Precálculo. Matemáticas para el cálculo. 7a. edición by Cengage

Precálculo Matemáticas para el cálculo Séptima edición

Stewart • Redlin • Watson

19.02.2019

SÉPTIMA EDICIÓN

PRECÁLCULO MATEMÁTICAS PARA EL CÁLCULO

19.02.2019

ACERCA DE LOS AUTORESS

J AMES S TEWART obtuvo la maes-

L OTHAR R EDLIN creció en la isla

S ALEEM W ATSON recibió su licen-

tría de la Universidad de Stanford y el doctorado de la Universidad de Toronto. Realizó una investigación en la Universidad de Londres y fue inﬂuenciado por el famoso matemático George Polya en la Universidad de Stanford. Stewart es profesor emérito de la Universidad McMaster y actualmente es profesor de matemáticas en la Universidad de Toronto. Su campo de investigación es el análisis armónico y las conexiones entre las matemáticas y la música. James Stewart es el autor de una exitosa serie de libros de texto para cálculo publicada por Cengage Learning, incluyendo Cálculo, Cálculo: trascendentes tempranas y Cálculo: conceptos y contextos; una serie de textos de precálculo; y una serie de libros de texto de matemáticas para secundaria.

de Vancouver, obtuvo una licenciatura en Ciencias de la Universidad de Victoria, y recibió un doctorado de la Universidad de McMaster en 1978. Posteriormente se dedicó a la investigación y la docencia en la Universidad de Washington, en la Universidad de Waterloo y en la Universidad Estatal de California en Long Beach. En la actualidad es profesor de matemáticas en la Universidad Estatal de Pennsylvania, en el Campus de Abington. Su campo de investigación es la topología.

ciatura en Ciencias por la Universidad Andrews, en Michigan. Realizó estudios de posgrado en la Universidad de Dalhousie y en la Universidad de McMaster, donde obtuvo su doctorado, en 1978. Posteriormente se dedicó a la investigación en el Instituto de Matemáticas de la Universidad de Varsovia, en Polonia. También enseñó en la Universidad Estatal de Pennsylvania. Actualmente es profesor de matemáticas en la Universidad Estatal de California, Long Beach. Su campo de investigación es el análisis funcional.

Stewart, Redlin y Watson también han publicado College Algebra, Trigonometry, Algebra and Trigonometry y (con Phyllis Panman) College Algebra: Concepts and Contexts.

La obra cuenta con material adicional en línea. Ingrese a www.cengage.com y busque el libro por el ISBN.

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SÉPTIMA EDICIÓN

PRECÁLCULO MATEMÁTICAS PARA EL CÁLCULO

JAMES STEWART M C MASTER UNIVERSITY Y UNIVERSITY OF TORONTO

LOTHAR REDLIN THE PENNSYLVANIA STATE UNIVERSITY

SALEEM WATSON CALIFORNIA STATE UNIVERSITY, LONG BEACH

Con la ayuda de Phyllis Panman

Traducción Mtro. Javier León Cárdenas Formación básica ESIQIE • IPN

Revisión técnica Dra. Ana Elizabeth García Hernández Instituto Politécnico Nacional

Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Prohibida su venta o reproducción sin el consentimiento por escrito de la Editorial.

19.02.2019

Precálculo. Matemáticas para el cálculo, 7a. ed. James Stewart, Lothar Redlin y Saleem Watson Director Editorial para Latinoamérica: Ricardo H. Rodríguez Editora de Adquisiones para Latinoamérica: Claudia C. Garay Castro Gerente de Manufactura para Latinoamérica: Antonio Mateos Martínez Gerente Editorial de Contenidos en Español: Pilar Hernández Santamarina Gerente de Proyectos Especiales: Luciana Rabuﬀetti Coordinador de Manufactura: Rafael Pérez González Editora: Abril Vega Orozco Diseño de portada: Anneli Daniela Torres Arroyo Imagen de portada: © zhu difeng/Shutterstock Composición tipográﬁca: Heriberto Gachuz Chavez Humberto Nuñez Ramos

© D.R. 2017 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Corporativo Santa Fe Av. Santa Fe núm. 505, piso 12 Col. Cruz Manca, Santa Fe C.P. 05349, México, D.F. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso.

DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podrá ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea gráﬁco, electrónico o mecánico, incluyendo, pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, reproducción, escaneo, digitalización, grabación en audio, distribución en internet, distribución en redes de información o almacenamiento y recopilación en sistemas de información a excepción de lo permitido en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial. Traducido del libro Precalculus: Mathematics for Calculus, Seventh Edition. James Stewart, Lothar Redlin and Saleem Watson. Publicado en inglés por Cengage Learning ©2016. ISBN: 978-1-305-07175-9 Datos para catalogación bibliográﬁca: Stewart, James, Lothar Redlin y Saleem Watson. Precálculo. Matemáticas para el cálculo, 7a. ed. ISBN: 978-607-526-279-6 Visite nuestro sitio en: http://latinoamerica.cengage.com

Impreso en México 1 2 3 4 5 6 7 19 18 17 16

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CONTENIDO

PREFACIO ix AL ESTUDIANTE xvi PRÓLOGO: PRINCIPIOS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS xvii

CAPÍTULO 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12

■

CAPÍTULO 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8

■

CAPÍTULO 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6

FUNDAMENTOS

Resumen del capítulo 1 Números reales 2 Exponentes y radicales 13 Expresiones algebraicas 25 Expresiones racionales 36 Ecuaciones 45 Números complejos 59 Modelado con ecuaciones 65 Desigualdades 81 El plano coordenado; gráficas de ecuaciones; circunferencias 92 Rectas 106 Solución gráfica de ecuaciones y desigualdades 117 Modelos usando variaciones 122 Capítulo 1 Repaso 130 Capítulo 1 Examen 137

ENFOQUE SOBRE MODELADO Ajuste lineal de datos 139

FUNCIONES

147

Resumen del capítulo 147 Funciones 148 Gráficas de funciones 159 Obtener información a partir de la gráfica de una función 170 Razón de cambio promedio de una función 183 Funciones lineales y modelos 190 Transformaciones de funciones 198 Combinación de funciones 210 Funciones uno a uno y sus inversas 219 Capítulo 2 Repaso 229 Capítulo 2 Examen 235

ENFOQUE SOBRE MODELADO Modelado con funciones 237

FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES

245

Resumen del capítulo 245 Funciones y modelos cuadráticos 246 Funciones polinomiales y sus gráficas 254 División de polinomios 269 Ceros reales de polinomios 275 Ceros complejos y el teorema fundamental del álgebra 287 Funciones racionales 295 v

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vi Contenido

3.7

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CAPÍTULO 4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7

■

Desigualdades polinomiales y racionales 311 Capítulo 3 Repaso 317 Capítulo 3 Examen 323

ENFOQUE SOBRE MODELADO Ajuste de datos a curvas con funciones polinomiales 325

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

329

Resumen del capítulo 329 Funciones exponenciales 330 La función exponencial natural 338 Funciones logarítmicas 344 Leyes de logaritmos 354 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas 360 Modelado con funciones exponenciales 370 Escalas logarítmicas 381 Capítulo 4 Repaso 386 Capítulo 4 Examen 391

ENFOQUE SOBRE MODELADO Ajuste de datos a curvas exponenciales y de potencia 392 Examen acumulativo de repaso: capítulos 2, 3 y 4 se encuentran disponibles en línea. Ingrese a www.cengage.com y busque el libro por el ISBN.

CAPÍTULO 5

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS: 401

MÉTODO DE LA CIRCUNFERENCIA UNITARIA 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6

■

CAPÍTULO 6

Resumen del capítulo 401 La circunferencia unitaria 402 Funciones trigonométricas de números reales 409 Gráficas trigonométricas 419 Más gráficas trigonométricas 432 Funciones trigonométricas inversas y sus gráficas 439 Modelado de movimiento armónico 445 Capítulo 5 Repaso 460 Capítulo 5 Examen 465

ENFOQUE SOBRE MODELADO Ajuste de datos a curvas senoidales 466

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS: 471

MÉTODO DEL TRIÁNGULO RECTÁNGULO 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6

■

Resumen del capítulo 471 Medida de un ángulo 472 Trigonometría de triángulos rectángulos 482 Funciones trigonométricas de ángulos 491 Funciones trigonométricas inversas y triángulos rectángulos 501 La ley de senos 508 La ley de cosenos 516 Capítulo 6 Repaso 524 Capítulo 6 Examen 531

ENFOQUE SOBRE MODELADO Topografía 533

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Contenido

CAPÍTULO 7 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5

■

TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA

vii

537

Resumen del capítulo 537 Identidades trigonométricas 538 Fórmulas de adición y sustracción 545 Fórmulas de ángulo doble, semiángulo y producto a suma 553 Ecuaciones trigonométricas básicas 564 Más ecuaciones trigonométricas 570 Capítulo 7 Repaso 576 Capítulo 7 Examen 580 ENFOQUE SOBRE MODELADO Ondas viajeras y estacionarias 581 Examen acumulativo de repaso: capítulos 5, 6 y 7 se encuentran disponibles en línea. Ingrese a www.cengage.com y busque el libro por el ISBN.

CAPÍTULO 8 8.1 8.2 8.3 8.4

■

CAPÍTULO 9 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6

■

COORDENADAS POLARES Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS 587 Resumen del capítulo 587 Coordenadas polares 588 Gráficas de ecuaciones polares 594 Forma polar de números complejos: teorema de De Moivre 602 Curvas planas y ecuaciones paramétricas 611 Capítulo 8 Repaso 620 Capítulo 8 Examen 624

ENFOQUE SOBRE MODELADO La trayectoria de un proyectil 625

VECTORES EN DOS Y TRES DIMENSIONES

629

Resumen del capítulo 629 Vectores en dos dimensiones 630 El producto punto 639 Geometría de coordenadas en tres dimensiones 647 Vectores en tres dimensiones 653 El producto cruz 659 Ecuaciones de rectas y planos 666 Capítulo 9 Repaso 670 Capítulo 9 Examen 675 ENFOQUE SOBRE MODELADO Campos vectoriales 676 Examen acumulativo de repaso: capítulos 8 y 9 se encuentran disponibles en línea. Ingrese a www.cengage.com y busque el libro por el ISBN.

CAPÍTULO 10 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9

■

SISTEMAS DE ECUACIONES Y DESIGUALDADES

679

Resumen del capítulo 679 Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas 680 Sistemas de ecuaciones lineales con varias incógnitas 690 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 699 El álgebra de matrices 712 Inversas de matrices y ecuaciones matriciales 724 Determinantes y regla de Cramer 734 Fracciones parciales 745 Sistemas de ecuaciones no lineales 751 Sistemas de desigualdades 756 Capítulo 10 Repaso 766 Capítulo 10 Examen 773 ENFOQUE SOBRE MODELADO Programación lineal 775

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viii Contenido

CAPÍTULO 11 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6

■

SECCIONES CÓNICAS

781

Resumen del capítulo 781 Parábolas 782 Elipses 790 Hipérbolas 799 Cónicas desplazadas 807 Rotación de ejes 816 Ecuaciones polares de las cónicas 824 Capítulo 11 Repaso 831 Capítulo 11 Examen 835

ENFOQUE SOBRE MODELADO Cónicas en arquitectura 836 Examen acumulativo de repaso: capítulos 10 y 11 se encuentran disponibles en línea. Ingrese a www.cengage.com y busque el libro por el ISBN.

CAPÍTULO 12 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6

■

CAPÍTULO 13 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5

■

SUCESIONES Y SERIES

841

Resumen del capítulo 841 Sucesiones y notación de sumatoria 842 Sucesiones aritméticas 853 Sucesiones geométricas 858 Matemáticas de finanzas 867 Inducción matemática 873 El teorema del binomio 879 Capítulo 12 Repaso 887 Capítulo 12 Examen 892

ENFOQUE SOBRE MODELADO Modelado con sucesiones recursivas 893

LÍMITES: UNA MIRADA PREVIA AL CÁLCULO

897

Resumen del capítulo 897 Hallar límites numérica y gráficamente 898 Encontrar límites algebraicamente 906 Rectas tangentes y derivadas 914 Límites en el infinito; límites de sucesiones 924 Áreas 931 Capítulo 13 Repaso 940 Capítulo 13 Examen 943

ENFOQUE SOBRE MODELADO Interpretaciones del área 944 Examen acumulativo de repaso: capítulos 12 y 13 se encuentran disponibles en línea. Ingrese a www.cengage.com y busque el libro por el ISBN.

El siguiente material se encuentra disponible en línea. Ingrese a www.cengage.com y busque el libro por el ISBN.

APÉNDICE A Repaso de geometría APÉNDICE B Cálculos y cifras significativas APÉNDICE C Gráficas con una calculadora graficadora APÉNDICE D Uso de la calculadora graficadora TI-83/84 RESPUESTAS ÍNDICE © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Prohibida su venta o reproducción sin el consentimiento por escrito de la Editorial.

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PREFACIO ¿Qué necesitan saber realmente los estudiantes para estar preparados para el cálculo? ¿Qué herramientas necesitan verdaderamente los profesores para ayudar a sus alumnos a prepararse para el cálculo? Estas dos preguntas han motivado la escritura de este libro. Para estar preparado para el cálculo un estudiante necesita no sólo conocimientos técnicos, sino también una clara comprensión de conceptos. De hecho, la comprensión conceptual y los conocimientos técnicos van de la mano y se refuerzan entre sí. Un estudiante también necesita valorar el poder y la utilidad de las matemáticas para modelar el mundo real. Todos los temas de este libro de texto están destinados a promover dichos objetivos. Al escribir esta séptima edición, nuestro propósito es mejorar aún más la utilidad del libro como herramienta de enseñanza para profesores y como herramienta de aprendizaje para estudiantes. Hay varios cambios importantes en esta edición, que son resultado de las sugerencias que hemos recibido de profesores y estudiantes que han usado este texto; otros son resultado de las ideas que hemos adquirido a través de nuestra propia enseñanza. Algunos capítulos se han reorganizado y se han vuelto a escribir, se han agregado nuevas secciones (como se describe a continuación), el material de repaso al final de cada capítulo se ha ampliado sustancialmente, y los conjuntos de ejercicios se han mejorado para centrarse más en los conceptos principales del precálculo. En todos estos cambios y muchos otros (pequeños y grandes) hemos mantenido las principales características que han contribuido al éxito de este libro.

Lo nuevo en la séptima edición ■

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Más de 20% de los ejercicios son nuevos y ahora los grupos de estos tienen títulos que identifican el tipo de cada uno. Nuevos ejercicios de Habilidades plus en la mayoría de las secciones contienen actividades más desafiantes que requieren que los estudiantes amplíen y sinteticen conceptos. Material de repaso El material de repaso al final de cada capítulo incluye un resumen de Propiedades y fórmulas y una nueva Verificación de conceptos. Cada Verificación de conceptos proporciona un repaso paso a paso de los principales conceptos y aplicaciones del capítulo. Las respuestas a las preguntas de la Verificación de conceptos se encuentra disponible en línea. Ingrese a www.cengage.com y busque el libro por el ISBN. Proyectos de descubrimiento Las referencias de los Proyectos de descubrimiento, incluyendo breves descripciones del contenido de cada proyecto, se presentan en recuadros, en su caso, en cada capítulo. Estos recuadros resaltan las aplicaciones del precálculo en muchos contextos del mundo real. (Los proyectos se encuentran en el sitio web que acompaña el libro: www.stewartmath.com).* Repaso de geometría Un nuevo apéndice A contiene un repaso de los principales conceptos de la geometría utilizados en este libro, incluyendo la semejanza y el teorema de Pitágoras. CAPÍTULO 1 Fundamentos Este capítulo contiene ahora dos nuevas secciones. La sección 1.6, “Números complejos” (que antes estaba en el capítulo 3), y que ahora se ha movido aquí. Y la sección 1.12, “Modelos usando variaciones” está ahora también en este capítulo. CAPÍTULO 2 Funciones Este capítulo incluye la nueva sección 2.5, “Funciones lineales y modelos”. Esta sección resalta la conexión entre la pendiente de una recta y la rapidez de cambio de una función lineal. Estas dos interpretaciones de pendiente ayudan a preparar a los estudiantes para el concepto de derivada en cálculo. Ejercicios

* Este material se encuentra disponible en inglés.

ix © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Prohibida su venta o reproducción sin el consentimiento por escrito de la Editorial.

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x Prefacio ■

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CAPÍTULO 3 Funciones polinomiales y racionales Este capítulo ahora incluye la nueva sección 3.7, “Desigualdades polinomiales y racionales”. La sección 3.6, “Funciones racionales”, tiene una nueva subdivisión de funciones racionales con “agujeros”. Las secciones sobre números complejos y variación se han movido al capítulo 1. CAPÍTULO 4 Funciones exponenciales y logarítmicas El capítulo ahora incluye dos secciones sobre las aplicaciones de estas funciones. La sección 4.6, “Modelado con funciones exponenciales” se enfoca en modelizar el crecimiento y el decaimiento, la ley de enfriamiento de Newton y otras aplicaciones. La sección 4.7, “Escalas logarítmicas”, cubre el concepto de una escala logarítmica con aplicaciones de las escalas de pH, Richter y decibelios. CAPÍTULO 5 Funciones trigonométricas: método de la circunferencia unitaria Este capítulo incluye una nueva subsección que trata el concepto de corrimiento de fase que se usa al modelar el movimiento armónico. CAPÍTULO 10 Sistemas de ecuaciones y desigualdades El material en los sistemas de las desigualdades se ha vuelto a escribir para enfatizar los pasos utilizados en el trazo de la solución gráfica de un sistema de desigualdades.

