Rom Stoff Tid 2. Utdrag: kap. 6 og 13.

Per Jerstad • Bjørn Sletbak • Arne Auen Grimenes • Reidun Renstrøm Olav Bråtveit Holm • Morten Nymo

2 FYSIKK 2

Rom Stoff Tid er et læreverk i fysikk i den videregående skolen. For hvert av programfagene fysikk 1 og fysikk 2 består læreverket av lærebok og nettsider.

2 FYSIKK 2

2 Per Jerstad • Bjørn Sletbak Arne Auen Grimenes • Reidun Renstrøm Olav Bråtveit Holm • Morten Nymo FYSIKK 2 • BOKMÅL

ISBN 978-82-02-xxxxx-x

www.cdu.no

BOKMÅL

Per Jerstad • Bjørn Sletbak • Arne Auen Grimenes • Reidun Renstrøm Olav Bråtveit Holm • Morten Nymo

2 FYSIKK 2 Studiespesialiserende program Bokmål

Rom stoff tid 2

Innhold Forord....................................................................................................... 6 1 Fire ideer som forandret verden og vårt syn på den............................ 9

Himmelen og jorda har de samme lovene. Universell gravitasjon....

Ideen bak vårt elektriske samfunn. Induksjon................................

Er vår galakse hele universet?..........................................................

Også partikler har bølgelengde. Kvantefysikk.................................

10 12 14 17

2 Fysikk som målefag............................................................................ 23 SI-systemet, grunnstørrelser og grunnenheter................................. 23 Måleusikkerhet................................................................................. 25 Usikkerhet i sammensatte størrelser................................................ 29 Grafisk utjevning............................................................................... 34 Sammendrag...................................................................................... 37 Oppgaver .......................................................................................... 38 Småforsøk og laboratorieøving......................................................... 40

3 To bevaringslover............................................................................... 45 Bevaringsloven for bevegelsesmengde............................................. 46 Bevaringsloven for energi i tyngdefeltet........................................... 58 Energibevaring i elastisk fjær............................................................ 60 Sammendrag...................................................................................... 66 Oppgaver .......................................................................................... 67 Småforsøk og laboratorieøving......................................................... 70

4 Bevegelse........................................................................................... 75 Bevegelse langs en rett linje.............................................................. 75 Vektorene fart og akselerasjon......................................................... 86 Bevegelse med konstant akselerasjon.............................................. 91 Akselerasjonen i sirkelbevegelse...................................................... 97 Sammendrag...................................................................................... 103 Oppgaver........................................................................................... 104 Småforsøk og laboratorieøving......................................................... 108

5 Kraft og bevegelse.............................................................................. 115 Newtons tre lover.............................................................................. 115 Krefter på legemer i sirkelbevegelse................................................. 124 Å løse sammensatte mekanikkoppgaver.......................................... 131 Sammendrag...................................................................................... 135 Oppgaver........................................................................................... 136 Småforsøk og laboratorieøving......................................................... 139

3

4

6 Gravitasjonsfelt................................................................................... 145 Den universelle gravitasjonsloven.................................................... 146 Gravitasjonens feltstyrke.................................................................. 148 Satelittbevegelser............................................................................... 151 Energi i gravitasjonsfeltet.................................................................. 154 Sammendrag...................................................................................... 158 Oppgaver........................................................................................... 159 Småforsøk og laboratorieøving......................................................... 161

7 Elektrisk felt....................................................................................... 163 Ladning, krefter og Coulombs lov.................................................... 163 Elektrisk feltstyrke............................................................................ 165 Arbeid og spenning i elektrisk felt.................................................... 170 Arbeid og energi i et elektrisk sentralfelt.......................................... 175 Sammendrag...................................................................................... 179 Oppgaver........................................................................................... 181 Småforsøk og laboratorieøving......................................................... 183

8 Magnetisk felt..................................................................................... 187 Magneter og magnetiske felt............................................................. 187 Magnetisk kraft på ladninger i fart................................................... 196 Kraft på strømførende ledere i magnetfelt........................................ 203 Sammendrag...................................................................................... 209 Oppgaver .......................................................................................... 210 Småforsøk og laboratorieøving......................................................... 213

9 Induksjon............................................................................................ 219 Elektromagnetisk induksjon............................................................. 219 Magnetisk fluks................................................................................. 222 Faradays induksjonslov.................................................................... 225 Produksjon og bruk av vekselstrøm................................................. 230 Sammendrag...................................................................................... 234 Oppgaver .......................................................................................... 235 Småforsøk og laboratorieøving......................................................... 238

10 Relativitetsteori................................................................................... 245 Referansesystemer............................................................................. 246 Relativitetsprinsippet........................................................................ 248 Relativistisk tid.................................................................................. 251 Relativistisk bevegelsesmengde og energi........................................ 257 Energi–masse-loven.......................................................................... 260 Relativitetsteori blir gravitasjonsteori............................................... 264 Den generelle relativitetsteorien....................................................... 268 Sammendrag...................................................................................... 273 Oppgaver .......................................................................................... 274 Småforsøk og laboratorieøving......................................................... 276

Rom stoff tid 2

11 Kvantefysikk....................................................................................... 281

Lyskvanter – fotoner......................................................................... 282 Bevegelsesmengde og bølgelengde til fotoner og elektroner........... 286 Kvantemekanikk............................................................................... 289 Sammenfiltrede fotoner.................................................................... 293 Sammendrag...................................................................................... 299 Oppgaver........................................................................................... 300 Småforsøk og laboratorieøving......................................................... 302

12 Partikkelfysikk.................................................................................... 307 Et raskt overblikk.............................................................................. 307 Elementærpartikler........................................................................... 311 Krefter mellom partikler. Vekselvirkninger..................................... 314 Bevaringslover................................................................................... 318 Standardmodellen og videre............................................................. 321 Sammendrag...................................................................................... 325 Oppgaver........................................................................................... 326 Småforsøk og laboratorieøving......................................................... 327

13 Fysikk og teknologi............................................................................. 329 Signalbehandling............................................................................... 330 Utralydavbildning............................................................................. 338 Røntgenundersøkelser...................................................................... 340 MR-avbildning.................................................................................. 346 Sammendrag...................................................................................... 350 Oppgaver........................................................................................... 352 Småforsøk og laboratorieøving......................................................... 354

Oppgavesamling....................................................................................... 355 Arbeidsmetoder i fysikk 2 ............................................................... 356 2 Fysikk som målefag.................................................................... 361 3 To bevaringslover....................................................................... 364 4 Bevegelse.................................................................................... 372 5 Kraft og bevegelse....................................................................... 381 6 Gravitasjonsfelt.......................................................................... 393 7 Elektrisk felt............................................................................... 399 8 Magnetisk felt............................................................................. 407 9 Induksjon.................................................................................... 417 10 Relativitetsteori........................................................................... 430 11 Kvantefysikk............................................................................... 434 12 Partikkelfysikk............................................................................ 439 13 Fysikk og teknologi.................................................................... 441

Læreplan i fysikk 2 ................................................................................. 445 Ordforklaringer......................................................................................... xx Stikkordregister....................................................................................... xx Fasit oppgavesamling............................................................................... xx Fasit kapitteloppgaver.............................................................................. xx

5

6

Forord Velkommen til mer fysikk!

Etter fysikk 1-kurset kan du nå en hel del om fysikk, mer enn de fleste i Norge, faktisk. Du har valgt å fortsett med fysikk 2-kurset – det tror vi ikke du vil angre på. Det blir mye arbeid, men du kommer til å lære svært mye som du vil ha glede av i studier, arbeidsliv og dagligliv! I noen av temaene i fysikk 2 lærer du mer om temaer fra fysikk 1, f.eks. bevegelse, krefter, energi og kvantefysikk. Andre tema er nye, f.eks. relativitetsteori, magnetisme og induksjon.

Læreverket Rom Stoff Tid – Fysikk 2 er utformet etter læreplanen i Kunnskapsløftet. (Merk at Fysikk 2 er navnet på læreverket, mens fysikk 2 er navnet på kurset.) Læreverket består av to hoveddeler, akkurat som Fysikk 1: læreboka og læringsressursene på RSTnett. Hvert kapittel inneholder ulike elementer: Hovedstoff Dette er framstillingen av temaene i læreplanen. I tillegg til tekst, figurer og bilder finner du en rekke løste eksempeloppgaver.

Sokrates-spørsmål Rundt omkring i kapitlene støter du på noen spørsmål som blir varslet med en Sokrates-logo i margen. Hensikten med disse spørsmålene er å få til nyt­ tige samtaler og friske diskusjoner i klassen.

Henvisning til RSTnett Når du støter på denne logoen i margen, betyr det at det finnes innhold på RSTnett som er viktig for forståelsen av lærestoffet. RSTnett er hjemmsidene til læreverket Rom Stoff Tid, med inngangsadresse www.rstnett.cdu.no.

Ved logoen vil det stå en kort beskrivelse av hva slags stoff det dreier seg om.

Rammestoff Med jevne mellomrom utover i boka kommer det stoff som ikke direkte er pensum. Det kaller vi «rammestoff» fordi teksten står i egne rammer med blå bakgrunn. Se for eksempel på side 000 (54), der det står en kort biografi om Albert Einstein.

Sammendrag I slutten av hvert kapittel står det et sammendrag av de viktigste tingene vi har arbeidet med i kapittelet. Først når du har lært det som står i kapittelet, får du skikkelig nytte av sammendraget.

Oppgaver Etter hvert kapittel er det innlæringsoppgaver. Det er nødvendig å gjøre alle disse oppgavene for å komme godt inn i lærestoffet. På RSTnett er det tips til alle innlæringsoppgavene. Bakerst i boka finner du fasiten.

Rom stoff tiid 2

I siste del av boka finner du en stor oppgavesamling som du kan bruke når du repeterer. Oppgavene kan også brukes som ekstra mengdetrening når du er ferdig med innlæringsoppgavene til et kapittel. Flere av oppgavene har fullstendig løsning på RSTnett. Her finner du også et utvalg av termin­ oppgaver og løsningsforslag til dem.

På RSTnett finner du interaktive oppgaver til de fleste kapitlene i læreboka.

Småforsøk Småforsøk er øvinger der du skal gjennomføre et enkelt forsøk eller observere et fenomen uten å gjøre systematiske eksperimenter og målinger.

Noen krever litt utstyr fra fysikklabben og passer best i timen, men mange forsøk kan du utføre på kjøkkenet hjemme.

Til hvert kapittel er et innledende fellesforsøk som læreren kan gjennomføre når en skal gå i gang med kapittelet.

Laboratorieøvinger Til hvert kapittel i læreboka er det et anbefalt forslag til laboratorieøving.

På RSTnett finner du en stor samling med flere laboratorieøvinger til alle kapitlene.

Ordforklaringer Mot slutten av læreboka finner du en ganske omfattende liste med forklaringer og definisjoner av ord, begreper og fysiske størrelser.

Stikkordregister Bak i boka er det også et stikkordregister slik at du kan finne ut hvor i boka et sentralt fagord er definert eller omtalt.

RSTnett I tillegg til alt stoffet vi har omtalt ovenfor, finner du her kapitteltester, lenker og annet ressursstoff.

Takk!

Vi takker for verdifulle innspill og kommentarer til denne revisjonen av Rom Stoff Tid fra dere som bruker læreverket.

Takk også til Tore Oldervoll som har skrevet oppslaget om integralregning i kapittelet om bevegelse.

Lykke til!

Vi ønsker elever og lærere lykke til i arbeidet med fysikk 2-kurset!

Februar 2014 Forfatterne

7

144

6 Gravitasjonsfelt

DIKTET DITT har gjemt seg p책 baksiden av m책nen.

Og, m책nen vet du, har bunden rotasjon.

Snur ikke ryggen til noen.

Kjekk kar s책nn.

Kolbein Falkeid

6 Gravitasjonsfelt

6 Gravitasjonsfelt Slipper vi et eple, faller det alltid mot bakken, aldri opp eller til siden. Det er gravitasjonskraften (tyngdekraften) som får eplet til å falle. Den samme kraften holder månen på plass i dens bane rundt jorda og planeter og ­kometer i ellipsebaner rundt sola.

Ideen om en universell gravitasjonskraft ble født i 1665–66. Den 23 år gamle studenten Isaac Newton var sendt hjem fra universitetet i Cambridge fordi det var brutt ut pest. Ferien brukte han til å studere fargene i lyset og månens bevegelse rundt jorda. Han antok at den kraften som virker på ­månen, er proporsjonal med 1/r2, der r er avstanden fra jorda til månen.

