Qed 5 10 bind 1 bla i bok by Cappelen Damm

Del II Eleven – skapende sosialt individ i møte med samfunn og kultur har ﬁre kapitler: Læring og læringsteorier, Dagens grunnskole, Didaktiske verktøy og Språk, representasjon og kommunikasjon. Denne delen tar også opp hva lærerkompetanse i matematikk kan være, og hvilke didaktiske tilnærminger man kan ha til undervisning i matematikk.

Kristin Ran Choi Hinna er høgskolelektor ved Høgskolen i Bergen, Avdeling for lærerutdanning. Hun underviser i førskolelærerutdanningen og i grunnskolelærerutdanningen. Reinert A. Rinvold er førsteamanuensis i matematikk ved Høgskolen i Hedmark, Avdeling for lærerutdanning og naturvitenskap. Han underviser i grunnskolelærerutdanningen. Trond Stølen Gustavsen er professor i matematikk ved Høgskolen i Buskerud, Avdeling for lærerutdanning. Han underviser i grunnskolelærerutdanningen.

ISBN 978-82-7634-890-3

9 788276 348903

QED 5-10

Både faget og didaktikken er knyttet opp mot LK06. Boka viser hvordan både ulike deler av matematikken og teorier om læring og undervisning henger sammen. Temaer som bruk av digitale verktøy, visualisering, bevis og argumentasjon og tilpasset opplæring er gjennomgående, men tas også opp særskilt i kapitler eller delkapitler. Flere temaer i denne boka tas grundigere opp enn det som har vært vanlig i litteratur for lærerutdanningen, blant annet visualisering, bevis og argumentasjon, det ﬂerkulturelle aspektet ved matematikklæring og kognitive kart.

Bind 1

c=a+b

Del I Matematikk – skolefag og kulturarv inneholder sju kapitler: Tall, Algebra, Funksjoner, Geometri og måling, Bevis og argumentasjon, Statistikk og Sannsynlighet. Matematikken knyttes hele tiden til elevene du skal møte, og jobben du skal gjøre som matematikklærer.

Hinna, Rinvold og Gustavsen

QED 5–10 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen – bind 1, dekker de første 30 av de 60 studiepoengene i matematikk rettet mot undervisning på 5.–10. trinn. Boka er delt inn i to hoveddeler, en matematikkfaglig og en matematikkdidaktisk del.

KRISTIN RAN CHOI HINNA REINERT A. RINVOLD TROND STØLEN GUSTAVSEN

QED 5-10 MATEMATIKK FOR GRUNNSKOLELÆRERUTDANNINGEN N Bind 1

Innhold

Kapittel 1

Velkommen til studiet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Forord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Innledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Tallenes hemmeligheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Olav Gravir Imenes

1.1

Innledning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2

Regning med hele tall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Etterfølgerprinsippet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Velordningsprinsippet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Lukkethet under operasjoner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Divisjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5 Delelighet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.6 Minste felles multiplum og største felles faktor . . . . . . . . 1.2.7 Euklids algoritme for å ﬁnne største felles faktor . . . . . . .

23 23 24 27 29 34 38 41

1.3

Kongruens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Deﬁnisjon av kongruens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Eksempler på kongruens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Regning med rester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4 Formelle bevis for regneregler i kongruensregning. . . . . . 1.3.5 Delelighetsregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.6 Feiloppdaging ved hjelp av kongruensregning . . . . . . . . . . 1.3.7 Grupper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47 47 51 55 59 69 72 75

1.4

Lineære kongruenslikninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Løsning med klokkemetoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Løsning med multiplikasjonstabell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Nulldivisorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.4 Løsning med diofantiske likninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82 82 88 89 94

INNHOLD

1.5

1.6

Kapittel 2

Heltallsløsninger av lineære likninger (diofantiske likninger) . . . . 1.5.1 Å finne eń løsning ved hjelp av Euklids algoritme . . . . . . 1.5.2 Å finne alle løsninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.3 Å finne positive løsninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.4 Grafisk framstilling av løsninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.5 Løsning av diofantiske likninger ved omforming til kongruenslikninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.6 Tilfeller hvor den diofantiske likningen ikke har løsning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95 95 97 99 100 101 103

Tallenes byggesteiner: Primtall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1 Eratostenes’ såld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.2 Bruk av aritmetikkens fundamentalteorem til å skrive og multiplisere tall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.3 Bevis av aritmetikkens fundamentalteorem. . . . . . . . . . . . . 1.6.4 Å sjekke om et stort tall er et primtall . . . . . . . . . . . . . . . . .

107 109

1.7

Kryptograﬁ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1 Bokstavkoder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.2 Feiloppdagingskoder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.3 Diﬃe-Hellmann nøkkelutveksling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

118 119 124 128

1.8

Tallfølger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.1 Aritmetiske følger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.2 Geometriske følger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.3 Rekker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

133 135 143 145

1.9

Fibonacci-tallene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9.1 Historisk eksempel: Kaninoppdrett. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9.2 I naturen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9.3 Binets formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

148 148 152 153

Litteratur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

156

Geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Andrea Hofmann og Odd Tore Kaufmann

159

2.1

Innledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Historisk tilbakeblikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Geometri i LK06/13 og kort presentasjon av kapitlene. . .

159 159 162

2.2

Geometri i norsk skole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Innledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Striden på 1800-tallet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Læreplaner (fra 1890-årene til 2013) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

164 164 164 166

2.3

Romforståelse og bruk av konkreter i geometriundervisningen . . . 2.3.1 Innledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Geometrisk forståelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Romlig resonnering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4 Utforskning av former og ﬁgurer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.5 Bruk av konkreter i geometriundervisningen . . . . . . . . . . .

171 171 173 176 181 182

111 112 117

INNHOLD

2.4

Euklidsk geometri og ikke-euklidsk geometri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Euklid og hans aksiomsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Euklids Elementer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Euklids katetsetning og Euklids høydesetning . . . . . . . . . . . 2.4.4 Ikke-euklidsk geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.5 En liten oversikt over noen egenskaper i euklidsk og ikke-euklidsk geometri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

193 193 195 198 200

Geometriske steder og konstruksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Konstruksjoner med passer og linjal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Geometriske steder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3 Konstruksjoner av ﬁrkanter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.4 Konstruksjoner som er umulige kun med passer og linjal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

209 210 210 216

2.6

Utforskning og bevis i geometri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Bevis i skolen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2 Å ﬁnne eksempler versus å bevise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.3 Bevis av periferivinkelsetningen og Thales’ setning . . . . . 2.6.4 Egenskaper ved ﬁrkanter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.5 Utforskning av geometriske sammenhenger i GeoGebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

229 229 230 232 234

2.7

Romlegemer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1 Cavalieris prinsipp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.2 Polyedre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

245 245 249

2.8

Symmetri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.1 Symmetri i LK06/13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.2 Båndsymmetri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.3 Tapetsymmetri (ﬂatesymmetri) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.4 Sammensetning av symmetrier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

262 263 265 269 272

2.9

Trigonometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9.1 Utforskning: Mot en deﬁnisjon av de trigonometriske funksjonene sinus, cosinus og tangens . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9.2 Deﬁnisjon av sinus, cosinus og tangens for spisse vinkler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9.3 Sinus, cosinus og tangens til noen spesielle vinkler . . . . . 2.9.4 Sinus, cosinus og tangens for stumpe vinkler (og generelt for alle vinkler) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9.5 Arealet til en trekant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9.6 Sinussetningen og cosinussetningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9.7 Radianer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

288

2.5

207

217

236

289 290 296 298 301 302 305

INNHOLD

2.10

2.11

Kapittel 3

Vektorer, kongruensavbildninger og symmetrier i koordinatsystem i planet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10.1 Regning med vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10.2 Kongruensavbildninger i koordinatsystem . . . . . . . . . . . . . . 2.10.3 Symmetrier i koordinatsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10.4 En anvendelse av vektorregning: Å ﬁnne tyngdepunktet til en trekant . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

314 316 332 335 336

Geometri i kunst og arkitektur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11.1 Tesselering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11.2 M.C. Escher. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11.3 Perspektivtegning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11.4 Det gylne snitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

342 342 351 356 360

Litteratur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

376

Funksjonslære . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Inger Christin Borge

379

3.1

Funksjoner og reelle tall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Innledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Funksjon og deﬁnisjonsmengde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Tallinja og intervaller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4 Diverse funksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.5 Begrepet grenseverdi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.6 abc-formelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.7 Begrepet kontinuitet og de reelle tallene . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.8 Fortegnsskjema og polynomdivisjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.9 Funksjonsdrøfting – deﬁnisjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

379 379 381 382 386 397 403 411 419 427

3.2

Derivasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Gjennomsnittlig vekstfart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Momentan vekstfart – den deriverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Derivasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4 Derivasjonsregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.5 Den dobbeltderiverte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.6 Funksjonsdrøfting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.7 Maksimums- og minimumsproblemer . . . . . . . . . . . . . . . . .

433 434 437 443 446 453 454 464

INNHOLD

Kapittel 4

Statistikk og kvantitativ metode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Knut Ole Lysø

471

4.1

Stokastiske forsøk og stokastisk variabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Forventet verdi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Varians og standardavvik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

474 475 476

4.2

Normalfordelingen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Standard normalfordeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Generell normalfordeling. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

479 482 485

4.3

Populasjon, utvalg og utvalgsfordelinger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Ulike typer utvalg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Hva vi skal skaﬀe informasjon om . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3 Utvalgsfordelingen til middelverdien og andeler . . . . . . . . 4.3.4 Grensefordeling og sentralgrenseteoremet . . . . . . . . . . . . . 4.3.5 Utvalgsfordeling til andeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

487 487 489 491 495 499

4.4

Estimering. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Punktestimator og punktestimat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Intervallestimat/konfidensintervall for gjennomsnittet 4.4.3 Intervallestimat/konfidensintervall for andelen p. . . . . . . . 4.4.4 Intervallestimat/konfidensintervall for forskjell i andeler p1 p2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.5 Intervallestimat/konfidensintervall for forskjell i gjennomsnitt 1 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

503 503 508 514

4.5

4.6

Hypoteseprøving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Hypoteser om en binomisk p eller andelen p ¼ S=N – innledende problemstillinger . . . . . . . . 4.5.2 Hypoteser om et populasjonsgjennomsnitt . . . . . . . . . . .

517 522 527 529 544

Hypoteseprøving mellom to populasjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1 Hypoteseprøving mellom to andeler p1 og p2 . . . . . . . . . . . 4.6.2 Hypoteseprøving mellom to populasjonsgjennomsnitt 1 og 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.3 Hypoteseprøving mellom to populasjonsgjennomsnitt i relaterte stikkprøver. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

552 553

Lineære sammenhenger mellom variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.1 Korrelasjon og korrelasjonskoeﬃsient . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.2 Hypoteser om korrelasjonskoeﬃsienten i populasjonen . 4.7.3 Enkel regresjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.4 Enkel regresjon utført i Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

567 567 574 575 581

Statistiske tabeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

587

Litteratur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

591

4.7

559 564

INNHOLD

Kapittel 5

Kapittel 6

Kvalitative metoder i matematikkdidaktisk forskning . . . . . . . . . . . . . . . . Kristin Ran Choi Hinna

593

5.1

Innledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Hva er matematikkdidaktikk? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Hva er forskning? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

593 594 594

5.2

Bacheloroppgaven. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Eksempler på bacheloroppgaver i matematikkdidaktikk .

596 596

5.3

Ulike tilnærminger til datainnsamling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Observasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Intervju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3 Triangulering. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.4 Dokumentanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

600 601 605 608 609

5.4

Analyse, tolkning og fortolkning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

610

5.5

Validitet og reliabilitet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1 Validitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.2 Reliabilitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

613 613 616

5.6

Etikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

618

5.7

Bacheloroppgaven: Forberedelser og skriving. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.1 Forberedelser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.2 Skrive en fagtekst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

623 623 626

Litteratur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

629

Undervisningskunnskap i matematikk for lærere på 1.–7. trinn . . . . . . . Arne Jakobsen, Janne Fauskanger, Reidar Mosvold og Raymond Bjuland

631

6.1

Episoder fra klasserommet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

631

6.2

Undervisningskunnskap i matematikk – UKM . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Ulike deler av UKM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

639 642

6.3

Avrunding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

652

Litteratur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

654

INNHOLD

Kapittel 7

Aspekter av lærerens undervisningskunnskap i matematikk. . . . . . . . . . Bodil Kleve

657

7.1

De ﬁre 7.1.1 7.1.2 7.1.3 7.1.4

kategoriene i kvartetten – en utdypning . . . . . . . . . . . . . . . . Foundation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Connection. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Contingency. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

660 660 662 663 664

7.2

Kunnskapskvartetten – hvorfor og hvordan? Eksempler fra klasserommet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Brøk på 5. trinn – eksempel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2 Brøk på 5. trinn – eksempel 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

665 665 673

Oppsummering. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

682

Litteratur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

683

Internasjonale studier i matematikk – design, relevans, resultater og trender. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Liv Sissel Grønmo

685

8.1

Internasjonale komparative undersøkelser i matematikk . . . . . . . .

