 AD = 5,2 cm

57

Geometri og berekningar

I 4BCD er vinklane 45°, 45° og 90°.

BC = CD. Vi kallar BC og CD for x.

x 2 + x 2 = 6,02 2x 2 = 36,0 2x 2 36,0 = 2 2 x 2 = 18,0 pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffi x 2 = 18,0

Vi dividerer begge ledda med 2.

Vi finn kvadratrota på begge sider.

x 4,2 BC og CD er 4,2 cm.

d) Arealet av 4ABD = Arealet av 4BCD =

AB AD 3,0 cm 5; 2 cm = = 7; 8 cm2 2 2 BC CD 4; 2 cm 4; 2 cm = = 8; 82 cm2 2 2

Arealet av firkant ABCD = 7,8 cm2 + 8,82 cm2 = 16,62 cm2 Arealet av firkant ABCD er 16,6 cm2 : Oppgåver 2.10 Ein 4ABC har desse måla: AB = 7,5 cm, a) Teikn ein hjelpefigur. b) Konstruer trekanten. c) Skriv forklaring. d) Kor lang er AC? e) Rekn ut lengda av BC.

A = 90° og

2.11 Ein 4ABC har desse måla: AB = 5,0 cm, A = 90° og a) Teikn ein hjelpefigur. b) Konstruer trekanten. c) Skriv forklaring. d) Kor lang er BC? e) Rekn ut lengda av AC.

58

B = 45°

B = 60°

2.13 Ein firkant ABCD har desse måla: AB = 8,0 cm, B = 60°, BC = 4,0 cm, a) Teikn ein hjelpefigur. b) Konstruer firkanten. c) Skriv forklaring.

C = 30° og BC = 4,5 cm

CAD = 45° og AD = 5,0 cm

Geometri og berekningar

2.12 Ein 4ABC har desse måla: B = 90°, a) Teikn ein hjelpefigur. b) Konstruer trekanten. c) Skriv forklaring. d) Rekn ut lengda av AC og AB.

2.14 a) Konstruer ein firkant ABCD der A = 90°, AD = 5,0 cm, BD = 9,5 cm, CBD = 60° og avstanden frå C til BD er 5,5 cm. b) Rekn ut AB. 2.15 Ein firkant ABCD har desse måla: AB = 7,0 cm, BAD = 30°, DBC = 90° og BD = BC a) Teikn ein hjelpefigur. b) Konstruer firkanten. c) Skriv forklaring. d) Rekn ut omkrinsen av firkant ABCD. e) Rekn ut arealet av firkant ABCD.

ABD = 60°,

Leonardo da Vinci (1452–1519) blir omtala som eit universalgeni. Han arbeidde blant anna med konstruksjonar knytte til vitskapelege målingar og arkitektur.

59

Geometri og berekningar

Sirkelen Sirkelen er sett saman av ei mengd punkt som ligg like langt frå sentrum i sirkelen.

Vi brukar linjestykka diameter og radius når vi skal berekne omkrins og areal av ein sirkel.

Linjestykka frå eitt punkt på sirkellinja til eit anna, kallar vi ein korde.

Diameteren er den lengste korden vi kan teikne.

Ei linje som rører ved (tangerer) sirkellinja i eitt punkt, kallar vi en tangent. Tangenten står alltid vinkelrett på radien frå tangeringspunktet.

korde sentrum

radius

diameter

O = d = 2 r A = r 2 tangent

60

Geometri og berekningar

Vi kan finne sentrum i ein sirkel ved konstruksjon slik:

Midtnormalen til korden er diameteren i sirkelen!

1 Teikn ein sirkel.

2 Teikn ein korde.

3 Konstruer midtnormalen på korden.

Forleng midtnormalen slik at han skjer sirkellinja i to punkt. Han blir då ein diameter.

4 Konstruer til slutt midtnormalen til diameteren. Skjeringspunktet mellom diameteren og denne normalen er sentrum i sirkelen.

Oppgåver 2.16 Teikn ein sirkel og finn sentrum ved hjelp av konstruksjon.

2.17 Kva heiter den lengste korden du kan teikne i ein sirkel?

2.18 Konstruer sirklane og rekn ut omkrins og areal. a) b) c)

r = 2 cm r = 3 cm

r = 7 cm

2.19 a) Konstruer ein likesida 4ABC med sider lik 7 cm. b) Konstruer midtnormalane til sidene AB, BC og AC. Kall skjeringspunkta til midtnormalen for S. c) Konstruer ein sirkel med sentrum i S, og la han gå gjennom hjørna på trekanten.