Men hvordan skulle han bruke denne kunnskapen til å beregne månens bane? Newton stilte seg spørsmålet: Hva om kraften som får et modent eple til å falle mot bakken, er den samme som får månen til å gå i sirkelbane rundt jorda?

Newton antok altså at eplet og månen blir påvirket av den samme 1/r2kraften, og at r er avstanden fra jordas sentrum til eplet eller til månen (som om hele jordas masse er i dens sentrum). Da kunne han beregne forholdet mellom eplets og månens fall mot jorda i tida ett sekund. Avstanden fra jordas sentrum til eplet er 1 jordradius, mens avstanden til månen er ca. 60 jordradier. Bevegelseslikningene viste da at i løpet av ett sekund vil eplet falle 4,9 m, mens månen vil falle 1,4 mm. Se figuren i margen. Ut fra dette kunne Newton nå beregne månens bane. Og beregningene stemte godt overens med månens virkelige bane. Newton ble overbevist om at ideen om en universell gravitasjonskraft er riktig.

Men han hadde ikke bevist at kraften fra jorda på eplet og månen er som om hele jordas masse er samlet i sentrum. Derfor offentliggjorde han ikke ideen om universell gravitasjon. Omtrent tjue år seinere ble han igjen opptatt av å løse dette problemet, og denne gangen gjennomførte han de nødvendige bevisene. I 1687 kom Newton med det store verket Principia, som består av tre bøker. I bok III tar han for seg gravitasjonsteorien. Newton skriver: «Forfatteren vil nå anvende sine dynamiske og matematiske prinsipper og den alminnelige gravitasjonskraft til å forklare hele den fysiske verdens funksjon i en samlet teori.»

Gravitasjonsteorien klarte elegant å forklare kjente fenomener, og den forutså fenomener som ennå ikke var observert.

145

146

6 Gravitasjonsfelt

I 1915 kom Einstein med en ny gravitasjonsteori, den generelle relativitetsteorien. Den generelle relativitetsteorien og noen av de overraskende og fascinerende konsekvensene av denne gravitasjonsteorien skal vi se nærmere på i kapittelet om relativitetsteori seinere i boka.

Den universelle gravitasjonsloven I Principia beskriver Newton gravitasjonskraften som en tiltrekningskraft mellom masser. Kraften gjelder overalt i universet og er derfor universell.

Newtons gravitasjonslov

To punktformede legemer med massene m1 og m2 i innbyrdes avstand r tiltrekker hverandre med krefter som har absoluttverdien mm G = γ 12 2 r

der γ er en universell konstant.

r →

G

→

G

Newton viste at avstanden r i gravitasjonsloven skal regnes fra sentrum til sentrum av kuleformede legemer.

Loven gjelder altså for punktformede legemer, men Newton viste at den også kan brukes for kuleformede legemer hvis massefordelingen i hver av kulene er symmetrisk. r er da avstanden mellom kulesentrene.

Den universelle gravitasjonskonstanten På Newtons tid kjente en ingen laboratorieforsøk som kunne vise om ­gravitasjonsloven er riktig for vanlige små legemer, og heller ingen forsøk som kunne bestemme γ. Men i 1798 klarte den britiske fysikeren Henry Cavendish å gjøre slike forsøk i sitt laboratorium. Cavendish selv beregnet ikke noen verdi for gravitasjonskonstanten, men han kunne gi en ganske nøyaktig verdi for tettheten til jorda. På dette grunnlaget kunne fysikerne seinere ut over på 1800-tallet bestemme γ til verdien 6,67 · 10–11 Nm2/kg2, mindre enn 1 % fra den verdien som er akseptert i dag.

Gitt med tre siffer er verdien γ = 6,67 · 10–11 Nm2/kg2.

EKSEMPEL

a) Bruk gravitasjonsloven til å beregne gravitasjonskraften på et legeme med massen 1,0 kg ved jordoverflaten. b) Finn kraften som jorda trekker på månen med. c) Trekker også månen på jorda?

>>>

6 Gravitasjonsfelt

>>>

147

Løsning: Vi finner massen Mj til jorda, massen Mm til månen, jordradien rj og ­ vstanden mellom jordsentret og månesentret rj-m i tabellen. a a) Gravitasjonskraften på massen m = 1,0 kg finner vi ved å bruke ­Newtons gravitasjonslov: G=γ

Mjm rj2

= 6,67 · 10–11 Nm2/kg2 ·

= 9,8 N

5,974 · 1024 kg · 1,0 kg (6,371 · 106 m)2

b) Vi setter månemassen og avstanden mellom jordsentret og månesentret inn i gravitasjonsloven og finner at jorda trekker på månen med kraften MjMm G=γ rj-m2

= 6,67 · 10–11 Nm2/kg2 ·

= 1,99 · 1020 N

5,974 · 1024 kg · 7,35 · 1022 kg (3,84 · 108 m)2

c) Ja, etter Newtons 3. lov trekker månen på jorda med en motsatt rettet og like stor kraft som den vi fant i b.

Månen blir trukket mot jorda av gravitasjonskraften.

Hvorfor faller ikke månen da ned på jorda?

Vi «veier» jorda Vi har to uttrykk for gravitasjonskraften til et legeme med masse m på Mm ­jordas overflate: G = mg og G = γ j , der g er feltstyrken (tyngde­­­akse­ rj2 lera­sjonen) ved jordoverflaten, Mj er jordmassen og rj er jordradien. Vi setter disse uttrykkene lik hverandre:

γ

Mjm = mg rj2

Jordas masse blir

Mj =

g rj2

γ

Vi setter inn de kjente verdiene for g, rj og γ og får jordmassen Mj =

9,81 N/kg · (6,371 · 106 m)2 = 5,97 . 1024 kg 6,67 · 10–11 Nm2/kg2

rj

G = mg

148

6 Gravitasjonsfelt

Gravitasjonens feltstyrke I rommet rundt jorda er det et gravitasjonsfelt. Med det mener vi at et ­legeme som er i dette området, blir påvirket av en gravitasjonskraft fra jorda. Et legeme med masse m som er i avstanden r fra jordas sentrum, blir påvirket av gravitasjonskraften Mm G = γ j2 rj

→ Feltstyrken g på det stedet massen befinner seg, definerer vi som tyngde→ kraft per masse, G /m:

I et gravitasjonsfelt er feltstyrken i et punkt gitt ved →

G g = m

→ der G er gravitasjonskraften på et legeme med massen m i punktet. → → Feltstyrken g har samme retning som gravitasjonskraften G . →

Enheten for feltstyrke er N/kg.

Vi skal nå se på gravitasjonsfeltet rundt jorda. I avstanden r fra jordsentret er feltstyrken gitt ved Mjm M γ r2 G = γ 2j = g= r m m

Vi har nå sett på gravitasjonsfeltet rundt jorda, men resonnementet gjelder like godt for feltet rundt andre masser. Feltstyrken er altså bestemt av ­massen M til det legemet som setter opp feltet, og avstanden r fra legemets sentrum. Feltstyrken er ikke avhengig av massen m som gravitasjons­kraften virker på. →

→

→

Vi kjenner tyngdekraften på et legeme som G = mg , der g er akselerasjonen ved fritt fall. Feltstyrken og tyngdeakselerasjonen har tilnærmet samme verdi. Verdien av feltstyrken varierer litt fra sted til sted på jord­overflaten.

Som verdi ved jordoverflaten bruker vi g = 9,81 N/kg = 9,81 m/s2 Feltstyrken er en vektor som overalt peker inn mot sentrum av jorda. Figu→ ren i margen viser feltstyrken g på forskjellige punkt i gravitasjons­feltet rundt jorda. Større avstand gir mindre feltstyrkevektor fordi styrken på feltet avtar med avstanden.

6 Gravitasjonsfelt

Ofte illustrerer vi et slikt felt ved å tegne feltlinjer. Feltlinjene skal gi oss retningen til feltet, se figuren nedenfor. Og feltstyrken markerer vi ved å tegne linjene med mindre avstand der feltet blir sterkere. Altså: Jo tettere linjer, desto sterkere felt. (Figurene må vi tenke oss er tredimensjonale, slik at vektorene og feltlinjene faller inn mot den kuleformede jorda fra alle ­sider.)

Homogent gravitasjonsfelt På den venstre figuren nedenfor har vi tegnet inn et (svært forstørret) klasse­rom et sted i Kina. Til høyre har vi det samme klasserommet i nærbilde. I dette rommet er tyngdekraften på et legeme med svært god tilnærming den samme uansett hvor i rommet legemet er. Vi sier at gravitasjonsfeltet i dette rommet er homogent. Og med svært god tilnærming kan vi også si at overalt i rommet peker tyngdekraften vinkelrett ned mot g­ olvet.

I et homogent felt er feltstyrken den samme overalt i feltet. I et slikt felt tegner vi feltlinjene parallelle.

→

g

På figuren til høyre ovenfor har vi tegnet inn feltlinjene for et homogent gravitasjonsfelt i et klasserom.

Hvilke egenskaper ved gravitasjonsfeltet i klasserommet viser denne figuren?

Feltlinjer

149

150

6 Gravitasjonsfelt

Flo og fjære blir forklart. Neptun blir oppdaget Hvis vi skal feste lit til en vitenskapelig teori, må den være i overensstemmelse med det vi obser­ verer. Enda sterkere vil teorien stå hvis den kan forutsi nye fenomener som så blir bekreftet ved nye observasjoner.

Flo og fjære Newton forklarte flo og fjære som et resultat av gravitasjonskraften fra månen på jorda og dermed på verdenshavene. Hovedsaken i Newtons forklaring var at på grunn av de ulike avstandene vil månens tiltrekning på jorda være forskjellig

1. på «forsiden» av jorda 2. på jorda som helhet (sentrum) 3. på «baksiden» av jorda Fordi ulik kraft gir ulik akselerasjon, får vi følgende effekt: Havene nærmest månen vil bli dradd litt mer mot månen enn resten av havene og «buler» derfor ut mot månen. Havene på «baksiden» er lenger borte fra månene enn resten av havene og blir dradd litt mindre mot månen. De «buler» altså ut bort fra månen. Dermed får vi flo både på forsiden og på baksiden av jorda.

Fjære

Flo

Jorda

Flo Månen

Fjære

Oppdagelsen av planeten Neptun Et komprimert bilde av solsystemet.

Sola skimter vi lengst til venstre i kanten av bildet. Ytterst til høyre ser vi Pluto som en liten flekk. Neptun er den blå planeten nærmest Pluto. Pluto ble oppdaget i 1930 på samme måte som Neptun ble oppdaget, denne g­ angen gjennom «avvik» i banen til Neptun. Pluto har ikke lenger status som planet.

I 1781 ble planeten Uranus oppdaget av den engelske astronomen William Herschel. Det viste seg snart at den observerte banen til Uranus ikke var helt i samsvar med den banen gravitasjonsloven gav, selv om en tok hensyn til gravitasjonskreftene fra sola og planetene innenfor Uranus. Noen astronomer tenkte seg faktisk at gravitasjonsloven kanskje ikke gjelder så langt ute i universet.

Omkring 1840 foreslo flere astronomer at forklaringen kunne være påvirkningen fra en ukjent

planet utenfor Uranus. Astronomene brukte så Newtons gravitasjonslov – og de «avvikene» som var observert i Uranus-banen – til å forutsi massen og banen til den ukjente planeten. Ut fra disse beregningene visste en nøyaktig hvor det skulle ­ letes med teleskopene. Og i 1846 ble Neptun ­ ­funnet av tyskeren Johann Galle ved Berlin-observatoriet, nøyaktig der beregningene sa den skulle være!

6 Gravitasjonsfelt

Hvor stor er feltstyrken 1 km, 10 km og 100 km over jordoverflaten?

151

EKSEMPEL

Løsning: Avstanden fra jordas sentrum er i de tre tilfellene r = rj + 1 km = 6371 km + 1 km = 6,372 · 106 m r = rj + 10 km = 6371 km + 10 km = 6,381 · 106 m r = rj + 100 km = 6371 km + 100 km = 6,471 · 106 m Feltstyrken 1 km over jordas overflate er M g = γ 2 j r

5,974 · 1024 kg

= 6,67 · 10–11 Nm2/kg2 · = 9,81 N/kg (6,372 · 106 m)2

Vi finner feltstyrken 10 km og 100 km over jordoverflaten på samme måte: 10 km: g = 9,79 N/kg 100 km: g = 9,52 N/kg

Satellittbevegelser Siden den første satellitten Sputnik ble skutt opp i bane rundt jorda i 1957, har jorda fått et utall satellitter. Disse satellittene blir brukt til mange formål, f.eks. til overvåkning av miljøet på jorda, til militær overvåkning og til værvarsling, forskning, kommunikasjon og fjernsynsoverføringer. Bevegelsene til satellittene som går rundt jorda, følger gravitasjonsloven på samme måte som planetenes bevegelser rundt sola. Disse satellittene går i ellipsebaner og – unntaksvis – i sirkelbaner.

