Innhold 1
Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
Logikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 MengdelĂŚre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Noen bevismetoder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Polynomdivisjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Resten ved polynomdivisjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Faktorisering av polynomer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Likninger og ulikheter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Rasjonale likninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Rasjonale ulikheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
9
2
Logaritmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7
Briggske logaritmer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Eksponentiallikninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Eksponentielle ulikheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Likninger og ulikheter med lg x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Den naturlige logaritmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Bruk av den naturlige logaritmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Likninger og ulikheter med ln x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3
Sannsynlighetsregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9
Betinget sannsynlighet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Total sannsynlighet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Bayes-setningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Uavhengige hendinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Ordnede utvalg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Uordnede utvalg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Binomiske forsøk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Hypergeometriske forsøk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Valg av sannsynlighetsmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5
6
Sinus R1
4
Geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9
Formlike trekanter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Kongruente trekanter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Sentralvinkel og periferivinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Konstruksjon med passer og linjal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Medianer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 Midtnormaler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 Høyder i trekanter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Halveringslinjer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Bevis for pytagorassetningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
5
Vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .175
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9
Vektor og skalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 Sum og differanse av vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 Produkt av tall og vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 Vektorer pĂĽ koordinatform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 Regning med vektorkoordinater . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 Vektoren mellom to punkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 Lengde og avstand. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 Sirkellikningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 Sirkelen som grafen til to funksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
6
Vektorregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .219
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8
Parallelle vektorer i koordinatsystemet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 Parameterframstillinger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 Parallelle vektorer uten koordinater . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 Skalarproduktet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 Skalarproduktet i koordinatsystemet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 Bruk av skalarproduktet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 Regneregler for skalarproduktet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 Mer om lengder og vinkler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
7
Funksjonslære . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .255
7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9
Grenseverdier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 Kontinuerlige funksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 Vertikale asymptoter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 Horisontale og skrå asymptoter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 Derivasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 Derivasjon av polynomer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 Funksjonsdrøfting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 Krumning og vendepunkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 Fart og akselerasjon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
8
Derivasjonsregler og vektorfunksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .307
8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9
Potensfunksjoner og rotfunksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 Sammensatte funksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 Logaritmefunksjonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 Eksponentialfunksjoner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 Derivasjon av et produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 Derivasjon av en kvotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 Kurver og vektorfunksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 Derivasjon av vektorfunksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 Fartsvektor og akselerasjonsvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .350 1
Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .351
2
Logaritmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .363
3
Sannsynlighetsregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .372
4
Geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .390
5
Vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .411
6
Vektorregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .423
7
Funksjonslære . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .437
8
Derivasjonsregler og vektorfunksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .455
Fasit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .469 Stikkord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .498
7
1 8
Sinus R1 > Algebra
Algebra MÅL for opplæringen er at eleven skal kunne •
faktorisere polynomer ved hjelp av nullpunkter og polynomdivisjon og bruke dette til å løse likninger og ulikheter med polynomer og rasjonale uttrykk
•
omforme og forenkle sammensatte rasjonale funksjoner og andre symbolske uttrykk med og uten bruk av digitale hjelpemidler
•
gjøre rede for implikasjon og ekvivalens og gjennomføre direkte og kontrapositive bevis
9
1.1 Logikk For ca. 2500 år siden fant grekerne ut at de måtte bevise all matematisk kunnskap ved hjelp av logikk. Denne tankegangen har siden vært grunnlaget for faget matematikk. I den norske skolen ble det rundt 1970 tatt i bruk mange symboler fra logikk og mengdelære. Vi skal nå gjøre oss kjent med noen av symbolene fra logikken. Vi vet at hvis 2x + 1 = 4, så er 2x = 3. Med bruk av symboler fra logikken skriver vi 2x + 1 = 4 2x = 3 Tegnet er en implikasjonspil som vi leser «fører til at», «medfører at» eller «impliserer at». Vi bruker denne pila mellom to likninger, påstander eller utsagn.
Skrivemåten A B betyr at hvis påstanden A er riktig, så er også påstanden B riktig.
Slike påstander trenger ikke være matematiske. Vi kan for eksempel skrive: Personen heter Ola Personen er en gutt Det er en riktig slutning. Men slutningen Personen er en gutt Personen heter Ola er ikke riktig. Hvis x = 2, fører det til at x2 = 4. Med symboler skriver vi x = 2 x2 = 4 Men hvis x2 = 4, behøver ikke det bety at x = 2. Det riktige kan være at x = –2. Derfor kan vi ikke skrive at x2 = 4 x = 2. Det riktige er x2 = 4 x = 2 eller x = –2 Mange bruker et eget logisk symbol for «eller» og skriver x2 = 4 x = 2 x = –2 Tegnet leser vi altså «eller». Vi bruker det mellom to påstander for å fortelle at minst en av påstandene må være riktig.
10
Sinus R1 > Algebra
Likningene 2x2 = 8 og x2 = 4 har nøyaktig de samme løsningene, nemlig x = 2 og x = –2. Vi sier at de to likningene er ekvivalente (likeverdige) og skriver 2x2 = 8 x2 = 4 Tegnet kaller vi et ekvivalenstegn. Vi leser «er ekvivalent med», «har samme løsning som» eller «hvis og bare hvis». Vi kan også skrive x2 = 4 x = 2 x = –2 Det er ikke bare i matematikk vi bruker ekvivalenstegnet. Vi kan skrive Ola er faren til Jens Jens er sønnen til Ola
To påstander A og B er ekvivalente dersom påstand A er riktig hvis og bare hvis påstand B er riktig. Vi skriver A B To likninger er ekvivalente hvis de har nøyaktig de samme løsningene.
På vg1 lærte vi å løse likninger. Når vi løser en likning, gjør vi likningen om på en slik måte at vi får en ny likning med den samme løsningen. Vi kan for eksempel flytte ledd over på den andre siden av likhetstegnet når vi samtidig skifter fortegn på leddet. Vi kan også multiplisere eller dividere på begge sidene av likhetstegnet med tall som ikke er null. Når vi omformer en likning på denne måten, får vi en ekvivalent likning som har nøyaktig de samme løsningene som den likningen vi begynte med. Da kan vi bruke ekvivalenstegnet mellom likningene.
Når vi flytter et ledd over på den andre siden av likhetstegnet og skifter fortegn på leddet, får vi en ekvivalent likning. Når vi dividerer eller multipliserer på begge sidene av likhetstegnet med et tall som ikke er null, får vi en ekvivalent likning.
11
EKS EMPEL Løs likningen 3x2 – 2x + 3 = 4x + 3 Løs ning:
3x2 – 2x + 3 = 4x + 3 3x2 – 6x = 0 – 3x(x 2) = 0 3x = 0 x – 2 = 0 x=0 x=2
! ?
I denne boka kommer vi normalt ikke til å skrive ekvivalenstegnet når vi løser likninger. Vi forutsetter vanligvis at likningene er ekvivalente når det ikke står noe symbol mellom dem. OPP GAVE 1.10
Sett inn ett av symbolene , eller i rutene der det er mulig. a) Jeg er fra Hamar Jeg er fra Norge b) Jeg er fra Bergen Jeg er bergenser c) Jeg er fra Oslo Jeg heter Odd d) Jeg er fra Finnmark Jeg er fra Alta e) Jeg er fra Oslo Jeg bor i Oslo OPP GAVE 1.11
Sett inn ett av symbolene , eller i rutene der det er mulig. b) x = 4 x2 = 16 a) 3x2 = 12 x2 = 4 2 – d) x3 = x x2 = 1 c) x = 9 x = 3 x = 3
I tillegg til tegnet («eller») har vi tegnet for «og». Tegnet bør vi lese «og samtidig». Vi kan for eksempel bruke det når vi løser to likninger med to ukjente.
12
Sinus R1 > Algebra
Likningssettet 2x + y = 1 x–y=2 betyr at de to likningene skal være oppfylt samtidig. Vi kan derfor skrive 2x + y = 1 x – y = 2
!
?
Vi kan ikke alltid erstatte ordet «og» med tegnet , for tegnet betyr «og samtidig». Vi kan gjerne si at en likning har løsningene x = 2 og x = 3. Det er ikke det samme som å si at likningen har løsningene x = 2 x = 3. Variabelen x kan ikke samtidig være både 2 og 3. Vi må si at likningen har løsningen x = 2 x = 3. OPP GAVE 1.12
Omtrent hvor mange nålevende personer passer med beskrivelsen? a) Jeg er norsk Jeg er kvinne b) Jeg er norsk Jeg er kvinne c) Jeg er trønder Jeg er svensk d) Jeg er trønder Jeg er svensk OPP GAVE 1.13
Finn løsningene. a) x2 = 9 x > 0 c) x2 + x – 2 = 0 x > 0 e) x + y = 3 2x – 3y = 1
b) x2 = 9 x < 0 d) x = 2 x2 – 2x + 1 = 0 f) x + y = 5 x – y = –x – 3y
1.2 Mengdelære Tallene deler vi ofte opp i naturlige tall, hele tall, rasjonale tall, irrasjonale tall og reelle tall. De naturlige tallene er tallene 1, 2, 3, 4, … Vi bruker symbolet N for dem. De hele tallene omfatter alle de naturlige tallene, tallet 0 og alle de hele negative tallene. Z er symbolet for de hele tallene. De rasjonale tallene er sammensatt av alle tall som kan skrives som brøker. Det vanlige symbolet for de rasjonale tallene er Q . Alle hele tall kan skrives som brøker og er dermed rasjonale tall. Det fins mange tall som __ verken er hele tall eller brøker. Det er de irrasjonale tallene. Tallene / og 3 2 er eksempler på irrasjonale tall.
13
De reelle tallene er sammensatt av de rasjonale tallene og de irrasjonale tallene. De reelle tallene omfatter dermed alle hele tall, alle brøker og alle tall som ikke kan skrives som en brøk. Det blir alle tallene i det vanlige tallsystemet vårt. R er det vanlige symbolet for de reelle tallene. Vi har nå sett på noen tallmengder. Det er mengder som inneholder tall, men mengder kan også bestå av andre typer elementer. Vi kan snakke om mengden av alle førstegradsuttrykk eller mengden av alle byer i Norge. Fra vg1 kjenner vi symbolet D, som vi leser «tilhører» eller «er element i». Hvis vi skriver x D N , betyr det at tallet x tilhører de naturlige tallene. Det er det samme som å si at x er et naturlig tall. Når vi skriver at x D R, betyr det at x er et hvilket som helst tall. Vi kan også skrive –2 D Z når vi vil si at tallet –2 er et helt tall. Vi skriver –2 N når vi vil si at –2 ikke er et naturlig tall. Alle tallmengdene ovenfor inneholder uendelig mange tall. Tallmengder med et endelig antall elementer kan vi skrive på listeform: Tallmengden {2, 4, 6} består av tallene 2, 4 og 6. Når vi skriver x D {2, 4, 6}, sier vi at x er ett av tallene 2, 4 eller 6. Når vi for eksempel skal skrive at likningen x2 – 5x + 6 = 0 har løsningen x = 2 eller x = 3, kan vi skrive x2 – 5x + 6 = 0 x D {2, 3} {2, 3} kaller vi løsningsmengden til likningen x2 – 5x + 6 = 0. I mengder på listeform trenger vi ikke å tenke på hvilken rekkefølge vi skal skrive tallene i. Det er det samme om vi skriver {3, 6, 9} eller {3, 9, 6}. Disse to mengdene er like: {3, 6, 9} = {3, 9, 6} Funksjonen f gitt ved x+2 f(x) = _____ x–1 har et bruddpunkt for x = 1. Funksjonen er definert for alle x ≠ 1. Vi kan da skrive x D R \ {1}. Dette er en mengdedifferanse. Når vi skriver R \ {1}, tar vi bort tallet 1 fra de reelle tallene. Definisjonsmengden til funksjonen f er Df = R \ {1} Funksjonen g gitt ved x2 + 1 g(x) = __________ 2 x – 5x + 6
14
Sinus R1 > Algebra
har definisjonsmengde Dg = R \ {2, 3} Med mengdesymboler kan vi skrive {2, 4, 6} \ {4} = {2, 6} Mengdedifferansen tar altså bort tall fra en mengde. Legg merke til at {1, 2, 3, 4} \ {3, 5} = {1, 2, 4} Hvis vi prøver å ta bort noe som ikke er med i mengden, så har det ikke noen betydning for resultatet.
?
OPPGAVE 1.20
Sett inn symbolet D eller i de tomme rutene. b) –5 N a) –5 Z 2 2 c) __ Z d) __ Q 3__ 3__ f) 3 5 Q e) 3 5 R OPPGAVE 1.21
Finn løsningsmengden til disse likningene. a) 2x – 4 = 6 b) x2 – 3x = 0 2 d) x3 – 4x = 0 c) x + x – 2 = 0 OPPGAVE 1.22
Skriv definisjonsmengdene med mengdesymboler. 2x + 1 a) f(x) = ______ x–3 2x +1 b) f(x) = ______ 2 x –9 2x + 5 c) f(x) = __________ 2 x – 2x – 8 2x – 3 d) f(x) = __________ 2 x – 2x + 1
På vg1 brukte vi intervaller når vi løste ulikheter. Intervallet [2, 5] består av alle tall fra og med 2 til og med 5. Vi kaller det et lukket intervall. Vi kan skrive x D [2, 5] 2 ≤ x ≤ 5
15
På tallinja kan vi vise intervallet slik: 0
1
2
3
4
5
6
7
Intervallet 2, 5 er et åpent intervall. Det består av alle tall som er større enn 2 og mindre enn 5. x D 2, 5 2 < x < 5 Dette åpne intervallet ser slik ut på tallinja: 0
1
2
3
4
5
6
7
Dermed er 2, 5 = [2, 5] \ {2, 5} De halvåpne intervallene kan vi definere slik: x D [2, 5 2 ≤ x < 5 x D 2, 5] 2 < x ≤ 5 Vi bruker også disse skrivemåtene: x D 2, A x > 2 x D @, 2 x < 2 x D [2, A x ≥ 2 x D @, 2] x ≤ 2 I 1T brukte vi også symbolene E (snitt) og F (union). Når A og B er to mengder, består A E B av de elementene som er med i både A og B. A F B består av de elementene som er med enten i A eller i B eller i begge. Vi kan skrive det slik: xDAEB xDA xDB xDAFB xDA xDB Vi kan illustrere disse mengdene i et venndiagram: A
B
A
B
A∩B A∪B
16
Sinus R1 > Algebra
EKS EMPEL Skriv enklest mulig med mengdesymboler. a) [1, 4] \ {1} b) 1, 3 F {1, 3} c) [1, 5] E 3, 7 d) [1, 5] F 3, 7 Løsning:
a) 0 1 2 3 4 5 6 7
[1, 4] \ {1} = 1, 4] b) 0 1 2 3 4 5 6 7
1, 3 F {1, 3} = [1, 3] c) 0 1 2 3 4 5 6 7
[1, 5] E 3, 7 = 3, 5] d) 0 1 2 3 4 5 6 7
[1, 5] F 3, 7 = [1, 7
?
