Guía de trabajo Matemática
Segundo año de bachillerato
Ejercicios de acuerdo al programa de estudio.
METODO DE CONTEO Y NOCIONES DE PROBABILIDAD
1. Una persona puede viajar de Santa Ana, a San salvador por: auto, bus o tren. Y de San salvador a Costa Rica por: auto, bus o aviรณn use diagrama de รกrbol para el recorrido de san salvador a Costa Rica.
Auto
Auto
Bus
Aviรณn
Auto
Auto
Bus
9 maneras Aviรณn
Auto
Tren
Bus
Aviรณn
¿Cuántos números de dos cifras pueden formarse con 1,2,3,4,5?
(a) Si no se permite la repetición (b) Si se permite la repetición
a) 5/1. OP b) 5/1. OP
4/2.OP 5/2.OP
= 20 = 25
¿Cuántos números de tres cifras significativas pueden formarse con: 0,1,2,3,4? ¿Si no se permite la repetición? a) ¿Cuántos de los números anteriores serán impares? 4/ 1. OP
4/2. OP (par)
3/1. OP
3/2. OP
3/3.OP (impar) = 48
2/3. OP = 18
Supongamos que una placa de automóvil costa de dos letras segui: 1,4,7,9as de tres dígitos de los cuales el primeo, no es cero. ¿Cuántas placas diferentes pueden grabarse?
2b/lat
25/lat
9/dig
9/dig
8/dig
= 421,200
Cuantos números de 4 cifras se pueden formar con: 1,2,3,4. Que sean mayores que 3,000 sin repetir dígitos? 2/1.op
3/2.op
2/3.0p
1/4.0p = 12 numeros
Una señora va tener un bebe. Ella no desea hacerse ningún examen de ultrasonografía para saber el sexo de su bebe. ¿Cuál es la probabilidad de que sea varón, si existen en sus hermanas bebes trillizas?
P = 1/2 = 0.5
Un paquete de 48 focos incluye cuatro que están fundidos. Si se toman tres focos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los tres esté fundido?
3/48 = 0.06 DISTRIBUCION DE PROBABILIDADES
Se sabe por experiencia que el 50% de todas las personas que reciben cierto catalogo por correo solicitan algún producto. ¿Cuál es la probabilidad de que solo tres de nueve personas que reciben el catalogo soliciten algún producto? N=9 x 3 p=0.501- p = 0.50 P (3) (pc3) (0.5)3 (0.5) 4-3 P(3) (84) (0.125) (0.015625) = P (3) = 0.164
En una familia de seis hijos. ¿Cuál es la probabilidad de que haya al menos un varón?
N=6
P(0) =(6c0)(172) (0.83)6-0
X=0
1 (1) = (0.156)
P=1/2
0.0156 = 0.9844
1.p=0.83
Si dos de cinco accidentes son provocadas por productores en estado de ebriedad. ¿ cuál es la probabilidad de que tres de nueve accidentes, seleccionados al azar, hayan sido ocasionados por conductores ebrios? N=9 X=3 P= 2/3 1-p=0.60 P(3) (9)(3) (2/3)3 (0.6)4-3 =84 (0.064) (0.046656) = 0.2508
Una persona que embolsa café molido ha determinado que el peso del café embolsado por él, es una variable normal con media de 460 gramos. Y o =100 gramos. ¿Qué porcentaje de las bolsas pesa: a) Menos de 385 gramos 385 -460 =45/100 0.75
0.2534
0.5 – 0.2734
0.5398
= 22.66
470
ELEMENTOS DE GEOMETRIA
EJERCICIOS Encuentre la medida del ángulo correspondiente
1. 2 rev. A grados
=
720o
2. 3/4 rev. A grados
=
270o
3. 1/3 rev. a grados
=
120o
4. 1/6 rev. a grados
=
60o
5. 1/12 rev. a grados
=
30o
6. 2/5 rev. a grados
=
75o
7. 3/2 rev. a grados
= 540o
8. 3/10 rev. a grados
= 108o
9. 5/6 rev. a grados
= 300o
10. 2/9 rev. a grados
=
80o
Un ángulo central determina un arco de 6 cms, en una circunferencia de 30 cms de radio. ¿Cuánto mide su ángulo central? 5/1
= 6/30 = 0.2
Hallase el complemento de 720 X= 90 – 72 = 180
180 720
¿Cuál es el suplemento de 450? 1800 45 = 1350 1350
450
¿Qué ángulo es igual a su conjugado?
