Modelización matricial
Juan Carlos Del Valle Sotelo t Rubén Darío Santiago Acosta
Muestra digital ISSUU © D.R. 2020 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Todos los derechos reservados. No puede ser copiado, escaneado o duplicado, total o parcialmente.10/06/2020
ModelizaciĂłn matricial
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Modelización matricial Juan Carlos Del Valle Sotelo t Rubén Darío Santiago Acosta
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ModelizaciĂłn matricial Juan Carlos Del Valle Sotelo, RubĂŠn DarĂo Santiago Acosta Director Higher Education LatinoamĂŠrica: Renzo CasapĂa Valencia Gerente editorial LatinoamĂŠrica: -HVÂźV 0DUHV &KDFÂľQ Editora: Cinthia ChĂĄvez Ceballos Coordinador de manufactura: Rafael PĂŠrez GonzĂĄlez DiseĂąo de portada: Ediciones OVA Imagen de portada plutmaverick / Shutterstock.com &RPSRVLFLÂľQ WLSRJUÂŁČ´FD Humberto Núùez Ramos
Š D.R. 2021 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una CompaĂąĂa de Cengage Learning, Inc.�� &DUUHWHUD 0ÂŤ[LFR 7ROXFD QÂźP RČ´FLQD �� &RO (O <DTXL 'HO &XDMLPDOSD & 3 Ciudad de MĂŠxico. Cengage LearningÂŽ es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podrĂĄ ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea JUÂŁČ´FR HOHFWUÂľQLFR R PHFÂŁQLFR LQFOX\HQGR pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, UHSURGXFFLÂľQ HVFDQHR GLJLWDOL]DFLÂľQ �� JUDEDFLÂľQ HQ DXGLR GLVWULEXFLÂľQ HQ Î&#x2013;QWHUQHW �� GLVWULEXFLÂľQ HQ UHGHV GH LQIRUPDFLÂľQ R �� DOPDFHQDPLHQWR \ UHFRSLODFLÂľQ HQ VLVWHPDV�� GH LQIRUPDFLÂľQ D H[FHSFLÂľQ GH OR SHUPLWLGR en el CapĂtulo III, ArtĂculo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial. 'DWRV SDUD FDWDORJDFLÂľQ ELEOLRJUÂŁČ´FD Del Valle Sotelo Juan Carlos, RubĂŠn DarĂo Santiago Acosta�� 0RGHOL]DFLÂľQ PDWULFLDO ISBN: 978-607-526-945-2 Visite nuestro sitio en: http://latinoamerica.cengage.com
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PrĂłlogo
De acuerdo con las Ăşltimas tendencias en educaciĂłn, esta obra se creĂł tomando en cuenta los lineamientos del modelo de aprendizaje basado en retos, el cual tiene como objetivo fundamental asegurar competencias sĂłlidas e integrales en los alumnos universitarios. Este libro pretende servir de base a los estudiantes y de apoyo a los profesores para alcanzar los objetivos y propĂłsitos de la materia correspondiente. ModelizaciĂłn matricial estĂĄ dividido en un capĂtulo de introducciĂłn y cuatro mĂłdulos. En el primero se tratan los temas elementales de matrices a nivel bĂĄsico e introductorio; con el objetivo de hacer naturales los tĂłpicos que en los mĂłdulos se estudiarĂĄn formalmente y con mayor profundidad. En el mĂłdulo 1 se establecen los temas de matrices, sistemas lineales y transformaciones lineales. Lo propio se hace en el mĂłdulo 2 para los temas de matrices invertibles y determinantes. En el tercer mĂłdulo se estudia la relaciĂłn de los sistemas lineales con factorizaciĂłn matricial y la resoluciĂłn de sistemas ralos por medio de mĂŠtodos iterativos, haciendo ĂŠnfasis en la relevancia numĂŠrica que tienen por medio de la programaciĂłn en Matlab de los algoritmos: mĂŠtodo de Gauss, mĂŠtodo de Jacobi y mĂŠtodo de Gauss-Seidel, que este apartado contiene. El Ăşltimo mĂłdulo trata el tema de desigualdades lineales desde la perspectiva de la programaciĂłn lineal, comenzando con el enfoque geomĂŠtrico, pasando por el mĂŠtodo simplex y terminando con dualidad. Â&#x2022;ČąÄ&#x2122;Â&#x2014;Â&#x160;Â&#x2022;ČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x152;Â&#x160;Â?Â&#x160;ČąÂ&#x2013;Ă Â?Â&#x17E;Â&#x2022;Â&#x2DC;ȹ¢ȹÂ?Â&#x17D;Â&#x2022;ČąÂ&#x152;Â&#x160;Â&#x2122;Ă&#x2021;Â?Â&#x17E;Â&#x2022;Â&#x2DC;ČąÂ&#x2019;Â&#x2014;Â?Â&#x203A;Â&#x2DC;Â?Â&#x17E;Â&#x152;Â?Â&#x2DC;Â&#x203A;Â&#x2019;Â&#x2DC;Ç°ČąÂ&#x153;Â&#x17D;ČąÂ&#x2018;Â&#x160;Â&#x2014;ČąÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x2022;Â&#x2DC;Â&#x152;Â&#x160;Â?Â&#x2DC;ČąÂ&#x153;Â&#x17D;Â&#x152;Â&#x152;Â&#x2019;Â&#x2DC;Â&#x2014;Â&#x17D;Â&#x153;ČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x160;Â&#x152;Â?Â&#x2019;Â&#x;Â&#x2019;dades y ejercicios. La mayorĂa de las actividades estĂĄ diseĂąada para estudio y realizaciĂłn de manera individual o por equipos â&#x20AC;&#x201D;a criterio del tutor de la materiaâ&#x20AC;&#x201D; con la mĂnima intervenciĂłn del profesor. El objetivo de la mayorĂa de ĂŠstas es que los estudiantes deÂ&#x153;Â&#x160;Â&#x203A;Â&#x203A;Â&#x2DC;Â&#x2022;Â&#x2022;Â&#x17D;Â&#x2014;ČąÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x2013;Â&#x2122;Â&#x17D;Â?Â&#x17D;Â&#x2014;Â&#x152;Â&#x2019;Â&#x160;Â&#x153;ČąÂ&#x160;Â&#x2122;Â&#x2022;Â&#x2019;Â&#x152;Â&#x160;Â&#x2014;Â?Â&#x2DC;ČąÂ&#x2022;Â&#x2DC;Â&#x153;ČąÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;Â&#x2014;Â&#x2019;Â?Â&#x2DC;Â&#x153;ČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x2013;Â&#x160;Â?Â&#x17D;Â&#x203A;Â&#x2019;Â&#x160;ČąÂ&#x17D;Â&#x2014;ČąÂ&#x153;Â&#x2019;Â?Â&#x17E;Â&#x160;Â&#x152;Â&#x2019;Â&#x2DC;Â&#x2014;Â&#x17D;Â&#x153;ČąÂ&#x17D;Â&#x153;Â&#x2122;Â&#x17D;Â&#x152;Ă&#x2021;Ä&#x2122;Â&#x152;Â&#x160;Â&#x153;Čą de ingenierĂa, fĂsica, economĂa o de las propias matemĂĄticas. Otras de las actividades tienen el propĂłsito de que los estudiantes desarrollen competencias a travĂŠs del uso de tecnologĂa con Matlab, ya sea usando directamente las utilidades de este paquete o realizando programas en el mismo. Los ejercicios estĂĄn diseĂąados para que los estudiantes, al resolverlos, aprendan y apliquen contenidos, desarrollen las subcompetencias correspondientes y sean capaces de mostrar, al nivel requerido, la adquisiciĂłn de las mismas en las evaluaciones argumentativas que realicen en su curso. AdemĂĄs, la obra cuenta con dos apĂŠndices, A y B. El primero es un breve manual de Â&#x160;Â?Â&#x2022;Â&#x160;Â&#x2039;ČąÂ&#x161;Â&#x17E;Â&#x17D;ČąÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x2014;Â?Â&#x2019;Â&#x17D;Â&#x2014;Â&#x17D;ČąÂ&#x2022;Â&#x2DC;ČąÂ&#x2014;Â&#x17D;Â&#x152;Â&#x17D;Â&#x153;Â&#x160;Â&#x203A;Â&#x2019;Â&#x2DC;ȹ¢ȹÂ&#x153;Â&#x17E;Ä&#x2122;Â&#x152;Â&#x2019;Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;ČąÂ&#x2122;Â&#x160;Â&#x203A;Â&#x160;ČąÂ&#x161;Â&#x17E;Â&#x17D;ČąÂ&#x17D;Â&#x2022;ČąÂ&#x17D;Â&#x153;Â?Â&#x17E;Â?Â&#x2019;Â&#x160;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;ČąÂ&#x160;Â&#x2122;Â&#x203A;Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x160;Ç°ČąÂ&#x2122;Â&#x2DC;Â&#x203A;ČąÂ&#x152;Â&#x17E;Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x160;Čą propia, todo lo que requiera la materia y el texto, de esta potente herramienta computacional; incluye, por ejemplo, un programa elemental e interactivo (Gauss_Jordan.m) para que el estudiante, al ejecutarlo, pueda de manera muy amigable practicar el mĂŠtodo de Gauss para reducir una matriz a forma escalonada, escalonada reducida o calcular la inversa de una matriz, con operaciones de renglĂłn ejecutadas por la computadora con instrucciones del usuario paso a paso. Mientras que el apĂŠndice B es un breve curso de la herramienta Solver de Excel para que el estudiante pueda aprender, por sĂ solo, a resolver numĂŠricamente en computadora problemas de programaciĂłn lineal, que por contener muchas variables y restricciones son virtualmente imposibles de solucionar manualmente. v Muestra digital ISSUU Š D.R. 2020 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Todos los derechos reservados. No puede ser copiado, escaneado o duplicado, total o parcialmente.10/06/2020
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ȱ ȱ ȱ Ĵ DZȦȦ ǯ ǯ Ȧ £ Ȭ ȱ ȱ ȱ disponibles recursos adicionales para profesores y estudiantes. Modelización matricial es, antes que nada, un libro de texto, y como tal ha sido concebido; esto implica que los temas son tratados con formalidad, rigor matemático y pro ǰȱ ȱ ȱ Ç ǯȱ ȱ ǰȱ ¤ȱ Û ȱ ȱĚ ¡ ȱ ȱ ȱ ȱ profesor maneje —por cuestión de limitaciones en tiempo— de acuerdo a su criterio los contenidos. Por ejemplo, podría tratarse el enfoque geométrico de programación lineal, aplicar la técnica de aprendizaje invertido para el apéndice B, e ir directamente a la solución de problemas de programación lineal con Solver. El estudiante tendrá siempre a la mano, en este texto, los temas que no se trataron con profundidad para estudiarlos cuando se presente la necesidad en otras materias, bloques, estudios de posgrado o en su ȱ¢ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ę ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Dzȱ ȱ ǰȱ ȱę ȱ ȱ ¡ ǰȱ ȱ ¢ ȱ ȱ Ç ȱȯ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ libro—, en la cual el estudiante puede profundizar, ampliar conocimientos y consultar otros enfoques. Albergamos la esperanza de que Modelización matricial cumpla el propósito principal para el cual fue diseñado; apoye al profesor en la labor docente de la materia; y que tenga una vida útil para el estudiante no sólo a lo largo de la materia, sino también en otras materias y bloques y después en su carrera profesional; pues para este objetivo también fue creado. Ciudad de México, enero de 2020 Juan Carlos Del Valle Sotelo, Rubén Darío Santiago Acosta
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Agradecimientos
Deseamos primeramente agradecer a RamĂłn OrduĂąa, JesĂşs Mares, Cinthia ChĂĄvez y Norma Amezola de Cengage por todo el apoyo que hemos recibido para la ediciĂłn de este libro, sin su apoyo la realizaciĂłn de esta obra no habrĂa sido posible. Â&#x160;Čą Â&#x2013;Â&#x160;¢Â&#x2DC;Â&#x203A;Ă&#x2021;Â&#x160;Čą Â?Â&#x17D;Čą Â&#x2022;Â&#x160;Â&#x153;Čą Ä&#x2122;Â?Â&#x17E;Â&#x203A;Â&#x160;Â&#x153;Čą Â?Â&#x17E;Â&#x17D;Â&#x203A;Â&#x2DC;Â&#x2014;Čą Â&#x203A;Â&#x17D;Â&#x160;Â&#x2022;Â&#x2019;ÂŁÂ&#x160;Â?Â&#x160;Â&#x153;Čą Â&#x17E;Â?Â&#x2019;Â&#x2022;Â&#x2019;ÂŁÂ&#x160;Â&#x2014;Â?Â&#x2DC;Čą Â&#x2022;Â&#x2DC;Â&#x153;Čą Â&#x2122;Â&#x203A;Â&#x2DC;Â?Â&#x203A;Â&#x160;Â&#x2013;Â&#x160;Â&#x153;Čą Â&#x160; Â&#x17D; Â&#x2019; Ç°Čą Â&#x17D; Â&#x160;Â?Ç°Čą Ç°Čą Â&#x17D; Â&#x160;Â?Ĺ&#x2122;Ĺ&#x2DC;ČąÂ&#x2DC;Čą Â&#x160; Â&#x17D; ČŹ DzȹÂ?Â&#x17D;Â&#x153;Â&#x17D;Â&#x160;Â&#x2013;Â&#x2DC;Â&#x153;ČąÂ?Â&#x160;Â&#x203A;ČąÂ&#x152;Â&#x203A;¡Â?Â&#x2019;Â?Â&#x2DC;ȹ¢ȹÂ&#x203A;Â&#x17D;Â&#x152;Â&#x2DC;Â&#x2014;Â&#x2DC;Â&#x152;Â&#x2019;Â&#x2013;Â&#x2019;Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x2DC;Čą Â&#x160;ČąÂ&#x2022;Â&#x2DC;Â&#x153;ČąÂ&#x160;Â&#x17E;Â?Â&#x2DC;Â&#x203A;Â&#x17D;Â&#x153;ČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x17D;Â&#x153;Â?Â&#x2DC;Â&#x153;ČąÂ&#x2122;Â&#x160;Â&#x161;Â&#x17E;Â&#x17D;Â?Â&#x17D;Â&#x153;ȹȯÂ?Â&#x17D;ČąÂ?Â&#x2019;Â&#x153;Â?Â&#x203A;Â&#x2019;Â&#x2039;Â&#x17E;Â&#x152;Â&#x2019;Ă Â&#x2014;ČąÂ?Â&#x203A;Â&#x160;Â?Â&#x17E;Â&#x2019;Â?Â&#x160;ČŻČąÂ&#x2122;Â&#x2DC;Â&#x203A;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x2013;Â&#x160;Â?Â&#x2014;Ă&#x2021;Ä&#x2122;Â&#x152;Â&#x160;ČąÂ?Â&#x160;Â&#x203A;Â&#x17D;Â&#x160;ČąÂ&#x161;Â&#x17E;Â&#x17D;Čą han realizado en esas herramientas de dibujo en el ambiente LŃ&#x17D; E Ç°ČąÂ&#x2022;Â&#x160;Â&#x153;ČąÂ&#x152;Â&#x17E;Â&#x160;Â&#x2022;Â&#x17D;Â&#x153;ČąÂ?Â&#x160;Â&#x152;Â&#x2019;Â&#x2022;Â&#x2019;Â?Â&#x160;Â&#x203A;Â&#x2DC;Â&#x2014;Čą Â&#x17D;Â&#x2014;Â&#x2DC;Â&#x203A;Â&#x2013;Â&#x17D;Â&#x2013;Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;ČąÂ&#x17D;Â&#x2022;ČąÂ?Â&#x203A;Â&#x160;Â&#x2039;Â&#x160;Â&#x201C;Â&#x2DC;ČąÂ?Â&#x203A;¤Ä&#x2122;Â&#x152;Â&#x2DC;ČąÂ&#x17D;Â&#x2014;ČąÂ&#x17D;Â&#x153;Â?Â&#x17D;ČąÂ&#x2022;Â&#x2019;Â&#x2039;Â&#x203A;Â&#x2DC;ÇŻ Â&#x2DC;Â?Â&#x2DC;Â&#x153;Čą Â&#x2022;Â&#x2DC;Â&#x153;Čą Â?Â&#x2019;Â&#x2039;Â&#x17E;Â&#x201C;Â&#x2DC;Â&#x153;Čą Â?Â&#x17D;Čą Â&#x2022;Â&#x2DC;Â&#x153;Čą Â&#x152;Â&#x2019;Â&#x203A;Â&#x152;Â&#x17E;Â&#x2019;Â?Â&#x2DC;Â&#x153;Čą Â&#x17D;Â&#x2022;¡Â&#x152;Â?Â&#x203A;Â&#x2019;Â&#x152;Â&#x2DC;Â&#x153;Čą Â&#x2022;Â&#x2DC;Â&#x153;Čą Â&#x203A;Â&#x17D;Â&#x160;Â&#x2022;Â&#x2019;ÂŁÂ&#x160;Â&#x203A;Â&#x2DC;Â&#x2014;Čą Â&#x2019;Â&#x203A;Â&#x2019;Â&#x160;Â&#x2013;Čą Â&#x17D;Â&#x2022;Čą Â&#x160;Â&#x2022;Â&#x2022;Â&#x17D;Čą ¢ȹ Â&#x160;Â&#x2013;Â&#x160;Â&#x2014;Â?Â&#x2018;Â&#x160;Čą Â&#x17D;Â&#x2022;Čą Â&#x160;Â&#x2022;Â&#x2022;Â&#x17D;ÇŻČą Â&#x2DC;Â&#x153;ČąÂ&#x2122;Â&#x2022;Â&#x160;Â&#x2014;Â&#x2DC;Â&#x153;ČąÂ&#x17D;Â&#x2014;ČąÂ?Â&#x203A;Â&#x17D;Â&#x153;ČąÂ?Â&#x2019;Â&#x2013;Â&#x17D;Â&#x2014;Â&#x153;Â&#x2019;Â&#x2DC;Â&#x2014;Â&#x17D;Â&#x153;ČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÄ&#x2122;Â?Â&#x17E;Â&#x203A;Â&#x160;Čą ÇŻĹ&#x203A;ČąÂ&#x2022;Â&#x2DC;Â&#x153;ČąÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x2014;Â&#x153;Â?Â&#x203A;Â&#x17E;¢à ȹ Â&#x2022;Â&#x2019;¡Â&#x2014;Čą RodrĂguez Del Valle. Miriam y Samantha revisaron la totalidad del texto para localizar erratas. Nuestro mĂĄs sincero agradecimiento a todos ellos por la desinteresada ayuda que nos brindaron.
vii Muestra digital ISSUU Š D.R. 2020 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Todos los derechos reservados. No puede ser copiado, escaneado o duplicado, total o parcialmente.10/06/2020
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Contenido
Prólogo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
I.1 Circuitos eléctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
I.2 Áreas de paralelogramos, volúmenes de paralelepípedos. . . . . . . . . . . .
3
I.3 Sistemas lineales, una introducción al método de Gauss . . . . . . . . . . . . .
5
I.4 Introducción a la regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
I.5 Actividades y ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Actividades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11 11 13
Módulo 1: Matrices y sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Definiciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Operaciones con matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Matrices especiales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Propiedades de las operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Forma matricial, matriz aumentada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Matrices y sistemas escalonados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Operaciones de renglón, equivalencia por filas, soluciones de sistemas escalonados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Método de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5 Método de Gauss-Jordan y sistemas con solución única . . . . . . . 1.2.6 Sistemas homogéneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Transformaciones lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15 15 16 18 20 21 21 24
1.3.1 Conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
1.3.2 Representación matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
1.3.3 Imagen de una transformación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Actividades y ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37 45 45 54
26 27 30 33 34
ix Muestra digital ISSUU © D.R. 2020 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Todos los derechos reservados. No puede ser copiado, escaneado o duplicado, total o parcialmente.10/06/2020
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Módulo 2: Matrices invertibles y determinantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.1 Matrices invertibles y sus inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Definición y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59 59
2.1.2 Matrices invertibles y sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
2.1.3 Método de Gauss-Jordan para hallar la inversa de una matriz. . .
63
2.2 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
2.2.1 Desarrollo por cofactores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
2.2.2 Propiedades de los determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
2.2.3 Método de la adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
2.2.4 Regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
2.3 Actividades y ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
2.3.1 Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
2.3.2 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
Módulo 3: Sistemas lineales y factorización de matrices . . . . . . . . . . . . 87 3.1 Algoritmo de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
3.1.1 Método de Gauss para sistemas lineales de orden n con sustitución regresiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
3.1.2 Programa en Matlab para el método de Gauss . . . . . . . . . . . . . . .
90
3.2 Factorización de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
3.2.1 Factorización LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
3.2.2 Factorización LU y sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
3.2.3 Factorización LU y matriz de permutación . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
3.3 Factorización QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
3.3.1 El espacio
n
y el proceso de ortogonalización. . . . . . . . . . . . . . .
98
3.3.2 Método de factorización QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 3.3.3 Factorización QR y sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3.4 Métodos iterativos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 3.4.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 3.4.2 Método iterativo de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 3.4.3 Método iterativo de Gauss-Seidel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 3.5 Actividades y ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 3.5.1 Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 3.5.2 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Módulo 4: Programación lineal (solución de desigualdades lineales) . . . . 143 4.1 Enfoque geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 4.2 Método simplex para el problema estándar de programación lineal . . 150 4.3 Restricciones generales y método simplex de dos fases. . . . . . . . . . . . . 162
Modelización matricial Muestra digital ISSUU © D.R. 2020 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Todos los derechos reservados. No puede ser copiado, escaneado o duplicado, total o parcialmente.10/06/2020
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4.4 Dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Actividades y ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.2 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
173 177 177 179
A: Matlab y álgebra lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 A.1 A.2 A.3 A.4 A.5 A.6
Interacción con Matlab y almacenamiento de información . . . . . . . . . Escritura de matrices y operaciones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formatos y modo simbólico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matrices especiales, información básica y edición de matrices. . . . . . Operaciones de renglón con Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funciones programadas por el usuario, programación en Matlab y operaciones de renglón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.7 Traza, determinante, rango, inversa y transpuesta . . . . . . . . . . . . . . . . A.8 Forma escalonada reducida, solución de sistemas. . . . . . . . . . . . . . . . A.9 Valores y vectores propios, polinomio característico . . . . . . . . . . . . . . A.10 Factorización QR y factorización LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.11 Live Script . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
187 189 191 193 196 197 206 209 210 213 214
B: Excel, la herramienta Solver y programación lineal . . . . . . . . . . . . . . 217 B.1 Activación/carga de Solver en Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 B.2 La función sumaproducto de Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 B.3 Resolviendo problemas de programación lineal con Solver . . . . . . . . . . 219
Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 Índice analítico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
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IntroducciĂłn
En los primeros dos apartados de este segmento, plantearemos un par de situaciones donde surgen, de manera natural, sistemas lineales y determinantes. En la primera, se harĂĄ uso de leyes fĂsicas conocidas para establecer un sistema lineal de ecuaciones cuyas soluciones matemĂĄticas son, precisamente, las soluciones del problema; aunque no se darĂĄ â&#x20AC;&#x201D;hasta mĂĄs adelanteâ&#x20AC;&#x201D; el mĂŠtodo de soluciĂłn y Ăşnicamente nos limitaremos al planteamiento del modelo matemĂĄtico. La segunda situaciĂłn utiliza hechos geomĂŠtricos muy simples, pero servirĂĄ para introducir el concepto de determinante mediante ĂĄrea y volumen. En los restantes pĂĄrrafos, introduciremos conceptos clave de este libro en ambientes que le son familiares al lector, con el objetivo de que sea mĂĄs natural su conceptualizaciĂłn formal y generalizaciĂłn en los siguientes mĂłdulos de este libro.
