Matemáticas III

Matemáticas III Patricia Ibáñez Carrasco

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Matemáticas III

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Matemáticas III Patricia Ibáñez Carrasco Universidad Tecnológica de Puebla Centro Universitario CIFE Instituto Latinoamericano para la Comunicación Educativa (ILCE)

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Matemáticas III, primera edición Patricia Ibáñez Carrasco Director Higher Education Latinoamérica: Renzo Casapía Valencia Gerente editorial Latinoamérica: Jesús Mares Chacón Editora: Karen Estrada Arriaga Coordinador de manufactura: Rafael Pérez González Diseño de portada: Anneli Daniela Torres Arroyo Imágenes de portada: © Zoran Vukmanov Simokov/ Shutterstock.com © Maxal Tamor/Shutterstock.com © prisma/Shutterstock.com © Anton Starikov/Shutterstock.com Composición tipográfica: Ediciones OVA

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Datos para catalogación bibliográfica: Ibáñez Carrasco, Patricia Matemáticas III Primera edición ISBN: 978-607-526-790-6 Visite nuestro sitio web en: http://latinoamerica.cengage.com

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CONTENIDO Bloque I Lugares geométricos en el plano................................................................... 2 Lugares geométricos........................................................................................................................... 4 Lugar geométrico de líneas rectas y curvas....................................................................................... 6 Introducción: parejas ordenadas.................................................................................................................... 6 Segmentos rectilíneos........................................................................................................................................ 12 Distancia entre dos puntos............................................................................................................................... 14

División de un segmento en una razón dada................................................................................. 20 La noción de razón...................................................................................................................................... 20 Punto medio.................................................................................................................................................. 22 División de un segmento en partes iguales....................................................................................... 25 Perímetros y áreas de figuras en el plano........................................................................................ 30

Bloque II Línea recta.......................................................................................................... 38 Línea recta............................................................................................................................................. 40 Lugar geométrico de la línea recta........................................................................................................ 42 Pendiente y ángulo de inclinación.................................................................................................... 45 Condiciones de paralelismo y perpendicularidad........................................................................... 50 Ángulo entre dos rectas............................................................................................................................. 53 Formas de la ecuación de la recta..................................................................................................... 57 Punto-pendiente.......................................................................................................................................... 57 Dos puntos..................................................................................................................................................... 66 Pendiente-ordenada al origen................................................................................................................ 74 Ordenada en el origen....................................................................................................................................... 74

Forma simétrica de la recta...................................................................................................................... 83 Forma general de la recta......................................................................................................................... 91 Forma normal de la recta.......................................................................................................................... 99 Distancia de un punto a una recta................................................................................................................. 103 Distancia de una recta al origen..................................................................................................................... 106 Distancia no dirigida entre un punto y una recta.................................................................................... 107 © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Prohibida su venta o reproducción sin el consentimiento por escrito de la Editorial.

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Matemáticas III

Bloque III Circunferencia ................................................................................................... 114 Circunferencia ...................................................................................................................................... 116 Lugar geométrico de la circunferencia ............................................................................................... 118 Elementos asociados a la circunferencia ............................................................................................ 122 Posiciones relativas de una recta respecto a una circunferencia.......................................................

124

Ecuación de la circunferencia .................................................................................................................

125

Forma ordinaria con centro en el origen y fuera de él ..........................................................................

125

Circunferencia con centro fuera del origen ...............................................................................................

129

Obtención de la ecuación a partir del centro y el radio ........................................................................

129

Radio y centro de una circunferencia con centro fuera del origen ...................................................

131

Forma general ......................................................................................................................................................

135

Ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos ..............................................................

145

Bloque IV Parábola ............................................................................................................. 156 Parábola ................................................................................................................................................ 158 Lugar geométrico de la parábola ......................................................................................................... 160 Definición, elementos y trazado de la parábola ......................................................................................

160

Ecuación de la parábola............................................................................................................................

166

Ecuación ordinaria de parábolas verticales y horizontales con vértice en y fuera del origen

166

Ecuación general de la parábola ...................................................................................................................

188

Bloque V Elipse .................................................................................................................. 204 Elipse ..................................................................................................................................................... 206 Lugar geométrico de la elipse ................................................................................................................ 208 Definición de elementos y trazado de la elipse .......................................................................................

208

Ecuación de la elipse ........................................................................................................................... 210 Ecuación ordinaria de elipses horizontales y verticales con centro en y fuera del origen 211 El lado recto de la elipse ...................................................................................................................................

212

Elipse con centro en el origen a partir de su ecuación ordinaria.......................................................

215

Elipse de centro (h, k) y eje paralelo a uno de los ejes de coordenadas..........................................

217

Ecuación general de la elipse .................................................................................................................

223

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PRESENTACIÓN

El presente libro Matemáticas III, de Patricia Ibáñez Carrasco, se ha convertido en referencia de texto para estudiantes de nivel medio superior en la materia de geometría analítica, ya que permite que el lector trabaje en aplicaciones reales combinando ejercicios, problemas y ejemplos que relacionan la teoría con la práctica matemática. Tiene un enfoque basado en competencias que puede utilizarse en distintos planes de estudio, o bien, tomarlo como un marco de referencia.

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AL ESTUDIANTE

Los autores de libros viven con la esperanza de que alguien en realidad los lea. Al contrario de lo que podrías creer, casi todos los textos de matemáticas de nivel medio superior están escritos para ti y no para el profesor. Cierto es que los temas cubiertos en el texto se escogieron consultando a los profesores, ya que ellos toman la decisión acerca de si hay que usarlos en sus clases, pero todo lo escrito en él está dirigido directamente a ti, al estudiante. Entonces queremos invitarte a —no, en realidad queremos pedirte— que ¡leas este libro de texto! Pero no lo hagas como leerías una novela; no debes leerlo rápido y no debes saltarte nada. Piensa en este libro como en un cuaderno de ejercicios. Creemos que las matemáticas siempre deberían ser estudiadas con lápiz y papel a la mano porque, muy probablemente, tendrás que trabajar los ejemplos y hacer los análisis. Lee —más bien, trabaja— todos los ejemplos de una sección antes de intentar resolver cualquiera de los ejercicios. Los ejemplos se han diseñado para mostrar lo que consideramos son los aspectos más importantes de cada sección y, por tanto, muestran los procedimientos necesarios para trabajar la mayoría de los problemas de los conjuntos de ejercicios. Siempre pedimos a nuestros estudiantes que, cuando lean un ejemplo, cubran su solución e intenten resolverlo solos, para después comparar su respuesta con la solución dada y resolver cualquier diferencia.

Hemos tratado de incluir los pasos más importantes para cada ejemplo, pero si algo no es claro, siempre puedes intentar completar los detalles o pasos que faltan, y aquí es donde el papel y el lápiz entran de nuevo.

Puede que no sea fácil, pero es parte del proceso de aprendizaje. La acumulación de hechos seguidos por la lenta asimilación de la comprensión simplemente no se puede alcanzar sin trabajar arduamente. Recuerda que también puedes revisar las matemáticas apropiadas de tus viejos libros.

En conclusión, te deseamos buena suerte y éxito. Esperamos que disfrutes el libro y el curso que estás por iniciar. Si tienes algún comentario o si encuentras algún error cuando leas o trabajes con este material, o si nos quieres hacer llegar una buena idea para mejorar el libro, por favor ponte en contacto con nosotros a través de nuestro editor en Cengage Learning.

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AL DOCENTE

En caso de que examine este texto por primera vez, Matemáticas III puede utilizarse para un curso de un semestre de geometría analítica o bien un curso remedial para el ingreso al nivel medio superior.

Para un curso semestral, suponemos que los estudiantes han completado con éxito al menos un semestre de aritmética básica y álgebra, requerido en el análisis matemático, y uno de geometría plana. Dado que usted está leyendo esto, sin duda ya ha examinado la tabla de contenido para conocer los temas que cubrirá.

