Sinus Påbygging T (2012) by Cappelen Damm

Oldervoll • Orskaug Vaaje • Hanisch

For de yrkesfaglige programmene i matematikk på Vg1 fins disse bøkene:

SINUS M at e m at i k k

Bokmål

Påbyggingsboka T

Si nus 1YP ( d e k k e r a l le pro g ram m ene inkluder t natur br uk) Si nus f o r hels e- o g s o s ialfag Si nus for re s taurant- o g m atfag Si nus for s er vice o g s am fer ds el Si nus fo r d e s i g n o g håndver k / m edier o g ko m m unikas jo n Si nus fo r byg g o g anleg g s teknikk P Si nus fo r elektro fag P Si nus fo r t e k ni kk o g indus tr iell pro duks jo n P Sinus 1Y T Si n us Eng ang s bo ka 1YP

ISBN ISBN 978-82-02-37054-1 978-82-02-26731-5

Påbyggingsboka t

Bokmål

Tore Oldervoll Odd Orskaug Audhild Vaaje Finn Hanisch

www.cappelendamm.no www.cappelendamm.no

Kapittelstart: Gjennomgangsfoto: Svein Erik Dahl / Samfoto Bakgrunnsfoto: K apittel 1: Colourbox Kapittel 2: Stockbyte / Scanpix Kapittel 3: Thorfinn Bekkelund / Samfoto Kapittel 4: Jann Lipka / Mira / Samfoto Kapittel 5: Thorfinn Bekkelund / Samfoto Kapittel 6: PDC Tangen Kapittel 7: Thorfinn Bekkelund / Samfoto Fotografier og grafikk: Adresseavisen s. 78–79 Adresseavisen s. 84–85 © Kristi J. Black / Corbis / Scanpix s. 112 Bettmann / CORBIS / SCANPIX s. 114 v. ©Niedersachsisches Landesmuseum, Hanover, Germany / Flammarion / The Bridgeman Art Library s. 114 h. AFP / Scanpix s. 116 Norsk Teknisk Museum s. 117 Statistisk sentralbyrå s. 284 GRID Arendal s. 285

© Cappelen Damm AS, Oslo 2012 Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt avtale med Cappelen Damm AS er enhver eksemplarfremstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel. Grafisk formgiver: Kristine Steen Omslagsdesign: Sean Brewer Frihåndstegninger: Per Ragnar Møkleby Tekniske tegninger: Terje Sundby Lommeregnerillustrasjoner, skjermdumper: Tore Oldervoll Forlagsredaktører: Grete Maus, Harald Øyen Kittang og Helge Flakstad Sats: 07 Gruppen AS Trykk og innbinding: UAB BALTO print, Litauen 2012 Utgave nr. 2 Opplag nr. 1 ISBN 978-82-02-37054-1 www.cappelendamm.no www.sinus.cappelendamm.no

Forord Sinus er et matematikkverk for den videregående skolen, utviklet etter læreplanene fra 2005. Læreboka Sinus Påbyggingsboka T er skrevet for påbyggingskurset 2T-Y i de yrkesfaglige utdanningsprogrammene og er tilpasset læreplanendringene fra 2010. Boka bygger på faget 1T-Y og passer best for de elevene som tar sikte på spesiell studiekompetanse. For elever som bare vil ha generell studiekompetanse, anbefaler vi Sinus Påbyggingsboka P. Sinus Påbyggingsboka T legger vekt på den abstrakte matematikken og gir elevene god trening i bokstavregning og matematisk tankegang. Læreboka Sinus Påbyggingsboka T inneholder en teoridel og en oppgavedel. Kapitlene i teoridelen er ordnet slik at det vanskeligste stoffet vanligvis kommer til slutt. Stort sett alle delkapitlene er også ordnet på den måten. Elever som sliter med faget, kan mange steder bare lese begynnelsen av et delkapittel og likevel få et godt utbytte av boka. Oppgavestoffet er plassert inne i delkapitlene slik at elevene lett kan finne ut hvilke oppgaver som passer til det som er lest. Hvert kapittel slutter med et sammendrag av viktige regler og metoder i det som er gjennomgått. I boka får elevene opplæring i bruk av programmet GeoGebra på pc. De får hjelp med annen programvare på nettsidene. Bak i boka er det tilsvarende forklaringer for de vanligste grafiske lommeregnerne fra Texas og Casio. I verket er det brukt en del symboler i margen. Symbolet viser til viktige regler. Symbolet   !   viser til nyttige tips. Når framstillingen i boka krever bruk av datamaskin, står symbolet i margen. Oppgavestoffet er markert med symbolet ?  . Bak teoridelen i boka kommer den nivådifferensierte oppgavedelen som inneholder både enkle repetisjonsoppgaver og treningsoppgaver i tillegg til

mer krevende oppgaver. Oppgavene følger teoridelen kapittel for kapittel. Oppgavestoffet er delt i tre deler. Kategori 1 inneholder oppgaver for elever som sliter med faget. Oppgavene i kategori 2 er tiltenkt den jevne matematikkeleven. Oppgavene i disse to kategoriene er ordnet etter delkapitler som i teoridelen. Den tredje oppgavedelen inneholder blandede oppgaver. Disse oppgavene er ikke ordnet etter delkapitler. Her får elevene bruk for å finne fram til riktig stoff på egen hånd. De må ofte kombinere stoff fra flere delkapitler og kapitler. Vanskegraden er omtrent som for oppgavene i kategori 2. Helt til slutt i boka kommer fasit og stikkordregister. Det er viktig at elevene lærer seg å bruke dette stikkordregisteret når de støter på ord og uttrykk som de ikke har klart for seg betydningen av. Til verket hører også et nettsted: www.sinus.cappelendamm.no. Her er det mye tilleggsstoff. Blant annet inneholder nettstedet mange interaktive oppgaver som er ordnet etter delkapitlene i boka. Nettstedet er fritt tilgjengelig for alle. I arbeidet med å få fram best mulige bøker er det viktig å ha god kontakt med brukerne av bøkene. Derfor vil vi gjerne ha tilbakemeldinger om feil eller ønsker om forandringer. Forfatterne vil takke kollegaer og andre for gode råd i arbeidet med boka. Vi ønsker alle lykke til i arbeidet med faget.

Tore Oldervoll Odd Orskaug Audhild Vaaje Finn Hanisch

Sinus Påbyggingsboka T

Innhold 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

Algebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Nullpunkter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Andregradslikninger med to ledd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Andregradsformelen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ikke-lineære likningssett. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Nullpunkter og faktorisering. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Andregradsulikheter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Logaritmer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Eksponentiallikninger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Logaritmelikninger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8

Vekstfart og derivasjon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Gjennomsnittlig vekstfart. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Momentan vekstfart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Grenseverdier for ubestemte uttrykk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Vekstfart som grenseverdi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Derivasjon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Noen derivasjonsregler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Funksjonsdrøfting. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Optimering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6

Matematiske modeller og bevis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Lineære modeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Lineær regresjon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Polynomregresjon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Eksponentialfunksjonen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Eksponentialregresjon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Potensfunksjoner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.7 3.8 3.9

Implikasjon og ekvivalens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Noen bevismetoder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Matematikk gjennom tidene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8

Vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Vektor og skalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Sum av vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Vektordifferanse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Produkt av tall og vektor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Vektorer på koordinatform. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Regning med vektorkoordinater. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Vektoren mellom to punkter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Lengde og avstand. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

5 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7

Vektorregning og parameterframstillinger. . . . . . . . . . . 155 Parallelle vektorer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 Skalarproduktet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 Skalarproduktet i koordinatsystemet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Bruk av skalarproduktet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Parameterframstilling for rette linjer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Parameterframstilling for kurver. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Skjæringspunkter mellom parameterkurver. . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

6 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7

Sannsynlighetsregning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 Forsøk og simuleringer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 Sannsynlighetsmodeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 Hendinger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 Sum av sannsynligheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 Betinget sannsynlighet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 Produkt av sannsynligheter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 Bayes-setningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

7 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6

Binomiske og hypergeometriske modeller . . . . . . . . . . . 211 Uavhengige hendinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 Ordnede utvalg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 Uordnede utvalg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 Binomiske modeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 Hypergeometriske modeller. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 Valg av sannsynlighetsmodell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

Sinus Påbyggingsboka T

Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 1

Algebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 Kategori 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 Kategori 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 Blandede oppgaver. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

Vekstfart og derivasjon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 Kategori 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 Kategori 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 Blandede oppgaver. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

Matematiske modeller og bevis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 Kategori 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 Kategori 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 Blandede oppgaver. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

Vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 Kategori 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 Kategori 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 Blandede oppgaver. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

Vektorregning og parameterframstillinger. . . . . . . . . . . 299 Kategori 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 Kategori 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 Blandede oppgaver. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

Sannsynlighetsregning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 Kategori 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 Kategori 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 Blandede oppgaver. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

Binomiske og hypergeometriske modeller . . . . . . . . . . . 324 Kategori 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 Kategori 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 Blandede oppgaver. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

Lommeregnerstoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 Texas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 Casio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 Fasit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348 Stikkord. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367

Algebra Mål for opplæringen er at eleven skal kunne •

løse likninger, ulikheter og likningssystemer av første og andre grad og enkle likninger med eksponential- og logaritmefunksjoner både ved regning og med digitale hjelpemidler

1.1 Nullpunkter På vg1 lærte vi at et nullpunkt til en funksjon f er en verdi for x som er slik at f(x) = 0. Å finne nullpunktene til en funksjon er dermed det samme som å løse likningen f(x) = 0. Når vi skal finne nullpunktene grafisk, må vi tegne grafen og se hvor grafen krysser x-aksen.

