Modelización matricial

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Modelización matricial

Juan Carlos Del Valle Sotelo t Rubén Darío Santiago Acosta

Muestra digital ISSUU © D.R. 2020 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Todos los derechos reservados. No puede ser copiado, escaneado o duplicado, total o parcialmente.10/06/2020


ModelizaciĂłn matricial

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Modelización matricial Juan Carlos Del Valle Sotelo t Rubén Darío Santiago Acosta

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Modelización matricial Juan Carlos Del Valle Sotelo, RubÊn Darío Santiago Acosta Director Higher Education LatinoamÊrica: Renzo Casapía Valencia Gerente editorial LatinoamÊrica: -HVŸV 0DUHV &KDF¾Q Editora: Cinthia Chåvez Ceballos Coordinador de manufactura: Rafael PÊrez Gonzålez Diseùo de portada: Ediciones OVA Imagen de portada plutmaverick / Shutterstock.com &RPSRVLFL¾Q WLSRJU£ȴFD Humberto Núùez Ramos

Š D.R. 2021 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compaùía de Cengage Learning, Inc.�� &DUUHWHUD 0ÂŤ[LFR 7ROXFD QÂźP RČ´FLQD �� &RO (O <DTXL 'HO &XDMLPDOSD & 3 Ciudad de MĂŠxico. Cengage LearningÂŽ es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podrĂĄ ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea JUÂŁČ´FR HOHFWUÂľQLFR R PHFÂŁQLFR LQFOX\HQGR pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, UHSURGXFFLÂľQ HVFDQHR GLJLWDOL]DFLÂľQ �� JUDEDFLÂľQ HQ DXGLR GLVWULEXFLÂľQ HQ ΖQWHUQHW �� GLVWULEXFLÂľQ HQ UHGHV GH LQIRUPDFLÂľQ R �� DOPDFHQDPLHQWR \ UHFRSLODFLÂľQ HQ VLVWHPDV�� GH LQIRUPDFLÂľQ D H[FHSFLÂľQ GH OR SHUPLWLGR en el CapĂ­tulo III, ArtĂ­culo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial. 'DWRV SDUD FDWDORJDFLÂľQ ELEOLRJUÂŁČ´FD Del Valle Sotelo Juan Carlos, RubĂŠn DarĂ­o Santiago Acosta�� 0RGHOL]DFLÂľQ PDWULFLDO ISBN: 978-607-526-945-2 Visite nuestro sitio en: http://latinoamerica.cengage.com

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PrĂłlogo

De acuerdo con las Ăşltimas tendencias en educaciĂłn, esta obra se creĂł tomando en cuenta los lineamientos del modelo de aprendizaje basado en retos, el cual tiene como objetivo fundamental asegurar competencias sĂłlidas e integrales en los alumnos universitarios. Este libro pretende servir de base a los estudiantes y de apoyo a los profesores para alcanzar los objetivos y propĂłsitos de la materia correspondiente. ModelizaciĂłn matricial estĂĄ dividido en un capĂ­tulo de introducciĂłn y cuatro mĂłdulos. En el primero se tratan los temas elementales de matrices a nivel bĂĄsico e introductorio; con el objetivo de hacer naturales los tĂłpicos que en los mĂłdulos se estudiarĂĄn formalmente y con mayor profundidad. En el mĂłdulo 1 se establecen los temas de matrices, sistemas lineales y transformaciones lineales. Lo propio se hace en el mĂłdulo 2 para los temas de matrices invertibles y determinantes. En el tercer mĂłdulo se estudia la relaciĂłn de los sistemas lineales con factorizaciĂłn matricial y la resoluciĂłn de sistemas ralos por medio de mĂŠtodos iterativos, haciendo ĂŠnfasis en la relevancia numĂŠrica que tienen por medio de la programaciĂłn en Matlab de los algoritmos: mĂŠtodo de Gauss, mĂŠtodo de Jacobi y mĂŠtodo de Gauss-Seidel, que este apartado contiene. El Ăşltimo mĂłdulo trata el tema de desigualdades lineales desde la perspectiva de la programaciĂłn lineal, comenzando con el enfoque geomĂŠtrico, pasando por el mĂŠtodo simplex y terminando con dualidad. •ȹꗊ•ȹÂ?ÂŽČąÂŒÂŠÂ?Šȹ–à Â?ž•˜ȹ¢ȹÂ?ÂŽÂ•ČąÂŒÂŠÂ™Ă‡Â?ÂžÂ•Â˜ČąÂ’Â—Â?›˜Â?žŒÂ?Â˜Â›Â’Â˜Ç°ČąÂœÂŽČąÂ‘ÂŠÂ—ČąÂŒÂ˜Â•Â˜ÂŒÂŠÂ?Â˜ČąÂœÂŽÂŒÂŒÂ’Â˜Â—ÂŽÂœČąÂ?ÂŽČąÂŠÂŒÂ?Â’Â&#x;Â’dades y ejercicios. La mayorĂ­a de las actividades estĂĄ diseĂąada para estudio y realizaciĂłn de manera individual o por equipos —a criterio del tutor de la materia— con la mĂ­nima intervenciĂłn del profesor. El objetivo de la mayorĂ­a de ĂŠstas es que los estudiantes deÂœÂŠÂ›Â›Â˜Â•Â•ÂŽÂ—ČąÂŒÂ˜Â–Â™ÂŽÂ?ÂŽÂ—ÂŒÂ’ÂŠÂœČąÂŠÂ™Â•Â’ÂŒÂŠÂ—Â?Â˜ČąÂ•Â˜ÂœČąÂŒÂ˜Â—Â?Ž—’Â?Â˜ÂœČąÂ?Žȹ•Šȹ–ŠÂ?ÂŽÂ›Â’ÂŠČąÂŽÂ—ČąÂœÂ’Â?ÂžÂŠÂŒÂ’Â˜Â—ÂŽÂœČąÂŽÂœÂ™ÂŽÂŒĂ‡Ä™ÂŒÂŠÂœČą de ingenierĂ­a, fĂ­sica, economĂ­a o de las propias matemĂĄticas. Otras de las actividades tienen el propĂłsito de que los estudiantes desarrollen competencias a travĂŠs del uso de tecnologĂ­a con Matlab, ya sea usando directamente las utilidades de este paquete o realizando programas en el mismo. Los ejercicios estĂĄn diseĂąados para que los estudiantes, al resolverlos, aprendan y apliquen contenidos, desarrollen las subcompetencias correspondientes y sean capaces de mostrar, al nivel requerido, la adquisiciĂłn de las mismas en las evaluaciones argumentativas que realicen en su curso. AdemĂĄs, la obra cuenta con dos apĂŠndices, A y B. El primero es un breve manual de ŠÂ?Â•ÂŠÂ‹ČąÂšÂžÂŽČąÂŒÂ˜Â—Â?Â’ÂŽÂ—ÂŽČąÂ•Â˜ČąÂ—ÂŽÂŒÂŽÂœÂŠÂ›Â’Â˜ȹ¢ȹœžęŒ’Ž—Â?ÂŽČąÂ™ÂŠÂ›ÂŠČąÂšÂžÂŽČąÂŽÂ•ČąÂŽÂœÂ?žÂ?’Š—Â?ŽȹŠ™›Ž—Â?ÂŠÇ°ČąÂ™Â˜Â›ČąÂŒÂžÂŽÂ—Â?Šȹ propia, todo lo que requiera la materia y el texto, de esta potente herramienta computacional; incluye, por ejemplo, un programa elemental e interactivo (Gauss_Jordan.m) para que el estudiante, al ejecutarlo, pueda de manera muy amigable practicar el mĂŠtodo de Gauss para reducir una matriz a forma escalonada, escalonada reducida o calcular la inversa de una matriz, con operaciones de renglĂłn ejecutadas por la computadora con instrucciones del usuario paso a paso. Mientras que el apĂŠndice B es un breve curso de la herramienta Solver de Excel para que el estudiante pueda aprender, por sĂ­ solo, a resolver numĂŠricamente en computadora problemas de programaciĂłn lineal, que por contener muchas variables y restricciones son virtualmente imposibles de solucionar manualmente. v Muestra digital ISSUU Š D.R. 2020 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Todos los derechos reservados. No puede ser copiado, escaneado o duplicado, total o parcialmente.10/06/2020


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ȱ ȱ ȱ Ĵ DZȦȦ ǯ ǯ Ȧ £ Ȭ ȱ ȱ ȱ disponibles recursos adicionales para profesores y estudiantes. Modelización matricial es, antes que nada, un libro de texto, y como tal ha sido concebido; esto implica que los temas son tratados con formalidad, rigor matemático y pro ǰȱ ȱ ȱ Ç ǯȱ ȱ ǰȱ ¤ȱ Û ȱ ȱĚ ¡ ȱ ȱ ȱ ȱ profesor maneje —por cuestión de limitaciones en tiempo— de acuerdo a su criterio los contenidos. Por ejemplo, podría tratarse el enfoque geométrico de programación lineal, aplicar la técnica de aprendizaje invertido para el apéndice B, e ir directamente a la solución de problemas de programación lineal con Solver. El estudiante tendrá siempre a la mano, en este texto, los temas que no se trataron con profundidad para estudiarlos cuando se presente la necesidad en otras materias, bloques, estudios de posgrado o en su ȱ¢ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ę ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Dzȱ ȱ ǰȱ ȱę ȱ ȱ ¡ ǰȱ ȱ ¢ ȱ ȱ Ç ȱȯ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ libro—, en la cual el estudiante puede profundizar, ampliar conocimientos y consultar otros enfoques. Albergamos la esperanza de que Modelización matricial cumpla el propósito principal para el cual fue diseñado; apoye al profesor en la labor docente de la materia; y que tenga una vida útil para el estudiante no sólo a lo largo de la materia, sino también en otras materias y bloques y después en su carrera profesional; pues para este objetivo también fue creado. Ciudad de México, enero de 2020 Juan Carlos Del Valle Sotelo, Rubén Darío Santiago Acosta

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Agradecimientos

Deseamos primeramente agradecer a RamĂłn OrduĂąa, JesĂşs Mares, Cinthia ChĂĄvez y Norma Amezola de Cengage por todo el apoyo que hemos recibido para la ediciĂłn de este libro, sin su apoyo la realizaciĂłn de esta obra no habrĂ­a sido posible. Šȹ –Š¢Â˜Â›Ă‡ÂŠČą Â?ÂŽČą Â•ÂŠÂœČą Ä™Â?ÂžÂ›ÂŠÂœČą Â?ÂžÂŽÂ›Â˜Â—Čą ›ŽŠ•’£ŠÂ?ÂŠÂœČą žÂ?’•’£Š—Â?Â˜Čą Â•Â˜ÂœČą ™›˜Â?Â›ÂŠÂ–ÂŠÂœČą Š ÂŽ Â’ Ç°Čą ÂŽ ŠÂ?Ç°Čą Ç°Čą ÂŽ ŠÂ?Ĺ™Ĺ˜ČąÂ˜Čą Š ÂŽ ČŹ DzȹÂ?ÂŽÂœÂŽÂŠÂ–Â˜ÂœČąÂ?ÂŠÂ›ČąÂŒÂ›¡Â?Â’Â?˜ȹ¢ȹ›ŽŒ˜—˜Œ’–’Ž—Â?Â˜Čą ÂŠČąÂ•Â˜ÂœČąÂŠÂžÂ?Â˜Â›ÂŽÂœČąÂ?ÂŽČąÂŽÂœÂ?Â˜ÂœČąÂ™ÂŠÂšÂžÂŽÂ?ÂŽÂœȹȯÂ?ÂŽČąÂ?Â’ÂœÂ?Â›Â’Â‹ÂžÂŒÂ’Ă Â—ČąÂ?›ŠÂ?ž’Â?ÂŠČŻČąÂ™Â˜Â›ČąÂ•ÂŠČąÂ–ÂŠÂ?Â—Ă‡Ä™ÂŒÂŠČąÂ?Š›ŽŠȹšžŽȹ han realizado en esas herramientas de dibujo en el ambiente LŃŽ E Ç°ČąÂ•ÂŠÂœČąÂŒÂžÂŠÂ•ÂŽÂœČąÂ?ŠŒ’•’Â?ÂŠÂ›Â˜Â—Čą Ž—˜›–Ž–Ž—Â?ŽȹŽ•ȹÂ?Â›ÂŠÂ‹ÂŠÂ“Â˜ČąÂ?›¤Ä™ÂŒÂ˜ČąÂŽÂ—ČąÂŽÂœÂ?ÂŽČąÂ•Â’Â‹Â›Â˜ÇŻ ˜Â?Â˜ÂœČą Â•Â˜ÂœČą Â?Â’Â‹ÂžÂ“Â˜ÂœČą Â?ÂŽČą Â•Â˜ÂœČą Œ’›Œž’Â?Â˜ÂœČą Ž•¡ÂŒÂ?Â›Â’ÂŒÂ˜ÂœČą Â•Â˜ÂœČą Â›ÂŽÂŠÂ•Â’ÂŁÂŠÂ›Â˜Â—Čą ’›’Š–ȹ Ž•ȹ Š••Žȹ ¢ȹ Š–Š—Â?‘Šȹ Ž•ȹ Š••Žǯȹ Â˜ÂœČąÂ™Â•ÂŠÂ—Â˜ÂœČąÂŽÂ—ČąÂ?Â›ÂŽÂœČąÂ?Â’Â–ÂŽÂ—ÂœÂ’Â˜Â—ÂŽÂœČąÂ?Žȹ•ŠȹęÂ?ž›Šȹ ÇŻĹ›ČąÂ•Â˜ÂœČąÂŒÂ˜Â—ÂœÂ?›ž¢à ȹ •’¡Â—Čą RodrĂ­guez Del Valle. Miriam y Samantha revisaron la totalidad del texto para localizar erratas. Nuestro mĂĄs sincero agradecimiento a todos ellos por la desinteresada ayuda que nos brindaron.

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Contenido

Prólogo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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I.1 Circuitos eléctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

I.2 Áreas de paralelogramos, volúmenes de paralelepípedos. . . . . . . . . . . .

3

I.3 Sistemas lineales, una introducción al método de Gauss . . . . . . . . . . . . .

5

I.4 Introducción a la regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

I.5 Actividades y ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Actividades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 11 13

Módulo 1: Matrices y sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Definiciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Operaciones con matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Matrices especiales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Propiedades de las operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Forma matricial, matriz aumentada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Matrices y sistemas escalonados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Operaciones de renglón, equivalencia por filas, soluciones de sistemas escalonados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Método de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5 Método de Gauss-Jordan y sistemas con solución única . . . . . . . 1.2.6 Sistemas homogéneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Transformaciones lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15 15 16 18 20 21 21 24

1.3.1 Conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

1.3.2 Representación matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

1.3.3 Imagen de una transformación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Actividades y ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37 45 45 54

26 27 30 33 34

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Módulo 2: Matrices invertibles y determinantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.1 Matrices invertibles y sus inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Definición y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59 59

2.1.2 Matrices invertibles y sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

2.1.3 Método de Gauss-Jordan para hallar la inversa de una matriz. . .

63

2.2 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

2.2.1 Desarrollo por cofactores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

2.2.2 Propiedades de los determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

2.2.3 Método de la adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

2.2.4 Regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

2.3 Actividades y ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

2.3.1 Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

2.3.2 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

Módulo 3: Sistemas lineales y factorización de matrices . . . . . . . . . . . . 87 3.1 Algoritmo de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

3.1.1 Método de Gauss para sistemas lineales de orden n con sustitución regresiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

3.1.2 Programa en Matlab para el método de Gauss . . . . . . . . . . . . . . .

90

3.2 Factorización de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

3.2.1 Factorización LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

3.2.2 Factorización LU y sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

3.2.3 Factorización LU y matriz de permutación . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

3.3 Factorización QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

3.3.1 El espacio

n

y el proceso de ortogonalización. . . . . . . . . . . . . . .

98

3.3.2 Método de factorización QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 3.3.3 Factorización QR y sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3.4 Métodos iterativos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 3.4.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 3.4.2 Método iterativo de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 3.4.3 Método iterativo de Gauss-Seidel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 3.5 Actividades y ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 3.5.1 Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 3.5.2 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

Módulo 4: Programación lineal (solución de desigualdades lineales) . . . . 143 4.1 Enfoque geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 4.2 Método simplex para el problema estándar de programación lineal . . 150 4.3 Restricciones generales y método simplex de dos fases. . . . . . . . . . . . . 162

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4.4 Dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Actividades y ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.2 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

173 177 177 179

A: Matlab y álgebra lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 A.1 A.2 A.3 A.4 A.5 A.6

Interacción con Matlab y almacenamiento de información . . . . . . . . . Escritura de matrices y operaciones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formatos y modo simbólico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matrices especiales, información básica y edición de matrices. . . . . . Operaciones de renglón con Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funciones programadas por el usuario, programación en Matlab y operaciones de renglón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.7 Traza, determinante, rango, inversa y transpuesta . . . . . . . . . . . . . . . . A.8 Forma escalonada reducida, solución de sistemas. . . . . . . . . . . . . . . . A.9 Valores y vectores propios, polinomio característico . . . . . . . . . . . . . . A.10 Factorización QR y factorización LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.11 Live Script . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

187 189 191 193 196 197 206 209 210 213 214

B: Excel, la herramienta Solver y programación lineal . . . . . . . . . . . . . . 217 B.1 Activación/carga de Solver en Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 B.2 La función sumaproducto de Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 B.3 Resolviendo problemas de programación lineal con Solver . . . . . . . . . . 219

Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 Índice analítico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

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IntroducciĂłn

En los primeros dos apartados de este segmento, plantearemos un par de situaciones donde surgen, de manera natural, sistemas lineales y determinantes. En la primera, se harå uso de leyes físicas conocidas para establecer un sistema lineal de ecuaciones cuyas soluciones matemåticas son, precisamente, las soluciones del problema; aunque no se darå —hasta mås adelante— el mÊtodo de solución y únicamente nos limitaremos al planteamiento del modelo matemåtico. La segunda situación utiliza hechos geomÊtricos muy simples, pero servirå para introducir el concepto de determinante mediante årea y volumen. En los restantes pårrafos, introduciremos conceptos clave de este libro en ambientes que le son familiares al lector, con el objetivo de que sea mås natural su conceptualización formal y generalización en los siguientes módulos de este libro.