Estamos seguros que hay suficiente material para escoger y formar un curso a su gusto. El texto tiene un equilibrio razonable entre los métodos analíticos, cualitativos y cuantitativos en el estudio de los temas presentados. Nuestra “filosofía” es que un libro para estudiantes de nivel medio superior debería estar escrito considerando siempre la comprensión del estudiante, lo que significa que el material debe presentarse en una forma directa, legible y útil, considerando el nivel teórico compatible con la idea de un “primer curso de geometría analítica”.

A las personas familiarizadas con los textos anteriores de la autora, nos gustaría mencionarles algunas de las mejoras hechas en esta edición: • Se han agregado comentarios, figuras y ejemplos.

• Se hace mayor énfasis en los conceptos de matemáticas básicas, involucrados en el análisis matemático requerido en la geometría analítica y en las soluciones que implican razonamientos lógicos, priorizando el uso de la parte geométrica y la analítica.

• Por último, se ha adaptado al Nuevo Modelo Educativo.

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ACERCA DE LA AUTORA Patricia Ibáñez Carrasco Egresada de la Universidad Tecnológica de Puebla, con estudios de Ingeniería en Tecnologías para la Automatización, maestría en Docencia y desarrollo de competencias por parte del Centro Universitario CIFE y maestría en Comunicación y tecnologías educativas por parte del Instituto Latinoamericano para la Comunicación Educativa (ILCE). En su amplia experiencia profesional ha sido docente, a lo largo de 27 años, de Matemáticas, Informática y Física en el Colegio de Bachilleres del Estado de Puebla, facilitadora de cursos de Evaluación del aprendizaje por parte del Centro Universitario CIFE y actualmente directora, por examen de promoción del Servicio Profesional Docente (SPD), del Plantel 13 del Colegio de Bachilleres del Estado de Puebla.

Asimismo, se ha desempeñado como consultora externa de la Dirección General de Bachillerato (DGB) para el desarrollo de programas basados en competencias laborales, elaboradora de programas de estudio de matemáticas e informática de nivel medio superior en la DGB para el Nuevo Modelo Educativo.

Actualmente, está certificada como Evaluadora Nacional de Desempeño Docente por parte del Instituto Nacional para la Evaluación Educativa (INEE), participando en la calificación de docentes evaluados.

Ha impartido cursos sobre tópicos de matemáticas e informática, manejo de programas de estudio y manejo del libro de Matemáticas I para bachillerato. Es autora de los libros Matemáticas I, II, III, IV, V y VI, Informática I y II publicados por Cengage Learning.

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BLOQUE

I

Lugares geométricos en el plano Propósito del bloque:

GaudiLab/Shutterstock.com

Ejemplifica lugares geométricos a través del cálculo de perímetros y áreas dentro del plano, favoreciendo la comprensión y reflexión para interpretar su entorno espacial en situaciones cotidianas.

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Competencias genéricas: CG 5.6

CG 8.3

Competencias disciplinares:

Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información.

Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

CD 1 Construye e interpreta modelos

matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variaciones, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

CD 8 Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Horas asignadas: 15 horas

Conocimientos

Habilidades

Actitudes

Lugar geométrico de líneas rectas y curvas.

• Sistemas de coordenadas rectangulares.

• Segmentos rectilíneos.

• Distancia entre dos puntos.

• División de un segmento en una razón dada.

Perímetros y áreas de figuras en el plano.

•

•

• •

• •

Identifica las características de los diferentes lugares geométricos en el plano.

Estima la distancia entre dos puntos utilizando segmentos rectilíneos.

Representa gráficamente las coordenadas del punto medio y una razón dada sobre un segmento rectilíneo.

Analiza diferentes estrategias para el cálculo de perímetros y áreas en el plano.

Selecciona diferentes maneras para localizar puntos en el plano.

•

•

Privilegia el diálogo para la construcción de nuevos conocimientos.

Se relaciona con sus semejantes de forma colaborativa mostrando disposición al trabajo metódico y organizado.

Aporta ideas en la solución de problemas promoviendo su creatividad.

Aprendizajes esperados • •

Usa los conceptos básicos de la Geometría Analítica, promoviendo el pensamiento reflexivo y lógico como una nueva forma de interpretar su entorno espacial; contribuyendo a la construcción de nuevos conocimientos que aplique en su vida cotidiana.

Emplea el cálculo de perímetros y áreas en el plano cartesiano para resolver creativamente, problemáticas de su contexto.

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Lugares geométricos Divide cada dificultad en tantas partes como sea factible y necesario para resolverla.

René Descartes Reflexionemos La geometría analítica se originó durante la Edad Media en Europa. Podemos afirmar que la obra Practica Geometriae, de Fibonacci (1170-hacia 1240), redactada hacia 1220, es el punto de arranque de la geometría renacentista, aunque sólo se ocupe de estudiar la medida de las áreas de polígonos y volúmenes de cuerpos.

Por otro lado, debemos a Jordano Nemorarius (1225-1237) la primera formulación correcta del problema del plano inclinado. Cien años después, en París, el profesor Nicolás Oresmes (1320-1382) utilizó coordenadas rectangulares en una de sus obras, de forma primitiva y rudimentaria, para la representación gráfica de ciertos fenómenos físicos.

Pero sin duda uno de los grandes maestros en esta materia fue René Descartes (1596-1650) con su famosa obra Discurso del método denominada originalmente Géometrie (1637), en la cual detalló las instrucciones geométricas para resolver ecuaciones cuadráticas, mediante la aplicación del álgebra en ciertos problemas geométricos. Prácticamente, esta obra está dedicada a la interrelación entre el álgebra y la geometría con ayuda del sistema de coordenadas, justo lo que actualmente denominamos geometría analítica.

Discute con tu maestro y con el grupo cuáles serían las consecuencias si no conociéramos y aplicáramos la geometría analítica hoy en día.

Recordemos (conocimientos previos) A continuación presentamos una serie de preguntas que servirán como base para el inicio del tema: 1. ¿Cómo defines la geometría?

2. ¿Cómo analizas un problema matemático?

3. ¿Qué entiendes por geometría analítica?

4. ¿Cuántos tipos de líneas conoces?

5. ¿Cuál es la forma de la ecuación de primer grado?

6. ¿Cuál es la forma geométrica de una ecuación de primer grado?

7. ¿Cuál es la forma de la ecuación de segundo grado?

8. ¿Cuál es la forma geométrica de una ecuación de segundo grado?

9. ¿Qué es el perímetro?

10. ¿Qué es el área? © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Prohibida su venta o reproducción sin el consentimiento por escrito de la Editorial.

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Bloque I Lugares geométricos en el plano

Actividad introductoria Investiguen en equipos de cuatro integrantes, en libros y páginas en internet, los antecedentes de la geometría analítica y elaboren una línea de tiempo en la que destaquen los principales precursores, el año y la aportación de cada uno. Se calificará con la siguiente lista de cotejo.

Instrucciones: Su maestro calificará la actividad introductoria; sin embargo, primero deben autoevaluar su trabajo, anotando su calificación, los logros obtenidos y cuáles son sus áreas de oportunidad (errores u omisiones). Además, permitirán que otro equipo (su maestro indicará cuál) los coevalúe con base en la misma lista de cotejo.

Tabla 1.1 Núm.

Criterio de evaluación

1

Usa una línea horizontal o vertical con doble sentido.

2

El título hace referencia al tema.

3

Están presentes los matemáticos más relevantes del desarrollo de la geometría analítica.

4

Los acontecimientos están ordenados de un tiempo anterior a un tiempo posterior.

5

Los segmentos marcan fechas de entre cinco a 10 años.

6

Contiene las aportaciones de los principales precursores.

7

Mantiene coherencia con el tema central.

8

Es fácil de leer.

9

No presenta faltas de ortografía.

10

Se presenta en tiempo y forma.

CG 5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información.

CG 8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

Cumple (1 punto)

No cumple (0 puntos)

Calificación Autoevaluación

Logros

Áreas de oportunidad

Coevaluación

Logros

Áreas de oportunidad

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◗ Lugar geométrico de líneas rectas y curvas Una línea se define como una secuencia de puntos, uno detrás de otro. Así, tenemos que las líneas pueden ser rectas o curvas.

