Sinus P MATEMATIKK
STUDIEFORBEREDENDE VG1
BOKMÅL
Oldervoll | Svorstøl | Jacobsen
Foto og grafikk:
Bildene er fargemanipulert.
Omslagsfoto: acilo / Getty Images
Kapittel 1: Nikki Zalewski / Adobe Stock
Kapittel 2: NicoElNino / Shutterstock
Kapittel 3: Sandra Milena Valero Orjuela / Getty Images
Kapittel 4: lilymary / Adobe Stock
Kapittel 5: mxsbmbrg / Shutterstock
Kapittel 6: BEST-BACKGROUNDS / Shutterstock
Oppgavedel: araho / Adobe Stock
Side 274: Nortura, side 285: ThinkstockPhotos, side 310: traveler1116 / Digital Visson Vectors, side 336: valdum / iStock, side 345: zhev / iStock
© Cappelen Damm AS, Oslo 2024
Sinus 1P følger læreplan (LK20) i praktisk matematikk fellesfag 1P fra 2020, for vg1 studieforberedende utdanningsprogram.
Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt avtale med Cappelen Damm AS er enhver eksemplarfremstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Enhver bruk av hele eller deler av utgivelsen som input eller som treningskorpus i generative modeller som kan skape tekst, bilder, film, lyd eller annet innhold og uttrykk, er ikke tillatt uten særskilt avtale med rettighetshaverne.
Bruk av utgivelsens materiale i strid med lov eller avtale kan føre til inndragning, erstatningsansvar og straff i form av bøter eller fengsel.
Kilden til alle eksamensoppgaver er Utdanningsdirektoratet. Alle disse oppgavene er merket med årstall. De er gjengitt med tillatelse.
Grafisk formgiver: BØK/Cappelen Damm AS Omslagsdesign: Cappelen Damm AS Frihåndstegninger: Per Ragnar Møkleby Tekniske tegninger: Terje Sundby (Keops) og Cappelen Damm
Redaktør: Bjørn-Terje Smestad
Sats: HAVE A BOOK, Polen 2024
Trykk og innbinding: Livonia Print, Latvia 2024
Utgave nr. 5 Opplag nr. 1
ISBN 978-82-02-84521-6
www.cdu.no sinus.cdu.no
Forord
Sinus er et matematikkverk utviklet etter læreplanene fra 2020. Boka Sinus 1P er skrevet for faget 1P i den videregående skolen. Boka legger vekt på den grunnleggende matematikken og den gir mange eksempler på hvordan vi bruker faget i samfunnsliv og arbeid. I teoridelen har hvert kapittel, hvert delkapittel og hver oppgavesekvens økende vanskegrad.
Læreplanene fra 2020 inneholder krav om at elevene skal kunne kommunisere ideer, drøfte matematiske problemer, strategier og løsninger med andre. Boka inneholder derfor mange diskusjonsoppgaver der elevene skal øve på dette.
Utforskende matematikk er sentralt i læreplanen. I innledningen til mange delkapitler fins det utforskende opplegg der elevene skal oppdage egenskaper og regler før stoffet er behandlet i boka. Men det er likevel mulig å lese teoridelen uten å gjøre de utforskende oppleggene. Utforsk-oppleggene er best egnet som gruppearbeid, men de kan også gjøres individuelt.
Til slutt i hvert kapittel finner elevene et sammendrag av viktige regler og metoder i kapitlet. Der finner vi også en større prosjektoppgave. I noen av disse prosjektoppgavene får elevene bruke stoffet i kapitlet innenfor andre fagfelt. I andre oppgaver får elevene lære ny og spennende matematikk. Alle kapitlene blir avsluttet med et oppgavesett som er egnet til repetisjon av stoffet i kapittelet.
Boka inneholder grundige forklaringer på bruk av GeoGebra som grafisk verktøy og som CAS-verktøy. Boka inneholder også hjelp til elever som velger å bruke en enkel kalkulator. Til stoff som egner seg for bruk av regneark er det opplæring i bruk av dette. Elevene lærer også å bruke programmeringsspråket Python.
Til verket hører også et eget nettsted: sinus.cdu.no. Her finner vi tilleggsstoff med blant annet løsninger av oppgavene i teoridelen.
Oppgavedelen i boka er delt i tre deler: «Øv mer», «Blandede oppgaver» og «Åpne oppgaver». «Øv mer» er repetisjonsoppgaver ordnet etter delkapitlene i teoridelen. «Blandede oppgaver» inneholder både eksamensoppgaver og varierte oppgaver med passende utfordringer for alle elever. Oppgavene er merket, slik at læreren vet hvilke oppgaver som elevene kan løse når de er ferdig med et delkapittel. «Åpne oppgaver» inneholder morsomme og utfordrende oppgaver som ikke har noe fast løsningsmønster. Her får elevene brukt kreativiteten sin.
Helt til slutt i boka finner vi fasit og stikkordregister.
I arbeidet med å få fram best mulige læremidler er det viktig å ha god kontakt med brukerne av boka. Vi vil gjerne ha tilbakemeldinger og innspill til forbedringer.
Tore Oldervoll – Otto Svorstøl – Robin Bjørnetun Jacobsen
TALL OG TALLREGNING
Mål for opplæringen er at eleven skal kunne
• lese, hente ut og vurdere matematikk i tekster om situasjoner fra lokalmiljøet, gjøre beregninger knyttet til dette og presentere og argumentere for resultatene
UTFORSK SUM OG DIFFERANSE I HODET
STEG 1
a) Hvor mange tiere er 7 tiere og 5 tiere til sammen?
b) Hva blir da 70 kr + 50 kr?
c) Hvor mange hundrelapper er 7 hundrelapper og 5 hundrelapper til sammen?
d) Hva blir 700 kr + 500 kr?
STEG 2
a) Vi har 12 tiere og betaler 5 tiere. Hvor mange tiere har vi da igjen?
b) Hva blir 120 kr - 50 kr?
c) Hvor mange hundrelapper har vi igjen hvis vi har 12 hundrelapper og betaler 5 hundrelapper?
d) Hva blir så 1200 kr - 500 kr?
STEG 3
Mons har 76 kr, og Mina har 52 kr.
a) Hvor mange hele tiere og hvor mange kronestykker har hver av dem?
b) Hvor mange hele tiere og hvor mange kronestykker har de til sammen?
c) Hva blir etter dette 76 kr + 52 kr?
STEG 4
Mons har 76 kr og betaler 52 kr til Mina.
a) Hvor mange hele tiere og hvor mange kronestykker har Mons igjen?
b) Hva blir etter dette 76 kr - 52 kr?
1.1 Hoderegning
Når vi handler, har vi bruk for å regne i hodet. Vi skal nå trene litt på det.
EKSEMPEL
Regn ut i hodet.
a) 400 kr + 900 kr
b) 1500 - 900
a) Vi vet at 4 + 9 = 13. Da er
400 kr + 900 kr = 1300 kr
b) Vi vet at 15 - 9 = 6. Da er
1500 - 900 = 600
OPPGAVE 1.10
Regn ut i hodet.
a) 30 kr + 60 kr
c) 90 kr - 40 kr
OPPGAVE 1.11
Regn ut i hodet.
a) 70 + 50
b) 800 kr + 500 kr
d) 1300 kr - 700 kr
b) 900 + 800
c) 3000 + 12 000 d) 90 - 40
e) 800 + 700 - 300 f) 2500 - 1700 + 130
Når vi skal legge sammen tall som ikke er hele tiere eller hele hundrere, finnes det noen smarte måter å gjøre det på.