«…the greater the velocity… with which [a stone] is projected, the farther it goes before it falls to the Earth. We may therefore suppose the velocity to be so increased that it would describe an arc of 1, 2, 5, 10, 100, 1000 miles before it arrived at the Earth, till at last, exceeding the limits of the Earth, it should pass into space without touching it.»

– Newton, Principia.

Figuren viser hvordan Newton illustrerte banen til et prosjektil som blir skutt ­horisontalt ut fra en fjelltopp. Figur og figurtekst er fra Principia.

152

6 Gravitasjonsfelt

EKSEMPEL

En satellitt går i en sirkelbane 600 km over jordoverflaten. a) Hvilken fart har satellitten? b) Finn omløpstida.

Løsning: a) Vi antar at satellitten går så langt fra jorda at det ikke er luftmotstand.

Da er gravitasjonskraften fra jorda den eneste kraften som virker på ­satellitten. Avstanden fra jordsentret til satellitten er

r = 6,371 · 106 m + 600 · 103 m = 6,971 · 106 m

Newtons 2. lov på satellitten gir

ΣF = ma m

G = m

G r

Mjm v2 =m 2 r r

Mj = v2 r

γ

v =

v2 r

Mj v2 der G = γ 2 r r

γ

M

der ΣF = G og a =

WW

! γ Mr

j

WWWWWWWWWWWWWWWWW 6,67 · 10–11 Nm2/kg2 · 5,974 · 1024 kg = 6,971 · 106 m

= 7,5604 km/s = 7,56 km/s

!

b) Omløpstida blir da 2πr T = v

2π · 6,971 · 106 m

= 7,5604 · 103 m/s

= 5,79 · 103 s = 1 h 37 min

Massen til sentrallegemet Når en planet har en måne eller en satellitt, kalles planeten et sentral­ legeme. På samme måte er en stjerne med en planet i bane et sentral­legeme.

Hvis vi kjenner omløpstida og banen til månen, satellitten eller planeten, kan vi bruke gravitasjonsloven til å bestemme massen til sentrallegemet. Vi viser metoden i et eksempel.

6 Gravitasjonsfelt

Planeten Mars har to satellitter (måner): Deimos og Fobos. Deimos går i en tilnærmet sirkelbane med radius r = 2,35 · 107 m og med en periode T = 30,3 h. Disse størrelsene kan vi måle fra jorda, men ikke massen til Mars.

Finn massen M til Mars.

Deimos Fobos

Mars-banen Mars

Løsning: Når vi lar massen til Deimos være m, er gravitasjonskraften på Deimos fra Mars Mm G=γ 2 r

Deimos går i en sirkelbane, og fra kapittel 4 side 100 og 102 har vi at akselera­sjonen i en sirkelbevegelse er gitt ved v2 4π 2r = a =

r T2 Newtons 2. lov på Deimos gir da ΣF = ma

der ΣF = G = γ

Mm r2

Mm m4π 2r = γ r2 T2

4π 2r3 M = γ T2 Massen til Mars er altså

4π 2(2,35 · 107 m)3 M = 6,67 · 10–11 Nm2/kg2 · (30,3 · 3600 s)2

= 6,46 · 1023 kg

153

EKSEMPEL

154

6 Gravitasjonsfelt

Energi i gravitasjonsfeltet Den potensielle energien i gravitasjonsfeltet I Fysikk 1 definerte vi den potensielle energien til et legeme i en høyde h over et valgt nullnivå som det arbeidet gravitasjonskraften gjør når steinen faller fra høyden h til nullnivået (f.eks. bakken). Ut fra denne definisjonen er den potensielle energien gitt ved Ep = mgh. Forutsetningen for dette ­uttrykket er at gravitasjonskraften er konstant. Denne forutsetningen er godt nok oppfylt så lenge h er liten. Da er feltstyrken g konstant, og vi sier at feltet er homogent.

Den potensielle energien til romskip eller satellitter overalt i jordas gravitasjonsfelt defineres på samme måte:

Definisjon av potensiell energi i tyngdefeltet

Den potensielle energien Ep til et legeme i avstanden r fra jord­ sentret, defineres som det arbeidet WG som gravitasjonskraften gjør når legemet beveger seg fra posisjonen r til det valgte nullnivået for den potensielle energien.

Nullnivået for den potensielle energien er valgt til r = ∞. Når vi skal b ­ eregne det arbeidet gravitasjonskraften gjør på et legeme som beveger seg fra punktet r = r1 til r = ∞, må vi ta hensyn til at gravitasjonskraften ikke er konstant, men er avhengig av r. Det betyr at vi må bruke integralregning for å finne et uttrykk for den potensielle energien.

Vi skal nå finne et uttrykk for den potensielle energien i jordas gravitasjonsfelt ved å beregne hvor stort arbeid gravitasjonskraften gjør på et ­legeme når det beveger seg fra r = r1 til r = ∞. Gravitasjonskraften fra jorda på ­legemet i ethvert punkt r er

Mm G = γ j2 r Når romskipet flytter seg et lite stykke ∆r utover fra punktet r = r1, gjør gravita­sjonskraften et arbeid som er tilnærmet lik →

→

→

∆W = G (r1) · ∆r = G(r1) · ∆r · cos180° = –G(r1) ∆r

r = r1

rj M

G(r1)

r ∆r

155

6 Gravitasjonsfelt

Kraften G er tilnærmet konstant i området ∆r og lik G(r1). Denne tilnærmingen kan vi få så god vi bare vil ved å gjøre ∆r liten nok. Deler vi opp veien fra r = r1 til r = ∞ i svært mange ∆r-er, vil summen av alle ∆W-ene bli tilnærmet lik det samlede arbeidet som gravitasjonskraften gjør. Lar vi hver ∆r → 0, vil den feilen vi gjør i resonnementet vårt, gå mot null.

Ved hjelp av integralregning finner vi gravitasjonskraftens arbeid når ­legemet har flyttet seg fra r til ∞:

[]

∞ ∞ ∞ ∞ Mjm 1 1 Ep = WG = ∫ –G(r)dr = ∫ –γ 2 dr = –γ Mjm ∫ 2 dr = γ Mjm

r r r1 r1 r1 r1 r M m 1 1 = – γ Mjm = –γ j

= γ Mjm 0 – r1 r1 r1

Arbeidet gravitasjonskraften har utført, er negativt, og det er fordi kraften har motsatt retning av forflytningen.

(

)

Den potensielle energien til et legeme med massen m i jordas gravita­ sjonsfelt er E = –γ p

Ep rj r

Grafen viser hvordan den potensielle energien endrer seg fra jordoverflaten (r = rj) og utover.

Vi legger merke til at Ep – selv om den er negativ – vokser utover fra rj.

Den potensielle energien i et gravitasjonsfelt

Mj m r

der r er avstanden fra legemet til jordsentret.

Uttrykket ovenfor gjelder generelt i alle gravitasjonsfelt rundt et kuleformet legeme.

Et romskip med massen 1000 kg er på vei bort fra jorda langs en radiell kurs. a) Hvor stor er den potensielle energien til romskipet når det er 10 km og 100 km over jordoverflaten? b) Regn ut endringen i den potensiell energien. c) Hvor stort arbeid har gravitasjonskraften gjort på romskipet? d) Hva er sammenhengen mellom svarene i b og c?

EKSEMPEL

Løsning: a) Den potensielle energien i avstandene r1 = 6,381 · 106 m og r2 = 6,471 · 106 m (se eksempel side 151):

Mm Ep1 = –γ j

r1

5,974 · 1024 kg · 1000 kg = – 6,67 · 10–11 Nm2/kg2 ·

6,381 · 106 m

= – 6,2445 · 1010 J = –6,24 · 1010 J

>>>

156

6 Gravitasjonsfelt

Mj m Ep2 = –γ

r2

5,974 · 1024 kg · 1000 kg = –6,67 · 10–11 Nm2/kg2 ·

6,471 · 106 m

= –6,1577 · 1010 J = –6,16 · 1010 J

>>>

b) Endringen i den potensielle energien blir da ∆Ep = Ep2 – Ep1

= –6,1577 · 1010 J – (–6,2445 · 1010 J) = 8,68 · 108 J

c) Arbeidet til gravitasjonskraften på romskipet finner vi ved hjelp av integralregning: r

[ ]

r

2 Mm 1 2 = γ Mjm W = ∫ – γ 2 j dr = –γ Mjm –

r r r1 r1

(

(

1 1 – r2 r1

)

1 1 = 6,67 · 10–11 Nm2/kg2 · 5,974 · 1024 kg · 1000 kg · –

6,471 · 106 m 6,381 · 106 m

)

= –8,69 · 108 J

d) Gravitasjonskraftens arbeid er motsatt lik endringen i potensiell energi.

Av uttrykket for arbeidet i c og uttrykket for potensiell energi ser vi at denne sammenhengen gjelder generelt.

Loven om bevaring av den mekaniske energien gjelder også i det inhomogene gravitasjonsfeltet.

Bevaring av mekanisk energi i et gravitasjonsfelt

Hvis gravitasjonskraften er den eneste kraften som utfører arbeid på et legeme, er den mekaniske energien bevart – den er den samme i alle posisjoner.

E1 = E2

der E = 12 mv2 – γ

Mm r

Her er m massen til legemet og M massen til det legemet som setter opp gravitasjonsfeltet.

EKSEMPEL

På den første bemannede måneferden hadde romskipet Apollo 11 farten 1796 m/s ved et bestemt tidspunkt (ca. 20 timer etter start). Da var avstanden til sentrum av jorda r1 = 1,699 · 108 m. En tid seinere var avstanden økt til r2 = 2,092 · 108 m.

Hvor stor var farten i den siste avstanden? Rakettene i romskipet var slått av i denne perioden. Vi regner bare med gravitasjonskraften fra jorda.

6 Gravitasjonsfelt

>>>

157

Løsning: Siden det bare er gravitasjonskraften som virker i den aktuelle perioden, er den totale mekaniske energien bevart. Kaller vi de to tidspunktene for 1 og 2, får vi E2 = E1

Mm 1 Mm = 2 mv12 – γ 12 mv22 – γ r2 r1 Av denne likningen finner vi for farten ved tidspunkt 2:

1 1 – 12 mv22 = 12 mv12 + γ Mm r2 r1

(

(

)

)

WWWWWWWWWW 1 1 – v2 = v12 + 2γ M r2 r1

!

(

)

WWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW 1 1 – = (1796 m/s)2 + 2 · 6,67 · 10–11 Nm2/kg2 · 5,974 · 1024 kg · 2,092 · 108 m 1,699 · 108 m

!

= 1,53 km/s

Unnslippingsfarten Vi vil skyte ut et romskip som skal til en av de ytre planetene. Skipet står i ro på jordas overflate, og vi tenker oss at vi gjennomfører utskytingen i «ett skudd».

Da blir spørsmålet: Hvor stor fart v0 må vi minst gi romskipet for at det skal slippe helt fri fra jordgravitasjonen?

v0

Romskipet er helt fritt fra jordas gravitasjon bare ved grenseverdien r = ∞. Da er for det første den potensielle energien lik null, Ep = 0. Den kinetiske energien Ek kan være liten, men den blir aldri ­negativ. Derfor kan heller ikke totalenergien være negativ. For at romskipet skal bli helt fritt, må altså totalenergien Et minst være lik null.

Ek + Ep ≥ 0 Unnslippingsfarten v0 er den minste farten rom­ skipet kan ha for at det skal slippe fri fra jordgravitasjonen. Da er totalenergien lik null.

1 mv02 2

v0 =

–γ

Mm =0 r0

WW W W

! 2γr M 0

WWWWWWWWWWWWWWWWWWW –11 2 2 24 = 2 · 6,67 · 10 Nm /kg · 5,974 · 10 kg 6

6,371 · 10 m

!

= 11,2 km/s

158

6 Gravitasjonsfelt

Sammendrag Newtons universelle­­ gravita­sjonslov

Gravitasjonskraften mellom to legemer med massene m1 og m2 i inn­byrdes avstand r har verdien mm G = γ 12 2 r

Gravitasjonskrefter virker mellom alle legemer, og de er til­ trekkende. ­Loven blir betegnet som universell fordi den gjelder like godt overalt i universet.

