Sigbjørn Hals
Sareptas krukke
En kilde til matematiske skatter og lærelyst
FORORD
Før du leser videre, ønsker jeg at du skanner QR-koden på baksideomslaget. Da får du se en film som viser en artig opplevelse jeg hadde for noen år siden. Filmen viser hvor spennende matematikk kan være dersom det blir servert på en innbydende og engasjerende måte. Du får også et innblikk i hva denne boka egentlig handler om, samtidig som du får testet ut en av fordelene ved å kombinere trykt tekst med digitale hjelpemidler. Du finner mysteriet fra filmen i den siste oppgaven i kapittel 8.
Boka er delt inn i tre deler, med alt fra nyttig bakgrunnsstoff med avklarende definisjoner, via konkrete tips om arbeidsmåter til oppgaver som kan brukes direkte i klasserommet. Her er en oversikt over de tre delene:
A. Jobber matematikkelever og matematikere med det samme faget?
I kapittel 1 kan du lese om hva noen kjente matematikere har sagt om essensen i faget sitt, og om hvor vakkert og engasjerende matematikk kan være. Kapittel 2 avklarer og definerer noen viktige begreper som har med læring å gjøre, og diskuterer hvordan matematisk problemløsning kan bidra til internalisert kunnskap.
B. Tips til varierte arbeidsmåter
I kapittel 3 presenterer jeg noen konkrete forslag til arbeidsmåter for å skape variert og engasjerende matematikkundervisning. Du får også tips om hvordan vi kan få synliggjort hva elevene faktisk har lært, både for oss som lærere og for elevene selv. I kapittel 4 blir det gitt tips om hvordan kunstig intelligens kan brukes som et læringsfremmende verktøy i matematikkopplæringen.
C. Engasjerende og læringsfremmende oppgaver Kapittel 5 handler om hvordan læreren kan finne akkurat den oppgaven hun eller han er ute etter, ut fra kompetansemål, vanskegrad, tema eller heuristiske løsningsmetoder. I kapittel 6, 7 og 8 finner du en samling av problemløsningsoppgaver og andre oppgaver som er egnet til å få elevene til å tenke matematisk. Alle oppgavene ble opprinnelig plukket ut med tanke på kompetansemålene i 1T og på lærerne som bruker boka som en supplerende kilde i faget. Jeg har også vurdert alle oppgavene opp mot
kompetansemålene i matematikk for 8., 9. og 10. trinn og 1P, 2P, S1, S2, R1 og
R2 på vgs. Du finner en samlet oversikt over hvilke oppgaver som passer til de ulike trinnene, i vedlegg 1. Det er QR-koder med lenker til alle vedleggene bak i boka.
Tittelen Sareptas krukke refererer til en hendelse som er omtalt i Bibelen, der ei fattig enke i byen Sarepta fikk besøk av profeten Elia. Ifølge fortellingen ble melkrukken til enka senere aldri tom, og oljen i muggen hennes tok aldri slutt (1. kongebok 17, 14–16). I dag blir begrepet Sareptas krukke brukt om alle former for kilder som virker så store at de blir regnet som nesten utømmelige. Selv om boka inneholder nesten 100 oppgaver, er dette naturligvis ikke en utømmelig kilde i seg selv. Det finnes derimot veldig mange tradisjonelle oppgaver som med litt fantasi og trening kan omformes til engasjerende problemløsningsoppgaver. I kapittel 8 vil du se eksempler på hvordan dette kan gjøres.
Helt bak i boka, under Andre anbefalte kilder, er det også referanser til bøker og lenker til nettsider med gode problemløsningsoppgaver. Til sammen vil dette kunne utgjøre en Sareptas krukke for matematikklærere.
Denne boka handler altså om matematisk problemløsning, men også om det jeg ser på som det viktigste av alt: at vi ser alle elevene våre, får dem til å føle seg oppriktig verdsatt og prøver å hjelpe dem med å bli den beste utgaven av seg selv. For å lykkes med dette må vi både ha evnen til å vise omsorg og våge å stille krav der det er nødvendig.
Det fantastiske med å være lærer er at vi har muligheten til å utgjøre en forskjell for elevene våre. «Den gode læreren ser elevene sine, finner dem der de er, og gir dem noe de ikke visste at de trengte», skriver Inge Eidsvåg i boka Den gode lærer i liv og diktning (Eidsvåg, 2005).
Sareptas krukke kan også være en kilde til glede, engasjement og spenning for andre enn elever og lærere. Det er et skattekart på innsiden av omslaget framme i boka. Det er for deg som ikke er opptatt av kompetansemål og eksamener, men som uavhengig av bakgrunnskunnskap og alder har evnen til å la deg begeistre av jakten på vakre løsninger av matematiske utfordringer. Er du blant disse, kan du følge skattekartet og velge de anbefalte diamantmerkede oppgavene fra kapittel 6, 7 og 8.
Jeg har et håp om at denne boka kan være et lite bidrag til å skape mer matematisk nysgjerrighet og lærelyst. Mange av oppgavene kan være egnet til dette. Jeg ønsker alle lesere en fornøyelig reise og god jakt!
Sigbjørn Hals
INNHOLD
2.3
2.4
2.5
3.1 Problemløsningsoppgaver i tilfeldige grupper ved vertikale tavler
3.2 Utforming og innlæring av definisjoner med kombinasjonsspill og
3.3 Brettspill
3.4 Filmer om ny teori som elevene kan se hjemme
3.5 Dominooppgaver
3.6 Læringsfremmende quizer
3.7 Minitavler
3.8
3.9
3.10 Hengelåsoppgaver
3.11
3.12 Utbryterrom (escape room)
3.13 Matematisk skattejakt
4.Nyttig bruk av kunstig intelligens (KI) i matematikkopplæringen
4.1 Hva er KI-kompetanse?
4.2 KI som en alltid tilgjengelig personlig assistent
4.3 KI som et nyttig verktøy i matematikkopplæringen
5.1 Litt om oppgavene i kapittel 6, 7 og 8
5.2 Hvorfor oppgaver uten hjelpemidler, og hvorfor oppgaver med?
5.3 Hvordan kan vi finne akkurat den oppgaven vi er ute etter?
5.4
5.5
Jobber matematikkelever og matematikere med det samme faget?
1. HVA ER MATEMATIKK?
Hvordan vi underviser i matematikk, er sterkt knyttet til vår egen oppfatning av hva matematikk egentlig handler om. I dette kapittelet vil jeg derfor starte med å si noe om hvordan matematikere selv definerer faget sitt. Jeg vil videre presentere noen undersøkelser som viser at mange elever dessverre ikke får oppleve noe av det vakre og fascinerende som vi har handlingsrom til å gi dem i matematikkfaget.
1.1 Mønster og skjønnhet i matematikken
Den franske matematikeren Cédric Villani ble tildelt den prestisjetunge Fieldsmedaljen i 2010. Fire år senere var han gjest i TV-programmet Skavlan. Du kan se hele intervjuet med Villani på YouTube. Her er en oversettelse av noe av det han sa om betydningen av estetikken i matematikken:
Utregninger og matematikk er to forskjellige ting. En matematikers viktigste egenskaper er oppfinnsomhet, nøyaktighet og iherdighet, som i mange andre yrker. Man må ha evnen til å se ting på en annen måte enn det andre gjør. Det gjelder å finne kjernen, essensen i noe. En matematiker er både en vitenskapsperson og en kunstner. Når vi snakker med hverandre, får vi fram at resonnementet er basert på nøyaktighet og bevis. Vi er ikke opptatt av om det er nyttig, men om det er vakkert!