Enseñanza con la ayuda de este libro Estamos profundamente conscientes de que la buena enseñanza se presenta en muchas formas, y que hay numerosos métodos diferentes para enseñar los conceptos y conocimientos de precálculo. La organización de los temas de este libro está diseñada para contener diferentes estilos de enseñanza. En particular, cada tema se presenta algebraicamente, gráficamente, numéricamente y verbalmente con énfasis en las relaciones entre estas representaciones diferentes. Las siguientes son algunas características especiales que se pueden utilizar para complementar los diferentes estilos de enseñanza y aprendizaje:

Conjuntos de ejercicios La forma más importante de fomentar la comprensión conceptual y perfeccionar los conocimientos técnicos es a través de los problemas que el profesor asigna. Con este ﬁn hemos incluido una amplia selección de ejercicios. ■

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Estos ejercicios le piden al estudiante que use lenguaje matemático para expresar datos fundamentales acerca de temas de cada sección. Ejercicios de habilidades Estos ejercicios refuerzan y proporcionan práctica con todos los objetivos de aprendizaje de cada sección. Comprenden el núcleo de cada conjunto de ejercicios. Ejercicios de habilidades plus Los ejercicios de Habilidades plus tienen problemas desafiantes que requieren a menudo de la síntesis de material previamente aprendido con los nuevos conceptos. Ejercicios de aplicación Hemos incluido problemas aplicados sustanciales de muchos contextos diferentes del mundo real. Creemos que estos ejercicios captarán el interés de los estudiantes. Aprendizaje por descubrimiento, redacción y grupo de aprendizaje Cada conjunto de ejercicios termina con un bloque de ejercicios llamado Descubrimiento ■ Discusión ■ Demostración ■ Redacción. Estos ejercicios están diseñados para estimular al estudiante a experimentar, de preferencia en grupos, con los conceptos desarrollados en la sección y luego redactar acerca de lo que ha aprendido, más que tan sólo ver la respuesta. Los nuevos ejercicios de Demostración destacan la importancia de deducir una fórmula. Ahora intente hacer el ejercicio Al final de cada ejemplo en el texto, el estudiante es dirigido a un ejercicio similar en la sección que ayuda a reforzar los conceptos y conocimientos desarrollados en ese ejemplo. Verifique su respuesta Los estudiantes son animados a comprobar si la respuesta obtenida es razonable. Esto se enfatiza en todo el texto en numerosas secciones de notas al margen llamadas Verifique su respuesta, que acompañan a los ejemplos. (Vea, por ejemplo, las páginas 54 y 71). Ejercicios de concepto

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Prefacio xi

Un capítulo completo de repaso Hemos incluido un extenso capítulo de repaso principalmente como referencia práctica para los conceptos básicos que son preliminares a este curso. ■

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CAPÍTULO 1 Fundamentos Este es el capítulo de repaso; contiene los conceptos fundamentales de álgebra y geometría analítica que un estudiante necesita para iniciar un curso de precálculo. Es necesario que se estudie en clase todo lo que se pueda, dependiendo de la experiencia de los estudiantes. EXAMEN DEL CAPÍTULO 1 El examen del capítulo 1 está diseñado como examen de diagnóstico para determinar qué partes de este capítulo de repaso tienen que enseñarse. También sirve para ayudar a los estudiantes a medir exactamente qué temas necesitan repasar.

Método flexible a la trigonometría Los capítulos de trigonometría de este texto se han escrito de modo que sirvan para enseñar en primer término ya sea el método del triángulo rectángulo o el de la circunferencia unitaria. Mencionar estos dos métodos en capítulos diferentes, cada uno con sus aplicaciones importantes, ayuda a aclarar el propósito de cada uno de estos métodos. Los capítulos que incluyen la trigonometría son los siguientes. ■

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Este capítulo introduce la trigonometría por el método de la circunferencia unitaria. Resalta el hecho de que las funciones trigonométricas son de números reales, igual que las funciones polinomiales y exponenciales con las que los estudiantes están más familiarizados. CAPÍTULO 6 Funciones trigonométricas: método del triángulo rectángulo Este capítulo introduce la trigonometría a través del método del triángulo rectángulo, que tiene como base un curso convencional en trigonometría de preparatoria. CAPÍTULO 5 Funciones trigonométricas: método de la circunferencia unitaria

Otra forma de enseñar trigonometría es entrelazar los dos métodos. Algunos profesores imparten este material en el siguiente orden: secciones 5.1, 5.2, 6.1, 6.2, 6.3, 5.3, 5.4, 5.5, 5.6, 6.4, 6.5 y 6.6. Nuestra organización facilita lo anterior sin ocultar el hecho de que ambos métodos contienen distintas representaciones de las mismas funciones.

Computadoras y calculadoras graficadoras Hacemos uso de computadoras y calculadoras graficadoras en ejemplos y ejercicios a lo largo de todo el libro. Nuestros ejemplos orientados a calculadoras siempre están precedidos a su vez por ejemplos donde los estudiantes deben graficar o calcular manualmente, por lo que se entiende con precisión lo que hará la calculadora cuando más adelante la usen para simplificar la rutina, parte mecánica de su trabajo. Las secciones, subsecciones, ejemplos y ejercicios referentes a calculadoras graficadoras, todos están indicados con el símbolo especial , son opcionales y se pueden omitir sin perder de continuidad. ■

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Uso de una calculadora graficadora En el sitio web que acompaña al libro, www.stewartmath.com* se encuentran las directrices generales sobre el uso de calculadoras gráficas y una guía de referencia rápida para el uso de la TI-83/84. Gráficas, regresión, álgebra de matrices Las funciones de la calculadora graficadora se usan en todo el texto para graficar y analizar funciones, familias de funciones y sucesiones; para calcular y graficar curvas de regresión; para realizar álgebra de matrices; para graficar desigualdades lineales y para otros poderosos usos. Programas sencillos Explotamos las funciones de programación de una calculadora graficadora para simular situaciones reales, para sumar series o para calcular los términos de una sucesión periódica (vea, por ejemplo, las páginas 628, 896 y 939).

Enfoque sobre modelado El tema de modelado se ha utilizado en todo el libro para uniﬁcar y aclarar las numerosas aplicaciones de precálculo. Hemos hecho un gran esfuerzo para aclarar los procesos esenciales de traducir problemas del español al lenguaje de matemáticas (vea las páginas 238 y 686). * Este material se encuentra disponible en inglés. © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Prohibida su venta o reproducción sin el consentimiento por escrito de la Editorial.

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xii Prefacio ■

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Hay numerosos problemas aplicados en todo el libro en donde al estudiante se le da un modelo a analizar (vea, por ejemplo, la página 250). Pero el material sobre modelos, en el que al estudiante se le pide construir modelos matemáticos, ha sido organizado en secciones y subsecciones claramente definidas (vea, por ejemplo, las páginas 370, 445 y 685). Enfoque sobre modelado Cada capítulo concluye con una sección de Enfoque sobre modelado. La primera de estas secciones, después del capítulo 1, introduce la idea básica del modelado de una situación real al ajustar rectas a los datos (regresión lineal). Otras secciones presentan formas en las que se usan los sistemas de desigualdades y funciones con polinomios, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas para modelar fenómenos conocidos de ciencias y de la vida real (vea, por ejemplo, las páginas 325, 392 y 466). Construcción de modelos

Secciones de repaso y exámenes de capítulo Cada capítulo termina con una extensa sección de repaso que incluye lo siguiente. ■

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Propiedades y fórmulas Las Propiedades y fórmulas al final de cada capítulo contienen un resumen de las principales fórmulas y procedimientos del capítulo (vea, por ejemplo, las páginas 386 y 460). Verificación de conceptos y respuestas de la verificación de conceptos La Verificación de conceptos al final de cada capítulo está diseñada para que los estudiantes piensen y expliquen con sus propias palabras las ideas presentadas en el capítulo y para que después apliquen el concepto en un problema dado. Esto proporciona una revisión paso a paso de todos los conceptos principales de un capítulo (vea, por ejemplo, las páginas 230, 319 y 769). Las respuestas a las preguntas de Verificación de conceptos están en hojas desprendibles en la parte posterior del libro. Ejercicios de repaso Los Ejercicios de repaso, al final de cada capítulo, recapitulan los conceptos y conocimientos básicos e incluyen ejercicios que combinan las diferentes ideas aprendidas en el capítulo. Examen de capítulo Las secciones de repaso concluyen con un Examen de capítulo diseñado para ayudar a los estudiantes a medir su avance. Exámenes acumulativos de repaso Los Exámenes acumulativos de repaso, que siguen a los capítulos seleccionados, están disponibles en el sitio web del libro. Estos exámenes contienen problemas que combinan conocimientos y conceptos de los capítulos precedentes. Los problemas están diseñados para destacar las conexiones entre los temas de estos capítulos relacionados. Respuestas Al final de este libro se dan breves respuestas a los ejercicios de número impar en cada sección (incluyendo los ejercicios de repaso), y a todas las preguntas de los Ejercicios de conceptos y Exámenes de capítulo.

Viñetas matemáticas En todo el libro hacemos uso de los márgenes para presentar notas históricas, ideas importantes o aplicaciones de las matemáticas en el mundo moderno. Estas sirven para dinamizar el material y demostrar que las matemáticas son una actividad importante y vital, y que incluso a este nivel elemental son fundamentales para la vida diaria. ■

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Estas viñetas incluyen biografías de interesantes matemáticos y con frecuencia incluyen alguna clave importante que hayan descubierto (vea, por ejemplo, las viñetas de Viète, página 50; Salt Lake City, página 93; y datación con radiocarbono, página 367). Las matemáticas en el mundo moderno Esta es una serie de viñetas que destaca el papel central de las matemáticas en los actuales avances en tecnología y en las ciencias (vea, por ejemplo, las páginas 302, 753 y 784). Viñetas matemáticas

Sitio web del libro El sitio web del libro se puede ver en www.stewartmath.com.* El sitio incluye numerosas fuentes útiles para enseñar precálculo, incluyendo lo siguiente. * Este material se encuentra disponible en inglés. © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Prohibida su venta o reproducción sin el consentimiento por escrito de la Editorial.

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Prefacio xiii ■

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Proyectos de descubrimiento Los Proyectos de descubrimiento para cada capítulo se encuentran en el sitio web.* Cada proyecto contiene un conjunto de actividades desafiantes pero accesibles que hace posible que los estudiantes (quizá trabajando en grupos) exploren con mayor profundidad un interesante aspecto del tema que acaban de aprender. (Vea, por ejemplo, los proyectos de descubrimiento Visualización de una fórmula, Relaciones y funciones, ¿Sobrevivirá la especie? y Gráficas por computadora I y II, referenciadas en las páginas 29, 163, 719, 738 y 820). Enfoque en la solución de problemas En el sitio web* se encuentran varias secciones de Enfoque en la solución de problemas, cada una de las cuales destaca uno de los principios para resolver problemas que se introduce en el prólogo e incluye varios problemas con grado de dificultad. (Vea, por ejemplo, Reconocer patrones, Uso de analogías, Introducir algo extra, Tomar casos y Trabajar a la inversa). Exámenes acumulativos de repaso Los Exámenes acumulativos de repaso, que siguen a los capítulos 4, 7, 9, 11 y 13 están disponibles en el sitio web.* Apéndice B: Cálculos y cifras significativas Este apéndice, disponible en el sitio web* del libro, contiene directrices de redondeo cuando se trabaja con valores aproximados. Apéndice C: Gráficas con una calculadora graficadora Este apéndice, disponible en el sitio web* del libro, incluye las directrices generales para graficar con una calculadora graficadora, así como las pautas sobre cómo evitar errores comunes en las gráficas. Apéndice D: Uso de la calculadora graficadora TI-83/84 En este apéndice, disponible en el sitio web* del libro, ofrecemos instrucciones simples, fáciles de seguir paso a paso para usar las calculadoras graficadoras TI-83/84.

Reconocimientos Nos sentimos afortunados de que todos los involucrados en la producción de este libro hayan trabajado con excepcional energía, intensa dedicación y entusiasmo. Es sorprendente cuántas personas son esenciales en la producción de un libro de texto de matemáticas incluyendo editores de contenidos, revisores, colegas de la facultad, editores de producción, editores de texto, editores de permisos, revisores de soluciones y de precisión, artistas, investigadores de imágenes, diseñadores de texto, tipógrafos, cajistas, correctores, impresores y muchos más. Agradecemos a todos ellos. Mencionamos especialmente a las siguientes personas. Revisores para la sexta edición Raji Baradwaj, UMBC; Chris Herman, Lorain County Community College; Irina Kloumova, Sacramento City College; Jim McCleery, Skagit Valley College, Whidbey Island Campus; Sally S. Shao, Cleveland State University; David Slutzky, Gainesville State College; Edward Stumpf, Central Carolina Community College; Ricardo Teixeira, University of Texas en Austin; Taixi Xu, Southern Polytechnic State University; y Anna Wlodarczyk, Florida International University. Revisores para la séptima edición Mary Ann Teel, University of North Texas; Natalia Kravtsova, The Ohio State University; Belle Sigal, Wake Technical Community College; Charity S. Turner, The Ohio State University; Yu-ing Hargett, Jefferson State Community College–Alabama; Alicia Serfaty de Markus, Miami Dade College; Cathleen Zucco-Teveloff, Rider University; Minal Vora, East Georgia State College; Sutandra Sarkar, Georgia State University; Jennifer Denson, Hillsborough Community College; Candice L. Ridlon, University of Maryland Eastern Shore; Alin Stancu, Columbus State University; Frances Tishkevich, Massachusetts Maritime Academy; Phil Veer, Johnson County Community College; Cathleen Zucco-Teveloff, Rider University; Phillip Miller, Indiana University–Southeast; Mildred Vernia, Indiana University–Southeast; Thurai Kugan, John Jay College-CUNY. Agradecemos a nuestros colegas que continuamente comparten con nosotros sus ideas acerca de la enseñanza de las matemáticas. Agradecemos especialmente a Robert Mena de la California State University, Long Beach; nos hemos beneficiado de su gran conocimiento sobre las matemáticas y su historia. Damos las gracias a Cecilia McVoy de la Penn State Abington por sus sugerencias. Agradecemos a Andrew Bulman-Fleming por escribir el Manual de soluciones y a Doug Shaw de la University of Northern * El sitio web del libro es www.stewartmath.com. (Este material se encuentra disponible en inglés.) © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Prohibida su venta o reproducción sin el consentimiento por escrito de la Editorial.

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xiv Prefacio Iowa por escribir la Guía del profesor y la Guía de estudio. Estamos muy agradecidos con Frances Gulick de la University of Maryland por comprobar la precisión del manuscrito entero y realizar cada ejercicio; sus muchas sugerencias y correcciones han contribuido grandemente a la exactitud y consistencia de los contenidos de este libro. Agradecemos a Martha Emry, nuestra editora de arte y servicio de producción; su energía, dedicación y experiencia han sido componentes esenciales en la creación de este libro. Estamos muy agradecidos por su notable capacidad para recordar al instante, cuando se requirió, cualquier detalle de todo el manuscrito, así como su extraordinaria capacidad para manejar simultáneamente varias líneas de edición interdependientes. Agradecemos a Barbara Willette, nuestra editora de texto, por su atención a cada detalle en el manuscrito y para garantizar un estilo coherente y apropiado a través del libro. Agradecemos a nuestra diseñadora, Diane Beasley, por el diseño elegante y adecuado de las páginas interiores del libro. Agradecemos a Graphic World por sus gráficos atractivos y precisos y a Precision Graphics por hacer realidad muchas de nuestras ilustraciones. Agradecemos a nuestros diagramadores de Graphic World por garantizar un aspecto equilibrado y coherente de cada página del libro. En Cengage Learning agradecemos a Jennifer Risden, gerente de contenido del proyecto, por su gestión profesional de la producción del libro. Damos las gracias a Lynh Pham, editora de medios, por su manejo experto de muchos problemas técnicos, incluyendo la creación del sitio web del libro. Agradecemos a Vernon Boes, director de arte, por su atinada administración en el diseño del libro. Damos las gracias a Mark Linton, gerente de mercadotecnia por apoyo en dar a conocer el libro a aquellos que podrán utilizarlo en sus clases. Agradecemos especialmente a nuestra editora de desarrollo, Stacy Green, por guiar hábilmente y facilitar todos los aspectos de la creación de este texto. Su interés en la obra, su familiaridad con el manuscrito entero y sus casi inmediatas respuestas a nuestras muchas consultas han hecho de su escritura una experiencia aún más agradable para nosotros. Sobre todo, agradecemos a nuestro editor de adquisiciones, Gary Whalen. Su vasta experiencia editorial, su amplio conocimiento de temas actuales en la enseñanza de las matemáticas, su habilidad en el manejo de los recursos, necesaria para mejorar este libro, y su profundo interés en los libros de texto de matemáticas han sido invaluables en la creación de esta obra.

Material didáctico auxiliar Recursos para el profesor* Sitio web del profesor* ¡Todo lo que necesita para su curso en un solo lugar! Esta colección de libros de lectura y herramientas específicas para la clase está disponible en línea en www.cengage.com/ login. Ingrese y descargue presentaciones en PowerPoint, imágenes, el manual del profesor y más. Manual de soluciones completo* El manual de soluciones completo ofrece soluciones desarrolladas a todos los problemas que aparecen en el texto. Situado en el sitio web. Banco de exámenes* El banco de exámenes proporciona exámenes de capítulo final junto con las claves de las respuestas. Se encuentra en el sitio web. Guía del profesor* La Guía del profesor contiene puntos importantes, sugiere el tiempo de dedicación, temas de análisis del texto, materiales importantes de clase, sugerencias para taller y análisis, ejercicios de trabajo en grupo, en un formato adecuado para su impresión, y sugerencias de problemas de tarea. Se encuentra en el sitio web. * Este material se encuentra disponible en inglés. © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Prohibida su venta o reproducción sin el consentimiento por escrito de la Editorial.

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Prefacio xv

Planes de clase* Los planes de clase ofrecen sugerencias de actividades y clases con notas de asignación de tiempo para garantizar la eficiencia y la puntualidad en la clase. Se encuentra en el sitio web. Cengage Learning Testing Powered by Cognero* (ISBN-10: 1-305-25853-3; ISBN-13: 978-1-305-25853-2) CLT es un sistema en línea flexible que le permite a usted escribir, editar y manejar el contenido del banco de exámenes; crear distintas versiones de examen en un instante y ofrecer exámenes en su LMS, su salón de clases o donde lo desee. Está disponible en línea a través de www.cengage.com/login. Enhanced WebAssign* (Tarea web mejorada) Printed Access Card: 978-1-285-85833-3 Instant Access Code: 978-1-285-85831-9 La Enhanced WebAssign (Tarea web mejorada) combina la excepcional matemática contenida con la solución de tareas de más de grande alcance en línea, WebAssign®. Enhanced WebAssign involucra a los estudiantes con realimentación inmediata, contenido tutorial y un eBook interactivo, totalmente personalizable, Cengage YouBook, para ayudar a los estudiantes a desarrollar una comprensión conceptual más profunda de su materia.