686

8.2

Kjennetegn på matematikk i norsk skole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1 Utviklingen i matematikkprestasjoner i Norge fra 1995 til 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

688 691

8.3

Tilbakegang og framgang på småskoletrinnet i nordiske land . . .

694

8.4

Tilbakegang og framgang på mellomtrinn og ungdomstrinn i nordiske land . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.1 Tall og algebra i de nordiske landene . . . . . . . . . . . . . . . . . .

695 697

8.5

Eksempler på oppgaver fra TIMSS og TEDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.1 Norske elevers prestasjoner i aritmetikk på barnetrinnet. . . 8.5.2 Norske elevers prestasjoner i algebra på 8. trinn . . . . . . . 8.5.3 Norske lærerstudenters prestasjoner i tall og algebra. . .

699 700 702 704

8.6

Ulike trender i Norge og Sverige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

710

8.7

Oppsummering og diskusjon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

712

Litteratur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

714

7.3

Kapittel 8

INNHOLD

Kapittel 9

Kapittel 10

Vurdering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Helga Kufaas Tellefsen

717

9.1

Hva er vurdering, og hvorfor skal vi vurdere? . . . . . . . . . . . . . . . . . .

717

9.2

Kontroll eller tilrettelegging for læring? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

718

9.3

Nasjonale og internasjonale tester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.1 Internasjonale tester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.2 Nasjonale tester – Hva forteller de? . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

720 720 722

9.4

Vurdering for læring. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.1 Matematisk kompetanse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.2 Undervisningskunnskap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.3 Vurdering for læring i klasserommet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.4 Undervisningssekvens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

727 728 729 730 734

9.5

Standpunktvurdering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

753

Litteratur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

755

Kartlegging og undervisning i dynamisk perspektiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . Svein Aastrup og Ketil Johnsen

757

10.1

Innledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

757

10.2

Dynamisk kartlegging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.1 Utgangspunkt for kartlegging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.2 Hva forteller tradisjonelle kartleggingsprøver, og hva trenger læreren å vite? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.3 Fange opp eleven som sliter i matematikk . . . . . . . . . . . . . 10.2.4 Å støtte eleven til mestring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.5 Den dynamiske kommunikasjonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.6 Hvem kartlegger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.7 Første gang – forberedelser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.8 Erfaringer fra dynamisk kartlegging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.9 Å lete etter elevens uformelle matematikkunnskaper. . . 10.2.10 I møte med eleven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.11 Gjennomføring av dynamisk kartlegging – Ivar, 5. trinn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.12 Supplerende kartlegging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.13 Hva vi fant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

758 760

10.3

Dynamisk undervisning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.1 Planlegging av tiltak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.2 Tiltak rettet mot Ivar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.3 Oppgaveformer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.4 Struktur og prosess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.5 Samhandling og metakognisjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

782 786 788 791 795 804

10.4

Betydningen av vurdering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

810

10.5

Oppsummering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

810

Litteratur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

812

763 764 765 767 768 768 769 770 771 772 778 781

INNHOLD

Kapittel 11

Problemløsning i matematikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . George H. Hitching og Hans Wilhelm Mørch

815

11.1

Innledning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1 Oversikt over innhold. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

815 816

11.2

Hva er problemløsning? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.1 Et relativt begrep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.2 Ikke bare e´n løsningsmetode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.3 Holdninger til matematikkfaget . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.4 Utforskning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Po´lyas strategi for problemløsning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.1 Fire faser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.2 Eksempler på Po´lyas strategi i praksis – løste problemer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.3 Po´lya om heuristikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.4 Misoppfatninger rundt Po´lyas strategi. . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.5 Po´lya på grunnskolen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

817 817 818 820 821

11.4

Problemløsning og gruppearbeid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4.1 Oppgaver til gruppearbeid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4.2 Heterogene eller homogene grupper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4.3 Ikke bare gruppearbeid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

842 842 842 843

11.5

Utfordringer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5.1 Det skal være ekte problemløsning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5.2 Å komme gjennom pensum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5.3 Samarbeid med foresatte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5.4 Faglig kunnskap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

844 844 844 845 845

11.6

Noen oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

846

11.7

Kilder med problemløsningsoppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

849

Litteratur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

849

Utematematikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dag Gulaker

851

12.1

Om matematikk ute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

860

12.2

Hva gjør vi? Aktiviteter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

861

12.3

Tema 1: Måling med 1-metertauet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3.1 Måling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3.2 Brøk og meter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3.3 Metertauet og geometriske ﬁgurer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3.4 Metertauet, areal og volum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

863 863 864 865 865

12.4

Tema 2: Matematikk i en sykkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

866

12.5

Tema 3: Jakten på matematikkord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

867

12.6

Tema 4: Målestokk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

868

11.3

Kapittel 12

822 822 825 835 839 841

INNHOLD

12.7

Tema 5: Tall og bevegelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.7.1 Del A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.7.2 Del B – «36-leken». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.7.3 Del C – Kaste 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

869 869 870 871

12.8

Tema 6: Måling av avstander og høyder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

871

12.9

Tema 7: Geometriske former . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

874

12.10 Tema 8: Symmetri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

876

12.11

Tema 9: Vinkler ute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

877

12.12 Tema 10: Regn med vann, is og snø . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

879

12.13 Tema 11: Kuler og stabling. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

880

12.14 Tema 12: Skattejakt og matematikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

882

12.15 Tema 13: «Tårnet i Hanoi» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

883

12.16 Tema 14: Statistikk ute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

884

12.17 Tema 15: Å regne i fjæra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

885

12.18 Tema 16: Den matematiske turen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

886

12.19 Tema 17: Sola, himmelretning og tid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

887

Litteratur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

888

Presentasjon av redaktører og forfattere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

889

Bildeliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

895

Stikkord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

897

0010 Innledning.fm Page 13 Thursday, October 13, 2011 4:02 PM

Velkommen til studiet I grunnskolelærerutdanningen rettet mot undervisning på 5.–10. trinn kan du velge hvilke skolefag du ønsker å utdanne deg i. Når du nå holder denne boka i hånda, har du valgt å ha matematikk som ett av fagene, noe vi er glade for. Matematikk brukes overalt i samfunnet, også på mange områder hvor du ikke tenker over det. All moderne teknologi hadde vært utenkelig uten matematikk. Dessuten er matematikken nødvendig for å forstå verden rundt oss og for å delta i demokratiet. Derfor er matematikk et av de mest sentrale skolefagene. Gode og dyktige matematikklærere er til inspirasjon for elevene. På nettstedet «skole i praksis»1 kan du finne videoer med eksemplarisk matematikkundervisning som vi anbefaler. Det er viktig at du som matematikklærer er glad i faget og har en god faglig ballast. Mange, både voksne og barn, gir uttrykk for at matematikk er et fag som vekker mange følelser. Ber du dem fortelle hva de tenker på når de hører ordet matematikk, er det påfallende mange negativt ladede ord som blir nevnt. Ord som vanskelig, komplisert, kjedelig, frustrerende, avanserte tegn, abstrakt og pugging er noen ord som går igjen. Det er ikke slike ord vi ønsker at elevene våre skal assosiere matematikk med. Vi ønsker at du og elevene dine skal tenke på ord som spennende, givende, interessant, lek og fantasi, mønster, forståelse, vakre geometriske former, kjekt å prestere, lærerikt og viktig. Med en god faglig forankring er det lettere å improvisere, følge opp elevenes resonnementer og kunne tilrettelegge for alle elevene i klassen. Som lærer må du ha faglig innsikt for å kunne gi elever passende utfordringer slik at de opplever mestring, samtidig som de strekker seg mot ny kunnskap. Dette er en bok om matematikk og matematikklæring skrevet for å hjelpe deg til å bli en god lærer i faget. Du vil naturlig nok finne mye matematikk i boka, men vinklingen er hele tiden preget av det yrket du utdanner deg til. Mye fagstoff vil du gjenkjenne, men kanskje er det uvant at så mye oppmerksomhet rettes mot forståelse av faget. 1

http://www.skoleipraksis.no/matematikk-8-10/ (29.07.11)

0010 Innledning.fm Page 14 Thursday, October 13, 2011 4:02 PM

•

VELKOMMEN TIL STUDIET

Kanskje har du tidligere sett på faget som en samling av formler som skal pugges og fremgangsmåter som skal drilles. Den russiske matematikeren Sofia Kovalevskja omtales i novellen «For mye lykke» i novellesamlingen med samme navn. Der sier hun følgende: Mange som ikke har studert matematikk, blander sammen faget med regning2 og tror at det er en tørr og gold vitenskap. I virkeligheten krever denne vitenskapen stor fantasi (Munro, 2009 s. 276).

Regning med de fire regneartene behøver ikke å være tørt, men mange forbinder dette med å følge puggede fremgangsmåter. Pugg og drill har sin plass, men dette må først komme etter at matematikken har blitt meningsfull og forståelig for elevene. Forståelse, begrunnelser, problemløsning og kreativitet er viktige sider ved matematikken som også styrker elevens ferdigheter, men som ikke minst gjør faget mer spennende og meningsfullt. Et emne som du trolig har lite erfaring med, er bevis og argumentasjon. Dette har vesentlig større plass i dagens læreplan LK06, Læreplanverket for Kunnskapsløftet (KD, 2006), enn i tidligere læreplaner. Også perspektivtegning er et nytt emne i denne planen. Emnet finnes også i kunst og håndverk og gjør det derfor naturlig å samarbeide med dette faget i skolen. Dagens læreplan legger opp til mer flerfaglighet i flere tilfeller, blant annet gjennom emnet «teknologi og design», som er et felles emne for fagene naturfag, matematikk og kunst og håndverk. Matematikk er ikke et fag du kan lære deg ved bare å følge forelesninger og gjøre de obligatoriske innleveringsoppgavene. Det kreves en solid arbeidsinnsats for å lære det. Menaikhmos var matematikklærer til Alexander den store og skal ha sagt til han: «Det finnes ingen kongevei til matematikken». 3 Selv om du forstår hva matematikklæreren din på høgskolen eller universitetet sier i timene, er det ikke sikkert at du får til oppgavene på egen hånd etterpå. Matematikklæring krever aktivitet og hardt arbeid. Dette gjelder også grunnskolematematikken, selv om du hadde en ganske bra karakter da du selv var elev. Du kan ha glemt en del, men viktigere er det at du må kunne fagstoffet på en helt annen og dypere måte som lærer enn da du var elev. Erfaringsmessig har mange studenter heller ikke gode nok ferdigheter i grunnskolematematikken når de begynner på studiet. Derfor må også teknikker øves på, og faktakunnskap pugges. 2 3

I den norske utgaven er det engelske ordet «arithmetic» oversatt med «aritmetikk». Vi har i stedet oversatt det med «regning». Det engelske ordet brukes i dagligtale om regning i de fire regneartene. http://www.snl.no/Menaikhmos (20.03.11)