OPPGAVE 1.23
Finn mengdene. a) {2, 4, 6, 8, 10} \ {4, 8} c) –5, 5] \ {5}
b) [–2, 7] \ {–2, 7} d) 1, 3 \ {2}
OPPGAVE 1.24
Skriv som intervaller. a) [–2, 2] F [1, 5] c) [–2, 2] \ [1, 5] e) 3, 6 E [5, 6]
b) [–2, 2] E [1, 5] d) 3, 6 F [5, 6] f) 3, 6 \ [5, 6]
17
1.3 Noen bevismetoder Det er lett å vise at 32 + 42 = 52, og at 52 + 122 = 132. Det fins uendelig mange slike pytagoreiske talltripler. Matematikere har i flere tusen år lett etter hele tall x, y og z slik at xn + yn = zn der n er et helt tall større enn 2. Ingen har funnet noen slike tall. Matematikeren Pierre de Fermat (1601<1665) påstod at slike tall ikke fins. Han sa også at han hadde et bevis for det, men at det ikke var plass til beviset i margen på den boka han hadde i hånda. Matematikere strevde så i flere hundre år med å bevise påstanden. Matematikeren Andrew Wiles var den som klarte det, men det var ikke før i 1993. Det blir sett på som en av de helt store matematiske bragdene i vår tid. Ennå fins det mange enkle påstander som vi ikke har klart å bevise. En slik påstand er Goldbachs hypotese: Alle partall større enn 2 kan skrives som en sum av to primtall. For eksempel er 12 = 7 + 5. Det er nå vist at alle partall opp til 1 000 000 000 000 000 000 kan skrives som en sum av to primtall, men ingen har klart å bevise at det gjelder for alle partall. Den som klarer det, kommer til å bli like berømt som Andrew Wiles. Vi skal nå se på noen typer matematiske bevis. Her beviser vi noen egenskaper ved tallmengdene i kapittel 1.2. I kapittel 4 skal vi så gjennomføre mange geometriske bevis. Når vi dividerer 17 med 2, får vi 17 : 2 = 8 16 1 Tallet 8 kaller vi kvotienten, og tallet 1 kaller vi resten. Vi kan skrive 17 1 ___ = 8 + __ 2
2
Vi multipliserer med 2 og får 17 = 2 · 8 + 1 Hvis vi dividerer et helt tall x med 2, får vi en kvotient k og en rest r. Resten r er enten 0 eller 1. Vi kan skrive x=2·k+r
18
Sinus R1 > Algebra
Hvis resten r = 0, er tallet x delelig med 2. Det er det samme som at tallet x er et partall. Hvis resten r = 1, er tallet x ikke delelig med 2. Det er det samme som at x er et oddetall. Denne egenskapen kan vi bruke som definisjon av partall og oddetall.
Et helt tall x er et partall hvis det fins et helt tall k slik at x = 2k. Et helt tall x er et oddetall hvis det fins et helt tall k slik at x = 2k + 1.
Tallet 26 er et partall fordi 26 = 2 · 13. Tallet 15 er et oddetall fordi 15 = 2 · 7 + 1. I matematikken må vi bevise alle regler og setninger. Da tar vi utgangspunkt i definisjoner og setninger som er bevist før. Så beviser vi nye setninger som vi deretter kan bruke i nye bevis. Vi har mange forskjellige typer bevis. Et direkte bevis er en serie med logiske slutninger som fører oss direkte til den setningen vi vil bevise. Vi skal se på et eksempel.
EKS EMPEL La x være et helt tall. Bevis setningene. a) x er et partall x2 er et partall b) x er et oddetall x2 er et oddetall Løs ning: a) Hvis x er et partall, fins det et helt tall k slik at x = 2k. Da er
x2 = (2 · k)2 = 22 · k2 = 2 · 2 · k2 = 2 · (2k2) = 2 · s Tallet s = 2k2 er et helt tall, og da er x2 = 2 · s et partall. b) Hvis x er et oddetall, fins det et helt tall k slik at x = 2k + 1. Da er x2 = (2k + 1)2 = (2k)2 + 2 · 2k · 1 + 12 = 4k2 + 4k + 1 = 2 · (2k2 + 2k) + 1 = 2 · r + 1 Tallet r = 2k2 + 2k er et helt tall, og da er x2 = 2 · r + 1 et oddetall.
19
?
OPPGAVE 1.30
Bevis setningene. a) x partall og y partall x · y partall b) x partall og y oddetall x · y partall c) x oddetall og y oddetall x · y oddetall
Andre ganger fører vi et indirekte bevis eller et kontrapositivt bevis. Når vi skal bevise at A sann B sann beviser vi i stedet at B usann A usann Hvis A da er sann, kan ikke B være usann, for da ville A være usann. Altså må B være sann. Vi ser på et eksempel.
EKS EMPEL Bevis setningene. a) x2 er et partall x er et partall b) x2 er et oddetall x er et oddetall Løs ning: a) Her er påstand A at x2 er et partall og påstand B at x er et partall. Hvis B er usann, er x et oddetall. På forrige side beviste vi at da er x2 et oddetall. Altså er påstand A usann. Vi har da bevist at
B usann A usann Da vet vi at hvis A er sann, er B sann. Dersom x2 er et partall, må altså x være et partall. b) Vi går fram som i oppgave a, men nå uten å sette navn på påstandene. Hvis x ikke er et oddetall, er x et partall. Da er x2 et partall og dermed ikke et oddetall. Dersom x2 er et oddetall, må altså x være et oddetall.
20
Sinus R1 > Algebra
Vi har nå bevist disse to setningene: x er et partall x2 er et partall x2 er et partall x er et partall Eller sagt med ord: Hvis x er et partall, så er x2 et partall. Og hvis x2 er et partall, så er x et partall. Da har vi vist at x er et partall hvis og bare hvis x2 er et partall. Dette kan vi skrive med symboler: x er et partall x2 er et partall Vi har også bevist denne ekvivalensen: x er et oddetall x2 er et oddetall
! ?
Når vi skal bevise ekvivalensen A B, må vi vise at A B, og at B A. OPP GAVE 1.31
Bevis setningen. x er oddetall og y er oddetall x · y er oddetall OPP GAVE 1.32
Bevis setningene. a) x er et partall x3 er et partall b) x er et oddetall x3 er et oddetall
Når vi skal bevise en matematisk påstand som skal gjelde for alle tall, er det ikke nok bare å vise at setningen er riktig for noen tall. Hvis vi derimot skal vise at en setning er feil, er det nok at vi finner et moteksempel. Hvis noen __ det ved påstår at 3 n er et irrasjonalt tall for alle hele tall n, kan vi motbevise __ å finne et eksempel som viser at dette er galt. Hvis n = 4, er 3 4 = 2, og det er ikke noe irrasjonalt tall. Påstanden er altså ikke riktig. Vi kan også bevise at en påstand er sann ved å vise at hvis påstanden er feil, så fører det til en selvmotsigelse.
EKS EMPEL Bevis eller motbevis disse påstandene. a) Produktet av to rasjonale tall er et rasjonalt tall. b) Produktet av et rasjonalt og et irrasjonalt tall er et irrasjonalt tall. c) Produktet av to irrasjonale tall er et irrasjonalt tall.
21
Løs ning:
a) La x og y være to rasjonale tall. Da kan vi skrive a c x = __ og y = __ b d der a, b, c og d er hele tall. Da er a c a·c x · y = __ · __ = _____ D Q b d b·d Dette er et rasjonalt tall, for a · c og b · d er hele tall. b) La x være et irrasjonalt tall og y et rasjonalt tall. Da går det ikke an a å skrive x som en brøk. Derimot kan vi skrive y = __ , der a og b er b hele tall. La oss prøve om x · y kan være et rasjonalt tall. Da må vi c , der c og d er hele tall. Det gir kunne skrive x · y = __ d c x · y = __ d a c b x · __ = __ | · __ a b d c·b x = _____ d·a Men c · b og d · a er hele tall. Vi har da skrevet x som en brøk. Men det er en selvmotsigelse, for x skulle være et irrasjonalt tall. Altså må x · y være et irrasjonalt tall. __
c) Vi vet at 3 2 er et irrasjonalt tall, og at __
__
32 · 32 = 2 Vi ser at produktet av to irrasjonale tall kan bli et helt tall. Dermed trenger ikke produktet av to irrasjonale tall være et irrasjonalt tall. Ved hjelp av et moteksempel har vi nå bevist at påstanden er feil.
I eksempelet ovenfor beviste vi en påstand med selvmotsigelse. Den greske matematikeren Euklid brukte den metoden for 2400 år siden da han beviste at det fins uendelig mange primtall. Hvis denne påstanden skulle være usann, så må det fins bare et endelig antall primtall. Vi lar M være produktet av alle disse primtallene. Alle primtall går da opp i M. Vi lar så N = M + 1. Da må N være et sammensatt tall, og det må fins minst ett primtall p som går opp i N. Men da alle primtall går opp i M, må p gå opp i N – M. Men det er umulig, for N – M = 1, og ingen primtall går opp i 1. Dette er en selvmotsigelse, og det må dermed eksistere uendelig mange primtall.
22 22
Sinus R1 > Algebra
?
OPP GAVE 1.33
Bevis at denne setningen er feil: x er et oddetall minst ett av tallene x – 2 og x + 2 er et primtall OPPGAVE 1.34
Bevis at denne setningen er feil: x er et tall i 4-gangen x – 1 er et primtall eller x + 1 er et primtall OPPGAVE 1.35
Bevis eller motbevis disse påstandene. a) Summen av to rasjonale tall er et rasjonalt tall. b) Summen av et rasjonalt og et irrasjonalt tall er et irrasjonalt tall. c) Summen av to irrasjonale tall er et irrasjonalt tall.
1.4 Polynomdivisjon Uttrykket P(x) = 2x3 – 6x2 – 20x + 48 er et eksempel på et polynom. Uttrykket er av tredje grad. Vi sier derfor at P(x) er et tredjegradspolynom. Tallene 2, –6, –20 og 48 kaller vi koeffisientene i polynomet. Tallet 2 kaller vi tredjegradskoeffisienten, tallet –6 er andregradskoeffisienten, –20 er førstegradskoeffisienten, og tallet 48 er konstantleddet. Vi multipliserer uttrykket (2x – 4)(x + 4) og får (2x – 4)(x + 4) = 2x2 + 8x – 4x – 16 = 2x2 + 4x – 16 Dermed er 2x2 + 4x – 16 = (2x – 4)(x + 4) Da er (2x – 4)(x + 4) 2x + 4x – 16 _____________ ____________ = = 2x – 4 2
x+4
(x + 4)
I stedet for brøkstrek bruker vi ofte divisjonstegn. Med den skrivemåten blir (2x2 + 4x – 16) : (x + 4) = 2x – 4
23
Vi skal nå lære å dividere to polynomer uten å faktorisere først. Metoden likner på den vi bruker når vi dividerer tall. + 4x – 16) : (x + 4) = 2x – 4 2x2 + 8x – 4x – 16 – 4x – 16 0
(2x2
Her er en forklaring av de seks punktene ovenfor: Vi må multiplisere x med 2x for å få 2x2. Vi regner ut (x + 4) · 2x og får 2x2 + 8x. Vi regner ut (2x2 + 4x) – (2x2 + 8x) og får –4x. Deretter flytter vi ned leddet –16. Vi multipliserer x med –4 for å få –4x. Vi regner ut (x + 4) · (–4) og får –4x – 16. Til slutt regner vi ut (–4x – 16) – (–4x – 16) og får resten, som her blir 0. Vi kan dividere et tredjegradspolynom med et polynom av første grad på tilsvarende måte.
EKS EMPEL Utfør divisjonen. (2x3 – 6x2 – 20x + 48) : (2x – 4) Løs ning:
(2x3 – 6x2 – 20x + 48) : (2x – 4) = x2 – x – 12 2x3 – 4x2 – 2x2 – 20x – 2x2 + 4x – 24x + 48 – 24x + 48 0
Begge divisjonene foran gav resten 0. I slike tilfeller sier vi at divisjonen går opp. Men det er mange divisjoner som ikke går opp.
24
Sinus R1 > Algebra
Vi utfører divisjonen (4x2 – 2x + 1) : (2x – 2). (4x2 – 2x + 1) : (2x – 2) = 2x + 1 4x2 – 4x 2x + 1 2x – 2 3 Her fikk vi resten 3. Dermed står vi igjen med 3 : (2x – 2), som er det 3 samme som _____ . Divisjonen gir da dette svaret: 2x – 2 3 (4x2 – 2x + 1) : (2x – 2) = 2x + 1 + ______ 2x – 2 Dette kan vi kontrollere ved multiplikasjon.
EKS EMPEL Utfør divisjonen. (x3 – 4x2 – 8x + 13) : (x – 1) Løs ning:
2 (x3 – 4x2 – 8x + 13) : (x – 1) = x2 – 3x – 11 + _____ – x 1 x3 – x2 – 3x2 – 8x – 3x2 + 3x – 11x + 13 – 11x + 11 2
?
OPP GAVE 1.40
Utfør polynomdivisjonene. a) (x2 – 5x + 4) : (x – 1) c) (3x2 + 5x – 2) : (3x – 1)
b) (2x2 – 4x + 2) : (x – 3) d) (2x2 + 4x + 3) : (4x + 2)
OPP GAVE 1.41
Utfør polynomdivisjonene. a) (x3 + x2 – 5x + 3) : (x – 1) c) (8x3 – 4x2 – 16x – 60) : (2x – 5)
b) (x3 + x2 – 5x + 3) : (x + 2) d) (x4 + x3 + x2 + x + 1) : (x – 1)
25
Vi kan også dividere med polynomer av andre grad eller høyere.
EKS EMPEL Utfør divisjonen. (2x3 – x2 – 4x – 4) : (2x2 + 3x + 2) Løs ning:
(2x3 − x2 − 4x − 4) : (2x2 + 3x + 2) = x − 2 2x3 + 3x2 + 2x −4x2 − 6x − 4 −4x2 − 6x − 4 0
Før vi gjør en slik divisjon, må vi ordne polynomene slik at ledd med høy grad står først. Det kan også lønne seg å sette inn ledd med koeffisient 0 der det mangler ledd. Når graden til resten er lavere enn graden til det polynomet vi dividerer med, avslutter vi divisjonen som vist i eksempelet nedenfor.
EKS EMPEL Utfør divisjonen. (4x3 – 2x2 + 3) : (2 – x2) Løs ning: Vi ordner uttrykkene, setter inn ledd med koeffisient 0 og utfører divisjonen. 8x – 1 (4x3 – 2x2 + 0x + 3) : (–x2 + 0x + 2) = –4x + 2 + ______ 2 – x2 4x3 + 0x2 – 8x – 2x2 + 8x + 3 – 2x2 + 0x + 4 8x – 1
26
Sinus R1 > Algebra
Når vi dividerer et polynom P(x) med et polynom Q(x), får vi en rest med lavere grad enn Q(x). Hvis Q(x) er et førstegradspolynom, blir resten et tall.