I.1 Circuitos elĂŠctricos En un circuito elĂŠctrico es posible determinar la corriente en cada una de sus ramas en Â?Â&#x17E;Â&#x2014;Â&#x152;Â&#x2019;Ă Â&#x2014;ČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;Â&#x153;ČąÂ&#x203A;Â&#x17D;Â&#x153;Â&#x2019;Â&#x153;Â?Â&#x17D;Â&#x2014;Â&#x152;Â&#x2019;Â&#x160;Â&#x153;ȹ¢ȹÂ&#x;Â&#x2DC;Â&#x2022;Â?Â&#x160;Â&#x201C;Â&#x17D;Â&#x153;ÇŻČą Â&#x2DC;Â&#x2014;Â&#x153;Â&#x2019;Â?Â&#x17D;Â&#x203A;Â&#x17D;Â&#x2013;Â&#x2DC;Â&#x153;ČąÂ&#x17D;Â&#x2022;ČąÂ&#x152;Â&#x2019;Â&#x203A;Â&#x152;Â&#x17E;Â&#x2019;Â?Â&#x2DC;ČąÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;Â&#x2014;Â&#x2019;Â?Â&#x2DC;ČąÂ&#x17D;Â&#x2014;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÄ&#x2122;Â?Â&#x17E;Â&#x203A;Â&#x160;Čą ÇŻĹ&#x2014;ÇŻČą El sĂmbolo representa una baterĂa cuyo potencial elĂŠctrico, o fuerza electromoÂ?Â&#x203A;Â&#x2019;£ȹǝȚfem HǟǰȹÂ&#x153;Â&#x17D;ČąÂ&#x2013;Â&#x2019;Â?Â&#x17D;ČąÂ&#x17D;Â&#x2014;ČąÂ&#x;Â&#x2DC;Â&#x2022;Â?Â&#x2019;Â&#x2DC;Â&#x153;ȹǝ ǟDzȹÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x2039;Â&#x160;Â?Â&#x17D;Â&#x203A;Ă&#x2021;Â&#x160;ČąÂ&#x2122;Â&#x203A;Â&#x2DC;Â?Â&#x17E;Â&#x152;Â&#x17D;ČąÂ&#x17E;Â&#x2014;Â&#x160;ČąÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x203A;Â&#x203A;Â&#x2019;Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;ČąÂ&#x17D;Â&#x2022;¡Â&#x152;Â?Â&#x203A;Â&#x2019;Â&#x152;Â&#x160;ČąÂ&#x161;Â&#x17E;Â&#x17D;ČąÄ&#x161;Â&#x17E;¢Â&#x17D;Čą hacia afuera de la terminal indicada mediante la lĂnea vertical mĂĄs larga o, en forma esquemĂĄtica, . El resistor, representado por el sĂmbolo , cuya resistencia es medida en ohmios (:), produce una caĂda en el potencial elĂŠctrico gobernada por la ley de Ohm. E
Čš
donde I es la corriente, medida en amperios (A), y Ç°ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x203A;Â&#x17D;Â&#x153;Â&#x2019;Â&#x153;Â?Â&#x17D;Â&#x2014;Â&#x152;Â&#x2019;Â&#x160;ČąÂ?Â&#x17D;Â&#x2022;ČąÂ&#x203A;Â&#x17D;Â&#x153;Â&#x2019;Â&#x153;Â?Â&#x2DC;Â&#x203A;ÇŻČą Â&#x160;Â&#x153;ČąÄ&#x161;Â&#x17D;Â&#x152;Â&#x2018;Â&#x160;Â&#x153;Čą indican las direcciones de las corrientes en el circuito; sin embargo, si despuĂŠs de ser calcuÂ&#x2022;Â&#x160;Â?Â&#x160;Â&#x153;ČąÂ&#x160;Â&#x2022;Â?Â&#x17E;Â&#x2014;Â&#x160;ČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x17D;Â&#x2022;Â&#x2022;Â&#x160;Â&#x153;ČąÂ?Â&#x2019;Â&#x17D;Â&#x2014;Â&#x17D;ČąÂ&#x153;Â&#x2019;Â?Â&#x2014;Â&#x2DC;ČąÂ&#x2014;Â&#x17D;Â?Â&#x160;Â?Â&#x2019;Â&#x;Â&#x2DC;Ç°ČąÂ&#x153;Â&#x2019;Â?Â&#x2014;Â&#x2019;Ä&#x2122;Â&#x152;Â&#x160;ČąÂ&#x161;Â&#x17E;Â&#x17D;ČąÂ?Â&#x2019;Â&#x17D;Â&#x2014;Â&#x17D;ČąÂ?Â&#x2019;Â&#x203A;Â&#x17D;Â&#x152;Â&#x152;Â&#x2019;Ă Â&#x2014;ČąÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x2014;Â?Â&#x203A;Â&#x160;Â&#x203A;Â&#x2019;Â&#x160;ČąÂ&#x160;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x161;Â&#x17E;Â&#x17D;Čą inicialmente se le asignĂł. Los nodos son los puntos donde se unen dos o mĂĄs conductores Â&#x17D;Â&#x2014;ČąÂ&#x17D;Â&#x2022;ČąÂ&#x152;Â&#x2019;Â&#x203A;Â&#x152;Â&#x17E;Â&#x2019;Â?Â&#x2DC;Ç°ČąÂ&#x17D;Â&#x2014;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÄ&#x2122;Â?Â&#x17E;Â&#x203A;Â&#x160;Čą ÇŻĹ&#x2014;ČąÂ&#x17D;Â&#x2022;ČąÂ?Â&#x2019;Â&#x153;Â&#x2122;Â&#x2DC;Â&#x153;Â&#x2019;Â?Â&#x2019;Â&#x;Â&#x2DC;ČąÂ?Â&#x2019;Â&#x17D;Â&#x2014;Â&#x17D;ČąÂ?Â&#x2DC;Â&#x153;ČąÂ&#x2014;Â&#x2DC;Â?Â&#x2DC;Â&#x153;ČąÂ?Â&#x17D;Â&#x2014;Â&#x2DC;Â?Â&#x160;Â?Â&#x2DC;Â&#x153;ČąÂ&#x2122;Â&#x2DC;Â&#x203A;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;Â&#x153;ČąÂ&#x2022;Â&#x17D;Â?Â&#x203A;Â&#x160;Â&#x153;ČąA y B. Â&#x2014;Â&#x160;ČąÂ&#x2013;Â&#x160;Â&#x2022;Â&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x17D;Â&#x2014;ČąÂ&#x17E;Â&#x2014;ČąÂ&#x152;Â&#x2019;Â&#x203A;Â&#x152;Â&#x17E;Â&#x2019;Â?Â&#x2DC;ČąÂ&#x17D;Â&#x153;ČąÂ&#x152;Â&#x17E;Â&#x160;Â&#x2022;Â&#x161;Â&#x17E;Â&#x2019;Â&#x17D;Â&#x203A;ČąÂ&#x203A;Â&#x17D;Â&#x152;Â&#x2DC;Â&#x203A;Â&#x203A;Â&#x2019;Â?Â&#x2DC;ČąÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x2014;Â?Â&#x17E;Â&#x152;Â?Â&#x2DC;Â&#x203A;ČąÂ&#x152;Â&#x17D;Â&#x203A;Â&#x203A;Â&#x160;Â?Â&#x2DC;Ç°ČąÂ&#x17D;Â&#x2014;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÄ&#x2122;Â?Â&#x17E;Â&#x203A;Â&#x160;Čą ÇŻĹ&#x2014;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ?Â&#x203A;Â&#x160;yectoria A B C D A es una malla de esta red. Para resolver un circuito elĂŠctrico se usan las Â&#x2022;Â&#x2022;Â&#x160;Â&#x2013;Â&#x160;Â?Â&#x160;Â&#x153;ČąÂ&#x2022;Â&#x17D;¢Â&#x17D;Â&#x153;ČąÂ?Â&#x17D;Čą Â&#x2019;Â&#x203A;Â&#x152;Â&#x2018;Â&#x2018;Â&#x2DC;Ä&#x203A;Çą K1Ȳȹ Â&#x2014;ČąÂ?Â&#x2DC;Â?Â&#x2DC;ČąÂ&#x2014;Â&#x2DC;Â?Â&#x2DC;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x153;Â&#x17E;Â&#x2013;Â&#x160;ČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;Â&#x153;ČąÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x203A;Â&#x203A;Â&#x2019;Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;Â&#x153;ČąÂ&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x203A;Â&#x160;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;Â&#x153;ČąÂ&#x17D;Â&#x153;ČąÂ&#x2019;Â?Â&#x17E;Â&#x160;Â&#x2022;ČąÂ&#x160;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x153;Â&#x17E;Â&#x2013;Â&#x160;ČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;Â&#x153;ČąÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x203A;Â&#x203A;Â&#x2019;Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;Â&#x153;Čą salientes. K2Ȳȹ Â&#x2014;ČąÂ?Â&#x2DC;Â?Â&#x160;ČąÂ&#x2013;Â&#x160;Â&#x2022;Â&#x2022;Â&#x160;ČąÂ?Â&#x17D;Â&#x2022;ČąÂ&#x152;Â&#x2019;Â&#x203A;Â&#x152;Â&#x17E;Â&#x2019;Â?Â&#x2DC;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x153;Â&#x17E;Â&#x2013;Â&#x160;ČąÂ&#x160;Â&#x2022;Â?Â&#x17D;Â&#x2039;Â&#x203A;Â&#x160;Â&#x2019;Â&#x152;Â&#x160;ČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;Â&#x153;ČąÂ?Â&#x17E;Â&#x17D;Â&#x203A;ÂŁÂ&#x160;Â&#x153;ČąÂ&#x17D;Â&#x2022;Â&#x17D;Â&#x152;Â?Â&#x203A;Â&#x2DC;Â&#x2013;Â&#x2DC;Â?Â&#x203A;Â&#x2019;Â&#x152;Â&#x17D;Â&#x153;ČąÂ&#x17D;Â&#x153;ČąÂ&#x2019;Â?Â&#x17E;Â&#x160;Â&#x2022;Čą a la suma algebraica de las caĂdas de potencial en cada resistencia. Esto es, en una Â&#x2013;Â&#x160;Â&#x2022;Â&#x2022;Â&#x160;ČąÂ?Â&#x160;Â?Â&#x160;Çą ÂŚ Hj Čš
ÂŚ Ij Â&#x201C;Čš Čš
Čš
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donde las Hj son las fuerzas electromotrices en cada baterĂa, y los factores en los productos IjČą j estĂĄn formados por las resistencias j de los resistores que estĂĄn en la malla y las respectivas intensidades de corriente Ij Â&#x161;Â&#x17E;Â&#x17D;ČąÄ&#x161;Â&#x17E;¢Â&#x17D;Â&#x2014;ČąÂ&#x17D;Â&#x2014;ČąÂ&#x152;Â&#x160;Â?Â&#x160;ČąÂ&#x17E;Â&#x2014;Â&#x160;Čą de ellos. Para resolver un circuito elĂŠctrico es conveniente tener presentes los siguientes Â&#x2122;Â&#x17E;Â&#x2014;Â?Â&#x2DC;Â&#x153;Çą 13 V D
C
2Ί
I1 3Ί A
B I2 1Ί
4Ί I3 E
F 14 V
Figura I.1
1. Cuando se aplica la ley K2 en una malla, se elige positivo un sentido de recorrido, por ejemplo, la direcciĂłn en sentido contrario al que avanzan las manecillas del reloj, y Â&#x2014;Â&#x17D;Â?Â&#x160;Â?Â&#x2019;Â&#x;Â&#x2DC;Ç°ČąÂ&#x17D;Â&#x2022;ČąÂ&#x153;Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x2019;Â?Â&#x2DC;ČąÂ&#x2DC;Â&#x2122;Â&#x17E;Â&#x17D;Â&#x153;Â?Â&#x2DC;ÇŻČą Â&#x2014;Â?Â&#x2DC;Â&#x2014;Â&#x152;Â&#x17D;Â&#x153;Ç°ČąÂ&#x153;Â&#x2019;ČąÂ&#x17E;Â&#x2014;Â&#x160;ČąÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x203A;Â&#x203A;Â&#x2019;Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;ČąÂ&#x17D;Â&#x153;Â?¤ȹÂ&#x17D;Â&#x2014;ČąÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x2014;Â?Â&#x203A;Â&#x160;Ä&#x161;Â&#x17E;Â&#x201C;Â&#x2DC;ČąÂ&#x160;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ?Â&#x2019;Â&#x203A;Â&#x17D;Â&#x152;ciĂłn elegida, se considera con signo negativo para calcular la caĂda de potencial en las resistencias que ella atraviesa. De manera similar, toda fuerza electromotriz cuya corriente de salida estĂŠ en sentido contrario a la direcciĂłn elegida como positiva, se considera negativa. 2. Si un circuito tiene n nodos, la ley K1 se debe aplicar Ăşnicamente a cualquier subconjunto de n â&#x20AC;&#x201C; Ĺ&#x2014;ČąÂ&#x2014;Â&#x2DC;Â?Â&#x2DC;Â&#x153;DzȹÂ&#x2122;Â&#x17E;Â&#x17D;Â&#x153;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x17D;Â&#x152;Â&#x17E;Â&#x160;Â&#x152;Â&#x2019;Ă Â&#x2014;ČąÂ&#x161;Â&#x17E;Â&#x17D;ČąÂ&#x153;Â&#x17D;ČąÂ&#x2DC;Â&#x2039;Â?Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x160;ČąÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x2014;ČąÂ&#x17D;Â&#x153;Â?Â&#x160;ČąÂ&#x203A;Â&#x17D;Â?Â&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x17D;Â&#x2014;ČąÂ&#x17D;Â&#x2022;ČąÂ&#x2014;Â&#x2DC;Â?Â&#x2DC;Čąn serĂĄ redundante. 3. La ley K2 se debe aplicar a cada una de las mallas que forman el circuito. Ejemplo 1 Â&#x153;Â?Â&#x160;Â&#x2039;Â&#x2022;Â&#x17D;Â&#x152;Â&#x17D;Â&#x203A;Ç°ČąÂ&#x17E;Â?Â&#x2019;Â&#x2022;Â&#x2019;ÂŁÂ&#x160;Â&#x2014;Â?Â&#x2DC;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;Â&#x153;ČąÂ&#x2022;Â&#x17D;¢Â&#x17D;Â&#x153;ČąÂ?Â&#x17D;Čą Â&#x2019;Â&#x203A;Â&#x152;Â&#x2018;Â&#x2018;Â&#x2DC;Ä&#x203A;Ç°ČąÂ&#x17E;Â&#x2014;ČąÂ&#x153;Â&#x2019;Â&#x153;Â?Â&#x17D;Â&#x2013;Â&#x160;ČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x17D;Â&#x152;Â&#x17E;Â&#x160;Â&#x152;Â&#x2019;Â&#x2DC;Â&#x2014;Â&#x17D;Â&#x153;ČąÂ&#x152;Â&#x17E;¢Â&#x160;Â&#x153;Čą soluciones sean las corrientes IjČąÂ?Â&#x17D;Â&#x2022;ČąÂ&#x152;Â&#x2019;Â&#x203A;Â&#x152;Â&#x17E;Â&#x2019;Â?Â&#x2DC;ČąÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;Â&#x2014;Â&#x2019;Â?Â&#x2DC;ČąÂ&#x17D;Â&#x2014;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÄ&#x2122;Â?Â&#x17E;Â&#x203A;Â&#x160;Čą ÇŻĹ&#x2014;ÇŻ SoluciĂłn:
Â&#x2014;ČąÂ&#x;Â&#x2019;Â&#x203A;Â?Â&#x17E;Â?ČąÂ?Â&#x17D;Čą Ĺ&#x2014;Ç°ČąÂ&#x17D;Â&#x2014;ČąÂ&#x17D;Â&#x2022;ČąÂ&#x2014;Â&#x2DC;Â?Â&#x2DC;ČąA Â&#x153;Â&#x17D;ČąÂ?Â&#x2019;Â&#x17D;Â&#x2014;Â&#x17D;Çą IĹ&#x2014; I3
I2
mientras que en el nodo BÇą I2
IĹ&#x2014; I3
Por K2, en la malla ABCDA (se eligiĂł positivo el sentido contrario al que avanzan las Â&#x2013;Â&#x160;Â&#x2014;Â&#x17D;Â&#x152;Â&#x2019;Â&#x2022;Â&#x2022;Â&#x160;Â&#x153;ČąÂ?Â&#x17D;Â&#x2022;ČąÂ&#x203A;Â&#x17D;Â&#x2022;Â&#x2DC;Â&#x201C;ǟǹȹ 2IĹ&#x2014; 3I2
ČąĹ&#x2014;Ĺ&#x2122;
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y en la malla ABFEA (se considerĂł positivo el sentido en que avanzan las manecillas del Â&#x203A;Â&#x17D;Â&#x2022;Â&#x2DC;Â&#x201C;ǟǹ 3I2 5I3
ČąĹ&#x2014;Ĺ&#x161;
De donde se obtiene el sistema (observe que las dos primeras ecuaciones son idĂŠnticas, Â&#x2122;Â&#x2DC;Â&#x203A;ČąÂ&#x17D;Â&#x153;Â&#x2DC;ČąÂ&#x17D;Â&#x153;ČąÂ&#x203A;Â&#x17D;Â&#x152;Â&#x2DC;Â&#x2013;Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x160;Â&#x2039;Â&#x2022;Â&#x17D;ČąÂ?Â&#x17D;Â&#x2014;Â&#x17D;Â&#x203A;ČąÂ&#x17D;Â&#x2014;ČąÂ&#x152;Â&#x17E;Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x160;ČąÂ&#x17D;Â&#x2022;ČąÂ&#x2122;Â&#x17E;Â&#x2014;Â?Â&#x2DC;ČąĹ&#x2DC;ČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;Â&#x153;ČąÂ&#x203A;Â&#x17D;Â&#x152;Â&#x2DC;Â&#x2013;Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x160;Â&#x152;Â&#x2019;Â&#x2DC;Â&#x2014;Â&#x17D;Â&#x153;ČąÂ&#x160;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;Â&#x203A;Â&#x2019;Â&#x2DC;Â&#x203A;Â&#x17D;Â&#x153;ǟǹ â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; +
I1 I1 2I 1
I2 I2 3I 2 3I 2
+ +
I3 I3
+
5I 3
= = = =
0 0 13Ȳ ȹ 14
ÇťĹ&#x2014;Çź
I.2 Ă reas de paralelogramos, volĂşmenes de paralelepĂpedos Sean o u (Â&#x160;Ç°ČąÂ&#x2039;), o X (Â&#x152;Ç°ČąÂ?) dos vectores de 2 (el plano cartesiano). Calculemos el ĂĄrea, S, Â?Â&#x17D;Â&#x2022;ČąÂ&#x2122;Â&#x160;Â&#x203A;Â&#x160;Â&#x2022;Â&#x17D;Â&#x2022;Â&#x2DC;Â?Â&#x203A;Â&#x160;Â&#x2013;Â&#x2DC;ČąÂ?Â&#x17D;Â&#x2014;Â&#x17D;Â&#x203A;Â&#x160;Â?Â&#x2DC;ČąÂ&#x2122;Â&#x2DC;Â&#x203A;ČąÂ&#x17D;Â&#x153;Â?Â&#x2DC;Â&#x153;ČąÂ&#x;Â&#x17D;Â&#x152;Â?Â&#x2DC;Â&#x203A;Â&#x17D;Â&#x153;ČąÂ&#x2013;Â&#x2DC;Â&#x153;Â?Â&#x203A;Â&#x160;Â?Â&#x2DC;ČąÂ&#x17D;Â&#x2014;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÄ&#x2122;Â?Â&#x17E;Â&#x203A;Â&#x160;Čą ÇŻĹ&#x2DC;ÇŻČą Â&#x17D;ČąÂ&#x160;Â&#x152;Â&#x17E;Â&#x17D;Â&#x203A;Â?Â&#x2DC;ČąÂ&#x160;Čą estĂĄ S 2SĹ&#x2014; S2 (porque SĹ&#x2014; S3).
S3 u
S1
S2
h
θ
x Figura I.2
Ahora bien, si se denota por Čš o Z Čš la longitud de cualquier vector o Z, h ¢ǰȹÂ&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x2DC;Â&#x2014;Â&#x152;Â&#x17D;Â&#x153;Çą S Puesto que sen2 T
u Čš sen T, S Čšo Ĺ&#x2014;
xh/2
xh ȹǝȚ Ț o X Ț xȚ)Țh 2 Ț o X Ț h u Ț ȹȚ Ț o Țo X Ț sen T
2
ČąĹ&#x2014;Čą cos2 T, S2
u Čš Ĺ&#x2DC;Čš Čš o Čšo X Čš 2 sen2 T u Čš Ĺ&#x2DC;Čš Čš o Čšo X Čš 2ÇťĹ&#x2014;Čą cos2 T) u Čš Ĺ&#x2DC;Čš Čš o u Čš Ĺ&#x2DC;Čš Čš o Čšo X Čš 2 Čšo X Čš 2 cos2 T u Čš Ĺ&#x2DC;Čš Čš o o o Čšo X Čš 2 ( u ¡ X )2 (a2 Â&#x2039;2) (c2 Â?2) (ac Â&#x2039;Â?)2 a2c2 a2Â?2 Â&#x2039;2c2 Â&#x2039;2Â?2 a2c2 2Â&#x160;Â&#x152;Â&#x2039;Â?Čą Â&#x2039;2Â?2 a2Â?2 Â&#x2039;2c2 2Â&#x160;Â&#x152;Â&#x2039;Â? (Â&#x160;Â?Čą Â&#x2039;Â&#x152;)2
I.2 Ă reas de paralelogramos, volĂşmenes de paralelepĂpedos Muestra digital ISSUU Š D.R. 2020 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Todos los derechos reservados. No puede ser copiado, escaneado o duplicado, total o parcialmente.10/06/2020
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de donde S
ȱȩȹ ȱ ȹ|
De sus cursos elementales de álgebra el lector seguramente recuerda que el determinante de una matriz 2 uȱŘȱ ¤ȱ ę ȱ DZ
a c
b = ad − bc d
Luego, el área del paralelogramo generado por los vectores o u ( ǰȱ ) y o X ( ǰȱ ) es el ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱę ȱǻ ȱ Ǽȱ ȱ tores. También es muy probable que el lector tenga en mente la regla de Sarrusŗ para un determinante 3 uȱřDZȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ç ȱ ȱ ȱ—en el siguiente diagrama—, ¢ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ç ȱ ȱ £ DZ
a 11
a 12
a 13
a 21
a 22
a 23
a 31
a 32
a 33
ȱ DZ
a 11 a 21 a 31
a 12 a 22 a 32
a 13 a 23 a 33
=
(a 11 a 22 a 33 + a 21 a 32 a 13 + a 31 a 23 a 12 ) − ( a 13 a 22 a 31 + a 23 a 32 a 11 + a 33 a 21 a 12 )
(2)
De manera análoga, al caso del paralelogramo, el valor absoluto del determinante de una matriz 3 uȱřȱ ¤ȱ ȱ ȱ ȱ Ç ȱ ȱ ȱ ȱ ȱę ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱę ȱ ǯřǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ à ȱ ȱ ȱ hecho al lector.
z
y
x o o o Figura I.3 El volumen del paralelepípedo generado por los vectores u , X y w es el valor absoluto del ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱę ȱǻ ȱ Ǽȱ ȱ ǯ ŗȱLa regla de Sarrus sólo es aplicable para determinantes 3 u 3; no se puede generalizar a determinantes de mayor orden; más adelante se establecerá un método general para calcular determinantes de cualquier orden que tendrá como caso particular esta regla.