61

Geometri og berekningar

2.20 a) Konstruer ein valfri sirkel. b) Set av kordar som er like lange som radien, rundt på sirkelbogen. c) Kor mange kordar har du sett av når du kjem tilbake til startpunktet? d) Kva slags figur har du laga?

2.21 a) Teikn ein sirkel med sentrum S. b) Teikn ein stråle frå S som skjer sirkelbogen. c) Konstruer ein tangent til sirkelen i skjeringspunktet mellom sirkelbogen og strålen.

2.22 a) Konstruer ein halvsirkel og kall diameteren for AB. Diameteren AB er grunnlinja i ein trekant. b) Teikn tre ulike trekantar ABC med grunnlinje AB og slik at C ligg på sirkelbogen. c) Kor stor er C i dei tre trekantane?

A

B

A

2.23 Lag eit sekskantpuslespel.

Du treng: Passar, linjal, papp eller kartong, saks, blyant 1 Lag ein sirkel med diameter 15 cm på kartong. Trekk eit loddrett linjestykke gjennom sentrum i sirkelen. Kall skjeringspunkta med sirkelbogen for A og D. 2 Set passarspissen i A og slå ein bue som skjer sirkelbogen to steder. Opninga i passaren skal vere lik radius (7,5 cm). Kall skjeringspunkta for B og F. Gjer det same i punkt D. Kall skjeringspunkta for C og E.

D

A rad ius

B

E

C D

62

F

A B

F

C

E

Geometri og berekningar

3 Trekk linjestykka AB, BC, CD, DE og EF og FA. Trekk så linjestykka frå B, C, E og F til sentrum.

D

4 Del linjestykka AB, BC, CD, DE og EF på midten. Kall punkta for G, H, I, J, K og L. Trekk linjestykka GI, GK, HL, HJ og IK. Sekskanten er no fylt med likesida trekantar.

G

A

L

B

F

H

K E

C

5 Klipp ut og fargelegg brikkene til puslespelet. Vel sjølv korleis brikkene skal sjå ut.

I

D

J

6 Legg brikkene i ein konvolutt, byt med kvarandre og pusle puslespela.

Lurer på kor lang tid eg bruker ...

63

Geometri og berekningar

Formlikskap og kongruens Ein av figurane p책 tavla er formlik med denne!

Kva meiner vi med formlikskap?

Formlikskap To figurar er formlike dersom dei har same form. Dei treng ikkje 책 ha same storleik.

C

10,0 cm

F

6,0 cm 5,0 cm

A

8,0 cm

B

D

3,0 cm

4,0 cm

N책r vi m책ler vinklane i dei to trekantane, finn vi at og C = F

A=

E

D,

B=

E

Vi seier at samsvarande vinklar er like store, eller at vinklane er parvis like store.

64

AB 8,0 cm = =2 DE 4,0 cm

BC 6,0 cm = =2 EF 3,0 cm

AC 10,0 cm = =2 DF 5,0 cm

Vi seier at forholdet mellom to samsvarande sider er konstant.

Det betyr at trekantane er formlike.

Vi skriv:

Teiknet ~ betyr formlik!

Geometri og berekningar

Når vi reknar ut forholdet mellom to og to samsvarande sider i dei to trekantane på førre side, finn vi ut at forholdet er konstant.

4ABC 4DEF Regel

I to formlike figurar er samsvarande vinklar like store, og forholdet mellom samsvarande sider er konstant.

Eksempel 2:8

C

4ABC 4DEF Rekn ut DE. 15 cm F 5 cm 12 cm

A

B

D

x cm

E

Løysing Trekantane er formlike.

DE DF = AB AC Vi kallar den ukjende sida DE for x. x 5 = 12 15 x 12 5 12 = 12 15 60 x= 15

Vi multipliserer begge ledda med 12.

x=4 DE er 4 cm.

65

Geometri og berekningar

Oppgåver 2.24 Kva figurar er formlike?

?

A

C

E

G

B

D

F

H

Korleis vil du gå fram for å forklare formlikskap mellom 4DSC og 4ASB?

A C S

D

Frå veggen i trappebrønnen Chand Baori i India. Bygd mellom år 800 og år 900.