0010 Innledning.fm Page 15 Thursday, October 13, 2011 4:02 PM

VELKOMMEN TIL STUDIET

•

Oppbygning Boka er delt i to hoveddeler: Del I: Matematikk – skolefag og kulturarv. Del II: Eleven – skapende sosialt individ i møte med samfunn og kultur. Del I har sju kapitler: Tall, Algebra, Funksjoner, Geometri og måling, Bevis og argumentasjon, Statistikk og Sannsynlighetsregning. Dette er den matematikkfaglige delen av boka, men matematikken knyttes hele tiden til elevene du skal møte, og jobben du skal gjøre som matematikklærer. Dessuten viser vi at matematikk er en menneskelig aktivitet som er en del av kulturen. Dette fremheves blant annet ved at vi trekker inn historiske eksempler og matematikk fra andre kulturer. Matematikk har utviklet seg over tid og til dels forskjellig i ulike kulturer. En viktig side ved faget er at det brukes eller anvendes på en rekke områder. Det gir vi eksempler på. I tillegg er matematiske beskrivelser av verden omkring oss en stor hjelp for elevene når de lærer matematikk. Faget kan ikke forstås hvis elevene utelukkende forholder seg til matematiske symboler og fremgangsmåter. Del II har fire kapitler: Læring og læringsteorier, Dagens grunnskole, Didaktiske verktøy og Språk, representasjon og kommunikasjon. I denne didaktiske delen av boka er utgangspunktet eleven og det samfunnet eleven er en del av. Vi ser på hvordan du som lærer kan tilrettelegge for elevers læring ved både å ta hensyn til eleven som individ og eleven som en del av kulturen. Eleven som skapende individ skal gjøre kunnskapen til sin egen og bruke den på skapende måter. Samtidig må eleven beherske kulturens koder og fellesarv av kunnskaper. For å sette deg i stand til dette ser vi både på ulike teoretiske verktøy og på dagens læreplanverk for grunnskolen. Selv om boka handler om undervisning og læring av matematikk, starter vi med et blikk på generell pedagogikk i lys av matematikkfaget. Dette fremhever at mye er felles i læringen av ulike fag, og at matematikk bare er ett av fagene elevene har i skolen. Dessuten skal du som lærer i matematikk ivareta elevenes personlige utvikling og møte elevene som hele mennesker. Del II avsluttes med Språk, representasjon og kommunikasjon. Her studerer vi hvordan tegn og andre kommunikasjonsformer er sentrale for læring av matematikk, og at disse tegnene er kulturavhengige. Du er vant til at matematikk har sine spesielle tegn og symboler, men vi utvider perspektivet og peker på at også kroppsspråk, visualisering og konkreter inngår i matematisk språk og tenkning.

0010 Innledning.fm Page 16 Thursday, October 13, 2011 4:02 PM

•

VELKOMMEN TIL STUDIET

Kapitlene er nummerert fortløpende i hver del. Hvert kapittel har underkapitler, som igjen kan ha underkapitler. For eksempel har kapittel 2 i del II underkapitlet 2.2 (nivå 2), som igjen har underkapitlet 2.2.1 (nivå 3). I noen få tilfeller, som her, er det enda et nivå. Kapittel 2.2.1 er delt inn i 2.2.1.1 til 2.2.1.7. Kryssreferanser til samme del skrives ved å oppgi kapittelnummeret. Når vi henviser til et kapittel i den andre delen, skriver vi også del I eller del II.

Sammenheng og helhet Denne boka skal ikke leses som en roman i rekkefølge fra første til siste side. I teksten finner du mange referanser til andre deler av boka, nesten som om det skulle vært lenker på internett. På den måten ønsker vi å vise hvordan både ulike deler av matematikken og teorier om læring og undervisning (didaktikk) henger sammen. Vi knytter også både faget og didaktikken til LK06. Ved første gangs lesning er det naturlig å hoppe over de fleste kryssreferansene, men etter hvert som du kommer lenger ut i studiet, kan du styrke forståelsen din ved å slå opp stadig flere av dem. Det anbefales ikke å lese hele del I før du begynner på del II. For å få et godt lærerperspektiv på studiet bør du arbeide parallelt med faglige og didaktiske emner. Et eksempel er det didaktiske verktøyet kognitive kart som du finner i del II, kapittel 3.1. For at du skal erfare nytten av dette verktøyet, bør du bruke det i din egen læring av fagstoff. Vi ber deg om dette allerede i starten av del I, kapittel 1. Enkelte tema går igjen mange steder, blant annet bruk av IKT og digitale verktøy. I den faglige delen tas digitale verktøy opp der det naturlig inngår i det matematiske fagstoffet og læringen av det. I didaktikkdelen (del II) er digitale verktøy et delkapittel (kapittel 3.6), men temaet tas også opp i forbindelse med LK06 i kapittel 2 og visualisering i kapittel 4. Visualisering er også et gjennomgående perspektiv som du legger merke til gjennom bokas mange figurer. Det preger alle de faglige kapitlene og i noen grad også de didaktiske. Visualisering tas opp som eget tema i del II, kapittel 4.4. Et tredje gjennomgående tema er bevis og argumentasjon. Dette tas grundig opp i kapittel 5 i del I, men matematiske begrunnelser eller bevis finnes i alle de faglige kapitlene og noen steder i den didaktiske delen. Formelle algebraiske eller teoribaserte bevis er vanskelig tilgjengelig for grunnskoleelever, men visuelle bevis og annen intuitiv matematisk argumentasjon gjør det mulig å arbeide med temaet i skolen. Alle elever kan ut fra sitt nivå individuelt og i grupper argumentere muntlig og skriftlig for matematiske

0010 Innledning.fm Page 17 Thursday, October 13, 2011 4:02 PM

VELKOMMEN TIL STUDIET

•

påstander og sammenhenger. Dette leder oss til et annet gjennomgående tema, nemlig tilpasset opplæring. Det tas opp spesielt i del II, kapittel 3.3. En form for tilpasning tar hensyn til at elever tenker og lærer på ulike måter. Visualisering og konkretisering er gunstig for en stor del av elevene, men bokas mange eksempler på dette er spesielt en ressurs for å ivareta elever som ikke lykkes så godt når de får tradisjonell formell undervisning. Vi gir deg også flere eksempler på hvordan elever som yter godt over gjennomsnittet, kan gis ekstra utfordringer, blant annet i kapitlet om bevis og argumentasjon. Vurdering av elever har ikke noe eget kapittel, men det er stoff om dette flere steder i del II, blant annet kapittel 3. Temaet vil bli tatt grundigere opp i bind 2.

Pedagogisk struktur Forklaringer Det brukes mye plass til forklaringer i form av tekst, bilder og figurer. Selvsagt vises det hvordan utregninger skal foretas og hvilken betydning ulike symboler har, men langt mer enn dette må forklares. Matematikk består av en rekke ideer og tenkemåter som ikke kan formidles bare ved å skrive ned matematiske symboler. I tillegg preges matematikken av en rekke begreper, som for eksempel primtall og kvadrat. Alle matematiske begreper har en definisjon, men de trenger også forklaring i tillegg til definisjonen. Historiske eksempler er et av bokas virkemidler til å formidle ideer som du ikke selv uten videre kan se fra en formell fremstilling av matematikken. I tillegg til matematikkens ideer, forklares også hvordan du kan legge til rette for elevers læring av de faglige emnene.

Eksempel Når et eksempel viser en fremgangsmåte, markeres det med «Løsning». Ofte er eksempler utgangspunktet for bokas forklaring av ideer. Ofte blir dette markert med «Diskusjon».

Definisjon Definisjoner klargjør den formelle betydningen av matematiske eller pedagogiske begreper og matematiske symboler. Teksten før og etter en defini-

0010 Innledning.fm Page 18 Thursday, October 13, 2011 4:02 PM

•

VELKOMMEN TIL STUDIET

sjon trekker i tillegg frem intuisjon og ideer som er nødvendige for å bruke og forstå definisjonen.

Setning, aksiom og grunnleggende begreper Setninger er generelle sanne matematiske påstander eller rådende pedagogiske prinsipper. Aksiomer er en spesiell type matematiske setninger. De er grunnprinsipper som andre setninger kan utledes fra. Tilsvarende er grunnleggende begreper grunnlaget for alle andre definisjoner. Naturlig tall og rett linje er eksempler på grunnleggende begreper. Definisjoner, setninger, aksiomer og grunnleggende begreper er skilt ut med rammer.

Oppgaver Oppgaver kommer på slutten av delkapitler, enten på nivå 2 eller 3. Det betyr ikke nødvendigvis at du skal lese all teksten i et delkapittel før du arbeider med oppgaver. Noen få steder ber vi deg i selve teksten å tenke over noe før du fortsetter, men du bør ha en reflekterende tilnærming hele tiden. Læring av matematikk skjer gjennom en veksling mellom ulike arbeidsformer, der lesning av bokas tekst og arbeid med oppgaver er to av dem. En del oppgaver øver på teknikker og løsningsmetoder, men det er også mange oppgaver der du alene eller sammen med andre studenter blir bedt om å reflektere over, å forklare eller å lage egne eksempler, oppgaver eller undervisningsopplegg. Også du som student er et skapende individ i møtet med samfunn og kultur. Du skal både lære deg teknikker og metoder som inngår i den matematiske og pedagogiske kulturen, og selv aktivt gjøre kunnskapen til din egen og anvende den på nye situasjoner.

Undervisningen på høgskolen eller universitetet Sannsynligvis er du student på en høgskole eller et universitet når du bruker denne boka. Du møter matematikklærere og pedagogikklærere der og i tillegg praksislærere i grunnskolen. Studiestedet ditt har lagt opp et pedagogisk opplegg for deg der læreboka inngår. Kanskje er det ganske mange timer i matematikk der du studerer, men det er også mulig at deler av studiet er nettbasert. I det siste tilfellet er læreboka vanligvis svært sentral i studiet, men uansett vil lærerne dine sterkt påvirke bokas rolle. Trolig er denne boka ikke den eneste pensumlitteraturen, og kanskje er deler av boka utelatt fra pensum. Se det som en styrke at du møter alternative fremstillinger og syns-

0010 Innledning.fm Page 19 Thursday, October 13, 2011 4:02 PM

VELKOMMEN TIL STUDIET

•

punkter. Umiddelbart kan det være forvirrende, men i lengden tjener du på at stoffet belyses fra flere sider. Gjennom arbeid og modning bygger du selv etter hvert opp ditt eget faglige og pedagogiske syn som du er trygg på, men som stadig brytes mot andre syn og utvikles gjennom yrket ditt som lærer.

Lykke til med et spennende kurs Foran deg har du et studium i matematikk på 60 studiepoeng, som kan være fordelt på opp til to år. Denne boka dekker de første 30 av disse 60 studiepoengene. Gjennomfører du grunnskolelærerutdanningen rettet mot 5.–10. trinn og de 60 studiepoengene i matematikk, får du undervisningskompetanse i faget på ungdomsskolen. Kravet om 60 studiepoeng i matematikk gjelder ikke for å bli ansatt til å undervise i faget på mellomtrinnet, men det gir deg et fortrinn i forhold til lærere med bare 30 studiepoeng i matematikk. Du vil kanskje oppleve frustrasjon og motgang underveis, men husk at det er ved å arbeide deg gjennom motgang at du kan oppleve virkelig fremgang. Vi håper at du får større glede og en videre oppfatning av faget, og at du bringer dette videre til elevene dine.