Hvis vi skal legge sammen 74 og 36, kan vi dele opp tallene i tiere og enere før vi summerer, slik at vi får 74 + 36 = 70 + 4 + 30 + 6 = 70 + 30 + 4 + 6 = 100 + 10 = 110
På samme måte kan vi trekke 122 fra 545 ved å dele opp stykket slik:
-
OPPGAVE 1.12
Regn ut i hodet.
a) 31 + 48 b) 52 + 65
c) 99 - 37 d) 127 + 361 - 100
e) 555 - 234 + 78
OPPGAVE 1.13
Regn oppgaven i hodet.
Et gatekjøkken selger brus for 20 kr, pommes frites for 28 kr og hamburgere for 49 kr.
a) Hva koster det til sammen for én brus, én pommes frites og én hamburger?
b) Fem venner kjøpte hver sin brus, pommes frites og hamburger.
Hvor mye betalte de til sammen?
c) Sebastian kjøpte varer for 145 kroner.
Hva tror du han kjøpte?
Mange gange- og delestykker bør vi kunne regne i hodet. Det er spesielt viktig å kunne gange og dele på 10, 100 og 1000.
DISKUSJON
Hva gjør vi når vi ganger hele tall med 10, 100 og 1000?
Hva gjør vi når vi ganger desimaltall med 10, 100 og 1000?
EKSEMPEL
Regn ut i hodet.
a) 42,35 ⋅ 10
b) 348 ⋅ 1000
LØSNING
a) Når vi ganger med 10, flytter vi kommaet én plass til høyre.
42,35 ⋅ 10 = 423,5
b) Når vi ganger et helt tall med 1000, setter vi tre nuller bak tallet.
348 1000 = 348 000
OPPGAVE 1.14
Regn ut i hodet.
a) 9 ⋅ 100 b) 14 ⋅ 100
c) 17,5 ⋅ 1000 d) 108,2 ⋅ 10
DISKUSJON
Hva gjør vi når vi deler tall med 10, 100 og 1000?
EKSEMPEL
Regn ut i hodet.
a) 225 : 100
b) 7,75 : 1000
LØSNING
a) Når vi deler med 100, flytter vi kommaet to plasser til venstre.
225100225 0 100 225 :, :,==
b) Når vi deler med 1000, flytter vi kommaet tre plasser til venstre. Vi tenker oss at det står tre nuller foran 7,75. Dette kan vi gjøre siden det betyr at vi har 0 tiere, 0 hundrere og 0 tusenere.
775 1000 775 1000 0 00775 000 ,:,: , = =
OPPGAVE 1.15
Regn ut i hodet.
a) 7000 : 10 b) 34 : 100
c) 8 : 1000 d) 23,4 : 100
EKSEMPEL
Å kunne gange med 10, 100 og 1000 er også nyttig når vi skal regne andre typer gangestykker. Vi vet at 7 ⋅ 4 = 28, og da blir
7407 4102810 280
7 400 74 100281002800
Noen ganger kan det være lurt å dele et gangestykke opp i flere deler. Å gange et tall med 2 er det samme som å doble tallet. Å gange med 4 er det samme som å doble to ganger, siden 2 2 = 4. Når vi skal regne ut 4 15, kan vi regne slik i hodet: Vi vet at 2 ⋅ 15 = 30. Dermed er 4 ⋅ 15 det samme som 2 ⋅ 30 = 60
Regn ut i hodet.
a) 6 ⋅ 70 kr
b) 4 ⋅ 3,50 m
c) 40 ⋅ 3,50 m
LØSNING ?
a) Ettersom 6 ⋅ 7 = 42, er
6 ⋅ 70 kr = 6 ⋅ 7 ⋅ 10 kr = 42 ⋅ 10 kr = 420 kr
b) Vi dobler 2 ganger. Ettersom 2 ⋅ 3,50 m = 7 m, er
4 3,50 m = 2 7 m = 14 m
c) 40 3,50 m er 10 ganger så mye som 4 3,50 m. Dermed blir
40 ⋅ 3,50 m = 10 ⋅ 4 ⋅ 3,50 m = 10 ⋅ 14 m = 140 m
OPPGAVE 1.16
Regn ut i hodet.
a) 2 80 b) 4 80
c) 8 ⋅ 80 d) 8 ⋅ 800
OPPGAVE 1.17
Regn ut i hodet.
a) 2 ⋅ 15 b) 4 ⋅ 15 c) 8 ⋅ 15
d) 16 15 e) 160 15
OPPGAVE 1.18
a) Forklar hvorfor 99 ⋅ 5 = 100 ⋅ 5 - 1 ⋅ 5.
b) Bruk ideen fra oppgave a til å løse disse oppgavene:
99 ⋅ 5
197 ⋅ 3
998 ⋅ 8
UTFORSK MULTIPLIKASJON
STEG 1
Rutenettet til høyre skal vi bruke til å regne ut 13 ⋅ 12.
a) Forklar at antallet ruter i hele figuren må være 13 ⋅ 12.
b) Finn antallet ruter i det grå feltet, det blå feltet, det røde feltet og det gule feltet.
c) Bruke svarene i oppgave b til å finne antallet ruter i hele figuren. Hva må dermed 13 ⋅ 12 bli?
d) Forklar ut fra figuren at vi kan regne ut 13 ⋅ 12 på disse to måtene:
1312131013 2
13121010 310102 32
Regn ut.
STEG 2 50 53 24 20 4
a) Forklar hvordan vi kan bruke figuren ovenfor til å regne ut 53 ⋅ 24.
b) Forklar ut fra figuren at vi også kan finne svaret ved hjelp av disse to regnestykkene:
5324532053 4
53245020 320504 34
c) Finn svaret.
STEG 3
Lag en figur som du kan bruke til å regne ut 43 ⋅ 32. Hva blir regnestykket nå?
STEG 4
Kan du lage en figur for å finne 313 ⋅ 411 med denne metoden?
1.2 Multiplikasjon og divisjon
Vi skal nå se hvordan vi kan utføre multiplikasjon og divisjon med penn og papir.
La oss si at vi skal regne ut 53 ⋅ 24. De to tallene 53 og 24, som vi skal multiplisere med hverandre, kaller vi faktorer. For å gjøre utregningen enklere kan vi skrive faktorene som en sum av to tall. Hvert tall i en sum kaller vi ledd. Vi kan for eksempel gjøre slik:
5324532053 4 10602121272
Når vi regner slik, bruker vi gjerne faste metoder som vi kaller algoritmer. Når du skal multiplisere, bruker du kanskje algoritmen nedenfor? Sammenlikn utregningen i algoritmen med utregningen ovenfor.
Vi gjør til sammen fire multiplikasjoner og begynner med de to bakerste sifrene i faktorene 53 og 24:
3 12 4 Dette gir 2 på enerplassen i linje og 1 i mente.
5 4 20 Vi legger sammen 20 og mentetallet 1 og skriver 21 foran 2-tallet i linje .
36 2 Siden 2-tallet står på tierplassen i 24, skriver vi nå 6 på tierplassen i linje .
5 2 10 Vi skriver 10 foran 6-tallet i linje
Til slutt summerer vi linje og og får svaret 1272.
Da vi skulle regne ut 53 ⋅ 24, kunne vi også ha delt opp uttrykket i flere ledd.
5324532053 4 5020 320504 34 100060200121272
OPPGAVE 1.20
Regn ut med penn og papir. a) 1231 ⋅ b) 3214 ⋅ c) 6144 ⋅ d) 9412 ⋅
OPPGAVE 1.21
Regn ut med penn og papir. a) 21141 ⋅ b) 41233 ⋅ c) 12315 ⋅ d) 94 621 ⋅
EKSEMPEL
LØSNING
DISKUSJON
Du skal regne ut 19 28 uten hjelpemidler. Her ser du tre ulike måter å tenke på:
1) 19281028 928
2) 19282028 128
3) 1928102010 89 20 98
Hvilken av disse metodene synes du ser enklest ut? Hvorfor?