Introducción: parejas ordenadas Para iniciar el tema analicemos el siguiente ejemplo: El menú de la fonda de la mamá de Mariana tiene tortas de jamón y tacos de pollo, para comer, y para beber las opciones son refresco, jugo de naranja y agua de jamaica.

Ahora bien, Mariana quiere saber cuántos posibles menús pueden ofrecerse en la fonda. A continuación se muestra la lista de las posibles combinaciones que obtuvo Mariana: • • • • • •

Torta de jamón con refresco.

Torta de jamón con jugo de naranja.

Torta de jamón con agua de jamaica.

Tacos de pollo con refresco.

Tacos de pollo con jugo de naranja.

Tacos de pollo con agua de jamaica.

Además, Mariana tiene la idea de asignarle un número a cada comida y bebida para que sea más fácil para los clientes escoger el menú: • Comidas: 1. Torta de jamón 2. Tacos de pollo • Bebidas: 1. Refresco 2. Jugo de naranja 3. Agua de jamaica

Al hacer la “traducción” a números, Mariana obtuvo la siguiente lista: 1, 1 1, 2 1, 3 2, 1 2, 2 2, 3 En la cual el primer número pertenece a la comida y el segundo a la bebida.

Observa que no tendría ningún significado pedir un menú (3, 2) ya que no hay ninguna comida 3. Entonces, el orden en estas parejas es importante, lo mismo sucederá para las parejas de números que veremos ahora. Una pareja ordenada es un par de números (x, y) escritos en un orden específico. El arreglo de todas las parejas del menú se conoce como conjunto; recuerda que un conjunto es una colección de elementos que comparten una característica. © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Prohibida su venta o reproducción sin el consentimiento por escrito de la Editorial.

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Bloque I Lugares geométricos en el plano

Las parejas ordenadas tienen dos elementos, uno de ellos ocupa el primer lugar y otro el segundo; sin embargo, si se cambian de lugar estos elementos su sentido varía. Por ejemplo, si inviertes el orden del menú (1, 3) a (3, 1) este último no tiene sentido.

En geometría analítica las parejas ordenadas se escriben entre paréntesis; por ejemplo: (3, 4), (6, 8), (9, 1), (4, 3), etc. En general, las parejas ordenadas cumplen que: (a, b) (b, a) y (a, b) = (b, a), si y solo si a = b Esto quiere decir que para considerar iguales a dos parejas ordenadas deben tener los mismos elementos en el mismo orden; por ejemplo (5, 5).

Una forma de encontrar todas las posibles parejas ordenadas de números entre dos conjuntos es por medio del producto cartesiano. Este se representa A B y se define como la colección de todas las relaciones (combinaciones) de los elementos de A con los elementos de B. Ejemplo 1:

Calcula el producto cartesiano de A = {1, 2, 3} con B = {1, 2, 3, 4}.

Solución:

A

B = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4)}

En este conjunto de parejas ordenadas todas son distintas.

Observa que si el conjunto A tiene 3 elementos y el conjunto B tiene 4 elementos, entonces el conjunto A B tiene 12 elementos, que equivale 3 4 elementos, de ahí la razón de llamarlo producto (multiplicación), y se le denomina cartesiano porque se puede representar en una gráfica denominada plano cartesiano, como el siguiente: B

4 3 2 1

(1, 4) (2, 4) (3, 4) (1, 3) (2, 3) (3, 3) (1, 2) (2, 2) (3, 2) (1, 1) (2, 1) (3, 1)

1

2

3

A

Gráfica del ejemplo 1

Esta representación es la introducción al concepto de plano cartesiano y coordenadas cartesianas. © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Prohibida su venta o reproducción sin el consentimiento por escrito de la Editorial.

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Matemáticas III

Comprueba el desarrollo de tus competencias CD 1 Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variaciones, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

CG 8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

En equipos de tres estudiantes realicen las siguientes actividades, recuerden mantener una actitud de tolerancia y respeto.

I. Dadas las siguientes parejas ordenadas, coloquen el signo que le corresponde: = o , justifiquen sus respuestas: 1. (1, 2)

(3, 4)

2. (4, 5)

(5, 4)

3. (8, 6)

(8, 5)

4. ( 3, 0)

(0, 3)

5. (4, 8)

(4, 8)

6. (7, 5)

(5, 7)

7. (9, 9)

(9, 9)

8. ( 7, 1)

( 1, 7)

9. (a, b)

(x, y)

10. (2x, 7y)

(2x, 7y)

II. Dados los siguientes conjuntos, calculen los productos cartesianos y represéntenlos en un plano.

A = {a, b, c, d }, B = {1, 3, 5}, C = {2, 4, 6, 8}, D = {x, y, z } 1. A

B

2. C

D

3. A

C

4. C

B

5. D

A

6. B

D

7. B

A

8. D

C

9. B

C

10. A

D

Sistemas de coordenadas rectangulares

Una aplicación de las parejas ordenadas es la localización de puntos en un plano, tema que explicaremos con un ejemplo de la vida real.

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Bloque I Lugares geométricos en el plano

Ejemplo 2:

En la ciudad de Puebla las calles están numeradas, de acuerdo con su orientación, como 1 norte, 2 norte, 3 norte..., y 1 sur, 2 sur, 3 sur, etc. Además, 1 oriente, 2 oriente, 3 oriente..., y 1 poniente, 2 poniente, 3 poniente, etc. De tal manera que cuando queremos ubicar un sitio o a una persona debemos hacer referencia a dos calles, una norte o sur y otra oriente o poniente. Para que quede más claro, hagamos un mapa de las calles:

1. Zócalo 2. Parroquia 3. Presidencia Municipal 4. Casa de Ricardo 5. Casa de Axel

3 nte 4 2 nte 1 nte 3

1

2

1 sur 2 sur 3 sur 5 4 ote 3 ote 2 ote 1 ote 1 pte 2 pte 3 pte 4 pte

Plano del centro histórico de la ciudad de Puebla

Ricardo vive en la esquina de la 3 norte y 4 oriente, observa que es necesario hacer referencia a dos calles y estas deben ser perpendiculares.

Axel vive en la esquina de 3 sur y 4 poniente.

El zócalo, la Presidencia Municipal y la parroquia ocupan toda una manzana cada uno.

Si Axel le dice a Ricardo que se ven en la Presidencia Municipal, ¿cuáles serían las opciones para verse? Discútelo con el grupo.

Solución:

Seguramente obtuviste las siguientes respuestas: (1 norte, 1 oriente), (1 sur, 1 oriente), (1 norte, 2 oriente) y (1 sur, 2 oriente).

Observa que para localizar un lugar en nuestro mapa siempre necesitamos dos referencias.

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Matemáticas III

El mismo arreglo de las calles se podría haber sintetizado o reducido, pero en vez de llamarse norte y sur, u oriente y poniente, se llamaría positivo y negativo; ilustremos esto: Cuadrante II ( , +)

y

6 5 4 3 2 1

Coordenada ( 2, 3)

Cuadrante I (+, +) Positivos

1 2 3 4 5 6 7 x Origen

7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 Negativos 4 5 Cuadrante III ( , ) 6 7

Cuadrante IV (+,

)

Cuadrantes del sistema de ejes coordenados

Este arreglo de dos rectas numéricas unidas en sus ceros (origen) se denomina sistema de ejes coordenados, o simplemente, sistema de coordenadas.

La recta horizontal se denomina eje x y la recta vertical, eje y. El sistema de coordenadas divide al plano en cuatro regiones, llamadas cuadrantes.

Observa que el primer cuadrante tiene la parte positiva del eje x y del eje y, el segundo cuadrante tiene la parte negativa de x y la positiva de y, el tercer cuadrante tiene negativa en x y negativa en y y el cuarto cuadrante tiene positiva en x y negativa en y.

Si se traza un cuadrado en el siguiente par de ejes coordenados, y describimos el cuadrado indicando las parejas ordenadas (x, y) que representan a sus cuatro vértices, obtenemos lo siguiente: y 6 5 4 3 2

(2, 6)

(6, 6)

(2, 3)

(6, 3)

1 6 5 4 3 2 11 2 3 4

x 1

2

3

4

5

6

5 6

Coordenadas de un cuadrado © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Prohibida su venta o reproducción sin el consentimiento por escrito de la Editorial.