3600 3600
Hállese el número de grados en el ángulo menor formado por las manecillas del reloj a las diez y diez. 305 60/2450 = R/ 245
1 h = 10x30 = 10/50 30015 = 305
Radianes Medir un ángulo es medir su recorrido en la circunferencia. Como la medida de toda la circunferencia es 2·π·radio, resulta conveniente tomar como unidad de medida el radio. En las figuras, los ángulos se representan en una circunferencia de radio 1, ello no significa que el radio mida 1 cm o 1 pie o 1 m, sino que el radio es la unidad de medida tomada. Por razones evidentes a esta unidad se le llama radián. Grados sexagesimales Ya conoces el sistema sexagesimal de medida de ángulos. Al dividir la circunferencia en 360 partes iguales, obtenemos un grado, a su vez cada grado se compone de 60 minutos y cada minuto de 60 segundos. Así un ángulo se mide en: gradosº minutos' segundos'' Trigonometría Mide ángulos con el transportador El ángulo de 1 radián es aquel cuyo recorrido en la circunferencia e
INTRODUCCION A LA TRIGONOMETRIA La palabra TRIGONOMETRÍA está compuesta de dos griegas trigonon significa triángulo y metrón medir. Podemos decir que trigonometría significa medidas de los triángulos. Relaciona los lados con sus ángulos. Aunque hay noticias de su existencia antes del siglo II (antes de Cristo), es en este siglo y en Egipto donde adquiere relevancia. Y todo esto que estoy comenzando a estudiar ¿para qué sirve? Observa el dibujo que tienes a continuación:
Desde un faro se ve un barco que necesita ayuda y es imprescindible saber a qué distancia de la costa se encuentra. Comprobarás que fácilmente construimos un triángulo rectángulo a partir del cual podemos, sirviéndonos de la trigonometría, realizar los cálculos que necesitemos conocer. Existen aparatos que nos permiten conocer medidas de ángulos y otras herramientas encaminadas a facilitarnos los cálculos. Otro ejemplo sería el que tienes en la figura siguiente, calcular la altura de la montaña desde el lugar donde hacemos la medición. Todo lo que podamos incluirlo en un triángulo, es decir, trigonon (triángulo metron) medida lo resuelve la trigonometría, su nombre lo dice.
Otro ejemplo práctico es la señal de tráfico que tienes a continuación:
Se trata de calcular el tanto por ciento de la pendiente de una carretera:
Otra aplicación tienes en la figura siguiente, se trata de calcular la distancia, de un lugar a otro, éste supuestamente inaccesible:
Como ves, el conocimiento de la trigonometría soluciona muchos problemas. Todo triángulo tiene 3 ángulos y tres lados, es decir, un total de 6 elementos y todos los problemas que se presenten, la trigonometría puede resolverlos conociendo tres de esos elementos, 2 ángulos y un lado o viceversa.
Supongamos que tu profesor les pide a ti y a otro estudiante dibujar un triángulo cuyos ángulos midan 35°, 55°, y 90°. Probablemente, tú y tu amigo dibujarán triángulos de distintos tamaños. Pero, como los triángulos tienen medidas iguales en sus ángulos, van a ser similares. Recuerda que esto significa que los lados correspondientes de los triángulos tendrán longitudes proporcionales. Por ejemplo, un triángulo podría tener lados el doble de largos que el otro triángulo, como se ve abajo.
