Mecánica de materiales

8/2

MECÁNICA DE MATERIALES NOVENA EDICIÓN

Barry J. Goodno | James M. Gere Reg. 300 CDL © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

02.08.2019

8/2

CONVERSIONES ENTRE U.S CUSTOMARY UNITS Y UNIDADES SI

Factor de conversión multiplicativo

U.S. Customary Units Aceleración (lineal) pie por segundo cuadrado pulgada por segundo cuadrado

Exacto

Práctico

Igual a unidad SI

ft/s 2 in/s 2

0.3048* 0.0254*

0.305 0.0254

metro por segundo cuadrado metro por segundo cuadrado

m/s 2 m/s 2

Área pie cuadrado pulgada cuadrada

ft 2 in 2

0.09290304* 645.16*

0.0929 645

metro cuadrado milímetro cuadrado

m2 mm 2

Densidad (masa) slug por pie cúbico

slug/ft 3

515.379

515

kilogramo por metro cúbico

kg/m 3

Densidad (peso) libra por pie cúbico libra por pulgada cúbica

lb/ft 3 lb/in 3

157.087 271.447

157 271

newton por metro cúbico kilonewton por metro cúbico

N/m 3 kN/m 3

Energía; trabajo pie-libra pulgada-libra kilowatt-hora unidad térmica británica

ft-lb in-lb kWh Btu

1.35582 0.112985 3.6* 1055.06

1.36 0.113 3.6 1055

joule (N ∙ m) joule megajoule joule

J J MJ J

Fuerza libra kip (1 000 libras)

lb kips

4.44822 4.44822

4.45 4.45

newton (kg ∙ m/s2) kilonewton

N kN

Fuerza por unidad de longitud libra por pie libra por pulgada kip por pie kip por pulgada

lb/ft lb/in kip/ft kip/in

14.5939 175.127 14.5939 175.127

14.6 175 14.6 175

newton por metro newton por metro kilonewton por metro kilonewton por metro

N/m N/m kN/m kN/m

Longitud pie pulgada milla

ft in mi

0.3048* 25.4* 1.609344*

0.305 25.4 1.61

metro milímetro kilómetro

m mm km

Masa slug

lb-s 2 /ft

14.5939

14.6

kilogramo

kg

Momento de una fuerza; par de torsión libra-pie libra-pulgada kip-pie kip-pulgada

lb-ft lb-in kip-ft kip-in

1.35582 0.112985 1.35582 0.112985

1.36 0.113 1.36 0.113

newton metro newton metro kilonewton metro kilonewton metro

N m N m kN m kN m

Reg. 300 CDL © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

02.08.2019

8/2

ii

Factor de conversión multiplicativo

U.S. Customary Units

Exacto

Momento de inercia (área) pulgada a la cuarta potencia pulgada a la cuarta potencia

in 4 in 4

416 231 0.416 231 3 1026

Momento de inercia (masa) slug pie cuadrado

slug-ft 2

1.35582

Potencia pie-libra por segundo pie-libra por minuto caballo de potencia (550 ft-lb/s)

ft-lb/s 1.35582 ft-lb/min 0.0225970 hp 745.701

Práctico

Igual a unidad SI

milímetro a la cuarta potencia metro a la cuarta potencia

mm 4 m4

1.36

kilogramo metro cuadrado

kg m 2

1.36 0.0226 746

watt (J/s o N ∙ m/s) watt watt

W W W

pascal (N/m2) pascal kilopascal megapascal

Pa Pa kPa MPa

416 000 0.416 3 1026

Presión; esfuerzo libra por pie cuadrado libra por pulgada cuadrada kip por pie cuadrado kip por pulgada cuadrada

psf psi ksf kpsi

47.8803 6894.76 47.8803 6.89476

Módulo de sección pulgada cúbica pulgada cúbica

in 3 in 3

16 387.1 16.3871 3 1026

Velocidad (lineal) pie por segundo pulgada por segundo milla por hora milla por hora

ft/s in/s mph mph

0.3048* 0.0254* 0.44704* 1.609344*

0.305 0.0254 0.447 1.61

metro por segundo metro por segundo metro por segundo kilómetro por hora

m/s m/s m/s km/h

Volumen pie cúbico pulgada cúbica pulgada cúbica galón (231 in3) galón (231 in3)

ft 3 in 3 in 3 gal gal

0.0283168 16.3871 3 1026 16.3871 3.78541 0.00378541

0.0283 16.4 3 1026 16.4 3.79 0.00379

metro cúbico metro cúbico centímetro cúbico (cc) litro metro cúbico

m3 m3 cm 3 L m3

47.9 6890 47.9 6.89

milímetro a la tercera potencia mm 3 m3 metro a la tercera potencia

16 400 16.4 3 1026

*

Un asterisco denota un factor de conversión exacto.

Nota: para convertir unidades SI en unidades USCS, divida entre el factor de conversión.

Fórmulas de conversión de temperatura

Reg. 300 CDL © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

02.08.2019

8/2

Mecánica de materiales Novena edición

Barry J. Goodno Georgia Institute of Technology

James M. Gere Profesor emérito, Stanford University Traductores María del Pilar Carril Villarreal Gabriel Nagore Cázares Revisión técnica Martín Bazaldúa Aguillón IPN, ESIME Unidad Culhuacán Magdaleno Vásquez Rodríguez

IPN, ESIME Unidad Culhuacán Elvis Coutiño Moreno Tecnológico de Estudios Superiores de Jocotitlán

Alejandro Linares Enríquez Tecnológico de Estudios Superiores de Tianguistenco

Jerónimo Gómez Rodríguez Instituto Tecnológico de San Juan del Rio

José Nicolás Ponciano Guzmán Tecnológico Nacional de México / Instituto Tecnológico de Morelia

Christopher Gutiérrez Luna Universidad Autónoma del Estado de México Aurora Diana Guzmán Coria Universidad Autónoma del Estado de México

Juan Carlos Rosete Fonseca Instituto Tecnológico de Querétaro Araceli Salazar Peralta Tecnológico de Estudios Superiores de Jocotitlán

$XVWUDOLD ȏ %UDVLO ȏ (VWDGRV 8QLGRV ȏ 0«[LFR ȏ 5HLQR 8QLGR ȏ 6LQJDSXU

Reg. 300 CDL © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

02.08.2019

8/2

Mecánica de materiales, novena edición %DUU\ - *RRGQR \ -DPHV 0 *HUH Director Higher Education Latinoamérica: 5HQ]R &DVDS¯D 9DOHQFLD Gerente editorial Latinoamérica: -HV¼V 0DUHV &KDFµQ Editora: .DUHQ (VWUDGD $UULDJD Coordinador de manufactura: 5DIDHO 3«UH] *RQ]£OH] Diseño de portada original: /RX $QQ 7KHVLQJ Adaptación de portada: (GXDUGR 9DOG«V 6DQGRYDO Imágenes de portada: 0$&Ζ(-126.2:6.Ζ ( *HWW\ ΖPDJHV Composición tipográfica: $UWXUR 5RFKD +HUQ£QGH]

k ' 5 SRU &HQJDJH /HDUQLQJ (GLWRUHV 6 $ GH & 9 XQD FRPSD³¯D GH &HQJDJH /HDUQLQJ Î&#x2013;QF &DUUHWHUD 0«[LFR 7ROXFD Q¼P RILFLQD &RO (O <DTXL 'HO &XDMLPDOSD & 3 &LXGDG GH 0«[LFR &HQJDJH /HDUQLQJ® HV XQD PDUFD UHJLVWUDGD XVDGD EDMR SHUPLVR '(5(&+26 5(6(59$'26 1LQJXQD SDUWH GH HVWH WUDEDMR DPSDUDGR SRU OD /H\ )HGHUDO GHO 'HUHFKR GH $XWRU SRGU£ VHU UHSURGXFLGD WUDQVPLWLGD DOPDFHQDGD R XWLOL]DGD HQ FXDOTXLHU IRUPD R SRU FXDOTXLHU PHGLR \D VHD JU£ILFR HOHFWUµQLFR R PHF£QLFR LQFOX\HQGR SHUR VLQ OLPLWDUVH D OR VLJXLHQWH IRWRFRSLDGR UHSURGXFFLµQ HVFDQHR GLJLWDOL]DFLµQ JUDEDFLµQ HQ DXGLR GLVWULEXFLµQ HQ LQWHUQHW GLVWULEXFLµQ HQ UHGHV GH LQIRUPDFLµQ R DOPDFHQDPLHQWR \ UHFRSLODFLµQ HQ VLVWHPDV GH LQIRUPDFLµQ D H[FHSFLµQ GH OR SHUPLWLGR HQ HO &DS¯WXOR Î&#x2013;Î&#x2013;Î&#x2013; $UW¯FXOR GH OD /H\ )HGHUDO GHO 'HUHFKR GH $XWRU VLQ HO FRQVHQWLPLHQWR SRU HVFULWR GH OD (GLWRULDO 7UDGXFLGR GHO OLEUR Mechanics of Materials 1LQWK (GLWLRQ %DUU\ - *RRGQR \ -DPHV 0 *HUH k Î&#x2013;6%1 'DWRV SDUD FDWDORJDFLµQ ELEOLRJU£ILFD *RRGQR %DUU\ - \ *HUH -DPHV 0 Mecánica de materiales 1RYHQD HGLFLµQ Î&#x2013;6%1 9LVLWH QXHVWUR VLWLR HQ KWWS ODWLQRDPHULFD FHQJDJH FRP

Impreso en México 1 2 3 4 5 6 7 22 21 20 19

Reg. 300 CDL © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

02.08.2019

8/2

CONTENIDO Acerca de los autores ix

*2.12 Análisis elastoplástico 218

Resumen y repaso del capítulo 225 Problemas 227

Prefacio xi Símbolos xix

3.

Alfabeto Griego xxii

1.

Torsión 273 3.1 Introducción 274 3.2 Deformaciones torsionales de una barra

Tensión, compresión y cortante 1

circular 274

1.1 Introducción a la mecánica 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10

2.

de materiales 2 Método de resolución de problemas 2 Repaso de estática 3 Esfuerzo y deformación unitaria normales 22 Propiedades mecánicas de los materiales 31 Elasticidad, plasticidad y termofluencia 38 Elasticidad lineal, ley de Hooke y relación de Poisson 44 Esfuerzo cortante y deformación unitaria cortante 50 Esfuerzos y cargas permisibles 63 Diseño para cargas axiales y cortante directo 70 Resumen y repaso del capítulo 74 Problemas 77

3.3 Barras circulares de materiales linealmente 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 *3.12

Elementos cargados axialmente 119 2.1 Introducción 120 2.2 Cambios de longitud de elementos

4.

cargados axialmente 120

Fuerzas cortantes y momentos flexionantes 377 4.1 Introducción 378 4.2 Tipos de vigas, cargas y reacciones 378 4.3 Fuerzas cortantes y momentos

2.3 Cambios de longitud en condiciones 2.4 2.5 2.6 2.7 *2.8 *2.9 *2.10 *2.11

no uniformes 128 Estructuras estáticamente indeterminadas 142 Efectos térmicos, desajustes y deformaciones previas 155 Esfuerzos sobre secciones inclinadas 174 Energía de deformación 186 Carga de impacto 197 Carga repetida y fatiga 205 Concentraciones de esfuerzo 207 Comportamiento no lineal 214

elásticos 277 Torsión no uniforme 290 Esfuerzos y deformaciones unitarias en cortante puro 302 Relación entre los módulos de elasticidad E y G 309 Transmisión de potencia por ejes circulares 311 Torsión en elementos estáticamente indeterminados 315 Energía de deformación en cortante puro y torsión 319 Torsión en ejes prismáticos no circulares 326 Tubos de pared delgada 336 Concentraciones de esfuerzos en torsión 344 Resumen y repaso del capítulo 349 Problemas 352

flexionantes 388 4.4 Relaciones entre cargas, fuerzas cortantes

y momentos flexionantes 396 4.5 Diagramas de fuerza cortante y momento flexionante 400 Resumen y repaso del capítulo 427 Problemas 429

5.

Esfuerzos en vigas (temas básicos) 445 5.1 Introducción 446 5.2 Flexión pura y flexión no uniforme 446

v Reg. 300 CDL © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

02.08.2019

8/2

vi

Contenido

5.3 Curvatura de una viga 447 5.4 Deformaciones longitudinales

7.5 Ley de Hooke para esfuerzo

plano 669 7.6 Esfuerzo triaxial 675 7.7 Deformación plana 679 Resumen y repaso del capítulo 694 Problemas 697

en vigas 449 5.5 Esfuerzos normales en vigas 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 *5.11 *5.12 *5.13

6.

(materiales linealmente elásticos) 453 Diseño de vigas para esfuerzos de flexión 466 Vigas no prismáticas 476 Esfuerzos cortantes en vigas con sección transversal rectangular 480 Esfuerzos cortantes en vigas con sección transversal circular 488 Esfuerzos cortantes en las almas de vigas con patines 491 Vigas armadas y flujo cortante 498 Vigas con cargas axiales 502 Concentraciones de esfuerzos en flexión 509 Resumen y repaso del capítulo 514 Problemas 518

Esfuerzos en vigas (temas avanzados) 553

6.5 6.6 6.7

6.8 6.9 *6.10

7.

Aplicaciones del esfuerzo plano (recipientes a presión, vigas y cargas combinadas) 719 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5

9.

9.1 Introducción 788 9.2 Ecuaciones diferenciales de la curva

9.4

transformada 563 Vigas doblemente simétricas con cargas inclinadas 571 Flexión de vigas asimétricas 578 Concepto de centro de cortante 589 Esfuerzos cortantes en vigas con secciones transversales abiertas de pared delgada 590 Esfuerzos cortantes en vigas de patín ancho 593 Centros de cortante en secciones abiertas de pared delgada 597 Flexión elastoplástica 605 Resumen y repaso del capítulo 614 Problemas 616

Análisis de esfuerzo y deformación 639 7.1 Introducción 640 7.2 Esfuerzo plano 640 7.3 Esfuerzos principales y esfuerzos

cortantes máximos 648 7.4 Círculo de Mohr para esfuerzo plano 656

Introducción 720 Recipientes esféricos a presión 720 Recipientes cilíndricos a presión 726 Esfuerzos máximos en vigas 733 Cargas combinadas 741 Resumen y repaso del capítulo 766 Problemas 768

Deflexiones de vigas 787

9.3

6.1 Introducción 554 6.2 Vigas compuestas 554 6.3 Método de la sección 6.4

8.

9.5 9.6 9.7 9.8 *9.9 *9.10 *9.11

de deflexión 788 Deflexiones por integración de la ecuación del momento de flexión 793 Deflexiones por integración de las ecuaciones de fuerza cortante y carga 804 Método de superposición 809 Método de área-momento 818 Vigas no prismáticas 826 Energía de deformación por flexión 831 Teorema de Castigliano 836 Deflexiones producidas por impacto 848 Efectos de la temperatura 850 Resumen y repaso del capítulo 854 Problemas 856

10. Vigas estáticamente indeterminadas 883 10.1 Introducción 884 10.2 Tipos de vigas estáticamente

indeterminadas 884 10.3 Análisis de la curva de deflexión

por medio de ecuaciones diferenciales 887 10.4 Método de superposición 893 *10.5 Efectos de temperatura 907

Reg. 300 CDL © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

02.08.2019

8/2

Contenido

*10.6 Desplazamientos longitudinales

en los extremos de una viga 914 Resumen y repaso del capítulo 917 Problemas 919

11.5 11.6 11.7 11.8 11.9

Referencias y notas históricas 1019 APÉNDICE A: Sistemas de unidades y factores de conversión 1029 APÉNDICE B: Solución de problemas 1043

11. Columnas 933 11.1 11.2 11.3 11.4

vii

Introducción 934 Pandeo y estabilidad 934 Columnas con extremos articulados 942 Columnas con otras condiciones de apoyo 951 Columnas con cargas axiales excéntricas 960 Fórmula de la secante para columnas 965 Comportamiento elástico e inelástico de columnas 970 Pandeo inelástico 972 Fórmulas para el diseño de columnas 977 Resumen y repaso del capítulo 993 Problemas 996

APÉNDICE C: Fórmulas matemáticas 1051 APÉNDICE D: Revisión de centroides y momentos de inercia 1057 APÉNDICE E: Propiedades de áreas planas 1083 APÉNDICE F: Propiedades de formas de acero estructural 1089 APÉNDICE G: Propiedades de madera estructural 1101 APÉNDICE H: Deflexiones y pendientes de vigas 1103 APÉNDICE I: Propiedades de los materiales 1109 Respuestas a los problemas 1115 Índice 1153

*Un asterisco adjunto a un número de sección indica un tema especializado y/o avanzado.

