Barns matematiske evner
[start tittel]
Eva Pettersson Inger Wistedt
Barns matematiske evner – og hvordan de kan utvikles Oversatt av Ingvill Christina Goveia
© CAPPELEN DAMM AS 2013 Denne boken er en oversettelse av Barns matematiska förmågor -och hur de kan utvecklas, 1. utgave , 2013. © Studentlitteratur AB, Sverige. ISBN 978-82-02-41834-2 1. utgave, 1. opplag 2013 Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt avtale med Cappelen Damm AS er enhver eksemplarfremstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Illustrasjoner: Studentlitteratur AB og Laboremus Oslo AS Foto: 2.1: Shutterstock.com/Losevsky Photo and Video, 2.2: Shutterstock.com/ Yehuda Boltshauser, 2.3: Shutterstock.com/Kuttelvaserova Omslagsdesign: Tonic Design AS Sats: Laboremus Oslo AS Trykk og innbinding: Livonia Print SiA, Latvia 2013 www.cda.no akademisk@cappelendamm.no
Innhold
Forord.................................................................................. 7 1 Matematisk evne er mangefasettert................................ 9 Begavelse eller evne?........................................................... 9 De matematiske evnene....................................................... 12
2 Hvordan kommer elevenes matematiske evner til uttrykk?. . ...................................... 19 Hvordan kan vi se og beskrive matematiske evner hos elever?..... 19 Evnenes individuelle uttrykk.. ............................................... 39
3 «Du er ikke dum, du!» Om barn som utfordrer foreldre og lærere...................... 45 Hvordan kan man stimulere elevenes matematiske interesse?...... 52 Hva kan skje når støtten uteblir?............................................ 54 Betydningen av respons....................................................... 56
4 Organisatoriske tiltak.. .................................................... 59 Ulike former for gruppering av elever – grouping og tracking..... 60 Individuell støtte.. ............................................................... 62
5 Pedagogiske løsninger. . .................................................. 65 Hvordan kan innholdet tilpasses elever med særskilte behov?..... Hvordan kan arbeidsformene tilpasses fagets særpreg?.............. Klasseromsaktiviteter som beriker elevenes forståelse av matematikkfaget. . .................................. Klasseromnormenes betydning for elevenes læring...................
65 66 68 77
Innhold 5
6 Mer matte!...................................................................... 79 Funksjoner........................................................................ 84 Tallforstﾃ･else, mﾃｸnstre og kombinatorikk................................ 97
7 Etterord.......................................................................... 117 Litteraturtips og referanser.................................................. 119 Stikkordsregister.. ................................................................ 121
6窶オnnhold
Forord
Med denne boken håper vi å gi støtte til lærere, lærerstudenter og foreldre i den viktige oppgaven det er å utvikle barns og unges evner i matematikk. Når det gjelder matematikk som skolefag, er det mest vanlig å ha søkelyset på elevenes og lærernes bekymringer. Det finnes et stort antall bøker som omtaler matematikkvansker, og evalueringer og internasjonale sammenligningsstudier av matematikkundervisningen i Sverige er sjelden noe å juble over. Derfor er også ett av formålene med denne boken å utfordre det knapphetsperspektivet som er vanlig å ha når det gjelder elevenes matematikklæring, og i stedet rette blikket mot elevenes potensial og talent for faget. Boken bygger på erfaringer og resultater fra to forskningsprosjekter som er finansiert av Vetenskapsrådet: Pedagogik för elever med förmåga och fallenhet