Forklar hvorfor alle de tre metodene gir riktig svar.
Når vi utfører en divisjon, kan vi også gjøre det enklere for oss selv ved å dele opp tallene i flere ledd.
Tallet 744 kan vi dele opp slik:
74460012024
Da ser vi at 744 6 600 6 120 6246 10020 4 124 :: ::
Vi skrev tallet 744 som 600 + 120 + 24, for da går 6 opp i hvert ledd. Den samme tankegangen bruker vi i divisjonsalgoritmen nedenfor.
Regn ut 744 : 6.
Her er en forklaring på hvert av de ni punktene i utregningen.
6 går opp i 7 én gang. Vi skriver derfor tallet 1 først i svaret.
Vi regner ut 6 1 = 6 og skriver -6 nedenfor 7-tallet i 744.
Vi trekker 6 fra 7 og får 1. Så flytter vi ned 4 fra tierplassen i 744, slik at det står 14.
6 går opp i 14 to ganger. Vi legger da til tallet 2 i svaret.
Vi regner ut 6 2 = 12 og skriver -12 nedenfor 14.
Vi trekker 12 fra 14 og får 2. Så flytter vi 4 fra enerplassen i 744, slik at det står 24.
6 går opp i 24 fire ganger. Vi skriver dermed tallet 4 bakerst i svaret.
Vi regner til slutt ut at 6 ⋅ 4 = 24 og skriver -24 under 24.
Vi trekker 24 fra 24 og får 0 i rest.
Ettersom resten er 0, går divisjonen opp, og svaret er 124.
OPPGAVE 1.22
Regn ut med penn og papir.
a) 724:
b) 917 :
c) 1255:
d) 4644:
OPPGAVE 1.23
Regn ut med penn og papir.
a) 6843:
b) 9877:
c) 24157:
d) 38511 :
Regn ut 1950 : 12.
I eksempelet ovenfor får vi først en rest på 6. For å bli kvitt denne fører vi ned en 0 bak resten. På denne måten finner vi ut hvor mange tideler vi skal ha i svaret. Dersom divisjonen fortsatt ikke hadde gått opp, ville vi ført ned enda en 0 for å bestemme antall hundredeler, og så videre.
OPPGAVE 1.24
Regn ut med penn og papir.
a) 1356:
b) 6075:
c) 7068:
d) 371715 :
1.3 Overslagsregning
Noen ganger skal vi gjøre utregninger uten at vi trenger det helt nøyaktige svaret. Da kan vi bruke overslagsregning og deretter hoderegning til å finne ut omtrent hvor stort svaret er. Et slikt omtrentlig svar vil ofte være godt nok for oss.
Når vi gjør overslag, forsøker vi å komme så nær det eksakte svaret som mulig. Hvis vi skal regne ut 49 + 33 med overslagsregning, er det naturlig å runde av slik:
4933503080
Hovedregelen ved overslagsregning er at vi avrunder til nærmeste hele ener, tier, hundrer eller tusener, alt etter størrelsen på tallene vi regner med. Ved addisjon og multiplikasjon bør vi unngå å avrunde alle tall samme vei for at overslaget skal bli så nøyaktig som mulig. Hvis vi for eksempel runder alle tallene i en sum ned, får vi et for lavt overslag.
DISKUSJON
Når Eva går i butikken, bruker hun overslagsregning. Eva runder alle prisene opp og har oppdaget at hun da aldri kjøper for mer penger enn hun har. Forklar hvorfor metoden gjør at hun alltid har penger til overs.
OPPGAVE 1.30
a) Bruk overslag og regn ut 27,90 + 32,90 på disse tre måtene:
1) Rund begge tallene opp til nærmeste tier.
2) Rund begge tallene ned til nærmeste tier.
3) Bruk overslag og rund ett tall opp og ett ned.
b) Regn ut 27,90 + 32,90 på en kalkulator.
c) Hvilken metode fra oppgave a gir det beste svaret?
OPPGAVE 1.31
a) Bruk overslag og regn ut 85,90 - 23,50 på disse tre måtene:
1) Rund begge tallene opp til nærmeste tier.
2) Rund begge tallene ned til nærmeste tier.
3) Bruk overslag og rund ett tall opp og ett ned.
b) Regn ut 85,90 - 23,50 på en kalkulator.
c) Hvilken metode fra oppgave a gir det beste svaret?
LØSNING
?
Bruk overslagsregning og finn omtrent hvor stort svaret er.
a) 1847525720 ,, +
b) 6575037945 ,, -
c) 18,,5263 ⋅
d) 122 :,312
a) Ved addisjon er det lurt å runde ett tall opp og ett ned. 1847525720180260440 ,,
b) Ved subtraksjon er det lurt å runde begge tallene opp eller begge ned. 6575037945660380280 ,,
c) Ved multiplikasjon runder vi helst ett tall opp og ett ned. 18 5263 2025500 ,,
d) Ved divisjon runder vi helst begge tallene opp eller begge ned.
122 312 120 340 :, :
OPPGAVE 1.32
Bruk overslagsregning og finn omtrent hvor stort svaret er.
a) 3853 +
b) 14223 -
c) 38902250 ,, ⋅
d) 148502650 ,: ,
OPPGAVE 1.33
Bruk overslagsregning og finn omtrent hvor stort svaret er.
a) 232 5 488 3 ,, +
b) 488 3 232 5 ,, -
c) 42,,8187 ⋅
d) 362 :,73
d) 58220 3 :, EKSEMPEL
OPPGAVE 1.34
Bruk overslagsregning og finn omtrent hvor stort svaret er.
a) 788 3 615 2 ,, +
b) 788 3 615 2 ,, -
c) 123 22 ,,13 ⋅
Vanja Vespa har en skuter som hun bruker mye. Bruk overslagsregning når du løser denne oppgaven.
a) En dag fyller hun 4,8 L bensin som koster 22,30 kr per liter.
Omtrent hvor mye betaler Vanja for bensinen?
b) Mopeden hennes bruker 0,23 L bensin per mil.
Omtrent hvor mye bensin trenger hun til en tur på 18 mil?
c) Omtrent hvor lang tid bruker hun på 18 mil når hun kjører i 47 km/h?
LØSNING
a) Prisen for 4,8 L bensin blir
22304 8225 110 ,kr, kr kr
b) Antallet liter bensin er
0 2318 02 20 4 ,, L L L
c) Ettersom 18 mil = 180 km, bruker hun
180 47 200 50 4 hh h
Vanja bruker omtrent 4 timer.
OPPGAVE 1.35
Marie er i butikken og har med seg 350 kr. Hun skal kjøpe et brød til 37,50 kr, ei pakke kjøttdeig til 76,50 kr, 2 liter jus til 26,50 kr per liter, 5 kg poteter til 44 kr, en pose epler til 29,50 kr, 4 flasker brus til 24,90 kr per flaske og ei avis til 30 kr. Bruk overslagsregning og finn ut om Marie har med seg nok penger.
OPPGAVE 1.36
Edvard og Amund er på kino og vil kjøpe seg noe godt fra kinokiosken.
a) Prisen for smågodt er 22 kr per hg. De kjøper til sammen 460 g smågodt. 1 hg = 100 g.
Omtrent hvor mye må de betale for smågodtet?
b) De kjøper også ei bøtte popkorn på 190 g for 89 kr.
Omtrent hvor mye betaler guttene per hektogram popkorn?
Inne på kinoen møter de Oline, som har kjøpt med seg popkorn fra matbutikken. Der betalte hun 16 kr for 80 g.
c) Omtrent hvor mye betalte Oline per hektogram popkorn?