EKSEMPEL Finn nullpunktene til funksjonen grafisk. a) f(x) = x2 – 4x + 3 b) f(x) = –x2 + 4x – 4 c) f (x) = 2x2 – 4x + 3

Løsning: a) Ved hjelp av en tabell får vi fram grafen til høyre: Vi ser at grafen krysser x-aksen når x = 1 og når x = 3. Funksjonen har to nullpunkter, x = 1 og x = 3.

y 7

6 5 4 3 2 1

–2 –1 –1

–2 –3

b) Her blir grafen vist til høyre: 2

Funksjonen har ett nullpunkt, x = 2.

1 –2 –1 –1

–2 –3 –4 –5

Sinus Påbyggingsboka T > Algebra

c) Ved hjelp av en tabell får vi fram grafen til høyre:

6 5

Grafen skjærer ikke x-aksen.

4 3

Funksjonen har ingen nullpunkter.

2 1 –2 –1 –1

x 1

–2

Oppgave 1.10 Tegn grafen og finn nullpunktene til funksjonen ƒ. a) f(x) = x2 – 5x + 6 b) f(x) = x2 – 6x + 9 c) f(x) = –2x2 – 6x – 4 d) f (x) = 2x2 + 8x + 10

Vi kan også finne nullpunktene digitalt. Hvis du bruker grafisk lommeregner, finner du framgangsmåten bak i boka. Her viser vi hvordan du bruker GeoGebra til å finne nullpunkter. Framgangsmåten for andre programmer finner du på nettsidene til denne boka. Vi skal finne nullpunktene til funksjonen f gitt ved f(x) = x2 – 4x + 3 ved hjelp av GeoGebra. Vi åpner programmet og skriver inn funksjonsuttrykket i skrivefeltet på denne måten:

Vi trenger altså ikke skrive f(x) = foran uttrykket, for det blir ordnet automatisk. Nå får du kanskje fram en graf i grafikkfeltet, men det er slett ikke sikkert at dette koordinatsystemet passer godt til grafen. Vi kan endre koordinatsystemet ved å trykke på symbolet . Hvis vi nå plasserer musepekeren inne i koordinatsystemet og holder inne venstre musetast, kan vi flytte koordinatsystemet. Dersom vi vil endre på en av aksene, plasserer vi musepekeren på aksen og holder venstre musetast inne. Da kan vi dra i aksen og få den slik vi vil.

Vi kan også ordne koordinatsystemet ved å stå med musepekeren i grafikkfeltet og høyreklikke. Vi trykker på Rutenett for å få fram ruter i koordinatsystemet. Deretter velger vi Grafikkfelt og kan velge verdier for x og y på denne måten:

Deretter trykker vi på fanen xAkse og setter navn på aksen på denne måten:

Der det står Avstand, kan vi endre avstanden mellom strekene på x-aksen. Deretter går vi inn på fanen yAkse og setter navnet y på den aksen. Da får vi fram en pen graf som vist nedenfor. Nå skal vi finne nullpunktene til funksjonen. I skrivefeltet skriver vi da

Det gir dette resultatet:

Sinus Påbyggingsboka T > Algebra

Vi ser at nullpunktene er markert og har fått navnene A og B. I algebrafeltet finner vi koordinatene til nullpunktene.

Vi ser at funksjonen har nullpunktene x = 1 og x = 3.

Oppgave 1.11 Bruk et digitalt hjelpemiddel til å finne nullpunktene til funksjonen f. a) f(x) = x2 – 7x + 12 b) f(x) = –x2 + 6x – 8 c) f(x) = –2x2 + 8x – 9 d) f (x) = 2x2 + 8x + 8

1.2 Andregradslikninger med to ledd Likningen x2 – 5x + 6 = 0 er et eksempel på en andregradslikning. Denne likningen har tre ledd, et andregradsledd, et førstegradsledd og et konstantledd. Vi skal nå lære å løse slike likninger ved regning. Vi ser først på andregradslikninger som mangler enten førstegradsleddet eller konstantleddet. Andregradslikningen x2 – 4 = 0 mangler førstegradsledd. Vi løser den på denne måten: x2 – 4 = 0 x2 = 4 x = 2 eller x = –2 Ofte skriver vi bare x = ±2 i stedet for x = 2 eller x = –2.

x = ±a betyr x = a eller x = –a.

EKSEMPEL Løs andregradslikningene. a) 2x2 – 10 = 0 b) 2(x2 – 2) + 4 = 0 c) x2 + 3 = 0

Løsning: a)

2x2 – 10 = 0 2x2 = 10 x2 = 5__ __ x = √ 5 __eller x = – √ 5 x = ± √5 Likningen har to løsninger.

2(x2 – 2) + 4 = 0 2x2 – 4 + 4 = 0 2x2 = 0 x2 = 0 x=0 Her får vi bare én løsning, for x = 0 er det eneste tallet som passer i x2 = 0.

x2 + 3 = 0 x2 = –3 Likningen har ingen løsning. Det fins ingen tall x som er slik at x2 blir mindre enn null. Tallet x2 kan derfor ikke bli lik –3, og likningen x2 = –3 har dermed ingen løsning. At denne likningen ikke har løsning, kan vi også se hvis vi tegner grafen til funksjonen gitt ved f(x) = x2 + 3. Grafen når ikke ned til x-aksen.

Oppgave 1.20 Løs likningene. a) x2 = 9 d) x2 = –4

Sinus Påbyggingsboka T > Algebra

b) 2x2 = 10 e) 3x2 + 1 = 1

4x2 c) ____ = 20 5

Oppgave 1.21 Løs likningene. a) 2(x2 + 1) = 10 c) (x – 1)2 = 4

b) 3x2 + 2 = x2 – 4 d) (x + 2)2 = 1

Oppgave 1.22 a) Et kvadrat har arealet 18 cm2. Hvor lange er sidene i kvadratet? b) En sirkel har arealet 12,56 m2. Hvor stor er radien i sirkelen? c) En sirkel har det samme arealet som et kvadrat der sidene er 5 cm lange. Finn radien i sirkelen.

Når vi multipliserer to tall som ikke er null, kan vi ikke få null som svar. Dersom vi vet at produktet av to tall er null, må altså ett av tallene være null. Denne slutningen kaller vi produktregelen. Vi kan uttrykke den slik:

Dersom r · s = 0, så er r = 0 eller s = 0.

Vi bruker produktregelen når vi løser andregradslikninger uten konstantledd.

EKSEMPEL Løs likningen x2 – 3x = 0 og sett prøve på svaret.

Løsning: Vi setter x utenfor en parentes. x2 – 3x = 0 (x – 3) · x = 0 Når produktet av disse to tallene er null, må ett av tallene være null. x – 3 = 0 eller x = 0 x = 3 eller x = 0 Vi får to løsninger: x = 3 og x = 0. Nå setter vi disse verdiene inn i x2 – 3x = 0 for å se om vi har regnet riktig. x = 3 gir x2 – 3x = 32 – 3 · 3 = 9 – 9 = 0 x = 0 gir x2 – 3x = 02 – 3 · 0 = 0 – 0 = 0 Begge x-verdiene passer.

Oppgave 1.23 Løs likningene og sett prøve på svarene. a) x(x – 2) = 0 b) x2 + 3x = 0 2 c) 2x – 4x = 0 d) 5x2 + 3x = 0 Oppgave 1.24 Løs likningene grafisk og ved regning. a) x2 + 2x + 3 = 2x + 7 b) x2 + 2x + 3 = 4x + 3

1.3 Andregradsformelen Vi har en formel som vi kan bruke hver gang vi skal løse en andregrads– likning. Vi kaller den andregradsformelen.

Andregradslikningen ax2 + bx + c = 0 har løsningene _______

–b ± √ b2 – 4ac x = _____________ 2a når b2 – 4ac ≥ 0.

Nå skal vi vise hvordan vi bruker denne formelen til å løse andregradslikninger.

EKSEMPEL Løs andregradslikningene. a) 3x2 + 5x – 2 = 0 b) x2 – 6x = –9 c) x2 + 2x + 3 = 0

Løsning: a) Når vi sammenlikner likningen 3x2 + 5x – 2 = 0 med likningen ax2 + bx + c = 0, ser vi at a = 3, b = 5 og c = –2. Vi setter inn i andregradsformelen. 3x2 + 5x – 2 = 0

_____________

–5 ± √ 52 – 4 · 3 · (–2) x = ___________________ 2·3 _______ – 25 + 24 5 ± √ x = _____________ 6

Sinus Påbyggingsboka T > Algebra

___

–5 ± √ 49 x = _________ 6

–5 ± 7 x = ______ 6

–5 + 7 –5 – 7 x = _______ eller x = ______ 6

–12 2 x = __ eller x = ____ 6

1 x = __ eller x = –2 3

b) Vi ordner først likningen slik at vi får 0 på høyre side. Deretter bruker vi andregradsformelen. x2 – 6x = –9 x2 – 6x + 9 = 0_____________ –(–6) ± √ (–6)2 – 4 · 1 · 9 x = _____________________ 2·1 _______ – 36 36 6 ± √ x = ____________ 2 __ 6 ± √0 _______ x= 2 6 ± 0 x = _____ 2 6+0 6–0 x = _____ eller x = _____ 2 2 x = 3 eller x = 3 x=3

Her er a = 1 fordi x2 = 1 · x2. Videre er b = –6 og c = 9.