för matematik (2005–2007) og Pedagogik för elever med förmåga och fallenhet för matematik i en skola för alla (2008–2010). Eksemplene i boken er hentet fra rapporter og avhandlinger som på ulike måter er tilknyttet prosjektet. Barna, foreldrene og lærerne som beskrives i boken, finnes i virkeligheten, men går av og til under andre navn. De har selv fått avgjøre om de vil stå frem med virkelige navn. Eksemplene viser hvordan matematisk evne kommer til utrykk hos elevene, hvor stor variasjon det er i disse uttrykkene hos barn og unge, og hva som kreves for at denne evnen skal utvikles på en gunstig måte. Vi ønsker også å formidle kunnskap om hva foreldre og lærere kan gjøre for å stimulere barns matematiske utvikling. I de to innledende kapitlene drøfter vi begrepet matematisk evne og gir eksempler på hvordan denne evnen kommer til uttrykk når elevene løser matematiske problemer. I det tredje kapitlet fokuserer vi på elevene, på hva som skjer Forord 7
når barn som tidlig har utviklet sin matematiske interesse, begynner på skolen, og hva som kan skje dersom støtten uteblir. I de to påfølgende kapitlene gir vi eksempler på hvordan matematikkundervisningen kan tilpasses elevenes særskilte behov, og hvordan den kan berikes med øvelser som stimulerer og utvikler den matematiske evnens mange uttrykksformer. Avslutningsvis gir vi noen litteraturtips for videre lesning. Vi vil også henvise til vår nye hjemmeside, www.giftedmath.se, der det finnes linker til avhandlinger og andre tekster fra forskningsprosjektene som denne boken bygger på. Lund, november 2012 Eva Pettersson og Inger Wistedt
8 Forord
Kapittel 1 Matematisk evne er mangefasettert
Begavelse eller evne? I 1994 kom Europarådet med en anbefaling til medlemslandene, deriblant Sverige. Denne anbefalingen, Recommendation 1248 (1994), handler om viktigheten av å støtte begavede elever. I de første tre punktene heter det: (1) Europarådet fastslår at utdanning er en grunnleggende menneskerett som, så langt det er mulig, bør tilpasses hvert individ. (2) På tross av at utdanningssystemene av praktiske årsaker må tilpasses majoriteten av barn, vil det alltid finnes barn med spesielle behov, og disse behovene krever særskilte tiltak. Særskilt begavede barn er en slik gruppe. (3) Begavede barn bør få muligheten til adekvat undervisning som tillater dem å utvikle evnene sine fullt ut, både for sitt eget beste og for samfunnet som helhet. Ingen land har råd til å sløse bort talent, og det er sløsing med menneskelige ressurser dersom man ikke oppdager intellektuelle eller andre potensielle evner tidlig nok. Dette formålet krever adekvate midler. Anbefalingen gir en generell omtale av «begavede barn» som har behov for og rett til støtte fra skolen og samfunnet. Ordet begavelse stammer fra forgangne tiders forestillinger om at talent er en medfødt gave som enkelte individer har vært så heldige å få og andre ikke (for en nærmere beskrivelse av ordet begavelse og begrepets historiske utvikling, se Ziegler 2010). Begrepet Gifted Education er den engelske betegnelsen på den forskningen som er tilegnet studier av barn og unge med et eksepMatematisk evne er mangefasettert 9
sjonelt talent innen ulike områder. Oversatt blir uttrykket «utdanning for begavede», selv om det er mulig å leke litt med ordene og oversette Gifted Education til det vi tror er en mer fruktbar måte å tenke på: begavet undervisning eller undervisning som løfter frem og stimulerer utviklingen av elevenes evner. I dag vet vi at det er en nær sammenheng mellom arv og miljø i all utvikling av talent. Naturligvis har vi ulikt potensial for ulike aktiviteter, men potensial må tas vare på og støttes for å utvikles. Det er mulig å utvikle evner! Ordet står også i flertall. Det er ikke én evne som gjør oss