66

B

Geometri og berekningar

2.25 Trekantane er formlike. Rekn ut dei ukjende sidene x. a) C F 6 cm

x

8 cm

A

B

6 cm

D

E

b) C F 5 cm

10 cm

A

x

B

8 cm

D

E

c) 6 cm

E

B

D

C 4 cm

x

8 cm A

F

2.26 4ABC og 4DEF er formlike.

Rekn ut lengda av sidene DF og EF. C F

5,6 cm

A

4,4 cm

8,0 cm

B

D

6,0 cm

E

67

Geometri og berekningar

2.27 Å finne høgda på ulike ting ved hjelp av skuggen var kjent alt i antikken.

Det blir sagt at filosofen Thales, som levde omkring 600 før vanleg tidsrekning, bestemte høgda på Keopspyramiden ved hjelp av sola og skuggen av pyramiden. Thales bruka kunnskap om formlikskap til å berekne høgda til pyramiden.

Modellen nedanfor viser korleis han ved hjelp av ein stokk berekna høgda til pyramiden.

Portrett av Thales frå Milet av Ambrose Tardieu, ca. 1810

2m 274 m

Kor høg er Keopspyramiden?

68

4m

To figurar er kongruente dersom dei har same form og storleik. Då er vinklane parvis like store, sidene parvis like lange, og den eine figuren vil nøyaktig dekkje den andre.

C

E

D 90°

Geometri og berekningar

Kongruens

90° B

A

Teiknet ffi betyr «er kongruent med»!

F

Vi skriv: 4ABC ffi 4DEF Vi les: 4ABC er kongruent med 4DEF. Regel

To figurar er kongruente når den eine figuren nøyaktig dekkjer den andre.

Det vil seie at figurane er formlike og like store. Vi brukar teiknet ffi for kongruens.

Oppgåver 2.28 Kva figurar er kongruente?

A

C

E

G

I

B

D

F

H

J

69

Geometri og berekningar

2.29 Finn eksempel på ting som er kongruente.

Kva med desse?

2.30 Ta dei nødvendige måla og teikn kongruente figurar. a)

c)

b)

2.31 a) Konstruer 4ABC der AB = 5 cm, B = 45° og BC = 7 cm: b) Konstruer 4DEF der DE = 7 cm, D = 45° og DF = 5 cm. c) Er dei to trekantane kongruente?

70

Geometri og berekningar

Kongruensavbildingar Snøkrystallen er symmetrisk!

Kva meiner vi med symmetri?

Speglingssymmetri Ein figur er speglingssymmetrisk dersom vi kan dele han i to kongruente figurar som dekkjer kvarandre nĂĽr vi brettar dei om symmetriaksen. Ein og same figur kan ha fleire symmetriaksar.

Vi arbeider med slike figurar i matematikkfaget, og vi finn dei att i naturen, i kunsten og i arkitekturen.

Kor mange symmetriaksar:

1

2

4

6

Somme figurar har ingen symmetriaksar, mens for eksempel ein sirkel har eit uendeleg tal pĂĽ symmetriaksar.

71

Geometri og berekningar

Oppgåver 2.32 Kor mange symmetriaksar har figurane? a) b) c)

d)

2.33 Teikn av figurane og merk av symmetriaksane. a) b) c)

d)

2.34 Sjå på bileta og bestem talet på symmetriaksar. c) a)

Blåveis

b)

d)

Oransjegullvenge

72

Gaukesyre

Tepperot

Geometri og berekningar

2.35 Brett eit papir, og klipp ut eit hjarte, eit juletre, ein snøkrystall eller ein valfri figur.

Kvar finn du symmetriaksen?

Spegling ved hjelp av eit koordinatsystem Når vi speglar ein figur om ei linje, får vi to kongruente figurar. Vi seier at vi har gjort ei kongruensavbilding fordi den opphavlege figuren og spegelbiletet av han, er kongruente figurar.

Vi kan spegle figurar i eit koordinatsystem. Då speglar vi figuren om førsteaksen eller andreaksen.

Desse aksane fungerer som symmetriaksar.

Andreaksen

A

A'B'C' les vi A-merkt, B-merkt og C-merkt.

y

C

C’

B

B’

A’

x Førsteaksen

Dersom vi speglar ein 4ABC, kallar vi den nye trekanten for 4A0 B0 C 0 .

73

Geometri og berekningar

Eksempel 2:9

Spegl 4ABC om andreaksen.