Feltstyrke

Feltstyrken på et sted i gravitasjonsfeltet er lik gravita­ sjons­ kraften per masse på et legeme på dette stedet: →

→ G g = m

Feltstyrken er lik tyngdeakselerasjonen på stedet.

Potensiell energi i gravitasjonsfeltet

Når vi velger nullnivået uendelig langt borte der det ikke vir­ ker noen gravita­sjonskrefter, er den potensielle energien til et legeme med massen m i ­avstanden r fra et sentrallegeme (f.eks. jorda)

Mm Ep = –γ r der M er massen til sentrallegemet.

Bevaring av energi i gravitasjonsfeltet

Hvis gravitasjonskraften er den eneste kraften som utfører arbeid på et legeme, er den mekaniske energien bevart – den er den samme i alle ­ ­posisjoner.

E1 = E2

der E = 12 mv2 – γ

Mm r

Her er m massen til legemet og M massen til det legemet som setter opp gravitasjonsfeltet.

6 Gravitasjonsfelt

159

Oppgaver Den universelle gravitasjonsloven

6.05

6.01

Les rammestoffet på side 150 og beskriv kort hvordan disse to eksemplene fra tida etter Newton bekreftet gravitasjonsloven hans.

To legemer med massene 1,0 kg og 4,0 kg befinner seg alene i verdens­rommet, 100 m fra hverandre. a) Hvilke krefter opptrer i dette systemet?

Tegn figur. Hvor store er kreftene? Oppgi både ­absoluttverdier og retninger. b) Finn forholdet mellom akselerasjonene til de to ­legemene.

6.02 En planet har massen 2,0 · 1024 kg. Vi regner med at den er kuleformet og har ho­mogen fordeling av massen. Radien er 8,2 · 106 m. a) Sett opp uttrykket for kraften som virker på et lite legeme med massen m på overflaten av denne planeten. b) Finn akselerasjonen ved fritt fall ved planet­ overflaten.

Gravitasjonens feltstyrke 6.06 a) Hva mener vi med gravitasjonens feltstyrke? b) Vis at feltstyrken er 1,62 N/kg på månens overflate. c) Finn feltstyrken 1740 km over månens overflate.

Satellittbevegelser 6.07 Hvor stor utgangsfart v0 må et legeme ha, se figuren, for at det skal kunne gå i en satellittbane med høyde v0

6.03 I denne oppgaven skal du gjenta Newtons første utprøving av gravitasjonsloven: Akselerasjonen til et legeme som faller fritt på jordas overflate i en avstand rj fra sentrum av jorda, er g = 9,81 m/s2. a) Beregn akselerasjonen ved fritt fall for et legeme i avstanden 60rj fra jord­sentret. b) Månen bruker 27,3 døgn på en runde rundt jorda, og radien i sirkelbanen er 60rj.

Beregn sentripetalakselerasjonen for månen.

Sammenlikn svarene i a og b.

300 m

300 m? Vi ser bort fra fjell- og luftmotstand.

6.08 6.04 Newton kjente jordradien (6,4 · 106 m) og tyngde­ akselerasjonen ved jordoverflaten (9,81 m/s2). Ved å anta at jordas gjennom­ snittlige massetetthet er 3 3 5,0 · 10 kg/m kunne han finne en verdi for gravitasjons­konstanten γ.

Hvilken verdi fant han da (uttrykt i SI­-enheter)?

Et romskip går rundt månen i en sirkulær bane 80 km over månens overflate. a) Hvor fort går romskipet? b) Vis at omløpstida rundt månen er 1 h 56 min.

160

6 Gravitasjonsfelt

6.09

6.13

Månen Titan går rundt planeten Saturn og har en ­omløpstid på 15,95 døgn. Den gjennomsnittlige senteravstanden til Saturn er 1222 Mm. Finn en verdi for massen til Saturn.

En satellitt med massen m og farten v går i sirkelbane rundt jorda. Jordmassen er M, og baneradien er r.

Vis at satellittens kinetiske energi Ek og totale mekaniske energi E i sirkelbanen er gitt ved

6.10

Mm E = γ k 2r

Både kommunikasjonssatellitter og militære satellitter blir utplassert i den såkalte synkron­banen over ekvator. Der er omløpstida rundt jorda ett døgn, slik at en satellitt hele tida står rett over et bestemt sted ved ekvator. a) Vis at synkronbanen må ligge ca. 36 000 km over ekvator. b) Hvilken fart må satellitten ha i denne banen?

og

E = –γ

Mm 2r

6.14 En satellitt går rundt jorda i en sirkelformet parkeringsbane med radius 6875 km. a) Finn farten til satellitten.

A

Energi i gravitasjonsfeltet

km 760 45

6.11 Et romskip blir skutt opp fra jorda. Etter en tid er avstanden fra romskipet til sentrum av jorda r1 = 1,699 · 108 m. Massen til romskipet er 10 000 kg. a) Beregn den potensielle energien til romskipet når det er på jordas overflate, og når det er i avstanden r1. b) Hvor stort arbeid har gravitasjonskraften utført på romskipet under denne bevegelsen?

6.12 a) Hvor stor energi (Ep + Ek) har satelitten i oppgave 6.10, når massen til satelitten er 1000 kg? b) Hvor mye energi må satellitten få tilført om den skal kunne bli fri fra jordas gravita­sjonsfelt?

P

m 5k 687

Vi ønsker nå å gi satellitten en elliptisk bane der den i det nærmeste punktet P fort­satt er 6875 km fra sent­ rum av jorda, mens den i det fjerneste punktet A har avstanden 45 760 km fra jordsentret. For å få dette til øker vi farten til satellitten i banetangentens retning i et lite område omkring punktet P slik at den nye ­farten ved P blir 10,04 km/s. b) Hva blir farten i A?

6 Gravitasjonsfelt

Småforsøk 6.51 Måneformørkelse Når er neste måneformørkelse som kan observeres i Norge? Noter deg dato for neste månefor­mørkelse, si fra i klassen litt før, og gå ut og se på formørkelsen. Ta gjerne med kikkert.

Innledende fellesforsøk Newton tenkte at han kunne lage en kunstig «måne» i bane rundt jorda ved å skyte en kanonkule med stadig større fart fra en høy fjelltopp. For en bestemt utgangsfart ville kanonkula gå helt rundt jorda. Den tenkte fjelltoppen var så høy at han kunne se bort fra luftmotstanden.

Gå inn på RSTnett og finn fram til den animasjonen som følger opp Newtons tanker. Gjør oppgavene som hører til.

Laboratorieøving Flere laboratorieoppgaver til kapittelet ligger på RSTnett.

gI I denne øvingen skal du • måle g med en planpendel

Eksperimenter Svingetida T til en planpendel som består av en snor med lengden l med et lodd i enden, er for små utslag W l T = 2π g

Bestem g ved å måle svingetida til en slik pendel.

!

161

328

13 Fysikk og teknologi

Teknikken gir oss midler til at gøre, nesten hvad vi vil.

Men vi er nye i dens land, og gør isteden, hvad vi kan.

Piet Hein

13 Fysikk og teknologi

329

13 Fysikk og teknologi Bølger og svingninger er tema for ett av de første kapitlene i Fysikk 1, og det var kanskje ditt første møte med fysikkfaget. Vi avslutter Fysikk 2 med å vise hvordan bølgefysikken kommer til nytte i teknologi som danner bilder av menneskekroppens indre, såkalt medisinsk avbildning.

Apparater for medisinsk avbildning har en del fellestrekk. De består av utstyr som kan sende en eller annen form for energi inn i pasienten og av sensorer som fanger opp noe av den energien som kommer ut igjen.

Energien som kommer ut av pasienten, er i form av lydbølger eller elektromagnetiske bølger. Disse bølgene fanges opp av et sett med sensorer (transdusere), som gjør bølgene om til et elektrisk signal. Dette signalet bearbeides i en prosessor, og resultatet brukes til å tegne bildet av pasientens indre.

Medisinsk avbildning er blitt en stor og viktig industri.

Prosessor CE 123456789

Figuren nederst viser hvordan denne energireisen kan se ut i et ultralydapparat. I et medisinsk avbildningsapparat er altså bearbeidingen av de elek­ triske signalene svært viktig. Derfor skal vi først i dette kapittelet se litt nærmere på det som kalles «signalbehandling». Som eksempel skal vi bruke signaler som stammer fra vanlig hørbar lyd.

Prosessor

Elektrisk strøm

Lydbølger

Transduser

Lydenergi

Prosessor CE 123456789

Elektrisk energi

Ultralydhode

Lysbølger Elektromagnetisk energi

Skjerm Transduser

Prosessor Elektrisk energi

Ultralydhode Reflekterte lydbølger Transduser

Lydenergi

Prosessoren sender ut et elektrisk signal, og dette signalet gjøres om til ultralydbølger i transduseren (ultralydhodet). Ultralydsignalet endres og reflekteres inni kroppen. Ultralydhodet fanger opp det reflekterte ultralydsignalet fra kroppen og gjør det om til et elektrisk signal. Prosessoren mottar det elektriske signalet, gjør beregninger og sender elektriske signaler til skjermen som viser ultralydbildet.

Ultralydavbildning krever elektrisk signalbehandling og transdusere som gjør den elektriske energien om til ultralydenergi.

330

13 Fysikk og teknologi

Signalbehandling Hva er lyd?

Hørselssenteret Trommehinna Sneglehuset Hørselsnerven Øret er et sanseorgan som oppfatter ørsmå forandringer i lufttrykket.

Vi oppfatter lyd ved hjelp av hørselen. Ørsmå, raske forandringer i luft­ trykket setter trommehinna i bevegelse, bevegelser som forplanter seg innover til det indre øret og stimulerer nerver der. Bevegelsene er altfor raske til at vi kan oppfatte hvordan trykket stiger og synker. Men det indre øret virker slik at ulike frekvenser i bevegelsene i trommehinna stimulerer ulike nerver. Øret vårt oppfatter da et lydbilde av ulike frekvenser, og det er dette lydfrekvensbildet hjernen vår oppfatter som lyd. Siden vi har to ører, har vi også god evne til å oppfatte hvilken retning lyden kommer fra.

Lyden starter ved lydkilden, der ørsmå, raske bevegelser av en overflate skaper ørsmå, raske trykkvariasjoner i lufttrykket. Disse variasjonene, som vi kaller lydbølger, forplanter seg i alle retninger, på tilsvarende måte som en vannbølge forplanter seg fra stedet der steinen traff vannet.

Det viser seg at lydbølgene brer seg med en bestemt fart i luft, ca. 340 m/s.

Denne farten er uavhengig av hvor raske selve variasjonene er, altså uavhengig av hvilke frekvenser lyden består av.

Trykkvariasjoner kan skapes og forplante seg i alle stoffer, ikke bare i luft. Lydfarten i vann er for eksempel ca. 1500 m/s. Senere i kapittelet skal vi se nærmere på ultralydbilder, som lages ved å sende lyd igjennom kroppsvev.

Lydtrykk

Amplitude En stemmegaffel lager regelmessige variasjoner i luftttrykket. Lydtrykket varierer som en sinusfunksjon, se grafen. Det maksimale lydtrykket er lydens amplitude.

x

Når vi hører lyd, skyldes det altså at lufttrykket ved trommehinna varierer raskt omkring en gjennomsnittsverdi som vi kan kalle p0. Lufttrykket i et bestemt øyeblikk kaller vi p. Om p er større enn p0, vil trommehinna bøye seg innover i øret, men om p er mindre enn p0, vil trommehinna bøye seg utover. Differansen mellom p og p0 kalles lydtrykket.

Små lydtrykkverdier gir små bevegelser av trommehinna, og hjernen vår oppfatter det som svak lyd. Store lydtrykkverdier gir store bevegelser av trommehinna, og vi oppfatter det som sterk lyd. Eksempelet på neste side illustrerer at endringene i lufttrykket er ørsmå selv i lyd som vi oppfatter som kraftig.

13 Fysikk og teknologi

Et lydtrykk over ca. 2 Pa kan gi hørselsskader. Hvor store er variasjonene i lufttrykket ved trommehinna da?

331

EKSEMPEL

Løsning: Lufttrykket ved havoverflaten er ca. 100 kPa. I prosent utgjør lufttrykk­ variasjonene

2Pa p – p0 = 0,002 % = p0 100 · 103 Pa

Selv ved svært høye lydtrykk er altså endringene i lufttrykket ørsmå.

Lydtrykk

Grafene nedenfor viser lydtrykket som funksjon av tida for en stemme­ gaffel og for en menneskelig stemme. En stemmegaffel lager et lydtrykk som svinger som en sinusfunskjon med en bestemt frekvens, som regel 440 Hz (440 svingninger per sekund). Amplituden på en slik svingning avgjør det vi oppfatter som lydstyrke, mens frekvensen bestemmer tonehøyden. En sinussvingning på 440 Hz gir tonen A, mens en svingning på 330 Hz gir en lavere tone, tonen E.