Reg. 300 CDL © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

02.08.2019

8/2

Reg. 300 CDL Š D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

02.08.2019

8/2

ACERC A DE LOS AUTORES Barry J. Goodno Barry John Goodno es profesor de ingeniería civil e ingeniería ambiental del Georgia Institute of Technology. Se unió a la Georgia Tech Faculty en 1974. Fue becario de Evans Scholar y obtuvo el título de ingeniería civil en la University of Wisconsin, Madison, Wisconsin, en 1970. Recibió sus grados de maestría y doctorado en ingeniería estructural por la Stanford University, Stanford, California, en 1971 y 1975, respectivamente. Tiene una licencia de ingeniería profesional en Georgia. Es miembro distinguido de la American Society of Civil Engineers (ASCE), miembro fundador del Structural Engineering Institute (SEI) y ha ocupado numerosos puestos de liderazgo en la ASCE. Es expresidente de la junta de gobernadores del SEI de la ASCE y miembro del Engineering Mechanics Institute (EMI) de la ASCE. Fue presidente del comité ejecutivo de la división de actividades técnicas (TAD, Technical Activities Division) de la ASCE-SEI y del comité de premios de esa misma sociedad.

En 2002, recibió el Dennis L. Tesksbury Award del SEI por su servicio sobresaliente. Además, recibió el premio departamental de Leadership in Use of Technology en 2013 por ser pionero en el uso de tecnologías de captura de conferencias en cursos de licenciatura sobre estática y mecánica de materiales en Georgia Tech. Pertenece al Earthquake Engineering Research Institute (EERI) y ha detentado varios puestos de liderazgo dentro del Mid-America Earthquake Center (MAE), patrocinado por la National Science Foundation (NSF) y ahí dirigió el proyecto Memphis Test Bed de MAE. Ha realizado investigaciones, dictado cátedra en cursos de graduación y publicado ampliamente en las áreas de ingeniería de terremotos y dinámica estructural durante su permanencia en Georgia Tech.

El doctor Goodno es un ciclista activo, entrenador y árbitro retirado de futbol soccer y excorredor de maratones. Al igual que su mentor y coautor, James Gere, Barry J. Goodno ha terminado numerosos maratones, entre ellos, el Maratón de Boston en 1987.

© Barry Goodno

James M. Gere James M. Gere (1925-2008) obtuvo la licenciatura y maestría en ingeniería civil del Rensselaer Polytechnic Institute en 1949 y 1951, respectivamente; ahí trabajó como profesor e investigador asociado. Fue galardonado con una de las primeras becas de la NSF, y eligió estudiar en Stanford. Recibió su doctorado en 1954 y se le ofreció un puesto en la Facultad de Ingeniería Civil, con lo que inició una carrera de 34 años en la que involucró a sus estudiantes en temas desafiantes en mecánica e ingeniería estructural y de terremotos. Se desempeñó como presidente de departamento y decano asociado de ingeniería y, en 1974, cofundó el John A. Blume Earthquake Engineering Center, en Stanford. En 1980, Jim Gere también se convirtió en jefe fundador del comité de preparación para terremotos en la misma universidad. Ese mismo año, fue invitado como uno de los primeros extranjeros para estudiar la ciudad devastada de Tangshan, China. En 1988, Jim se jubiló de Stanford, pero continuó como miembro activo de esa comunidad.

Cortesía del James and Janice Gere Family Trust ix

Reg. 300 CDL © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

02.08.2019

8/2

x

Acerca de los autores

Jim Gere se caracterizó por su actitud extrovertida, su personalidad alegre, su maravillosa sonrisa, su atletismo y su habilidad como un educador en ingeniería civil. Es autor de nueve libros de texto de diversos temas de ingeniería. El primero fue Mecánica de materiales, texto inspirado por su maestro y mentor Stephan P. Timoshenko, en 1972. Otras de sus obras más conocidas, empleadas en cursos de ingeniería alrededor del mundo, incluyen: Teoría de estabilidad elástica, en coautoría con S. Timoshenko; Análisis de matrices de estructuras armadas y Álgebra de matrices para ingenieros, ambos en colaboración con W. Weaver. Con H. Krawinkler, publicó Distribución de momentos y Tablas de terremotos: manual de diseño estructural y construcción. Asimismo, escribió, con H. Shah como coautor, Terra non firma: entendiendo y preparándose para terremotos.

En 1986 escaló hasta el campamento base del monte Everest, donde salvó la vida de un compañero de viaje. Fue un activo corredor y completó el Maratón de Boston a la edad de 48 años, en un tiempo de 3:13. James Gere será recodado por mucho tiempo por todos los que lo conocieron como un hombre considerado y amoroso, cuyo carácter optimista hizo que los aspectos de la vida diaria o el trabajo fueran más fáciles de resistir.

Reg. 300 CDL © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

02.08.2019

8/2

P R E FAC I O La mecánica de materiales es un tema básico de ingeniería que, junto con la estática, debe ser entendido por todos los interesados en la resistencia y el desempeño físico de las estructuras, ya sean hechas por el hombre o naturales. A nivel universitario, la estática se enseña usualmente durante el segundo o tercer año y es un prerrequisito para el curso de seguimiento en mecánica de materiales. Ambos cursos son obligatorios para la mayoría de los estudiantes que se especializan en ingeniería mecánica, estructural, civil, biomédica, petrolera, nuclear, aeronáutica y aeroespacial. Además, para otros estudiantes de campos tan diversos como la ciencia de materiales, ingeniería industrial, arquitectura e ingeniería agrícola también es útil estudiar mecánica de materiales.

Mecánica de materiales Hoy en día, en muchos programas de ingeniería tanto la estática como la mecánica de materiales se enseñan a diferentes grupos de estudiantes de las muchas disciplinas de ingeniería. Los instructores en otros campos paralelos deben cubrir el mismo material, y todos los temas principales deben presentarse de modo que los estudiantes estén bien preparados para los cursos más avanzados requeridos por sus programas de grado específico. Un prerrequisito esencial para el éxito en un primer curso en mecánica de materiales es una base sólida en estática, lo cual no solo incluye la comprensión de los conceptos fundamentales, sino también la competencia en la aplicación de las leyes del equilibrio estático a las soluciones de problemas de dos y tres dimensiones. Esta novena edición empieza con una sección actualizada acerca de estática en la cual se revisan las leyes de equilibrio y una lista ampliada de condiciones de frontera (o soporte), así como los tipos de fuerzas aplicadas y las resultantes de esfuerzos internos, todos basados y derivados de un diagrama de cuerpo libre dibujado correctamente. Se incluyen numerosos ejemplos y problemas al final del capítulo para ayudar a los estudiantes a revisar el análisis de estructuras y armaduras planas y espaciales, ejes en torsión y vigas, así como para reforzar conceptos básicos aprendidos en el curso de prerrequisito.

Muchos profesores presentan primero la teoría básica, como la del flexionamiento de vigas, y luego usan ejemplos del mundo real para motivar el interés de los estudiantes en el tema. En muchos casos, las estructuras en campo ofrecen fácil acceso a vigas, estructuras y conexiones atornilladas que pueden analizarse minuciosamente en una clase o en problemas de tarea. Esto permite al estudiante encontrar reacciones en soportes, fuerzas y momentos en elementos y esfuerzos en conexiones.

Además, el estudio de causas de falla en estructuras y componentes también ofrece la oportunidad para los estudiantes de empezar el proceso de aprendizaje de diseños reales y errores de la ingeniería en el pasado. En esta novena edición, algunos de los problemas de ejemplo y otros de los nuevos ejercicios de final de capítulo se basan en componentes o estructuras reales y se acompañan con fotografías, de modo que el estudiante pueda relacionar el problema del mundo real con el modelo de mecánica simplificada y los diagramas de cuerpo libre utilizados en su análisis.

Un número creciente de universidades está usando software multimedia de captura de clases (como Panopto y Tegrity) en sus principales cursos universitarios en matemáticas, física e ingeniería. La gran cantidad de fotos nuevas y de gráficas mejoradas en esta edición están diseñadas para apoyar estas herramientas de enseñanza.

Reg. 300 CDL © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

02.08.2019

xi

8/2

xii

Prefacio

Características clave Los temas principales que se abordan en este libro son el análisis y diseño de elementos estructurales sujetos a tensión, compresión, torsión y flexionamiento, incluyendo sus conceptos fundamentales. Otros temas importantes son las transformaciones de esfuerzo y deformación, cargas y esfuerzos combinados, deflexiones de vigas y estabilidad de columnas. Algunos temas especializados adicionales incluyen: concentraciones de esfuerzos, cargas dinámicas y de impacto, elementos no prismáticos, centros cortantes, flexionamiento de vigas de dos materiales (o vigas compuestas), flexionamiento de vigas asimétricas, esfuerzos máximos en vigas, enfoques basados en energía para cálculo de deflexiones de vigas y vigas estáticamente indeterminadas.

Cada capítulo empieza con una Reseña del capítulo, en la que se destacan los temas principales que se cubren en él, y termina con una Resumen y repaso del capítulo, en la cual se repasan los puntos clave y las fórmulas matemáticas del capítulo, para una rápida revisión. Además, cada capítulo inicia con una fotografía de un componente o estructura que ilustra los conceptos clave que ahí se analizan.

Nuevas características Algunas de las características de esta novena edición, agregadas como material nuevo o actualizado para cumplir las necesidades de un curso actual en mecánica de materiales, son: r Enfoque en la solución de problemas: todos los ejemplos en el texto se presentan con el enfoque de cuatro pasos para resolver problemas, que sigue el modelo presentado por R. Serway y J. Jewett en Principles of Physics, 5.a ed., Cengage Learning, 2013. Este nuevo formato estructurado ayuda a los estudiantes a refinar sus habilidades para resolver problemas y mejorar su comprensión de los principales conceptos ilustrados en cada ejemplo. r Repaso de estática: la sección “Repaso de estática” del capítulo 1 está mejorada.

La sección 1.2 incluye cuatro nuevos problemas de ejemplo que ilustran el cálculo de reacciones de soporte y resultantes de esfuerzos internos para estructuras, viga, eje circular y armadura plana. Treinta y cuatro problemas al final del capítulo proporcionan a los estudiantes estructuras de dos o tres dimensiones para utilizarse como práctica, revisión y asignación de tareas de dificultad variable. r Secciones de reseña de capítulo y de resumen y repaso del capítulo: las secciones de Reseña del capítulo y Resumen del capítulo se han ampliado para incluir ecuaciones y figuras clave presentadas en cada apartado. Estas secciones sirven como una práctica revisión de temas y ecuaciones clave presentados en cada capítulo. r Énfasis continuo en conceptos fundamentales subyacentes: como ecuaciones de equilibrio, constitutivas y de deformación-desplazamiento/compatibilidad en la solución de problemas. Las soluciones de problemas de ejemplo y del final del capítulo se actualizaron para enfatizar un proceso ordenado de escritura explícita fuera de ecuaciones de equilibrio, constitutivas y de deformación-desplazamiento/compatibilidad antes de intentar la solución.

Reg. 300 CDL © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

02.08.2019

8/2

Prefacio

r Cobertura de temas ampliados: se han actualizado o ampliado los siguientes temas: concentraciones de esfuerzos en barras axialmente cargadas (sección 2.10); torsión de ejes no circulares (sección 3.10); concentraciones de esfuerzos en flexionamiento (sección 5.13); análisis de secciones transformadas para vigas compuestas (sección 6.3); fórmula de flexión generalizada para vigas asimétricas (sección 6.5); y disposiciones de código actualizado para pandeo de columnas de acero, aluminio y madera (sección 11.9). r Muchos nuevos problemas de ejemplo y de final del capítulo: se agregaron más de 40 problemas nuevos de ejemplo en esta novena edición. Además, hay más de 400 problemas de fin de capítulo nuevos y revisados. Estos ejercicios están agrupados ahora como introductorios o representativos y se organizan en orden creciente de dificultad. r Revisión de los centroides y momentos de inercia son temas que se reubicaron en el apéndice D para liberar espacio para más ejemplos y problemas en los capítulos anteriores.

Importancia de los problemas de ejemplo r A lo largo del libro, se presentan ejemplos para ilustrar los conceptos teóricos y así mostrar cómo se pueden utilizar en situaciones prácticas. Todos los ejemplos se desarrollan con el formato del Enfoque de cuatro pasos para resolver problemas para que se entiendan con claridad los conceptos básicos y los pasos clave en el planteamiento y solución de cada problema. Se han agregado nuevas fotografías que muestran estructuras o componentes de ingeniería reales para reforzar el vínculo entre la teoría y la aplicación. Cada ejemplo inicia con un claro planteamiento del problema y después presenta un modelo analítico simplificado y los diagramas de cuerpo libre asociados para ayudar a los estudiantes en la comprensión y la aplicación de la teoría relevante en el análisis de ingeniería del sistema. En la mayoría de los casos, los ejemplos se trabajan en términos simbólicos para así ilustrar mejor las ideas, y después se sustituyen los valores numéricos de los parámetros clave en la parte final del paso de análisis. En los ejemplos seleccionados a lo largo del texto, se ha agregado la exhibición gráfica de los resultados (por ejemplo, esfuerzos en vigas) para mejorar la comprensión del estudiante de los resultados del problema.

En muchos casos, el problema implica el análisis de una estructura física real, tal como esta armadura (figura B-1b) que representa parte del fuselaje de un modelo de avión. Se inicia con el dibujo de la parte de la estructura de interés mostrando soportes, dimensiones y cargas relevantes. Este paso de Conceptualizar en el análisis lleva a menudo a un diagrama de cuerpo libre en problemas de mecánica.

Ejemplo B-1 FIGURA B-1 (a) Modelo de armadura de avión de sección del segmento lateral en (b) modelo de avión.

y P C

2P

b A

C = 80° a

A = 60°

B = 40° B

D

c 2

x

c 2 (a)

(b)

La armadura del avión que se muestra en la figura B-1 tiene cuatro uniones y cinco miembros. Determine las reacciones de soporte en A y B y después use los métodos de uniones y secciones para encontrar todas las fuerzas del miembro.

Deje P = 35 kips y c = 10 ft.

Reg. 300 CDL © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

02.08.2019

xiii

8/2

xiv

Prefacio

Ejemplo 1-1 La armadura plana que se muestra en la figura 1-6 tiene cuatro nodos y cinco elementos. Encuentre las reacciones de los apoyos en los nodos A y B. Después siga los métodos de nodos y secciones para hallar todas las fuerzas que actúan sobre los elementos. Sea P 5 35 kips y c 5 10 ft.

FIGURA 1-6 Modelo de armadura plana.

y P C b

2P θC = 80° a

El siguiente paso, Categorizar, es simplificar el problema, listar datos conocidos, identificar los desconocidos y hacer los supuestos necesarios para crear un modelo adecuado para el análisis.

