Mate 1 para Bachillerato by Cengage

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RICHARD N. AUFMANN, JOANNE S. LOCKWOOD, JAMES STEWART, LOTHAR REDLIN, SALEEM WATSON

MATE

BACHILLERATO Segunda edición

ACCESO EN LÍNEA A UNA AMPLIA VARIEDAD DE COMPLEMENTOS DIGITALES PARA TU APRENDIZAJE Reg. 403 VS © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

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P RO BA D O P O R LO S E ST U D I A N T E S , A P RO BA D O P O R LO S D O C E N T E S

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MATE

Como todas las soluciones de 4LTR Press, MATE 1. Bachillerato, segunda edición empieza y termina con retroalimentación de estudiantes y docentes. Esta obra incluye:

Ejemplos y ejercicios adicionales Inténtalo Este complemento incluye un ejemplo y un ejercicio adicionales, similares a los de este libro, para reforzar cada objetivo de aprendizaje en todas las secciones aquí incluidas.

COMPLEMENTOS DIGITALES

Ejercicios de repaso y Segundo repaso Los Ejercicios de repaso consideran un ejercicio más por cada objetivo de las lecciones del libro, pero ahora sin la guía de un ejemplo, para que practiques por tu propia cuenta lo aprendido. Por su parte, el Segundo repaso es una especie de primer examen para que pongas a prueba tus habilidades en los temas vistos en cada sección.

Cuestionario Este complemento resulta muy útil al ﬁnalizar todas las lecciones, pues te permite veriﬁcar cuánto aprendiste en cada sección; consta de una serie de preguntas de opción múltiple, basadas en los temas abordados.

Manuales de soluciones El Manual de soluciones 1 está integrado por las soluciones de todo el contenido incluido en este libro: exámenes de preparación, ejercicios Inténtalo y las prácticas individuales y en equipo. Por su parte, el Manual de soluciones 2 contiene las soluciones de todos los complementos digitales enumerados antes.

Glosarios

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Los primeros adoptantes aceptan esta estrategia, adquieren las múltiples soluciones de 4LTR Press para impulsar mejores resultados.

En una misma escuela adoptan por primera vez más de 20 títulos.

JUNIO 2009

Marca de un millón de dólares en ahorros para los estudiantes.

ENERO 2009

HACIA EL 2008

Adopción inicial de MKTG.

2008

El profesorado avala ampliamente nuestra estrategia probada por los estudiantes, aprobada por los docentes, pero sugiere un cambio de título, de Marketing To Go a MKTG, con el cual se lanza oﬁcialmente la marca 4LTR Press.

El número de nuestros títulos crece a ocho soluciones de diversas disciplinas relacionadas con los negocios.

ABRIL 2007

MKTG publica y lanza un nuevo debate sobre la mejor manera de interesar a los estudiantes de hoy.

MARZO 2007

Empiezan las conversaciones con estudiantes.

OTOÑO 2006

PRIMAVERA 2006

CRONOLOGÍA DE 4LTR PRESS

Con los conceptos más importantes de cada sección del libro.

PROBADO POR LOS ESTUDIANTES Y APROBADO POR LOS DOCENTES

SOLUCIÓN Todas las soluciones de 4LTR Press: UNIDAD 11 / SEGUNDO SEMESTRE

unidad 1

Razones trigonométricas y triángulos rectángulos

Conjuntos y sus operaciones RICHARD N. AUFMANN, JOANNE S. LOCKWOOD, JAMES STEWART, LOTHAR REDLIN, SALEEM WATSON

MATE1 BACHILLERATO

u en grados

u en radianes

cos u

tan u

csc u

sec u

cot u

p 6

1 2

13 2

13 3

2 13 3

p 4

12 2

p 3

13 2

1 2

2 13 3

Signos de las funciones trigonométricas

Segunda edición

sen u

A B C

13 3

Cuadrante

Funciones positivas

1.2 Cardinalidad de conjuntos

todas

ninguna

sen, csc

cos, sec, tan, cot

III

tan, cot

sen, csc, cos, sec

cos, sec

sen, csc, tan, cot

A B

p. 216

Cardinalidad de conjuntos finitos. Problemas de cardinalidad.

Examen

de preparación

¿Estás preparado para comenzar? Resuelve el siguiente examen de preparación y averigua si estás listo para aprender los temas de esta primera unidad. 1. Observa la imagen y responde: ¿cuál es el número mínimo de frutas que deben moverse de una canasta a otra para que ambas tengan el mismo número de frutas?

Ángulo de referencia

El área de un triángulo con lados de longitudes a y b y con ángulo u incluido es 1 2 ab

La Teoría de Conjuntos. Notación y propiedades de los conjuntos. Aprender sobre unión, intersección y complemento de conjuntos. Diagramas de Venn y de Euler.

Funciones negativas

I II

Sea un ángulo en posición normal. El ángulo de referencia asociado con es el ángulo agudo formado por el lado terminal de y el eje x. Área de un triángulo

ÁMBITO: Números y sus operaciones

Lecciones: 1.1 Conjuntos y sus operaciones

p. 208

sen u

p. 221

p. 225

Las funciones seno inverso, coseno inverso y tangente inversa Función sen 1 x cos 1 x tan 1 x

Dominio 3 1, 1 4 3 1, 1 4

2. De la siguiente lista, marca cuál es un conjunto vacío:

Rango 3 p/ 2, p/ 2 4 3 0, p 4

a) El conjunto de frutas amarillas que existen. b) El conjunto de los mexicanos que han ganado un premio Nobel. c) El conjunto de los números impares múltiplos de 51. d) El conjunto de los conjuntos vacíos. e) El conjunto de alumnos de tu salón que obtuvieron una calificación máxima en su última evaluación de matemáticas.

p. 226

1 p/ 2, p/ 2 2

Las funciones sen 1, x cos 1 x y tan 1 x a veces reciben el nombre de arcseno, arccoseno y arctangente, respectivamente.

Para resolver triángulos rectángulos se usa: 1. A + B = 90° 2. El teorema de Pitágoras a2 + b2 = c2 3. Las razones trigonométricas 4. Razones trigonométricas inversas

(

Resolución de triángulos rectángulos 7.5

a A

p. 229

3. Cien alumnos presentaron un examen con dos preguntas; sabemos que 90 resolvieron el primer problema, y que 85 resolvieron el segundo ¿Al menos cuántos alumnos resolvieron los dos problemas?

90°

(

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b 12

ACCESO EN LÍNEA A UNA AMPLIA VARIEDAD DE COMPLEMENTOS DIGITALES PARA TU APRENDIZAJE

Texto con gran atractivo visual

Tarjetas de repaso desprendibles

Libro electrónico

COMPLEMENTOS DIGITALES PARA ESTUDIANTES Y DOCENTES:

Nota para

el docente

Para fines prác ticos, los ejercic desarrollados ios en cada tema de este libro son sólo muest ras que el prof esor puede dosificar segú n sus necesidad es en el aula. Para ampliar la práctica de co nceptos y temas, se reco mienda accede r ta m bién a los complemento s digitales.

1. Ingresa a latinoamerica.cengage.com y busca tu libro de texto por título. 2. Dirígete a los materiales de apoyo de estudiante o del profesor según corresponda. 3. Sigue las indicaciones del sitio para descargar los complementos digitales.

“Utilicé todos los elementos de las soluciones de 4LTR Press y considero que fueron herramientas de estudio muy útiles”. -Consuelo Sada, estudiante, Valencia, Escuela Superior de la Comunidad de Valencia

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BACHILLERATO Segunda edición

Ana Elizabeth García Hernández Instituto Politécnico Nacional José Antonio Camargo Caballero Universidad Nacional Autónoma de México

Traducción María Guadalupe Meza y Staines Traductora profesional Jorge Humberto Romo Muñoz Traductor profesional

Revisión técnica Valerio Auguste Consultor sección Bachillerato de la red de Colegios Semper Altius

Australia • Brasil • Estados Unidos • México • Reino Unido • Singapur

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MATE 1. Bachillerato, segunda ediciÃ³n Richard N. Aufmann, Joanne S. Lockwood, James Stewart, Lothar Redlin, Saleem Watson. Director Higher Education LatinoamÃ©rica: Renzo CasapÃa Valencia Gerente editorial LatinoamÃ©rica: -HVÂ¼V 0DUHV &KDFÂµQ Editora de desarrollo: Cinthia ChÃ¡vez Ceballos Coordinador de Manufactura: Rafael PÃ©rez GonzÃ¡lez Imagen de la portada Â© Scanrail/stock.adobe.com &RPSRVLFLÂµQ WLSRJUÂ£È´FD MB Soluciones Editoriales MÃ©xico Juan Pablo RodrÃguez VelÃ¡zquez Alma Guadalupe Soto ZÃ¡rraga Alberto Cerqueira da Fonseca

Â© D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una CompaÃ±Ãa de Cengage Learning, Inc. &DUUHWHUD 0Â«[LFR 7ROXFD QÂ¼P RÈ´FLQD &RO (O <DTXL 'HO &XDMLPDOSD &3 Ciudad de MÃ©xico. Cengage LearningÂ® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podrÃ¡ ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea JUÂ£È´FR HOHFWUÂµQLFR R PHFÂ£QLFR LQFOX\HQGR pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, UHSURGXFFLÂµQ HVFDQHR GLJLWDOL]DFLÂµQ JUDEDFLÂµQ HQ DXGLR GLVWULEXFLÂµQ HQ Î&#x2013;QWHUQHW GLVWULEXFLÂµQ HQ UHGHV GH LQIRUPDFLÂµQ R DOPDFHQDPLHQWR \ UHFRSLODFLÂµQ HQ VLVWHPDV GH LQIRUPDFLÂµQ D H[FHSFLÂµQ GH OR SHUPLWLGR en el CapÃtulo III, ArtÃculo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial. (VWD HV XQD DGDSWDFLÂµQ GH ORV OLEURV Â&#x192;OJHEUD elemental de Richard Aufmann y Joanne Lockwood. Publicado por Cengage Learning con ISBN 978-607 WUDGXFLGR GH OD REUD %HJLQQLQJ $OJHEUD 8th Edition. Publicado en inglÃ©s por Brooks/Cole, una FRPSDÂ³Â¯D GH &HQJDJH /HDUQLQJ k FRQ Î&#x2013;6%1 978-111-157-870-1. Y PrecÃ¡lculo. MatemÃ¡ticas para el CÃ¡lculo de James Stewart, Lothar Redlin, Saleem Watson. Publicado por Cengage Learning con ISBN 978-607-481-777-5, traducido de la obra Precalculus: Mathematics for Calculus, 6th Edition. Publicado en inglÃ©s por Cengage Learning Â© 2012 con ISBN 978084-006-807-1. 'DWRV SDUD FDWDORJDFLÂµQ ELEOLRJUÂ£È´FD Aufmann, Richard, Joanne S. Lockwood, James Stewart, Lothar Redlin, Saleem Watson. MATE 1. Bachillerato, VHJXQGD HGLFLÂµQ ISBN 978-607-526-775-3 Visite nuestro sitio en: http://latinoamerica.cengage.com