dyktige i matematikk, kunst, språk eller hva det måtte være – det er en hel rekke evner, og en relativ svakhet i en eller annen evne kan kompenseres med andre sterke evner innenfor temmelig vide grenser. I matematikklæring handler det om å utvikle evner som er spesifikke for en matematisk aktivitet. Hva er det som kjennetegner en matematisk aktivitet, og i hvilke aktiviteter utvikles nettopp matematiske evner? Dersom temaet hadde vært høydehopping, og vi hadde vært idrettstrenere, hadde vi tenkt nøye igjennom hvilke evner som karakteriserer en god høydehopper. Vi ville ha utarbeidet øvelser som utviklet de ulike evnene som til sammen setter et menneske i stand til å hoppe høyt og kanskje også vinne mesterskap: spenst, benstyrke, smidighet, stressmestring og så videre. Treneren ville ha tenkt igjennom hvilke øvelser som kreves for å utvikle for eksempel hopperens benstyrke. Treneren er sikkert også klar over at helt andre øvelser må til for å utvikle evnen til å konsentrere seg i en stresset konkurransesituasjon eller for å utvikle spenst og smidighet. Ingen fremgangsrik trener tror at det er nok å la eleven, den kommende høydehopperen, hoppe over en stang svært mange ganger – om og om igjen! Det samme gjelder matematiske evner. For at matematiske evner skal utvikles, er det ikke nok å la elever regne seg gjennom rutineoppgaver – side opp og side ned – og bekrefte svaret i fasiten. I en matematisk aktivitet, akkurat som i høydehopp, er det ikke én enkelt evne som gjør oss til dyktige utøvere av aktiviteten det er snakk om. Det er et mangfold av evner. Forestillingen om at matematisk evne er kompleks og sammensatt av mange delevner, er en relativt ny tanke. I antikken og i middelalderen var begrepet evne, eller «begavelse», knyttet til religiøse forestillinger om guddommelige inngrep i menneskers liv, der Guds velsignelse kunne komme til den som fortjente gaven. Den gangen var det utenke10 Kapittel 1
lig at en ond person eller et fattig menneske i nød skulle kunne være begavet (se Ziegler 2010). Også langt inn i moderne tid har man forestilt seg at begavelse kan oppsummeres i ett enkelt mål – intelligenskvotient (IQ), der et individ sammenlignes med en forhåndsbestemt sammenligningsgruppe, vanligvis en aldersgruppe, men også med kjønnstilhørighet eller utdanningsnivå. Den gjennomsnittlige verdien er 100, det vil si at dersom en person har IQ på 100, vil halvparten av individene i sammenligningsgruppen ha like høy eller høyere intelligens (for en nærmere beskrivelse av hvordan man beregner intelligenskvotient, og hvilke antakelser denne målingen bygger på, se Ziegler 2010: 28–30). Målt i IQ ville svært begavede barn, eller særskilt begavede barn som de også kalles, det vil si individer med IQ på 130 eller over, utgjøre 2–3 prosent av sammenligningsgruppen. Mye tyder imidlertid på at én enkelt verdi som intelligenskvotient ikke gir et riktig bilde av et menneskes intellektuelle kapasitet. Det finnes en rekke studier som viser at mennesker som presterer utover det som er vanlig, ikke har vesentlig høyere intelligenskvotient enn normalt. I Zieglers bok (Ziegler 2010: 33) om William Shockley, den blivende nobelprisvinneren som sies å være den elektroniske tidsalderens far, gjengir han en morsom historie. Som gutt ble William Shockley testet av Lewis M. Terman (1877–1956), forskeren som viet sitt liv til å utvikle og måle intelligenskvotient hos mennesker. Den unge Shockley fikk et svært middelmådig resultat: IQ på 129. Shockleys mor, som kjente til sønnens usedvanlige kapasitet, ble rett og slett sint og krevde at sønnen ble testet på nytt. Her måtte det ha oppstått en målefeil! Sønnen fikk ta testen om igjen og fikk da et enda lavere resultat: 125! Det var flere som undret seg over disse måleresultatene, og