?
OPP GAVE 1.42
Utfør polynomdivisjonene. a) (2x3 + 3x2 + 2x – 1) : (x2 + x – 1) b) (2x4 + 5x3 – x2 – 6x) : (2x2 + x – 3) c) (x3 + 3x2 – 2x – 6) : (x2 – 2) d) (x3 + x – 2) : (x + 3) e) (2x4 + 5x2 + 2) : (2x + 1) f) (4x4 + 3x3 + x) : (x2 – 1)
Vi kan utføre polynomdivisjoner ved hjelp av CAS. Vi bruker GeoGebra og skal utføre divisjonen (x3 – 4x2 + 3x – 2) : (x – 2) Vi åpner da CAS-delen av GeoGebra og skriver inn den første linja nedenfor.
Her er x2 – 2x – 1 kvotienten og –4 resten. Altså er 4 (x3 – 4x2 + 3x – 2) : (x – 2) = x2 – 2x – 1 – _____ x–2
?
OPPGAVE 1.43
Utfør divisjonene digitalt. a) (x2 – 5x + 6) : (x – 3) b) (x3 – 2x2 + 5x – 3) : (x – 1) c) (x3 – 4x2 + 3x + 2) : (x2 – 2x – 3) d) (x4 – 2x2 + 5) : (x2 – 4x) OPP GAVE 1.44
Utfør polynomdivisjonen P(x) : (x – 2) og finn resten r. Regn deretter ut P(2). Hva ser du? a) P(x) = x2 + 4x + 3 b) P(x) = x3 – 3x2 + 2x + 3 c) P(x) = x3 + 2x2 – 6x – 4
27
1.5 Resten ved en polynomdivisjon Når vi dividerer P(x) = x2 + x – 1 med x – 2, får vi 5 (x2 + x − 1) : (x − 2) = x + 3 + _____ x − 2 x2 − 2x 3x − 1 3x − 6 5 Vi finner at resten r = 5. Uttrykket x – 2 har nullpunktet x = 2. Når vi regner ut P(2), får vi P(2) = 22 + 2 – 1 = 5 Vi ser at P(2) er lik resten etter divisjon med (x – 2). I slutten av delkapittelet viser vi at dette er en generell regel.
Når vi dividerer polynomet P(x) med (x – x0), blir resten r = P(x0).
EKS EMPEL a) Finn resten ved divisjonen (x2 – 2x + 1) : (x – 3) uten å utføre divisjonen. b) Kontroller dette ved å utføre divisjonen. Løs ning:
a) Her er P(x) = x2 – 2x + 1 og x0 = 3. Vi får r = P(3) = 32 – 2 · 3 + 1 = 4 Resten blir 4. 4 (x2 – 2x + 1) : (x – 3) = x + 1 + _____ x–3 2 x – 3x x+1 x–3 4
b)
Vi ser at resten er 4. Det stemmer.
28
Sinus R1 > Algebra
OPP GAVE 1.50
?
Finn resten uten å dividere. Kontroller svaret ved å utføre divisjonen. b) (2x2 + 5x – 7) : (x – 2) a) (x2 – 2x + 3) : (x – 1) 3 2 d) (2x3 + 2x2 – 3x – 3) : (x + 1) c) (x – 2x + x – 2 ) : (x + 3)
Når vi dividerer et polynom P(x) med (x – x0), vet vi at resten er P(x0). At en divisjon går opp, er det samme som å si at resten er 0. Det er det samme som at P(x0) = 0.
La P(x) være et polynom. Divisjonen P(x) : (x – x0) går opp P(x0) = 0.
EKS EMPEL Avgjør om divisjonen (x3 – 2x2 – 7x – 4) : (x – 4) går opp uten at du gjør divisjonen. Kontroller dette ved å utføre divisjonen. Løs ning: Her er P(x) = x3 – 2x2 – 7x – 4 og x0 = 4.
P(4) = 43 – 2 · 42 – 7 · 4 – 4 = 64 – 32 – 28 – 4 = 0 Ettersom P(4) = 0, går divisjonen med (x – 4) opp. Vi utfører divisjonen. (x3 – 2x2 – 7x – 4) : (x – 4) = x2 + 2x + 1 x3 – 4x2 2x2 – 7x 2x2 – 8x x–4 x–4 0 Divisjonen går opp.
29
I eksempelet på forrige side fant vi ut at divisjonen med (x – 4) måtte gå opp fordi P(4) = 0. Vi så at (x3 – 2x2 – 7x – 4) : (x – 4) = x2 + 2x + 1 Dermed er (x3 – 2x2 – 7x – 4) = (x – 4) · (x2 + 2x + 1) Vi ser at (x – 4) er en faktor i polynomet. Hvis P(x) er et polynom slik at P(x0) = 0, går divisjonen P(x) : (x – x0) opp. Dermed fins det et polynom Q(x) slik at P(x) : (x – x0) = Q(x). Da er P(x) = (x – x0) · Q(x), og (x – x0) er en faktor i P(x). Og omvendt: Hvis (x – x0) er en faktor i P(x), så fins det et polynom Q(x) slik at P(x) = (x – x0) · Q(x). Da er P(x0) = (x0 – x0) · Q(x0) = 0 · Q(x0) = 0 Vi har vist denne regelen:
La P(x) være er et polynom. P(x) har faktoren (x – x0) P(x0) = 0
EKS EMPEL Finn ut om (x + 2) er en faktor i polynomet P(x). a) P(x) = 2x2 + 3x – 2 b) P(x) = x3 + 3x2 + 2x + 4 Løs ning: a) Ettersom (x + 2) = (x – (–2)), må vi undersøke om P(–2) = 0.
P(–2) = 2 · (–2)2 + 3 · (–2) – 2 = 8 – 6 – 2 = 0 (x + 2) er en faktor. P(–2) = (–2)3 + 3 · (–2)2 + 2 · (–2) + 4 = –8 + 12 – 4 + 4 = 4
b)
Fordi P(–2) ≠ 0, er (x + 2) ikke en faktor i P(x).
30
Sinus R1 > Algebra
?
OPP GAVE 1.51
Avgjør om divisjonen går opp, uten å utføre divisjonen. b) (x3 – 3x2 + 2x + 2) : (x + 2) a) (x2 + 2x – 3) : (x – 1) 3 2 d) (x4 – 10x2 + 8) : (x + 3) c) (2x + 4x – 10x – 12) : (x – 2) OPP GAVE 1.52
Avgjør om (x – 2) er en faktor i P(x), uten å dividere. b) P(x) = 2x2 + 6x – 20 a) P(x) = 2x2 + 4x – 6 3 2 d) P(x) = x4 – 3x3 + 4x + 1 c) P(x) = x – 3x + 3x – 2 OPP GAVE 1.53
Avgjør om (x – 1) og om (x + 2) er faktorer i P(x) når b) P(x) = x3 + 2x2 – x – 2 a) P(x) = x2 – 4x + 3 3 2 d) P(x) = x4 – 2x3 + 2x2 + x – 2 c) P(x) = 2x – 3x + 2x + 1 OPP GAVE 1.54
Bestem tallet a slik at divisjonen går opp. b) (x2 + 3x + a) : (x + 5) a) (x2 + ax – 2) : (x – 2) d) (ax2 + ax + 2) : (x + 1) c) (x3 + ax2 + ax + 4) : (x + 2) 2 e) (x – 5x + 6) : (x – a)
BEVIS FOR AT DIVISJONEN P(x) : (x – x0) GIR RESTEN r = P(x0)
La P(x) være et polynom. Når vi utfører divisjonen, finner vi et polynom Q(x) slik at r P(x) : (x – x0) = Q(x) + ______ x – x0 der tallet r er resten. Det er det samme som at P(x) r ______ = Q(x) + ______ x – x0
x – x0 Når vi multipliserer med (x – x0) på begge sidene av likhetstegnet, får vi P(x) = (x – x0) · Q(x) + r Her skal høyre og venstre side av likhetstegnet være like for alle verdier av x, spesielt for x = x0. Dermed er P(x0) = (x0 – x0) · Q(x0) + r = 0 · Q(x0) + r = r Dermed har vi vist at resten r = P(x0).
31
1.6 Faktorisering av polynomer Å faktorisere et polynom vil si å skrive polynomet som et produkt av polynomer av lavere grad. På vg1 lærte vi å faktorisere andregradspolynomer ved hjelp av nullpunktene. Vi brukte denne regelen:
Dersom andregradsuttrykket ax2 + bx + c har de to nullpunktene x = x1 og x = x2, er ax2 + bx + c = a · (x – x1) · (x – x2) Dersom andregradsuttrykket har ett nullpunkt x = x1, er ax2 + bx + c = a · (x – x1)2 Hvis andregradsuttrykket ikke har nullpunkter, er det ikke mulig å faktorisere uttrykket i førstegradsfaktorer.
EKS EMPEL Faktoriser polynomene i førstegradsfaktorer hvis det er mulig. b) x2 + 6x + 9 c) 2x2 + 4x + 5 a) 2x2 – 2x – 24 Løs ning: a) Først finner vi nullpunktene til uttrykket ved hjelp av andregradsformelen.
2x2 – 2x – 24 = 0
___________
–(–2) ± 3 (–2) – 4 · 2 · (–24) x = ________________ 2
____
2·2
2 ± 3 196 x = _________ 4 2 ± 14 x = ______ 4 12 16 x = – ___ eller x = ___ 4 4 x = –3 eller x = 4 Dermed er 2x2 – 2x – 24 = 2(x – (–3))(x – 4) = 2(x + 3)(x – 4)
32
Sinus R1 > Algebra
b) Likningen x2 + 6x + 9 = 0 har løsningen _________
–6 ± 3 62 – 4 · 1 · 9 x = _______________ 2 __ –6 ± 3 0 x = _______ –6 x = ___ 2 x = –3
2
Uttrykket har bare ett nullpunkt. Da er x2 + 6x + 9 = (x – (–3))2 = (x + 3)2 Dette ser vi er rett når vi bruker første kvadratsetning. c) Nullpunktene finner vi slik: 2x2 + 4x + 5 = 0
_________
–4 ± 3 42 – 4 · 2 · 5 x = _________________ 2·2 ____ –4 ± 3 –24 x = __________ 4
____
Det går ikke an å regne ut 3 –24 . Uttrykket har dermed ikke noen nullpunkter. Dette uttrykket kan vi ikke faktorisere.
?
OPP GAVE 1.60
Faktoriser andregradsuttrykkene i førstegradsuttrykk hvis det lar seg gjøre. a) x2 – 4x + 3 b) 2x2 – 4x + 2 c) 3x2 + 6x – 9 d) 2x2 + 8x + 10
Når vi skal faktorisere et tredjegradsuttrykk, må vi kjenne en førstegradsfaktor. Vi utfører en polynomdivisjon og skriver tredjegradsuttrykket som et produkt av et førstegradsuttrykk og et andregradsuttrykk. Til slutt undersøker vi om vi kan faktorisere andregradsuttrykket.
33
EKS EMPEL Et polynom er gitt ved P(x) = x3 – 2x2 – x + 2 a) Vis at (x + 1) er en faktor i P(x). b) Faktoriser P(x) mest mulig. Løs ning: a) Vi må undersøke om P(–1) = 0.
P(–1) = (–1)3 – 2 · (–1)2 – (–1) + 2 = –1 – 2 + 1 + 2 = 0 Dermed er (x + 1) en faktor. b) Nå vet vi at divisjonen P(x) : (x + 1) går opp. Vi utfører divisjonen og får (x3 − 2x2 − x + 2) : (x + 1) = x2 − 3x + 2 Dermed er x3 – 2x2 – x + 2 = (x + 1)(x2 – 3x + 2) Det neste er å faktorisere uttrykket x2 – 3x + 2 dersom det lar seg gjøre. Likningen x2 – 3x + 2 = 0 har løsningene x = 1 og x = 2. Dermed er x2 – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2) Innsatt i uttrykket ovenfor gir det faktoriseringen x3 – 2x2 – x + 2 = (x + 1)(x – 1)(x – 2)
EKS EMPEL Et polynom er gitt ved P(x) = x3 – x2 – 4x – 6 a) Vis at P(3) = 0. b) Faktoriser P(x) mest mulig. Løs ning: a) Vi regner ut P(3).
P(3) = 33 – 32 – 4 · 3 – 6 = 27 – 9 – 12 – 6 = 0
34
Sinus R1 > Algebra
b) Ettersom P(3) = 0, vet vi at divisjonen P(x) : (x – 3) går opp. Vi utfører polynomdivisjonen og får (x3 – x2 – 4x – 6) : (x – 3) = x2 + 2x + 2 Dermed er x3 – x2 – 4x – 6 = (x – 3)(x2 + 2x + 2). Det neste er å faktorisere uttrykket x2 + 2x + 2 om mulig. Vi løser derfor likningen =0 x2 + 2x + 2_________ ___ 2 – 4 ·1 · 2 – –2 ± 3 –4 2 ± 2 3 ________________ _________ x= = 2 2 Andregradslikningen har ingen nullpunkter, og vi kan derfor ikke faktorisere andregradsuttrykket. Den beste faktoriseringen av tredjegradsuttrykket er dermed x3 – x2 – 4x – 6 = (x – 3)(x2 + 2x + 2)
Faktoriseringen av polynomet i eksempelet ovenfor kan vi også gjøre i GeoGebra. Da skriver vi polynomet i CAS-delen og trykker på symbolet for faktorisering. Vi får svaret slik:
?
OPP GAVE 1.61
Et polynom er gitt ved P(x) = x3 + 4x2 + x – 6 a) Vis at (x – 1) er en faktor i P(x). b) Faktoriser P(x) mest mulig både med og uten hjelpemidler. OPP GAVE 1.62
Et polynom er gitt ved P(x) = 2x3 + 2x2 – 16x – 24 a) Vis at P(3) = 0. b) Faktoriser P(x) mest mulig både med og uten hjelpemidler.
35
?
OPP GAVE 1.63
Et polynom er gitt ved P(x) = x3 – 2x2 – 3x + 10 a) Vis at (x + 2) er en faktor i P(x). b) Faktoriser P(x) mest mulig både med og uten hjelpemidler.
P(x)
, der P(x) og Q(x) er polynomer. Et rasjonalt uttrykk er på formen ____ Q(x) Dersom polynomene har felles faktorer, kan vi bruke det vi nå har lært om faktorisering til å forkorte uttrykket. Da finner vi først faktorene i det polynomet som har lavest grad. Deretter undersøker vi om disse faktorene også er faktorer i polynomet av høyeste grad.
EKS EMPEL Forkort uttrykket 3
2
x – 2x – 5x + 6 ______________ x–3 hvis det er mulig. Løs ning: Først undersøker vi om det er mulig å forkorte uttrykket. Det er mulig hvis telleren P(x) = 0 når x = 3.