Lydtrykk

Tid

Tid

Mer «vanlige» lyder består av en miks av svingninger med ulike frekvenser (altså ulike toner) som hele tida varierer i styrke, se den nederste grafen ovenfor.

Ved hjelp av digital signalbehandling kan vi regne ut hvilke frekvenser lydsignalet inneholder, og på den måten «simulere» prosessen som foregår inne i øret. I forbindelse med lydproduksjon er det vanlig å manipulere dette frekvensbildet for å få lyden til å høres mest mulig «lekker» ut. Men før vi ser nærmere på digital lydbehandling, må vi se litt nærmere på den veien lyden går fra lydkilde til digital lydfil.

Alle lydgrafene i kapitlet som lytteeksempler.

Grafisk framstilling av lydtrykket som funksjon av tida for lyden av en stemmegaffel (øverst) og overgangen mellom «s»- og «i»-lyden fra en stemme som sier «fysikk». Er det «s»- eller «i»-lyden som har de høyeste frekvensene? Er det «s»- eller «i»-lyden som har høyest amplitude?

332

13 Fysikk og teknologi

Opptak og sampling

God konsertlyd avhenger av gode mikrofoner. På scenen brukes gjerne den elektrodynamiske typen.

Analogt lydsignal

Hals Ring Tupp

«Minijack»-pluggen er svært mye brukt i forbindelse med overføring av analoge stereo lydsignaler. Den elektriske spenningen mellom tuppen og halsen er det analoge signalet til venstre høyttaler, mens spenningen mellom ringen og halsen er det analoge signalet til høyre høyttaler.

Fra lydtrykk til analogt lydsignal Helt siden telefonen ble oppfunnet i 1870-årene, har vi mennesker hatt behov for å fange opp lyd og gjøre lyden om til et elektrisk signal. Det gjøres ved hjelp av ulike typer transdusere som har fått fellesnavnet mikrofoner.

Vi skal bruke en elektrodynamisk mikrofon som eksempel, se figuren nedenfor til venstre. På samme måte som i øret fanges lyden opp ved at variasjoner i lydtrykket fører til bevegelse av en membran. Membranen er festet til en spole som er i et magnetfelt. Når spolen beveger seg, oppstår det fluksendringer i spolen, slik at det blir indusert strømmer i den elektriske lederen.

Resultatet er en elektrisk spenning som varierer i takt med endringene i lydtrykket. Vi har fått et elektrisk analogt lydsignal. (fra gresk: ana- = i samsvar med og logos = forhold, proporsjon).

Elektriske høyttalere er konstruert på samme måte som en elektrodynamisk mikrofon, se figuren nedenfor til høyre. Men i høyttaleren snus rekkefølgen. Det analoge lydsignalet sendes gjennom en spole som befinner seg i et kraftig magnetfelt. Dermed går det strømmer i spolen, og det vil virke en magnetisk kraft på lederne i spolen. Kraften vil være proporsjonal med strømmen i spolen og sette hele spolen i bevegelse i takt med det analoge lydsignalet.

Spolen er festet til høyttalermembranen, slik at høyttalermembranen også beveger seg. Høyttalermembranens bevegelser skaper variasjoner i lufttrykket rett ved membranen. Resultatet er en lydbølge som brer seg ut fra høyttaleren, og som svinger i takt med det analoge lydsignalet.

Lydbølger Membran Spole Magnet

Analogt lydsignal Spole

Lydbølger

Magnet

Analogt lydsignal

Membran

Figuren til venstre viser en prinsippskisse av en dynamisk mikrofon.

Lydbølgene skaper bevegelse i membranen, som igjen skaper induksjonsstrømmer i spolen. Figuren til høyre viser et tverrsnitt av en høyttaler. De elektriske strømmene gjennom spolen skaper en magnetisk kraft som beveger høyttalermembranen.

13 Fysikk og teknologi

333

Historisk bruk av analoge lydsignaler Telefonen er et eksempel på teknologi som skapte store sosiale ringvirkninger der den ble tatt i bruk.

Men analoge lydsignaler hadde potensial til å skape flere små og store sosiale revolusjoner.

Lyd som elektrisk signal åpnet muligheten til å kringkaste lyd over store avstander. Det analoge lydsignalet kunne overføres ved hjelp av usynlige radiobølger og fanges opp igjen et helt annet sted!

Utbredelsen av radiokringkasting skjøt for alvor fart i 1920-årene.

En annen revolusjon som ble mulig takket være elektriske lydsignaler, var at man kunne lagre lyd og spille den av seinere på en mye enklere måte enn tidligere. Det la grunnlaget for den enorme framveksten av LP-plater og båndspillere fra 1950årene. Med utbredelsen av båndspillere kunne nå hvem som helst gjøre sine egne opptak. Bånd­ spillerne ble utover i 1970-årene erstattet av kassettspillere.

LP-plata var også – sammen med elektriske ­forsterkeranlegg – en viktig forutsetning for framveksten av en helt ny populærmusikk-kultur. Det dukket opp helt nye musikkgenrer som RnB, rock, pop, hip-hop, osv., og denne raske utviklingen av nye musikkuttrykk og -genrer pågår fortsatt. Uten forskningen på elektromagnetisme som for alvor kom i gang omkring 1820, ville virkelig verden ha vært annerledes – til og med musikksmaken din!

Problemet med lydbåndene er at de analoge lydsignalene taper seg hver gang de blir overført fra ett lydbånd til et annet, og de taper seg under lagring.

LP-plater av vinyl har lengre holdbarhet, men de slites litt for hver avspilling i tillegg til at det kommer litt ekstra støy når de blir avspilt på grunn av støv og vibrasjoner. LP-platene er dessuten store og tunge forhold til lagringskapasiteten. Da CD-platene gjorde sitt inntog i slutten av 1980årene tok det derfor ikke lang tid før de «gamle» lagringsmediene var utkonkurrert. CD-platene var små og lette, og viktigst: Med den digitale teknologien kunne den innspilte lyden lagres, spilles av og kopieres uten kvalitetstap.

«Rock Around the Clock» regnes som den første sangen som raskt nådde verdensvid utbredelse takket være de nye musikkmediene.

Digitalisering av analoge signaler Som nevnt består et analogt signal av kontinuerlige variasjoner i den elektriske spenningen mellom to ledere. For lydsignaler varierer spenningen i takt med lydtrykket. Det betyr at en grafisk framstilling av et analogt lyd­ signal vil ha samme form som en grafisk framstilling av selve lydtrykket.

Digitalisering består i å gi tallverdier til et slikt analogt signal slik at lyden etterpå kan lagres og behandles digitalt (som tall, altså). Men hvordan kan en sammenhengende graf gjøres om til tall?

Sampling er den praktiske og rimelige løsningen på dette problemet.

Sampling vil si at utslaget til det analoge signalet måles og tallsettes i bestemte øyeblikk med regelmessige tidsintervaller. Resultatet er en samling målepunkter som følger den analoge grafen. Antall målepunkter per tid kalles samplingsfrekvensen.

Lyden blir altså lagret som en rekke tallverdier, sammen med en spesifikasjon av samplingsfrekvensen.

Sampling

Samplingsfrekvens

334

13 Fysikk og teknologi

32 767 0 –32 768

0,849

0,850

0,851

0,852

0,853

0,854

0,855

0,856

0,857 t/s

… 19751 14147 9112 11774 16461 14711 17368 16221 4459 –3770 –4638 –5434 –866 …

Digitalisering av et analogt lydsignal. Den sammenhengende grafen illustrerer det analoge lydsignalet, mens prikkene illustrerer digitaliseringspunktene. Under grafen ser vi et utdrag av den resulterende tallrekken, som beskriver utslaget y i bestemte øyeblikk som et tall mellom −32 768 og 32 767. Samplingsfrekvensen i dette eksempelet er 20 kHz. Det vil si at det er 50 μs mellom hvert punkt.

Figuren ovenfor viser et lite utsnitt av det analoge lydsignalet fra side 000.

Vi ser også digitale målepunkter markert som prikker på grafen. Tabellen under grafen viser et lite utdrag av de avleste verdiene.

Klarer du å se hvilket tidsintervall på grafen tallene stammer fra?

Når den digitaliserte lyden skal spilles av, må det analoge signalet rekonstrueres fra tallene slik at det kan sendes til høyttalerne og drive bevegelsene i høyttalermembranen. Det gjøres ved hjelp av en innretning som lager et analogt signal basert på målepunktene, litt på samme måte som når du tegner en graf for hånd gjennom punkter med kjente koordinater. For at det rekonstruerte analoge signalet skal være likt det opprinnelige, må målepunktene ligge tilstrekkelig tett. Samplingsfrekvensen 20 kHz som er brukt i eksempelet her, er tilstrekkelig for god gjengivelse av talelyd. Grafen nedenfor viser de digitale målepunktene sammen med det rekonstruerte analoge lydsignalet. Vi ser at dette signalet er tilnærmet likt originalsignalet øverst på denne siden.

En samplingsfrekvens på 20 kHz er tilstrekkelig til å rekonstruere et analogt talelydsignal uten feil. Øverste figur viser målepunktene, nederste figur viser det rekonstruerte analoge signalet.

32 767 0 –32 768

0,849

0,850

0,851

0,852

0,853

0,854

0,855

0,856

0,857 t/s

0,849

0,850

0,851

0,852

0,853

0,854

0,855

0,856

0,857 t/s

32 767 0 –32 768

Aliasing

Hvis samplingsfrekvensen er for lav, vil målepunktene «hoppe over» de raskeste endringene i signalet. Figuren på neste side viser et eksempel på dette.

Når signalet siden skal rekonstrueres, får vi et signal der de raske svingningene mangler. De høyeste frekvensene i lydsignalet blir altså borte.

Dette fenomenet kalles aliasing.

13 Fysikk og teknologi

32 767 0 –32 768

0,849

0,850

0,851

0,852

0,853

0,854

0,855

0,856

0,857 t /s

0,849

0,850

0,851

0,852

0,853

0,854

0,855

0,856

0,857 t /s

0,849

0,850

0,851

0,852

0,853

0,854

0,855

0,856

0,857 t /s

32 767 0 –32 768 32 767 0 –32 768

Eksempel på aliasing. Det analoge signalet er det samme som før, men samplingsfrekvensen er 2,5 kHz. Det rekonstruerte analoge signalet (nederst) mangler de raskeste variasjonene.

Dette tilsvarer at de høyeste frekvensene i lyden faller bort. Talelyd høres da mer «ullen» ut.

Om vi sammenlikner grafen ovenfor med grafen nederst på forrige side, ser vi nettopp at signalet har «mistet» de raskeste svigningene.

Det kan vises matematisk at for å unngå aliasing må samplingsfrekvensen være minst dobbelt så stor som den høyeste frekvensen i det analoge signalet. Den høyeste frekvensen vi kan oppfatte med øret, ligger omkring 15−20 kHz. Vanlig CD-lyd har en samplingsfrekvens på 44,1 kHz, akkurat tilstrekkelig til å kunne gjengi frekvenser opp til 20 kHz-området.

Oppløsning og dynamisk område For at det rekonstruerte analoge signalet skal være likt det opprinnelige, må oppløsningen være tilstrekkelig. Oppløsningen er et uttrykk for hvor mange forskjellige tallverdier som er mulige. Mange mulige tallverdier gjør at målepunktene treffer den riktige verdien nokså nøyaktig, mens få tallverdier gjør at målepunktene ikke treffer den riktige verdien så bra. Grafene nedenfor viser to eksempler på det siste.

8 4 0 –4 –8 0,849

0,850

0,851

0,852

0,853

0,854

0,855

0,856

0,857 t /s

0,849a

0,850

0,851

0,852

0,853

0,854

0,855

0,856

0,857 t /s

4 2 0 –2 –4

Digitalisering med dårlig oppløsning gjør at målepunktene bommer på grafen. Øverste graf illustrerer 4 bits oppløsning, mens nederste graf illustrerer 3 bits oppløsning.

Oppløsning

335

336

13 Fysikk og teknologi

Kvantiseringsfeil

En kompakt Blu-ray-spiller.

Den feilen vi gjør når vi setter tall på utslaget til det analoge signalet, kaller vi kvantiseringsfeilen. Hvis kvantiseringsfeilen er for stor, blir den digitale tallrekken «kantete». Kantene fører til støy i det rekonstruerte analoge ­signalet.