Denne likningen har bare én løsning. c)

x2 + 2x + 3___________ =0

a = 1, b = 2 og c = 3.

–2 ± √ 22 – 4 · 1 · 3 x = _________________ 2·1 ______ – 4 2 ± √ – 12 x = ____________ 2___ –8 – 2 ± √ x = _________ 2

Likningen har ingen løsning. Kvadratrota av –8 fins ikke. Derfor er det ingen løsning på likningen.

Fra eksempelet på forrige side ser vi at en andregradslikning kan ha to, én eller ingen løsninger. Den har to løsninger hvis a2 – 4ac > 0, én løsning hvis a2 – 4ac = 0 og ingen løsninger hvis a2 – 4ac < 0.

! ?

Vi kan løse alle typer andregradslikninger med andregradsformelen, også likninger med to ledd. Men slike likninger løser vi enklere med metodene i kapittel 1.2.

Oppgave 1.30 Løs andregradslikningene og sett prøve på svaret. a) x2 – 5x + 6 = 0 b) 2x2 + 2x – 12 = 0 2 d) x – 2x + 2 = 0 e) 6x2 – 17x + 12 = 0 Oppgave 1.31 Løs likningene. a) x2 – 4x = 2

b) 2x2 – 2x = 2x – 2

c) 2x2 – 4x + 2 = 0

c) x2 – 2x + 1 = –x + 1

Oppgave 1.32 Funksjonen f er gitt ved f(x) = x2 – 2x – 3 a) Finn nullpunktene grafisk. b) Finn nullpunktene ved regning.

Vi kan også løse andregradslikninger digitalt uten å tegne graf. Hvis du bruker grafisk lommeregner, finner du framgangsmåten bak i boka. Her viser vi hvordan du bruker wxMaxima til dette. Framgangsmåten for andre programmer finner du på nettsidene til denne boka. Vi skal nå løse likningen 3x2 – 5x + 2 = 0 ved hjelp av wxMaxima. Da åpner vi programmet og skriver likningen i skrivefeltet på denne måten:

Vi trykker så på Regn ut og får dette resultatet:

2 Likningen har løsningene x = __ og x = 1. 3 Sinus Påbyggingsboka T > Algebra

Oppgave 1.33 Løs likningen digitalt. a) x2 – 7x + 12 = 0 b) –x2 + 6x – 8 = 0 c) –2x2 + 8x – 9 = 0 d) 2x2 + 8x + 8 = 0

Andregradslikninger får vi bruk for i praktiske sammenhenger. Noen ganger har begge løsningene av en andregradslikning praktisk betydning. I andre tilfeller er det bare en av løsningene som kan brukes.

EKSEMPEL I et rektangel er den korteste siden 3 cm kortere enn den lengste. Arealet av rektangelet er 108 cm2. Hvor lange er sidene?

Løsning: Vi setter lengden av den lengste siden lik x cm. Lengden av den korteste siden blir da (x – 3) cm.

108 cm2

(x – 3) cm

x cm

Arealet i kvadratcentimeter blir A = x · (x – 3) = x2 – 3x Ettersom arealet er 108 cm2, får vi likningen x2 – 3x = 108 x2 – 3x – 108 = 0

_________________

–(–3) ± √ (–3)2 – 4 · 1 · (–108)

_______ x = __________________________ √ 9 + 4322 · 1 3± x = ____________ 2 ____ 3 ± √ 441 x = _________ 2

3 ± 21 x = ______ 2 –18 24 x = ___ eller x = ____ 2 2 – x = 12 eller x = 9 En side i et rektangel kan ikke ha negativ lengde. Oppgaven har bare løsningen x = 12. Den lengste siden er 12 cm, og den korteste er 12 cm – 3 cm = 9 cm.

Oppgave 1.34 Vi kaster en stein opp i lufta. Høyden over bakken målt i meter etter t sekunder er gitt ved

h = –5t2 + 10t a) b) c) d)

Når er steinen 2 m over bakken? Når er steinen 5 m over bakken? Når er steinen 7 m over bakken? Bruk utregningene ovenfor til å finne ut hvor høyt kastet var.

Oppgave 1.35 Et rektangulært jordstykke har omkretsen 380 m. Arealet av jordstykket er 8800 m2. a) Vis at dersom den ene siden er x meter, så er den andre siden (190 – x) meter. b) Forklar hvorfor arealet A er gitt ved formelen A = x(190 – x). c) Vis at x må være en løsning av andregradslikningen x2 – 190x + 8800 = 0 d) Regn ut lengden og bredden av jordstykket.

Sinus Påbyggingsboka T > Algebra

1.4 Ikke-lineære likningssett På vg1 lærte vi å løse lineære likningssett ved hjelp av innsettingsmetoden. Den metoden kan vi også bruke når vi for eksempel skal løse to likninger med to ukjente der den ene likningen er av andre grad.

EKSEMPEL Løs likningssettet ved regning. 2x – y = 3 x2 – 2x + y = 1

Løsning: Vi finner et uttrykk for y fra en av likningene. Vi velger å finne y fra den andre likningen. x2 – 2x + y = 1 y = –x2 + 2x + 1 Vi setter nå inn dette uttrykket for y i den første likningen. 2x – y = 3 2x – (–x2 + 2x + 1) = 3 2x + x2 – 2x – 1 = 3 x2 = 4 x = 2 eller x = –2 Nå finner vi verdiene av y ved å sette inn i uttrykket for y. x = 2 gir y = –x2 + 2x + 1 = –22 + 2 · 2 + 1 = –4 + 4 + 1 = 1 x = –2 gir y = –x2 + 2x + 1 = –(–2)2 + 2 · (–2) + 1 = –4 – 4 + 1 = –7 Løsningene er x = 2 og y = 1 eller x = –2 og y = –7

Vi legger merke til at vi her har to løsninger. x = 2 og y = 1 hører sammen og er én løsning. x = –2 og y = –7 er den andre løsningen.

Oppgave 1.40 Løs likningssettene. a) x – y = 1 –x2 + 4x + y = 3

b) x – y = 1 x2 – 3x + y = 2

c) –x2 + 5x + y = 6 4x + 2y = 5

I de likningene vi har løst til nå, forekommer x2 og ikke y2. Vi kan også løse likninger der både x2 og y2 er med i en av likningene.

EKSEMPEL Løs likningssettet. 3x + y = 3 3x2 – y2 = –9

Løsning: Først finner vi et uttrykk for y ut fra den første likningen. y = 3 – 3x Dette uttrykket for y setter vi inn i den andre likningen. 3x2 – (3 – 3x)2 = –9 3x2 – (9 – 18x + 9x2) = –9 3x2 – 9 + 18x – 9x2 = –9 –6x2 + 18x = –9 + 9 –6x(x – 3) = 0 –6x = 0 eller x – 3 = 0 x = 0 eller x = 3 Det fins to x-verdier som er løsning. For hver x-verdi regner vi ut en tilhørende y-verdi. x = 0 gir y = 3 – 3x = 3 – 3 · 0 = 3 x = 3 gir y = 3 – 3x = 3 – 3 · 3 = 3 – 9 = –6 Løsningene blir x = 0 og y = 3 eller x = 3 og y = –6

Oppgave 1.41 Løs likningssettene. a) 2x + y = 10 x2 + y2 = 25

b) x + y = 2 x2 – 4x + y2 – 6y = –4

Oppgave 1.42 Løs likningssettet grafisk og ved regning. –2x2 – 3x + y = 2 x2 + 4x – y = –4

Sinus Påbyggingsboka T > Algebra

1.5 Nullpunkter og faktorisering Vi regner ut 2(x – 1)(x – 5) og får 2(x – 1)(x – 5) = 2(x2 – 5x – x + 5) = 2(x2 – 6x + 5) = 2x2 – 12x + 10 Altså er 2x2 – 12x + 10 = 2(x – 1)(x – 5) Uttrykkene på høyre og venstre side av likhetstegnet er like for alle verdier av x. Høyre side har nullpunktene x = 1 og x = 5. Dermed må venstre side også være null når x = 1 og når x = 5. Dette kan vi utnytte når vi skal faktorisere andregradsuttrykk med to nullpunkter, for førstegradsfaktorene må ha de samme nullpunktene som andregradsuttrykket. Vi finner først nullpunktene til andregradsuttrykket og bruker dem til å sette opp førstegradsfaktorene. Noen andregradsuttrykk har bare ett nullpunkt. Uttrykket x2 – 2x + 1 er et eksempel på det. Det eneste nullpunktet er x = 1. Men ifølge andre kvadratsetning er (x – 1)2 = x2 – 2x + 1 Altså er x2 – 2x + 1 = (x – 1)2 Dermed kan vi bruke nullpunktet også når vi skal faktorisere andregradsuttrykk med bare ett nullpunkt. Da må vi ta med førstegradsuttrykket to ganger. Alle førstegradsuttrykk har nullpunkter. Et andregradsuttrykk som er et produkt av førstegradsfaktorer, har altså nullpunkter. Et andregradsuttrykk uten nullpunkter kan vi dermed ikke skrive som et produkt av førstegradsfaktorer.

Dersom ax2 + bx + c har nullpunktene x = x1 og x = x2, er ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2) Dersom andregradsuttrykket bare har ett nullpunkt, x = x1, er ax2 + bx + c = a(x – x1)2 Dersom andregradsuttrykket ikke har nullpunkter, kan det ikke faktoriseres i førstegradsfaktorer.