Recursos para el estudiante* Student Solutions Manual* (Manual de soluciones para el estudiante) (ISBN-10: 1-305-25361-2; ISBN-13: 978-1-305-25361-2) Contiene soluciones completamente resueltas para todos los ejercicios de número impar del texto, lo que da a los estudiantes una forma de verificar sus respuestas y cerciorarse de que siguieron los pasos correctos para llegar a la respuesta. Study Guide* (Guía de estudio) (ISBN-10: 1-305-25363-9; ISBN-13: 978-1-305-25363-6) La Guía de estudio refuerza el entendimiento del estudiante con explicaciones detalladas, ejemplos desarrollados y problemas de la práctica. También enumera ideas clave para el dominio y la construcción de habilidades para la solución de problemas. Hay una sección en la Guía de estudio, correspondiente a cada sección en el texto. Note-Taking Guide* (Guía para tomar notas) (ISBN-10: 1-305-25383-3; ISBN-13: 978-1-305-25383-4) La guía para tomar notas es una ayuda de estudio innovador que apoya a los estudiantes para desarrollar un resumen de conceptos clave sección por sección. Text-Specific DVDs* (ISBN-10: 1-305-25400-7; ISBN-13: 978-1-305-25400-8) Los Text-Specific DVDs incluyen nuevos videos de exposición en clase basados en objetivos de aprendizaje. Estos DVD dan una cobertura completa del curso, junto con explicaciones adicionales de conceptos, problemas de muestra y aplicaciones que ayudan a los estudiantes a repasar temas esenciales. CengageBrain.com* Por favor visite www.cengagebrain.com para tener acceso a materiales adicionales para el curso. En la página inicial de CengageBrain.com, ingrese el ISBN de su título mediante la caja de búsqueda en el área superior de la página (el ISBN lo puede consultar en la tapa posterior de su libro o en la página legal) mediante la caja de búsqueda en el área superior de la página. Esto lo llevará a la página del producto en donde puede encontrar estos recursos. Enhanced WebAssign* Printed Access Card: 978-1-285-85833-3 Instant Access Code: 978-1-285-85831-9 La Enhanced WebAssign combina el contenido matemático excepcional con el más poderoso solucionador de tareas en línea, WebAssign. Enhanced WebAssign atrae a los estudiantes con realimentación inmediata, contenido tutorial y un eBook interactivo, totalmente personalizable, Cengage YouBook, que ayuda a los estudiantes a desarrollar una comprensión conceptual más profunda de la materia. * Este material se encuentra disponible en inglés. © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Prohibida su venta o reproducción sin el consentimiento por escrito de la Editorial.

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AL ESTUDIANTE Este libro de texto ha sido escrito como una guía para que domine las matemáticas del precálculo. Veamos a continuación algunas sugerencias para ayudarle a sacar el máximo provecho de su curso. Antes que nada, debe leer la sección de texto correspondiente antes de intentar resolver sus problemas de tarea. Leer un texto de matemáticas es muy diferente de leer una novela, un periódico o cualquier libro. Quizá tenga que leer un pasaje varias veces antes de comprenderlo. Dedique especial atención a los ejemplos y resuélvalos a mano a medida que los vaya leyendo; a continuación, haga los ejercicios relacionados que se mencionan en “Ahora intente realizar el ejercicio…” al final de cada ejemplo. Con esta clase de preparación usted podrá hacer su tarea con mucha más rapidez y mayor entendimiento. No cometa el error de tratar de memorizar cada una de las reglas o dato que encuentre. Las matemáticas no son simplemente memorización: son el arte de resolver problemas, no sólo un conjunto de datos. Para dominar el tema, usted debe resolver problemas, muchos problemas. Asegúrese de escribir sus soluciones en una forma lógica, paso a paso. No se rinda ante un problema si no puede resolverlo de inmediato. Trate de entenderlo con claridad, vuelva a leerlo por completo y relaciónelo con lo que ya haya aprendido de su profesor y de los ejemplos del libro. Luche con el problema hasta resolverlo; una vez que haya hecho esto unas cuantas veces, empezará a entender de lo que se tratan en realidad las matemáticas. Las respuestas a los ejercicios con numeración impar, así como todas las respuestas al examen de cada capítulo, aparecen al final del libro. Si su respuesta difiere de la dada, no suponga de inmediato que usted está en error. Puede tratarse de un cálculo que conecta las dos respuestas y ambas serán correctas. Por ejemplo, si usted obtiene 1/( 2 2 1) pero la respuesta dada es 1 1 2, la respuesta de usted es correcta porque puede multiplicar el numerador y el denominador de su respuesta por 2 1 1 para cambiarla a la respuesta dada. Al redondear respuestas aproximadas siga las guías del apéndice: Cálculos y cifras significativas. El icono se usa para prevenir que cometa un error. Hemos insertado este icono al margen para indicar situaciones donde hemos encontrado que muchos de nuestros estudiantes cometen el mismo error.

Abreviaturas En el libro se usan las siguientes abreviaturas. cm dB F ft g gal h H Hz in. J kcal kg km

centímetro decibel farad pie gramo galón hora henry hertz pulgada joule kilocaloría kilogramo kilómetro

kPa L lb lm M

m mg MHz mi min mL mm

kilopascal litro libra lumen mol de soluto por litro de solución metro miligramo megahertz milla minuto mililitro milímetro

N qt oz s V V W yd yr °C °F K ¡

Newton cuarto onza segundo ohm volt watt yarda año grados Celsius grados Fahrenheit Kelvin implica es equivalente a

xvi © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Prohibida su venta o reproducción sin el consentimiento por escrito de la Editorial.

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PRÓLOGO

Contenido

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PRINCIPIOS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS La capacidad para resolver problemas es una habilidad muy apreciada en muchos aspectos de la vida; sin duda es una parte importante de cualquier curso de matemáticas. No existen reglas duras y rápidas que garanticen el éxito en la solución de problemas. Sin embargo, en este prólogo delineamos algunos pasos generales en el proceso de resolución de problemas y se dan principios útiles para resolver ciertos tipos de problemas. Estos pasos y principios son únicamente sentido común explicitado, y se han adaptado del interesante libro de George Polya, How To Solve It.

1. Entender el problema

GEORGE POLYA (1887-1985) es famoso entre los matemáticos por sus ideas sobre resolución de problemas. Sus conferencias sobre este tema en la Universidad de Stanford atraían a multitudes a las cuales llevaba al borde de sus asientos, conduciéndolos a descubrir las soluciones por sí mismos. Era capaz de hacer esto debido a su profundo conocimiento de la psicología de la resolución de problemas. Su conocido libro How To Solve It ha sido traducido a 15 idiomas. Polya afirmaba que Euler (vea la página 63) fue el único grande entre los matemáticos debido a que explicó cómo encontraba sus resultados. A menudo, Polya les decía a sus alumnos y colegas: “Sí, veo que la demostración es correcta, pero ¿cómo lo descubrió?”. En el prefacio de How To Solve It señala: “Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero es un grano de descubrimiento en la solución de cualquier problema. Su problema puede ser modesto, pero si desafía su curiosidad y pone en juego sus facultades inventivas, y si lo resuelve por sus propios medios, puede experimentar la tensión y disfrutar el triunfo del descubrimiento”.

El primer paso es leer el problema y asegurarse de que lo entiende. Hágase las siguientes preguntas: ¿Qué es lo que se desconoce? ¿Cuáles son las cantidades que se señalan? ¿Cuáles son las condiciones dadas? En muchos problemas es útil dibujar un diagrama e identificar las cantidades que se requieren en el diagrama. Por lo general, es necesario introducir notación adecuada En la elección de los símbolos para las cantidades desconocidas, a menudo usamos letras como a, b, c, m, n, x y y, aunque en algunos casos ayuda utilizar las iniciales como símbolos sugerentes, por ejemplo, V para el volumen o t para el tiempo.

2. Pensar en un plan Encuentre una conexión entre la información dada y aquella que se desconoce que le permita calcular la incógnita. A menudo es útil preguntarse a sí mismo de forma explícita: “¿Cómo puedo relacionar lo conocido con lo desconocido?”. Si no puede ver una conexión inmediata, las siguientes ideas pueden ser útiles en la elaboración de un plan. ■ Tratar de reconocer algo familiar

Relacione la situación dada con sus conocimientos previos. Observe la incógnita y trate de recordar un problema que le sea más familiar y tenga una incógnita similar. ■ Tratar de reconocer patrones

Ciertos problemas se resuelven mediante el reconocimiento de algún tipo de patrón que está ocurriendo. El patrón puede ser geométrico, numérico o algebraico. Si usted puede ver la regularidad o la repetición en un problema, entonces será capaz de adivinar cuál es el patrón y luego probarlo. ■ Usar analogías

Trate de pensar en un problema análogo, es decir, un problema similar o relacionado, pero que sea más fácil que el original. Si puede resolver el problema similar, más simple, esto entonces le puede dar las pistas que necesita para resolver el original, más difícil. Por ejemplo, si un problema implica un número muy grande, usted puede primero intentar resolver un problema similar con un número menor. O, si el problema está en la geometría tridimensional, podría buscar algo similar en la geometría de dos dimensiones. O, si el problema inicial es de carácter general, podría tratar primero un caso especial. xvii © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Prohibida su venta o reproducción sin el consentimiento por escrito de la Editorial.

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xviii Prólogo ■ Introducir algo adicional

A veces podría ser necesario introducir algo nuevo, una ayuda extra, para hacer la conexión entre lo conocido y lo desconocido. Por ejemplo, en un problema para el cual es útil un diagrama la ayuda podría ser dibujar una línea nueva en el diagrama. En un problema más algebraico la ayuda podría ser una nueva incógnita que se relacione con la incógnita original. ■ Tomar casos

A veces puede dividir un problema en varios casos y dar un argumento diferente para cada uno. Por ejemplo, a menudo tenemos que utilizar esta estrategia para hacer frente a un valor absoluto. ■ Trabajar hacia atrás

A veces es útil imaginar que su problema está resuelto y trabajar hacia atrás, paso a paso, hasta llegar a los datos proporcionados. Entonces usted podría ser capaz de revertir sus pasos y así construir una solución al problema original. Este procedimiento se utiliza comúnmente en la resolución de ecuaciones. Por ejemplo, en la solución de la ecuación 3x 2 5 5 7, suponga que x es un número que satisface 3x 2 5 5 7 y trabaje hacia atrás. Sume 5 a cada lado de la ecuación y luego divida ambos lados entre 3 para obtener x 5 4. Puesto que cada uno de estos pasos se puede revertir, hemos resuelto el problema. ■ Establecer metas secundarias

En un problema complejo a menudo es útil establecer objetivos parciales (en los que la situación deseada se cumple sólo en parte). Si usted puede lograr o alcanzar estos objetivos parciales, entonces usted podría ser capaz de construir sobre ellos para alcanzar su meta final. ■ Razonamiento indirecto

A veces es apropiado para atacar un problema indirectamente. En el uso de la prueba por contradicción para probar que P implica Q se supone que P es cierta y Q es falsa, y se trata de ver por qué esto no puede suceder. De alguna manera debemos utilizar esta información y llegar a una contradicción a aquello que sabemos que es verdad absoluta. ■ Inducción matemática

Para probar los enunciados que implican un entero positivo n, a menudo es útil utilizar el principio de inducción matemática, que se analiza en la sección 12.5.

3. Ejecutar el plan En el paso 2 se ideó un plan. Para ejecutarlo se debe comprobar cada etapa del plan y escribir los detalles que demuestran que cada una es la correcta.

4. Ver hacia atrás Después de haber completado la solución, es conveniente mirar hacia atrás sobre la misma, en parte para ver si se han cometido errores y en parte para ver si se puede descubrir una manera más fácil de resolver el problema. Mirar hacia atrás también le ayudará a familiarizarse con el método de solución, que puede ser útil para resolver un problema en el futuro. Descartes dijo: “Cada problema que resolví se convirtió en una regla que sirvió después para resolver otros problemas”. Ilustraremos algunos de estos principios de resolución de problemas con un ejemplo.

PROBLEMA

■

Rapidez promedio

Una automovilista se embarca en un viaje. Durante la primera mitad del recorrido, ella conduce al ritmo pausado de 30 mi/h, durante la segunda mitad conduce a 60 mi/h. ¿Cuál es su rapidez promedio en este viaje © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Prohibida su venta o reproducción sin el consentimiento por escrito de la Editorial.

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Prólogo xix

PENSAR EN EL PROBLEMA Es tentador tomar el promedio de las rapideces y decir que la rapidez promedio de todo el viaje es 30 1 60 5 45 mi/h 2 Intente un caso especial. ▶

Sin embargo, ¿este método simple es realmente correcto? Veamos un caso especial fácil de calcular. Supongamos que la distancia total recorrida es de 120 millas. Las primeras 60 se recorren a 30 mi/h, lo que tarda 2 horas. Durante las siguientes 60 millas se viaja a 60 mi/h, lo que dura una hora. Por tanto, el tiempo total es 2 1 1 5 3 horas y la rapidez promedio es 120 5 40 mi/h 3 Por tanto, nuestra estimación de 45 mi/h estaba equivocada. SOLUCIÓN

Entender el problema. ▶

Introducir una notación. ▶ Identificar la información dada. ▶

Tenemos que ver con más cuidado en el significado de la rapidez promedio. Se define como distancia recorrida rapidez promedio 5 tiempo transcurrido Sea d la distancia recorrida en cada mitad del viaje. Sean t1 y t2 los tiempos para la primera y la segunda mitad del viaje. Ahora podemos escribir la información que se nos ha dado. Para la primera mitad del viaje tenemos 30 5

d t1

60 5

d t2

y para la segunda mitad tenemos

Identificar la incógnita. ▶

Ahora podemos identificar la cantidad que se nos pide encontrar: rapidez promedio del viaje completo 5

Relacionar la información proporcionada con la incógnita. ▶

distancia total 2d 5 tiempo total t1 1 t2

Para calcular esta cantidad necesitamos conocer t1 y t2, así que resolvemos las ecuaciones anteriores para estos tiempos: t1 5

d 30

t2 5

d 60

Ahora tenemos los ingredientes necesarios para calcular la cantidad deseada: rapidez promedio 5

2d 2d 5 d d t1 1 t2 1 30 60 60(2d) d d 1 b 60 a 30 60

Multiplique el numerador y el denominador por 60

120d 120d 5 5 40 2d 1 d 3d

■

Por tanto, la rapidez promedio del viaje completo es 40 mi/h. © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Prohibida su venta o reproducción sin el consentimiento por escrito de la Editorial.

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xx Prólogo

PROBLEMAS 1. Distancia, tiempo y velocidad Un automóvil viejo tiene que recorrer un camino de 2 millas cuesta arriba y cuesta abajo. Debido a que es tan viejo, el automóvil puede subir la primera milla no más rápido que la rapidez media de 15 km/h. ¿Qué tan rápido tiene que viajar el automóvil la segunda milla —en el descenso puede ir más rápido, por supuesto— para lograr una rapidez media de 30 km/h para el viaje? © Bettmann/Corbis

2. Comparando descuentos ¿Qué precio es mejor para el comprador, un descuento de 40% o dos descuentos sucesivos de 20%?

3. Cortar un alambre Se dobla un alambre, como se muestra en la figura. Se puede ver

No se sienta mal si usted no puede resolver estos problemas de inmediato. Los problemas 1 y 4 fueron enviados a Albert Einstein por su amigo Wertheimer. Einstein (y su amigo Bucky) disfrutaba de los problemas y le escribió a Wertheimer. Esta es parte de su respuesta: Su carta nos dio un montón de pruebas divertidas. La primera prueba de inteligencia nos ha engañado a ambos (a Bucky y a mí). ¡Sólo viéndolo desde fuera me di cuenta de que no se dispone de tiempo para la trayectoria descendente! Bucky también fue engañado en el segundo ejemplo, pero yo no. ¡Curiosidades como esta nos muestran lo tontos que somos! (Vea Mathematical Intelligencer, primavera, 1990, página 41.)

que un corte a través del mismo resulta en cuatro piezas y dos cortes paralelos producen siete piezas. ¿Cuántas piezas se produjeron luego de 142 cortes paralelos? Escriba una fórmula para el número de piezas producidas por n cortes paralelos.

4. Propagación de amibas Una amiba se propaga por división simple y cada división toma 3 minutos para completarse. Cuando esa amiba se pone en un recipiente de vidrio con un fluido nutriente en una hora el recipiente ya está lleno de amibas. ¿Cuánto tiempo haría falta para que el contenedor se llenara si en lugar de comenzar con una amiba comenzáramos con dos?

5. Promedios de bateo El jugador A tiene un promedio de bateo más alto que el jugador B para la primera mitad de la temporada de béisbol. El jugador A también tiene un promedio de bateo más alto que el jugador B para la segunda mitad de la temporada. ¿Es necesariamente cierto que el jugador A tiene un promedio de bateo más alto que el jugador B para toda la temporada?

6. Café y crema Se toma una cucharada de crema de una jarra de crema y se vierte en una taza de café. El café se agita. Luego se sirve en la jarra de crema una cucharada de esta mezcla. Ahora ¿hay más crema en la taza de café o más café en la jarra de crema?

7. Envolviendo el mundo Se ata fuertemente una cinta sobre el ecuador de la Tierra. ¿Cuánta más cinta necesitará si se coloca la cinta 1 pie por encima del ecuador en todas partes? (No es necesario conocer el radio de la Tierra para resolver este problema.)

8. Para terminar donde empezó Una mujer parte de un punto P sobre la superficie de la Tierra y camina 1 milla al sur, luego 1 milla al este y luego 1 milla al norte, y se encuentra de vuelta en P, el punto de partida. Describa todos los puntos P para los cuales esto es posible. [Sugerencia: hay un número infinito de esos puntos, de los cuales todos menos uno se encuentran en la Antártida.]

Muchos más problemas y ejemplos que ponen de manifiesto diferentes principios de resolución de problemas están disponibles en el sitio web del libro: www.stewartmath.com.* Usted puede intentarlos conforme avanza en el libro.

* Este material se encuentra disponible en inglés. © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Prohibida su venta o reproducción sin el consentimiento por escrito de la Editorial.

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SECCIÓN 1.1

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Números reales 1

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

Números reales Exponentes y radicales Expresiones algebraicas Expresiones racionales Ecuaciones Números complejos Modelado con ecuaciones Desigualdades El plano coordenado; gráficas de ecuaciones; circunferencias 1.10 Rectas 1.11 Solución gráfica de ecuaciones y desigualdades 1.12 Modelos usando variaciones

Fundamentos En este primer capítulo repasaremos los números reales, las ecuaciones y el plano coordenado. Es probable que el lector ya se encuentre familiarizado con estos conceptos, pero es útil ver de nuevo cómo funcionan estas ideas para resolver problemas y modelar (o describir) situaciones prácticas. En el Enfoque sobre modelado, al final del capítulo, aprenderemos cómo hallar tendencias lineales en los datos y cómo utilizarlas para hacer predicciones sobre el futuro.