Ahora supongamos que a cada uno de ustedes se le ha pedido encontrar la razón del lado opuesto al ángulo de 35° y la hipotenusa. Si bien estamos usando triángulos distintos y tendremos números distintos en el numerador y el denominador, nos dará el mismo resultado. Tú y tu amigo obtendrán:
Las dos razones son las mismas porque los 2s se cancelan. Si dibujas un triángulo con los mismos ángulos y con lados que son el triple de largos que los del triángulo T, la razón del lado opuesto al ángulo de 35° y la hipotenusa será
. Esta razón será la misma para cualquier
triángulo similar y se llama seno de 35°. El seno se abrevia como
.
El mismo tipo de resultado se obtiene si usas otras razones de los lados. Por ejemplo, si tomas la razón del lado adyacente al ángulo de 35° y la hipotenusa, obtendrás triángulo de los anteriores utilices.
sin importar qué
Además de la razón del seno, hay otras 5 razones o funciones que puedes calcular: cos, tan, cot, sec, y csc. Así como sen es la abreviatura para seno, coses la de coseno, tan la de tangente, csc la de cosecante, sec la de secante, y cot la de cotangente. (Cuando decimos estas abreviaciones debemos pronunciar la palabra completa.) Estas seis funciones te ayudarán a encontrar la longitud de los lados desconocidos y también la medida de los ángulos. Veamos las definiciones de las seis funciones, empezando con un triángulo rectángulo típico como el que se muestra a continuación.
Las definiciones son las siguientes:
Dadas las definiciones, podemos practicar su aplicación.
Ejemplo Problema
Determinar las seis funciones trigonométricas para el ángulo Den el siguiente triángulo rectángulo.
longitud del lado opuesto D = 4 longitud del lado adyacente D = 3 longitud de la hipotenusa = 5
Lo primero que debes hacer es reconocer que
es opuesto al
ángulo D y es adyacente al ángulo D.
Entonces escribe longitudes.
sus
Sustituye estos valores en las definiciones de las seis funciones.
Respuesta
Observa que los valores de seno y coseno están entre 0 y 1. Los calculaste dividiendo la longitud de un cateto y la hipotenusa. La hipotenusa es el lado más largo, por lo que el numerador es menor que el denominador. Esto significa que el resultado de las funciones seno y coseno son siempre menores que 1. Ten en cuenta que el lado opuesto para uno de los ángulos agudos es el lado adyacente del otro ángulo agudo. En el ejemplo anterior, el lado EF fue el cateto opuesto para el ángulo D. Pero, como podrás ver en el siguiente ejemplo, será el cateto adyacente para el ángulo E.
Ejemplo
Problema
Determinar las seis funciones trigonométricas para el ánguloE en el siguiente triángulo rectángulo.
longitud del lado opuesto E = 3 longitud del lado adyacente E = 4 longitud de la hipotenusa = 5
Este es el mismo triángulo que vimos en el ejemplo anterior. La diferencia es que lo vemos desde la perspectiva del ángulo E en lugar de la del ángulo D. Por lo que los lados opuesto y adyacente cambian de lugar. Esto adyacente
es,
es al
ángulo E y es opuesto al ángulo E. Sustituye los nuevos valores en las definiciones de las seis funciones.