Impreso en MÃ©xico 1 2 3 4 5 7 22 21 20 19

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Contenido A Problemas con velocidad del viento y velocidad de una corriente B Problemas de aplicación

SEMESTRE 1 Unidad 1 Conjuntos y sus operaciones Conjuntos y sus operaciones A La Teoría de Conjuntos B Notación y propiedades de los conjuntos C Aprender sobre unión, intersección y complemento de conjuntos D Diagramas de Venn y de Euler

1.2

Cardinalidad de conjuntos A Cardinalidad de conjuntos finitos B Problemas de cardinalidad

Unidad 2 Conjuntos de números reales y jerarquía de operaciones 2.1

2.2

2.3

3.2

5.1

Potencias de un binomio A Binomio al cuadrado B Binomio al cubo C Binomio a la enésima potencia y triángulo de Pascal

75 75 76 77

12 12 13

5.2

Binomio de Newton A Conocer y aplicar el Binomio de Newton

79 79

5.3

Productos notables A Producto de dos y tres binomios con término común B Producto de binomios conjugados

81 81 83

Unidad 6 Factorización

5 5 6 7 9

Introducción a los números reales A Desigualdad y valor absoluto B Notación de intervalos y operaciones con conjuntos

17 17 21

Operaciones con números enteros A Operaciones con números enteros B El orden o jerarquía de las operaciones

27 27 33

Operaciones con números racionales A Operaciones con números racionales B Orden de las operaciones y fracciones complejas C Notación decimal

34 34 38 40

Unidad 3 Desigualdades e intervalos solución 3.1

Unidad 5 Productos notables y Binomio de Newton

1.1

6.1

Factores comunes A Factorizar un monomio de un polinomio o factorización por término común

6.2

Factorización de polinomios de la forma x2 + bx + c A Factorizar trinomios de la forma x2 + bx + c B Factorizar completamente

6.3

Factorización de polinomios de la forma ax2 + bx + c A Factorizar trinomios de la forma ax2 + bx + c utilizando factores de prueba B Factorizar trinomios de la forma ax2 + bx + c por agrupamiento de términos

Desigualdades A Resolver desigualdades utilizando la propiedad aditiva de las desigualdades B Resolver desigualdades utilizando la propiedad multiplicativa de las desigualdades C Resolver desigualdades generales

Ecuaciones lineales A Resolver ecuaciones de la forma ax + b = c B Resolver ecuaciones de la forma ax + b = c x +d C Resolver ecuaciones que contienen paréntesis D Resolver problemas de aplicación utilizando fórmulas

50 50 53 54 56

43 46 49

6.4

6.5

84 85 85 88 88 91 93 93 97

Factorización especial A Factorizar la diferencia de cuadrados y trinomios cuadrados perfectos

100 100

Factorizar completamente polinomios A Factorizar completamente

104 104

Unidad 7 Ecuaciones cuadráticas 7.1

Unidad 4 Sistema de ecuaciones lineales

106

La ecuación cuadrática A Resolver ecuaciones cuadráticas por factorización B Ecuación cuadrática sin término lineal C Ecuación cuadrática sin término independiente D Resolver ecuaciones cuadráticas por fórmula cuadrática y discriminante

107 107 110 111

Resolver sistemas de ecuaciones lineales por el método gráfico A Resolver sistemas de ecuaciones por el método gráfico

59 59

4.2

Resolver sistemas de ecuaciones por el método de sustitución A Resolver sistemas de ecuaciones por el método de sustitución

63 63

SEMESTRE 2

4.3

Solución de sistemas de ecuaciones lineales por el método de suma y resta (o de eliminación) A Resolver sistemas de ecuaciones lineales por el método de suma y resta

Unidad 8 Expresiones racionales y fracciones complejas

4.1

4.4

Problemas de aplicación con dos variables

69 71

8.1

Multiplicación y división de fracciones algebraicas A Simplificar fracciones algebraicas B Multiplicar fracciones algebraicas

112

124 125 125 127

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vii

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C Dividir fracciones algebraicas Fracciones algebraicas en términos del mínimo común denominador (mcd) A Encontrar el mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más polinomios B Expresar dos fracciones en términos del mínimo común denominador (mcd)

132 132 134

Suma y resta de fracciones algebraicas A Sumar y restar fracciones algebraicas con el mismo denominador B Sumar y restar fracciones algebraicas con denominadores diferentes

136

8.4

Fracciones complejas A Simplificar fracciones complejas

141 141

8.5

Ecuaciones que contienen fracciones A Resolver ecuaciones que contienen fracciones B Resolver proporciones C Aplicaciones de las proporciones D Problemas que involucran triángulos semejantes

144 144 147 149 150

8.6

Variación A Problemas de variación directa e inversa

154 154

8.7

Ecuaciones literales A Resolver una ecuación literal para una de las variables

158 158

8.8

Problemas de aplicación A Problemas de trabajo B Problemas de movimiento uniforme

160 160 163

8.3

Unidad 9 Exponenciación y radicación

136 138

166

9.1

Introducción a las expresiones radicales A Simplificar expresiones radicales numéricas B Simplificar expresiones radicales algebraicas

167 167 170

9.2

Sumar y restar expresiones radicales A Sumar y restar expresiones radicales

172 172

9.3

Multiplicación y división de expresiones radicales A Multiplicar expresiones radicales B Dividir expresiones radicales

174 174 177

9.4

Solución de ecuaciones que contienen expresiones radicales A Resolver ecuaciones que contienen una o más expresiones B Problemas de aplicación

180 180 184

Unidad 10 Solución de ecuaciones de 3x3

188

10.1 Introducción a los sistemas de ecuaciones A Ecuaciones lineales (repaso) B El sistema de ecuaciones 3x3

189 189 190

10.2 El método de suma y resta y la Regla de Cramer A El método de suma y resta (o método de reducción)

190 190

viii

8.2

129

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193

Unidad 11 Razones trigonométricas y triángulos rectángulos

196

11.1 Medida de un ángulo A Medida de un ángulo B Ángulos en posición normal C Longitud de un arco de circunferencia D Área de un sector circular E Movimiento circular

197 197 199 201 203 204

11.2 Trigonometría de triángulos rectángulos A Relaciones trigonométricas B Triángulos especiales C Aplicaciones de trigonometría de triángulos rectángulos

205 205 207 209

11.3 Funciones trigonométricas de ángulos A Funciones trigonométricas de ángulos B Evaluación de funciones trigonométricas de cualquier ángulo C Áreas de triángulos

212 213 214 225

11.4 Funciones trigonométricas inversas y triángulos rectángulos A Funciones seno inverso, coseno inverso y tangente inversa B Resolución de triángulos rectángulos

226 226 229

Unidad 12 Identidades trigonométricas y resolución de triángulos oblicuángulos

234

12.1 Identidades trigonométricas A Identidades recíprocas B Identidades de la tangente y la cotangente C Identidades pitagóricas D Fórmulas de suma de dos ángulos E Identidades de ángulo doble F Identidades de productos

235 235 235 237 239 241 242

12.2 Ángulos especiales A El ángulo recto B Los ángulos nulo, llano y perigonal C El ángulo de 45 D El ángulo de 30 E El ángulo de 60

245 245 246 246 247 247

12.3 Evaluación de expresiones con funciones trigonométricas inversas A Evaluar expresiones que contienen funciones trigonométricas inversas

248 248

12.4 Resolución de triángulos oblicuángulos A La Ley de Senos B El caso ambiguo C La Ley de Cosenos D Navegación: orientación y rumbo E El área de un triángulo

251 251 254 257 260 262

Tarjetas de repaso

273

B Regla de Cramer (método de determinantes)

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PRIMER SEMESTRE

Á M B I TO S :

e ro s y • Los núm iones c s u s o p e ra • Álgebra

Desempeños esperados:

n esta primera parte de tu libro, correspondiente al primer semestre del curso, se espera que aprendas algunos temas relacionados con dos ámbitos importantísimos: (1) los números y sus operaciones y (2) el álgebra; esto, a través de diversas lecciones clasificadas por unidades, de acuerdo con que te ayudarán a lograrlo. Reviciertos semos cada uno de ellos:

desempeños esperados

1.. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.. 12.

Identificar y clasificar los números reales. Realizar operaciones con los números reales. Resolver ejercicios y problemas utilizando los números reales y la jerarquía de las operaciones. Realizar las cuatro operaciones con conjuntos. Graficar diagramas de Venn. Resolver problemas que involucren conjuntos. Resolver ecuaciones lineales y problemas que impliquen ecuaciones lineales. Resolver desigualdades con fluidez y problemas que impliquen desigualdades. Desarrollar productos notables con fluidez, incluyendo el Binomio de Newton. Resolver factorizaciones. Manejar con fluidez las expresiones racionales y resolver problemas que las contengan. Resolver fracciones complejas.

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Contenido

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UNIDADES 1. Conjuntos y sus operaciones 1.1 1.2

Conjuntos y sus operaciones Cardinalidad de conjuntos

2. Conjuntos de números reales y jerarquía de operaciones 2.1 2.2 2.3

Introducción a los números reales Operaciones con números enteros Operaciones con números racionales

3. Desigualdades e intervalos solución 3.1 3.2

Desigualdades Ecuaciones lineales

4. Sistemas de ecuaciones lineales 4.1 4.2 4.3

4.4

Resolver sistemas de ecuaciones lineales por el método gráfico Resolver sistemas de ecuaciones lineales por el método de sustitución Solución de sistemas de ecuaciones lineales por el método de suma y resta (o de eliminación) Problemas de aplicación con dos variables

5. Productos notables y Binomio de Newton 5.1 5.2

Potencias de un binomio Binomio de Newton

5.3

Productos notables

6. Factorización 6.1 6.2

Factores comunes Factorización de polinomios de la forma x2 + bx + c

6.3

Factorización de polinomios de la forma ax2 + bx + c

6.4

Factorización especial

6.5

Factorizar completamente polinomios

7. Ecuaciones cuadráticas 7.1

La ecuación cuadrática

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unidad 1

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Conjuntos y sus operaciones

ÁMBITO: Números y sus operaciones

Lecciones: 1.1 Conjuntos y sus operaciones La Teoría de Conjuntos. Notación y propiedades de los conjuntos. Aprender sobre unión, intersección y complemento de conjuntos. D Diagramas de Venn y de Euler. A B C

1.2 Cardinalidad de conjuntos A B

Cardinalidad de conjuntos finitos. Problemas de cardinalidad.

Examen

de preparación

2. De la siguiente lista, marca cuál es un conjunto vacío: a) El conjunto de frutas amarillas que existen. b) El conjunto de los mexicanos que han ganado un premio Nobel. c) El conjunto de los números impares múltiplos de 51. d) El conjunto de los conjuntos vacíos. e) El conjunto de alumnos de tu salón que obtuvieron una calificación máxima en su última evaluación de matemáticas. 3. Cien alumnos presentaron un examen con dos preguntas; sabemos que 90 resolvieron el primer problema, y que 85 resolvieron el segundo ¿Al menos cuántos alumnos resolvieron los dos problemas?