ENFOQUE SOBRE MODELADO Ajuste lineal de datos

1 © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Prohibida su venta o reproducción sin el consentimiento por escrito de la Editorial.

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CAPÍTULO 1

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Fundamentos

1.1 NÚMEROS REALES ■ Números reales ■ Propiedades de los números reales ■ Adición y sustracción ■ Multiplicación y división ■ La recta de números reales ■ Conjuntos e intervalos ■ Valor absoluto y distancia

Contar

En el mundo real usamos números para medir y comparar diferentes cantidades. Por ejemplo, medimos temperatura, longitud, altura, peso, presión, distancia, velocidad, aceleración, energía, fuerza, ángulos, edad, costos, etcétera. La figura 1 ilustra algunas situaciones en las que se utilizan números. Los números también nos permiten expresar relaciones entre cantidades diferentes, por ejemplo, las relaciones entre el radio y el volumen de una pelota, entre las millas conducidas y la gasolina utilizada, o entre el nivel educativo y el salario inicial.

Longitud

Peso

Rapidez

FIGURA 1 Medidas con números reales

■ Números reales Repasemos los tipos de números que conforman el sistema de números reales. Empecemos con los números naturales: 1, 2, 3, 4, . . . Los diferentes tipos de números reales se inventaron para satisfacer necesidades específicas. Por ejemplo, los números naturales son necesarios para contar, los números negativos para describir deudas o temperaturas bajo cero, los números racionales para expresar conceptos como “medio galón de leche” y los números irracionales se usan para medir ciertas distancias como la diagonal de un cuadrado. Números racionales –21 , -–37 , 46, 0.17, 0.6, 0.317 Enteros

Números naturales . . . , <3, <2, <1, 0, 1, 2, 3, . . .

Números irracionales 3

3 œ3 , œ5 , œ2 , π , — 2 π

FIGURA 2 El sistema de números reales

Los enteros constan de los números naturales junto con sus negativos y el 0: . . . , 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3, 4, . . . . . . , 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3, 4, . . . Construimos los números racionales al tomar cocientes de enteros. Entonces, cualquier número racional r se puede expresar como m r n donde m y n son enteros y n ? 0. Como ejemplos tenemos 1 2

237

46 5 461

17 0.17 5 100

(Recuerde que una división entre 0 siempre se excluye, de modo que expresiones como 3 0 0 y 0 no están definidas.) También hay números reales, tales como 2, que no se pueden expresar como un cociente de enteros y, por tanto, se denominan números irracionales. Se puede demostrar, con diferentes grados de dificultad, que estos números también son irracionales: 3 3 2 p 3 5 p2 Por lo general el conjunto de todos los números reales se denota con el símbolo R. Cuando se usa la palabra número sin más detalle, queremos decir “número real”. La figura 2 es un diagrama de los tipos de números reales con los que trabajamos en este libro. Todo número real tiene una representación decimal. Si el número es racional, entonces su correspondiente decimal es periódico. Por ejemplo, 1 2 157 495

0.5000. . . 5 0.50

2 3

5 0.66666. . . 5 0.6

0.3171717. . . 5 0.317

9 7

5 1.285714285714. . . 5 1.285714

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SECCIÓN 1.1 Un número decimal periódico como x 5 3.5474747. . . es un número racional. Para convertirlo a un cociente de dos enteros, escribimos 1000x 5 3547.47474747. . . 10x 5 35.47474747. . . 990x 5 3512.0 Por tanto, x 5 3512 990 . (La idea es multiplicar x por las potencias apropiadas de 10 y luego restar para eliminar la parte periódica.)

■

Números reales 3

(La barra indica que la sucesión de dígitos se repite por siempre.) Si el número es irracional la representación decimal no es periódica: 2 5 1.414213562373095. . . p 5 3.141592653589793. . . Si detenemos la expansión decimal de cualquier número en cierto lugar obtenemos una aproximación al número. Por ejemplo, podemos escribir p < 3.14159265 donde el símbolo < se lee “es aproximadamente igual a”. Cuantos más lugares decimales retengamos, mejor es nuestra aproximación.

■ Propiedades de los números reales Todos sabemos que 2 1 3 5 3 1 2, y 5 1 7 5 7 1 5, y 513 1 87 5 87 1 513, etc. En álgebra expresamos todos estos hechos (un infinito de ellos) si escribimos a1b5b1a donde a y b son dos números cualesquiera. En otras palabras, “a 1 b 5 b 1 a” es una forma concisa de decir que “cuando sumamos dos números, el orden de adición no importa”. Este hecho se conoce como Propiedad conmutativa de la adición. De nuestra experiencia con números sabemos que las siguientes propiedades también son válidas.

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES Propiedades

Ejemplo

Descripción

Propiedades conmutativas a1b5b1a

7135317

Cuando sumamos dos números, el orden no importa.

ab 5 ba

3 ? 5 5 5#3

Cuando multiplicamos dos números, el orden no importa.

Propiedades asociativas (a 1 b) 1 c 5 a 1 (b 1 c)

(2 1 4) 1 7 5 2 1 (4 1 7)

Cuando sumamos tres números, no importa cuáles dos de estos sumamos primero.

(ab)c 5 a(bc)

(3 ? 7) ? 5 5 3 ? (7 ? 5)

Cuando multiplicamos tres números, no importa cuáles dos de estos multiplicamos primero.

2 ? (3 1 5) 5 2 ? 3 1 2 ? 5 (3 1 5) ? 2 5 2 ? 3 1 2 ? 5

Cuando multiplicamos un número por una suma de dos números obtenemos el mismo resultado que si multiplicáramos ese número por cada uno de los términos y luego sumáramos los resultados.

Propiedad distributiva a(b 1 c) 5 ab 1 ac (b 1 c)a 5 ab 1 ac

La propiedad distributiva aplica siempre que multiplicamos un número por una suma. La figura 2 explica por qué funciona esta propiedad para el caso en el que todos los números sean enteros positivos, pero la propiedad es verdadera para cualquier número real a, b y c. 2(3+5)

La propiedad distributiva es de importancia crítica porque describe la forma en que la adición y la multiplicación interaccionan una con otra.

2#3

2#5

FIGURA 3 La propiedad distributiva © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Prohibida su venta o reproducción sin el consentimiento por escrito de la Editorial.

19.02.2019

CAPÍTULO 1

■

Fundamentos

EJEMPLO 1

■

Uso de la propiedad distributiva

a) 2(x 1 3) 5 2 ? x 1 2 ? 3

Propiedad distributiva

5 2x 1 6

Simplifique

b) (a 1 b)(x 1 y) 5 (a 1 b)x 1 (a 1 b)y

Propiedad distributiva

5 (ax 1 bx) 1 (ay 1 by)

Propiedad distributiva

5 ax 1 bx 1 ay 1 by

Propiedad asociativa de la adición

En el último paso eliminamos el paréntesis porque, de acuerdo con la propiedad asociativa, no importa el orden de la adición. ■

Ahora intente realizar el ejercicio 15

■ Adición y sustracción No suponga que 2a es un número negativo. Que 2a sea negativo o positivo depende del valor de a. Por ejemplo, si a 5 5, entonces 2a 5 25, un número negativo, pero si a 5 25, entonces 2a 5 2(25) 5 5 (propiedad 2), un número positivo.

El número 0 es especial para la adición; recibe el nombre de identidad aditiva porque a 1 0 5 a para cualquier número real a. Todo número real a tiene un negativo, 2a, que satisface a 1 (2a) 5 0. La sustracción es la operación que deshace a la adición; para sustraer un número de otro, simplemente sumamos el negativo de ese número. Por definición a 2 b 5 a 1 (2b) Para combinar números reales con números negativos usamos las siguientes propiedades.

PROPIEDADES DE NEGATIVOS Propiedad

Ejemplo

1. (21)a 5 2a

(21)5 5 25

2. 2(2a) 5 a

2(25) 5 5

3. (2a)b 5 a(2b) 5 2(ab)

(25)7 5 5(27) 5 2(5 ? 7)

4. (2a)(2b) 5 ab

(24)(23) 5 4 ? 3

5. 2(a 1 b) 5 2a 2 b

2(3 1 5) 5 23 2 5

6. 2(a 2 b) 5 b 2 a

2(5 2 8) 5 8 2 5

La propiedad 6 expresa el hecho intuitivo de que a 2 b y b 2 a son negativos entre sí. La propiedad 5 se usa a veces con más de dos términos: 2(a 1 b 1 c) 5 2a 2 b 2 c

EJEMPLO 2

■

Uso de las propiedades de los negativos

Sean x, y y z números reales. a) 2(x 1 2) 5 2x 2 2

Propiedad 5: 2(a 1 b) 5 2a 2 b

b) 2(x 1 y 2 z) 5 2x 2 y 2 (2z)

Propiedad 5: 2(a 1 b) 5 2a 2 b

5 2x 2 y 1 z

Propiedad 2: 2(2a) 5 a

■

Ahora intente realizar el ejercicio 23 © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Prohibida su venta o reproducción sin el consentimiento por escrito de la Editorial.

19.02.2019

SECCIÓN 1.1

■

Números reales 5

■ Multiplicación y división El número 1 es especial para la multiplicación; recibe el nombre de identidad multiplicativa porque a ? 1 5 a para cualquier número real a. Todo número real a diferente de cero tiene un recíproco, 1/a, que satisface a ? (1/a) 5 1. La división es la operación que deshace la multiplicación; para dividir entre un número multiplicamos por el recíproco de ese número. Si b ? 0, entonces, por definición, 1 a4b5a? b Escribimos a ? (1/b) simplemente como a/b. Nos referimos a a/b como el cociente entre a y b o como la fracción de a sobre b; a es el numerador y b es el denominador (o divisor). Para combinar números reales mediante la operación de división usamos las siguientes propiedades.

PROPIEDADES DE LAS FRACCIONES Propiedad

Ejemplo

Descripción

ac a c ? 5 b d bd

2 5 2 ? 5 10 5 ? 5 3 7 3 ? 7 21

Para multiplicar fracciones multiplique numeradores y denominadores.

c a a d 4 5 ? b d b c

2 5 2 7 14 4 5 ? 5 3 7 3 5 15

Para dividir fracciones multiplique por el recíproco del divisor.

a1b a b 1 5 c c c

2 7 9 217 5 1 5 5 5 5 5

Para sumar fracciones con el mismo denominador sume los numeradores.

c ad 1 bc a 1 5 bd b d

2 3 2 ? 7 1 3 ? 5 29 1 5 5 5 7 35 35

Para sumar fracciones con denominadores diferentes encuentre un común denominador y a continuación sume los numeradores.

ac a 5 bc b

2?5 2 5 3?5 3

Elimine números que sean factores comunes en numerador y denominador.

6. Si

2 6 a c 5 , por tanto 2 ? 9 5 3 ? 6 5 , entonces ad 5 bc 3 9 b d

Multiplicación cruzada.

Para sumar fracciones con denominadores diferentes, por lo general no usamos la propiedad 4. En cambio reescribimos las fracciones de modo que tengan el mínimo denominador común que sea posible (a veces menor que el producto de los denominadores) y luego usamos la propiedad 3. Este denominador es el Mínimo Común Denominador (MCD) que se describe en el ejemplo siguiente.

EJEMPLO 3 Evalúe: SOLUCIÓN

■

Uso del MCD para sumar fracciones

5 7 1 36 120 Al factorizar cada denominador en factores primos se obtiene 36 5 22 ? 32

120 5 23 ? 3 ? 5

Encontramos el mínimo común denominador (MCD) al formar el producto de todos los factores presentes en estas factorizaciones usando la máxima potencia de cada factor. Entonces el MCD es 23 ? 32 ? 5 5 360. Entonces, 5 7 5 ? 10 7?3 1 5 1 36 120 36 ? 10 120 ? 3 50 21 7 5 1 5 360 360 360

Use el común denominador Propiedad 3: Suma de fracciones con el mismo denominador

■

Ahora intente realizar el ejercicio 29 © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Prohibida su venta o reproducción sin el consentimiento por escrito de la Editorial.

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CAPÍTULO 1

■

Fundamentos

■ La recta de números reales Los números reales se pueden representar por puntos sobre una recta, como se muestra en la figura 4. La dirección positiva (hacia la derecha) está indicada por una flecha. Escogemos un punto de referencia arbitrario O, llamado origen, que corresponde al número real 0. Dada cualquier unidad de medida conveniente, cada número positivo x está representado por el punto sobre la recta a una distancia de x unidades a la derecha del origen, y cada número negativo 2x está representado por el punto a x unidades a la izquierda del origen. El número asociado con el punto P se llama coordenada de P y la recta se llama recta coordenada, o recta de los números reales, o simplemente recta real. A veces identificamos el punto con su coordenada y consideramos que un número es un punto sobre la recta real. _3.1725 _2.63

_4.9 _4.7 _5 _4 _4.85

_ œ∑2 _2

1 _ 16

1 1 8 4 1 2

œ∑2 1

œ∑3 œ∑5

4.2 4.4 4.9999

4 5 4.3 4.5

0.3 ∑

FIGURA 4 La recta real

Los números reales son ordenados. Decimos que a es menor que b y escribimos a , b si b 2 a es un número positivo. Geométricamente esto significa que a está a la izquierda de b en la recta numérica, o bien, lo que es lo mismo, podemos decir que b es mayor que a y escribimos b . a. El símbolo a # b (o b $ a) quiere decir que a , b o que a 5 b y se lee “a es menor o igual a b”. Por ejemplo, las siguientes son desigualdades verdaderas (véase la figura 5): 7 , 7.4 , 7.5 _π _4

2 , 2

2p , 23

2#2 7.4 7.5

œ∑2 _2

FIGURA 5

■ Conjuntos e intervalos Un conjunto es una colección de objetos, y estos objetos se llaman elementos del conjunto. Si S es un conjunto, la notación a [ S significa que a es un elemento de S, y b o S quiere decir que b no es un elemento de S. Por ejemplo, si Z representa el conjunto de enteros, entonces 23 [ Z pero p o Z. Algunos conjuntos se pueden describir si sus elementos se colocan dentro de llaves. Por ejemplo, el conjunto A, que está formado por todos los enteros positivos menores que 7 se puede escribir como A 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6} También podríamos escribir A en notación constructiva de conjuntos como A 5 {x 0 x es un entero y 0 , x , 7}

que se lee “A es el conjunto de todas las x tales que x es un entero y 0 , x , 7”.

PROYECTO DE DESCUBRIMIENTO Números reales en el mundo real Las medidas reales siempre implican unidades. Por ejemplo, generalmente medimos la distancia en pies, millas, centímetros o kilómetros. Algunas medidas implican diferentes tipos de unidades. Por ejemplo, la rapidez se mide en millas por hora o en metros por segundo. A menudo tenemos que convertir una medición de un tipo de unidad a otro. En este proyecto exploramos diferentes tipos de unidades utilizadas para diferentes propósitos y cómo convertir un tipo de unidad a otro. Se puede encontrar el proyecto en www.stewartmath.com.* * Este material se encuentra disponible en inglés. © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Prohibida su venta o reproducción sin el consentimiento por escrito de la Editorial.

19.02.2019

SECCIĂ&#x201C;N 1.1

â&#x2013;

NĂşmeros reales 7

Si S y T son conjuntos, entonces su uniĂłn S < T es el conjunto formado por todos los elementos que estĂĄn en S o en T (o en ambos). La intersecciĂłn de S y T es el conjunto S > T formado por todos los elementos que estĂĄn en S y T. En otras palabras, S > T es la parte comĂşn de S y T. El conjunto vacĂo, denotado por [, es el conjunto que no contiene elementos.

EJEMPLO 4

â&#x2013;

UniĂłn e intersecciĂłn de conjuntos

Si S 5 {1, 2, 3, 4, 5}, T 5 {4, 5, 6, 7} y V 5 {6, 7, 8} encuentre los conjuntos S < T, S > T y S > V. SOLUCIĂ&#x201C;N T 1,Â 2,Â 3,Â 4,Â 5,Â 6,Â 7,Â 8

S < T 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Todos los elementos en S o T

S > T 5 {4, 5}

Elementos comunes a S y T

S>V5[

S y V no tienen elementos en comĂşn

â&#x2013;

Ahora intente realizar el ejercicio 41

Con frecuencia se presentan en cĂĄlculo ciertos conjuntos de nĂşmeros reales, llamados intervalos, y corresponden geomĂŠtricamente a segmentos de recta. Si a , b, entonces el intervalo abierto de a a b estĂĄ formado por todos los nĂşmeros entre a a b y se denota con (a, b). El intervalo cerrado de a a b incluye los puntos extremos y se denota con 3a, b4. Usando la notaciĂłn constructiva de conjuntos, podemos escribir

FIGURA 7 El intervalo cerrado 3a, b4

Observe que los parĂŠntesis ( ) en la notaciĂłn de intervalo y cĂrculos abiertos en la grĂĄfica de la figura 6 indican que los puntos extremos estĂĄn excluidos del intervalo, mientras que los corchetes o parĂŠntesis rectangulares 3 4 y los cĂrculos sĂłlidos de la figura 7 indican que los puntos extremos estĂĄn incluidos. Los intervalos tambiĂŠn pueden incluir un punto extremo, pero no el otro; o pueden extenderse hasta el infinito en una direcciĂłn o en ambas. La tabla siguiente es una lista de posibles tipos de intervalos. NotaciĂłn

DescripciĂłn de conjunto

(a, b)

{x 0 a , x , b}

3a, b)

3a, b4

GrĂĄfica

{x 0 a # x # b}

{x 0 a # x , b}

{ x 0 a , x # b}

(a, `)

{x 0 a , x}

{x 0 a # x}

(2`, b)

{x 0 x , b}

(2`, `)

R (conjunto de todos los nĂşmeros)

(a, b4

El sĂmbolo q (infinito) no representa un nĂşmero. La notaciĂłn (a, `), por ejemplo, simplemente indica que el intervalo no tiene punto extremo a la derecha, pero se prolonga hasta el infinito en la direcciĂłn positiva.

3a, b4 5 {x 0 a # x # b}

(a, b) 5 {x 0 a , x , b}

FIGURA 6 El intervalo abierto (a, b)

3a, `)

(2`, b4

EJEMPLO 5

{x 0 x # b}

â&#x2013;

Trazo de la grĂĄfica de intervalos

Exprese cada intervalo en tĂŠrminos de desigualdades y, despuĂŠs, trace la grĂĄfica del intervalo. a) 321, 2) 5 {x 0 21 # x , 2}

b) 31.5, 44 5 {x 0 1.5 # x # 4} c) (23, `) 5 {x 0 23 , x}

0 0

2 1.5

â&#x2013;

Ahora intente realizar el ejercicio 47 ÂŠ D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Prohibida su venta o reproducciĂłn sin el consentimiento por escrito de la Editorial.