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Bloque I Lugares geométricos en el plano

Cada uno de los puntos que se acaban de localizar tiene dos referencias o dos elementos, una está sobre el eje x, denominada abscisa, y otra sobre el eje y, llamada ordenada, por tanto, la pareja ordenada tiene la siguiente forma: (abscisa, ordenada).

La abscisa siempre se localiza sobre el eje x (también se le llama eje de las abscisas) y la ordenada sobre el eje y (también se le conoce como eje de las ordenadas).

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CD 8 Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

CG 8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

Comprueba el desarrollo de tus competencias

En parejas, una alumna y un alumno, respondan las siguientes situaciones, recuerden trabajar de forma colaborativa y con actitudes de equidad de género.

I. Localicen en un sistema de coordenadas los siguientes puntos: 1. (4, 2)

6.

2. (3, 5) 3.

7. (2,

1 1 , 2 4

1 4

11. (6, 2)

4)

9.

3)

10. (3,

8 , 3 3

12.

8. ( 8, 3)

4. ( 2, 7) 5. ( 7,

2 , 3

6 , 4

13. (0, 0)

12 5

14. ( 1, 15.

5)

2)

5, 8

II. Escriban las coordenadas de los puntos que aparecen en la siguiente figura.

1. A (

,

)

5. E (

,

)

8. H (

2. B (

,

)

6. F (

,

)

9. I (

,

)

3. C (

,

)

7. G (

,

)

10. J (

,

)

4. D (

,

)

y 8 7 G 6 F 5 4 3 I 2 1 H E 1 2 3 4 5 8 7 6 5 4 3 2 1 1 C 2 3 D 4 5 6 B A 7 8

,

)

x J 6 7 8

Gráfica de los ejercicios del 1 al 10, del II © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Prohibida su venta o reproducción sin el consentimiento por escrito de la Editorial.

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12

Matemáticas III

III. Representen en un sistema de coordenadas los polígonos con los siguientes vértices: 1. A(3, 4), B(2, 1), C( 5, 2. A( 9,

1)

3), B( 5, 1), C(4, 0)

3. A( 4, 2), B( 2,

3), C(1,

6), D(0, 4)

4. Tracen las líneas rectas siguientes, una de ellas pasa por A(0, 6) y B(6, 0); la otra pasa por C(6, 6) y D(0, 0). Comprueben que estas líneas rectas se cruzan en el punto (3, 3).

IV. Resuelvan los siguientes problemas: 1. María tiene una casa con una puerta al sur, sale de ella y camina 4 cuadras, luego decide caminar 3 cuadras al este, después gira hacia el sur y avanza otras 5 cuadras, finalmente da vuelta al norte y avanza 8 cuadras. Si colocas la casa de María en el origen de un sistema coordenado y sigues su trayectoria, ¿en qué punto se encontrará al final de su camino?

2. El terreno de Félix tiene coordenadas (5, 2), (10, 2), (5, 10) y (10, 10). a) Ubiquen el terreno en un sistema de coordenadas. b) ¿Qué forma tiene el terreno? c) Calculen el área del terreno.

3. En la clase de biología, Pati realizó un experimento para observar el crecimiento de una colonia de bacilos en el cual registró los siguientes datos: el tiempo que transcurrió y el número de bacilos presentes. Representa los pares de valores que Pati recabó en un solo sistema de coordenadas; en el eje horizontal coloca el tiempo: • • • • •

200 bacilos en 6 minutos 300 bacilos en 12 minutos 500 bacilos en 18 minutos 1 000 bacilos en 24 minutos 1 800 bacilos en 30 minutos

Segmentos rectilíneos Una línea recta se puede definir como la distancia más corta entre dos puntos, es decir, para trazar una recta solo son necesarias dos referencias en el sistema de coordenadas. Es necesario entender que una recta se prolonga en sus extremos hasta el infinito; por esta razón, generalmente se trabaja con porciones, pedazos o segmentos de recta, entonces: Un segmento rectilíneo es una parte, trozo o porción de línea comprendida entre dos puntos.

Por ejemplo, la recta 3x 2 y = 0 tiene la gráfica siguiente; observa las flechas en sus extremos que quieren decir que la recta se prolonga en esa dirección indefinidamente: © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Prohibida su venta o reproducción sin el consentimiento por escrito de la Editorial.

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Bloque I Lugares geométricos en el plano

6 5 4 3 2 1

y

x

7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6

Gráfica de la recta 3x

1 2 3 4 5 6

2

y=0

Un segmento de esta recta se marca en rojo, en la siguiente gráfica, y se encuentra entre los puntos A(0, 2) y B(2, 4); es decir, tiene principio y fin.

6 5 4 3 2 1

y B

x

7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 1 2 A 3 4 5 6

Segmento de recta AB

Ahora podemos afirmar que una recta dirigida es aquella en la que una dirección se designa como positiva y la dirección opuesta como negativa. Un segmento de esta línea también será un segmento dirigido. En el ejemplo anterior, AB es la notación del segmento cuyos extremos son A y B y que se recorre en el sentido de A a B. El punto A recibe el nombre de origen o punto inicial y al punto B se le llama extremo o punto final. Si el mismo segmento se recorre de B a A, B es el origen y A el extremo y se denota como BA. La dirección o sentido de un segmento dirigido siempre se indica al escribir primero el origen o punto inicial.

Al valor que indica la longitud de un segmento dirigido se le asocia el signo que corresponde a su dirección o sentido. De esta manera, si AB tiene longitud positiva entonces la de BA será negativa.

AB = BA © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Prohibida su venta o reproducción sin el consentimiento por escrito de la Editorial.

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Matemáticas III

Distancia entre dos puntos La longitud de un segmento se obtiene al calcular la distancia entre el punto inicial y el final, es decir, a partir de las coordenadas.

Supongamos dos puntos dados cualesquiera P1(x1, y1) y P2(x2, y2); para calcular la distancia entre ellos d = |P1P2| primero tracemos por P1 una horizontal y por P2 una vertical y llamemos R al punto de intersección de dichas rectas. y P2(x2, y2)

x R(x2, y1)

P1(x1, y1)

Figura auxiliar para cálculo de distancia

Por estar sobre la misma vertical, R y P2 tienen la misma abscisa, y ya que están sobre la misma horizontal, R y P1 tienen la misma ordenada, de manera que las coordenadas del punto R son (x2, y1); entonces, ya que P1 y R tienen la misma ordenada, la distancia entre ellos está dada por: Recuerda que: “El valor absoluto de un número es considerarlo a este sin el signo”.

P1 R = P1 R = x 2 − x1

y como P2 y R tienen la misma abscisa, la distancia entre ellos se expresa como: RP2 = RP2 = y 2 − y1 Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo P1RP2 se tiene: 2

2

2

(P P ) = (P R) +(RP ) 1 2

1

2

Si sustituimos las expresiones que obtuvimos anteriormente: 2

2

d 2 = (x 2 − x1 ) + ( y 2 − y1 ) de donde: 2

2

d = ± (x 2 − x1 ) + ( y 2 − y1 )

Como la distancia siempre será una magnitud positiva, entonces solo nos interesará la raíz cuadrada positiva. © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Prohibida su venta o reproducción sin el consentimiento por escrito de la Editorial.

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Bloque I Lugares geométricos en el plano

Así pues, la longitud del segmento o bien la distancia entre los puntos extremos se obtiene con la fórmula: 2

2

d = (x 2 − x1 ) + ( y 2 − y1 )

Observa que las diferencias indicadas están elevadas al cuadrado, su resultado no cambia si se invierte el orden de la resta: 2

2

d = (x 2 − x1 ) + ( y 2 − y1 )

2

2

d = (x1 − x 2 ) + ( y1 − y 2 )

o

Ejemplo 3:

1. Calcula la distancia entre los puntos A(1, 4) y B( 3, 7

2).

y

6

5 4 3 2

A

1

d 6 5 4 3 2 1 1 2 B 3 4 5 6 7

7

x 1 2 3 4 5 6 7

Distancia entre dos puntos A y B Solución:

• Parte geométrica

Primero localiza los puntos en el sistema de coordenadas.