Den legendariske engelske matematikeren G.H. Hardy (1877–1947) ga uttrykk for det samme i boka A Mathematician’s Apology. Der understreket han også verdien av å gjenkjenne og å skape mønster:
A mathematician, like a painter or a poet, is a maker of patterns. If his patterns are more permanent than theirs, it is because they are made with ideas. The mathematician’s patterns, like the painter’s or the poet’s must be beautiful; the ideas like the colours or the words, must fit together in a harmonious way. Beauty is the first test: there is no permanent place in the world for ugly mathematics…
The ‘real’ mathematics of the ‘real’ mathematicians, the mathematics of Fermat and Euler and Gauss and Abel and Riemann, is almost wholly ‘useless’ (and this is as true of ‘applied’ as of ‘pure’ mathematics). It is not possible to justify the life of any genuine professional mathematician on the ground of the ‘utility’ of his work. (Hardy, 1940)
Du har kanskje sett Jeremy Irons’ rolletolkning av Hardy i filmen The man who knew infinity (2015), som bygger på boka med samme tittel (Kanigel, 1991). Boka handler om matematikkgeniet Srinivasa Ramanujan. Jeg anbefaler både boka og filmen på det varmeste.
Hardy var en rent teoretisk matematiker, og det viste seg at han tok feil når han hevdet at det han drev med, var helt uten nytteverdi. Primtallsteori, som var noe av det Hardy forsket på, har for eksempel blitt svært nyttig i kryptering og sikring av bankkoder.
I forordet til artikkelen The Heart of Mathematics skriver Paul Richard Halmos at både aksiomer, teoremer, bevis, definisjoner, teorier, formler og metoder er nødvendige for en matematiker. Hjertet i matematikken er likevel problemer og løsninger:
Mathematics could surely not exist without these ingredients; they are all essential. It is nevertheless a tenable point of view that none of them is at the heart of the subject, that the mathematician’s main reason for existence is to solve problems, and that, therefore, what mathematics really consists of is problems and solutions. (Halmos, 1980)
Matematikeren George Pólya (1887–1985) uttrykte det slik:
Mathematics seems to consist of proofs, but it is not quite so. Finished mathematics consists of proofs, but mathematics in the making consists of guesses. (Polya, 1966)
Robert Langlands, som ble tildelt Abelprisen i 2018, har sagt at matematikk er å skape orden i et tilsynelatende kaos. Gjennom alle disse sitatene får vi et inntrykk av hvordan matematikere selv ser på faget sitt. Det er vanskelig å fange alt dette i en kort definisjon, men for å få til dette søker jeg hjelp hos matematikkprofessor Lisa Lorentzen ved NTNU. Hun har mellom mye annet skrevet ei lita perle av ei bok som rett og slett heter Hva er matematikk?. I forordet til boka skriver hun:
Jeg prøver forsiktig å hevde at matematikk er en måte å tenke på, et språk som er velegnet til å formulere og løse problemer, en søken etter strukturer, en samling logiske resonnementer som bygger absolutte sannheter i en usikker verden, og sunn fornuft satt i system. (Lorentzen, 2012)
1. Hva er matematikk?
Formuleringen til Lorentzen fanger opp veldig mye av det de tidligere siterte matematikerne har sagt. Hun har også med Langlands’ betraktning av matematikk som et verktøy til å skape orden i et tilsynelatende kaos. For å få med litt flere av synspunktene til Villani, Hardy, Halmos og Pólya har jeg tillatt meg å bygge videre på det Lorentzen skriver. Det siste kapittelet i den omtalte boka hennes heter Matematikk og skjønnhet, så jeg er overbevist om at hun vil synes det er greit at jeg også tar med denne dimensjonen i forsøket mitt på en utvidet definisjon:
Matematikk er en reise gjennom undring, hvor vi ved innsikt og hardt arbeid kan avdekke vakre mønster, strukturer og sammenhenger. Det er et tankeverktøy, et presist språk skapt for å utforske og løse utfordringer. Matematikk er sunn fornuft satt i system, og en balansert blanding av kunnskap, nysgjerrighet og modige og kvalifiserte antakelser. I matematikken bruker vi logiske resonnementer til å bygge absolutte sannheter i en ellers usikker verden.
Ut fra det matematikere selv sier, handler matematikk altså først og fremst om problemløsning og om å oppdage og forklare mønster og relasjoner og å kunne overføre disse fra én situasjon til en annen. Dette samsvarer helt med formuleringene til Utdanningsdirektoratet i beskrivelsen av kjerneelementet utforskning og problemløsing.
Siden de overordnede målsettingene samsvarer så godt med hvordan matematikere selv definerer faget sitt, skulle det derfor, i alle fall i utgangspunktet, ligge godt til rette for at elevene skal kunne jobbe med ekte matematikk i undervisningen. Slik er det dessverre ikke alltid i virkeligheten.
1.2 Får elevene oppleve ekte matematikk i skolen?
Svaret på dette spørsmålet har trolig endret seg de siste årene, men det vil ennå i stor grad variere fra klasse til klasse, avhengig av hvordan hver enkelt lærer definerer matematikkfaget.
I 2010 gjennomførte Skolinspektionen en omfattende undersøkelse av matematikkundervisningen ved 55 videregående skoler i Sverige. Prosjektleder Monica Gillenius oppsummerer funnene slik:
Innholdet i de fleste av de 150 skoletimene vi besøkte, kan best beskrives som mekanisk regning. Undervisning som gir eleven innføring i praktisk problemløsning og matematisk kreativitet, mangler. Resultatet er at elevene lærer regler utenat, uten å forstå hva de gjør, og hvorfor. (Utdanningsnytt.no, 2010)
Dette er en gammel undersøkelse, men nyere forskning fra vårt eget land tyder på at dette også er et problem her hjemme. I en kronikk i Forskning.no fra desember 2017 skriver førsteamanuensis ved Høgskolen i Oslo og Akershus
Annette Hessen Bjerke mellom annet:
Forståelsen er viktigere enn reglene
Det er altså to sider ved matematikkfaget – å gjøre matematikk og å forstå matematikk. Matematikklærerstudentene jeg har forsket på, har gjort mye matematikk, spesielt i videregående skole. Med det mener jeg at de har lært å følge regler som gjør at de i beste fall får rett svar.
Prosessen og forståelsen virker underordnet, det er svaret med to streker under som er i fokus. Hva skjer når en begynner å pirke i denne regelbundne kunnskapen, når en stiller spørsmål ved hvorfor? Da slår kunnskapen sprekker, og for noen tar frustrasjonen overhånd.
(Hessen Bjerke, 2017)
Jeg vil drøfte nærmere dette skillet mellom å gjøre og å forstå matematikk i neste delkapittel.