Andreaksen

y C

A

B

x

Førsteaksen

Løysing Andreaksen

B’

y

C’

C

A’

A

B

x Førsteaksen

Hjørnet A(1, 1) blir A'(–1, 1) Hjørnet B(5, 1) blir B'(–5, 1) Hjørnet C(1, 4) blir C'(–1, 4) Trekkjer linjestykka A'B', B'C' og A'C'.

4A0 B0 C 0 ffi 4ABC

74

Geometri og berekningar

Oppgüver 2.36 Teikn av figuren og koordinatsystemet, og spegl figuren om førsteaksen. a) y

x

b)

y

x

2.37 Teikn av figuren og koordinatsystemet.

Spegl figuren om a) andreaksen b) førsteaksen

y

x

75

Geometri og berekningar

2.38 Teikn av figuren og koordinatsystemet.

Spegl figuren om a) andreaksen b) førsteaksen y

x

2.39 Teikn av figuren og koordinatsystemet. a) Spegl figuren om andreaksen. b) Spegl den nye figuren om førsteaksen. c) Trekk linjer frå hjørna av figuren og gjennom origo.

Kva oppdagar du? y

x

76

Når vi skal spegle ein figur om ei linje, kan vi bruke passar og linjal. Vi nedfeller normalar frå punkt på figuren til linja. Vi set så av avstanden frå punkta til linja på den andre sida av linja, slik at vi får nye punkt. Spegelbiletet av eit punkt A kallar vi A'.

Eksempel 2:10

C

a) Spegl 4ABC om linja l.

l

Geometri og berekningar

Spegling ved hjelp av passar og linjal

b) Skriv forklaring.

A B

Løysing a)

C

A

l

B B’

C’

A’

b) 1. Nedfelte normalar frå A, B og C til linja l.

2. Sette av avstanden frå A til l på andre sida av l.

3. Gjorde tilsvarande med B og C. 4. Trekte linjestykka A'B', B'C' og A'C'.

5. Fekk 4A'B'C' 4A0 B0 C 0 ffi 4ABC

77

Geometri og berekningar

Oppg책ver 2.40 Teikn av, og spegl figuren om linja l ved hjelp av konstruksjon. a) b) l

l

2.41 Teikn av, og spegl figuren om linja l ved hjelp av konstruksjon. a) l

b) l

78

Geometri og berekningar

2.42 a) Teikn av 4ABC og linjene l og m.

C l A

B

m

b) Spegl figuren om linja l ved hjelp av konstruksjon. c) Spegl s책 den nye figuren om linja m ved hjelp av konstruksjon.

Glaspyramiden framfor Louvre i Paris

79

Geometri og berekningar

Rotasjon Somme gonger brukar vi rotasjon når vi lagar kongruensavbildingar. Dersom ikkje noko anna er opplyst, utfører vi rotasjonen mot venstre.

Eksempel 2:11

a) Roter 4ABC 90° om punktet P. b) Skriv forklaring.

C

A

B

P

Løysing a) B’ C C’

A’

A

B

P

b) 1. Roterte A 90° om P. a) Trekte ein stråle frå A gjennom P. b) Konstruerte 90° i P med det eine vinkelbeinet PA. c) Sette av avstanden PA på det andre vinkelbeinet og fann A'.

2. Roterte B 90° om P. a) Trekte ein stråle frå B gjennom P. b) Konstruerte 90° i P med det eine vinkelbeinet PB. c) Sette av avstanden PB på det andre vinkelbeinet og fann B'.

3. Roterte C 90° om P. a) Trekte ein stråle frå C gjennom P. b) Konstruerte 90° i P med det eine vinkelbeinet PC. c) Sette av avstanden PC på det andre vinkelbeinet og fann C'.

4. Trekte linjestykka A'B', B'C' og A'C'.

5. Fekk 4A0 B0 C 0 :

80

C

2.43 Teikn av figuren og roter 4ABC 60° om punktet P ved hjelp av konstruksjon.

P B

A

P

2.44 Teikn av figuren og roter 4ABC 120° om punktet P ved hjelp av konstruksjon.

Geometri og berekningar

Oppgåver

C A

B

2.45 Teikn eit kvadrat ABCD. Roter kvadratet 120° om A ved hjelp av konstruksjon.

2.46 a) Teikn ein 4ABC og eit punkt P utanfor trekanten. b) Roter 4ABC 150° om punktet P ved hjelp av konstruksjon.

Parallellforskyving Parallellforskyving er òg ei form for kongruensavbilding.