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Desempeños esperados: 4 / 5 / 6

1.1 OBJETIVO

Conjuntos y sus operaciones

A La Teoría de Conjuntos La Teoría de Conjuntos es una de las más importantes, pues todas las matemáticas pueden construirse a partir del concepto de conjunto.

rés e t n a i

ed o dede Conjuntosmqbuiae sron t n Pu ión de Teoría iones que ca Russell tal

esta ja de inic dicc La def va a contra o la parado ue implica q e d aquí ll teoría, sien Investiga lo video: . toda la ás famosa el siguiente m a vez la ja y consult qviOc o HsVcQ e / parad e .b /youtu https:/

TOMA NOTA a es cada uno de En matemáticas, un axiom indemostrables e s ale ent los principios fundam una teoría; una sobre los que se construye e que se admite ent evid y a clar tan n ició propos sin demostración.

TOMA NOTA

as también ocurre en otr La transitividad lo, si A=B y B=C, relaciones, por ejemp e A=C. Si A>B y afirmar qu rre lo entonces podemos C. Observa que no ocu B>C, entonces A> de estas relaciones, e.g. nes mismo con la negacio mos asegurar que A≠C. pode Si A≠B y B≠C no

DEJEMPLO 1

Aunque la definición de conjunto depende del ámbito de estudio, podemos tomar como una pseudo-definición la idea intuitiva de que un conjunto (del latín conjunctus: unido, ligado) es una colección de determinados y distintos objetos de nuestra percepción o nuestro pensamiento, llamados “elementos del conjunto”. Es necesario, naturalmente, que podamos afirmar con certeza si un elemento es parte o no de un conjunto dado; por ello, el concepto principal de la teoría de conjuntos es el de pertenencia. Si un elemento x pertenece a un conjunto A escribiremos xǺA; por otro lado, cuando un elemento x no pertenezca a un conjunto A escribiremos xǻA. Claro que un conjunto puede ser en si un elemento de un conjunto. Una posible relación entre conjuntos incluso más elemental que la pertenencia es la igualdad. Diremos que dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos y lo escribiremos de la forma usual A=B; este enunciado es el axioma1 de extensión. Cuando dos conjuntos no sean iguales escribiremos A≠B. Si todos los elementos de un conjunto A son elementos de un conjunto B diremos que A es un subconjunto de B y se escribe como AɴB. Observemos además que todo conjunto es subconjunto de si mismo, AɴA (pues todos los elementos de A son elementos de A) a esta condición se le llama reflexividad. En general un conjunto A que sea subconjunto de B no necesariamente es igual a B, es decir AɴB pero A≠B, diremos entonces que A es un subconjunto propio de B, A‫ݤ‬B. Si A, B y C son conjuntos tales que AɴB y BɴC, entonces AɴC. A esta propiedad se le denomina transitividad.2 Con estas definiciones es posible observar que si AɴB y BɴA, entonces A=B. Todos los principios básicos de la Teoría de Conjuntos, excepto el axioma de extensión, están diseñados para crear nuevos conjuntos a partir de los existentes.

Demuestra que NɴZ.

El conjunto de los números naturales N={1, 2, 3, …} es un subconjunto de los números enteros Z={…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} pues todos los elementos de N son elementos de Z.

DINTÉNTALO 1

Demuestra las siguientes afirmaciones:

1. NɴQ, donde Q es el conjunto de los números racionales (fracciones). 2. El conjunto de las personas de cualquier país es subconjunto propio del conjunto de primates. 3. El conjunto de los estados contiene al conjunto de municipios de tu estado y es subconjunto de los países de América.

LECCIÓN 1.1: Conjuntos y sus operaciones Reg. 403 VS © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

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OBJETIVO

TOMA NOTA ontrar que a En otros textos podrás enc conoce se le la enumeración también cripción como como “extensión” y a la des “comprensión”.

B Notación y propiedades de los conjuntos Los conjuntos suelen denotarse con letras mayúsculas y los elementos de un conjunto con letras minúsculas, aunque esta no es una regla obligatoria, es una convención usual que permite claridad y consistencia en textos y ejercicios. Cuando se define un conjunto en un texto puede hacerse de dos maneras: por enumeración (si se enumeran todos sus elementos, entre llaves y separados por comas), o por descripción (cuando se describe la característica que define a los elementos del conjunto, lo que suele hacerse dentro de “llaves”).

DEJEMPLO 2

Observa estos ejemplos de conjuntos:

A={1,4,2,5,12} --- por enumeración B={todos los números entre 10 y 15} --- por descripción C={manzana, naranja, fresa, plátano, melón} --- por enumeración D={frutas que se venden en el local 52 del mercado} --- por descripción E={2,4,6,8,10,12,…} --- por enumeración F={x | x=2n, nǺℕ} --- por descripción

Tal vez hayas tenido algún problema para comprender la notación del conjunto F. La barra vertical se lee como “tal que” y el enunciado completo se leería como “Efe es el conjunto de equis, tal que equis es igual a dos ene, con ene en los naturales”, lo que significa que todos los números que cumplan con la característica de ser el doble de un número natural formarán parte del conjunto F, es decir, todos los números enteros positivos y pares. Existen conjuntos finitos (como el A de los ejemplos anteriores), infinitos (como el E) y uno muy importante, el conjunto vacío, que no contiene elementos y que suele representarse con un juego de llaves vacías {} o con el símbolo Ƿ; puede definirse de una muchas formas, por ejemplo con contradicciones: A={x | x < 10 y x >11}, o mediante cualquier otra afirmación falsa, por ejemplo: B={x | x es un mexicano que fue campeón en un mundial de la FIFA} ó C={x | x ≠ x}. Observa que el conjunto vacío es único (por el teorema de extensión) y, a su vez, subconjunto de cualquier conjunto; esta última afirmación puede no parecer obvia en primera instancia, pero, para demostrarlo, utilizaremos un razonamiento muy común y útil en demostraciones matemáticas, conocido como “condición de vacuidad”. Para probar que algo es cierto respecto a un objeto matemático, en este caso el conjunto vacío, basta con probar que ese algo no puede ser falso. La única forma de que ǷɴA fuese falso es que Ƿ tuviera un elemento que no formara parte de A; pero Ƿ no tiene ningún elemento, por lo que esto es un absurdo. Como ǷɴA no es falso, tiene que ser cierto para cualquier conjunto A.

DINTÉNTALO 2 6

Completa la tabla de la siguiente página, definiendo el conjunto (por descripción o enumeración) que haga falta y según corresponda. Observa el ejemplo de la primera fila.

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Enumeración

Descripción

A={a,e,i,o,u}

A={x|x es una vocal} B={y|-5<y≤2}

C={1, 4, 9, 16, 25, 36, …} D={3r+1|1≤ r ≤10} E={escudo, himno, bandera} F={p | p/3 ǻ ℚ, con pǺℕ}

OBJETIVO

C Aprender sobre unión, intersección y complemento de conjuntos Para dos conjuntos cualesquiera, existe un conjunto que los contiene a ambos; esta afirmación se denomina axioma del par. Partiendo de tal axioma, podemos asegurar que si se tienen dos conjuntos A y B, existe un conjunto que contiene a todos los elementos que están al menos en A o en B. A este conjunto le llamaremos la unión de A y B, y lo denotaremos como AȜB, que se lee como A unión B. En la notación usual, tenemos que AȜB = {x | x Ǻ A Ț x Ǻ B } El símbolo Ț se utiliza en teoría de conjuntos y en lógica, principalmente, y representa la disyunción; por lo general se lee sólo como “O”. También encontrarás otros símbolos comunes: ș para la conjunción (que en este caso se debe leer como “Y”) y ¬ para la negación, que se lee como “No”. De tal forma, la expresión anterior se lee como “A unión Be es el conjunto formado por las equis, tales que equis está en A o equis está en Be”, siempre teniendo en cuenta que la disyunción matemática no es exclusiva, es decir, que x puede estar en A o en B o en ambos. Algunas propiedades de la unión son: AȜǷ = A AȜB = BȜA

conmutatividad de la unión

AȜ(BȜC) = (AȜB)ȜC AȜA = A

asociatividad de la unión

idempotencia de la unión

AɴB si y sólo si AȜB = B

La segunda operación que abordaremos es la intersección de conjuntos. Para cualesquiera dos conjuntos A y B, existe un conjunto AțB tal que contiene únicamente a los elementos que están en A y en B

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Algunas propiedades de la intersección son: AțǷ = Ƿ AțB = BțA

conmutatividad de la intersección

Aț(BțC) = (AțB)țC AțA = A

asociatividad de la intersección

idempotencia de la intersección

AɴB si y sólo si AțB = A

Utilizando las propiedades de la unión y la intersección conjuntamente se pueden obtener dos leyes muy importantes llamadas leyes distributivas: Aț(BȜC) = (AțB)Ȝ(AțC) AȜ(BțC) = (AȜB)ț(AȜC)

La tercera operación de la que hablaremos es la diferencia entre dos conjuntos, está definida por: A B = {x | x Ǻ A ș x ǻ B }

TOMA NOTA

lizan la letra U para Algunos autores uti universo, pero para to jun denotar al con el símbolo de es evitar confusion con ra E, aunque la let os rem liza uti , Ȝ unión lquier símbolo. pudimos utilizar cua

A este conjunto también se le conoce como el complemento relativo de B respecto de A, y se denotará como B’, aunque en otros textos puedes encontrarlo con distintas notaciones, usualmente como B*, B o Bc. Para hablar con mayor claridad de algunas propiedades del complemento de un conjunto, supondremos la existencia de un conjunto universal E3 que contiene a todos los conjuntos mencionados y cuyos complementos serán también relativos a E:

(A’)’ = A E’ = Ƿ

Ƿ’= E AțA’ = Ƿ AȜA’ = E AɴB si y sólo si B’ɴA’

Con estas propiedades se pueden construir las dos reglas más importantes de los complementos, las Leyes de DeMorgan: (A Ȝ B)’ = A’ț B’ (A ț B)’ = A’Ȝ B’

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DINTÉNTALO 3

Sea el conjunto universo E={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0} y los 3 conjuntos A={1,3,5,7,9}, B={4,5,6,7,8} y C={0,2,4,6,8}, encuentra los siguientes conjuntos: 1. 2. 3. 4. 5.