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CAPÍTULO 1

■

Fundamentos

No hay número mínimo ni número máximo en un intervalo abierto Cualquier intervalo contiene un número infinito de números; cualquier punto en la gráfica de un intervalo corresponde a un número real. En el intervalo cerrado 30, 14, el número mínimo es 0 y el máximo es 1, pero el intervalo abierto (0, 1) no contiene número mínimo ni máximo. Para ver esto observe que 0.01 es cercano a cero, pero 0.001 es más cercano, 0.0001 es todavía más cercano y así, sucesivamente. Siempre podemos encontrar un número en el intervalo (0, 1) más cercano a cero que cualquier número dado. Como 0 no está en el intervalo, el intervalo no contiene un número mínimo. Del mismo modo, 0.99 es cercano a 1, pero 0.999 es más cercano y 0.9999 está aún más cercano y así, sucesivamente. Dado que 1 no está en el intervalo, el intervalo no tiene número máximo.

EJEMPLO 6

■

Encontrar uniones e intersecciones de intervalos

Trace la gráfica de cada conjunto. a) (1, 3) > 32, 74

b) (1, 3) < 32, 74

SOLUCIÓN

a) La intersección de dos intervalos consta de los números que están en ambos intervalos. Por tanto (1, 3) > 32, 74 5 {x 0 1 , x , 3 y 2 # x # 7} 5 {x 0 2 # x , 3} 5 32, 3)

Este conjunto se muestra en la figura 8. b) La unión de dos intervalos consta de los números que están en un intervalo o en el otro (o en ambos). Por tanto, (1, 3) < 32, 74 5 {x 0 1 , x , 3 o 2 # x # 7} 5 {x 0 1 , x # 7} 5 (1, 74

Este conjunto se muestra en la figura 9. 0

0.01

(1, 3)

0.1

3 [2, 7]

[2, 7] 0

0.001

0.01

2 (1, 7]

[2, 3) 0

0 0.0001

0.001

FIGURA 9 (1, 3) < 32, 74 5 (1, 74

FIGURA 8 (1, 3) > 32, 74 5 32, 3)

■

Ahora intente realizar el ejercicio 61

| _3 |=3 _3

FIGURA 10

■ Valor absoluto y distancia

| 5 |=5 0

El valor absoluto de un número a, denotado por | a |, es la distancia de a a 0 en la recta de números reales (véase la figura 10). La distancia es siempre positiva o cero, de modo que tenemos | a | $ 0 para todo número a. Recordando que 2a es positivo cuando a es negativo, tenemos la siguiente definición.

DEFINICIÓN DE VALOR ABSOLUTO Si a es un número real, entonces el valor absoluto de a es |a|5

EJEMPLO 7 a) b) c) d)

■

a 2a

si a $ 0 si a , 0

Evaluación de valores absolutos de números

|3|53 | 23 | 5 2(23) 5 3 |0|50 | 3 2 p | 5 2(3 2 p) 5 p 2 3

(como 3 , p ¡

3 2 p , 0) ■

Ahora intente realizar el ejercicio 67 © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Prohibida su venta o reproducción sin el consentimiento por escrito de la Editorial.

19.02.2019

SECCIÓN 1.1

■

Números reales 9

Cuando trabajamos con valores absolutos utilizamos las propiedades siguientes:

PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO Propiedad

Ejemplo

Descripción

1. | a | $ 0

| 23 | 5 3 $ 0

El valor absoluto de un número siempre es positivo o cero.

2. | a | 5 | 2a |

| 5 | 5 | 25 |

Un número y su negativo tienen el mismo valor absoluto.

3. | ab | 5 | a | | b |

| 22 ? 5 | 5 | 22 | | 5 |

El valor absoluto de un producto es el producto de los valores absolutos.

4. `

|a| a `5 b |b|

5. | a 1 b | # | a | 1 | b |

| 12 | 12 `5 23 | 23 |

El valor absoluto de un cociente es el cociente de los valores absolutos.

| 23 1 5 | # | 23 | 1 | 5 |

Desigualdad del triángulo.

¿Cuál es la distancia sobre la recta real entre los números 22 y 11? De la figura 11 vemos que la distancia es 13. Llegamos a esto si encontramos ya sea | 11 2 (22) | 5 13 o | (22) 2 11 | 5 13. De esta observación hacemos la siguiente definición (véase la figura 12). 13 _2

| b-a | 11

FIGURA 11

FIGURA 12 La longitud de un segmento de recta es | b 2 a |

DISTANCIA ENTRE PUNTOS SOBRE LA RECTA REAL Si a y b son números reales, entonces la distancia entre los puntos a y b sobre la recta real es d(a, b) 5 | b 2 a |

De la propiedad 6 de los números negativos se deduce que |b2a|5|a2b| Esto confirma que, como es de esperarse, la distancia de a a b es la misma distancia de b a a.

EJEMPLO 8

10 _8

FIGURA 13

■

Distancia entre puntos en la recta real

La distancia entre los números 28 y 2 es d(a, b) 5 | 2 2 (28) | 5 | 210 | 5 10 Podemos comprobar geométricamente este cálculo, como se muestra en la figura 13. ■

Ahora intente realizar el ejercicio 75 © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Prohibida su venta o reproducción sin el consentimiento por escrito de la Editorial.

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CAPÍTULO 1

■

Fundamentos

1.1 EJERCICIOS CONCEPTOS

14. 2(A 1 B) 5 2A 1 2B 15. (5x 1 1)3 5 15x 1 3

1. Dé un ejemplo para cada uno de los siguientes enunciados: a) Un número natural b) Un entero que no sea número natural c) Un número racional que no sea entero d) Un número irracional

16. (x 1 a)(x 1 b) 5 (x 1 a)x 1 (x 1 a)b 17. 2x(3 1 y) 5 (3 1 y)2x 18. 7(a 1 b 1 c) 5 7(a 1 b) 1 7c

2. Complete cada enunciado y mencione la propiedad de los números reales que haya empleado. a) ab 5

19–22 ■ Propiedades de los números reales Vuelva a escribir la expresión usando la propiedad dada de los números reales.

; propiedad

b) a 1 1b 1 c2 5 c) a 1b 1 c2 5

19. Propiedad conmutativa de adición, x 1 3 5

; propiedad

20. Propiedad asociativa de la multiplicación,

; propiedad

21. Propiedad distributiva, 4(A 1 B) 5

3. Exprese el conjunto de números como sigue, pero no incluya el 2 ni el 7:

22. Propiedad distributiva, 5x 1 5y 5 23–28 ■ Propiedades de los números reales Utilice las propiedades de los números reales al escribir la expresión sin paréntesis.

a) En notación constructiva de conjuntos: b) En notación de intervalos: 4. El símbolo | x | representa el del número x. Si x no es 0, entonces el signo de | x | siempre es . 5. La distancia entre a y b en la recta real es d(a, b) 5 Entonces la distancia entre 25 y 2 es

6–8 ■ ¿Sí o no? Si es no, explique. Suponga que a y b son números reales diferentes de cero. 6. a) ¿La suma de dos números racionales siempre es un número racional? b) ¿La suma de dos números irracionales siempre es un número irracional? 7. a) ¿Es a 2 b igual a b 2 a? b) Es 22(a 2 5) igual a 22a 2 10?

HABILIDADES 9–10 Números reales Mencione los elementos del conjunto dado que sean a) números naturales b) números enteros c) números racionales d) números irracionales ■

9. {21.5, 0,

7, 2.71, 2p, 3.14, 100, 28}

10. {1.3, 1.3333. . . , 5, 5.34, 2500, 123, 16,

246 579 ,

2205}

11–18 ■ Propiedades de los números reales Exprese la propiedad de los números reales que se esté usando. 11. 3 1 7 5 7 1 3 12. 4(2 1 3) 5 (2 1 3)4 13. (x 1 2y) 1 3z 5 x 1 (2y 1 3z)

23. 3(x 1 y)

24. (a 2 b)8

25. 4(2m)

26.

27. 252(2x 2 4y)

28. (3a)(b 1 c 2 2d)

4 3(26y)

29–32 ■ Operaciones aritméticas Realice las operaciones indicadas. 29. a)

3 10

30. a)

2 3

31. a)

2 3

32. a)

4 15

1 4

1 15

2 35

b) 1 1 58 2 16

(6 2 32)

b) (3 1 14)(1 2 45)

2 2 3

2 3

2 5 1 10

1 12 1 153

33–34 ■ Desigualdades Coloque el símbolo correcto (,, ., o 5) en el espacio.

8. a) ¿La distancia entre cualesquier dos números reales diferentes siempre es positiva? b) ¿La distancia entre a y b es igual a la distancia entre b y a?

5 2,

7(3x) 5

7 2

33. a) 3 34. a)

2 3

0.67

c) | 0.67 |

272

b) 23 2 3

c) 3.5

7 2

20.67

| 20.67 |

35–38 ■ Desigualdades Diga si cada desigualdad es verdadera o falsa. 35. a) 23 , 24

b) 3 , 4

36. a) 3 . 1.7325

b) 1.732 $ 3

37. a)

10 2

38. a)

7 11

8 13

6 10

$ 56

b) 235 . 234

39–40 ■ Desigualdades Escriba cada enunciado en términos de desigualdades. 39. a) b) c) d) e)

x es positivo. t es menor a 4. a es mayor o igual a p. x es menor a 13 y mayor que 25. La distancia de p a 3 es, como máximo, 5.

19.02.2019

SECCIÓN 1.1 40. a) b) c) d) e) 41–44

y es negativa. z es mayor que 1. b es a lo más 8. „ es positiva y menor o igual a 17. y está al menos a 2 unidades de p. ■

Conjuntos Encuentre el conjunto indicado si A 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

41. a) A < B

b) A > B

42. a) B < C

b) B > C

43. a) A < C

b) A > C

44. a) A < B < C

b) A > B > C

69. a) @ 0 26 | 2 | 24 | @

70. a) @ 2 2 | 212 | @

b) 21 2 @ 1 2 | 21 | @

71. a) 0 (22 ) ? 6 |

b) 0 (213)(215) |

72. a) `

26 ` 24

73–76 dados.

Distancia

73. 74.

■

Conjuntos Encuentre el conjunto indicado si A 5 {x | x $ 22}

21 | 21 |

7 2 12 ` 12 2 7

Encuentre la distancia entre los números

_3 _2 _1

75. a) 2 y 17 ■

Números reales 11

B 5 {2, 4, 6, 8}

C 5 {7, 8, 9, 10}

45–46

■

B 5 {x | x , 4}

76. a)

7 15

y 2211

11 8

y 2103

b) 23 y 21

b) 238 y 257

c) 22.6 y 21.8

C 5 {x | 21 , x # 5} 45. a) B < C

b) B > C

HABILIDADES Plus

46. a) A > C

b) A > B

77–78 ■ Repetición de decimales Exprese cada decimal periódico como una fracción. (Véase la nota al margen en la página 3.)

47–52 ■ Intervalos Exprese el intervalo en términos de desigualdades y luego trace la gráfica del intervalo. 47. (23, 0)

48. (2, 84

50. 326, 2124

49. 32, 8)

51. 32, `)

52. (2`, 1)

53–58 ■ Intervalos Exprese la desigualdad en notación de intervalos y después trace la gráfica del intervalo correspondiente. 53. x # 1

54. 1 # x # 2

55. 22 , x # 1

56. x $ 25

57. x . 21

58. 25 , x , 2

59–60 ■ Intervalos intervalos. 59. a) b)

60. a)

b) 61–66

Exprese cada conjunto en notación de

2 ■

65. (2`, 24) < (4, `) 67–72

■

Intervalos Trace la gráfica del conjunto.

63. 324, 64 > 30, 8)

Valor absoluto

b) 0.28

c) 0.57

78. a) 5.23

b) 1.37

c) 2.135

79–82 ■ Simplificación del valor absoluto Escriba la cantidad sin usar valor absoluto. 79. | p 2 3 |

80. | 1 2 2 |

81. | a 2 b |, donde a , b 82. a 1 b 1 | a 2 b |, donde a , b 83–84 ■ Signos de números Sean a, b y c números reales tales que a . 0, b , 0 y c , 0. Determine el signo de cada expresión. 83. a) 2a

b) bc

c) a 2 b

d) ab 1 ac

84. a) 2b

b) a 1 bc

c) c 2 a

d) ab 2

APLICACIONES

61. (22, 0) < (21, 1)

77. a) 0.7

85. Área de un jardín El jardín de legumbres de Mary mide 20 por 30 pies, de modo que su área es de 20 3 30 5 600 pies2. Ella ha decidido agrandarlo como se muestra en la figura para que el área aumente a A 5 20(30 1 x). ¿Qué propiedad de los números reales nos dice que la nueva área también se puede escribir como A 5 600 1 20x?

62. (22, 0) > (21, 1) 64. 324, 6) < 30, 8)

30 pies

66. (2`, 64 > (2, 10) Evalúe cada expresión.

67. a) | 100 |

b) | 273 |

68. a) | 5 2 5 |

b) | 10 2 p |

20 pies

19.02.2019

CAPÍTULO 1

■

Fundamentos

Temperatura alta diaria (*F)

86. Variación de temperatura La gráfica de barras muestra las altas temperaturas diarias para Omak, Washington y Geneseo, Nueva York, durante cierta semana en junio. Represente con TO la temperatura en Omak y TG la temperatura en Geneseo. Calcule TO 2 TG y | TO 2 TG | para cada día que se muestra. ¿Cuál de estos dos valores da más información? Omak, WA Geneseo, NY

80 75 70 65

Dom Lun

Mar Miér Día

Jue

Vier

Sáb

87. Envío de un paquete por correo La oficina de correos sólo aceptará paquetes para los cuales la longitud más la circunferencia no sea mayor de 108 pulgadas. Así, para el paquete de la figura debemos tener

1/x

1 2 10 100 1 000

1.0 0.5 0.1 0.01 0.001

91. DESCUBRIMIENTO: Ubicación de números irracionales en la recta real Usando las siguientes figuras explique cómo localizar el punto 2 en una recta numérica. ¿Puede localizar 5 por medio de un método similar? ¿Cómo puede ayudarnos el círculo que se muestra en la figura para ubicar p en una recta numérica? Haga una lista de otros números irracionales que pueda ubicar en una recta numérica.

œ∑2 0

1 1

L 1 2(x 1 y) # 108 a) ¿Aceptará la oficina de correos un paquete de 6 pulgadas de ancho, 8 pulgadas de profundidad y 5 pies de largo? ¿Y un paquete que mida 2 pies por 2 pies por 4 pies? b) ¿Cuál es la máxima longitud aceptable para un paquete que tiene una base cuadrada que mide 9 por 9 pulgadas? L

5 pies=60 pulg x y

6 pulg 8 pulg

DISCUSIÓN ■ DESCUBRIMIENTO ■ DEMOSTRACIÓN ■ REDACCIÓN 88. DISCUSIÓN: Sumas y productos de números racionales e irracionales Explique por qué la suma, la diferencia y el producto de dos números irracionales son números racionales. ¿El producto de dos números irracionales necesariamente es irracional? ¿Qué se puede decir de la suma? 89. DESCUBRIMIENTO ■ DEMOSTRACIÓN: Combinación de números racionales con números irracionales ¿12 1 2 es racional o irracional? ¿12 ? 2 es racional o irracional? Experimente con sumas y productos de otros números racionales e irracionales. Demuestre lo siguiente. a) La suma de un número racional r y un número irracional t es irracional. b) El producto de un número racional r y un número irracional t es irracional. [Sugerencia: Para el inciso a), suponga que r 1 t es un número racional q, es decir, r 1 t 5 q. Demuestre que esto conduce a una contradicción. Utilice un razonamiento similar para el inciso b).]

90. DESCUBRIMIENTO: Limitación del comportamiento de recíprocos Complete las tablas siguientes. ¿Qué le ocurre al tamaño de la fracción 1/x cuando x aumenta? ¿Y cuando x disminuye?

92. DEMOSTRACIÓN: Fórmulas de máximos y mínimos Sea que máx(a, b) denote el máximo y que mín(a, b) denote el mínimo de los números reales a y b. Por ejemplo, máx(2, 5) 5 5 y mín(21, 22) 5 22. a1b1|a2b| a) Demuestre que máx(a, b) 5 . 2 b) Demuestre que mín(a, b) 5

a1b1|a2b| 2

[Sugerencia: Considere casos y escriba estas expresiones sin el valor absoluto. Vea los ejercicios 81 y 82.] 93. REDACCIÓN: Números reales en el mundo real Escriba un párrafo que describa diferentes situaciones del mundo real en las que se podrían usar números naturales, enteros, números racionales y números irracionales. Dé ejemplos para cada tipo de situación. 94. DISCUSIÓN: Operaciones conmutativa y no conmutativa Hemos visto que la adición y la multiplicación son operaciones conmutativas. a) ¿La sustracción es conmutativa? b) ¿La división de números reales diferentes de cero es conmutativa? c) ¿Son conmutativas las acciones de ponerse calcetines y zapatos? d) ¿Son conmutativas las acciones de ponerse el sombrero y la chamarra? e) ¿Son conmutativas las acciones de lavar y secar la ropa? 95. DEMOSTRACIÓN: Desigualdad del triángulo Demostraremos la propiedad 5 de los valores absolutos, la desigualdad del triángulo: |x1y|#|x|1|y| a) Verifique que la desigualdad de triángulo vale para x 5 2 y y 5 3, para x 5 22 y y 5 23 y para x 5 22 y y 5 3. b) Demuestre que la desigualdad del triángulo es verdadera para todos los números reales x y y. [Sugerencia: Considere casos.]

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SECCIÓN 1.2

■

Exponentes y radicales 13

1.2 EXPONENTES Y RADICALES ■ Exponentes enteros ■ Reglas para trabajar con exponentes ■ Notación científica ■ Radicales ■ Exponentes racionales ■ Racionalización del denominador; forma estándar En esta sección damos significado a expresiones como a m/n en las que el exponente m/n es un número racional. Para hacer esto necesitamos recordar algunos datos acerca de exponentes enteros, radicales y raíces n-ésimas.

■ Exponentes enteros Normalmente, un producto de números idénticos se escribe en notación exponencial. Por ejemplo, 5 ? 5 ? 5 se escribe como 53. En general tenemos la siguiente definición.