Solución: θB = 40°

θA = 60° A

B

D c/2

x

c/2

FIGURA 1-7 Diagrama de cuerpo libre del modelo de armadura.

y P

b

C

2P θC = 80° a θB = 40°

θA = 60°

Ax A

B

D

By

Ay c/2

A continuación se escriben las ecuaciones gobernantes, se identifican técnicas matemáticas apropiadas y computacionales para resolver las ecuaciones y obtener resultados, ya sea en fórmulas matemáticas o valores numéricos. El paso Analizar lleva a la reacción de soporte y a las fuerzas de los elementos en la estructura.

Se listan los pasos principales del procedimiento de análisis, de modo que sea fácil revisar o verificar en un momento posterior.

c/2

Siga este método de cuatro pasos para resolver el problema.

1. Conceptualizar [hipotetizar, bosquejar]: en primer lugar, trace un diagrama de cuerpo libre de todo el modelo de la armadura (figura 1-7). Solo se muestran las fuerzas aplicadas conocidas en C y las fuerzas de reacción desconocidas en A y B que luego se utilizan en el análisis de equilibrio para encontrar las reacciones.

2. Categorizar [simplificar, clasificar]: el equilibrio general requiere que los componentes de fuerza en las direcciones x y y, y el momento en el eje z sumen cero; esto lleva a los componentes de fuerza de reacción Ax, Ay y By. La armadura es estáticamente determinada (incógnitas: m 1 r 5 5 1 3 5 8; variables conocidas: 2j 5 8), por lo que todas las fuerzas de los elementos pueden obtenerse a través del método de nodos. Si solo son de interés algunas fuerzas de elementos seleccionados, se puede utilizar el método de secciones. Use una convención de signos de estática x al calcular reacciones externas y una convención de signos de deformación al resolver las fuerzas sobre los elementos.

3. Analizar [evaluar; seleccionar ecuaciones relevantes, obtener una solución matemática]: primero encuentre las longitudes de los elementos AC y BC que se necesitan para calcular las distancias a las líneas de acción de las fuerzas.

Ley de los senos para hallar las longitudes de los miembros a y b: use los ángulos conocidos uA, uB y uC y c 5 10 ft para encontrar las longitudes a y b: b 5c

sen(u B ) sen(u A ) sen(408 ) sen(608 ) 5 (10 ft) 5 6.527 ft, a 5 c 5 (10 ft) 5 8.794 ft sen(uC ) sen(uC ) sen(808 ) sen(808 )

Utilice la ley de los cosenos para comprobar que las longitudes calculadas a y b dan la longitud c: c 5 (6.527 ft)2 1 (8.794 ft)2 2 2(6.527 ft)(8.794 ft) cos(808 ) 5 10 ft Reacciones del apoyo: utilice el diagrama de cuerpo libre del modelo de la armadura de la figura 1-7 para sumar las fuerzas en las direcciones x y y, y los momentos en el nodo A: 4. Finalizar [concluir; analizar la respuesta: ¿tiene sentido?, ¿son correctas las unidades?, ¿cómo se compara con las soluciones de otros problemas similares?]: hay dos ecuaciones de equilibrio 2j 5 8 para la armadura plana sencilla en consideración, y por medio del método de nodos, estas se obtienen aplicando ΣFx 5 0 y ΣFy 5 0 en cada nodo en sucesión. Una solución computarizada de estas ecuaciones simultáneas produce las fuerzas de reacción y cinco fuerzas de elementos. El método de secciones es una forma eficiente de encontrar las fuerzas de elementos seleccionados. Un paso fundamental es la selección de un corte transversal apropiado, que aísla el elemento de interés y elimina la mayor cantidad de incógnitas posible. Esto va seguido del dibujo de un diagrama de cuerpo libre para utilizarlo en el análisis de equilibrio estático para calcular la fuerza del elemento en cuestión. Se utilizaron los métodos de secciones y nodos, un enfoque de resolución común en el análisis de armaduras planas y tridimensionales.

En Finalizar se describen los pasos principales y se revisa la solución para asegurar que se presente de manera clara, para que otros puedan revisarlos y verificarlos con facilidad. ¿Son razonables las expresiones y los valores numéricos que se obtuvieron? ¿Concuerdan con sus expectativas iniciales?

Reg. 300 CDL © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

02.08.2019

8/2

Prefacio

Problemas En todos los cursos de mecánica, la resolución de problemas es una parte importante del proceso de aprendizaje. Este libro de texto contiene más de 1 440 problemas, muchos con partes múltiples, que pueden asignarse como tareas y en discusiones en el salón de clase. Los problemas se presentan al final de cada capítulo de manera que sean fáciles de encontrar y no rompan la presentación del tema principal. Además, se organizan en orden de dificultad creciente, alertando de esa manera a los estudiantes respecto al tiempo necesario para resolverlos. Las respuestas para todos los problemas se encuentran en las páginas finales del libro.

Se ha dedicado un gran esfuerzo a la revisión y corrección del texto con el fin de eliminar errores. Si encuentra uno, sin que importe lo trivial que sea, por favor notifíquelo por correo electrónico (bgoodno@ce.gatech.edu). Corregiremos cualquier error en la siguiente impresión del libro.

Unidades Tanto el Sistema Internacional de Unidades (SI) como el Sistema de Unidades de Medida de Estados Unidos (USCS, U.S. Customary System) se usan en los ejemplos y problemas. El análisis de ambos sistemas y la tabla de factores de conversión se incluyen en el apéndice A. Los problemas con números impares que involucran soluciones numéricas, están en unidades del USCS y los pares, en unidades del SI. Esta convención facilita conocer de antemano cuál sistema de unidades se utiliza en cualquier problema particular. Además, las tablas que contienen propiedades de las formas de acero estructural, tanto en unidades del USCS como del SI, pueden encontrarse en el apéndice F, de modo que esa solución de ejemplos de análisis y diseño de vigas y de los problemas al final del capítulo pueden llevarse a cabo ya sea en unidades del USCS o del SI.

Recursos adicionales Esta obra cuenta con recursos adicionales. Para mayor información, consulte a su representante local de Cengage.

Reg. 300 CDL © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

02.08.2019

xv

8/2

xvi

Prefacio

S.P Timoshenko (1878-1972) y J. M. Gere (1925-2008) Muchos lectores de este libro reconocerán el nombre de Stephen P. Timoshenko pues es, quizá, el nombre más famoso en el campo de la mecánica aplicada. Una breve biografía de Timoshenko aparece en la primera referencia en la sección de Referencias y notas históricas. Timoshenko es generalmente reconocido como el pionero más sobresaliente del mundo en mecánica aplicada. Aportó muchas ideas nuevas y conceptos y es famoso tanto por su erudición como por su enseñanza. A lo largo de sus numerosos libros de texto, hizo un cambio profundo en la enseñanza de la mecánica no solo en su país de origen, sino en cualquier lugar donde se enseña mecánica. Timoshenko fue maestro y mentor de James Gere y motivó la primera edición de este texto, escrita por James Gere y publicada en 1972. La segunda edición, y cada una de las subsecuentes, fueron escritas por James Gere en el transcurso de su larga y distinguida titularidad como autor, educador e investigador en la Stanford University. James Gere empezó como un estudiante de doctorado en Stanford en 1952 y se jubiló como profesor en 1988, siendo autor de este y otros ocho conocidos y respetados libros sobre mecánica, ingeniería estructural y terremotos. Se mantuvo activo en Stanford como profesor emérito hasta su muerte en enero de 2008.

Agradecimientos Reconocer a todos los que contribuyeron a este libro de alguna manera es claramente imposible, pero tengo una gran deuda con mis exmaestros de Stanford, en especial mi mentor, amigo y coautor, James M. Gere.

Estoy agradecido con muchos colegas que enseñan mecánica de materiales en diversas instituciones del mundo, pues han proporcionado realimentación y crítica constructiva al presente texto; a todos esos comentarios anónimos, gracias. Con cada nueva edición, sus consejos se han reflejado en mejoras significativas, tanto en el contenido como en la pedagogía.

Vaya también mi agradecimiento a los revisores que proporcionaron comentarios específicos para esta novena edición: Erian Armanios, University of Texas, en Arlington.

Aaron S. Budge, Minnesota State University, Mankato.

Virginia Ferguson, University of Colorado, Boulder.

James Giancaspro, University of Miami.

Paul Heyliger, Colorado State University.

Eric Kasper, Polytechnic State University, San Luis Obispo.

Richard Kunz, Mercer University.

David Lattanzi, George Mason University.

Gustavo Molina, Georgia Southern University.

Suzannah Sandrik, Universty of Wisconsin-Madison.

Morteza A.M. Torkamani, University of Pittsburgh.

Reg. 300 CDL © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

02.08.2019

8/2

Prefacio

También deseo reconocer a mis colegas de ingeniería estructural y mecánica en el Georgia Institute of Technology, muchos de los cuales proporcionaron consejos valiosos en diversos aspectos de revisiones y adiciones que llevaron a la edición actual. Es un privilegio trabajar con todos estos educadores y aprender de ellos en casi todas las interacciones y discusiones diarias acerca de la ingeniería y la mecánica estructural en el contexto de la investigación y la educación superior. Deseo extender mi agradecimiento a mis estudiantes actuales y anteriores que han ayudado a formar este texto en sus diversas ediciones. Por último, me gustaría reconocer el excelente trabajo de Edwin Lim, quien sugirió nuevos problemas y verificó cuidadosamente las soluciones de muchos de los nuevos ejemplos y problemas del final de capítulo.

Deseo reconocer y dar las gracias al equipo de Global Engineering en Cengage Learning por su dedicación a este nuevo libro: Timothy Anderson, Product Director; Mona Zeftel, Senior Content Developer; D. Jean Buttrom, Content Project Manager; Kristin Stine, Marketing Manager; Elizabeth Brown y Brittany Burden, Learning Solutions Specialists; Ashley Kaupert, Associate Media Content Developer; Teresa Versaggi y Alexander Sham, Product Assistants; y Rose Kernan de RPK Editorial Services, Inc. Ellos han guiado hábilmente todos los aspectos de este desarrollo y producción de texto hasta concluirlo exitosamente.

Estoy profundamente agradecido por la paciencia y el estímulo brindado de parte de mi familia, en especial mi esposa, Lana, a lo largo de este proyecto.

Por último, me complace mucho continuar este empeño que inició hace muchos años mi mentor y amigo Jim Gere. Este texto, ya en su novena edición, cumple 45 años de publicación. Por eso, siempre estaré comprometido con su excelencia continua y recibiré con buenos ojos todos los comentarios y sugerencias. Por favor sientan la libertad de compartirme sus comentarios a bgoodno@ce.gatech.edu.

Barry J. Goodno Atlanta, Georgia

Reg. 300 CDL © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

02.08.2019

xvii

8/2

Reg. 300 CDL Š D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

02.08.2019

8/2

SÍMBOLOS A

área.

Af, Aw

área del patín; área del alma.

a, b, c

dimensiones, distancias.

C

centroide, fuerza de compresión, constante de integración.

c

distancia del eje neutro a la superficie exterior de una viga.

D

diámetro.

d

diámetro, dimensión, distancia.

E

módulo de elasticidad.

Er, Et

módulo de elasticidad reducido; módulo tangente de elasticidad.

e

excentricidad, dimensión, distancia, cambio de volumen unitario (dilatación).

F

fuerza.

f

flujo cortante, factor de forma para flexionamiento plástico, flexibilidad, frecuencia (Hz).

fT

flexibilidad torsional de una barra.

G

módulo de elasticidad en cortante.

g

aceleración de gravedad.

H

altura, distancia, fuerza o reacción horizontal, caballos de fuerza.

h

altura, dimensiones.

I

momento de inercia (o segundo momento) de un área en plano.

Ix, Iy, Iz Ix1, Iy1 Ixy Ix1y1 IP I1, I2

momentos de inercia con respecto a los ejes x, y y z. momentos de inercia con respecto a los ejes x1 y y1 (eje rotado). producto de inercia con respecto a los ejes xy. producto de inercia con respecto a los ejes x1y1 (ejes rotados). momento polar de inercia. principales momentos de inercia.

J

constante de torsión.

K

factor de concentración de esfuerzos, módulo de pandeo de elasticidad, factor de longitud efectivo para una columna

k

constante de resorte, rigidez para P /EI .

kT

rigidez torsional de una barra.

L

longitud, distancia.

LE ln, log M MP, MY

longitud efectiva de una columna. log logaritmo natural (base e); logaritmo común (base 10). momento flexionante, par, masa. momento plástico para una viga; momento de fluencia para una viga.

m

momento por longitud unitaria, masa por longitud unitaria.

N

fuerza axial. xix Reg. 300 CDL © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

02.08.2019

8/2

xx

Símbolos

n O O′ P Pperm Pcr PP Pr, Pt PY p Q q R r S s T TP, TY t tf, tw U u ur, ut V ν v′, v′′, etc.

W w x, y, z xc, yc, zc x, y, z Z α β βR γ γxy, γyz, γzx γx1y1 γθ δ

factor de seguridad, entero, revoluciones por minuto (rpm). origen de coordenadas. centro de curvatura. fuerza, carga concentrada, potencia. carga permisible (o carga de trabajo). carga crítica para una columna. carga plástica para una estructura. carga de módulo reducido para una columna; carga de módulo tangente para una columna. carga de fluencia para una estructura. presión (fuerza por área unitaria). fuerza, carga concentrada, primer momento de un área plana. intensidad de carga distribuida (fuerza por distancia unitaria). reacción, radio. radio, radio de giro ( r 5 I /A ). módulo de sección de la sección transversal de una viga, centro cortante. distancia, distancia a lo largo de una curva. fuerza de tensión, par torcido o momento de torsión, temperatura. momento de torsión plástico; momento de torsión de fluencia. espesor, tiempo, intensidad del momento de torsión (momento de torsión por distancia unitaria). espesor de patín; espesor de alma. energía de deformación. densidad de la energía de deformación (energía de deformación por volumen unitario). módulo de resistencia; módulo de tenacidad. fuerza cortante, volumen, fuerza o reacción vertical. deflexión de una viga, velocidad. dv/dx, d 2ν/dx2, etc. fuerza, peso, trabajo. carga por unidad de área (fuerza por unidad área). ejes rectangulares (origen en el punto O). ejes rectangulares (origen en el centroide C). coordenadas de centroide. módulo plástico de la sección transversal de una viga. ángulo, coeficiente de expansión térmica, razón no dimensional. ángulo, razón no dimensional, constante de resorte, rigidez. rigidez rotacional de un resorte. deformación cortante, densidad de peso (peso por unidad de volumen). deformaciones cortantes en planos xy, yz y zx. deformación cortante con respecto a los ejes x1y1 (ejes rotados). deformación cortante para ejes inclinados. deflexión de una viga, desplazamiento, alargamiento de una barra o resorte.

Reg. 300 CDL © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

02.08.2019

8/2

Símbolos

∆T δP, δY ε εx, εy, εz εx1, εy1 εθ ε1, ε2, ε3

temperatura diferencial. desplazamiento plástico; desplazamiento por fluencia. deformación normal. deformaciones normales en direcciones x, y y z. deformaciones normales en direcciones x1 y y1 (ejes rotados). deformación normal de ejes inclinados. deformaciones normales principales.

ε′

deformación normal en esfuerzo uniaxial.

εT

deformación térmica.

εY

deformación por fluencia.

θ

ángulo, ángulo de rotación de eje de viga, tasa de giro de una barra en torsión (ángulo de giro por unidad de longitud).

θp

ángulo a un plano principal o a un eje principal.

θs

ángulo a un plano de esfuerzo cortante máximo.

κ

curvatura (κ = 1/ρ).

λ

distancia, acortamiento de curvatura.

ν

razón de Poisson.