EKSEMPEL
1.4 Regnerekkefølge
Uttrykket 24 kaller vi en potens. Tallet 2 kaller vi grunntallet og tallet 4 eksponenten.
grunntall → 24 ← eksponent
Eksponenten forteller hvor mange ganger vi skal gange grunntallet. 2 2222 4 4 faktorer
Regn ut.
a) 52 b) 23 c) 2 2
LØSNING ?
a) 55 525 2
b) 2 222 8 3
c) 22 24 2
OPPGAVE 1.40
Regn ut. a) 32 b) 3 2 c) 33 d) 3 3
DISKUSJON
Her har vi regnet noen oppgaver på to måter. Forklar hva vi har gjort.
Hvilken utregning tror dere er riktig?
a) 44 20 22 14 32 54 312
b) 2 2143 318 43 12 24 6
c) 12 2102 36 33 30 1212 6
d) 44 23 317 53 24 520
e) 2 35 39 25 22 11 22 2
f) 2 36 39 36 22 18 22 2
Lag regler som gjelder for slike uttrykk.
Når vi skal regne ut et uttrykk, må vi alltid gjøre det i denne rekkefølgen:
1. Regn først ut parentesene.
2. Regn deretter ut potensene.
3. Utfør deretter multiplikasjonene og divisjonene.
4. Utfør til slutt addisjonene og subtraksjonene.
EKSEMPEL
LØSNING
Vi viser nå med et eksempel hvordan vi går fram.
Regn ut.
a) 2 ⋅ 4 + 3 ⋅ 5 b) -32 + 2 ⋅ 52 c) -2 ⋅ (3 + 1) - (6 + 2) : 4 + 4 ⋅ 23.
a) 2 ⋅ 4 + 3 ⋅ 5 = 8 + 15 = 23
b) -32 + 2 ⋅ 52
= -9 + 2 ⋅ 25
= -9 + 50 = 41
c) -2 ⋅ (3 + 1) - (6 + 2) : 4 + 4 ⋅ 23
= -2 ⋅ 4 - 8 : 4 + 4 ⋅
= -2 ⋅ 4 - 8 : 4 + 4 ⋅ 8 = -8 - 2 + 32 = 22
Multiplikasjon før addisjon
Potenser før multiplikasjon
Multiplikasjon før addisjon
Først parenteser
Deretter potenser
Så multiplikasjon og divisjon
Til slutt addisjon og substraksjon
Legg spesielt merke til hvordan vi regner ut 2 ⋅ 52. Det er ikke det samme som 102. Når vi skriver 2 ⋅ 52, er det bare 5-tallet som skal opphøyes i andre potens, slik at 2 ⋅ 52 = 2 ⋅ 25 = 50
Når vi skriver -32, er det bare tallet 3 som skal opphøyes i andre potens, ikke tallet –3. Dermed er -32 = -3 ⋅ 3 = -9
Hvis vi vil opphøye tallet –3 i andre potens, må vi skrive (-3)2 . (-3)2 = (-3) ⋅ (-3) = 9
OPPGAVE 1.41
Regn ut uten hjelpemidler. a) 4 ⋅ 22 b) 4 ⋅ (-2)2 c) 5 - 32 d) (5 - 3)2 e) -22 + 32- 2 ⋅ (-2) f) -(-2)2 + (-3)2 - 22
OPPGAVE 1.42
Regn ut uten hjelpemidler. a) (-3)2 + 5 ⋅ (-3) + 6 b)
Vi kan regne ut uttrykkene fra eksempelet på forrige side digitalt. Vi bruker her uttrykket -2 ⋅ (3 + 1) - (6 + 2) : 4 + 4 ⋅ 23 som eksempel.
Kalkulator
På gode kalkulatorer kan vi skrive inn hele uttrykket i ett, som vist her:
Vi ser rett nok ikke hele uttrykket her. For å skrive inn potensen 23 måtte vi trykke 2 etterfulgt av x og 3. Prøv å få det til på din kalkulator.
Python
Potensen 23 skriver vi som 2**3 med Python. Vi kan regne ut uttrykket slik: print(-2*(3+1) - (6+2)/4 + 4*2**3) 1
2
Når vi kjører programmet, får vi denne utskriften:
22.0
CAS
Vi kan også bruke GeoGebra CAS. Da går vi fram slik:
Vi åpner GeoGebra, klikker på øverst i høyre hjørne og velger Vis . Der merker vi av for CAS. Så skriver vi uttrykket slik det står. Som delingstegn bruker vi tegnet «/» på tastaturet. For å få fram multiplikasjonstegnet bruker vi tegnet «*». Vi trykker «Alt + 3» eller «^3» for å få fram eksponenten 3 i 23
Legg merke til at GeoGebra ikke skiller mellom delingstegn og brøkstrek.
OPPGAVE 1.43
Regn ut ved hjelp av et digitalt hjelpemiddel. Prøv gjerne flere hjelpemidler. a) 2 ⋅ (2 ⋅ 2 - 2)2 b) -26 + (-2)6 c) 4 ⋅ (3 - 2)3 - 3 ⋅ (2 - 3)3 d) 4 ⋅ (22 - 3)5 - 3 ⋅ (23 - 32)5
EKSEMPEL
1.5 Brøk
En brøk består av en brøkstrek med ett tall over brøkstreken og ett tall under brøkstreken. Tallet over brøkstreken kaller vi teller, og tallet under brøkstreken kaller vi nevner. En huskeregel du kan bruke her, er at nevneren er nederst. 2 5 teller
brøkstrek nevner
LØSNING
I brøken ovenfor er telleren 2 og nevneren 5. Brøken representerer derfor 2 deler av noe som er delt inn i 5 like store deler. På figuren ovenfor er de to pizzastykkene 2 5 av hele pizzaen. Hvis du får til 2 av 5 oppgaver på en prøve, har du fått til 2 5 av prøven.
Hvor stor brøkdel av lykkehjulet er farget henholdsvis grønt, gult, blått og rødt?
Vi ser at lykkehjulet er delt inn i sju like store deler. Én del er gul, én del er rød, to deler er blå, og tre deler er grønne.
Dermed er 1 7 av lykkehjulet gult, 1 7 er rødt, 2 7 er blått, og 3 7 er grønt.
OPPGAVE 1.50
Vi spør tre elever hvor stor del av det colombianske flagget som er gult. Forklar hvem du mener har rett.
1 3 June:
Det er tre deler, og én av dem er gul. Da må gult utgjøre en tredel av flagget.
Den gule delen er like stor som den blå og den røde til sammen. Derfor utgjør gult halvparten av flagget. 1 2 Tove:
2 3 Cici:
Den gule delen er dobbelt så stor som den blå og den røde. Og det er tre deler til sammen. Da må gult utgjøre to tredeler.
OPPGAVE 1.51
a) I hvilken eller hvilke av disse figurene utgjør den fargelagte delen 1 4 av arealet?
b) Hvor mange sirkler er 1 4 av mengden nedenfor?
Og hvor mange sirkler er 2 3 av mengden?
c) Skriv en brøk som uttrykker hvor stor del av sirklene nedenfor som er gule.
OPPGAVE 1.52
a) Skriv én brøk som er større enn 1 8 .
Skriv også én brøk som er mindre enn 1 8 .
b) Skriv én brøk som er dobbelt så stor som 1 4 og én brøk som er halvparten av 1 4
c) Dommeren sier at mer enn 4 5 av fotballkampen er ferdig spilt.
Skriv en brøk som viser hvor stor del av kampen som da kan gjenstå. Her er det mange mulige svar!
OPPGAVE 1.53
a) Hans og Grete spiser pizza. Hans spiser 3 8 av pizzaen, og Grete spiser 2 8 av pizzaen.