• Parte analítica

Si x1 = 1, y1 = 4, x2 = 2

3, y2 = 2

2: 2

o

d=

o

d= 1

o

d=

d = 16 + 36

o

d = 16 + 36

d = 52

o

d = 52

d=

x2

x1 + y 2 2

d=

3 1 +

d=

4 +

2

6

y1

2 4 2

2

x1 x 2 + y1 3 2

4 +6

2

+ 4

y2

2

2

2

2

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Matemáticas III

• Conclusión

La distancia entre los puntos A(1, 4) y B( 3, unidades.

2) es igual a 52 = 7.21

2. Demuestra, mediante la fórmula de distancia entre dos puntos, que los

puntos A(4, 8), B(2, 5) y C( 2,

1) son colineales.

Solución:

• Parte geométrica

Primero empecemos con el significado de la palabra colineales: “puntos que están alineados”. Si los localizamos en un sistema de coordenadas podremos tener una idea de qué significa esto: 9 8 7 6 5 4 3 2 1 8 7

y A

B

x

6 5 4 3 2 1 1 C 2 3

1 2 3 4 5 6 7 8

Puntos del ejemplo 3

• Parte analítica

Por lo anterior decimos que si los puntos A, B y C son colineales se cumple que: d AB +dBC = d AC Entonces:

d AB =

2

2

2

2 4 +5 8 = 2

dBC =

2

d AC =

2 4 +

2 + 2

2

2 +

3 = 4+9 = 13 = 3.6

2

1

2

5 = 2

1 8 =

2

4 + 2

6 +

6 = 16+36 = 52 = 7.2 2

9 = 36+81 = 117 =10.8

Se comprueba que: d AB +dBC = d AC 3.6 +7.2 =10.8 10.8 =10.8 • Conclusión

Los puntos A, B y C son colineales. © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Prohibida su venta o reproducción sin el consentimiento por escrito de la Editorial.

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Bloque I Lugares geométricos en el plano

3. Demuestra que A(5, 3), B(5,

gulo rectángulo.

2) y C(1, 2) son los vértices de un trián-

Solución:

• Parte geométrica

Para tener una idea de por dónde empezar, vamos a localizar primero los puntos en un sistema de coordenadas y luego debemos trazar las líneas del triángulo con el que vamos a trabajar: y

6 5 4 3 2

A

1

6 5 4 3 2 1

1

1 2 3 C 4 5 6

2 3

4

5 6

x

B

Gráfica del ejemplo 3

• Parte analítica

Debemos probar que es un triángulo rectángulo; sabemos que sólo este tipo de triángulo cumple con el teorema de Pitágoras, es decir: Hip2 = Op2 + Ad2 Entonces podemos calcular la distancia de A a B (Op), después la de B a C (Ad) y finalmente la de A a C (Hip) y probar si cumplen el teorema de Pitágoras: 2

2 3 = 52 = 25 = 5

2

2

2

2 3 =

d AB = 5 5 + dBC = 1 5 + d AC = 1 5 +

2

2

2

2

2

4 = 16 = 4

= 2

4 +

2

5 = 41

Según el teorema de Pitágoras deberá cumplirse que: Hip2 = Op2 + Ad 2 2

2

d AC = d AB + dBC

2

2

41 = 52 + 4 2 41= 41 © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Prohibida su venta o reproducción sin el consentimiento por escrito de la Editorial.

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Matemáticas III

• Conclusión

Como se cumple el teorema de Pitágoras, entonces se comprueba que los puntos son vértices de un triángulo rectángulo.

Comprueba el desarrollo de tus competencias CD 8 Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

CG 8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

En equipos, de dos alumnas y dos alumnos, resuelvan los siguientes problemas. Recuerden mantener una actitud de respeto y tolerancia.

I. Calculen la distancia entre cada par de puntos.

1. A(2, 1) y B(7, 2) 2. C( 4, 4) y D(4, 4) 3. E( 8,

5) y F( 3,

4. G(0,

2) y H(7,

5. I(3,

4) y J(3, 3)

6. K( 6, 7. M(2,

2)

1) y L( 6, 3) 2) y N(6, 1)

8. R( 5,

3) y S(3, 3)

9. P( 5,

2) y Q( 1,

10. T(4,

5)

4)

4) y U(1, 5)

II. Demuestren, mediante la fórmula de distancia entre dos puntos, que A, B y C son colineales.

1. A( 7,

1), B( 3, 2), C(5, 8)

2. A( 2, 5), B(1, 4), C(7, 2) 3. A(5,

2), B(0, 0), C( 5, 2)

4. A( 6, 2), B(2, 4), C(6, 5) 5. A(5, 3), B(2, 0), C( 2,

4)

III. Los puntos P, Q y R son vértices de un triángulo. Determinen en cada caso si es equilátero, isósceles o escaleno.

1. P( 1, 5), Q(0,

4), R(8, 4)

2. P(4, 0), Q( 3, 4), R( 3,

4)

3. P( 2,

1), Q(3, 2), R(5,

5)

4. P( 5, 3), Q(6, 6), R( 3,

1)

5. P( 1, 3), Q(6,

2), R(3, 6)

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Bloque I Lugares geométricos en el plano

IV. Utilizando el plano cartesiano de la derecha, encuentren la distancia entre cada par de puntos: y 7 6 5 4 3 2 1 I

J

1. AB

F

2. KC 3. DJ 4. EI 7 6 5 4 3 2 1

5. BK 6. FH

K

E D x 1 2 3 4 5 6 7 B A C

1 2 3 4 5 6 7

H

Puntos de los ejercicios 1 a 6, del IV

V. Resuelvan las situaciones siguientes: 1. Un triángulo equilátero tiene por vértices ( 3, 0) y (3, 0). Determinen las coordenadas del tercer vértice (dos soluciones).

2. La base de un triángulo isósceles es el segmento que une los puntos ( 1, 3) y (3, 1). Si la abscisa del tercer vértice es 4 encuentren la ordenada.

3. Los puntos A( 2, del vértice D.

1), B(4,

1) y C(6, 3) son vértices de un paralelogramo. Determinen las coordenadas

4. Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud 5 es el punto (3, extremo es 6, hallen su ordenada.

2). Si la abscisa del otro

5. Los siguientes planos cartesianos muestran tres rutas posibles para ir de la casa de Pati P( 3, casa de Ceci C(2, 2).

4 3 2 1 4 3 P

2 1

1 2 3 4

y

4 3 2 1

C x 1 2 3 4

4 3 P

2 1

1 2 3 4

y

4 3 2 1

C x 1 2 3 4

4 3 P

2 1

1 2 3 4

1) a la

y C x 1 2 3 4

Gráficas del ejercicio 5, del V

a) Calculen la distancia en cada ruta. b) Si las cuadrículas representan las calles de la ciudad de San Martín, señalen la mejor ruta que debe seguir un taxi para ir de la casa de Pati a la casa de Ceci. Expliquen su razonamiento. © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Prohibida su venta o reproducción sin el consentimiento por escrito de la Editorial.

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Matemáticas III

6. Ramón tiene un terreno rectangular y desea saber cuánto miden las diagonales del mismo. Si colocamos el terreno en un sistema de coordenadas, los vértices corresponden a A( 80, 30), B( 80, 30), C(80, 30) y D(80, 30).

División de un segmento en una razón dada El concepto de segmento ha sido definido como un trozo de recta y una razón es una división entre dos cantidades, en este caso, un determinado número de divisiones antes y después de un punto P.

◗ La noción de razón Dado un segmento cuyos extremos sean los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2), es posible encontrar las coordenadas de un punto P(x, y), tal que divida al segmento AP en una razón tal que = r.