EKSEMPEL Faktoriser uttrykkene. a) 2x2 – 4x – 6 b) x2 – 5x + 7

c) 2x2 – 12x + 18

Løsning: a) Først bruker vi andregradsformelen og finner nullpunktene. 2x2 – 4x – 6 = 0

_______________

–(–4) ± √ (–4)2 – 4 · 2 · (–6) x = _______________________ 2·2 ___ 4 ± √ 64 x = ________ 4 4±8 x = ______ 4 x = –1 eller x = 3

Nå faktoriserer vi andregradsuttrykket. 2x2 – 4x – 6 = 2(x – (–1))(x – 3) 2x2 – 4x – 6 = 2(x + 1)(x – 3) Husk å ta med tallet foran x2 i faktoriseringen. b) Vi bruker andregradsformelen og finner nullpunktene. x2 – 5x + 7 = 0

_____________

–(–5) ± √ (–5)2 – 4 · 1 · 7 x = _____________________ 2 _______ 5 ± √ 25 – 28 x = ___________ 2 ___

5 ± √ –3 x = _______ 2

Kvadratrota av –3 fins ikke, og andregradsuttrykket har derfor ikke noe nullpunkt. Uttrykket kan ikke være et produkt av to førstegradsfaktorer. Det er ikke mulig å faktorisere uttrykket. c) Vi bruker lommeregneren eller andregradsformelen og finner nullpunktene til uttrykket 2x2 – 12x + 18. Uttrykket har bare det ene nullpunktet x = 3. Det gir faktoriseringen 2x2 – 12x + 18 = 2(x – 3)2

Sinus Påbyggingsboka T > Algebra

Oppgave 1.50 Faktoriser uttrykkene. a) x2 – 8x + 12 b) x2 – 3x + 2

c) 2x2 – 4x – 30

Oppgave 1.51 Faktoriser uttrykkene hvis det lar seg gjøre. a) x2 – 6x + 8 b) x2 – 6x + 9 c) x2 – 6x + 10

d) 6x2 – 5x + 1

d) x2 – 6x

Oppgave 1.52 For hvilke verdier av c er det mulig å faktorisere uttrykket x2 – 3x + c?

1.6 Andregradsulikheter La oss tenke oss at vi ønsker å undersøke hvordan fortegnet til uttrykket x + 3 varierer med x. Vi vil finne ut hvor x + 3 er negativt, hvor x + 3 er null, og hvor x + 3 er positivt. Negativt område for x + 3: Nullpunkt for x + 3: Positivt område for x + 3:

x + 3 < 0 når x < –3 x + 3 = 0 når x = –3 x + 3 > 0 når x > –3

Så lager vi ei tallinje der vi markerer nullpunktet til x + 3. Deretter lager vi ei fortegnslinje for uttrykket x + 3: –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 x 0

x+3

På slike fortegnslinjer bruker vi disse symbolene: 0 ------_____

markerer nullpunktene til uttrykket markerer at uttrykket er negativt markerer at uttrykket er positivt

EKSEMPEL Lag ei fortegnslinje for uttrykket –2x + 6.

Løsning: Først finner vi nullpunktet til uttrykket. Dette gjør vi ofte i hodet. –2x + 6 = 0 –2x = –6 x=3

Når x > 3, blir –2x + 6 et negativt tall. Når x < 3, blir –2x + 6 et positivt tall. Det gir denne fortegnslinja: –2 –1 0

6 x

–2x + 6

Oppgave 1.60 Lag fortegnslinje for uttrykkene. a) x – 3 b) 2x + 4

c) –x + 2

d) –3x + 9

Ulikheten 2x2 – 4x – 6 < 0 er et eksempel på en andregradsulikhet. Når vi skal løse slike ulikheter, får vi bruk for å faktorisere andregradsuttrykk. Vi bruker da nullpunktene slik vi lærte i kapittel 1.5. Nå skal vi faktorisere andregradsuttrykket 2x2 – 4x – 6. Vi må finne nullpunktene og bruker derfor andregradsformelen. 2x2 – 4x – 6 = 0

_______________

–(–4) ± √ (–4)2 – 4 · 2 · (–6) x = ______________________ 2·2 ___

4±8 4 ± √ 64 x = ________ = _____

4 4 x = –1 eller x = 3

Nå faktoriserer vi andregradsuttrykket. 2x2 – 4x – 6 = 2(x – (–1))(x – 3) = 2(x + 1)(x – 3)

Husk å ta med tallet foran x2 i faktoriseringen. Så lager vi fortegnslinje for hver av faktorene 2, (x + 1) og (x – 3) og setter dem under hverandre i det samme skjemaet. –3 –2 –1 0

2 x+1

x–3 2(x + 1)(x – 3)

Sinus Påbyggingsboka T > Algebra

2 3

0 0

4 5 x

Nå utnytter vi fortegnsreglene for tallregning. Når x > 3, er alle tre faktorene positive, og produktet er da positivt. Se den røde linja nederst. Når x er et tall mellom –1 og 3, er det én negativ faktor og to positive. Da blir produktet negativt. Når x < –1, har vi to negative faktorer og én positiv. Da blir svaret positivt, og vi tegner sammenhengende rød linje. Når x = –1 og når x = 3, er en faktor lik null, og da blir produktet null. Vi har dermed funnet fortegnslinja til 2(x + 1)(x – 3). Ettersom 2x2 – 4x – 6 er lik 2(x + 1)(x – 3) for alle verdier for x, er dette også fortegnslinja for 2x2 – 4x – 6. Vi skulle løse ulikheten 2x2 – 4x – 6 < 0 og må da finne ut hvor vi har stiplet linje på forrige side. Det er mellom –1 og 3. Løsningen er 2x2 – 4x – 6 < 0 når –1 < x < 3

EKSEMPEL Løs ulikheten x2 + x – 3 > 3x + 5

Løsning: Vi ordner ulikheten ved å samle alle leddene på venstre side. x2 + x – 3 > 3x + 5 x2 + x – 3 – 3x – 5 > 0 x2 – 2x – 8 > 0 Vi bruker andregradsformelen eller lommeregneren og finner nullpunktene x = 4 og x = –2. Dermed er x2 – 2x – 8 = (x – 4)(x + 2). Ulikheten blir (x – 4)(x + 2) > 0 Nå tegner vi fortegnslinjer for faktorene x – 4 og x + 2 og lager deretter ei fortegnslinje for (x – 4)(x + 2) ved å utnytte at to negative faktorer gir et positivt svar, at en positiv og en negativ faktor gir et negativt svar, og at to positive faktorer gir et positivt svar. –4 –3 –2 –1 0 1 2 x–4

3 4

5 6

x+2

(x – 4)(x + 2)

Vi skulle finne de verdiene av x der (x – 4)(x + 2) > 0. Da må vi plukke ut de x-verdiene der fortegnslinja for uttrykket er sammenhengende. (x – 4)(x + 2) > 0 når x < –2 eller x > 4. Ulikheten vi begynte med, har den samme løsningen: x2 + x – 3 > 3x + 5 når x < –2 eller x > 4.

EKSEMPEL Løs ulikheten x2 – 4x + 6 > 0

Løsning: Vi bruker andregradsformelen og finner nullpunktene. x2 – 4x + _______ 6=0 4 ± √ 16 – 24 x = ___________ 2 ___ 4 ± √ –8 x = _______ 2 Kvadratrota av –8 fins ikke. Dermed har ikke x2 – 4x + 6 noen nullpunkter, og uttrykket kan da heller ikke skifte fortegn. Uttrykket er dermed enten positivt for alle verdier av x, eller så er uttrykket negativt for alle verdier av x. Det finner vi ut ved å sette inn én verdi av x. Vi velger x = 0. Det gir x2 – 4x + 6 = 02 – 4 · 0 + 6 = 6 Ettersom uttrykket er positivt for x = 0, må uttrykket være positivt for alle verdier av x. x2 – 4x + 6 > 0 for alle x.

Oppgave 1.61 Løs ulikhetene ved å bruke fortegnslinjer. a) x2 – 5x + 6 > 0 b) x2 + x – 2 < 0 c) 2x2 + x – 1 ≥ 0 d) –2x2 – x + 6 ≤ 0 Oppgave 1.62 Løs ulikhetene. a) 6x2 – 5x + 1 < 0 c) –x2 + 6x – 9 ≥ 0

Sinus Påbyggingsboka T > Algebra

b) x2 – 4x + 4 > 0 d) 2x2 – 8x + 9 < 0

1.7 Logaritmer Hvilket tall må vi opphøye 10 i for å få 100? Vi vet at 102 = 100. Svaret er dermed 2. Tallet 2 kaller vi logaritmen til 100. Det er det tallet vi må opphøye 10 i for å få 100. Vi skriver lg 100 = 2. Hva blir logaritmen til 1000? Vi vet at 103 = 1000. Dermed er lg 1000 = 3.

La a være et positivt tall. Med logaritmen til a (lg a) mener vi det tallet vi må opphøye 10 i for å få a. 10lg a = a

EKSEMPEL Finn lg 10 000, lg 10, lg 1 og lg 0,01.

Løsning: lg 10 000 = 4 lg 10 = 1 lg 1 = 0 lg 0,01 = –2

fordi 104 = 10 000 fordi 101 = 10 fordi 100 = 1 1 1 = ____ = 0,01 fordi 10–2 = ____ 102 100

Hva er lg 7? Det er det samme som å finne det tallet vi må opphøye 10 i for å få 7. Svaret kan ikke være et helt tall. Det må være et desimaltall. Vi finner det ved å bruke log -tasten på lommeregneren som vist nedenfor.