0010 Innledning.fm Page 20 Thursday, October 13, 2011 4:02 PM

0100 Del1.fm Page 21 Thursday, October 13, 2011 4:02 PM

Del I

Matematikk â&#x20AC;&#x201C; skolefag og kulturarv

0100 Del1.fm Page 22 Thursday, October 13, 2011 4:02 PM

atematikk er et av de sentrale fagene i skolen og har vært det lenge. Dessuten spiller matematikk en viktig rolle i samfunnet vårt, for eksempel i ingeniørfag, økonomi, forskning, offentlig forvaltning og media. Faget er nødvendig for å opprettholde et moderne teknologisk samfunn og for å forstå informasjon i media som trengs for å delta aktivt i demokratiet. Første setning under overskriften «Formålet med faget» i læreplanen LK06 er: «Matematikk er en del av vår globale kulturarv. Mennesket har til alle tider brukt og utviklet matematikk for å utforske universet, for å systematisere erfaringer og for å beskrive og forstå naturgitte og samfunnsmessige sammenhenger» (s. 23). Faget er en av pilarene i kulturen vår. Derfor er det rett og rimelig at faget har et høyt timetall og relativt høy status i skolen. Alt dette er imidlertid ikke like selvsagt for eleven. Som lærer skal du være en brobygger mellom elevens verden, matematikkfaget og samfunnets behov for matematisk kompetanse. Eleven trenger å se at skolefaget henger sammen med den virkeligheten eleven opplever, og at matematikk er nyttig både i arbeidslivet og for å fungere godt i samfunnet. For å forstå dagens matematikkfag i skolen er det nyttig å vite litt om den historiske utviklingen. Navnet på faget har ikke alltid vært som nå. I Normalplanen av 1939 (N39), heter det rekning. Faget har to mål: Ett innenfor tall og ett innenfor geometri (former og størrelser) (s. 136). De andre skolefagene var kristendomskunnskap, norsk, heimstadlære, geografi, naturfag, skriving, tegning, sang, handarbeid, kroppsøving og engelsk. I læreplanen for forsøk med 9-årig skole fra 1960 ble rekning erstattet med matematikk, men først for 7.–9. klasse. Etter denne planen skal elevene i 1.–4. klasse ha rekning, mens fra 5. klasse er faget delt inn i to hovedemner: «Rekning og algebra» og «Geometri og romlære». Mønsterplanen for grunnskolen (M74) har «Tall og tallregning» som et hovedemne. Her er matematikken delt inn i flere fagemner som algebra, ligninger og andre åpne utsagn, funksjoner, geometri samt anvendelse av matematikk (s. 132–133). Anvendelse av matematikk skal integreres i de andre emnene. Alt etter hvilket trinn de er på, har elevene fra 4 til 6 emner. Mønsterplanen for grunnskolen (M87) har også «Tall og tallregning» som et hovedemne. I tillegg har

0100 Del1.fm Page 23 Thursday, October 13, 2011 4:02 PM

DEL I MATEMATIKK – SKOLEFAG OG KULTURARV

•

problemløsning og datalære kommet inn som egne hovedemner. Planen har i alt 10 hovedemner. Læreplanverket for den 10-årige grunnskolen (L97) reduserte omfanget av emner fra 10 til 3–5, alt etter hvilket trinn man er på. Begrepet regning er tatt helt bort. I stedet finner vi emnet «Tall» fra 1.–7. trinn, og «Tall og algebra» på 8.–10. trinn. I Læreplanverket for Kunnskapsløftet, LK06 fra 2006, kommer «Tall og algebra» allerede fra 5. trinn. Totalt er det 5 hovedemner, men emnet funksjoner finnes bare på 8.–10. trinnet. Du finner mer om dagens læreplan i del II, kapittel 2. I de senere år har det blitt utviklet en teori om kompetanseområder i matematikk som har fått vesentlig innflytelse på læreplaner og matematikkfaget i skolen. Disse kompetanseområdene gjenspeiler en vid oppfatning av hva matematikk er, se del II, kapittel 2. Lenge ble rekning eller matematikk sett på som et fakta- og ferdighetsfag, men nå er også aspekter som problemløsning, anvendelser og modellering viktige. Begrunnelse, argumentasjon og bevis henger sammen med problemløsning og forståelse og er derfor også i ferd med å få en større plass. For å delta i denne typen matematikkfag må eleven ha forståelse og kunne bruke det matematiske språket selvstendig og aktivt. Elevene trenger ikke bare å beherske de vanlige matematikktegnene som 5, 718, + osv., men må også kunne lage og tolke tegninger, grafer og tabeller. Læreren: Hva er det aritmetiske middel til 4 og 10? Maria: Kan du si det på en måte slik at det går an å forstå hva du spør om? Læreren: Kan du finne gjennomsnittet av tallene? Maria: Sju! Goethe har en gang sagt i en samtale: «Matematikere er som franskmenn. Snakker man til dem, oversetter de til sitt eget språk, og så er det straks noe helt annet.» Matematikkens språk inngår i kulturen vår. Skal eleven lære, må undervisningen forholde seg både til kulturens og elevens eget språk. Læreren må ta utgangspunkt i elevens verden og derfra legge til rette for å føre eleven inn i skolefaget og kulturens matematikkspråk.

0101 Del1Kapittel1.fm Page 52 Thursday, October 13, 2011 4:03 PM

•

KAPITTEL 1 TALL

kan romme samme volum. En literskartong med melk ser annerledes ut enn en liter melk i en mugge. Husnummer er ikke knyttet verken til antall eller måling. Derimot er rekkefølgen viktig. Hus nummer 84 kommer etter hus 82. Vi kaller denne bruken for ordenstall. En siste bruksform er tall som identiﬁkasjon. Pinkoder og telefonnumre er eksempler.

1.3.1

Kardinaltall og ordinaltall

Antall og ordenstall er to grunnleggende aspekter ved de naturlige tallene og er sentrale for utvikling av tallforståelse. Biologen og psykologen Jean Piaget (1896–1980) er blant annet kjent for å ha fremhevet betydningen av disse aspektene når barn skal lære matematikk. Ofte brukes begrepene kardinaltall og ordinaltall fremfor antall og ordenstall. Når det gjelder elevers læring, er dette særlig viktig på småskoletrinnet, men begrepene er også nyttige for at du som lærer skal få en god forståelse av tall. Kardinaltall og ordinaltall ble innført av mengdelærens grunnlegger, Georg Cantor (1845–1918). Piaget hentet ﬂere begreper fra avansert matematikk og brukte dem i utviklingspsykologi og pedagogikk. Den pedagogiske bruken kan skille seg fra originalen, men her er den begrepsmessige forskjellen liten. Kardinaltall er nært knyttet til begrepet en-til-en-korrespondanse. I mengdelære sier vi at to mengder har samme kardinalitet dersom elementene i den ene mengden kan settes i en-til-en-korrespondanse med hverandre. Figur 30

Det betyr at hvert element i den ene mengden kan kobles sammen med et element i den andre. I dette tilfellet er hver geit koblet til nøyaktig en kloss og motsatt. Da er det selvsagt like mange geiter som klosser. Med andre ord er

0101 Del1Kapittel1.fm Page 53 Thursday, October 13, 2011 4:03 PM

1.3 ULIKE ASPEKTER VED TALL

•

antall geiter lik antall klosser. En-til-en korrespondanse gjør det mulig å sammenligne størrelsen på mengder. Utviklingen av tall er basert på ideen om standardmengder som alle andre mengder sammenlignes med. Figur 31

Historisk ble dette først gjort med enkle standardmengder som bestod av rette streker eller lignende. Oppﬁnnelsen av tallsystemer gav oss standardmengder som kan telles. Det betyr at elementene har en fast rekkefølge. I vårt posisjonssystem er dette 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 … Med disse tallene lager vi standardmengder som {1, 2, 3} og {1, 2, 3, 4, 5} . Det siste tallet i standardmengden er det vi kaller antallet eller kardinaliteten til mengden. Vi har 5 geiter og 5 klosser. Figur 32

0101 Del1Kapittel1.fm Page 54 Thursday, October 13, 2011 4:03 PM

•

KAPITTEL 1 TALL

Det moderne tallbegrepet er altså avhengig både av en-til-en-korrespondanse og standardmengder som består av elementer med en bestemt ordnet rekkefølge. Dette ville også fungert med andre symbolsystemer enn de vi bruker. For eksempel kunne vi for små tall brukt A, B, C, D, E, F osv. i stedet for 1, 2, 3, 4, 5, 6 … En forutsetning for at antall definert på denne måten skal fungere, er at elementene i en mengde ikke flyter sammen eller deler seg. Filosofen Wittgenstein (1889–1951) påpekte at hvis alt oppførte seg som vanndråper eller skyer, så ville ikke tall slik vi kjenner det, blitt utviklet. Det kan hende at skyer slår seg sammen eller deler seg mens vi teller dem. Derfor gir det ikke mening å spørre hvor mange skyer det er. Under forutsetning av at elementene ikke er av den ustabile typen, er det for de fleste voksne opplagt at vi fortsatt har en-til-en korrespondanse selv om elementenes romlige plassering endres. Her ser du et eksempel: Figur 33

Det er like mange geiter som klosser selv om vi plasserer dem på en annen måte. Også 0 deﬁneres som et kardinaltall. Spør vi hvor mange mynter det er i en tom lommebok, er svaret ingen. Mengden av mynter er tom. At vi har null mynter, betyr akkurat det samme. Som nevnt tok det tid før tallet 0 ble akseptert. Lenge før det ble 0 brukt som plassholder for å vise at en potens av 10 ikke forekom i et tall, se kapittel 1.1.

0101 Del1Kapittel1.fm Page 55 Thursday, October 13, 2011 4:03 PM

1.3 ULIKE ASPEKTER VED TALL

Deﬁnisjon 4

•

Kardinaltall (antall)

Et naturlig tall eller null kalles et kardinaltall når tallet uttrykker hvor mange elementer eller objekter det er i en mengde. To mengder har samme kardinalitet hvis det finnes en en-til-en korrespondanse mellom elementene til de to mengdene.

Georg Cantor, mengdelærens grunnlegger, var først og fremst interessert i uendelige kardinaltall. Vi ser imidlertid bare på kardinaltall til endelige mengder. Alle naturlige tall og null kan være kardinaltall. Ordenstall eller ordinaltall er det andre sentrale aspektet ved tallforståelsen. Vi ser på et tall som ordinaltall når tallet brukes til å ordne i rekkefølge. Eleven er kanskje født som nummer 2 i søskenflokken og bor i Storgata 26. Denne eleven er født etter den eldste av søsknene og før nummer tre i rekka. Huset eleven bor i, ligger mellom hus nummer 24 og 28 i Storgata. Ordinaltall eller ordenstall er svar på spørsmålet «hvilket nummer i rekken?». Et eksempel er at «Feliciano Lopez er den 41. beste tennisspilleren i verden». Vi skriver et punktum etter tallet for å vise at det er et ordenstall. Med ord skriver vi «den førtiførste beste tennisspilleren». Ordenstall har sine egne ord, avledet fra det tilsvarende antallsordet, for eksempel «tredje», «femte» osv. Ordene «første» og «andre» er derimot ganske forskjellige fra «én» og «to». Rik erfaring med ordningsaktiviteter er nødvendig for å lære ordinaltallaspektet ved tall. Dette innebærer øvelse i å ordne i stigende eller synkende rekkefølge. Sammenligning av datoer er et godt eksempel. I statistikken er median et av begrepene elevene skal lære. For å finne medianen i et datamateriale må elevene kunne ordne data i stigende rekkefølge. Vi kommer tilbake til median i kapittel 6.2.3. En utfordring ved læring av ordenstall er at de samme objektene eller menneskene kan ordnes etter flere ulike kriterier. Den fjerde i en søskenflokk på fire er den yngste, selv om dette barnet kan være høyest. Rekkefølgen kan bli enda en annen om vi spør hvem som er tyngst eller størst. De to sistnevnte kriteriene skal vi imidlertid være litt forsiktige med i skolesammenheng. Det kan virke stigmatiserende å rangere elever etter vekt eller høyde.

0101 Del1Kapittel1.fm Page 56 Thursday, October 13, 2011 4:03 PM

•

KAPITTEL 1 TALL

Deﬁnisjon 5

Ordinaltall (ordenstall)

Et naturlig tall eller null kalles et ordinaltall når det brukes til å ordne objekter i rekkefølge.

Ordinaltallforståelse innebærer å kunne ordne i rekkefølge og å vite hva som menes med rekkefølge.