P(3) = 33 – 2 · 32 – 5 · 3 + 6 = 27 – 18 – 15 + 6 = 0 Uttrykket kan forkortes, og vi utfører en polynomdivisjon og får (x3 – 2x2 – 5x + 6) : (x – 3) = x2 + x – 2 Dermed er x3 – 2x2 – 5x + 6 = (x – 3)(x2 + x – 2) og 3
2
x – 2x – 5x + 6 ______________ x–3 (x – 3)(x2 + x – 2) = _______________ x–3 = x2 + x – 2
36
Sinus R1 > Algebra
EKSEMPEL Undersøk om vi kan forkorte uttrykket 3
x –x+2 _________ x+2 Løs ning: Det er mulig å forkorte uttrykket hvis telleren P(x) = 0 når x = –2.
P(–2) = (–2)3 – (–2) + 2 = –8 + 2 + 2 = –4 Det er ikke mulig å forkorte uttrykket.
EKSEMPEL Trekk sammen og forkort uttrykket 3x – 3 2x x + _____ – __________ x – 3 x2 – 5x + 6 Løsning:
Likningen x2 – 5x + 6 = 0 har løsningene x = 2 og x = 3. Dermed er x2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3) Nå setter vi uttrykket på felles brøkstrek og trekker sammen. 3x – 3 2x x + _____ – __________ x – 3 x2 – 5x + 6 (x – 2) · 2x x(x – 2)(x – 3) 3x – 3 = _____________ + ____________ – ____________ (x – 2)(x – 3) (x – 2)(x – 3) (x – 2)(x – 3) (x3 – 5x2 + 6x) + (2x2 – 4x) – (3x – 3) = ______________________________ (x – 2)(x – 3) x3 – 5x2 + 6x + 2x2 – 4x – 3x + 3 = ___________________________ (x – 2)(x – 3) x3 – 3x2 – x + 3 = _____________ (x – 2)(x – 3)
37
Nå undersøker vi om (x – 2) eller (x – 3) er faktorer i telleren, som vi setter lik P(x). (x – 2) er en faktor hvis P(2) = 0. P(2) = 23 – 3 · 22 – 2 + 3 = 8 – 12 – 2 + 3 = –3 Dermed er (x – 2) ikke en faktor. (x – 3) er en faktor hvis P(3) = 0. P(3) = 33 – 3 · 32 – 3 + 3 = 27 – 27 – 3 + 3 = 0 Altså er (x – 3) en faktor, og denne divisjonen går opp: (x3 – 3x2 – x + 3) : (x – 3) = x2 – 1 x3 – 3x2 –x + 3 Vi flytter ned to ledd fordi både andre- og tredjegradsleddet forvinner. –x + 3 0 Etter dette er (x3 – 3x2 – x + 3) = (x2 – 1) · (x – 3) Det gir 3x – 3 x3 – 3x2 – x + 3 2x x + _____ – __________ = _____________ 2 x – 3 x – 5x + 6 x2 – 5x + 6 (x2 – 1)(x – 3) x2 – 1 = ____________ = ______ x–2 (x – 2)(x – 3)
Uttrykket i eksempelet foran forenkler vi lett i GeoGebra. Da skriver vi uttrykket i CAS-delen og trykker på ENTER. Det gir svaret med en gang som vist her:
38
Sinus R1 > Algebra
?
OPPGAVE 1.64
Forkort uttrykkene hvis det er mulig, både med og uten hjelpemidler. x3 + 6x2 + 11x + 6 x3 + x – 2 b) ________________ a) _________ x–1 x+3 3 x – 9x x+1 c) _______ d) _______________ 3x + 6 x3 + 2x2 + 2x + 1 OPPGAVE 1.65
Trekk sammen og forkort uttrykkene hvis det lar seg gjøre. 3 x3 1 1 2 – _____ + __________ a) ______ b) _____ + ______ 2 x+2 x + 3 x2 – 4 x2 + 5x + 6 x –4 OPPGAVE 1.66
For hvilke verdier av a kan vi forkorte uttrykkene? x3 – 4x2 + 6x + a x2 + 5x + a a) __________ b) _____________ x+2 x2 – 4x + 3
1.7 Likninger og ulikheter På vg1 lærte vi å løse andregradsulikheter. Vi repeterer nå metoden ved hjelp av to eksempler.
EKS EMPEL Løs ulikheten x2 – 2x – 8 > 0 Løs ning: Vi må faktorisere andregradsuttrykket. Andregradslikningen
x2 – 2x – 8 = 0 har løsningene x = 4 og x = –2. Dermed er x2 – 2x – 8 = (x – 4)(x + 2) for alle verdier av x. Ulikheten blir (x – 4)(x + 2) > 0
39
Nå tegner vi fortegnslinjer for faktorene x – 4 og x + 2 og lager deretter en fortegnslinje for (x – 4)(x + 2) ved å utnytte at to negative faktorer gir et positivt svar, at en positiv og en negativ faktor gir et negativt svar, og at to positive faktorer gir et positivt svar. –4 –3 –2 –1 0 1 2 x–4
3 4
5 6
x
0
x+2
0
(x – 4)(x + 2)
0
0
Vi skulle finne de verdiene av x der (x – 4)(x + 2) > 0. Da må vi plukke ut de x-verdiene der fortegnslinja for uttrykket er sammenhengende. (x – 4)(x + 2) > 0 når x < –2 eller x > 4 Ulikheten vi begynte med, har den samme løsningen: x2 – 2x – 8 > 0 når x < –2 eller x > 4
EKS EMPEL Løs ulikheten x2 – 2x + 3 > 0 Løs ning:
Vi bruker andregradsformelen og finner nullpunktene. x2 – 2x + 3 = 0
_____
2 ± 3 4 – 12 x = ___________
2 2 ± 3 –8 x = ________ 2 ___
Kvadratrota av –8 fins ikke. Dermed har ikke x2 – 2x + 3 noen nullpunkter, og uttrykket kan da heller ikke skifte fortegn.
40
Sinus R1 > Algebra
Uttrykket er dermed enten positivt for alle verdier av x, eller så er uttrykket negativt for alle verdier av x. Det finner vi ut ved å sette inn én verdi for x. Vi velger x = 0. Det gir x2 – 2x + 3 = 02 – 2 · 0 + 3 = 3 Ettersom uttrykket er positivt for x = 0, må uttrykket være positivt for alle verdier av x. x2 – 2x + 3 > 0 for alle x Det kan vi også se ved å tegne grafen til f(x) = x2 – 2x + 3 y 8 7 6 5 4 3 2 1 –2 –1 0
x 1
2 3
4 5
6
Alle funksjonsverdiene er positive, og dermed er x2 – 2x + 3 > 0 for alle x.
?
OPP GAVE 1.70
Løs ulikhetene ved å bruke fortegnslinjer. b) x2 + x – 2 < 0 a) x2 – 5x + 6 > 0 d) 2x2 + 4x + 3 ≤ 0 c) 2x2 + 4x + 2 ≥ 0
Det fins en formel som vi kan bruke til å løse tredjegradslikninger. Den lærer vi ikke i dette kurset. En tredjegradslikning kan ha inntil tre løsninger. Vi må kjenne en av dem for å kunne finne de to andre.
41
EKS EMPEL a) Vis at x = 2 er en løsning av tredjegradslikningen x3 + 2x2 – 5x – 6 = 0 b) Løs tredjegradslikningen. c) Løs ulikheten x3 + 2x2 – 5x – 6 < 0 Løs ning: a) Vi setter
P(x) = x3 + 2x2 – 5x – 6 Da er P(2) = 23 + 2 · 22 – 5 · 2 – 6 = 8 + 8 – 10 – 6 = 0 x = 2 er en løsning av likningen. b) Ettersom P(2) = 0, er (x – 2) en faktor i P(x). Vi vet da at denne polynomdivisjonen går opp: (x3 + 2x2 – 5x – 6) : (x – 2) = x2 + 4x + 3 x3 – 2x2 4x2 – 5x 4x2 – 8x 3x – 6 3x – 6 0 Dermed er x3 + 2x2 – 5x – 6 = (x – 2)(x2 + 4x + 3) Nå kan vi løse tredjegradslikningen. x3 + 2x2 – 5x – 6 = 0 (x – 2)(x2 + 4x + 3) = 0 Når produktet av to tall er 0, må ett av tallene være null. Det gir x – 2 = 0 eller x2 + 4x + 3 = 0
_________
–4 ± 3 42 – 4 · 1 · 3 x = 2 eller x = ________________ 2 __ –4 ± 3 4 x = 2 eller x = ________ 2
42
Sinus R1 > Algebra
–4 ± 2 x = 2 eller x = ______ 2 – x = 2 eller x = 1 eller x = –3 Likningen har løsningene x = –3, x = –1 og x = 2. c) Faktorisering av x2 + 4x + 3 gir x2 + 4x + 3 = (x – (–3))(x – (–1)) = (x + 3)(x + 1) Dermed kan vi faktorisere tredjegradsuttrykket P(x). P(x) = x3 + 2x2 – 5x – 6 = (x – 2)(x2 + 4x + 3) = (x – 2)(x + 3)(x + 1) Ulikheten løser vi nå ved å lage fortegnslinjer for faktorene. –4 –3 –2 –1 0 1 2 x–2 x+3
x
0 0 0
x+1 P(x)
3
0
0
0
x3 + 2x2 – 5x – 6 < 0 når x < –3 og når –1 < x < 2
EKS EMPEL a) Vis at x = –2 er en løsning av tredjegradslikningen x3 – x2 – 3x + 6 = 0 b) Løs tredjegradslikningen. c) Løs ulikheten x3 – x2 – 3x + 6 > 0 Løs ning: a) Vi setter
P(x) = x3 – x2 – 3x + 6 Da er P(–2) = (–2)3 – (–2)2 – 3 · (–2) + 6 = –8 – 4 + 6 + 6 = 0 x = –2 er en løsning av likningen.
43
b) Ettersom P(–2) = 0, er (x + 2) en faktor i P(x). Denne polynomdivisjonen går opp: (x3 − x2 − 3x + 6) : (x + 2) = x2 − 3x + 3 x3 + 2x2 − 3x2 − 3x − 3x2 − 6x 3x + 6 3x + 6 0 Dermed er x3 – x2 – 3x + 6 = (x + 2)(x2 – 3x + 3) Nå løser vi tredjegradslikningen. x3 – x2 – 3x + 6 = 0 (x + 2)(x2 – 3x + 3) = 0 x + 2 = 0 eller x2 – 3x + 3 = 0
_____________
3 ± 3 (–3)2 – 4 · 1 · 3 x = –2 eller x = __________________ 2 ___
3 ± 3 –3 x = –2 eller x = ________ 2
Andregradslikningen har ingen løsning, derfor er x = –2 den eneste løsningen av tredjegradslikningen. Likningen har løsningen x = –2. c) Ettersom x2 – 3x + 3 ikke har nullpunkter, er uttrykket enten positivt for alle x eller negativt for alle x. Uttrykket er 3 når x = 0, dermed må x2 – 3x + 3 være positivt for alle verdier av x. Nå kan vi lage fortegnslinje for P(x) = x3 – x2 – 3x + 6 = (x + 2)(x2 – 3x + 3) –4 –3 –2 –1 0 1 2 x+2 x2
0
– 3x + 3 P(x)
0
x3 – x2 – 3x + 6 > 0 når x > –2
44
Sinus R1 > Algebra
3
x
Vi kan løse ulikheter digitalt. Ulikheten x3 + 2x2 – 5x – 6 < 0 fra eksempelet på side 42 løser vi slik i GeoGebra: Vi skriver inn ulikheten og trykker på symbolet
. Det gir
Løsningen er x < –3 eller –1 < x < 2. Legg merke til hvordan GeoGebra skriver dette!
?
OPP GAVE 1.71
a) Vis at x = –1 er en løsning av likningen x3 – 4x2 + x + 6 = 0 b) Finn alle løsningene av likningen. c) Løs ulikheten x3 – 4x2 + x + 6 > 0 OPP GAVE 1.72
Polynomfunksjonen P er gitt ved P(x) = x3 + 2x2 – 3x – 10 a) b) c) d)
Vis at x – 2 er en faktor i P(x). Faktoriser P(x) mest mulig. Finn nullpunktene til P ved regning. Finn ut ved regning for hvilke verdier av x grafen til P ligger under x-aksen.
OPP GAVE 1.73
a) Bestem tallet a slik at x = –2 blir en løsning av likningen x3 – 2x2 + ax + 8 = 0 b) Løs likningen for denne verdien av a. c) Bruk denne verdien av a og løs ulikheten x3 – 2x2 + ax + 8 ≥ 0
45
1.8 Rasjonale likninger En brøk er ikke definert når nevneren er null. I rasjonale uttrykk må vi derfor passe på at nevneren ikke blir null. I uttrykket x+1 _______ x(x – 2) er nevneren null når x = 0 og når x = 2. Det er ikke mulig å sette inn x = 0 eller x = 2 i uttrykket. Derfor må vi forutsette at x ≠ 0 og at x ≠ 2 når vi regner med dette uttrykket. Slike forutsetninger er svært viktige når vi løser likninger der den ukjente er med i nevneren.
EKS EMPEL Løs likningen. 2 2 1 _______ + __ = _____ x2 – 2x
x
x–2
x ≠ 0 og x ≠ 2
Løs ning: Faktorisering av nevneren gir
2 2 1 _______ + __ = _____ x(x – 2)
x
x–2
Nevneren er lik null når x = 0 og når x = 2. Vi må derfor forutsette at x ≠ 0 og at x ≠ 2. Nå multipliserer vi med fellesnevneren x(x – 2) på begge sidene av likhetstegnet. 2 · x(x – 2) __________ 1 · x(x – 2) 2 · x(x – 2) __________ __________ = + x x(x – 2) (x – 2) 2 + 2 · (x – 2) = 1 · x 2 + 2x – 4 = x 2x – 2 = x 2x – x = 2 x=2 Ingen løsning Likningen har ingen løsning fordi vi forutsatte at x ≠ 2. Det er ikke mulig å sette inn x = 2 i den likningen vi skulle løse.
46
Sinus R1 > Algebra
EKS EMPEL Løs likningen x 2 4 _____ – _____ = __________ x–3
x–1
x2 – 4x + 3
Løs ning: Først faktoriserer vi nevneren x2 – 4x + 3. Andregradsuttrykket har nullpunktene x = 1 og x = 3. Dermed er
x2 – 4x + 3 = (x – 1)(x – 3) Likningen blir x 2 4 _____ – _____ = ____________ x–3
x–1
(x – 1)(x – 3)
I denne likningen må x ≠ 1 og x ≠ 3, for nevnerne kan ikke være lik null. Nå multipliserer vi med fellesnevneren (x – 1)(x – 3). – – (x – 3) – x(x 1) – 2(x – 3) = 4 x2 – x – 2x + 6 = 4 x2 – 3x + 2 = 0
– – (x – 1)
– – (x – 1)(x – 3)
x · (x 1)(x 3) ______________ 2 · (x 1)(x 3) ______________ 4 · (x 1)(x 3) ______________ – =
Andregradsformelen gir x = 1 eller x = 2 Men x = 1 passer ikke inn i likningen i oppgaven. Dermed er løsningen x=2
OPP GAVE 1.80
?