I.1 Circuitos elĂŠctricos En un circuito elĂŠctrico es posible determinar la corriente en cada una de sus ramas en Â?ÂžÂ—ÂŒÂ’Ă Â—ČąÂ?ÂŽČąÂ•ÂŠÂœČąÂ›ÂŽÂœÂ’ÂœÂ?Ž—Œ’Šœȹ¢ȹÂ&#x;˜•Â?ÂŠÂ“ÂŽÂœÇŻČą ˜—œ’Â?ÂŽÂ›ÂŽÂ–Â˜ÂœČąÂŽÂ•ČąÂŒÂ’Â›ÂŒÂžÂ’Â?Â˜ČąÂŒÂ˜Â—Â?Ž—’Â?Â˜ČąÂŽÂ—ČąÂ•ÂŠČąÄ™Â?ž›Šȹ ÇŻĹ—ÇŻČą El sĂ­mbolo representa una baterĂ­a cuyo potencial elĂŠctrico, o fuerza electromoÂ?›’£ȹǝȚfem HǟǰȹÂœÂŽČąÂ–Â’Â?ŽȹŽ—ȹÂ&#x;˜•Â?’˜œȹǝ ǟDzȹ•Šȹ‹ŠÂ?ÂŽÂ›Ă‡ÂŠČąÂ™Â›Â˜Â?ÂžÂŒÂŽČąÂžÂ—ÂŠČąÂŒÂ˜Â›Â›Â’ÂŽÂ—Â?ŽȹŽ•¡ÂŒÂ?Â›Â’ÂŒÂŠČąÂšÂžÂŽČąÄšÂž¢ÂŽČą hacia afuera de la terminal indicada mediante la lĂ­nea vertical mĂĄs larga o, en forma esquemĂĄtica, . El resistor, representado por el sĂ­mbolo , cuya resistencia es medida en ohmios (:), produce una caĂ­da en el potencial elĂŠctrico gobernada por la ley de Ohm. E

Čš

donde I es la corriente, medida en amperios (A), y Ç°ČąÂ•ÂŠČąÂ›ÂŽÂœÂ’ÂœÂ?ÂŽÂ—ÂŒÂ’ÂŠČąÂ?ÂŽÂ•ČąÂ›ÂŽÂœÂ’ÂœÂ?Â˜Â›ÇŻČą ÂŠÂœČąÄšÂŽÂŒÂ‘ÂŠÂœČą indican las direcciones de las corrientes en el circuito; sin embargo, si despuĂŠs de ser calcu•ŠÂ?ÂŠÂœČąÂŠÂ•Â?ž—ŠȹÂ?ÂŽČąÂŽÂ•Â•ÂŠÂœČąÂ?Â’ÂŽÂ—ÂŽČąÂœÂ’Â?Â—Â˜ČąÂ—ÂŽÂ?ŠÂ?Â’Â&#x;Â˜Ç°ČąÂœÂ’Â?Â—Â’Ä™ÂŒÂŠČąÂšÂžÂŽČąÂ?’Ž—ŽȹÂ?Â’Â›ÂŽÂŒÂŒÂ’Ă Â—ČąÂŒÂ˜Â—Â?›Š›’ŠȹŠȹ•ŠȹšžŽȹ inicialmente se le asignĂł. Los nodos son los puntos donde se unen dos o mĂĄs conductores ÂŽÂ—ČąÂŽÂ•ČąÂŒÂ’Â›ÂŒÂžÂ’Â?Â˜Ç°ČąÂŽÂ—ČąÂ•ÂŠČąÄ™Â?ž›Šȹ ǯŗȹŽ•ȹÂ?’œ™˜œ’Â?Â’Â&#x;Â˜ČąÂ?’Ž—ŽȹÂ?Â˜ÂœČąÂ—Â˜Â?Â˜ÂœČąÂ?Ž—˜Â?ŠÂ?Â˜ÂœČąÂ™Â˜Â›ČąÂ•ÂŠÂœČąÂ•ÂŽÂ?Â›ÂŠÂœČąA y B. Â—ÂŠČąÂ–ÂŠÂ•Â•ÂŠČąÂŽÂ—ČąÂžÂ—ČąÂŒÂ’Â›ÂŒÂžÂ’Â?Â˜ČąÂŽÂœČąÂŒÂžÂŠÂ•ÂšÂžÂ’ÂŽÂ›ČąÂ›ÂŽÂŒÂ˜Â›Â›Â’Â?Â˜ČąÂŒÂ˜Â—Â?žŒÂ?Â˜Â›ČąÂŒÂŽÂ›Â›ÂŠÂ?Â˜Ç°ČąÂŽÂ—ČąÂ•ÂŠČąÄ™Â?ž›Šȹ ǯŗȹ•ŠȹÂ?›Šyectoria A B C D A es una malla de esta red. Para resolver un circuito elĂŠctrico se usan las ••Š–ŠÂ?ÂŠÂœČąÂ•ÂŽ¢ÂŽÂœČąÂ?ÂŽČą Â’Â›ÂŒÂ‘Â‘Â˜Ä›Çą K1Ȳȹ —ȹÂ?˜Â?Â˜ČąÂ—Â˜Â?Â˜ČąÂ•ÂŠČąÂœÂžÂ–ÂŠČąÂ?ÂŽČąÂ•ÂŠÂœČąÂŒÂ˜Â›Â›Â’ÂŽÂ—Â?ÂŽÂœČąÂŽÂ—Â?›Š—Â?ÂŽÂœČąÂŽÂœČąÂ’Â?ÂžÂŠÂ•ČąÂŠČąÂ•ÂŠČąÂœÂžÂ–ÂŠČąÂ?ÂŽČąÂ•ÂŠÂœČąÂŒÂ˜Â›Â›Â’ÂŽÂ—Â?ÂŽÂœČą salientes. K2Ȳȹ —ȹÂ?˜Â?Šȹ–Š••ŠȹÂ?ÂŽÂ•ČąÂŒÂ’Â›ÂŒÂžÂ’Â?Â˜ČąÂ•ÂŠČąÂœÂžÂ–ÂŠČąÂŠÂ•Â?ÂŽÂ‹Â›ÂŠÂ’ÂŒÂŠČąÂ?ÂŽČąÂ•ÂŠÂœČąÂ?ÂžÂŽÂ›ÂŁÂŠÂœČąÂŽÂ•ÂŽÂŒÂ?›˜–˜Â?Â›Â’ÂŒÂŽÂœČąÂŽÂœČąÂ’Â?žŠ•ȹ a la suma algebraica de las caĂ­das de potencial en cada resistencia. Esto es, en una –Š••ŠȹÂ?ŠÂ?Šǹ ÂŚ Hj Čš

Œ Ij “Ț Ț

Čš

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donde las Hj son las fuerzas electromotrices en cada baterĂ­a, y los factores en los productos IjČą j estĂĄn formados por las resistencias j de los resistores que estĂĄn en la malla y las respectivas intensidades de corriente Ij šžŽȹ̞¢ÂŽÂ—ČąÂŽÂ—ČąÂŒÂŠÂ?Šȹž—Šȹ de ellos. Para resolver un circuito elĂŠctrico es conveniente tener presentes los siguientes ™ž—Â?Â˜ÂœÇą 13 V D

C

2Ί

I1 3Ί A

B I2 1Ί

4Ί I3 E

F 14 V

Figura I.1

1. Cuando se aplica la ley K2 en una malla, se elige positivo un sentido de recorrido, por ejemplo, la direcciĂłn en sentido contrario al que avanzan las manecillas del reloj, y —ŽÂ?ŠÂ?Â’Â&#x;Â˜Ç°ČąÂŽÂ•ČąÂœÂŽÂ—Â?Â’Â?Â˜ČąÂ˜Â™ÂžÂŽÂœÂ?Â˜ÇŻČą —Â?Â˜Â—ÂŒÂŽÂœÇ°ČąÂœÂ’ČąÂžÂ—ÂŠČąÂŒÂ˜Â›Â›Â’ÂŽÂ—Â?ÂŽČąÂŽÂœÂ?¤ȹÂŽÂ—ČąÂŒÂ˜Â—Â?Â›ÂŠÄšÂžÂ“Â˜ČąÂŠČąÂ•ÂŠČąÂ?’›ŽŒciĂłn elegida, se considera con signo negativo para calcular la caĂ­da de potencial en las resistencias que ella atraviesa. De manera similar, toda fuerza electromotriz cuya corriente de salida estĂŠ en sentido contrario a la direcciĂłn elegida como positiva, se considera negativa. 2. Si un circuito tiene n nodos, la ley K1 se debe aplicar Ăşnicamente a cualquier subconjunto de n – Ĺ—ČąÂ—Â˜Â?˜œDzȹÂ™ÂžÂŽÂœČąÂ•ÂŠČąÂŽÂŒÂžÂŠÂŒÂ’Ă Â—ČąÂšÂžÂŽČąÂœÂŽČąÂ˜Â‹Â?Ž—Â?ÂŠČąÂŒÂ˜Â—ČąÂŽÂœÂ?Šȹ›ŽÂ?Â•ÂŠČąÂŽÂ—ČąÂŽÂ•ČąÂ—Â˜Â?Â˜Čąn serĂĄ redundante. 3. La ley K2 se debe aplicar a cada una de las mallas que forman el circuito. Ejemplo 1 ÂœÂ?ÂŠÂ‹Â•ÂŽÂŒÂŽÂ›Ç°ČąÂžÂ?’•’£Š—Â?Â˜ČąÂ•ÂŠÂœČąÂ•ÂŽ¢ÂŽÂœČąÂ?ÂŽČą Â’Â›ÂŒÂ‘Â‘Â˜Ä›Ç°ČąÂžÂ—ČąÂœÂ’ÂœÂ?Ž–ŠȹÂ?ÂŽČąÂŽÂŒÂžÂŠÂŒÂ’Â˜Â—ÂŽÂœČąÂŒÂž¢ÂŠÂœČą soluciones sean las corrientes IjČąÂ?ÂŽÂ•ČąÂŒÂ’Â›ÂŒÂžÂ’Â?Â˜ČąÂŒÂ˜Â—Â?Ž—’Â?Â˜ČąÂŽÂ—ČąÂ•ÂŠČąÄ™Â?ž›Šȹ ÇŻĹ—ÇŻ SoluciĂłn:

—ȹÂ&#x;’›Â?žÂ?ČąÂ?ÂŽČą Ĺ—Ç°ČąÂŽÂ—ČąÂŽÂ•ČąÂ—Â˜Â?Â˜ČąA ÂœÂŽČąÂ?’Ž—Žǹ IĹ— I3

I2

mientras que en el nodo BÇą I2

IĹ— I3

Por K2, en la malla ABCDA (se eligiĂł positivo el sentido contrario al que avanzan las Â–ÂŠÂ—ÂŽÂŒÂ’Â•Â•ÂŠÂœČąÂ?ÂŽÂ•ČąÂ›ÂŽÂ•Â˜Â“ǟǹȹ 2IĹ— 3I2

ȹŗř

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3

y en la malla ABFEA (se considerĂł positivo el sentido en que avanzan las manecillas del ›Ž•˜“ǟǹ 3I2 5I3

ȹŗŚ

De donde se obtiene el sistema (observe que las dos primeras ecuaciones son idĂŠnticas, Â™Â˜Â›ČąÂŽÂœÂ˜ČąÂŽÂœČąÂ›ÂŽÂŒÂ˜Â–ÂŽÂ—Â?Š‹•ŽȹÂ?ÂŽÂ—ÂŽÂ›ČąÂŽÂ—ČąÂŒÂžÂŽÂ—Â?ŠȹŽ•ȹ™ž—Â?Â˜ČąĹ˜ČąÂ?ÂŽČąÂ•ÂŠÂœČąÂ›ÂŽÂŒÂ˜Â–ÂŽÂ—Â?ÂŠÂŒÂ’Â˜Â—ÂŽÂœČąÂŠÂ—Â?Ž›’˜›Žœǟǹ − − +

I1 I1 2I 1

I2 I2 3I 2 3I 2

+ +

I3 I3

+

5I 3

= = = =

0 0 13Ȳ ȹ 14

ǝŗǟ

I.2 Ă reas de paralelogramos, volĂşmenes de paralelepĂ­pedos Sean o u (Šǰȹ‹), o X (ÂŒÇ°ČąÂ?) dos vectores de 2 (el plano cartesiano). Calculemos el ĂĄrea, S, Â?ÂŽÂ•ČąÂ™ÂŠÂ›ÂŠÂ•ÂŽÂ•Â˜Â?Â›ÂŠÂ–Â˜ČąÂ?Ž—Ž›ŠÂ?Â˜ČąÂ™Â˜Â›ČąÂŽÂœÂ?Â˜ÂœČąÂ&#x;ÂŽÂŒÂ?Â˜Â›ÂŽÂœČąÂ–Â˜ÂœÂ?›ŠÂ?Â˜ČąÂŽÂ—ČąÂ•ÂŠČąÄ™Â?ž›Šȹ ÇŻĹ˜ÇŻČą ÂŽČąÂŠÂŒÂžÂŽÂ›Â?Â˜ČąÂŠČą estĂĄ S 2SĹ— S2 (porque SĹ— S3).

S3 u

S1

S2

h

θ

x Figura I.2

Ahora bien, si se denota por Čš o Z Čš la longitud de cualquier vector o Z, h ¢ǰȹŽ—Â?Â˜Â—ÂŒÂŽÂœÇą S Puesto que sen2 T

u Čš sen T, S Čšo Ĺ—

xh/2

xh ȹǝȚ Ț o X Ț xȚ)Țh 2 Ț o X Ț h u Ț ȹȚ Ț o Țo X Ț sen T

2

ȹŗȹ cos2 T, S2

u Čš Ĺ˜Čš Čš o Čšo X Čš 2 sen2 T u Čš Ĺ˜Čš Čš o Čšo X Čš 2ǝŗȹ cos2 T) u Čš Ĺ˜Čš Čš o u Čš Ĺ˜Čš Čš o Čšo X Čš 2 Čšo X Čš 2 cos2 T u Čš Ĺ˜Čš Čš o o o Čšo X Čš 2 ( u ¡ X )2 (a2 ‹2) (c2 Â?2) (ac ‹Â?)2 a2c2 a2Â?2 ‹2c2 ‹2Â?2 a2c2 2ŠŒ‹Â?Čą ‹2Â?2 a2Â?2 ‹2c2 2ŠŒ‹Â? (ŠÂ?Čą ‹Œ)2

I.2 à reas de paralelogramos, volúmenes de paralelepípedos Muestra digital ISSUU Š D.R. 2020 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Todos los derechos reservados. No puede ser copiado, escaneado o duplicado, total o parcialmente.10/06/2020


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de donde S

ȱȩȹ ȱ ȹ|

De sus cursos elementales de álgebra el lector seguramente recuerda que el determinante de una matriz 2 uȱŘȱ ¤ȱ ę ȱ DZ

a c

b = ad − bc d

Luego, el área del paralelogramo generado por los vectores o u ( ǰȱ ) y o X ( ǰȱ ) es el ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱę ȱǻ ȱ Ǽȱ ȱ tores. También es muy probable que el lector tenga en mente la regla de Sarrusŗ para un determinante 3 uȱřDZȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ç ȱ ȱ ȱ—en el siguiente diagrama—, ¢ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ç ȱ ȱ £ DZ

a 11

a 12

a 13

a 21

a 22

a 23

a 31

a 32

a 33

ȱ DZ

a 11 a 21 a 31

a 12 a 22 a 32

a 13 a 23 a 33

=

(a 11 a 22 a 33 + a 21 a 32 a 13 + a 31 a 23 a 12 ) − ( a 13 a 22 a 31 + a 23 a 32 a 11 + a 33 a 21 a 12 )

(2)

De manera análoga, al caso del paralelogramo, el valor absoluto del determinante de una matriz 3 uȱřȱ ¤ȱ ȱ ȱ ȱ Ç ȱ ȱ ȱ ȱ ȱę ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱę ȱ ǯřǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ à ȱ ȱ ȱ hecho al lector.

z

y

x o o o Figura I.3 El volumen del paralelepípedo generado por los vectores u , X y w es el valor absoluto del ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱę ȱǻ ȱ Ǽȱ ȱ ǯ ŗȱLa regla de Sarrus sólo es aplicable para determinantes 3 u 3; no se puede generalizar a determinantes de mayor orden; más adelante se establecerá un método general para calcular determinantes de cualquier orden que tendrá como caso particular esta regla.

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I.3 Sistemas lineales, una introducciĂłn al mĂŠtodo de Gauss En la secciĂłn anterior tratamos, de manera informal, el concepto de sistema lineal. En este apartado conceptualizaremos formalmente el tema e introduciremos el mĂŠtodo de Gauss para resolver estos sistemas. TambiĂŠn daremos la interpretaciĂłn geomĂŠtrica de sistemas lineales cuando contienen dos o tres variables. DefiniciĂłn 1 Un sistema de m-ecuaciones con nČŹÂ’Â—ÂŒĂ Â?—’Â?ÂŠÂœČąÂšÂžÂŽČąÂ?’Ž—Žȹ•ŠȹÂ?Â˜Â›Â–ÂŠÇą

a 11 x 1 a 21 x 1 ¡ ¡ ¡ a m1 x 1

+ + ¡ ¡ ¡ +

a 12 x 2 a 22 x 2 ¡ ¡ ¡ a m2 x 2

+ + ¡ ¡ ¡ +

¡¡¡ ¡¡¡ ¡¡¡ ¡¡¡ ¡¡¡ ¡¡¡

a 1n x n = a 2n x n = ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ a mn x n =

+ + ¡ ¡ ¡ +

b1 b2 ¡ ¡ ¡ bm

(3)

donde los a’“ ǰȹ‹’ȹÂ? ǰȹ’ȹ ȹŗǰȹ2ǰȹdzǰȹ–ǰȹ“ȹ ȹŗǰȹ2ǰȹdzǰȹ—, estĂĄn dados, es lineal. Una soluciĂłn de este sistema de ecuaciones es una n-ada ordenada (DĹ—Ç°ČąD2ǰȹǯȹǯȹǯȹǰȹDn) de nĂşmeros reales, tales que al hacer las sustituciones xĹ—

DĹ—

x2

D2

xn

Dn

en cada una de las m-ecuaciones las convierte en identidades. Ejemplo 2 Â•ČąÂœÂ’ÂœÂ?Ž–ŠȹÂ?ÂŽČąÂ?Â˜ÂœČąÂŽÂŒÂžÂŠÂŒÂ’Â˜Â—ÂŽÂœČąÂŒÂ˜Â—ČąÂ?Â›ÂŽÂœČąÂ’Â—ÂŒĂ Â?—’Â?ÂŠÂœÇą 2xĹ— 3x2 x3 xĹ— x2 x3

Śȹ

ǝŚǟ

3

(5)

es lineal y ( Ĺ—Ç°Čą2Ç°Čą ĹšǟȹÂŽÂœČąÂžÂ—ÂŠČąÂœÂ˜Â•ÂžÂŒÂ’Ă Â—ČąÂ?ÂŽÂ•ČąÂ–Â’ÂœÂ–Â˜ÇŻČą —ȹŽÂ?ÂŽÂŒÂ?Â˜Ç°ČąÂŠÂ•ČąÂœÂžÂœÂ?Â’Â?ž’› xĹ— x3 ŚȹŽ—ȹ•Šȹ™›’–Ž›Š ecuaciĂłn ǝŚǟȹÂœÂŽČąÂ?’Ž—Ž 2( Ĺ—ǟȹ 3(2) ( Ĺšǟȹ

Ĺ—ǰȹ¥2

2y

Ĺš

y al hacer las mismas sustituciones en la segunda ecuaciĂłn (5), ( Ĺ—ǟȹ (2) ( Ĺšǟȹ

3

Ejemplo 3 El sistema de dos ecuaciones con dos incĂłgnitas xĹ—2 3x2

ȹŗ

xĹ—/2 Ĺ— x2

S

no es lineal (Âżpor quĂŠ?). DefiniciĂłn 2 Â•ČąÂœÂ’ÂœÂ?Ž–ŠȹǝĹ™ǟȹÂŽÂœÇą

r

˜—œ’œÂ?Ž—Â?ÂŽǹȹÂœÂ’ČąÂ?Â’ÂŽÂ—ÂŽČąÂŠÂ•ČąÂ–ÂŽÂ—Â˜ÂœČąÂžÂ—ÂŠČąÂœÂ˜Â•ÂžÂŒÂ’Ă Â—ÇŻ

r

—Œ˜—œ’œÂ?Ž—Â?ÂŽǹȹÂœÂ’ČąÂ—Â˜ČąÂ?Â’ÂŽÂ—ÂŽČąÂœÂ˜Â•ÂžÂŒÂ’Â˜Â—ÂŽÂœÇŻ I.3 Sistemas lineales, una introducciĂłn al mĂŠtodo de Gauss

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InterpretaciĂłn geomĂŠtrica ŽŒ˜›Â?ÂŽÂ–Â˜ÂœČąÂšÂžÂŽČąÂ•ÂŠČąÂŽÂŒÂžÂŠÂŒÂ’Ă Â—Çą ax ‹¢ȹ

Â?

donde Šǰȹ‹ǰȹÂ?ČąÂ? , representa una lĂ­nea recta en el plano cartesiano. Luego, resolver un sistema lineal ax ‹¢ȹ

Â?Čą

(6)

cx �¢ȹ

Â?Čą

(7)

œ’Â?Â—Â’Ä™ÂŒÂŠČąÂŽÂ—ÂŒÂ˜Â—Â?Â›ÂŠÂ›ČąÂ•Â˜ÂœČąÂ™ÂžÂ—Â?˜œȹǝÂ˜ČąÂŽÂ•ČąÂ™ÂžÂ—Â?˜ǟȹÂ?Žȹ’—Â?ÂŽÂ›ÂœÂŽÂŒÂŒÂ’Ă Â—ČąÂ?ÂŽČąÂ•ÂŠČąÂ›ÂŽÂŒÂ?ŠȹǝĹœǟȹÂŒÂ˜Â—ČąÂ•ÂŠČąÂ›ÂŽÂŒÂ?ŠȹǝĹ?ǟǰȹ si es que estas rectas se intersecan. Por ende, resolver un sistema de m ecuaciones con 2 incĂłgnitas equivale a encontrar el conjunto donde las m rectas se intersecan, el cual, ˜‹Â&#x;’Š–Ž—Â?ÂŽÇ°ČąÂ™Â˜Â?Â›Ă‡ÂŠČąÂœÂŽÂ›ČąÂ&#x;ÂŠÂŒĂ‡Â˜ÇŻČą —ȹ•ŠȹęÂ?ž›Šȹ ÇŻĹšČąÂœÂŽČąÂ’Â•ÂžÂœÂ?Â›ÂŠÂ—ČąÂ•Â˜ÂœČąÂ•ÂžÂ?ÂŠÂ›ÂŽÂœČąÂ?Ž˜–¡Â?Â›Â’ÂŒÂ˜ÂœČąÂ?ÂŽČąÂŒÂžÂŠÂ?Â›Â˜Čą œ’œÂ?ÂŽÂ–ÂŠÂœČąÂ•Â’Â—ÂŽÂŠÂ•ÂŽÂœČąÂŽÂ—ČąÂŽÂ•ČąÂ™Â•ÂŠÂ—Â˜ǹȹÂŒÂ˜Â—ČąÂœÂ˜Â•ÂžÂŒÂ’Ă Â—ȹøÂ—Â’ÂŒÂŠČąÂŠǟDzȹ’—Œ˜—œ’œÂ?Ž—Â?ÂŽÂœČąÂ‹ǟȹ¢ȹÂŒǟDzȹ¢ȹÂŒÂ˜Â—ČąÂžÂ—ÂŠČąÂ’Â—Ä™nidad de soluciones d). De manera anĂĄloga, una ecuaciĂłn lineal con tres incĂłgnitas, ax ‹¢ȹ ÂŒÂŁČą Â?, corresponde al lugar geomĂŠtrico de puntos que estĂĄn en un plano en el espacio tridimensional. TambiĂŠn en este caso, cuando se resuelven sistemas lineales con tres incĂłgnitas, se buscan intersecciones de los correspondientes planos. Nuevamente los planos pueden no ’—Â?ÂŽÂ›ÂœÂŽÂŒÂŠÂ›ÂœÂŽÇ°ČąÂ’Â—Â?ÂŽÂ›ÂœÂŽÂŒÂŠÂ›ÂœÂŽČąÂŽÂ—ČąÂžÂ—ÂŠČąÂ’Â—Ä™Â—Â’Â?ŠÂ?ČąÂ?Žȹ™ž—Â?Â˜ÂœČąÂ˜ČąÂ’Â—Â?ÂŽÂ›ÂœÂŽÂŒÂŠÂ›ÂœÂŽČąÂŽÂ—ČąÂžÂ—ȹøÂ—Â’ÂŒÂ˜ČąÂ™ÂžÂ—Â?Â˜ÇŻČą ŠȹęÂ?ž›Šȹ ÇŻĹ›ČąÂ’Â•ÂžÂœÂ?Â›ÂŠČąÂŽÂœÂ?ÂŠÂœČąÂ™Â˜ÂœÂ’Â‹Â’Â•Â’Â?ŠÂ?ÂŽÂœÇŻ

a)

b)

c)

d)

Figura I.4 a) Dos lĂ­neas que se intersecan en un solo punto; b) dos lĂ­neas paralelas que no se intersecan; c) tres lĂ­neas que no se intersecan simultĂĄneamente y d) dos lĂ­neas que coinciden.