1.3 Instrumentell og relasjonell forståelse
Forskjellen mellom å gjøre og å forstå matematikk henger nøye sammen med de to nøkkelbegrepene instrumentell og relasjonelI forståelse. I artikkelen Relational Understanding and Instrumental Understanding skriver Richard Skemp at han ble gjort oppmerksom på forskjellen mellom de to typene forståelse av Stieg MellinOlsen (1939–1995):
It was brought to my attention some years ago by Stieg-Mellin Olsen, of Bergen University, that there are in current use two meanings of this word. These he distinguished by calling them ‘relational understanding’ and ‘instrumental understanding’. By the former is meant what I always have meant by understanding, and probably most readers of this article: Knowing both what to do and why. Instrumental understanding, I would until recently not have regarded as understanding at all. It is what I have in the past described as ‘rules without reason’, without realising that for many pupils and their teachers the possession of such a rule, and the ability of using it, was what they meant by ‘understanding’. (Skemp, 1976)
Skemp sammenlikner instrumentell forståelse med å få en detaljert beskrivelse av hvilken rute du skal følge for å komme fra et startpunkt til et sluttpunkt i en by. Med relasjonell forståelse, derimot, har du et mentalt kart av området du beveger deg i, og du trenger derfor ingen detaljerte beskrivelser av hvor du skal gå.
1. Hva er matematikk? 13
2.3 Læring gjennom undrende og reflekterende gransking (IBL)
Da jeg skrev om problembasert læring (PBL), la jeg vekt på at vi ikke skulle blande begrepene læring og undervisning. Fokuset må være på selve læringsprosessen og på rammebetingelser ved læringsmiljøet som forskere mener er nødvendige for å gjøre PBL mulig. Jeg vil benytte den samme tilnærmingen når det gjelder begrepet inquiry-based learning (IBL).
På samme vis som med PBL er det mange ulike tolkninger av hva som er innholdet i IBL. Sikko, Lyngved & Pepin (2011) skriver at det ikke ser ut til å finnes noen felles og klart formulert definisisjon av IBL.
Ved PBL er det den matematiske problemløsningen som danner grunnlaget for læringen. Det ligger i selve begrepet at ved IBL er det de undersøkende aktivitetene (inquiry) som er avgjørende.
Selv om det hittil har manglet en samlende definisjon av IBL, er forskerne nokså samstemte i hva som ligger i inquiry. John Dewey definerte dette begrepet slik:
Undrende og reflekterende gransking er å undersøke en uavklart situasjon på en systematisk og målrettet måte, slik at vi kan forstå forskjellene mellom de ulike delene og hvordan disse henger sammen. Da vil delene i den tidligere uavklarte situasjonen kunne oppfattes som en forståelig helhet. (Dewey, 1938b, min oversettelse)
Dewey, Piaget, Vygotsky og Bruner formet grunnmuren for IBL. Nyere forskere har så bygget videre på denne.
Barbara Jaworski skriver at inquiry er både et verktøy og en væremåte. Hun bruker dette til å få fram de individuelle og de kollektive sidene av begrepet:
In my view, inquiry is both a tool and a way of being. In constructivist terms, it can be seen to stimulate accommodation of meanings central to individual growth. In sociocultural terms it is a way of acting together that is inclusive of the distributed ways of knowing in a community. (Jaworski, 2004)
Anne Berit Fuglestad var en av pionerne innen forskning på IBL her i landet. Hun samarbeidet med Jaworski, og de har publisert flere forskningsartikler sammen. I en artikkel i Tangenten (nr. 4, 2010) beskriver Fuglestad inquiry slik:
Dette begrepet handler om å stille spørsmål, undre seg, undersøke, utforske, eksperimentere og søke etter kunnskap. (Fuglestad, 2010)
Artigue og Blomhøj skiller mellom inquiry-based mathematics education (IBME) og inquiry-based science education (IBSE). Praktiske og utforskende aktiviteter har tradisjonelt sett oftere blitt sett på som en naturlig og nødvendig del
av undervisningen i fag som kjemi, biologi og fysikk. Det er naturligvis mange slike aktiviteter som både kan være gode og nyttige, men som ikke kan kalles undrende og reflekterende gransking. Bell mfl. (2005) skriver at testen for å finne ut om det dreier seg om IBSE, er om elevene svarer på et forskningsspørsmål ved bruk av analyse av egne eller andres innsamlede data.
For at vi skal kunne snakke om undrende og reflekterende gransking, må elevene analysere og vurdere data som de kan ha skaffet seg på én eller flere av disse tre ulike måtene:
• fra egne målinger i fysiske (hands-on) aktiviteter
• fra egne målinger i digitale simuleringer eller animasjoner
• fra data som andre har samlet inn
Vedlegg 6 inneholder et konkret eksempel på hvert av disse tre tilfellene.
Bell et al. (2005) skiller mellom fire ulike grader av utforskning i naturfagene, der elevene får utvidet ansvar etter hvert trinn. Forfatterne understreker at elevene trenger opplæring i utforskende metoder, og at ansvaret for prosessen må komme gradvis. Dette vil gjelde for utforskende aktiviteter i matematikk også. I kolonnen for kjennetegn i trinn 4 skriver forskerne at graden av hjelp kan variere.
I kapittel 2.5 vil jeg vise til forskning som konkluderer med at utforskende aktiviteter uten hjelp og støtte fra læreren (unguided discovery) ikke er en anbefalt arbeidsmetode. For å gjøre det klart at dette ikke hører med i en nyttig og retningsgivende definisjon av IBL, vil jeg derfor utvide inndelingen til Bell med et ekstra trinn:
Trinn Navn på aktivitetene Kjennetegn
1 Bekreftende undersøkelser
2 Strukturerte undersøkelser
Elevene får oppgitt spørsmålet og prosedyren. Resultatet av undersøkelsen er kjent på forhånd.
Elevene får oppgitt spørsmålet og prosedyren, men må finne resultatet selv.
Læreren gir hjelp ved behov.
3 Veiledende undersøkelser Elevene får oppgitt spørsmålet, men må selv finne egnet framgangsmåte. Læreren gir hjelp ved behov.
4 Åpne undersøkelser med hjelp og støtte fra læreren
5 Åpne undersøkelser uten hjelp og støtte fra læreren
Elevene bestemmer selv spørsmålene de vil finne ut av, og framgangsmåten.
Læreren gir hjelp ved behov.
Elevene bestemmer selv spørsmålene de vil finne ut av, og framgangsmåten. Læreren gir ingen/minimal hjelp.
2. Hva er læring? 35
I trinn 3 og 4 i IBSE må læreren godkjenne framgangsmåten elevene velger, før de setter i gang. Dette for å hindre ulykker hvis elevene skulle velge farlige framgangsmåter i for eksempel kjemi og fysikk. Vi kan oppsummere det i en enklere og mer oversiktlig tabell:
Informasjon fra læreren til elevene
Trinn Hjelp Spørsmål Metode Løsning
Det er lite av undring og oppdagelse i trinn 1, der elevene skal gjennomføre øvelser som skal bekrefte det læreren alt har fortalt dem. Jeg vil derfor verken ta med trinn 1 eller trinn 5 i en definisjon av undrende og reflekterende gransking og IBL. Trinn 1 kan likevel være en nyttig forberedelse til undrende og reflekterende gransking med gradvis større elevansvar.