Løs likningene. 1 2 1 a) __ + _____ = _______ x x – 2 x2 – 2x 4 2 1 b) _____ – _______ = __ x – 3 x2 – 3x x 3 2 4 c) _____ – _____ = ______ x – 1 x + 1 x2 – 1
47
?
OPP GAVE 1.81
Løs likningene. 3 8 x = __ a) _____ + _______ 2 x + 2 x + 2x x 9 x 2 b) _____ – __ = _______ 2 – x 3 x x – 3x 3 18 x c) _____ + __________ = _____ x + 2 x2 – 2x – 8 x – 4 5 30 x + _____ = _____ d) __________ x2 – 4x – 5 x + 1 x – 5
Hvis den rasjonale likningen gir oss en tredjegradslikning, må vi vanligvis kjenne en av løsningene for å finne de andre.
EKS EMPEL a) Vis at x = 1 er en løsning av likningen 2
8x 35x – 6 x _____ + __________ = _____ x+3
x2 + 5x + 6
x+2
b) Finn de andre løsningene. Løs ning: a) Vi setter inn x = 1 på venstre og på høyre side av likhetstegnet og sammenlikner.
35 · 1 – 6 12 V.s. = _____ + ____________ 2 1+3 1 +5·1+6 3 29 32 8 1 29 __ = + ___ = ___ + ___ = ___ = __ 4 12 12 12 12 3 8·1 8 H.s. = _____ = __ 1+2 3 x = 1 er en løsning. b) Nå faktoriserer vi nevneren x2 + 5x + 6. Nullpunktene er x = –2 og x = –3. Dermed er x2 + 5x + 6 = (x – (–2))(x – (–3)) = (x + 2)(x + 3)
48
Sinus R1 > Algebra
Likningen blir 35x – 6 8x x2 _____ + ____________ = _____ x + 3 (x + 2)(x + 3) x + 2 Her må x ≠ –2 og x ≠ –3. Fellesnevneren er (x + 2)(x + 3). Vi ganger med den på begge sidene av likhetstegnet. 2
35x – 6 x 8x ______ __________ · (x + 2)(x + 3) + · (x + 2)(x + 3) = ______ · (x + 2)(x + 3) (x + 3)
(x + 2)(x + 3)
(x + 2)
x2
· (x + 2) + 35x – 6 = 8x · (x + 3) x3 + 2x2 + 35x – 6 = 8x2 + 24x x3 – 6x2 + 11x – 6 = 0 x = 1 er en løsning av likningen og må derfor også være et nullpunkt for dette tredjegradsuttrykket. Denne divisjonen må da gå opp: (x3 − 6x2 + 11x − 6) : (x − 1) = x2 − 5x + 6 x3 − x2 − 5x2 + 11x − 5x2 + 5x 6x − 6 6x − 6 0 Dermed er x3 – 6x2 + 11x – 6 = (x – 1)(x2 – 5x + 6) Likningen blir (x – 1)(x2 – 5x + 6) = 0 x – 1 = 0 eller x2 – 5x + 6 = 0 x = 1 eller x2 – 5x + 6 = 0 Andregradslikningen har løsningene x = 2 og x = 3. Ingen av løsningene x = 1, x = 2 eller x = 3 gir null i noen nevner i likningen i oppgaven. Alle disse tre verdiene av x er dermed riktige løsninger. Likningen har løsningene x = 1, x = 2 og x = 3
49
?
OPP GAVE 1.82
a) Vis at x = 2 er en løsning av likningen 10x + 4 x2 2x __________ = _____ + _____ 2 x + 2x – 3 x + 3 x – 1 b) Finn de andre løsningene.
Vi kan løse rasjonale likninger digitalt. Når vi skal løse likningen på side 47 i CAS-delen av GeoGebra, skriver vi først inn likningen og trykker deretter . Det gir dette svaret: på
Vi ser at løsningen er x = 2. Hvis vi prøver å løse likningen på side 46, får vi dette resultatet:
Dette er skrivemåten i GeoGebra for ingen løsning.
?
50
OPPGAVE 1.83
Løs likningene digitalt. 8 3 x–1 a) _____ + ______ = _____ x + 1 x2 – 1 x – 1 9 2x 1 – __ = ________ b) ______ 2x – 3 x 4x2 – 6x 18 3 x+1 c) _____ + ______ = _____ x + 3 x2 – 9 x – 3 30 5 2x d) __________ + ______ = ______ 2 –5 – – 2x + 1 2x 4x 8x 5
Sinus R1 > Algebra
1.9 Rasjonale ulikheter Ulikheten x+3 ______ >0 4 – 2x kaller vi en rasjonal ulikhet. Vi kan ikke multiplisere med 4 – 2x på begge sidene av ulikhetstegnet. Hvis vi multipliserer med et negativt tall på begge sidene av ulikhetstegnet, må vi snu tegnet. Uttrykket 4 – 2x er positivt for noen verdier av x og negativt for andre verdier. Hvis vi multipliserer med 4 – 2x, vet vi ikke lenger hvilken vei ulikhetstegnet skal vende. Derfor må vi lage ei fortegnslinje.
!
Multipliser aldri begge sidene av et ulikhetstegn med et uttrykk som kan være både positivt og negativt. Vi lager fortegnslinjer for telleren og for nevneren hver for seg. –4
–2
0
2
4
x
0
x+3
0
4 – 2x x+3 4 – 2x
0
Hvis telleren og nevneren har samme fortegn, blir brøken positiv. Hvis telleren og nevneren har motsatt fortegn, blir brøken negativ. Brøken er null når telleren er null (x = –3). Brøken er ikke definert når nevneren er null (x = 2). Det punktet markerer vi ved å la to pilspisser møtes. Slike punkter ligger alltid under nullpunktene til nevneren. Vi skal finne ut når uttrykket er positivt. Svaret finner vi der fortegnslinja er heltrukket. x+3 ______ > 0 når –3 < x < 2 4 – 2x
!
Fortegnslinjemetoden fungerer bare når vi har null på høyre side av ulikhetstegnet. Hvis vi har andre tall eller uttrykk på høyre side, må vi ordne uttrykket vårt slik at vi får null på høyre side.
51
EKS EMPEL x Løs ulikheten _____ ≤ 2. x–2 Løs ning:
x _____ ≤2
x–2 x – _____ 2≤0 x–2 2(x – 2) x – ________ _____ ≤0 x–2 x–2 x – (2x – 4) __________ ≤0 x–2 x – 2x + 4 _________ ≤0 x–2 –x + 4 ______ ≤0 x–2
Legg merke til hvordan vi gjør om tallet 2 til en brøk med x – 2 som nevner.
Nå kan vi lage fortegnslinjer. 1
2
3
4
5
x
0
–x + 4 x–2 –x + 4 x–2
0 0
Her skal vi finne ut når uttrykket er negativt eller null. Svaret finner vi der vi har stiplet linje eller 0. –x + 4 ______ ≤ 0 når x < 2 og når x ≥ 4 x–2
?
OPP GAVE 1.90
Løs ulikhetene. x–3 a) _____ > 0 x+1
–2x + 4 b) _______ <0 x–1
2 c) _____ > 0 x+3
4+x d) ______ ≥0 3 – 2x
2x – 4 b) ______ ≤3 x–1
2 c) _____ < –2 x–1
2x – 4 d) ______ >3 x–2
OPP GAVE 1.91
Løs ulikhetene. x–1 a) _____ > 1 x+1
52
Sinus R1 > Algebra
Noen ganger må vi faktorisere andre- eller tredjegradsuttrykk når vi løser rasjonale ulikheter.
EKS EMPEL Løs ulikheten 5x – 1 x + 1 > ______ x+1 Løs ning: Vi flytter brøkuttrykket over på venstre side og setter alt på felles brøkstrek. 5x – 1 x + 1 > ______ x+1 (x + 1)(x + 1) ______ 5x – 1 ____________ – >0 x+1 x+1 (x2 + 2x + 1) – (5x – 1) ____________________ Pass på parentesen om (5x – 1). >0 x+1 x2 + 2x + 1 – 5x + 1 _________________ >0 x+1 x2 – 3x + 2 __________ >0 x+1
Telleren x2 – 3x + 2 har nullpunktene x = 1 og x = 2. Dermed er x2 – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2) Innsatt i ulikheten gir det (x – 1)(x – 2) ____________ >0 x+1 Nå lager vi fortegnslinjer: –3
–2
–1
0
1
3
x
0
x–1 x–2 x+1 (x – 1)(x – 2) x+1
2
0 0 0
0
5x – 1 x + 1 > ______ når –1 < x < 1 og når x > 2 x+1
53
Også disse ulikhetene kan vi løse digitalt. I GeoGebra skriver vi inn ulikheten 5x – 1 x + 1 > ______ x+1 . Det gir denne løsningen: og trykker på løsningsknappen
Løsningen er –1 < x < 1 eller x > 2.
?
OPP GAVE 1.92
Løs ulikheten. 8 – 6x ______ >x+2 1–x OPP GAVE 1.93
Løs ulikhetene. x(x – 2) a) _______ > 0 x+1 3x ______ > –x c) x–2
x–3 b) _____ x > –x – 1 –3x + 1 d) _______ > 2x – 3 x+1
OPP GAVE 1.94
a) Vis at x = 2 er en løsning av likningen x3 – 4x2 + x + 6 ______________ =0 2x – 2 b) Finn alle løsningene av likningen. c) Løs ulikheten x3 – 4x2 + x + 6 ______________ <0 2x – 2
54
Sinus R1 > Algebra
SAM MEN DRAG Implikasjon Skrivemåten A B betyr at hvis påstanden A er riktig, så er også påstanden B riktig. Ekvivalens To påstander A og B er ekvivalente dersom påstand A er riktig hvis og bare hvis påstand B er riktig. Vi skriver A B. To likninger er ekvivalente hvis de har nøyaktig de samme løsningene. Polynomdivisjon Når vi dividerer et polynom P(x) med et polynom Q(x), får vi en rest med lavere grad enn Q(x). Hvis Q(x) er et førstegradsuttrykk, blir resten et tall. Resten ved en polynomdivisjon Når vi dividerer polynomet P(x) med (x – x0), blir resten r = P(x0). Divisjonen P(x) : (x – x0) går opp P(x0) = 0. Faktor i et polynom (x – x0) er en faktor i polynomet P(x) P(x0) = 0. Faktorisering av andregradsuttrykk Dersom andregradsuttrykket ax2 + bx + c har de to nullpunktene x = x1 og x = x2, er ax2 + bx + c = a · (x – x1) · (x – x2) Dersom andregradsuttrykket har ett dobbelt nullpunkt x = x1, er ax2 + bx + c = a · (x – x1)2 Hvis andregradsuttrykket ikke har nullpunkter, er det ikke mulig å faktorisere uttrykket i førstegradsfaktorer. Rasjonale uttrykk P(x) Et rasjonalt uttrykk er på formen _____ , der P(x) og Q(x) er polynomer. Q(x) Forkorting av rasjonale uttrykk P(x) Vi kan forkorte ______ x – x0 hvis og bare hvis P(x0) = 0.
55
Oppgaver
350
1 Algebra +
ØV MER
1.1 LOGIKK
1.2 MENGDELÆRE
Oppgave 1.110 Undersøk om vi kan bruke noen av tegnene , eller i rutene nedenfor, og sett inn riktig tegn. a) Per har en bror F Per er ikke enebarn b) Mette har bil F Mette har sertifikat for bil c) Ingunn er søsteren til Trond F Trond er broren til Ingunn d) x er 2 F x er et partall
Oppgave 1.120 Sett inn symbolet D eller i de tomme rutene. __ 9 FN a) 3 __
Oppgave 1.111 Sett inn riktig tegn ( , eller ) i rutene. a) x = –2 F x2 = 4 b) x2 – 9 = 0 F x = 3 c) x4 + 2x = 0 F x3 = –2 d) x2 – 2x – 3 = 0 F x = –1 x = 3 Oppgave 1.112 Finn løsningene. a) x2 – 1 = 0 x2 – x = 0 b) x > 1 x < 3 c) x2 – 16 = 0 2x = 4 d) x2 – 4 = 0 x2 – 4x = 0 Oppgave 1.113 Finn løsningene. a) x + y = 1 2x – y = 5 b) y = x2 + 2x x + y = 4 c) y = x2 + 2x – 1 y = 3 – x d) y = x2 y = –x2 + 8
b)
3 /2 F Q
c) –3 F Z Oppgave 1.121 Skriv definisjonsmengden med mengdesymboler. x2 + 3 a) ______ x 4 b) ______ x2 – 1 4x – 2 c) __________ 2 x + 2x – 8 Oppgave 1.122 Skriv som intervaller. a) –4, 7 \ [–5, 2 b) @, 2 F [0, 3 c) –4, 4] E [4, A d) [0, A \ –1, 1
1.3 NOEN BEVISMETODER
Oppgave 1.130 Kvadrattallene er: 1, 4, 9, 16, 25, …, n2, … Vis at hvis x er et kvadrattall og y er et kvadrattall, så er x · y et kvadrattall.
351
Oppgave 1.131 Bevis reglene. a) x og y er oddetall x + y er partall. b) x og y er oddetall x – y er partall. Oppgave 1.132 La x være et partall. Bevis at 4 går opp i x2. Oppgave 1.133 Bevis regelen. x er et partall, og y er et oddetall x + y er et oddetall. Oppgave 1.134 La x være et oddetall. Bevis at 4 går opp i x2 – 1. Oppgave 1.135 Vis at: a) x går opp i 24 x går opp i 48. b) 2 går opp x, og 3 går opp i y 6 går opp i x · y. c) x er et partall, og y er et partall 4 går opp i x · y. Oppgave 1.136 Bevis at denne påstanden er feil: x og y er irrasjonale tall x + y er et irrasjonalt tall. Oppgave 1.137 a) La x og y være rasjonale tall. Vis da at disse tallene er rasjonale: x 3) __ 1) x + y 2) x · y y,y≠0 b) La x være et rasjonalt tall og y et irrasjonalt tall. Gi et indirekte bevis x for at __ y er et irrasjonalt tall. Oppgave 1.138 Bevis med et moteksempel at denne påstanden er feil: Hvis x2 > 16, så er x > 4.
352 352
Sinus R1 > Algebra
Oppgave 1.139 a) Vis at 41 er et primtall. b) Regn ut f(x) = x2 – x + 41 for x = 1, 2, 3, 4, 5, …, 40. Hva slags tall ser det ut til at du har regnet ut? c) Vis med et moteksempel at denne påstanden er feil: x er et positivt helt tall f(x) = x2 – x + 41 er et primtall for alle hele tall x = 1, 2, 3, ….