Figura I.5 Planos que se intersecan, respectivamente, en una lĂ­nea recta, en un Ăşnico punto y que no tienen intersecciĂłn simultĂĄnea.

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IntroducciĂłn al mĂŠtodo de Gauss En el siguiente ejemplo resolveremos un sistema lineal de manera anĂĄloga a como el lector, seguramente, ya lo ha hecho en cursos de bachillerato; sin embargo, lo haremos con un mĂŠtodo que introducirĂĄ el importante algoritmo de Gauss, el cual consiste, esencialmente, en ir haciendo “pivotesâ€? para eliminar variables (incĂłgnitas) y obtener un sistema Žšž’Â&#x;Š•Ž—Â?ŽȹŽ—ȹÂ?Â˜Â›Â–ÂŠČąČƒÂŽÂœÂŒÂŠÂ•Â˜Â—ÂŠÂ?ŠȄȹ¢ǰȹꗊ•–Ž—Â?ÂŽÇ°ČąÂ›ÂŽÂœÂ˜Â•Â&#x;ÂŽÂ›Â•Â˜ČąÂ™Â˜Â›ČąÂœÂžÂœÂ?Â’Â?ÂžÂŒÂ’Ă Â—ČąÂ›ÂŽÂ?›Žœ’Â&#x;Šǯ Ejemplo 4 Žœ˜•Â&#x;ÂŠÂ–Â˜ÂœČąÂŽÂ•ČąÂœÂ’ÂœÂ?Ž–Šȹ•’—ŽŠ•ǹ ȲȲ¥Ĺ— x2 2x3

9

2xŗ ȹŚx2 3x3

ȹŗ

3xĹ— 6x2 5x3

0

Denotemos porČą Â’Čą •Šȹ’ȏÊsima ecuaciĂłn de un sistema lineal; la notaciĂłnČą Â’ l D Â’ E j œ’Â?Â—Â’Ä™ÂŒÂŠČąÂšÂžÂŽČąÂ•ÂŠČąÂŽÂŒÂžÂŠÂŒÂ’Ă Â—Čą Â’Čąse sustituye por la ecuaciĂłn que se obtiene de sumar D veces la ecuaciĂłn Â’Čącon E veces la ecuaciĂłnČą j. Entonces xĹ— x2 2x3 2xĹ— ȹŚx2 3x3 3xĹ— 6x2 5x3

9 Ĺ— 0

m o

xŗ x2 2x3 2x2 7x3 3x2 ȹŗŗx3

9 Ĺ—Ĺ? 27

m o

xĹ— x2 2x3 2x2 7x3 x3

9 Ĺ—Ĺ? 3

2 l 2 Ĺ— 2 3 l 3 Ĺ— 3

3 l 3 2 2 3

En cada paso del proceso anterior se obtiene un sistema equivalente, es decir, con las mismas soluciones, pero mĂĄs sencillo, hasta que el Ăşltimo sistema equivalente estĂĄ ŽœŒŠ•˜—ŠÂ?Â˜Çą xĹ— Ȳ¥ 2x 2 3 2x2 7x3 x3

9 Ĺ—Ĺ? 3

y se puede resolver haciendo sustituciĂłn regresiva, es decir, despejando y sustituyendo Â&#x;ÂŠÂ›Â’ÂŠÂ‹Â•ÂŽÂœČąÂ?ÂŽČąÂŽÂœÂ?ÂŽȹø•Â?Â’Â–Â˜ČąÂœÂ’ÂœÂ?Ž–ŠȹÂ?ÂŽČąÂŠÂ‹ÂŠÂ“Â˜ČąÂ‘ÂŠÂŒÂ’ÂŠČąÂŠÂ›Â›Â’Â‹ÂŠÇą x3 x2

xĹ—

3 17 7x3 2 17 7(3) 2 2 9 x2 2x3

9 (2) 2(3)

ȹŗ

ÂœĂ‡Ç°ČąÂŽÂ•ČąÂœÂ’ÂœÂ?ÂŽÂ–ÂŠČąÂŽÂœČąÂŒÂ˜Â—ÂœÂ’ÂœÂ?Ž—Â?ÂŽČąÂŒÂ˜Â—ČąÂœÂ˜Â•ÂžÂŒÂ’Ă Â—ȹø—’ŒŠȹǝĹ—Ç°Čą2Ç°Čą3). Ejemplo 5 ÂŠÂ•ÂŒÂžÂ•ÂŠÂ›ČąÂ•ÂŠÂœČąÂŒÂ˜Â›Â›Â’ÂŽÂ—Â?ÂŽÂœČąÂŽÂ•¡ÂŒÂ?Â›Â’ÂŒÂŠÂœČąÂ?ÂŽÂ•ČąÂŒÂ’Â›ÂŒÂžÂ’Â?Â˜ČąÂ?ÂŽÂ•ČąÂŽÂ“ÂŽÂ–Â™Â•Â˜ČąĹ—Ç°ČąÂ™¤Â?ÇŻČąĹ˜ÇŻ SoluciĂłn: Resuelva el sistema lineal2 ǝŗǟǰȹ™¤Â?ÇŻČąĹ™Ç°ČąÂŒÂ˜Â—ČąÂŽÂ•ČąÂ–¡Â?˜Â?Â˜ČąÂ?ÂŽČą Šžœœ ilustrado en ÂŽÂ•ČąÂŽÂ“ÂŽÂ–Â™Â•Â˜ČąÂ™Â›ÂŽÂŒÂŽÂ?Ž—Â?ÂŽÇą 2

Como se mencionĂł en ese ejemplo, las primeras dos ecuaciones son iguales y por eso se puede omitir una de ellas.

I.3 Sistemas lineales, una introducción al mÊtodo de Gauss Muestra digital ISSUU Š D.R. 2020 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Todos los derechos reservados. No puede ser copiado, escaneado o duplicado, total o parcialmente.10/06/2020


8

IĹ— I2 I3 2IĹ— 3I2 3I2 5I3

0 Ĺ—Ĺ™ Ĺ—Ĺš

m o

IĹ—

I2 5I2 3I2

I3 2I3 5I3

0 Ĺ—Ĺ™ Ĺ—Ĺš

IĹ—

I2 5I2

I3 2I3 řŗI3

0 ŗř řŗ

2 l 2 Ĺ— 2

m o

3 l 3 2 5 3 Al hacer sustitución regresiva se tiene ȹŗ ŗřȹ 2I3 5 I 2 I3

I3 I2 IĹ— Esto es, IĹ—

2A, I2

3A, I3

3 2

ȹŗ Ȳ

I.4 IntroducciĂłn a la regla de Cramer Consideremos el sistema lineal de dos ecuaciones con dos incĂłgnitas ax ‹¢ȹ

f

cx �¢ȹ

Â?Čą

(8)

y supongamos ŠÂ?Čą ČąÂ‹ÂŒČąz 0. Entonces uno de a y ‹, al menos, debe ser distinto de cero; digamos que aÇŻČą ™•’šžŽȹŽ•ȹ–¡Â?˜Â?Â˜ČąÂ?ÂŽČą ÂŠÂžÂœÂœČąÂŠČąÂŽÂœÂ?ÂŽČąÂœÂ’ÂœÂ?Ž–Šǹ ax ‹¢ cx Â?¢

f Â?

ax ‹¢ (ŠÂ?Čą ‹Œ)y

m o 2 l ÂŒ Ĺ— Š 2

f Š�ȹ fc

De donde (ya que ŠÂ?Čą Â‹ÂŒČązȹŖǟǹ y

ŠÂ?Čą fc ŠÂ?Čą ‹Œ

y al sustituir y en la segunda ecuaciĂłn de (8) y despejar x, se obtiene (recuerde que a z 0) x

Ĺ— ȹǝȚf ‹¢) a ŠÂ?Čą fc Ĺ— b af ‹ ŠÂ?Čą ‹Œ a Ĺ— Â?ŠÂ?Čą Ä ÂŒČą ‹ŠÂ?Čą ‹Â?ÂŒ ŠÂ?Čą ‹Œ a Ĺ— aǝȚÂ?Â?Čą ‹Â?) a ŠÂ?Čą ‹Œ Â?Â?Čą ‹Â? ŠÂ?Čą ‹Œ

AnĂĄlogamente, si se supone c z 0, se llega al mismo resultado, que utilizando el concepto de determinante se escribe en la forma

x=

f b g d a b c d

,y=

a f c g a b c d

(9)

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que es la llamada regla de Cramer y seguramente es familiar al lector. Es decir, si el determinante del sistema (8) es distinto de cero, el sistema tiene soluciĂłn Ăşnica y estĂĄ dada por (9). —Â&#x;Ž›œŠ–Ž—Â?ÂŽÇ°ČąÂœÂ’ȹǝĹžǟȹÂ?Â’ÂŽÂ—ÂŽČąÂœÂ˜Â•ÂžÂŒÂ’Ă Â—ȹøÂ—Â’ÂŒÂŠÇ°ČąÂ•ÂŠÂœČąÂ›ÂŽÂŒÂ?ÂŠÂœČąÂšÂžÂŽČąÂ•Â˜ČąÂŒÂ˜Â—Â?Â˜Â›Â–ÂŠÂ—ČąÂœÂŽČąÂ’Â—Â?ÂŽÂ›ÂœÂŽÂŒÂŠÂ—Čą en un Ăşnico punto, no son paralelas y entonces se puede demostrar —lo cual se deja de ejercicio al lector— que el determinante del sistema es distinto de cero. Luego, si el Â?ÂŽÂ?Ž›–’—Š—Â?ÂŽČąÂ?ÂŽÂ•ČąÂœÂ’ÂœÂ?Ž–ŠȹǝĹžǟȹÂŽÂœČąÂŒÂŽÂ›Â˜Ç°ČąÂŽÂ—Â?Â˜Â—ÂŒÂŽÂœČąÂŽÂœČąÂ’Â—ÂŒÂ˜Â—ÂœÂ’ÂœÂ?Ž—Â?ÂŽČąÂ˜ČąÂ?’Ž—Žȹž—Šȹ’—ę—’Â?ŠÂ?ČąÂ?ÂŽČą soluciones. Por ejemplo, las lĂ­neas rectas del sistema x y

ȹŗ

2x 2y

3

tienen la misma pendiente pero distinta ordenada al origen, por lo tanto son rectas paralelas con intersecciĂłn vacĂ­a; mientras que las rectas x y

ȹŗ

2x 2y

2

Œ˜’—Œ’Â?ÂŽÂ—Ç°ČąÂ™Â˜Â›ČąÂ•Â˜ČąÂšÂžÂŽČąÂŽÂ•ČąÂœÂ’ÂœÂ?Ž–ŠȹÂ?’Ž—Žȹž—Šȹ’—ę—’Â?ŠÂ?ČąÂ?ÂŽČąÂœÂ˜Â•ÂžÂŒÂ’Â˜Â—ÂŽÂœÇŻČą ’—ȹŽ–‹Š›Â?Â˜Ç°ČąÂŠÂ–Â‹Â˜ÂœČą sistemas tienen determinante nulo.

Sistemas homogĂŠneos y determinantes, ecuaciĂłn de una recta con determinantes Todo sistema homogĂŠneo 2 uČąĹ˜Çą ax ‹¢ȹ

0

cx �¢ȹ

0

ǝŗŖǟ

es consistente, pues x 0 , y 0, es una soluciĂłn —la llamada soluciĂłn trivial. Entonces, ÂœĂ Â•Â˜ČąÂ?Â’ÂŽÂ—ÂŽČąÂ•ÂŠČąÂœÂ˜Â•ÂžÂŒÂ’Ă Â—ČąÂ?›’Â&#x;Â’ÂŠÂ•ČąÂ˜ČąÂ?’Ž—Žȹ’—ę—’Â?ŠÂ?ČąÂ?ÂŽČąÂœÂ˜Â•ÂžÂŒÂ’Â˜Â—ÂŽÂœDzȹ¢ȹÂŽÂœÂ?Â˜ČąÂœÂžÂŒÂŽÂ?ÂŽČąÂœÂ’ČąÂŽÂ•ČąÂ?ÂŽÂ?Ž›–’—Š—Â?ÂŽČąÂ?ÂŽÂ•ČąÂœÂ’ÂœÂ?ÂŽÂ–ÂŠČąÂŽÂœČąÂ—Â˜ČąÂ—ÂžÂ•Â˜ČąÂ˜ČąÂŽÂœČąÂŒÂŽÂ›Â˜Ç°ČąÂ›ÂŽÂœÂ™ÂŽÂŒÂ?Â’Â&#x;Š–Ž—Â?ÂŽÇŻČą ÂœÂ?Â˜ČąÂŽÂœÇą

r

a b zČąĹ–ČąÂœÂ’ȹ¢ȹÂœĂ Â•Â˜ČąÂœÂ’ČąÂŽÂ•ČąÂœÂ’ÂœÂ?ÂŽÂ–ÂŠČąÂ‘Â˜Â–Â˜Â?¡Â—Ž˜ȹǝĹ—Ĺ–ǟȹÂ?’Ž—Žȹø—’ŒŠ–Ž—Â?ÂŽČąÂ•ÂŠČąÂœÂ˜Â•ÂžÂŒÂ’Ă Â—ČąÂ?›’Â&#x;’Š•ǯ c d

r

a b c d

ȹȹĹ–ČąÂœÂ’ȹ¢ȹÂœĂ Â•Â˜ČąÂœÂ’ČąÂŽÂ•ČąÂœÂ’ÂœÂ?ÂŽÂ–ÂŠČąÂ‘Â˜Â–Â˜Â?¡Â—Ž˜ȹǝĹ—Ĺ–ǟȹÂ?Â’ÂŽÂ—ÂŽČąÂœÂ˜Â•ÂžÂŒÂ’Â˜Â—ÂŽÂœČąÂ—Â˜ČąÂ?›’Â&#x;’Š•Žœȹǝ’—ę—’dad de soluciones).

Todo lo precedente se puede generalizar a sistemas lineales 3 u 3, y una aplicaciĂłn interesante es que con un determinante de orden tres es posible determinar la ecuaciĂłn de una lĂ­nea recta que pasa por dos puntos dados (xĹ—ǰȹ¢Ĺ—) y (x2ǰȹ¢2). Sabemos que ĂŠsta tiene la forma ax ‹¢ȹ c

0

ÂŒÂ˜Â—ČąÂŠÂ•ČąÂ–ÂŽÂ—Â˜ÂœČąÂžÂ—Â˜ČąÂ?ÂŽČąÂ•Â˜ÂœČąÂŒÂ˜ÂŽÄ™ÂŒÂ’ÂŽÂ—Â?ÂŽÂœÇ°Čąa y ‹, distinto de cero. Entonces, si (¥ǰȹ¢) es un punto cualquiera de la recta, el sistema homogĂŠneo xa ¢Â‹Čą c

0

xŗa yŗ‹ȹ c

0

x2a y2‹ȹ c

0

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Â?Â’ÂŽÂ—ÂŽČąÂœÂ˜Â•ÂžÂŒÂ’Â˜Â—ÂŽÂœČąÂ—Â˜ČąÂ?›’Â&#x;Â’ÂŠÂ•ÂŽÂœÇŻČą Â˜Â›ČąÂ?Š—Â?Â˜Ç°ČąÂŽÂ•ČąÂ?ÂŽÂ?Ž›–’—Š—Â?ÂŽČąÂ?Žȹ•Šȹ–ŠÂ?›’£ȹÂ?ÂŽČąÂŒÂ˜ÂŽÄ™ÂŒÂ’ÂŽÂ—Â?ÂŽÂœČąÂŽÂœČą nulo, esto es x y Ĺ— x †ŗ yĹ— Ĺ— †x2 y2 Ĺ—

0

•ȹÂ?ÂŽÂœÂŠÂ›Â›Â˜Â•Â•ÂŠÂ›Ç°ČąÂ™Â˜Â›ČąÂ•ÂŠČąÂ›ÂŽÂ?•ŠȹÂ?ÂŽČą Š››žœȹǝ™¤Â?ǯȹŚǟǰȹ¢ȹŠÂ?›ž™Š›ȹŽ—ȹÂ?Â˜Â›Â–ÂŠČąÂŒÂ˜Â—Â&#x;Ž—’Ž—Â?ÂŽÇ°ČąÂŽÂœČąÂ?¤ÂŒÂ’•ȹ comprobar que se obtiene p

yĹ—Čą Ĺ— xĹ—Čą Ĺ— xĹ— yĹ— px p py p p x2 y2 y2Čą Ĺ— x2Čą Ĺ—

0

yŗȹ ŗ Ț xŗȹ ŗ xŗ yŗ Ț p , ‹ȹ p pyc p p . Si ademås xŗ z x2, la pendiente de la x2 y2 y2ȹ ŗ x2ȹ ŗ recta de la igualdad precedente estå dada por De donde a

p

m

y1 1 y2 1

ǝŗŗǟ

x1 1 x2 1 Ejemplo 6 Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos ( ŗǰȹ2) y ǝŚǰȹ 3). Solución:

Â•ČąÂŠÂ™Â•Â’ÂŒÂŠÂ›ČąÂ•ÂŠČąÂ›ÂŽÂ?•ŠȹÂ?ÂŽČą Š››žœȹǝÂŒÂ?ǯȹ™ǯȹŚǟǹ x

†ŗ

y Ĺ—

2 Ĺ— â€

2x 3 ȹŚy (8 3x y)

Ĺš 3 Ĺ— 5x 5y 5 žŽÂ?Â˜Ç°ČąÂ•ÂŠČąÂŽÂŒÂžÂŠÂŒÂ’Ă Â—ČąÂ‹ÂžÂœÂŒÂŠÂ?ÂŠČąÂŽÂœÇą 5x 5y 5

ȹŖȲ

Ejemplo 7 Calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos ǝŗǰȹ5) y ǝŚǰȹ3). Solución:

ÂŽȹǝĹ—Ĺ—ǟǰ

m

5 1 3 1 1 1 4 1

2 Ȳ 3

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I.5 Actividades y ejercicios Actividades Actividad 1 Argumente matemĂĄticamente porquĂŠ las ĂĄreas SĹ— y S3 del paralelogramo Â?Žȹ•ŠȹęÂ?ž›Šȹ ÇŻĹ˜ȹǝ™¤Â?ǯȹřǟǰȹÂœÂ˜Â—ČąÂ’Â?ÂžÂŠÂ•ÂŽÂœÇŻ Actividad 2 a) Recuerde que si u, v y w son vectores del espacio tridimensional 3, se Â?ÂŽÄ™Â—ÂŽČąÂŽÂ•ČąÂ™Â›Â˜Â?žŒÂ?Â˜ČąÂŒÂ›ÂžÂŁČąÂ?ÂŽČąÂŽÂœÂ?Â˜ÂœČąÂ&#x;ÂŽÂŒÂ?Â˜Â›ÂŽÂœČąÂŒÂ˜Â–Â˜Çą o X u uo

u Ț ȹȚ Ț o Țo X Ț sen T o K

donde T es el ĂĄngulo entre los vectores o u yo X yo K ÂŽÂœČąÂžÂ—ČąÂ&#x;ÂŽÂŒÂ?Â˜Â›ČąÂžÂ—Â’Â?Š›’˜ȹǝÂ?ÂŽČąÂ•Â˜Â—Â?Â’Â?žÂ?ȹŗǰȹ o esto es Čš K Čš ȹŗǟȹ™Ž›™Ž—Â?Â’ÂŒÂžÂ•ÂŠÂ›ČąÂŠČąÂŠÂ–Â‹Â˜ÂœČąÂ&#x;ÂŽÂŒÂ?˜›Žœȹ¢ȹœ’Â?žŽȹ•ŠȹÂ?Â’Â›ÂŽÂŒÂŒÂ’Ă Â—ČąÂ?Žȹž—ȹÂ?Â˜Â›Â—Â’Â•Â•Â˜Čą derecho cuando se hace girar en la direcciĂłn del ĂĄngulo mĂĄs pequeĂąo del vector o u al vector o X (o la direcciĂłn de la regla de la mano derecha). Utilizando la regla de Sarrus para determinantes de orden 3 y aceptando el hecho de que el producto cruz es distributivo respecto a la suma, demuestre formalmente que si o u (uŗǰȹž2ǰȹž3) y o X (vĹ—Ç°ČąÂ&#x;2Ç°ČąÂ&#x;3), LĚ‚

ĵ

k̂

†ȹȚ uĹ— u2 u3 â€

o X u uo

XĹ— X2 X3

b) Si o u (uŗǰȹž2ǰȹž3) y o X ¡ÂœÂ?Â˜ÂœČąÂŒÂ˜Â–Â˜Çą

(vĹ—Ç°ČąÂ&#x;2Ç°ČąÂ&#x;3) son vectores de 3 ÂœÂŽČąÂ?ÂŽÄ™Â—ÂŽČąÂŽÂ•ČąÂ™Â›Â˜Â?žŒÂ?Â˜ČąÂ™ÂžÂ—Â?Â˜ČąÂ?ÂŽČą o X u ˜o

u Ț ȹȚ Ț o Țo X Ț cos T

donde T ÂŽÂœČąÂŽÂ•ȹ¤Â—Â?ÂžÂ•Â˜ČąÂšÂžÂŽČąÂ?Â˜Â›Â–ÂŠÂ—ÇŻČą Žȹ™žŽÂ?ÂŽČąÂ?Ž–˜œÂ?›Š›ȹšžŽǹ o X u ˜o Demuestre que si o w

uĹ—vĹ— u2v2 u3v3.

(wĹ—ǰȹ 2ǰȹ 3ǟǰȹŽ—Â?Â˜Â—ÂŒÂŽÂœÇą o o X uw u ¡o

uĹ— u 2 u 3

†ȹȚ XĹ— X2 X3 †wĹ— w2 w3

c)Čą ˜—œ’Â?ÂŽÂ›ÂŽČąÂ•ÂŠČąÂœÂ’Â?ž’Ž—Â?ŽȹęÂ?ž›Šǹ P

Ă—

h

θ

... .... . . . . .. ..

Sea P el paralelepĂ­pedo generado por los vectores o u, o X yo w . Demuestre que si V es el volumen de P, entonces V

u Ț ȹȚ Ț o w Ț h Țo

V

o ˜ X o u w o u

y, por tanto,

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Así que si A

uŗ u 2 u 3

ȹ †ȱȹ Xŗ X2 X3 † , y det(A) es el determinante de Aǰȱ DZ

wŗ w2 w3 V

~ȹdet(A)ȹ~

Actividad 3 Pruebe que si dos rectas no son paralelas, entonces el determinante es distinto de cero. Actividad 4 Sea T un triángulo con vértices o u (xŗǰȱ¢ŗ), o X (x2ǰȱ¢2) y o w 2 plano . Probar que el área de T está dada por el valor absoluto de xŗ x ȱȹ † 2 x3

(x3ǰȱ¢3) en el

yŗ ŗ y2 ŗ † y3 ŗ

Actividad 5 ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱę ǰ

√2

20

10 √2

40

ȱ Ç ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱŚś°ȱ ȱŗřś°ȱ¢ȱ ǰȱ ȱ ǰȱŗŖ 2m y las largas 20 2 Dzȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ ȱ ȱŚŖ ǯȱ ȱ ȱ DZ

B Localizar en un sistema de coordenadas cartesianas todos los vértices del terreno poligonal.

C Calcular el área del terreno. Él está seguro, intuitivamente, que es posible calcular el área conociendo las coordenadas de los vértices de un número mínimo de triángulos y paralelogramos formados con lados y vértices de la región poligonal.

c) ¿Es correcta la conjetura del propietario? d) ȱ ȱ ę ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ DZ Ȳ ǯȱ Ƕ ¤ ȱ ȱ ȱ ȱ ø ȱ ȱ ¤ ȱ ¢ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ propósito? ii. ¿Cuál es la respuesta a la primera necesidad del propietario? iii. ¿Cuánto mide el área del terreno?

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Ejercicios 1. ÂŠÂ•ÂŒÂžÂ•ÂŠÂ›Ç°ČąÂžÂ?’•’£Š—Â?Â˜ČąÂ?ÂŽÂ?Ž›–’—Š—Â?ÂŽÂœÇ°ČąÂŽÂ•ȹ¤Â›ÂŽÂŠČąÂ˜ČąÂ&#x;Â˜Â•ÂžÂ–ÂŽÂ—ČąÂ?ÂŽČąÂ•ÂŠÂœČąÄ™Â?ÂžÂ›ÂŠÂœČąÂ?ŽœŒ›’Â?ÂŠÂœČąÂŽÂ—Čą ŒŠÂ?ÂŠČąÂ’Â—ÂŒÂ’ÂœÂ˜Çą

a) El ĂĄrea del paralelogramo generado por los vectores o u (2Ç°Čą5) y o X (6Ç°Čą2). b) El volumen del paralelepĂ­pedo generado por los vectores o u ( 2Ç°Čą 2Ç°Čą 5), o X (3Ç°Čą0Ç°Čą6) y o w (2ǰȹŚǰȹ2). c) El ĂĄrea del paralelogramo con vĂŠrtices (2Ç°ČąĹ˜ǟǰȹǝŚǰȹ6), (7Ç°Čą3) y (9Ç°Čą7). d) •ȹÂ&#x;Â˜Â•ÂžÂ–ÂŽÂ—ČąÂ?Ž•ȹ™Š›Š•Ž•Ž™Ç™ŽÂ?Â˜ČąÂŒÂ˜Â—ČąÂ&#x;¡Â›Â?’ŒŽœȹǝŗǰȹŗǰȹŚǟǰȹǝĹ˜Ç°Čą3Ç°Čą7), (0Ç°Čą3Ç°Čą8), (0Ç°Čą0Ç°Čą7), ǝŗǰȹ5ǰȹŗŗǟǰȹǝŖǰȹŚǰȹŗŚǟǰȹǝĹ—Ç°Čą2ǰȹŗŖǟǰȹǝ Ĺ—Ç°Čą2ǰȹŗŗǟǯ

2. Resolver los siguientes sistemas lineales con el mĂŠtodo de Gauss introducido en el ÂŽÂ“ÂŽÂ–Â™Â•Â˜ČąĹšÇŻ

a)

b)

c)

d)

x 2y ÂŁ

5

3y x 2ÂŁ

3

2x y ÂŁ

Ĺš

x y 2ÂŁ

3

x y ÂŁ

2

3x 2y ÂŁ

Ĺš

x y 2ÂŁ

Ĺ—

2x 3y 5ÂŁ

Ĺ—

x 2y 3ÂŁ

Ĺ—

xĹ— x2 x3 xĹš

2

2xĹ— x2 3x3 xĹš

3

x2 xĹ— 2x3 xĹš

5

3xĹ— x2 x3 xĹš

0

3. Encontrar las corrientes Ij Â?ÂŽČąÂŒÂŠÂ?ÂŠČąÂŒÂ’Â›ÂŒÂžÂ’Â?Â˜Çą a)

6V

10 Ί I1

10 V

5Ί I2

10 V

20 Ί I3

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b)

14 V

4Ί I1 10 V

6Ί I2

2Ί I3

c)

4Ί I1 20 V

2Ί I2 2Ί I3

4. Žœ˜•Â&#x;ÂŽÂ›ČąÂ™Â˜Â›ČąÂ–ÂŽÂ?Â’Â˜ČąÂ?Žȹ•Šȹ›ŽÂ?•ŠȹÂ?ÂŽČą Â›ÂŠÂ–ÂŽÂ›ČąÂ•Â˜ÂœČąÂœÂ’Â?ž’Ž—Â?ÂŽÂœČąÂœÂ’ÂœÂ?ÂŽÂ–ÂŠÂœÇą a)

b)

c)

3x 2y

Ĺ—

x y

2

5x 3y

Ĺ˜Ĺ—

8x ȹŚy

32

2x ȹŗĹ?y

2

3x ČąĹ˜Ĺ—y

3

5. Utilizar determinantes para encontrar a) la ecuaciĂłn de la recta que pasa por los ™ž—Â?Â˜ÂœČąÂ?ŠÂ?˜œȹ¢ȹ‹ǟȹ•Šȹ™Ž—Â?’Ž—Â?ÂŽČąÂ?ÂŽČąÂ•ÂŠČąÂ›ÂŽÂŒÂ?Šǹ

a) ǝŗǰȹ Ĺ—ǟǰȹǝřǰȹ 2) b) (2Ç°Čą 3), ( 3Ç°Čą8) 6. Por medio del determinante del sistema, concluir si el sistema homogĂŠneo tiene ÂœÂ˜Â•ÂžÂŒÂ’Â˜Â—ÂŽÂœČąÂ—Â˜ČąÂ?›’Â&#x;Â’ÂŠÂ•ÂŽÂœÇą

a)

b)

x y 2ÂŁ

0

2y 3x 5ÂŁ

0

Ĺšx y 2ÂŁ

0

x 3y 2ÂŁ

0

2x y ÂŁ

0

Ĺšx 7y 3ÂŁ

0

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Módulo

Matrices y sistemas lineales

1

En este módulo, se conceptualizaremos formalmente los temas de matrices y sistemas lineales que se trataron en la introducción. Vincularemos los sistemas lineales con matrices y estableceremos el método de Gauss para resolver sistemas lineales de cualquier orden.

1.1 Matrices 1.1.1 Definiciones y ejemplos Definición 1.1 Una matriz A es un arreglo de mȬ ȱ ȱę ȱ¢ȱn-columnas de m u n números reales:

A

£ȹ

a11 a12 a21 a22

a1n a2n

am1 am2

amn

ȹ§ȹ.

Se dice entonces que A es una matriz de tamaño m u n y simbólicamente se escribe: A

[aij]

i 1, 2, ..., m; j 1, 2, ..., n. Esto es, aij ȱ ȱ ø ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱę i y en la columna j. A los elementos aij se les llaman las componentes (entradas) de la matriz A. Nota 1.1 1. Los paréntesis rectangulares se pueden suplir por paréntesis circulares en notaciones matriciales. En este libro se emplearán paréntesis rectangulares. 2. En el caso particular de que una matriz tenga tamaño 1 u 1 escribiremos simplemente a en lugar de [a], es decir, identificaremos toda matriz [a] con el número real a. 3. Al conjunto de matrices de tamaño m u n lo denotaremos en este libro por ᑧmun.

Ejemplo 1.1 Si A

Řȳřȳś ȹd cȹ ŚȳŘȳŗ

A es una matriz 2 uȱřȱ¢ǰȱ ȱ ȱ ǰ a11

2, a12

ȱř, aŗř

ȱś, a21

4, a22

2, aŘř

1.

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DefiniciĂłn 1.2 Dos matrices A

r r

[aij ], B

[bij] son iguales (A

B) si y sĂłlo si:

A y B tienen el mismo tamaĂąo y aij bijČł i, j.

Ejemplo 1.2 ÂŽČąÂŠÂŒÂžÂŽÂ›Â?Â˜ČąÂŒÂ˜Â—ČąÂ•ÂŠČąÂ?ÂŽÄ™Â—Â’ÂŒÂ’Ă Â—ČąÂ™Â›ÂŽÂŒÂŽÂ?Ž—Â?ÂŽČącČš

ŗȳřȳĹ&#x; Čš ŗȳřȳĹ&#x; Čšd Čšd z cČš Ĺ›ČłĹœČłĹ˜ śȳĹ?ČłĹ˜

1.1.2 Operaciones con matrices 1. MultiplicaciĂłn de un escalar1 con una matriz.Čą Â’ČąÎ? Â? y A

2.

3.

[aij] Â? ᑧmun ÂœÂŽČąÂ?Žę—Žȹ Î? A Čą Ç˝Î?aij]. Es decir, el resultado de multiplicar una matriz con un escalar es la matriz que tiene como componentes cada una de las entradas de la matriz original multiplicada por dicho escalar. Suma de matrices. Si A, B Â? ᑧmun, A [aij], B [bijǞǰȹÂœÂŽČąÂ?ÂŽÄ™Â—ÂŽČąÂ•ÂŠČąÂœÂžÂ–ÂŠČąÂ?ÂŽČąA con B como A B [cij], con cij aij bij i, j. AsĂ­, la suma de dos matrices sĂłlo se puede realizar cuando ĂŠstas tienen el mismo tamaĂąo y el resultado es tambiĂŠn una matriz m u n. ž•Â?Â’Â™Â•Â’ÂŒÂŠÂŒÂ’Ă Â—ČąÂ?Žȹž—Šȹ–ŠÂ?Â›Â’ÂŁČąÄ™Â•ÂŠČąÂ™Â˜Â›ČąÂ–ÂŠÂ?Â›Â’ÂŁČąÂŒÂ˜Â•ÂžÂ–Â—ÂŠ.2 b11 b21 ȉ ǽȚa11Čła12ȳȉȹȉȹȉȳa1nȚǞȲ≼ Ȳ ȉ ÂĽ ȉ bn1

a11b11 a12b21 ȹȉȹȉȹȉȹ a1nbn1.

ÂŽČąÂŠÂŒÂžÂŽÂ›Â?Â˜ČąÂŒÂ˜Â—ČąÂŽÂœÂ?ŠȹÂ?ÂŽÄ™Â—Â’ÂŒÂ’Ă Â—Ç°ČąÂŽÂ•ČąÂ™Â›Â˜Â?žŒÂ?Â˜ČąÂ?Žȹž—Šȹ–ŠÂ?Â›Â’ÂŁČąÄ™Â•ÂŠČąÂŒÂ˜Â—ČąÂžÂ—ÂŠČąÂ–ÂŠÂ?Â›Â’ÂŁČąÂŒÂ˜Â•ÂžÂ–na sĂłlo se puede llevar a cabo cuando la primera tiene tamaĂąo 1 u n y la segunda n u 1 (las dos tienen el mismo nĂşmero de componentes) y el resultado de la operaciĂłn serĂĄ una matriz 1 u 1 (un nĂşmero real).

4. Producto de una matriz mun con una matriz nup. Si A ᑧnu™Ț, el producto de A con B ÂœÂŽČąÂ?ÂŽÄ™Â—ÂŽČąÂŒÂ˜Â–Â˜ČąAB

[aij] � ᑧmun y B [cij] donde

[bij ] Â?

n

cij = ∑ aik bkj , k =1

para i 1, 2, ‌, m y j 1, 2, ‌, p. Es decir, la componente cij del producto AB es el resultado de multiplicar la iȏ¡ÂœÂ’–ŠȹꕊȹÂ?ÂŽČąA con la j-ĂŠsima columna de B. AdemĂĄs, para poder efectuar el producto, la primera matriz debe tener el mismo nĂşmero de ÂŒÂ˜Â•ÂžÂ–Â—ÂŠÂœČąÂšÂžÂŽČąÂ?ÂŽČąÄ™Â•ÂŠÂœČąÂ•ÂŠČąÂœÂŽÂ?ž—Â?Šǰȹ¢ȹ•Šȹ–ŠÂ?›’£ȹAB tiene entonces tamaĂąo m u p. En forma equivalente, si FÂ’Čš, i 1, ‌, mÇ°ČąÂœÂ˜Â—ČąÂ•ÂŠÂœČąÄ™Â•ÂŠÂœČąÂ?ÂŽČąA y C“Ț, j 1, ‌, p, son las columnas de B, entonces:

AB

1 Se

ÂŁČš

F1C1 F1C2

F1Cp

F2C1 F2C2

F2Cp

FmC1 FmC2

FmCp

Ț§

(1.1)

dirĂĄ que todo nĂşmero real es un escalar.

2 —Šȹ–ŠÂ?Â›Â’ÂŁČąÄ™Â•ÂŠČąÂŽÂœČąÂžÂ—ÂŠČąÂ–ÂŠÂ?›’£ȹšžŽȹÂ?Â’ÂŽÂ—ÂŽČąÂœÂ˜Â•ÂŠÂ–ÂŽÂ—Â?Žȹž—ȹ›Ž—Â?•à —ȹ¢ȹž—Šȹ–ŠÂ?Â›Â’ÂŁČąÂŒÂ˜Â•ÂžÂ–Â—ÂŠČąÂŽÂœČąÂžÂ—ÂŠČąÂ–ÂŠÂ?›’£ȹšžŽȹ

Â?Â’ÂŽÂ—ÂŽČąÂžÂ—ÂŠČąÂœÂ˜Â•ÂŠČąÂŒÂ˜Â•ÂžÂ–Â—ÂŠȹǝÂŒÂ?ÇŻČąÂ’Â—ÂŒÂ’ÂœÂ˜ČąĹ™ČąÂ?Žȹ•Šȹ™ǯȹŗĹ&#x;ǟǯ