Bileta nedanfor viser eksempel på dette.

Pont Alexandre III, Paris

Veggmåleri frå gravkammeret til Ramses I, Egypt

81

Geometri og berekningar

NĂĽr vi parallellforskyver ein figur, kan vi konstruere eller teikne inn parallelle hjelpelinjer.

Eksempel 2:12

Teikn av og parallellforskyv trekanten 2 cm to gonger i den retninga pila viser.

Løysing

OppgĂĽver 2.47 Teikn av og parallellforskyv trekanten 3 cm fire gonger i den retninga pila viser.

2.48 Teikn av og parallellforskyv figuren 4 cm tre gonger i den retninga pila viser.

82

Geometri og berekningar

2.49 Teikn av og parallellforskyv figuren 2 cm tre gonger i den retninga pila viser.

2.50 Lag ditt eige mønster som byggjer på parallellforskyving. a) Følg brukarrettleiinga. Du treng saks og papir.

1 Klipp eit A4-ark opp i tre delar.

2 Brett ein av bitane som eit trekkspel.

3 Klipp ut ein figur du bestemmer sjølv.

NB! Ikkje klipp over brettekantane.

Ikkje klipp her!

Ikkje klipp her!

b) Kva type kongruensavbilding har du laga? c) Kvar finn du symmetriaksane?

83

Geometri og berekningar

Perspektivteikning

Kva er skilnaden pĂĽ dei to figurane?

Eitt forsvinningspunkt Nedanfor ser du eit bilete av ein veg. Breidda til vegen er heile tida den same, men pĂĽ biletet ser det ut som om vegen forsvinn inn i eitt punkt. Grunnen til dette er at det som er langt borte, ser mindre ut enn det som er nĂŚrt.

Route 66, USA

84

1 Teikn først grunnfiguren framanfrå og trekk deretter hjelpelinjer frå kvart av hjørna mot eit forsvinningspunkt.

Geometri og berekningar

Vi lagar teikningar og tredimensjonale figurar i perspektiv for at dei skal sjå meir «riktige» ut. Når vi teiknar figurar i perspektiv, teiknar vi linjene til figuren «inn» i papiret slik at dei endar i eitt punkt, forsvinningspunktet.

2 Teikn den formlike baksida av figuren.

3 Trekk til slutt linjestykke mellom hjørna.

Oppgåver 2.51 Bruk perspektivteikning og teikn a) eit rett firkanta prisme b) ein terning c) eit trekanta prisme 2.52 Teikn eit jernbanespor som forsvinn a) i horisonten b) inn i ein tunnel

85

Geometri og berekningar

2.53 Figuren viser eit rom teikna i perspektiv, med forsvinningspunktet i sentrum bak figuren.

Teikn av figuren og teikn inn a) eit golvteppe b) eit bilete på veggen c) eit vindauge d) eit bord

To forsvinningspunkt Somme gonger brukar vi to forsvinningspunkt. Figuren nedanfor har eitt forsvinningspunkt på kvar side av figuren. Dei horisontale linjene på venstre side møtest i forsvinningspunktet F1, og dei horisontale linjene på høgre side møtest i forsvinningspunktet F2. Vi gjer det på same måten som med eitt forsvinningspunkt, men vi «strekkjer» figuren i to retningar.

F2 F1

86

2.54 Kor mange forsvinningspunkt har desse teikningane? a) c)

Geometri og berekningar

OppgĂĽver

b)

2.55 Teikn eit hushjørne med to forsvinningspunkt.

Teikn inn to vindauge og ein dør.

sw

?

Home, eet home

Kan ein figur ha fleire enn to forsvinningspunkt?

Grunngi svaret.

87

Geometri og berekningar

Pieter Neeffs (1578–1656)

2.56 Studer desse bileta.

Kva er skilnaden på korleis bileta er laga?

Ambrogio Lorenzetti (1285–1348)

2.57 «Skulen i Aten» av Rafael er måla med eitt forsvinningspunkt, men éin gjenstand på biletet har eit heilt anna forsvinningspunkt.

Kan du finne kva gjenstand det er?

«Skulen i Aten», Rafael (1483–1520)

88

ÂŤDen vitruvianske mannÂť av Leonardo da Vinci

Geometri og berekningar

Geometri i teknologi, kunst og arkitektur

Kva geometriske prinsipp finn du i denne teikninga?