ρ

radio, radio de curvatura (ρ = 1/κ), distancia radial en coordenadas polares, densidad de masa (masa por unidad de volumen).

σ

esfuerzo normal.

σx, σy, σz σx1, σy1 σθ σ1, σ2, σ3 σperm

esfuerzos normales sobre planos perpendiculares a los ejes x, y y z. esfuerzos normales sobre planos perpendiculares a los ejes x1y1 (ejes rotados). esfuerzo normal sobre un plano inclinado. esfuerzos normales principales. esfuerzo permisible (o esfuerzo de trabajo).

σcr

esfuerzo crítico para una columna (σcr = Pcr/A).

σpl

esfuerzo de límite proporcional.

σr

esfuerzo residual.

σT

esfuerzo térmico.

σU, σY τ

esfuerzo último; esfuerzo por fluencia. esfuerzo cortante.

τxy, τyz, τzx

esfuerzos cortantes sobre planos. perpendiculares a los ejes x, y y z y que actúan paralelos a los ejes y, z y x.

τx1y1

esfuerzo cortante sobre un plano perpendicular al eje x1 y que actúa paralelo al eje y1 (eje rotado).

τθ τperm τU, τY

esfuerzo cortante sobre un plano inclinado. esfuerzo permisible (o esfuerzo de trabajo) en cortante. esfuerzo último en cortante; esfuerzo por fluencia en cortante.

ϕ

ángulo, ángulo de giro de una barra en torsión.

ψ

ángulo, ángulo de rotación.

ω

velocidad angular, frecuencia angular (ω = 2πf).

Reg. 300 CDL © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

02.08.2019

xxi

8/2

xxii

Símbolos

ALFABETO GRIEGO A

α

Alfa

N

ν

Ni

B

β

Beta

Ξ

ξ

Xi

Γ

γ

Gamma

O

ο

Ómicron

∆

δ

Delta

Π

π

Pi

E

ε

Épsilon

P

ρ

Rho

Z

ζ

Dseta

Σ

σ

Sigma

H

η

Eta

T

τ

Tau

Θ

θ

Theta

Y

υ

Ípsilon

I

ι

Iota

Φ

ϕ

Fi

K

κ

Kappa

Χ

χ

Ji

Λ

λ

Lambda

Ψ

ψ

Psi

M

μ

Mi

Ω

ω

Omega

Reg. 300 CDL © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

02.08.2019

C A PÍ T U LO

8/2

1

Jan Jirous/ Shutterstock.com.

Tensión, compresión y cortante

Esta torre de telecomunicaciones es un ensamblaje de muchos elementos que actúan principalmente en tensión o compresión.

Objetivos del capítulo t Establecer que la mecánica de materiales examina los esfuerzos, las deformaciones unitarias y los desplazamientos en estructuras hechas de diversos materiales sometidas a una variedad de cargas diferentes. t Estudiar el esfuerzo normal (s) y la deformación unitaria normal («) en materiales utilizados en aplicaciones estructurales. t Identificar las propiedades fundamentales de varios materiales, como el módulo de elasticidad (E), la fluencia (sy ) y los esfuerzos últimos (su ) a partir de gráficas del esfuerzo (s) en función de la deformación unitaria («). t Graficar el esfuerzo cortante (t) en función de la deformación unitaria cortante (g ), e identificar el módulo de elasticidad en cortante (G).

t Estudiar la ley de Hooke para esfuerzo normal, deformación unitaria normal (s 5 E«), esfuerzo cortante y deformación unitaria cortante (t 5 Gg). t Investigar los cambios en las dimensiones laterales y el volumen de una barra, que dependen de la relación de Poisson (n) del material de la barra. t Estudiar los esfuerzos normal, cortante y de aplastamiento en elementos unidos por medio de pernos. t Utilizar factores de seguridad para establecer los valores permisibles de los esfuerzos. t Conocer conceptos básicos de diseño: el proceso iterativo por medio del cual se determina el tamaño apropiado de los elementos estructurales para satisfacer una variedad de requisitos de resistencia y rigidez.

Contenido del capítulo 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

Introducción a la mecánica de materiales 2 Método de resolución de problemas 2 Repaso de estática 3 Esfuerzo y deformación unitaria normales 22 Propiedades mecánicas de los materiales 31 Elasticidad, plasticidad y termofluencia 38

1.7 1.8 1.9 1.10

Elasticidad lineal, ley de Hooke y relación de Poisson 44 Esfuerzo cortante y deformación unitaria cortante 50 Esfuerzos y cargas permisibles 63 Diseño para cargas axiales y cortante directo 70 Resumen y repaso del capítulo 74 Problemas 77 1

Reg. 300 CDL © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

02.08.2019

8/2

2

Capítulo 1 Tensión, compresión y cortante

1.1 Introducción a la mecánica de materiales La mecánica de materiales es una rama de la mecánica aplicada que estudia el comportamiento de los cuerpos sólidos sometidos a diversos tipos de cargas. Este campo de estudio también se conoce como resistencia de materiales y mecánica de los cuerpos deformables. Los cuerpos sólidos que se estudian en este libro incluyen barras sometidas a cargas axiales, ejes en torsión, vigas en flexión y columnas en compresión.

El objetivo principal de la mecánica de materiales es determinar los esfuerzos, deformaciones unitarias y desplazamientos en estructuras y sus componentes, causados por las cargas que actúan sobre ellas. Comprender el comportamiento mecánico resulta esencial para diseñar de forma segura todo tipo de estructuras, sean aviones y antenas, edificios y puentes, máquinas y motores o barcos y naves espaciales. Por esta razón, la mecánica de materiales es una disciplina básica en muchos campos de la ingeniería. En la mecánica de materiales la mayoría de los apoyos comienzan con un examen de las fuerzas internas y externas que actúan sobre un cuerpo deformable estable. Primero se definen las cargas que actúan sobre el cuerpo, junto con sus condiciones de apoyo.

Luego se determinan las fuerzas de reacción en los apoyos y las fuerzas internas en los miembros o elementos que lo componen, mediante la aplicación de las leyes fundamentales del equilibrio estático (siempre que el cuerpo sea estáticamente determinado).

En la mecánica de materiales se estudian los esfuerzos y las deformaciones unitarias dentro de cuerpos reales; es decir, cuerpos de dimensiones finitas que se deforman bajo la acción de cargas. Para determinar los esfuerzos y deformaciones unitarias se toman en cuenta las propiedades físicas de los materiales, así como numerosas leyes y conceptos teóricos. La mecánica de materiales proporciona información esencial para resolver problemas estáticamente indeterminados con base en las deformaciones del cuerpo (lo que no es posible si solo se emplean las leyes del equilibrio estático).

Los análisis teóricos y resultados experimentales desempeñan funciones igualmente importantes en la mecánica de materiales. Se usan teorías para derivar fórmulas y ecuaciones para predecir el comportamiento mecánico, pero estas expresiones no se pueden usar en un diseño práctico a menos que se conozcan las propiedades físicas de los materiales. Estas propiedades están disponibles solo después de que se han llevado a cabo experimentos cuidadosos en el laboratorio. Además, no todos los problemas prácticos permiten el análisis teórico, y en esos casos son necesarias las pruebas físicas.

El desarrollo histórico de la mecánica de materiales es una combinación fascinante tanto de teoría como de experimentación. En algunos casos, la teoría ha señalado el camino para obtener resultados útiles y en otros, lo ha hecho la experimentación. Algunos personajes famosos, como Leonardo da Vinci (1452-1519) y Galileo Galilei (1564-1642), realizaron experimentos para determinar la resistencia de alambres, barras y vigas, aunque no formularon teorías adecuadas (según las normas actuales) para explicar los resultados de sus pruebas. En contraste, el famoso matemático Leonhard Euler (1707-1783) desarrolló la teoría matemática de las columnas y calculó la carga crítica de una columna en 1744, mucho antes de que existieran pruebas experimentales que demostraran la importancia de sus resultados. Sin las pruebas correspondientes para apoyar sus teorías, los resultados de Euler no se utilizaron en más de cien años, aunque en la actualidad constituyen la base del diseño y análisis de la mayoría de las columnas (vea las referencias 1-1, 1-2 y 1-3).

1.2 Método de resolución de problemas* El estudio de la mecánica de materiales se divide de manera natural en dos partes: la primera es comprender los conceptos y principios generales; y la segunda, aplicar es*El método de resolución de problemas en cuatro pasos que se utiliza aquí se basa en el que presentan R. Serway y J. Jewett en Principles of Physics, 5.a edición, Cengage Learning, 2013.

Reg. 300 CDL © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

02.08.2019

8/2

Sección 1.3 Repaso de estática

tos conceptos y principios a situaciones físicas. Para entender los conceptos generales, se estudian las explicaciones y las deducciones presentadas en este libro. Sin embargo, solo se puede adquirir habilidad si se resuelven los problemas por cuenta propia. Desde luego, estos dos aspectos de la mecánica están estrechamente relacionados, y muchos expertos en la materia sostienen que uno no comprende los conceptos en realidad si no es capaz de aplicarlos. Es fácil repetir los principios de memoria, pero para aplicarlos a situaciones reales se requiere una comprensión profunda. La resolución de problemas da significado a los conceptos y, además, brinda la oportunidad de ganar experiencia y desarrollar criterio propio.

El objetivo principal de este libro es ayudarle a desarrollar una técnica de resolución estructurada para problemas de estática y mecánica de materiales. Esta técnica se denomina método de resolución de problemas (PSA, problem-solving approach) y se utiliza en todos los problemas de ejemplo que se presentan en el libro. El PSA comprende los siguientes cuatro pasos: 1. Conceptualizar [hipotetizar, bosquejar]: enumerar todos los datos relevantes y dibujar un boceto que muestre todas las fuerzas aplicadas, las condiciones de apoyo y límites y las interacciones entre cuerpos adyacentes. El desarrollo y perfeccionamiento del diagrama de cuerpo libre es parte esencial de este paso.

2. Categorizar [simplificar, clasificar]: identificar las incógnitas del problema y hacer los supuestos necesarios para simplificar el problema y agilizar el proceso de resolución.

3. Analizar [evaluar; seleccionar ecuaciones relevantes, obtener una solución matemática]: aplicar las teorías que correspondan, plantear las ecuaciones necesarias para el modelo matemático elegido y luego resolver las incógnitas.

4. Finalizar [concluir; analizar la respuesta: ¿tiene sentido?, ¿son correctas las unidades?, ¿cómo se compara con las soluciones de otros problemas similares?]: estudiar las respuestas, compararlas con las de problemas similares que se hayan resuelto en el pasado y comprobar la solidez de la solución, variando los parámetros fundamentales para ver cómo cambian los resultados (quizá incluso trazar en una gráfica el resultado principal en función de ese parámetro para investigar la sensibilidad de la respuesta).

Se le invita a que estudie el método de resolución de problemas que se presenta en los ejemplos y luego aplicarlos a la tarea y a los ejercicios de laboratorio en la clase.

Este método sistemático estructurado también será útil en los exámenes. Vea el apéndice B-2 donde encontrará más información sobre el método de resolución de problemas resumido anteriormente.

Todos los problemas aparecen al final de los capítulos y los números de los problemas y los subtítulos identifican las secciones a las que pertenecen. En el caso de los problemas que requieren soluciones numéricas, los que tienen números impares se plantean en el sistema inglés (que se utiliza en Estados Unidos) y los que tienen números pares se encuentran en el Sistema Internacional de Unidades (SI).

En este libro, los resultados numéricos finales se presentan generalmente con tres dígitos significativos cuando el número comienza con los dígitos del 2 al 9, y con cuatro dígitos significativos cuando el número inicia con el dígito 1. Los valores intermedios a menudo se registran con dígitos adicionales para evitar perder precisión numérica debido al redondeo de los números.

1.3 Repaso de estática En su curso obligatorio previo de estática estudió el equilibrio de los cuerpos rígidos sometidos a gran variedad de fuerzas y soportados o sujetos de tal modo que el cuerpo quedaba estable y en reposo. En consecuencia, un cuerpo sujeto de forma apro-

Reg. 300 CDL © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

02.08.2019

3

8/2

4

Capítulo 1 Tensión, compresión y cortante

piada no puede realizar movimiento de cuerpo rígido debido a la aplicación de fuerzas estáticas. Usted trazó diagramas de cuerpo libre del objeto entero o de sus partes más importantes, y luego aplicó las ecuaciones de equilibrio para calcular las fuerzas y momentos de reacción externos o las fuerzas y momentos internos en puntos críticos. En esta sección se repasarán las ecuaciones básicas del equilibrio estático; y luego se aplicarán a la solución de estructuras de ejemplo (tanto bidimensionales como tridimensionales) utilizando operaciones escalares y vectoriales (suponiendo que tanto la aceleración como la velocidad son iguales a cero). La mayoría de los problemas en mecánica de materiales requiere que el primer paso sea un análisis estático para conocer todas las fuerzas que actúan sobre el sistema y causan su deformación. Una vez identificadas todas las fuerzas externas e internas de interés, podrá proceder con la evaluación de esfuerzos, deformaciones unitarias y deformaciones de barras, ejes, vigas y columnas, como se describe en los capítulos subsiguientes.

Ecuaciones de equilibrio La fuerza resultante R y el momento resultante M de todas las fuerzas y momentos que actúan sobre un cuerpo en equilibrio, sea rígido o deformable, son iguales a cero.

La suma de los momentos se puede tomar sobre cualquier punto arbitrario. Las ecuaciones de equilibrio resultantes se pueden expresar en forma vectorial de la siguiente manera: R 5 SF 5 0

(1-1)

M 5 SM 5 S( r 3 F ) 5 0

(1-2)

donde F es uno de varios vectores de fuerza que actúan sobre el cuerpo y r es un vector de posición que va desde el punto en el que se toman los momentos hasta un punto a lo largo de la línea de aplicación de cualquier fuerza F. Con frecuencia es conveniente escribir las ecuaciones de equilibrio en su forma escalar, utilizando un sistema de coordenadas cartesianas rectangular, ya sea bidimensional (x, y) o tridimensional (x, y, z), como: SFx 5 0 SFy 5 0 SM z 5 0

(1-3)

La ecuación (1-3) se puede utilizar para problemas bidimensionales o problemas en un plano, pero en tres dimensiones se requieren tres ecuaciones de fuerza y tres de momento: SFx 5 0 SFy 5 0 SFz 5 0

(1-4)

SM x 5 0 SM y 5 0 SM z 5 0

(1-5)

Si el número de fuerzas desconocidas es igual al número de ecuaciones de equilibrio independientes, dichas ecuaciones bastan para encontrar todas las fuerzas de reacción o internas desconocidas que actúan sobre el cuerpo, y se dice que el problema es estáticamente determinado (siempre y cuando el cuerpo esté estable). Si el cuerpo o estructura está restringido por apoyos adicionales (o redundantes), el problema es estáticamente indeterminado y no es posible resolverlo solo con las leyes del equilibrio estático.

Fuerzas aplicadas Las cargas externas que se aplican a un cuerpo o estructura pueden ser fuerzas o momentos concentrados o distribuidos. Por ejemplo, la fuerza FB (en unidades de libras, lb; o newtons, N) de la figura 1-1 es una carga puntual o concentrada y se supone que actúa en el punto B del cuerpo, mientras que el momento MA es un momento o par concentrado (en unidades de libras-pies, lb-ft o N ∙ m) que actúan en el punto A. Las fuerzas distribuidas pueden actuar en forma normal o a lo largo de un eleReg. 300 CDL © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

02.08.2019

8/2

5

Sección 1.3 Repaso de estática

FIGURA 1-1 Estructura de una armadura plana.