Oppløsningen i lydsignalet kan uttrykkes ved hvor mange bits hvert lagret målepunkt består av. (Antall bits: antall siffer i et tall i totallssystemet.)

På CD-er og i de foregående eksemplene er målepunktene lagret med 16 bits. Vi sier at bitdybden er 16. Det tilsvarer 216 = 65 536 forskjellige mulige verdier. Det viser seg at kvantiseringsfeilene som følger av dette gir et støynivå som det menneskelige øret ikke er i stand til å oppfatte. En bitdybde på 8 bits gir bare 28 = 256 mulige verdier. For lydfiler gir da kvantiseringsfeilene hørbar støy. I det øverste eksempelet på forrige side er bitdybden 4 bits (16 mulige verdier), i det nederste 3 bits (8 mulige verdier).

Digitalisert lyd med større bitdybde enn 16 og høyere samplingsfrekvens enn 44,1 kHz er etter hvert blitt vanlig. En av fordelene med å øke lydkvaliteten utover det hørbare, er at man får redusert avrundingsfeilene i beregningene i forbindelse med digital lydbehandling (på samme måte som når du bruker to ekstra siffer i mellomsvar når du regner oppgaver). Avrundingsfeil gir støy i signalet på samme måte som kvantiseringsfeil.

Ulempen er at større bitdybde og høyere samplingsfrekvens gir lydfiler som krever mer lagringsplass. Blu-ray og DVD-teknologiene åpner for lydfiler med en bitdybde på opptil 24, og en samplingsfrekvens på opptil 192 kHz.

Klipping

Hvis det analoge signalet inneholder utslag som er sterkere enn det som tilsvarer høyeste/laveste mulige tallverdi, får vi det som kalles klipping, se figuren nedenfor. I områdene der utslaget i det analoge signalet er for sterkt, få vi bare den maksimale digitale verdien uansett. For lydfiler gir dette en karakteristisk forvrengning av lyden når det analoge signalet seinere rekonstrueres.

32 767 0 –32 768 0,849

0,850

0,851

0,852

0,853

0,854

0,855

0,856

0,857 t /s

Eksempel på klipping. I områdene der det analoge signalet er for sterkt, får vi samme maksimale digitale verdi.

Dynamisk område

Det svakeste signalet som digitaliseringssystemet vårt kan registrere, er det som gir målinger ett talltrinn opp eller ned, mens det sterkeste signalet er det som gir fullt negativt og positivt utslag på tallskalaen. Forholdet mellom energien til det sterkeste og det svakeste signalet systemet vårt kan registrere, kalles systemets dynamiske område.

13 Fysikk og teknologi

337

Digital signalbehandling Når et digitalt signal først er digitalisert og lagret, fins det et utall mulig­ heter til å manipulere dette signalet. Digital signalbehandling er en uunnværlig del av alt fra medisinsk avbildning, profesjonell lydredigering og drift av store industrimaskiner til mobilen, skrittelleren og musikkspilleren din.

Seinere i dette kapittelet skal vi se nærmere på medisinsk avbildning.

Nå skal vi først nevne noen eksempler på digital redigering av lyd.

Sterkt lydsignal.

Multiplikasjon Vi har sett på hvordan en digital lydfil består av en rekke med tall som til­ svarer utslaget til det analoge lydsignalet ved ulike tidspunkter. Hva skjer om vi ganger alle disse tallene med 0,5? Utslaget blir da halvparten så stort. Som vi nevnte tidligere i dette kapittelet, oppfatter vi mindre utslag i lydtrykket som svakere lyd. En multiplikasjon av alle tallverdiene med 0,5 oppfatter vi altså som en reduksjon av lydvolumet. Multipliserer vi med 2, øker volumet.

Med andre ord er multiplikasjon med en faktor det samme som endring av lydvolumet. Den lydeffekten som kalles «ton inn/ton ut», er et eksempel på det, se figuren i margen. I området der lydstyrken skal endres, ganges hvert sampel med en faktor mellom 0 og 1. Faktoren ligger nær 1 der lydnivået er normalt, og minker så mot 0 i området der lyden nesten er borte.

Addisjon Hva skjer når to digitale lydfiler adderes? Eksempelet i margen viser lyden av fysikklæreren og en bit fra «Take on Me» av popgruppen a-ha. Nederst ser vi at resultatet av addisjonen er en kombinasjon av de langsomme svingningene fra fysikklærerens stemme og de raske svingningene fra skarp­ trommen til a-ha. Grafen gir oss lite informasjon, men om vi lytter til ­resultatet, hører vi en blanding av de to lydene. Dette kalles «miksing» på lydspråket. I digital lydbehandling er altså miksing en enkel addisjons­ operasjon. Som regel må også volumet til hvert lydspor reguleres i forbindelse med miksing slik at styrkeforholdet mellom de ulike lydene blir slik vi ønsker.

Frekvensanalyse Mange metoder for fjerning av bakgrunnsstøy utnytter at den støyen vi ønsker å fjerne, har bestemte frekvenser. Disse lydene kan vi ta bort ved å gjøre en frekvensanalyse av rein støylyd, finne ut hvilke frekvenser støyen inneholder, og så fjerne disse fra hele lydsporet.

I profesjonell lydbehandling er det ofte ønskelig å manipulere lyden basert på frekvensinformasjon. Vi ønsker for eksempel å redusere eller øke lydnivået for visse frekvensområder. Dette kalles frekvensfiltrering.

Forskjellige teknikker for kompresjon av lyd bruker også frekvens­ analyse. I MP3-komprimering, som er det vanligste formatet for lydfiler, utnyttes frekvensanalysen til å ta bort frekvenser som av ulike årsaker er vanskelige å høre for det menneskelige øret. Dermed spares plass i lydfilen.

Eksempel på lyd som «toner ut».

Utslagene på grafen reduseres gradvis ned til null.

Eksempel på miksing av to lydspor. Øverst er et utdrag fra «Take on Me» av popgruppen a-ha, i midten «y»-lyden fra fysikklæreren som sier «fysikk». Nederste graf viser summen.

338

13 Fysikk og teknologi

Graf som viser en frekvensanalyse av «fysikk»-opptaket. Høye verdier for en frekvens betyr at lyden inneholder mye av denne frekvensen.

10

30

100

300

1000

3000

10 000

30 000

Hz

I dag er en rekke programmer for lydredigering gratis tilgjengelige på Internett. Du kan selv prøve ut digital lydredigering i en av labøvingene på RSTnett.

Ultralydavbildning Ultralyd Infralyd

Ultralydbølger som blir sendt inn i kroppen, blir reflektert fra grenseflater mellom forskjellige kroppsvev. Ved hjelp av de reflekterte signalene kan en datamaskin lage et bilde av indre kroppsdeler, f.eks. av et foster.

De fleste mennesker kan høre lyd som har frekvenser i området fra 20 Hz til 20 kHz. Lyd med høyere frekvens enn 20 kHz kalles ultralyd, mens lyd med ­lavere frekvens enn 20 Hz blir kalt infralyd. Mange dyr kan høre ultralyd, f.eks. hunder og flaggermus. Noen store dyr, f.eks. elefanter, kan høre ­infralyd.

Vi skal nå se på hvordan vi kan lage bilder av indre organer ved å sende ultralyd inn i kroppen. Metoden likner på den som flaggermus, hvaler og andre dyr bruker når de skal «se», og på de teknologiene vi mennesker bruker i blant annet sonarer (ekkolodd). I alle disse tilfellene utnytter vi at lydbølger blir reflektert. I ultralyd­avbildning er det slike refleksjoner (ekko) som blir brukt til å lage bildet.

Ultralydavbildning kan brukes til å undersøke hjertet, nyrene og andre bløte organer. Men ultralydavbildning blir mest brukt for å lage bilder av foster under svangerskapet.

13 Fysikk og teknologi

Ultralydbølger som går inn i kroppen, blir delvis reflektert ved grenseflaten mellom to vevstyper fordi farten har forskjellig verdi i forskjellige vevstyper. Tabellen i margen viser lydfarten i luft, i vann og i noen vevstyper. Jo større fartsfor­skjellen er, desto sterkere er det reflekterte signalet.

Av tabellen ser vi at fartsendringen er svært stor ved over­gangen fra luft til kroppsvev. For å sikre at det meste av lydenergien ved ultralydskanningen går inn i kroppen, blir en gelé smurt på huden, slik at det ikke er luft mellom ultralydhodet og huden.

Ultralydbølgene blir produsert i en transduser som vi kaller ultralydhodet.

Der blir elektriske signaler omformet til lydbølger med høy frekvens (ultralyd), vanligvis i området 1–15 MHz. Ultralydhodet blir holdt mot huden utenfor det organet som skal avbildes, slik at lyden forplanter seg gjennom huden og inn i vevet. Se figuren nedenfor.

Ultralydhode

Ultralydbølger

Knokkel

Organ

Hud

Reflektert signal

Ultralydhodet sender ut mange kortvarige lydpulser i ulike retninger.

Lydsignalet går gjennom kroppen og blir reflektert fra grenseflater mellom ulike typer vev. Ultralydhodet mottar de reflekterte signalene og omformer dem til elektriske signaler. Ultralydhodet er altså både sender og mottaker, akkurat som bevegelsessensoren på fysikklaboratoriet.

De analoge lydsignalene blir digitalisert, og ved å analysere disse signalene kan datamaskinen regne ut posisjonen til de reflekterende flatene og gjenkjenne ulike vevstyper. Informasjonen brukes til å tegne et bilde av pasientens indre. Under ser vi to ultralydbilder av fostre basert på litt ulike teknikker.

Noen vanlige lydfarter Stoff

Fart/(m/s)

Luft

330

Vann

1500

Blod

1570

Hjerne

1540

Fett

1450

Bløtt vev

1540

Muskelvev

1590

Bein

4080

339

340

13 Fysikk og teknologi

Ultralyd med dopplereffekt Når en lydkilde beveger seg mot oss, hører vi en høyere tone (frekvens) enn når lydkilden er i ro.

Hvis lydkilden beveger seg vekk fra oss, blir frekvensen lavere. Dette kjenner vi fra ambulansebiler­: Når ambulansen nærmer seg med sirenen på, er tonen høy, og den faller med en gang ambulansen har passert. Dette fenomenet kaller vi doppler­ effekten.

Når lydbølger blir reflektert fra en blodcelle i bevegelse, endrer frekvensen seg. Hvor mye frekvensen endres, avhenger av farten til blodcellen.

Ved å måle frekvensforandringen til det reflekterte ultralydsignalet kan vi altså bestemme farten til blodceller. Hvis det er en innsnevring i en blodåre, fører det til at blodet må strømme forbi innsnevringen med større fart. (I verste fall kommer ikke blodet igjennom.) Ved hjelp av dopplereffekten kan vi altså finne ut om det er innsnevringer i en blodåre, og vi kan finne ut hvor innsnevringen er.

Bildet nedenfor til venstre viser dopplerultralydundersøkelse av halsen til en mann. Bildet til høyre viser et øyeblikksbilde fra en slik undersøkelse. Fargene indikerer forskjellig gjennomstrømningsfart og strømningsretning for blodet.

Røntgenundersøkelser Høsten 1895 utførte den tyske fysikeren Wilhelm Röntgen eksperimenter som førte til at han oppdaget en ukjent form for stråling. Röntgen kalte strålene X-stråler. I engelsktalende land blir dette navnet (X-rays) brukt den dag i dag. Vi kaller strålingen for røntgenstråling. Den første nobel­ prisen i fysikk gikk til Röntgen (1901) for oppdagelsen av røntgenstråler.

Gjennom en rekke eksperimenter undersøkte Röntgen og andre fysikere egenskapene til den ukjente strålingen. Her er noen av resultatene: • Strålingen oppstår når elektroner med stor energi treffer et metall.

• Strålingen er svært gjennomtrengende. Den går gjennom nesten alle materialer.

• Den blir ikke avbøyd av elektriske eller magnetiske felt.

• Strålingen virker ioniserende. Den sverter fotografiske plater og den gir fluorescens i mange stoffer.

13 Fysikk og teknologi

341

Først 17 år etter Röntgens oppdagelse av røntgenstrålene og 11 år etter at Röntgen hadde fått nobelprisen, i 1912, kunne den tyske fysikeren Max von Laue slå fast at røntgenstråling er elektromagnetisk stråling med svært kort bølgelengde, det vil si fotoner med svært høy frekvens og energi.

