Sinus Påbyggingsboka P by Cappelen Damm

Oldervoll • Orskaug Vaaje • Hanisch • Hals

Påbyggingsboka P

For de yrkesfaglige programmene i matematikk på Vg1 fins disse bøkene:

Bokmål

Påbyggingsboka P

S i nus 1YP ( dekker alle pro g ram m ene inkluder t natur br uk) Si nus fo r hels e- o g s o s ialfag Si nus fo r re s taurant- o g m atfag Si nus fo r s er vice o g s am fer ds el S i nus for de s ig n o g håndver k / m edier o g ko m m unikas jo n Si nus fo r byg g o g anleg g s teknikk P Sinus fo r elektro fag P Si nus for t eknikk o g indus tr iell pro duks jo n P Sinus 1Y T Sinus Eng ang s bo ka 1YP

ISBN 978-82-02-39924-5

Bokmål

Tore Oldervoll Odd Orskaug Audhild Vaaje Finn Hanisch

788202 399245

www.cappelendamm.no

Sigbjørn Hals

Innhold 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

Potenser og tallsystemer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Potenser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Potensene a0 og a–n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Regneregler for potenser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Tall på standardform. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Tallsystemene våre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Det oktale tallsystemet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Det binære tallsystemet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Omgjøring mellom binære og oktale tall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Det heksadesimale tallsystemet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7

Tabeller og diagrammer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Frekvenstabeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Kumulative frekvenstabeller. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Digitale tabeller. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Kurvediagram. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Søylediagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Sektordiagram. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Digitale diagrammer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7

Sentralmål og spredningsmål . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Gjennomsnitt og typetall. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Median . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Variasjonsbredde og kvartilbredde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Varians og standardavvik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Sentralmål og spredningsmål digitalt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Histogram. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Sentralmål i et gruppert materiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.8 3.9

Gruppert materiale digitalt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Spørreundersøkelser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7

Sannsynlighetsregning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Forsøk med sannsynlighet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Simuleringer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Uniform sannsynlighet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Sum av sannsynligheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Multiplikasjonsprinsippet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Produkt av sannsynligheter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Avhengige hendinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8

Lineære modeller. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Modeller. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Rette linjer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Digital graftegning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 Konstantledd og stigningstall. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Grafisk avlesing. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Grafisk løsning av likninger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Lineære modeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 Lineær regresjon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

6 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9

Funksjoner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 Funksjonsbegrepet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Andregradsfunksjoner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 Nullpunkt, toppunkt og bunnpunkt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Polynomfunksjoner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Polynomregresjon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 Potensfunksjoner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 Potensregresjon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 Lineær vekst og vekstfart. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 Vekstfart. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

7 Eksponentiell vekst. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 7.1 Prosentfaktorer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 7.2 Vekstfaktorer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 7.3 Prosentvis endring i flere perioder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 7.4 Eksponentialfunksjonen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 Eksponentialregresjon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 7.5 7.6 Kjennetegn ved funksjoner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

Sinus Påbyggingsboka P

Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 1

Potenser og tallsystemer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 Kategori 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 Kategori 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 Blandede oppgaver. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

Tabeller og diagrammer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 Kategori 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 Kategori 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 Blandede oppgaver. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

SentralmĂĽl og spredningsmĂĽl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 Kategori 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 Kategori 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 Blandede oppgaver. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

Sannsynlighetsregning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 Kategori 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 Kategori 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 Blandede oppgaver. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

LineĂŚre modeller. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 Kategori 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 Kategori 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 Blandede oppgaver. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

Funksjoner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 Kategori 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 Kategori 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 Blandede oppgaver. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

Eksponentiell vekst. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 Kategori 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 Kategori 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 Blandede oppgaver. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

Lommeregnerstoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 Texas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 Casio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 Fasit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 Stikkord. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389

3.7 Sentralmål i et gruppert materiale Når vi har en frekvenstabell med et gruppert materiale, kan vi ikke bruke tabellen til å finne en nøyaktig verdi for medianen og gjennomsnittet. Når vi har samlet høyden til elevene på en skole i en slik frekvenstabell, har vi ikke den nøyaktige høyden til hver enkelt elev. Da kan vi ikke finne medianen, og vi kan heller ikke finne summen av høydene og dermed heller ikke gjennomsnittet. Men vi kan likevel regne ut gode tilnærmingsverdier for medianen og for gjennomsnittet. Først finner vi en tilnærmingsverdi for medianen. Vi lager da en tabell med de kumulative frekvensene. Høyde

Frekvens

Kumulativ frekvens

[150, 160

[160, 165

28 + 18 = 46

[165, 170

46 + 43 = 89

[170, 175

89 + 35 = 124

[175, 180

124 + 48 = 172

[180, 185

172 + 23 = 195

[185, 190

195 + 15 = 210

[190, 200]

210 + 8 = 218

Det er 218 elever på skolen. Det er et partall, og 218    = 109  ____ 2 Medianen skal nå være gjennomsnittet av høyden til elev nr. 109 og elev nr. 110 når elevene står oppstilt etter hvor høye de er. Men ettersom vi ikke kan finne noen nøyaktig median, kan vi si at medianeleven er elev nr. 109. Av tabellen ser vi at det er 89 elever som er mindre enn 170 cm, og 124 som er mindre enn 175 cm. Elev nr. 109 er dermed mellom 170 cm og 175 cm. Ettersom det er 89 elever som er lavere enn 170 cm, er medianeleven nummer

109 − 89 = 20

av dem mellom 170 cm og 175 cm. Det er i alt 35 elever med en slik høyde.

Hvis høyden til disse elevene fordeler seg jevnt mellom 170 cm og 175 cm, er høyden til elev nr. 20

20 170 cm + ___      · 5 cm = 172,9 cm 35

Her er 170 cm nedre grense i det aktuelle intervallet, og 5 cm er intervallbredden. Metoden vi bruker er ikke helt nøyaktig. Derfor bør vi runde av svaret til hele centimeter. Medianen er 173 cm. Vi kan også finne medianen grafisk. Da utvider vi tabellen foran slik at vi også tar med de relative kumulative frekvensene. Dem får vi fram ved å dividere de kumulative frekvensene med antallet observasjoner N = 218. Høyde

Frekvens

Kumulativ frekvens

Relativ kumulativ frekvens

[150, 160

0,128

[160, 165

0,211

[165, 170

0,422

[170, 175

124

0,569

[175, 180

172

0,789

[180, 185

195

0,894

[185, 190

210

0,963

[190, 200]

218

1,000

Nå lager vi et linjediagram der vi setter av de relative kumulative frekvensene over den øvre grensen i intervallet. Vi setter for eksempel av tallet 0,128 over 160, for tallet 0,128 forteller hvor stor del som er lavere enn 160 cm. 1,0

0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1

x 150

160

170 180 173

190

200 cm

Sinus Påbyggingsboka P > Sentralmål og spredningsmål

Vi tar nå utgangspunkt i 0,5 på y-aksen og leser av. Vi kommer fram til 173 på x-aksen. Medianen er dermed 173 cm.

Oppgave 3.70 Vi måler høyden til elevene i en gruppe. Høydene i centimeter er

172, 180, 160, 183, 177, 175, 180, 185, 158, 162, 179, 180, 172, 164, 162, 191, 177, 159, 178, 175, 168, 162, 188, 181, 170

a) Finn den nøyaktige verdien for medianen. b) Lag en gruppert frekvenstabell der bredden for alle intervallene er 5 cm. La intervallene være [155, 160, [160, 165, osv. c) Bruk det grupperte materialet til å finne medianen. d) Hvorfor får du ikke helt den samme verdien som i oppgave a?

Oppgave 3.71 Finn medianen i oppgave 3.60 grafisk og ved regning. Oppgave 3.72 Finn medianen for alderen i Norge grafisk og ved regning. Se oppgave 3.61. Oppgave 3.73 Finn medianen for alderen i Botswana grafisk og ved regning. Se oppgave 3.62.