MĂłdulo 1

Matrices y sistemas lineales

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1

Ejemplo 1.3Čłr —2Ȳ£Ț 2 4

1

2 —2 0 —2 Čł Čł Čš Čš Ĺ™§ ÂŁ 2—2 4—2 —2

—2 4

0

Ĺ›

r

SiČł Čą sČš

0 1

2 4—2

0

2—2 ś—2

ř—2 §

2 4 1 Ĺœ Ĺ&#x; 1 4 Ĺ› 2 Čšt yČł Čą sČš Čšt Čšt ȹǰȲentoncesČł Čą B sČš Ĺ› 2 0 4 2 1 1 0 1 2

r

ǽȚ ŗȳŖȳ Ĺ˜ČłĹšČłĹ›ȚǞȲ≼

1

0 ¼Ȳȹ ( 1)(2) (0)( 1) ( 2)(0) (4)(0) ȹǝĹ›ǟǝ 4) 0

4 22 ˜Â?ÂŽČąÂšÂžÂŽČąÂŽÂ—ČąÂŽÂœÂ?ÂŽČąÂŒÂŠÂœÂ˜ČąÂ•ÂŠČąÂ–ÂŠÂ?›’£ȹꕊȹÂ?’Ž—ŽȹÂ?ÂŠÂ–ÂŠĂ›Â˜ČąĹ—Čąuȹśȹ¢ȹÂ•ÂŠČąÂŒÂ˜Â•ÂžÂ–Â—ÂŠČąĹ›Čąu 1 (las dos tienen el mismo nĂşmero de componentes). Ejemplo 1.4 Si A

sČš

1 2 0 2

4 Čšt y B 1

1 2 ÂŁČš 0 1 1

0

4

Ĺ›

0

2Ț§

0

1

A Â? ᑧ2uĹ™ , B Â? ᑧřu4; el producto ABČąÂŽÂœÂ?¤ȹÂ?Žę—’Â?˜ȹǝŽ•ȹ—øÂ–ÂŽÂ›Â˜ČąÂ?ÂŽČąÂŒÂ˜Â•ÂžÂ–Â—ÂŠÂœČąÂ?ÂŽČąA es igual Š•ȹ—øÂ–ÂŽÂ›Â˜ČąÂ?ÂŽČąÄ™Â•ÂŠÂœČąÂ?ÂŽČąBÇ°ČąÂŽÂ—ČąÂŽÂœÂ?ÂŽČąÂŒÂŠÂœÂ˜ČąĹ™ǟȹ¢ȹÂŽÂ•ČąÂ™Â›Â˜Â?žŒÂ?Â˜ČąAB serĂĄ una matriz 2 uȹŚǰȹÂ?Â˜ÂœČąÄ™Â•ÂŠÂœȹ¢ȹ ŒžŠÂ?Â›Â˜ČąÂŒÂ˜Â•ÂžÂ–Â—ÂŠÂœȹǝÂ?Š—Â?ÂŠÂœČąÄ™Â•ÂŠÂœČąÂŒÂ˜Â–Â˜ČąA y tantas columnas como B). Para obtener las componentes cijČąÂ?ÂŽČąÂ•ÂŠÂœČąÄ™Â•ÂŠÂœČąÂ?Žȹ•Šȹ–ŠÂ?Â›Â’ÂŁČąÂ™Â›Â˜Â?žŒÂ?Â˜ČąAB se procede de la manera siguiente. Šȹ ™›’–Ž›Šȹ ꕊȹ Â?ÂŽČą AB:Čą Â˜ÂœČą Ž•Ž–Ž—Â?Â˜ÂœČą Â?ÂŽČą •Šȹ ™›’–Ž›Šȹ ꕊȹ Â?ÂŽČą AB se obtienen multi™•’ŒŠ—Â?Â˜Ç°ČąÂœÂžÂŒÂŽÂœÂ’Â&#x;Š–Ž—Â?Žǰȹ•Šȹ™›’–Ž›ŠȹꕊȹÂ?ÂŽČąA con la primera, segunda, tercera y cuarta columnas de B:

c11

1 ǽȚ Ĺ—Čł Ĺ˜ČłĹšȚǞȲ£Ț 0Ț§Ȳ

śǰ

1 2

c12

ǽȚ Ĺ—Čł Ĺ˜ČłĹšȚǞȲ£Ț 1Ț§Ȳ

4,

0

cĹ—Ĺ™

4 ǽȚ Ĺ—Čł Ĺ˜ČłĹšȚǞȲ£Ț 0 Ț§Ȳ

4,

0 Ĺ›

c14

ǽȚ Ĺ—Čł Ĺ˜ČłĹšȚǞȲ£Ț 2 Ț§Ȳ

śǯ

1 Šȹ œŽÂ?ž—Â?Šȹ ꕊȹ Â?ÂŽČą AB:Čą Â˜ÂœČą Ž•Ž–Ž—Â?Â˜ÂœČą Â?ÂŽČą •Šȹ œŽÂ?ž—Â?Šȹ ꕊȹ Â?ÂŽČą AB se obtienen multipliŒŠ—Â?Â˜Ç°Čą œžŒŽœ’Â&#x;Š–Ž—Â?ÂŽÇ°Čą •Šȹ œŽÂ?ž—Â?Šȹ ꕊȹ Â?ÂŽČą A con la primera, segunda, tercera y cuarta columnas de B: 1.1 Matrices Muestra digital ISSUU Š D.R. 2020 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Todos los derechos reservados. No puede ser copiado, escaneado o duplicado, total o parcialmente.10/06/2020


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c21

1 ǽȹŖȳŘȳŗȹǾȲ£ȹ 0ȹ§Ȳ

1,

1

c22

2 ǽȹŖȳŘȳŗȹǾȲ£ȹ 1ȹ§Ȳ

2,

0 4

cŘř

ǽȹŖȳŘȳŗȹǾȲ£ȹ 0 ȹ§Ȳ

0,

0

c24

ś ǽȹŖȳŘȳŗȹǾȲ£ȹ 2 ȹ§Ȳ ȱśǯ 1

Luego, AB

ś

4 4 ś

1 2

0

ȹt ś

En realidad, la notación matricial está diseñada para ejecutar mecánica y mentalmente los cálculos cuando el tamaño de las matrices no es muy grande; por eso el lector debe procurar, en la medida de lo posible, aprovechar esta ventaja para efectuar las operaciones de esta manera. De hecho, a partir de aquí, el lector ya no encontrará un producto de matrices realizado con el detalle con que se hizo en el ejemplo anterior, pues utilizaremos sistemáticamente (1.1) para producto de matrices y se harán los cálculos sin hacer explícitas las operaciones. Ejemplo 1.5 F1C1 0 1 0 1 1 ȹ ȳ ȳ ȹ 1 1ȹ§Ȳ£ȹ1 £ F2C1 1 1 § FřC1 0 1 2 ř 2 0

1 ȹ £ 2

0 ȳ£ȹ 1

F1C2

F1Cř

F2C2

F2Cř ȹ§

FřC2

FřCř

2 1 0 řȹ§

2 ś ś

1.1.3 Matrices especiales 1. Matriz cero. La matriz cero de tamaño m u n ȱ ę ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ m u n componentes nulas, esto es: [ȹaijȹ] donde aij

0 i, j. Así, por ejemplo: sȹ

0

0

0

0

0

0

ȹt

es la matriz cero 2 uȱřǯ Módulo 1

Matrices y sistemas lineales

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2. Matriz identidad n u n:

In

es decir, In

£ȹȚ

1

0

0

0

1

0

0

0

1

ȹȚ§ȚDz

[aij ], donde uČš

aij

1,

si i

0,

si i z j.

j;

AsĂ­, por ejemplo, 1 IĹ™ ȳ£Ț 0

0 1 0

0

0 0 Ț§ 1

ÂŽÂœČąÂ•ÂŠČąÂ–ÂŠÂ?›’£ȹ’Â?Ž—Â?Â’Â?ŠÂ?ȹřȹuȹřǯ

3. Â˜Â–Â˜ČąÂ–ÂŽÂ—ÂŒÂ’Â˜Â—ÂŠÂ–Â˜ÂœČąÂŽÂ—ČąÂŽÂ•ČąÂ’Â—ÂŒÂ’ÂœÂ˜ČąĹ™ČąÂ?ÂŽČąÂ•ÂŠČąÂœÂžÂ‹ÂœÂŽÂŒÂŒÂ’Ă Â—ČąĹ—ÇŻĹ—ÇŻĹ˜Ç°ČąÂŠČąÂ•ÂŠÂœČąÂ–ÂŠÂ?Â›Â’ÂŒÂŽÂœČąÂšÂžÂŽČąÂ?’Ž—Ž—ȹ ÂœĂ Â•Â˜ČąÂžÂ—ÂŠČąÄ™Â•ÂŠČąÂ˜ČąÂœĂ Â•Â˜ČąÂžÂ—ÂŠČąÂŒÂ˜Â•ÂžÂ–Â—ÂŠČąÂ•ÂŽÂœČąÂ•Â•ÂŠÂ–ÂŠÂ›ÂŽÂ–Â˜ÂœÇ°ČąÂ›ÂŽÂœÂ™ÂŽÂŒÂ?Â’Â&#x;Š–Ž—Â?Žǰȹ–ŠÂ?Â›Â’ÂŒÂŽÂœČąÄ™Â•ÂŠ y matrices columna. AdemĂĄs, en este libro utilizaremos una notaciĂłn especial en el caso de las matrices columna (cuando tengan mĂĄs de un elemento) anĂĄloga a la notaciĂłn vectorial a11 a Ȳ≼ 21 ¼Țǯ an1

o b

Šȹ›Š£à —ȹÂ?ÂŽČąÂŽÂœÂ?ÂŠČąÂ—Â˜Â?ÂŠÂŒÂ’Ă Â—ČąÂœÂŽČąÂ?Ž‹ŽȹŠȹ•Šȹ’Â?Ž—Â?Â’Ä™ÂŒÂŠÂŒÂ’Ă Â—ČąÂ—ÂŠÂ?ž›Š•ȹÂ?Žȹ–ŠÂ?Â›Â’ÂŒÂŽÂœČąÂŒÂ˜Â•ÂžÂ–Â—ÂŠČąÂŒÂ˜Â—Čą vectores del espacio vectorial n, esto es, es el conjunto conformado con vectores que tienen n coordenadas. A las matrices de tamaĂąo n u n les diremos matrices cuadradas de orden n y al conjunto formado por ĂŠstas se denotarĂĄ por ᑧn. Si A [aij] es una matriz cuadrada de orden n, se dice que los elementos a11, a22, ařř,..., ann forman o estĂĄn en la diagonal de la matriz A. Y si A [aij] Â? ᑧmun, diremos que los elementos aij con i j forman la diagonal principal de la matriz A. Ejemplo 1.6 Si

M

entonces m11 1, m22 ȹř, mřř cuadrada M.

£ȹȚ

1

Ĺ›

0

2

Ĺ?

Ĺ™

1

1

Ĺ™

0

4

2

1

Ĺ›

Ĺ&#x;

Ĺ?

ȹȚ§Ț

4, m44 ČąĹ?ČąÂœÂ˜Â—ČąÂ•Â˜ÂœČąÂŽÂ•ÂŽÂ–ÂŽÂ—Â?Â˜ÂœČąÂ?Žȹ•ŠȹÂ?’ŠÂ?Â˜Â—ÂŠÂ•ČąÂ?Žȹ•Šȹ–ŠÂ?›’£ȹ

1.1 Matrices Muestra digital ISSUU Š D.R. 2020 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Todos los derechos reservados. No puede ser copiado, escaneado o duplicado, total o parcialmente.10/06/2020


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DefiniciĂłn 1.3 Una matriz cuadrada A de orden n es triangular superior si las componentes que estĂĄn por debajo de la diagonal son todas nulas. La matriz es triangular inferior si las componentes que estĂĄn por arriba de la diagonal son todas iguales a cero. Ejemplo 1.7 Si

A

£ȹȚ

1

Ĺ›

0

2

0

Ĺ™

1

1

0

0

4

2

0

0

0

Ĺ?

ȹȚ§ȳ¢ȳB

£ȹȚ

1

0

0

0

Ĺ›

Ĺ™

0

0

2

0

4

0

Ĺœ

0

4

0

ȹȚ§

entonces A es una matriz triangular superior y B es una matriz triangular inferior. DefiniciĂłn 1.4 Sea A una matriz cuadrada de orden n. Se dice que A es una matriz diagonal si todas las componentes fuera de su diagonal son nulas. Si aii ČąÎ?i, i 1, 2, ‌, n, son las componentes de la diagonal de esta matriz, se escribe: ČąÂ?’ŠÂ?ÇťÎ?1Ç°ČąÎ?2ǰȹǯȹǯȹǯȹǰȹÎ?n)

A

para representar la matriz diagonal A. 4 Ejemplo 1.8 La matriz cuadrada ÂŁČš 0

0 Ĺ™ 0

0

0 0 Ț§ es diagonal. Esto es: 8 diag(4, Ĺ™, 8)

A

DefiniciĂłn 1.5 Si A [aij] Â? ᑧmun ÂœÂŽČąÂ?Žę—Žȹ•Šȹmatriz transpuesta de A como At donde bij aji para i 1, 2, ..., n y j 1, 2, ..., m.

[bij],

Žȹ•ŠȹÂ?ÂŽÄ™Â—Â’ÂŒÂ’Ă Â—ČąĹ—ÇŻĹ›ČąÂœÂŽČąÂ?Žœ™›Ž—Â?ŽȹšžŽȹAt tiene tamaĂąo n u m y que en la matriz trans™žŽœÂ?ÂŠČąÂ•ÂŠČąÂ™Â›Â’Â–ÂŽÂ›ÂŠČąÂŒÂ˜Â•ÂžÂ–Â—ÂŠČąÂŽÂœČąÂ•ÂŠČąÂ™Â›Â’Â–ÂŽÂ›ÂŠČąÄ™Â•ÂŠČąÂ?ÂŽČąA, la segunda columna es la segunda ꕊȹÂ?ÂŽČąA, etc. DefiniciĂłn 1.6 Una matriz cuadrada A es simĂŠtrica cuando At

Ejemplo 1.9 Si A

sČš

1

2

Ĺ™

4

Ĺ›

Ĺœ

Ĺ?

8

Ejemplo 1.10 La matriz A

sČš

ȚtȚǰ At

1

2

2

Ĺ™

1 2 £ȹȚ Ĺ™ 4

A.

Ĺ› Ĺœ ȹȚ Ĺ? § 8

Čšt es simĂŠtrica, pues claramente A

At.

1.1.4 Propiedades de las operaciones A continuaciĂłn enunciamos las principales propiedades de las operaciones con matrices, las cuales son, en general, fĂĄciles de probar y su comprobaciĂłn se deja como ejercicio al lector.

1. Si A, B, C Â? ᑧmun ¢ȹÎ?Ç°ČąE Â? : a) A B Â? ᑧmun. b) A (B C) (A B) C. MĂłdulo 1

Matrices y sistemas lineales

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D A B B A. E A A, donde es la matriz cero m u n. F Existe una matriz A � ᑧmun tal que A ( A) G

g) h) i) K

O. De hecho, si A

A [ aij]. Î?ČšA Â? ᑧmun. Î?ÇťEA) ȹǝÎ?E)A. ÇťÎ?Čą E)A ČąÎ?A EA. Î?ÇťA B) ČąÎ?A ČąÎ?B. 1A A.

[aij ],

2. a) Si A, B, C son matrices tales que los productos A(BC) y (AB)C ÂŽÂœÂ?¤Â—ČąÂ?Žę—’Â?Â˜ÂœÇ°Čą entonces: (AB)C.

A(BC)

C D E F

Si AB ÂŽÂœÂ?¤ȹÂ?Žę—’Â?Â˜Ç°ČąÂœÂŽČąÂ?’Ž—ŽǹȹÎ?ÇťAB) ȹǝÎ?A)B AÇťÎ?B). Si A Â? ᑧmun, AIn ImA A. En general AB z BA. Si A Â? ᑧmun y B, C Â? ᑧnup, entonces A(B C) AB AC.

3. a) Si A y B son matrices del mismo tamaĂąo, (A B)t At B t. C Si A y B son matrices tales que el producto AB ÂŽÂœÂ?¤ȹÂ?Žę—’Â?Â˜Ç°ČąÂŽÂ—Â?˜—ŒŽœȹǝAB)t D (At)t A A Â? ᑧmun.

B tAt.

Es conveniente que el lector tenga siempre presente la propiedad 2d); es decir, la no conmutatividad del producto de matrices. Ejemplo 1.11 sČš sČš

1

1

1

0

Ĺ™

4

Ĺ™

2

2

4

Ĺ?

8

ȚtȲsȚ

1

0

2

4

ȚtȲsȚ

ȚtȲ ȲsȚ

1

1

Ĺ™

2

ȚtȲ ȲsȚ

ȚtȚǰ

1

1

ȚtȚDz

14 10

esto es, sČš

1

1

Ĺ™

2

ȚtȲsȚ

1

0

1

0

1

1

2

4

2

4

Ĺ™

2

ȚtȲzȲsȚ

ȚtȲsȚ

Čšt

1.2 Sistemas lineales 1.2.1 Forma matricial, matriz aumentada Â’ČąÂœÂŽČąÂ?Â’ÂŽÂ—ÂŽČąÂŽÂ•ČąÂœÂ’ÂœÂ?Ž–Šȹ•’—ŽŠ•ȹǝĹ™ǟǰȹ™ǯȹśǰȹŠ

A

£ȹȚ

a11

a12

a1n

a21

a22

a2n

am1 am2

amn

ȹȚ§

(1.2)

1.2 Sistemas lineales Muestra digital ISSUU Š D.R. 2020 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Todos los derechos reservados. No puede ser copiado, escaneado o duplicado, total o parcialmente.10/06/2020


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se le llama la –ŠÂ?›’£ȹÂ?ÂŽČąÂŒÂ˜ÂŽÄ™ÂŒÂ’ÂŽÂ—Â?ÂŽÂœ del sistema. En tal caso, si o x

x1 x2 o ȉ ≼ ¼ y b ȉ ȉ xn

b1 b2 ȉ ≼ ¼Țǰ ȉ ȉ bm

entonces el sistema lineal se puede escribir en forma matricial como o Ax

o b,

pues al hacer el producto se obtiene a11x1 a21x1 ȹ ȉ ≼ȹ ȉ ȹ ȉ am1x1

ȉ ȉ ȉ

a12x2 a22x2 ȉ ȉ ȉ am2x2

ȉȚȉȚȉ ȉȚȉȚȉ ȉ ȉ ȉ ȉ ȉ ȉ ȉ ȉȚȉȚȉ

a1nxn b1 a2nxn b2 ȉ ȉ Ȳ Ȳ≼ ÂĽ ȉ ÂĽ ȉ ȉ ȉ bm amnxn

šžŽȹŽšž’Â&#x;ÂŠÂ•ÂŽÇ°ČąÂ™Â˜Â›ČąÂ?ÂŽÄ™Â—Â’ÂŒÂ’Ă Â—ČąÂ?Žȹ’Â?žŠ•Â?ŠÂ?ČąÂ?Žȹ–ŠÂ?Â›Â’ÂŒÂŽÂœÇ°ČąÂŠÂ•ČąÂœÂ’ÂœÂ?Ž–ŠȹǝĹ™ǟȹÂ?Žȹ•Šȹ™¤Â?’—Šȹśǯ Ejemplo 1.12 Para el sistema řȹuȹř Ȳ¥1Ȳ ȲȲx2Ȳ ȲĹ˜xĹ™Ȳ ȲĹ&#x; 2x1Ȳ ȲĹšx2Ȳ ȲĹ™xĹ™Ȳ ȲĹ— Ĺ™x1Ȳ ȲĹœx2Ȳ ȲĹ›xĹ™Ȳ ȲĹ– •Šȹ–ŠÂ?›’£ȹÂ?ÂŽČąÂŒÂ˜ÂŽÄ™ÂŒÂ’ÂŽÂ—Â?ÂŽÂœČąÂŽÂœ

A

1 Čš ÂŁ2 Ĺ™

1 4 Ĺœ

2 Ĺ™Ț§ Ĺ›

y la ecuaciĂłn matricial correspondiente es 1

1

2

x1

Ĺ&#x;

Ĺ™

Ĺœ

Ĺ›

xĹ™

0

ÂŁČš 2 4 Ĺ™Ț§Ȳ£Ț x2 Ț§Ȳ Ȳ£Ț 1 Ț§ o bo, H o o, son equivalenDefiniciĂłn 1.7 Dos sistemas lineales del mismo tamaĂąo, Ax x c tes si tienen el mismo conjunto de soluciones. ÂœČąÂŒÂ•ÂŠÂ›Â˜ČąÂšÂžÂŽČąÂŽÂ—ČąÂŽÂ•ČąÂŽÂ“ÂŽÂ–Â™Â•Â˜ČąĹšÇ°ČąÂ™ÇŻČąĹ?Ç°ČąÂœĂ Â•Â˜ČąÂœÂŽČąÂ?Â›ÂŠÂ‹ÂŠÂ“Ă ČąÂŒÂ˜Â—ČąÂ•Â˜ÂœČąÂŒÂ˜ÂŽÄ™ÂŒÂ’ÂŽÂ—Â?ÂŽÂœǰȹ¢ȹšžŽȹÂ?ÂŽČąÂ•ÂŠÂœČąÂ&#x;Šriables x1, x2 y xĹ™ Ăşnicamente se utiliza la posiciĂłn que tienen en el arreglo. Se ve entonces o o b que para resolver un sistema lineal Ax Ç°ČąÂ‹ÂŠÂœÂ?ŠȹÂ?Â›ÂŠÂ‹ÂŠÂ“ÂŠÂ›ČąÂŒÂ˜Â—ČąÂ•ÂŠČąÂ–ÂŠÂ?›’£ȹÂ?ÂŽČąÂŒÂ˜ÂŽÄ™ÂŒÂ’ÂŽÂ—Â?ÂŽÂœČąA y o el tĂŠrmino independienteřȹb . Para esto, a continuaciĂłn damos el siguiente concepto.

o o tÊrmino independiente en un sistema lineal Ax b, a la matriz columna b y tÊrminos independientes del mismo sistema a las respectivas componentes de este vector. řȹLlamaremos

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Definición 1.8 Para el sistema lineal: a11x1 a21x1 ȹ ȉ ȹ ȉ ȹ ȉ am1x1

o, en forma matricial, A o x

ȉ ȉ ȉ

ȉ ȉ ȉ

a12x2 a22x2 ȉ ȉ ȉ am2x2

ȉȚȉȚȉ ȉȚȉȚȉ ȉȚȉȚȉ ȉ ȉȚȉȚȉ ȉ ȉȚȉȚȉ ȉ ȉȚȉȚȉ

a1nxn a2nxn ȉ ȉ ȉ amnxn

ȉ ȉ ȉ

b1 b2 ȉ ȉ ȉ bm

x1 b1 x2 b2 o o ȉ ȉ o b con x ≼ ¼Ȳy b Ȳ ≼ ÂĽČš,ČąÂœÂŽČąÂ?Žę—Žȹ•Šȹmatriz aumentada ȉ ȉ ȉ ȉ xn bm