I artikkelen Conceptualizing inquiry-based education in mathematics skiller Michèle Artigue og Morten Blomhøj mellom inquiry-based learning (IBL) og inquiry-based education (IBE). Dette er ryddig og avklarende og helt i samsvar med det tilsvarende skillet jeg argumenterte for når det gjelder problembasert læring og problembasert undervisning. Ved å skrive utdanning i stedet for undervisning flytter vi oppmerksomheten fra læreren til hele rammebetingelsene for læring:
The terms inquiry-based learning and inquiry-based education have appeared with increasing frequency in educational policy and curriculum documents related to mathematics and science education over the past decade, indicating a major educational trend. (Artigue & Blomhøj, 2013)
Ifølge Artigue og Blomhøj er det ikke et absolutt krav at utforskende aktiviteter i matematikk skal foregå i grupper:
The inquiry process develops as interplay between known and unknown in situations where some individual or group of individuals is faced with a challenge. (Artigue & Blomhøj, 2013)
Ut fra denne gjennomgangen vil jeg gi definisjonene på undrende og reflekterende gransking i matematikk, IBL og IBU på neste side.
Undrende og reflekterende gransking (inquiry) i matematikk er en måte å forholde seg til omverdenen på. Den lærende søker ny kunnskap gjennom å være intellektuelt nysgjerrig, stille spørsmål, lage hypoteser og innhente nødvendige data for videre analyse. Mulige løsninger blir diskutert og vurdert opp mot hverandre, og framsatte hypoteser og påstander blir ikke akseptert uten etter en grundig og logisk konsistent dokumentasjon.
IBL i matematikk er den læringen som finner sted i et miljø preget av undrende og reflekterende gransking.
IBU i matematikk er undervisning som strever etter å optimalisere rammebetingelsene, slik at IBL kan finne sted.
2.4 Likheter og forskjeller mellom PBL og IBL
Det finnes svært mange oppstillinger med forsøk på å gjøre greie for likheter og forskjeller mellom PBL og IBL. Ulempen er at disse spriker i alle retninger og ikke gir uttrykk for noen felles forståelse.
I artikkelen Overview of problem-based learning: Definitions and destinctions definerer John R. Savery forskjellen mellom PBL og IBL slik:
The primary difference between PBL and inquiry-based learning relates to the role of the tutor. In an inquiry-based approach the tutor is both a facilitator of learning (encouraging/expecting higher-order thinking) and a provider of information. In a PBL approach the tutor supports the process and expects learners to make their thinking clear, but the tutor does not provide information related to the problem – that is the responsibility of the learners.
(Savery, 2006)
Jeg tolker formuleringen «the tutor does not provide information related to the problem» slik: Ved aktiviteter som fremmer PBL, kan læreren gi tips og stille spørsmål som hjelper elevene videre i problemløsningen, men hun tar ikke over og forteller elevene hvordan de skal løse problemet. Savery peker altså på definisjonsmessige kjennetegn ved PBL som ikke gjelder ved IBL.
2. Hva er læring? 37
Pettersen (2007) er én av flere som definerer PBL som en delmengde i paraplybetegnelsen IBL. Siden begge disse begrepene blir tolket og praktisert på så mange måter, er det ikke urimelig at det kan finnes varianter der dette kan forsvares innenfor noen av profesjonsstudiene. En slik tolkning er derimot ikke i samsvar med vurderingene til Savery (2006) og de presenterte avklaringene og definisjonene jeg har gitt av PBL og IBL i matematikkfaget. Der er det to karakteristiske kjennetegn som er gjensidig utelukkende, og som gjør at det vil være ulogisk å definere PBL som en delmengde av IBL:
1. Ved PBL vet ikke elevene umiddelbart hva de skal gjøre for å løse problemet, og læreren tar ikke over og viser framgangsmåten eller løsningen for dem.
2. Som det er gjort greie for tidligere, er én av flere former for IBL et resultat av det som blir kalt strukturerte undersøkelser. Der får elevene oppgitt framgangsmåten de må følge for å innhente nødvendige data.
Oversiktene jeg presenterte over gode rammebetingelser for PBL og IBL, bygger på de forskningsforankrede definisjonene av disse to begrepene. De viser at det er både likheter og forskjeller mellom PBL og IBL. Det er derfor riktig å konkludere med at disse overlapper hverandre.
A B C
PBL og IBL har både likheter og forskjeller.
La oss si at den røde sirkelen står for det som kjennetegner problembasert læring (PBL), og at den blå sirkelen representerer læring gjennom utforskning (IBL). Det lilla området er det som er felles for PBL og IBL. Det kan naturligvis diskuteres om det er for mye eller for lite overlapp mellom sirklene, men det er ikke poenget her. La meg gi tre konkrete eksempler på hver av de tre tilnærmingene A, B og C.
A. En tilnærming som bare er PBL og ikke IBL
Starten på oppgave U30 i kapittel 6 er slik:
På figuren nedenfor ser du to rektangler som delvis overlapper hverandre. Det ene rektangelet har sider på 4 og 6 og det andre rektangelet har sider på 8 og 10.
Hva er forskjellen mellom arealene av de to områdene som ikke overlapper hverandre? (Du kan se utvidelsen av oppgaven ved å gå til U30 i kapittel 6.)
La oss si at elevene jobber i grupper (gjerne ved vertikale tavler), og at de i utgangspunktet ikke vet hvordan de skal løse dette problemet. Noen mener at de må få flere opplysninger for at de skal klare å komme videre. De spør læreren om dette, og hun sier at det er nok opplysninger til å løse oppgaven. De grubler og diskuterer en god stund, men finner fremdeles ikke ut hvordan de skal gå fram. Læreren spør om de har vurdert å bruke noen av de heuristiske løsningsmetodene til Pólya, som de har tilgang til. En av elevene foreslår at de kan prøve å se på ekstreme tilfeller. En annen sier at de da kan prøve å plassere hele det røde rektangelet inne i eller utenfor det blå rektangelet. Da blir det lett å regne ut hva den søkte forskjellen blir.
Alle er fornøyde, helt til én sier at de ikke har bevist at det alltid vil være slik. Etter litt diskusjon kommer de fram til at de kan prøve med algebra. De kaller arealet av hele det blå rektangelet for b, arealet av hele det røde rektangelet for r og arealet av det felles lilla området for l. Da blir det lett å føre et bevis for at den heuristiske løsningsmetoden gir et korrekt svar.
(b – l ) – (r – l ) = b – l – r + l = b – r
Nå blir det også lett å finne svarene på resten av spørsmålene i oppgave U30. De har ikke utført noen form for utforskende aktiviteter, men har samarbeidet om å løse et matematisk problem ved hjelp av logisk tenkning, en heuristisk metode og et algebraisk bevis. Dette er helt i samsvar med Pólyas slagord: First guess, then prove.
2. Hva er læring? 41
På ett område har det skjedd en så omveltende endring at det i tillegg er behov for helt ny kompetanse hos lærerne. Det gjelder viljen og evnen til å sette seg inn i de mulighetene som kunstig intelligens byr på i forbindelse med læring. Det omfatter også det å forstå begrensningene og å ha et ekstra kritisk blikk på alle former for misbruk av teknologien.