Nå skal vi finne en tilnærmet verdi for gjennomsnittet av høyden til elevene. Vi tenker oss da at høydene til elevene fordeler seg jevnt innenfor hvert inter vall. De 28 elevene i intervallet [150, 160 vil da i gjennomsnitt være 155 cm høye. Summen av høydene til disse elevene vil da være

28 · 155 cm = 4340 cm

Tallet 155 kaller vi intervallmidtpunktet xm i intervallet [150, 160. Vi kan finne det ved å regne ut

150 + 160 ____ 310 xm = _________        =      = 155 2 2

eller intervallbredden          xm = 150 + ______________ 2 10 = 150 +  ___   = 150 + 5 = 155 2

For intervallet [a, b er intervallmidtpunktet

a+b        xm = _____ 2

eller

intervallbredden          xm = a + ______________ 2

Nå regner vi ut intervallmidtpunktet for hvert intervall og bruker det til å finne en tilnærmet verdi for summen av høydene innenfor hvert intervall. Intervall [a, b

Midtpunkt xm

Frekvens f

Sum f · xm

[150, 160

155

4340

[160, 165

162,5

2925

[165, 170

167,5

7202,5

[170, 175

172,5

6037,5

[175, 180

177,5

8520

[180, 185

182,5

4197,5

[185, 190

187,5

2812,5

[190, 200]

195

1560

N = 218

S = 37 595

Gjennomsnittet er

37 595 S        = 172,5      = _______ g = ___ N 218

Elevene er etter dette i gjennomsnitt 172,5 cm høye. Vi kan ikke være sikre på at dette er en helt riktig verdi, for vi vet ikke sikkert at høyden til elevene fordeler seg jevnt innenfor hvert intervall.

Oppgave 3.74 a) Finn det nøyaktige gjennomsnittet for høydene i oppgave 3.70. b) Bruk det grupperte materialet i oppgave 3.70 til å finne gjennomsnittet. Forklar hvorfor det ikke blir samme svar i oppgave a og b. Oppgave 3.75 Finn gjennomsnittsvekta i oppgave 3.60. Oppgave 3.76 Finn gjennomsnittsalderen i Norge. Se oppgave 3.61. Oppgave 3.77 Finn gjennomsnittsalderen i Botswana. Se oppgave 3.62.

Sinus Påbyggingsboka P > Sentralmål og spredningsmål

3.8 Gruppert materiale digitalt Vi ser nå hvordan vi kan bruke et regneark til å finne gjennomsnittet i et gruppert materiale. Vi ser da på høyden til elevene igjen. Høyde

Frekvens

[150, 160

[160, 165

[165, 170

[170, 175

[175, 180

[180, 185

[185, 190

[190, 200]

Vi legger først inn disse tekstene og tallene i regnearket:

Nå legger vi inn disse formlene: Celle

Formel

= (A5 + B5)/2

= C5 * D5

= summer(D5:D12)

= summer(E5:E12)/B1

Deretter kopierer vi formlene i C5 og i E5 ned til rad 12. Det gir dette resultatet etter at vi har redusert antallet desimaler til 1 i gjennomsnittet:

Vi ser at gjennomsnittet er 172,5 cm. Det stemmer med det vi fant i kapittel 3.7.

Oppgave 3.80 Bruk et regneark til å finne gjennomsnittshøyden ut fra denne tabellen: Høyde (cm)

Frekvens

[150, 160

[160, 170

[170, 180

[180, 200]

Oppgave 3.81 Lag et regneark som finner gjennomsnittsalderen i Norge. Se oppgave 3.61. Oppgave 3.82 Lag et regneark som finner gjennomsnittsalderen i Botswana. Se oppgave 3.62.

På nettsidene til Sinus finner du hvordan du kan bruke digital programvare til å finne sentralmål i et gruppert materiale. Der ligger også regnearket ‘Sentralmål i gruppert materiale.xlsx’, som finner både gjennomsnittet og medianen i et gruppert materiale. Her viser vi hvordan vi bruker regnearket når vi skal finne medianen og gjennomsnittet for høyden til elevene i tabellen foran.

Sinus Påbyggingsboka P > Sentralmål og spredningsmål

Regnearket ser slik ut når vi åpner det:

Vi begynner med å fylle ut den siste øvre grensen i celle B5. Deretter skriver vi inn alle de nedre grensene i kolonne A. Når vi i tillegg har skrevet inn alle frekvensene, får vi dette resultatet:

Vi ser at medianen er 172,9 cm og gjennomsnittet 172,5 cm. Det stemmer med det vi har regnet ut.

Oppgave 3.83 Bruk det ferdige regnearket til å finne medianen og gjennomsnittsvekta i oppgave 3.60. Oppgave 3.84 Bruk det ferdige regnearket til å finne medianen og gjennomsnittsalderen i Norge. Se oppgave 3.61. Oppgave 3.85 Bruk det ferdige regnearket til å finne medianen og gjennomsnittsalderen i Botswana. Se oppgave 3.62.

Funksjoner Mål for opplæringen er at eleven skal kunne •

undersøke funksjoner som beskriver praktiske situasjoner, ved å bestemme skjæringspunkter, nullpunkter, ekstremal punkter og stigning, og tolke den praktiske betydningen av resultatene

•

oversette mellom ulike representasjoner av funksjoner

•

gjøre rede for begrepet lineær vekst, beskrive et slikt vekstforløp og anvende på praktiske eksempler, også digitalt

Aktivitet 6 Ta fram et vanlig ruteark og fargelegg et rektangel med én rute i høyden og ni i bredden. Fargelegg deretter et rektangel med to ruter i høyden og med samme omkrets som det første rektangelet. Lag så nye rektangler ved å øke høyden med en rute helt til høyden er ni ruter. Alle rektanglene skal ha samme omkrets. Finn ut hvilket rektangel som har størst areal, ved å telle ruter.

6.1 Funksjonsbegrepet Mona har moped. Hun betaler 3500 kr i året i forsikring. Utgiftene til bensin, olje og vedlikehold setter hun til 5 kr per mil. Utgiftene i kroner per år hvis hun kjører x mil, er da gitt ved y = 5x + 3500 Hvis hun kjører 100 mil, blir utgiftene i kroner y = 5 · 100 + 3500 = 4000 Kostnaden blir 4000 kr. Vi kan alltid finne kostnaden y når vi kjenner kjørelengden x. Vi sier at y er en funksjon av x.

y er en funksjon av x hvis hver mulig verdi for x gir nøyaktig én verdi for y.

Uttrykket 5x + 3500 kaller vi funksjonsuttrykket til funksjonen y = 5x + 3500. Vi bruker ofte en egen skrivemåte for funksjonsuttrykkene. Når y er kostnaden, kaller vi gjerne funksjonsuttrykket K(x) og skriver K(x) = 5x + 3500 Navnet K på funksjonen er her den første bokstaven i ordet kostnad. Vi sier også at funksjonen K er gitt ved K(x) = 5x + 3500. Når Mona kjører 100 mil på ett år, regner vi ut kostnaden i kroner på denne måten: K(100) = 5 · 100 + 3500 = 4000 Hvis hun kjører 300 eller 500 mil, blir kostnaden i kroner K(300) = 5 · 300 + 3500 = 5000 K(500) = 5 · 500 + 3500 = 6000 Tallene 4000, 5000 og 6000 kaller vi funksjonsverdier. Vi samler funksjons verdiene i en tabell: x

100

300

500

K(x)

4000 5000 6000

Grafen til funksjonen K er en kurve som viser sammenhengen mellom kjørelengden x og kostnaden. Fra før vet vi at y = 5x + 3500 er likningen for ei rett linje. Grafen til funksjonen K er dermed ei rett linje. Når grafen er ei rett linje, har vi en lineær funksjon.

158

Sinus Påbyggingsboka P > Funksjoner

Vi bruker tabellen på forrige side og får fram denne grafen: kr

y K

6000 5000 4000

Langs førsteaksen (x-aksen) finner vi variabelen x. Langs andreaksen (y-aksen) finner vi verdiene til funksjonen K.

3000 2000 1000 x 100

200

300

400

500 mil

De tallene vi velger, setter vi langs førsteaksen. De verdiene vi regner ut, setter vi alltid langs andreaksen. Hvis vi kjenner funksjonsuttrykket eller grafen til en funksjon, kan vi finne alle funksjonsverdiene. Ved hjelp av funksjonsuttrykket kan vi regne ut helt nøyaktige funksjonsverdier. Ved hjelp av grafen kan vi lese av funksjons verdiene, men da får vi bare omtrent riktige verdier. Noen ganger har vi bare funksjonstabellen til en funksjon. Hvis vi da trenger en verdi som ikke står i tabellen, må vi lage en matematisk modell. Det gir usikre funksjonsverdier.