F q2 4 q0

3

e C

E

q1

D c

b

d 4 B 3

y

a

FB MA

x

A

mento y tener intensidad constante, como la carga lineal q1 normal al elemento BC (figura 1-1), o la carga lineal q2 que actúa en la dirección y sobre el elemento inclinado DF; tanto q1 como q2 tienen unidades de intensidad de fuerza (lb/ft o N/m). Las cargas distribuidas también pueden tener una variación lineal (u otra) con alguna intensidad pico q0 (como sobre el elemento ED en la figura 1-1). Las presiones superficiales p (con unidades lb/ft2 o Pa), como el viento que actúa sobre un anuncio (figura 1-2), actúan sobre una región designada del cuerpo. Por último, una fuerza de volumen w (con unidades de fuerza por unidad de volumen: lb/ft3 o N/m3), como es el propio peso distribuido del anuncio o poste de la figura 1-2, actúa por todo el volumen del cuerpo y se puede reemplazar por el componente peso W que actúa en el centro de gravedad (c.g.) del anuncio (Ws) o poste (Wp). De hecho, es posible reemplazar toda carga distribuida (fuerza lineal, superficial o de volumen) por una fuerza estáticamente equivalente en el centro de gravedad (o centro de presión para el viento), de la carga distribuida al evaluar el equilibrio estático total de la estructura con las ecuaciones (1-1) a (1-5).

Diagramas de cuerpo libre Una parte esencial del análisis estático de un cuerpo rígido o deformable es el diagrama de cuerpo libre (DCL o FBD, free-body diagram). Todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, o parte de este, deben trazarse en el DCL si se desea obtener una solución de equilibrio correcta. Esto incluye las fuerzas y momentos aplicados, las fuerzas y momentos de reacción y todas las fuerzas de conexión entre cada uno de los componentes. Por ejemplo, en la figura 1-3a se presenta el DCL general de la armadura plana de la figura 1-1. En este DCL se muestran todas las fuerzas aplicadas y de reacción, y también aparecen las cargas concentradas estáticamente equivalentes para todas las cargas distribuidas. Las fuerzas estáticamente equivalentes Fq , Fq y 0 1 Fq , cada una actuando en el c.g. de la carga distribuida correspondiente, se usan en 2 la solución de la ecuación de equilibrio para representar las cargas distribuidas q0, q1 y q2, respectivamente.

A continuación, en la figura 1-3b se ha desensamblado la armadura plana, de modo que se pueden dibujar distintos DCL para cada parte de la armadura, expoReg. 300 CDL © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

02.08.2019

FIGURA 1-2 Viento sobre un anuncio.

y p Ws P Wp H

z

x

8/2

6

Capítulo 1 Tensión, compresión y cortante

FIGURA 1-3 (a) Diagrama de cuerpo libre general de la estructura de armadura plana de la figura 1-1, y (b) diagramas de cuerpo libre por separado de las partes ABCDE y la parte DF de la estructura de armadura plana de la figura 1-1.

F

Fx

Fq2 Fy Fq0

4

q0

3 e C

q1

D

E

Fq1

c

d

b 4

B

3 y

a

FB MA

x

A

Ax Ay

(a)

Fq 2

Fx

F

q2 Fy

Fq0

D

q0

Dx

Dy

E

Resultante D Dy Dx

C

D

q1 Fq1

4 B 3

y FB

MA

x

A

Ax

Ay

Resultante A

(b)

niendo así las fuerzas del pasador D (Dx, Dy). Ambos DCL deben mostrar todas las fuerzas aplicadas, así como las fuerzas de reacción Ax y Ay en el nodo del apoyo articulado A, y Fx y Fy en el nodo del apoyo articulado F. Se deben determinar las fuerzas que se transmiten entre los elementos de la armadura EDC y DF en el pasador de conexión D si la interacción apropiada de ambos elementos se tomará en cuenta en el análisis estático.

Reg. 300 CDL © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

02.08.2019

8/2

Sección 1.3 Repaso de estática

Los DCL presentados en las figuras 1-3a y 1-3b son partes esenciales de este proceso de solución. Por lo general se emplea una convención de signos de estática en la solución de las reacciones de los apoyos; las fuerzas que actúan en las direcciones positivas de los ejes coordenados se consideran positivas, y se utiliza la regla de la mano derecha para los vectores de momento.

Fuerzas de reacción y condiciones de apoyo Para satisfacer las ecuaciones de equilibrio, resulta esencial una fijación apropiada del cuerpo o estructura. Se debe presentar un arreglo y número suficiente de apoyos para evitar que el cuerpo rígido se mueva bajo la acción de las fuerzas estáticas. Una fuerza de reacción en un apoyo se representa mediante una sola flecha atravesada por una raya diagonal (vea la figura 1-3), mientras que una restricción de momento en el apoyo se representa mediante una doble flecha (bicéfala) o una flecha curvada con una raya diagonal. Las fuerzas y momentos de reacción a menudo son resultado de la acción de fuerzas aplicadas de los tipos antes descritos (es decir, fuerzas concentradas, distribuidas, superficiales y de volumen).

Se pueden suponer diversas condiciones de apoyo, dependiendo de si el problema es bidimensional o tridimensional. Los apoyos A y F de la estructura de armadura plana bidimensional que se muestran en las figuras 1-1 y 1-3 apoyos articulados, mientras que se puede considerar que la base de la estructura tridimensional del anuncio de la figura 1-2 es un apoyo fijo o empotrado. En la tabla 1-1 se presentan algunas de las idealizaciones más comunes de los apoyos en dos y tres dimensiones, así como las interconexiones entre los miembros o elementos de una estructura. Las fuerzas transmitidas y momentos, relacionados con cada tipo de apoyo o conexión, aparecen en la tercera columna de la tabla (sin embargo, no son DCL). Las fuerzas y momentos en la reacción para la estructura tridimensional del anuncio de la figura 1-2 se muestran en el DCL de la figura 1.4a; solo las reacciones Ry, Rz y Mx son diferentes de cero, ya que la estructura del anuncio y la carga del viento son simétricas respecto al plano yz. Si el anuncio es excéntrico en relación con el poste (figura 1.4b), solo la reacción Rx es igual a cero en caso de que la carga del viento sea en la dirección z. (Vea los problemas 1.8-19 y 1.9-17 al final del capítulo 1, donde encontrará un examen más detallado de las fuerzas de reacción provocadas por la presión del viento al actuar sobre varias estructuras de anuncios similares al que se muestra en la figura 1-2; también se calculan las fuerzas y esfuerzos en los pernos de la placa base).

FIGURA 1-4

y

(a) DCL de la estructura simétrica de un anuncio, y (b) DCL de la estructura excéntrica de un anuncio.

y Ws Ws P P

Wp

Wp

H Mx

Mx Rz

Rz z

Ry

x

z

Ry

Mz

x

My (a)

(b) Reg. 300 CDL © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

02.08.2019

7

8/2

8

Capítulo 1 Tensión, compresión y cortante

Tabla 1-1 Tipo de apoyo o conexión

Diagrama simplificado de apoyo o conexión

1. Apoyo de rodillo: se desarrolla una sola fuerza de reacción R que es normal con respecto a la superficie de rodadura; la fuerza R se opone al movimiento hacia dentro o fuera de la superficie de rodadura. La superficie de rodadura puede ser horizontal, vertical o inclinada en algún ángulo u. Si hay fricción, entonces incluya una fuerza F opuesta al movimiento del apoyo y tangencial a la superficie de rodadura. En tres dimensiones, el rodillo se mueve en el plano xz y la reacción Ry es normal con respecto a ese plano.

Archivo en línea de The Earthquake Engineering

(a) Apoyo de rodillo bidimensional (fuerza de fricción F 5 0 para superficie de rodadura lisa). y

Puente con apoyo de rodillo (vea 1.1, 1.2).

(1.1) (1.2) (1.3) Apoyo horizontal de rodillo [(1.1), (1.2)]; o representación alternativa como apoyo de balancín [(1.3)].

Tanto los movimientos hacia abajo como hacia arriba están restringidos.

x

F R

y Rx

x

F y x 𝜃

Restricciones verticales de rodillo.

F

R

Puente con apoyo de balancín (vea 1.3).

(b) Apoyo de rodillo tridimensional (fuerza de fricción F 5 0 para superficie de rodadura lisa; la reacción Ry actúa normal con respecto al plano xz en el que el rodillo realiza el movimiento de traslación).

Apoyo de rodillo girado o inclinado. y

y

F z

x Ry

z

Apoyo de rodillo 3D.

x

2. Apoyo articulado: una sola fuerza resultante que, por lo general, se muestra con dos componentes rectangulares Rx y Ry en dos dimensiones, pero tres componentes en tres dimensiones, resiste el movimiento en cualquier dirección normal con respecto al pasador. El apoyo articulado no puede resistir el momento, y el pasador puede girar libremente sobre el eje z. En 3D, el perno se convierte en una articulación o apoyo de rótula.

Archivo en línea de The Earthquake Engineering.

Modelo de fuerzas de reacción y condiciones de apoyo en análisis estático bidireccional o tridimensional.

Representación de las fuerzas y momentos de restricción, o las fuerzas de conexión

(a) Apoyo articulado bidimensional.

y x

Pasador bidimensional.

Rx

Reg. 300 CDL © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

02.08.2019

Ry

8/2

Sección 1.3 Repaso de estática

y

© David Chapman/Alamy Stock Photo.

y

Rx

x

Ry (b) Apoyo articulado tridimensional.

Modelo de articulación de rótula (montura de cámara, 3D).

x

z

y

Modelo de articulación de rótula.

Pelvis

Rz

Articulación artificial de cadera

Rx Ry

z

x

Fémur (hueso del muslo)

Prótesis para reemplazo de cadera.

3. Apoyo deslizante: un apoyo que se traslada sin rotación es un apoyo deslizante. Por ejemplo, un collarín que se desliza a lo largo de un manguito o una brida que se mueve dentro de una ranura. Las reacciones en dos dimensiones son una fuerza Rx normal con respecto al manguito y un momento Mz que representa la resistencia a la rotación en relación con el manguito. En tercera dimensión, el apoyo deslizante se traslada sobre el plano yz sin fricción y los componentes del momento de reacción My y Mz impiden la rotación en relación con ese plano. (a) Apoyo deslizante bidimensional (el apoyo se traslada sobre un camino sin fricción a lo largo de la dirección 1y o 2y).

y

y

x

Mz

Manguito sin fricción en eje vertical.

Apoyo deslizante para base de lámpara de columna.

Rx

x

Apoyo deslizante bidimensional.

La fricción F se opone al movimiento en la dirección 1y en 2D a lo largo de la superficie de deslizamiento; F es igual a cero si se supone que la superficie es lisa.

F (b) Apoyo deslizante tridimensional (el apoyo se traslada sobre el plano yz sin fricción). y

En 3D, añada el momento de restricción Mx para impedir la rotación sobre el eje x.

My

Rx

x

Mz

z

(Continúa)

Reg. 300 CDL © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

02.08.2019

9

8/2

Capítulo 1 Tensión, compresión y cortante

Tipo de apoyo o conexión

Diagrama simplificado de apoyo o conexión

Representación de las fuerzas y momentos de restricción, o las fuerzas de conexión

4. Apoyo fijo: no hay traslación o rotación entre el elemento y el apoyo fijo. Esto requiere tres componentes de reacción en 2D: los componentes de fuerza Rx y Ry y el momento Mz. En 3D, se requieren tres componentes de fuerza de reacción y tres componentes de momento de reacción. (a) Apoyo fijo bidimensional. y Mz

Franco Nadalin/Shutterstock.com.

A Soldadura

x

Rx Ry

Poste

Bolardo de acero anclado en concreto.

Placa base

Elemento horizontal y

Radovan1/Shutterstock.com.

x Rx Mz Ry

Muelle de concreto

Columna atornillada a la zapata.

Apoyo fijo en la base del poste de un anuncio.

Elemento vertical (b) Apoyo fijo tridimensional. y

x Rz Mz z

Ry

Rx

Mx

My

5. Apoyo elástico o de resorte: en 2D, puede haber un resorte de traslación longitudinal o normal o una combinación de ambos. En el caso de los resortes lineales, la reacción del apoyo en la base del resorte es el producto de la constante de resorte k multiplicada por el desplazamiento d en la dirección del eje del resorte. Si el nodo A se desplaza en las direcciones 1x (dx) y 1y (dy), se crean las fuerzas de reacción Rx y Ry en direcciones –x y –y respectivamente, en los apoyos de los resortes de traslación lineal. Por otra parte, el apoyo puede fijarse con un pasador para la traslación, pero tiene un momento de resorte kr para la rotación.

Si el nodo A gira alrededor del eje 1z (uz), se crea el momento de reacción Mz en la dirección –z en la base del resorte rotacional. En 3D, un apoyo totalmente elástico consiste en tres resortes traslacionales (kx, ky, kz) y tres resortes rotacionales (krx, kry, krz), y un desplazamiento arbitrario del nodo produce tres fuerzas de reacción y tres momentos de reacción. En el límite, a medida que cada valor de la constante de resorte se acerca al infinito, el apoyo elástico se convierte en un apoyo totalmente fijo como el que se muestra en la sección 4b anterior.

En 3D, añadir resorte en dirección (a) Resorte traslacional (k) en 2D. 1z kz con fuerza de reacción \ Rz 5 2kzdz. \ $ En 3D, añadir el resorte rota[ cional de flexión en dirección 1y 5[ – N[ [ [ N[ kry con el momento de reacción N\ Mi 5 2kryuy y añadir el resorte rotacional de torsión en dirección Apoyo de resorte traslacional para 1x con el momento de reacción 5\ – N\ \ equipo pesado.

Mx 5 2krxux.

Nipon Laicharoenchokchai/ Shutterstock.com.

10

Reg. 300 CDL © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

02.08.2019

8/2

montego/ Shutterstock.com.

SecciĂłn 1.3 Repaso de estĂĄtica

Los resortes de torsiĂłn se encuentran en persianas y como parte del mecanismo de elevaciĂłn en los sistemas elĂŠctricos de apertura de puertas de garajes.

(b) Resorte rotacional (kr) en 2D.

z

y kr

A

x

Resorte rotacional en una pinza de ropa.

Rx Ry Mz â&#x20AC;&#x201C;kr z

Š Paul Rollins/Alamy Stock Photo.

6. Apoyo de ruedas sobre riel: este es una forma especial del apoyo de rodillo tridimensional (vea la secciĂłn 1b anterior). Ahora el movimiento general en el plano xz estĂĄ limitado por la fuerza normal Ry y la fuerza lateral Rx; ambas actĂşan de forma normal con respecto al riel o ranura en que se desplaza la rueda. Si se considera la fricciĂłn, se aĂąade la fuerza de fricciĂłn F a lo largo del riel en la direcciĂłn opuesta a la traslaciĂłn de la rueda.

La rueda se desliza sobre el riel o la ranura a lo largo del eje z; no se toma en cuenta la fuerza de fricciĂłn opuesta al movimiento; Rx es la fuerza de restricciĂłn lateral, Ry es la fuerza normal.

y z x

y

Rx Ry

Rx

x

Ry

SecciĂłn transversal del riel guĂ­a.

7. Apoyo de cojinete de empuje: un cojinete de empuje restringe el movimiento de traslaciĂłn a lo largo del eje, al tiempo que permite que el movimiento de rotaciĂłn ocurra alrededor de ese eje. Los componentes de fuerza y momento de reacciĂłn del apoyo actĂşan en todas las direcciones, excepto en el momento de reacciĂłn Mx 5 0 en el eje de empuje (en ausencia de fricciĂłn). Un caso especial es el cojinete de deslizamiento para el cual el componente de restricciĂłn de empuje axial Rx 5 0.

dcwcreations/Shutterstock.com.

El cojinete de empuje tiene componentes de fuerza y momento de reacciĂłn (Rx, Ry, Rz) y (My, Mz), respectivamente; no hay momento Mx sobre el eje de empuje o rotaciĂłn (x).