Verk innanfor teknologi, kunst og arkitektur er som oftast laga ved hjelp av matematisk kunnskap om geometriske figurar, ulike kongruensavbildingar og det gylne snittet.

Dersom forholdet mellom to lengder er ca. 1,618, kallar vi det for det gylne snittet. Eit rektangel som har dette forholdet mellom sidene, blir kalla eit gyllent rektangel.

89

Geometri og berekningar

Her er nokre eksempel p책 at vi finn geometriske figurar og samanhengar p책 kjende byggverk: Slottet i Oslo: Geometriske figurar Parallellforskyving Speglingssymmetri

Notre Dame i Paris: Det gylne snittet Geometriske figurar Speglingssymmetri Parallellforskyving Sirkelgeometri Edens hage i St. Austell, Cornwall: Geometriske figurar Speglingssymmetri Parallellforskyving Sirkelgeometri

90

Klippemoskeen i Jerusalem: Geometriske figurar Speglingssymmetri Parallellforskyving

2.58 Kva geometriske omgrep finn du på bileta?

Bruk lista som hjelp.

Eg fann: Formlikskap Symmetri Spegling Rotasjon Parallellforskyving Det gylne snittet Kvadrat som er skrive inn Sirkel som er skriven inn Trekant som er skriven inn Tangering

a)

Geometri og berekningar

Oppgåver

Romansk mosaikk

b)

c)

Strikkemønster

Snøkrystall

d)

Greske søyler

91

Geometri og berekningar

e)

f)

Nidarosdomen

Bridge of Sighs, Cambridge, England

2.59 Biletet viser «Den matematiske brua» i Cambridge.

Brua er bygd etter prinsipp frå sirkelen sin geometri.

Finn ut kva på brua som er a) tangentar b) forlengde radiar Den matematiske brua i Cambridge

92

b)

Geometri og berekningar

2.60 Kva typar kongruensavbildingar er bruka på desse mønstera? a)

c)

2.61 Bruk passaren til å lage ulike mønster baserte på sirkelen sin geometri.

93

Geometri og berekningar

2.62 Bruk nettet eller ein bok om arkitektur og finn eksempel på ulike geometriske former som har blitt bruka i arkitekturen. Lag for eksempel ein veggplakat som består av ulike geometriske former.

Eg prøver operaen i Oslo!

Eg søkjer på «Viaduc de Millau!»

Kanskje architecture + Babylon ...

Hm, kva med Eiffeltårnet?

?

Undersøk og prøv å forklare korleis denne spiralen er laga.

2.63 Sjå på figuren og forklar korleis a) kvadratet er plassert i forhold til sirkelen b) sirkelen er plassert i forhold til kvadratet c) trekanten er plassert i forhold til sirkelen d) sekskanten er plassert i forhold til sirkelen

94

1

Geometri og berekningar

Prøv deg sjølv Rekn ut den ukjende sida x i dei rettvinkla trekantane.

Oppgi svaret med éin desimal. a) b) C C x 5 cm

A

2

9 cm

4 cm

B

6 cm

A

B

x

Rekn ut den ukjende sida x i dei rettvinkla, likebeinte trekantane.

Oppgi svaret med éin desimal. a) b) C 45°

10 cm C 45° 4 cm

x 45°

45° A

B

A

x

B

95

Geometri og berekningar

3

Rekn ut den ukjende sida x i dei rettvinkla trekantane.

Oppgi svaret med éin desimal. a) c) C

C 2,5 cm

30° 60°

5,5 cm 30°

A

x

B 60°

b)

A

x

B

C 60° 8 cm

30° A

4

x

B

Konstruer trekantane. a)

b)

C

F 7 cm 60° A

5

96

120°

30° 6,5 cm

B

D

22,5°

Ein firkant ABCD har desse måla: AB = 8,0 cm, BC = 4,0 cm, CD = 5,0 cm og B = 60° og AB || CD. a) Teikn ein hjelpefigur. b) Konstruer firkanten. c) Konstruer høgda frå C til AB. d) Rekn ut høgda. e) Rekn ut arealet av firkanten ABCD.

E

a) Teikn ein vilkĂĽrleg sirkel. b) Finn sentrum av sirkelen ved hjelp av konstruksjon. c) Konstruer ein tangent til sirkelen.

7

Trekantane er formlike. Rekn ut den ukjende sida x.

Geometri og berekningar

6

C F 8,0 cm x

A

10,0 cm

B

D

8,0 cm

8

Ta dei nødvendige müla og lag ei kongruensavbilding av figuren.