En funksjon kan være representert ved et funksjonsuttrykk, en graf eller en tabell.

Oppgave 6.10 På treningsinstituttet Komiform betaler du 600 kr året i treningsavgift. I til legg må du betale 10 kr per dag de dagene du er på instituttet. Hvis du en dag trener flere ganger, betaler du bare én gang den dagen. a) Forklar hvorfor de årlige treningsutgiftene i kroner er gitt ved U(x) = 10x + 600 der x er tallet på treningsdager i året. b) Tegn grafen til U når x er mellom 0 og 300. c) Bruk grafen til å finne ut hvor mye det koster å trene 100 dager. d) Hvor mange dager kan du trene for 2000 kr?

159

Oppgave 6.11 Når du ringer med en mobiltelefon, betaler du 59 øre i startavgift og 3 øre per sekund. a) Forklar at prisen i øre for en samtale som varer i x sekunder, er gitt ved P(x) = 3x + 59 b) Tegn grafen til P når x er mellom 0 og 200. c) Hvor mye koster en samtale som varer i 120 s? d) Hvor lenge kan du snakke for 2 kr?

Hvis en funksjon ikke har noen spesiell praktisk tolkning, kaller vi ofte funk sjonsuttrykket f(x). Bokstaven f er den første bokstaven i ordet funksjon. Vi skriver for eksempel f(x) = 4x + 3. Når vi skal tegne grafen til en funksjon f, velger vi noen verdier for x og regner ut funksjonsverdiene f(x). Disse punktene merker vi av i et koordinatsystem og trekker en kurve gjennom dem.

Eksempel Tegn grafen til funksjonen gitt ved f(x) = 1,5x – 1

Løsning: Først lager vi en tabell. Ettersom grafen er ei rett linje, er det nok med to punkter i tabellen. x f(x)

–1

Deretter tegner vi grafen. y 6

4 2 x –2

–2

160

Sinus Påbyggingsboka P > Funksjoner

Oppgave 6.12 Regn ut f(2), f(1), f(0), f(–1) og f(–2) når a) f(x) = 2x + 1 b) f(x) = –3x – 2 Oppgave 6.13 a) Tegn grafen til funksjonen gitt ved f(x) = –3x + 6 når x er mellom –5 og 5. b) Tegn grafen til funksjonen gitt ved f(x) = 40x + 520 når x er mellom 0 og 20. c) Tegn grafen til funksjonen gitt ved f(x) = –23x + 4000 når x er mellom 0 og 100. d) Tegn grafen til funksjonen gitt ved f(x) = 2,7x + 17 000 når x er mellom 0 og 2000.

6.2 Andregradsfunksjoner Vi ser nå på funksjonen f med funksjonsuttrykket f(x) = x2 – 4x + 3 Dette er en andregradsfunksjon fordi funksjonsuttrykket er et andregrads uttrykk. Vi regner ut noen funksjonsverdier: f(–1) = (–1)2 – 4 · (–1) + 3 = 1 + 4 + 3 = 8 f(0) = 02 – 4 · 0 + 3 = 0 – 0 + 3 = 3 f(1) = 12 – 4 · 1 + 3 = 1 – 4 + 3 = 0 f(2) = 22 – 4 · 2 + 3 = 4 – 8 + 3 = –1 f(3) = 32 – 4 · 3 + 3 = 9 – 12 + 3 = 0 f(4) = 42 – 4 · 4 + 3 = 16 – 16 + 3 = 3 f(5) = 52 – 4 · 5 + 3 = 25 – 20 + 3 = 8

161

Det gir denne tabellen: x

–1

f(x)

–1

Nå markerer vi punktene (x, f(x)) i et koordinatsystem og tegner en glatt kurve gjennom dem. Vi får denne grafen: y 10

8 6 4 2 x –2

Grafen til en andregradsfunksjon kaller vi en parabel. Når vi tegner en graf som ikke er ei rett linje, må vi passe på å tegne en glatt kurve slik som her. Vi må ikke tegne rette linjestykker mellom punktene. Dette er spesielt viktig å passe på i bunnen av grafen.

Oppgave 6.20 Regn ut f(2), f(1), f(0), f(–1) og f(–2) når a) f(x) = x2 – 2x b) f(x) = –2x2 + x – 2 Oppgave 6.21 a) Tegn grafen til funksjonen gitt ved f(x) = x2 – 5x + 6 når x er mellom –1 og 6. b) Tegn grafen til funksjonen gitt ved f(x) = 2x2 – 4x + 5 når x er mellom –2 og 4.

162

Sinus Påbyggingsboka P > Funksjoner

Vi kan tegne slike grafer digitalt på omtrent samme måte som vi tegner rette linjer. Vi skal tegne grafen til funksjonen f(x) = x2 – 4x + 3 og skriver inn funksjonsuttrykket i GeoGebra slik: Legg merke til at vi ikke trenger å skrive f(x) = foran uttrykket. Det blir satt inn automatisk, for i algebrafeltet står det nå Vi tilpasser nå koordinatsystemet og får fram denne grafen:

Vi har også høyreklikket på grafen og merket av for Vis navn. I tillegg har vi skiftet farge på grafen. Hvis vi skal tegne grafen til h(x) = x2 – 4x + 3 for x mellom 0 og 4, gjør vi det ved å legge inn funksjonsuttrykket slik: Navnet på funksjonen blir nå automatisk f. For å endre navnet høyreklikker vi på uttrykket i algebrafeltet, velger Gi nytt navn og endrer navnet til h. Da får vi fram dette i algebravinduet:

163

Grafen til h ser slik ut:

Oppgave 6.22 Tegn grafen til funksjonen digitalt. a) f(x) = –x2 + 4x b) f(x) = –2x2 – 4x + 5 Oppgave 6.23 Vi kaster en stein opp i lufta. Høyden over bakken i meter etter t sekunder er gitt ved h(t) = –5t2 + 10t Tegn grafen til h når t er mellom 0 og 2.

6.3 Nullpunkt, toppunkt og bunnpunkt I kapittel 6.2 tegnet vi grafen til funksjonen f gitt ved f(x) = x2 – 4x + 3 Grafen så ut som vist på neste side. De punktene der grafen krysser x-aksen, kaller vi nullpunkter. Nullpunktene til f er bestemt ved at f(x) = 0 Legg merke til at det punktet der grafen skjærer y-aksen, ikke er noe nullpunkt. Funksjonen har et bunnpunkt i det punktet der x = 2 og y = –1. Bunnpunktet har koordinatene (2, –1). I et bunnpunkt er funksjonsverdien mindre enn i alle nabopunktene. Vi skal snart se at bunnpunktet ikke trenger å være det laveste punktet på grafen.

164

Sinus Påbyggingsboka P > Funksjoner

y 10

Nullpunkt

x –2

4 6 Bunnpunkt

Andre funksjoner kan ha et toppunkt. Det er et punkt der funksjonsverdien er større enn i alle nabopunktene. Noen funksjoner kan ha både bunnpunkt og toppunkt. Nedenfor har vi tegnet grafen til funksjonen f(x) = x3 – 3x2 + 3. Grafen har et toppunkt i (0, 3) og et bunnpunkt i (2, –1). Men funksjonen har ikke sin minste verdi i bunnpunktet. Funksjonen har heller ikke sin høyeste verdi i toppunktet. Toppunkter og bunnpunkter er bare lokale topper og bunner. y 3

Toppunkt (0, 3)

2 Nullpunkter 1 x –2

–1

1 –1

Bunnpunkt (2, –1)

Oppgave 6.30 Tegn grafen til f og finn nullpunktet når a) f(x) = 3x – 6 b) f(x) = –2x + 3 Oppgave 6.31 Funksjonen f er gitt ved f(x) = x2 – 2x – 3. a) Tegn grafen til f. Velg x mellom –2 og 4. b) Finn nullpunktene til f. c) Finn bunnpunktet til f.

165

Oppgave 6.32 En bonde har et gjerde som er 200 m langt. Han skal bruke det til å gjerde inn et rektangulært område, og nå trenger han å finne lengden og bredden for at arealet av det rektangulære området skal bli størst mulig.