NOTACIÓN EXPONENCIAL Si a es cualquier número real y n es un entero positivo, entonces la n-ésima potencia de a es an 5 a ? a ? . . . ? a

n factores

El número a se denomina base, y n se denomina exponente.

EJEMPLO 1 Observe la diferencia entre (23)4 y 234. En (23)4 el exponente se aplica al 23, pero en 234 el exponente se aplica sólo al 3.

■

Notación exponencial

a) (12)5 5 (12)(12)(12)(12)(12) 5 321 b) (23)4 5 (23) ? (23) ? (23) ? (23) 5 81 c) 234 5 2(3 ? 3 ? 3 ? 3) 5 281 ■

Ahora intente realizar el ejercicio 17

Podemos expresar varias reglas útiles para trabajar con notación exponencial. Para descubrir la regla para multiplicación, multiplicamos 54 por 52: 54 ? 52 5 15 ? 5 ? 5 ? 5215 ? 52 5 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 5 56 5 5412

4 factores 2 factores

6 factores

Es evidente que para multiplicar dos potencias de la misma base sumamos sus exponentes. En general, para cualquier número real a y cualesquier enteros positivos m y n, tenemos aman 5 1a ? a ? . . . ? a2 1a ? a ? . . . ? a2 5 a ? a ? a ? . . . ? a 5 am1n

m factores

n factores

m 1 n factores

Por tanto, aman 5 am1n. Nos gustaría que esta regla fuera verdadera aun cuando m y n fueran 0 o enteros negativos. Por ejemplo, debemos tener 20 ? 23 5 2013 5 23 Pero esto puede ocurrir sólo si 20 5 1. Igualmente, deseamos tener 54 ? 524 5 541124) 5 5424 5 50 5 1 y esto será cierto si 524 5 1/54. Estas observaciones conducen a la siguiente definición. © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Prohibida su venta o reproducción sin el consentimiento por escrito de la Editorial.

19.02.2019

CAPÍTULO 1

Fundamentos

■

EXPONENTES CERO Y NEGATIVO Si a ? 0 es cualquier número real y n es un entero positivo, entonces a0 5 1

EJEMPLO 2 (47)0

■

a2n 5

1 an

Exponentes cero y negativos

1 1 1 5 x x 1 1 1 5 52 c) (22)23 5 8 28 (22)3

b) x21 5

■

Ahora intente realizar el ejercicio 19

■ Reglas para trabajar con exponentes La familiaridad con las reglas siguientes es esencial para nuestro trabajo con exponentes y bases. En la tabla las bases a y b son números reales, y los exponentes m y n son enteros.

LEYES DE EXPONENTES Ley

Ejemplo m n

1. a a 5 a

Descripción

3 ?3 5 3

m1n

215

Para multiplicar dos potencias del mismo número sume los exponentes.

a 5 am2n an

3 5 3522 5 33 32

Para dividir dos potencias del mismo número reste los exponentes.

3. (am)n 5 amn

(32)5 5 32?5 5 310

Para elevar una potencia a una nueva potencia multiplique los exponentes.

4. (ab)n 5 a nb n

(3 ? 4)2 5 32 ? 42

Para elevar un producto a una potencia eleve cada uno de los factores a la potencia.

a b

6. 7.

an bn

a2n bm 2m 5 n b a

b a

3 4

32 42

322 45 25 5 2 4 3

Para elevar un cociente a una potencia eleve el numerador y el denominador a la potencia. 4 3

Para elevar una fracción a una potencia negativa invierta la fracción y cambie el signo del exponente. Para mover un número elevado a una potencia del numerador al denominador o del denominador al numerador cambie el signo del exponente.

Demostración de la ley 3 Si m y n son enteros positivos tenemos 1a m2 n 5 1a ? a ? . . . ? a2 n

m factores

5 1a ? a ? . . . ? a2 1a ? a ? . . . ? a2 . . . 1a ? a ? . . . ? a2

m factores m factores m factores

n grupo de factores

5 a ? a ? . . . ? a 5 amn

mn factores

Los casos para los que m # 0 o n # 0 se pueden demostrar usando para ello la definición de exponentes negativos. ■ © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Prohibida su venta o reproducción sin el consentimiento por escrito de la Editorial.

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SECCIÓN 1.2

■

Exponentes y radicales 15

Demostración de la ley 4 Si n es un entero positivo tenemos

1ab2 n 5 1ab2 1ab2 . . . 1ab2 5 1a ? a ? . . . ? a2 ? 1b ? b ? . . . ? b2 5 a n b n

n factores

Aquí hemos empleado repetidamente las propiedades conmutativa y asociativa. Si n # 0, la ley 4 se puede demostrar usando la definición de exponentes negativos. ■

En los ejercicios 108 y 109 se le pide al lector demostrar las leyes 2, 5, 6 y 7.

EJEMPLO 3 4 7

a) x x 5 x

■

417

Uso de las leyes de exponentes

5 x11

b) y4y27 5 y427 5 y23 5

Ley 1: aman 5 am1n

1 y3

Ley 1: aman 5 am1n

c9 5 c925 5 c4 c5 d) (b4)5 5 b4?5 5 b20 e) (3x)3 5 33x3 5 27x3 c)

x 2

Ley 2:

am 5 am2n an

Ley 3: (am)n 5 amn Ley 4: (ab)n 5 anbn

x5 x5 5 25 32

Ley 5:

a b

an bn

■

Ahora intente realizar los ejercicios 29, 31 y 33

EJEMPLO 4

■

Simplificación de expresiones con exponentes

Simplifique: a) (2a3b2)(3ab4)3

x y

y2x z

SOLUCIÓN

a) (2a3b2)(3ab4)3 5 (2a3b2)333a3(b4)34 5 (2a3b2)(27a3b12) 5 (2)(27)a3a3b2b12 5 54a6b14 b)

x y

y2x z

Ley 4: (ab)n 5 anbn Ley 3: (am)n 5 amn Se agrupan factores con la misma base Ley 1: aman 5 am1n

x3 (y 2)4x 4 y3 z4

Leyes 5 y 4

x3 y 8x 4 y3 z4

Ley 3

5 (x3x4) 5

y8 y3

1 z4

x7y5 z4

Se agrupan factores con la misma base Leyes 1 y 2

■

Ahora intente realizar los ejercicios 35 y 39

Cuando simplifique una expresión encontrará que muchos métodos diferentes conducirán al mismo resultado; siéntase libre de usar cualquiera de las reglas de exponentes para llegar a su propio método. En el ejemplo siguiente veremos cómo simplificar expresiones con exponentes negativos. © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Prohibida su venta o reproducción sin el consentimiento por escrito de la Editorial.

19.02.2019

CAPÍTULO 1

■

Fundamentos

Las matemáticas en el mundo moderno Aun cuando no notemos su presencia, las matemáticas permean casi todos los aspectos de la vida en el mundo moderno. Con el advenimiento de la tecnología moderna las matemáticas desempeñan una función cada vez mayor en nuestras vidas. Hoy en día es probable que usted haya despertado con la alarma de un reloj digital, enviado un mensaje de e-mail a través de internet, visto algún programa en TV de alta definición o la transmisión de un video, escuchado música en su teléfono celular, manejado un auto con inyección controlada digitalmente y quizás luego durmió en una habitación cuya temperatura estaba controlada por un termostato digital. En cada una de estas actividades las matemáticas intervienen en forma decisiva. En general una propiedad, por ejemplo, la intensidad o la frecuencia del sonido, el nivel de oxígeno en la emisión del escape de un auto, los colores en una imagen o la temperatura de su habitación son transformados en sucesiones de números por refinados algoritmos matemáticos. Estos datos numéricos, que suelen estar formados por muchos millones de bits (los dígitos 0 y 1), son transmitidos y reinterpretados. Trabajar con estas cantidades enormes de datos no fue posible sino hasta la invención de las computadoras, máquinas cuyos procesos lógicos fueron inventados por matemáticos. Las aportaciones de las matemáticas en el mundo moderno no están limitadas a avances tecnológicos. Los procesos lógicos de las matemáticas se emplean ahora para analizar complejos problemas en ciencias sociales, políticas y biológicas en formas nuevas y sorprendentes. Los avances en matemáticas continúan y algunos de los más emocionantes se dieron tan sólo en la década pasada. En otro libro, llamado Mathematics in the Modern World, se describe con más detalle el modo en que las matemáticas influyen en nuestras actividades diarias.

EJEMPLO 5

■

Simplificación de expresiones con exponentes negativos

Elimine exponentes negativos y simplifique cada expresión. a) 5

6st24 2s22t 2

y 3z 3

SOLUCIÓN

a) Usamos la ley 7, que nos permite pasar un número elevado a una potencia del numerador al denominador (o viceversa) cambiando el signo del exponente. t24 pasa al denominador y se convierte en t4

6st24 6ss 2 5 2s22t 2 2t 2t 4 s22 pasa al numerador y se convierte en s2

3s3 t6

Ley 7

Ley 1

b) Usamos la ley 6, que nos permite cambiar el signo del exponente de una fracción al invertir la fracción. y 3z 3

3z3 y

5 5

9z6 y2

Ley 6

Leyes 5 y 4

■

Ahora intente realizar el ejercicio 41

■ Notación científica Los científicos usan notación exponencial como una forma compacta de escribir números muy grandes y números muy pequeños. Por ejemplo, la estrella más cercana, además del Sol, Proxima Centauri, está aproximadamente a 40 000 000 000 000 de km de distancia. La masa del átomo de hidrógeno es alrededor de 0.00000000000000000000000166 g. Estos números son difíciles de leer y escribir, de modo que los científicos por lo general los expresan en notación científica.

NOTACIÓN CIENTÍFICA Se dice que un número positivo x está escrito en notación científica si se expresa como sigue: x 5 a 3 10n

donde

1 # a , 10 y n es un entero

Por ejemplo, cuando decimos que la distancia a la estrella Proxima Centauri es 4 3 1013 km, el exponente positivo 13 indica que el punto decimal se debe recorrer 13 lugares a la derecha: 4 3 1013 5 40 000 000 000 000 Mueva el punto decimal 13 lugares a la derecha

Cuando decimos que la masa de un átomo de hidrógeno es 1.66 3 10224 g el exponente 224 indica que el punto decimal debe moverse 24 lugares a la izquierda: 1.66 3 10224 5 0.00000000000000000000000166 Mueva el punto decimal 24 lugares a la izquierda © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Prohibida su venta o reproducción sin el consentimiento por escrito de la Editorial.

19.02.2019

SECCIÓN 1.2

EJEMPLO 6

■

Exponentes y radicales 17

Cambio de notación decimal a científica

Escriba en notación científica cada uno de los números siguientes. a) 56 920 b) 0.000093 SOLUCIÓN

a) 56 920 5 5.692 3 104

b) 0.000093 5 9.3 3 1025

4 lugares

5 lugares

■

Ahora intente realizar el ejercicio 83

EJEMPLO 7

■

Cambio de notación científica a notación decimal

Escriba cada número en notación decimal. a) 6.97 3 109 b) 4.6271 3 1026 SOLUCIÓN

a) 6.97 3 109 5 6

970 000 000

Se mueve 9 lugares decimales hacia la derecha

9 lugares

b) 4.6271 3 1026 5 0.0000046271

Se mueve 6 lugares decimales hacia la derecha

6 lugares

■

Ahora intente realizar el ejercicio 85 Para usar notación científica en una calculadora presione la tecla marcada EE o EXP o EEX para ingresar el exponente. Por ejemplo, para ingresar el número 3.629 3 1015 en una calculadora TI-83 o TI-84 ingresamos 3.629

2ND

Con frecuencia se usa notación científica en una calculadora para ver un número muy grande o uno muy pequeño. Por ejemplo, si usamos calculadora para elevar al cuadrado el número 1 111 111, la pantalla puede mostrar (dependiendo del modelo de calculadora) la aproximación 1.234568 12

1.234568 E12

Aquí los dígitos finales indican la potencia de 10 e interpretamos el resultado como

y en la pantalla se lee

1.234568 3 1012

3.629E15

EJEMPLO 8

■

Cálculo con notación científica

Si a < 0.00046, b < 1.697 3 1022 y c < 2.91 3 10218, use la calculadora para aproximar el cociente ab/c. SOLUCIÓN Podríamos ingresar los datos usando notación científica, o bien, podríamos usar leyes de exponentes como sigue:

ab (4.6 3 1024)(1.697 3 1022) < c 2.91 3 10218 5

(4.6)(1.697) 3 1024122118 2.91

< 2.7 3 1036 En el apéndice B,* Cálculo de cifras significativas véanse las guías para trabajar con cifras significativas. Visite www.stewartmath.com.**

Expresamos la respuesta redondeada a dos cifras significativas porque el menos preciso de los números dados se expresa a dos cifras significativas.

* Este material se encuentra disponible en línea. Ingrese a www.cengage.com y busque el libro por el ISBN.

■ Radicales

** Este material se encuentra disponible en inglés.

■

Ahora intente realizar los ejercicios 89 y 91

Sabemos lo que 2n significa siempre que n sea un entero. Para dar significado a una potencia, por ejemplo 24/5, cuyo exponente es un número racional necesitamos estudiar radicales.

19.02.2019

CAPÍTULO 1

■

Fundamentos

El símbolo significa “la raíz positiva de”. Entonces Es cierto que el número 9 tiene dos raíces cuadradas, 3 y 23, pero la notación 9 está reservada para la raíz cuadrada positiva de 9 (a veces llamada raíz cuadrada principal de 9). Si deseamos tener la raíz negativa debemos escribir 2 9, que es 23.

a 5 b

b2 5 a

significa que

b$0

Dado que a 5 b2 $ 0, el símbolo a tiene sentido sólo cuando a $ 0. Por ejemplo, 9 5 3

32 5 9

ya que

3$0

Las raíces cuadradas son casos especiales de las raíces n-ésimas. La raíz n-ésima de x es el número que, cuando se eleva a la n-ésima potencia, da x.

DEFINICIÓN DE UNA RAÍZ n-ésima Si n es cualquier entero positivo, entonces la n-ésima raíz principal de a se define como sigue: n

a 5 b

bn 5 a

significa

Si n es par, debemos tener a $ 0 y b $ 0. Por ejemplo, 4

81 5 3 3

28 5 22 4

34 5 81

ya que

3$0

(22) 5 28 3

ya que

Pero 28, 28 y 28 no están definidas. (Por ejemplo, 28 no está definida porque el cuadrado de todo número real es no negativo.) Observe que 42 5 16 5 4

(24)2 5 16 5 4 5 | 24 |

pero

Entonces la ecuación a2 5 a no siempre es verdadera; lo es sólo cuando a $ 0. No obstante, siempre podemos escribir a2 5 | a |. Esta última ecuación es verdadera no sólo para raíces cuadradas, sino para cualquier raíz par. En el recuadro siguiente se citan esta y otras reglas empleadas para trabajar con las raíces n-ésimas. En cada propiedad suponemos que existen todas las raíces dadas.

PROPIEDADES DE LAS RAÍCES n-ésimas Propiedad

Ejemplo

1. ab 5 a b

a a 5 n b b

16 16 2 5 4 5 81 81 3

si n es impar

si n es par

EJEMPLO 9 3

729 5 729 5 3

5. an 5 | a |

■

(25)3 5 25, 4

Simplificación de expresiones que tienen raíces n-ésimas

Factorice el cubo más grande

3 3

Propiedad 1: ab 5 a b

5 x x 3

5 x x

25 5 2

(23)4 5 | 23 | 5 3

a) x 5 x x 4

3. 3 a 5 a 4. an 5 a

28 ? 27 5 28 27 5 (22)(3) 5 26

Propiedad 4: a3 5 a

19.02.2019

SECCIÓN 1.2 4

b) 81x8y4 5 81 x8 y4

■

Exponentes y radicales 19

Propiedad 1: abc 5 a b c

5 3 (x2)4 | y | 5 3x2 | y |

Propiedad 5: a4 5 | a | 4

Propiedad 5: a4 5 | a |, | x2 | 5 x2

■

Ahora intente realizar los ejercicios 45 y 47

Con frecuencia es útil combinar radicales semejantes en una expresión, tal como 2 3 1 5 3. Esto se puede hacer usando la propiedad distributiva. Por ejemplo, 2 3 1 5 3 5 (2 1 5) 3 5 7 3 El siguiente ejemplo ilustra más aún este proceso.

EJEMPLO 10 Evite el siguiente error: a 1 b 5 a 1 b

Por ejemplo, si hacemos que a 5 9 y b 5 16, entonces vemos el error: 9 1 16 0 9 1 16 25 0 3 1 4

507

¡Error!

■

Combinación de radicales

a) 32 1 200 5 16 ? 2 1 100 ? 2 5 16 2 1 100 2 5 4 2 1 10 2 5 14 2 b) Si b . 0, entonces

Propiedad 1: !ab 5 !a!b Propiedad distributiva Propiedad 1: !ab 5 !a!b

25b 2 b3 5 25 b 2 b2 b 5 5 b 2 b b 5 (5 2 b) b

Propiedad 5, b . 0 Propiedad distributiva

c) 49x 1 49 5 49(x 1 1) 2

Factorice los cuadrados más grandes

Factorice el 49 Propiedad 1: !ab 5 !a !b

5 7 x 1 1

■

Ahora intente realizar los ejercicios 49, 51 y 53

■ Exponentes racionales Para definir lo que significa exponente racional, o bien, de manera equivalente, un exponente fraccionario, por ejemplo a1/3, necesitamos usar radicales. Para dar significado al símbolo a1/n de forma que sea consistente con las leyes de exponentes deberíamos tener (a1/n)n 5 a(1/n)n 5 a1 5 a Entonces, por la definición de la raíz n-ésima, n

a1/n 5 a En general, definimos exponentes racionales como sigue:

DEFINICIÓN DE EXPONENTES RACIONALES Para cualquier exponente racional m/n en sus términos más elementales, donde m y n son enteros y n . 0 definimos n

am/n 5 ( a)m

o en forma equivalente

am/n 5 am

Si n es par, entonces requerimos que a $ 0.

Con esta definición se puede demostrar que las leyes de exponentes también se cumplen para exponentes racionales. © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Prohibida su venta o reproducción sin el consentimiento por escrito de la Editorial.