Cojinete de apoyo.

El cojinete de deslizamiento no tiene fuerza de reacciĂłn de empuje axial (Rx 5 0) ademĂĄs de (Mx 5 0).

y My Ry

y My

Rx

Ry

Rz Mz

Rz Mz

Rx

z x

z

Reg. 300 CDL Š D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

02.08.2019

x

11

8/2

12

Capítulo 1 Tensión, compresión y cortante

Fuerzas internas (resultantes de tensión) La mecánica de materiales trata del estudio de las deformaciones de los componentes o elementos que constituyen el cuerpo deformable en su totalidad. Con el fin de calcular la deformación de los elementos, primero se encuentran las fuerzas y momentos internos (es decir, las resultantes de tensión internas) en los puntos clave a lo largo de los elementos de toda la estructura. Es útil elaborar representaciones gráficas de la fuerza axial interna, del momento de torsión, del cortante transversal y del momento de flexión a lo largo del eje de cada elemento del cuerpo, para identificar con facilidad los puntos o zonas críticos dentro de la estructura. El primer paso es realizar un corte de sección normal con respecto al eje de cada elemento para poder elaborar un DCL que muestre las fuerzas internas pertinentes. Por ejemplo, en la figura 1-5 se muestran dos cortes hechos a través de los elementos ED y DF de la armadura plana; los DCL resultantes se pueden utilizar ahora para hallar N, V y M en los elementos ED y DF de la armadura plana. Las resultantes de tensión N, V y M suelen tomarse a lo largo y paralelas al elemento en consideración (es decir, se usan los ejes locales o del elemento), y se emplea una convención de signos de deformación (es decir, la tensión es positiva y la compresión es negativa) en su resolución.

En los siguientes ejemplos se repasa la aplicación de las ecuaciones de equilibrio estático en la solución de reacciones externas y fuerzas internas en armaduras, vigas, ejes circulares y estructuras. Primero se calculan las fuerzas de reacción en una estructura de armaduras y luego se obtienen las fuerzas del elemento utilizando el método de nodos. Es esencial dibujar correctamente los DCL para el proceso general de resolución. El segundo ejemplo requiere el análisis estático de una estructura de viga para encontrar las reacciones y fuerzas internas en una sección específica a lo largo de esta. En el tercer ejemplo se calculan los momentos de torsión reactivo e interno de un eje escalonado. Y por último, el cuarto ejemplo presenta la solución de una estructura de armadura plana.

FIGURA 1-5 Diagrama de cuerpo libre para las resultantes de tensión interna en ED y DF.

Fq2 q2

V M M N

Fq0

D

q0

Dy M M N

E

N Fy

V

DCLED

V N

V

Dy

Fx

F

DCLDF

Dx Dx

C

q1

D

Fq2

B y FB x

MA

Ax

A Ay

Reg. 300 CDL © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

02.08.2019

8/2

Sección 1.3 Repaso de estática

13

Ejemplo 1-1 La armadura plana que se muestra en la figura 1-6 tiene cuatro nodos y cinco elementos. Encuentre las reacciones de los apoyos en los nodos A y B. Después siga los métodos de nodos y secciones para hallar todas las fuerzas que actúan sobre los elementos. Sea P 5 35 kips y c 5 10 ft.

FIGURA 1-6 Modelo de armadura plana.

y P C b

2P θC = 80° a

Solución: θB = 40°

θA = 60° A

B

D c/2

x

c/2

FIGURA 1-7 Diagrama de cuerpo libre del modelo de armadura.

y P

b

C

2P θC = 80° a θB = 40°

θA = 60°

Ax A

B

D

By

Ay c/2

c/2

Siga este método de cuatro pasos para resolver el problema.

1. Conceptualizar [hipotetizar, bosquejar]: en primer lugar, trace un diagrama de cuerpo libre de todo el modelo de la armadura (figura 1-7). Solo se muestran las fuerzas aplicadas conocidas en C y las fuerzas de reacción desconocidas en A y B que luego se utilizan en el análisis de equilibrio para encontrar las reacciones.

2. Categorizar [simplificar, clasificar]: el equilibrio general requiere que los componentes de fuerza en las direcciones x y y, y el momento en el eje z sumen cero; esto lleva a los componentes de fuerza de reacción Ax, Ay y By. La armadura es estáticamente determinada (incógnitas: m 1 r 5 5 1 3 5 8; variables conocidas: 2j 5 8), por lo que todas las fuerzas de los elementos pueden obtenerse a través del método de nodos. Si solo son de interés algunas fuerzas de elementos seleccionados, se puede utilizar el método de secciones. Use una convención de signos de estática x al calcular reacciones externas y una convención de signos de deformación al resolver las fuerzas sobre los elementos.

3. Analizar [evaluar; seleccionar ecuaciones relevantes, obtener una solución matemática]: primero encuentre las longitudes de los elementos AC y BC que se necesitan para calcular las distancias a las líneas de acción de las fuerzas.

Ley de los senos para hallar las longitudes de los miembros a y b: use los ángulos conocidos uA, uB y uC y c 5 10 ft para encontrar las longitudes a y b: b 5c

sen(u B ) sen(u A ) sen(408 ) sen(608 ) 5 (10 ft) 5 6.527 ft, a 5 c 5 (10 ft) 5 8.794 ft sen(uC ) sen(uC ) sen(808 ) sen(808 )

Utilice la ley de los cosenos para comprobar que las longitudes calculadas a y b dan la longitud c: c 5 (6.527 ft)2 1 (8.794 ft)2 2 2(6.527 ft)(8.794 ft) cos(808 ) 5 10 ft Reacciones del apoyo: utilice el diagrama de cuerpo libre del modelo de la armadura de la figura 1-7 para sumar las fuerzas en las direcciones x y y, y los momentos en el nodo A: 1 SM A 5 0 B y 5 [ P ( b cos(u A )) 1 2 P ( b sen(u A )) ] 5 51 kips c Ax 522 P 5 270 kips SFx 5 0 SFy 5 0

Ay 5 P 2 B y 5 216 kips

Los componentes de fuerza de reacción Ax y Ay son negativos, por lo que actúan en las direcciones negativas x y y, respectivamente, con base en la convención de signos de estática.

Reg. 300 CDL © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

02.08.2019

8/2

Capítulo 1 Tensión, compresión y cortante

FIGURA 1-8 y

Diagrama de cuerpo libre de pasador en cada nodo de la armadura.

P C AC Ax = –70 kips A

2P CD

BC BC

60° AD 80° 100° BD 40° D Ay = –16 kips

B

x

By = 51 kips

Fuerzas del elemento por el método de nodos: para empezar, dibuje diagramas de cuerpo libre del perno en cada nodo (figura 1-8). Use una convención de signos de deformación en la que se suponga que cada elemento está en tensión (de modo que las flechas de fuerza de los elementos actúan en sentido contrario a los dos nodos a los que está conectado cada elemento). Las fuerzas son concurrentes en cada nodo, por lo que se usa el equilibrio de fuerzas en cada uno para encontrar las fuerzas desconocidas de los elementos.

Primero sume las fuerzas en dirección y en el nodo A para encontrar la fuerza del elemento AC, y luego sume las fuerzas en la dirección x para obtener la fuerza del elemento AD: 21 SFy 5 0 AC 5 A 5 18.46 kips sen(608 ) y SFx 5 0 AD 5 2Ax 2AC cos(608 ) 5 60.8 kips Se suman las fuerzas en el nodo B para obtener las fuerzas de los elementos BC y BD: 21 SFy 5 0 BC 5 B 5 279.3 kips sen(408 ) y SFx 5 0 BD 5 2BC cos(408 ) 5 60.8 kips

FIGURA 1-9 Corte de sección que produce el diagrama de cuerpo libre derecho.

El signo menos significa que el elemento BC está en compresión, y no en tensión como se había supuesto.

Por último, observe que CD es un elemento de fuerza cero porque la suma de las fuerzas en dirección y debe ser igual a cero en el nodo D.

y

Fuerzas de elementos seleccionados por el método de secciones: un método alternativo consiste en realizar C 2P un corte transversal en toda la estructura para dejar θC = 80° BC al descubierto las fuerzas de los elementos de intea rés, como AD, CD y BC en la figura 1-9. La suma CD θA = 60° de momentos alrededor del nodo B confirma que la Ax = –70 kips A B x fuerza del elemento CD es cero.

D AD By = 51 kips La suma de los momentos alrededor del nodo C Ay = –16 kips (que no aparece en el diagrama de cuerpo libre, pero c/2 c/2 es un punto conveniente alrededor del cual sumar los momentos porque las fuerzas CD y BC actúan a través del nodo C) confirma la solución de la fuerza AD como sigue: P

b

14

SMC 5 0 AD 5

1 ⎡ B ( a ) cos(408 ) ⎤ 5 60.8 kips ⎦ bsen(608 ) ⎣ y

Reg. 300 CDL © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

02.08.2019

8/2

Sección 1.3 Repaso de estática

Por último, la suma de los momentos alrededor de A en la figura 1-9 confirma la fuerza del elemento BC: SM A 5 0 BC 5

1 [2B y c ] 5 279.3 kips c sen(408 )

4. Finalizar [concluir; analizar la respuesta: ¿tiene sentido?, ¿son correctas las unidades?, ¿cómo se compara con las soluciones de otros problemas similares?]: hay dos ecuaciones de equilibrio 2j 5 8 para la armadura plana sencilla en consideración, y por medio del método de nodos, estas se obtienen aplicando ΣFx 5 0 y ΣFy 5 0 en cada nodo en sucesión. Una solución computarizada de estas ecuaciones simultáneas produce las fuerzas de reacción y cinco fuerzas de elementos. El método de secciones es una forma eficiente de encontrar las fuerzas de elementos seleccionados. Un paso fundamental es la selección de un corte transversal apropiado, que aísla el elemento de interés y elimina la mayor cantidad de incógnitas posible. Esto va seguido del dibujo de un diagrama de cuerpo libre para utilizarlo en el análisis de equilibrio estático para calcular la fuerza del elemento en cuestión. Se utilizaron los métodos de secciones y nodos, un enfoque de resolución común en el análisis de armaduras planas y tridimensionales.

Ejemplo 1-2 En los puntos A y B se apoya una viga simple con un voladizo (figura 1-10). Una carga distribuida que varía linealmente, de intensidad máxima q0 5 160 N/m actúa sobre el tramo AB. El momento concentrado M0 5 380 N · m se aplica en A, y una carga concentrada inclinada P 5 200 N actúa en C. La longitud del segmento AB es L 5 4 m, y la longitud del voladizo BC es de 2 m.

Encuentre las reacciones de los apoyos en A y B y luego calcule la fuerza axial N, la fuerza cortante V y el momento de flexión M en el centro de AB.

FIGURA 1-10

M0

Viga con voladizo y cargas uniformes y concentradas.

P

q0

4 B

3 C

L

A

L/2

Solución: Siga este método de cuatro pasos para resolver el problema.

1. Conceptualizar [hipotetizar, bosquejar]: encuentre las fuerzas de reacción Ay, Bx y By por medio del DCL de la estructura general que se muestra en la figura 1-11. La fuerza axial interna N, la fuerza cortante V y el momento de flexión M en el centro de AB (figura 1-12) se obtienen con el corte de la viga en ese punto.

El diagrama de cuerpo libre izquierdo o derecho de la figura 1-12 puede utilizarse para encontrar N, V y M.

Reg. 300 CDL © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

02.08.2019

15

8/2

16

Capítulo 1 Tensión, compresión y cortante

FIGURA 1-11

M0

Diagrama de cuerpo libre de viga.

q0 4P/5 B

A

L

Bx

Ay

3P/5 C

L/2 By

FIGURA 1-12 Diagramas de cuerpo libre izquierdo y derecho del corte transversal en el centro de AB.

M0

q0 /2

M

M

q0 /2

q0 4P/5 B

A

L/2

V

N N V

Ay

L/2 B x

3P/5 L/2

C

By

2. Categorizar [simplificar, clasificar]: los diagramas de cuerpo libre de la figura 1-12 muestran la fuerza axial interna N, la fuerza cortante V y el momento de flexión M en sus direcciones positivas supuestas con base en una convención de signos de deformación. Para empezar, encuentre las reacciones en Ay, Bx y By, y luego use el diagrama de cuerpo libre izquierdo o derecho de la figura 1-12 para obtener N, V y M. 3. Analizar [evaluar; seleccionar ecuaciones relevantes, obtener una solución matemática]: Solución para reacciones externas: sume las fuerzas en dirección x para encontrar las reacciones del componente Bx. A continuación, sume los momentos alrededor de A para encontrar el componente de reacción By. Por último, sume las fuerzas en dirección y para obtener la reacción Ay. Utilice una convención de signos de estática en la solución como: 3 P 5 120 N 5 1 1 L 2L 4 SM A 5 0 B y 5 ⎡⎢M 0 1 q0 L ( ) 1 P ( L 1 ) ⎤⎥ 5 548 N L⎣ 2 3 5 2 ⎦ 4 1 SFy 5 0 Ay 5 2B y 1 q0 L 1 P 5 268 N( ↓ ) 2 5 La reacción Ay es negativa, por lo que según la convención de signos de estática, tiene acción descendente. Los componentes de reacción Bx y By son positivos, por lo que actúan en las direcciones mostradas en las figuras 1-11 y 1-12. La SFx 5 0

Bx 5

fuerza de reacción resultante en B es Bres 5 Bx2 1 B y2 5 561 N. Solución para la fuerza axial interna N, la fuerza cortante V y el momento M en el centro de AB: si se utiliza el diagrama de cuerpo libre izquierdo de la figura 1-12: 1 q0 L 5 2148 N( ↑ ) 2 2 2 L 1 q L 1 L⎤ SM 5 0 M 5 M 0 1 Ay 2 0 ⎡⎢ 5 190 N ? m 2 2 2 2 ⎣ 3 2 ⎥⎦ SFx 5 0 N 5 0 SFy 5 0 V 5 Ay 2

Por otra parte, N, V y M también se pueden obtener si se emplea el diagrama de cuerpo libre derecho (figura 1-12). Tenga en cuenta que el segmento de carga

Reg. 300 CDL © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

02.08.2019

8/2

17

Sección 1.3 Repaso de estática

distribuida trapezoidal se trata como dos cargas triangulares cuando se suman los momentos para encontrar el momento interno M: 3 4 1 ⎡q ⎤L N 5 Bx 2 P 5 0 SFy 5 0 V 5 2B y 1 P 1 ⎢ 0 1 q0 ⎥ 5 2148 N( ↓ ) 5 5 2⎣ 2 ⎦2 1 q0 L ⎡ 1 L ⎤ 1 L ⎡2 L ⎤ L 4 ⎡L L⎤ SM 5 0 M 5 B y 2 P ⎢ 1 ⎥ 2 2 q0 ⎢ 5 190 N ⋅ m 2 5 ⎣2 2⎦ 2 2 2 ⎢⎣ 3 2 ⎥⎦ 2 2 ⎣ 3 2 ⎥⎦ SFx 5 0

El signo menos en la fuerza cortante interna V muestra que actúa en sentido contrario al supuesto en la figura 1-12, según indican las flechas de las ecuaciones anteriores.

4. Finalizar [concluir; analizar la respuesta: ¿tiene sentido?, ¿son correctas las unidades?, ¿cómo se compara con las soluciones de otros problemas similares?]: los resultados muestran que las fuerzas internas calculadas (N y V) y el momento interno (M) pueden determinarse tanto con el diagrama de cuerpo libre izquierdo como con el derecho. Esto aplica a cualquier sección tomada a través de la viga en cualquier punto sobre su longitud. Las gráficas o diagramas que muestran la variación de N, V y M sobre la longitud de la viga son muy útiles en el diseño de ejes y vigas, ya que muestran de inmediato las zonas críticas de la viga donde N, V y M tienen los valores máximos.