1.3.2

Tall som måltall

Når vi sammenligner elevers høyde eller sprinteres tid på hundremeter, bruker vi desimaltall. Hele tall er ikke tilstrekkelige. Desimaltall kan brukes til å ordne i rekkefølge, men ikke til å svare på spørsmålet «hvor mange?». I tillegg bruker vi desimaltall til å svare på spørsmålet «hvor mye?», for eksempel «hvor høy er du?». Høyde og tid telles ikke, men måles. Vi bruker måleredskaper som målebånd, tommestokk, stoppeklokke eller litermål. All måling er basert på måleenheter. Eksempler er meter, kilogram, liter, sekund osv. I dag har vi det internasjonale SI-systemet for måling, se kapittel 4.5.1. Dette systemet er basert på titallsystemet. For hver type størrelse som måles, har vi en grunnenhet og avledede enheter som fås ved å multiplisere eller dele grunnenheten med en tierpotens. For eksempel er meter grunnenheten for lengde. Desimeter, centimeter og millimeter fremkommer fra meter ved å dele lengden med henholdsvis 10, 100 og 1 000. Tilsvarende får vi kilometer ved å multiplisere grunnlengden meter med 1 000. En person som er 183 cm høy, er også 18,3 dm eller 1,83 m høy. Elever må lære å ta hensyn til måleenheten når de leser tall som står for målte størrelser. Tallet 1 på en melkekartong betyr 1 liter, men på en sukkerpose betyr det 1 kg. Dette kan være forvirrende for en melkekartong påført 2 inneholder 2 ganger så mye melk som en påført 1. Så lenge vi holder oss til måling av volum, ser vi ikke at 1 liter gir mer informasjon enn at det er en kartong melk. Vi kan prøve å sammenligne med en annen type måleenhet. Vekt er nærliggende, men en liter melk veier omtrent et kilogram. En god idé er å vise eleven ulike beholdere som alle kan fylles med nøyaktig en liter melk. Eleven trenger en rekke praktiske måleøvelser kombinert med systematisk undervisning for å få tak i alle ﬁnessene ved måling. Tall som målte størrelser er betydningsfulle for vår virkelighetsoppfatning. Måling av tid påvirker oss langt mer enn vi tenker over. Samfunnet hadde vært et helt annet uten. Mange er også opptatt av hva de veier. Andre eksempler er farten

0101 Del1Kapittel1.fm Page 57 Thursday, October 13, 2011 4:03 PM

1.3 ULIKE ASPEKTER VED TALL

•

til bilen du kjører, eller arealet av huset du bor i. Det siste kan ha betydning for hvor mye skatt du betaler. Måltall muliggjør også sammenligninger. Utsagn som «jeg er større enn deg» eller «jeg er raskere enn deg», kan gjøres presise. Hurtighet kan for eksempel deﬁneres som tiden en person bruker på å løpe en sekstimeter. Tall som har fremkommet gjennom måling, vil alltid ha en måleusikkerhet. Skriver du at radius til en kjele er 20 cm, betyr det at den er mellom 19,5 cm og 20,5 cm. Om det i stedet står 20,0 cm, er radius målt langt mer nøyaktig. Da er den «riktige» radius et sted mellom 19,95 cm og 20,05 cm. I noen idretter måles tiden i tidels sekunder, for eksempel orienteringsløp. I andre idretter som slalåm, skøyter og løping brukes hundredels sekunder. Måling og måleenheter tas grundigere opp i kapittel 4.5. Måleusikkerhet tas grundigere opp i kapittel 4.5.8 og 4.5.9.

Deﬁnisjon 6

Måltall

Et tall er et måltall når det har fremkommet som et resultat av måling.

1.3.3

Tall som identifikasjon

Niels Chr. Geelmuyden skriver i SAS-magasinet mai 2002 at det er 212 meningsløse tall som romsterer i hodet vårt: Telefonnummer, kontonummer, pinkoder osv. Disse tallene har verken fremkommet ved telling, måling eller ved å ordne i rekkefølge. Vi kaller det tall brukt som identifikasjon. Personnummer, bilnummer og nummer på bussruter er andre eksempler. I forsvaret er du ‘843-7 Jansen’, åttende kompani, fjerde tropp, lag tre, køye sju. Dette er med på å skape avstand og å avpersoniﬁsere personer. Under krigen hadde krigsfanger et nummer, ingen navn, noe som gjorde det «lettere» å avrette personer. Nr. 56 798 er lettere å skyte enn Kristoffer Jansen. Det er vanskeligere å slakte Litago enn NRF-37. Bruk av tall fremfor navn kan derfor ha etiske konsekvenser.

0101 Del1Kapittel1.fm Page 58 Thursday, October 13, 2011 4:03 PM

•

KAPITTEL 1 TALL

Figur 34

Vi er alle identiﬁsert med et personnummer. Professor Ernst S. Selmer (1920–2006) utviklet personnummersystemet vi har i dag, og som har vært i bruk siden 1964. Han laget det som en kode der de ﬂeste feiltastinger kan avsløres ved to enkle kontrollnummer A og B. A er kontrollnummer for det 11. sifferet og B kontrollnummer for det 12. sifferet. I et ekte personnummer er både A og B delelige på 11. Hvordan dette regnes ut, kommer vi tilbake til i kapittel 2.12.

1.3.4

Tall som mønstre

I forbindelse med tallbegrepet har vi sett at mønstre og grupperinger er sentralt. Inndelinger av tall i geometriske mønstre gir oss nyttige egenskaper ved tall. Det enkleste eksemplet er partall og oddetall. Et naturlig tall er enten partall eller oddetall. Dette er begreper barn tidlig kan forholde seg til. Eksempel 20

Partall og oddetall

Du ser her partallet 12 og oddetallet 9 visualisert. Partallet 12 består av 6 par, 12 = 2 ⋅ 6 . Oddetallet 9 består av fire par og en singel, 9 = 2 ⋅ 4 + 1 . I figuren er en singel representert ved et lite kvadrat. Figur 35

•• Allerede den greske ﬁlosofen Plutark (45–120 e.Kr) omtaler oddetall som maskuline og partall som feminine. Videre sier han: «Man skal ofre til de himmelske gudene med oddetall og til de underjordiske med like tall.» For kineserne er oddetall knyttet til yang, det himmelske, uforanderlige og lykkebringende, mens partall er knyttet til yin, det jordiske, foranderlige og uheldige.

0102 Del1Kapittel2.fm Page 286 Thursday, October 13, 2011 4:14 PM

286

•

KAPITTEL 2 ALGEBRA

Også for denne regelen svarer negative eksponenter til et visst antall delinger med grunntallet. Oppgaver

83. Skriv 23 ⋅ 4 −40 som en potens av 2. 84. Tenk deg at du starter med en stav med lengde en meter og gang etter gang halverer lengden. Hvor mange halveringer må til for å få en «stav» som er om lag 1 mm lang? 85. Hvordan skriver vi 0,001 og 0,00001 som potenser av 10? Hva sier Setning 13 om antall siffer etter komma i regning med desimaltall? 86. Skriv 4 −3 i ﬁretallsystemet. Hva kan regning i ﬁretallsystemet si deg om regning med potenser med grunntall 4 og negative eksponenter? n

⎛ 1⎞ 1 87. Bruk Eksempel 66 til å argumentere generelt for at 2−n = ⎜ ⎟ = n . ⎝ 2⎠ 2

2.10.2 Standardform for tall Vi skal nå se hvordan vi kan bruke potenser med grunntall 10 til å skrive svært store eller svært små tall på en kortfattet måte. I kapittel 1.2.5 så vi at tall kan skrives på utviklet form. For eksempel kan tallet 54 782 skrives 54 782 = 5 ⋅104 + 4 ⋅103 + 7 ⋅102 + 8 ⋅101 + 2 ⋅100 Det er 2 enere, fordi 100 = 1 . Videre er det 8 tiere, for 101 = 10 . Så kommer 102 = 100 ,

103 = 1 000 ,

104 = 10 000 .

En tierpotens er altså lik et ettall fulgt av like mange nuller som eksponenten. Strekker vi det litt, kan vi til og med si at 100 = 1 har ingen nuller. Å multiplisere et helt tall med 10 er det samme som å sette på en ekstra null bakerst, se Setning 14 i kapittel 1. 100 ⋅10 = 1 000 ,

10 000 ⋅ 10 = 100 000

Det forklarer at tallene 1, 10, 1 000 osv. er tierpotenser. I potensregning møter vi ofte store tall, for eksempel i Eksempel 58, hvor vi brettet oss til månen. En vanske med store tall er at vi har problemer med å oppfatte mange siffer samtidig. Vi har ﬂere metoder for å skrive store tall på en forståelig måte. Det hjelper litt at sifrene grupperes tre og tre. Større effekt har egne navn for store tierpotenser:

0102 Del1Kapittel2.fm Page 287 Thursday, October 13, 2011 4:14 PM

2.10 POTENSREGNING

•

287

Tabell 17 Navn

Tusen

Potens

Med nuller

1 000

Million 10

Milliard

1 000 000

1 000 000 000

Billion 1012 1 000 000 000 000

I Eksempel 58 skrev vi tallet 3 844 030 000 000 som 3 844 milliarder. Da har vi avrundet og sett bort fra at det er et tretall blant de siste ni sifrene. Potensnotasjon er det andre hovedgrepet ved siden av ord for store tall. Den hjelper å holde styr på hvor mange nuller det er, for eksempel 3 844 030 000 000 ≈ 3 844 000 000 000 = 3 844 ⋅1 000 000 000 = 3 844 ⋅109 Standardform eller vitenskapelig notasjon bruker både desimaltall og potenser. Vi skriver 3, 844 ⋅1012 Det leses «3,844 ganger ti i tolvte» eller 3,844 billioner. Sammenhengen er: 3, 844 ⋅1012 = 3, 844 ⋅103 ⋅109 = 3, 844 ⋅1 000 ⋅109 Nå brukes Setning 5 fra kapittel 1: 3, 844 ⋅1 000 = 3 844 . Deﬁnisjon 17

Standardform (vitenskapelig notasjon)

Et tall er på standardform når det er skrevet som et produkt av et desimaltall og en tierpotens. Desimaltallet har få siffer og har vanligvis høyst tre siffer foran komma.

Vi kan klargjøre notasjonen slik: 56 000 000 = 56 000 000 000 0 00 = 5, 6 ⋅108 = 56 2+ 2⋅3 sifre

8 sifre

Det er mest vanlig med bare ett siffer foran komma i desimaltallet, men det er ikke et krav: 3, 844 ⋅1012 = 38, 44 ⋅1011 = 384, 4 ⋅1010 En fordel med valgfriheten er at vi kan regne slik:

(3,1⋅10 )⋅( 4, 0 ⋅10 ) = 3,1⋅ 4, 0 ⋅10 ⋅10 5

= 12, 4 ⋅1013

0102 Del1Kapittel2.fm Page 288 Thursday, October 13, 2011 4:14 PM

288

•

KAPITTEL 2 ALGEBRA

Eksempel 67

Avstanden til sola

Figur 63

Avstanden til sola er 149 600 000 000 m . Det kan skrives 149 600 000 000 m = 1, 496 ⋅1011 ≈ 1, 5 ⋅1011

••

Det ﬁnnes også navn på enda større tierpotenser, men de brukes sjelden. Tabell 18

Navn Potens

Billiard

Trillion

Trilliard

Kvadrillion

1015

1018

1021

1024

Vær oppmerksom på at amerikanske navn for tierpotenser er forskjellige fra de norske. Ifølge Wikipedia brukes de amerikanske betegnelsene i Brasil og de fleste engelskspråklige land, spesielt innenfor finans og journalistikk. De fleste andre land har samme praksis som Norge. De amerikanske skrivemåtene kan knyttes til ferdigheten «å regne i engelsk», se del II, kapittel 2.2.6.5. Tabell 19

Potens

109

1012

1015

1018

Norsk

Milliard

Billion

Billiard

Trillion

Amerikansk

Billion

Trillion

Quadrillion

Quintillion

Også små tall er nyttige å skrive på standardform. Mange siffer etter komma er uhåndterlige.

0102 Del1Kapittel2.fm Page 289 Thursday, October 13, 2011 4:14 PM

2.10 POTENSREGNING

Eksempel 68

•

289

Massen til et vannmolekyl

Figur 64

Oksygen

Hydrogen

Massen til et vannmolekyl, H2O, er 0, 00000000000000000000000003 kg . Standardformen er 3 ⋅10 −26 kg . For å finne eksponenten teller vi antallet siffer etter komma. Dette forutsetter at siste siffer ikke er null.

•••

For å klargjøre tar vi et eksempel med færre sifre −8 −7 0, 00000072 = 0 , 00000072 , 000 00072 = 0 = 72 ⋅10 = 7, 2 ⋅10 2⋅3+ 2 sifre

8 sifre

Oppgaver

88. Et regneark gav svaret 3,41822E+34 på utregningen =12^32. Hva betyr dette? 89. Radius til et hydrogenatom er målt til 35 picometer. Finn ut hva en picometer er og skriv radius for et hydrogenatom på standardform målt i meter. 90. Undersøk på nettet og ﬁnn massene til Sola og planeten Jupiter. Skriv begge massene på standardform målt i kg. 91. Skriv tallene som svarer til de norske betegnelsene kvadrilliard, kvintillion og kvintilliard på standardform. Finn ut hva en hexillion er på amerikansk.