A(x)

a) Forklar hvorfor en lang og en kort side til sammen er 100 m. b) Forklar at hvis vi setter lengden til x meter, er bredden (100 – x) meter. c) Forklar at arealet er gitt ved A(x) = x · (100 – x) d) Tegn grafen til funksjonen A når x er mellom 0 og 100. e) Finn nullpunktene til funksjonen. Hva forteller nullpunktene deg? f) Hva må lengden av rektangelet være for at arealet skal bli størst mulig? Hvor stort er arealet da? g) Forklar hvordan du kan bruke aktivitet 6 til å finne svaret i oppgave f.

Nullpunkt, bunnpunkt og toppunkt kan vi også finne digitalt. Vi skal nå bruke GeoGebra og finne nullpunktene og toppunktet til funksjonen f gitt ved f(x) = –x2 + 2x + 3 Vi åpner GeoGebra, skriver inn funksjonsuttrykket og tilpasser aksene slik at vi får fram denne grafen:

166

Sinus Påbyggingsboka P > Funksjoner

Her har vi også satt navn på aksene og på grafen og skiftet farge på grafen. For å finne nullpunktene skriver vi dette i inntastingsfeltet: Da blir nullpunktene A og B markert på grafen. Vi høyreklikker på punktene, velger Egenskaper og Basis. Deretter setter vi Vis navn til Verdi, og vi ser nullpunktene på denne måten:

Vi ser at funksjonen har nullpunktene x = −1 og x = 3. For å finne toppunkter og bunnpunkter skriver vi Ekstremalpunkt er et felles ord for toppunkt og bunnpunkt. Toppunktet C blir nå markert på grafen. Vi gjør som for nullpunktene og endrer Vis navn til Verdi for punktet C. Da får vi fram toppunktet som vist på grafen ovenfor. Funksjonen har toppunktet (1, 4).

Oppgave 6.33 Løs denne oppgaven digitalt. a) Tegn grafen til funksjonen g der g(x) = –x2 + 5x – 6 b) Finn nullpunktene til g. c) Finn toppunktet til g.

167

Oppgave 6.34 En vinterdag var temperaturen T(x) i celsiusgrader gitt ved 3 135 21      x – ____ T(x) = – __      x2 + ___       8 2 2 der x er antallet timer etter midnatt. a) Tegn grafen til T når x er mellom 8 og 20. b) Når var temperaturen 0 °C? c) Når var temperaturen høyest? Hva var temperaturen da?

Oppgave 6.35 Løs denne oppgaven både grafisk og digitalt. a) Tegn grafen til g der g(x) = –x3 – 3x2 + 4 Velg x mellom –3 og 2 når du tegner grafen. b) Finn nullpunktene til g. c) Finn toppunktet og bunnpunktet til g.

6.4 Polynomfunksjoner Uttrykkene 2x + 3 og x2 + 3x – 5 kaller vi polynomer. Uttrykket 2x + 3 er et polynom av første grad, og uttrykket x2 + 3x – 5 er et polynom av andre grad. Den høyeste eksponenten til variabelen i et polynom kaller vi graden til polynomet. Polynomet 2x3 + 3x2 – 6x + 4 er av tredje grad, og polynomet x4 + 2x2 + 4 er av fjerde grad. Når vi skriver polynomer, ordner vi alltid leddene etter graden. Det leddet som har den høyeste graden, skal stå først. Polynomet 4 + 2x2 + 3x3 + 5x skriver vi som 3x3 + 2x2 + 5x + 4. Vi skal nå se på noen funksjoner der funksjonsuttrykket er et polynom. Slike funksjoner kaller vi polynomfunksjoner. Polynomfunksjonen f gitt ved f (x) = x3 + 2x2 – 4x + 3 kaller vi en tredjegradsfunksjon. Funksjonen g gitt ved g(x) = x4 + 2x3 + 5x + 1 er en fjerdegradsfunksjon. Vi skal nå se på grafen til en tredjegradsfunksjon.

168

Sinus Påbyggingsboka P > Funksjoner

Eksempel Funksjonen f er gitt ved f(x) = x3 – 3x a) Tegn grafen til funksjonen. b) Finn nullpunktene til f. c) Finn bunnpunktet og toppunktet til f.

Løsning: a) Vi tegner grafen til f. y Toppunkt (–1, 2)

4 3 2

f Nullpunkter

1 –2

–1

–1 –2 –3

x 2

Bunnpunkt (1, –2)

–4

b) Grafen viser at f har nullpunktene x = 0, x = –1,7 og x = 1,7 c) Grafen viser at funksjonen har et bunnpunkt og et toppunkt. Toppunkt: (–1, 2) Bunnpunkt: (1, –2)

Funksjonen i eksempelet ovenfor har et toppunkt i (–1, 2) og et bunnpunkt i (1, –2). Men funksjonen har ikke sin minste verdi i bunnpunktet. Funksjonen har heller ikke sin høyeste verdi i toppunktet. Toppunkter og bunnpunkter er bare lokale topper og bunner. Eksempelet ovenfor viser at en tredjegradsfunksjon kan ha tre nullpunkter og både toppunkt og bunnpunkt. Men ikke alle tredjegradsfunksjoner har både toppunkt og bunnpunkt. Grafen til funksjonen f (x) = x3 ser ut som vist på neste side.

169

y 5

4 3 2 1 –2

–1

x 1

–1

–2 –3 –4 –5

Denne tredjegradsfunksjonen har bare ett nullpunkt og ingen toppunkter eller bunnpunkter.

Eksempel Tegn grafen til funksjonen f (x) = x4 – 5x2 + 4 Finn nullpunktene, toppunktet og bunnpunktene grafisk.

Løsning: Vi bruker et digitalt hjelpemiddel og får denne grafen: 5 4

y f

3 2 1 –3 –2 –1 –1

x 1

2 3

–2 –3

Funksjonen har fire nullpunkter: Nullpunkter: x = –2, x = –1, x = 1 og x = 2 Funksjonen har to bunnpunkter og ett toppunkt. Bunnpunkter: (–1,6, –2,2) og (1,6, –2,2) Toppunkt: (0, 4)

170

Sinus Påbyggingsboka P > Funksjoner

Oppgave 6.40 Funksjonen g er gitt ved

g(x) = –x3 – 3x2 + 4

a) Tegn grafen til g. b) Finn nullpunktene til g. c) Finn toppunktet og bunnpunktet til g.

Oppgave 6.41 Funksjonen f er gitt ved

f (x) = x4 – 4x2

a) Tegn grafen til f digitalt. b) Finn nullpunktene til f. c) Finn toppunktene og bunnpunktene.

I kapittel 5 laget vi mange lineære matematiske modeller. Modellene kunne da illustreres ved hjelp av ei rett linje. Nå skal vi arbeide med noen modeller som ikke er lineære.

Eksempel Et kraftselskap skal spenne en kabel over en fjord som er 1000 m bred. Kabelen blir festet 150 m over sjøen på begge sidene av fjorden. En ingeniør finner ut at høyden i meter over vannet er gitt ved

1 2 h(x) = _____       x2 – __      x + 150 5 2500

der x er avstanden i meter fra land. Ingeniøren skal finne ut hvor lavt kabelen kommer til å henge på det laveste, og hvor langt fra land kabelen kommer til å henge 100 m over sjøen.

Løsning: Vi skal tegne grafen til funksjonen og lese av grafisk. Derfor regner vi ut noen funksjonsverdier. 1 2 h(0) = _____       · 02 – __      · 0 + 150 = 150 5 2500 2 1 _____      · 200 + 150 = 86 h(200) =       · 2002 – __ 5 2500

171

På tilsvarende måte regner vi ut noen flere funksjonsverdier og setter dem inn i en tabell. x

200

400

500

600

800

1000

h(x)

150

Nå tegner vi grafen. m

y h

150 100 50

x 200

400

600

800

1000 m

Grafen gir ikke noe riktig synsinntrykk av kabelen fordi vi ikke har brukt den samme målestokken langs begge aksene. Grafen viser: Kabelen henger lavest 500 m fra land. Der er den 50 m over vannet. Kabelen henger 100 m over sjøen omtrent 150 m fra land på begge sidene av fjorden.