DINTÉNTALO 4

AțB AȜB A’ Prueba una ley de DeMorgan encontrando (A Ȝ C)’ y A’ț C’. Prueba una ley distributiva encontrando Aț(BȜC) y (AțB)Ȝ(AțC)

Prueba la veracidad de las siguientes ecuaciones: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

OBJETIVO

A B = AțB’ AɴB si y sólo si A B = Ƿ A (A B) = AțB Aț(B C) = (AțB) (AțC) AțBɴ(AțC)Ȝ(BțC’) (AȜC)ț(BȜC’)ɴAȜB

D Diagramas de Venn y de Euler Para dar claridad a muchos conceptos se suelen utilizar representaciones gráficas; cuando de conjuntos se trata, hay dos maneras que suelen ser muy utilizadas, nos referimos a los diagramas de Venn, por un lado, y a los de Euler por el otro, que suelen confundirse entre sí por el parecido que guardan, aunque son fundamentalmente distintos. No entraremos en muchos detalles técnicos al respecto, pues este no es un curso de teoría de conjuntos, sino una mera explicación general del tema. Utilizaremos la idea de que un conjunto puede representarse como una figura geométrica cerrada de dos dimensiones, de modo tal que pueda traslaparse con otras para mostrar las relaciones existentes entre tales conjuntos. Los puntos que estén dentro de la figura representarán a los elementos del conjunto, y los que estén afuera representarán lo que no pertenece a éste. En los diagramas de Venn se representan todas las posibles intersecciones entre los conjuntos, mientras que en los diagramas de Euler sólo se representan las relaciones importantes. El siguiente ejemplo es una muestra clara de estas diferencias.

DEJEMPLO 5

Observa:

AțB

Diagrama de Venn:

AțB

Diagrama de Euler:

A A

3 1

2 4

AțBțC

2 4

C 8

AțC

0 7

BțC

8 7

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DINTÉNTALO 5

Elabora un diagrama de Venn y otro de Euler, similares a los del ejemplo anterior, pero ahora con letras del alfabeto.

Observa que en los diagramas de Venn están representadas incluso las relaciones que generan conjuntos vacíos (AțC, BțC y AțBțC), mientras que en los diagramas de Euler basta con dibujar por separado los conjuntos disjuntos. Los diagramas se Venn se complican con el número de conjuntos implicados, pues en el afán de representar todas las relaciones entre los conjuntos se aumenta la complejidad para alcanzar las intersecciones necesarias.

Toma nota

Existen algunas normas para el trazado de buenos diagramas:

normas no Aunque estas pues no s, son obligatoria licarse, ap en ed pu e pr siem plirlas. m cu tratemos de

regla 1 Utilizar formas simples como círculos, elipses, rectángulos o en general formas convexas (de las que podemos unir dos puntos cualesquiera de la figura sin salirnos de ella).

regla 2 Evitar los puntos donde se crucen tres líneas o más. regla 3 Los contactos paralelos o tangenciales deben evitarse. regla 4 Una línea sólo puede determinar el contorno de un conjunto,

es decir, los conjuntos concurrentes deben evitarse.

regla 5

Las zonas desconectadas no están permitidas, es decir, una misma zona no puede aparecer más de una vez en el mismo diagrama.

regla 6 Los contornos de los conjuntos no deben cruzarse consigo mismos.

DEJEMPLO 6 A

Las relaciones que hemos estudiado hasta ahora pueden representarse mediante diagramas sencillos: AțB

A B

AȜB

A={a, b, c}

A B

BɴA

Intersección

Unión

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Diferencia

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DINTÉNTALO 6

A continuación mostramos algunas de las propiedades que hemos mencionado, pero representadas con diagramas; obsérvalas cuidadosamente, dibuja los diagramas correspondientes a las relaciones propuestas y completa las igualdades con una expresión equivalente. El conjunto indicado se muestra en color azul.

E A

B A’ Ȝ B’ = (A

Ȝ B)’

E A

B A (A B) =

E A

B (A ț B) Ȝ (A ț C) =

C E (A ț C) Ȝ (B ț C’) =

E (A ț B) (A ț C) =

E Muestra que si AɴB y BɴC, entonces AɴC.

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1.2 OBJETIVO

Desempeños esperados: 4 / 5 / 6

Cardinalidad de conjuntos

A Cardinalidad de conjuntos finitos Hasta ahora hemos hablado de muchas propiedades importantísimas de los conjuntos aunque desconozcamos la cantidad de elementos que tiene un conjunto, salvo el Ƿ. Ahora hablaremos de la cardinalidad de un conjunto, que refiere, básicamente, su tamaño y que se denota colocando dos barras verticales que encierren al conjunto, por ejemplo, la cardinalidad del conjunto A es |A|. Si un conjunto A tiene un número finito de elementos, diremos que su cardinalidad es meramente ese número; por ejemplo, si A={a,b,c}, entonces |A| = 3. Una regla muy útil es el principio de inclusión-exclusión, que sirve para calcular la cardinalidad de la unión de dos conjuntos finitos si conocemos la cardinalidad de cada uno y de su intersección.

|A Ȝ B| = |A| + |B| |A ț B| No es difícil ver la razón de este principio si utilizamos diagramas, donde veremos que si contamos los elementos de A y luego los elementos de B, habremos contado dos veces los elementos que pertenecen a la intersección, por lo que tenemos que restar una de estas cantidades para obtener la cardinalidad de la unión.

DEJEMPLO 7

Observa:

E A

|A|

E A

|A Ȝ B| + |A ț B| 12

|A Ȝ B| + |A ț B|

E A

|A|

|A ț B|

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|A Ȝ B|

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DINTÉNTALO 7

OBJETIVO

Demuestra a través de diagramas la siguiente ecuación:

|A Ȝ B Ȝ C| = |A| + |B| + |C| – |A ț B| – |A ț C| – |B ț C| + |A ț B ț C|

B Problemas de cardinalidad Con todas las reglas anteriores de la teoría de conjuntos es posible resolver problemas de muy variada índole, y darnos cuenta de su aplicación práctica en nuestra vida cotidiana.

DEJEMPLO 8

En un estadio de fútbol hay 2,000 personas con playeras rojas, 1,500 con playeras verdes, 1,000 con playeras rojas y tenis negros, y 1,200 con playeras verdes y tenis negros. El número total de aficionados con playera roja o verde, o con tenis negros, es de 4,000. Con estos datos, ¿cuántas personas llevan tenis negros? Tras ello, ¿cómo podríamos representar con un diagrama tales resultados? Los datos que podemos obtener del problema son:

|R| = 2,000 |V| = 1,500 |R ț N| = 1,000 |V ț N| = 1,200 |R Ȝ V Ȝ N| = 4,000 Podemos utilizar el principio de inclusión-exclusión para tres conjuntos:

|R Ȝ V Ȝ N| = |R| + |V| + |N| – |R ț V| – |R ț N| – |V ț N| + |R ț V ț N|, donde los términos en rojo son los que conocemos; en azul oscuro tenemos nuestra incógnita, y en negro, los dos términos que son cero. Así entonces,

|R ț V| = 0, pues la condición de llevar playera roja o verde es mutuamente excluyente, es decir, no pueden usarse ambas al mismo tiempo y, por lo tanto, R

ț V = Ƿ y, naturalmente, |Ƿ| = 0.

Aplicando la propiedad de la intersección con el vacío, tenemos que: R ț V ț N = Ƿ ț N = Ƿ, y por lo tanto, el último término |R ț V ț N| = 0.

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Ahora, podemos sustituir los valores en la ecuaciĂłn: 4,000 = 2,000 + 1,500 + |N| â&#x20AC;&#x201C; 0 â&#x20AC;&#x201C; 1,000 â&#x20AC;&#x201C; 1,200 + 0 Despejando |N|, tenemos que:

|N| = 4,000 â&#x20AC;&#x201C; 2,000 â&#x20AC;&#x201C; 1,500 + 1,000 + 1,200 = 2,700, que es el nĂşmero de personas que llevan tenis negros. Un diagrama del problema asĂ resuelto podrĂa ser el siguiente:

500 1,000

DINTĂ&#x2030;NTALO 8

1,000

1,200

300

Una encuesta a los ciento sesenta y tres alumnos de un colegio, realizada para saber quiĂŠnes habĂan aprobado inglĂŠs, matemĂĄticas y redacciĂłn, arrojĂł los siguientes datos: 90 alumnos aprobaron redacciĂłn; 78 aprobaron inglĂŠs; 68, matemĂĄticas; 30, matemĂĄticas y redacciĂłn; 25, matemĂĄticas e inglĂŠs, y 28, inglĂŠs y redacciĂłn. Con base en ello, responde las siguientes preguntas: 1. 2. 3. 4.

ÂżCuĂĄntos alumnos aprobaron sĂłlo matemĂĄticas?___________ ÂżCuĂĄntos alumnos aprobaron sĂłlo redacciĂłn?_____________ ÂżCuĂĄntos alumnos aprobaron sĂłlo inglĂŠs?________________ ÂżCuĂĄntos alumnos aprobaron las tres materias?____________

Ahora, completa el diagrama con los datos correspondientes a cada regiĂłn del mismo:

DAPLĂ?CALO

1. Escribe simbĂłlicamente las siguientes afirmaciones: â&#x20AC;˘ El conjunto A no es subconjunto de â&#x201E;&#x2022;. â&#x20AC;˘ Entre los elementos del conjunto đ?&#x2022;? no estĂĄ el nĂşmero 9. â&#x20AC;˘ La uniĂłn de A y B contiene a los mismos elementos que la intersecciĂłn de C y D.

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2. Señala cuáles de los siguientes conjuntos son vacíos: • A = {x | x<4 ș x>6} • B = {x | x>4 ș x≤6} • C = {x | x<4 Ț x>6} 3. Sea A = {a, b, c}. Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y por qué: • aɴA • bǺA • AǺA • ǷǺA • {b,c}ɴA • AȜA = AțA • {a, c} Ȝ {b} = AȜǷ • {{a},{b},{c}} = A • A – {a} = {b,c} • {a,b,c} Ȝ {a,a,b,b,c,c} = A 4. Expresa por enumeración y por descripción los conjuntos A y B de los siguientes diagramas: A A

B 1 2

3 5

1 4

5. Un club tiene 100 personas afiliadas, de las cuales 80 juegan fútbol, 43 baloncesto y 37 voleibol. Doce figuran en los tres deportes y trece no practican deporte alguno. Con base en esto, responde las preguntas: • ¿Cuántas personas practican sólo un deporte? • ¿Cuántas practican sólo dos deportes? • ¿Cuántas practican al menos dos deportes? • ¿Cuántas practican a lo sumo dos deportes? 6. Se encuestó a 100 personas y se obtuvo la siguiente información: a) todo encuestado que es propietario de una bicicleta también lo es de una cama; b) 54 encuestados son hombres; c) 30 de los encuestados que son hombres no son propietarios de una bicicleta; d) 30 de los encuestados que son mujeres son propietarios de una cama; e) 5 de los encuestados que son mujeres son solamente propietarios de una cama, y f) 15 encuestados que son propietarios de una cama no lo son de una bicicleta. Con base en estos datos, realiza lo siguiente: • Haz un diagrama adecuado a la situación e indica la cardinalidad correspondiente a cada región. • ¿Cuántos encuestados que son hombres son solamente propietarios de una cama? • ¿Cuántas mujeres no son propietarias de una cama?

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unidad 2

6/12

Conjuntos de números reales y jerarquía de operaciones Lecciones: 2.1 Introducción a los números reales A B

Desigualdad y valor absoluto. Notación de intervalos y operaciones con conjuntos.

2.2 Operaciones con números enteros A B

Operaciones con números enteros. El orden o jerarquía de las operaciones.

Números y sus operaciones

de preparación

¿Estás preparado para tener éxito en esta unidad? Resuelve el siguiente examen de preparación y averigua si estás listo para aprender nuevos temas. Para los ejercicios 1 a 8, suma, resta, multiplica o divide.