(tambiĂŠn se le llama matriz ampliada) del mismo como

o [Čš Čš_ b Čš]

a11 a21 ȹ ȉ ≼ ȹ ȉ ȹ ȉ am1

ȉȚȉȚȉ ȉȚȉȚȉ ȉȚȉȚȉ ȉȚȉȚȉ ȉȚȉȚȉ ȉȚȉȚȉ

a12 a22 ȉ ȉ ȉ am2

a1n a2n ȉ ȉȉ ȉ amn

p

b1 b2 ȉ ȉ ¼ ȉ bm

o El lado izquierdo en la particiĂłn [Čš Čš_ b ȚǞȹŒ˜—Â?’Ž—Žȹ•Šȹ–ŠÂ?›’£ȹÂ?ÂŽČąÂŒÂ˜ÂŽÄ™ÂŒÂ’ÂŽÂ—Â?ÂŽÂœȹǽaij] y el lado derecho contiene los tĂŠrminos independientes bi Â?ÂŽÂ•ČąÂœÂ’ÂœÂ?Ž–Šȹ•’—ŽŠ•ǯȹ ŠȹÂ?ÂŽÄ™Â—Â’ÂŒÂ’Ă Â—ČąÂŠÂ—Â?ÂŽÂ›Â’Â˜Â›Čą provee una notaciĂłn muy simple para evitar, en un sistema lineal, escribir las variables ¢ȹø—’ŒŠ–Ž—Â?ÂŽČąÂ?Â›ÂŠÂ‹ÂŠÂ“ÂŠÂ›ČąÂŒÂ˜Â—ČąÂ•Â˜ÂœČąÂŒÂ˜ÂŽÄ™ÂŒÂ’ÂŽÂ—Â?ÂŽÂœÇŻČą Šȹ™›’–Ž›ŠȹꕊȹÂ?Žȹ•Šȹ–ŠÂ?›’£ȹŠ–™•’ŠÂ?ŠȹŽšž’vale a la ecuaciĂłn a11x1 a12x2 ȹȉȚȉȚȉȹ a1nxn b1Ç°ČąÂ•ÂŠČąÂœÂŽÂ?ž—Â?ŠȹꕊȹŽšž’Â&#x;ÂŠÂ•ÂŽČąÂŠČąÂ•ÂŠČąÂŽÂŒÂžÂŠÂŒÂ’Ă Â—Čą a21x1 a22x2 ȹȉȚȉȚȉȹ a2nxn b2ǰȹŽÂ?ÂŒǯǰȹ¢ȹ•Šȹø•Â?’–ŠȹꕊȹŽšž’Â&#x;ÂŠÂ•ÂŽČąÂŠČąÂ•ÂŠČąÂŽÂŒÂžÂŠÂŒÂ’Ă Â—Čąam1x1 am2x2 o ȹȉȚȉȚȉȹ amnxn bm. La lĂ­nea vertical en la particiĂłn [Čš Čš_ b Čš] Ăşnicamente sirve para hacer notoria la columna que contiene los tĂŠrminos independientes bi del sistema lineal; y de hecho se puede omitir, si asĂ­ se desea, cuando se conviene en que la Ăşltima columna de la o matriz aumentada contenga el tĂŠrmino independiente b del sistema. Resolveremos ahora, en el siguiente ejercicio, el ejemplo 4 utilizando la matriz aumentada. Ejemplo 1.13 Para este caso, haciendo las mismas operaciones que en la discusiĂłn posterior al ejemplo 4, pero esta vez a los renglones de la matriz ampliada se tiene: 1 2 Ĺ&#x; 2 Ĺ&#x; m o 1 1 4 Ĺ™ȲpȲ 1 Ț§ȳ R2 l 2R1 R2 ȳ£Ț0 2 Ĺ?ȲpȲ Ĺ—Ĺ?Ț§ RĹ™ l Ĺ™R1 RĹ™ řȹ ĹœČą Ĺ› 0 Ĺ–Čą řȹ 11 Ĺ˜Ĺ?

1

ÂŁČš2

1

m o ȳ£Ț0

Rř l řR2 2Rř

0

1 2 0

2 Ĺ&#x; Ĺ?ȲpȲ Ĺ—Ĺ?Ț§ 1 Ĺ™

¢ǰȹÂŠÂ•ČąÂ‘ÂŠÂŒÂŽÂ›ČąÂœÂžÂœÂ?Â’Â?ÂžÂŒÂ’Ă Â—ČąÂ›ÂŽÂ?›Žœ’Â&#x;ÂŠČąÂŒÂ˜Â–Â˜ČąÂœÂŽČąÂ‘Â’ÂŁÂ˜ČąÂŽÂ—ČąÂŽÂœÂŽČąÂŽÂ“ÂŽÂ–Â™Â•Â˜ȹǝÂŒÂ?ǯȹ™ǯȹĹ?ǟǹ x1

1

xĹ™

Ĺ™

£Ț x2 Ț§Ȳ Ȳ£Ț 2 Ț§Ț.

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1.2.2 Matrices y sistemas escalonados —ȹ•Šȹ’—Â?›˜Â?ÂžÂŒÂŒÂ’Ă Â—ČąÂ?ŠÂ?ŠȹŠ•ȹ–¡Â?˜Â?Â˜ČąÂ?ÂŽČą ŠžœœȹǝÂŒÂ?ǯȹ™ǯȹĹ?ǟȹÂœÂŽČąÂ‘Â’ÂŁÂ˜ČąÂ›ÂŽÂ?ÂŽÂ›ÂŽÂ—ÂŒÂ’ÂŠČąÂŠÂ•ČąÂ?¡Â›Â–Â’Â—Â˜Čąsistema escalonado; en este apartado precisamos este concepto utilizando herramienta matricial. DefiniciĂłn 1.9 La matriz A Â? ᑧmun estĂĄ en forma escalonada si se cumplen las siguientes dos condiciones.

r r

ÂŠÂœČąÄ™Â•ÂŠÂœČąÂ—ÂžÂ•ÂŠÂœȹǝÂœÂ’ČąÂŽÂĄÂ’ÂœÂ?Ž—ǟ4ČąÂŽÂœÂ?¤Â—ČąÂ™Â˜Â›ČąÂ?ÂŽÂ‹ÂŠÂ“Â˜ČąÂ?ÂŽČąÂ•ÂŠÂœČąÄ™Â•ÂŠÂœČąÂ—Â˜ČąÂ—ÂžÂ•ÂŠÂœÇŻ •ȹ™›’–Ž›ȹŽ•Ž–Ž—Â?Â˜ČąÂ?Â’ÂœÂ?’—Â?Â˜ČąÂ?ÂŽČąÂŒÂŽÂ›Â˜ČąÂ?ÂŽČąÂŒÂŠÂ?ÂŠČąÄ™Â•ÂŠČąÂ—Â˜ČąÂ—ÂžÂ•ÂŠČąÂŽÂœÂ?¤ȹŠȹ•ŠȹÂ?ÂŽÂ›ÂŽÂŒÂ‘ÂŠČąÂ?Ž•ȹ™›’–Ž›ȹ Ž•Ž–Ž—Â?Â˜ČąÂ?Â’Â?Ž›Ž—Â?ÂŽČąÂ?ÂŽČąÂŒÂŽÂ›Â˜ČąÂ?ÂŽČąÂ•ÂŠÂœČąÄ™Â•ÂŠÂœČąÂ™Â›ÂŽÂŒÂŽÂ?Ž—Â?ÂŽÂœÇŻĹ›

Ejemplo 1.14 Si 0 0 AȲ ≼ 0 0 0

Ĺ—Čą Ĺ˜Čą 0 1 0 0 0 0 0 0

řȹ śȹ Ĺ™ 0 2 4 0 0 1 ¼ȲyČł 0 0 0 0 0 0

Ĺ—Čą 0 Ȳ≼ 0 0 0

Ĺ˜Čą 1 0 0 0

Śȹ Ŗȹ ř 2 řȹ Ś 1 0 2¼ 2 řȹ Ŗ 0 0 0

A estĂĄ en forma escalonada pero B no. DefiniciĂłn 1.10 •ȹ™›’–Ž›ȹŽ•Ž–Ž—Â?Â˜ČąÂ?Â’ÂœÂ?’—Â?Â˜ČąÂ?ÂŽČąÂŒÂŽÂ›Â˜ČąÂ?ÂŽČąÂŒÂŠÂ?ÂŠČąÄ™Â•ÂŠČąÂ—Â˜ČąÂ—ÂžÂ•ÂŠÇ°ČąÂ?Žȹž—Šȹ–ŠÂ?›’£ȹ en forma escalonada, se le llama pivote. o c o estĂĄ escalonado si la matriz ampliada [ H _ o c ] es una DefiniciĂłn 1.11 Un sistemaČą Ț¥ matriz escalonada. A las variables que correspondan a pivotes en un sistema escalonado, se les dice variables ligadas (o principales, o bĂĄsicas) y a las restantes, variables libres (o no bĂĄsicas). Ejemplo 1.15 En el sistema escalonado 4 uČąĹœÇą

£ȹȚ

1

0

Ĺ™ 2 1

Ĺ›

0

0

Ĺ›

0 1

1

0

0

0

0 Ĺ?

Ĺœ

0

0

0

0 0

Ĺ›

p

ȲȲ

2 Ĺ™

§

ȹȚ

Ĺ? 0

‘Š¢ȹ™’Â&#x;˜Â?ÂŽÂœČąÂŽÂ—ČąÂ•ÂŠÂœČąÂŒÂ˜Â•ÂžÂ–Â—ÂŠÂœČąĹ—Ç°ČąĹ™Ç°ČąĹ›ȹ¢ȹĹœČąÂšÂžÂŽČąÂŒÂ˜Â›Â›ÂŽÂœÂ™Â˜Â—Â?ÂŽÂ—Ç°ČąÂ›ÂŽÂœÂ™ÂŽÂŒÂ?Â’Â&#x;Š–Ž—Â?ÂŽÇ°ČąÂŠČąÂ•ÂŠÂœČąÂ&#x;Š›’Š‹•Žœ x1, xĹ™, xĹ› y xĹœ. AsĂ­ que estas variables son ligadas y x2 y x4 son variables libres. Entonces, para resolver un sistema escalonado, al hacer sustituciĂłn regresiva, se despejan las variables ligadas dejĂĄndolas en funciĂłn de las variables libres procediendo de abajo hacia arriba, en el caso que el sistema tenga variables libres; en caso contrario, simplemente se despejan las variables ligadas actuando tambiĂŠn de abajo hacia arriba. Ejemplo 1.16 Resolver los siguientes sistemas lineales escalonados: 1

1. ÂŁČš0 0

řȹ Ĺ› Ĺ™ 1 2ȲpȲ 2Ț§ 0 0 1

4 Â—ÂŠČąÄ™Â•ÂŠČąÂŽÂœČąÂ—ÂžÂ•ÂŠČąÂœÂ’ČąÂ?˜Â?ÂŠÂœČąÂœÂžÂœČąÂŽÂ—Â?›ŠÂ?ÂŠÂœČąÂœÂ˜Â—ČąÂŒÂŽÂ›Â˜ÂœDzȹÂžÂ—ÂŠČąÄ™Â•ÂŠČąÂŽÂœČąÂ—Â˜ČąÂ—ÂžÂ•ÂŠČąÂœÂ’ČąÂ™Â˜Â›ČąÂ•Â˜ČąÂ–ÂŽÂ—Â˜ÂœČąÂžÂ—ÂŠČąÂ?ÂŽČąÂœÂžÂœČąÂŒÂ˜Â–Â™Â˜-

nentes es distinta de cero. śȹ Â—ČąÂŽÂ•ČąÂŒÂŠÂœÂ˜ČąÂšÂžÂŽČąÂŽÂ•ČąÂ™Â›Â’Â–ÂŽÂ›ČąÂŽÂ•ÂŽÂ–ÂŽÂ—Â?Â˜ČąÂ?Â’ÂœÂ?’—Â?Â˜ČąÂ?ÂŽČąÂŒÂŽÂ›Â˜ČąÂŽÂœÂ?¡ȹÂŽÂ—ČąÂ•ÂŠČąÂ™Â›Â’Â–ÂŽÂ›ÂŠČąÄ™Â•ÂŠÇ°ČąÂœÂŽČąÂœÂ˜Â‹Â›ÂŽÂŽÂ—Â?’Ž—Â?ÂŽČąÂšÂžÂŽČąÂ•ÂŠČąÂŒÂ˜Â—Â?Â’-

ciĂłn se cumple por vacuidad.

MĂłdulo 1

Matrices y sistemas lineales

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2.

Ĺ› Ĺ—Čą Ĺ™ Ĺ™ ÂŁČš 0 řȹ Ĺ›ȲpȲ 8Ț§ 0 0 2 4

3.

1 ÂŁČš00 0

řȹ 0 0 0

Ĺ–Čą 1 0 0

śȹ 2 0 0

4 Ĺ– 0 Ĺ? ȲpȲ Ț§ 1 1 0 0

SoluciĂłn:

1. Para este sistema no pueden existir números reales x1, x2, xř tales que 0x1 0x2 0xřȹ

1, es decir, el sistema no tiene soluciĂłn, es inconsistente.

2. En este caso, x1, x2 y xĹ™ son todas variables ligadas, el sistema no tiene variables libres y: xĹ™

4 2

8 5x3 Ĺ™

2;ȳ¥2

ČąĹœDzȳ¥1

3 x2 3x3 Ĺ›

řǯ

x1 Ĺ™ ÂœČąÂ?ŽŒ’›ǰȲ£Ț x2 Ț§Ȳ Ȳ£Ț ĹœȚ§ȲÂŽÂœČąÂ•ÂŠȹøÂ—Â’ÂŒÂŠČąÂœÂ˜Â•ÂžÂŒÂ’Ă Â—ÇŻ 2 xĹ™

3. Para este sistema escalonado x1, xĹ™ y xĹ› son las variables ligadas; mientras que x2 y

x4 son las variables libres. Entonces xĹ› 1, xĹ™ Ĺ?Čą 2x4, x1 4 ȹřx2 ȹśx4, lo cual indica que al dar valores concretos arbitrarios a las variables libres x2 y x4 se obtiene ÂžÂ—ÂŠČąÂœÂ˜Â•ÂžÂŒÂ’Ă Â—ÇŻČą ÂœĂ‡Ç°ČąÂŽÂ•ČąÂŒÂ˜Â—Â“ÂžÂ—Â?Â˜ČąÂ?ÂŽČąÂœÂ˜Â•ÂžÂŒÂ’Â˜Â—ÂŽÂœČąÂ?ÂŽČąÂŽÂœÂ?ÂŽČąÂœÂ’ÂœÂ?ÂŽÂ–ÂŠČąÂŽÂœČąÂ’Â—Ä™Â—Â’Â?˜ȹ¢ȹÂŽÂœÂ?¤ȹÂ?ŠÂ?Â˜Čą por: {(x1, x2, xĹ™, x4, xĹ›) _ xĹ›

Ĺ?Čą 2x4, x1

1, xĹ™

4 ȹřx2 ȹśx4; x2, x4 � }

Una manera mĂĄs compacta de expresar las soluciones es:

≼

x1 x2 xĹ™ x4 xĹ›

ÂĽ

4 ȹřs ȹśr s Ȳ≼ Ĺ?Čą 2r ¼Țǰȳr, s Â? . r 1

Al dar valores concretos a r y s se obtendrĂĄ una soluciĂłn particular; por ejemplo, si r 0 y s 0, es fĂĄcil darse cuenta que:

≼

x1 x2 xĹ™ x4 xĹ›

ÂĽ

4 0 Ȳ≼ Ĺ?Čą ÂĽ 0 1

resuelve el sistema de ecuaciones.

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1.2.3 Operaciones de renglĂłn, equivalencia por filas, soluciones de sistemas escalonados Operaciones elementales de renglĂłn para matrices

1. —Â?ÂŽÂ›ÂŒÂŠÂ–Â‹Â’Â˜ČąÂ?ÂŽČąÄ™Â•ÂŠÂœǹȹRi l RjČš. 2. Cambio de escala: Ri l DRi (D z 0). 3. ž–ŠȹÂ?ÂŽČąÄ™Â•ÂŠÂœǹȹRi l DRi ERj (D z 0). ÂŠÂœČąÂŒÂžÂŠÂ•ÂŽÂœČąÂœÂ’Â?Â—Â’Ä™ÂŒÂŠÂ—Ç°ČąÂ›ÂŽÂœÂ™ÂŽÂŒÂ?Â’Â&#x;Š–Ž—Â?ÂŽÇą

r r r

Šȹꕊȹi ÂœÂŽČąÂ’Â—Â?ÂŽÂ›ÂŒÂŠÂ–Â‹Â’ÂŠČąÂŒÂ˜Â—ČąÂ•ÂŠČąÄ™Â•ÂŠČąj. Šȹꕊȹi ÂœÂŽČąÂŒÂŠÂ–Â‹Â’ÂŠČąÂ™Â˜Â›ČąÂ•ÂŠČąÂ–Â’ÂœÂ–ÂŠČąÄ™Â•ÂŠČąÂ–ÂžÂ•Â?’™•’ŒŠÂ?ÂŠČąÂ™Â˜Â›ČąD. Šȹꕊȹi se cambia por la suma de DČŹÂ&#x;ÂŽÂŒÂŽÂœČąÂ•ÂŠČąÄ™Â•ÂŠČąi con EČŹÂ&#x;ÂŽÂŒÂŽÂœČąÂ•ÂŠČąÄ™Â•ÂŠČąj.

Equivalencia por filas y sistemas equivalentes DefiniciĂłn 1.12 Sean A, B Â? ᑧmun. La matriz B es equivalenteȹǝÂ™Â˜Â›ČąÄ™Â•ÂŠÂœǟȹŠȹ•Šȹ–ŠÂ?›’£ȹA, ÂœÂ’ČąÂœÂŽČąÂ™ÂžÂŽÂ?ÂŽČąÂ˜Â‹Â?Ž—Ž›ȹŠȹ™Š›Â?’›ȹÂ?ÂŽȹ¡ÂœÂ?ÂŠČąÂ™Â˜Â›ČąÂ–ÂŽÂ?Â’Â˜ČąÂ?ÂŽČąÂžÂ—ÂŠČąÂœÂžÂŒÂŽÂœÂ’Ă Â—ČąÄ™Â—Â’Â?ŠȹÂ?ÂŽČąÂ˜Â™ÂŽÂ›ÂŠÂŒÂ’Â˜Â—ÂŽÂœČąÂŽÂ•ÂŽmentales de renglĂłn. Esto es, si existen E1, E2, ‌ , Ek 1, matrices de tamaĂąo m u n, tales que si E0 A y Ek B, cada Ej ÂŽÂœČąÂŽÂ•ČąÂ›ÂŽÂœÂžÂ•Â?ŠÂ?Â˜ČąÂ?ÂŽČąÂŠÂ™Â•Â’ÂŒÂŠÂ›ČąÂžÂ—ÂŠČąÂœÂžÂŒÂŽÂœÂ’Ă Â—ČąÄ™Â—Â’Â?ŠȹÂ?ÂŽČąÂ˜Â™ÂŽÂ›ÂŠÂŒÂ’Â˜Â—ÂŽÂœČą elementales de renglĂłn a la matriz Ej 1. Se utiliza la notaciĂłn B a A o B l A, para denotar que B es equivalente a A. Ejemplo 1.17 žŽœÂ?Â˜ČąÂšÂžÂŽȹǝÂŒÂ?ÇŻČąÂŽÂ“ÂŽÂ–Â™Â•Â˜ČąĹ—ÇŻĹ—Ĺ™Ç°ČąÂ™ÇŻČąĹ˜Ĺ™Çź Ĺ—ȲȹĹ—ȲȹȲȹĹ˜ȲȹĹ&#x; m o Ĺ—ȲȹĹ—Ȳ Ĺ˜ȲȹȲ Ĺ&#x; m o Ĺ—ȲȹĹ—Ȳȹ Ĺ˜ȲȲȹ Ĺ&#x; Čš ÂŁ Ĺ˜ȲȹĹšȲȹ Ĺ™ȲȹĹ—Ț§Ȳ R2 l 2R1 R2 Ȳ£ȚĹ–ȲȹĹ˜ȲȹȲ Ĺ?Ȳȹ Ĺ—Ĺ?Ț§Ȳ RĹ™ l Ĺ™R2 2RĹ™ Ȳ£ȚĹ–ȲȹĹ˜Ȳȹ Ĺ?Ȳȹ Ĺ—Ĺ?Ț§Ț, Ĺ™ȲȹĹœȲȹ Ĺ›ȲȹĹ– RĹ™ l Ĺ™R1 RĹ™ Ĺ–ȲȹĹ™Ȳȹ Ĺ—Ĺ—Ȳȹ Ĺ˜Ĺ? Ĺ–ȲȹĹ–Ȳȹ Ĺ—ȲȲ Ĺ™

la matriz B

Ĺ—ȲȹĹ—Ȳȹ Ĺ˜ȲȹȲ Ĺ&#x; Čš Ț§ es equivalente a la matriz A Ĺ–ȲȹĹ˜Ȳȹ Ĺ?Ȳȹ Ĺ—Ĺ? ÂŁ Ĺ–ȲȹĹ–Ȳȹ Ĺ—ȲȲȹ Ĺ™

Ĺ—ȲȹĹ—ȲȹȲȹĹ˜ȲȹĹ&#x; Čš ÂŁ Ĺ˜ȲȹĹšȲȹ Ĺ™ȲȹĹ—Ț§ (B a A). Ĺ™ȲȹĹœȲȹ Ĺ›ȲȹĹ–

Žȹ™žŽÂ?ÂŽČąÂ?Ž–˜œÂ?Â›ÂŠÂ›ČąÂšÂžÂŽČąÂ•ÂŠČąÂ›ÂŽÂ•ÂŠÂŒÂ’Ă Â—ČąÂ?ŽȹŽšž’Â&#x;ÂŠÂ•ÂŽÂ—ÂŒÂ’ÂŠČąÂ™Â˜Â›ČąÄ™Â•ÂŠÂœČąÂŽÂœÇ°ČąÂŽÂ—ČąÂŽÂ?ÂŽÂŒÂ?Â˜Ç°ČąÂžÂ—ÂŠČąÂ›ÂŽÂ•ÂŠciĂłn de equivalencia en el conjunto ᑧmun, esto es:

r r r

ÂœČąÂ›ÂŽÄšÂŽÂĄÂ’Â&#x;ŠǹȹA a A A Â? ᑧmun. Es simĂŠtrica: A a B Â&#x; B a A A, B Â? ᑧmun. Es transitiva: A a B, B a C Â&#x; A a C A, B, C Â? ᑧmun.