Legg merke til hvordan vi markerer avlesingen på grafen. Slik bør du også gjøre når du leser av en graf. Oppgaver som den i eksempelet foran løser vi vanligvis digitalt. Her viser vi framgangsmåten for GeoGebra. Først tilpasser vi aksene slik at x-aksen går fra 0 til 1000 og y-aksen går fra 0 til 200. Vi skal ikke ha negative tall på aksene. Vi høyreklikker derfor i grafikkfeltet og velger Grafikkfelt1. Der går vi inn på fanen xAkse og merker av for Bare i positiv retning. Det samme gjør vi for y-aksen. Nå skriver vi inn funksjonsuttrykket på denne måten:

Vi skal finne ut når funksjonsverdien er 100, og skriver derfor

172

Sinus Påbyggingsboka P > Funksjoner

Det gir ei horisontal linje gjennom y = 100 som vist her:

Nå velger vi Skjæring mellom to objekt som vi finner i rullegardinmenyen under . Etter å ha klikket på linja og grafen får vi fram de to skjæringspunktene A og B. Vi høyreklikker på punktene, går inn på Egenskaper og Basis og setter Vis navn til Verdi. Nå ser vi koordinatene til skjæringspunktene som vist på figuren ovenfor. Kabelen henger 100 m over bakken 146 m fra land på begge sider av fjorden.

Oppgave 6.42 Høyden av en plante i centimeter t dager etter at den spirer, er gitt ved h(t) = –0,0003t3 + 0,025t2 der t er mellom 0 og 50. a) Hvor høy er planten etter 10 dager? b) Tegn grafen til h. c) Når er planten 10 cm høy?

Oppgave 6.43 Vi kaster en stein opp i lufta. Etter t sekunder er steinen h(t) meter over bakken, der h(t) = –5t2 + 20t + 2 a) Hvor høyt over bakken er steinen etter 3 sekunder? b) Tegn grafen til h. Velg t mellom 0 og 5 når du tegner. c) Når er steinen høyest oppe? Hvor høyt er steinen da? d) Når er steinen 17 m over bakken? e) Når er steinen 2 m over bakken? f) Når treffer steinen bakken?

173

Oppgave 6.44 Utslippet C(v) av karbondioksid per kilometer fra en bil er avhengig av farten v. Når vi måler farten i kilometer per time og utslippet i gram, får vi sammenhengen C(v) = 0,045v2 – 6,75v + 393 a) Tegn grafen når v er mellom 0 og 120. b) Hvor stort er utslippet når farten er 50 km/h? c) Hvor stor er farten når utslippet er 200 g per kilometer? d) Hvilken fart gir det laveste utslippet, og hvor stort er utslippet da? e) Hvor mange kilogram karbondioksid slipper vi ut når vi kjører fra Bergen til Oslo i 75 km/h? Sett avstanden til 500 km. f) Bilen bruker 0,8 l bensin per mil. En liter bensin veier omtrent 0,8 kg. Hvor mange kilogram bensin bruker bilen på turen fra Bergen til Oslo? Hvordan kan du forklare at utslippet veier mer enn forbruket av bensin?

Oppgave 6.45 Kari står med bilen sin i det høyre feltet i et lyskryss og venter på grønt. Idet lyset skifter til grønt, starter hun og kjører med jevn fartsøkning i 20 sekunder. Etter t sekunder har Kari kjørt K(t) meter, der K(t) = 1,1 · t2 a) Tegn grafen til K når t er mellom 0 og 20. b) Når er Kari 100 m fra krysset? Per kommer kjørende i det venstre feltet mot det samme krysset med en jevn fart på 22 m/s. Det tilsvarer omtrent 80 km/h. Per er 70 m fra krysset idet lyset blir grønt. Avstanden P(t) mellom Per og krysset etter t sekunder er da gitt ved P(t) = 22t – 70 Her regner vi avstanden som negativ før Per kommer fram til krysset. c) Tegn grafen til P sammen med grafen til K. d) Når er Per og Kari ved siden av hverandre? Hvor langt fra krysset er de da?

174

Sinus Påbyggingsboka P > Funksjoner

6.5 Polynomregresjon Nå skal vi lære å tilpasse en polynomfunksjon til et datasett i en tabell. Da plasserer vi først punktene i et koordinatsystem og ser hvordan de ligger. Hvis punktene ligger omtrent på linje, bruker vi lineær regresjon slik vi lærte i kapittel 5.8. Hvis det ser ut til å være ett toppunkt eller ett bunnpunkt, prøver vi å finne en andregradsfunksjon som passer. Det kaller vi andregradsregresjon. Hvis det ser ut til å være både ett toppunkt og ett bunnpunkt, bruker vi tredjegradsregresjon. Hvis det er enten to toppunkter og ett bunnpunkt eller ett toppunkt og to bunnpunkter, bruker vi fjerdegradsregresjon. Vi viser her hvordan vi gjør slik polynomregresjon i GeoGebra. På nettsidene finner du framgangsmåten for annen programvare, og bak i boka står det oppskrifter for de grafiske lommeregnerne.

Eksempel Avisutklippet på side 176–177 viser hvor stor del av den norske befolkningen som arbeider i jordbruk, skogbruk, jakt og fiske. Vi ser at i 1900 var det 41 % som arbeidet i disse primærnæringene. I 2004 var det 3,5 %. Vi lar f(x) være prosentdelen som arbeider i primærnæring ene x år etter 1900. a) Finn den polynomfunksjonen som passer best for f. Hvilken grad er den beste? b) Utklippet viser at det var 36 % som arbeidet i disse næringene i 1930. I 1960 var det 19 %. Hvordan stemmer dette med modellen i oppgave a?

Løsning: a) Vi går fram omtrent som på side 152 og legger inn tallene fra figuren i GeoGebra.

175

176

Sinus P책byggingsboka P > Funksjoner

177

Vi markerer nå alle tallene i tabellen, høyreklikker og velger Lag og deretter Liste med punkt. Deretter skriver vi (0, 0) i inntastingsfeltet. Nå høyreklikker vi i grafikkfeltet og velger Vis alle objekt. Da får vi fram koordinatsystemet med alle punktene. Vi må kanskje flytte litt på koordinatsystemet for å se alle tallene på aksene.

Dette kan se ut som en del av en kurve som har både et toppunkt og et bunnpunkt. Derfor velger vi å finne den tredjegradsfunksjonen som passer best til punktene. I inntastingsfeltet skriver vi: Tallet 3 forteller at vi får en funksjon av grad 3. Vi får nå tegnet grafen sammen med punktene:

178

Sinus Påbyggingsboka P > Funksjoner

Kurven passer godt til punktene. I algebrafeltet finner vi uttrykket for funksjonen. Der står det 0 foran x3. Grunnen er at vi har for få desimaler. Vi trykker da på Innstillinger, velger Avrunding og 3 gjeldende siffer. Da får vi dette:

Nå ser vi at den beste tredjegradsfunksjonen er gitt ved

f(x) = 0,000088x3 – 0,0146x2 + 0,223x + 39,6

b) For å finne prosenten i 1930 setter vi x = 30. I inntastingsfeltet skriver vi da f(30) og får dette svaret: Modellen gir at 35,5 % arbeidet i primærnæringene i 1930. Det stemmer godt ettersom det riktige var 36 %.

I 1960 er x = 60. Vi skriver da f(60) i inntastingsfeltet og får:

Modellen gir 19,3 % i 1960. Det riktige er 19 %. Det stemmer godt.

Oppgave 6.50 I eksempelet foran studerte vi en modell for hvor stor prosentdel av befolkningen som arbeidet i primærnæringene. I 1990 var det 6 % av befolkningen som arbeidet i primærnæringene. Hvordan stemmer det med modellen? Oppgave 6.51 På side 148–149 er det et avisutklipp som viser befolkningsveksten i Norge fra 1905 til 2005. a) Finn ved regresjon funksjonsuttrykket f(x) til den tredjegradsfunksjonen som best gir folketallet i tusen x år etter 1905. b) Finn folketallet i 1955 ut fra modellen i oppgave a. Sammenlikn med tallene i avisutklippet.

179

Oppgave 6.52 Vi kaster en stein opp i lufta. Tabellen viser høyden h(t) i meter etter t sekunder.

t (sekund) h(t) (meter)

a) Sett av punktene i et koordinatsystem. b) Hvilken type polynomfunksjon tror du passer best her? c) Finn den polynomfunksjonen som passer best. d) Hva er høyden etter 3,5 s ifølge modellen i oppgave c?