PB y

B x2

P A

x

x1

y

x

y2

y

y1 x

Concepto de razón

Observa que se forman dos triángulos semejantes de donde se puede establecer la siguiente relación: AP x − x1 = =r PB x 2 − x de donde:

x − x1 = r ( x 2 − x ) x − x1 = rx 2 − rx x + rx = x1 + rx 2 x (1 + r ) = x1 + rx 2 x + rx 2 x= 1 1+ r

De igual manera podemos obtener: y=

y1 + ry 2 1+ r

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Bloque I Lugares geométricos en el plano

Tenemos entonces que para calcular el punto que divide a un segmento en una razón r se emplean las siguientes relaciones: x=

x1 + ry 2 1+ r

y=

y1 + ry 2 1+ r

Ejemplo 4:

Calcula las coordenadas del punto P(x, y) que divide al segmento cuyos 1 extremos son los puntos A(2, 5) y B(8, 1) en una razón tal que r = .

3 Solución:

• Parte geométrica

Para tener una idea de qué hacer, primero vamos a localizar el segmento de línea sobre el que se va a trabajar: 6 5 4 3 2

y A

1

3 2 1

1 2 3

x 1

2 3

4

5 6 7 8 9 B

Gráfica del ejemplo 4

• Parte analítica

Así, x1 = 2, y1 = 5, x2 = 8 y y2 = laciones obtenidas tenemos:

1; al sustituir estos valores en las re-

1 8 2+ 8 14 x1 +ry 2 3 3 = 3 = 14 = 3.5 x= = = 4 4 1 1+r 4 1+ 3 3 3 2+

y +ry 2 y= 1 = 1+r

5+

1 3

1+

1 1 3

1 14 3 = 3 = 14 = 3.5 = 4 4 4 3 3 5

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Matemáticas III

6 5 4 3 2

y A

Punto de división

1

3 2 1

x 1

1 2 3

2 3

4

5 6 7 8 9 B

Solución del ejemplo 4

• Conclusión

Por lo tanto, el punto de división buscado es (3.5, 3.5).

◗ Punto medio Un caso particular es cuando deseamos calcular el punto medio de un segmento, para obtener esta razón debemos considerar lo siguiente: Punto medio A

C 1 tramo

B 1 tramo

Punto medio

AC 1 = = 1, entonces, r = 1. De acuerdo con CB 1 esto, se pueden obtener las siguientes expresiones:

Esta razón se calcula al dividir

x=

x1 + rx 2 x1 + x 2 x1 + x 2 = = 1+ r 1+1 2

El punto medio de un segmento se calcula con las relaciones: x=

x1 + x 2 2

y=

y1 + y 2 2

Ejemplos 5:

1. Calcula el punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos

A(3,

1) y B( 7, 2).

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Bloque I Lugares geométricos en el plano

Solución:

• Parte geométrica

En primer lugar debemos localizar el segmento: 7 6 5 4 3 2 1 7 6 5 4 3 2 1

y

Posible localización del punto medio x 1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6 7

Parte geométrica del ejemplo 5

• Parte analítica

Si x1 = 3, y1 = 1, x2 = 7 y y2 = 2, entonces solo tenemos que sustituir: x1 + x 2 3+ 7 4 = = = 2 2 2 2 1+ 2 1 y + y2 y= 1 = = = 0.5 2 2 2

x=

• Conclusión

Por lo que el punto medio es ( 2, 0.5).

6 5 4 3 2

y

Punto medio

1

7 6 5 4 3 2 1

1 2 3 4

x 1

2 3

4

5 6 7

Solución del ejemplo 5

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Matemáticas III

2. Los puntos medios de un triángulo son A(1, 1), B(4, 2) y C(2, 5), halla las

coordenadas de los tres vértices.

Solución:

• Parte geométrica

Localicemos los puntos probables de los vértices y tracemos el triángulo sobre el que se va a trabajar.

• Parte analítica

Suponemos que los vértices del triángulo son los puntos D, E y F con las coordenadas que se muestran en el plano cartesiano. Ya que estamos hablando de puntos medios, entonces apliquemos el concepto de punto medio: x + x2 y + y2 y= 1 x= 1 2 2

F(x3, y3)

6 5 4 3 2

y

E(x2, y2)

C(2, 5)

B(4, 2) 1 x A(1, 1) 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 1 2 D(x1, y1) 3 4

Parte geométrica del ejemplo 5

Para el punto medio: A 1, 1 1 B 4, 2 2 C 2, 5 3

x1 + x 3 =1 2 x1 + x 3 = 2 x1 + x 2 =4 2 x1 + x 2 = 8 x 2 + x3 =2 2 x 2 + x3 = 4

y1 + y3 =1 2 4 y1 + y3 = 2 y1 + y 2 =2 2 5 y1 + y 2 = 4 y 2 + y3 =5 2 6 y 2 + y3 =10

Al resolver el sistema de ecuaciones tenemos: x1 = 3 x2 = 5 x3 = 1

y1 = 2 y2 = 6 y3 = 4

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Bloque I Lugares geométricos en el plano

• Conclusión

Por lo que los vértices del triángulo son D(3, 6 5 F( 1, 4) 4 3 2

y

C(2, 5)

2), E(5, 6) y F( 1, 4)

E(5, 6)

B(4, 2) 1 x A(1, 1) 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 1 2 D(3, 2) 3 4 5 6

Solución del ejemplo 5

◗ División de un segmento en partes iguales Los segmentos también se pueden dividir en partes iguales; para esto, lo primero que debemos calcular es la razón para cada uno de ellos: A

C

D

B

División de un segmento en tres partes iguales

Observa que se necesitan dos razones, una para calcular el punto C y otra AC 1 para D. Esto se debe hacer tomando en cuenta = : CB 2 A

C 1 tramo

D

B

2 tramos

La razón para el punto C

1 Entonces la razón para calcular el punto C es r = . Para calcular el punto 2 AD 2 D tenemos que tomar en cuenta = = 2: DB 1 A

C

D

2 tramos

B 1 tramo

La razón para el punto D © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Prohibida su venta o reproducción sin el consentimiento por escrito de la Editorial.

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Matemáticas III

Entonces la razón para calcular el punto D es r = 2.

Ahora bien, para dividir un segmento en cuatro partes tendremos: A

C

D

E

B

División de un segmento en cuatro partes iguales

Observa que necesitamos tres razones y podemos calcularlas de la siguiente manera: 1 AC 1 Para el punto C: = , entonces r = .

3 CB 3 A

C

D

1 tramo

E

B

E

B

3 tramos

Razón para el punto C

Para el punto D:

AD 2 = , entonces r = 1.

DB 2 A

C

D

2 tramos

2 tramos

Razón para el punto D

Para el punto E:

AE 3 = = 3 , entonces r = 3.

EB 1 A

C

D 3 tramos

E

B 1 tramo

Razón para el punto E

De manera análoga se puede calcular la división de un segmento en 5, 6, 7,… n partes iguales.

Las razones obtenidas se emplean en la fórmula de división de un segmento que hemos visto.

Ejemplo 6:

¿Cuáles son los puntos que dividen en tres partes iguales al segmento formado por los puntos: A(3, 4) y B( 3, 4)?

Solución:

• Parte geométrica

Localicemos el segmento y hagamos un estimado de dónde pueden estar los puntos de división. © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Prohibida su venta o reproducción sin el consentimiento por escrito de la Editorial.

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Bloque I Lugares geométricos en el plano

5 4 3 2

y

1

5 4 3 2 1

1 2 3 4 5

x 1

2 3 4 5 Posibles puntos de división

Parte geométrica del ejemplo 6

• Parte analítica

1 Recuerda que ya calculamos las razones r = y r = 2. Entonces para 2 1 r = tenemos: 2 1 3 3 1 4 4 4 4+ 4 3+ ( 3) 3 2 2 = 2 =1 y = 2 2= 2=4 = = x= 3 3 3 3 3 1 1 1+ 1+ 2 2 2 2 2 2 El primer punto es 1, Para r = 2 tenemos: x=

4 o (1, 1.333).

3

3+ 2( 3) 3 = = 1 1+ 2 3

y=

El segundo punto que buscamos es

4+ 2 4 4 4 = = 1+ 2 3 3 4 o (1, 1.333).

3

1,

• Conclusión

Los puntos buscados son (1, 1.333) y ( 1, 5 4 3 2

1.333).

y

1

5 4 3 2 1

1 2 3 4 5

x 1

2 3

4

5

Solución del ejemplo 6 © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Prohibida su venta o reproducción sin el consentimiento por escrito de la Editorial.