1.4 POLYNOMDIVISJON
Oppgave 1.140 Utfør polynomdivisjonene uten bruk av hjelpemidler. a) (x2 + 2x + 3) : (x + 1) b) (x2 + 4x + 5) : (x + 2) c) (x2 + 6x – 2) : (x – 3) Oppgave 1.141 Utfør polynomdivisjonene uten bruk av hjelpemidler. a) (x3 – 3x2 + 2x) : (x – 1) b) (x3 + x2 – 4x – 4) : (x + 1) c) (x3 – 7x + 6) : (x + 3) d) (x3 + ax2 + 3x + 3a) : (x + a) Oppgave 1.142 Utfør polynomdivisjonene både digitalt og uten bruk av hjelpemidler. a) (x3 – x2 + x + 1) : (x + 1) b) (2x3 + x2 – 10x + 1) : (x – 2) c) (x4 – 2x2 – 6) : (x – 2) d) (x3 – ax2 + a) : (x – a) Oppgave 1.143 Utfør polynomdivisjonene både digitalt og uten bruk av hjelpemidler. a) (x3 – 4x2 + x + 6) : (x2 – 2x – 3) b) (2x3 + 3x2 – 8x + 3) : (2x2 – 3x + 1) c) (2x3 + 3x2 + 4x – 5) : (x2 – 4x – 1)
1.5 RESTEN VED EN POLYNOMDIVISJON
Oppgave 1.150 Finn resten uten å dividere. Kontroller svaret ved å utføre divisjonen uten bruk av hjelpemidler. a) (x2 + 3x + 1) : (x – 1) b) (x2 – 2x – 1) : (x – 2) c) (x2 + 4x – 2) : (x – 3) d) (x2 + 2x + 2) : (x + 1) Oppgave 1.151 Avgjør om divisjonen går opp, uten å utføre divisjonen. Kontroller svaret ved å utføre divisjonen uten bruk av hjelpemidler. a) (x2 – 10x + 25) : (x – 5) b) (x2 – 4x + 3) : (x – 2) c) (2x2 – 4x – 6) : (x – 3) d) (4x2 + 5x + 1) : (x + 1)
Oppgave 1.155 Hvilken av faktorene (x – 1), (x + 1), (x – 2) og (x + 2) er ikke faktor i polynomet P(x) = x3 + 2x2 – x – 2? Oppgave 1.156 Bestem tallet a slik at divisjonen går opp. a) (x2 – ax + 3) : (x – 3) b) (ax3 + ax2 + x + 3) : (x – 1) c) (ax3 – ax2 – 3x + a) : (x – 2)
1.6 FAKTORISERING AV POLYNOMER
Oppgave 1.160 Faktoriser polynomene hvis det lar seg gjøre. b) x2 – 3x – 18 a) x2 + 5x – 14 2 d) x2 – 64 c) x – 2x + 5
Oppgave 1.152 Finn resten uten å dividere. a) (x3 + x – 2) : (x – 2) b) (x4 + 2x3 – 5x2 + 10x + 12) : (x + 1)
Oppgave 1.161 Et polynom er gitt ved
Oppgave 1.153 a) Vis at (x – a) er en faktor i polynomet
a) Vis at (x + 2) er en faktor i P(x). b) Faktoriser P(x) mest mulig både uten og med bruk av hjelpemidler.
P(x) = x3 – 7x2 + 36
P(x) = x3 – ax2 – ax + a2 b) Utfør polynomdivisjonen P(x) : (x – a). c) Hvordan må a velges for at P(x) skal ha 1) en faktor av grad 1 og en faktor av grad 2 2) tre faktorer av grad 1 Oppgave 1.154 a) Vis at (x – 1) er en faktor i polynomet P(x) = x3 + 4x2 + x – 6 b) Kontroller svaret i oppgave a ved å utføre en polynomdivisjon uten bruk av hjelpemidler.
Oppgave 1.162 Et polynom er gitt ved P(x) = x3 + x2 – 10x + 8 a) Vis at (x + 4) er en faktor i P(x). b) Faktoriser P(x) mest mulig både uten og med bruk av hjelpemidler. Oppgave 1.163 Et polynom er gitt ved P(x) = x4 – 5x2 + 4 a) Vis at (x2 – 1) er en faktor i P(x), uten å utføre en polynomdivisjon. b) Faktoriser P(x) mest mulig både uten og med bruk av hjelpemidler.
353
Oppgave 1.164 Et polynom er gitt ved P(x) = x4 – 8x2 + 15 a) Vis at divisjonen P(x) : (x2 – 3) går opp. b) Faktoriser P(x) i fire lineære faktorer uten bruk av hjelpemidler. c) Faktoriser P(x) digitalt. Oppgave 1.165 Forkort uttrykkene hvis det lar seg gjøre. Oppgaven skal løses uten bruk av hjelpemidler. x–1 a) __________ 2 x + 3x – 4 x2 – 4x b) _______ x–2 x+4 c) ________ x3 – 16x Oppgave 1.166 Forkort uttrykkene om mulig både med og uten bruk av hjelpemidler. x2 + 5x – 6 a) __________ x2 – 1 x2 + 4x + 4 b) _________ x2 + 2x x3 – 5x – 2 c) __________ x2 – 2x Oppgave 1.167 Forkort uttrykkene om mulig både med og uten bruk av hjelpemidler. x2 – 16 x2 – 4 b) _______ a) __________ 2 x – 2x – 8 x2 – 4x 3 2 x – x – 4x + 4 c) _____________ x2 – 3x + 2 x+3 d) _____________ x3 + x2 – 9x – 9 Oppgave 1.168 Bestem a slik at brøken kan forkortes. x2 – 2x – 3 x2 – 1 a) _______ b) __________ 2 x + ax x2 – 4x + a
354
Sinus R1 > Algebra
Oppgave 1.169 Finn fellesnevneren og trekk sammen uttrykket uten bruk av hjelpemidler. x + 3 _____ 1 1 + a) ______ + ______ 3x – 3 x2 – 1 x + 1 x+1 2 b) _____ – __________ x – 3 x2 – 4x + 3 3 2 – ______ c) _______ x2 – 2x x2 – 4 3 x+1 4 d) __________ + _____ – _____ x2 – 5x + 6 x – 2 x – 3
1.7 LIKNINGER OG ULIKHETER
Oppgave 1.170 Løs ulikhetene ved å bruke fortegnslinjer. a) x2 – 6x + 8 > 0 b) x2 – 3x – 4 < 0 c) 2x2 – 3x + 1 < 0 d) 3x2 – 2x – 16 > 0 Oppgave 1.171 a) Vis at x = 3 er en løsning av likningen x3 – 3x2 – x + 3 = 0 b) Finn alle løsningene av likningen. c) Løs ulikheten x3 – 3x2 – x + 3 > 0. Oppgave 1.172 Polynomfunksjonen P er gitt ved P(x) = x3 – 2x2 – 9x + 18 a) Vis at x – 2 er en faktor i P(x). b) Finn alle nullpunktene til P uten bruk av hjelpemidler. c) Faktoriser P(x) mest mulig. d) Løs ulikheten uten bruk av hjelpemidler. x3 – 2x2 – 9x + 18 < 0
Oppgave 1.173 Vi har gitt polynomet P(x) = x3 – 3x2 – 4x + 12 a) Vis at x = 3 er et nullpunkt for P(x). b) Faktoriser P(x) mest mulig. c) Finn ut uten bruk av hjelpemidler for hvilke verdier av x grafen til P ligger over x-aksen.
Oppgave 1.182 Løs likningene uten bruk av hjelpemidler. 3x + 2 x + 4 4x + 2 a) ______ – _____ = __________ x+1 x + 3 x2 + 4x + 3 3(4 + 3x2 + x) 6 + 3x _______ 3 ____________ b) ______ + = 3x – 1 3x + 1 9x2 – 1 Oppgave 1.183 Løs oppgave 1.180 digitalt.
Oppgave 1.174 Vi har gitt polynomet P(x) = 2x3 – 7x2 – 19x + 60 a) Vis at x = 4 er et nullpunkt for P(x), og faktoriser P(x). b) Løs likningen P(x) = 0 uten bruk av hjelpemidler. c) Løs ulikheten P(x) < 0 uten bruk av hjelpemidler.
1.8 RASJONALE LIKNINGER
Oppgave 1.180 Løs likningene uten bruk av hjelpemidler. 1 1 – _____ = 1 a) _____ x–1 x+1 x 1+x 1 b) _____ – __ = _______ x + 2 x x2 + 2x Oppgave 1.181 Løs likningene uten bruk av hjelpemidler. 3x x 1 a) _____ + __ = _______ 2 – x 3 x x – 3x 3x – 2 x 1 b) __ + _____ = _______ x x – 2 x2 – 2x x+8 x–4 1 c) _____ + _____ = _______ x – 4 x + 4 x2 – 16 x2 – 2x + 2 1 1 __________ __________ d) _____ + = 2 x – 1 x – 2x + 1 (x – 1)2
1.9 RASJONALE ULIKHETER
Oppgave 1.190 Løs ulikhetene ved regning. x a) _____ + 1 ≥ 0 x–2 x+1 b) _____ < 1 x–2 2x – 3 c) ______ ≤ –3 x+1 Oppgave 1.191 Løs ulikhetene ved regning. x+2 a) x > _____ x x+7 b) _____ > x – 1 x+2 x–1 x c) _____ < _____ x+2 x–3 1–x x+2 d) ______ < _____ x+7 2–x Oppgave 1.192 Løs ulikhetene ved regning. –x2 + x + 2 a) __________ <0 2x – 10 2x – 1 >0 b) ______ x2 – 9 4 c) x < _____ x–3
355
UTEN HJELPEMIDLER Oppgave 1.200 La x være et helt tall. Vis at 6 går opp i x(x – 1)(x + 1). Oppgave 1.201 Bevis med et moteksempel at denne påstanden er feil: Ethvert naturlig tall som er delelig med både 6 og 9, er også delelig med 54. Oppgave 1.202 a) Vis at summen av tre hele tall som følger etter hverandre, er delelig med 3. b) Vis at denne påstanden er feil: a2 rasjonalt tall a rasjonalt tall Oppgave 1.203 De fire første trekanttallene er 1, 3, 6 og 10. Figuren nedenfor viser oppbyggingen av tallene. a) Finn de to neste trekanttallene ved å tegne en regulær trekant etter mønsteret nedenfor.
Oppgave 1.204 I tabellen nedenfor står det noen polynomuttrykk. Finn i hvert tilfelle ut hvilke faktorer uttrykkene er delelige med. Vis utregninger. x3 – 2x2 – 8x Faktoren x Faktoren (x + 2) Faktoren (x – 3)
Ja Ja Nei
x3 + 4x2 + 4x Faktoren x Faktoren (x + 2) Faktoren (x – 3) 2x3 – x2 – 6x Faktoren x Faktoren (x + 2) Faktoren (x – 3) x3 – 5x2 + 7x – 3 Faktoren x Faktoren (x + 2) Faktoren (x – 3) Oppgave 1.205 Når vi dividerer de to polynomene x3 + ax + 2x – 1 og x4 – ax3 + 7x – 2
1
3
6
10
b) Forklar at trekanttall nr. n er summen av de n første naturlige tallene. c) Vis at formelen for trekanttall nr. n er n · (n + 1) _________ 2 d) Legg sammen trekanttall nr. 1 og 2, deretter nr. 2 og 3, 3 og 4 osv. Hva er felles for summen av to etterfølgende trekanttall? e) Bevis at summen av to trekanttall som kommer etter hverandre, alltid blir av den typen tall som du observerte i oppgave d.
356
Sinus R1 > Algebra
med x – 1, får vi den samme resten. Bestem a. Hvor stor er resten? ↑ 1.5
Oppgave 1.206 Vi har gitt polynomet P(x) = x3 + 2x2 – 9x + a a) Dividerer vi P(x) med x – 2, får vi resten r = –20. Vis at a = –18. I resten av oppgaven setter vi a = –18. b) Vis at x = –2 er et nullpunkt for P(x). c) Finn alle nullpunktene til P(x).
Oppgave 1.207 Polynomet P(x) er gitt ved
Oppgave 1.212 Et rasjonalt uttrykk f (x) er slik at f (0) = 2. Bestem f (x) når f har fortegnslinja 1
P(x) = 2x3 – x2 – 2x + 1 a) Vis at P(x) er delelig med 2x – 1 uten å utføre divisjonen. b) Utfør divisjonen P(x) : (2x – 1) og finn alle nullpunktene til P. Oppgave 1.208 Vi har gitt polynomet P(x) = x4 – 4x2 + 3 a) Vis at P(x) er delelig med x2 – 1. b) Finn alle nullpunktene til P(x). c) Bestem a slik at resten i divisjonen P(x) : (x – a) blir 3. Oppgave 1.209 Funksjonen f er gitt ved f(x) = x3 + 2x2 – 5x – 6 a) Vis at x = 2 er et nullpunkt for f. b) Finn alle nullpunktene til f. Oppgave 1.210 Vi har gitt polynomet P(x) =
x3
+
ax2
+ bx – 6
Bestem a og b slik at (x – 2) og (x + 3) begge er faktorer i polynomet P(x). Oppgave 1.211 Finn fellesnevneren og trekk sammen. x+2 2 a) _____ + __________ x – 1 x2 – 2x + 1 x 2x2 b) ______ – __________ 2 2x + 4 x + 4x + 4 6x x 2x c) _____ + _____ – __________ x – 1 x – 4 x2 – 5x + 4 ↑ 1.6
a)
0 –4
b)
2
2
0
Oppgave 1.213 a) Vis at x+3 x–4 ______ > 1 ______ <0 2x – 1 2x – 1 b) Løs ulikheten x+3 ______ >1 2x – 1 Oppgave 1.214 Vi har gitt polynomet P(x) = x4 – 2x2 – 8 a) Utfør divisjonen P(x) : (x2 – 4). b) Finn alle nullpunktene til P(x) ved regning. c) Løs ulikheten P(x) < 0 ved regning. Oppgave 1.215 Vi har gitt polynomet P(x) = 2x3 – 12x2 – 2x + a a) Bestem a slik at (x – 3) blir en faktor i P(x). b) Bruk verdien du fant for a i oppgave b. 1) Faktoriser P(x). 2) Løs ulikheten P(x) < 0 ved regning. ↑ 1.7
Oppgave 1.216 Løs likningene ved regning. x2 1 1 – __ = ______ a) _____ 2 x–1 x x –x 5x – 2 x 2 b) _____ + _____ = ______ x–2 x+2 x2 – 4
357
Oppgave 1.217 Løs likningene. 25 – 3x x 4 – _____ – _______ a) _____ =0 – x 5 x+5 x2 – 25 b) x3 – x2 – 36x + 36 = 0, der x = 1 er en av løsningene. Oppgave 1.218 a) Løs likningen ved regning. 8 x – 2 __ 1 _____ + = _______ 2 x+2 x x + 2x b) Løs ulikheten ved regning. x+6 _____ >x x+2 ↑ 1.9
Oppgave 1.222 (Eksamen H-2008) Vi har gitt polynomfunksjonen f (x) = x3 – 3x2 – x + 3 a) Vis at f (x) er delelig med x + 1. Faktoriser f (x) i førstegradsfaktorer. b) Løs ulikheten f (x) ≥ 0. Oppgave 1.223 (Eksamen V-2009) Trekk sammen. 4x x–2 x+2 _______ – _______ – _____ x2 + 2x x2 – 2x x2 – 4 Oppgave 1.224 (Eksamen V-2009) Gitt polynomfunksjonen f (x) = 2x3 + 8x2 + 2x – 12
Oppgave 1.219 (Eksempel 2007) a) Vis at x = 1 er en løsning på likningen x3 + 2x2 – x – 2 = 0
a) Regn ut f (1). Faktoriser f (x). b) Løs ulikheten f (x) ≤ 0.
b) Bruk dette til å løse ulikheten
Oppgave 1.225 (Eksamen H-2009) Likningen
x3 + 2x2 – x – 2 ≤ 0
2x3 – 10x2 – 2x + 10 = 0
Oppgave 1.220 (Eksempel 2007) a) Vis at polynomet f(x) = x3 – 6x2 + 11x – 6 er delelig med x – 2. b) Skriv f(x) som et produkt av førstegradsfaktorer. c) Løs ulikheten x3 – 6x2 + 11x – 6 _____________ >0 x2 – 9 d) Bestem a slik at likningen f(x) = x3 – 2x2 – 5x + a får en løsning lik 1. Løs likningen for denne verdien av a. Oppgave 1.221 (Eksamen V-2008) Utfør polynomdivisjonen (x3 – 4x2 + x + 6) : (x – 2)
358
Sinus R1 > Algebra
har tre løsninger. Vis at x = 1 er en løsning, og finn de to andre. Oppgave 1.226 (Eksamen V-2010) Vi har gitt polynomfunksjonen P(x) = x3 – 4x2 – 4x + 16 a) Regn ut P(2). Bruk polynomdivisjon til å faktorisere uttrykket P(x) i førstegradsfaktorer. b) Løs ulikheten P(x) ≤ 0. Oppgave 1.227 (Eksamen V-2010) Nedenfor er det gitt to utsagn. Skriv av utsagnene i besvarelsen. I boksen mellom utsagnene skal du sette inn ett av symbolene , eller . Per er fra Bergen F Per er fra Norge Forklar hvordan du har tenkt.