Hvor stor brøkdel av pizzaen spiser de til sammen?
b) Per og Pål skal dele 1 2 kg smågodt likt.
Hvor mye får hver av dem?
c) Er brøken 1 5 nærmest 0, 1 2 eller 1?
OPPGAVE 1.54
a) Noa og Ahmed er på pizzarestaurant og bestiller hver sin pizza. Noa spiser 1 3 av pizzaen sin, mens Ahmed spiser 2 3 av sin.
Kan Noa ha spist mer pizza enn Ahmed?
b) Ved et valg stemmer 1 4 av innbyggerne i Bjørkeby og 1 3 av innbyggerne i Seljeby på Løvtrepartiet.
Hva mer må vi vite for å bestemme hvilken by som gir Løvtrepartiet flest stemmer?
En brøkstrek er det samme som et divisjonstegn. Dermed kan vi skrive 7 2 72 35 ==:,
Vi kan gjøre om brøker til desimaltall ved hjelp av digitale hjelpemidler.
Her gjør vi om 21 8 til et desimaltall.
Kalkulator
På vår kalkulator trykker vi 21 8
D og får dette resultatet:
Python
Med Python kan vi gjøre det slik:
print(21/8) 1 2
Programmet gir denne utskriften:
2.625
CAS
I GeoGebra åpner vi menyen og velger Vis . Der merker vi av for CAS.
Deretter åpner vi Innstillinger i den samme menyen og velger 3 desimaler. Vi skriver brøken i CAS-feltet og bruker tegnet «/» på tastaturet som brøkstrek. Vi trykker så på for å få fram desimaltallet.
Hvis vi for eksempel skal gjøre om 16 7 til desimaltall, blir vi aldri ferdige når vi dividerer. Det blir uendelig mange desimaler i svaret. I slike tilfeller viser de digitale hjelpemidlene bare noen av desimalene. Her regner vi ut 16 7 med Python:
print(16/7) 1
2
Utskrift:
2.2857142857142856
I oppgaver må vi selv bestemme hvor mange desimaler vi vil ha med i svaret. Med Python kan vi gjøre det slik:
print(round(16/7), 3) 1 2
Da blir utskriften denne:
2.286
Kommandoen round(tall, 3) runder av tallet til 3 desimaler.
DISKUSJON
Hvis vi regner ut 16 7 med flere desimaler, får vi 2,285714 Hvorfor skriver Python ut 2,286 og ikke 2,285?
OPPGAVE 1.55
Skriv tallene som desimaltall. Bruk et digitalt hjelpemiddel om nødvendig.
a) 1 2 b) 1 4 c) 2 5 d) 3 8 e) 3 20 f) 3 17
OPPGAVE 1.56
Hvilken brøk har størst verdi? Prøv å finne svaret uten utregninger, og kontroller deretter svaret ved å gjøre brøkene om til desimaltall. a) 1 3 eller 1 4 b) 2 3 eller 3 4 c) 5 3 eller 3 2
UTFORSK BRØK
STEG 1
Bruk figuren nedenfor til å forklare at 1 2 2 4 = .
STEG 2
Bruk figuren nedenfor til å forklare at 2 3 6 9 = .
STEG 3
Lag en figur som forklarer hvorfor 3 5 9 15 = .
STEG 4
a) Forklar ut fra det dere nå har gjort, at vi kan gange telleren og nevneren i en brøk med det samme tallet uten at brøken skifter verdi.
b) Forklar ut fra det dere nå har gjort, at vi kan dele telleren og nevneren i en brøk med det samme tallet uten at brøken skifter verdi.
1.6 Like store brøker
Kaka til venstre nedenfor er delt inn i fire like store deler. Hvert stykke er da 1 4 kake. 1 4 1 8 1 8
Kaka til høyre ovenfor er delt inn i 8 like store deler, og hver del er da 1 8 kake.
Figurene viser at de to delene til høyre er like mye som én del av kaka til venstre. Dermed er
2
8 1 4 =
Dette kan vi kontrollere ved å skrive brøkene som desimaltall:
1 4 14 025 ==:,
2 8 28 025 ==:,
Begge tallene er lik 0,25 og viser dermed at de to brøkene er like.
Vi kan gjøre 2 8 om til 1 4 ved å dividere telleren og nevneren med 2.
2 8 = 2 8 = 1 4 : 2 : 2
Vi har forkortet brøken.
Vi kan gjøre 1 4 om til 2 8 ved å gange telleren og nevneren med 2. 1 4 1 4 2 8 2 2
Vi har utvidet brøken.
Når vi ganger eller deler telleren og nevneren i en brøk med et tall som ikke er 0, endrer ikke brøken verdi.
Hvis vi deler med et helt tall i telleren og nevneren, forkorter vi brøken.
Hvis vi ganger med et helt tall i telleren og nevneren, utvider vi brøken.
LØSNING
Forkort brøkene.
a) 18 30 b) 15 12
a) 18 30 18 30 3 5 6 6 == : :
b) 15 12 15 12 5 4 3 3 == : :
Vi kan også føre forkortingene på denne måten:
a) 18 30 3 5 3 5 = b) 15 12 = 5 4 5 4
I brøken 5 4 er telleren større enn nevneren. Da har vi en uekte brøk. En uekte brøk kan vi skrive som et blandet tall. Brøken 5 4 er det samme som 1 1 4
Du behøver ikke gjøre om uekte brøker til blandede tall. I den videregående skolen bruker vi sjelden blandede tall. Grunnen er at det er vanlig å utelate multiplikasjonstegnet. Tallet 1 1 4 kan vi derfor lett oppfatte som 1 ⋅ 1 4 i stedet for 1 + 1 4 , som er det rette.
Når vi skal finne ut hvor stor en uekte brøk er, bruker vi et hjelpemiddel og regner den uekte brøken om til et desimaltall. Det er lettere enn å regne den om til et blandet tall.
Du trenger altså ikke gjøre uekte brøker om til blandede tall, men du må passe på å forkorte alle svar.
På kalkulatorer og i CAS blir brøker automatisk forkortet når vi skriver dem inn.
Kalkulator M
EKSEMPEL
Python forkorter ikke brøker, men gjør brøkene om til desimaltall.
LØSNING
a) 1 3 18 38 8 24 5 6 54 64 20 24 3 8 33 83 9 24 ?
OPPGAVE 1.60
Forkort brøkene uten å bruke digitale hjelpemidler.
a) 4 6 b) 9 15 c) 18 21 d) 42 54
OPPGAVE 1.61
Bruk et digitalt hjelpemiddel til å forkorte brøkene.
a) 72 120 b) 126 294 c) 132 198
d) 153 51 e) 117 78 f) 308 231
OPPGAVE 1.62
En klasse med 30 elever er ute og spiser pizza. Det sitter 12 personer ved det ene bordet og 18 ved det andre. Ved det minste bordet blir det satt fram 10 L brus og 4 pizzaer. Ved det største bordet blir det satt fram 15 L brus og 6 pizzaer.
Forklar at alle får like mye brus og like mye pizza, ved å forkorte brøker.
a) Utvid brøkene 1 3 , 5 6 og 3 8 slik at alle brøkene får 24 som nevner.
b) Hvilken av de tre brøkene er størst?
Vi ganger med 8 i telleren og nevneren for å få 24 i nevneren.
b) 5 6 er størst, for den brøken får størst teller når vi skriver brøkene med
samme nevner.
5 6 er størst.
Tallet 5 kan vi skrive som en brøk med 3 som nevner:
5 5 1 53 13 15 3
15 tredeler er det samme som 5 hele.
OPPGAVE 1.63
Hvordan kan dere finne ut dette ved regning? ?