testen ble derfor utført en tredje gang da Shockley var en voksen mann på toppen av karrieren. Men Shockleys intelligenskvotient var fortsatt på et relativt gjennomsnittlig nivå! Mot slutten av livet måtte også Terman innrømme at én målestandard ikke er tilstrekkelig for å forklare hvorfor enkelte mennesker er høytpresterende, mens andre ikke er det. I dag finnes det en rekke ulike forslag til hvordan menneskelig kompetanse kan beskrives og måles. Det mest kjente er kanskje Howard Gardners teori om «multiple intelligenser» (Gardner 2009), en teori som har store likheter med den teorien vi snart skal stifte bekjentskap med: V.A. Krutetskijs teori om hvordan den matematiske evnen arter seg. Matematisk evne er mangefasettert 11
De matematiske evnene Selv om forskere gjennom tidene gjerne har villet forenkle og rasjonalisere forståelsen av hvordan ulike menneskers kompetanse kan forklares og måles, har det alltid eksistert lærere som har innsett hvor individuelle ulike mennesker er. Disse lærerne har også innsett at individer må møtes og vurderes på en nyansert måte som tar hensyn til hver enkelt persons særtrekk. For hundre år siden skrev Anna Kruse, som var lærerinne ved den Brummerske skolen i Stockholm på den tiden, en herlig bok som ble utgitt på nytt i forbindelse med hundreårsjubileet. I denne boken skriver hun at dersom elevene skal kunne utvikle seg i matematikk, «må de ulike evnene ivaretas og utvikles», og lærerens oppgave er «å finne ut av hvilke evner barna har, og til en viss grad og så godt vi kan, gi dem betingelser for utvikle seg; det er dit vi vil komme gjennom den grunnleggende undervisningen» (Kruse 1910, 2010). Hvilke ulike evner må ivaretas og utvikles i matematikkundervisningen? Den viktigste referansen vi har for å beskrive de matematiske evnenes ulike uttrykk, er en russisk studie som ble gjennomført i 1955– 1966. Denne studien ble først kjent i den vestlige verden da den ble oversatt til engelsk ti år senere (Krutetskij 1976). Også i dag er boken som presenterer undersøkelsen og resultatene av denne studien, den viktigste kilden for forskere som studerer matematiske evner hos barn og unge. Formålet med Krutetskijs studie var å gi en beskrivelse av hvordan den matematiske evnen arter seg, slik at resultatene kunne benyttes for å forbedre undervisningen i faget. Han konstaterer at problemløsing står i sentrum for all matematisk aktivitet, og dette begrepet er ofte med i diskusjonene som gjelder svensk matematikkundervisning (se for eksempel Skolverket 2011: 6), der problemer, i vid forstand, betyr oppgaver som ikke kan løses ved hjelp av innarbeidete rutiner, men som stimulerer elevene til å utvikle nye tankemodeller som kan føre til matematiske oppdagelser som er nye for eleven (se for eksempel T. Dahl 2011: 33–39). Krutetskij beskriver den matematiske evnen som en struktur som består av åtte ulike evner som er avhengige av hverandre. Disse evnene kommer til uttrykk på forskjellige måter i ulike faser av en problemløsingsprosess: når vi samler inn informasjon for å løse en oppgave, når vi bearbeider informasjonen som har blitt samlet inn i løsingsprosessen, 12 Kapittel 1
og når vi samtidig husker hva vi har lært. Det handler da ikke om en mekanisk hukommelse for enkelte enheter, men om en strukturerende hukommelse for generelle trekk i en løsning, for bevis eller for prinsipper, slik at man kan resonnere seg frem til løsningen. De åtte evnene som utvikles i en matematisk aktivitet, er • evnen til å formalisere matematisk materiale, det vil si evnen til å skille form fra innhold og til å arbeide med formelle strukturer av relasjoner og sammenhenger • evnen til å generalisere matematisk materiale, å oppdage hva som er viktig, å velge bort det som er irrelevant, og å se hva som er felles