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I.3 Sistemas lineales, una introducciĂłn al mĂŠtodo de Gauss En la secciĂłn anterior tratamos, de manera informal, el concepto de sistema lineal. En este apartado conceptualizaremos formalmente el tema e introduciremos el mĂŠtodo de Gauss para resolver estos sistemas. TambiĂŠn daremos la interpretaciĂłn geomĂŠtrica de sistemas lineales cuando contienen dos o tres variables. DefiniciĂłn 1 Un sistema de m-ecuaciones con nČŹÂ&#x2019;Â&#x2014;Â&#x152;Ă Â?Â&#x2014;Â&#x2019;Â?Â&#x160;Â&#x153;ČąÂ&#x161;Â&#x17E;Â&#x17D;ČąÂ?Â&#x2019;Â&#x17D;Â&#x2014;Â&#x17D;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ?Â&#x2DC;Â&#x203A;Â&#x2013;Â&#x160;Çą
a 11 x 1 a 21 x 1 ¡ ¡ ¡ a m1 x 1
+ + ¡ ¡ ¡ +
a 12 x 2 a 22 x 2 ¡ ¡ ¡ a m2 x 2
+ + ¡ ¡ ¡ +
¡¡¡ ¡¡¡ ¡¡¡ ¡¡¡ ¡¡¡ ¡¡¡
a 1n x n = a 2n x n = ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ a mn x n =
+ + ¡ ¡ ¡ +
b1 b2 ¡ ¡ ¡ bm
(3)
donde los aÂ&#x2019;Â&#x201C; Ç°ČąÂ&#x2039;Â&#x2019;ČąÂ? Ç°ČąÂ&#x2019;Čą ČąĹ&#x2014;Ç°Čą2ǰȹdzǰȹÂ&#x2013;Ç°ČąÂ&#x201C;Čą ČąĹ&#x2014;Ç°Čą2ǰȹdzǰȹÂ&#x2014;, estĂĄn dados, es lineal. Una soluciĂłn de este sistema de ecuaciones es una n-ada ordenada (DĹ&#x2014;Ç°ČąD2ǰȹǯȹǯȹǯȹǰȹDn) de nĂşmeros reales, tales que al hacer las sustituciones xĹ&#x2014;
DĹ&#x2014;
x2
D2
xn
Dn
en cada una de las m-ecuaciones las convierte en identidades. Ejemplo 2 Â&#x2022;ČąÂ&#x153;Â&#x2019;Â&#x153;Â?Â&#x17D;Â&#x2013;Â&#x160;ČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ?Â&#x2DC;Â&#x153;ČąÂ&#x17D;Â&#x152;Â&#x17E;Â&#x160;Â&#x152;Â&#x2019;Â&#x2DC;Â&#x2014;Â&#x17D;Â&#x153;ČąÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x2014;ČąÂ?Â&#x203A;Â&#x17D;Â&#x153;ČąÂ&#x2019;Â&#x2014;Â&#x152;Ă Â?Â&#x2014;Â&#x2019;Â?Â&#x160;Â&#x153;Çą 2xĹ&#x2014; 3x2 x3 xĹ&#x2014; x2 x3
Ĺ&#x161;Čą
ÇťĹ&#x161;Çź
3
(5)
es lineal y ( Ĺ&#x2014;Ç°Čą2Ç°Čą Ĺ&#x161;ǟȹÂ&#x17D;Â&#x153;ČąÂ&#x17E;Â&#x2014;Â&#x160;ČąÂ&#x153;Â&#x2DC;Â&#x2022;Â&#x17E;Â&#x152;Â&#x2019;Ă Â&#x2014;ČąÂ?Â&#x17D;Â&#x2022;ČąÂ&#x2013;Â&#x2019;Â&#x153;Â&#x2013;Â&#x2DC;ÇŻČą Â&#x2014;ČąÂ&#x17D;Â?Â&#x17D;Â&#x152;Â?Â&#x2DC;Ç°ČąÂ&#x160;Â&#x2022;ČąÂ&#x153;Â&#x17E;Â&#x153;Â?Â&#x2019;Â?Â&#x17E;Â&#x2019;Â&#x203A; xĹ&#x2014; x3 Ĺ&#x161;ČąÂ&#x17D;Â&#x2014;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x2122;Â&#x203A;Â&#x2019;Â&#x2013;Â&#x17D;Â&#x203A;Â&#x160; ecuaciĂłn ÇťĹ&#x161;ǟȹÂ&#x153;Â&#x17D;ČąÂ?Â&#x2019;Â&#x17D;Â&#x2014;Â&#x17D; 2( Ĺ&#x2014;ǟȹ 3(2) ( Ĺ&#x161;ǟȹ
Ĺ&#x2014;ǰȹ¥2
2y
Ĺ&#x161;
y al hacer las mismas sustituciones en la segunda ecuaciĂłn (5), ( Ĺ&#x2014;ǟȹ (2) ( Ĺ&#x161;ǟȹ
3
Ejemplo 3 El sistema de dos ecuaciones con dos incĂłgnitas xĹ&#x2014;2 3x2
ČąĹ&#x2014;
xĹ&#x2014;/2 Ĺ&#x2014; x2
S
no es lineal (Âżpor quĂŠ?). DefiniciĂłn 2 Â&#x2022;ČąÂ&#x153;Â&#x2019;Â&#x153;Â?Â&#x17D;Â&#x2013;Â&#x160;ȹǝĹ&#x2122;ǟȹÂ&#x17D;Â&#x153;Çą
r
Â&#x2DC;Â&#x2014;Â&#x153;Â&#x2019;Â&#x153;Â?Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;ǹȹÂ&#x153;Â&#x2019;ČąÂ?Â&#x2019;Â&#x17D;Â&#x2014;Â&#x17D;ČąÂ&#x160;Â&#x2022;ČąÂ&#x2013;Â&#x17D;Â&#x2014;Â&#x2DC;Â&#x153;ČąÂ&#x17E;Â&#x2014;Â&#x160;ČąÂ&#x153;Â&#x2DC;Â&#x2022;Â&#x17E;Â&#x152;Â&#x2019;Ă Â&#x2014;ÇŻ
r
Â&#x2014;Â&#x152;Â&#x2DC;Â&#x2014;Â&#x153;Â&#x2019;Â&#x153;Â?Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;ǹȹÂ&#x153;Â&#x2019;ČąÂ&#x2014;Â&#x2DC;ČąÂ?Â&#x2019;Â&#x17D;Â&#x2014;Â&#x17D;ČąÂ&#x153;Â&#x2DC;Â&#x2022;Â&#x17E;Â&#x152;Â&#x2019;Â&#x2DC;Â&#x2014;Â&#x17D;Â&#x153;ÇŻ I.3 Sistemas lineales, una introducciĂłn al mĂŠtodo de Gauss
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InterpretaciĂłn geomĂŠtrica Â&#x17D;Â&#x152;Â&#x2DC;Â&#x203A;Â?Â&#x17D;Â&#x2013;Â&#x2DC;Â&#x153;ČąÂ&#x161;Â&#x17E;Â&#x17D;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x17D;Â&#x152;Â&#x17E;Â&#x160;Â&#x152;Â&#x2019;Ă Â&#x2014;Çą ax Â&#x2039;¢ȹ
Â?
donde Â&#x160;Ç°ČąÂ&#x2039;Ç°ČąÂ?ČąÂ? , representa una lĂnea recta en el plano cartesiano. Luego, resolver un sistema lineal ax Â&#x2039;¢ȹ
Â?Čą
(6)
cx �¢ȹ
Â?Čą
(7)
Â&#x153;Â&#x2019;Â?Â&#x2014;Â&#x2019;Ä&#x2122;Â&#x152;Â&#x160;ČąÂ&#x17D;Â&#x2014;Â&#x152;Â&#x2DC;Â&#x2014;Â?Â&#x203A;Â&#x160;Â&#x203A;ČąÂ&#x2022;Â&#x2DC;Â&#x153;ČąÂ&#x2122;Â&#x17E;Â&#x2014;Â?Â&#x2DC;Â&#x153;ȹǝÂ&#x2DC;ČąÂ&#x17D;Â&#x2022;ČąÂ&#x2122;Â&#x17E;Â&#x2014;Â?Â&#x2DC;ǟȹÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x2019;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;Â&#x203A;Â&#x153;Â&#x17D;Â&#x152;Â&#x152;Â&#x2019;Ă Â&#x2014;ČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x203A;Â&#x17D;Â&#x152;Â?Â&#x160;ȹǝĹ&#x153;ǟȹÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x2014;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x203A;Â&#x17D;Â&#x152;Â?Â&#x160;ȹǝĹ?ǟǰȹ si es que estas rectas se intersecan. Por ende, resolver un sistema de m ecuaciones con 2 incĂłgnitas equivale a encontrar el conjunto donde las m rectas se intersecan, el cual, Â&#x2DC;Â&#x2039;Â&#x;Â&#x2019;Â&#x160;Â&#x2013;Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;Ç°ČąÂ&#x2122;Â&#x2DC;Â?Â&#x203A;Ă&#x2021;Â&#x160;ČąÂ&#x153;Â&#x17D;Â&#x203A;ČąÂ&#x;Â&#x160;Â&#x152;Ă&#x2021;Â&#x2DC;ÇŻČą Â&#x2014;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÄ&#x2122;Â?Â&#x17E;Â&#x203A;Â&#x160;Čą ÇŻĹ&#x161;ČąÂ&#x153;Â&#x17D;ČąÂ&#x2019;Â&#x2022;Â&#x17E;Â&#x153;Â?Â&#x203A;Â&#x160;Â&#x2014;ČąÂ&#x2022;Â&#x2DC;Â&#x153;ČąÂ&#x2022;Â&#x17E;Â?Â&#x160;Â&#x203A;Â&#x17D;Â&#x153;ČąÂ?Â&#x17D;Â&#x2DC;Â&#x2013;¡Â?Â&#x203A;Â&#x2019;Â&#x152;Â&#x2DC;Â&#x153;ČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x152;Â&#x17E;Â&#x160;Â?Â&#x203A;Â&#x2DC;Čą Â&#x153;Â&#x2019;Â&#x153;Â?Â&#x17D;Â&#x2013;Â&#x160;Â&#x153;ČąÂ&#x2022;Â&#x2019;Â&#x2014;Â&#x17D;Â&#x160;Â&#x2022;Â&#x17D;Â&#x153;ČąÂ&#x17D;Â&#x2014;ČąÂ&#x17D;Â&#x2022;ČąÂ&#x2122;Â&#x2022;Â&#x160;Â&#x2014;Â&#x2DC;ǹȹÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x2014;ČąÂ&#x153;Â&#x2DC;Â&#x2022;Â&#x17E;Â&#x152;Â&#x2019;Ă Â&#x2014;ȹøÂ&#x2014;Â&#x2019;Â&#x152;Â&#x160;ČąÂ&#x160;ǟDzȹÂ&#x2019;Â&#x2014;Â&#x152;Â&#x2DC;Â&#x2014;Â&#x153;Â&#x2019;Â&#x153;Â?Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;Â&#x153;ČąÂ&#x2039;ǟȹ¢ȹÂ&#x152;ǟDzȹ¢ȹÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x2014;ČąÂ&#x17E;Â&#x2014;Â&#x160;ČąÂ&#x2019;Â&#x2014;Ä&#x2122;nidad de soluciones d). De manera anĂĄloga, una ecuaciĂłn lineal con tres incĂłgnitas, ax Â&#x2039;¢ȹ Â&#x152;ÂŁČą Â?, corresponde al lugar geomĂŠtrico de puntos que estĂĄn en un plano en el espacio tridimensional. TambiĂŠn en este caso, cuando se resuelven sistemas lineales con tres incĂłgnitas, se buscan intersecciones de los correspondientes planos. Nuevamente los planos pueden no Â&#x2019;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;Â&#x203A;Â&#x153;Â&#x17D;Â&#x152;Â&#x160;Â&#x203A;Â&#x153;Â&#x17D;Ç°ČąÂ&#x2019;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;Â&#x203A;Â&#x153;Â&#x17D;Â&#x152;Â&#x160;Â&#x203A;Â&#x153;Â&#x17D;ČąÂ&#x17D;Â&#x2014;ČąÂ&#x17E;Â&#x2014;Â&#x160;ČąÂ&#x2019;Â&#x2014;Ä&#x2122;Â&#x2014;Â&#x2019;Â?Â&#x160;Â?ČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x2122;Â&#x17E;Â&#x2014;Â?Â&#x2DC;Â&#x153;ČąÂ&#x2DC;ČąÂ&#x2019;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;Â&#x203A;Â&#x153;Â&#x17D;Â&#x152;Â&#x160;Â&#x203A;Â&#x153;Â&#x17D;ČąÂ&#x17D;Â&#x2014;ČąÂ&#x17E;Â&#x2014;ȹøÂ&#x2014;Â&#x2019;Â&#x152;Â&#x2DC;ČąÂ&#x2122;Â&#x17E;Â&#x2014;Â?Â&#x2DC;ÇŻČą Â&#x160;ČąÄ&#x2122;Â?Â&#x17E;Â&#x203A;Â&#x160;Čą ÇŻĹ&#x203A;ČąÂ&#x2019;Â&#x2022;Â&#x17E;Â&#x153;Â?Â&#x203A;Â&#x160;ČąÂ&#x17D;Â&#x153;Â?Â&#x160;Â&#x153;ČąÂ&#x2122;Â&#x2DC;Â&#x153;Â&#x2019;Â&#x2039;Â&#x2019;Â&#x2022;Â&#x2019;Â?Â&#x160;Â?Â&#x17D;Â&#x153;ÇŻ
a)
b)
c)
d)
Figura I.4 a) Dos lĂneas que se intersecan en un solo punto; b) dos lĂneas paralelas que no se intersecan; c) tres lĂneas que no se intersecan simultĂĄneamente y d) dos lĂneas que coinciden.
Figura I.5 Planos que se intersecan, respectivamente, en una lĂnea recta, en un Ăşnico punto y que no tienen intersecciĂłn simultĂĄnea.
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IntroducciĂłn al mĂŠtodo de Gauss En el siguiente ejemplo resolveremos un sistema lineal de manera anĂĄloga a como el lector, seguramente, ya lo ha hecho en cursos de bachillerato; sin embargo, lo haremos con un mĂŠtodo que introducirĂĄ el importante algoritmo de Gauss, el cual consiste, esencialmente, en ir haciendo â&#x20AC;&#x153;pivotesâ&#x20AC;? para eliminar variables (incĂłgnitas) y obtener un sistema Â&#x17D;Â&#x161;Â&#x17E;Â&#x2019;Â&#x;Â&#x160;Â&#x2022;Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;ČąÂ&#x17D;Â&#x2014;ČąÂ?Â&#x2DC;Â&#x203A;Â&#x2013;Â&#x160;ČąČ&#x192;Â&#x17D;Â&#x153;Â&#x152;Â&#x160;Â&#x2022;Â&#x2DC;Â&#x2014;Â&#x160;Â?Â&#x160;Č&#x201E;ȹ¢ǰȹÄ&#x2122;Â&#x2014;Â&#x160;Â&#x2022;Â&#x2013;Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;Ç°ČąÂ&#x203A;Â&#x17D;Â&#x153;Â&#x2DC;Â&#x2022;Â&#x;Â&#x17D;Â&#x203A;Â&#x2022;Â&#x2DC;ČąÂ&#x2122;Â&#x2DC;Â&#x203A;ČąÂ&#x153;Â&#x17E;Â&#x153;Â?Â&#x2019;Â?Â&#x17E;Â&#x152;Â&#x2019;Ă Â&#x2014;ČąÂ&#x203A;Â&#x17D;Â?Â&#x203A;Â&#x17D;Â&#x153;Â&#x2019;Â&#x;Â&#x160;ÇŻ Ejemplo 4 Â&#x17D;Â&#x153;Â&#x2DC;Â&#x2022;Â&#x;Â&#x160;Â&#x2013;Â&#x2DC;Â&#x153;ČąÂ&#x17D;Â&#x2022;ČąÂ&#x153;Â&#x2019;Â&#x153;Â?Â&#x17D;Â&#x2013;Â&#x160;ČąÂ&#x2022;Â&#x2019;Â&#x2014;Â&#x17D;Â&#x160;Â&#x2022;Çą ȲȲ¥Ĺ&#x2014; x2 2x3
9
2xĹ&#x2014; ČąĹ&#x161;x2 3x3
ČąĹ&#x2014;
3xĹ&#x2014; 6x2 5x3
0
Denotemos porČą Â&#x2019;Čą Â&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x2019;ČŹĂŠsima ecuaciĂłn de un sistema lineal; la notaciĂłnČą Â&#x2019; l D Â&#x2019; E j Â&#x153;Â&#x2019;Â?Â&#x2014;Â&#x2019;Ä&#x2122;Â&#x152;Â&#x160;ČąÂ&#x161;Â&#x17E;Â&#x17D;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x17D;Â&#x152;Â&#x17E;Â&#x160;Â&#x152;Â&#x2019;Ă Â&#x2014;Čą Â&#x2019;Čąse sustituye por la ecuaciĂłn que se obtiene de sumar D veces la ecuaciĂłn Â&#x2019;Čącon E veces la ecuaciĂłnČą j. Entonces xĹ&#x2014; x2 2x3 2xĹ&#x2014; ČąĹ&#x161;x2 3x3 3xĹ&#x2014; 6x2 5x3
9 Ĺ&#x2014; 0
m o
xĹ&#x2014; x2 2x3 2x2 7x3 3x2 ČąĹ&#x2014;Ĺ&#x2014;x3
9 Ĺ&#x2014;Ĺ? 27
m o
xĹ&#x2014; x2 2x3 2x2 7x3 x3
9 Ĺ&#x2014;Ĺ? 3
2 l 2 Ĺ&#x2014; 2 3 l 3 Ĺ&#x2014; 3
3 l 3 2 2 3
En cada paso del proceso anterior se obtiene un sistema equivalente, es decir, con las mismas soluciones, pero mĂĄs sencillo, hasta que el Ăşltimo sistema equivalente estĂĄ Â&#x17D;Â&#x153;Â&#x152;Â&#x160;Â&#x2022;Â&#x2DC;Â&#x2014;Â&#x160;Â?Â&#x2DC;Çą xĹ&#x2014; Ȳ¥ 2x 2 3 2x2 7x3 x3
9 Ĺ&#x2014;Ĺ? 3
y se puede resolver haciendo sustituciĂłn regresiva, es decir, despejando y sustituyendo Â&#x;Â&#x160;Â&#x203A;Â&#x2019;Â&#x160;Â&#x2039;Â&#x2022;Â&#x17D;Â&#x153;ČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x17D;Â&#x153;Â?Â&#x17D;ȹøÂ&#x2022;Â?Â&#x2019;Â&#x2013;Â&#x2DC;ČąÂ&#x153;Â&#x2019;Â&#x153;Â?Â&#x17D;Â&#x2013;Â&#x160;ČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x160;Â&#x2039;Â&#x160;Â&#x201C;Â&#x2DC;ČąÂ&#x2018;Â&#x160;Â&#x152;Â&#x2019;Â&#x160;ČąÂ&#x160;Â&#x203A;Â&#x203A;Â&#x2019;Â&#x2039;Â&#x160;Çą x3 x2
xĹ&#x2014;
3 17 7x3 2 17 7(3) 2 2 9 x2 2x3
9 (2) 2(3)
ČąĹ&#x2014;
Â&#x153;Ă&#x2021;Ç°ČąÂ&#x17D;Â&#x2022;ČąÂ&#x153;Â&#x2019;Â&#x153;Â?Â&#x17D;Â&#x2013;Â&#x160;ČąÂ&#x17D;Â&#x153;ČąÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x2014;Â&#x153;Â&#x2019;Â&#x153;Â?Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;ČąÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x2014;ČąÂ&#x153;Â&#x2DC;Â&#x2022;Â&#x17E;Â&#x152;Â&#x2019;Ă Â&#x2014;ȹøÂ&#x2014;Â&#x2019;Â&#x152;Â&#x160;ȹǝĹ&#x2014;Ç°Čą2Ç°Čą3). Ejemplo 5 Â&#x160;Â&#x2022;Â&#x152;Â&#x17E;Â&#x2022;Â&#x160;Â&#x203A;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;Â&#x153;ČąÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x203A;Â&#x203A;Â&#x2019;Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;Â&#x153;ČąÂ&#x17D;Â&#x2022;¡Â&#x152;Â?Â&#x203A;Â&#x2019;Â&#x152;Â&#x160;Â&#x153;ČąÂ?Â&#x17D;Â&#x2022;ČąÂ&#x152;Â&#x2019;Â&#x203A;Â&#x152;Â&#x17E;Â&#x2019;Â?Â&#x2DC;ČąÂ?Â&#x17D;Â&#x2022;ČąÂ&#x17D;Â&#x201C;Â&#x17D;Â&#x2013;Â&#x2122;Â&#x2022;Â&#x2DC;ČąĹ&#x2014;Ç°ČąÂ&#x2122;¤Â?ÇŻČąĹ&#x2DC;ÇŻ SoluciĂłn: Resuelva el sistema lineal2 ÇťĹ&#x2014;ǟǰȹÂ&#x2122;¤Â?ÇŻČąĹ&#x2122;Ç°ČąÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x2014;ČąÂ&#x17D;Â&#x2022;ČąÂ&#x2013;¡Â?Â&#x2DC;Â?Â&#x2DC;ČąÂ?Â&#x17D;Čą Â&#x160;Â&#x17E;Â&#x153;Â&#x153; ilustrado en Â&#x17D;Â&#x2022;ČąÂ&#x17D;Â&#x201C;Â&#x17D;Â&#x2013;Â&#x2122;Â&#x2022;Â&#x2DC;ČąÂ&#x2122;Â&#x203A;Â&#x17D;Â&#x152;Â&#x17D;Â?Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;Çą 2
Como se mencionĂł en ese ejemplo, las primeras dos ecuaciones son iguales y por eso se puede omitir una de ellas.
I.3 Sistemas lineales, una introducción al mÊtodo de Gauss Muestra digital ISSUU Š D.R. 2020 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Todos los derechos reservados. No puede ser copiado, escaneado o duplicado, total o parcialmente.10/06/2020
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IĹ&#x2014; I2 I3 2IĹ&#x2014; 3I2 3I2 5I3
0 Ĺ&#x2014;Ĺ&#x2122; Ĺ&#x2014;Ĺ&#x161;
m o
IĹ&#x2014;
I2 5I2 3I2
I3 2I3 5I3
0 Ĺ&#x2014;Ĺ&#x2122; Ĺ&#x2014;Ĺ&#x161;
IĹ&#x2014;
I2 5I2
I3 2I3 Ĺ&#x2122;Ĺ&#x2014;I3
0 Ĺ&#x2014;Ĺ&#x2122; Ĺ&#x2122;Ĺ&#x2014;
2 l 2 Ĺ&#x2014; 2
m o
3 l 3 2 5 3 Al hacer sustituciĂłn regresiva se tiene ČąĹ&#x2014; Ĺ&#x2014;Ĺ&#x2122;Čą 2I3 5 I 2 I3
I3 I2 IĹ&#x2014; Esto es, IĹ&#x2014;
2A, I2
3A, I3
3 2
ČąĹ&#x2014; Ȳ
I.4 IntroducciĂłn a la regla de Cramer Consideremos el sistema lineal de dos ecuaciones con dos incĂłgnitas ax Â&#x2039;¢ȹ
f
cx �¢ȹ
Â?Čą
(8)
y supongamos Â&#x160;Â?Čą ČąÂ&#x2039;Â&#x152;Čąz 0. Entonces uno de a y Â&#x2039;, al menos, debe ser distinto de cero; digamos que aÇŻČą Â&#x2122;Â&#x2022;Â&#x2019;Â&#x161;Â&#x17E;Â&#x17D;ČąÂ&#x17D;Â&#x2022;ČąÂ&#x2013;¡Â?Â&#x2DC;Â?Â&#x2DC;ČąÂ?Â&#x17D;Čą Â&#x160;Â&#x17E;Â&#x153;Â&#x153;ČąÂ&#x160;ČąÂ&#x17D;Â&#x153;Â?Â&#x17D;ČąÂ&#x153;Â&#x2019;Â&#x153;Â?Â&#x17D;Â&#x2013;Â&#x160;Çą ax Â&#x2039;¢ cx Â?¢
f Â?
ax Â&#x2039;¢ (Â&#x160;Â?Čą Â&#x2039;Â&#x152;)y
m o 2 l Â&#x152; Ĺ&#x2014; Â&#x160; 2
f Â&#x160;Â?Čą fc
De donde (ya que Â&#x160;Â?Čą Â&#x2039;Â&#x152;ČązČąĹ&#x2013;ǟǹ y
Â&#x160;Â?Čą fc Â&#x160;Â?Čą Â&#x2039;Â&#x152;
y al sustituir y en la segunda ecuaciĂłn de (8) y despejar x, se obtiene (recuerde que a z 0) x
Ĺ&#x2014; ȹǝȚf Â&#x2039;¢) a Â&#x160;Â?Čą fc Ĺ&#x2014; b af Â&#x2039; Â&#x160;Â?Čą Â&#x2039;Â&#x152; a Ĺ&#x2014; Â?Â&#x160;Â?Čą Ä Â&#x152;Čą Â&#x2039;Â&#x160;Â?Čą Â&#x2039;Â?Â&#x152; Â&#x160;Â?Čą Â&#x2039;Â&#x152; a Ĺ&#x2014; aǝȚÂ?Â?Čą Â&#x2039;Â?) a Â&#x160;Â?Čą Â&#x2039;Â&#x152; Â?Â?Čą Â&#x2039;Â? Â&#x160;Â?Čą Â&#x2039;Â&#x152;
AnĂĄlogamente, si se supone c z 0, se llega al mismo resultado, que utilizando el concepto de determinante se escribe en la forma
x=
f b g d a b c d
,y=
a f c g a b c d
(9)
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que es la llamada regla de Cramer y seguramente es familiar al lector. Es decir, si el determinante del sistema (8) es distinto de cero, el sistema tiene soluciĂłn Ăşnica y estĂĄ dada por (9). Â&#x2014;Â&#x;Â&#x17D;Â&#x203A;Â&#x153;Â&#x160;Â&#x2013;Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;Ç°ČąÂ&#x153;Â&#x2019;ȹǝĹ&#x17E;ǟȹÂ?Â&#x2019;Â&#x17D;Â&#x2014;Â&#x17D;ČąÂ&#x153;Â&#x2DC;Â&#x2022;Â&#x17E;Â&#x152;Â&#x2019;Ă Â&#x2014;ȹøÂ&#x2014;Â&#x2019;Â&#x152;Â&#x160;Ç°ČąÂ&#x2022;Â&#x160;Â&#x153;ČąÂ&#x203A;Â&#x17D;Â&#x152;Â?Â&#x160;Â&#x153;ČąÂ&#x161;Â&#x17E;Â&#x17D;ČąÂ&#x2022;Â&#x2DC;ČąÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x2014;Â?Â&#x2DC;Â&#x203A;Â&#x2013;Â&#x160;Â&#x2014;ČąÂ&#x153;Â&#x17D;ČąÂ&#x2019;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;Â&#x203A;Â&#x153;Â&#x17D;Â&#x152;Â&#x160;Â&#x2014;Čą en un Ăşnico punto, no son paralelas y entonces se puede demostrar â&#x20AC;&#x201D;lo cual se deja de ejercicio al lectorâ&#x20AC;&#x201D; que el determinante del sistema es distinto de cero. Luego, si el Â?Â&#x17D;Â?Â&#x17D;Â&#x203A;Â&#x2013;Â&#x2019;Â&#x2014;Â&#x160;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;ČąÂ?Â&#x17D;Â&#x2022;ČąÂ&#x153;Â&#x2019;Â&#x153;Â?Â&#x17D;Â&#x2013;Â&#x160;ȹǝĹ&#x17E;ǟȹÂ&#x17D;Â&#x153;ČąÂ&#x152;Â&#x17D;Â&#x203A;Â&#x2DC;Ç°ČąÂ&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x2DC;Â&#x2014;Â&#x152;Â&#x17D;Â&#x153;ČąÂ&#x17D;Â&#x153;ČąÂ&#x2019;Â&#x2014;Â&#x152;Â&#x2DC;Â&#x2014;Â&#x153;Â&#x2019;Â&#x153;Â?Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;ČąÂ&#x2DC;ČąÂ?Â&#x2019;Â&#x17D;Â&#x2014;Â&#x17D;ČąÂ&#x17E;Â&#x2014;Â&#x160;ČąÂ&#x2019;Â&#x2014;Ä&#x2122;Â&#x2014;Â&#x2019;Â?Â&#x160;Â?ČąÂ?Â&#x17D;Čą soluciones. Por ejemplo, las lĂneas rectas del sistema x y
ČąĹ&#x2014;
2x 2y
3
tienen la misma pendiente pero distinta ordenada al origen, por lo tanto son rectas paralelas con intersecciĂłn vacĂa; mientras que las rectas x y
ČąĹ&#x2014;
2x 2y
2
Â&#x152;Â&#x2DC;Â&#x2019;Â&#x2014;Â&#x152;Â&#x2019;Â?Â&#x17D;Â&#x2014;Ç°ČąÂ&#x2122;Â&#x2DC;Â&#x203A;ČąÂ&#x2022;Â&#x2DC;ČąÂ&#x161;Â&#x17E;Â&#x17D;ČąÂ&#x17D;Â&#x2022;ČąÂ&#x153;Â&#x2019;Â&#x153;Â?Â&#x17D;Â&#x2013;Â&#x160;ČąÂ?Â&#x2019;Â&#x17D;Â&#x2014;Â&#x17D;ČąÂ&#x17E;Â&#x2014;Â&#x160;ČąÂ&#x2019;Â&#x2014;Ä&#x2122;Â&#x2014;Â&#x2019;Â?Â&#x160;Â?ČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x153;Â&#x2DC;Â&#x2022;Â&#x17E;Â&#x152;Â&#x2019;Â&#x2DC;Â&#x2014;Â&#x17D;Â&#x153;ÇŻČą Â&#x2019;Â&#x2014;ČąÂ&#x17D;Â&#x2013;Â&#x2039;Â&#x160;Â&#x203A;Â?Â&#x2DC;Ç°ČąÂ&#x160;Â&#x2013;Â&#x2039;Â&#x2DC;Â&#x153;Čą sistemas tienen determinante nulo.