På engelsk (og ofte på norsk) brukes betegnelsen AI literacy. Jeg har valgt å oversette dette til KI-kompetanse. Det er et svært sammensatt begrep som omfatter både å kunne anvende, forstå og kritisk vurdere bruken av kunstig intelligens. Du kan lese mer om dette i kapittel 4.1. Noen mener at dette hører inn under utviklingskompetanse, på samme måte som det å lære seg å bruke andre digitale hjelpemidler i undervisningen, men kunstig intelligens er i ferd med å revolusjonere måten vi tilegner oss ny kunnskap på, slik vi aldri tidligere har vært vitne til. KI-kompetanse fortjener derfor en egen kordel i den flettede helhetlige kompetansen til en oppdatert og velfungerende lærer.
Seks integrerte lærerferdigheter.
De fleste forskerne og læringsteoretikerne vi har sitert, har som utgangspunkt at menneskesinnet er mangfoldig, og at det finnes mange veier til forståelse. Eleanor Duckworth var en av forskningsassistentene til Jean Piaget (1896–1980). Hun var opptatt av at det er mange ulike måter å komme fram til forståelse og innsikt på, og at vi må ta hensyn til dette i undervisningen:
Curriculum, assessment, teacher education programs – and all of our teaching – must seek out, acknowledge, and take advantage of the diversity of ways that people might take toward understanding. (Duckworth, 2006)
Dette bør minne oss på to ting: For det første er det meningsløst å tro at det bare finnes én farbar vei til kunnskap og forståelse hos elevene. For det andre må denne innsikten få oss til å benytte et bredt spekter av arbeidsmetoder i klasserommet. Det er temaet for neste kapittel.
DEL B
Tips til varierte arbeidsmåter
3. NOEN ARBEIDSMÅTER SOM KAN BIDRA TIL INTERNALISERT KUNNSKAP
I kapittel 1.4 så vi hvor viktig det er at læreren er entusiastisk og brenner for faget. Selv et godt gjennomtenkt undervisningsopplegg blir mislykket om ikke læreren klarer å få elevene til å ønske å engasjere seg i det. Derfor er variasjon i arbeidsmåtene, spill og konkurranser med faglig innhold gode bidragsytere til økt læring. Som det går fram av tittelen, gir dette kapittelet tips til varierte arbeidsmåter som kan skape matematisk nysgjerrighet og internalisert kunnskap.
I kapittel 2.5 så vi eksempler på at hvilke arbeidsmetoder vi velger, og rekkefølgen på disse, vil variere ut fra hva elevene skal lære. I dette kapittelet vil jeg presentere noen av undervisningsmetodene jeg selv bruker, og som jeg har erfart har virket både motiverende og læringsfremmende for elevene. Dette er bare noen få eksempler, og det finnes mye litteratur med flere tips til aktiviteter og opplegg. Dere finner ei liste med anbefalte bøker om dette i Andre anbefalte kilder. For hver av læringsaktivitetene har jeg markert hvilken fase i kunnskapstilegningen jeg mener de er best egnet til.
Ny teori
Dette er teori og/eller begreper som elevene ikke har vært borti tidligere.
Internalisering
Her skal elevene anvende kunnskapen fra den nye teorien. De skal trene på å knytte det nye sammen med det de har lært tidligere, bruke kunnskapen på nye måter og repetere det de har jobbet med tidligere, og nå nesten har glemt. I internaliseringen inngår også individuell mengdetrening.
Kan jeg dette?
Dette inkluderer alle typer aktiviteter der elevene får testet om de virkelig har forstått det aktuelle lærestoffet. Det kan være læringsfremmende quizer, spill som gir mestringsfølelse, konkurranser, arbeid i grupper, individuelt arbeid og formelle prøver.
Jeg har krysset av for hvor jeg har erfart at de ulike verktøyene er aller best egnet. Det betyr ikke at de er uegnet til de andre områdene.
3.1 Problemløsningsoppgaver i tilfeldige grupper ved vertikale tavler
Ny teori Internalisering Kan jeg dette?
Den endringen av min egen undervisningspraksis som jeg har registrert aller størst effekt av, er å la elevene jobbe med problemløsningsoppgaver i tilfeldige grupper på tre ved vertikale, viskbare tavler. Jeg har nå brukt denne arbeidsmetoden i nesten hver matematikktime i snart fire år, og jeg har bare positive erfaringer med dette.
Inspirasjonen til endringen er hentet fra boka Building Thinking Classrooms av Peter Liljedahl (Liljedahl, 2021). Boka er nå oversatt til norsk, med tittelen Å bygge tenkende klasserom i matematikk. Liljedahl har kommet fram til 14 undervisningspraksiser som han anbefaler etter å ha gjort observasjoner i et stort antall klasserom rundt om i verden. Han har registrert hvilke endringer som har hatt størst effekt når det gjelder å få elevene til å tenke matematisk.
De endringene jeg har tatt i bruk, er for det meste hentet fra kapittel 1–6, som jeg mener har størst overføringsverdi til norske klasserom.
I slutten av hvert kapittel i boka til Liljedahl er det en oppsummering med «makrotrinn» og «mikrotrinn». Dette må naturligvis tilpasses den norske skolehverdagen og de lokale rammebetingelsene. For eksempel skriver Liljedahl at de tre til fem første oppgavene læreren gir, bør være sterkt engasjerende oppgaver som ikke er knyttet til læreplanen (non-curricular). Med LK20, og spesielt i 1T, er ikke dette noe viktig skille. Med kjerneelementet utforskning og problemløsning og det første kompetansemålet i 1T er nesten enhver problemløsningsoppgave per definisjon en del av læreplanverket:
Målet for opplæringen er at eleven skal kunne formulere og løse problemer ved hjelp av algoritmisk tenkning, ulike problemløsningsstrategier, digitale verktøy og programmering (Utdanningsdirektoratet, 2019a)
På neste side følger noen av trinnene som Liljedahl anbefaler i boka, og som jeg har funnet spesielt nyttige i de fire årene jeg har latt elevene jobbe med problemløsningsoppgaver ved vertikale tavler.
3.11 Quiz med twist
Ny teori
Internalisering Kan jeg dette?
Dette er et opplegg der elevene blir delt inn i grupper på tre. Hver gruppe får fire ark med ulike farger og et fat med for eksempel 12 eller 18 biter Twist. Læreren presenterer oppgaver med fire svaralternativer, der ett er riktig. Hvert svaralternativ er knyttet til én bestemt farge, slik eksempelet nedenfor viser.
SPØRSMÅL
6
Hva er når x = 3? (x + 2) (x − 4) x − 1 0 > 0 > 0 = Ude nert for denne x-verdien
Eksempel på et spørsmål fra aktiviteten «quiz med twist».
Hver gruppe plasserer så Twist-bitene på det arket de mener representerer det rette svaret. Dersom de er usikre, kan de fordele bitene på flere ark. Læreren går rundt etter hvert spørsmål og samler inn de bitene som eventuelt er plassert på feil farge(r).