Oppgave 6.53 Tabellen viser temperaturen T(x) i celsiusgrader x timer etter midnatt en sommerdag.

x (timer) T(x) (°C)

a) Sett av punktene i et koordinatsystem. b) Hvilken type polynomfunksjon tror du passer best her? c) Finn den polynomfunksjonen som passer best. d) Hva er temperaturen kl. 22.30 ifølge denne modellen?

6.6 Potensfunksjoner Funksjonen f gitt ved f(x) = 2x3 er et eksempel på en potensfunksjon. For alle potensfunksjoner er funksjonsuttrykket på formen

f(x) = axb

der tallet a og eksponenten b kan være både positive og negative tall. Et eksempel på en potensfunksjon med negativ eksponent er

g(x) = 4x–2

Eksponenten i en potensfunksjon kan også være et desimaltall slik som her:

h(x) = 2x1,5

Vi har ikke lært om potenser der eksponenten er et desimaltall eller en brøk. Men vi kan regne ut slike potenser på lommeregneren. Vi finner at h(3) = 2 · 31,5 = 10,4 h(4) = 2 · 41,5 = 16

180

Sinus Påbyggingsboka P > Funksjoner

Hvis vi prøver å regne ut h(–2) på lommeregneren, får vi feilmelding. Det er Hvis vi prøver å regne ut h(–2) på lommeregneren, får vi feilmelding. Det er ikke mulig å regne ut x1,5 når x er et negativt tall. ikke mulig å regne ut x1,5 når x er et negativt tall. Hvis eksponenten b er en brøk eksponenten eller et desimaltall, vi desimaltall, her at potensfunksjonen Hvis b er enforutsetter brøk eller et forutsetter vif(x) = ax her at b bare b er definert for positive aver x. definert for positive verdier av x. potensfunksjonen f(x) =verdier ax bare –2 og h(x) = 2x1,5 Vi tegner tegner nå nå grafene grafene til til funksjonene funksjonene f(x) f(x) == 2x 2x33,, g(x) g(x) == 4x 4x–2 et Vi og h(x) = 2x 1,5 ii et koordinatsystem for for positive positive verdier verdier av av x. x. Vi Vi ser ser at at funksjonsverdiene funksjonsverdiene til til ff og og koordinatsystem er null null når når xx == 00 og og øker øker når når xx øker. øker. Funksjonsverdien Funksjonsverdien til til gg nærmer nærmer seg seg null null hh er når x øker. når x øker.

y g

20 15 10 5 x 1

Vi forutsetter at a er tall, et positivt tall. Hvis er et positivt f(x) = axb et b et bnullpunkt Hvis b er et positivt har f(x) = ax når xtall, = 0.har Funksjonen voknullpunkt når xHvis = 0. Funksjonen vokser når x øker. Hvis bb mot er et null negativt tall, ser når x øker. b er et negativt tall, minker f(x) = ax når x øker. minker f(x) = axb mot null når x øker.

ekseMpel Eksempel Stein I. Hagen plantet ei solsikke. Hver dag målte han hvor høy den Stein I. han Hagen ei solsikke. dag målte han hvor høy den var, og fantplantet ut at høyden h(x) iHver centimeter x dager etter at den var, og han fant ut at høyden h(x) i centimeter x dager etter at den spirte, var gitt ved funksjonen spirte, var gitt ved funksjonen     h(x) = 0,01 · x2,7, når x  er mellom 0 og 30. h(x) = 0,01 · x2,7 a) Hvor høy var solsikka 25 dager etter at den spirte? a) vartilsolsikka 25 dager etter at den spirte? b) Hvor Tegn høy grafen h. b) til h50 forcm x mellom c) Tegn Når ergrafen solsikka høy? 0 og 30. c) Når er solsikka 50 cm høy?

Løsning: Løsning: a) Høyden etter 25 dager er a) Høyden etter 25 dager er     h(25) = 0,01 · 252,7 = 59,5 h(25) = 0,01 · 252,7 = 59,5 Solsikka er 59,5 cm høy etter 25 dager. Solsikka er 59,5 cm høy etter 25 dager.

181 129

b) Ved b) hjelp et digitalt hjelpemiddel får vi denne Vedavhjelp av et digitalt hjelpemiddel får vigrafen: denne grafen: cm

100 90 80

70 60 50 40 30 20 10

x 5

30 dager

c) Avlesingen viser: viser: c) Avlesingen

SolsikkaSolsikka er 50 cm etter 23etter dager. erhøy 50 cm høy 23 dager.

Oppgave 6.60 Oppgave Tegn digitalt grafen4.80 til funksjonene når x er mellom 0 og 5. 2 funksjonene a) f(x) =Tegn 3 · xdigitalt grafen b)til f(x) = 3 · x–2 når x er mellom 0 og 5. 2 1,5 3·x = 3 · x–2 c) f(x) =a)4 f(x) · x = d) f(x) =b)4 f(x) · x–1,5 1,5 c) f(x) = 4 · x d) f(x) = 4 · x–1,5 Oppgave 6.61 Oppgave Tegn digitalt grafen4.81 til funksjonen Tegn digitalt grafen til funksjonen f(x) = 2 · xb     f(x) = 2 · xb når b har verdiene –2, –1, 0, 1, 2 og 3. når b har verdiene –2, –1, 0, 1, 2 og 3. Oppgave 6.62 4.82av en vare går vanligvis ned når vi setter opp prisen. Tallet påOppgave solgte enheter Tallet på solgte av en varemellom går vanligvis når vi per setter opp prisen. En kjøpmann fant denneenheter sammenhengen prisenned og salget uke: La S(p) være tallet på solgte enheter per uke når prisen per enhet er p kroner. S(p) = 400 000p–1,5 En kjøpmann fant denne sammenhengen mellom prisen og salget per uke: der S(p) er tallet på solgte enheter–1,5 per uke når prisen p er mellom 50 kr og 100 kr.     S(p) = 400 000 p , når p er mellom 50 og 100. a) Finn salget per uke når prisen er 70 kr. Finn til salget b) Tegna)grafen S. per uke når prisen er 70 kr. Tegn til grafen til Sutfor Bruk digitalt å lage c) Brukb)grafen å finne hvahånd. prisen må et være for athjelpemiddel kjøpmannentil skal selgetabell. Brukper grafen 500 c) enheter uke.til å finne ut hva prisen må være for at kjøpmannen skal selge 500 enheter per uke.

Sinus Påbyggingsboka P > Funksjoner 182 130 Sinus 2P > Matematiske modeller

6.7 Potensregresjon Ved hjelp av digitale hjelpemidler kan vi finne den potensfunksjonen som passer best til et datasett.

Når b > 0, har potensfunksjonen f(x) = a · xb verdien null når x = 0. Når b < 0, er funksjonen ikke definert når x = 0. Vi må derfor passe på at ingen av x-verdiene i tabellen er 0 når vi skal finne den potensfunksjonen som passer best. Hvis verdien 0 forekommer, får vi feilmelding. Vi viser her hvordan vi utfører potensregresjon i GeoGebra. På nettsidene finner du framgangsmåten for annen programvare, og bak i boka står det oppskrifter for de grafiske lommeregnerne.

Eksempel Tabellen nedenfor viser tallet på fasttelefonabonnement i Norge i perioden fra 1950 til 2000, registrert per 1. januar. I tabellen står tallet på abonnement i tusen. Videre er x antallet år etter 1900. Årstall

x (år) y (tusen)

1950

1960

1970

1980

1990

2000

100

291

455

708

1114

2070

2446

a) Finn den potensfunksjonen som passer best med tallene i tabellen. Tegn grafen sammen med dataene. b) I 1982 var tallet på telefonabonnement 1 298 000. Hvordan stemmer det med modellen fra oppgave a? c) 1. januar 2006 var det 2 110 000 fasttelefonabonnement i Norge. Hvordan passer det med modellen i oppgave a? d) Når passerte antall abonnement 1 500 000 ifølge denne modellen?

Løsning: a) I GeoGebra går vi fram som ved polynomfunksjoner. Se side 175 og 178. Først legger vi inn tallene for x og y i kolonnene A og B i regnearket. Vi markerer så alle tallene i tabellen, høyreklikker og velger Lag og deretter Liste med punkt. Deretter skriver vi (0, 0) i inntastingsfeltet. Nå høyreklikker vi i grafikkfeltet og velger Vis alle objekt. Da får vi fram skjermbildet på neste side.