Sistemas homogĂŠneos y determinantes, ecuaciĂłn de una recta con determinantes Todo sistema homogĂŠneo 2 uČąĹ&#x2DC;Çą ax Â&#x2039;¢ȹ
0
cx �¢ȹ
0
ÇťĹ&#x2014;Ĺ&#x2013;Çź
es consistente, pues x 0 , y 0, es una soluciĂłn â&#x20AC;&#x201D;la llamada soluciĂłn trivial. Entonces, Â&#x153;Ă Â&#x2022;Â&#x2DC;ČąÂ?Â&#x2019;Â&#x17D;Â&#x2014;Â&#x17D;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x153;Â&#x2DC;Â&#x2022;Â&#x17E;Â&#x152;Â&#x2019;Ă Â&#x2014;ČąÂ?Â&#x203A;Â&#x2019;Â&#x;Â&#x2019;Â&#x160;Â&#x2022;ČąÂ&#x2DC;ČąÂ?Â&#x2019;Â&#x17D;Â&#x2014;Â&#x17D;ČąÂ&#x2019;Â&#x2014;Ä&#x2122;Â&#x2014;Â&#x2019;Â?Â&#x160;Â?ČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x153;Â&#x2DC;Â&#x2022;Â&#x17E;Â&#x152;Â&#x2019;Â&#x2DC;Â&#x2014;Â&#x17D;Â&#x153;Dzȹ¢ȹÂ&#x17D;Â&#x153;Â?Â&#x2DC;ČąÂ&#x153;Â&#x17E;Â&#x152;Â&#x17D;Â?Â&#x17D;ČąÂ&#x153;Â&#x2019;ČąÂ&#x17D;Â&#x2022;ČąÂ?Â&#x17D;Â?Â&#x17D;Â&#x203A;Â&#x2013;Â&#x2019;Â&#x2014;Â&#x160;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;ČąÂ?Â&#x17D;Â&#x2022;ČąÂ&#x153;Â&#x2019;Â&#x153;Â?Â&#x17D;Â&#x2013;Â&#x160;ČąÂ&#x17D;Â&#x153;ČąÂ&#x2014;Â&#x2DC;ČąÂ&#x2014;Â&#x17E;Â&#x2022;Â&#x2DC;ČąÂ&#x2DC;ČąÂ&#x17D;Â&#x153;ČąÂ&#x152;Â&#x17D;Â&#x203A;Â&#x2DC;Ç°ČąÂ&#x203A;Â&#x17D;Â&#x153;Â&#x2122;Â&#x17D;Â&#x152;Â?Â&#x2019;Â&#x;Â&#x160;Â&#x2013;Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;ÇŻČą Â&#x153;Â?Â&#x2DC;ČąÂ&#x17D;Â&#x153;Çą
r
a b zČąĹ&#x2013;ČąÂ&#x153;Â&#x2019;ȹ¢ȹÂ&#x153;Ă Â&#x2022;Â&#x2DC;ČąÂ&#x153;Â&#x2019;ČąÂ&#x17D;Â&#x2022;ČąÂ&#x153;Â&#x2019;Â&#x153;Â?Â&#x17D;Â&#x2013;Â&#x160;ČąÂ&#x2018;Â&#x2DC;Â&#x2013;Â&#x2DC;Â?¡Â&#x2014;Â&#x17D;Â&#x2DC;ȹǝĹ&#x2014;Ĺ&#x2013;ǟȹÂ?Â&#x2019;Â&#x17D;Â&#x2014;Â&#x17D;ȹøÂ&#x2014;Â&#x2019;Â&#x152;Â&#x160;Â&#x2013;Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x153;Â&#x2DC;Â&#x2022;Â&#x17E;Â&#x152;Â&#x2019;Ă Â&#x2014;ČąÂ?Â&#x203A;Â&#x2019;Â&#x;Â&#x2019;Â&#x160;Â&#x2022;ÇŻ c d
r
a b c d
ȹȹĹ&#x2013;ČąÂ&#x153;Â&#x2019;ȹ¢ȹÂ&#x153;Ă Â&#x2022;Â&#x2DC;ČąÂ&#x153;Â&#x2019;ČąÂ&#x17D;Â&#x2022;ČąÂ&#x153;Â&#x2019;Â&#x153;Â?Â&#x17D;Â&#x2013;Â&#x160;ČąÂ&#x2018;Â&#x2DC;Â&#x2013;Â&#x2DC;Â?¡Â&#x2014;Â&#x17D;Â&#x2DC;ȹǝĹ&#x2014;Ĺ&#x2013;ǟȹÂ?Â&#x2019;Â&#x17D;Â&#x2014;Â&#x17D;ČąÂ&#x153;Â&#x2DC;Â&#x2022;Â&#x17E;Â&#x152;Â&#x2019;Â&#x2DC;Â&#x2014;Â&#x17D;Â&#x153;ČąÂ&#x2014;Â&#x2DC;ČąÂ?Â&#x203A;Â&#x2019;Â&#x;Â&#x2019;Â&#x160;Â&#x2022;Â&#x17D;Â&#x153;ȹǝÂ&#x2019;Â&#x2014;Ä&#x2122;Â&#x2014;Â&#x2019;dad de soluciones).
Todo lo precedente se puede generalizar a sistemas lineales 3 u 3, y una aplicaciĂłn interesante es que con un determinante de orden tres es posible determinar la ecuaciĂłn de una lĂnea recta que pasa por dos puntos dados (xĹ&#x2014;ǰȹ¢Ĺ&#x2014;) y (x2ǰȹ¢2). Sabemos que ĂŠsta tiene la forma ax Â&#x2039;¢ȹ c
0
Â&#x152;Â&#x2DC;Â&#x2014;ČąÂ&#x160;Â&#x2022;ČąÂ&#x2013;Â&#x17D;Â&#x2014;Â&#x2DC;Â&#x153;ČąÂ&#x17E;Â&#x2014;Â&#x2DC;ČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x2022;Â&#x2DC;Â&#x153;ČąÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x17D;Ä&#x2122;Â&#x152;Â&#x2019;Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;Â&#x153;Ç°Čąa y Â&#x2039;, distinto de cero. Entonces, si (¥ǰȹ¢) es un punto cualquiera de la recta, el sistema homogĂŠneo xa ¢Â&#x2039;Čą c
0
xĹ&#x2014;a yĹ&#x2014;Â&#x2039;Čą c
0
x2a y2Â&#x2039;Čą c
0
I.4 Introducción a la regla de Cramer Muestra digital ISSUU Š D.R. 2020 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Todos los derechos reservados. No puede ser copiado, escaneado o duplicado, total o parcialmente.10/06/2020
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Â?Â&#x2019;Â&#x17D;Â&#x2014;Â&#x17D;ČąÂ&#x153;Â&#x2DC;Â&#x2022;Â&#x17E;Â&#x152;Â&#x2019;Â&#x2DC;Â&#x2014;Â&#x17D;Â&#x153;ČąÂ&#x2014;Â&#x2DC;ČąÂ?Â&#x203A;Â&#x2019;Â&#x;Â&#x2019;Â&#x160;Â&#x2022;Â&#x17D;Â&#x153;ÇŻČą Â&#x2DC;Â&#x203A;ČąÂ?Â&#x160;Â&#x2014;Â?Â&#x2DC;Ç°ČąÂ&#x17D;Â&#x2022;ČąÂ?Â&#x17D;Â?Â&#x17D;Â&#x203A;Â&#x2013;Â&#x2019;Â&#x2014;Â&#x160;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;ČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x2013;Â&#x160;Â?Â&#x203A;Â&#x2019;ÂŁČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x17D;Ä&#x2122;Â&#x152;Â&#x2019;Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;Â&#x153;ČąÂ&#x17D;Â&#x153;Čą nulo, esto es x y Ĺ&#x2014; x â&#x20AC; Ĺ&#x2014; yĹ&#x2014; Ĺ&#x2014; â&#x20AC; x2 y2 Ĺ&#x2014;
0
Â&#x2022;ČąÂ?Â&#x17D;Â&#x153;Â&#x160;Â&#x203A;Â&#x203A;Â&#x2DC;Â&#x2022;Â&#x2022;Â&#x160;Â&#x203A;Ç°ČąÂ&#x2122;Â&#x2DC;Â&#x203A;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x203A;Â&#x17D;Â?Â&#x2022;Â&#x160;ČąÂ?Â&#x17D;Čą Â&#x160;Â&#x203A;Â&#x203A;Â&#x17E;Â&#x153;ȹǝÂ&#x2122;¤Â?ÇŻČąĹ&#x161;ǟǰȹ¢ȹÂ&#x160;Â?Â&#x203A;Â&#x17E;Â&#x2122;Â&#x160;Â&#x203A;ČąÂ&#x17D;Â&#x2014;ČąÂ?Â&#x2DC;Â&#x203A;Â&#x2013;Â&#x160;ČąÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x2014;Â&#x;Â&#x17D;Â&#x2014;Â&#x2019;Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;Ç°ČąÂ&#x17D;Â&#x153;ČąÂ?¤Â&#x152;Â&#x2019;Â&#x2022;Čą comprobar que se obtiene p
yĹ&#x2014;Čą Ĺ&#x2014; xĹ&#x2014;Čą Ĺ&#x2014; xĹ&#x2014; yĹ&#x2014; px p py p p x2 y2 y2Čą Ĺ&#x2014; x2Čą Ĺ&#x2014;
0
yĹ&#x2014;Čą Ĺ&#x2014; Čš xĹ&#x2014;Čą Ĺ&#x2014; xĹ&#x2014; yĹ&#x2014; Čš p , Â&#x2039;Čą p pyc p p . Si ademĂĄs xĹ&#x2014; z x2, la pendiente de la x2 y2 y2Čą Ĺ&#x2014; x2Čą Ĺ&#x2014; recta de la igualdad precedente estĂĄ dada por De donde a
p
m
y1 1 y2 1
ÇťĹ&#x2014;Ĺ&#x2014;Çź
x1 1 x2 1 Ejemplo 6 Encontrar la ecuaciĂłn de la recta que pasa por los puntos ( Ĺ&#x2014;Ç°Čą2) y ÇťĹ&#x161;Ç°Čą 3). SoluciĂłn:
Â&#x2022;ČąÂ&#x160;Â&#x2122;Â&#x2022;Â&#x2019;Â&#x152;Â&#x160;Â&#x203A;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x203A;Â&#x17D;Â?Â&#x2022;Â&#x160;ČąÂ?Â&#x17D;Čą Â&#x160;Â&#x203A;Â&#x203A;Â&#x17E;Â&#x153;ȹǝÂ&#x152;Â?ÇŻČąÂ&#x2122;ÇŻČąĹ&#x161;ǟǹ x
â&#x20AC; Ĺ&#x2014;
y Ĺ&#x2014;
2 Ĺ&#x2014; â&#x20AC;
2x 3 ČąĹ&#x161;y (8 3x y)
Ĺ&#x161; 3 Ĺ&#x2014; 5x 5y 5 Â&#x17E;Â&#x17D;Â?Â&#x2DC;Ç°ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x17D;Â&#x152;Â&#x17E;Â&#x160;Â&#x152;Â&#x2019;Ă Â&#x2014;ČąÂ&#x2039;Â&#x17E;Â&#x153;Â&#x152;Â&#x160;Â?Â&#x160;ČąÂ&#x17D;Â&#x153;Çą 5x 5y 5
ČąĹ&#x2013;Ȳ
Ejemplo 7 Calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos ÇťĹ&#x2014;Ç°Čą5) y ÇťĹ&#x161;Ç°Čą3). SoluciĂłn:
Â&#x17D;ȹǝĹ&#x2014;Ĺ&#x2014;ǟǰ
m
5 1 3 1 1 1 4 1
2 Ȳ 3
Introducción Muestra digital ISSUU Š D.R. 2020 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Todos los derechos reservados. No puede ser copiado, escaneado o duplicado, total o parcialmente.10/06/2020
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I.5 Actividades y ejercicios Actividades Actividad 1 Argumente matemĂĄticamente porquĂŠ las ĂĄreas SĹ&#x2014; y S3 del paralelogramo Â?Â&#x17D;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÄ&#x2122;Â?Â&#x17E;Â&#x203A;Â&#x160;Čą ÇŻĹ&#x2DC;ȹǝÂ&#x2122;¤Â?ÇŻČąĹ&#x2122;ǟǰȹÂ&#x153;Â&#x2DC;Â&#x2014;ČąÂ&#x2019;Â?Â&#x17E;Â&#x160;Â&#x2022;Â&#x17D;Â&#x153;ÇŻ Actividad 2 a) Recuerde que si u, v y w son vectores del espacio tridimensional 3, se Â?Â&#x17D;Ä&#x2122;Â&#x2014;Â&#x17D;ČąÂ&#x17D;Â&#x2022;ČąÂ&#x2122;Â&#x203A;Â&#x2DC;Â?Â&#x17E;Â&#x152;Â?Â&#x2DC;ČąÂ&#x152;Â&#x203A;Â&#x17E;ÂŁČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x17D;Â&#x153;Â?Â&#x2DC;Â&#x153;ČąÂ&#x;Â&#x17D;Â&#x152;Â?Â&#x2DC;Â&#x203A;Â&#x17D;Â&#x153;ČąÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x2013;Â&#x2DC;Çą o X u uo
u Ț ȹȚ Ț o Țo X Ț sen T o K
donde T es el ĂĄngulo entre los vectores o u yo X yo K Â&#x17D;Â&#x153;ČąÂ&#x17E;Â&#x2014;ČąÂ&#x;Â&#x17D;Â&#x152;Â?Â&#x2DC;Â&#x203A;ČąÂ&#x17E;Â&#x2014;Â&#x2019;Â?Â&#x160;Â&#x203A;Â&#x2019;Â&#x2DC;ȹǝÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x2022;Â&#x2DC;Â&#x2014;Â?Â&#x2019;Â?Â&#x17E;Â?ČąĹ&#x2014;Ç°Čą o esto es Čš K Čš ČąĹ&#x2014;ǟȹÂ&#x2122;Â&#x17D;Â&#x203A;Â&#x2122;Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x2019;Â&#x152;Â&#x17E;Â&#x2022;Â&#x160;Â&#x203A;ČąÂ&#x160;ČąÂ&#x160;Â&#x2013;Â&#x2039;Â&#x2DC;Â&#x153;ČąÂ&#x;Â&#x17D;Â&#x152;Â?Â&#x2DC;Â&#x203A;Â&#x17D;Â&#x153;ȹ¢ȹÂ&#x153;Â&#x2019;Â?Â&#x17E;Â&#x17D;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ?Â&#x2019;Â&#x203A;Â&#x17D;Â&#x152;Â&#x152;Â&#x2019;Ă Â&#x2014;ČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x17E;Â&#x2014;ČąÂ?Â&#x2DC;Â&#x203A;Â&#x2014;Â&#x2019;Â&#x2022;Â&#x2022;Â&#x2DC;Čą derecho cuando se hace girar en la direcciĂłn del ĂĄngulo mĂĄs pequeĂąo del vector o u al vector o X (o la direcciĂłn de la regla de la mano derecha). Utilizando la regla de Sarrus para determinantes de orden 3 y aceptando el hecho de que el producto cruz es distributivo respecto a la suma, demuestre formalmente que si o u (uĹ&#x2014;Ç°ČąÂ&#x17E;2Ç°ČąÂ&#x17E;3) y o X (vĹ&#x2014;Ç°ČąÂ&#x;2Ç°ČąÂ&#x;3), LĚ&#x201A;
jĚ&#x201A;
kĚ&#x201A;
â&#x20AC; ȹȚ uĹ&#x2014; u2 u3 â&#x20AC;
o X u uo
XĹ&#x2014; X2 X3
b) Si o u (uĹ&#x2014;Ç°ČąÂ&#x17E;2Ç°ČąÂ&#x17E;3) y o X ¡Â&#x153;Â?Â&#x2DC;Â&#x153;ČąÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x2013;Â&#x2DC;Çą
(vĹ&#x2014;Ç°ČąÂ&#x;2Ç°ČąÂ&#x;3) son vectores de 3 Â&#x153;Â&#x17D;ČąÂ?Â&#x17D;Ä&#x2122;Â&#x2014;Â&#x17D;ČąÂ&#x17D;Â&#x2022;ČąÂ&#x2122;Â&#x203A;Â&#x2DC;Â?Â&#x17E;Â&#x152;Â?Â&#x2DC;ČąÂ&#x2122;Â&#x17E;Â&#x2014;Â?Â&#x2DC;ČąÂ?Â&#x17D;Čą o X u Â&#x2DC;o
u Ț ȹȚ Ț o Țo X Ț cos T
donde T Â&#x17D;Â&#x153;ČąÂ&#x17D;Â&#x2022;ȹ¤Â&#x2014;Â?Â&#x17E;Â&#x2022;Â&#x2DC;ČąÂ&#x161;Â&#x17E;Â&#x17D;ČąÂ?Â&#x2DC;Â&#x203A;Â&#x2013;Â&#x160;Â&#x2014;ÇŻČą Â&#x17D;ČąÂ&#x2122;Â&#x17E;Â&#x17D;Â?Â&#x17D;ČąÂ?Â&#x17D;Â&#x2013;Â&#x2DC;Â&#x153;Â?Â&#x203A;Â&#x160;Â&#x203A;ČąÂ&#x161;Â&#x17E;Â&#x17D;Çą o X u Â&#x2DC;o Demuestre que si o w
uĹ&#x2014;vĹ&#x2014; u2v2 u3v3.
(wĹ&#x2014;ǰȹ 2ǰȹ 3ǟǰȹÂ&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x2DC;Â&#x2014;Â&#x152;Â&#x17D;Â&#x153;Çą o o X uw u ¡o
uĹ&#x2014; u 2 u 3
â&#x20AC; ȹȚ XĹ&#x2014; X2 X3 â&#x20AC; wĹ&#x2014; w2 w3
c)Čą Â&#x2DC;Â&#x2014;Â&#x153;Â&#x2019;Â?Â&#x17D;Â&#x203A;Â&#x17D;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x153;Â&#x2019;Â?Â&#x17E;Â&#x2019;Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;ČąÄ&#x2122;Â?Â&#x17E;Â&#x203A;Â&#x160;Çą P
Ă&#x2014;
h
θ
... .... . . . . .. ..
Sea P el paralelepĂpedo generado por los vectores o u, o X yo w . Demuestre que si V es el volumen de P, entonces V
u Ț ȹȚ Ț o w Ț h Țo
V
o Â&#x2DC; X o u w o u
y, por tanto,
I.5 Actividades y ejercicios Muestra digital ISSUU Š D.R. 2020 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Todos los derechos reservados. No puede ser copiado, escaneado o duplicado, total o parcialmente.10/06/2020
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Así que si A
uŗ u 2 u 3
ȹ †ȱȹ Xŗ X2 X3 † , y det(A) es el determinante de Aǰȱ DZ
wŗ w2 w3 V
~ȹdet(A)ȹ~
Actividad 3 Pruebe que si dos rectas no son paralelas, entonces el determinante es distinto de cero. Actividad 4 Sea T un triángulo con vértices o u (xŗǰȱ¢ŗ), o X (x2ǰȱ¢2) y o w 2 plano . Probar que el área de T está dada por el valor absoluto de xŗ x ȱȹ † 2 x3
(x3ǰȱ¢3) en el
yŗ ŗ y2 ŗ † y3 ŗ
Actividad 5 ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱę ǰ
√2
20
10 √2
40
ȱ Ç ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱŚś°ȱ ȱŗřś°ȱ¢ȱ ǰȱ ȱ ǰȱŗŖ 2m y las largas 20 2 Dzȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ ȱ ȱŚŖ ǯȱ ȱ ȱ DZ
B Localizar en un sistema de coordenadas cartesianas todos los vértices del terreno poligonal.
C Calcular el área del terreno. Él está seguro, intuitivamente, que es posible calcular el área conociendo las coordenadas de los vértices de un número mínimo de triángulos y paralelogramos formados con lados y vértices de la región poligonal.
c) ¿Es correcta la conjetura del propietario? d) ȱ ȱ ę ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ DZ Ȳ ǯȱ Ƕ ¤ ȱ ȱ ȱ ȱ ø ȱ ȱ ¤ ȱ ¢ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ propósito? ii. ¿Cuál es la respuesta a la primera necesidad del propietario? iii. ¿Cuánto mide el área del terreno?