Om ei gruppe har plassert alle bitene på feil farge, har de ingen flere biter igjen etter at læreren har gått runden. Det kan da være nødvendig å gi dem noen få biter som en slags pedagogisk «nødhjelp», slik at de fortsatt kan være med i læringsprosessen.
Du finner en ferdig PowerPoint-presentasjon med ti oppgaver om ulikheter som vedlegg 10.
Grønn Rød Gul Blå
3.12 Utbryterrom (escape room)
Ny teori
Internalisering Kan jeg dette?
Jeg opplever sjelden så mye engasjement og aktive matematiske diskusjoner som når elevene prøver å knekke koden i et utbryterrom. Den siste oppgaven i kapittel 7 (M30) er et slikt rom med oppgaver som oppsummerer mye av det vi har jobbet med i 1T. Denne aktiviteten kan derfor være godt egnet som en repetisjon i slutten av skoleåret. Noen av oppgavene der er krevende, så det er lurt at læreren har jobbet seg gjennom dette selv, slik at hun eller han har god oversikt og raskt kan gi gode hint på veien.
QR-koden til venstre nedenfor tar deg til et utbryterrom som du kan la elevene få jobbe med. QR-koden til høyre lar deg få se en film som viser en tur gjennom utbryterrommet i oppgave M30 og løsninger av de ulike oppgavene der. Dette vil gi deg en god innsikt i de pedagogiske mulighetene som slike utbryterrom gir, men det er mye morsommere å prøve seg på utfordringene selv.
Utbryterrommet Film med løsninger av oppgavene i utbryterrommet
I det digitale tillegget til denne boka finner du en film som forklarer hvordan vi kan lage engasjerende utbryterrom ved hjelp av PowerPoint og noen andre verktøy.
3.13 Matematisk skattejakt
Ny teori
Internalisering Kan jeg dette?
Utsiktene til å finne en gjemt «skatt» øker gjerne engasjementet hos elevene. Jeg bruker av og til dette i et repetisjonsopplegg der elevene må bruke kunnskap fra det vi har jobbet med tidligere, for å finne fram til en spesiell kode.
Kodene må selvsagt tilpasses de lokale skolebygningene eller områdene rundt disse, men det viktigste her er å få presentert idéen, som hver enkelt lærer så kan tilpasse til egne preferanser.
Det kom et skille ved lanseringen av språkmodellen GPT-4. Den tilhørende applikasjonen ChatGPT-4, ChatGPT-4o og senere oppdateringer har ingen problemer med å løse oppgavene ovenfor. Disse versjonene er også i stand til å hjelpe elevene med å gi tips og forklare framgangsmåter for langt mer avanserte problemstillinger i både 1T, R1 og R2.
Utviklingen går imidlertid så raskt at de eksemplene jeg kunne ha gitt her, ville vært utdaterte før boka ble ferdig trykt. For å gi leserne oppdaterte eksempler på nyttig bruk av KI i matematikkopplæringen anbefaler jeg derfor filmene i det digitale tillegget til boka. (Bruk QR-koden i forrige delkapittel eller bak i boka.)
I vedleggene 11 og 12 finner dere to lange ledetekster (kommandoer) som kan brukes til å instruere en samtalerobot. Med teksten i vedlegg 11 får vi en personlig assistent som kan være til hjelp ved alle typer spørsmål. Vedlegg 12 er spisset inn til det spesielle formålet å hjelpe elevene med å forstå og lære å bruke abc-formelen for andregradslikninger. Du finner en film som viser hvordan dette kan foregå, i det digitale tillegget.
Jeg håper at eksemplene jeg gir, kan bidra til at flere får lyst til å ta i bruk de nye KI-verktøyene og å praktisere undrende og reflekterende gransking også på dette viktige området av vår egen undervisningspraksis. Det er et enormt landskap som åpner seg når vi selv utforsker mulighetene (og begrensningene) som ligger her.
Engasjerende og læringsfremmende oppgaver
5. TIPS TIL LÆRERE OM HVORDAN DE KAN BRUKE DENNE BOKA
5.1 Litt om oppgavene i kapittel 6, 7 og 8
I kapittel 6 finner du 60 oppgaver som det er ment at elevene kan løse uten bruk av hjelpemidler. Disse har navn som U01, U02 osv., etter rekkefølgen i kapittelet. (U står for «uten hjelpemidler».) De fleste av disse oppgavene er egnet til å presentere for elever som jobber i tilfeldige grupper ved vertikale tavler, og dette står da i kommentarene som er knyttet til hver oppgave. 24 av oppgavene i kapittel 6 er eksamensoppgaver (de fleste for 1T) fra LK20, og alle disse er egnet til å løses gruppevis ved vertikale tavler. De egner seg naturligvis like godt til å jobbe med individuelt hjemme eller andre steder for alle som er læringshungrige og nysgjerrige.
I kapittel 7 er det 30 oppgaver som det er ment at elevene skal løse med bruk av hjelpemidler. Disse oppgavene har navn som M01, M02 osv. (M står for «med hjelpemidler».) Her kan det hende de trenger en enkel kalkulator eller CAS til deler av utregningene. Omtrent halvparten av disse oppgavene er egnet for jobbing gruppevis ved vertikale tavler. Åtte av oppgavene i kapittel 7 er eksamensoppgaver, og alle disse er egnet for gruppevis jobbing ved vertikale tavler.
I kapittel 8 er det seks eksempler på tradisjonelle oppgaver som er blitt omformet. Disse har fått navnene O01, O02, O03, O04, O05 og O06. (O står for «omformede oppgaver».)
For å få fram kontrasten mellom omformede og mer tradisjonelle oppgaver har jeg i et par tilfeller gått motsatt vei. I O01 har jeg for eksempel tatt en veldig god oppgave fra matematikksenteret og gjort denne om til en traurig standardoppgave. Så har jeg brukt standardversjonen som start og vist hvor mye bedre og mer engasjerende den «omformede» oppgaven er. Jeg har gjort dette for å vise at måten utfordringen blir presentert på, er avgjørende for engasjementet. I O01 får elevene en interessant oppgave med mange muligheter for differensiering. De får samtidig god trening i problemløsning og i å regne på algebraiske uttrykk.
Det er tre grunner til at jeg mener de alternative versjonene byr på mye mer enn de tradisjonelle utgavene:
• De fører til mer matematisk tenkning og vil for de fleste elevene ikke kunne løses bare ved å bruke kjente formler og rutineoperasjoner (se O01, O04 og O06).
• «Innpakningen» kan være mer engasjerende enn et sett av ferdig oppstilte likninger eller algebraiske uttrykk (se O01, O02, O03, O05 og O06).
• Modellering av realistiske situasjoner som elevene kjenner seg igjen i, er en bro mellom skolematematikken og elevenes hverdag (se O04 og O05).
Jeg får av og til meldinger fra venner og bekjente som spør om tips til å løse matematiske gåter og utfordringer som de har funnet på ulike nettsider. Dette er gjerne personer som ikke var spesielt begeistret for matematikken de møtte på skolen, men som lar seg engasjere av disse oppgavene på nettet. Hvordan henger dette sammen?