Vi ser at lg 7 = 0,84509804. Vi kan kontrollere dette svaret ved å regne ut 100,84509804. Vi får svaret 7 som vist ovenfor. Den logaritmen vi nå har innført, har 10 som grunntall og kalles den briggske logaritmen. Det er fullt mulig å definere logaritmer med andre grunntall enn 10.

Oppgave 1.70 Bruk definisjonen av logaritme og regn ut. a) lg 1000 b) lg 10 d) lg 0,1 e) lg 0,00001

c) lg 106 f) lg 10–12

Oppgave 1.71 Bruk definisjonen av logaritme til å finne

Oppgave 1.72 a) Regn ut lg 5, lg 15 og lg 50 på lommeregneren. b) Kontroller svarene i oppgave a ved å regne ut en potens med grunntall 10.

Vi bruker lommeregneren og regner ut lg 2, lg 22, lg 23, 2 · lg 2 og 3 · lg 2.

Det ser ut for at lg 22 = 2 · lg 2 og at lg 23 = 3 · lg 2. Regelen lg 2x = x · lg 2 ser ut til å gjelde. Dette er i samsvar med den første av disse tre regnereglene som gjelder for alle a > 0 og alle b > 0.

lg ax = x · lg a lg (a · b) = lg a + lg b a lg __ = lg a – lg b b

EKSEMPEL Finn lg 27 når du får oppgitt at lg 3 = 0,477.

Løsning: lg 27 = lg 33 = 3 · lg 3 = 3 · 0,477 = 1,431

Sinus Påbyggingsboka T > Algebra

Kontroller svaret på lommeregneren.

EKSEMPEL Finn lg 256 uttrykt ved lg 2.

Løsning: Ettersom 256 = 28, får vi lg 256 = lg 28 = 8 · lg 2

EKSEMPEL Ved hjelp av lommeregneren finner vi at lg 2 = 0,301 og lg 6 = 0,778. Bruk dette til å finne lg 12, lg 3 og lg 1,5.

Løsning: lg 12 = lg (2 · 6) = lg 2 + lg 6 = 0,301 + 0,778 = 1,079 6 = lg 6 – lg 2 = 0,778 – 0,301 = 0,477 lg 3 = lg __ 2 3

lg 1,5 = lg __ = lg 3 – lg 2 = 0,477 – 0,301 = 0,176 2

EKSEMPEL Finn lg 5, lg 20, lg 200, lg (2 · 107) og lg

uttrykt ved lg 2.

Løsning: 10

lg 5 = lg ___ = lg 10 – lg 2 = 1 – lg 2 2 lg 20 = lg (2 · 10) = lg 2 + lg 10 = lg 2 + 1 lg 200 = lg (2 · 102) = lg 2 + lg 102 = lg 2 + 2 · lg 10 = lg 2 + 2 · 1 = lg 2 + 2 lg (2 · 107) = lg 2 + lg 107 = lg 2 + 7 · lg 10 = lg 2 + 7 · 1 = lg 2 + 7 lg

1 __

= lg 2 2 = __ · lg 2 2

Oppgave 1.73 Du får oppgitt at lg 5 = 0,699, og at lg 6 = 0,778. Bruk dette til å regne ut a) lg 25 b) lg 36 c) lg 30 e) lg 50 f) lg 0,2 g) lg 1,2

d) lg 2 5 h) lg __ 6

Oppgave 1.74 Uttrykk logaritmene ved hjelp av lg 5. a) lg 25 b) lg 125 c) lg 50 d) lg 5000 e) lg 2 f) lg 0,2 Oppgave 1.75 Trekk sammen. a) lg 4 + lg 8 lg 8 d) ____ lg 2

b) lg 50 + lg 2

c) lg x2 + lg x3

lg 81 e) _____ lg 9

lg x3 + lg x5 f) ___________ lg x2

1.8 Eksponentiallikninger En eksponentiallikning er en likning der den ukjente er en eksponent. Likningen 3x = 7 er et eksempel på en eksponentiallikning. Når vi løser slike likninger, utnytter vi at to tall er like hvis og bare hvis logaritmen til tallene er like.

EKSEMPEL Løs eksponentiallikningen 3x = 7 Sett prøve på svaret.

Løsning: 3x = 7 lg 3x = lg 7 x · lg 3 = lg 7 x · lg 3 ____ lg 7 _______ = lg 3 lg 3 lg 7 x = ____ lg 3 x = 1,77

Sinus Påbyggingsboka T > Algebra

lg 3x = x · lg 3

Vi setter prøve på svaret: Venstre side = 31,77 = 6,99 ≈ 7 Høyre side = 7 Vi har regnet riktig.

EKSEMPEL En insektkoloni består av 1000 insekter. Insektmengden blir fordoblet hver dag. Hvor mange dager går det før kolonien er på 1 000 000 insekter?

Løsning: Etter x dager er tallet på insekter gitt ved formelen I = 1000 · 2x Vi skal finne ut når I = 1 000 000. Det gir denne likningen: 1000 · 2x = 1 000 000 2x = 1000 lg 2x = lg 1000 x · lg 2 = lg 1000 lg 1000 x = _______ lg 2 x = 9,97 Etter ca. 10 dager er kolonien på 1 000 000 insekter.

EKSEMPEL Tallet på mobiltelefonabonnementer i Norge økte sterkt fra ca. 1990. Tallet i tusen x år etter 1990 var gitt ved formelen y = 148,1 · 1,342x Finn ved regning når tallet på telefonabonnementer passerte 2 millioner etter denne modellen.

Løsning: Ettersom y er antallet abonnement i tusen, må vi finne ut når y = 2000. 148,1 · 1,342x = 2000 2000 1,342x = ______ 148,1 1,342x = 13,5 lg 1,342x = lg 13,5 x · lg 1,342 = lg 13,5 x · lg 1,342 ________ lg 13,5 __________ = lg 1,342 lg 1,342 lg 13,5 x = ________ lg 1,342 x = 8,8 Tallet på telefonabonnementer passerte 2 millioner på slutten av 1998.

Oppgave 1.80 Løs likningene. a) 2x = 8

b) 3x = 10

c) 4,5x = 20

Oppgave 1.81 Løs likningene. a) 1,05x = 2

b) 3 · 2x = 5

c) 1000 · 1,07x = 1200

d) 10x = 25

Oppgave 1.82 Peder Ås setter 10 000 kr i banken og får 5 % rente p.a. Etter x år er beløpet gitt ved formelen y = 10 000 · 1,05x a) Når er beløpet vokst til 20 000 kr? b) Når er beløpet vokst til 100 000 kr?

Oppgave 1.83 Folketallet i verden i millioner x år etter 1950 er omtrent gitt ved formelen y = 2546 · 1,018x a) Finn ved regning når folketallet passerte 5 milliarder. b) Finn ved regning når folketallet kommer til å passere 10 milliarder etter denne modellen.

Sinus Påbyggingsboka T > Algebra

Noen ganger er det flere potenser i en eksponentiallikning. Ved hjelp av regnereglene for logaritmer kan vi løse også slike likninger.

EKSEMPEL Løs likningen 5x = 4 · 3x

Løsning: 5x = 4 · 3x lg 5x = lg (4 · 3x) lg 5x = lg 4 + lg 3x x · lg 5 = lg 4 + x · lg 3 x · lg 5 – x · lg 3 = lg 4 x · (lg 5 – lg 3) = lg 4 x · (lg 5 – lg 3) _________ lg 4 _____________ = – (lg 5 lg 3) lg 5 – lg 3 lg 4 x = _________ lg 5 – lg 3 x = 2,71

lg (a · b) = lg a + lg b lg an = n · lg a

EKSEMPEL Anne setter 10 000 kr i banken og får 5 % rente per år. Etter x år er beløpet gitt ved formelen y = 10 000 · 1,05x Per setter samtidig inn 12 000 kr i en annen bank, men han får bare 2 % rente per år. Etter x år er beløpet hans gitt ved formelen y = 12 000 · 1,02x Når har de like mye penger i banken? Hvor mye penger har de da?

Løsning: De har like mye penger i banken når 10 000 · 1,05x = 12 000 · 1,02x

Vi løser denne eksponentiallikningen: lg (10 000 · 1,05x) = lg (12 000 · 1,02x) lg 10 000 + lg 1,05x = lg 12 000 + lg 1,02x lg 10 000 + x · lg 1,05 = lg 12 000 + x · lg 1,02 x · lg1,05 – x · lg 1,02 = lg 12 000 – lg 10 000 12 000 x · (lg 1,05 – lg 1,02) = lg _______ 10 000 lg 1,2 x · (lg 1,05 – lg 1,02) ______________ __________________ = (lg 1,05 – lg 1,02) lg 1,05 – lg 1,02 lg 1,2 x = ______________ lg 1,05 – lg 1,02 x = 6,29 De har like mye penger etter 6,3 år. Vi regner ut hvor mye penger Anne har etter 6,29 år. Vi setter x = 6,29 inn i formelen. y = 10 000 · 1,056,29 = 13 592 Anne har 13 592 kr i banken etter 6,3 år. Vi kontrollerer løsningen ved å regne ut hvor mye Per har i banken. y = 12 000 · 1,026,29 = 13 592 Per har også 13 592 kr. De har begge 13 592 kr i banken etter 6,29 år.