ÂŠČąÂ™Â›Â˜Â™Â’ÂŽÂ?ŠÂ?ČąÂ?ÂŽČąÂœÂ’Â–ÂŽÂ?Â›Ă‡ÂŠČąÂ’Â–Â™Â•Â’ÂŒÂŠČąÂšÂžÂŽČąÂžÂ—ÂŠČąÂ–ÂŠÂ?Â›Â’ÂŁČąÂŽÂœČąÂŽÂšÂžÂ’Â&#x;Š•Ž—Â?ÂŽČąÂ™Â˜Â›ČąÄ™Â•ÂŠÂœČąÂŠČąÂ˜Â?Â›ÂŠČąÂœÂ’ȹ¢ȹÂœĂ Â•Â˜Čą si ĂŠsta es equivalente a la primera; por esta razĂłn, de aquĂ­ en adelante, simplemente diÂ›ÂŽÂ–Â˜ÂœČąÂšÂžÂŽČąÂ?Â˜ÂœČąÂ–ÂŠÂ?Â›Â’ÂŒÂŽÂœČąÂœÂ˜Â—ČąÂŽÂšÂžÂ’Â&#x;Š•Ž—Â?ÂŽÂœȹǝÂ™Â˜Â›ČąÄ™Â•ÂŠÂœǟȹÂœÂ’ČąÂŒÂžÂ–Â™Â•ÂŽÂ—ȹǝÂŽÂ—ČąÂŒÂžÂŠÂ•ÂšÂžÂ’ÂŽÂ›ČąÂ˜Â›Â?Ž—ǟȹ•Šȹ Â?ÂŽÄ™Â—Â’ÂŒÂ’Ă Â—ČąĹ—ÇŻĹ—Ĺ˜ÇŻ Al aplicar operaciones de renglĂłn a un sistema, se obtiene un sistema equivalente. Es decir: o o Teorema 1.1 Si [ČšA _ b Čš] a [ČšH _ o c Čš], entonces los sistemas A o x b yHo x o c tienen las mismas soluciones. ÂœČąÂŒÂ•ÂŠÂ›Â˜ČąÂšÂžÂŽČąÂœÂ’ÂŽÂ–Â™Â›ÂŽČąÂœÂŽČąÂ™ÂžÂŽÂ?ÂŽÂ—ČąÂŠÂ™Â•Â’ÂŒÂŠÂ›ČąÂ˜Â™ÂŽÂ›ÂŠÂŒÂ’Â˜Â—ÂŽÂœČąÂ?ŽȹꕊȹŠȹž—Šȹ–ŠÂ?›’£ȹA, de manera adecuada, para obtener una matriz escalonada equivalente a ella. Lo cual se hace patente MĂłdulo 1

Matrices y sistemas lineales

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en la siguiente proposición. La demostración de este importante resultado se encuentra desarrollada formalmente en el método de Gauss del apartado 1.2.4. Teorema 1.2 ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ę ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ escalonada.

Soluciones de sistemas escalonados ȱ ȱŗǯŗŜȱǻ ¤ ǯȱŘŚǼȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ¢ ȱ à ȱ ȱ lla y se deja como ejercicio al lector. o o Teorema 1.3 Sea un sistema Ax b y suponga que [ȹH _ o c ȹ] es un sistema (cualquier siso o ȹ ȹ tema) escalonado equivalente, es decir, [A _ b ] a [ H _ c ], entonces: o

1. Axo b es inconsistente si y sólo si [ȹH _ o c ȹǾȱ ȱ ȱę ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ ȱ ¢ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ à ȱǻ ǯȱ ȱŗǯŗŜȱ ȱŗǼǯ o

2. Axo b tiene solución única si y sólo si es consistente y [ȹH _ o c ȹ] tiene pivote en todas 3.

ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ ȱ ȱ ȱ à ȱǻ ǯȱ ȱŗǯŗŜȱ ȱŘǼǯ o o b Ax tiene ę ȱ ȱ si y sólo si es consistente y [ȹH _ o c ȹ] no tiene pivote ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ ȱ ȱ ȱ à ȱǻ ǯȱ ȱŗǯŗŜȱ ȱřǼǯ

1.2.4 Método de Gauss El método de Gauss sirve para “llevar” una matriz a una forma escalonada equivalente aplicando operaciones de renglón. Bosquejamos el método por medio del siguiente algoritmo: Suponga que A es una matriz m u n no nula (si A es la matriz cero, A está en forma escalonada).

G1: ȱ ȱ ȱę ȱ ȱA que tenga su primer elemento distinto de cero y se intercambia ǻ ȱ ȱ Ǽȱ ȱ ȱ ȱę ȱ ȱ ȱ £ȱADzȱ ȱ ȱ ¡ ȱ ȱę ȱ ȱA que ten ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱę ȱ ȱ ȱ £ȱA que tenga el segundo elemento distinto de cero y se intercambia (si es necesario) con la primera ę ȱ ȱ ȱ £ȱADzȱ ȱ ȱ ȱ Çǰȱ ȱ ȱ ȱę ȱ ȱA que tenga el tercer ele ȱ ȱ ȱ ȱ¢ȱ ȱ ȱǻ ȱ ȱ Ǽȱ ȱ ȱ ȱę ȱ ȱA, ǯǰȱ ȱę ȱ ȱ £ȱB1 a A con un primer elemento no nulo en ȱ ȱę ȱ ȱ ȱpivote ǻ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱę Ǽǯ Por ejemplo, si A

Ŗȳ Śȳ ŗȳř Ȳ£ȹřȳ Śȳ Ŗȳŝ ȹ§ȹ, entonces una operación de renglón para ŗȳ ŗȳ řȳś

llevar a cabo este paso puede ser R1 l Rř, resultando la equivalencia de matrices B1

A

0 3 1

−4 −1 3 4 0 7 1 3 5

1 3 0

1 3 5 4 0 7 −4 −1 3

ȱ ȱ ȱ ȱ ȱę ȱ ȱ ȱ £ȱB1 es b111

1

G2: ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱę ȱ ȱB1 se transforman en ceros los elementos que están por debajo de él mediante la operación ȱ ȱę , obteniendo una matriz

1.2 Sistemas lineales Muestra digital ISSUU © D.R. 2020 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Todos los derechos reservados. No puede ser copiado, escaneado o duplicado, total o parcialmente.10/06/2020


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B2 a B1 a A, que tendrå todas las componentes nulas debajo del pivote de la ™›’–Ž›Šȹꕊǯ Por ejemplo, con el caso particular ilustrado en el paso anterior podemos hacer ceros los elementos debajo del pivote 1ȹ�Žȹ•Šȹ™›’–Ž›Šȹꕊȹ�Žȹ•Šȹ–Š�›’£ȹB1 mediante la operación R2 l řR1 R2 para obtener la matriz B2, i. e.: B2

1 3 0

1

B2

3 5

4 0 7 −4 −1 3

âˆź

1 0 0

1 3 5 1 −9 −8 −4 −1 3

G3: Â‘Â˜Â›ÂŠČąÂœÂŽČąÂ›ÂŽÂ™Â’Â?ÂŽÂ—ČąÂ•Â˜ÂœČąÂ™ÂŠÂœÂ˜ÂœČą Ĺ—ȹ¢ȹ Ĺ˜ČąÂŒÂ˜Â—ČąÂ•ÂŠČąÂœÂŽÂ?ž—Â?ŠȹꕊȹÂ?Žȹ•Šȹ–ŠÂ?›’£ȹB2, produciendo

una matriz BĹ™ a B2 a B1 a A cuyas componentes serĂĄn nulas debajo del pivote de su œŽÂ?ž—Â?Šȹꕊǯ

ÂŠÂ›ÂŠČąÂŽÂ•ČąÂŒÂŠÂœÂ˜ČąÂ™ÂŠÂ›Â?Â’ÂŒÂžÂ•ÂŠÂ›ČąÂ’Â•ÂžÂœÂ?›ŠÂ?Â˜Ç°ČąÂŽÂ•ČąÂ™Â’Â&#x;˜Â?ÂŽČąÂ?ÂŽČąÂ•ÂŠČąÂœÂŽÂ?ž—Â?ŠȹꕊȹÂ?Žȹ•Šȹ–ŠÂ?Â›Â’ÂŁĹœ B2 es 2 b22 1. Se pueden hacer ceros los elementos debajo del mismo mediante la operaciĂłn RĹ™ l 4R2 RĹ™, esto es BĹ™

B2 Ĺ—Čą Ĺ—Čą Ȳ řȹ Ĺ› 0 1 Čą Ȳ Ĺ&#x;Čą 8 0 4 1 Ĺ™

a

Ĺ—Čą Ĺ—Čą Ȳ řȹ Ȳ Ĺ› Ĺ–Čą Ĺ—Čą Ȳ Ĺ&#x;Čą Ȳ 8 0 0 Ĺ™Ĺ?Čą Ĺ˜Ĺ&#x;

G4: Žȹ›Ž™’Â?ÂŽÂ—ČąÂ•Â˜ÂœČąÂ™ÂŠÂœÂ˜ÂœČą Ĺ—Ç°Čą Ĺ˜ȹ¢ȹ Ĺ™ČąÂŒÂ˜Â—ČąÂ•ÂŠÂœČąÄ™Â•ÂŠÂœČąÂœÂžÂ‹ÂœÂŽÂŒÂžÂŽÂ—Â?ÂŽÂœČąÂ?ÂŽČąÂ•ÂŠÂœČąÂ–ÂŠÂ?Â›Â’ÂŒÂŽÂœČąÂŽÂšÂžÂ’Â&#x;Šlentes que resulten, hasta obtener una matriz H en forma escalonada de acuerdo con •ŠȹÂ?ÂŽÄ™Â—Â’ÂŒÂ’Ă Â—ČąĹ—ÇŻĹ&#x;ÇŻ Para el caso ilustrado previamente, la matriz BĹ™ ya estĂĄ en forma escalonada, con lo que A 0 4 Ĺ—Čą řȹ 4 Ĺ–Čą 1 1 řȹ

BĹ™ Ĺ™ Ĺ? Ĺ›

a

H

Ĺ—Čą Ĺ—Čą Ȳ řȹ Ȳ Ĺ› Ĺ–Čą Ĺ—Čą Ȳ Ĺ&#x;Čą Ȳ 8 0 0 Ĺ™Ĺ?Čą Ĺ˜Ĺ&#x;

terminarĂ­a el proceso para este ejemplo particular. Ejemplo 1.18 ‹Â?Ž—Ž›ȹž—Šȹ–ŠÂ?›’£ȹŽšž’Â&#x;Š•Ž—Â?ÂŽČąÂ™Â˜Â›ČąÄ™Â•ÂŠÂœČąÂŠČąÂ•ÂŠČąÂ–ÂŠÂ?›’£

A

2 2 4 0

4 2 2 4 řȹ 4 8 řȹ 2 0 1 2

que estĂŠ en forma escalonada.Ĺ? ĹœČąEl

2 de esta notaciĂłn juega el papel de un superĂ­ndice, haciendo referencia a la matriz B nĂşmero 2 en b22 2 y no de un exponente.

Ĺ?Čą Se ha marcado en color azul los pivotes en cada paso para que el lector recuerde que el propĂłsito es ir haciendo ceros, mediante las operaciones de renglĂłn indicadas, los elementos debajo de ellos.

MĂłdulo 1

Matrices y sistemas lineales

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SoluciĂłn:

A

2 2 4 0

4 2 2 4 řȹ 4 8 řȹ 2 0 1 2

1 1 1 2 4 řȹ 4 Ȳ4 8 řȹ 2 Ȳ0 0 1 2 Ȳ2

m o R l (1/2) R 1

1

1 2 1 1 0 0 1 2 0 0 1 2 0 0 1 2

m o R l 2R R 2

1

2

RĹ™ l 4R1 RĹ™

1 2 0 0 0 0 0 0

m o R l R R Ĺ™

Ĺ™

2

R4 l R2 R4

1 1 1 2 0 0 0 0

H La matriz resultante, H, estĂĄ en forma escalonada y es equivalente a la matriz A.

MĂŠtodo de Gauss para resolver sistemas lineales Ejemplo 1.19 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el mĂŠtodo de Gauss. Ȳ¥1 2x2 Ȳ¥Ĺ™ Ȳ¥4

4

2x1 řx2 2xř řx4

1

řx1 śx2 řxř 4x4

Ĺ™

x1 Ȳ¥2 Ȳ¥Ĺ™ 2x4

Ĺ›

SoluciĂłn: Para resolver el problema llevaremos la matriz aumentada a una forma escalonada y haremos sustituciĂłn regresiva.8 4 1 2 1 1 2 řȹ Ĺ˜Čą Ĺ™ 1 ÂŁČš řȹ śȹ řȹ 4ȲpȲ Ĺ™Ț§ m o Ĺ› 1 1 1 2

1 0 ÂŁČš0 0

2 1 1 1

4 1 1 0 1 Ĺ&#x; ȲpȲ Ț§ 0 1 Ĺ&#x; Ĺ&#x; 0 1

1 0 m o ÂŁČš 0 0

2 1 0 0

4 1 1 0 1 Ĺ&#x; ȲpȲ Ț§ 0 0 0 0 0 0

Así, las variables ligadas son x1, x2 y las libres xř, x4. Y x2 x4 14 ȹřx4 xř. La solución estå dada entonces por: x1 x2 ≼ ¼ xř x4

Ĺ&#x;Čą x4; x1

4 2x2 xĹ™

14 ȹřr s Ĺ&#x;Čą r Ȳ≼ ¼Țǰȳr, s Â? s r

8

De aquĂ­ en adelante, salvo algunas excepciones, ya no indicaremos las operaciones de renglĂłn que se requieren para obtener una forma escalonada equivalente a una matriz, pues el objetivo es utilizar la notaciĂłn matricial para auxiliarse y hacer todos los cĂĄlculos mecĂĄnica y mentalmente.

1.2 Sistemas lineales Muestra digital ISSUU Š D.R. 2020 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Todos los derechos reservados. No puede ser copiado, escaneado o duplicado, total o parcialmente.10/06/2020


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Sistemas con la misma matriz de coeficientes ÂœČąÂ?›ŽŒžŽ—Â?ŽȹŽ—ȹ•Šȹ™›¤ÂŒÂ?Â’ÂŒÂŠČąÂ?ÂŽÂ—ÂŽÂ›ČąÂšÂžÂŽČąÂ›ÂŽÂœÂ˜Â•Â&#x;ÂŽÂ›ČąÂœÂ’ÂœÂ?ÂŽÂ–ÂŠÂœČąÂŒÂ˜Â—ČąÂ•ÂŠČąÂ–Â’ÂœÂ–ÂŠČąÂ–ÂŠÂ?›’£ȹÂ?ÂŽČąÂŒÂ˜ÂŽÄ™ÂŒÂ’ÂŽÂ—tes pero con distintos tĂŠrminos independientes. En lugar de resolverlos cada uno por separado, se pueden solucionar simultĂĄneamente colocando en el lado derecho de la particiĂłn las columnas que contienen los tĂŠrminos independientes de cada sistema, llevar a forma escalonada y resolver por sustituciĂłn regresiva columna por columna. Ejemplo 1.20

x 2y ȹřz

2

x 4y ȹśz

Ĺ?Čą

ǝŗǯřǟ

y

r 2s ȹřt

1

r 4s ȹśt

4

Â?Â’ÂŽÂ—ÂŽÂ—ČąÂ•ÂŠČąÂ–Â’ÂœÂ–ÂŠČąÂ–ÂŠÂ?›’£ȹÂ?ÂŽČąÂŒÂ˜ÂŽÄ™ÂŒÂ’ÂŽÂ—Â?ÂŽÂœÇ°ČąsČš ys

1 4

1 2 1

(1.4)

Ĺ™ 2 ČštȚǰȹ¢ȹÂ?¡Â›Â–Â’Â—Â˜ÂœČąÂ’Â—Â?Ž™Ž—Â?’Ž—Â?ÂŽÂœČąs t Ĺ› Ĺ?

4

t, respectivamente. Entonces, sČš

1 2 1

4

Ĺ™ 2 1 1 2 ȲpȲ ČštȲlȲsČš Ĺ› Ĺ? 4 0 2

Resolviendo para la primera columna se tiene y así que x Ț £ y Ț§

ÂŁČš

Ĺ™ 2 1 ȲpȲ ČštČą 8 Ĺ› Ĺ™

Ĺ›

2 4z, x

2 2y ȹřz

ǝŗǯśǟ ȹřȹ 11z;

řȹ 11D ś 2

4D Ț§Țǰ D

z

D Â? , ÂŽÂœČąÂ•ÂŠČąÂœÂ˜Â•ÂžÂŒÂ’Ă Â—ČąÂ™ÂŠÂ›ÂŠČąÂŽÂ•ČąÂœÂ’ÂœÂ?Ž–ŠȹǝĹ—ÇŻĹ™ǟǯȹ Žœ˜•Â&#x;’Ž—Â?Â˜ČąÂŠÂ‘Â˜Â›ÂŠČąÂ™ÂŠÂ›ÂŠČąÂ•ÂŠČąÂœÂŽÂ?ž—Â?ÂŠČąÂŒÂ˜Â•ÂžÂ–Â—ÂŠČąÂ?ÂŽČą ǝŗǯśǟȹ˜‹Â?Ž—Ž–˜œǹȹs

Ĺ™

Čš2 4t, r

1 2s ȹřt r

2 11t, i. e.,

2 11E

£Ț s Ț§

ÂŁČš Ĺ™2 4E Ț§Țǰ

t

E

E Â? , es la soluciĂłn del sistema (1.4).

1.2.5 MĂŠtodo de Gauss-Jordan y sistemas con soluciĂłn Ăşnica DefiniciĂłn 1.13 Una matriz estĂĄ en forma escalonada reducida si:

r r r MĂłdulo 1

EstĂĄ en forma escalonada. Arriba de cada pivote las componentes (si hay) son nulas. Todos los pivotes son unos.

Matrices y sistemas lineales

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Ejemplo 1.21 La matriz: 1 0 ≥ 0 0

0 1 0 0

2 8 0 0

0 0 ¥ 1 0

está en forma escalonada reducida.

Método de Gauss-Jordan Para llevar una matriz a forma escalonada reducida se procede de la manera siguiente:

1. Se lleva la matriz a forma escalonada mediante el método de Gauss. 2. Se hacen ceros todos los elementos arriba de cada pivote utilizando el método de Gauss de abajo hacia arriba.