2.3 Operaciones con números

7 5 1 12 30 7 8 2. 2 15 20 5 4 3. # 6 15 2 4 4. 4 15 5 1.

racionales A B C

Examen

ÁMBITO:

Operaciones con números racionales. Orden de las operaciones y fracciones complejas. Notación decimal.

5. 8 1 29.34 1 7.065 6. 92 2 18.37 7. 2.19 13.42 8. 32.436 4 0.6 9. ¿Cuáles de los números siguientes son mayores que 28? (i) 26

(ii) 210

(iii) 0

(iv) 8

10. Une cada fracción con su equivalente decimal. 1 2 7 b. 10 3 c. 4 89 d. 100

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A. 0.75 B. 0.89 C. 0.5 D. 0.7

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Desempeños esperados: 1

2.1 OBJETIVO

Introducción a los números reales

A Desigualdad y valor absoluto

e Puntoéd inter s

da por los griegos La Osa Mayor, conoci más grande, es una osa como Ursa Major, la s del ede verse en latitude constelación que pu Osa Mayor son Alkaid, la norte. Las estrellas de ecda, Merak y Dubhe. z, Ph Mizar, Alioth, Megre la manija, Mizar, es en de La estrella en la curva zar y Alcor. Una línea Mi , las rel est s do ad realid y llega rak atraviesa Dubhe imaginaria desde Me . rte no l de la rel est hasta Polaris, la

Parece ser una característica humana colocar elementos parecidos en el mismo grupo. Por ejemplo, un astrónomo coloca las estrellas en constelaciones y un geólogo divide la historia de la Tierra en eras. Asimismo, los matemáticos colocan objetos con propiedades similares en conjuntos. Como ya se analizó en la unidad anterior, un conjunto es una colección de objetos llamados elementos del conjunto. Los conjuntos, repasémoslo, se denotan al colocar entre llaves los elementos del conjunto. Por ejemplo, el conjunto de las primeras cinco letras del alfabeto es 5a, b, c, d, e6. El símbolo para indicar que “es un elemento de” es [; el símbolo para “no es un elemento de” es o. Por ejemplo, a [ 5a, b, c, d, e6

d [ 5a, b, c, d, e6

k o 5a, b, c, d, e6

Los números que usamos para contar cosas, como el número de personas en una ciudad o el número de especies diferentes de flores, se llaman números naturales. Números naturales 5 50, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, c6

Cada número natural diferente de 1 es ya sea un número primo o un número compuesto. Un número primo es un número natural diferente de 1, es divisible en partes iguales entre sí mismo y 1. Los primeros seis números primos son 2, 3, 5, 7, 11 y 13. Un número compuesto es un número natural, diferente de 1, que no es un número primo. Los números 4, 6, 8, 9, 10 y 12 son los primeros seis números compuestos.

Punto de interés

lló El concepto del cero se desarro varios siglos. paulatinamente a lo largo de maneras por Ha sido denotado de diversas to y finalmente pun un co, blan en acio esp un os, aun cuando es como 0. Los números negativ os que datan chin itos uscr evidente en los man amente a las plet com on del 200 a.C., se integrar siglo XIV. del les fina ta has s tica emá mat

Aunque existe cierto debate en torno a la inclusión del cero dentro del conjunto de los números naturales, los matemáticos de mayor renombre lo consideran dentro. Números naturales 5 50, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, c6

Los números naturales por sí mismos no proporcionan todos los números que se utilizan en las aplicaciones. Por ejemplo, un meteorólogo necesita números menores y mayores que cero. Números enteros 5 5c, 25, 24, 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3, 4, 5, c6

Los números enteros c, 25, 24, 23, 22, 21 son enteros negativos. Los números enteros 1, 2, 3, 4, 5, c son enteros positivos. Observa que los números naturales y los enteros positivos son el mismo conjunto de números. El entero cero no es ni un número positivo ni un número negativo. Aun hay otros números que son necesarios para resolver la diversidad de problemas de aplicación que existen. Por ejemplo, quizás un arquitecto paisajista debe comprar tubería de riego con un diámetro de 58 pulg. Los números que pueden escribirse en la forma de una fracción qp, donde p y q son enteros y q ? 0, se llaman números racionales. LECCIÓN 2.1: Introducción a los números reales 17 Sección 1.1: Introducción a los números reales 17 Reg. 403 VS © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

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p q

Números racionales 5 e , donde p y q son enteros y q 2 0 f

Ejemplos de números racionales son 23, 2 92 y 51 . Observa que 51 5 5, por tanto, todos los enteros son números racionales. El número p4 no es un número racional debido a que p no es un entero. Los números que pueden escribirse como decimales finitos o últimos o como decimales periódicos son números racionales. Para los decimales periódicos, colocamos una barra sobre los dígitos que se repiten. Decimales finitos o últimos 0.5 Decimales periódicos

26.20137

2.34

0.3 5 0.33 c 1.267 5 1.26767 c 24.10782 5 24.10782782 c

Algunos números no pueden escribirse como decimales finitos o periódicos. Estos números incluyen 0.01001000100001c, !7 < 2.6457513 y p < 3.1415927. Estos números tienen representaciones decimales que no son finitas ni periódicas. Se les llama números irracionales. Los números racionales y los números irracionales tomados en conjunto son los números reales. Números reales 5 5números racionales y números irracionales6

La relación entre los distintos conjuntos de números se muestra en la figura siguiente. Números naturales (Enteros positivos) Cero

Enteros

Enteros negativos

Números racionales

Números reales

Números irracionales

Determina cuáles de los números siguientes son a. números enteros

b. números racionales

c. números irracionales

d. números reales

e. números primos

f. números compuestos

21, 23.347, 0, 5, 6.101, !48, 2.2020020002 c, 63,

19 20 , 2 !7

a. Enteros: 21, 0, 5, 63 19 2 20 c. Números irracionales: !48, 2.2020020002 c, !7 19 20 d. Números reales: 21, 23.347, 0, 5, 6.101, !48, 2.2020020002 c, 63, , 2 !7 e. Números primos: 5 b. Números racionales: 21, 23.347, 0, 5, 6.101, 63,

f. Números compuestos: 63

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La gráfica de un número real se traza al colocar un punto grueso en una recta numérica directamente encima del número. Las gráficas de algunos números reales se muestran abajo. –5 –4 –3 –2 –1 –2.34 –

0 1 2

2 5 3

Considera estos enunciados: El chef de un restaurante preparó un platillo y lo sirvió al cliente. Un árbol de maple estaba plantado y éste creció 2 pies en un año. En el primer enunciado, “lo” significa el platillo; en el segundo enunciado, “éste” significa el árbol. En el lenguaje, las palabras lo y éste pueden representar muchos objetos diferentes. Del mismo modo, en las matemáticas una letra del alfabeto se puede usar para representar algunos números. Una letra utilizada de esta manera se llama variable. Es conveniente utilizar una variable para que representes, o simbolices, cualquiera de los elementos de un conjunto. Por ejemplo, el enunciado “x es un elemento del conjunto 50, 2, 4, 66” significa que x puede representarse por 0, 2, 4 o 6. Al conjunto 50, 2, 4, 66 se le llama dominio de la variable. En la siguiente definición se utilizan variables.

DEFINICIÓN DE DESIGUALDAD Si a y b son dos números reales y a está a la izquierda de b en la recta numérica, entonces a es menor que b. Esto se escribe a , b. Si a y b son dos números reales y a está a la derecha de b en la recta numérica, entonces a es mayor que b. Esto se escribe a . b. EJEMPLOS 1. 22 , 8

21 . 25

0.2

2 3

p , !17

Los símbolos de desigualdad # (es menor o igual que) y $ (es mayor o igual que) también son importantes. Observa los ejemplos siguientes. 4 # 5 es una expresión verdadera porque 4 , 5. 5 # 5 es una expresión verdadera porque 5 5 5.

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DEJEMPLO 1 Solución

z [ 522, 21, 0, 1, 26. ¿Para cuáles DINTÉNTALO 1 Sea valores de z la desigualdad z # 0 es una

Sea y [ 525, 23, 21, 16. ¿Para cuáles valores de y la desigualdad y $ 21 es una expresión verdadera?

expresión verdadera? Tu solución

Sustituye y con cada elemento del conjunto y determina si la expresión es verdadera. y $ 21 25 $ 21 23 $ 21 21 $ 21 1 $ 21

Una expresión falsa Una expresión falsa Una expresión verdadera Una expresión verdadera

La desigualdad es verdadera para 21 y 1. Los números 5 y 25 están a la misma distancia del cero en la recta numérica, pero en lados opuestos del cero. Los números 5 y 25 se llaman inversos aditivos u opuestos.

5 –5 –4 –3 –2 –1 0

5 1

El inverso aditivo (u opuesto) de 5 es 25. El inverso aditivo de 25 es 5. El símbolo para el inverso aditivo es 2. 2142 significa el inverso aditivo del positivo 4.

2142 5 24

21242 significa el inverso aditivo del negativo 4. 21242 5 4

DEJEMPLO 2 Solución

del conjunto.

2a • Escribe la expresión 2 12122 5 12 para el inverso aditivo de a. 2 102 5 0 • Sustituye a con cada 2 142 5 24 elemento del conjunto y determina el valor de la expresión.

5 –5 –4 –3 –2 –1 0

v [ 528, 0, 96. Determina 2v, el DINTÉNTALO 2 Sea inverso aditivo de v, para cada elemento

Sea a [ 5212, 0, 46. Determina 2a, el inverso aditivo de a, para cada elemento del conjunto.

Tu solución

5 1

El valor absoluto de un número es una medida de su distancia desde el cero en una recta numérica. El símbolo para el valor absoluto es 0 0. Observa en la figura de la izquierda que la distancia desde 0 a 5 es 5. Por tanto, 0 5 0 5 5. La figura muestra que la distancia desde 0 a 25 es también 5. Así 0 25 0 5 5.

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VALOR ABSOLUTO El valor absoluto de un número positivo o 0 es el número. El valor absoluto de un número negativo es el inverso aditivo de ese número. Esto puede escribirse como sigue. Si a es un número real, entonces 0a0 5 e

a, a $ 0 2a, a , 0

EJEMPLOS 1. 0 7 0 5 7. Dado que 7 $ 0, el valor absoluto de 7 es el número 7 mismo. 2. 0 28 0 5 8. Como 28 , 0, el valor absoluto de 28 es el inverso aditivo de 28. El inverso aditivo de 28 es 8. 3. 0 0 0 5 0. El valor absoluto de 0 es 0. Una manera de pensar en esto es que la distancia de 0 a 0 en la recta numérica es 0.

DEJEMPLO 3 Solución

DINTÉNTALO 3 Evalúa: 0 223 0

Evalúa: 2 0 212 0 A partir de la definición del valor absoluto, 0 212 0 5 12. Por consiguiente, 2 0 212 0 5 212.