Röntgens oppdagelse av den gjennomtrengende strålingen vakte enorm oppmerksomhet – nesten oppstyr – blant lek og lærd verden over. Det viste seg at strålingen kunne trenge gjennom kroppen vår og ble bare stoppet av skjelettet. Den kunne altså brukes til å ta bilder av skjelettet. Allerede seks uker etter at oppdagelsen var gjort kjent, begynte leger å ta røntgenfoto­ graferingen i bruk, og røngtendiagnostikk fikk en enorm betydning for utviklingen i medisinen. Etter hvert ble teknikken videreutviklet, og fra 1960-årene kunne en ta i bruk røntgenstråler i såkalte CT-skannere. Før vi ser nærmere på hvordan røntgenstråling brukes i medisinsk avbildning, skal vi studere røntgenrøret. Det er apparatet som produserer selve røntgen­ strålingen.

Det aller første røntgenbildet av hånden til Röntgens kone Anna.

Røntgenrøret Figuren nedenfor til venstre viser en prinsippskisse av et røntgenrør. I et røntgenrør bruker vi en spenningskilde med svært høy spenning, 10–200 kV, som vi kopler til to elektroder. Mellom elektrodene er det vakuum.

Katoden (den negative elektroden) K er en glødetråd som varmes opp, og den gir dermed fra seg elektroner. Anoden (den positive elektroden) A er en metallplate. På grunn av den høye spenningen mellom katoden og anoden virker det sterke elektriske krefter på elektronene. Siden elektronene er i vakuum, kan de fritt akselerere mot anoden.

–

U

–U +

+ Lufttom beholder

K

Roterende skive

A K

Elektronstråle

Kjøling

Utsendt røntgenstråling

Elektronstråle

A Utsendt røntgenstråling

Arbeidet som de elektriske kreftene gjør på elektronene under akselerasjonen, går over til kinetisk energi. Elektronene treffer altså metallplata med svært høy fart. Det blir da sendt ut røntgenstråling fra plata.

Selv om en del av elektronenes kinetiske energi går over til røntgen­ stråling, går størstedelen over til varmeenergi. For å forhindre at temperaturen blir for høy der elektronstrålen treffer anoden, er anoden vanligvis en roterende metallplate. Dessuten blir anoden avkjølt med olje.

Røntgenrør med roterende anode og oljeavkjøling. Den venstre delen viser en skisse med koplingsskjema mens den høyre viser flere detaljer i apparatet.

342

13 Fysikk og teknologi

Vi skal nå finne et uttrykk for frekvensen til røntgenstrålingen, og vi tar da utgangspunkt i spenningen som akselererer elektronene. Vi bruker definisjonen av spenning, UKA = WKA/q. Da vet vi at arbeidet WKA som blir utført når elektronene med ladning q blir akselerert av spenningen UKA mellom katoden til anoden, er WKA = qUKA Den kinetiske energien Ek0 som elektronene har idet de kolliderer med anoden, er bestemt av arbeid–energi-setningen (elektronene blir akselerert fra tilnærmet ro ved katoden): WKA = DEk der DEk = Ek, slutt – Ek, start qUKA = Ek0 – 0 Ek0 = qUKA

Bremsestråling

Når elektronene treffer plata, blir de bremset ned gjennom vekselvirk­ ninger (støt) med atomene. Det vil si at elektronene blir akselerert. Og når ladde partikler blir akselerert, sender de ut elektromagnetisk stråling. Slik stråling kalles bremsestråling.

I metallet kan vi forstå denne prosessen slik: Et elektron med den kinetiske energien Ek0 trenger inn i metallet og vekselvirker med en atomkjerne der. Elektronet blir bremset ned til den kinetiske energien Ek, og et foton med energien Ef = Ek0 – Ek blir sendt ut. Elektronet kan vekselvirke med kjernen på flere måter, eller med flere kjerner etter tur. Resultatet er ett eller flere fotoner med energi fra null opp til qUka. Ett enkelt elektron kan altså ved vekselvirkning med ett atom miste hele sin kinetiske energi på en gang. Når hele energien blir sendt ut som elektromagnetisk stråling, får vi et foton med den største fotonenergien Ef maks, som røntgenstrålingen kan få med den spenningen vi bruker: Ef maks = Ek0

der Ef maks = hfmaks og Ek0 = qUKA

hfmaks = qUKA Vi får altså en øvre grense for frekvensen, fmaks, gitt ved denne likningen.

Maksimalfrekvensen i et røntgenrør

Sammenhengen mellom den største frekvensen, fmaks, til røntgen­ strålingen og akselerasjonsspenningen, U, til et røntgenrør er gitt ved

hfmaks = qU

der q er elementærladningen

Til den største frekvensen svarer en minste bølgelengde som vi kaller lmin.

13 Fysikk og teknologi

Spenningen mellom elektrodene i et røntgenrør er 20 kV. a) Beregn den kinetiske energien som elektronene har når de treffer anoden. b) Beregn den største frekvensen til røntgenstrålingen og den tilhørende ­minste bølgelengden.

EKSEMPEL

Løsning: a) Den kinetiske energien Ek0 til elektronene når de treffer anoden, er (vi bruker at farten ved katoden er tilnærmet null) Ek0 = qU

= 1,60 · 10–19 C · 20 · 103 V = 3,200 · 10–15 J = 3,2 fJ

b) Vi finner den største frekvensen av likningen hfmaks = qU der q er elektronets ladning 1,60 · 10–19 C:

qU

fmaks =

h 1,60 · 10–19 C · 20 · 103 V = 4,826 · 1018 Hz = 4,8 · 1018 Hz

= –34 6,63 · 10 Js

Den tilhørende minste bølgelengden finner vi da av bølgeformelen c = fl: c lmin =

fmaks

=

343

3,00 · 108 m/s = 6,2 · 10–11 m 4,826 · 1018 Hz

Dette er 1/10 000 av bølgelengden til rødt lys.

Røntgenfotografering Røntgenfotografering blir brukt i svært mange sammenhenger. Mest kjent er nok røntgenbilder på fagfeltene medisin og tannmedisin. Figuren på neste side viser en prinsippskisse av et røntgenapparat.

Røntgenrøret sender røntgenstråler igjennom pasienten. Kroppsvev med stor tetthet, f.eks. bein, absorberer røntgenstråling bedre enn bløtt vev med mindre tetthet, som muskler og indre organer. Siden røntgenstrålingen går forholdsvis uhindret igjennom det bløte vevet, vil røntgenkameraet registrere mye stråling fra disse områdene. Dette blir markert som mørke områder på røntgenbildet. Bein, som stopper røntgenstrålingen, gir lyse områder på bildet.

Røntgenbilde av brystkassen.

344

13 Fysikk og teknologi

Røntgenrør

Røntgenkamera

Bløte organer, f.eks. magesekken og tarmene, kan vi likevel fotografere ved å føre kontrastmidler inn i organene. Kontrastmidler er stoffer med stor tetthet som stopper røntgenstrålingen, f.eks. barium.

CT-skanning I CT-skanning blir røntgenstråler brukt til å lage et bilde av et snitt gjennom kroppen. CT står for computerised tomography, dvs. datatomografi (fra gresk: tomos = snitt).

Bildet viser en radiograf som styrer CT-skanneren.

Røntgenrør

Bevegelig bord

Prinsipp­skisse av en CT-skanner.

Detektorer

13 Fysikk og teknologi

I CT-skanneren – som ved røntgenfotografering – er røntgenrøret og en rekke detektorer som registrerer røntgenstrålene, plassert rett overfor hverandre.

Pasienten ligger slik at røntgenstrålene går gjennom det organet som skal avbildes. Se figuren på forrige side. Ved hjelp av skiver av bly blir røntgenstrålene avgrenset til en strålebunt som går gjennom et tynt sjikt (snitt) av pasienten. Røntgenrøret og detektorene dreies rundt slik at snittet gjennom pasienten blir fotografert fra mange forskjellige vinkler. Datamaskinen lager så et todimensjonalt bilde basert på måledataene. Ved å gjenta prosedyren flere ganger mens pasienten flyttes gjennom skanneren, får vi bilder av en rekke snitt, og datamaskinen kan kombinere disse bildene til et tredimensjonalt bilde.

345

CT-bilde av lungene.

Figuren i margen viser et bilde som er tatt med en CT-skanner.

PET-skanning PET er en forkortelse for positron-emisjons-tomografi. PET-skanning blir blant annet brukt til kreft­ diagnostikk og til å undersøke hvor i hjernen aktiviteten er spesielt stor når vi utfører en bestemt oppgave.

figur nedenfor. Ved hjelp av en datamaskin blir det så konstruert et bilde som viser konsentrasjonen av sukkermolekyler i ulike posisjoner i vevet, se bildet nedenfor.

Noen kunstige radioaktive nuklider som oksygen-15 og fluor-18 sender ut positiv betastråling, dvs. positroner. I den vanligste formen for PET-undersøkelse tilsettes blodet sukkerliknende molekyler som inneholder et fluor-18-atom. Cellene i kroppen bruker sukkermolekyler som brensel, og de klarer ikke å skille de «falske» molekylene fra de ekte. Derfor vil det hope seg opp med fluor-18-atomer der de mest aktive cellene i kroppen befinner seg.

PET-skanning brukes mye i kreftdiagnostikk.

Levende svulstvev har stor aktivitet og ses tydelig på bildene. Slik kan vi få viktig informasjon om svuls­ tens posisjon, om spredning og om virkningen av behandlingen.

Når et positron blir sendt ut fra en fluorkjerne inne i kroppen, treffer det med en gang et elektron og annihilerer (markert med rød prikk på figuren nedenfor) til to fotoner. De to fotonene går alltid i stikk motsatte retninger (langs den stiplede linja på figuren).

Fotonene blir registrert av detektorer som er plassert i en ring rundt undersøkelsesområdet, se fotografi og

Fotondetektorer

Svakheten med PET-skanning er at bildet ikke viser detaljer i bløtvevet rundt kreftsvulsten, slik at det er vanskelig å lokalisere funnet. Dette er bakgrunnen for at PET-skannere nå blir levert som kombinerte PET/CT-skannere. De to skannerne er satt sammen slik at de utgjør én tunnel som pasienten ligger i.

Pasienten kan da raskt flyttes fram og tilbake mellom de to skannerne uten å skifte stilling. På den måten kan en legge de to bildene oppå hverandre og få et nøyaktig bilde av hvor kreftcellene er. Se bildet nedenfor og på side 328.

Bildet fra en PET/CT-skanner viser en spredning av ­kreft i livmoren. Områdene som er angrepet, er de som er mørke.

346

13 Fysikk og teknologi

MR-avbildning Hva er MR-avbildning?

MR-avbildning er i dag den metoden som gir de beste bildene av kroppens indre. Metoden brukes i forbindelse med diagnostisering av alt fra kreft og slag til nerveskader og senebetennelser. MR er en forkortelse for magnetisk resonans. Magnetisme spiller en svært viktig rolle i MR-apparatet.

Under en MR-undersøkelse ligger pasienten i en sylinder slik figuren nedenfor viser. Et svært kraftig homogent magnetfelt, B0, dannes inne i pasientsylinderen av en spole som vi kaller hovedspolen. Retningen til B0 er innover i sylinderen. Denne retningen definerer vi som z-retningen i et tredimensjonalt koordinatsystem, se figuren nedenfor.

For at et MR-apparat skal gi tilstrekkelig gode bilder, må magnet­ feltstyrken være omkring 1 tesla. Så kraftige magnetfelt krever store strømstyrker i hovedspolen. Til MR-avbildning brukes derfor som regel hovedspoler av superledende materiale som kjøles med flytende helium.

Når du skal gjennomføre en MR-undersøkelse, er helsepersonellet nøye med at du verken har kredittkort, gjenstander av metall eller elektronikk på kroppen. Årsaken er at det er et sterkt magnetfelt i og omkring MR-apparatet.

N

En annen helt nødvendig komponent i et MR-apparat er gradientspolene, som er egne spoler som skaper små variasjoner i magnetfeltet i ulike retninger. Det totale magnetfeltet B i et punkt blir dermed vektorsummen av bidragene til magnetfeltet fra hovedspolen og fra gradientspolene. z-gradientspolene (se figuren) lager svake magnetfelt som sørger for at magnetfeltet øker jevnt i styrke langs z-retningen. x- og y-gradientspolene sørger for gradvise endringer i magnetfeltstyrken i x- og y-retning. Med disse spolene kan en altså lage litt forskjellige verdier for magnetfeltet i forskjellige punkter i pasientens kropp og variere disse verdiene. Vi skal snart se hvorfor dette er nyttig.

S

En strømspole skaper et magnetfelt som er tilnærmet homogent inne i spolen.

y z

z-gradientspole y-gradientspole Pasient x-gradientspole Sende- og mottakerspoler Ledningstråder i hovedspole Hovedspole

x

Under en MR-undersøkelse ligger pasienten inne i et sterkt, tilnærmet homogent magnetfelt.