3. Se convierten en unos todos los pivotes mediante la operación de renglón cambio de escala. Empleando el método de Gauss-Jordan se puede probar el teorema que a continuación enunciamos. Teorema 1.4 ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ę ȱ ȱ ȱ ¢ȱ à ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ escalonada reducida.ş Ejemplo 1.22 Obtener la forma escalonada reducida equivalente a la matriz A por el método de Gauss-Jordan si Řȳ ŗȳŖȳ řȳ 4

A

£ȹ řȳ ŗȳŘȳ Ŗȳ ř ȹ§ȹǯ śȳ ŚȳŖȳ ŗȳ 2

Solución: 2ȳ ŗȳŖȳ řȳ 4

£ȹ řȳ ŗȳŘȳ Ŗȳ ř ȹ§ȳ

(1)

śȳ ŚȳŖȳ ŗȳ 2 (2)

ǻřǼ

(4)

ŘȳȲ ŗȳŖȳȲřȳȲ 4 ȳ£ȹ ŖȳȲ śȳŚȳȲşȳȲ Ŝ ȹ§ Ŗȳ ŗřȳŖȳŗřȳ ŗŜ Řȳ ŗȳȲ ŖȳȲ řȳ 4 ȳ£ȹ Ŗȳ śȳȲ ŚȳȲ şȳ Ŝ ȹ§ Ŗȳ Ŗȳ śŘȳ śŘȳ 2 Řȳ ŗȳȲ ŖȳȲ řȳ 4 ȳ£ȹ Ŗȳ śȳȲ ŚȳȲ şȳ Ŝ ȹ§ Ŗȳ Ŗȳ ŘŜȳ ŘŜȳ 1 ŘȳȲ ŗȳȲ ŖȳȲ řȳȲ 4 ȳ£ȹ Ŗȳ śȳȲ Ŗȳ Ŝśȳ 80ȹ§ ŖȳȲ Ŗȳ ŘŜȳ ŘŜȳȲ 1

şȱ ȱ ȱ ȱ ȱŗǯŘǰȱ ǯȱŘśǯ

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32 ǝśǟ

ÇťĹœÇź

ÇťĹ?Çź

Ĺ˜ȳȲ Ĺ—ȳȲ Ĺ–ȳȲ Ĺ™ȳȲ 4 ȳ£Ț Ĺ–Čł ȳȲ Ĺ–Čł ŗřȳ Ĺ—ĹœȚ§ Ĺ–ȳȲ Ĺ–Čł Ĺ˜ĹœČł Ĺ˜ĹœȳȲ 1 Ĺ˜ĹœȳȳȹĹ–ȳȲ Ĺ–Čł Ĺ˜ĹœČł Ĺ™Ĺœ ȳ£Ț Ĺ–Čł ȳȲ Ĺ–Čł ŗřȳ Ĺ—Ĺœ Ț§ Ĺ–ȳȲ Ĺ–Čł Ĺ˜ĹœČł Ĺ˜ĹœȳȲ 1 ŗȳŖȳŖȳ ŗȳŗŞȌŗř ȳ£ȚŖȳŗȳŖȳ Ĺ—ČłĹ—ĹœČŚĹ—Ĺ™ Ț§ ŖȳŖȳŗȳȲȹĹ—ȳȲĹ—ČŚĹ˜Ĺœ

Donde, para facilitar su comprensiĂłn, esta vez se han indicado las operaciones de renglĂłn ÂŽÂ—ČąÂŒÂŠÂ?ÂŠČąÂ™ÂŠÂœÂ˜ČąÂ?Ž•ȹǝĹ—ǟȹŠ•ȹǝĹ?ǟǰȹÂœÂŽĂ›ÂŠÂ•ÂŠÂ—Â?Â˜ČąÂ•Â˜ÂœČąÂ™Â’Â&#x;˜Â?ÂŽÂœČąÂŽÂ—ČąÂŠÂŁÂžÂ•ČąÂŒÂžÂŠÂ—Â?Â˜ČąÂœÂŽČąÂ‘ÂŠÂŒÂŽÂ—ČąÂŒÂŽÂ›Â˜ÂœČąÂ•Â˜ÂœČąÂŽÂ•ÂŽmentos por debajo de los mismos y en gris cuando se hacen ceros los elementos por ÂŽÂ—ÂŒÂ’Â–ÂŠČąÂ?ÂŽČąÂ•Â˜ÂœČąÂ™Â’Â&#x;˜Â?ÂŽÂœǯȹǝĹ—ǟǹȲR2 lȹřR1 2R2ǰȲRĹ™ lȹśR1 2RĹ™DzȲȹǝĹ˜ǟǹȲRĹ™ l Ĺ—Ĺ™R2 ȹśRĹ™; ǝřǟǹȲRĹ™ l (1/2)RĹ™DzȲȹ ǝŚǟǹȲR2 l 2RĹ™ Čą Ĺ—Ĺ™R2DzȲȹ ǝśǟǹȲR2 l (1/śǟR2DzȲȹ ÇťĹœǟǹȲR1 lČą Ĺ—Ĺ™R1 R2DzȲȹ ÇťĹ?ǟǹȲR1 l ( 1/Ĺ˜ĹœÇźR1ǰȲR2 l ( 1/ŗřǟR2ǰȲRĹ™ l ( 1/Ĺ˜ĹœÇźRĹ™.

Sistemas lineales y mĂŠtodo de Gauss-Jordan Los sistemas lineales tambiĂŠn se pueden resolver utilizando el mĂŠtodo de Gauss-Jordan para llevar la matriz ampliada a forma escalonada reducida y realizar sustituciĂłn regresiva, como hacemos patente en el siguiente ejemplo. Ejemplo 1.23 Resolver el siguiente sistema mediante el mĂŠtodo de Gauss-Jordan Ȳȹ¥1 2x2 xĹ™ Ĺ™x4 x1 Ȳ¥2

SoluciĂłn:

1

2x4

2

2x1 Ȳ¥2 xĹ™ Ĺ›x4

1

Llevemos la matriz ampliada a la forma escalonada reducida: 1 Ĺ˜Čą Ĺ—Čą Ĺ™ 1 1 Ĺ˜Čą Ĺ—Čą Ĺ™ 1 1 0 2ȲpȲ 2Ț§ȳaȳ£Ț0 Ĺ—Čą Ĺ—Čą Ĺ›ȲpȲ 1Ț§ 2 Ĺ—Čą Ĺ—Čą Ĺ› 1 Ĺ–Čą řȹ 1 1 Ĺ™

ÂŁČš 1

1 Ĺ˜Čą Ĺ—Čą Ĺ™ 1 Čłaȳ£Ț0 Ĺ—Čą Ĺ—Čą Ĺ›ȲpȲ 1Ț§ 0 0 2 14 Ĺœ 1 Ĺ˜Čą Ĺ—Čą Ĺ™ 1 Čłaȳ£Ț0 1 1 Ĺ›ȲpȲ 1Ț§ Ĺ–Čą Ĺ–Čą Ĺ—Čą Ĺ? Ĺ™ 1 2 0 4 4 Čłaȳ£Ț0 1 0 2ȲpȲ 2Ț§ Ĺ–Čą Ĺ–Čą Ĺ—Čą Ĺ? Ĺ™ 1 0 0 0 0 Čłaȳ£Ț0 1 0 2ȲpȲ2Ț§ Ĺ–Čą Ĺ–Čą Ĺ—Čą Ĺ? Ĺ™

MĂłdulo 1

Matrices y sistemas lineales

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Al hacer sustitución regresiva, se tiene xř ȱřȱ ȱŝx4, x2 viene dada por x1 x2 £ȹ x ȹ§ ř x4

2 2x4Ȳ¢Ȳx1

0, luego la solución

0 2 2r £ȹ řȱ ŝr ȹ§ȹDzȳr . r

Sistemas con solución única En este breve apartado, damos criterios para determinar cuándo hay solución única en un sistema utilizando la forma escalonada reducida, los cuales son fáciles de probar uti £ ȱ ȱ ȱŗǯřǯ Sea A ᑧmun: o

1. Caso m > n. Sea Axo b un sistema lineal consistente, entonces las dos condiciones siguientes son equivalentes ((a) (b)): o

(a) ȱ ȱȹAxo b tiene solución única. (b) La forma escalonada reducida equivalente a A consiste de la identidad n u n seguida de m n ę ȱ ǯ o

2. Caso m < nǯȱȹ ȱ ȱ ȱ ȱAxo b es consistente y tiene menos ecuaciones 3.

ȱ à ǯȱ ȱ ȱ ȱ ę ȱ ȱ ǯ o bo tiene solución única para todo o Caso m nǯȱȹAx b si y sólo si A es equivalente a la identidad, es decir, la forma escalonada reducida equivalente a A es In. Nota 1.2 Para determinar que una matriz cuadrada sea equivalente a la identidad, basta comprobar que al llevarla a una forma escalonada toda columna en ésta tenga pivote (claro, que por su definición, este debe ser distinto de cero); ya que entonces, por el método de Gauss-Jordan, su forma escalonada reducida equivalente será la identidad.

1.2.6 Sistemas homogéneos o Definición 1.14 Un sistema lineal con la forma Ax homogéneo.

o o 0 , donde 0

0 0 £ȹ ȹ§ȹǰ se llama 0

o Todo sistema homogéneo es consistente pues o x 0 es solución del mismo; la llamada solución trivial. ȱ ȱ ȱŘȱ¢ȱřǰȱ ȱ ȱ ȱ à ȱø ȱ ȱ ȱ ȱ à ǰȱ cimos el siguiente teorema: Teorema 1.5 Sea A ᑧmun. Entonces: o o 0 n, el sistema homogéneo cuadrado Ax tiene solución no trivial si y sólo si A no es equivalente a la identidad. o o 0 Todo sistema homogéneo Ax con menos ecuaciones que incógnitas (m n) tiene soluciones no triviales.

1. Si m 2.

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o o 0 Observemos que para resolver un sistema homogĂŠneo Ax , no es necesario poner ceros en la Ăşltima columna de la ampliaciĂłn; pues todos los tĂŠrminos independientes son nulos y al hacer las operaciones de renglĂłn no se verĂĄn afectados. AsĂ­ que bastarĂĄ llevar a forma escalonada la matriz A y hacer sustituciĂłn regresiva recordando que los tĂŠrminos independientes son nulos. Ejemplo 1.24 Para el sistema homogĂŠneo

sČš

x1 x2 xĹ™

0

x1 x2 ȹřxř

0,

1 1 1 1 1 1 ČštȲlȲsČš ČštȲlȲsČš 1 1 Ĺ™ 0 2 2 0

1 1 ČštČš; 1

1

de aquĂ­, x1

ÂŁČš x2 Ț§ xĹ™

2r Ț£Ț rȚ§ȚDzȹr � r

1.3 Transformaciones lineales 1.3.1 Conceptos bĂĄsicos o o b Recordemos que las soluciones de un sistema lineal m u n, Ax son n-adas ordenadas de nĂşmeros reales (D1, D2, . . . , Dn) tales que al sustituir xi Di en cada una de las m ecuaciones las convierte en identidades. Al conjunto de n-adas ordenadas de nĂşmeros reales se le denota por el sĂ­mbolo n (lĂŠase erre eneǟȹǝÂŒÂ?ǯȹŠ™Š›Â?ŠÂ?Â˜ČąĹ™ÇŻĹ™ÇŻĹ—ǟȹ¢ȹÂŽÂœČąÂŽÂ•ČąÂŽÂœÂ™ÂŠÂŒÂ’Â˜Čąn dimensional generalizaciĂłn natural del plano cartesiano, 2, y el espacio tridimensional, Ĺ™, ilustrados en la Ä™Â?ž›Šȹŗǯŗǯȹ ČąÂ•Â˜ÂœČąÂŽÂ•ÂŽÂ–ÂŽÂ—Â?Â˜ÂœČąÂ?ÂŽČą n les diremos vectores y los representaremos con la notaciĂłn o x y los escribiremos, en forma indistinta, como n-adas ordenadas o como matrices columna dependiendo del contexto. Esto es, si o x (x1, x2, . . . , xn) Â? n, utilizaremos la notaciĂłn: o x Ȳ ÂŁČš

Figura 1.1 El plano cartesiano 2 y el espacio Ĺ™. En este Ăşltimo todo punto o (vector) u se localiza mediante una trĂ­ada ordenada (a, b, c); donde las dos primeras componentes (a, b) son la proyecciĂłn vertical de este punto sobre el plano x, y y la tercera, c, es la proyecciĂłn horizontal de este punto sobre el eje z.

MĂłdulo 1

x1 x2 ( xn

Ț§

z

R2 R3 u = (x, y)

y

c u = (a, b, c)

b

y

a

x x

Matrices y sistemas lineales

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cuando se trabaje en un ambiente matricial; por ejemplo, en ecuaciones lineales o en mulÂ?Â’Â™Â•Â’ÂŒÂŠÂŒÂ’Ă Â—ČąÂ?Žȹ–ŠÂ?Â›Â’ÂŒÂŽÂœÇŻČą Â˜ČąÂŠÂ—Â?ÂŽÂ›Â’Â˜Â›ČąÂœÂ’Â?Â—Â’Ä™ÂŒÂŠČąÂšÂžÂŽČąÂ•Â˜ÂœČąÂ&#x;ÂŽÂŒÂ?Â˜Â›ÂŽÂœČąÂ?ÂŽČą nČąÂœÂŽČąÂ’Â?Ž—Â?Â’Ä™ÂŒÂŠÂ—ČąÂŽÂ—Čą correspondencia biyectiva con las matrices n u 1; son entes equivalentes representados en forma distinta. Por tanto, en n si o x (x1, x2, . . . , xn) y o y (y1, y2, . . . , yn):

r o x o y Âœ xi yi i 1, 2, . . . , n. o o r x y (x1 y1, x2 y2, . . . , xn yn). r Oxo (Ox1, Ox2, . . . , Oxn) para todo escalar O Â? . Intuitivamente una funciĂłn f con dominio un conjunto A y valores en un conjunto B (contradominio de la funciĂłn), es una regla que a cada elemento x de A le asigna un Ăşnico elemento y fČš(x) de B. Al elemento y que se le asigna a x se le dice el valor de la funciĂłn f en x o la imagen de x bajo la funciĂłn Â?Čš; a x, argumento de la funciĂłn o variable independiente, y a y, variable dependiente. Utilizaremos la notaciĂłn f Čš: A o B para indicar que f es una funciĂłn con dominio A y valores en B. DefiniciĂłn 1.15 Una transformaciĂłn lineal es una funciĂłn T : n o m tal que:

1. TČš(uo vo) TČš(uo) TČš(vo) 2. TČš(Duo) DTČš(uo) o, o para todo par de vectores u v Â? n y para todo escalar D Â? . Las siguientes propiedades de toda transformaciĂłn lineal T : n o m son fĂĄciles de demostrar y su comprobaciĂłn se deja de ejercicio al lector: o) ETČš(v o) 1. TČš(Duo E o v ) DTČš(u 2. TČš( uo) TČš(uo) o o 3. TČš( 0 n) 0 m o, o u v Â? n, D, E Â? . Ejemplo 1.25 Sea A una matriz m u n y TA : m o nČąÂ?Žę—’Â?ÂŠČąÂ™Â˜Â› x) TA( o

o, Ax

entonces: o o o Ay o. 1. TA(xo o y ) A(x y ) Ax 2. TA(Oxo) A(Oxo) OAxo. Lo cual demuestra que TA es lineal. La funciĂłn lineal del ejemplo precedente, tambiĂŠn llamada funciĂłn matricial, es el prototipo de transformaciĂłn lineal entre los espacios k, porque, como se verĂĄ adelante, toda transformaciĂłn lineal tiene esta forma.

1.3.2 RepresentaciĂłn matricial Si T : n o es una transformaciĂłn lineal y o e i Â? n son los vectores unitarios de n; esto i es, o e i (0, . . . , 0, 1Čš, 0, . . . , 0), i 1, . . . , n, que forman la base canĂłnica de este espacio, y o u (x , . . . , x ) Â? n, entonces 1

n

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o) TČš(u

TȚ(x1o e 1 ȹȉȹȉȹȉȹ xno e n) o e ) x TȚ( e ) ȹȉȹȉȹȉȹ x TȚ( o 1

1

n

n

a1x1 ȹȉȹȉȹȉȹ anxn con ai

T Čš( o e Â’Čš). Luego T : n o es lineal si y sĂłlo si: TČš(x1, . . . , xn)

a1x1 ȹȉȹȉȹȉȹ anxn

para ciertas constantes ai (a saber, por lo expuesto antes, ai ejemplo TČš(x1, x2, xĹ™, x4)

T Čš( o e Â’Čš), i

1, . . . , n). AsĂ­, por

Ĺ™x1 4x2 ČąĹœxĹ™ x4

es lineal, mientras que TČš(x, y)

x2 ȹřy

no lo es. Notemos ademĂĄs que la matriz: [TČš]

[ T Čš( o e 1ǟȳTČš( o e 2ǟȳȉȹȉȹȉȳTČš( o e n) ]

satisface o) TČš(u

o, [TČš]u

Los resultados precedentes se generalizan fĂĄcilmente a transformaciones T : n o m. Si o) (y , . . . , y ); esto es, T : n o , j 1, . . . , m, Tj son las funciones coordenadas de TČš(u 1 m j o Čš ÂŽÂœÂ?¤Â—ČąÂ?Žę—’Â?ÂŠÂœČąÂ™Â˜Â›ČąÂ•ÂŠČąÂ›ÂŽÂ•ÂŠÂŒÂ’Ă Â—ČąTj (u ) yjČš; entonces T es lineal si y sĂłlo si Tj es lineal para todo j. AsĂ­, por ejemplo, si: TČš(x, y, z)

(x y zǰȹřx 2y z, z),

entonces, ya que T1(x, y, z) x y z, T2(x, y, z) ȹřx 2y z y Tř(x, y, z) z, las tres funciones son de la forma T“Ț(x, y, z) a“Țx b“Țy c“Țz; se desprende que T es lineal. Mientras que TȚ(x, y)

(x2 y, x y)

no es lineal porque la funciĂłn primera coordenada no es lineal. Sean T : n o m una transformaciĂłn lineal, o e jČš, j 1, 2, . . . , n, los vectores unitarios de la base canĂłnica. Entonces, si [TČš]

Čše ǟȳTČš(o Čš o [ TČš(o 1 Čše 2ǟȳȉȹȉȹȉȳT ( e nǟȹǞȹ

ÇťĹ—ÇŻĹœÇź

donde TȚǝo e j) son tomados como vectores columna, se tiene o) TȚ(u

o [TČš]u

o Â? n. Por ejemplo, la transformaciĂłn TČš(x, y) para todo u porque cada una de sus coordenadas son lineales:

(2x y, x y, 2x y) es lineal

TȚǝŗǰȹŖǟȳ ȳǝĹ˜Ç°ČąĹ—Ç°ČąĹ˜Çź Ȳ ȚǝŖǰȹŗǟȳ ȳǝƺŗǰȹŗǰȹŗǟ

MĂłdulo 1

Matrices y sistemas lineales

Muestra digital ISSUU Š D.R. 2020 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Todos los derechos reservados. No puede ser copiado, escaneado o duplicado, total o parcialmente.10/06/2020


Modelización matricial cubre las necesidades del aprendizaje basado en la resolución de retos vinculados con problemáticas reales con el objetivo fundamental de asegurar competencias sólidas e integrales en los alumnos. Esta obra fue creada para apoyar a los estudiantes y profesores a lograr los objetivos de la asignatura correspondiente, tanto en contenidos como en metodología. Los temas son tratados con formalidad, rigor matemático y profundidad, a nivel ingeniería. Sin embargo, está diseñado con flexibilidad para que el profesor maneje de acuerdo con su criterio los contenidos, y que el estudiante tenga la oportunidad de seguir estudiando cuando así lo requiera, ya sea en otras materias, en estudios posteriores, e incluso, en su vida profesional. La obra comienza con un capítulo introductorio en el que se tratan temas elementales de matrices a nivel básico, con el objetivo de hacer naturales los tópicos que más adelante se estudiarán con mayor profundidad. Después, se desarrollan estos cuatro módulos: Módulo 1: Matrices y sistemas lineales Módulo 2: Matrices invertibles y determinantes Módulo 3: Sistemas lineales y factorización de matrices Módulo 4: Programación lineal (solución de desigualdades lineales) Para finalizar, se presentan dos apéndices. El Apéndice A es un breve manual sobre Matlab y el apéndice B es un breve curso de la herramienta Solver de Excel para que el estudiante pueda resolver numéricamente problemas de programación lineal.

ISBN-13: 978-607-526-947-4 ISBN-10: 607-526-947-9

Visita nuestro sitio en http://latinoamerica.cengage.com Muestra digital ISSUU © D.R. 2020 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Todos los derechos reservados. No puede ser copiado, escaneado o duplicado, total o parcialmente.10/06/2020


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