0102 Del1Kapittel2.fm Page 290 Thursday, October 13, 2011 4:14 PM

290

•

KAPITTEL 2 ALGEBRA

2.11 Regning med algebraiske uttrykk Vi har tatt opp en rekke matematiske begreper, deﬁnisjoner og regneteknikker. Nå skal vi ta et helhetlig blikk på regneteknikk eller regneferdigheter knyttet til algebraiske uttrykk. Både for deg og elevene er det nødvendig med øvelse for å bli god i dette, men øvelse er heller ikke nok. I kapittel 2.3 påpekte vi at automatisering av ferdigheter ikke må komme før forståelse. Forskningen er entydig på at mening og forståelse må komme før drill, se Bergeson (2000). I motsatt fall gjør elevene vesentlig mer feil, spesielt i algebra. Elever som har drillet mye uten mening, er ofte også lite åpne for forståelse. Ferdighetstrening er derimot gunstig både for evnen til problemløsning og forståelse, så sant eleven forstår hensikten med slik trening. Derfor gir vi praktiske eksempler for å motivere for de ferdighetene det skal øves på. Prioriteringsregler var et tema allerede i kapittel 2.2.4, men nå tar vi det mer systematisk og inkluderer også potenser og rotutdragning. Vi tar opp algebraiske brøker og rotuttrykk og ser på noen vanlige misoppfatninger i den forbindelse.

Deﬁnisjon 18

Prioritetsreglene

Når vi regner ut eller forenkler et uttrykk med flere regneoperasjoner, skal det gjøres i rekkefølgen bestemt av disse reglene: 1. Uttrykk som står inne i en parentes, regnes ut først. Dersom det er ﬂere parenteser begynner vi med den innerste parentesen. 2. Potenser og røtter regnes ut før multiplikasjon og divisjon. 3. Multiplikasjon og divisjon regnes ut før addisjon og subtraksjon.

Prioritetsreglene er en del av en grammatikk som sier hvordan vi skal lese et matematisk uttrykk. Reglene kunne vært annerledes, men en felles standard har etablert seg og vist seg svært nyttig. Eksempel 69 viser eksempler på de tre reglene i Deﬁnisjon 18: Eksempel 69

Prioritetsreglene

1. 3 − (5 − (1 + 2)) = 3 − (5 − 3) = 3 − 2 = 1 2. 3 ⋅ 23 = 3 ⋅ 8 = 24 3. 3 ⋅ 9 − 30 : 5 = 27 − 6 = 21

••

0102 Del1Kapittel2.fm Page 291 Thursday, October 13, 2011 4:14 PM

2.11 REGNING MED ALGEBRAISKE UTTRYKK

•

291

Vi skal nå se hvordan prioritetsreglene kan kombineres. Eksempel 70

Bruk av prioritetsreglene

Regn ut følgende uttrykk: a) 7 ⋅ 8 + 52 + 3 b) 4 ⋅ ( 4 + 9 )

(

)

c) 3 + ( 8 − 5 ) : 2 Løsning

a) 7 ⋅ 8 + 52 + 3 = 7 ⋅ 8 + 25 + 3 = 56 + 25 + 3 = 84 b) 4 ⋅ ( 4 + 9 ) = 4 ⋅132 = 4 ⋅169 = 676 2

(

)

(

)

c) 3 + ( 8 − 5 ) : 2 = 3 + 32 : 2 = ( 3 + 9 ) : 2 = 12 : 2 = 6 2

••

Brøker og rottegn har sine egne konvensjoner. De inneholder usynlige parenteser.

Deﬁnisjon 19

Uttrykk i brøker og under rottegn

Vi skal regne som om det stod parenteser rundt uttrykk i teller og nevner i en brøk og under rottegn. 1. Teller og nevner i en brøk regnes ut før divisjonen gitt av brøken. 2. Det som står under et rottegn skal regnes ut før rota.

Eksempel 71

Usynlige parenteser

1. 2.

Eksempel 72

5 + 7 12 = =2 4+2 6 28 + 8 = 36 = 6

••

Utregning av brøkuttrykk

Som aktiv i en studentorganisasjon ønsker du å arrangere et foredrag med en kjent foredragsholder. For å få til dette må du betale honorar til foredragsholderen, og du må også betale for å leie et passende lokale. Utgiftene skal dekkes av dem som kommer for å høre på foredraget.

0102 Del1Kapittel2.fm Page 292 Thursday, October 13, 2011 4:14 PM

292

•

KAPITTEL 2 ALGEBRA

Du vurderer ulike foredragsholdere som krever honorarer av ulik størrelse, men du har bestemt deg for et auditorium med plass til 350 personer. Det koster 5 000 kroner å leie auditoriet.

La oss finne ut hvor mye du må ta i inngangspenger. Det er 8 personer i styret som helt sikkert kommer på foredraget. Hvis honoraret til foredragsholder er h, og du regner med at det kommer x antall personer utenom styret, er kostnaden per person gitt ved uttrykket h + 5 000 x +8 En foredragsholder (A) ønsker 10 000 kr i honorar og en annen (B) tar bare 1 000 kr. La oss regne ut prisen per person hvis vi antar at det kommer 150 tilhørere. Løsning

Foredragsholder (A): h + 5 000 10 000 + 5 000 15 000 = = ≈ 95 x +8 150 + 8 158 Foredragsholder (B): h + 5 000 1 000 + 5 000 6 000 = = ≈ 38 x +8 150 + 8 158 Legg merke til at vi først regner ut det som står over og under brøkstreken.

••

0102 Del1Kapittel2.fm Page 293 Thursday, October 13, 2011 4:14 PM

2.11 REGNING MED ALGEBRAISKE UTTRYKK

Eksempel 73

•

293

Utregning av rotuttrykk

Finn lengden av hypotenusen i en rettvinklet trekant der katetene har lengdene 3 og 4. Løsning

I en rettvinklet trekant med kateter med lengde a og b og hypotenus med lengde c, sier Pytagoras’ setning at c 2 = a2 +b2

Figur 65

c a

Lengden av hypotenusen er derfor gitt ved c = a2 +b2 Innsatt a = 3 og b = 4 , får vi c = 32 + 4 2 = 9 + 16 = 25 = 5 Legg merke til at vi regner ut det som står under kvadratrottegnet, før vi tar kvadratrota.

••

Vi ser nå på en anvendelse fra geometri som motiverer forenkling av algebraiske uttrykk. Eksempel 74

Volumet av en kuleis

En kuleis er satt sammen av en kjeks med en halvkule is på toppen. Kjeksen er en kjegle med grunnflaten opp, der høyden er fem ganger så stor som radien. Halvkula på toppen har samme radius som kjekskjegla. Hva er volumet V (r ) av kuleisen uttrykt ved radius r? Skriv formelen så enkelt som mulig.

0102 Del1Kapittel2.fm Page 294 Thursday, October 13, 2011 4:14 PM

294

•

KAPITTEL 2 ALGEBRA

Løsning

1 2 π r ⋅h , der r er radien i den sirkulære grunnflaten 3 4 og h er høyden i kjeglen. Volumet av en kule med radius r, er π r 3 . Vi får: 3 Volumet av en kjegle er

1 1 4 5 2 6 V ( r ) = π r 2 ⋅ 5r + ⋅ π r 3 = π r 3 + π r 3 = π r 3 = 2π r 3 3 2 3 3 3 3 Som du ser, er svaret et ganske enkelt uttrykk. Når vi vet r, kan volumet lett regnes ut. Det er vesentlig mer tungvint å regne ut volumet av isen for en gitt r ved å bruke uttrykket vi først får.

••

Eksempel 75

Fest og båttur

Du skal arrangere en fest med en påfølgende båttur. Et cateringfirma kan servere mat for 150 kr per person. Leie og vask av lokaler koster 3 000 kr, og båtturen kommer på 4 000 kr pluss et tillegg på 50 kr per passasjer. Finn et uttrykk for prisen P (x ) per deltaker når det er x deltakere. Løsning

Vi deler opp utgiftene per person på matservering, leie og vask av lokaler og båttur. Legg merke til hvilke summer som er uavhengig av antall personer, og hvilke som er per person. P ( x ) = 150 +

3 000 4 000 + 50x 150x + 3 000 + 4 000 + 50x 200x + 7 000 + = = x x x x

Alternativt kan vi skrive svaret som P ( x ) = 200 +

7 000 x

••

Et av kompetansemålene i tall og algebra i LK06 etter 10. trinn er: •

behandle og faktorisere enkle algebrauttrykk, og rekne med formlar, parentesar og brøkuttrykk med eitt ledd i nemnaren

Gjeldende læreplan stiller altså en del regnetekniske krav til elevene, men begrenser hvor komplisert nevneren kan være. Nevneren kan være 3a eller 6ab, men ikke x −1. Skillet kan kanskje virke kunstig, men regningen er mer komplisert med nevnere av sistnevnte type.

0102 Del1Kapittel2.fm Page 295 Thursday, October 13, 2011 4:14 PM

2.11 REGNING MED ALGEBRAISKE UTTRYKK

Eksempel 76

•

295

Regning med algebraiske brøker

Regn ut og trekk sammen uttrykkene.

Løsning

3a − 5 2b − 3 10b + 9a − + 3a 2b 6ab

x x +1 − x −1 x

a) Fellesnevner er 6ab, så vi må derfor først utvide de to første brøkene. 3a − 5 2b − 3 10b + 9a 2b ⋅ ( 3a − 5 ) 3a ⋅ ( 2b − 3) 10b + 9a − + = − + 3a 2b 6ab 2b ⋅ 3a 3a ⋅ 2b 6ab = =

6ab − 10b 6ab − 9a 10b + 9a − + 6ab 6ab 6abb

(6ab − 10b ) − (6ab − 9a ) + (10b + 9a ) 6ab

=0 b) Fellesnevner er x ( x − 1) .

( x − 1) ⋅( x + 1) x x +1 x ⋅x − − = x −1 x x ⋅ ( x − 1) ( x − 1) ⋅ x = =

(

)

x2 − x2 −1 x −x 2

1 x −x 2

••

Den første oppgaven i Eksempel 76 er innenfor grunnskolens pensum (LK06), men ikke den andre. Etter LK06 må du dermed kunne hjelpe elevene dine med a), men ikke med b). Likevel må du som lærer kunne regne begge. Hvis du skal holde et høyere nivå enn elevene, er b) det minimale av hva du må kunne. I brøker hvor det er et algebraisk uttrykk i nevneren, må du være klar over at disse utregningene bare er mulige for de verdiene av de variablene som gjør nevnerne forskjellig fra 0. Her skaper dette små problemer siden det for-

0104 Del1Kapittel4.fm Page 600 Thursday, October 13, 2011 4:32 PM

600

•

KAPITTEL 4 GEOMETRI OG MÅLING

110. Under er det noen eksempler på figurer som har ulike symmetrier. Brett figurene og forklar hvilke typer symmetrier figuren har.

4.17 Perspektivtegning Perspektivtegning er en to-dimensjonal tegning som tar opp i seg informasjon om romlig avstand, og som får frem hvordan rommet foran en tilskuer ser ut alt etter hvor tilskueren plasserer seg. Teknikken bygger på et enkelt utgangspunkt. Dersom vi ser på for eksempel et hus gjennom et vindu, lukker ene øyet og holder oss i ro, vil synsinntrykket bygge på lysstråler som kommer fra huset, og som går til øyet gjennom vinduet. Dersom vi tegner direkte på vinduet et omriss av huset slik vi ser det, har vi en perspektivtegning. Dette betinger at vi først stiller vinduet slik at det står vinkelrett på lysstrålen fra huset til øyet. Tar vi oss tid til å tegne alt vi ser ut vinduet, og deretter går opp et par etasjer og tegner på nytt, har vi fått to ulike perspektivtegninger av utsikten. Dersom vi etter det har blitt mørkt betrakter bildene, vil de gi informasjon om romlig avstand. Vi ser at noen hus ligger nærmere enn andre. Går vi opp i den øvre etasjen, vil tegningen vise det samme, men med den forskjellen at vi nå ser omgivelsene i fugleperspektiv. Tegningen på vinduet har altså også informasjon om observatørens plassering i forhold til objektet en betrakter. Projeksjonstegning er en beslektet teknikk der en bruker geometrisk konstruksjon for å tegne et bilde av ﬁgurer som er plassert i ulike posisjoner i forhold til den som betrakter ﬁguren. Dette er en relativt avansert teknikk, og perspektivtegning er en forenkling av denne. Denne forenklede tegneteknikken bygger på følgende setning:

0104 Del1Kapittel4.fm Page 601 Thursday, October 13, 2011 4:32 PM

4.17 PERSPEKTIVTEGNING

Setning 32

•

601

Forsvinningspunkt

Dersom en forlenger alle linjer som i motivet er vannrette og parallelle, så vil disse i tegningen synes å møtes i ett eller flere punkter som kalles forsvinningspunkt. Dette gjelder ikke linjer som er parallelle med bildeplanet.