Skriv brøkene med 12 som nevner.
a) 1 2 b) 2 3 c) 3 4 d) 5 6
OPPGAVE 1.64
Skriv brøkene med 36 som nevner. a) 3 4 b) 7 9 c) 13 12 d) 11 6 e) 5 2 f) 11 18
1.7 Regning med brøk
DISKUSJON
Du og vennen din har kjøpt ei sjokoladeplate som er delt inn i 15 biter.
Du spiser 1 3 av sjokoladen og vennen din 2 5 .
Hvor mange biter spiser dere til sammen?
Hvor stor brøkdel av sjokoladen er det?
Hva blir etter dette 1 3 2 5 + ?
Hvis du spiser 3 8 av en pizza og vennen din spiser 4 8 av pizzaen, har dere spist
7 8 av pizzaen til sammen.
Vi kan regne slik:
3 8 4 8 7 8
Men hva hvis brøkene har ulike nevnere?
Når vi skal summere to brøker som har samme nevner, summerer vi tellerne og beholder nevneren.
Anne spiser 1 4 kake og deretter 1 8 kake, som vist til venstre nedenfor.
Når vi skal finne ut hvor mye hun har spist til sammen, deler vi den største biten i to like deler. Det blir to biter hver på 1 8 kake, som vist til høyre ovenfor.
Til sammen blir det 3 8 kake.
Ved regning gjør vi det slik:
Her har vi utvidet den ene av brøkene fra 1 4 til 2 8 slik at brøkene får samme nevner.
I eksemplene ovenfor har vi sett på addisjon av brøk. Ideene og framgangsmåten blir akkurat den samme ved subtraksjon av brøk.
LØSNING
Regn ut.
OPPGAVE 1.70
Regn ut.
a)
OPPGAVE 1.71
Regn ut og forkort svaret hvis det er mulig.
OPPGAVE 1.72
Du og klassen din skal starte en elevbedrift. Skolen skal ha 1 3 av inntekten for leie av lokaler. En annen klasse hjelper dere med markedsføring og krever 1 4 av inntekten.
a) Hvor stor del av inntekten må dere da gi fra dere?
b) Hvor stor del av inntekten kan klassen din beholde selv?
Vi har to kaker som begge er delt inn i 7 like deler. Du spiser 2 7 av den ene kaka. Det er 2 biter, som vist til venstre nedenfor.
Vennen din spiser 3 ganger så mye. Det må være 6 biter, som er 6 7 av den andre kaka, som vist til nederst til høyre på forrige side. Vi kan regne slik:
3 2 7 32 7 6 7
Seinere på dagen spiser du halvparten av det vennen din spiste. Det må bli 3 biter. Altså er 3 7 halvparten av 6 7 . Vi regner slik: 1 2 6 7 16 27 3 7 3 1
Ettersom 1 2 6 7 3 7 , må
3 7 1 2 6 7 : =
Det kan vi finne ut på denne måten: 3 7 1 2 3 7 2 1 32 71 6 7 :
Når vi deler med en brøk, ganger vi med den omvendte brøken.
Når vi skal multiplisere et heltall med en brøk, multipliserer vi heltallet med telleren og lar nevneren stå uendret.
Når vi skal multiplisere to brøker, multipliserer vi telleren med telleren og nevneren med nevneren.
Når vi skal dele et tall med en brøk, ganger vi med den omvendte brøken.
Regn ut uten hjelpemidler.
OPPGAVE 1.73
Regn ut uten hjelpemidler.
a) 3 1 4 ⋅ b) 4 2 11 ⋅ c) 4 3 2 ⋅
OPPGAVE 1.74
Regn ut uten hjelpemidler.
1 4 8 7 ⋅
All brøkregning kan vi gjøre digitalt. Her skal vi regne ut 7 12 3 8 + .
Kalkulator M CAS
Med Python kan vi ikke utføre slik brøkregning.
OPPGAVE 1.75
Regn ut uten og med digitale hjelpemidler.
OPPGAVE 1.76
Regn ut uten og med digitale hjelpemidler.
3
UTFORSK BRØKDELEN AV ET TALL
Noen ganger får vi bruk for å regne med brøker i hodet. Slik hoderegning hjelper oss også med å forstå brøkregningen.
STEG 1
a) Hva er én tredel av 12 kr?
b) Hva må da to tredeler av 12 kr være?
c) Regn ut 1 3 ⋅ 12 kr og 2 3 ⋅ 12 kr.
Forklar det du ser.
STEG 2
a) Hva er én femdel av 30 kg?
b) Hva må da tre femdeler av 30 kg være?
c) Hva må da 1 5 30 kg og 3 5 30 kg være?
STEG 3
a) Bruk tankegangen fra steg 1 og 2 til å bestemme 1 8 40 ⋅ kr i hodet.
b) Hva blir da 3 8 40 ⋅ kr?
STEG 4
a) Hva er én tredel av 6 7 ?
b) Hva må da to tredeler av 6 7 være?
c) Hva blir da 1 3 6 7 ⋅ og 2 3 6 7 ⋅ ?
Kontroller svarene digitalt.
STEG 5
a) Bestem 1 4 8 5 ⋅ ved hoderegning.
b) Hva blir da 3 4 8 5 ⋅ ?
STEG 6
Regn ut i hodet ved først å bestemme én del.
a) 3 4 av 12 cm b) 5 6 300 ⋅ kr c) 3 5 10 17 ⋅
EKSEMPEL
LØSNING
1.8 Brøkdelen av et tall
Anne skal kjøpe et plagg som koster 1500 kr. Hun skal betale 2 5 , og mor skal betale resten. Hvor mye skal Anne betale?
Anne regner ut dette i hodet på denne måten: Én femdel av 1500 kr er 300 kr. To femdeler må da være dobbelt så mye, altså 600 kr. Hun skal betale 600 kr.
Med et digitalt hjelpemiddel kunne Anne ha regnet slik:
2 5 2 5 1500600 av 1500 kr = kr kr
Brøkdelen av et tall finner vi ved å multiplisere brøken med tallet.
?
Regn ut 3 8 av 320 kr i hodet og ved regning.
I hodet
Én åttedel av 320 kr er 40 kr, for4:328 = . Tre åttedeler er 3 ganger så mye, altså 120 kr.
3 8 120 av 320 kr = kr
Ved regning
3 8 3 8 320120 av 320 kr krkr
OPPGAVE 1.80
Regn ut 5 8 av tallene i hodet og ved regning.
a) 40 b) 56 c) 12
OPPGAVE 1.81
a) Hvor mye er 2 3 av 48 kr?
b) Hvor mye er 4 7 av 49 kr?
c) Hvor mye er 3 8 av 72 kr?
d) Hvor mye er 3 4 av 72 kr?
EKSEMPEL
LØSNING
Anne og Gro deler en jobb. Ei uke arbeider Anne fem dager og Gro to dager. Til sammen får de 2800 kr i lønn. Hvor mye skal hver av dem ha i lønn?
Anne og Gro arbeider sju dager til sammen. Ettersom Anne arbeider fem av de sju dagene, skal hun ha
5 7 2800 5 7 28002000 av krkrkr
Gro arbeider to av sju dager og skal ha
2 7 2800 2 7 2800800 av krkr kr
EKSEMPEL
Martin og Sondre skal dele 720 kr. Martin får 420 kr.
Hvor stor del av pengene får Martin, og hvor stor del får Sondre?