183

Vi har tatt bort punktet A(0, 0) og navnet på punktene. I inntastingsfeltet skriver vi nå RegPot[liste1] slik:

Vi har fått fram en potensfunksjon som passer godt med punktene. For å se hvordan uttrykket er, må vi trykke på Innstillinger. Vi velger Avrunding og 5 gjeldende siffer. Da finner vi dette uttrykket i algebrafeltet: Vi kan endre navnet på funksjonen ved å høyreklikke på uttrykket i algebrafeltet og velge Egenskaper. Der skriver vi navnet T i stedet for f og får dette:

184

Sinus Påbyggingsboka P > Funksjoner

Da ser vi at den beste potensfunksjonen er gitt ved T(x) = 0,000877 · x3,226 b) Vi finner tallet på abonnement i 1982 ved å skrive T(82) i innskrivingsfeltet. Det gir Ifølge modellen skulle det være 1 309 000 telefonabonnement i Norge i 1982. Det virkelige tallet var 1 298 000. Modellen passer godt. c) For å finne tallet på fasttelefonabonnement i tusen 1. januar 2006 skriver vi T(106) og får Det skulle være 2 997 000 fasttelefonabonnement i Norge i 2006. Det virkelige tallet var 2 110 000. Modellen passer ikke for 2006. Tallet på fasttelefoner var gått ned. Det er mobiltelefonene som har tatt over. d) 1 500 000 abonnement svarer til at y = 1500. Vi skriver dermed y = 1500 i innskrivingsfeltet. Det gir denne grafen:

Vi åpner så rullegardinmenyen under og velger Skjæring mellom to objekt. Så klikker vi på linja y = 1500 og på grafen til T. Det gir skjæringspunktet G både på grafen og i algebrafeltet. Vi ser at y = 1500 når x = 85,5. Det svarer til 1985. Antallet abonnement passerte 1 500 000 i løpet av 1985 ifølge denne modellen.

185

Oppgave 6.70 En stein blir sluppet fra et fly når det er 1000 m over bakken. Tabellen viser hvor mange meter, f(x), steinen har falt etter x sekunder for noen verdier av x.

x (sekunder) f(x) (meter)

176

314

490

a) Sett inn punktene i et koordinatsystem. b) Finn digitalt den potensfunksjonen som passer best med punktene. c) Tegn grafen til potensfunksjonen sammen med dataene i et koordinat system. Hvor godt passer modellen? d) Bruk modellen til å finne ut hvor langt steinen har falt etter 12 sekunder. e) Når er steinen 250 m over bakken? f) Hvor lang tid tar det før steinen når bakken?

Oppgave 6.71 For isolasjon av hus gjelder det at varmetapet T i kilowattimer per kvadrat meter vegg er avhengig av tykkelsen x på isolasjonen målt i centimeter. Tabellen viser sammenhengen.

x (cm) T (kWh/m2)

44,9 26,7 19,7 15,9 13,4 11,7

a) Sett inn punktene i et koordinatsystem. b) Finn digitalt den potensfunksjonen som passer best. c) Tegn grafen til potensfunksjonen sammen med dataene i et koordinat system. Hvor godt passer modellen? d) Bruk modellen og regn ut varmetapet når isolasjonen er 12 cm tykk. e) Hvor tykk isolasjon er det hvis varmetapet er 35 kWh/m2?

Oppgave 6.72 Tabellen nedenfor viser løpsfarten v til noen pattedyr og lengden x fra haletuppen til snuten.

186

x (cm)

v (m/s)

Mus

9,0

2,5

Ekorn

25,0

7,6

Rev

60,0

20,0

Gepard

120,0

29,0

Sinus Påbyggingsboka P > Funksjoner

a) Finn den potensfunksjonen som passer best. b) Tegn grafen sammen med punktene fra tabellen. c) Hvordan passer modellen? d) Jordekornet er 16,0 cm langt og løper 4,8 m/s. Hvordan stemmer det med modellen? e) Hvor langt er et dyr som løper 25 m/s, ut fra denne modellen? f) Hvordan passer mennesket inn i denne modellen?

6.8 Lineær vekst og vekstfart Grete Grønn kjøper en plante som er 5 cm høy. Den vokser 2 cm per uke. Vi sier at vekstfarten er 2 cm/uke. Etter x uker er høyden av planten gitt ved h(x) = 2x + 5

Dette er en lineær funksjon der grafen er ei rett linje. Vekstfarten er det samme som stigningstallet til linja. Dermed kan vi finne vekstfarten ut fra grafen til den lineære funksjonen. y

2 1

Vekstfarten er 2 cm/uke.

5 x 1

5 uker

Vekstfarten til en lineær funksjon er lik stigningstallet til grafen.

187

Eksempel Gunnar sparer penger. Grafen til venstre nedenfor viser hvordan spare beløpet vokser de første åtte ukene. Finn vekstfarten. kr

8000

7000

6000

5000

4000

3000

2000

1000

500 1

Vekstfarten er 500 kr/uke.

x 1

8 uker

x 1

8 uker

Løsning: Vi tar utgangspunkt i et fritt valgt punkt på grafen og leser av stigningstallet som vist på figuren til høyre ovenfor. Vekstfarten er 500 kr/uke. Pengebeholdningen til Gunnar øker altså med 500 kr per uke.

Det er ikke alltid lett å finne stigningstallet til ei linje ved å øke x med 1 enhet. Noen ganger må vi bruke andre metoder. Vi ser på et eksempel.

188

Sinus Påbyggingsboka P > Funksjoner

Eksempel Bjarne Bjørk har et tre i hagen. Han regner med at høyden av treet i meter om t år vil være gitt ved h(t) = 0,2t + 3 a) Tegn grafen når tida t er inntil 50 år. b) Bruk grafen til å finne vekstfarten til treet. c) Kontroller vekstfarten ved hjelp av funksjonsuttrykket.

Løsning: a) Funksjonen har denne grafen: m

y h

9 2 10

x 10

50 år

b) Her er det ikke mulig å lese av hvor mye y øker når x øker med 1 enhet. Vi tar i stedet utgangspunkt i et punkt på grafen og lar x øke med 10 år. Av grafen ser vi at høyden da øker med 2 m. Økningen per år er da 2m _____      = 0,2 m/år 10 år

Vekstfarten er 0,2 m/år. Treet vokser 0,2 m per år. c) Ut fra funksjonsuttrykket h(t) = 0,2t + 3 ser vi at stigningstallet er 0,2, og dermed er vekstfarten 0,2 m/år. Det stemmer med svaret i oppgave b.

189

Oppgave 6.80 Mona Mo har en moped. En dag hun er på langtur, finner Mona ut at antallet kilometer hun kjører på x timer, er gitt ved denne grafen: km

250 200 150 100 50 x 1

5 timer

a) Finn vekstfarten. b) Hvilken praktisk tolkning har vekstfarten? c) Finn en formel for strekningen s som Mona har tilbakelagt etter x timer.

Oppgave 6.81 Mona kjører en fast strekning hver dag med mopeden sin. Grafen nedenfor viser kilometerstanden på mopeden etter x dager når x er mellom 0 og 100. km

5000 4000 3000 2000 1000 x 20

100 dager

a) Finn vekstfarten. b) Finn en formel som viser kilometerstanden etter x dager.

190

Sinus Påbyggingsboka P > Funksjoner

Oppgave 6.82 Mopeden til Mona synker i verdi. Hun regner med at verdien i kroner etter x måneder er gitt ved V(x) = –300x + 18 000 a) Lag en graf som viser verdien av mopeden i de neste fem årene. b) Bruk grafen til å finne vekstfarten. c) Kontroller svaret i oppgave b ved hjelp av funksjonsuttrykket.

Oppgave 6.83 Mona fyller bensin på mopeden sin. Prisen i kroner for x liter er gitt ved p(x) = 10,50x a) Tegn en graf som viser prisen når Mona fyller inntil 6 liter bensin. b) Finn vekstfarten. c) Hvilken praktisk tolkning har vekstfarten her?

Oppgave 6.84 Når Mona har kjørt x mil med mopeden sin, er mengden bensin som er igjen på tanken, gitt ved b(x) = –0,25x + 6 a) Tegn en graf som viser bensinmengden når Mona har kjørt inntil 24 mil. b) Finn vekstfarten. c) Hvilken praktisk tolkning har vekstfarten her?