i det som kan se forskjellig ut på overflaten • evnen til å operere med tall og andre symboler • evnen til sekvensiell logisk resonnering, som er evnen til å kunne skjelne mellom forutsetninger for og konklusjoner av et resonnement og evnen til å trekke logiske konklusjoner fra de gitte forutsetningene • evnen til å forkorte resonnementer til fordel for klarhet og enkelhet i løsningsprosessen • fleksibilitet og reversibilitet i tenkningen, det vil si bevegelighet i tenkningen og evnen til å snu tankegangen eller bytte tankemodell • evnen til å huske matematisk informasjon som gjør det mulig for individet å kunne bruke erfaringen man har fått i nye problemløsingssituasjoner, det vil si å huske relasjoner mellom størrelser, typiske trekk i resonnementer, argumentasjonsskjemaer, bevis og så videre • talent og interesse for matematikk, som er en evne som ofte kommer til uttrykk som en lyst til å undersøke matematiske aspekter i omverdenen Sju av disse evnene er mer eller mindre velutviklet hos alle mennesker. Uten disse evnene ville vi nemlig ikke være i stand til å orientere oss i omverdenen ved å bedømme avstand, tid og hastighet eller estimere objekters størrelse, vekt, volum eller tilstand. Vi ville ikke være i stand til å lage verktøy, bygge hus, lage apparater, instrumenter eller andre ting vi trenger. Vi ville heller ikke være i stand til å sette pris på skjønnheten
Matematisk evne er mangefasettert 13
i et kunstverk eller et musikkstykke eller til å trekke konklusjoner fra egne handlinger for senere behov. Den åttende evnen – talent og interesse for matematikk – ser det imidlertid ikke ut til at alle mennesker har. Krutetskij inkluderte også denne evnen i studien, for å vie spesiell oppmerksomhet til barn med et utpreget matematisk talent. Et slikt ekstremt talent for matematikk blir ofte fremtredende i svært ung alder. For eksempel forteller en mor i et brev hun skrev til oss, hvordan hennes seks år gamle sønn forsøkte å forhandle seg til å få panten på flaskene familien hadde samlet sammen. Han spurte hva panten var på hver flaske, og regnet deretter raskt ut at summen var 30 kroner. Så ville han gjerne dele med lillebroren sin, som han syntes kunne få en fjerdedel av panten. Han regnet raskt ut at han selv da ville få 22 kroner og 50 øre. Det ser imidlertid ikke ut til at alle mennesker har denne sterke interessen for matematikk eller for å undersøke matematiske aspekter i omverdenen. Til en viss grad kan det hende at grunnen er at de aldri har lært faget å kjenne på alvor. Statlige undersøkelser av matematikkundervisningen viser at skoleundervisningen ofte domineres av arbeid i lærebøkene, og dette fremkommer også i de undersøkelsene vi har gjennomført blant lærere og matematikk-utviklere i Sverige (se Pettersson 2011: 212–229). Denne undervisningsformen gir få utfordringer og oppmuntrer ikke elevene til å diskutere resultatene sine eller å argumentere for ulike måter å løse problemer på. Vi kommer tilbake til dette i et senere kapittel, men her og nå kan vi konstatere at en slik undervisningsform ikke alltid stimulerer elevene til å uttrykke evnene sine. Det finnes også elever som helst skjuler at de liker og har lett for å forstå faget – spesielt på skolen, der ikke alle liker matematikk. En kvinnelig matematiker beskriver hvordan hennes talent for matematikk ble oppfattet i skoleårene: Da jeg gikk på skolen, hadde jeg vennlige lærere som syntes jeg var flink, og en del av dem var sjenerøse nok til å vise det, selv om de ikke alltid forsto hva jeg sa. I likhet med andre begavelser på småskoletrinnet var det derimot ikke noen fordel å ha talent for matematikk når det gjaldt omgangen med andre barn. Det var snarere en slags defekt, som de som kjente meg godt, kunne se gjennom fingrene med.