Den brøkdelen Martin får, er 420
Sondre får
720 kr - 420 kr = 300 kr
Den brøkdelen Sondre får, er
Sondre sin del kunne vi også ha funnet ved å si at han skulle ha resten. Det er 1 7 12 12 12 7 12 5 12
OPPGAVE 1.82
En blanding av saft og vann inneholder 1 6 saft og 5 6 vann.
a) Hvor mye saft og hvor mye vann er det i 3 liter blanding?
b) Hvor mye saft og hvor mye vann er det i 3,6 liter blanding?
c) Hvor mye vann er det når det er 2 liter rein saft?
OPPGAVE 1.83
Per, Anne og Jan skal dele 9600 kr. Jan skal ha 2 5 , Anne skal ha 1 6 , og Per skal ha resten.
a) Hvor mange kroner skal Anne og Jan ha hver?
b) Hvor mange kroner skal Per ha?
c) Hvor stor brøkdel skal Per ha?
OPPGAVE 1.84
Jon spiser 1 3 av en vannmelon. Mia spiser 2 5 av det som er igjen.
Hvor stor del av vannmelonen spiser Mia?
1.9 Forhold og andeler
I en klasse er det 9 jenter og 6 gutter. Forholdet mellom antallet jenter og antallet gutter er
9 6 9 6 3 2 3 2 ==
Da sier vi at forholdet mellom antallet jenter og antallet gutter er 32: («3 til 2»).
Vi finner forholdet mellom to tall ved å sette opp en brøk med det første tallet i telleren og det andre tallet i nevneren. Vi forkorter brøken hvis det er mulig.
Det er til sammen 9 615 elever i klassen. Andelen jenter er da
9 15 9 15 3 5 3 5 ==
Andelen jenter er 3 5 . Vi sier også at 3 5 av elevene er jenter, eller at 3 av 5 elever er jenter.
Vi kan også skrive andelen som et desimaltall. Da dividerer vi antallet jenter med antallet elever. Andelen jenter er da
9 15 :,06 =
Vi finner andelen ved å dividere delen med det hele.
andelen = delen det hele
LØSNING
Vi blander 30 dL vann og 9 dL saft.
a) Finn forholdet mellom vann og saft.
b) Finn andelen vann og andelen saft.
a) Forholdet mellom vann og saft er
EKSEMPEL
Forholdet er 10 : 3.
b) Samlet mengde er
LØSNING
Ei flaske rommer 3,5 dL saft og vann. Andelen saft er 2 7 .
a) Finn mengden saft og mengden vann.
b) Finn forholdet mellom saft og vann.
a) Når andelen saft er 2 7 , er mengden saft
Mengden vann er 3,5 dL 1 dL = dL - 25 ,
b) Forholdet mellom saft og vann er
Forholdet mellom saft og vann er 2 : 5.
DISKUSJON
I en klasse er forholdet mellom antallet jenter og antallet gutter 7 : 9.
Hvor stor andel jenter er det, og hvor stor andel gutter?
Hva blir summen av andelene?
Hvilke regler gjelder?
OPPGAVE 1.90
Her fant vi vannmengden ved å regne ut hvor mye 1 del er. Vi gikk veien om 1. ?
Finn forholdet mellom tallene uten hjelpemidler.
a) 12 og 4 b) 18 og 12 c) 320 og 240
OPPGAVE 1.91
I en klasse er det 12 jenter og 18 gutter.
a) Finn forholdet mellom antallet jenter og antallet gutter.
b) Finn andelen jenter og andelen gutter.
OPPGAVE 1.92
I en klasse med 28 elever er andelen gutter 3 7 .
a) Finn antallet gutter og antallet jenter.
b) Finn forholdet mellom antallet gutter og antallet jenter.
Vi skal blande vann og saft i forholdet 10 : 3. Hvor mye vann skal vi bruke til 1,5 L saft?
Vi skal ha 10 deler vann og 3 deler saft. Ettersom vi har 1,5 L saft, må 3 deler være det samme som 1,5 L. Da er 1 del lik
15 , dL : 3 = 0,5 dL
Vi skal ha 10 deler vann. Det er
10 0,5 L = 5 L
LØSNING ?
På en skole er forholdet mellom antallet jenter og antallet gutter 4 : 3. Det er 132 gutter på skolen.
a) Hvor mange jenter er det?
b) Finn andelen jenter.
a) Det er 3 deler gutter. Ettersom det er 132 gutter, må 1 del være
132 : 3 = 44
Det er 4 deler jenter. Antallet jenter må da være
44 4 176
b) Antallet elever er
132176308
Andelen jenter er
176
308 4 7 =
Her forkortet vi brøken med et digitalt hjelpemiddel. Men vi kunne også ha funnet andelen slik:
Når det er 3 deler gutter og 4 deler jenter, er det til sammen 7 deler. Andelen jenter blir da
4
34 4 7
OPPGAVE 1.93
På en skole er forholdet mellom antallet jenter og antallet gutter 5 : 4.
a) Hvor mange jenter er det når antallet gutter er 96?
b) Hvor stor andel jenter er det på skolen?
OPPGAVE 1.94
På ei saftflaske står det at vi skal bruke 0,6 liter saft til 3,0 liter vann.
a) Finn forholdet mellom saft og vann.
b) Hvor stor andel saft er det i blandingen?
c) Hvor mye saft må vi bruke til 7,5 L vann?
OPPGAVE 1.95
I en kiosk selger de to typer cola: C-cola og P-cola. De selger noe mer C-cola enn P-cola. Forholdet er 7 : 5.
Hvor mange flasker C-cola selger de når de selger 504 flasker P-cola?
SAMMENDRAG
Regnerekkefølge
1. Regn først ut parentesene.
2. Regn deretter ut potensene.
3. Utfør deretter multiplikasjonene og divisjonene.
4. Utfør til slutt addisjonene og subtraksjonene.
Gjøre om brøk til desimaltall
Vi gjør en brøk om til et desimaltall ved å dele telleren med nevneren.
Forkorte brøker
Når vi forkorter en brøk, dividerer vi med det samme tallet i telleren og i nevneren. Brøken endrer ikke verdi.
Utvide brøker
Når vi utvider en brøk, multipliserer vi med det samme tallet i telleren og i nevneren. Brøken endrer ikke verdi.
Summere brøker
Når vi skal summere to brøker, utvider vi først brøkene slik at de får samme nevner. Deretter summerer vi brøkene ved å summere tellerne.
Multiplisere heltall og brøk
Når vi skal multiplisere et heltall med en brøk, multipliserer vi heltallet med telleren og lar nevneren stå uendret.
Multiplisere brøker
Når vi skal multiplisere to brøker, multipliserer vi telleren med telleren og nevneren med nevneren.
Dividere brøker
Vi dividerer et tall med en brøk ved å multiplisere tallet med den omvendte brøken.
Forhold
Vi finner forholdet mellom to tall ved å sette opp en brøk med det første tallet i telleren og det andre tallet i nevneren. Vi forkorter brøken hvis det er mulig.
Andel
Vi finner andelen av en mengde ved å dividere mengden med samlet mengde.
KONTROLLSIFRE
Vi bruker ofte tallkoder for å holde orden på systemer og registre. Når det blir mange sifre i kodene, er det fort gjort å registrere et siffer i koden feil. For at det skal være enklere å oppdage slike skrivefeil, inneholder lange tallkoder ofte kontrollsiffer. Hvis et kontrollsiffer i en kode ikke stemmer, er ikke koden gyldig. Vi skal se på to slike tallkodesystemer som har kontrollsiffer: ISBN som holder orden på bøker, og fødselsnummer som holder orden på mennesker.
ISBN
Hvert år gis det ut millioner av bøker i verden. For at bokhandlere og biblioteker skal kunne holde orden på bøkene, har de fleste bøker et unikt ISBN (International Standard Book Number). Det er et tall med 13 sifre.
De tre første sifrene i tallet er vanligvis 978.