6.9 Vekstfart I kapittel 6.8 fant vi ut at vekstfarten til lineære funksjoner er den samme i alle punkter. Vi kunne da finne vekstfarten ved å tegne grafen og lese av stigningstallet til den rette linja. For funksjoner der grafen ikke er ei rett linje, må vi gå fram på en annen måte når vi skal finne vekstfarten. Grete Grønn planter en sommerplante. Grafen på neste side viser høyden av planten etter x dager for x mellom 0 og 30.

191

cm 80

70 60

71 – 45 = 26

50 30 – 20 = 10

40 30 20

37 – 5 = 32

10 25 – 5 = 20 5

x 25

30 dager

Vi skal finne vekstfarten etter 5 dager. Vi tegner da en tangent til grafen i det punktet der x = 5. En tangent er ei rett linje som ligger inntil grafen. Den er nøyaktig like bratt som grafen i punktet. Tangenten vil vanligvis ikke skjære gjennom grafen. Vanligvis ligger tangenten enten under grafen eller over grafen. Tangenten i punktet x = 5 ovenfor ligger under grafen. Etter 5 dager er planten ca. 5 cm høy. Hvis veksten hadde fulgt tangenten i punktet x = 5, ville den ha vært ca. 37 cm etter 25 dager. Planten hadde da vokst 37 cm – 5 cm = 32 cm på 25 dager – 5 dager = 20 dager Veksten per dag er dermed 32 cm ________        = 1,6 cm/dag 20 dager

Vekstfarten etter 5 dager er 1,6 cm per dag. Når vi skal finne vekstfarten etter 20 dager, tegner vi tangenten i det punktet på grafen der x = 20. Denne tangenten ligger over grafen.

192

Sinus Påbyggingsboka P > Funksjoner

Etter 20 dager er planten ca. 45 cm høy. Hvis veksten hadde fulgt tangenten i punktet x = 20, ville den ha vært 71 cm etter 30 dager. Den hadde da vokst 71 cm – 45 cm = 26 cm på 30 dager – 20 dager = 10 dager Veksten per dag er dermed 26 cm ________        = 2,6 cm/dag 10 dager

Vekstfarten etter 20 dager er 2,6 cm per dag.

Oppgave 6.90 Mona kjører av gårde med mopeden sin. Grafen viser hvor mange meter hun har kjørt etter t sekunder for t mellom 0 og 10. m

60 50 40 30 20 10 t 1

2 3

4 5

6 7

8 9 10 s

Finn vekstfarten etter 4 s og etter 8 s. Hvilken praktisk tolkning har vekstfarten her?

193

Oppgave 6.91 Vi kaster en stein opp i lufta. Grafen nedenfor viser hvor høyt steinen er over bakken etter t sekunder for t mellom 0 og 4. m

5 t 1

a) Finn vekstfarten etter 1) 1 sekund 2) 3 sekunder. b) Hvilken praktisk tolkning har vekstfarten her? c) Finn farten til steinen etter 2 s.

Når vi kjenner funksjonsuttrykket til en funksjon, kan vi finne vekstfarten digitalt. Vi skal finne vekstfarten til funksjonen

f(x) = −x2 + 2x + 3

når x = 2. Vi tegner først grafen til funksjonen i GeoGebra. Så skriver vi Da får vi tegnet tangenten til f for x = 2 som vist på neste side. Her har vi høyreklikket på tangenten, valgt Egenskaper og Basis og satt Vis navn til Verdi. Da får vi skrevet likningen y = −2x + 7 for tangenten på linja. Ettersom likningen er y = −2x + 7, er vekstfarten −2 når x = 2. Vi kan også finne vekstfarten for x = 2 uten å tegne tangent. Da skriver vi i inntastingsfeltet. Tegnet ' finner du til høyre for æ på tastaturet ditt.

194

Sinus Påbyggingsboka P > Funksjoner

Symbolet leser vi ‘f-derivert av 2’. Det gir vekstfarten for x = 2. Svaret finner vi i algebrafeltet. Vekstfarten for f er −2 når x = 2.

Eksempel Avisutklippet på sidene 176–177 er hentet fra Adresseavisen og viser hvor stor del av den norske befolkningen som arbeider i jordbruk, skogbruk, jakt og fiske. Vi ser at i 1904 var det 41 % som arbeidet i disse primærnæringene. I 2004 var det 3,5 %. La x være antallet år etter 1900. På side 179 fant vi at funksjonen p(x) = 0,000088x3 – 0,0146x2 + 0,223x + 39,6 er en modell for denne utviklingen. a) Tegn grafen til p. b) Finn vekstfarten i 1930 ved hjelp av en tangent. c) Finn vekstfarten i 1930 uten å bruke tangenten.

195

Løsning: a) Vi skriver inn funksjonsuttrykket slik: Deretter tilpasser vi koordinataksene og får fram denne grafen:

b) For å finne vekstfarten i 1930 ved hjelp av en tangent skriver vi Da blir tangenten tegnet sammen med grafen:

Vi ser at tangenten har likningen y = −0,42x + 47,99. Stigningstallet −0,42 for tangenten er det samme som vekstfarten til funksjonen. I 1930 var vekstfarten –0,42 % av befolkningen per år.

196

Sinus Påbyggingsboka P > Funksjoner

I praksis forteller dette at i 1930 sluttet ca. 0,42 % av befolkningen i primærnæringene. c) Vi kan også finne denne vekstfarten slik: Vi finner nå vekstfarten i algebravinduet. I 1930 var vekstfarten –0,42 % av befolkningen per år.

Oppgave 6.92 En sommerdag var temperaturen i celsiusgrader mellom kl. 8 og kl. 20 gitt ved 3 21      x – 50 T(x) = – __      x2 + ___ 8 2 der x er antallet timer etter midnatt. a) Tegn grafen til T. b) Finn vekstfarten kl. 10 ved hjelp av en tangent. c) Finn vekstfarten kl. 17 uten bruk av en tangent.

Oppgave 6.93 Høyden av ei gran målt i meter t år etter at den ble plantet, er gitt ved h(t) = –0,0003t3 + 0,025t2 a) Tegn en graf som viser høyden av grana fram til den er 50 år. b) Finn vekstfarten til grana etter 20 år og etter 40 år ved hjelp av tangenter. c) Finn vekstfarten etter 20 år og etter 40 år uten bruk av tangenter.

Oppgave 6.94 I eksempelet på sidene 175 og 178 studerte vi en modell for hvor stor prosentdel av befolkningen som arbeidet i primærnæringene. a) I 1990 var det 6 % av befolkningen som arbeidet i primærnæringene. Hvordan stemmer det med modellen? b) Finn vekstfarten i 1990 digitalt.

197

Sammendrag Funksjon y er en funksjon av x hvis hver mulig verdi for x gir nøyaktig én verdi for y. En funksjon kan være representert ved et funksjonsuttrykk, en graf eller en tabell. Lineær funksjon En lineær funksjon har et funksjonsuttrykk av typen f (x) = ax + b der a og b er to tall. Andregradsfunksjon En andregradsfunksjon har et funksjonsuttrykk av typen f(x) = ax2 + bx + c der a, b og c er faste tall. Grafen til en andregradsfunksjon kaller vi en parabel.

Polynom Et polynom er et flerleddet uttrykk av typen 2x3 − 2x2 + 5x + 3 eller x4 + 2x2 + 3x + 1. Graden til polynomet er det samme som den høyeste eksponenten til variabelen. Polynomfunksjon En funksjon der funksjonsuttrykket er et polynom, kaller vi en polynom funksjon. Nullpunkt En funksjon har et nullpunkt der grafen krysser x-aksen. Vi finner null punktene ved å løse likningen f(x) = 0

Bunnpunkt I et bunnpunkt er funksjonsverdien mindre enn i alle nabopunktene. Toppunkt I et toppunkt er funksjonsverdien større enn i alle nabopunktene.

198

Sinus Påbyggingsboka P > Funksjoner

Potensfunksjon For en potensfunksjon er funksjonsuttrykket på formen f(x) = a · xb der tallet a og eksponenten b kan være både positive og negative tall.

Vekstfart Vekstfarten til en lineær funksjon er lik stigningstallet til grafen. For andre funksjoner finner vi vekstfarten i et punkt ved å tegne tangenten i punktet på grafen og lese av stigningstallet til tangenten.

199