Dette kan illustreres ved bilde av rommet i Vatikanet, som maleren Rafael var arkitekt for i 1518:

Figur 43 Loggia of Pope X

0104 Del1Kapittel4.fm Page 602 Thursday, October 13, 2011 4:32 PM

602

•

KAPITTEL 4 GEOMETRI OG MÅLING

Skal vi tegne et rektangulært prisme der ene siden er parallell med bildeplanet, får vi ett forsvinningspunkt. De to følgende ﬁgurene (44 og 45) viser dette.

Horisontlinje

Forsvinningspunkt

Figur 44 Ettpunktsperspektiv – fugleperspektiv Figur 45 Ettpunktsperspektiv – froskeperspektiv

Dersom ingen av sidene er parallelle med bildeplanet, får vi to forsvinningspunkt. Disse ligger på horisontlinja. Figuren under (46) illustrerer dette.

Figur 46 Palazzo dei Conservatori

0104 Del1Kapittel4.fm Page 603 Thursday, October 13, 2011 4:32 PM

4.17 PERSPEKTIVTEGNING

•

603

Horisontlinja viser øyehøyden til observatøren, og forsvinningspunktene plassering på denne fastsettes ut fra observatørens sideveis plassering i forhold til objektet en betrakter. Dersom vi løfter oss høyt over motivet, eventuelt plasserer oss langt under det, må vi bruke et tredje forsvinningspunkt, over eller under motivet, for å få frem riktig perspektiv. IKT-baserte tegneprogram, som GeoGebra, er godt egnet til utforsking av perspektivtegning. Her kan en finne forsvinningspunkt ved å legge linjer på fotografi, og en kan lage egne tegninger fra grunnen av. En flott øvelse er å lage en tegning der linjene er koblet sammen på en slik måte at en ved å flytte forsvinningspunktet kan få frem overgangen fra fugle- til froskeperspektiv. Virkningen blir omtrent som når en betrakter nabohuset mens en klatrer ned en lang stige. Perspektivtegning bygger på det faktum at øyet måler vinkler. Ved å måle vinkelen mellom lysstrålene fra henholdsvis hode og fot til et menneske som står et stykke unna, kan hjernen finne en omtrentlig avstand til personen. Dette bygger på at vi vet omtrentlig hvor lang en voksen person er. Vi kan uttrykke dette slik:

Grunnlag for perspektivtegning

Øyet måler vinkler. Dersom størrelsen på objekt en betrakter er kjent, kan hjernen finne en omtrentlig avstand til objektet. Dette er et viktig grunnlag for perspektivtegning.

Øyet måler vinkler

Dette betyr at perspektivtegning er nært knyttet til arbeid med formlikhet, noe en kan utnytte i arbeidet med dette emnet i skolen. Ifølge LK06 skal elevene på barnetrinnet arbeide med enkle perspektivtegninger, og i løpet av ungdomstrinnet skal de tolke og lage arbeidstegninger med ﬂere forsvinningspunkt ved å bruke ulike hjelpemiddel. Dette utføres i samarbeid med kunst og håndverk, som har lignende formuleringer i

0104 Del1Kapittel4.fm Page 604 Thursday, October 13, 2011 4:32 PM

604

•

KAPITTEL 4 GEOMETRI OG MÅLING

sine planer. Her vil elevene få innføring i praktiske tegneteknikker med utgangspunkt i horisontlinje og forsvinningspunkt. I matematikkfaget er det viktig å få frem de tilknytninger perspektivtegning har til andre matematiske emner. Som nevnt er bruk av IKT-baserte tegneverktøy og emnet formlikhet eksempler på dette. Oppgaver

111. Bruk GeoGebra eller tilsvarende verktøy til å tegne figur 44 over slik at du ved å dra i forsvinningspunktet får frem figur 45. 112. Du er med i en spesiell type orienteringsløp der du underveis skal bedømme omtrentlig avstand til pappfigurer som er satt ut i terrenget. Figurene er av voksne mannspersoner i full størrelse. Dersom du bommer, får du tilleggstid avhengig av hvor stort avviket er. Du ønsker å finne en måte å beregne avstanden på med de hjelpemidler du har med i et orienteringsløp, og de matematiske kunnskaper du besitter. Hva vil du gjøre? Er denne oppgaven egnet til bruk i grunnskolen?

4.18 Trigonometri Trigonometri betyr trekantmåling og er sentrert om de såkalte trigonometriske funksjonene. Disse funksjonene gjør det mulig å ﬁnne forholdet mellom sider i en rettvinklet trekant ut fra kjennskap til vinklene i trekanten. Dette gjør dem viktige i de ﬂeste naturvitenskapelige disipliner. Hipparkos fra Nikea, som levde ca. 150 f.Kr., er blitt regnet som trigonometriens grunnlegger fordi han laget det som kan ha vært den første trigonometriske tabellen. Trigonometrien ble videreutviklet over mange hundre år, og i det 10. århundre brukte islamske matematikere alle de trigonometriske funksjonene og mange trigonometriske formler. Først noen hundre år senere førte blant annet behovet for nøyaktige kart og presis navigering til at trigonometri ble oppfattet som en viktig del av matematikken i Europa. Utgangspunktet for trigonometri er formlike trekanter. I slike har vi sett at forholdet mellom korresponderende sider er gitt ved skaleringsfaktoren (målestokken), se Setning 21. Det betyr at forholdet mellom to sider i en trekant er det samme i alle formlike trekanter. La oss se på dette i to formlike rettvinklede trekanter.

0104 Del1Kapittel4.fm Page 605 Thursday, October 13, 2011 4:32 PM

4.18 TRIGONOMETRI

•

605

f e c b

I denne situasjonen vil a d = c f VV egenskapen for formlike trekanter (se Setning 25) sier at to trekanter med to parvis kongruente vinkler, er formlike. At en trekant er rettvinklet betyr at en av vinklene er rett, dvs. 90 grader. Hvis de to rettvinklede trekanter har to kongruente spisse vinkler, så er trekantene formlike. Vi kaller den felles vinkelen for v.

c b v a

Alle slike trekanter er formlike, så forholdet a c er det samme. Dette forholdet er bare avhengig av vinkelen v. Det kalles cosinus til vinkelen v. Cosinus til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant fås ved å dele vinkelens hosliggende katet på hypotenusen.

0104 Del1Kapittel4.fm Page 606 Thursday, October 13, 2011 4:32 PM

606

•

KAPITTEL 4 GEOMETRI OG MÅLING

Deﬁnisjon 35

Cosinus til en spiss vinkel

Med utgangspunkt i den rettvinklede trekanten nedenfor definerer vi cosinus til v som cosv =

a hosliggende katet = c hypotenusen

hypotenus c

motstående katet

a hosliggende katet

I deﬁnisjonen over er cosinus gitt som lengden av hosliggende katet delt på lengden av hypotenusen. Vanligvis forkorter vi dette til å si at cosinus er hosliggende katet delt på hypotenusen. Cosinus er nyttig i geometri og lar oss blant annet generalisere Pytagoras’ setning. Dette kommer vi tilbake til etter å ha gjort oss mer kjent med cosinus og to andre trigonometriske funksjoner. Nytten av cosinus avhenger at vi lett kan ﬁnne cosinus til en vinkel. Heldigvis er cosinus programmert inn på kalkulatorer og i programmer som for eksempel Excel. Eksempel 87

Å ﬁnne ukjent side ved hjelp av cosinus

En arkitekt tegner et hus som skal ha skråtak. Han vil at skråtaket skal ha vinkelen 35° slik som vist på figuren. Huset er 5 meter bredt. Hvor langt er skråtaket fra mønet og ned til takskjegget?

0107 Del1Kapittel7.fm Page 727 Friday, October 14, 2011 9:15 AM

Sannsynlighet

Det er helt usannsynlig! Blir du med? Sannsynligvis. Kanskje. Helt sikkert. Nei, helt sikkert ikke. Hvordan vurderer du sjansene dine? Fifty-fifty. Kanskje blir det regn. Disse utsagnene er tegn på at det finnes en del fenomener hvor utfallet er usikkert og vanskelig eller umulig å forutsi. De fleste av disse utsagnene er kvalitative. Utsagnet «fifty-fifty» skiller seg ut ved å trekke inn en tallfesting. Matematikkens versjon av hverdagsuttrykket «fifty-fifty» er 50 % sannsynlighet for det ene utfallet og 50 % sannsynlighet for det andre. Matematikken tallfester sannsynlighet, gjør det til et presist begrep og lar oss regne ut sannsynligheten for ulike hendelser. Sannsynlighet har stor betydning i samfunnet, med anvendelser innenfor for eksempel offentlig forvaltning, økonomi, forsikring og forskning. Den samfunnsnyttige bruken av sannsynlighet er først og fremst knyttet til beslutningsstatistikken, nevnt i kapittel 6, som vi skal ta opp i bind 2. Grunnskolens sannsynlighetsregning legger et grunnlag for at elevene i videregående skoler eller på høgskoler og universiteter kan lære seg beslutningsstatistikk. Dessuten er et vesentlig poeng å gi elevene språk for og innsikt i usikre og tilfeldige fenomener. I hverdagslivet møter mange sannsynlighet gjennom pengespill. Kunnskaper i sannsynlighetsregning kan for eksempel fortelle deg at lottosystemer ikke har noe for seg. Figur 1 «Lottonytt»

Vi satser på følgende utgangsrekke for spilleomgang 36: 7-11-18-19-22-23-29. Tall nummer 18 gir seg selv. Bare studer statistikken, så finner man ut hvorfor. Ingen kan konkurrere med 18 i antall ganger på totalstatistikken. 7 er i bra slag – fem ganger på 12 omganger. 11 er bra som tilleggstall – gevinstnummer nå? 22 kommer ofte igjen nå, det samme er tilfelle med 23 og 29. Tall nummer 31 kan være aktuell gardering på systemene denne gangen.

0107 Del1Kapittel7.fm Page 728 Friday, October 14, 2011 9:15 AM

728

•

KAPITTEL 7 SANNSYNLIGHET

Det kan også bidra til å forebygge spillavhengighet, et problem som en del mennesker sliter med. Noen sier på spøk at statens pengespill er en ekstraskatt for folk som ikke kan sannsynlighetsregning.

7.1 Sannsynlighetsbegrepet Sannsynlighet er et krevende begrep for elevene. Det skyldes blant annet at det er vanskelig å kontrollere et svar i sannsynlighetsregning. Sannsynlighe1 ten for å få sekser i kast med en terning er . Om en terning kastes seks gan6 ger, behøver imidlertid ikke akkurat ett av utfallene være en sekser. Dessuten kolliderer mange av resultatene i sannsynlighetsregningen med intuisjonen. Etter å ha kastet en terning 10 ganger med sekser som resultat alle gangene, er det ganske vanlig å tenke at sjansen for å få enda en sekser vil være forsvinnende liten. Sannsynligheten for å få sekser i det ellevte kastet er imidlertid akkurat den samme uansett hva utfallet av de foregående kastene er. For å unngå slike feller, er det nødvendig å lære seg en del begreper og tankeredskaper. Vi skal i stor grad bruke spillsituasjoner som eksempler. En grunn er at dette er motiverende for elevene, blant annet fordi mange av spillene er kjent også utenom skolen. Det er også aktiviserende fordi elevene kan spille eller utføre forsøk. Uten aktivitet er det svært krevende å lære sannsynlighetsregning. Dessuten gir spillsituasjoner overkommelige problemstillinger. Historisk var det også problemstillinger rundt spill som startet studiet av sannsynlighetsregning. Samfunnsnyttige eksempler vil oftest være alt for vanskelige å bruke i elevenes læring av sannsynlighet. Det finnes flere teoretiseringer av hva sannsynlighet er. Vi skal konsentrere oss om det som kalles empirisk og teoretisk sannsynlighet. Empiri dreier seg om hva vi kan finne ut praktisk gjennom erfaring. Teoretisk sannsynlighet vil si at vi tenker oss frem til hva sjansen må være uten å basere oss på praktiske forsøk. Ofte kalles denne tilnærmingen for geometrisk sannsynlighet, for den bruker ofte geometriske egenskaper som symmetri. I tillegg skal vi se litt på subjektivt vurderte sannsynligheter. Disse inngår i Bayesiansk statistikk, en retning som brukes blant annet innen medisin.