Tu solución

DAPLÍCALO

1. Miguel tiene una cuenta bancaria a la que abona el día primero de cada mes cien pesos y al final de cada semana retira trece pesos. ¿Cuánto dinero habrá en su cuenta al cabo de un año? 2. Jimena sale tres veces por semana a correr en una pista lineal de 7.5 km, donde al llegar a un extremo regresa sobre la misma pista hasta completar la distancia que desea correr. Si el inicio del circuito se encuentra en la mitad del circuito y Jimena corre cinco kilómetros la primera semana, diez la segunda y quince la tercera, ¿a cuántos metros de la meta terminó su carrera cada semana?

OBJETIVO

B Notación de intervalos y operaciones con conjuntos El método de lista para escribir un conjunto encierra entre llaves una lista de los elementos del conjunto. Este método se utilizó al principio de esta lección para definir conjuntos de números. Si se emplea el método de lista, el conjunto de los números naturales pares menores que 10 se escribe 52, 4, 6, 86. Este es un ejemplo de un conjunto finito; todos los elementos pueden enumerarse. El conjunto de los números naturales, 50, 1, 2, 3, 4, c6, es un conjunto infinito, es imposible enumerar todos los elementos del conjunto.

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El conjunto vacío, o conjunto nulo, es el conjunto que no contiene elementos. El símbolo [ o 5 6 se utiliza para representar el conjunto vacío.

DEJEMPLO 4 Solución

Utiliza el método de lista para escribir el conjunto de los números naturales menores que 10. 50, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 96

el método de lista para escribir el DINTÉNTALO 4 Utiliza conjunto de enteros negativos impares mayores que 28. Tu solución

Un segundo método de representación de un conjunto es la notación de conjuntos. Esta notación se puede utilizar para describir casi cualquier conjunto, pero es particularmente útil cuando se escriben conjuntos infinitos. En la notación de conjuntos, el conjunto de enteros mayores que 23 se escribe 5x 0 x . 23, x [ enteros6

y se lee “el conjunto de todos los números x tales que x es mayor que 23 y x es un elemento de los enteros”. Este es un conjunto infinito. Es imposible enumerar todos los elementos del conjunto, pero podemos describirlo si utilizamos la notación de conjuntos. El conjunto de los números reales menores que 5 se escribe 5x 0 x , 5, x [ números reales6

y se lee “el conjunto de todas las x tales que x es menor que 5 y x es un elemento de los números reales”. Debido a que la mayor parte de nuestro trabajo es con números reales, por lo general omitimos “x [ números reales” de la notación de conjuntos. Por tanto, escribiríamos 5x 0 x , 5, x [ números reales6 como 5x 0 x , 56, donde asumimos que x es un número real.

DEJEMPLO 5 Solución

Utiliza la notación de conjuntos para escribir el conjunto de los números reales mayores que 22. 5 x 0 x . 22 6

la notación de conjuntos para DINTÉNTALO 5 Utiliza escribir el conjunto de los números enteros menores o iguales que 7. Tu solución

La gráfica de un conjunto de números reales escritos en notación de conjuntos puede mostrarse en una recta numérica. La gráfica de 5x 0 x . 226 se muestra abajo. El paréntesis en la gráfica indica que 22 no es parte del conjunto. –5 –4 –3 –2 –1 0

La gráfica de 5x 0 x $ 226 se muestra abajo. El corchete en la gráfica indica que 22 es parte del conjunto. –5 –4 –3 –2 –1 0

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DEJEMPLO 6

DINTÉNTALO 6 Grafica: 5x 0 x . 236

5x 0 x # 36:

Solución El conjunto son los números reales menores o iguales que 3. • Dibuja un corchete a la derecha en el 3, y traza una línea sobre –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 la recta numérica a la izquierda del 3.

Tu solución

También es posible localizar los números reales entre dos números dados. Grafica: 5 x 0 0 # x , 4 6 La notación 0 # x , 4 indica el conjunto de los números reales entre 0 y 4, incluido el 0 pero sin incluir el 4. Un corchete se coloca en el 0 para denotar que el 0 está incluido en la gráfica; un paréntesis se coloca en el 4 para indicar que el 4 no es parte de la gráfica. –5 –4 –3 –2 –1 0

Dados dos números reales, un intervalo es el conjunto de todos los números reales entre los números dados. Los dos números son los puntos extremos del intervalo. Por ejemplo, el conjunto 5x 0 21 , x , 36 representa el intervalo de todos los números reales entre 21 y 3. Los puntos extremos de este intervalo son 21 y 3. Un intervalo cerrado incluye ambos puntos extremos, un intervalo abierto no contiene puntos extremos y un intervalo medio abierto contiene un punto extremo pero no el otro. Por ejemplo, el conjunto 5x 0 21 , x , 36 es un intervalo abierto. Los intervalos pueden representarse en notación de conjuntos o en notación de intervalos. En esta última, los corchetes o paréntesis que se utilizan para graficar el conjunto se escriben con los puntos extremos del intervalo. El conjunto 5x 0 0 # x , 46 mostrado arriba se escribe [0, 4) en la notación de intervalos; 0 y 4 son los puntos extremos. Estos son otros ejemplos. Notación de conjuntos

Notación de intervalos

5 x 0 23 # x # 2 6 3 23, 2 4 , un intervalo cerrado 5 x 0 23 , x , 2 6 123, 22 , un intervalo abierto 5 x 0 23 # x , 2 6 3 23, 22 , un intervalo medio abierto 5 x 0 23 , x # 2 6 123, 2 4 , un intervalo medio abierto

Gráfica –5 –4 –3 –2 –1 0

–5 –4 –3 –2 –1 0

Para indicar un intervalo que se extiende hacia el infinito en una o ambas direcciones utilizando la notación de intervalos, se utiliza el símbolo de infinito ` o el símbolo de infinito negativo 2`. El símbolo de infinito no es un número; es sencillamente una notación utilizada para indicar que el intervalo es ilimitado. En la notación de intervalos, un paréntesis siempre se utiliza a la derecha de un símbolo de infinito o a la izquierda de un símbolo de infinito negativo, como se aprecia en los ejemplos siguientes. LECCIÓN 2.1: Introducción a los números reales Reg. 403 VS © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

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DEJEMPLO 7

Notación de conjuntos

Notación de intervalos

5x 0 x . 16

11, ` 2

5x 0 x $ 16

3 1, ` 2

5x 0 x , 16

12`, 12

5x 0 x # 16

12`, 1 4

5 x 0 2` , x , ` 6

12`, ` 2

Gráfica –5 –4 –3 –2 –1 0

–5 –4 –3 –2 –1 0

Utiliza la notación dada o grafica para proporcionar la notación o gráfica que está marcada con un signo de interrogación.

Notación de conjuntos

Notación de intervalos

Gráfica

A. 5 x 0 0 # x # 1 6 B. ? C. ?

3 23, 42 ?

? –5 –4 –3 –2 –1 0

Solución Notación de conjuntos

Notación de intervalos

A. 5 x 0 0 # x # 1 6

3 0, 1 4

–5 –4 –3 –2 –1 0

B. 5 x 0 23 # x , 4 6

3 23, 42

–5 –4 –3 –2 –1 0

C. 5 x 0 x , 0 6

12`, 02

–5 –4 –3 –2 –1 0

Gráfica

la notación o la gráfica dadas para proporcionar la notación o gráfica marcada con un signo de DINTÉNTALO 7 Utiliza interrogación. Notación de conjuntos

Notación de intervalos

Gráfica

A. 5 x 0 22 , x , 0 6

B. ?

121, 2 4

C. ?

–5 –4 –3 –2 –1 0

Tu solución

Del mismo modo que las operaciones como la suma y la multiplicación se realizan con números reales, las operaciones se realizan con conjuntos. Dos operaciones realizadas con conjuntos son la unión y la intersección, mismas que fueron explicadas con mayor profundidad en la unidad anterior. Repasemos tales principios.

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UNIÓN DE DOS CONJUNTOS La unión de dos conjuntos, que se escribe A h B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen ya sea a A o a B. En la notación de conjuntos, esto se escribe A h B 5 5x 0 x [ A o x [ B6 EJEMPLOS

de Punto s interé x se

,hy bolos [ en Los sím or primera vez p va o n N ro , a z ia li ip uti s Princ s e c la ti e e d m cipio Arith (El prin étodo de a it s ó p x m E ticas, un matemá n nuevo), de Giu n ió e ic o s d o a p c x li e ano, pub liseppe Pe pósito de este s ro io p l ip c E . in 9 r 8 p 18 ir los c u de d e r d ti r s a pa bro era temática ra. a m s la de pu la lógica

1. Dados A 5 52, 3, 4, 5, 66 y B 5 54, 5, 6, 7, 86, A h B 5 52, 3, 4, 5, 6, 7, 86. Observa que los elementos 4, 5 y 6, a los cuales pertenecen ambos conjuntos, se listan sólo una vez. 2. Dados C 5 523, 21, 1, 36 y D 5 522, 0, 26, C h D 5 523, 22, 21, 0, 1, 2, 36. 3. Dados X 5 50, 2, 4, 6, 86 y Y 5 54, 86, X h Y 5 50, 2, 4, 6, 86.

INTERSECCIÓN DE DOS CONJUNTOS La intersección de dos conjuntos, que se escribe A x B, es el conjunto de todos los elementos que son comunes tanto a A como a B. En notación de conjuntos, esto se escribe A x B 5 5x 0 x [ A y x [ B6 EJEMPLOS 1. Dados A 5 52, 3, 4, 5, 66 y B 5 54, 5, 6, 7, 86, A x B 5 54, 5, 66. 2. Dados C 5 523, 21, 1, 36 y D 5 522, 0, 26, C x D 5 [. No hay elementos comunes para C y D. 3. Dados X 5 50, 2, 4, 6, 86 y Y 5 54, 86, X x Y 5 54, 86.

Las operaciones de conjuntos también se pueden realizar con intervalos.

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DEJEMPLO 8

Grafica:

A. 5 x 0 x # 21 6 h 5 x 0 x . 3 6 B. 12`, 32 x 3 21, ` 2

A. 12`, 21 4 h 3 2, 42

B. 5 x 0 x # 3 6 x 5 x 0 23 , x , 56

Solución A. El conjunto 5x 0 x # 216 h 5x 0 x . 36 es el conjunto de los números reales menores o iguales que 21 o mayores o iguales que 3. Este conjunto puede escribirse x 0 x # 21 o x . 3 6 . –5 –4 –3 –2 –1 0

DINTÉNTALO 8 Grafica:

Tu solución

• La gráfica de 5x 0 x " 21 o x + 36 contiene todos los puntos sobre las gráficas de x " 21 y x + 3. B. El conjunto (2`, 3) x [21, `) es el conjunto de los números reales menores que 3 y mayores o iguales que 21. La gráfica de (2`, 3) se muestra en turquesa y la gráfica de [21, `) se muestra en azul. –5 –4 –3 –2 –1 0

Los números reales que son elementos de (2`, 3) y [21, `) corresponden a los puntos de la sección de superposición; por tanto, (2`, 3) x [21, `) 5 [21, 3). Observa que 3 no es un elemento de (2`, 3). Por consiguiente, 3 no es un elemento de la intersección de los conjuntos. –5 –4 –3 –2 –1 0

DAPLÍCALO

3. Sean los conjuntos

A = (-8,4) B = [-3,6] C = [-2,9) D = (-5,10]

Grafica y expresa cada intervalo por comprensión, y luego calcula A Ȝ B, B ț C y (B Ȝ C) ț D.