Oppgave 1.84 Løs likningene. a) 3x = 5 · 2x

b) 10x = 16 · 5x

c) 5 · 2x = 4 · 3x

Oppgave 1.85 Frida Ford sparer til en bestemt bil. Bilen koster 200 000 kr i dag. Hun regner med at om x år er verdien i kroner gitt ved formelen y = 200 000 · 0,90x Hun har 100 000 kr som hun setter i banken der hun får 4 % rente per år. Beløpet om x år er da gitt ved formelen y = 100 000 · 1,04x Hvor lang tid går det før hun kan kjøpe bilen?

Sinus Påbyggingsboka T > Algebra

1.9 Logaritmelikninger En logaritmelikning er en likning som inneholder logaritmen til den ukjente. Vi løser først noen likninger der x og lg x bare forekommer i første potens.

EKSEMPEL Løs logaritmelikningene. a) 3 lg x + 1 = 7 b) lg (2x + 1) = 3 lg 2

Løsning: a) 3 lg x + 1 = 7 3 lg x = 6 6 lg x = __ 3 lg x = 2 10lg x = 102 x = 100

10lg x = x

b) Vi utnytter at 3 lg 2 = lg 23. lg (2x + 1) = 3 lg 2 lg (2x + 1) = lg 23 Når logaritmen til to tall er like, er tallene like. Det gir likningen 2x + 1 = 23 2x = 8 – 1 2x = 7 7 x = __ 2

! ?

Når vi løser logaritmelikninger, må vi passe på at de løsningene vi kommer fram til, er gyldige. Logaritmen til et tall er bare definert når tallet er positivt.

Oppgave 1.90 Løs likningene. a) 2 lg x + 4 = 6

b) 5 lg x + 2 = 3 lg x + 8

Oppgave 1.91 Løs likningene. a) lg(2x – 1) = 2 lg 3

c) 2(lg x + 3) = –3(lg x – 7)

b) lg(x + 2) = 2 lg x

EKSEMPEL a) lg x2 – 3 lg x + 2 = 0

b) (lg x)2 – 3 lg x + 2 = 0

Løsning: a) Uttrykket lg x2 kan vi skrive på denne måten: lg x2 = 2 · lg x Vi kan da løse likningen slik: lg x2 – 3 lg x + 2 = 0 2 · lg x – 3 lg x + 2 = 0 –lg x = –2 lg x = 2

Legg merke til at lg x2 = 2 · lg x (lg x)2 = lg x · lg x

10lg x = 102 x = 100 b) Uttrykket (lg x)2 kan vi ikke forenkle på noen måte. Vi setter u = lg x og bruker andregradsformelen. (lg x)2 – 3 lg x + 2 = 0 u2 – 3u + 2 = 0_____________ –(–3) ± √ (–3)2 – 4 · 1 · 2 u = _____________________ _____2 · 1 3 ± √9 – 8 u = _________ 2 3±1 _____ u= 2 u = 1 eller u = 2 lg x = 1 eller lg x = 2 10lg x = 101 eller 10lg x = 102 x = 10 eller x = 100

Oppgave 1.92 Løs likningene. a) lg x3 = 6 c) lg x3 + 2 lg x – 10 = 0 Oppgave 1.93 Løs likningene. a) lg x2 – 5 lg x + 6 = 0 c) (lg x)3 – (lg x)2 – 2 lg x = 0

Sinus Påbyggingsboka T > Algebra

b) lg x2 + 4 lg x – 6 = 0

b) (lg x)2 – 5 lg x + 6 = 0

SAMMENDRAG Andregradslikning Likningen ax2 + bx + c = 0 er en andregradslikning. Vi kaller ax2 andregradsleddet, bx førstegradsleddet og c konstantleddet.

Produktregelen Dersom r · s = 0, så er r = 0 eller s = 0. Andregradsformelen Andregradslikningen ax2 + bx + c = 0 har løsningene _______

–b ± √ b – 4ac x = _____________ 2

når

2a – 4ac ≥ 0.

Faktorisering av andregradsuttrykk Dersom ax2 + bx + c har nullpunktene x = x1 og x = x2, er ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2) Dersom andregradsuttrykket bare har ett nullpunkt, x = x1, er ax2 + bx + c = a(x – x1)2 Dersom andregradsuttrykket ikke har nullpunkter, kan det ikke faktoriseres i førstegradsfaktorer.

Logaritme Den briggske logaritmen til a (lg a) er det tallet vi må opphøye 10 i for å få a. 10lg a = a

Regneregler for logaritmer lg ax = x · lg a lg (a · b) = lg a + lg b a lg __ = lg a – lg b b

Oppgaver

1 Algebra KATEGORI 1

y 2 1

1.1 Nullpunkter

–2 –1 –1

Oppgave 1.110 Finn nullpunktene til de funksjonene der grafene er tegnet nedenfor og til høyre.

–2 –3 –4

–5

y 5

1 –5 –4 –3 –2 –1 –1

x 1

–3 –2 –1 –1

–2

–2 –3 –4

y 1

–2 –1 –1

x 1

–2 –3 –4 –5

245

Oppgave 1.111 Finn om mulig nullpunktene til disse funksjonene. a) y 8 7

Oppgave 1.112 Tegn grafen og finn nullpunktene til funksjonen f. a) f (x) = x – 4 b) f (x) = x2 – 3x c) f (x) = x2 – 5x + 4 d) f (x) = x2 – 2x + 1

6 5 4 3 2 1

–4 –3 –2 –1 –1

Oppgave 1.113 Bruk et digitalt hjelpemiddel og finn nullpunktene til funksjonen g. a) g(x) = x2 + 5x b) g(x) = – x2 + 4 c) g(x) = – x2 + x + 2 d) g(x) = x2 – x – 20

–2 –3

1.2 Andregradslikninger med to ledd

–4 –5

b) y 1 –1 –1

x 1

–2 –3 –4

Oppgave 1.120 Løs om mulig likningene. a) x2 = 25 b) x2 – 100 = 0 2 c) 2x = 72 d) x2 + 4 = 0 Oppgave 1.121 Løs likningene. a) x(x – 3) = 0 b) x(x + 4) = 0 c) x2 – 81 = 0 d) x(5x – 10) = 0

–5

Oppgave 1.122 Løs om mulig likningene. a) x2 = 121 b) x2 – 7x = 0 2 c) 2x + 8 = 0 d) 2x2 + 8x = 0

–6

c) y 5

Oppgave 1.123 Løs likningen grafisk og ved regning.

4 3

x2 – 4 = 0

2 1 x –3 –2 –1 –1

–2 –3

246

Sinus Påbyggingsboka T > Algebra

Oppgave 1.124 Løs likningen grafisk og ved regning. x2 – 4x = 0

1.3 Andregradsformelen Oppgave 1.130 Bruk andregradsformelen og løs likningene. a) x2 – 5x + 4 = 0 b) x2 – 6x + 8 = 0 c) x2 – 2x – 8 = 0 d) x2 – 25x + 150 = 0 e) x2 – 2x – 24 = 0 f) x2 + 2x – 24 = 0 Oppgave 1.131 Løs om mulig likningene. a) x2 + 2x – 8 = 0 b) x2 + 8x + 15 = 0 c) x2 + 2x – 3 = 0 d) x2 – 6x + 9 = 0 e) x2 + 4x + 5 = 0 Oppgave 1.132 Funksjonen f er gitt ved f (x) = x2 – 6x – 16 a) Tegn grafen til f digitalt. Velg x mellom –3 og 9 og y mellom –30 og 20. b) Finn nullpunktene til f ved regning. c) Kontroller svaret i oppgave b ved å løse likningen

Oppgave 1.134 Et jordstykke har form som et rektangel. Den lengste siden er 14 m lengre enn den korte. Arealet er 147 m2. Hvor lange er sidene?

1.4 Ikke-lineære likningssett Oppgave 1.140 Løs likningssettene ved regning. a) y = x – 2 b) y = x – 6 x · y = –1 x · y = –8 c) y = x2 y – 4x = 0

d) y = x2 – 5 y – 3x = 5

Oppgave 1.141 Løs likningssettene ved regning. a) x2 + y = 4 b) x2 – y2 = 1 y = 2x + 1 y=x–1 Oppgave 1.142 a) Løs likningssettet ved regning. x ⋅ y = 12 x+y=8 b) Sidene i rektangelet nedenfor har lengdene x og y.

x2 – 6x – 16 = 0 y

grafisk med et digitalt verktøy. Oppgave 1.133 I en trekant er høyden 4 cm lengre enn grunnlinja. Arealet av trekanten er 16 cm2. Finn lengden av grunnlinja og høyden i trekanten.

Arealet av rektangelet er 12 cm2, og omkretsen er 16 cm. 1) Forklar at likningssettet i oppgave a kan brukes til å finne lengden av sidene i rektangelet. 2) Finn lengden av sidene.