14 Kapittel 1
Mange elever med interesse for matematikk opplever også at undervisningen og oppgavene i læremateriellet er kjedelig, og det er ikke uvanlig at elever med talent for faget underpresterer på skolen, noe også internasjonal forskning har satt søkelyset på (se Mönks og Ypenburg 2009: 79–82). Lærere og foreldre bør også være oppmerksom på hvordan kjønnsaspekter kan påvirke vurderingen av elevenes prestasjoner. Ei jente som deltok i studien vår, ble ikke vurdert av læreren sin som særlig matematisk begavet. Ifølge læreren var fremgangen hennes i faget et produkt av hardt arbeid. Jenta var flittig og gjorde det hun fikk beskjed om, var stille og ba sjelden om hjelp, men at hun skulle ha et spesielt talent for faget, var verken foreldrene eller lærerne klar over. Det var først da klassen deltok i den såkalte kengurukonkurransen i matematikk (www.ncm.gu.se), og jenta tok femteplassen i den nasjonale konkurransen, at jentas matematiske evner ble oppdaget (Pettersson 2011: 108). Det er altså nødvendig å ha verktøy for å oppdage matematiske evner. Så – hvilke verktøy er tilgjengelige? Vi har konstatert at den arvemessige faktoren er nødvendig, men ikke tilstrekkelig for å utvikle et individs evner. Det som kreves, er aktiviteter der evnene kan tas i bruk, som stimulerer til å utvikle disse evnene, og som gir dem innhold og retning. Innholdet er i dette tilfellet matematikk, og retningen er gitt av de spesifikke evnene som må utvikles for at eleven skal lære seg å beherske innholdet. Nå burde vi egentlig gi leserne en definisjon av hva vi mener med matematikk. Flere har forsøkt å fange matematikkens særpreg og historiske utvikling (for eksempel Johansson 2004), og mange av dem har dype kunnskaper om emnet (for en populær introduksjon, se Dahl 2002). I denne boken nøyer vi oss derfor med helt generelt å konstatere at matematikk, som andre kunnskapsområder, er et uttrykk for menneskers anstrengelser for å skape orden i tilværelsen og systematisere erfaringene slik at det er mulig å overføre dem til nye generasjoner. For å lære opp mennesker i den matematiske kulturen, som i andre fagkulturer, må derfor den som har ansvar for opplæringen, innse at det er nettopp dét som er oppdraget deres. Dersom denne innsikten mangler, blir oppgaven raskt formell og innholdsløs. Dette bekrefter også kognisjonsforskeren Peter Gärdenfors ved å vise til at læreren har en avgjørende rolle for at elevene skal ha muligheter til å forstå Matematisk evne er mangefasettert 15
et kunnskapsområde i utgangspunktet (Gärdenfors 2012). Forståelse handler om å se sammenhenger og strukturer i det fagstoffet som skal læres, og å søke abstrakte mønstre som kan formaliseres og tilpasses nye læresituasjoner. Da er det ikke nok bare mekanisk å lære seg formler (hvordan var nå den formelen for å løse en annengradsligning igjen … det var noe med p og q …???). For at man skal oppnå virkelig forståelse, må kunnskapen forankres i en bredere forståelse av sammenhengene i faget. Når vi ser nærmere på de matematiske evnene, er det også et annet fellestrekk: De matematiske evnene er alle aspekter av en dyp og generell forståelse for matematikkfaget og dets særpreg. «Det sentrale spørsmålet blir derfor hvordan man skal kunne hjelpe en elev med å oppdage de relevante mønstrene og på den måten skape en virkelig forståelse.» (Gärdenfors 2012: 92). Vi kommer tilbake til dette spørsmålet i et senere kapittel. I likhet med Krutetskij konstaterer vi imidlertid at skolematematikk av og til ser ut til å ha lite til felles med matematikk som en menneskelig kulturytring og vitenskap, og at mye av læringen på skolen handler om å øve inn elevenes ferdigheter i stedet for forståelse for faget