Respuesta
Si comparas las respuestas de los últimos dos ejemplos, verás lo siguiente:
Estas dos funciones trigonométricas son iguales porque el lado opuesto al ángulo D (que es 4) es el lado adyacente al ángulo E. Ya que ambos ángulos son agudos, D y E son complementarios. Esto es:
Sustituyendo esto en la ecuación anterior:
De nuevo, la razón por la que las dos funciones son iguales es que el lado opuesto de uno de los ángulos agudos es el lado adyacente del otro ángulo agudo. Esto sucede en todos los triángulos rectángulos. Entonces si A es cualquier ángulo agudo, siempre sucede que:
Comparando más respuestas de los dos últimos ejemplos, podemos encontrar estas relaciones:
y Obtienes estas igualdades porque (1) el lado adyacente al ángulo D es 3, y también es el lado opuesto al ángulo E, y (2) el lado opuesto al ángulo D es 4, y también es el lado adyacente al ángulo E. Estos son ejemplos de la relación general que hemos descrito: el lado opuesto de un ángulo agudo es el lado adyacente del otro ángulo agudo. Usando el mismo razonamiento, si A es cualquier ángulo agudo, siempre sucede que:
Una ecuación, como las tres anteriores, que es válida para cualquier valor de la variable se llama una identidad. Observa los nombres completos de estas funciones: seno y coseno, secante y cosecante, tangente y cotangente. A estos pares se les conoce como cofunciones. Los ángulos A y son complementarios. En otras palabras, las cofunciones de cualquier par de ángulos complementarios son iguales. Pues usar estas relaciones para encontrar los valores de las funciones trigonométricas a partir de los valores de otras funciones sin necesidad de dibujar un triángulo. Observa que puedes reemplazar A y por B y ángulos son complementarios.
. La letra diferente no cambiará la relación, porque estos
Ejemplo Problema
Un triángulo rectángulo tiene ángulos agudos A y B. Si
y
, ¿qué son
y
?
Como A y B son ángulos agudos en un triángulo rectángulo, son ángulos complementarios.
Sustituye B. Usa la identidad (las cofunciones son iguales). Sustituye el valor dado. Sustituye A. Las cofunciones de cualquier par de ángulos complementarios son iguales. Sustituye el valor dado. Respuesta
¿Cuáles son los valores de
A) B)
y
?
C) D)
Mostrar/Ocultar Respuesta
Relaciones Entre las Funciones Trigonométricas Las seis razones o funciones normalmente se consideran en dos grupos de tres funciones. El primer grupo es:
Una manera de recordar estas tres definiciones es con una técnica de memorización que usa las siglas de cada palabra. La definición de seno se representa por COH (Cateto Opuesto entre Hipotenusa). De la misma manera, la definición de coseno se representa por CAH (Cateto Adyacente entreHipotenusa), y la definición de tangente se representa por COCA (Cateto Opuesto entre Cateto Adyacente). Si ponemos los tres juntos tenemosCOHCAHCOCA. El segundo grupo es:
Si comparas estas tres razones con los tres anteriores, verás que las tres fracciones son recíprocas de las tres fracciones anteriores. Esto es, la cosecante es la recíproca del seno, la secante es la recíproca del coseno, y la cotangente es la recíproca de la tangente. Esto nos da las tres identidades:
Si recuerdas COHCAHCOCA y estas tres identidades, puedes identificar los valores de cualquier función trigonométrica, como se puede ver en el siguiente ejemplo.
Ejemplo Problema Para el ángulo agudo A, y . Encontrar los valores de las otras cuatro funciones trigonométricas para el ángulo A.
La definición de seno nos dice que . Un
triángulo
con y drá esta razón.
ten
También
sabes
que
.
Tienes que entonces
, .
Ahora tienes los tres lados del triángulo y los puedes usar en la definición de la tangente. Ahora, usa las tres identidades recíprocas para obtener las otras tres razones.
Respuest a
,
,
,
El valor de cualquier función trigonométrica es una razón, o una fracción. Recuerda que las fracciones pueden ser reducidas.
Ejemplo Problema Para el ángulo agudo A, de
y
y
. Encontrar los valores
. Necesitamos un triángulo rectángulo donde la razón del lado adyacente al ángulo A y la hipotenusa es triángulo
. Un con
lados y a esta razón.
tendrí
Puedes usar la definición de tangente para encontrar el lado opuesto. Sustituye el valor que se te ha dado por la tangente y resuelve la ecuación.
Ahora tienes tres lados. Usa la definición de seno para encontrar su valor. Ahora usando la identidad recíproca, la csc puede calcularse usando el recíproco de sen. Respuest a ,
GUIA DE NOVENO GRADO
La tabla corresponde a la estatura de una muestra de alumnos de un curso.