247

1.5 Nullpunkter og faktorisering Oppgave 1.150 Faktoriser ved hjelp av nullpunktene. a) x2 – 3x + 2 b) x2 – 6x + 8 2 c) x + 2x – 3 d) x2 + 7x + 10 Oppgave 1.151 Faktoriser om mulig ved hjelp av nullpunktene. a) x2 – 4x + 4 b) x2 + 2x + 2 2 – – c) x 2x 8 d) x2 + 4x + 6 Oppgave 1.152 Finn et andregradsuttrykk som har disse gitte nullpunktene. a) x = 2 og x = 9 b) x = –4 og x = 5

1.6 Andregradsulikheter Oppgave 1.160 Løs ulikhetene ved bruk av fortegnslinjer. a) (x – 1)(x + 2) > 0 b) (x – 3)(x + 3) < 0 c) x(x + 1) < 0 d) x(x – 2) > 0 Oppgave 1.161 Faktoriser uttrykkene og løs ulikhetene. a) x2 – 2x < 0 b) x2 + 3x > 0 2 c) x – 4x > 0 d) x2 – 16 < 0 Oppgave 1.162 a) Vis at x2 – 4x – 12 = (x + 2)(x – 6) b) Løs ulikheten x2 – 4x – 12 > 0

248

Sinus Påbyggingsboka T > Algebra

Oppgave 1.163 a) Vis at 2x2 + 4x – 30 = 2(x – 3)(x + 5) b) Løs ulikheten 2x2 + 4x – 30 > 0 Oppgave 1.164 a) Faktoriser andregradsuttrykket x2 + x – 6 ved hjelp av nullpunktene. b) Løs ulikheten ved å bruke fortegnslinjer. x2 + x – 6 < 0

1.7 Logaritmer Oppgave 1.170 Bruk definisjonen av logaritme og regn ut uten lommeregner. a) lg 104 b) lg 10–2 0,5 c) lg 10 d) lg 100 000 Oppgave 1.171 a) Bruk lommeregneren til å vise at 101,7 ≈ 50,1 b) Hva er da lg 50,1? Oppgave 1.172 Bruk definisjonen av logaritme og regn ut uten lommeregner. 1 a) lg ____ b) lg 10 000 100 c) lg 0,0001 d) lg 1 Oppgave 1.173 Bruk lommeregneren og finn a) lg 7 b) lg 150 c) lg 0,0001 d) lg 1

Oppgave 1.174 Bruk lommeregneren og finn 2 a) lg __        b) lg (2,7 · 104) 7

(  )

Oppgave 1.175 a) Bruk lommeregneren til å finne ut hvilket tall som er størst av 1) 4 og lg 4000 2) 5 og lg 120 000 b) Bruk lommeregneren til å finne ut hvilket tall som er minst av 1) –2 og lg 0,004 1 2) –4,7 og lg _______          50 000

(

)

Oppgave 1.176 Skriv logaritmene ved hjelp av lg 2. 1 a) lg 4 b) lg __       2 1 c) lg 32 d) lg ___       16

Oppgave 1.183 Randi setter 5000 kr på en bankkonto til 5 % rente per år. Etter x år har hun y kroner på kontoen, der y = 5000 ⋅ 1,05x a) Når har hun 7400 kr på kontoen? b) Når er innskuddet til Randi fordoblet? Oppgave 1.184 Traktoren til Kåre Bonde er i dag verdt 60 000 kr. Verdien av traktoren synker med 13 % hvert år. Etter x år er verdien y i kroner av traktoren y = 60 000 ⋅ 0,87x a) Kåre vil selge traktoren når den er verdt 13 000 kr. Når kan han selge traktoren? b) Når er verdien av traktoren halvert?

Oppgave 1.177 Vis ved hjelp av logaritmereglene at dette gjelder: a) lg 23 + lg (2 ⋅ 3) = 4 ⋅ lg 2 + lg 3 3 2 b) lg  __   + lg  __   = 0 3 2

1.8 Eksponentiallikninger Oppgave 1.180 Løs likningene ved bruk av logaritmer. a) 2x = 5 b) 5x = 10 x c) 10 = 2 d) 3x = 81 Oppgave 1.181 Løs likningene. a) 1,05x = 2 b) 1,12x = 3 c) 0,95x = 0,5 d) 0,80x = 0,1 Oppgave 1.182 Løs likningene. a) 2000 · 1,05x = 4000 b) 12,6 · 0,95x = 6,3

1.9 Logaritmelikninger Oppgave 1.190 Løs likningene. a) lg x – 1 = 0 b) lg x + 1 = 0 c) 2 lg x = 6 d) 3 lg x = –6 Oppgave 1.191 Løs likningene. a) lg x2 – 2 = 0 b) lg x3 – lg x2 + 2 = 0 c) 2 lg x4 – 4 lg x = 12 d) (lg x)2 – 1 = 0

249

Oppgave 1.192 pH-verdien i en oppløsning er gitt ved pH = –lg K der K er konsentrasjonen av H3O+-ioner målt i molar (M) i oppløsningen. Finn K når pH-verdien er a) 2,3 b) 4,8 c) 10,5

Oppgave 1.222 Løs om mulig likningene. a) 4x2 = –4x b) 4x2 + 4 = 0 1 c) –x2 = – __        d) –4x2 – 8x = 0 4 Oppgave 1.223 a) Vis at (x – 1)(x – 9) = x2 – 10x + 9

Kategori 2

b) Løs likningen

1.1 Nullpunkter

Oppgave 1.224 I en trekant er høyden tre enheter lengre enn grunnlinja. Arealet av trekanten er lik arealet av et kvadrat med like lange sider som grunnlinja i trekanten. Finn arealet av kvadratet.

Oppgave 1.210 Tegn grafen og finn om mulig nullpunktene til funksjonen f. a) f (x) = 4x2 + 4x – 3 b) f(x) = – 2x2 + 13x + 7 c) f (x) = 2x2 + 2x + 1 d) f(x) = (4x – 1)2 Oppgave 1.211 Bruk et digitalt hjelpemiddel og finn nullpunktene til funksjonen f. a) f (x) = x3 – 4x b) f (x) = x4 – 1 c) f (x) = x4 – 5x2 + 4

1.2 A ndregradslikninger med to ledd Oppgave 1.220 Løs likningene. a) 2x2 = 50 b) 3x2 – 12x = 0 10 2 c)  __   x2 – ___      = 0 d) –2x2 + 3x = 0 5 9 Oppgave 1.221 Løs likningene. a) x2 + 1 = 2x2 – 3 b) x2 = 9x c) x4 = 16 d) (x – 5) (x + 1) = 0

250

Sinus Påbyggingsboka T > Algebra

x2 – 10x + 9 = 0

1.3 Andregradsformelen Oppgave 1.230 Løs likningene. a) x2 + 2x – 8 = 0 b) x2 – 7x + 12 = 0 c) x2 – 5x – 150 = 0 d) x2 + 26x + 25 = 0 e) x2 – 7x + 10 = 0 f) x2 + 4x – 21 = 0 Oppgave 1.231 Løs likningene. a) 2x2 + 5x – 3 = 0 b) x2 + 10x + 25 = 0 c) –6x2 + x + 1 = 0 d) 9x2 – 12x + 4 = 0 Oppgave 1.232 Løs om mulig likningene. a) 5x2 + 3x = 0 b) x2 – 4x + 5 = 0 c) 3x2 + 12 = 0 d) (x – 1)2 + 4(x – 1) + 4 = 0

Oppgave 1.233 Funksjonen f er gitt ved f (x) = 2x2 – 7x + 3 a) Bestem nullpunktene til f ved regning. b) Tegn grafen til f og kontroller utregningene i oppgave a. Oppgave 1.234 a) I et rektangel er den ene siden 3 cm lengre enn den andre siden. Arealet av rektangelet er 70 cm2. Finn sidene i rektangelet. b) I en trekant er høyden 5 cm kortere enn grunnlinja. Arealet av trekanten er 42 cm2. Finn høyden og lengden av grunnlinja i trekanten. Oppgave 1.235 I en rettvinklet trekant er den ene kateten 2 cm kortere enn den andre kateten. Hypotenusen er 10 cm. Finn lengden av katetene. Oppgave 1.236 a) Gitt andregradslikningen x2 + px + q = 0

1.4 Ikke-lineære likningssett Oppgave 1.240 Løs likningssettene. a) x + y = 1 b) x2 – y = 3x 2 x +y=3 3x – y = 8 d) x2 + y = 1 y _____ =2 x–1

c) x · y = 12 y _____ =1 x+1

Oppgave 1.241 Tre brødre er til sammen 120 år. To av dem er tvillinger. Differansen mellom produktet av alderen til tvillingene og alderen til broren deres er 1400. Finn alderen til de tre brødrene. Oppgave 1.242 To kvadrater har til sammen arealet 410. Når vi legger sammen omkretsene av de to kvadratene, får vi 104. Finn sidene i de to kvadratene. Oppgave 1.243 Figuren viser en trekantet tomt ABC der vinkelen C er 90°. AB er 70 m, og omkretsen av tomta er 168 m. C

Vis at løsningene av likningen er p x = – __ ± 2 Hva slags krav må vi stille til p og q for at likningen skal få løsninger? b) Bruk formelen i oppgave a og løs andregradslikningene. 1) x2 – 8x + 7 = 0 2) x2 – 10x – 24 = 0

x A

70 m

a) Vis at x og y passer i likningssettet x2 + y2 = 4900 x + y = 98 og løs likningssettet. b) Finn arealet av tomta.

251

1.5 Nullpunkter og faktorisering Oppgave 1.250 Faktoriser uttrykkene ved hjelp av nullpunktene. a) x2 – 4x + 3 b) x2 – x – 2 2 c) a + 2a – 15 d) y2 + 11y + 28 Oppgave 1.251 Faktoriser uttrykkene mest mulig. a) 2x2 – 2x – 12 b) 3x2 + 6x + 6 2 – c) 5t 20 d) 2x2 + 3x – 2 Oppgave 1.252 Faktoriser om mulig disse uttrykkene. a) 9x2 – 3x – 2 b) x2 + 4x – 5 4 4 c) t2 – __ t + __ d) s3 + 6s2 – 7s 3 9

1.6 Andregradsulikheter Oppgave 1.260 Løs ulikhetene ved regning. a) 2x2 – 4x < 0 b) (x – 1)(2 – x) > 0 c) x2 – 7x + 6 < 0 d) 4x2 + 4x – 3 > 0 Oppgave 1.261 Løs ulikhetene ved regning. a) x2 + 2x > 15 b) –2x2 + 3x ≥ 1 c) –x2 + 11x – 10 < 0 d) 6x2 + 7x – 3 < 0 e) x2 – 5x – 15 > 2x + 3 f) –5x2 + 4x – 1 ≤ x2 – 3x – 4 Oppgave 1.262 Vi kaster en ball rett opp i lufta. Etter t sekunder har ballen høyden h (i meter over utgangspunktet) gitt ved h = 10t – 4,9t2 Når er ballen mer enn 2,0 m over utgangspunktet?