9

Kor mange symmetriaksar har figurane? a) b)

E

c)

97

Geometri og berekningar

10

Teikn av figuren og koordinatsystemet. a) Spegl figuren om førsteaksen. b) Spegl sü den nye figuren om andreaksen. y

x

11

Teikn av, og spegl figuren om l ved hjelp av konstruksjon. l

98

12

Teikn ein 4ABC og eit punkt P utanfor figuren. Roter 4ABC 30° om P.

13

Teikn av og parallellforskyv firkanten 2,5 cm to gonger i den retninga pila viser.

14

Teikn eit prisme i perspektiv med eitt forsvinningspunkt.

1

Vil det bli ein knute på tråden dersom du trekkjer i begge endane samtidig?

2

Martin har laga ei sjokoladekake med areal 3,14 dm2 som han skal putte i ein kvadratisk kakeboks.

Kor stor må den kvadratiske kakeboksen vere for at kaka skal få plass i boksen?

3

Kva er halvparten av halvparten av halvparten av halvparten av 2000?

4

Bestem kva kube som er den rette.

1

2

3

Geometri og berekningar

Noko å lure på

4

99

Geometri og berekningar

Oppsummering Pytagoras-setninga Vi brukar Pytagoras-setninga til å finne ei ukjend side i ein rettvinkla trekant. katet2 + katet2 = hypotenus2 C katet

A

hypotenus

katet

B

Spesielle trekantar og Pytagoras-setninga Trekantar med vinklar på 45°, 45° og 90° I ein slik trekant er katetane like lange. Dersom vi kjenner lengda til berre éi av sidene, kan vi finne dei ukjende sidene ved hjelp av Pytagoras-setninga.

Vi finn katetane på denne måten:

C

x 2 + x 2 = BC 2 2x 2 = 82 2

2x = 64

8 cm x

2x 2 64 = 2 2 x 2 = 32 pffiffiffiffiffi x = 32 x 5,7

100

A

x

B

C

Vi finn den kortaste kateten (x) og hypotenusen (2x) på denne måten når vi kjenner berre den lengste kateten (AC): x 2 + AC 2 = ð2xÞ

30°

2

2x

5 cm

x 2 + 52 = 4x 2

Geometri og berekningar

Trekantar med vinklar på 30°, 60° og 90° I ein rettvinkla trekant der vinklane er 30°, 60° og 90°, er hypotenusen dobbelt så lang som den kortaste kateten.

25 = 4x 2 -- x 2 90°

25 = 3x 2 rffiffiffiffiffi 25 =x 3 2,9 x x = 2,9

60° x

A

B

Formlikskap Når to figurar er formlike, er vinklane parvis like store. Forholdet mellom samsvarande sider er likt.

C 60°

F 60° 30°

A

30° B

E

D

4ABC 4DEF Trekant ABC er formlik med trekant DEF.

Kongruens To figurar er kongruente når den eine figuren nøyaktig dekkjer den andre.

Det vil seie at figurane er formlike og like store.

C

A

F

B

D

E

4ABC ffi 4DEF Trekant ABC er kongruent med trekant DEF.

101

Geometri og berekningar

Kongruensavbildingar Speglingssymmetri Ein figur er symmetrisk dersom vi kan dele han i to kongruente figurar som dekkjer kvarandre når vi brettar dei om symmetriaksen. Ein og same figur kan ha fleire symmetriaksar.

Symmetriakse

Spegling ved hjelp av eit koordinatsystem Når vi speglar ein figur ved Andreaksen y hjelp av eit koordinatsystem, speglar vi figuren om førsteaksen eller andreaksen.

x Førsteaksen

Spegling ved hjelp av passar og linjal Når vi speglar ein figur om ei linje, brukar vi passar og linjal. Vi nedfeller normalar frå punkt på figuren til linja.

Vi set så av avstanden frå punktet til motsett side av A normalen slik at vi får eit nytt punkt.

C

B B’

A’

102

l

C’

Rotasjon 90° om punktet P

Geometri og berekningar

Rotasjon Dersom det ikkje er gitt melding om noko anna, utfører vi rotasjonen mot venstre.

Rotasjon 90° om hjørnet A

B’ B’

C C’

C

A’

B

B

A P

C’

A

Parallellforskyving C C’ B A A’

B’

Perspektivteikning med eitt eller to forsvinningspunkt

103