2.6 Tallinjer og intervall

De reelle tallene kan vi framstille på ei tallinje:

–3–4–5 –2 –1 Origo 00 1 3 5 2 4 x

Det skal være en fast avstand mellom hvert av de hele tallene. Denne avstanden kaller vi skalaen på tallinja. Punktet der 0 er plassert, kaller vi origo. Ethvert reelt tall har sin egen plass på tallinja. Og hvert punkt på tallinja svarer til ett reelt tall. Hvis det er en variabel med et navn vi framstiller på ei tallinje, skriver vi navnet på variabelen ved siden av pilspissen på tallinja. Variabelen på figuren ovenfor heter x. Tallene mellom 0 og 3 er et eksempel på et intervall. Dette intervallet omfatter ikke bare de hele tallene, men også alle brøker og irrasjonale tall mellom 0 og 3. Intervallet er bestemt ved den doble ulikheten

0 x 3 I slike doble ulikheter står det minste tallet helt til venstre og det største helt til høyre. Vi bruker dermed bare tegnene < og i slike doble ulikheter. På tallinja avmerker vi intervallet på denne måten:

–3–4–5 –2 –1 1 3 50 2 4 x Åpent intervall

Legg merke til at endepunktene 0 og 3 ikke er med i dette intervallet. Slike intervaller kaller vi åpne intervaller og bruker skrivemåten 03 , om intervallet. Dersom vi vil uttrykke at x ligger mellom 0 og 3, kan vi skrive enten 0 x 3 eller x 03 , Hvis vi vil uttrykke at x ikke ligger i dette intervallet, skriver vi x 03 , . Vi kan skrive 2 03 , og 4 03 , . Det intervallet som er bestemt ved den doble ulikheten 0 x 3, markerer vi slik på tallinja:

–3–4–5 –2 –1 1 3 50 2 4 x Lukket intervall

Her er endepunktene med i intervallet. Et slikt intervall kaller vi et lukket intervall. Vi bruker skrivemåten 03 , om dette intervallet. I stedet for å skrive at 0 3 x , kan vi skrive x 03 , . Det fins også halvåpne intervaller. Hvis 0 x 3, skriver vi at x 03 , . På tallinja markerer vi dette slik:

–3–4–5 –2 –1 1 3 50 2 4 x

Halvåpent intervall Hvis 0 x 3, skriver vi at x 03 , . På tallinja ser det slik ut:

–3–4–5 –2 –1 1 3 50 2 4 x Halvåpent intervall

Noen intervaller er uten grense i den ene enden. Ulikheten x 2 gir et eksempel på et slikt uendelig intervall:

–3–4–5 –2 –1 1 3 50 2 4 x Uendelig intervall

I matematikken skriver vi x 2, når vi vil uttrykke at x 2. På tilsvarende måte betyr x ,1 at x 1.

OPPGAVE 2.60 Skriv de avmerkede intervallene med matematiske symboler.

a)

–3–4–5 –2 –1 1 3 50 2 4 x

b)

–3–4–5 –2 –1 1 3 50 2 4 x

c)

–3–4–5 –2 –1

d)

–3–4–5 –2 –1

e)

–3–4–5 –2 –1 1 3 50 2 4 x

1 3 50 2 4 x

1 3 50 2 4 x