Ejemplo 1-3 Un eje circular escalonado está fijo en A y tiene tres engranes que transmiten los torques que se muestran en la figura 1-13. Encuentre el torque de reacción MAx en A, y calcule los momentos de torsión internos en los segmentos AB, BC y CD. Utilice en su solución diagramas de cuerpo libre trazados de forma apropiada.

FIGURA 1-13 Eje circular escalonado sometido a torques concentrados.

MAx

17 000 lb-in A 9 000 lb-in

5 000 lb-in

B C

x D

Reg. 300 CDL © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

02.08.2019

8/2

18

Capítulo 1 Tensión, compresión y cortante

Solución: Siga este método de cuatro pasos para resolver el problema y hallar los momentos de torsión internos T(x).

1. Conceptualizar [hipotetizar, bosquejar]: la estructura del eje en voladizo es estable y estáticamente determinada. La solución para el momento de reacción en A(MAx) debe comenzar con el trazo correcto del DCL de toda la estructura (figura 1-14). El DCL muestra todos los torques aplicados y de reacción.

Para obtener DCL por separado que muestren los torques internos T en cada segmento, corte el eje en las regiones AB, BC y CD en sucesión que se presentan en la figura 1-15(a-c). Cada corte produce un diagrama de cuerpo libre izquierdo y derecho.

FIGURA 1-14 Diagrama de cuerpo libre del eje.

MAx A

17 000 lb-in

9 000 lb-in

5 000 lb-in x

B

C

D

FIGURA 1-15 (a, b, c) Diagramas de cuerpo libre izquierdo y derecho MAx para cada segmento del eje.

A

TAB

17 000 lb-in

9 000 lb-in

5 000 lb-in x

B

C

D

9 000 lb-in

5 000 lb-in x

C

D

DCL izquierdo

DCL derecho (a)

17 000 lb-in

MAx A

TBC B

DCL izquierdo

DCL derecho (b)

17 000 lb-in

MAx A

9 000 lb-in B

C

DCL izquierdo

D DCL derecho

(c)

Reg. 300 CDL © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

TCD

5 000 lb-in x

02.08.2019

8/2

Sección 1.3 Repaso de estática

2. Categorizar [simplificar, clasificar]: el eje está sometido a torques aplicados que actúan a lo largo del centroide del eje, por lo que solo el momento de torsión interno T(x) está presente en cualquier sección cortada a lo largo del mismo.

No hay torque distribuido que actúe sobre este eje, por lo que el momento de torsión interno T es constante dentro de cada segmento.

3. Analizar [evaluar; seleccionar ecuaciones relevantes, obtener una solución matemática]: Solución del momento de reacción externo MAx: Sume los momentos alrededor del eje x para encontrar el momento de reacción MAx. Esta estructura es estáticamente determinada, porque hay una ecuación estática disponible ( SM x 5 0) y una incógnita de reacción (MAx). Se utiliza una convención de signos de estática (es decir, la regla de la mano derecha o en sentido opuesto a las agujas del reloj es positivo).

MAx 2 17 000 lb-in 1 9 000 lb-in 1 5 000 lb-in 5 0 MAx 5 2(217 000 lb-in 1 9 000 lb-in 1 5 000 lb-in) 5 3 000 lb-in El resultado calculado para MAx es positivo, por lo que el vector del momento de reacción está en dirección positiva x, como se supuso.

Solución de los momentos de torsión internos T para cada segmento del eje: Comience con el segmento AB y utilice cualquiera de los dos DCL de la figura 1-15a para encontrar: DCL izquierdo

DCL derecho

TAB 5 2MAx 5 23 000 lb-in

TAB 5 217 000 lb-in 1 9 000 lb-in

1 5 000 lb-in 5 23 000 lb-in A continuación, considere el segmento BC. Sume los momentos alrededor del eje x en la figura 1-15b para obtener: DCL izquierdo

DCL derecho

TBC 5 2MAx 1 17 000 lb-in

TBC 5 9 000 lb-in 1 5 000 lb-in

5 14 000 lb-in

5 14 000 lb-in

Por último, el equilibrio del momento alrededor del eje x conduce a una solución del momento de torsión interno en el segmento CD: DCL izquierdo

DCL derecho

TCD 5 2MAx 1 17 000 lb-in

TCD 5 5 000 lb-in

29 000 lb-in 5 5 000 lb-in En cada segmento, los momentos de torsión internos calculados con el diagrama de cuerpo libre izquierdo o derecho son iguales.

4. Finalizar [concluir; analizar la respuesta: ¿tiene sentido?, ¿son correctas las unidades?, ¿cómo se compara con las soluciones de otros problemas similares?]: el segmento BC tiene el momento de torsión interno positivo máximo, y el segmento AB tiene el momento de torsión negativo máximo. Esta información es importante para el diseñador del eje. Es esencial contar con diagramas de cuerpo libre bien dibujados para llegar a la solución correcta. Se puede utilizar el diagrama de cuerpo libre izquierdo o derecho para encontrar el torque interno en cualquier sección.

Reg. 300 CDL © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

02.08.2019

19

8/2

20

Capítulo 1 Tensión, compresión y cortante

Ejemplo 1-4 La armadura plana con voladizo está soportada en los puntos A y D (figura 1-16).

(Se trata de la viga del ejemplo 1-2, a la que se le ha añadido la columna BD). Una carga distribuida, que varía linealmente, de intensidad pico q0 5 160 N/m actúa sobre el tramo AB. El momento concentrado M 0 5 380 N ? m se aplica en A, y una carga concentrada inclinada P 5 200 N actúa en C. La fuerza P también actúa a media altura de la columna BD. Las longitudes de los segmentos AB y BD son L 5 4 m, y la longitud del voladizo BC es de 2 m.

Encuentre las reacciones de los apoyos en A y D y luego calcule la fuerza axial N, la fuerza cortante V y el momento de flexión M en el punto más alto de la columna BD.

FIGURA 1-16

M0

Armadura plana con voladizo y cargas uniformes y concentradas.

P

q0

4 B

3 C

L

A

L/2

L/2 P y x

L/2

D

Solución: El método de cuatro pasos para resolver el problema de esta armadura plana sigue los procedimientos presentados para la viga del ejemplo 1-2.

1. Conceptualizar [hipotetizar, bosquejar]: encuentre las fuerzas de reacción Ay, Dx y Dy usando el DCL de la estructura general que se muestra en la figura 1-17.

La fuerza axial interna N, la fuerza cortante V y el momento de flexión M en lo alto de la columna BD (figura 1-18) se obtienen al cortar la columna en ese punto. Vea la columna BD con el nodo D a la izquierda y B a la derecha para establecer las direcciones positivas supuestas de N, V y M en cualquiera de los lados de la sección transversal, como se muestra en la figura 1-18.

2. Categorizar [simplificar, clasificar]: encuentre primero las reacciones Ay, Dx y Dy. Luego use el diagrama de cuerpo libre superior o inferior de la figura 1-18 para encontrar N, V y M. Los diagramas de cuerpo libre de la figura 1-18 muestran la fuerza axial interna N, la fuerza cortante V y el momento de flexión M en sus direcciones positivas supuestas con base en una convención de signos de deformación.

Reg. 300 CDL © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

02.08.2019

8/2

Sección 1.3 Repaso de estática

FIGURA 1-17

M0

Diagrama de cuerpo libre de la armadura plana.

q0 4P/5 B

3P/5

A L

L/2

C

Ay L/2 P

L/2

D Dx Dy

FIGURA 1-18 Diagramas de cuerpo libre superior e inferior del corte transversal en lo alto de BD.

M0

q0 4P/5 B

3P/5

A L Ay

L/2 M

C

V N N

M V L/2

P

L/2 D Dx Dy

3. Analizar [evaluar; seleccionar ecuaciones relevantes, obtener una solución matemática]: Solución para reacciones externas: sume las fuerzas en dirección x para encontrar la fuerza de reacción componente Dx. A continuación, sume los momentos alrededor de D para encontrar el componente de reacción Ay.

Reg. 300 CDL © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

02.08.2019

21

8/2

22

Capítulo 1 Tensión, compresión y cortante

Por último, sume las fuerzas en dirección y para obtener la reacción Dy. Utilice una convención de signos de estática en la solución como sigue: 3 P 1 P 5 320 N 5 ⎤ ⎡L⎤ 1⎡ 1 1 4 ⎡L⎤ 3 SM D 5 0 Ay 5 ⎢2M 0 1 q0 L ⎢ ⎥ 1 P 2 P ⎢ ⎥ 1 PL ⎥ 5 152 N ⎣3⎦ ⎦ 2 L⎣ 2 5 ⎣2⎦ 5 1 4 SFy 5 0 Dy 5 2Ay 1 q0 L 1 P 5 328 N 2 5 SFx 5 0 Dx 5

Todos los componentes de fuerza de reacción son positivos, por lo que actúan en las direcciones que se muestran en las figuras 1-17 y 1-18. La fuerza de reacción resultante en D es Dres 5 Dx2 1 Dy2 5 458 N. Solución para la fuerza axial interna N, la fuerza cortante V y el momento M en la parte superior de la columna BD: utilizando el diagrama de cuerpo libre inferior de la figura 1-18: SFy 5 0 N 5 2Dy 5 2328 N SFx 5 0 V 5 2Dx 1 P 5 2120 N SM 5 0 M 5 2Dx L 1 P

L 5 2880 N ? m 2

Por otra parte, N, V y M también se pueden obtener si se emplea el diagrama de cuerpo libre superior (figura 1-18): 1 4 3 SFy 5 0 N 5 Ay 2 q0 L 2 P 5 2328 N SFx 5 0 V 5 2 P 5 2120 N 2 5 5 L 4 L 1 SM 5 0 M 5 2M 0 2 Ay L 2 P 1 q0 L ⎢⎡ ⎤⎥ 5 2880 N ? m 5 2 2 ⎣3⎦ El signo menos en la fuerza axial interna N, la fuerza cortante V y el momento M indica que las tres cantidades actúan en sentido contrario a las direcciones supuestas en la figura 1-18.

4. Finalizar [concluir; analizar la respuesta: ¿tiene sentido?, ¿son correctas las unidades?, ¿cómo se compara con las soluciones de otros problemas similares?]: las fuerzas internas calculadas (N y V) y el momento interno (M) en la parte superior de la columna BD pueden determinarse tanto con el diagrama de cuerpo libre inferior como con el superior. Las fuerzas y momentos de sección en cualquier otro punto de la armadura se encuentran siguiendo el mismo método. Un primer paso importante en la solución es contar con un diagrama de cuerpo libre bien dibujado.

1.4 Esfuerzo y deformación unitaria normales Ahora que se conocen las fuerzas de reacción e internas gracias a la estática, es momento de examinar con mayor detenimiento las acciones internas en un cuerpo deformable determinado. Los conceptos básicos de la mecánica de materiales son el esfuerzo y la deformación unitaria. Estos conceptos se pueden ilustrar en su forma más elemental, considerando una barra prismática sometida a fuerzas axiales. Una barra prismática es un elemento estructural recto que tiene la misma sección transversal en toda su longitud, y una fuerza axial es una carga dirigida a lo largo del eje Reg. 300 CDL © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

02.08.2019

8/2

Sección 1.4 Esfuerzo y deformación unitaria normales

23

FIGURA 1-19 Elementos estructurales sometidos a cargas axiales (la barra de arrastre está en tensión y el puntal del tren de aterrizaje en compresión).

Puntal del tren de aterrizaje Barra de arrastre

del elemento, lo que da como resultado tensión o compresión en la barra. FIGURA 1-20 En la figura 1-19 se muestran ejemplos donde la barra de arrastre es un ele- Barra prismática en tensión: (a) diagrama mento prismático en tensión, y el puntal del tren de aterrizaje del avión es un de cuerpo libre de un segmento de la elemento en compresión. Otros ejemplos son los elementos de la armadura de barra, (b) segmento de la barra antes de la un puente, las bielas en motores de automóviles, los rayos de las ruedas aplicación de las cargas, (c) segmento de la barra después de la aplicación de las de bicicletas, las columnas en edificios y los puntales de las alas de aviones cargas y (d) esfuerzos normales en la barra. pequeños.

P Para efectos explicativos, se considera la barra de arrastre de la figura P 1-19 de la que se aislará un segmento como cuerpo libre (figura 1-20a). Al (a) dibujar este DCL, no se toma en cuenta el peso de la barra y se supone que las únicas fuerzas activas son las fuerzas axiales P en los extremos. Luego considere dos vistas de la barra: la primera muestra la misma barra antes de L que se apliquen las cargas (figura 1-20b), y la segunda, después de aplicar las (b) cargas (figura 1-20c). La longitud original de la barra se denota con la letra L y el incremento en longitud debido a las cargas se denota con la letra griem ga d (delta).

P P Las acciones internas en la barra quedan expuestas si se realiza un corte n imaginario a través de ella en la sección mn (figura 1-20c). Debido a que esta L+δ sección se toma perpendicularmente al eje longitudinal, se denomina sec(c) ción transversal.

Ahora se aísla la parte de la barra a la izquierda de la sección transversal m mn como un cuerpo libre (figura 1-20d). En el extremo derecho de este cuerP P po libre (sección mn) se puede apreciar la acción de la parte eliminada de la n P d σ =— barra (es decir, la parte a la derecha de la sección mn) sobre la parte restante.

A Esta acción consiste en esfuerzos distribuidos en forma continua que actúan (d) sobre toda la sección transversal y la fuerza axial P que actúa en la sección transversal es la resultante de dichos esfuerzos (la fuerza resultante se muestra con una línea discontinua en la figura 1-20d).

El esfuerzo tiene unidades de fuerza por unidad de área y se denota con la letra griega s (sigma). En general, los esfuerzos s que actúan sobre una superficie plana pueden ser uniformes en toda el área o variar en intensidad de un punto a otro. Suponga que los esfuerzos que actúan sobre la sección transversal mn (figura 1-20d) están distribuidos uniformemente sobre el área. Por lo tanto, la resultante de estos esfuerzos debe ser igual a la magnitud del esfuerzo por el área de la sección transversal A de la barra, es decir, P 5 sA. Por lo tanto, se obtiene la expresión siguiente para la magnitud de los esfuerzos: P s5 (1-6) A Esta ecuación expresa la intensidad del esfuerzo uniforme en una barra prismática con sección transversal arbitraria cargada axialmente.

Reg. 300 CDL © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

02.08.2019

8/2

24

Capítulo 1 Tensión, compresión y cortante

Cuando las fuerzas P estiran la barra, se trata de esfuerzos de tensión. Si se invierte la dirección de las fuerzas, la barra se comprime y se tienen esfuerzos de compresión. Puesto que los esfuerzos actúan en dirección perpendicular a la superficie cortada, se denominan esfuerzos normales. Los esfuerzos normales pueden ser de tensión o de compresión. Los esfuerzos cortantes, que se estudian en la sección 1.8, actúan paralelos a la superficie.

Se acostumbra definir los esfuerzos de tensión como positivos y los esfuerzos de compresión como negativos. Puesto que el esfuerzo normal s se obtiene al dividir la fuerza axial entre el área de la sección transversal, tiene unidades de fuerza por unidad de área. El esfuerzo suele expresarse en libras por pulgada cuadrada (psi) o kips por pulgada cuadrada (kpsi).1 Por ejemplo, suponga que la barra de la figura 1-20 tiene un diámetro d de 2.0 in y que la carga P tiene una magnitud de 6 kips. Entonces el esfuerzo en la barra es:

s5

P P 6k 5 5 5 1.91 kpsi (o 1 910 psi) A p d 2 /4 p (2.0 in) 2 /4

En este ejemplo el esfuerzo es de tensión o positivo.