0107 Del1Kapittel7.fm Page 729 Friday, October 14, 2011 9:15 AM

7.1 SANNSYNLIGHETSBEGREPET

7.1.1

•

729

Teoretisk og empirisk sannsynlighet

Å lære matematikk kan noen ganger minne om å trekke seg selv opp etter håret. For å forstå matematikken trenger elevene praktiske erfaringer og anvendelser. Disse utgjør et grunnlag for dannelsen av matematiske begreper. På den andre siden kan ikke elevene forstå dybden i praktiske forsøk eller anvende matematikken uten å ha de matematiske begrepene inne. Begge deler skulle derfor kommet først, men det er selvsagt umulig. I de ﬂeste tilfellene er en veksling mellom de to perspektivene best fremfor å rendyrke et av dem. Vi skal nærme oss teoretisk og empirisk sannsynlighet ut fra et klassisk eksempel, nemlig kast med en terning. For å gi deg en første forståelse av hva dette dreier seg om, skal vi bruke noen begreper intuitivt som i neste omgang blir innført grundig og formelt. En virkelig god forståelse av de to tilnæringene til sannsynlighet vil du kanskje ikke få før du har arbeidet deg gjennom de grunnleggende begrepene og leser avsnittet på nytt. Eksempel 1

Kast med en terning

Figur 2

•• Diskusjon

En vanlig terning har seks sider påført 1 til 6 øyne. Utfallet av et kast påvirkes av så ørsmå variasjoner i kastemåten at det ligger utenfor menneskelig kontroll. I praksis er utfallet derfor helt tilfeldig. Symmetrien til terningen gjør det rimelig at alle seks utfall forekommer omtrent like ofte. Vi kaller terningen rettferdig dersom den ikke favoriserer noen av utfallene. Kaster vi terningen bare noen få ganger, er det imidlertid vanlig med ganske store avvik fra en jevn fordeling. Tabellen under viser resultatet av 62 kast med en terning fordelt på de seks mulige utfallene: Tabell 1 Utfall

Frekvens

0,13

0,18

0,13

0,37

0,10

Relativ frekvens

0107 Del1Kapittel7.fm Page 730 Friday, October 14, 2011 9:15 AM

730

•

KAPITTEL 7 SANNSYNLIGHET

Fire øyne har skilt seg ut og forekommer klart oftest. Avviket fra det forventede kan vi se som et uttrykk for tilfeldigheten i prosessen. Kastprosessen ville ikke vært særlig tilfeldig om vi alltid ﬁkk en jevn fordeling på så få kast. Relativ frekvens (se kapittel 6.1) for de ulike utfallene kan variere ganske mye når det kastes bare 62 ganger. Hvis alle mulige utfall forekommer like ofte, vil hvert kast i gjennomsnitt 62 1 ≈ 10, 3 og en relativ frekvens på ≈ 0,167 . Som du ser, ha en frekvens på 6 6 er frekvensen av «2» ikke så langt unna dette, men frekvensene av de andre utfallene ligger et stykke unna. Symmetriegenskapene til terningen gjør at vi 1 kan forvente den relative frekvensen . Vi kaller dette for den teoretiske 6 sannsynligheten for å få en sekser på ett kast med en terning. Når alle mulige utfall er like sannsynlige, regnes den teoretiske sannsynligheten for hvert av utfallene ut som 1 delt på antall mulige utfall. Dermed har vi greid å tallfeste sannsynligheten. Kaster vi en terning svært mange ganger, vil de ulike utfallene vanligvis fordele seg langt mer likt enn det vi kan forvente etter 62 kast. Her er et eksempel på utfallet av 600 kast med en terning: Tabell 2 Antall øyne

Frekvens

Relativ frekvens

0,155

105

0,175

100

0,167

0,157

101

0,168

107

0,178

Antall kast

600

Nå har ingen av de mulige utfallene 1, 2, 3, 4, 5 og 6 relative frekvenser som ligger langt fra den teoretiske sannsynligheten. På samme måte ligger frekvensen for hvert av de mulige antall øyne nær 100. Tallet 100 får vi ved å dele antall kast på antall mulige utfall. Vi sier at 100 er forventningsverdien for 6 øyne etter 600 kast med en terning. Det samme er forventningsverdien for 5 øyne etter 600 kast med en terning. Alle de seks mulige utfallene har samme forventningsverdi etter 600

0107 Del1Kapittel7.fm Page 731 Friday, October 14, 2011 9:15 AM

7.1 SANNSYNLIGHETSBEGREPET

•

731

kast. Med dette mener vi den frekvensen eller det antallet av for eksempel seksere som vi forventer etter 600 kast. Forventning er et teoretisk begrep. I virkeligheten ligger ofte antall seksere i en kastserie i nærheten av forventningsverdien, men det er sjelden at vi «treffer» akkurat. Tabell 3 Antall øyne

Frekvens

Relativ frekvens

1 015

0,169

960

0,160

1 010

0,168

1 013

0,169

984

0,164

1 018

0,170

Antall kast

6 000

Her har vi gjort 6 000 kast med en terning. Forskjellen mellom teoretisk sannsynlighet og relativ frekvens er nå enda mindre enn ved forsøket på 600 kast. Desto ﬂere kast det er i en kastserie, desto mindre trolig er det at vi får relative frekvenser langt fra den teoretiske sannsynligheten. Denne lovmessigheten i det tilfeldige kalles for store talls lov. Det er mulig å få 6 000 seksere på rad. De aller ﬂeste ganger vi foretar 6 000 kast med en terning, vil vi imidlertid få i nærheten av 1 000 seksere, forventningsverdien for seksere etter 6 000 kast. Eksempel 2

Kast med en tegnestift

Figur 3

•• Diskusjon

Når vi ikke har noen enkel teoretisk måte å regne ut sannsynligheten på, velger vi i stedet empirisk sannsynlighet. Vi utfører et forsøk mange ganger og bruker relativ frekvens som et mål for sannsynligheten av et mulig utfall. Kast med tegnestift er et eksempel hvor empirisk sannsynlighet er det naturlige valget. Tegnestiftens geometri er for komplisert til at vi kan ha noe håp

0107 Del1Kapittel7.fm Page 732 Friday, October 14, 2011 9:15 AM

732

•

KAPITTEL 7 SANNSYNLIGHET

om å ﬁnne sannsynligheten for de mulige utfallene teoretisk. De to mulighetene er «spiss opp» og «spiss ned». Her er resultatene av et forsøk hvor en tegnestift ble kastet 360 ganger: Tabell 4 Utfall

Frekvens

Relativ frekvens

Spiss opp

196

0,544

Spiss ned

164

0,456

Antall kast

360

De to relative frekvensene vi får på denne måten kan brukes til å anslå sannsynligheter for de to utfallene. Siden 360 ikke er et veldig stort tall, setter vi den empiriske sannsynligheten for «spiss opp» lik 0,54. Vi stoler ikke helt på den tredje desimalen og har derfor ikke tatt den med. Også empirisk bestemte sannsynligheter kan brukes til å anslå hvor mange ganger vi kan forvente et bestemt utfall. Kaster vi tegnestiften 10 000 ganger, gir dette en forventningsverdi for «spiss opp» etter 10 000 kast på 0,54 ⋅ 10 000 = 5 400. Siden sannsynligheten er anslått, er spådommer basert på forventingsverdi mer usikre enn når utgangspunktet er en teoretisk sannsynlighet. Oppgaver

Kast 200 kast med en vanlig terning. Registrer hvor mange ganger hvert av de seks mulige utfallene forekommer og lag en tabell over frekvens og relativ frekvens. Hvordan er samsvaret med den teoretiske sannsynligheten og med forventningsverdien etter 200 kast? Kast 400 kast med en tegnestift. Lag frekvenstabell over «spiss opp» og «spiss ned». Hvordan ble samsvaret med Eksempel 2? For å lette arbeidet kan du slå deg sammen med andre studenter. Prøv å få til 1 000 kast ved å slå sammen data fra flere studenter. Still deg opp langs en vei med en viss trafikk. Registrer siste siffer på bilene som passerer. Lag en tabell over relativ frekvens til de ulike utfallene. Sammenlign med det du mener er de teoretiske sannsynlighetene. Alternativt kan du se på skiltene til biler som står på en stor parkeringsplass. Hvor gamle bør elever være før de gjør øvelser i trafikken uten tilsyn av lærer? Finn ut hva et lottosystem er. Sammenlign det med systemer for fotballtipping. Diskuter om et lottosystem kan ha noe for seg.

0107 Del1Kapittel7.fm Page 733 Friday, October 14, 2011 9:15 AM

7.1 SANNSYNLIGHETSBEGREPET

7.1.2

•

733

Subjektiv sannsynlighet

Matematisk sannsynlighet basert på frekvenser er velegnet i forbindelse med mange virkelige fenomener, men ikke for alle. Problemet er at en del usikre fenomener ikke har den type lovmessighet som kast med en terning. Tipping av utfallet av en fotballkamp er et slikt eksempel. Hvis Lillestrøm skal spille mot Rosenborg, kan vi bruke resultatene av klubbenes tidligere møter som et anslag for en empirisk sannsynlighet. I fotball kan imidlertid styrkeforholdet mellom klubbene endre seg over tid eller en viktig spiller kan være skadet. De to klubbene spiller heller ikke tilstrekkelig mange kamper seg imellom i løpet av rimelig tid til å anslå en empirisk sannsynlighet. Vi kan snakke om sannsynligheten for utfallet av en slik kamp, men da legger vi noe annet i selve begrepet sannsynlighet. Vi ser da sannsynlighet som et subjektivt mål for hvor sikker en person er på noe vedkommende tror, for eksempel at Rosenborg skal slå Lillestrøm. Skal dette være en rasjonell oppfatning, må det baseres på dagsaktuelle kunnskaper om fotball.

Figur 4

Et annet eksempel er diagnoser som leger stiller. Leger kan sjelden være helt sikre. Diagnosen kunne vært oppgitt som en sannsynlighet som uttrykker hvor sikker legen er. Ifølge Hunskår og Meland (1995) ﬁnnes det ﬂere tilstan-

0107 Del1Kapittel7.fm Page 734 Friday, October 14, 2011 9:15 AM

734

•

KAPITTEL 7 SANNSYNLIGHET

der hvor selv den beste lege stiller korrekt diagnose i mindre enn 50 % av tilfellene. Bayesiansk statistikk er et fagfelt som tar utgangspunkt i subjektive sannsynligheter og hvordan disse kan justeres og settes i system. Det er mulig å bruke lovene i sannsynlighetsregningen til å regne på hvordan ulike synspunkter henger sammen. Velbegrunnede vurderinger må ikke være i strid med hverandre. Får vi oppgitt tall over hvor sikker en person er på noen påstander, kan vi regne ut hvor sikker personen bør være på en del andre påstander. Kortene må imidlertid ikke blandes ukritisk. Starter vi med sannsynligheter som ikke er knyttet til frekvenser, kan heller ikke svaret tolkes som det. Noen oppgaver vil berøre den subjektive tolkningen av sannsynlighet. Når annet ikke er sagt, vil vi imidlertid holde oss til frekvenstolkningen av sannsynlighet. Oppgaver

5. 6.

Hva mener du sannsynligheten er for at et menneske har landet på planeten Mars innen 2030? I hesteveddeløp tippes utfallet av travløp eller galoppkonkurranser. Diskuter med andre studenter om den som deltar i slike spill bør basere seg på subjektiv eller frekvensbasert sannsynlighet. Ansatte i fengsler må føle seg trygge på at den subjektive sannsynligheten for nye lovbrudd er ganske lav før de lar en fange få permisjon. Finn andre eksempler hvor subjektiv sannsynlighet brukes i samfunnet. Diskuter med andre studenter. Diskuter med medstudenter hvordan spørsmålene kan besvares og hva slags sannsynlighet som er involvert. a) Hva er sannsynligheten for at den neste statsministeren i Norge kommer fra Bergen? b) Hva er sannsynligheten for at neste gang du bruker en heis, stopper den mellom to etasjer?

7.1.3

Tilfeldige forsøk

Matematisk frekvensbasert sannsynlighet er tett knyttet til begrepet tilfeldig forsøk. Vektleggingen av begrepet tilfeldig forsøk har to hensikter. Først og fremst understreker dette for elevene at sannsynlighet er knyttet hva som skjer når et forsøk utføres mange ganger. Dette gir bedre forståelse og en viss praktisk mulighet for å kontrollere utregnede sannsynligheter. Når elevene