MED HJELPEMIDLER
Oppgave 1.228 (Eksamen H-2010) Vis at x = 1 er en løsning av likningen 2x3 – 6x2 – 2x + 6 = 0 Bruk polynomdivisjon til å finne de andre løsningene. Oppgave 1.229 (Eksamen V-2011) Vi har gitt polynomfunksjonen
Oppgave 1.300 I trekanten ABC er summen av lengdene av sidene 30. Høyden fra C ned på AB er 6. Vi kaller lengdene av sidene i trekanten for a, b og c, slik figuren nedenfor viser. C
f (x) = x3 – 3x2 – 13x + 15 a) Vis at f (1) = 0. Bruk polynomdivisjon til å faktorisere f (x) i førstegradsfaktorer. b) Løs ulikheten f (x) ≤ 0. Oppgave 1.230 (Eksamen H-2011) Vi har gitt polynomfunksjonen
b 6
A
Oppgave 1.231 (Eksempel 2012) Vi har gitt polynomfunksjonen f(x) = x3 – ax2 – 13x + 15 a) Bestem a slik at f(x) blir delelig med (x – 1). b) Løs ulikheten f(x) ≤ 0 for denne a-verdien. Oppgave 1.232 (Eksempel 2012) Skriv så enkelt som mulig. x+2 x 2 _______ + _____ – _____ x+4 x–4 x2 – 16 Oppgave 1.233 (Eksempel 2012) Skriv av og sett , eller mellom utsagnene nedenfor, og begrunn valget ditt.
B
D
a) Forklar at vi får likningssettet (a + b + c = 30) (a2 + b2 = c2) (ab = 6c)
P(x) = x3 – 4x2 – 4x + 16 a) Vis at x = 2 er et nullpunkt. b) Skriv P(x) som et produkt av førstegradsfaktorer. c) Løs ulikheten P(x) ≤ 0.
c
a
ut fra opplysningene om denne trekanten. b) Bruk et CAS-verktøy til å finne lengdene av sidene i trekanten. c) Tegn en figur som forklarer hvorfor det er rimelig at vi får to løsninger. Oppgave 1.301 I GeoGebra kan vi bruke det logiske symbolet mellom ulikheter for å få tegnet det området som passer med disse ulikhetene. a) Finn arealet av det området som er bestemt av ulikhetene (2x – y > 3) (x + y < 9) (5y – x > 3) b) Finn koordinatene til hjørnene i den trekanten som er bestemt av ulikhetene. ↑ 1.1
x2 + 5x + 6 = 0 F x = –2
359
Oppgave 1.302 Den store og svært produktive matematikeren Leonhard Euler (1707–1783) beviste at formelen n2 + n + q alltid gir et primtall dersom q er ett av tallene 2, 3, 5, 11, 17 eller 41, og dersom n er 0 eller et naturlig tall mindre enn q – 1. a) Sett q = 11 og finn ut om n2 + n + 11 gir primtall når n = 0, 1, 2, 3,…, 9. b) Bevis at n2 + n + q aldri kan være et primtall når n = q – 1. Oppgave 1.303 n Tall som er bygd opp slik: 22 + 1, der n er null eller et helt positivt tall, kaller vi Fermat-tall etter matematikeren Pierre de Fermat (1601–1665). De tre første Fermat-tallene er 0 22 21
21
F0 = +1= +1=2+1=3 F1 = 2 + 1 = 22 + 1 = 4 + 1 = 5 2 F2 = 22 + 1 = 24 + 1 = 16 + 1 = 17 Fermat hevdet at alle tall som er bygd opp på denne måten, er primtall. Tok han feil? Oppgave 1.304 a) Studer tallmønsteret og forklar hvordan mønsteret er bygd opp. 73
74
75
76
77
78
79
80
72
47
48
49
50
51
52
53
71
46
29
30
31
32
33
54
70
45
28
19
20
21
34
55
69
44
27
18
17
22
35
56
68
43
26
25
24
23
36
57
67
42
41
40
39
38
37
58
66
65
64
63
62
61
60
59
b) Hva kjennetegner tallene som er i diagonalen fra nederste høyre til øverste venstre hjørne i figuren? (Tallene er merket med feit skrift.)
360
Sinus R1 > Algebra
c) Finn en formel for tallene i diagonalen, dersom 17 er tall nr. 1, 19 er tall nr. 2, 23 er tall nr. 3 osv. n
1
2
3
4
D(n) 17
19
23 29
5 6 7 8
d) Vil alle tallene i forlengelsen av diagonalen være av samme type som dem du fant i oppgave b dersom vi utvider tabellen etter det samme systemet? Oppgave 1.305 Tegn en vilkårlig trekant ABC med et dynamisk geometriprogram. Tegn kvadrater på hver av de tre sidene, og tegn deretter trekanter mellom kvadratene slik figuren nedenfor viser. F G
E C
D
A
B
H
I
a) Er det en sammenheng mellom arealet av trekanten ABC og arealet av hver av de tre trekantene BID, CEF og AGH? b) Bevis den sammenhengen du fant i oppgave a. Tips: Her kan du få bruk for arealsetningen som du lærte på 1T-kurset. Oppgave 1.306 I denne oppgaven kaller vi trekanttall nr. n for Tn og trekanttall nr. (n – 1) for Tn –1. I oppgave 1.203 fant vi at n2 + n Tn = ______ 2
n2 – n a) Vis at Tn – 1 = _____. 2 b) Regn ut 1) Tn – Tn – 1 2) Tn + Tn – 1 3) Tn2 – Tn2 – 1 c) Se på mønsteret og lag en hypotese om hva Tn2 + Tn2– 1 blir. Sjekk dette med eller uten bruk av et CASverktøy. Oppgave 1.307 Tegn et vilkårlig rektangel ABCD ved hjelp av et dynamisk geometriprogram. Plasser et punkt E på linjestykket AB og trekk linjestykkene CE og DE slik figuren til venstre nedenfor viser. D
C
D
C
F A
E
B
A
E
B
a) Flytt punktet E. Finn en sammenheng mellom arealene av de tre trekantene AED, CDE og EBC. b) Bevis at den sammenhengen du fant i oppgave a alltid stemmer. c) Plasser et punkt F på BC og trekk linjestykkene AF og DF. Finn en sammenheng mellom arealet av den grønne firkanten og arealene av de mørkeste gule områdene på figuren. d) Bevis at den sammenhengen du fant i oppgave c, alltid stemmer. ↑ 1.3
Oppgave 1.308 Løs oppgave 1.205 digitalt.
Oppgave 1.309 a) Finn et tall som er slik at det gir 1 i rest når vi dividerer det med både 2, 3, 5 og 7. b) Finn et fjerdegradspolynom som er slik at det gir 1 i rest når vi dividerer polynomet med både (x – 2), (x – 3), (x – 5) og (x – 7) c) Finn et tall som er slik at det gir 1 i rest når vi dividerer det med 3, 2 i rest når vi dividerer det med 4, 3 i rest når vi dividerer det med 5, og 4 i rest når vi dividerer det med 6. d) Finn et fjerdegradspolynom som er slik at det gir 1 i rest når vi dividerer det med (x + 3), 2 i rest når vi dividerer det med (x + 4), 3 i rest når vi dividerer det med (x + 5), og 4 i rest når vi dividerer det med (x + 6). ↑ 1.5
Oppgave 1.310 Løs oppgave 1.210 digitalt. Oppgave 1.311 Løs oppgave 1.231 digitalt. ↑ 1.7
Oppgave 1.312 (Eksamen V-2010) Vi vil undersøke om tallet (4n – 1) er delelig med 3 når n er et naturlig tall. a) Kontroller at (4n – 1) er delelig med 3 når n = 1, n = 2, n = 3 og n = 4. b) Vis at (4n –1) = (2n – 1) · (2n + 1). c) Forklar at (2n – 1), 2n og (2n + 1) er tre hele tall som ligger etter hverandre på tallinjen. Forklar at ett av tallene er delelig med 3. Hvilket av tallene kan ikke være delelig med 3? d) Bruk b) og c) ovenfor til å bevise at (4n – 1) er delelig med 3 for alle naturlige tall n.
361
Oppgave 1.313 (Eksamen H-2011) Vi vil se på summen av alle faktorene som går opp i 12. Vi tar med 1, men ikke tallet 12 selv. Faktorene til 12 blir da 1, 2, 3, 4 og 6. Summen av faktorene blir 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 For tallet 6 får vi på samme måte 1+2+3=6
På figur 2 er det tegnet grafen til en tredje funksjon h. Skriv funksjonsuttrykket h(x) på samme form som i a). y 6 4 3
Når summen av alle faktorene er lik tallet selv, sier vi at tallet er perfekt.
2
Dermed er 6 et perfekt tall, mens 12 ikke er det. a) Vis at 28 er et perfekt tall. b) Summen av faktorene i 220 er
–2 –1 –1
1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284
h
5
1
x 1
2 3
4
Figur 2 Oppgave 1.315 (Eksamen V-2012) y
Finn summen av faktorene i 284.
3
Oppgave 1.314 (Eksamen V-2012) a) Tegn grafen til funksjonen f gitt ved
C
B
f (x) = 2(x + 1)(x – 1)(x – 3) b) På figur 1 er det tegnet en skisse av grafen til en annen funksjon g. Skriv funksjonsuttrykket g(x) på samme form som i a). y 20
g
16 12 8 4 –2 –1 –4
x 1
2 3
4
–8
362 362
Sinus R1 > Algebra
Figur 1
x O
A
3
På skissen ovenfor er det tegnet en kvartsirkel med radius 3. FOABC er et kvadrat, der A ligger på x-aksen, B på kvartsirkelen og C på y-aksen. a) Bestem lengden til diagonalen AC. b) Bestem arealet av det skraverte området.