Introducción Muestra digital ISSUU © D.R. 2020 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Todos los derechos reservados. No puede ser copiado, escaneado o duplicado, total o parcialmente.10/06/2020
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Ejercicios 1. Â&#x160;Â&#x2022;Â&#x152;Â&#x17E;Â&#x2022;Â&#x160;Â&#x203A;Ç°ČąÂ&#x17E;Â?Â&#x2019;Â&#x2022;Â&#x2019;ÂŁÂ&#x160;Â&#x2014;Â?Â&#x2DC;ČąÂ?Â&#x17D;Â?Â&#x17D;Â&#x203A;Â&#x2013;Â&#x2019;Â&#x2014;Â&#x160;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;Â&#x153;Ç°ČąÂ&#x17D;Â&#x2022;ȹ¤Â&#x203A;Â&#x17D;Â&#x160;ČąÂ&#x2DC;ČąÂ&#x;Â&#x2DC;Â&#x2022;Â&#x17E;Â&#x2013;Â&#x17D;Â&#x2014;ČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;Â&#x153;ČąÄ&#x2122;Â?Â&#x17E;Â&#x203A;Â&#x160;Â&#x153;ČąÂ?Â&#x17D;Â&#x153;Â&#x152;Â&#x203A;Â&#x2019;Â?Â&#x160;Â&#x153;ČąÂ&#x17D;Â&#x2014;Čą Â&#x152;Â&#x160;Â?Â&#x160;ČąÂ&#x2019;Â&#x2014;Â&#x152;Â&#x2019;Â&#x153;Â&#x2DC;Çą
a) El ĂĄrea del paralelogramo generado por los vectores o u (2Ç°Čą5) y o X (6Ç°Čą2). b) El volumen del paralelepĂpedo generado por los vectores o u ( 2Ç°Čą 2Ç°Čą 5), o X (3Ç°Čą0Ç°Čą6) y o w (2Ç°ČąĹ&#x161;Ç°Čą2). c) El ĂĄrea del paralelogramo con vĂŠrtices (2Ç°ČąĹ&#x2DC;ǟǰȹǝĹ&#x161;Ç°Čą6), (7Ç°Čą3) y (9Ç°Čą7). d) Â&#x2022;ČąÂ&#x;Â&#x2DC;Â&#x2022;Â&#x17E;Â&#x2013;Â&#x17D;Â&#x2014;ČąÂ?Â&#x17D;Â&#x2022;ČąÂ&#x2122;Â&#x160;Â&#x203A;Â&#x160;Â&#x2022;Â&#x17D;Â&#x2022;Â&#x17D;Â&#x2122;Ă&#x2021;Â&#x2122;Â&#x17D;Â?Â&#x2DC;ČąÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x2014;ČąÂ&#x;¡Â&#x203A;Â?Â&#x2019;Â&#x152;Â&#x17D;Â&#x153;ȹǝĹ&#x2014;Ç°ČąĹ&#x2014;Ç°ČąĹ&#x161;ǟǰȹǝĹ&#x2DC;Ç°Čą3Ç°Čą7), (0Ç°Čą3Ç°Čą8), (0Ç°Čą0Ç°Čą7), ÇťĹ&#x2014;Ç°Čą5Ç°ČąĹ&#x2014;Ĺ&#x2014;ǟǰȹǝĹ&#x2013;Ç°ČąĹ&#x161;Ç°ČąĹ&#x2014;Ĺ&#x161;ǟǰȹǝĹ&#x2014;Ç°Čą2Ç°ČąĹ&#x2014;Ĺ&#x2013;ǟǰȹǝ Ĺ&#x2014;Ç°Čą2Ç°ČąĹ&#x2014;Ĺ&#x2014;ǟǯ
2. Resolver los siguientes sistemas lineales con el mĂŠtodo de Gauss introducido en el Â&#x17D;Â&#x201C;Â&#x17D;Â&#x2013;Â&#x2122;Â&#x2022;Â&#x2DC;ČąĹ&#x161;ÇŻ
a)
b)
c)
d)
x 2y ÂŁ
5
3y x 2ÂŁ
3
2x y ÂŁ
Ĺ&#x161;
x y 2ÂŁ
3
x y ÂŁ
2
3x 2y ÂŁ
Ĺ&#x161;
x y 2ÂŁ
Ĺ&#x2014;
2x 3y 5ÂŁ
Ĺ&#x2014;
x 2y 3ÂŁ
Ĺ&#x2014;
xĹ&#x2014; x2 x3 xĹ&#x161;
2
2xĹ&#x2014; x2 3x3 xĹ&#x161;
3
x2 xĹ&#x2014; 2x3 xĹ&#x161;
5
3xĹ&#x2014; x2 x3 xĹ&#x161;
0
3. Encontrar las corrientes Ij Â?Â&#x17D;ČąÂ&#x152;Â&#x160;Â?Â&#x160;ČąÂ&#x152;Â&#x2019;Â&#x203A;Â&#x152;Â&#x17E;Â&#x2019;Â?Â&#x2DC;Çą a)
6V
10 Ί I1
10 V
5Ί I2
10 V
20 Ί I3
I.5 Actividades y ejercicios Muestra digital ISSUU Š D.R. 2020 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Todos los derechos reservados. No puede ser copiado, escaneado o duplicado, total o parcialmente.10/06/2020
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b)
14 V
4Ί I1 10 V
6Ί I2
2Ί I3
c)
4Ί I1 20 V
2Ί I2 2Ί I3
4. Â&#x17D;Â&#x153;Â&#x2DC;Â&#x2022;Â&#x;Â&#x17D;Â&#x203A;ČąÂ&#x2122;Â&#x2DC;Â&#x203A;ČąÂ&#x2013;Â&#x17D;Â?Â&#x2019;Â&#x2DC;ČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x203A;Â&#x17D;Â?Â&#x2022;Â&#x160;ČąÂ?Â&#x17D;Čą Â&#x203A;Â&#x160;Â&#x2013;Â&#x17D;Â&#x203A;ČąÂ&#x2022;Â&#x2DC;Â&#x153;ČąÂ&#x153;Â&#x2019;Â?Â&#x17E;Â&#x2019;Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;Â&#x153;ČąÂ&#x153;Â&#x2019;Â&#x153;Â?Â&#x17D;Â&#x2013;Â&#x160;Â&#x153;Çą a)
b)
c)
3x 2y
Ĺ&#x2014;
x y
2
5x 3y
Ĺ&#x2DC;Ĺ&#x2014;
8x ČąĹ&#x161;y
32
2x ČąĹ&#x2014;Ĺ?y
2
3x ČąĹ&#x2DC;Ĺ&#x2014;y
3
5. Utilizar determinantes para encontrar a) la ecuaciĂłn de la recta que pasa por los Â&#x2122;Â&#x17E;Â&#x2014;Â?Â&#x2DC;Â&#x153;ČąÂ?Â&#x160;Â?Â&#x2DC;Â&#x153;ȹ¢ȹÂ&#x2039;ǟȹÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x2122;Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x2019;Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;ČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x203A;Â&#x17D;Â&#x152;Â?Â&#x160;Çą
a) ÇťĹ&#x2014;Ç°Čą Ĺ&#x2014;ǟǰȹǝĹ&#x2122;Ç°Čą 2) b) (2Ç°Čą 3), ( 3Ç°Čą8) 6. Por medio del determinante del sistema, concluir si el sistema homogĂŠneo tiene Â&#x153;Â&#x2DC;Â&#x2022;Â&#x17E;Â&#x152;Â&#x2019;Â&#x2DC;Â&#x2014;Â&#x17D;Â&#x153;ČąÂ&#x2014;Â&#x2DC;ČąÂ?Â&#x203A;Â&#x2019;Â&#x;Â&#x2019;Â&#x160;Â&#x2022;Â&#x17D;Â&#x153;Çą
a)
b)
x y 2ÂŁ
0
2y 3x 5ÂŁ
0
Ĺ&#x161;x y 2ÂŁ
0
x 3y 2ÂŁ
0
2x y ÂŁ
0
Ĺ&#x161;x 7y 3ÂŁ
0
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Módulo
Matrices y sistemas lineales
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En este módulo, se conceptualizaremos formalmente los temas de matrices y sistemas lineales que se trataron en la introducción. Vincularemos los sistemas lineales con matrices y estableceremos el método de Gauss para resolver sistemas lineales de cualquier orden.
1.1 Matrices 1.1.1 Definiciones y ejemplos Definición 1.1 Una matriz A es un arreglo de mȬ ȱ ȱę ȱ¢ȱn-columnas de m u n números reales:
A
£ȹ
a11 a12 a21 a22
a1n a2n
am1 am2
amn
ȹ§ȹ.
Se dice entonces que A es una matriz de tamaño m u n y simbólicamente se escribe: A
[aij]
i 1, 2, ..., m; j 1, 2, ..., n. Esto es, aij ȱ ȱ ø ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱę i y en la columna j. A los elementos aij se les llaman las componentes (entradas) de la matriz A. Nota 1.1 1. Los paréntesis rectangulares se pueden suplir por paréntesis circulares en notaciones matriciales. En este libro se emplearán paréntesis rectangulares. 2. En el caso particular de que una matriz tenga tamaño 1 u 1 escribiremos simplemente a en lugar de [a], es decir, identificaremos toda matriz [a] con el número real a. 3. Al conjunto de matrices de tamaño m u n lo denotaremos en este libro por ᑧmun.
Ejemplo 1.1 Si A
Řȳřȳś ȹd cȹ ŚȳŘȳŗ
A es una matriz 2 uȱřȱ¢ǰȱ ȱ ȱ ǰ a11
2, a12
ȱř, aŗř
ȱś, a21
4, a22
2, aŘř
1.
15 Muestra digital ISSUU © D.R. 2020 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Todos los derechos reservados. No puede ser copiado, escaneado o duplicado, total o parcialmente.10/06/2020
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DefiniciĂłn 1.2 Dos matrices A
r r
[aij ], B
[bij] son iguales (A
B) si y sĂłlo si:
A y B tienen el mismo tamaĂąo y aij bijČł i, j.
Ejemplo 1.2 Â&#x17D;ČąÂ&#x160;Â&#x152;Â&#x17E;Â&#x17D;Â&#x203A;Â?Â&#x2DC;ČąÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x2014;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ?Â&#x17D;Ä&#x2122;Â&#x2014;Â&#x2019;Â&#x152;Â&#x2019;Ă Â&#x2014;ČąÂ&#x2122;Â&#x203A;Â&#x17D;Â&#x152;Â&#x17D;Â?Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;ČącČš
Ĺ&#x2014;ČłĹ&#x2122;ČłĹ&#x; Čš Ĺ&#x2014;ČłĹ&#x2122;ČłĹ&#x; Čšd Čšd z cČš Ĺ&#x203A;ČłĹ&#x153;ČłĹ&#x2DC; Ĺ&#x203A;ČłĹ?ČłĹ&#x2DC;
1.1.2 Operaciones con matrices 1. MultiplicaciĂłn de un escalar1 con una matriz.Čą Â&#x2019;ČąÎ? Â? y A
2.
3.
[aij] Â? á&#x2018;§mun Â&#x153;Â&#x17D;ČąÂ?Â&#x17D;Ä&#x2122;Â&#x2014;Â&#x17D;Čą Î? A Čą Ç˝Î?aij]. Es decir, el resultado de multiplicar una matriz con un escalar es la matriz que tiene como componentes cada una de las entradas de la matriz original multiplicada por dicho escalar. Suma de matrices. Si A, B Â? á&#x2018;§mun, A [aij], B [bijǞǰȹÂ&#x153;Â&#x17D;ČąÂ?Â&#x17D;Ä&#x2122;Â&#x2014;Â&#x17D;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x153;Â&#x17E;Â&#x2013;Â&#x160;ČąÂ?Â&#x17D;ČąA con B como A B [cij], con cij aij bij i, j. AsĂ, la suma de dos matrices sĂłlo se puede realizar cuando ĂŠstas tienen el mismo tamaĂąo y el resultado es tambiĂŠn una matriz m u n. Â&#x17E;Â&#x2022;Â?Â&#x2019;Â&#x2122;Â&#x2022;Â&#x2019;Â&#x152;Â&#x160;Â&#x152;Â&#x2019;Ă Â&#x2014;ČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x17E;Â&#x2014;Â&#x160;ČąÂ&#x2013;Â&#x160;Â?Â&#x203A;Â&#x2019;ÂŁČąÄ&#x2122;Â&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x2122;Â&#x2DC;Â&#x203A;ČąÂ&#x2013;Â&#x160;Â?Â&#x203A;Â&#x2019;ÂŁČąÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x2022;Â&#x17E;Â&#x2013;Â&#x2014;Â&#x160;.2 b11 b21 Č&#x2030; ǽȚa11Čła12ČłČ&#x2030;ČąČ&#x2030;ČąČ&#x2030;Čła1nȚǞȲâ&#x2030;Ľ Ȳ Č&#x2030; ÂĽ Č&#x2030; bn1
a11b11 a12b21 ČąČ&#x2030;ČąČ&#x2030;ČąČ&#x2030;Čą a1nbn1.
Â&#x17D;ČąÂ&#x160;Â&#x152;Â&#x17E;Â&#x17D;Â&#x203A;Â?Â&#x2DC;ČąÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x2014;ČąÂ&#x17D;Â&#x153;Â?Â&#x160;ČąÂ?Â&#x17D;Ä&#x2122;Â&#x2014;Â&#x2019;Â&#x152;Â&#x2019;Ă Â&#x2014;Ç°ČąÂ&#x17D;Â&#x2022;ČąÂ&#x2122;Â&#x203A;Â&#x2DC;Â?Â&#x17E;Â&#x152;Â?Â&#x2DC;ČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x17E;Â&#x2014;Â&#x160;ČąÂ&#x2013;Â&#x160;Â?Â&#x203A;Â&#x2019;ÂŁČąÄ&#x2122;Â&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x2014;ČąÂ&#x17E;Â&#x2014;Â&#x160;ČąÂ&#x2013;Â&#x160;Â?Â&#x203A;Â&#x2019;ÂŁČąÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x2022;Â&#x17E;Â&#x2013;na sĂłlo se puede llevar a cabo cuando la primera tiene tamaĂąo 1 u n y la segunda n u 1 (las dos tienen el mismo nĂşmero de componentes) y el resultado de la operaciĂłn serĂĄ una matriz 1 u 1 (un nĂşmero real).
4. Producto de una matriz mun con una matriz nup. Si A á&#x2018;§nuÂ&#x2122;Čš, el producto de A con B Â&#x153;Â&#x17D;ČąÂ?Â&#x17D;Ä&#x2122;Â&#x2014;Â&#x17D;ČąÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x2013;Â&#x2DC;ČąAB
[aij] Â? á&#x2018;§mun y B [cij] donde
[bij ] Â?
n
cij = â&#x2C6;&#x2018; aik bkj , k =1
para i 1, 2, â&#x20AC;Ś, m y j 1, 2, â&#x20AC;Ś, p. Es decir, la componente cij del producto AB es el resultado de multiplicar la iȏ¡Â&#x153;Â&#x2019;Â&#x2013;Â&#x160;ČąÄ&#x2122;Â&#x2022;Â&#x160;ČąÂ?Â&#x17D;ČąA con la j-ĂŠsima columna de B. AdemĂĄs, para poder efectuar el producto, la primera matriz debe tener el mismo nĂşmero de Â&#x152;Â&#x2DC;Â&#x2022;Â&#x17E;Â&#x2013;Â&#x2014;Â&#x160;Â&#x153;ČąÂ&#x161;Â&#x17E;Â&#x17D;ČąÂ?Â&#x17D;ČąÄ&#x2122;Â&#x2022;Â&#x160;Â&#x153;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x153;Â&#x17D;Â?Â&#x17E;Â&#x2014;Â?Â&#x160;ǰȹ¢ȹÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x2013;Â&#x160;Â?Â&#x203A;Â&#x2019;ÂŁČąAB tiene entonces tamaĂąo m u p. En forma equivalente, si FÂ&#x2019;Čš, i 1, â&#x20AC;Ś, mÇ°ČąÂ&#x153;Â&#x2DC;Â&#x2014;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;Â&#x153;ČąÄ&#x2122;Â&#x2022;Â&#x160;Â&#x153;ČąÂ?Â&#x17D;ČąA y CÂ&#x201C;Čš, j 1, â&#x20AC;Ś, p, son las columnas de B, entonces:
AB
1 Se
ÂŁČš
F1C1 F1C2
F1Cp
F2C1 F2C2
F2Cp
FmC1 FmC2
FmCp
Ț§
(1.1)
dirĂĄ que todo nĂşmero real es un escalar.
2 Â&#x2014;Â&#x160;ČąÂ&#x2013;Â&#x160;Â?Â&#x203A;Â&#x2019;ÂŁČąÄ&#x2122;Â&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x17D;Â&#x153;ČąÂ&#x17E;Â&#x2014;Â&#x160;ČąÂ&#x2013;Â&#x160;Â?Â&#x203A;Â&#x2019;ÂŁČąÂ&#x161;Â&#x17E;Â&#x17D;ČąÂ?Â&#x2019;Â&#x17D;Â&#x2014;Â&#x17D;ČąÂ&#x153;Â&#x2DC;Â&#x2022;Â&#x160;Â&#x2013;Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;ČąÂ&#x17E;Â&#x2014;ČąÂ&#x203A;Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x2022;Ă Â&#x2014;ȹ¢ȹÂ&#x17E;Â&#x2014;Â&#x160;ČąÂ&#x2013;Â&#x160;Â?Â&#x203A;Â&#x2019;ÂŁČąÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x2022;Â&#x17E;Â&#x2013;Â&#x2014;Â&#x160;ČąÂ&#x17D;Â&#x153;ČąÂ&#x17E;Â&#x2014;Â&#x160;ČąÂ&#x2013;Â&#x160;Â?Â&#x203A;Â&#x2019;ÂŁČąÂ&#x161;Â&#x17E;Â&#x17D;Čą
Â?Â&#x2019;Â&#x17D;Â&#x2014;Â&#x17D;ČąÂ&#x17E;Â&#x2014;Â&#x160;ČąÂ&#x153;Â&#x2DC;Â&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x2022;Â&#x17E;Â&#x2013;Â&#x2014;Â&#x160;ȹǝÂ&#x152;Â?ÇŻČąÂ&#x2019;Â&#x2014;Â&#x152;Â&#x2019;Â&#x153;Â&#x2DC;ČąĹ&#x2122;ČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x2122;ÇŻČąĹ&#x2014;Ĺ&#x;ǟǯ
MĂłdulo 1
Matrices y sistemas lineales
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1
Ejemplo 1.3Čłr Â&#x2014;2Ȳ£Ț 2 4
1
2 Â&#x2014;2 0 Â&#x2014;2 Čł Čł Čš Čš Ĺ&#x2122;§ ÂŁ 2Â&#x2014;2 4Â&#x2014;2 Â&#x2014;2
Â&#x2014;2 4
0
Ĺ&#x203A;
r
SiČł Čą sČš
0 1
2 4Â&#x2014;2
0
2Â&#x2014;2 Ĺ&#x203A;Â&#x2014;2
Ĺ&#x2122;Â&#x2014;2 §
2 4 1 Ĺ&#x153; Ĺ&#x; 1 4 Ĺ&#x203A; 2 Čšt yČł Čą sČš Čšt Čšt ȹǰȲentoncesČł Čą B sČš Ĺ&#x203A; 2 0 4 2 1 1 0 1 2
r
ǽȚ Ĺ&#x2014;ČłĹ&#x2013;Čł Ĺ&#x2DC;ČłĹ&#x161;ČłĹ&#x203A;ȚǞȲâ&#x2030;Ľ
1
0 ¼Ȳȹ ( 1)(2) (0)( 1) ( 2)(0) (4)(0) ȹǝĹ&#x203A;ǟǝ 4) 0
4 22 Â&#x2DC;Â?Â&#x17D;ČąÂ&#x161;Â&#x17E;Â&#x17D;ČąÂ&#x17D;Â&#x2014;ČąÂ&#x17D;Â&#x153;Â?Â&#x17D;ČąÂ&#x152;Â&#x160;Â&#x153;Â&#x2DC;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x2013;Â&#x160;Â?Â&#x203A;Â&#x2019;ÂŁČąÄ&#x2122;Â&#x2022;Â&#x160;ČąÂ?Â&#x2019;Â&#x17D;Â&#x2014;Â&#x17D;ČąÂ?Â&#x160;Â&#x2013;Â&#x160;Ă&#x203A;Â&#x2DC;ČąĹ&#x2014;ČąuČąĹ&#x203A;ȹ¢ȹÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x2022;Â&#x17E;Â&#x2013;Â&#x2014;Â&#x160;ČąĹ&#x203A;Čąu 1 (las dos tienen el mismo nĂşmero de componentes). Ejemplo 1.4 Si A
sČš
1 2 0 2
4 Čšt y B 1
1 2 ÂŁČš 0 1 1
0
4
Ĺ&#x203A;
0
2Ț§
0
1
A Â? á&#x2018;§2uĹ&#x2122; , B Â? á&#x2018;§Ĺ&#x2122;u4; el producto ABČąÂ&#x17D;Â&#x153;Â?¤ȹÂ?Â&#x17D;Ä&#x2122;Â&#x2014;Â&#x2019;Â?Â&#x2DC;ȹǝÂ&#x17D;Â&#x2022;ČąÂ&#x2014;øÂ&#x2013;Â&#x17D;Â&#x203A;Â&#x2DC;ČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x2022;Â&#x17E;Â&#x2013;Â&#x2014;Â&#x160;Â&#x153;ČąÂ?Â&#x17D;ČąA es igual Â&#x160;Â&#x2022;ČąÂ&#x2014;øÂ&#x2013;Â&#x17D;Â&#x203A;Â&#x2DC;ČąÂ?Â&#x17D;ČąÄ&#x2122;Â&#x2022;Â&#x160;Â&#x153;ČąÂ?Â&#x17D;ČąBÇ°ČąÂ&#x17D;Â&#x2014;ČąÂ&#x17D;Â&#x153;Â?Â&#x17D;ČąÂ&#x152;Â&#x160;Â&#x153;Â&#x2DC;ČąĹ&#x2122;ǟȹ¢ȹÂ&#x17D;Â&#x2022;ČąÂ&#x2122;Â&#x203A;Â&#x2DC;Â?Â&#x17E;Â&#x152;Â?Â&#x2DC;ČąAB serĂĄ una matriz 2 uČąĹ&#x161;Ç°ČąÂ?Â&#x2DC;Â&#x153;ČąÄ&#x2122;Â&#x2022;Â&#x160;Â&#x153;ȹ¢ȹ Â&#x152;Â&#x17E;Â&#x160;Â?Â&#x203A;Â&#x2DC;ČąÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x2022;Â&#x17E;Â&#x2013;Â&#x2014;Â&#x160;Â&#x153;ȹǝÂ?Â&#x160;Â&#x2014;Â?Â&#x160;Â&#x153;ČąÄ&#x2122;Â&#x2022;Â&#x160;Â&#x153;ČąÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x2013;Â&#x2DC;ČąA y tantas columnas como B). Para obtener las componentes cijČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;Â&#x153;ČąÄ&#x2122;Â&#x2022;Â&#x160;Â&#x153;ČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x2013;Â&#x160;Â?Â&#x203A;Â&#x2019;ÂŁČąÂ&#x2122;Â&#x203A;Â&#x2DC;Â?Â&#x17E;Â&#x152;Â?Â&#x2DC;ČąAB se procede de la manera siguiente. Â&#x160;Čą Â&#x2122;Â&#x203A;Â&#x2019;Â&#x2013;Â&#x17D;Â&#x203A;Â&#x160;Čą Ä&#x2122;Â&#x2022;Â&#x160;Čą Â?Â&#x17D;Čą AB:Čą Â&#x2DC;Â&#x153;Čą Â&#x17D;Â&#x2022;Â&#x17D;Â&#x2013;Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x2DC;Â&#x153;Čą Â?Â&#x17D;Čą Â&#x2022;Â&#x160;Čą Â&#x2122;Â&#x203A;Â&#x2019;Â&#x2013;Â&#x17D;Â&#x203A;Â&#x160;Čą Ä&#x2122;Â&#x2022;Â&#x160;Čą Â?Â&#x17D;Čą AB se obtienen multiÂ&#x2122;Â&#x2022;Â&#x2019;Â&#x152;Â&#x160;Â&#x2014;Â?Â&#x2DC;Ç°ČąÂ&#x153;Â&#x17E;Â&#x152;Â&#x17D;Â&#x153;Â&#x2019;Â&#x;Â&#x160;Â&#x2013;Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;Ç°ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x2122;Â&#x203A;Â&#x2019;Â&#x2013;Â&#x17D;Â&#x203A;Â&#x160;ČąÄ&#x2122;Â&#x2022;Â&#x160;ČąÂ?Â&#x17D;ČąA con la primera, segunda, tercera y cuarta columnas de B:
c11
1 ǽȚ Ĺ&#x2014;Čł Ĺ&#x2DC;ČłĹ&#x161;ȚǞȲ£Ț 0Ț§Ȳ
Ĺ&#x203A;Ç°
1 2
c12
ǽȚ Ĺ&#x2014;Čł Ĺ&#x2DC;ČłĹ&#x161;ȚǞȲ£Ț 1Ț§Ȳ
4,
0
cĹ&#x2014;Ĺ&#x2122;
4 ǽȚ Ĺ&#x2014;Čł Ĺ&#x2DC;ČłĹ&#x161;ȚǞȲ£Ț 0 Ț§Ȳ
4,
0 Ĺ&#x203A;
c14
ǽȚ Ĺ&#x2014;Čł Ĺ&#x2DC;ČłĹ&#x161;ȚǞȲ£Ț 2 Ț§Ȳ
Ĺ&#x203A;ÇŻ
1 Â&#x160;Čą Â&#x153;Â&#x17D;Â?Â&#x17E;Â&#x2014;Â?Â&#x160;Čą Ä&#x2122;Â&#x2022;Â&#x160;Čą Â?Â&#x17D;Čą AB:Čą Â&#x2DC;Â&#x153;Čą Â&#x17D;Â&#x2022;Â&#x17D;Â&#x2013;Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x2DC;Â&#x153;Čą Â?Â&#x17D;Čą Â&#x2022;Â&#x160;Čą Â&#x153;Â&#x17D;Â?Â&#x17E;Â&#x2014;Â?Â&#x160;Čą Ä&#x2122;Â&#x2022;Â&#x160;Čą Â?Â&#x17D;Čą AB se obtienen multipliÂ&#x152;Â&#x160;Â&#x2014;Â?Â&#x2DC;Ç°Čą Â&#x153;Â&#x17E;Â&#x152;Â&#x17D;Â&#x153;Â&#x2019;Â&#x;Â&#x160;Â&#x2013;Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;Ç°Čą Â&#x2022;Â&#x160;Čą Â&#x153;Â&#x17D;Â?Â&#x17E;Â&#x2014;Â?Â&#x160;Čą Ä&#x2122;Â&#x2022;Â&#x160;Čą Â?Â&#x17D;Čą A con la primera, segunda, tercera y cuarta columnas de B: 1.1 Matrices Muestra digital ISSUU Š D.R. 2020 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Todos los derechos reservados. No puede ser copiado, escaneado o duplicado, total o parcialmente.10/06/2020
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c21
1 ǽȹŖȳŘȳŗȹǾȲ£ȹ 0ȹ§Ȳ
1,
1
c22
2 ǽȹŖȳŘȳŗȹǾȲ£ȹ 1ȹ§Ȳ
2,
0 4
cŘř
ǽȹŖȳŘȳŗȹǾȲ£ȹ 0 ȹ§Ȳ
0,
0
c24
ś ǽȹŖȳŘȳŗȹǾȲ£ȹ 2 ȹ§Ȳ ȱśǯ 1
Luego, AB
sȹ
ś
4 4 ś
1 2
0
ȹt ś
En realidad, la notación matricial está diseñada para ejecutar mecánica y mentalmente los cálculos cuando el tamaño de las matrices no es muy grande; por eso el lector debe procurar, en la medida de lo posible, aprovechar esta ventaja para efectuar las operaciones de esta manera. De hecho, a partir de aquí, el lector ya no encontrará un producto de matrices realizado con el detalle con que se hizo en el ejemplo anterior, pues utilizaremos sistemáticamente (1.1) para producto de matrices y se harán los cálculos sin hacer explícitas las operaciones. Ejemplo 1.5 F1C1 0 1 0 1 1 ȹ ȳ ȳ ȹ 1 1ȹ§Ȳ£ȹ1 £ F2C1 1 1 § FřC1 0 1 2 ř 2 0
1 ȹ £ 2
0 ȳ£ȹ 1
F1C2
F1Cř
F2C2
F2Cř ȹ§
FřC2
FřCř
2 1 0 řȹ§
2 ś ś
1.1.3 Matrices especiales 1. Matriz cero. La matriz cero de tamaño m u n ȱ ę ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ m u n componentes nulas, esto es: [ȹaijȹ] donde aij
0 i, j. Así, por ejemplo: sȹ
0
0
0
0
0
0
ȹt
es la matriz cero 2 uȱřǯ Módulo 1
Matrices y sistemas lineales
Muestra digital ISSUU © D.R. 2020 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Todos los derechos reservados. No puede ser copiado, escaneado o duplicado, total o parcialmente.10/06/2020
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2. Matriz identidad n u n:
In
es decir, In
£ȹȚ
1
0
0
0
1
0
0
0
1
ȹȚ§ȚDz
[aij ], donde uČš
aij
1,
si i
0,
si i z j.