Feltet skapes av en hovedspole som er delt opp i segmenter (fire i denne illustrasjonen) for å gjøre det homogene området stort nok. Gradientspolene skaper små variasjoner i magnetfeltstyrken. Egne spoler sender og tar imot elektromagnetiske signaler til og fra pasienten.

13 Fysikk og teknologi

Senderspolene befinner seg rett ved undersøkelsesområdet. De fungerer som antenner som sender radiobølger inn i pasienten. Radiobølger er elektromagnetiske bølger med frekvenser i MHz-området. Radiobølgene sendes ut i korte støt som varer noen få millisekunder, såkalte RF-pulser (RF for radiofrekvens, puls fordi den er kortvarig).

Umiddelbart etter hver RF-puls avgir kroppen et radiosignal som respons. En radiobølge består av magnetfelt som endres raskt, så det induseres strømmer i mottakerspolene. Disse strømmene svinger i takt med radiosignalet. Vi får altså et analogt elektrisk signal som vi for enkelhets skyld kaller MR-signalet.

I praksis er det ofte det samme spolesystemet som brukes til både å sende og motta, se figuren på forrige side.

MR-signalene blir digitalisert og de digitale verdiene danner grunnlag for å beregne bildet. På samme måte som i digital lydbehandling må både oppløsningen og samplingsfrekvensen være tilstrekkelig høy for å unngå kvanti­ seringsfeil. For å lage MR-bildet, utfører datamaskinen svært mange regne­ operasjoner. Det kreves derfor høy presisjon for å unngå at avrundingsfeil forplanter seg og gir feil i bildet.

Hvordan oppstår MR-signalet?

Kroppen er full av vann og organiske forbindelser som inneholder hydrogen. Det er i hydrogenkjernene i kroppen MR-signalet oppstår.

En hydrogenkjerne består som kjent av ett proton. Protonet har en positiv ladning lik elementærladningen. I tillegg har hvert proton en egenskap som kalles spinn. Navnet har denne egenskapen fått fordi vi kan forstå mye av protonets spinnegenskaper ved å tenke oss protonet som en kule som spinner rundt sin egen akse.

347

Utdrag av en RF-puls og et MR-signal.

Legg merke til at MR-signalet blir gradvis svakere.

Veien fra MR-signalene blir registrert til ferdig MR-bilde går gjennom svært kompliserte beregninger.

348

13 Fysikk og teknologi

N S

Ladninger som beveger seg, skaper magnetfelt både i strømsløyfer i den makroskopiske verden og i protoner med spinn i den mikroskopiske partikkelverdenen.

Fra kapittel 8 husker vi at det oppstår et magnetfelt omkring en strømførende sløyfe fordi ladninger (elektroner) beveger seg i sløyfen. Nordpolen finner vi ved hjelp av høyrehåndsregel nr. 2, se figuren i margen. Siden protonet er positivt ladd, kan vi tenke oss at et roterende proton inneholder elektriske ladninger som beveger seg i ring slik som i en spole. Protonets spinn fører altså til at protonene opptrer som «minimagneter».

I et ytre magnetfeltet B0 vil minimagneter stille seg inn slik at den magnetiske nordpolen peker i magnetfeltretningen. Kvantemekanikken forteller oss at bildet er mer komplisert for protoner. For å forklare noe av det som skjer bruker vi et energidiagram se. Se diagram øverst på neste side.

Uten et ytre magnetfelt har alle protonene samme energi uansett spinn­ retning. I et ytre magnetfelt oppstår det to energinivåer for protonene: ett nivå for spinn som er rettet inn etter magnetfeltet («spinn opp»), og ett nivå for spinn som peker i motsatt retning («spinn ned»). På figuren på neste side er de to spinntilstandene markert som en pil som peker opp eller ned.

E ∆E

Uten ytre magnetfelt er det ikke noen forskjell i energinivå mellom ulike spinntilstander for protonene

Protonene kan endre spinntilstand ved å absorbere eller avgi energi

I et ytre magnetfelt er det to mulige energinivåer for protonenes spinn.

Avstanden ∆E mellom energinivåene er proporsjonal med mangetfeltstyrken B0

Man kunne tenke seg at alle protonene rettet seg inn etter magnetfeltet på samme måte som magneter gjør det, med andre ord at alle protonene var i spinn opp-tilstanden. Men i kvanteverdenen er det ikke slik: noen spinn opp-tilstander vil spontant absorbere energi fra omgivelsene og eksiteres til en mer energirik spinn ned-tilstand. Men protoner i spinn ned-­tilstanden vil etter en tid spontant avgi energi og falle tilbake til spinn opp-tilstanden.

Det oppstår en likevekt der det er flest protoner i tilstanden med lavest energi.

Om vi kunne ta et øyeblikksbilde av protonene i MR-pasienten, ville det kanskje se slik ut. Spinnaksen til ulike protoner peker i ulike retninger, men spinnene fordeler seg på to energinivåer, markert med pil opp eller pil ned på figuren.

Det viser seg at energiforskjellen ΔE mellom spinn opp- og spinn ned-­ tilstanden er proporsjonal med magnetfeltstyrken B. Et foton som har nøyaktig denne energien, vil kunne eksitere et proton fra spinn opp- til spinn ned-tilstanden. Det kaller vi magnetisk resonans.

RF-pulsen fra senderspolene inneholder fotoner med akkurat riktig energi for å eksitere protoner i undersøkelsesområdet.

13 Fysikk og teknologi

Energiforskjellen ΔE mellom tilstandene spinn opp og spinn ned for protoner i et magnetfelt på 1,00 T er lik 2,82 · 10−26 J. Regn ut hvilken frekvens RF-pulsen må ha for å kunne eksitere disse protonene.

349

EKSEMPEL

Løsning: RF-pulsens frekvens må være slik at fotonene i pulsen har en energi på 2,82·10−26 J. Vi finner svaret ved hjelp av E = hf :

E = hf E f = h =

2,82 · 10–26 J = 4,2533 · 107 Hz = 42,5 MHz 6,63 · 10–34 Js

I et magnetfelt på 1,00 T må RF-pulsen ha en frekvens på 42,5 MHz.

Når RF-pulsen er ferdig, vil protoner gå tilbake fra spinn ned-tilstanden til spinn opp-tilstanden helt til likevekten er gjenopprettet. Energien som frigis, sendes ut i form av fotoner. Det er disse fotonene som registreres som et MR-signal i mottakerspolene.

Oppbygging av MR-bildet MR-signalet inneholder «signaturer» som forteller hva slags type vev signalet kommer fra. Det kommer av at enkeltprotonenes spinn blir påvirket av sine atomære omgivelser. Protoner i vannmolekyler har for eksempel en annen type atomære omgivelser enn protoner i fettvev. Derfor gir de fra seg et litt annerledes MR-signal.

Men for å kunne tegne et nøyaktig bilde av pasientens indre må vi også vite nøyaktig hvor i pasienten MR-signalet kommer fra. Nøyaktig hvor er det mye vann, hvor er det nerver, hvor er det fettvev osv.

Dette får vi til ved hjelp av gradientspolene. Vi bruker dem til å skape små endringer i B slik at magnetfeltstyrken varierer gradvis med posisjonen. Dermed vil også størrelsen på energigapet ΔE avhenge av hvor i magnetfeltet protonene befinner seg. z-gradientspolen brukes til å endre magnetfeltet B slik at feltet gradvis blir litt sterkere når vi beveger oss i z-retningen. Se figuren i margen. RF-pulsen vil bare eksitere de protonene som har en ΔE som er nøyaktig lik RF-fotonenes energi. RF-pulsen påvirker derfor bare protoner som befinner seg i punkter som har samme magnetfeltstyrke og dermed samme z-koordinat. På den måten «skjærer» MR-apparatet et snitt i xy-planet for videre undersøkelse. x- og y-gradientspolene brukes så til å lage gradvise endringer i magnetfeltet innenfor det utvalgte snittet mens MR-signalet blir registrert. Det gjør at ΔE er litt ulik i ulike områder av snittet. Dermed vil ulike deler av vevet sende ut fotoner med litt ulik energi, altså litt ulike frekvenser. Ved å gjøre en frekvensanalyse av MR-signalet kan datamaskinen regne ut hvilket signal som kommer fra hvilket område.

Datamaskinen tegner et bilde med gråkoder på grunnlag av detaljert informasjon om protonenes omgivelser i hvert bildepunkt.

z Vektorpilene på figuren viser den magnetiske feltstyrken B0 i ulike punkter.

Gradientspolene skaper gradvise endringer i magnetfeltstyrken langs z-aksen. Protoner som befinner seg i punkter med samme magnetfeltstyrke har samme z-koordinat.

Forskjellene i feltstyrke er sterkt overdrevet på figuren i forhold til de virkelige forskjellene under en MR-undersøkelse.

350

13 Fysikk og teknologi

Sammendrag Medisinsk avbildning

Lyd

Fellesnavn for ulike teknikker for å lage bilder av en pasients indre organer. Et apparat for medisinsk avbildning har sendere som sender en form for energi inn i pasienten, og sensorer som tar imot signalene som kommer ut igjen. En datamaskin lager et bilde ut fra de mottatte signalene. Ørsmå variasjoner i lufttrykket som brer seg som bølger.

Lydtrykk

Differansen mellom lufttrykket p i et bestemt øyeblikk og gjennomsnittlig lufttrykk p0.

Analogt signal

En spenning mellom to ledere som varierer i takt med en fysisk størrelse, f.eks. et lydtrykk.

Digitalt signal

Et analogt signal som er digitalisert.

Samplingsfrekvens

Antall målte tallverdier per tidsenhet for et digitalt signal.

Aliasing

Dersom samplingsfrekvensen er lavere enn det dobbelte av den høyeste frekvensen i signalet, vil det rekonstruerte analoge signalet mangle de raskeste svingningene. Dette kalles aliasing.

Kvantiseringsfeil

Feil og unøyaktigheter som oppstår fordi mengden av mulige digitale tallverdier er begrenset. Fører til støy i det rekonstruerte analoge signalet.

Unngås ved å bruke tilstrekkelig bitdybde i digitaliseringen.

Klipping

Feil som oppstår dersom det analoge signalet overskrider den maksimale/ minimale digitale tallverdien. Medfører en karakteristisk støy.

Digital signalbehandling

En datamaskin kan utføre beregninger på et digitalt signal, enten samtidig som signalet registreres, eller etter opptak. Dette kalles digital signalbehandling.

Ultralyd

Lyd med høyere frekvens enn det som er hørbart for det menneskelige øret.

Ultralydavbildning

Avbildningsteknikk der ultralydbølger sendes inn i kroppen. De blir reflektert fra grenseflatene mellom forskjellige vev, og det reflekterte signalet blir digitalisert. Dette blir brukt til å lage bilder av kroppsdeler – særlig av fostre.

Røntgenstråling

Når elektroner med stor fart treffer en metalloverflate, blir det fra over­ flaten sendt ut kortbølget elektromagnetisk stråling som vi kaller røntgen­ stråling.

Røntgenavbildning

Avbildningsteknikk der røntgenstråling sendes inn i kroppen. Strålingen som ikke stopper i vevet, blir registrert av et kamera eller en sensor.

13 Fysikk og teknologi

351

CT-skanning

I CT-skannere blir røntgenavbildning brukt til å lage bilder av snitt gjennom kroppen ved at senderen og sensorene roterer rundt pasienten. Mange snittbilder kan kombineres til et tredimensjonalt bilde.

Magnetisk resonans

Dersom hydrogenkjerner (protoner) blir utsatt for et sterkt ytre magnetfelt, oppstår det en splitting i to energinivåer som avhenger av protonenes spinnretning. Dersom protonene blir utsatt for fotoner med samme energi som differansen ΔE mellom de to energinivåene, blir protonene eksitert.

Det oppstår da magnetisk resonans. Differansen ΔE er proporsjonal med styrken på det ytre magnetfeltet.

MR-avbildning

Avbildningsteknikk som utnytter fenomenet magnetisk resonans. Radio­ bølger sendes inn i kroppen, som befinner seg i et sterkt ytre magnetfelt.

Radiosignalene som kommer tilbake, inneholder informasjon om omgivelsene til protonene i vevet, og denne informasjonen kan så brukes til å skille mellom ulike typer vev.

Gradientspoler

Gradientspoler benyttes til å variere den magnetiske feltstyrken, og dermed energigapet ΔE, lokalt. På den måten kan vi bestemme hvor i kroppen MR-signalet kommer fra.