FASIT TEORIDEL
1.10 a) c) Ingen tegn passer e) Ingen tegn passer 1.11 a)
b)
c)
b) d)
d)
1.12 a) ca. 2,5 millioner b) ca. 3,5 milliarder c) Ingen d) ca. 10 millioner 1.13 a) x = 3 b) x < 0 x = 3 c) x = 1 d) Ingen løsning e) x = 2 y = 1 f) Ingen løsning
d) 3, 6] e) [5, 6 f) 3, 5 1.40 a) x – 4 c) x + 2
8
b) 2x + 2 + ____ x–3 3 3 1 x + __ + _____ d) __ 2 4 8x + 4
1.41 a) x2 + 2x – 3 9 b) x2 – x – 3 + _____ x+2
1.42 3x b) x2 + 2x a) 2x + 1 + _______ 2 32
c) x + 3 d) x2 – 3x + 10 – _____ x+3 1
27
4
f) 4x2 + 3x + 4 + ____ x–1
1.61 b) (x – 1)(x + 2)(x + 3) 1.62 b) 2(x – 3)(x + 2)2
1.64 a) x2 + x + 2 b) x2 + 3x + 2 c) Kan ikke forkortes 1 d) _______ x2 + x + 1
2x – 4
\ {3} \ { –3, 3 } \ { –2, 4 } \ {1}
1.54 a) a = –1 b) a = –10 c) a = 2 d) Ingen a passer. e) a = 2 eller a = 3
1.63 b) (x + 2)(x2 – 4x + 5)
1.43 a) x – 2 1 b) x2 – x + 4 +____ x–1
1.23 a) { 2, 6, 10 } b) –2, 7 c) –5, 5 d) 1, 2 F 2, 3 1.24 a) [ –2, 5 ] b) [ 1, 2 ] c) [–2, 1
11
x2 + ___ x – ___ + ______ e) x3 – __ 2 4 8 16x + 8
1.21 a) { 5 } b) { 0, 3 } c) { –2, 1 } d) { –2, 0, 2 } 1.22 a) Df = b) Df = c) Df = d) Df =
11
faktor faktor ikke faktor ikke faktor faktor ikke faktor
1.60 a) (x – 1)(x – 3) b) 2(x – 1)2 – c) 3(x 1)(x + 3) d) Kan ikke faktoriseres
c) 4x2 + 8x + 12 5 d) x3 + 2x2 + 3x + 4 + ____ x–1
x +x–1
1.20 a) –5 D b) –5 2 c) __ 3 2 d) __ D 3__ e) 3 __ 5 D f) 3 5
b) (x – 1) (x + 2) c) (x – 1) (x + 2) d) (x – 1) (x + 2)
c) x – 2 + _______ x2 – 2x –3 56x + 5
d) x2 + 4x + 14 + ______ x2 – 4x
1.65 x2 – 2x + 2 a) _______ x–2
1.44 a) r = 15 og P(2) = 15 b) r = 3 og P(2) = 3 c) r = 0 og P(2) = 0 1.50 a) 2
b) 11
1.51 a) Går opp c) Går opp
c) –50
x+1 b) _____ x2 – 4
d) 0
b) Går ikke opp d) Går ikke opp
1.52 a) Er ikke faktor b) Er faktor c) Er faktor d) Er ikke faktor 1.53 a) (x – 1) faktor (x + 2) ikke faktor
1.66 a) a = 6 b) a = –3 a = –9 1.70 a) x < 2 eller x > 3 b) –2 < x < 1 c) Alle x passer. d) Ingen x passer. 1.71 b) x = –1, x = 2 og x = 3 c) –1 < x < 2 eller x > 3
469
1.72 b) P(x) = (x2 + 4x + 5)(x – 2) c) x = 2 d) x < 2
3 b) __ 2
9 c) __ 2
4 d) __ 3
2.14 a) 2 lg x b) lg 2 + lg x c) 3 lg x + 3 lg y d) 0 b) x = 1
1.81 a) x = 1 eller x = 2 b) x = –1 c) x = 3 d) Ingen løsning
2.15 a) 4 d) 1 g) 0 j) −3
b) e) h) k)
−3 3 1 0
c) f) i) l)
0 −1 2 1
2.16 b) 2,32
1.82 b) x = –2 og x = –1
2.20 a) x = 10,3 c) x = 2,26
1.83 a) x = 2 x = 3 1 __ b) x = – 2 c) x = 2 d) Ingen løsning
b) x = 0,83 d) x = 9,39
2.21 a) 13,7 år c) 18,7 år
b) 23,4 år
1.90 a) x < –1 eller x > 3 b) x < 1 eller x > 2 3 c) x > –3 d) –4 ≤ x < __ 2
2.22 lg 2 a) x = 0 eller x = ____ b) x = 0 lg 5
1.91 a) x < –1 b) x ≤ –1 eller x > 1 c) 0 < x < 1 d) Ingen løsning
2.30 lg 5 – lg 2 a) x < ________ lg 3
1.93 a) –1 < x < 0 eller x > 2 b) –3 < x < 0 eller x > 1 c) –1 < x < 0 eller x > 2 d) x < –2 eller –1 < x < 1 1.94 b) x = –1, x = 2 og x = 3 c) –1 < x < 1 eller 2 < x < 3 2.10 b) 1) 0,3 2.11 a) 3 d) –3
470
lg 6
c) x = ____ d) x = 0 eller x = 1 lg 3
2) 0,7
2.31 a) x > 10,3
b) x ≤ 9,4
2.32 a) x > 6,17
b) x > 18,7
2.33 lg 2 a) –1 < x < ____
2.41 a) x = 100 b) x = 10 eller x = 100 c) x = –1 eller x = 4 d) x = 3 2.42 a) 0 < x < 10 c) x > 100
b) x > 10 ___ d) 0 < x ≤ √10
2.43 a) 0 < x < 1 eller x > 10 b) 0 < x < 10 eller x ≥ 100 1 c) ___ < x < 100 10 2.44 ___ a) 0 < x < 1 eller x > √10 b) 100 < x < 1000 c) 0 < x < 10 eller 100 < x < 1000 2.51 b) 1) x = 0,7 3) x = – 0,7
2) x = 2,3
2.52 f(x) nærmer seg 1. 2.53 a) 3
b) 0
2.54 a) ln x
b) ln 2
2 c) __ 3
2.60 a) x = ln 3
b) x = – ____ 2
c) x = 4
d) x = _____ 3 ln 5
ln 2
ln 2
b) x < 1 eller x > 2 c) 3 < x < 4 2.34 lg 2 eller x > 1 a) x < ____ lg 3
2.62 a) x > ln 3
b) x < – ____ 2
c) x ≥ 4
d) x ≤ _____ 3 ln 5
lg 3
c) 8 f) –9
1
d) x = ____ 100
2.61 a) x = 0 eller x = ln 3 b) x = ln 3 eller x = ln 4 c) x = ln 2 eller x = ln 3
lg 3
b) x > ____ lg 2 b) 5 e) –6
b) x = 100
lg 5 – lg 2 ________
b) x ≤ lg 3 – lg 2
1.92 x < 1 eller 2 < x < 3
2.40 1 a) x = ___ 10 c) x = 10 000
2.13 b) 0,78
1.73 a) a = – 4 b) x = –2 eller x = 2 c) x ≥ –2 1.80 a) Ingen løsning c) Ingen løsning
2.12 1 a) __ 2
ln 2
ln 2
lg 3
c) 0 < x < 1 eller x > ____ lg 2
2.63 a) x < ln 2 eller x > ln 3 b) 0 < x < ln 3 3 c) – ln 2 < x < 0 eller x > ln __ 2
FASIT OPPGAVEDEL
1 1.110 a) c)
1.141 a) x2 – 2x b) Ingen tegn d)
c) Kan ikke faktoriseres d) (x – 8)(x + 8)
b) x2 – 4
c) x2 – 3x + 2
1.161 a) P(–2) = 0 b) (x – 6)(x – 3)(x + 2)
d) x2 + 3 1.111 a) c)
b) d)
1.142 2 a) x2 – 2x + 3 – _____ x+1
1.162 a) P(–4) = 0 b) (x – 2)(x – 1)(x + 4)
1
1.112 a) x = 1 b) 1 < x < 3 c) x = ±4 x = 2 d) Ingen løsning 1.113 a) x = 2 y = –1 b) (x = 1 y = 3) (x = –4 y = 8) c) (x = 1 y = 2) (x = –4 y = 7) d) (x = –2 y = 4) (x = 2 y = 4) 1.120 a) D b) c) D 1.121 a) R \ {0} b) R \ {–1, 1} c) R \ {– 4, 2} 1.122 a) [2, 7 b) , 3 c) {4} d) [1,
b) 2x2 + 5x + ____ x–2 2
c) x3 + 2x2 + 2x + 4 + ____ x–2 a d) x2 + ____ x–a 1.143 a) x – 2
50x + 6 x – 4x – 1
c) 2x + 11 + ________ 2 b) –1 d) 1
1.152 a) 8
1.167 x+4 a) _____ x+2
b) –4
1.153 b) x2 – a c) 1) a < 0
1.140 2
1.156 a) a = 4
1
5
x–3
b) Kan ikke forkortes 1 c) ______ 2
1.155 (x – 2)
25 c) x + 9 + ____
1 a) _____ x+4
1.151 a) Divisjonen går opp. x – 5 b) Divisjonen går ikke opp. 1 x – 2 – ____ x–2 c) Divisjonen går opp. 2x + 2 d) Divisjonen går opp. 4x + 1
1.139 b) Primtall
b) x + 2 + _____ x+2
1.164 b) __ __ __ __ (x – 3 3 )(x + 3 3 )(x – 3 5 )(x + 3 5 ) 1.165
1.150 a) 5 c) 19
1.154 a) P(1) = 0
a) x + 1 + _____ x+1
b) x + 3
1.163 a) P(1) = P(–1) = 0 b) (x + 1)(x – 1)(x – 2)(x + 2)
2) a ≥ 0
x – 4x
1.166 x+6 a) _____ x+1
x+2 b) _____ x
c) Kan ikke forkortes
b) Kan ikke forkortes c) x + 2 1 d) ________ 2 x – 2x – 3
b) x2 + 5x + 6
b) a = –2
6 c) a = __
1.160 a) (x – 2)(x + 7) b) (x – 6)(x + 3)
1.168 a) a = –1 eller a = 1 b) a = 3 eller a = –5 1.169 7 a) ______ 3(x – 1) 1 b) ___ x–1 x–6 c) ______ 3 x – 4x
d) 0
477
1.192 a) –1 < x < 2 eller x > 5
1.170 a) x < 2 eller x > 4 b) –1 < x < 4 1 c) __ <x<1 2
1.210 a = 2 og b = – 5
1
b) –3 < x < __ eller x > 3 2 c) x < –1 eller 3 < x < 4
8
d) x < –2 eller x > __ 3 1.171 b) x = –1, x = 1 og x = 3 c) –1 < x < 1 eller x > 3 1.172 b) x = –3, x = 2 og x = 3 c) P(x) = (x + 3)(x – 2)(x – 3) d) x < –3 eller 2 < x < 3 1.173 a) P(3) = 0 b) P(x) = (x + 2)(x – 2)(x – 3) c) –2 < x < 2 eller x > 3 1.174 a) P(x) = (x – 4)(x + 3)(2x – 5)
1.202 a) x + (x + 1) + (x + 2) = 3(x__+ 1) b) Velg for eksempel a = 3 2 . Da er a2 rasjonal, men a er irrasjonal. 1.203 a) 15 og 21 d) Kvadrattall
1.211 3x a) ________ 2 x – 2x + 1 2
2x – 3x b) _________ 2 2x + 8x + 8
3x c) ____ x–1
1.212 4x – 4 a) f(x) = _____ x–2 x+4
b) f(x) = ____ 2–x 1.213
1.204
1 b) __ <x<4 2
x3 + 4x2 + 4x Faktoren x
Ja
Faktoren (x + 2)
Ja
Faktoren (x – 3)
Nei
1.214 a) x2 + 2 b) x = –2 eller x = 2 c) –2 < x < 2
5
b) x = 4, x = –3 eller x = __ 2 5
c) x < –3 eller __ <x<4 2 1.180 __ a) x = ±3 3 b) x = –1 eller x = 3 1.181 a) x = –1 b) Ingen løsning c) x = 2 eller x = 6 d) x = 2 1.182 a) x = 0 b) Ingen løsning 1.183 __ a) x = ±3 3 b) x = –1 eller x = 3
2x3 – x2 – 6x Faktoren x
Ja
Faktoren (x + 2)
Nei
Faktoren (x – 3)
Nei
x3
–
5x2
+ 7x – 3
Faktoren x
Nei
Faktoren (x + 2)
Nei
Faktoren (x – 3)
Ja
1.205 a = 2, resten er 4. 1.206 b) P(–2) = 0 c) x = –2, x = –3 og x = 3 1.207 1 a) P(__ )=0 2
1.190 a) x ≤ 1 eller x > 2 b) x < 2 c) –1 < x ≤ 0
b) x2 – 1
1.191 a) –1 < x < 0 eller x > 2 b) x < –3 eller –2 < x < 3
1.208 __ b) x = ±1, x = ±3 3 c) a = 0 eller a = –2 eller a = 2
1
x = __ , x = 1 og x = –1 2
1
c) –2 < x < __ eller x > 3 2 d) x < –7 eller –1 < x < 2
478
1.209 a) f(2) = 0 b) x = –3, x = –1 og x = 2
1.215 a) a = 60 b) 1) P(x) = 2(x – 5)(x + 2)(x – 3) 2) x < –2 eller 3 < x < 5 1.216 a) x = –1
b) x = 3
1.217 a) x = 1 b) x = 1, x = ±6 1.218 a) x = 3 b) x < –3 eller –2 < x < 2 1.219 b) x ≤ –2 eller –1 ≤ x ≤ 1 1.220 a) f(2) = 0 b) f(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3) c) –3 < x < 1 eller 2 < x < 3 eller x > 3 d) a = 6, x = –2, x = 1 eller x = 3 1.221 x2 – 2x – 3 1.222 a) f(–1) = 0 f(x) = (x + 1)(x – 1)(x – 3) b) –1 ≤ x ≤ 1 eller x ≥ 3
1.223 4 – _____ x–2 1.224 a) f(1) = 0 f(x) = 2(x – 1)(x + 2)(x + 3) b) x ≤ –3 eller –2 ≤ x ≤ 1 1.225 x = –1, x = 5 1.226 a) P(2) = 0 P(x) = (x – 4)(x – 2)(x + 2) b) x ≤ –2 eller 2 ≤ x ≤ 4 1.227 1.228 x = –1, x = 3 1.229 a) f(x) = (x – 5)(x – 1)(x + 3) b) x ≤ –3 eller 1 ≤ x ≤ 5 1.230 b) P(x) = (x – 4)(x – 2)(x + 2) c) x ≤ –2 eller 2 ≤ x ≤ 4 1.231 a) a = 3 b) x ≤ –3 eller 1 ≤ x ≤ 5 1.232 x2 – 5x – 6 __________ x2 – 16 1.233 1.300 b) (a = 10 b = 7,5 c = 12,5) (a = 7,5 b = 10 c = 12,5) 1.301 a) 9 b) (2, 1), (7, 2) og (4, 5) 1.302 a) 11, 13, 17, 23, 31, 41, 53, 67, 83 og 101 b) n2 + n + 11 = q2 som er et sammensatt tall. 1.303 5 F5 = 22 + 1 = 4294967297 = 641 · 6700417 Fermat tok feil. Euler fant dette
moteksempelet i 1732. 1.304 a) Begynn med tallet 17 og lag en slags spiral som går utover i retning med klokka. b) Alle tallene i diagonalen er primtall. c) Ved polynomregresjon finner vi at tallene i diagonalen er gitt ved D(n) = n2 – n + 17. d) D(17) = 289 = 172, som ikke er et primtall. 1.305 a) Arealene er like store.
2.111 a) 2 lg a
b) lg a + 4 lg b
2.112 a) 3 lg 3 + 3 lg x b) lg x – 4 lg 2 c) lg 10x _ d) lg 3 x 2.113 a) 2 lg x b) 10 lg x – 2 lg y 2.114 a) 2 b) –2 c) 3
d) –3
2.120 lg 5
1.306 b) 1) n
2) n2
3) n3
n4 + n2 c) ____ 2
a) x = ____ lg 3
lg 3
b) x = ____ lg 2
lg 3
c) x = ________ lg 5 – lg 7
1.308 a = 2, resten er 4. 1.309 a) 2 · 3 · 5 · 7 + 1 = 211 b) (x – 2)(x – 3)(x – 5)(x – 7) + 1 = x4 – 17x3 + 101x2 – 247x + 211 c) 58 d) x4 + 18x3 + 119x2 + 341x + 358 1.310 a = 2 og b = –5
lg 7 – lg 4
lg 7
d) x = ________ = 2 – ____ lg 5 – 1 lg 2 2.121 a) Etter 3 år b) Etter 8 år c) Etter drøye 6 år 2.122 lg 3 a) x = 2 eller x = ____ lg 2 lg 5
b) x = ____ lg 2
1.311 a) a = 3 b) x ≤ –3 eller 1 ≤ x ≤ 5
2.123 a) x = 1 eller x = 2
1.312 c) 2n er ikke delelig med 3.
c) x = 1 eller x = ____ lg 2
1.313 a) 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 b) 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220 1.314 b) g(x) = 2(x + 2)(x – 1)(x – 3) c) h(x) =
1 __ (x 2
+ 2)(x – 2)2
1.315 a) AC = OB = 3 9 b) __ (/ – 2) 4
1 b) __ 3
lg 3
2.124 lg 2
a) x = ____ lg 3 1
1
b) x = ____ eller x = ____ lg 2 lg 4 2.125 ca. 20 m 2.130 lg 12 – lg 5
a) x < _________ lg 3 – lg 5 b) lg 2 < x < lg 5 c) x < –1 d) –3 < x < 0
2 2.110 1 a) __ 2
lg 3
b) x = ____ lg 5
2 c) –3 d) – __ 5
479