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Matemáticas III

Una última anotación la merecen las razones negativas, ya que estas representan puntos fuera de los segmentos dados. Observa el siguiente ejemplo.

Ejemplo 7:

Calcula el punto que divide al segmento A(

1 3, 1) y B(2, 5) en r = .

2

Solución:

• Parte analítica

Al sustituir los datos en las fórmulas obtenemos: 1 1 4 3 3+ 2 5 1 5 1+ 3 1 2 2 2= 2= 3 x = = 1 = 8 y= = 1 1 1 1 1 1 1+ 1+ 2 2 2 2 2 2 • Parte geométrica

Observa que el punto solicitado se encuentra fuera del segmento, ya que la razón es negativa.

A 9 8 7 6 5 4 3 2 1

7 6 5 4 3 2 1

y

1 2 3 4 5

B

x 1 2 3 4

Parte geométrica del ejemplo 7

• Conclusión

El punto buscado está fuera del segmento y tiene coordenadas ( 8, 3).

Comprueba el desarrollo de tus competencias CD 8 Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

CG 8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

En equipos de tres alumnas y tres alumnos resuelvan los siguientes problemas.

I. Calculen el punto de división en cada segmento, de acuerdo con la razón dada: 1 1. A(3, 5), B( 4, 9), r = 4 2. A( 8, 3. A(3,

1), B(7, 3), r = 2 5), B( 6, 3), r =

3 4

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4. A(8, 4), B( 4, 5. A( 2,

1), r =

5 3

6), B(6, 4), r = 3

II. Calculen el punto medio de los siguientes segmentos: 1. A( 6,

5), B(3, 2)

2. A(2, 9), B( 5,

1)

3. A( 7, 3), B( 9, 3) 4. A(8,

4), B(3,

6)

5. A(3, 4), B( 10,

6)

III. Calculen la división del segmento según la razón dada y grafíquenla: 1. A( 10, 1), B( 1, 10), r =

3 1 7), r = − 2

2. A( 3, 4), B( 4,

3. A(5, 7), B(6, 8), r = − 4. A(7,

3), B(5,

3 4

2), r = −

5. A( 6, 7), B(7, 6), r =

4

2 3

IV. Resuelvan los siguientes problemas.

1. Halla los puntos de trisección y el punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos A( 2, 3) y B(6, 3).

2. Los puntos extremos de un segmento son P1(2, 4) y P2(8, punto P(x, y) que divide a este segmento en r = 2.

4). Calculen el

3. Uno de los extremos de un segmento es el punto (7, 8) y su punto medio es (4, 3). Hallen el otro extremo.

4. Calculen las coordenadas que dividen en cinco partes iguales al segmento formado por los puntos A( 12, 8) y B(6, 12).

V. Dados los puntos medios de los lados de los siguientes triángulos, calculen las coordenadas de los tres vértices de cada una: 1. A (6,

1), B (3, 3), C (1,

3)

2. D (3, 2), E (7, 4), F ( 2, 5) 3. G (2,

3), H (5, 2), I ( 2, 1)

4. J (5,

4), K ( 11,

2), L(3, 2)

5. M (8, 0), N ( 4, 7), O (2,

1)

6. Los vértices de un triángulo son A( 1, 3), B(3, 5) y C(7, 1). Si D es el punto medio del lado AB y E es el punto medio del lado BC, demuestren que la longitud del segmento DE es la mitad de la longitud del lado AC. 7. En una carrera de rally que inicia en el punto A( 6, 10) deben colocarse cuatro estaciones de abastecimiento separadas a distancias iguales y en línea recta, © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Prohibida su venta o reproducción sin el consentimiento por escrito de la Editorial.

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Matemáticas III

si la meta está situada en el punto B(8, 8), definan las coordenadas de los puntos donde deben colocarse las estaciones de abastecimiento para que los autos recorran la misma distancia desde el punto A hasta el punto B. 8. En una pista recta que se grafica en un plano cartesiano, y que inicia en el punto A(9, 5), se llevará a cabo una carrera de cinco relevos separados a distancias iguales. Si la meta está situada en el punto B( 13, 1), averigüen las coordenadas de los puntos donde deben colocarse los relevos para que corran la misma distancia desde el punto A hasta el punto B.

Perímetros y áreas de figuras en el plano Como has visto, un polígono puede ser representado por sus vértices en un sistema de coordenadas y esto permite calcular su perímetro y área.

Supongamos un polígono con cuatro puntos A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) y D(x4, y4): y A

B

C D

x

Ejemplo de polígono

Para calcular el perímetro de la figura, lo que debemos hacer es obtener las distancias entre pares de vértices y luego sumarlos.

Para calcular el área se emplea un arreglo en el que se colocan las coordenadas del polígono y se repite al final la primera coordenada. El arreglo se opera colocando con signo positivo los números con flechas azules y con signo negativo los números con flechas rojas. Veamos: x1 x2 1 x3 A= 2 x4 x1

y1 y2 1 y3 = x1 y 2 + x 2 y3 + x 3 y 4 + x 4 y1 2 y4 y1

x1 y 4 + x 4 y3 + x 3 y 2 + x 2 y1

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Bloque I Lugares geométricos en el plano

Una observación importante es que para el resultado final debes tomar en cuenta el valor absoluto del número que obtengas, ya que un área nunca es negativa.

Ejemplo 8:

Calcula el perímetro y el área del polígono que tiene los siguientes vértices A(4, 3), B(5, 3) y C( 2, 3).

Solución:

• Parte geométrica

Tracemos el polígono sobre el cual vamos a trabajar: 7 6 5 4 3 2 1 7 6 5 4 3 2 1

C

1 2 3 4 5 6 7

y

A

x 1 2 3 4 5 6 7

B

Parte geométrica del ejemplo 8

• Parte analítica

Para el cálculo del perímetro debemos obtener las distancias entre los vértices: d AB = (4 5)2 +( 3 3)2 = ( 1)2 +( 6)2 = 1+36 = 37 dBC = ( 2 5)2 +( 3 ( 3))2 = ( 7)2 +02 = 7 dCA = (4 ( 2))2 +( 3 3)2 = 62 +( 6)2 = 36+36 = 72 Entonces el perímetro es: P = 37 +7+ 73 P = 6.08+7+8.54 P = 21.62 unidades

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Matemáticas III

Para el cálculo del área emplearemos el arreglo anterior:

A=

1 2

4

3

5

3

2 4

3 3

1 A = {4( 3)+5( 3)+( 2)(3) [4( 3)+( 2)( 3)+5(3)]} 2 1 A = { 12+( 15)+( 6) [( 12)+6+15]} 2 1 A = ( 12 15 6+12 6 15) 2 1 A = ( 42) 2 A = 21 A = 21 unidades 2 • Conclusión

Como el área siempre debe ser positiva, entonces tomaremos |A| = 21 unidades2 y el P = 21.62 unidades.

Comprueba el desarrollo de tus competencias CD 8 Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

CG 8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

En equipos, resuelvan los siguientes problemas. Mantengan una actitud de cooperación.

I. Calculen el perímetro y el área de los cuadriláteros cuyos vértices son: 1. A(4, 1), B(1, 4), C( 2, 1), D(1, 2. A(8,

2)

1) B(7, 4), C( 3, 2), D(2,

3. A(4, 2), B( 2, 6), C( 8, 2), D( 2,

3)

4. A(4, 2), B( 1, 2), C(4, 5. A(5,

2)

2), D(7,

2)

2), B(4, 3), C( 2, 5), D(5,

2)

6. ¿Para qué valores de la ordenada y tendrá el siguiente triángulo de vértices A( 3, 4), B(6, 1) y C(4, y) un área de 25 unidades cuadradas?

7. Determinen el área del triángulo, dados sus tres vértices: A( 2, 3), B(4, y C( 3, 1). © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Prohibida su venta o reproducción sin el consentimiento por escrito de la Editorial.