Cuando se utilizan unidades del sistema internacional (SI), la fuerza se expresa en newtons (N) y el área en metros cuadrados (m2). En consecuencia, el esfuerzo tiene unidades de newtons por metro cuadrado (N/m2), es decir, pascales (Pa). Sin embargo, el pascal es una unidad de esfuerzo tan pequeña que es necesario trabajar con múltiplos grandes, por lo general con el megapascal (MPa).

Un pascal es tan pequeño que se necesitan casi 7 000 pascales para formar 1 psi.2 El esfuerzo en la barra descrita en el ejemplo anterior (1.91 kpsi) se convierte en 13.2 MPa, que es igual a 13.2 3 106 pascales. Aunque no se recomienda emplearlo en el SI, algunas veces el esfuerzo se expresa en newtons por milímetro cuadrado (N/mm2), que es una unidad igual al megapascal (MPa).

Limitaciones

FIGURA 1-21 Barra de ojo hecha de acero sometida a cargas de tensión P.

b P

P

La ecuación s 5 P/A solo es válida si el esfuerzo está uniformemente distribuido sobre la sección transversal de la barra. Esta condición se cumple si la fuerza axial P actúa en el centroide del área de la sección transversal, como se demuestra más adelante en esta sección. Sin embargo, en este libro (así como en la práctica común) se entiende que las fuerzas axiales se aplican en los centroides de las secciones transversales, a menos que se indique otra cosa.

La condición de esfuerzo uniforme representada en la figura 1-20d existe en toda la longitud de la barra, excepto cerca de los extremos. La distribución del esfuerzo en el extremo de la barra depende de cómo se transmite la carga P a la barra. Si la carga está uniformemente distribuida sobre el extremo, el patrón de esfuerzos será el mismo que en otras partes. Sin embargo, es más probable que la carga se transmita mediante un pasador o un perno, produciendo esfuerzos muy localizados denominados concentraciones de esfuerzos.

Una posibilidad se ilustra mediante la barra de ojo de la figura 1-21. En este caso, las cargas P se transmiten a la barra mediante pasadores que pasan por los orificios (u ojos) en los extremos de la barra. Por lo tanto, las fuerzas que se muestran en la figura en realidad son las resultantes de las presiones ejercidas entre los pasadores y la barra de ojo, y la distribución de esfuerzo alrededor de los orificios es muy compleja.

1

Un kip, o kilolibra, es igual a 1 000 lb.

Los factores de conversión entre las unidades del sistema inglés y las unidades del SI se presentan en la tabla A-5, apéndice A.

2

Reg. 300 CDL © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

02.08.2019

8/2

Sección 1.4 Esfuerzo y deformación unitaria normales

No obstante, al alejarse de los extremos hacia el centro de la barra, la distribución del esfuerzo tiende paulatinamente a la distribución uniforme representada en la figura 1-20d.

Como regla práctica, se puede emplear con buena precisión la fórmula s 5 P/A en cualquier punto dentro de una barra prismática que esté alejado de la concentración de esfuerzos al menos una distancia igual a la dimensión lateral mayor de la barra. En otras palabras, la distribución del esfuerzo en la barra de ojo de la figura 1-21 es uniforme en distancias b o mayores desde los extremos agrandados, donde b es el ancho de la barra, y la distribución del esfuerzo en la barra prismática de la figura 1-20 es uniforme a distancias d o mayores desde los extremos, donde d es el diámetro de la barra (figura 1-20d). Por supuesto, aunque el esfuerzo no esté distribuido uniformemente, la ecuación s 5 P/A sigue siendo útil, debido a que proporciona el esfuerzo normal promedio sobre la sección transversal.

Deformación unitaria normal Como ya se observó, una barra recta cambia de longitud al cargarla axialmente, haciéndose más larga en tensión y más corta en compresión. Por ejemplo, considere de nuevo la barra prismática de la figura 1-20. El alargamiento d de esta barra (figura 1-20c) es el resultado acumulado del estiramiento de todos los elementos del material en todo el volumen de la barra. Suponga que el material es el mismo en toda la barra.

Entonces, si se considera la mitad de la barra (longitud L/2) tendrá un alargamiento igual a d/2, y si se considera un cuarto de la barra tendrá un alargamiento igual a d/4.

En general, el alargamiento de un segmento es igual a su longitud dividida entre la longitud total L y multiplicada por el alargamiento d. En consecuencia, una unidad de longitud de la barra tendrá un alargamiento igual a 1/L 3 d. Esta cantidad se denomina alargamiento por unidad de longitud, o deformación unitaria, y se denota con la letra griega « (épsilon). La deformación unitaria está dada por la ecuación: «5

d L

(1-7)

Si la barra está en tensión, la deformación unitaria se denomina deformación unitaria por tensión, que representa un alargamiento o estiramiento del material. Si la barra está en compresión, la deformación unitaria es una deformación unitaria por compresión y la barra se acorta. En general, la deformación unitaria por tensión se considera positiva, y la deformación unitaria por compresión, negativa. La deformación unitaria « se denomina deformación unitaria normal, debido a que se relaciona con los esfuerzos normales.

Como la deformación unitaria normal es la razón de dos longitudes, es una cantidad adimensional, es decir, no tiene unidades. Por lo tanto, la deformación unitaria se expresa simplemente como un número, independiente del sistema de unidades que se utilice. Los valores numéricos de la deformación unitaria suelen ser muy pequeños, debido a que las barras hechas de materiales estructurales solo experimentan cambios pequeños de longitud cuando se someten a cargas.

Como ejemplo, considere una barra de acero con longitud L igual a 2.0 m. Al ser sometida a una carga de tensión muy pesada, podría alargarse 1.4 mm, lo que significa que la deformación unitaria es: «5

d 1.4 mm 5 5 0.0007 5 700 3 1026 L 2.0 m

En la práctica, las unidades originales de d y L algunas veces se dan en la deformación unitaria misma, y entonces esta se registra en formas como mm/m, mm/m e in/in.

Reg. 300 CDL © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

02.08.2019

25

8/2

26

Capítulo 1 Tensión, compresión y cortante

Por ejemplo, la deformación unitaria « en el ejemplo anterior podría expresarse como 700 mm/m o 700 3 10 6 in/in. Además, en ocasiones la deformación unitaria se expresa como un porcentaje, en especial cuando las deformaciones unitarias son grandes (en el ejemplo anterior, la deformación unitaria es 0.07%).

Esfuerzo y deformación unitaria uniaxiales Las definiciones de esfuerzo normal y deformación unitaria normal se basan en consideraciones puramente estáticas y geométricas, lo que significa que las ecuaciones (1-6) y (1-7) se pueden usar para cargas de cualquier magnitud y para cualquier material. El requisito principal es que la deformación de la barra sea uniforme en todo su volumen, lo que a su vez requiere que la barra sea prismática, que las cargas actúen por los centroides de las secciones transversales, y que el material sea homogéneo (es decir, que sea el mismo en todas las partes de la barra). El estado resultante de esfuerzo y deformación unitaria se denomina esfuerzo y deformación unitaria uniaxiales (aunque también existe la deformación unitaria lateral, como se estudia en la sección 1.7).

Línea de acción de las fuerzas axiales para una distribución uniforme del esfuerzo En el análisis anterior del esfuerzo y la deformación unitaria en una barra prismática, se supuso que el esfuerzo normal s estaba distribuido uniformemente sobre su sección transversal. Observe que esta condición se cumple si la línea de acción de las fuerzas axiales pasa por el centroide del área de la sección transversal.

Considere una barra prismática con sección transversal de forma arbitraria, sometida a fuerzas axiales P que producen esfuerzos s distribuidos uniformemente (figura 1-22a). Sea p1 el punto en la sección transversal donde la línea de acción de las fuerzas se interseca con la sección transversal (figura 1-22b). Se traza un conjunto de ejes xy en el plano de la sección transversal y se denotan las coordenadas del punto p1 con x– y y–. Para calcular estas coordenadas, se observa que los moFIGURA 1-22 mentos Mx y My de la fuerza P alrededor de los ejes x y y, respectivamente, Distribución uniforme del esfuerzo en una deben ser iguales a los momentos correspondientes de los esfuerzos distribarra prismática: (a) fuerzas axiales P, y (b) sección transversal de la barra. buidos de manera uniforme.

Los momentos de la fuerza P son: P

M x 5 Py

M y 5 2Px

(1-8a,b)

P

donde un momento se considera positivo cuando su vector (según la regla de la mano derecha) actúa en la dirección positiva del eje correspondiente.

Los momentos de los esfuerzos distribuidos se obtienen integrando sobre el área de la sección transversal A. La fuerza diferencial que actúa sobre un elemento del área dA (figura 1-22b) es igual a sdA. Los momentos de esta fuerza elemental alrededor de los ejes x y y son sydA y 2sxdA, respectivamente, donde x y y denotan las coordenadas del elemento dA. Los momentos totales se obtienen integrando sobre el área de la sección transversal:

=P A (a) y x x– A

dA p1

O

–y

y

µ

M x 5 s ydA

µ

M y 5 2 s xdA

(1-8c,d)

x (b)

Estas expresiones dan los momentos producidos por los esfuerzos s.

Reg. 300 CDL © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

02.08.2019

8/2

Sección 1.4 Esfuerzo y deformación unitaria normales

En seguida igualamos los momentos Mx y My que se obtuvieron de la fuerza P (ecuaciones 1-8a y b) a los momentos obtenidos a partir de los esfuerzos distribuidos (ecuaciones 1-8c y d):

µ

µ

Py 5 s ydA Px 5 2 s xdA

Como los esfuerzos s están distribuidos uniformemente, son constantes sobre el área A de la sección transversal y pueden colocarse fuera de los signos de integración.

Además, s es igual a P/A. Por lo tanto, se obtienen las fórmulas siguientes para las coordenadas del punto p1:

y5

µ ydA A

x 5

µ xdA

(1-9a,b)

A

Estas ecuaciones son iguales a las que definen las coordenadas del centroide de un área (vea las ecuaciones D-3a, b en el apéndice D). Por consiguiente, la conclusión importante en este caso es: Para tener tensión o compresión uniforme en una barra prismática, la fuerza axial debe actuar a través del centroide del área de la sección transversal.

Siempre suponga que estas condiciones se cumplen, a menos que se indique otra cosa.

Los siguientes ejemplos ilustran el cálculo de esfuerzos y deformaciones unitarias en barras prismáticas. En el primer ejemplo se ignora el peso de la barra, y en el segundo se incluye (cuando se resuelven problemas del libro, es habitual despreciar el peso de la estructura a menos que se dé la instrucción específica de incluirlo).

Ejemplo 1-5 Un resorte elástico descansa sobre una placa base que se encuentra en la parte superior del tubo rígido B (vea la figura 1-23). El resorte está dentro del tubo rígido A, pero es más largo que el tubo A por una cantidad s. Entonces se aplica la fuerza P a la placa de tapa para comprimir el resorte. Ambos tubos tienen un diámetro exterior dO, pero los diámetros interiores son dA y dB para los tubos A y B, respectivamente.

Suponga que la rigidez del resorte k 5 24 kips/in, dO 5 3 in, dA 5 2.5 in, dB 5 2.25 in y s 5 0.125 in. (a) Si se aplica la carga P 5 2 500 lb, ¿cuáles son los esfuerzos axiales normales en los tubos A y B? (b) Repita la parte (a) si P 5 5 000 lb. (c) ¿Cuánto mide P si la tensión normal en el tubo A es de 800 psi? ¿Cuál es el esfuerzo asociado en el tubo B?

Reg. 300 CDL © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

02.08.2019

27

8/2

28

Capítulo 1 Tensión, compresión y cortante

FIGURA 1-23

FIGURA 1-24

Resorte elástico dentro de tubos rígidos.

(a, b) Diagramas de cuerpo libre (x < s, x 5 s).

P

Placa de tapa

P

x<s

P

x =s

s k Tubo rígido A dA

NA = P – Ns

NA = 0 Ns = kx

Ns = ks

NB = P

NB = P

Placa base dO

Tubo rígido B dB

R=P

R=P

(a)

(b)

Solución: Siga el método de cuatro pasos para resolver problemas.

1. Conceptualizar [hipotetizar, bosquejar]: los dos posibles estados del ensamblaje se muestran en los diagramas de cuerpo libre de la figura 1-24. En la figura 1-24a, una sección superior cortada a través del resorte y del tubo A crea un diagrama de cuerpo libre superior que revela una fuerza del resorte (k)(x) para el caso de desplazamiento hacia abajo de la tapa x que es menor que el ancho de la abertura s. En la figura 1-24b, el desplazamiento de la tapa x es igual al ancho de la abertura s, por lo que la fuerza del resorte ahora es igual a (k) (s). La figura 1-24 también muestra diagramas de cuerpo libre inferiores para ambos casos en los que se corta una sección del tubo B muestra que la fuerza de compresión interna en el tubo B es igual a la carga aplicada P (las fuerzas internas en los tubos A y B se muestran como dos flechas, una en cada pared del tubo, lo que indica que las fuerzas NA y NB son en realidad fuerzas uniformemente distribuidas que actúan en la sección transversal circular de cada tubo).

2. Categorizar [simplificar, clasificar]: la fuerza P necesaria para cerrar la abertura s es (k)(s). Es también la fuerza máxima que se puede desarrollar en el resorte. Si la fuerza P aplicada es demasiado pequeña para cerrar la abertura s, la fuerza P se transferirá a la placa base hacia el tubo rígido B; el tubo A no se verá afectado por la carga. Sin embargo, si la fuerza P es lo suficientemente grande para comprimir el resorte y cerrar la abertura s, el resorte y el tubo A compartirán la carga P aplicada a la placa de tapa y juntos la transferirán al

Reg. 300 CDL © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

02.08.2019

8/2

MECÁNICA DE MATERIALES NOVENA EDICIÓN

Barry J. Goodno | James M. Gere La mecánica de materiales es una asignatura básica en diversas ingenierías como mecánica, estructural, civil, biomédica, petrolera, nuclear, aeronáutica y aeroespacial, entre otras que involucran la resistencia y el desempeño físico de estructuras tanto creadas por el hombre como naturales.

Esta novena edición de Mecánica de materiales comienza con una sección actualizada de estática y con los conocimientos necesarios para la comprensión del tema central de esta obra para presentar después los temas principales de la materia como análisis y diseño de elementos estructurales sujetos a tensión, compresión, torsión y flexionamiento, incluyendo sus conceptos fundamentales. Además, se abordan las transformaciones de esfuerzo y deformación, cargas y esfuerzos combinados, deflexiones de vigas y estabilidad de columnas.

Características de esta nueva edición: • • • • •

•

Enfoque de cuatro pasos para resolver problemas.

Repaso de estática enriquecido con nuevos ejemplos y problemas que ayudarán al estudiante a comprender mejor los temas que aborda este libro.

Reseñas y resúmenes de capítulo más amplios que incluyen ecuaciones y figuras clave. Énfasis continuo en conceptos fundamentales subyacentes en la solución de problemas.

Actualización y mejora de temas como: concentraciones de esfuerzos en barras axialmente cargadas; torsión de ejes no circulares; concentraciones de esfuerzos en flexionamiento; análisis de secciones transformadas para vigas compuestas; fórmula de flexión generalizada para vigas asimétricas; y disposiciones de código actualizado para pandeo de columnas de acero, aluminio y madera.

Más de 400 problemas nuevos y revisados organizados en orden de dificultad.

Los estudiantes de ingeniería se beneficiarán de los más de 1 440 problemas que se presentan en esta obra y que permiten poner en práctica los conocimientos adquiridos.

ISBN-13: 978-607-526-828-6 ISBN-10: 607-526-828-6

Visite nuestro sitio en: http://latinoamerica.cengage.com Reg. 300 CDL © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

02.08.2019