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CAPÍTULO 1

■

Fundamentos

DIOFANTO Vivió en Alejandría hacia el año 250 d.C. Su libro Arithmetica es considerado el primer libro de álgebra. En este se presentan métodos para encontrar soluciones enteras de ecuaciones algebraicas. Arithmetica fue leído y estudiado durante más de mil años. Fermat (véase página 117) hizo algunos de sus más importantes descubrimientos cuando estudiaba este libro. La mayor aportación de Diofanto es el uso de símbolos para representar las incógnitas en un problema. Aun cuando su simbolismo no es tan sencillo como el que usamos ahora fue un avance considerable para escribir todo en palabras. En la notación de Diofanto, la ecuación x 5 2 7x 2 1 8x 2 5 5 24

EJEMPLO 11

■

Uso de la definición de exponentes racionales

1/ 2

5 4 5 2

2/ 3

5 ( 8)2 5 22 5 4

a) 4

b) 8

c) 12521/3 5

125

1/3

125

1 5 ■

Ahora intente realizar los ejercicios 55 y 57

EJEMPLO 12

■

Uso de las leyes de los exponentes con exponentes racionales

a) a1/3a7/3 5 a8/3

Ley 1: ama n 5 a m1n

2/5 7/5

a a a

5 a2/517/523/5 5 a6/5

3/5

Ley 1, Ley 2:

c) (2a3b4)3/2 5 23/2(a3)3/2(b4)3/2

DKga%h DgzM° eiskd

am 5 am2n an

Ley 4: (abc)n 5 anbncn

5 ( 2)3a 3(3/2)b4(3/2)

se escribe

Ley 3: (am)n 5 amn

5 2 2a9/2b6

Nuestra moderna notación algebraica no entró en uso común sino hasta el siglo XVII.

Solución alternativa: 82/3 5 82 5 64 5 4

2x3/4

y1/3

x21/2 5

23(x3/4)3 (y1/3)3

? (y4x1/2)

8x9/4 4 1/2 ?y x y

Leyes 5, 4 y 7 Ley 3

5 8x11/4y3

Leyes 1 y 2

■

Ahora intente realizar los ejercicios 61, 63, 67 y 69

EJEMPLO 13 1

■

Uso de las leyes de los exponentes con exponentes racionales

5 x24/3 x4/3 x 3 b) (2 x)(3 x ) 5 (2x1/2)(3x1/3) 5 6x 1/211/3 5 6x 5/6 x x 5 (xx1/2)1/2 c) 5 (x3/2)1/2 a)

Definición de exponentes racionales y negativos Definición de exponentes racionales Ley 1 Definición de exponentes racionales Ley 1

3/4

Ley 3

■

Ahora intente realizar los ejercicios 73 y 77

■ Racionalización del denominador; forma estándar A veces es útil eliminar el radical en un denominador al multiplicar el numerador y el denominador por una expresión apropiada. Este procedimiento se denomina racionalización del denominador. Si el denominador es de la forma a, multiplicamos numerador y denominador por a. Al hacer esto multiplicamos por 1 la cantidad dada, de modo que no cambiamos su valor. Por ejemplo, 1 1 1 a a 5 ?1 5 ? 5 a a a a a Observe que el denominador de la última fracción no contiene radical. En general, si el n denominador es de la forma con am con m , n, entonces multiplicar el numerador n n2m y denominador por a racionalizará el denominador, porque (para a . 0) n

a m a n2m 5 am1n2m 5 a n 5 a © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Prohibida su venta o reproducción sin el consentimiento por escrito de la Editorial.

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SECCIÓN 1.2

■

Exponentes y radicales 21

Se dice que una expresión fraccionaria está en su forma estándar si su denominador no contiene radicales. ■

EJEMPLO 14

Racionalizar denominadores

Escriba cada expresión fraccionaria en su forma estándar al racionalizar el denominador. a)

2 3

1 3

SOLUCIÓN

1 3

1 a2

Esto es igual a 1

2 2 3 5 ? 3 3 3 5

2 3 3

3 ? 3 5 3 3

1 3

3 25 " 5

52 3

1 7

Multiplique por

5 ? 52 5 53 5 5

1 1 2 5 7 2 a a 5

3 3

Multiplique por

Propiedad 2:

a a 5 n b b 7

Multiplique por

a5 7

a5 a

a2 ? a5 5 a

■

Ahora intente realizar los ejercicios 79 y 81

1.2 EJERCICIOS CONCEPTOS 1. a) Usando notación exponencial podemos escribir el producto 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 como

5. Explique cómo racionalizar un denominador y luego com1 : plete los siguientes pasos para racionalizar 3

b) En la expresión 34 el número 3 se denomina

2. a) Cuando multiplicamos dos potencias con la misma base los exponentes. Por tanto 34 ? 35 5 b) Cuando dividimos dos potencias con la misma base 35 los exponentes. Por tanto 2 5 . 3 3 3. a) Usando notación exponencial, podemos escribir 5 como

c) ¿Hay diferencia entre 52 y ( 5 )2? Explique. 4. Explique qué significa 43/2 y, a continuación, calcule 43/2 en dos formas diferentes: 5

(43)

6. Encuentre la potencia faltante en el siguiente cálculo: 51/3 ? 5 5 5. 7–8

■

¿Sí o no? Si es no, explique.

7. a) ¿La expresión (23)22 es igual a 34? b) ¿Hay alguna diferencia entre (25)4 y 25 4?

b) Usando radicales podemos escribir 51/2 como

(41/2)

el número 4 se llama

8. a) ¿La expresión (x 2)3 es igual a x5? b) ¿La expresión (2x4)3 es igual a 2x12? c) ¿La expresión 4a 2 es igual a 2a? d) ¿La expresión a 2 1 4 es igual a a 1 2?

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CAPÍTULO 1

■

Fundamentos

HABILIDADES

33. a)

9–16 ■ Radicales y exponentes Escriba cada expresión radical usando exponentes y cada expresión exponencial usando radicales.

34. a)

Expresión radical

10.

z2z4 z3 z21

11.

b) (3a4b22)3(a2b21)

x2y21 x

y22z23 y

a2/5

15.

■

Radicales y exponentes

Evalúe cada expresión.

17. a) 226

b) (22)6

c) (15)2 ? (23)3

18. a) (25)3

b) 253

c) (25)2 ? (25)2

19. a) (53)0 ? 221

20. a) 223 ? (22)0

223 30

c) (23)22

b) 2223 ? (22)0 b) 54 ? 522

c) (22)3

22. a) 38 ? 35

107 104

c) (35)4

23. a) 3 16 3

24. a) 2 81

40. a)

x 4z 2 4y5

18 b) 81

27 4

18 25

12 49

54 6

c) 15 75

6 1 6 2 128

2 24

(rs2)3 (r23s2)2

2a21b

2 23

q21r21s22 25

r sq

xy22z23

5s t

y 5x22

xyz

2 3 24

b) 16x8

b) x3y6

b) a 2b 64a4b

49–54

3 3

■

64x 6

Expresiones con radicales Simplifique la expresión.

49. a) 32 1 18

b) 75 1 48

50. a) 125 1 45

b) 54 2 16

51. a) 9a3 1 a

b) 16x 1 x5

52. a) x4 1 8x

b) 4 18rt3 1 5 32r3t 5

53. a) 81x2 1 81

b) 36x2 1 36y2

54. a) 27a2 1 63a

b) 75t 1 100t 2

4 1 4

4 1 64

108

b) (2y )

c) y y

30. a) y ? y

b) (8x)

c) x 4x23

31. a) x25 ? x3

b) „22„24„5

x16 x10

32. a) y2 ? y25

b) z5z23z24

y7y0 y10

(u3√ 22)3

29. a) x ? x 5

x y 3a b3

(u21√ 2)2

21 23

48. a) x4y2z2

2 3

5xy22

29–34 ■ Exponentes Simplifique cada expresión y elimine cualquier exponente negativo. 3

2a b

42. a)

x y

25 5

47. a) 64a6b7

5 1 4

46. a) x10

26. a) 10 32

5 1 8

2x3y2 z3

45. a) x4

c) 24 18

ab c3

23 2

45–48 ■ Radicales Simplifique cada expresión. Suponga que las literales representan números reales positivos.

48 3

b) 2 32

3 2

8a3b24

44. a)

132 3

41. a)

43. a)

25. a) 3 15

28. a)

a b

23 c) ( 23 5 )

21. a) 53 ? 5

27. a)

39. a)

1 2

x3y22

221.5

a3 2b2

38. a)

14.

17–28

c) (23z 2)3(2z 3)

36. a) (8m22n4)(12n22)

b) (2a3a2)4

b) (5„2z22)2(z3)

37. a)

16.

(5x6)

35. a) (3x3y2)(2y3) 2/3

1023/2

12. 13.

35–44 ■ Exponentes Simplifique cada expresión y elimine cualquier exponente negativo.

3 3

x 2

b) (a2a4)3

Expresión exponencial

a9a22

22 7

55–60

■

Exponentes racionales Evalúe cada expresión.

55. a) 161/4

b) 281/3

c) 921/2

56. a) 271/3

b) (28)1/3

c) 2(18)1/3

57. a) 322/5

b) (49)21/2

3/4 c) (16 81 )

3/2 58. a) 1252/3 b) (25 c) 64 ) © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Prohibida su venta o reproducción sin el consentimiento por escrito de la Editorial.

2724/3 19.02.2019

SECCIÓN 1.2

59. a) 52/3 ? 51/3

60. a) 32/7 ? 312/7

33/5

83–84 ■ Notación científica científica.

c) ( 4 )3

2/5

72/3

c) ( 6 )210

5/3

61–70 ■ Exponentes racionales Simplifique la expresión y elimine cualquier exponente negativo. Suponga que todas las literales denotan números positivos. 61. a) x3/4x5/4

b) y 2/3y4/3

62. a) (4b)1/2(8b1/4)

b) (3a3/4)2(5a1/2)

63. a)

„4/3„2/3 „

a (2a ) 5/4

1/3

3/4 3

a1/4

64. a) (8y3)22/3

b) (u4√ 6)21/3

65. a) (8a6b3/2)2/3

b) (4a6b8)3/2

66. a) (x y )

b) (4r s

25 1/3 23/5

(8s t )

3 3 2/3

67. a)

x8y24

4s3t 4

16y

y21/2 a1/6b23 x21y

)

(x5/3y2/3)3/5

21/4

3/2

70. a)

4/3

69. a)

(32x y

)

25/4 21/5

5 23/2 2/5

(s4t28)1/4

68. a)

) (32s

8 21/2 1/2

4y3z2/3

x y3

x22b21

a 3/2y1/3

21/2

2 9/2

x23y6

1/3

8z4

x1/2 (9st)3/2

3s22

(27s t )

4t1/3

3 24 2/3

71–78 ■ Radicales Simplifique la expresión y elimine cualquier exponente negativo. Suponga que todas las literales denotan números positivos. 5

71. a) x3

b) x6

72. a) x5

b) x6

73. a) y5 y2

b) (5 x )(2 x )

74. a) b3 b

b) (2 a)( a 2 ) 4

75. a) 4st3 s3t2

x7 4

77. a) 78. a)

x4y16

84. a) 129 540 000 c) 0.0000000014

b) 7 259 000 000 d) 0.0007029

85–86 ■ Notación decimal Escriba cada número en notación decimal. 85. a) 3.19 3 105 c) 2.670 3 1028

b) 2.721 3 108 d) 9.999 3 1029

86. a) 7.1 3 1014 c) 8.55 3 1023

b) 6 3 1012 d) 6.257 3 10210

87–88 ■ Notación científica Escriba en notación científica el número indicado en cada enunciado. 87. a) Un año luz, la distancia que recorre la luz en un año, es alrededor de 5 900 000 000 000 millas. b) El diámetro de un electrón es alrededor de 0.0000000000004 cm. c) Una gota de agua contiene más de 33 trillones de moléculas. 88. a) La distancia de la Tierra al Sol es de unos 93 millones de millas. b) La masa de una molécula de oxígeno es de unos 0.000000000000000000000053 g. c) La masa de la Tierra es de unos 5 970 000 000 000 000 000 000 000 kg. 89–94 ■ Notación científica Use notación científica, las leyes de exponentes y una calculadora para ejecutar las operaciones indicadas. Exprese su respuesta, redondeada al número de cifras significativas indicadas por la información dada. 89. (7.2 3 1029)(1.806 3 10212) 90. (1.062 3 1024)(8.61 3 1019)

y y s s

92.

16u 3√ u√5 3

93.

54x2y4

82. a)

1 5x

s 3t

x 5

b) b)

a 6

1.295643 3 109 (3.610 3 10217)(2.511 3 106) (73.1)(1.6341 3 1028) 0.0000000019 (0.0000162)(0.01582) (594 621 000)(0.0058)

94.

(3.542 3 1026)9 (5.05 3 104)12

2x5y

79–82 ■ Racionalización Escriba cada expresión fraccionaria en forma estándar racionalizando el denominador. 9 1 3 b) 79. a) c) 4 2 6 2 8 12 12 c) 3 b) 80. a) 5 3 52 81. a)

Escriba cada número en notación b) 7 200 000 000 000 d) 0.0001213

91.

8x2 x

Exponentes y radicales 23

83. a) 69 300 000 c) 0.000028536

76. a) x3y2

■

c) c)

1 x3

1 c3/5

HABILIDADES Plus 95. Sean a, b y c números reales con a . 0, b , 0 y c , 0. Determine el signo de cada expresión. a) b5

b) b10

c) ab2c3

d) (b 2 a)3

e) (b 2 a)4

a3c3 b6c6

96. Comparación de raíces Sin usar la calculadora determine cuál número es mayor en cada par. a) 21/2 o 21/3 b) (12)1/2 o (12)1/3 c) 71/4 o 41/3

d) 5 o 3

19.02.2019

CAPÍTULO 1

■

Fundamentos

APLICACIONES 97. Distancia a la estrella más cercana Proxima Centauri, la estrella más cercana a nuestro sistema solar, está a 4.3 años luz de distancia. Use la información del ejercicio 87a) para expresar esta distancia en millas. 98. Velocidad de la luz La velocidad de la luz es de unas 186 000 mi/s. Use la información del ejercicio 88a) para encontrar cuánto tarda un rayo de luz del Sol en llegar a la Tierra.

103. Rapidez de un auto que patina La policía usa la fórmula s 5 30fd para calcular la rapidez s (en mi/h) a la que un auto se desplaza si patina d pies después de aplicar repentinamente los frenos. El número f es el coeficiente de fricción del pavimento, que es una medida de lo “resbaloso” de la carretera. La tabla siguiente da algunos cálculos comunes para f.

Seco Mojado

99. Volumen de los océanos El promedio de profundidad de los océanos es 3.7 3 103 m y el área de los océanos es 3.6 3 1014 m2. Cuál es el volumen total del océano en litros? (Un metro cúbico contiene 1 000 litros.)

Asfalto

Concreto

Grava

1.0 0.5

0.8 0.4

0.2 0.1

a) Si un auto patina 65 pies en concreto mojado, ¿cuál era su velocidad cuando se le aplicaron los frenos? b) Si un auto corre a 50 mi/h, ¿cuánto patinará en asfalto mojado?

100. Deuda nacional Al mes de julio de 2013 la población de Estados Unidos era de 3.164 3 108 y la deuda nacional era de 1.674 3 1013 dólares. ¿Cuánto era la parte de deuda que le correspondía a cada persona? [Fuente: Oficina del Censo y Departamento del Tesoro de Estados Unidos] 101. Número de moléculas Una sala sellada de un hospital, con medidas de 5 m de ancho, 10 m de largo y 3 m de alto, está llena de oxígeno puro. Un metro cúbico contiene 1 000 L; y 22.4 L de cualquier gas contienen 6.02 3 1023 moléculas (número de Avogadro). ¿Cuántas moléculas de oxígeno hay en la sala? 102. ¿A qué distancia puede usted ver? Debido a la curvatura de la Tierra, la distancia máxima D a la que se puede ver desde lo alto de un edificio de altura h se calcula con la fórmula D 5 2rh 1 h2 donde r 5 3 960 millas es el radio de la Tierra y D y h también se miden en millas. ¿A qué distancia se puede ver desde la cubierta de observación de la Torre CN de Toronto, que está a 1 135 pies sobre el suelo? Torre CN r

104. Distancia de la Tierra al Sol Se deduce de la Tercera ley de Kepler del movimiento planetario, que el promedio de distancia de un planeta al Sol (en metros) es d5

GM 4p3

1/3

T 2/3

donde M 5 1.99 3 1030 kg es la masa del Sol, G 5 6.67 3 10211 N ? m2/kg2 es la constante gravitacional y T es el periodo de la órbita del planeta (en segundos). Use el dato de que el periodo de la órbita de la Tierra es alrededor de 365.25 días para determinar la distancia de la Tierra al Sol.

DESCUBRIMIENTO ■ DISCUSIÓN ■ DEMOSTRACIÓN ■ REDACCIÓN 105. DISCUSIÓN: ¿Cuánto es mil millones? Si usted tuviera un millón (106) de dólares en una maleta y gastara mil dólares (10 3) al día, ¿cuántos años tardaría en gastarse todo el dinero? Gastando al mismo ritmo, ¿cuántos años tardaría en vaciar la maleta llena con mil millones (10 9 ) de dólares? 106. DISCUSIÓN: Potencias fáciles que se ven difíciles Calcule mentalmente estas expresiones. Use la ley de exponentes como ayuda. a)

185 95

b) 206 ? (0.5)6

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SECCIÓN 1.3 107. DISCUSIÓN: Límite del comportamiento de potencias Complete las tablas siguientes. ¿Qué ocurre con la raíz n-ésima de 2 cuando n se hace grande? ¿Qué se puede decir acerca de la raíz n-ésima de 12? n

1 2 5 10 100

21/n

( 12 )1/n

■

Expresiones algebraicas 25

108. DEMOSTRACIÓN: Leyes de exponentes Demuestre las siguientes leyes de exponentes para el caso en que m y n son enteros positivos y m . n. am a n an a) Ley 2: n 5 am2n b) Ley 5: 5 n b a b 109. DEMOSTRACIÓN: Leyes de exponentes Demuestre las siguientes leyes de exponentes. a2n a 2n bn bm a) Ley 6: 5 n b) Ley 7: 2m 5 n b b a a

1 2 5 10 100

Construya una tabla similar para n1/n. ¿Qué ocurre con la raíz n-ésima de n cuando n se hace grande?