j;
AsĂ, por ejemplo, 1 IĹ&#x2122; ȳ£Ț 0
0 1 0
0
0 0 Ț§ 1
Â&#x17D;Â&#x153;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x2013;Â&#x160;Â?Â&#x203A;Â&#x2019;ÂŁČąÂ&#x2019;Â?Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x2019;Â?Â&#x160;Â?ČąĹ&#x2122;ČąuČąĹ&#x2122;ÇŻ
3. Â&#x2DC;Â&#x2013;Â&#x2DC;ČąÂ&#x2013;Â&#x17D;Â&#x2014;Â&#x152;Â&#x2019;Â&#x2DC;Â&#x2014;Â&#x160;Â&#x2013;Â&#x2DC;Â&#x153;ČąÂ&#x17D;Â&#x2014;ČąÂ&#x17D;Â&#x2022;ČąÂ&#x2019;Â&#x2014;Â&#x152;Â&#x2019;Â&#x153;Â&#x2DC;ČąĹ&#x2122;ČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x153;Â&#x17E;Â&#x2039;Â&#x153;Â&#x17D;Â&#x152;Â&#x152;Â&#x2019;Ă Â&#x2014;ČąĹ&#x2014;ÇŻĹ&#x2014;ÇŻĹ&#x2DC;Ç°ČąÂ&#x160;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;Â&#x153;ČąÂ&#x2013;Â&#x160;Â?Â&#x203A;Â&#x2019;Â&#x152;Â&#x17D;Â&#x153;ČąÂ&#x161;Â&#x17E;Â&#x17D;ČąÂ?Â&#x2019;Â&#x17D;Â&#x2014;Â&#x17D;Â&#x2014;Čą Â&#x153;Ă Â&#x2022;Â&#x2DC;ČąÂ&#x17E;Â&#x2014;Â&#x160;ČąÄ&#x2122;Â&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x2DC;ČąÂ&#x153;Ă Â&#x2022;Â&#x2DC;ČąÂ&#x17E;Â&#x2014;Â&#x160;ČąÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x2022;Â&#x17E;Â&#x2013;Â&#x2014;Â&#x160;ČąÂ&#x2022;Â&#x17D;Â&#x153;ČąÂ&#x2022;Â&#x2022;Â&#x160;Â&#x2013;Â&#x160;Â&#x203A;Â&#x17D;Â&#x2013;Â&#x2DC;Â&#x153;Ç°ČąÂ&#x203A;Â&#x17D;Â&#x153;Â&#x2122;Â&#x17D;Â&#x152;Â?Â&#x2019;Â&#x;Â&#x160;Â&#x2013;Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;Ç°ČąÂ&#x2013;Â&#x160;Â?Â&#x203A;Â&#x2019;Â&#x152;Â&#x17D;Â&#x153;ČąÄ&#x2122;Â&#x2022;Â&#x160; y matrices columna. AdemĂĄs, en este libro utilizaremos una notaciĂłn especial en el caso de las matrices columna (cuando tengan mĂĄs de un elemento) anĂĄloga a la notaciĂłn vectorial a11 a Ȳâ&#x2030;Ľ 21 ¼Țǯ an1
o b
Â&#x160;ČąÂ&#x203A;Â&#x160;ÂŁĂ Â&#x2014;ČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x17D;Â&#x153;Â?Â&#x160;ČąÂ&#x2014;Â&#x2DC;Â?Â&#x160;Â&#x152;Â&#x2019;Ă Â&#x2014;ČąÂ&#x153;Â&#x17D;ČąÂ?Â&#x17D;Â&#x2039;Â&#x17D;ČąÂ&#x160;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x2019;Â?Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x2019;Ä&#x2122;Â&#x152;Â&#x160;Â&#x152;Â&#x2019;Ă Â&#x2014;ČąÂ&#x2014;Â&#x160;Â?Â&#x17E;Â&#x203A;Â&#x160;Â&#x2022;ČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x2013;Â&#x160;Â?Â&#x203A;Â&#x2019;Â&#x152;Â&#x17D;Â&#x153;ČąÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x2022;Â&#x17E;Â&#x2013;Â&#x2014;Â&#x160;ČąÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x2014;Čą vectores del espacio vectorial n, esto es, es el conjunto conformado con vectores que tienen n coordenadas. A las matrices de tamaĂąo n u n les diremos matrices cuadradas de orden n y al conjunto formado por ĂŠstas se denotarĂĄ por á&#x2018;§n. Si A [aij] es una matriz cuadrada de orden n, se dice que los elementos a11, a22, aĹ&#x2122;Ĺ&#x2122;,..., ann forman o estĂĄn en la diagonal de la matriz A. Y si A [aij] Â? á&#x2018;§mun, diremos que los elementos aij con i j forman la diagonal principal de la matriz A. Ejemplo 1.6 Si
M
entonces m11 1, m22 ČąĹ&#x2122;, mĹ&#x2122;Ĺ&#x2122; cuadrada M.
£ȹȚ
1
Ĺ&#x203A;
0
2
Ĺ?
Ĺ&#x2122;
1
1
Ĺ&#x2122;
0
4
2
1
Ĺ&#x203A;
Ĺ&#x;
Ĺ?
ȹȚ§Ț
4, m44 ČąĹ?ČąÂ&#x153;Â&#x2DC;Â&#x2014;ČąÂ&#x2022;Â&#x2DC;Â&#x153;ČąÂ&#x17D;Â&#x2022;Â&#x17D;Â&#x2013;Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x2DC;Â&#x153;ČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ?Â&#x2019;Â&#x160;Â?Â&#x2DC;Â&#x2014;Â&#x160;Â&#x2022;ČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x2013;Â&#x160;Â?Â&#x203A;Â&#x2019;ÂŁČą
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DefiniciĂłn 1.3 Una matriz cuadrada A de orden n es triangular superior si las componentes que estĂĄn por debajo de la diagonal son todas nulas. La matriz es triangular inferior si las componentes que estĂĄn por arriba de la diagonal son todas iguales a cero. Ejemplo 1.7 Si
A
£ȹȚ
1
Ĺ&#x203A;
0
2
0
Ĺ&#x2122;
1
1
0
0
4
2
0
0
0
Ĺ?
ȹȚ§ȳ¢ȳB
£ȹȚ
1
0
0
0
Ĺ&#x203A;
Ĺ&#x2122;
0
0
2
0
4
0
Ĺ&#x153;
0
4
0
ȹȚ§
entonces A es una matriz triangular superior y B es una matriz triangular inferior. DefiniciĂłn 1.4 Sea A una matriz cuadrada de orden n. Se dice que A es una matriz diagonal si todas las componentes fuera de su diagonal son nulas. Si aii ČąÎ?i, i 1, 2, â&#x20AC;Ś, n, son las componentes de la diagonal de esta matriz, se escribe: ČąÂ?Â&#x2019;Â&#x160;Â?ÇťÎ?1Ç°ČąÎ?2ǰȹǯȹǯȹǯȹǰȹÎ?n)
A
para representar la matriz diagonal A. 4 Ejemplo 1.8 La matriz cuadrada ÂŁČš 0
0 Ĺ&#x2122; 0
0
0 0 Ț§ es diagonal. Esto es: 8 diag(4, Ĺ&#x2122;, 8)
A
DefiniciĂłn 1.5 Si A [aij] Â? á&#x2018;§mun Â&#x153;Â&#x17D;ČąÂ?Â&#x17D;Ä&#x2122;Â&#x2014;Â&#x17D;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;Čąmatriz transpuesta de A como At donde bij aji para i 1, 2, ..., n y j 1, 2, ..., m.
[bij],
Â&#x17D;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ?Â&#x17D;Ä&#x2122;Â&#x2014;Â&#x2019;Â&#x152;Â&#x2019;Ă Â&#x2014;ČąĹ&#x2014;ÇŻĹ&#x203A;ČąÂ&#x153;Â&#x17D;ČąÂ?Â&#x17D;Â&#x153;Â&#x2122;Â&#x203A;Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;ČąÂ&#x161;Â&#x17E;Â&#x17D;ČąAt tiene tamaĂąo n u m y que en la matriz transÂ&#x2122;Â&#x17E;Â&#x17D;Â&#x153;Â?Â&#x160;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x2122;Â&#x203A;Â&#x2019;Â&#x2013;Â&#x17D;Â&#x203A;Â&#x160;ČąÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x2022;Â&#x17E;Â&#x2013;Â&#x2014;Â&#x160;ČąÂ&#x17D;Â&#x153;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x2122;Â&#x203A;Â&#x2019;Â&#x2013;Â&#x17D;Â&#x203A;Â&#x160;ČąÄ&#x2122;Â&#x2022;Â&#x160;ČąÂ?Â&#x17D;ČąA, la segunda columna es la segunda Ä&#x2122;Â&#x2022;Â&#x160;ČąÂ?Â&#x17D;ČąA, etc. DefiniciĂłn 1.6 Una matriz cuadrada A es simĂŠtrica cuando At
Ejemplo 1.9 Si A
sČš
1
2
Ĺ&#x2122;
4
Ĺ&#x203A;
Ĺ&#x153;
Ĺ?
8
Ejemplo 1.10 La matriz A
sČš
ȚtȚǰ At
1
2
2
Ĺ&#x2122;
1 2 £ȹȚ Ĺ&#x2122; 4
A.
Ĺ&#x203A; Ĺ&#x153; ȹȚ Ĺ? § 8
Čšt es simĂŠtrica, pues claramente A
At.
1.1.4 Propiedades de las operaciones A continuaciĂłn enunciamos las principales propiedades de las operaciones con matrices, las cuales son, en general, fĂĄciles de probar y su comprobaciĂłn se deja como ejercicio al lector.
1. Si A, B, C Â? á&#x2018;§mun ¢ȹÎ?Ç°ČąE Â? : a) A B Â? á&#x2018;§mun. b) A (B C) (A B) C. MĂłdulo 1
Matrices y sistemas lineales
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D A B B A. E A A, donde es la matriz cero m u n. F Existe una matriz A Â? á&#x2018;§mun tal que A ( A) G
g) h) i) K
O. De hecho, si A
A [ aij]. Î?ČšA Â? á&#x2018;§mun. Î?ÇťEA) ȹǝÎ?E)A. ÇťÎ?Čą E)A ČąÎ?A EA. Î?ÇťA B) ČąÎ?A ČąÎ?B. 1A A.
[aij ],
2. a) Si A, B, C son matrices tales que los productos A(BC) y (AB)C Â&#x17D;Â&#x153;Â?¤Â&#x2014;ČąÂ?Â&#x17D;Ä&#x2122;Â&#x2014;Â&#x2019;Â?Â&#x2DC;Â&#x153;Ç°Čą entonces: (AB)C.
A(BC)
C D E F
Si AB Â&#x17D;Â&#x153;Â?¤ȹÂ?Â&#x17D;Ä&#x2122;Â&#x2014;Â&#x2019;Â?Â&#x2DC;Ç°ČąÂ&#x153;Â&#x17D;ČąÂ?Â&#x2019;Â&#x17D;Â&#x2014;Â&#x17D;ǹȹÎ?ÇťAB) ȹǝÎ?A)B AÇťÎ?B). Si A Â? á&#x2018;§mun, AIn ImA A. En general AB z BA. Si A Â? á&#x2018;§mun y B, C Â? á&#x2018;§nup, entonces A(B C) AB AC.
3. a) Si A y B son matrices del mismo tamaĂąo, (A B)t At B t. C Si A y B son matrices tales que el producto AB Â&#x17D;Â&#x153;Â?¤ȹÂ?Â&#x17D;Ä&#x2122;Â&#x2014;Â&#x2019;Â?Â&#x2DC;Ç°ČąÂ&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x2DC;Â&#x2014;Â&#x152;Â&#x17D;Â&#x153;ȹǝAB)t D (At)t A A Â? á&#x2018;§mun.
B tAt.
Es conveniente que el lector tenga siempre presente la propiedad 2d); es decir, la no conmutatividad del producto de matrices. Ejemplo 1.11 sČš sČš
1
1
1
0
Ĺ&#x2122;
4
Ĺ&#x2122;
2
2
4
Ĺ?
8
ȚtȲsȚ
1
0
2
4
ȚtȲsȚ
ȚtȲ ȲsȚ
1
1
Ĺ&#x2122;
2
ȚtȲ ȲsȚ
ȚtȚǰ
1
1
ȚtȚDz
14 10
esto es, sČš
1
1
Ĺ&#x2122;
2
ȚtȲsȚ
1
0
1
0
1
1
2
4
2
4
Ĺ&#x2122;
2
ȚtȲzȲsȚ
ȚtȲsȚ
Čšt
1.2 Sistemas lineales 1.2.1 Forma matricial, matriz aumentada Â&#x2019;ČąÂ&#x153;Â&#x17D;ČąÂ?Â&#x2019;Â&#x17D;Â&#x2014;Â&#x17D;ČąÂ&#x17D;Â&#x2022;ČąÂ&#x153;Â&#x2019;Â&#x153;Â?Â&#x17D;Â&#x2013;Â&#x160;ČąÂ&#x2022;Â&#x2019;Â&#x2014;Â&#x17D;Â&#x160;Â&#x2022;ȹǝĹ&#x2122;ǟǰȹÂ&#x2122;ÇŻČąĹ&#x203A;Ç°ČąÂ&#x160;
A
£ȹȚ
a11
a12
a1n
a21
a22
a2n
am1 am2
amn
ȹȚ§
(1.2)
1.2 Sistemas lineales Muestra digital ISSUU Š D.R. 2020 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Todos los derechos reservados. No puede ser copiado, escaneado o duplicado, total o parcialmente.10/06/2020
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se le llama la Â&#x2013;Â&#x160;Â?Â&#x203A;Â&#x2019;ÂŁČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x17D;Ä&#x2122;Â&#x152;Â&#x2019;Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;Â&#x153; del sistema. En tal caso, si o x
x1 x2 o Č&#x2030; â&#x2030;Ľ ÂĽ y b Č&#x2030; Č&#x2030; xn
b1 b2 Č&#x2030; â&#x2030;Ľ ¼Țǰ Č&#x2030; Č&#x2030; bm
entonces el sistema lineal se puede escribir en forma matricial como o Ax
o b,
pues al hacer el producto se obtiene a11x1 a21x1 Čą Č&#x2030; â&#x2030;ĽČą Č&#x2030; Čą Č&#x2030; am1x1
Č&#x2030; Č&#x2030; Č&#x2030;
a12x2 a22x2 Č&#x2030; Č&#x2030; Č&#x2030; am2x2
Č&#x2030;ČšČ&#x2030;ČšČ&#x2030; Č&#x2030;ČšČ&#x2030;ČšČ&#x2030; Č&#x2030; Č&#x2030; Č&#x2030; Č&#x2030; Č&#x2030; Č&#x2030; Č&#x2030; Č&#x2030;ČšČ&#x2030;ČšČ&#x2030;
a1nxn b1 a2nxn b2 Č&#x2030; Č&#x2030; Ȳ Ȳâ&#x2030;Ľ ÂĽ Č&#x2030; ÂĽ Č&#x2030; Č&#x2030; Č&#x2030; bm amnxn
Â&#x161;Â&#x17E;Â&#x17D;ČąÂ&#x17D;Â&#x161;Â&#x17E;Â&#x2019;Â&#x;Â&#x160;Â&#x2022;Â&#x17D;Ç°ČąÂ&#x2122;Â&#x2DC;Â&#x203A;ČąÂ?Â&#x17D;Ä&#x2122;Â&#x2014;Â&#x2019;Â&#x152;Â&#x2019;Ă Â&#x2014;ČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x2019;Â?Â&#x17E;Â&#x160;Â&#x2022;Â?Â&#x160;Â?ČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x2013;Â&#x160;Â?Â&#x203A;Â&#x2019;Â&#x152;Â&#x17D;Â&#x153;Ç°ČąÂ&#x160;Â&#x2022;ČąÂ&#x153;Â&#x2019;Â&#x153;Â?Â&#x17D;Â&#x2013;Â&#x160;ȹǝĹ&#x2122;ǟȹÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x2122;¤Â?Â&#x2019;Â&#x2014;Â&#x160;ČąĹ&#x203A;ÇŻ Ejemplo 1.12 Para el sistema Ĺ&#x2122;ČąuČąĹ&#x2122; Ȳ¥1Ȳ ȲȲx2Ȳ ȲĹ&#x2DC;xĹ&#x2122;Ȳ ȲĹ&#x; 2x1Ȳ ȲĹ&#x161;x2Ȳ ȲĹ&#x2122;xĹ&#x2122;Ȳ ȲĹ&#x2014; Ĺ&#x2122;x1Ȳ ȲĹ&#x153;x2Ȳ ȲĹ&#x203A;xĹ&#x2122;Ȳ ȲĹ&#x2013; Â&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x2013;Â&#x160;Â?Â&#x203A;Â&#x2019;ÂŁČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x17D;Ä&#x2122;Â&#x152;Â&#x2019;Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;Â&#x153;ČąÂ&#x17D;Â&#x153;
A
1 Čš ÂŁ2 Ĺ&#x2122;
1 4 Ĺ&#x153;
2 Ĺ&#x2122;Ț§ Ĺ&#x203A;
y la ecuaciĂłn matricial correspondiente es 1
1
2
x1
Ĺ&#x;
Ĺ&#x2122;
Ĺ&#x153;
Ĺ&#x203A;
xĹ&#x2122;
0
ÂŁČš 2 4 Ĺ&#x2122;Ț§Ȳ£Ț x2 Ț§Ȳ Ȳ£Ț 1 Ț§ o bo, H o o, son equivalenDefiniciĂłn 1.7 Dos sistemas lineales del mismo tamaĂąo, Ax x c tes si tienen el mismo conjunto de soluciones. Â&#x153;ČąÂ&#x152;Â&#x2022;Â&#x160;Â&#x203A;Â&#x2DC;ČąÂ&#x161;Â&#x17E;Â&#x17D;ČąÂ&#x17D;Â&#x2014;ČąÂ&#x17D;Â&#x2022;ČąÂ&#x17D;Â&#x201C;Â&#x17D;Â&#x2013;Â&#x2122;Â&#x2022;Â&#x2DC;ČąĹ&#x161;Ç°ČąÂ&#x2122;ÇŻČąĹ?Ç°ČąÂ&#x153;Ă Â&#x2022;Â&#x2DC;ČąÂ&#x153;Â&#x17D;ČąÂ?Â&#x203A;Â&#x160;Â&#x2039;Â&#x160;Â&#x201C;Ă ČąÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x2014;ČąÂ&#x2022;Â&#x2DC;Â&#x153;ČąÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x17D;Ä&#x2122;Â&#x152;Â&#x2019;Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;Â&#x153;ǰȹ¢ȹÂ&#x161;Â&#x17E;Â&#x17D;ČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;Â&#x153;ČąÂ&#x;Â&#x160;riables x1, x2 y xĹ&#x2122; Ăşnicamente se utiliza la posiciĂłn que tienen en el arreglo. Se ve entonces o o b que para resolver un sistema lineal Ax Ç°ČąÂ&#x2039;Â&#x160;Â&#x153;Â?Â&#x160;ČąÂ?Â&#x203A;Â&#x160;Â&#x2039;Â&#x160;Â&#x201C;Â&#x160;Â&#x203A;ČąÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x2014;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x2013;Â&#x160;Â?Â&#x203A;Â&#x2019;ÂŁČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x17D;Ä&#x2122;Â&#x152;Â&#x2019;Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;Â&#x153;ČąA y o el tĂŠrmino independienteĹ&#x2122;Čąb . Para esto, a continuaciĂłn damos el siguiente concepto.