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5)

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8. Un blanco en el suelo se encuentra a 105 m de distancia de un avión caza que se sitúa en el origen del sistema coordenado que se muestra a continuación. La posición del avión se calcula en el punto C(0, 150); determinen: C

(0, 0)

i

A

105 m

Ilustración de los ejercicios 8, 9 y 10

a) La altura del avión. b) El ángulo de inclinación del punto A hacia el avión. c) La pendiente de la recta AC. 9. Ramón es arquitecto y desea dividir un terreno que tiene forma rectangular y vértices en A( 5, 0), B(1, 6), C(9, 2) y D(3, 8) en ocho partes triangulares iguales para su venta, pero no sabe cómo hacerlo. ¿Podrían darle un consejo a Ramón? a) Sergio, su sobrino, estudiante de bachillerato, le dice que la manera de lograrlo es unir los puntos medios de los lados opuestos y trazar a continuación las diagonales del rectángulo. Tracen el rectángulo y comprueben que es correcto el consejo de Sergio. b) Calculen el perímetro de cada una de las partes. c) ¿Cuál es el área de cada una de las partes? d) ¿Cuál es el área total del terreno?

10. Carlos quiere recortar la vela para su bote y la diseña sobre un plano car1 11 5 1 7 1 tesiano, a partir del cual obtiene las siguientes coordenadas: A , B , yC , , , 2 2 2 2 2 2 7 1 1 11 5 1 A , B , yC , , se da cuenta que requiere saber: 2 2 2 2 2 2 A

Mástil

Tela

B

Refuerzo del contorno C

Travesaño

Ilustración del ejercicio 10

a) La cantidad de madera necesaria para la estructura del mástil y el travesaño. b) La longitud del refuerzo de los contornos de la vela sin considerar los amarres. c) La cantidad de tela para la vela.

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Matemáticas III

11. Julio debe sembrar seis arbolitos en un surco. Los árboles deben estar separados por distancias iguales. Si uno de los extremos del surco es el punto A( 5, 2) y el otro extremo es B(10, 5), ¿cuáles son las coordenadas de los puntos donde deben colocarse los seis árboles desde A hasta B? 12. Un campo de fútbol americano mide 100 yardas de largo por 60 de ancho.

Supongan que el sistema de coordenadas se asigna a los esquemas del campo como se muestra a continuación:

P(x, y) Centro del campo B(0, 60) © shutterupeire/Shutterstock.com

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C(100, 60)

A(0, 0)

D(100, 0)

Ilustración del ejercicio 12

a) ¿Cuáles son las coordenadas del centro del campo? b) ¿Cuál es el área total del campo? c) ¿Cuál es el área del triángulo APB?

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Bloque I Lugares geométricos en el plano

Evaluación formativa por proyectos En equipos de alumnos y alumnas elaboren los siguientes proyectos: 1. Investiguen: a) La magnitud de los huracanes más devastadores que asolaron al continente americano en los últimos 20 años. b) Investiguen el número de vidas humanas perdidas en cada caso, presenten sus resultados en una tabla o en una hoja de cálculo. c) Elaboren la gráfica que relacione la magnitud con el número de decesos. d) Escriban un pequeño texto (de no más de 15 renglones) en el que describan la gráfica que trazaron y hagan una interpretación de los resultados. e) Entreguen sus productos (gráfica y texto) al docente para su realimentación.

2. Investiguen y documenten las siguientes aplicaciones prácticas de la geometría analítica en: a) física, d) astronomía, b) mecánica,

e) aeronáutica.

c) cartografía,

f) Concluye cómo la geometría analítica ha influido en el desarrollo de la tecnología actual.

3. Investiguen cómo se aplica la distancia entre dos puntos en los siguientes campos: a) topografía,

c) ingeniería civil y

b) cartografía,

d) ingeniería geológica.

4. Investiguen: a) ¿Qué son y cómo funcionan los medidores de distancia?

c) ¿Cómo son y funcionan los medidores láser de distancia como el Fluke 416D y 411D?

b) ¿Cuántos tipos de medidores de distancia hay?

d) Elaboren un reporte completo y preséntenlo al grupo.

Reactivos tipo PLANEA para entrenamiento Subraya la respuesta correcta.

1. Sea la suma 3.2x6 + 4.571 + y.778 = 15.555, entonces x + y = a) 6

b) 7

.

c) 8

d) 9

c) 7.5

d) 6

2. En la siguiente figura el valor de g es: 15 g –9

–3

0 16

Ilustración del ejercicio 2

a) 10

b) 9

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Matemáticas III

3. Los habitantes de Acatzingo disminuyeron de 15 000 a 12 000. El porcentaje en que se redujo la población es: a) 80%

b) 20%

4. Al número si g = 3?

5. 2

5

b) 20 2

d) 0.8%

2g se le resta el doble de (g + 1) y al resultado se le agrega el cuadrado de g. ¿Cuánto se obtiene

a) 23 2

c) 3%

2

3

4

a) 114

c) 5

4=

d)

5

. b)

30

c)

26

d) 26

6. En la figura siguiente, los números g y e se relacionan de alguna manera con los demás, entonces g+e= .

16 g e

7

3 9 5 25

Ilustración del ejercicio 6

a) 49

b) 50

c) 53

d) 65

7. Si a un número le resto 30, y a esa resta le sumo 20, la suma la cuadriplico, y a este resultado lo elevo al cuadrado, obtengo 1 600. ¿Cuál es el número? a) 80

b) 40

c) 20

d) 10

8. Adán está calculando la media aritmética (promedio) de los siguientes datos: {8, 7, 5, 5, 4, 3, 3, 2}. ¿Podrías ayudarlo a encontrar cuál dato es el más cercano a la media mencionada? a) 8

b) 6

c) 5

d) 4

9. Una tienda de autoservicio anuncia la siguiente promoción: “Todos los productos con 20% de descuento”.

Adriana, al enterarse de esta promoción, gasta $18 200 pesos. ¿Cuánto habría gastado sin la promoción? a) 24 750

b) 23 700

c) 22 800

d) 22 750

10. En el arreglo de la tabla que aparece a continuación se sigue un patrón de regularidad. ¿Con cuál de las siguientes parejas deben llenarse las casillas vacías?

6 2

a) 10 y 18

2

3 2

b) 10 y

8

17

13

23

6

c) 10 y

14

18

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d) 9 y

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Bloque I Lugares geométricos en el plano

Registro del desarrollo de las competencias Nombre del alumno: Instrucciones: Llena, junto con tu profesor, cada espacio según consideren que se ha desarrollado la competencia o no. Si aún no se ha adquirido escribe qué falta para lograrla.

Competencias

Desarrollada

Aún no desarrollada

CG 5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información.

CG 8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

CD 1 Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variaciones, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

CD 8 Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

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Esta edición de Matemáticas III ha sido desarrollada con la finalidad de contribuir a incrementar el nivel de eficacia y eficiencia del proceso educativo y facilitar el trabajo docente mediante la incorporación de actividades de aprendizaje que contribuyan al desarrollo de competencias y habilidades socioemocionales, todo ello desde un enfoque interdisciplinario y de transversalidad.

Entre las características del libro, destacan las siguientes: • Presenta los temas: lugares geométricos en el plano, línea recta, circunferencia, parábola y elipse.

• Incorpora secuencias didácticas prácticas que sugieren el uso de herramientas tecnológicas de información y comunicación TIC, así como instrumentos de evaluación para el seguimiento sencillo y ordenado del desempeño escolar.

• Contiene información relevante para adentrarse en la práctica matemática, lo que permite fortalecer habilidades, destrezas y actitudes para desarrollar y resolver problemas reales.

• Considera abordar el conocimiento y articularlo de manera plural con las habilidades y actitudes que permitan generar a la par evidencias de aprendizaje.

• En el desarrollo de la obra se consideró la valiosa opinión de docentes y egresados del bachillerato, así como interesantes expectativas de estudiantes acerca de cómo debía ser el formato ideal de un libro de texto para el curso.

• Favorece que el estudiante adquiera no sólo conocimientos nuevos (saber), sino que aprenda a aprender (saber hacer) y aprenda que puede aprender (saber ser) para beneficio propio y de los demás (saber convivir).

ISBN-13: 978-607-526-808-8 ISBN-10: 607-526-808-1

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9 786075 268088

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