Det råder to helt forskjellige syn på hvordan matematikkoppgaver bør utformes for at elevene virkelig skal engasjere seg i dem, og få et oppriktig ønske om å finne én eller flere løsninger på problemet som blir presentert.
På den ene siden er det de som tar til orde for at oppgavene må være mer virkelighetsnære og i større grad være relevante for elevenes hverdag. Da må det være reelt virkelighetsnært og ikke en konstruert situasjon. Det er bare med på å forsterke inntrykket hos mange elever om at skolematematikken utgjør et eget univers som ikke har noe med hverdagen deres å gjøre.
Oda Heidi Bolstad har skrevet om dette i doktorgradsavhandlingen Teaching and learning for mathematical literacy og gir et konkret eksempel i et intervju med Sissel Eikeland i Forskning.no 13.02.2021:
Eit døme er ei rekneoppgåve om alder. Per er dobbelt så gammal som Kari, og Arne er 8 år yngre enn Anne. Til saman er dei 100 år. Oppgåva ber elevane setje opp ei likning for å finne ut kor gamle kvar av dei er. Slike oppgåver framstiller ifølgje Bolstad ein konstruert situasjon og er vanskeleg å overføre til det verkelege livet.
– I det verkelege livet vil jo alle berre spørje om kor gammal ein person er, vi reknar det ikkje ut, seier Bolstad. (Eikeland, 2021)
På den andre siden har vi matematikere som argumenterer som Paul Lockhart i boka A Mathematician’s Lament:
The saddest part of this ‘reform’ are the attempts to ‘make math interesting’ and ‘relevant for kids’ lives’. You don’t need to make math interesting – it’s
5. Tips til lærere om hvordan de kan bruke denne
5.5 Inndeling etter foreslåtte løsningsstrategier
Du finner en oversikt over noen av Pólyas løsningsstrategier L01–L12 på innbretten bak i boka.
Bra til vertikale tavler
L01 U01
L02 U06, U21, U24, U30, U42, U45, U49, U50, U51, U52, U53, U58, M02 , M21, O01
L03 U07, U09, U11, U14, U16, U18, U20, U25, U26, U27, U28, U32, U33, U34, U36, U38, U40, U42, U46, U49, U50, U58, U59, U60, M03, M04, M05, M06, M14, O01, O02, O05
L04 U04, U06, U12, U13, U14, U16, U17, U19, U23, U24, U25, U26, U27, U32, U33, U34, U35, U36, U38, U39, U40, U42, U45, U59, U60, M02, M15, M17, M22, M23, M24, M26, O04, O05
L05 U05, U15, M26
Eksamensoppgaver Andre oppgaver
U06, U21, U24, U45, M21 U10, U29, M25, M30, O06
U07, U14, U20, U25, U26, U27, U28, U33, U34, U36, M03, M04, M05, M06 U56, M30, O06
U12, U13, U14, U19, U23, U24, U25, U26, U27, U33, U34, U35, U36, U39, U45, M22, M23, M24
U29, M07, M10, M16, M18, M20, M25, M30
M13a, M16
L06 U37, M01, M08, M15, O04, O05 M11, M12, M13b, M30, O06
L07 U21, U45, O01
L08 U01, U05, U06, U07, U15, U19, U20, U21, U22, U23, U35, U39, U43, U44, U45, U60, M09, M21, M22, M24, O01, O02, O03, O04
L09 U02, U03, U11, U41, U49, U50, U54, U55, M02, M03, M04, M05, M06, M17
L10 U09, U14, U37, M01, M03
U21, U45 U10, M10
U07, U19, U20, U21, U22, U23, U35, U39, U44, U45, M21, M22, M24 M30
U03, M03, M04, M05, M06 U29, U47, U48, M19, M27, M28, M29
U14, M03 M30
L11 U30, U46 M25
L12 U02, U08, U30, U46, U49, U50, U57, U58
U47, U48, M30
5.6 Inndeling etter tema
Algebraiske uttrykk
Algoritmisk tenkning
Asymptoter
Bevis og utledninger
Bra til vertikale tavler
U20, U30, U53, U58, M17, O01
U02, U03, U11, U41, M02, M03, M04, M05, M06, M14
U27
U09, U12, U13, U17, U30, U32, U37, U39, U40, U42, U46, U47, U51, U52, U53, U59, M08, M21, M23, M24, O01
Eksamensoppgaver Andre oppgaver
U20
U10, U29, M12, M25, M30, O06
U03, M03, M04, M05, M06 U29, M19, M27, M28, M29, M30
U27
U12, U13, M21, M23, M24 U10, M25, O06
Brøk
U32, U51
CAS M02, M03, M04, M05, M06, M08, M09, M21
Derivasjon U24, U35, U45, M24
Faktorisering
U04, U28, U34
Figurtall U03, M02, M03, M04, M05, M06
Formler U04, U23, U30, U38, U46, U58, U60, M17, M26, O04
Funksjoner
U19, U24, U27, U28, U33, U34, U35, U45, M21, M22ab, M24
Gjennomsnittlig vekstfart U16
M03, M04, M05, M06, M21 M25
U24, U35, U45, M24 M07, M20
U28, U34
U03, M03, M04, M05, M06
U23
U19, U24, U27, U28, U33, U34, U35, U45, M21, M22, M24
U29, M16, M20, M25
M25
Identiteter U20, U34, U43 U20, U34 M30
Kvadratsetningene U20, U43 U20
Kvadrattall U54, U55, M01 M11
Likninger U04, U05, U06, U07, U15, U18, U21, U22, U23, U44, U60, M01, M09, O02, O03
U06, U07, U18, U22, U23, U44
Bra til vertikale tavler Eksamensoppgaver Andre oppgaver
Modellering M10, M22, O05 M22
M07, M16
Momentan vekstfart M07
Mønstergjenkjenning
Polynomdivisjon
U02, U03, U11, U41, U49, U50, U54, U55, M03, M04, M05, M06, M14, M17
U33, U34, U44
Potenser U52, U59, M17
Primtall U42
U03, M03, M04, M05, M06
U29, U47, U48, M19, M27, M28, M29, M30
U33, U34, U44 U56
Programmering U25, U36, M02, M03, M14 U25, U36, M03
Pytagorassetningen
Regnerekkefølge
Stigningstall og konstantledd
U05, U06 U06
U08
U19, U22 , U45
Tallregning U01, U08, U34, U57, U59, M08, M15, O01, O03, O04, O05
Tallsystemer U52, U53
Trigonometri U12, U13, U14, U17, U26, U38, U39, U40, M23, M26
U19, U22 , U45
M12, M13, M18, M28
M13, M30
M11, M12, M13, M18, M19, M20, M27, M28, M29
U12, U13, U14, U26, M23
Ulikheter U18, U28 U18, U28
M11, M12, M13, M16, M18, O06
M12, M13, M28, M30
M10
U
Uten hjelpemidler
Geit i band
Forkunnskaper:
• Kjenne formelen for arealet av en sirkel
• Vite hva vinkelsummen i en trekant er
• Kjenne formelen for arealet av en trekant og pytagorassetningen eller arealsetningen og en eksakt verdi for sinus til 60°
Kommentarer:
Temaene for denne oppgaven er bruk av formler og trigonometri. Oppgaven kan løses uten bruk av trigonometri ved å beherske kompetansemål i matematikk fra 8. trinn. Oppgaven egner seg godt til problemløsning i grupper ved vertikale tavler.