Alumno Javier Rosa María Luis Ramón Berta Nancy
Estatura en pulgadas 65 59 61 63 60 60 59
Elena realizó el siguiente calculo: 65+59+61+63+60+60+59
= 61
7
¿Qué información obtuvo respecto de la distribución de estaturas en esta muestra?
a) b) c) d)
La mediana aritmética La moda El rango La mediana
Pedro Juan y Diego deben hacer una fila colocándose uno detrás del otro. El orden que empleen para hacerlo puede ser cualquiera. Por ejemplo, primero puede estar Juan, segundo Diego y tercero Pedro.
En total ¿de cuantas maneras diferentes pueden ordenarse? a) 3 b) 6 c) 9 d)12
Observando el grafico dado a continuación
Personas que han ingresado por el Aeropuesto Internacional 0-20000
20000-40000
40000-60000
Título del eje
60000 40000 Columna2
20000
Columna1
0 1999
2000
Serie 1 CATEGORÍA 4 Título del eje
José : en el año 1999 ingresó el mayor número de personas al país Rosa: en el año 2000 ingresaron aproximadamente 500 personas al país Luis: En el año 1999 ingresaron 56,500 personas más que en el año 1998
Cuál d las afirmaciones es correcta a) b) c) d)
Sólo l de José La de José y Luis La de Rosa y Luis Ninguna de las tres
La fracción 4/5 es igual a: a) b) c) d)
4.5 5.4 0.8 1.25
Qué número indica la flecha en el trozo de recta numérica dibujarlo.
Cuál es el significado de la expresión a2
a) b) c) d)
a+a 2a axa 1/2ª
Utiliza los datos de la tabla, ordena los países de menor a mayor superficie. SUPRFICIES DE PAISES DE AMÉRICA CENTRAL Y CARIBE PAIS El salvador Cuba Costas Rica Honduras Panamá a) b) c) d)
SUPERFICIE (km2) 20,749 110,922 51,100 112,088 75,517
Panamá, Honduras, Costa Rica, Cuba, El salvador El salvador, Costa Rica, Panamá, Cuba, Honduras El salvador, Costa Rica, panamá, Honduras, Cuba Honduras, Cuba, panamá, Costa Rica, El salvador
En cuál de las siguientes opciones los números 0,2,0,19 y 0.03 se han ordenado de menor a mayor. a) b) c) d)
0.19, 0.2, 0.03 0.03,0.19,02 0.03,02,019 0.2,0.03,0.19
Cuál de las siguientes ofertas de jabones es más convenientes
1- Lleve cuatro por el precio de tres 2- Lleve tres por el precio de 2 3. Lleve 2 por el precio de 1
a) b) c) d)
La oferta 1 La oferta 2 La oferta 3 Todas son igualmente convenientes.
Cuál es el resultado de las siguientes operaciones: (5x-3) -(2x+5)? a) b) c) d)
3x+2 3x-8 7x-2 7x-8
¿Cuántas diagonales se pueden trazar en total en esta figura?
a) b) c) d) e)
3 5 7 9 Ninguna de las anteriores
¿Se dispone d cubos como los de la figura que tienen una arista de 2 cm. Cuántos de estos cubos se necesitan para formar un cubo que tenga una arista de 4 cm?
a) b) c) d)
2 4 6 8
Dibuja dos rectas paralelas cortadas por otra que sea perpendicular a ella.
¿Cuántos ángulos rectos se formaron en total?
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8
En el triángulo rectángulo isósceles de la figura se ha dibujado un cuadrado sobre su hipotenusa y un cuadrado sobre uno de sus catetos. Se designa con la letra A al área del cuadrado construido sobre la hipotenusa y con la letra B al área del cuadrado construido sobre el cateto.
¿Qué relación se puede establecer entre A y B?
B
A
a) b) c) d)
A= 4B A= 2B A= 2B2 A= 4B2