og faginnholdet. Studier vi har gjennomført i forbindelse med dette prosjektet, viser, i likhet med Skolverkets oppfølging av matematikkundervisningen i svenske klasserom, at mesteparten av tiden brukes til ferdighetstrening i lærebøker der oppgavene ikke alltid gir elevene mulighet til å skape en dypere forståelse for faget på egen hånd. Krutetskij er også nøye med å påpeke at elever med spesielt talent for matematikk ikke alltid er høytpresterende på skolen (se også Mönks og Ypenburg 2009: 79–82). Forskjellen mellom evne og sterke prestasjoner er imidlertid ikke absolutt. Som vi allerede har nevnt, var formålet med Krutetskijs studie å bidra til forandring og utvikling av skolematematikken. Studien handler derfor om hvordan elevenes skoleevner kan utvikles, og det er kreative skoleevner det handler om, det vil si evner som gir elevene mulighet til å formulere matematiske problemer på egen hånd og se etter metoder og midler for å løse dem. Krutetskij vil imidlertid gjøre et tydelig skille mellom evner på den ene siden og ferdigheter og vaner på den andre. Evner og ferdigheter er nær knyttet til og avhengige av hverandre, og i hverdagstale blander vi dem ofte sammen. Ofte mener vi stort sett det samme når vi snakker om et individs evne til å regne eller personens regneferdighet. Forskjellen er at når vi snakker om fer16 Kapittel 1
digheter, er det de spesifikke kjennetegnene ved selve aktiviteten (regneferdigheten) vi har søkelyset på, mens når vi snakker om evne, er det kvaliteter eller kjennetegn hos personen som utfører aktiviteten, vi mener (evnen til å regne). Det er det sistnevnte vi er interessert i her. Dersom oppgaven vår er å støtte og utvikle elevenes evner i faget, er det ikke alltid nok å ta vare på ferdighetene deres. Elever kan – og med fremgang – løse visse vanlige typer oppgaver ved å huske eller kopiere formler for hvordan man håndterer slike oppgaver. De kan da utvise gode ferdigheter når de løser oppgaven, selv om forståelsen deres for problemet – og dermed evnene deres i faget – svikter. Dersom undervisningen hovedsakelig handler om å løse standardoppgaver, som for eksempel regneoppgaver eller oppgaver i et gitt format, kan det være vanskelig å oppdage og dermed også stimulere utviklingen av elevenes matematiske evner. Som nevnt står problemløsing sentralt i all matematisk aktivitet. I neste kapittel gir vi eksempler på hvordan matematiske evner kommer til uttrykk når elever – på egen hånd eller i grupper – løser såkalte rike matematiske problemer, det vil si problemer som er rike på matematisk innhold, som introduserer viktige matematiske begreper, og som stimulerer elevenes kreativitet fordi problemene ikke kan løses med de metodene elevene allerede kan og kjenner til. Ettersom problemene også kan løses på ulike måter, med ulike strategier og måter å representere informasjonen som gis i oppgaven på, som for eksempel med ord eller med ulike matematiske symboler, kan elevene også løse dem på ulike vanskelighetsnivåer der løsningen er avhengig av hva eleven allerede kan og vet (Hagland, Hedrén og Taflin 2005). Rike matematiske problemer kan derfor brukes for å gjøre elevenes matematiske evner synlige, som i eksemplene vi gir i neste kapittel, der elevene – selvstendig eller i grupper – løser problemer som utfordrer deres matematiske forståelse. Vi ber leserne om å studere problemene som elevene blir bedt om å løse, og først forsøke å finne løsninger på egen hånd. Da blir det lettere å identifisere kvaliteter i elevenes løsningsforslag og å oppdage evnene etter hvert som de kommer til syne når elevene tolker oppgavene, løser dem og trekker konklusjoner av det de har lært.
Matematisk evne er mangefasettert 17