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Desempeños esperados: 1 / 2 / 3

2.2 OBJETIVO

Operaciones con números enteros

A Operaciones con números enteros Para tener éxito en álgebra es necesario entender las operaciones con números reales. A continuación daremos un repaso a las operaciones básicas con números reales.

SUMA DE NÚMEROS REALES Números que tienen el mismo signo

Para sumar dos números que tienen el mismo signo, suma los valores absolutos de los números. Luego coloca el signo de los sumandos. Números que tienen diferentes signos

Punto de interés Las reglas para efectuar operaciones con números positivos y negativos han existido desde hace mucho tiempo. Aunque hay registros anteriores de estas reglas (del siglo tercero), uno de los más meticulosos aparece en The Correct Astronomical System of Brahma, escrito por el matemático indio Brahmagupta alrededor del año 600 d.C.

Para sumar dos números con diferente signo, encuentra el valor absoluto de cada número. Resta el menor de estos valores absolutos del mayor. Luego coloca el signo del número con el valor absoluto mayor.

Suma. A. 265 1 12482

B. 17 1 12532

C. 245 1 81

A. Los signos son iguales. Suma los valores absolutos de los números. 0 265 0 1 0 248 0 5 65 1 48 5 113 Luego coloca el signo de los sumandos. 265 1 12482 5 2113 B. Los números tienen signos distintos. Encuentra el valor absoluto de cada número. 0 17 0 5 17

0 253 0 5 53

Resta el menor de estos números del mayor. 53 2 17 5 36 Coloca el signo del número con el valor absoluto mayor. Como 0 253] . 0 17 0 , coloca el signo de 253. 17 1 12532 5 236 C. Los números tienen diferente signo. Encuentra el valor absoluto de cada número. 0 245 0 5 45

0 81 0 5 81

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Resta el menor de estos dos números del mayor. 81 2 45 5 36 Coloca el signo del número con el valor absoluto mayor. Como 0 81 0 . 0 245 0 , coloca el signo de 81. 245 1 81 5 36

RESTA DE NÚMEROS REALES Para restar dos números reales, suma al primer número el opuesto del segundo.

Resta. A. 48 2 12222 Sume el opuesto de 222.

A. 48 2 12222

5 48 1 22 5 70 Sume el opuesto de 37.

B. 217 2 37

B. 217 2 37 C. 225 2 12142

5 217 1 12372 5 254 Sume el opuesto de 214.

C. 225 2 12142 5 225 1 14 5 211

A menudo es necesario escribir una expresión matemática a partir de una verbal. Estas son algunas palabras y frases que se utilizan para indicar la suma y la resta. Palabras o frases para la suma

más que

23 más que 8

8 1 1232 5 5

la suma de

la suma de 25 y 29

25 1 1292 5 214

aumentado por

27 aumentado por 10

27 1 10 5 3

el total de

el total de 223 y 14

223 1 14 5 29

más

215 más 219

215 1 12192 5 234

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Palabras o frases para la resta

DEJEMPLO 9

menos

12 menos 20

12 2 20 5 12 1 12202 5 28

menos que

5 menos que 29

29 2 5 5 29 1 1252 5 214

menos

8 menos 29

8 2 1292 5 8 1 9 5 17

la diferencia entre

la diferencia entre 3 y 28

3 2 1282 5 3 1 8 5 11

disminuido por

27 disminuido por 5

27 2 5 5 27 1 1252 5 212

DINTÉNTALO 9

Resuelve.

¿Cuánto es 27 más que 25?

Resuelve.

¿Cuál es la suma de 221 y 32?

Solución

Tu solución.

25 1 27 5 22

DEJEMPLO 10

DINTÉNTALO 10

Resuelve.

Encuentra la diferencia entre 211 y 28.

Resuelve.

¿Cuánto es 212 menos que 7?

Solución 211 2 1282 5 211 1 8 5 23

Tu solución

MULTIPLICACIÓN O DIVISIÓN DE NÚMEROS REALES TOMA NOTA emplo (4) de la Observa en el ej zamos una derecha que utili es para denotar barra de fraccion 275 e acción 25 se le la división. La fr a r 25. “La barr 275 dividido po lee “dividido de fracciones se entre”. por” o “dividido

Números que tienen el mismo signo El producto o cociente de dos números con el mismo signo es positivo. Números que tienen signos distintos El producto o cociente de dos números con diferente signo es negativo. EJEMPLOS 1. 212 12152 5 180 3. 12652 4 1252 5 13

2. 221 1142 5 2294 275 4. 5 23 25

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En seguida se presentan algunas palabras y frases que indican la multiplicación y la división. Palabras o frases para la multiplicación veces

5 veces 26

5 1262 5 230

el producto de

el producto de 25 y 29

25 1292 5 45

el doble

el doble de 25

2 1252 5 210

Palabras o frases para la división

DEJEMPLO 11

el cociente de

el cociente de 15 y 23

15 4 1232 5 25

dividido entre

228 dividido entre 27

12282 4 1272 5 4

DINTÉNTALO 11

Resuelve.

A. Calcula el cociente de 260 y 12.

Calcula 214 veces 25.

Solución 12602 4 12 5 25

DEJEMPLO 12

Resuelve.

Tu solución

DINTÉNTALO 12

Resuelve.

¿Cuál es el producto de 215 y 25?

Resuelve.

¿Cuánto es 236 dividido entre 9?

Solución

Tu solución

215 1252 5 75

La relación entre la multiplicación y la división conduce a las propiedades siguientes.

TOMA NO

problema ue por cada Recuerda q blema p existe un ro de división, nado. o ci ción rela de multiplica a de em bl , para el pro de Por ejemp12lo a em 5 4, el probl división 3 es o ad n ón relacio multiplicaci 4 · 3 5 12.

PROPIEDADES DEL CERO Y DEL UNO EN LA DIVISIÓN 1. Cualquier número dividido entre 1 es el número mismo. a 5a 1

2. El cero dividido entre cualquier número diferente de cero es cero. 0 5 0, a 2 0 a

3. La división entre cero no está definida. 4. Cualquier número diferente de cero dividido entre sí mismo es 1.

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EJEMPLOS

12 5 12 1 0 2. 50 7 1.

4 0

12 51 12

25 5 25 1 0 50 215

no está definido.

0 0

1 51 1

no está definido.

227 51 227

Para comprender que la división entre cero no está permitida, supón que 40 5 n, donde n es cierto número. Dado que cada problema de división tiene un problema de multiplicación relacionado, 40 5 n significa n # 0 5 4. Pero n # 0 5 4 es imposible porque cualquier número multiplicado por 0 es 0. Por tanto, la división entre 0 no está definida. 0 Asimismo, supón que 0 5 n. La multiplicación relacionada es 0 5 n # 0. La dificultad aquí es que cualquier número n haría verdadera a la ecuación, de manera que no hay una respuesta única. Debido a ello, 00 no está definida. Exponente Base

b # b # b # b # b 5 b5 c

2 # 2 # 2 # 2 # 2 # 2 5 26 c

La multiplicación repetida del mismo factor puede escribirse utilizando un exponente. Exponente Base

El exponente indica cuántas veces el factor, llamado la base, ocurre en la multiplicación. La multiplicación 2 # 2 # 2 # 2 # 2 # 2 está en forma factorizada. La expresión 26 está en forma exponencial. 21 se lee “la primera potencia de dos” o solo “dos”. 22 se lee “la segunda potencia de dos” o “dos al cuadrado”.

Por lo general el exponente 1 no se escribe.

23 se lee “la tercera potencia de dos” o “dos al cubo”. 24 se lee “la cuarta potencia de dos” o “2 a la cuarta”. 25 se lee “la quinta potencia de dos” o “2 a la quinta”. b5 se lee “la quinta potencia de b” o “b a la quinta”.

ENÉSIMA POTENCIA DE a Si a es un número real y n es un entero positivo, entonces la enésima potencia de a es el producto de n factores de a.

an 5 a # a # a # c # a a como un factor n veces

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EJEMPLOS 1. 53 5 5 # 5 # 5 5 125 2. 1232 4 5 1232 1232 1232 1232 5 81 3. 234 5 2 13 # 3 # 3 # 32 5 281

Nota la diferencia entre los ejemplos (2) y (3) anteriores. (23)4 significa que utilizamos 23 como un factor 4 veces. Sin embargo, 234 5 2(34). En este caso, 234 significa que usamos 3 como un factor 4 veces y luego encontramos el opuesto del resultado. Estos son algunos ejemplos más.

DEJEMPLO 13

1262 3 5 1262 1262 1262 5 2216

Utiliza 26 como un factor 3 veces.

263 5 2 16 # 6 # 62 5 2216

Utiliza 6 como un factor 3 veces. Luego encuentra el opuesto.

1252 4 5 1252 1252 1252 1252 5 625

Utiliza 25 como un factor 4 veces.

254 5 2 15 # 5 # 5 # 52 5 2625

Utiliza 5 como un factor 4 veces. Luego encuentra el opuesto.

Evalúa.

1272 3

DINTÉNTALO 13

Evalúa.

253

Solución

Tu solución

1272 3 5 1272 1272 1272 5 2343

DEJEMPLO 14

Evalúa.

244

Solución 24 5 2 14 # 4 # 4 # 42 5 2256

DINTÉNTALO 14

Evalúa.

1222 7

Tu solución

DAPLÍCALO

4. La forma de escribir el número más grande utilizando tres dígitos sin emplear ningún signo es 99 . ¿Cuál es la forma de escribir el número más grande utilizando tres doses (2), tres treses (3) y tres cuatros (4) sin emplear ningún signo?

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B El orden o jerarquía de las operaciones

OBJETIVO

Cuando una expresión contiene varias operaciones, se utiliza el orden o jerarquía de las operaciones para simplificar la expresión.

EL ORDEN O JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES las operaciones dentro de los símbolos de agrupación. Estos símbolos incluyen los Paso 1 Realiza paréntesis, los corchetes, el símbolo de valor absoluto, y la barra de fracciones. Paso 2 Simplifica las expresiones con exponentes. Paso 3 Realiza las multiplicaciones y las divisiones como se presentan de izquierda a derecha. Paso 4 Realiza las sumas y las restas como se presentan de izquierda a derecha. EJEMPLOS 1. 3 14 2 92 5 3 1252 5 215 2.