252

Sinus Påbyggingsboka T > Algebra

1.7 Logaritmer Oppgave 1.270 a) Skriv så enkelt som mulig uten bruk av lommeregner. 2) 10lg

1) 10lg 2

1 __

3) 10lg a

b) Skriv disse tallene som potenser med grunntall 10 og med tre desimaler i eksponenten. 1) 125,8

2) 0,42

3) 21 500

Oppgave 1.271 Bruk definisjonen av logaritme og regn ut. 5

a) lg 105

b) lg 100

1 c) lg _____ 3 10

7 1 d) lg _____ · 100 1000

(

)

Oppgave 1.272 Bruk logaritmereglene til å forenkle disse uttrykkene. a) lg 33 + lg 32 – lg 3 2 b) lg (2 · 5) – lg __ 5 Oppgave 1.273 Finn feilen i dette regnestykket. 3<4 1 1 3 lg __ < 4 lg __ 2 2 1 3 1 lg __ < lg __ 2 2

( ) ( ) ( __21 ) < ( __12 ) 3

1 ___ 1 __ < 8 16 8 > 16

1.8 Eksponentiallikninger Oppgave 1.280 Løs likningene. 3 x 1 a) __ = __ b) 2,70 · 5x = 6,75 2 4 c) 2 · 32x = 12

( )

Oppgave 1.281 Løs likningene. a) 4 · 2x = 2 · 3x b) 2 · 5x = 5 · 2x Oppgave 1.282 Noen smittsomme sykdommer sprer seg på en slik måte at det er rimelig å bruke en modell med eksponentiallikning. For en slik sykdom er tallet på smittede personer ved nyttårsskiftet et år lik 60. Tallet N på smittede personer er t uker seinere gitt ved N = 60 ⋅ at der a er et positivt tall. a) Tallet på smittede personer etter en måned (4 uker) var 124. Finn a. b) Hvor lang tid tar det før tallet på smittede personer er 1000? c) Tror du det kan være realistisk å bruke denne modellen over en lengre periode, f.eks. flere år? Grunngi svaret.

Oppgave 1.283 To biler, A og B, er i dag verdt henholdsvis 180 000 kr og 150 000 kr. Vi regner med at verdien av bil A hvert år synker med 20 %, og at verdien av bil B hvert år synker med 15 %. a) Finn ved regning når bil A er verdt 30 000 kr. b) Finn ved regning når bil B er verdt 41 000 kr. c) Finn ved regning når bilene har den samme verdien. Oppgave 1.284 Pål har en frimerkesamling som i dag er verdt 100 000 kr. Verdien av samlingen stiger med 8 % hvert år. Gerd har en fritidsbåt som i dag er verdt 223 000 kr. Verdien av båten synker med 8 % hvert år. Finn ved regning når verdien av frimerkesamlingen er lik verdien av fritidsbåten.

1.9 Logaritmelikninger Oppgave 1.290 Løs likningene. a) 1 – 2 lg x = 2 b) lg x2 + 2 lg x – 4 = 0 c) lg (x + 8) = 1 d) lg (x + 2)2 = lg x4 Oppgave 1.291 Frida fikk et fast månedsbeløp av foreldrene sine i hele 2010. Fra og med januar 2011 hadde hun en avtale med foreldrene om at beløpet skulle økes for hver måned. y måneder seinere får hun x kroner der y = 77,9 ⋅ lg x – 216,4 a) Når får Frida 760 kr i månedspenger? b) Vi lar verdien av x når y = 0 svare til det månedsbeløpet Frida fikk i 2010. Finn ved regning hvor mye Frida fikk i månedspenger i 2010.

253

Oppgave 1.292 Løs likningene. a) lg x2 – lg x – 6 = 0 b) (lg x)2 – lg x – 6 = 0

Finn når utslippet er mindre enn 170 g/km ved å løse en ulikhet. Ulikheten skal løses ved regning.

Oppgave 1.293 I området omkring en sterkt trafikkert vei minker støynivået med avstanden fra veien. Støynivået S målt i desibel (dB) i avstanden x er S = 110 – 22 ⋅ lg x, x ≥ 1 når x er målt i meter fra midten av veien. a) Hva er støynivået i veibanen (1 m fra midten av veien)? b) Hvor langt fra midten av veien er vi når støynivået er 55 dB?

Oppgave 1.301 I en periode kom det mye nedbør i elva Vassleia. En dag ble vannhøyden i Vassleia målt til 3,80 m ved midnatt. Vannet i elva steg, og x timer seinere var vannhøyden V målt i meter V = 3,80 · 1,025x a) Hva var vannhøyden i elva kl. 09.00? b) Tegn en graf som viser sammenhengen mellom x og V når x er mellom 0 og 10. c) Finn grafisk og ved regning når vannhøyden var 4,30 m. d) Hvor mange centimeter steg vannet med i gjennomsnitt per time de 10 første timene etter midnatt?

BLANDEDE OPPGAVER Oppgave 1.300 De fleste biler slipper ut klimagassen CO2. Mengden av gass som slippes ut, er blant annet avhengig av den farten bilen har. For en bestemt bil med farten v km/h er utslippet U(v) av CO2, målt i gram per kilometer (g/km), gitt ved U(v) = 0,05v2 – 7,5v + 420

254

Sinus Påbyggingsboka T > Algebra

Oppgave 1.302 Lasse har normalt en kroppstemperatur på 37 °C. En dag pådrog han seg en kraftig influensa. Etter t timer var kroppstemperaturen y(t) målt i celsiusgrader 1 1 y(t) = – _____ t2 + ___t + 37 1200 10 a) Tegn grafen for de fem første dagene av sykdomsperioden. Bruk fornuftige enheter på aksene. b) Finn grafisk når feberen var på det høyeste. Hva var kroppstemperaturen da? c) Finn ved regning hvor lenge kroppstemperaturen var over det normale. d) Finn ved regning når kroppstemperaturen var 38,9 °C.

Oppgave 1.304 Styrken i et jordskjelv blir oppgitt med et tall på richterskalaen. Dette tallet R blir regnet ut fra formelen a R = lg __ + B T

( )

der a (amplituden) og T (perioden) er konstanter som blir målt av jordskjelvstasjonen. B er en korreksjonsfaktor. Den avhenger av avstanden fra jordskjelvsenteret til målestasjonen. a) Et jordskjelv har sentrum 10 000 km fra målestasjonen. Da er B = 6,8. Dessuten har målestasjonen kommet til at a = 9 og T = 2. Regn ut jordskjelvstyrken på richterskalaen. b) Et annet jordskjelv har verdien 8,0 på richterskalaen. En jordskjelvstasjon har målt amplituden i skjelvet til 10. Korreksjonsfaktoren B er 7,5. Finn perioden til jordskjelvbølgene. Oppgave 1.305 På Blåfjell var snødybden 150 cm den 31. mars. x dager ut i april var snødybden y centimeter, der y = 0,4x2 – 12x + 150

Oppgave 1.303 Vis ved hjelp av logaritmereglene: a) lg (a4 · b3) = 4 lg a + 3 lg b a3 b) lg ___ = 3 lg a – 5 lg b b5 a b3 2 + lg ___ = 4 lg b – 3 lg a c) lg ___ 2 b a2

( )

a) Finn ved regning snødybden på Blåfjell 5. april. b) Tegn grafen. c) Finn grafisk når i april snødybden var på det laveste. Hva var snødybden da? d) Finn grafisk og ved regning når snødybden var 70 cm. Oppgave 1.306 Løs ulikhetene ved regning. a) x2 – 7x – 8 < 0 b) 4x – x2 ≤ 0 c) 10 – x2 > 1 d) –6x2 + 13x – 5 ≥ 0

255

Oppgave 1.307 Vi heller varm kaffe i en kopp. Etter x minutter er temperaturen y i celsiusgrader y = 19 + 66 · 0,97x a) Hva er temperaturen i kaffen til å begynne med? b) Hva er temperaturen etter 10 minutter? c) Finn ved regning når temperaturen i koppen er 56 °C.

Oppgave 1.309 Grafen til funksjonen f (x) = ax2 + bx + c skjærer andreaksen i verdien 6. Funksjonsuttrykket til f har dessuten tre faktorer med disse fortegnslinjene: –3 –2 –1 0

0 0

a) Løs ulikheten f (x) < 0. b) Bestem konstantene a, b og c. c) Løs om mulig ulikheten f (x) > 8. Oppgave 1.310 Løs om mulig andregradslikningene. a) –2x2 + 162 = 0 b) 2y2 – 4y + 5 = 0 c) –3x2 – x = 0 d) (x – 2)2 – 25 = 0

Oppgave 1.308 Trapeset nedenfor har en omkrets på 40. x 13

x x+y

a) Vis at det fører fram til likningssettet x2 + y2 = 169 3x + y = 27 b) Løs likningssettet.

256

Sinus Påbyggingsboka T > Algebra