o o tĂŠrmino independiente en un sistema lineal Ax b, a la matriz columna b y tĂŠrminos independientes del mismo sistema a las respectivas componentes de este vector. Ĺ&#x2122;ČąLlamaremos
MĂłdulo 1
Matrices y sistemas lineales
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DefiniciĂłn 1.8 Para el sistema lineal: a11x1 a21x1 Čą Č&#x2030; Čą Č&#x2030; Čą Č&#x2030; am1x1
o, en forma matricial, A o x
Č&#x2030; Č&#x2030; Č&#x2030;
Č&#x2030; Č&#x2030; Č&#x2030;
a12x2 a22x2 Č&#x2030; Č&#x2030; Č&#x2030; am2x2
Č&#x2030;ČšČ&#x2030;ČšČ&#x2030; Č&#x2030;ČšČ&#x2030;ČšČ&#x2030; Č&#x2030;ČšČ&#x2030;ČšČ&#x2030; Č&#x2030; Č&#x2030;ČšČ&#x2030;ČšČ&#x2030; Č&#x2030; Č&#x2030;ČšČ&#x2030;ČšČ&#x2030; Č&#x2030; Č&#x2030;ČšČ&#x2030;ČšČ&#x2030;
a1nxn a2nxn Č&#x2030; Č&#x2030; Č&#x2030; amnxn
Č&#x2030; Č&#x2030; Č&#x2030;
b1 b2 Č&#x2030; Č&#x2030; Č&#x2030; bm
x1 b1 x2 b2 o o Č&#x2030; Č&#x2030; o b con x â&#x2030;Ľ ¼Ȳy b Ȳ â&#x2030;Ľ ÂĽČš,ČąÂ&#x153;Â&#x17D;ČąÂ?Â&#x17D;Ä&#x2122;Â&#x2014;Â&#x17D;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;Čąmatriz aumentada Č&#x2030; Č&#x2030; Č&#x2030; Č&#x2030; xn bm
(tambiĂŠn se le llama matriz ampliada) del mismo como
o [Čš Čš_ b Čš]
a11 a21 Čą Č&#x2030; â&#x2030;Ľ Čą Č&#x2030; Čą Č&#x2030; am1
Č&#x2030;ČšČ&#x2030;ČšČ&#x2030; Č&#x2030;ČšČ&#x2030;ČšČ&#x2030; Č&#x2030;ČšČ&#x2030;ČšČ&#x2030; Č&#x2030;ČšČ&#x2030;ČšČ&#x2030; Č&#x2030;ČšČ&#x2030;ČšČ&#x2030; Č&#x2030;ČšČ&#x2030;ČšČ&#x2030;
a12 a22 Č&#x2030; Č&#x2030; Č&#x2030; am2
a1n a2n Č&#x2030; Č&#x2030;Č&#x2030; Č&#x2030; amn
p
b1 b2 Č&#x2030; Č&#x2030; ÂĽ Č&#x2030; bm
o El lado izquierdo en la particiĂłn [Čš Čš_ b ȚǞȹÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x2014;Â?Â&#x2019;Â&#x17D;Â&#x2014;Â&#x17D;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x2013;Â&#x160;Â?Â&#x203A;Â&#x2019;ÂŁČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x17D;Ä&#x2122;Â&#x152;Â&#x2019;Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;Â&#x153;ȹǽaij] y el lado derecho contiene los tĂŠrminos independientes bi Â?Â&#x17D;Â&#x2022;ČąÂ&#x153;Â&#x2019;Â&#x153;Â?Â&#x17D;Â&#x2013;Â&#x160;ČąÂ&#x2022;Â&#x2019;Â&#x2014;Â&#x17D;Â&#x160;Â&#x2022;ÇŻČą Â&#x160;ČąÂ?Â&#x17D;Ä&#x2122;Â&#x2014;Â&#x2019;Â&#x152;Â&#x2019;Ă Â&#x2014;ČąÂ&#x160;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;Â&#x203A;Â&#x2019;Â&#x2DC;Â&#x203A;Čą provee una notaciĂłn muy simple para evitar, en un sistema lineal, escribir las variables ¢ȹøÂ&#x2014;Â&#x2019;Â&#x152;Â&#x160;Â&#x2013;Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;ČąÂ?Â&#x203A;Â&#x160;Â&#x2039;Â&#x160;Â&#x201C;Â&#x160;Â&#x203A;ČąÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x2014;ČąÂ&#x2022;Â&#x2DC;Â&#x153;ČąÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x17D;Ä&#x2122;Â&#x152;Â&#x2019;Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;Â&#x153;ÇŻČą Â&#x160;ČąÂ&#x2122;Â&#x203A;Â&#x2019;Â&#x2013;Â&#x17D;Â&#x203A;Â&#x160;ČąÄ&#x2122;Â&#x2022;Â&#x160;ČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x2013;Â&#x160;Â?Â&#x203A;Â&#x2019;ÂŁČąÂ&#x160;Â&#x2013;Â&#x2122;Â&#x2022;Â&#x2019;Â&#x160;Â?Â&#x160;ČąÂ&#x17D;Â&#x161;Â&#x17E;Â&#x2019;vale a la ecuaciĂłn a11x1 a12x2 ČąČ&#x2030;ČšČ&#x2030;ČšČ&#x2030;Čą a1nxn b1Ç°ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x153;Â&#x17D;Â?Â&#x17E;Â&#x2014;Â?Â&#x160;ČąÄ&#x2122;Â&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x17D;Â&#x161;Â&#x17E;Â&#x2019;Â&#x;Â&#x160;Â&#x2022;Â&#x17D;ČąÂ&#x160;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x17D;Â&#x152;Â&#x17E;Â&#x160;Â&#x152;Â&#x2019;Ă Â&#x2014;Čą a21x1 a22x2 ČąČ&#x2030;ČšČ&#x2030;ČšČ&#x2030;Čą a2nxn b2Ç°ČąÂ&#x17D;Â?Â&#x152;ǯǰȹ¢ȹÂ&#x2022;Â&#x160;ȹøÂ&#x2022;Â?Â&#x2019;Â&#x2013;Â&#x160;ČąÄ&#x2122;Â&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x17D;Â&#x161;Â&#x17E;Â&#x2019;Â&#x;Â&#x160;Â&#x2022;Â&#x17D;ČąÂ&#x160;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x17D;Â&#x152;Â&#x17E;Â&#x160;Â&#x152;Â&#x2019;Ă Â&#x2014;Čąam1x1 am2x2 o ČąČ&#x2030;ČšČ&#x2030;ČšČ&#x2030;Čą amnxn bm. La lĂnea vertical en la particiĂłn [Čš Čš_ b Čš] Ăşnicamente sirve para hacer notoria la columna que contiene los tĂŠrminos independientes bi del sistema lineal; y de hecho se puede omitir, si asĂ se desea, cuando se conviene en que la Ăşltima columna de la o matriz aumentada contenga el tĂŠrmino independiente b del sistema. Resolveremos ahora, en el siguiente ejercicio, el ejemplo 4 utilizando la matriz aumentada. Ejemplo 1.13 Para este caso, haciendo las mismas operaciones que en la discusiĂłn posterior al ejemplo 4, pero esta vez a los renglones de la matriz ampliada se tiene: 1 2 Ĺ&#x; 2 Ĺ&#x; m o 1 1 4 Ĺ&#x2122;ȲpȲ 1 Ț§ȳ R2 l 2R1 R2 ȳ£Ț0 2 Ĺ?ȲpȲ Ĺ&#x2014;Ĺ?Ț§ RĹ&#x2122; l Ĺ&#x2122;R1 RĹ&#x2122; Ĺ&#x2122;Čą Ĺ&#x153;Čą Ĺ&#x203A; 0 Ĺ&#x2013;Čą Ĺ&#x2122;Čą 11 Ĺ&#x2DC;Ĺ?
1
ÂŁČš2
1
m o ȳ£Ț0
RĹ&#x2122; l Ĺ&#x2122;R2 2RĹ&#x2122;
0
1 2 0
2 Ĺ&#x; Ĺ?ȲpȲ Ĺ&#x2014;Ĺ?Ț§ 1 Ĺ&#x2122;
¢ǰȹÂ&#x160;Â&#x2022;ČąÂ&#x2018;Â&#x160;Â&#x152;Â&#x17D;Â&#x203A;ČąÂ&#x153;Â&#x17E;Â&#x153;Â?Â&#x2019;Â?Â&#x17E;Â&#x152;Â&#x2019;Ă Â&#x2014;ČąÂ&#x203A;Â&#x17D;Â?Â&#x203A;Â&#x17D;Â&#x153;Â&#x2019;Â&#x;Â&#x160;ČąÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x2013;Â&#x2DC;ČąÂ&#x153;Â&#x17D;ČąÂ&#x2018;Â&#x2019;ÂŁÂ&#x2DC;ČąÂ&#x17D;Â&#x2014;ČąÂ&#x17D;Â&#x153;Â&#x17D;ČąÂ&#x17D;Â&#x201C;Â&#x17D;Â&#x2013;Â&#x2122;Â&#x2022;Â&#x2DC;ȹǝÂ&#x152;Â?ÇŻČąÂ&#x2122;ÇŻČąĹ?ǟǹ x1
1
xĹ&#x2122;
Ĺ&#x2122;
£Ț x2 Ț§Ȳ Ȳ£Ț 2 Ț§Ț.
1.2 Sistemas lineales Muestra digital ISSUU Š D.R. 2020 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Todos los derechos reservados. No puede ser copiado, escaneado o duplicado, total o parcialmente.10/06/2020
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1.2.2 Matrices y sistemas escalonados Â&#x2014;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x2019;Â&#x2014;Â?Â&#x203A;Â&#x2DC;Â?Â&#x17E;Â&#x152;Â&#x152;Â&#x2019;Ă Â&#x2014;ČąÂ?Â&#x160;Â?Â&#x160;ČąÂ&#x160;Â&#x2022;ČąÂ&#x2013;¡Â?Â&#x2DC;Â?Â&#x2DC;ČąÂ?Â&#x17D;Čą Â&#x160;Â&#x17E;Â&#x153;Â&#x153;ȹǝÂ&#x152;Â?ÇŻČąÂ&#x2122;ÇŻČąĹ?ǟȹÂ&#x153;Â&#x17D;ČąÂ&#x2018;Â&#x2019;ÂŁÂ&#x2DC;ČąÂ&#x203A;Â&#x17D;Â?Â&#x17D;Â&#x203A;Â&#x17D;Â&#x2014;Â&#x152;Â&#x2019;Â&#x160;ČąÂ&#x160;Â&#x2022;ČąÂ?¡Â&#x203A;Â&#x2013;Â&#x2019;Â&#x2014;Â&#x2DC;Čąsistema escalonado; en este apartado precisamos este concepto utilizando herramienta matricial. DefiniciĂłn 1.9 La matriz A Â? á&#x2018;§mun estĂĄ en forma escalonada si se cumplen las siguientes dos condiciones.
r r
Â&#x160;Â&#x153;ČąÄ&#x2122;Â&#x2022;Â&#x160;Â&#x153;ČąÂ&#x2014;Â&#x17E;Â&#x2022;Â&#x160;Â&#x153;ȹǝÂ&#x153;Â&#x2019;ČąÂ&#x17D;ÂĄÂ&#x2019;Â&#x153;Â?Â&#x17D;Â&#x2014;Çź4ČąÂ&#x17D;Â&#x153;Â?¤Â&#x2014;ČąÂ&#x2122;Â&#x2DC;Â&#x203A;ČąÂ?Â&#x17D;Â&#x2039;Â&#x160;Â&#x201C;Â&#x2DC;ČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;Â&#x153;ČąÄ&#x2122;Â&#x2022;Â&#x160;Â&#x153;ČąÂ&#x2014;Â&#x2DC;ČąÂ&#x2014;Â&#x17E;Â&#x2022;Â&#x160;Â&#x153;ÇŻ Â&#x2022;ČąÂ&#x2122;Â&#x203A;Â&#x2019;Â&#x2013;Â&#x17D;Â&#x203A;ČąÂ&#x17D;Â&#x2022;Â&#x17D;Â&#x2013;Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x2DC;ČąÂ?Â&#x2019;Â&#x153;Â?Â&#x2019;Â&#x2014;Â?Â&#x2DC;ČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x152;Â&#x17D;Â&#x203A;Â&#x2DC;ČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x152;Â&#x160;Â?Â&#x160;ČąÄ&#x2122;Â&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x2014;Â&#x2DC;ČąÂ&#x2014;Â&#x17E;Â&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x17D;Â&#x153;Â?¤ȹÂ&#x160;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ?Â&#x17D;Â&#x203A;Â&#x17D;Â&#x152;Â&#x2018;Â&#x160;ČąÂ?Â&#x17D;Â&#x2022;ČąÂ&#x2122;Â&#x203A;Â&#x2019;Â&#x2013;Â&#x17D;Â&#x203A;Čą Â&#x17D;Â&#x2022;Â&#x17D;Â&#x2013;Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x2DC;ČąÂ?Â&#x2019;Â?Â&#x17D;Â&#x203A;Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;ČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x152;Â&#x17D;Â&#x203A;Â&#x2DC;ČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;Â&#x153;ČąÄ&#x2122;Â&#x2022;Â&#x160;Â&#x153;ČąÂ&#x2122;Â&#x203A;Â&#x17D;Â&#x152;Â&#x17D;Â?Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;Â&#x153;ÇŻĹ&#x203A;
Ejemplo 1.14 Si 0 0 AȲ â&#x2030;Ľ 0 0 0
Ĺ&#x2014;Čą Ĺ&#x2DC;Čą 0 1 0 0 0 0 0 0
Ĺ&#x2122;Čą Ĺ&#x203A;Čą Ĺ&#x2122; 0 2 4 0 0 1 ¼ȲyČł 0 0 0 0 0 0
Ĺ&#x2014;Čą 0 Ȳâ&#x2030;Ľ 0 0 0
Ĺ&#x2DC;Čą 1 0 0 0
Ĺ&#x161;Čą Ĺ&#x2013;Čą Ĺ&#x2122; 2 Ĺ&#x2122;Čą Ĺ&#x161; 1 0 2ÂĽ 2 Ĺ&#x2122;Čą Ĺ&#x2013; 0 0 0
A estĂĄ en forma escalonada pero B no. DefiniciĂłn 1.10 Â&#x2022;ČąÂ&#x2122;Â&#x203A;Â&#x2019;Â&#x2013;Â&#x17D;Â&#x203A;ČąÂ&#x17D;Â&#x2022;Â&#x17D;Â&#x2013;Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x2DC;ČąÂ?Â&#x2019;Â&#x153;Â?Â&#x2019;Â&#x2014;Â?Â&#x2DC;ČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x152;Â&#x17D;Â&#x203A;Â&#x2DC;ČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x152;Â&#x160;Â?Â&#x160;ČąÄ&#x2122;Â&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x2014;Â&#x2DC;ČąÂ&#x2014;Â&#x17E;Â&#x2022;Â&#x160;Ç°ČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x17E;Â&#x2014;Â&#x160;ČąÂ&#x2013;Â&#x160;Â?Â&#x203A;Â&#x2019;ÂŁČą en forma escalonada, se le llama pivote. o c o estĂĄ escalonado si la matriz ampliada [ H _ o c ] es una DefiniciĂłn 1.11 Un sistemaČą Ț¥ matriz escalonada. A las variables que correspondan a pivotes en un sistema escalonado, se les dice variables ligadas (o principales, o bĂĄsicas) y a las restantes, variables libres (o no bĂĄsicas). Ejemplo 1.15 En el sistema escalonado 4 uČąĹ&#x153;Çą
£ȹȚ
1
0
Ĺ&#x2122; 2 1
Ĺ&#x203A;
0
0
Ĺ&#x203A;
0 1
1
0
0
0
0 Ĺ?
Ĺ&#x153;
0
0
0
0 0
Ĺ&#x203A;
p
ȲȲ
2 Ĺ&#x2122;
§
ȹȚ
Ĺ? 0
Â&#x2018;Â&#x160;¢ȹÂ&#x2122;Â&#x2019;Â&#x;Â&#x2DC;Â?Â&#x17D;Â&#x153;ČąÂ&#x17D;Â&#x2014;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;Â&#x153;ČąÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x2022;Â&#x17E;Â&#x2013;Â&#x2014;Â&#x160;Â&#x153;ČąĹ&#x2014;Ç°ČąĹ&#x2122;Ç°ČąĹ&#x203A;ȹ¢ȹĹ&#x153;ČąÂ&#x161;Â&#x17E;Â&#x17D;ČąÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x203A;Â&#x203A;Â&#x17D;Â&#x153;Â&#x2122;Â&#x2DC;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;Â&#x2014;Ç°ČąÂ&#x203A;Â&#x17D;Â&#x153;Â&#x2122;Â&#x17D;Â&#x152;Â?Â&#x2019;Â&#x;Â&#x160;Â&#x2013;Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;Ç°ČąÂ&#x160;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;Â&#x153;ČąÂ&#x;Â&#x160;Â&#x203A;Â&#x2019;Â&#x160;Â&#x2039;Â&#x2022;Â&#x17D;Â&#x153; x1, xĹ&#x2122;, xĹ&#x203A; y xĹ&#x153;. AsĂ que estas variables son ligadas y x2 y x4 son variables libres. Entonces, para resolver un sistema escalonado, al hacer sustituciĂłn regresiva, se despejan las variables ligadas dejĂĄndolas en funciĂłn de las variables libres procediendo de abajo hacia arriba, en el caso que el sistema tenga variables libres; en caso contrario, simplemente se despejan las variables ligadas actuando tambiĂŠn de abajo hacia arriba. Ejemplo 1.16 Resolver los siguientes sistemas lineales escalonados: 1
1. ÂŁČš0 0
Ĺ&#x2122;Čą Ĺ&#x203A; Ĺ&#x2122; 1 2ȲpȲ 2Ț§ 0 0 1
4 Â&#x2014;Â&#x160;ČąÄ&#x2122;Â&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x17D;Â&#x153;ČąÂ&#x2014;Â&#x17E;Â&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x153;Â&#x2019;ČąÂ?Â&#x2DC;Â?Â&#x160;Â&#x153;ČąÂ&#x153;Â&#x17E;Â&#x153;ČąÂ&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x203A;Â&#x160;Â?Â&#x160;Â&#x153;ČąÂ&#x153;Â&#x2DC;Â&#x2014;ČąÂ&#x152;Â&#x17D;Â&#x203A;Â&#x2DC;Â&#x153;DzȹÂ&#x17E;Â&#x2014;Â&#x160;ČąÄ&#x2122;Â&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x17D;Â&#x153;ČąÂ&#x2014;Â&#x2DC;ČąÂ&#x2014;Â&#x17E;Â&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x153;Â&#x2019;ČąÂ&#x2122;Â&#x2DC;Â&#x203A;ČąÂ&#x2022;Â&#x2DC;ČąÂ&#x2013;Â&#x17D;Â&#x2014;Â&#x2DC;Â&#x153;ČąÂ&#x17E;Â&#x2014;Â&#x160;ČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x153;Â&#x17E;Â&#x153;ČąÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x2013;Â&#x2122;Â&#x2DC;-
nentes es distinta de cero. Ĺ&#x203A;Čą Â&#x2014;ČąÂ&#x17D;Â&#x2022;ČąÂ&#x152;Â&#x160;Â&#x153;Â&#x2DC;ČąÂ&#x161;Â&#x17E;Â&#x17D;ČąÂ&#x17D;Â&#x2022;ČąÂ&#x2122;Â&#x203A;Â&#x2019;Â&#x2013;Â&#x17D;Â&#x203A;ČąÂ&#x17D;Â&#x2022;Â&#x17D;Â&#x2013;Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x2DC;ČąÂ?Â&#x2019;Â&#x153;Â?Â&#x2019;Â&#x2014;Â?Â&#x2DC;ČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x152;Â&#x17D;Â&#x203A;Â&#x2DC;ČąÂ&#x17D;Â&#x153;Â?¡ȹÂ&#x17D;Â&#x2014;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x2122;Â&#x203A;Â&#x2019;Â&#x2013;Â&#x17D;Â&#x203A;Â&#x160;ČąÄ&#x2122;Â&#x2022;Â&#x160;Ç°ČąÂ&#x153;Â&#x17D;ČąÂ&#x153;Â&#x2DC;Â&#x2039;Â&#x203A;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x2019;Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;ČąÂ&#x161;Â&#x17E;Â&#x17D;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x2014;Â?Â&#x2019;-
ciĂłn se cumple por vacuidad.
MĂłdulo 1
Matrices y sistemas lineales
Muestra digital ISSUU Š D.R. 2020 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Todos los derechos reservados. No puede ser copiado, escaneado o duplicado, total o parcialmente.10/06/2020
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2.
Ĺ&#x203A; Ĺ&#x2014;Čą Ĺ&#x2122; Ĺ&#x2122; ÂŁČš 0 Ĺ&#x2122;Čą Ĺ&#x203A;ȲpȲ 8Ț§ 0 0 2 4
3.
1 ÂŁČš00 0
Ĺ&#x2122;Čą 0 0 0
Ĺ&#x2013;Čą 1 0 0
Ĺ&#x203A;Čą 2 0 0
4 Ĺ&#x2013; 0 Ĺ? ȲpȲ Ț§ 1 1 0 0
SoluciĂłn:
1. Para este sistema no pueden existir nĂşmeros reales x1, x2, xĹ&#x2122; tales que 0x1 0x2 0xĹ&#x2122;Čą
1, es decir, el sistema no tiene soluciĂłn, es inconsistente.
2. En este caso, x1, x2 y xĹ&#x2122; son todas variables ligadas, el sistema no tiene variables libres y: xĹ&#x2122;
4 2
8 5x3 Ĺ&#x2122;
2;ȳ¥2
ČąĹ&#x153;Dzȳ¥1
3 x2 3x3 Ĺ&#x203A;
Ĺ&#x2122;ÇŻ
x1 Ĺ&#x2122; Â&#x153;ČąÂ?Â&#x17D;Â&#x152;Â&#x2019;Â&#x203A;ǰȲ£Ț x2 Ț§Ȳ Ȳ£Ț Ĺ&#x153;Ț§ȲÂ&#x17D;Â&#x153;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ȹøÂ&#x2014;Â&#x2019;Â&#x152;Â&#x160;ČąÂ&#x153;Â&#x2DC;Â&#x2022;Â&#x17E;Â&#x152;Â&#x2019;Ă Â&#x2014;ÇŻ 2 xĹ&#x2122;
3. Para este sistema escalonado x1, xĹ&#x2122; y xĹ&#x203A; son las variables ligadas; mientras que x2 y
x4 son las variables libres. Entonces xĹ&#x203A; 1, xĹ&#x2122; Ĺ?Čą 2x4, x1 4 ČąĹ&#x2122;x2 ČąĹ&#x203A;x4, lo cual indica que al dar valores concretos arbitrarios a las variables libres x2 y x4 se obtiene Â&#x17E;Â&#x2014;Â&#x160;ČąÂ&#x153;Â&#x2DC;Â&#x2022;Â&#x17E;Â&#x152;Â&#x2019;Ă Â&#x2014;ÇŻČą Â&#x153;Ă&#x2021;Ç°ČąÂ&#x17D;Â&#x2022;ČąÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x2014;Â&#x201C;Â&#x17E;Â&#x2014;Â?Â&#x2DC;ČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x153;Â&#x2DC;Â&#x2022;Â&#x17E;Â&#x152;Â&#x2019;Â&#x2DC;Â&#x2014;Â&#x17D;Â&#x153;ČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x17D;Â&#x153;Â?Â&#x17D;ČąÂ&#x153;Â&#x2019;Â&#x153;Â?Â&#x17D;Â&#x2013;Â&#x160;ČąÂ&#x17D;Â&#x153;ČąÂ&#x2019;Â&#x2014;Ä&#x2122;Â&#x2014;Â&#x2019;Â?Â&#x2DC;ȹ¢ȹÂ&#x17D;Â&#x153;Â?¤ȹÂ?Â&#x160;Â?Â&#x2DC;Čą por: {(x1, x2, xĹ&#x2122;, x4, xĹ&#x203A;) _ xĹ&#x203A;
Ĺ?Čą 2x4, x1
1, xĹ&#x2122;
4 ČąĹ&#x2122;x2 ČąĹ&#x203A;x4; x2, x4 Â? }
Una manera mĂĄs compacta de expresar las soluciones es:
â&#x2030;Ľ
x1 x2 xĹ&#x2122; x4 xĹ&#x203A;
ÂĽ
4 ČąĹ&#x2122;s ČąĹ&#x203A;r s Ȳâ&#x2030;Ľ Ĺ?Čą 2r ¼Țǰȳr, s Â? . r 1
Al dar valores concretos a r y s se obtendrĂĄ una soluciĂłn particular; por ejemplo, si r 0 y s 0, es fĂĄcil darse cuenta que:
â&#x2030;Ľ
x1 x2 xĹ&#x2122; x4 xĹ&#x203A;
ÂĽ
4 0 Ȳâ&#x2030;Ľ Ĺ?Čą ÂĽ 0 1
resuelve el sistema de ecuaciones.
1.2 Sistemas lineales Muestra digital ISSUU Š D.R. 2020 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Todos los derechos reservados. No puede ser copiado, escaneado o duplicado, total o parcialmente.10/06/2020
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1.2.3 Operaciones de renglĂłn, equivalencia por filas, soluciones de sistemas escalonados Operaciones elementales de renglĂłn para matrices
1. Â&#x2014;Â?Â&#x17D;Â&#x203A;Â&#x152;Â&#x160;Â&#x2013;Â&#x2039;Â&#x2019;Â&#x2DC;ČąÂ?Â&#x17D;ČąÄ&#x2122;Â&#x2022;Â&#x160;Â&#x153;ǹȹRi l RjČš. 2. Cambio de escala: Ri l DRi (D z 0). 3. Â&#x17E;Â&#x2013;Â&#x160;ČąÂ?Â&#x17D;ČąÄ&#x2122;Â&#x2022;Â&#x160;Â&#x153;ǹȹRi l DRi ERj (D z 0). Â&#x160;Â&#x153;ČąÂ&#x152;Â&#x17E;Â&#x160;Â&#x2022;Â&#x17D;Â&#x153;ČąÂ&#x153;Â&#x2019;Â?Â&#x2014;Â&#x2019;Ä&#x2122;Â&#x152;Â&#x160;Â&#x2014;Ç°ČąÂ&#x203A;Â&#x17D;Â&#x153;Â&#x2122;Â&#x17D;Â&#x152;Â?Â&#x2019;Â&#x;Â&#x160;Â&#x2013;Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;Çą
r r r
Â&#x160;ČąÄ&#x2122;Â&#x2022;Â&#x160;Čąi Â&#x153;Â&#x17D;ČąÂ&#x2019;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;Â&#x203A;Â&#x152;Â&#x160;Â&#x2013;Â&#x2039;Â&#x2019;Â&#x160;ČąÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x2014;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÄ&#x2122;Â&#x2022;Â&#x160;Čąj. Â&#x160;ČąÄ&#x2122;Â&#x2022;Â&#x160;Čąi Â&#x153;Â&#x17D;ČąÂ&#x152;Â&#x160;Â&#x2013;Â&#x2039;Â&#x2019;Â&#x160;ČąÂ&#x2122;Â&#x2DC;Â&#x203A;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x2013;Â&#x2019;Â&#x153;Â&#x2013;Â&#x160;ČąÄ&#x2122;Â&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x2013;Â&#x17E;Â&#x2022;Â?Â&#x2019;Â&#x2122;Â&#x2022;Â&#x2019;Â&#x152;Â&#x160;Â?Â&#x160;ČąÂ&#x2122;Â&#x2DC;Â&#x203A;ČąD. Â&#x160;ČąÄ&#x2122;Â&#x2022;Â&#x160;Čąi se cambia por la suma de DČŹÂ&#x;Â&#x17D;Â&#x152;Â&#x17D;Â&#x153;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÄ&#x2122;Â&#x2022;Â&#x160;Čąi con EČŹÂ&#x;Â&#x17D;Â&#x152;Â&#x17D;Â&#x153;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÄ&#x2122;Â&#x2022;Â&#x160;Čąj.