3 # 24 5 3 # 16 5 48

• Realiza las operaciones dentro de los símbolos de agrupación. [Paso 1] • Multiplica. [Paso 3] • Simplifica las expresiones con exponentes. [Paso 2] • Multiplica. [Paso 3]

12 4 6 # 3 5 2 # 3 • Realiza de izquierda a derecha las multiplicaciones y las divisiones. [Paso 3] 56

5 2 2 # 4 5 5 2 8 • Realiza de izquierda a derecha las multiplicaciones y las divisiones. [Paso 3] 5 23

DEJEMPLO 15

• Realiza de izquierda a derecha las sumas y las restas. [Paso 4]

Simplifica: 9 4 16 2 32 2 3 18 2 102 3

DINTÉNTALO 15

Simplifica: 24 2 18 4 6 13 2 62 3

Tu solución Solución 9 4 16 2 32 2 3 18 2 102 3 • Realiza las operaciones dentro de los símbolos de 5 9 4 3 2 3 1222 3 agrupación. # • Simplifica las expresiones 5 9 4 3 2 3 1282 con exponentes. 5 3 2 12242 • Realiza de izquierda a derecha las multiplicaciones y las divisiones. • Realiza de izquierda a 5 27 derecha las sumas y las restas. L SE eCcCcI iÓóN n 21 . 2 : O p e r a c i o n e s c o n n ú m e r o s e n t e r o s Reg. 403 VS © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

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DAPLÍCALO

5. Mariana tenía una determinada suma de dinero. El primer mes gastó mil pesos y aumentó el resto con un tercio de éste. Al mes siguiente volvió a gastar mil pesos y aumentó la suma restante en un tercio de ella. El tercer mes gastó de nuevo mil pesos, y después de haber agregado la tercera parte de su resto, el capital llegó al doble del inicial. Determina cuál es el capital inicial de Mariana.

2.3 OBJETIVO

Operaciones con números racionales

Desempeños esperados: 1 / 2 / 3

A Operaciones con números racionales Nuestro trabajo con fracciones a menudo requiere que utilicemos el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de dos o más enteros. El mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más números es el número menor que es un múltiplo de todos los números. Por ejemplo, 36 es el mcm de 12 y 18 porque es el número más pequeño que es divisible exactamente tanto entre 12 como entre 18.

Encuentra el mcm de 12 y 14. Determina la factorización con números primos de cada número. El factor común se muestra en turquesa. 12 5 2 # 2 # 3 14 5 2 # 7

Factores de 14 mcm 5 2 # 2 # 3 # 7 5 84 • El mcm es el producto de los factores primos de ambos números. Utiliza el factor común a Factores de 12 la mayor potencia. mcm 5 22 # 3 # 7 5 84 El mcm de 12 y de 14 es 84.

El máximo común divisor (MCD) de dos o más números es el número más grande que divide en partes iguales a todos los números. Por ejemplo, el MCD de 12 y 18 es 6, el número más grande que divide exactamente a 12 y 18. El MCD puede obtenerse al escribir primero cada número como un producto de factores primos. El MCD contiene los factores primos comunes a ambos números.

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Obtén el MCD de 36 y 90. Determina la factorización en primos de cada número. Los factores comunes se muestran en turquesa. 36 5 2 # 2 # 3 # 3 90 5 2 # 3 # 3 # 5

Cómo se usa Los sitios web seguros, aquellos que tienen URL que comienzan con https, utilizan números primos muy grandes para cifrar los números de tarjeta de crédito para el comercio electrónico.

El MCD es el producto de los factores primos comunes a ambos números. MCD 5 2 # 3 # 3 5 18 El MCD de 36 y 90 es 18.

El concepto de MCD se utiliza cuando se simplifica un número racional. Recuerda que un p número racional es aquel que puede escribirse en la forma q , donde p y q son enteros y q 2 5 12 0. Ejemplos de números racionales son 29 y 5 . Debido a que cualquier entero c puede c 3 escribirse como c 5 1 (por ejemplo, 3 5 1), todos los enteros son números racionales. 5 c También observa que si c es un entero diferente de cero, entonces c 5 1 (por ejemplo, 5 5 1). Una buena comprensión sobre las operaciones con números racionales es un requisito para tener éxito en este curso.

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES TOMA NOTA

El producto de dos fracciones es el producto de los numeradores sobre el producto de los denominadores. a#c ac 5 b d bd

215, 15 y 2 28 Las fracciones 28 228 En o. er m nú o m is m representan el a do una respuest este libro, cuan a, tiv nega es una fracción o negativo gn si el escribiremos ón. frente a la fracci

EJEMPLOS 1.

2#5 2#5 10 5 # 5 3 7 3 7 21

3 5 3 # 1252 215 15 5 52 a2 b 5 # 4 7 4 7 28 28

Un número racional está en su forma más simple cuando el numerador y el denominador no contienen un factor mayor que 1. Tú puedes simplificar por pasos una fracción al dividir entre un factor común el numerador y el denominador hasta que la fracción esté en su forma más simple. 10

30 10 2 5 5 45 15 3 15

• Divide entre 3 el numerador y el denominador. Luego divide entre 5 el numerador y el denominador resultantes.

L SE eCcCcI iÓóN n 12 . 3 : O p e r a c i o n e s c o n n ú m e r o s r a c i o n a l e s Reg. 403 VS © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

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DEJEMPLO 16 Solución

28 5 Multiplica: a2 b a2 b 8 45

DINTÉNTALO 16 Multiplica: 2110 a21425 b Tu solución

28 5 # 28 5 a2 b a2 b 5 # 8 45 8 45 7 5 18

• Los signos son iguales. El producto es positivo. • Escribe la respuesta en su forma más simple.

El inverso multiplicativo de un número distinto de cero a es a. A este número también se 1 le llama recíproco de a. Por ejemplo, el recíproco de 2 es 2 y el recíproco de 234 es 243. La división de números reales se define en función de la multiplicación por el recíproco.

DIVISIÓN DE FRACCIONES Para dividir fracciones, multiplica el recíproco del divisor. a c a d ad 4 5 # 5 b d b c bc

DEJEMPLO 17

Divide:

9 3 4 a2 b 8 16

DINTÉNTALO 17 Divide: a26 b 4 a212 b 5

Tu solución Solución 9 3 9 3 4 a2 b 5 2a 4 b • Los signos son 8 16 8 16 diferentes. El cociente es negativo. 3 16 5 2a # b • Multiplica por el 8 9 recíproco del divisor. 2 52 • Escribe la respuesta en 3 su forma más simple.

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SUMA O RESTA DE FRACCIONES La suma o diferencia de dos fracciones con el mismo denominador es la suma o diferencia de los numeradores sobre el común denominador. EJEMPLOS 1 311 4 1 3 1 5 5 5 8 8 8 8 2 2 23 1 2 21 1 3 2. 2 1 5 5 52 5 5 5 5 5 6 426 22 2 4 2 5 5 52 3. 7 7 7 7 7 1 5 1 2 1252 6 3 4. 2 a2 b 5 5 5 8 8 8 8 4

Para sumar o restar números racionales escritos como fracciones, primero vuelve a escribir las fracciones como fracciones equivalentes con un común denominador. Un común denominador es el producto de los denominadores de las fracciones. El mínimo común denominador es el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores.

7 5 1 a2 b 6 8 El mcm de 6 y 8 es 24. Por tanto, el común denominador es 24. Suma:

7 5 4 27 # 3 5 1 a2 b 5 # 1 a b 6 8 6 4 8 3 Escribe cada fracción en función del comúndenominador, 24.

221 20 1a b 24 24

Suma los numeradores y coloca la suma sobre el común denominador.

20 1 12212 24

21 1 52 24 24

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DAPLÍCALO

6. Diofanto de Alejandría fue un notable matemático griego, cuya vida es poco conocida, aunque lo que se logró rescatar de su obra es parte relevante del álgebra moderna. Todo lo que se conoce acerca de él ha sido tomado del epitafio en su sepulcro. Léelo y analízalo: ¡Caminante! Aquí fueron sepultados los restos de Diofanto. Y los números pueden mostrar, ¡oh, maravilla!, cuán larga fue su vida, cuya sexta parte constituyó su hermosa infancia. Había transcurrido además una duodécima parte de su vida, cuando de vello se cubrió su barbilla. Y la séptima parte de su existencia transcurrió en un matrimonio estéril. Pasó un quinquenio más y le hizo dichoso el nacimiento de su precioso primogénito, que entregó su cuerpo, su hermosa existencia a la tierra, que duró tan solo la mitad de la de su padre y con profunda pena descendió a la sepultura, habiendo sobrevivido cuatro años al deceso de su hijo. Dime cuántos años había vivido Diofanto cuando le llegó la muerte.

¡apr ende Aumen más! investig ta tus con oc a

imient fuente ndo en o I lo que son lans ternet u otrsa diofan ecuaci tinas. ones

A partir del epitafio, halla a qué edad se casó, a qué edad fue padre, a qué edad murió su hijo y a qué edad murió el célebre Diofanto.

OBJETIVO

B Orden de las operaciones y fracciones complejas El orden de las operaciones se puede utilizar para simplificar expresiones racionales.

DEJEMPLO 18 Solución

1 7 20 5 Simplifica: 2 2 c 2 1 a2 b d 4 5 7 4 1 7 20 5 1 7 280 235 2 2 c 2 1 a2 b d 5 2 2 c 1 d 4 5 7 4 4 5 28 28

• Suma las fracciones entre corchetes. El mcm es 28.

7 2115 1 52 2 c d 4 5 28 1 23 5 2 2 a2 b 4 4 22 5 4 11 5 2

INTÉNTALO 18 Simplifica:

3 2 5 5 2a b 1 16 4 8

• Multiplica las fracciones. • Resta las fracciones.

• Escribe en su forma más simple.

Tu solución

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3 4

2 3

1 2

EJEMPLO 19 Simplifica: a2 b 4 a 2 b 1 Solución

3 2 1 2 7 a2 b 4 a 2 b 1 4 2 3 16 7 1 3 2 5 a2 b 4 a2 b 1 4 6 16 5

7 16

1 7 9 4 a2 b 1 16 6 16

• Realiza las operaciones dentro de los paréntesis. 1 1 3 4 1 – = – =– 2 3 6 6 6

• Simplifica las expresiones con exponentes.

7 27 1 8 16

• Realiza de izquierda a derecha las multiplicaciones y las divisiones.

47 16

• Realiza de derecha a izquierda las sumas y las restas. 4 3

5 6

INTÉNTALO 19 Simplifica: a 2 b 1

3 7 4 8 4

Tu solución

Una fracción compleja es una fracción en la cual el numerador o el denominador contienen una fracción. Estos son algunos ejemplos de fracciones complejas. 3 1 2 6 4 Barra de fracciones principal S 2 1 1 5 4

3 4 1 2 2 2 3

1 5 3 4

La barra de fracciones principal separa al numerador del denominador en una fracción compleja. El orden de las operaciones se puede utilizar para simplificar una fracción compleja. La barra de fracciones principal es un símbolo de agrupación y puede leerse como “dividido entre”. Por ejemplo, la primera fracción compleja encima puede pensarse como 1 2 6 2 1 5

3 4 1 3 2 1 5a 2 b4a 1 b 1 6 4 5 4 4

Al considerar a la fracción compleja de esta manera, tenemos un método para simplificarla. Simplifica el numerador; simplifica el denominador; divide los dos resultados.

Simplifica:

1 3 2 6 4 2 1 1 5 4

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