Oppgaven:
Ei geit er inngjerdet i et beite som er formet som en likesidet trekant. Sidene i trekanten er 10 meter. For at ikke geita skal ete opp alt gresset i innhegningen for tidlig, har bonden bundet henne til et tau, slik at geita når akkurat 6 meter fra hjørnet der den andre enden av tauet er festet.
Finn en eksakt verdi for andelen av beitet som geita har tilgang til.
Hvor stor er vinkelen?
Forkunnskaper:
• Kjenne arealsetningen
• Vite eksakt verdi for sinus til 45°
• Vite at summen av to supplementsvinkler (nabovinkler) er 180°
Kommentarer:
Temaene for denne oppgaven er bevis og utledninger og trigonometri. Oppgaven egner seg godt til problemløsning i grupper ved vertikale tavler.
Oppgaven:
Et rektangel ABCD er innskrevet i en sirkel med sentrum S og radius 2. Arealet av rektangelet er 32 .
Hvor mange grader er vinkelen ASB?
Ulike løsninger av en trigonometrioppgave
Forkunnskaper:
• Kjenne arealsetningen, cosinussetning og løsningen av oppgave U12
Kommentarer:
Temaene for denne oppgaven er bevis og utledninger og trigonometri. Oppgaven egner seg godt til problemløsning i grupper ved vertikale tavler. I løsningsforslaget blir det også vist noen tilleggsløsninger som krever kjennskap til metoder som hører inn under kompetansemålene i R1 og R2.
Oppgaven: Gitt kvadratet ABCD. Punktet E er midtpunkt på BC, og punktet F er midtpunkt på DC. Vinkelen mellom AE og AF er a, slik figuren til høyre viser.
På hvor mange ulike måter kan du finne en eksakt verdi for sin a?
Rotfunksjoner og potenser
Forkunnskaper:
• Kunne regneregler for potenser og rotfunksjoner.
• For å løse oppgave b må en også kjenne til eulertallet, den naturlige logaritmen og derivasjon. Denne deloppgaven egner seg derfor best for R1 og R2.
Kommentarer:
Temaene for denne oppgaven er bevis og utledninger, potenser og tallregning.
Oppgaven egner seg godt til problemløsning i grupper ved vertikale tavler.
Oppgaven:
a) Ordne disse tallene i stigende rekkefølge uten bruk av kalkulator eller andre digitale hjelpemidler.
2 , 3 3 , 5 5
b) Bevis at dersom b > a og a > e, så vil alltid b b > a a .
En spesiell andregradslikning
Forkunnskaper:
• Vite at x 0 = 1 når 0 x ≠
• Vite at 1a = 1 når a ∈
• Vite at (–1)n = 1 når n er et partall
• Kunne løse andregradslikninger
Kommentarer:
Temaene for denne oppgaven er formler og likninger. Oppgaven egner seg godt til problemløsning i grupper ved vertikale tavler.
Oppgaven:
Finn alle løsningene på likningen 2 56 1 xx x −+ = .
M
Med hjelpemidler
Hvor mange meter dopapir er det i rullen?
Forkunnskaper:
• Kunne formelen for omkretsen av en sirkel
• Kunne regne ut gjennomsnittet av to størrelser
Kommentarer:
Temaene for denne oppgaven er formler, modellering og tallregning.
Når jeg har brukt denne oppgaven med elevene, har jeg latt dem jobbe parvis med en dorull av samme slag til hvert par. De har også fått et skyvelære for å kunne gjøre mest mulig nøyaktige målinger. Det gir mye større engasjement enn å gjøre målinger og beregninger basert på en figur.
I løsningen av denne oppgaven har jeg tatt utgangpunkt i disse målingene:
Radius i den innerste «runden» med papir er mellom 19 og 20 mm.
Radius i den ytterste «runden» med papir er mellom 55 og 56 mm.
Tykkelsen på papiret er mellom 0,15 og 0,20 mm.
Tykkelsen av papiret er den største feilmarginen. Jeg lot elevene skrive resultatene med egne vurderte feilmarginer på en tavle. Til slutt rullet vi ut en dorull og fant ut hvilke par som hadde fått et resultat der «fasiten» lå innenfor feilmarginene. Hvis en ikke vil sløse med papiret, står ofte lengden av papiret på pakken med doruller. Det gir imidlertid større engasjement om elevene måler lengden selv. De vil da også få et bedre grunnlag for å vurdere lengder senere.
Oppgaven:
Finn ut hvor mange meter dopapir det er i rullen, uten å rulle den ut og måle hele lengden. Oppgi svaret med det du mener er rimelige feilmarginer. Skriv ned framgangsmåten og hvordan du kommer fram til feilmarginene.
Volum av restlegeme II
Forkunnskaper:
• Kunne bruke CAS effektivt
• Kunne formelen for volumet av ei kule
• Kunne jobbe systematisk og strukturert
Kommentarer:
Temaene for denne oppgaven er algebraiske uttrykk, bevis og utledninger, CAS, formler og funksjoner. Oppgave U46 er en variant av denne oppgaven uten hjelpemidler.
Oppgaven:
I oppgave U46 står det: Du borer et rett sylindrisk hull gjennom ei kule. Sylinderhullet blir 6 cm langt. r er her radius i sylinderen, og R er radius i kula. Hva blir volumet av den gjenværende delen av kula?
Sett fra siden
Sett fra toppen
Illustrasjon
I løsningen av U46 går vi ut fra at volumet av restlegemet er konstant, uansett hva radius i kula er, så lenge radius i «hullet» er mindre enn radius i kula.
Du får oppgitt at volumet av en «kulekalott» er gitt ved 2 1 ()(3). 3 KRhRh =π⋅−
Vis ved hjelp av algebra og CAS at volumet av restlegemet er 36π.
Utbryterrom (escape room)
Forkunnskaper:
• Kunne grunnleggende programmering
• Kunne kjenne igjen mønster og evne å generalisere ut fra figurtall
• Kunne konvertere tall fra totallssystemet til titallssystemet
• Vite hva som menes med en identitet
• Ha evne til logisk og systematisk tenkning
Kommentarer:
Temaene for denne oppgaven er algebraiske uttrykk, algoritmisk tenkning, identiteter, mønstergjenkjenning og tallsystemer.
I denne aktiviteten kan elevene prøve å løse flere oppgaver for å samle tall til en tisifret kode og finne nøkler som kan hjelpe dem med å komme seg ut av leiligheten i løpet av 30 minutter. Det vil lønne seg å ha jobbet med flere av de andre oppgavene først, da løsningen av oppgavene i denne aktiviteten gjerne bygger på kunnskap og erfaringer en får gjennom å ha løst tidligere oppgaver. Denne aktiviteten vil derfor kunne fungere som en oppsummerende repetisjon.
Oppgaven:
Følg lenken eller bruk QR-koden i margen.
https://qr.capdam.no/r/aZH7eI3G4y
Prøv å komme deg ut av rommet før tiden er ute!