1.3 EXPRESIONES ALGEBRAICAS ■ Suma y resta de polinomios ■ Multiplicación de expresiones algebraicas ■ Fórmulas de productos notables ■ Factorización de factores comunes ■ Factorización de trinomios ■ Fórmulas especiales de factorización ■ Factorización por agrupación de términos Una variable es una letra que puede representar cualquier número tomado de un conjunto de números dado. Si empezamos con variables, por ejemplo x, y y z, y algunos números reales, y las combinamos usando suma, resta, multiplicación, división, potencias y raíces, obtenemos una expresión algebraica. Veamos a continuación algunos ejemplos: y 2 2z x 1 10 2x2 2 3x 1 4 y2 1 4 Un monomio es una expresión de la forma ax k, donde a es un número real y k es un entero no negativo. Un binomio es una suma de dos monomios y un trinomio es una suma de tres monomios. En general, una suma de monomios se llama polinomio. Por ejemplo, la primera expresión citada líneas arriba es un polinomio, pero las otras dos no lo son.

POLINOMIOS Un polinomio en la variable x es una expresión de la forma anx n 1 an21xn21 1 . . . 1 a1x 1 a0 donde a0, a1, . . . , an son números reales, y n es un entero no negativo. Si an ? 0, entonces el polinomio tiene grado n. Los monomios a k x k que conforman el polinomio reciben el nombre de términos del polinomio. Observe que el grado de un polinomio es la potencia más alta de la variable que aparece en el polinomio. Polinomio 2

2x 2 3x 1 4 x 8 1 5x 8 2 x 1 x 2 2 12 x 3 5x 1 1 9x 5 6

Tipo trinomio binomio cuatro términos binomio monomio monomio

Términos

Grado

2x , 23x, 4 x 8, 5x 212 x 3, x 2, 2x, 3 5x, 1 9x 5 6

19.02.2019

2 8 3 1 5 0

CAPÍTULO 1

■

Fundamentos

■ Suma y resta de polinomios

Propiedad distributiva

Sumamos y restamos polinomios usando las propiedades de los números reales que vimos en la sección 1.1. La idea es combinar términos semejantes (esto es, términos con las mismas variables elevadas a las mismas potencias) usando la propiedad distributiva. Por ejemplo,

ac 1 bc 5 (a 1 b)c

5x 7 1 3x7 5 (5 1 3)x7 5 8x 7 Para restar polinomios, tenemos que recordar que, si un signo menos precede a una expresión entre paréntesis, entonces cuando quitemos el paréntesis se debe cambiar el signo de cada término dentro del paréntesis: 2(b 1 c) 5 2b 2 c [Este es simplemente el caso de la propiedad distributiva, a(b 1 c) 5 ab 1 ac, con a 5 21.]

EJEMPL0 1

■

Suma y resta de polinomios

a) Encuentre la suma (x3 2 6x2 1 2x 1 4) 1 (x 3 1 5x2 2 7x). b) Encuentre la diferencia (x3 2 6x 2 1 2x 1 4) 2 (x3 1 5x2 2 7x). SOLUCIÓN

a) (x3 2 6x2 1 2x 1 4) 1 (x3 1 5x2 2 7x) 5 (x 3 1 x3) 1 (26x2 1 5x 2) 1 (2x 2 7x) 1 4 5 2x 3 2 x2 2 5x 1 4 3 b) (x 2 6x2 1 2x 1 4) 2 (x3 1 5x2 2 7x) 5 x 3 2 6x 2 1 2x 1 4 2 x 3 2 5x 2 1 7x 5 (x3 2 x3) 1 (26x2 2 5x 2) 1 (2x 1 7x) 1 4 5 211x2 1 9x 1 4

Agrupe términos semejantes Combine términos semejantes Propiedad distributiva Agrupe términos semejantes Combine términos semejantes

■

Ahora intente realizar los ejercicios 17 y 19

■ Multiplicación de expresiones algebraicas

El acrónimo FOIL nos ayuda a recordar que el producto de dos binomios es la suma de los productos de los primeros (First) términos, los términos externos (Outer), los términos internos (Inner) y los últimos (Last).

Para encontrar el producto de polinomios o de otras expresiones algebraicas es necesario usar repetidamente la propiedad distributiva. En particular, usándola tres veces en el producto de dos binomios, obtenemos (a 1 b)(c 1 d) 5 a(c 1 d) 1 b(c 1 d) 5 ac 1 ad 1 bc 1 bd Esto señala que multiplicamos los dos factores al multiplicar cada término de un factor por cada término del otro factor y sumamos estos productos. Esquemáticamente, tenemos (a 1 b2)(c 1 d) 5 ac 1 ad 1 bc 1 bd ↑ F

↑ O

↑ I

↑ L

En general, podemos multiplicar dos expresiones algebraicas usando para ello la propiedad distributiva y las leyes de exponentes.

EJEMPLO 2

■

Multiplicación de binomios usando FOIL

(2x 1 1)(3x 2 5) 5 6x 2 2 10x 1 3x 2 5 ↑ F

↑ O

5 6x 2 2 7x 2 5

↑ I

Propiedad distributiva

↑ L

Combine términos semejantes

■

Ahora intente realizar el ejercicio 25 © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Prohibida su venta o reproducción sin el consentimiento por escrito de la Editorial.

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SECCIÓN 1.3

■

Expresiones algebraicas 27

Cuando multiplicamos trinomios u otros polinomios con más términos usamos la propiedad distributiva. También es útil ordenar nuestro trabajo en forma de tabla. El siguiente ejemplo ilustra ambos métodos.

EJEMPLO 3

■

Multiplicación de polinomios

Encuentre el producto: (2x 1 3)(x2 2 5x 1 4) SOLUCIÓN 1: Usando la propiedad distributiva

(2x 1 3)(x 2 5x 1 4) 5 2x(x2 2 5x 1 4) 1 3(x2 2 5x 1 4) 2

Propiedad distributiva

5 (2x ? x 2 2x ? 5x 1 2x ? 4) 1 (3 ? x 2 3 ? 5x 1 3 ? 4)

Propiedad distributiva

5 (2x3 2 10x2 1 8x) 1 (3x2 2 15x 1 12)

Leyes de exponentes

5 2x 2 7x 2 7x 1 12

Combine términos semejantes

SOLUCIÓN 2: En forma de tabla

x2 2 5x 1 4 2x 1 3 2 3x 2 15x 1 12 2x 3 2 10x2 1 8x 2x 3 2 7x2 2 7x 1 12

Multiplique x 2 2 5x 1 4 por 3 Multiplique x 2 2 5x 1 4 por 2x Sume términos semejantes

■

Ahora intente realizar el ejercicio 47

■ Fórmulas de productos notables Ciertos tipos de productos se presentan con tanta frecuencia que es necesario aprendérselos. Se pueden verificar las siguientes fórmulas al ejecutar las multiplicaciones.

FÓRMULAS DE PRODUCTOS NOTABLES Si A y B son cualesquier números reales o expresiones algebraicas, entonces 1. (A 1 B)(A 2 B) 5 A2 2 B2

Suma y producto de términos iguales

2. (A 1 B)2 5 A2 1 2AB 1 B2

Cuadrado de una suma

3. (A 2 B) 5 A 2 2AB 1 B

Cuadrado de una diferencia

4. (A 1 B)3 5 A3 1 3A2B 1 3AB2 1 B3

Cubo de una suma

5. (A 2 B) 5 A 2 3A B 1 3AB 2 B

Cubo de una diferencia

La idea clave en el uso de estas fórmulas (o cualquier otra fórmula en álgebra) es el principio de sustitución: podemos sustituir cualquier expresión algebraica por cualquier letra en una fórmula. Por ejemplo, para encontrar (x 2 1 y3)2 usamos la fórmula 2 de productos, sustituyendo x 2 por A y y 3 por B, para obtener (x2 1 y3)2 5 (x2)2 1 2(x2)(y3) 1 (y3)2 (A 1 B)2 5 A2

2AB

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CAPÍTULO 1

■

Fundamentos

Las matemáticas en el mundo moderno Cambio de palabras, sonido e imágenes en números Imágenes, sonido y texto se transmiten rutinariamente de un lugar a otro a través de internet, fax o módems. ¿Cómo pueden estas cosas transmitirse mediante cables telefónicos? La clave para hacer esto es cambiarlas a números o bits (los dígitos 0 o 1). Es fácil ver cómo cambiar texto a números. Por ejemplo, podríamos usar la correspondencia A 5 00000001, B 5 00000010, C 5 00000011, D 5 00000100, E 5 00000101 y así, sucesivamente. La palabra “BED” (CAMA) se convierte entonces en 000000100000010100000100. Al leer los dígitos en grupos de ocho, es posible transformar este número de nuevo a la palabra “BED”. Cambiar sonidos a bits es más complicado. Una onda de sonido puede ser graficada en un osciloscopio o en computadora. La gráfica se descompone a continuación matemáticamente en componentes más sencillos correspondientes a las diferentes frecuencias del sonido original. (Aquí se usa una rama de las matemáticas de nombre Análisis de Fourier.) La intensidad de cada componente es un número, y el sonido original se puede reconstruir a partir de estos números. Por ejemplo, se almacena música en un CD como una sucesión de bits; puede verse como 101010001010010100101010 1000001011110101000101011. . . (Un segundo de música requiere 1.5 millones de bits.) El reproductor de CD reconstruye la música a partir de los números presentes en el CD. Cambiar imágenes a números comprende expresar el color y brillantez de cada punto (o pixel) en un número. Esto se hace en forma muy eficiente usando una rama de las matemáticas llamada teoría ondulatoria. El FBI emplea trenes de ondas como una forma de compactar y almacenar en archivos millones de huellas dactilares que necesitan.

EJEMPLO 4

■

Uso de las fórmulas de productos notables

Use las fórmulas de productos notables para encontrar cada producto. a) (3x 1 5)2 b) (x 2 2 2)3 SOLUCIÓN

a) Sustituyendo A 5 3x y B 5 5 en la fórmula 2 de productos obtenemos: (3x 1 5)2 5 (3x)2 1 2(3x)(5) 1 52 5 9x 2 1 30x 1 25 b) Sustituyendo A 5 x2 y B 5 2 en la fórmula 5 de productos obtenemos: (x 2 2 2)3 5 (x2)3 2 3(x2)2(2) 1 3(x2)(2)2 2 23 5 x 6 2 6x4 1 12x 2 2 8 ■

Ahora intente realizar los ejercicios 31 y 43

EJEMPLO 5

■

Uso de las fórmulas de productos notales

Encuentre cada producto. a) (2x 2 y )(2x 1 y )

b) (x 1 y 2 1)(x 1 y 1 1)

SOLUCIÓN

a) Sustituyendo A 5 2x y B 5 y en la fórmula 1 de productos obtenemos: (2x 2 y )(2x 1 y ) 5 (2x)2 2 ( y )2 5 4x 2 2 y b) Si agrupamos x 1 y y la vemos como una expresión algebraica, podemos usar la fórmula 1 de productos con A 5 x 1 y y B 5 1. (x 1 y 2 1)(x 1 y 1 1) 5 3(x 1 y) 2 143(x 1 y) 1 14 5 (x 1 y)2 2 12 2

Fórmula de producto 1

5 x 1 2xy 1 y 2 1

Fórmula de producto 2

■

Ahora intente realizar los ejercicios 57 y 61

■ Factorización de factores comunes Usamos la propiedad distributiva para desarrollar expresiones algebraicas. A veces necesitamos invertir este proceso (de nuevo usando la propiedad distributiva) al factorizar una expresión como el producto de otras más sencillas. Por ejemplo, podemos escribir x2 2 4 5 (x 2 2)(x 1 2) Decimos que x 2 2 y x 1 2 son factores de x2 2 4. El tipo más sencillo de factorización se presenta cuando los términos tienen un factor común.

EJEMPLO 6

■

Factorización de factores comunes

Factorice cada una de las siguientes expresiones. a) 3x2 2 6x b) 8x4y2 1 6x 3y 3 2 2xy4 VERIFIQUE SU RESPUESTA

La multiplicación da 3x(x 2 2) 5 3x2 2 6x ✓

c) (2x 1 4)(x 2 3) 2 5(x 2 3)

SOLUCIÓN

a) El máximo factor común en los términos 3x 2 y 26x es 3x, de modo que tenemos 3x 2 2 6x 5 3x(x 2 2)

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SECCIÓN 1.3

■

Expresiones algebraicas 29

b) Observamos que 8, 6 y 22 tienen el máximo factor común 2 x 4, x 3 y x tienen el máximo factor común x y 2, y 3 y y 4 tienen el máximo factor común y 2 Por tanto, el máximo factor común de los tres términos del polinomio es 2xy 2, y tenemos

VERIFIQUE SU RESPUESTA

La multiplicación da

8x4y2 1 6x3y3 2 2xy4 5 (2xy2)(4x3) 1 (2xy2)(3x2y) 1 (2xy2)(2y2)

2xy2(4x3 1 3x2y 2 y2) 5 8x 4y2 1 6x3y3 2 2xy4

5 2xy2(4x3 1 3x2y 2 y2)

✓

c) Los dos términos tienen el factor común x 2 3.

(2x 1 4)(x 2 3) 2 5(x 2 3) 5 3(2x 1 4) 2 54(x 2 3) 5 (2x 2 1)(x 2 3)

Propiedad distributiva Simplifique

■

Ahora intente realizar los ejercicios 63, 65 y 67

■ Factorización de trinomios Para factorizar un trinomio de la forma x 2 1 bx 1 c observamos que (x 1 r)(x 1 s) 5 x2 1 (r 1 s)x 1 rs por lo que necesitamos escoger números r y s tales que r 1 s 5 b y rs 5 c.

EJEMPLO 7 Factorice: VERIFIQUE SU RESPUESTA

La multiplicación da (x 1 3)(x 1 4) 5 x2 1 7x 1 12

✓

■

Factorizar x 2 1 bx 1 c por ensayo y error

x 2 1 7x 1 12

SOLUCIÓN Necesitamos encontrar dos enteros cuyo producto sea 12 y cuya suma sea 7. Por ensayo y error encontramos que los dos enteros son 3 y 4. Entonces, la factorización es x2 1 7x 1 12 5 (x 1 3)(x 1 4) factores de 12

■

Ahora intente realizar el ejercicio 69

Para factorizar un trinomio de la forma ax2 1 bx 1 c con a ? 1, buscamos factores de la forma px 1 r y qx 1 s:

factores de a ↓ ↓

ax2 1 bx 1 c 5 (px 1 r)(qx 1 s) 5 pqx2 1 (ps 1 qr)x 1 rs

a x 2 1 bx 1 c 5 Ó px 1 rÔÓqx 1 sÔ ↑ ↑ factores de c

Por tanto, tratamos de encontrar números p, q, r y s tales que pq 5 a, rs 5 c, ps 1 qr 5 b. Si todos estos números son enteros, entonces tendremos un limitado número de posibilidades de intentar encontrar p, q, r y s.

PROYECTO DE DESCUBRIMIENTO b

b™

a™

Visualización de una fórmula Muchas de las fórmulas de productos especiales en esta sección pueden ser “vistas” como hechos geométricos acerca de la longitud, el área y el volumen. Por ejemplo, la fórmula del cuadrado de una suma puede interpretarse en referencia a áreas de cuadrados y rectángulos. Los antiguos griegos siempre interpretaban las fórmulas algebraicas en términos de figuras geométricas. Esas figuras nos dan una vista especial de cómo funcionan estas fórmulas. Puede encontrar el proyecto en www.stewartmath.com.* * Este material se encuentra disponible en inglés.

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CAPÍTULO 1

■

Fundamentos ■

EJEMPLO 8 Factorice:

Factorización de ax 2 + bx + c por ensayo y error

6x 2 1 7x 2 5

SOLUCIÓN Podemos factorizar 6 como 6 ? 1 o 3 ? 2 y 25 como 25 ? 1 o (21). Al tratar estas posibilidades llegamos a la factorización factores de 6 VERIFIQUE SU RESPUESTA

6x2 1 7x 2 5 5 (3x 1 5)(2x 2 1)

La multiplicación da (3x 1 5)(2x 2 1) 5 6x2 1 7x 2 5

✓

factores de 25

■

Ahora intente realizar el ejercicio 71

■

EJEMPLO 9

Reconocer la forma de una expresión

Factorice lo siguiente. a) x2 2 2x 2 3

b) (5a 1 1)2 2 2(5a 1 1) 2 3

SOLUCIÓN

a) x2 2 2x 2 3 5 (x 2 3)(x 1 1) b) Esta expresión es de la forma

Ensayo y error 2

donde representa 5a 1 1. Esta es la misma forma que la expresión del inciso a), de modo que se factoriza como 1 2 321 1 12. 1 5a 1 1 2 2 2 21 5a 1 1 2 2 3 5 31 5a 1 1 2 2 34 31 5a 1 1 2 1 14 5 15a 2 22 15a 1 22

■

Ahora intente realizar el ejercicio 75

■ Fórmulas especiales de factorización Algunas expresiones algebraicas notables se pueden factorizar usando las fórmulas siguientes. Las tres primeras son simplemente fórmulas de productos notables escritas a la inversa.

FÓRMULAS ESPECIALES DE FACTORIZACIÓN Fórmula

Nombre

1. A 2 B 5 (A 2 B)(A 1 B)

Diferencia de cuadrados

2. A 1 2AB 1 B 5 (A 1 B)

Cuadrado perfecto

3. A2 2 2AB 1 B 2 5 (A 2 B)2

Cuadrado perfecto

4. A 2 B 5 (A 2 B)(A 1 AB 1 B )

Diferencia de cubos

5. A3 1 B 3 5 (A 1 B)(A2 2 AB 1 B 2)

Suma de cubos

EJEMPLO 10

■

Factorizar diferencias de cuadrados

Factorice cada expresión. a) 4x2 2 25

b) (x 1 y)2 2 z2

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Precálculo. Matemáticas para el cálculo, séptima edición proporciona a los estudiantes las herramientas necesarias para prepararlos en esta materia. El estudiante de cálculo requiere no sólo conocimientos técnicos, sino también una clara comprensión de los conceptos y es por ello que esta obra promueve que la comprensión conceptual y los conocimientos técnicos vayan de la mano y se refuercen entre sí. Sus alumnos aprenderán a valorar el poder y la utilidad de las matemáticas para modelar el mundo real, ya que todos los temas que conforman este texto están encaminados a alcanzar dicho objetivo, además de estar organizados de tal forma que abarcan diferentes estilos de enseñanza. En particular, cada tema se presenta algebraicamente, gráficamente, numéricamente y verbalmente enfatizando las relaciones entre cada tipo de representación. El propósito de esta séptima edición de Precálculo. Matemáticas para el cálculo es reafirmar la utilidad del libro como herramienta de enseñanza para los profesores y, para los estudiantes, como herramienta de aprendizaje.

ISBN-13: 978-607-526-279-6 ISBN-10: 607-526-279-2

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