Deretter kommer det noen sifre som forteller hvilket land boka kommer fra. Bøker fra Norge har sifrene 82.
Så følger det noen sifre som angir hvilket forlag boka er gitt ut på, og et nummer for denne utgivelsen.
Det siste sifferet – kontrollsifferet – blir regnet ut ved å sette de 12 første sifrene inn i den første raden i en tabell som den nedenfor. I den andre raden står det vekter som vi ganger hvert siffer med. Når det gjelder ISBN, er vektene 1 og 3, slik tabellen viser. I tredje rad regner vi ut produktet av de to tallene over.
ISBN 9 7 8 8 2 0 2 6 9 6 3 6 K
Vekt 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1
Produkt 9 21 8 24 2 0 2 18 9 18 3 18 K
Fødselsnummer
Alle personer som er fast bosatt i Norge, har et fødselsnummer. Det består av 11 sifre. De 6 første er fødselsdatoen, de 3 neste er et individnummer, og de 2 siste er kontrollsifre.
En person som er født 29. februar 2008, vil dermed ha et fødselsnummer som starter med 290208.
Individnummeret tildeles etter bestemte regler. En av reglene er at det siste sifferet i individnummeret er et partall for kvinner og et oddetall for menn.
De to kontrollsifrene blir som for ISBN regnet ut med en tabell med bestemte vekter.
F.nr. 2 9 0 2 0 8 3 2 1 K1
Vekt 3 7 6 1 8 9 4 5 2 1
Prod. 6 63 0 2 0 72 12 10 2 K1
Regelen for det første kontrollsifferet er at summen av tallene i den nederste raden skal være delelig med 11. Summen av de 9 første tallene i raden er 167. Kontrollsifferet K1 må være 9, for 167 + 9 = 176 = 16 11.
Det andre kontrollsifferet finner vi på samme måte, men med andre vekter:
F.nr. 2 9 0 2 0 8 3 2 1 9 K2
Vekt 5 4 3 2 7 6 5 4 3 2 1
Prod. 10 36 0 4 0 48 15 8 3 18 K2
Regelen for kontrollsifferet er at summen av tallene i den nederste raden skal være delelig med 10. Summen av de 12 første tallene i raden er 132. Da må kontrollsifferet være 8, for 132 + 8 = 140 som er delelig med 10. 9 788202696368
Kontrollsi er
Kontrollsifferet K2 må være 1, for da blir summen av tallene i den nederste raden 143 = 13 11.
Hele fødselsnummeret til personen blir dermed 290208 32191.
Kontrollsifre brukes mye innenfor finans, for eksempel til å verifisere kontonummer og kredittkort.
PROSJEKTOPPGAVE 1
Sjekk at kontrollsifferet i ISBN-nummeret til denne boka er riktig.
PROSJEKTOPPGAVE 2
a) Lag et regneark som du kan bruke til å finne ut om et ISBN-nummer har rett kontrollsiffer.
Regnearket kan for eksempel se slik ut:
Her er en formelutskrift for deler av dette regnearket:
b) Test regnearket på denne boka og noen andre bøker.
PROSJEKTOPPGAVE 3
Finn ditt eget fødselsnummer. Bruk algoritmen til å sjekke at det første kontrollsifferet og det andre kontrollsifferet er riktig.
PROSJEKTOPPGAVE 4
Lag et program eller et regneark for å kontrollere fødselsnummer. Test programmet eller regnearket på ditt eget fødselsnummer.
REPETISJONSOPPGAVER
OPPGAVE 1
Regn ut uten hjelpemidler.
a) 7 13 4 13 8 13
b) 5 6 4 3 -
c) 1 2 1 3 1 4 1
d) 8 9 3 4 ⋅
e) 3 1 6 ⋅
f) 1 4 1 3 1 2 :
OPPGAVE 2
Skriv av oppgaven nedenfor. Gjør ferdig hver av brøkene slik at de blir like store.
54 90 27 45 3 180 36 == ==
OPPGAVE 3
Sorter brøkene i stigende rekkefølge. Løs oppgaven uten hjelpemidler.
4 5 7 10 5 8 3 4 9 20 ,, ,,
OPPGAVE 4
Regn ut uten hjelpemidler.
a) 8 25 62 ()
b) 53 13 25 34 ()
OPPGAVE 5
Løs oppgaven uten hjelpemidler.
Even skal bake ei kake. Det går med 1 4 L helmelk, 1 6 L kefir og 1 3 L vann.
Hvor mye væske bruker han i alt?
OPPGAVE 6
Løs oppgaven uten hjelpemidler.
Du trenger 3 4 L vann for å lage suppe av en suppepose.
Hvor mye vann trenger du til halvannen (en og en halv) suppepose?
OPPGAVE 7
I eske A er det 72 frimerker, og 4 9 av frimerkene er norske.
I eske B er det 182 frimerker, og 1 7 av frimerkene er norske.
I eske C er det 224 frimerker. Her er 3 8 av frimerkene svenske, 3 7 danske, mens resten av frimerkene er norske.
I hvilken eske er det flest norske frimerker?
OPPGAVE 8
På en skidag kunne elevene ved en videregående skole velge mellom slalåm, aking og langrenn. 1 3 av elevene valgte slalåm, og 2 5 valgte aking.
a) Hvor stor del av elevene valgte enten slalåm eller aking?
b) Alle elevene ble med på en av de tre aktivitetene.
Hvor stor del av elevene valgte langrenn?
c) Det var 120 elever som valgte aking. Hvor mange elever var med på skidagen?
OPPGAVE 9
Stine har mange bøker på loftet som hun ønsker å gi bort. Hun gir først halvparten av bøkene til Therese, og så gir hun en tredel av dem hun da har igjen til Kjeld. Til slutt har Stine 6 bøker igjen.
Hvor mange bøker hadde Stine?
a) 36 b) 24 c) 30 d) 18
OPPGAVE 10
Forkort brøken 807 2152 med et digitalt hjelpemiddel.
OPPGAVE 11
På en skole skulle 120 elever på ekskursjon. Elevene ble delt inn i to like store grupper.
Da de skulle dra, var 4 elever fra den første gruppa blitt syke og kunne ikke delta.
3 4 av elevene fra den første gruppa og 2 3 av elevene fra den andre gruppa dro på teater.
Hvor mange flere elever fra den første gruppa dro på teater enn fra den andre gruppa?
OPPGAVE 12
Lise skal fylle bensin på bilen, og ser at bensinen koster 20,97 kr per liter.
a) Gjør et overslag over omtrent hvor mye hun må betale dersom hun fyller 31 L.
b) Lise har bare 300 kr i kontanter og har glemt bankkortet sitt.
Gjør et overslag over hvor mange liter hun da kan fylle.
OPPGAVE 13
Hans Petter kjører fra Bergen til Fagernes. Strekningen er 331 km, og han bruker 5 timer og 3 minutter.
Gjør et overslag og finn gjennomsnittsfarten i km/h.
OPPGAVE 14
Marie er assistent i en barnehage. Barnehagen har to avdelinger: Hompetitten og Tittentei. Hompetitten har 18 barn, og Tittentei har 24 barn.
a) Finn forholdet mellom antallet barn på Hompetitten og antallet barn på Tittentei.
b) Forholdet mellom antallet barn og antallet voksne i barnehagen er 7 : 2. Hvor mange voksne er det i denne barnehagen?
OPPGAVE 15
Cecilie har skrevet dette i Python: print(round(3**4-2*1.88-6/2)) 1 2
Hun får 74 til svar, men på kalkulatoren blir svaret 74,24.
a) Hva er det Cecilie ønsker å regne ut?
b) Hvilken endring må Cecilie gjøre i programmet for at det skal gi det samme svaret som kalkulatoren?