Equivalencia por filas y sistemas equivalentes DefiniciĂłn 1.12 Sean A, B Â? á&#x2018;§mun. La matriz B es equivalenteȹǝÂ&#x2122;Â&#x2DC;Â&#x203A;ČąÄ&#x2122;Â&#x2022;Â&#x160;Â&#x153;ǟȹÂ&#x160;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x2013;Â&#x160;Â?Â&#x203A;Â&#x2019;ÂŁČąA, Â&#x153;Â&#x2019;ČąÂ&#x153;Â&#x17D;ČąÂ&#x2122;Â&#x17E;Â&#x17D;Â?Â&#x17D;ČąÂ&#x2DC;Â&#x2039;Â?Â&#x17D;Â&#x2014;Â&#x17D;Â&#x203A;ČąÂ&#x160;ČąÂ&#x2122;Â&#x160;Â&#x203A;Â?Â&#x2019;Â&#x203A;ČąÂ?Â&#x17D;ȹ¡Â&#x153;Â?Â&#x160;ČąÂ&#x2122;Â&#x2DC;Â&#x203A;ČąÂ&#x2013;Â&#x17D;Â?Â&#x2019;Â&#x2DC;ČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x17E;Â&#x2014;Â&#x160;ČąÂ&#x153;Â&#x17E;Â&#x152;Â&#x17D;Â&#x153;Â&#x2019;Ă Â&#x2014;ČąÄ&#x2122;Â&#x2014;Â&#x2019;Â?Â&#x160;ČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x2DC;Â&#x2122;Â&#x17D;Â&#x203A;Â&#x160;Â&#x152;Â&#x2019;Â&#x2DC;Â&#x2014;Â&#x17D;Â&#x153;ČąÂ&#x17D;Â&#x2022;Â&#x17D;mentales de renglĂłn. Esto es, si existen E1, E2, â&#x20AC;Ś , Ek 1, matrices de tamaĂąo m u n, tales que si E0 A y Ek B, cada Ej Â&#x17D;Â&#x153;ČąÂ&#x17D;Â&#x2022;ČąÂ&#x203A;Â&#x17D;Â&#x153;Â&#x17E;Â&#x2022;Â?Â&#x160;Â?Â&#x2DC;ČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x160;Â&#x2122;Â&#x2022;Â&#x2019;Â&#x152;Â&#x160;Â&#x203A;ČąÂ&#x17E;Â&#x2014;Â&#x160;ČąÂ&#x153;Â&#x17E;Â&#x152;Â&#x17D;Â&#x153;Â&#x2019;Ă Â&#x2014;ČąÄ&#x2122;Â&#x2014;Â&#x2019;Â?Â&#x160;ČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x2DC;Â&#x2122;Â&#x17D;Â&#x203A;Â&#x160;Â&#x152;Â&#x2019;Â&#x2DC;Â&#x2014;Â&#x17D;Â&#x153;Čą elementales de renglĂłn a la matriz Ej 1. Se utiliza la notaciĂłn B a A o B l A, para denotar que B es equivalente a A. Ejemplo 1.17 Â&#x17E;Â&#x17D;Â&#x153;Â?Â&#x2DC;ČąÂ&#x161;Â&#x17E;Â&#x17D;ȹǝÂ&#x152;Â?ÇŻČąÂ&#x17D;Â&#x201C;Â&#x17D;Â&#x2013;Â&#x2122;Â&#x2022;Â&#x2DC;ČąĹ&#x2014;ÇŻĹ&#x2014;Ĺ&#x2122;Ç°ČąÂ&#x2122;ÇŻČąĹ&#x2DC;Ĺ&#x2122;Çź Ĺ&#x2014;ȲȹĹ&#x2014;ȲȹȲȹĹ&#x2DC;ȲȹĹ&#x; m o Ĺ&#x2014;ȲȹĹ&#x2014;Ȳ Ĺ&#x2DC;ȲȹȲ Ĺ&#x; m o Ĺ&#x2014;ȲȹĹ&#x2014;Ȳȹ Ĺ&#x2DC;ȲȲȹ Ĺ&#x; Čš ÂŁ Ĺ&#x2DC;ȲȹĹ&#x161;Ȳȹ Ĺ&#x2122;ȲȹĹ&#x2014;Ț§Ȳ R2 l 2R1 R2 Ȳ£ȚĹ&#x2013;ȲȹĹ&#x2DC;ȲȹȲ Ĺ?Ȳȹ Ĺ&#x2014;Ĺ?Ț§Ȳ RĹ&#x2122; l Ĺ&#x2122;R2 2RĹ&#x2122; Ȳ£ȚĹ&#x2013;ȲȹĹ&#x2DC;Ȳȹ Ĺ?Ȳȹ Ĺ&#x2014;Ĺ?Ț§Ț, Ĺ&#x2122;ȲȹĹ&#x153;Ȳȹ Ĺ&#x203A;ȲȹĹ&#x2013; RĹ&#x2122; l Ĺ&#x2122;R1 RĹ&#x2122; Ĺ&#x2013;ȲȹĹ&#x2122;Ȳȹ Ĺ&#x2014;Ĺ&#x2014;Ȳȹ Ĺ&#x2DC;Ĺ? Ĺ&#x2013;ȲȹĹ&#x2013;Ȳȹ Ĺ&#x2014;ȲȲ Ĺ&#x2122;
la matriz B
Ĺ&#x2014;ȲȹĹ&#x2014;Ȳȹ Ĺ&#x2DC;ȲȹȲ Ĺ&#x; Čš Ț§ es equivalente a la matriz A Ĺ&#x2013;ȲȹĹ&#x2DC;Ȳȹ Ĺ?Ȳȹ Ĺ&#x2014;Ĺ? ÂŁ Ĺ&#x2013;ȲȹĹ&#x2013;Ȳȹ Ĺ&#x2014;ȲȲȹ Ĺ&#x2122;
Ĺ&#x2014;ȲȹĹ&#x2014;ȲȹȲȹĹ&#x2DC;ȲȹĹ&#x; Čš ÂŁ Ĺ&#x2DC;ȲȹĹ&#x161;Ȳȹ Ĺ&#x2122;ȲȹĹ&#x2014;Ț§ (B a A). Ĺ&#x2122;ȲȹĹ&#x153;Ȳȹ Ĺ&#x203A;ȲȹĹ&#x2013;
Â&#x17D;ČąÂ&#x2122;Â&#x17E;Â&#x17D;Â?Â&#x17D;ČąÂ?Â&#x17D;Â&#x2013;Â&#x2DC;Â&#x153;Â?Â&#x203A;Â&#x160;Â&#x203A;ČąÂ&#x161;Â&#x17E;Â&#x17D;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x203A;Â&#x17D;Â&#x2022;Â&#x160;Â&#x152;Â&#x2019;Ă Â&#x2014;ČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x17D;Â&#x161;Â&#x17E;Â&#x2019;Â&#x;Â&#x160;Â&#x2022;Â&#x17D;Â&#x2014;Â&#x152;Â&#x2019;Â&#x160;ČąÂ&#x2122;Â&#x2DC;Â&#x203A;ČąÄ&#x2122;Â&#x2022;Â&#x160;Â&#x153;ČąÂ&#x17D;Â&#x153;Ç°ČąÂ&#x17D;Â&#x2014;ČąÂ&#x17D;Â?Â&#x17D;Â&#x152;Â?Â&#x2DC;Ç°ČąÂ&#x17E;Â&#x2014;Â&#x160;ČąÂ&#x203A;Â&#x17D;Â&#x2022;Â&#x160;ciĂłn de equivalencia en el conjunto á&#x2018;§mun, esto es:
r r r
Â&#x153;ČąÂ&#x203A;Â&#x17D;Ä&#x161;Â&#x17D;ÂĄÂ&#x2019;Â&#x;Â&#x160;ǹȹA a A A Â? á&#x2018;§mun. Es simĂŠtrica: A a B Â&#x; B a A A, B Â? á&#x2018;§mun. Es transitiva: A a B, B a C Â&#x; A a C A, B, C Â? á&#x2018;§mun.
Â&#x160;ČąÂ&#x2122;Â&#x203A;Â&#x2DC;Â&#x2122;Â&#x2019;Â&#x17D;Â?Â&#x160;Â?ČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x153;Â&#x2019;Â&#x2013;Â&#x17D;Â?Â&#x203A;Ă&#x2021;Â&#x160;ČąÂ&#x2019;Â&#x2013;Â&#x2122;Â&#x2022;Â&#x2019;Â&#x152;Â&#x160;ČąÂ&#x161;Â&#x17E;Â&#x17D;ČąÂ&#x17E;Â&#x2014;Â&#x160;ČąÂ&#x2013;Â&#x160;Â?Â&#x203A;Â&#x2019;ÂŁČąÂ&#x17D;Â&#x153;ČąÂ&#x17D;Â&#x161;Â&#x17E;Â&#x2019;Â&#x;Â&#x160;Â&#x2022;Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;ČąÂ&#x2122;Â&#x2DC;Â&#x203A;ČąÄ&#x2122;Â&#x2022;Â&#x160;Â&#x153;ČąÂ&#x160;ČąÂ&#x2DC;Â?Â&#x203A;Â&#x160;ČąÂ&#x153;Â&#x2019;ȹ¢ȹÂ&#x153;Ă Â&#x2022;Â&#x2DC;Čą si ĂŠsta es equivalente a la primera; por esta razĂłn, de aquĂ en adelante, simplemente diÂ&#x203A;Â&#x17D;Â&#x2013;Â&#x2DC;Â&#x153;ČąÂ&#x161;Â&#x17E;Â&#x17D;ČąÂ?Â&#x2DC;Â&#x153;ČąÂ&#x2013;Â&#x160;Â?Â&#x203A;Â&#x2019;Â&#x152;Â&#x17D;Â&#x153;ČąÂ&#x153;Â&#x2DC;Â&#x2014;ČąÂ&#x17D;Â&#x161;Â&#x17E;Â&#x2019;Â&#x;Â&#x160;Â&#x2022;Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;Â&#x153;ȹǝÂ&#x2122;Â&#x2DC;Â&#x203A;ČąÄ&#x2122;Â&#x2022;Â&#x160;Â&#x153;ǟȹÂ&#x153;Â&#x2019;ČąÂ&#x152;Â&#x17E;Â&#x2013;Â&#x2122;Â&#x2022;Â&#x17D;Â&#x2014;ȹǝÂ&#x17D;Â&#x2014;ČąÂ&#x152;Â&#x17E;Â&#x160;Â&#x2022;Â&#x161;Â&#x17E;Â&#x2019;Â&#x17D;Â&#x203A;ČąÂ&#x2DC;Â&#x203A;Â?Â&#x17D;Â&#x2014;ǟȹÂ&#x2022;Â&#x160;Čą Â?Â&#x17D;Ä&#x2122;Â&#x2014;Â&#x2019;Â&#x152;Â&#x2019;Ă Â&#x2014;ČąĹ&#x2014;ÇŻĹ&#x2014;Ĺ&#x2DC;ÇŻ Al aplicar operaciones de renglĂłn a un sistema, se obtiene un sistema equivalente. Es decir: o o Teorema 1.1 Si [ČšA _ b Čš] a [ČšH _ o c Čš], entonces los sistemas A o x b yHo x o c tienen las mismas soluciones. Â&#x153;ČąÂ&#x152;Â&#x2022;Â&#x160;Â&#x203A;Â&#x2DC;ČąÂ&#x161;Â&#x17E;Â&#x17D;ČąÂ&#x153;Â&#x2019;Â&#x17D;Â&#x2013;Â&#x2122;Â&#x203A;Â&#x17D;ČąÂ&#x153;Â&#x17D;ČąÂ&#x2122;Â&#x17E;Â&#x17D;Â?Â&#x17D;Â&#x2014;ČąÂ&#x160;Â&#x2122;Â&#x2022;Â&#x2019;Â&#x152;Â&#x160;Â&#x203A;ČąÂ&#x2DC;Â&#x2122;Â&#x17D;Â&#x203A;Â&#x160;Â&#x152;Â&#x2019;Â&#x2DC;Â&#x2014;Â&#x17D;Â&#x153;ČąÂ?Â&#x17D;ČąÄ&#x2122;Â&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x160;ČąÂ&#x17E;Â&#x2014;Â&#x160;ČąÂ&#x2013;Â&#x160;Â?Â&#x203A;Â&#x2019;ÂŁČąA, de manera adecuada, para obtener una matriz escalonada equivalente a ella. Lo cual se hace patente MĂłdulo 1
Matrices y sistemas lineales
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en la siguiente proposición. La demostración de este importante resultado se encuentra desarrollada formalmente en el método de Gauss del apartado 1.2.4. Teorema 1.2 ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ę ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ escalonada.
Soluciones de sistemas escalonados ȱ ȱŗǯŗŜȱǻ ¤ ǯȱŘŚǼȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ¢ ȱ à ȱ ȱ lla y se deja como ejercicio al lector. o o Teorema 1.3 Sea un sistema Ax b y suponga que [ȹH _ o c ȹ] es un sistema (cualquier siso o ȹ ȹ tema) escalonado equivalente, es decir, [A _ b ] a [ H _ c ], entonces: o
1. Axo b es inconsistente si y sólo si [ȹH _ o c ȹǾȱ ȱ ȱę ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ ȱ ¢ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ à ȱǻ ǯȱ ȱŗǯŗŜȱ ȱŗǼǯ o
2. Axo b tiene solución única si y sólo si es consistente y [ȹH _ o c ȹ] tiene pivote en todas 3.
ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ ȱ ȱ ȱ à ȱǻ ǯȱ ȱŗǯŗŜȱ ȱŘǼǯ o o b Ax tiene ę ȱ ȱ si y sólo si es consistente y [ȹH _ o c ȹ] no tiene pivote ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ ȱ ȱ ȱ à ȱǻ ǯȱ ȱŗǯŗŜȱ ȱřǼǯ
1.2.4 Método de Gauss El método de Gauss sirve para “llevar” una matriz a una forma escalonada equivalente aplicando operaciones de renglón. Bosquejamos el método por medio del siguiente algoritmo: Suponga que A es una matriz m u n no nula (si A es la matriz cero, A está en forma escalonada).
G1: ȱ ȱ ȱę ȱ ȱA que tenga su primer elemento distinto de cero y se intercambia ǻ ȱ ȱ Ǽȱ ȱ ȱ ȱę ȱ ȱ ȱ £ȱADzȱ ȱ ȱ ¡ ȱ ȱę ȱ ȱA que ten ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱę ȱ ȱ ȱ £ȱA que tenga el segundo elemento distinto de cero y se intercambia (si es necesario) con la primera ę ȱ ȱ ȱ £ȱADzȱ ȱ ȱ ȱ Çǰȱ ȱ ȱ ȱę ȱ ȱA que tenga el tercer ele ȱ ȱ ȱ ȱ¢ȱ ȱ ȱǻ ȱ ȱ Ǽȱ ȱ ȱ ȱę ȱ ȱA, ǯǰȱ ȱę ȱ ȱ £ȱB1 a A con un primer elemento no nulo en ȱ ȱę ȱ ȱ ȱpivote ǻ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱę Ǽǯ Por ejemplo, si A
Ŗȳ Śȳ ŗȳř Ȳ£ȹřȳ Śȳ Ŗȳŝ ȹ§ȹ, entonces una operación de renglón para ŗȳ ŗȳ řȳś
llevar a cabo este paso puede ser R1 l Rř, resultando la equivalencia de matrices B1
A
0 3 1
−4 −1 3 4 0 7 1 3 5
∼
1 3 0
1 3 5 4 0 7 −4 −1 3
ȱ ȱ ȱ ȱ ȱę ȱ ȱ ȱ £ȱB1 es b111
1
G2: ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱę ȱ ȱB1 se transforman en ceros los elementos que están por debajo de él mediante la operación ȱ ȱę , obteniendo una matriz
1.2 Sistemas lineales Muestra digital ISSUU © D.R. 2020 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Todos los derechos reservados. No puede ser copiado, escaneado o duplicado, total o parcialmente.10/06/2020
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B2 a B1 a A, que tendrĂĄ todas las componentes nulas debajo del pivote de la Â&#x2122;Â&#x203A;Â&#x2019;Â&#x2013;Â&#x17D;Â&#x203A;Â&#x160;ČąÄ&#x2122;Â&#x2022;Â&#x160;ÇŻ Por ejemplo, con el caso particular ilustrado en el paso anterior podemos hacer ceros los elementos debajo del pivote 1ČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x2122;Â&#x203A;Â&#x2019;Â&#x2013;Â&#x17D;Â&#x203A;Â&#x160;ČąÄ&#x2122;Â&#x2022;Â&#x160;ČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x2013;Â&#x160;Â?Â&#x203A;Â&#x2019;ÂŁČąB1 mediante la operaciĂłn R2 l Ĺ&#x2122;R1 R2 para obtener la matriz B2, i. e.: B2
1 3 0
1
B2
3 5
4 0 7 â&#x2C6;&#x2019;4 â&#x2C6;&#x2019;1 3
â&#x2C6;ź
1 0 0
1 3 5 1 â&#x2C6;&#x2019;9 â&#x2C6;&#x2019;8 â&#x2C6;&#x2019;4 â&#x2C6;&#x2019;1 3
G3: Â&#x2018;Â&#x2DC;Â&#x203A;Â&#x160;ČąÂ&#x153;Â&#x17D;ČąÂ&#x203A;Â&#x17D;Â&#x2122;Â&#x2019;Â?Â&#x17D;Â&#x2014;ČąÂ&#x2022;Â&#x2DC;Â&#x153;ČąÂ&#x2122;Â&#x160;Â&#x153;Â&#x2DC;Â&#x153;Čą Ĺ&#x2014;ȹ¢ȹ Ĺ&#x2DC;ČąÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x2014;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x153;Â&#x17D;Â?Â&#x17E;Â&#x2014;Â?Â&#x160;ČąÄ&#x2122;Â&#x2022;Â&#x160;ČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x2013;Â&#x160;Â?Â&#x203A;Â&#x2019;ÂŁČąB2, produciendo
una matriz BĹ&#x2122; a B2 a B1 a A cuyas componentes serĂĄn nulas debajo del pivote de su Â&#x153;Â&#x17D;Â?Â&#x17E;Â&#x2014;Â?Â&#x160;ČąÄ&#x2122;Â&#x2022;Â&#x160;ÇŻ
Â&#x160;Â&#x203A;Â&#x160;ČąÂ&#x17D;Â&#x2022;ČąÂ&#x152;Â&#x160;Â&#x153;Â&#x2DC;ČąÂ&#x2122;Â&#x160;Â&#x203A;Â?Â&#x2019;Â&#x152;Â&#x17E;Â&#x2022;Â&#x160;Â&#x203A;ČąÂ&#x2019;Â&#x2022;Â&#x17E;Â&#x153;Â?Â&#x203A;Â&#x160;Â?Â&#x2DC;Ç°ČąÂ&#x17D;Â&#x2022;ČąÂ&#x2122;Â&#x2019;Â&#x;Â&#x2DC;Â?Â&#x17D;ČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x153;Â&#x17D;Â?Â&#x17E;Â&#x2014;Â?Â&#x160;ČąÄ&#x2122;Â&#x2022;Â&#x160;ČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x2013;Â&#x160;Â?Â&#x203A;Â&#x2019;ÂŁĹ&#x153; B2 es 2 b22 1. Se pueden hacer ceros los elementos debajo del mismo mediante la operaciĂłn RĹ&#x2122; l 4R2 RĹ&#x2122;, esto es BĹ&#x2122;
B2 Ĺ&#x2014;Čą Ĺ&#x2014;Čą Ȳ Ĺ&#x2122;Čą Ĺ&#x203A; 0 1 Čą Ȳ Ĺ&#x;Čą 8 0 4 1 Ĺ&#x2122;
a
Ĺ&#x2014;Čą Ĺ&#x2014;Čą Ȳ Ĺ&#x2122;Čą Ȳ Ĺ&#x203A; Ĺ&#x2013;Čą Ĺ&#x2014;Čą Ȳ Ĺ&#x;Čą Ȳ 8 0 0 Ĺ&#x2122;Ĺ?Čą Ĺ&#x2DC;Ĺ&#x;
G4: Â&#x17D;ČąÂ&#x203A;Â&#x17D;Â&#x2122;Â&#x2019;Â?Â&#x17D;Â&#x2014;ČąÂ&#x2022;Â&#x2DC;Â&#x153;ČąÂ&#x2122;Â&#x160;Â&#x153;Â&#x2DC;Â&#x153;Čą Ĺ&#x2014;Ç°Čą Ĺ&#x2DC;ȹ¢ȹ Ĺ&#x2122;ČąÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x2014;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;Â&#x153;ČąÄ&#x2122;Â&#x2022;Â&#x160;Â&#x153;ČąÂ&#x153;Â&#x17E;Â&#x2039;Â&#x153;Â&#x17D;Â&#x152;Â&#x17E;Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;Â&#x153;ČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;Â&#x153;ČąÂ&#x2013;Â&#x160;Â?Â&#x203A;Â&#x2019;Â&#x152;Â&#x17D;Â&#x153;ČąÂ&#x17D;Â&#x161;Â&#x17E;Â&#x2019;Â&#x;Â&#x160;lentes que resulten, hasta obtener una matriz H en forma escalonada de acuerdo con Â&#x2022;Â&#x160;ČąÂ?Â&#x17D;Ä&#x2122;Â&#x2014;Â&#x2019;Â&#x152;Â&#x2019;Ă Â&#x2014;ČąĹ&#x2014;ÇŻĹ&#x;ÇŻ Para el caso ilustrado previamente, la matriz BĹ&#x2122; ya estĂĄ en forma escalonada, con lo que A 0 4 Ĺ&#x2014;Čą Ĺ&#x2122;Čą 4 Ĺ&#x2013;Čą 1 1 Ĺ&#x2122;Čą
BĹ&#x2122; Ĺ&#x2122; Ĺ? Ĺ&#x203A;
a
H
Ĺ&#x2014;Čą Ĺ&#x2014;Čą Ȳ Ĺ&#x2122;Čą Ȳ Ĺ&#x203A; Ĺ&#x2013;Čą Ĺ&#x2014;Čą Ȳ Ĺ&#x;Čą Ȳ 8 0 0 Ĺ&#x2122;Ĺ?Čą Ĺ&#x2DC;Ĺ&#x;
terminarĂa el proceso para este ejemplo particular. Ejemplo 1.18 Â&#x2039;Â?Â&#x17D;Â&#x2014;Â&#x17D;Â&#x203A;ČąÂ&#x17E;Â&#x2014;Â&#x160;ČąÂ&#x2013;Â&#x160;Â?Â&#x203A;Â&#x2019;ÂŁČąÂ&#x17D;Â&#x161;Â&#x17E;Â&#x2019;Â&#x;Â&#x160;Â&#x2022;Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;ČąÂ&#x2122;Â&#x2DC;Â&#x203A;ČąÄ&#x2122;Â&#x2022;Â&#x160;Â&#x153;ČąÂ&#x160;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x2013;Â&#x160;Â?Â&#x203A;Â&#x2019;ÂŁ
A
2 2 4 0
4 2 2 4 Ĺ&#x2122;Čą 4 8 Ĺ&#x2122;Čą 2 0 1 2
que estĂŠ en forma escalonada.Ĺ? Ĺ&#x153;ČąEl
2 de esta notaciĂłn juega el papel de un superĂndice, haciendo referencia a la matriz B nĂşmero 2 en b22 2 y no de un exponente.
Ĺ?Čą Se ha marcado en color azul los pivotes en cada paso para que el lector recuerde que el propĂłsito es ir haciendo ceros, mediante las operaciones de renglĂłn indicadas, los elementos debajo de ellos.
MĂłdulo 1
Matrices y sistemas lineales
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SoluciĂłn:
A
2 2 4 0
4 2 2 4 Ĺ&#x2122;Čą 4 8 Ĺ&#x2122;Čą 2 0 1 2
1 1 1 2 4 Ĺ&#x2122;Čą 4 Ȳ4 8 Ĺ&#x2122;Čą 2 Ȳ0 0 1 2 Ȳ2
m o R l (1/2) R 1
1
1 2 1 1 0 0 1 2 0 0 1 2 0 0 1 2
m o R l 2R R 2
1
2
RĹ&#x2122; l 4R1 RĹ&#x2122;
1 2 0 0 0 0 0 0
m o R l R R Ĺ&#x2122;
Ĺ&#x2122;
2
R4 l R2 R4
1 1 1 2 0 0 0 0
H La matriz resultante, H, estĂĄ en forma escalonada y es equivalente a la matriz A.
MĂŠtodo de Gauss para resolver sistemas lineales Ejemplo 1.19 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el mĂŠtodo de Gauss. Ȳ¥1 2x2 Ȳ¥Ĺ&#x2122; Ȳ¥4
4
2x1 Ĺ&#x2122;x2 2xĹ&#x2122; Ĺ&#x2122;x4
1
Ĺ&#x2122;x1 Ĺ&#x203A;x2 Ĺ&#x2122;xĹ&#x2122; 4x4
Ĺ&#x2122;
x1 Ȳ¥2 Ȳ¥Ĺ&#x2122; 2x4
Ĺ&#x203A;
SoluciĂłn: Para resolver el problema llevaremos la matriz aumentada a una forma escalonada y haremos sustituciĂłn regresiva.8 4 1 2 1 1 2 Ĺ&#x2122;Čą Ĺ&#x2DC;Čą Ĺ&#x2122; 1 ÂŁČš Ĺ&#x2122;Čą Ĺ&#x203A;Čą Ĺ&#x2122;Čą 4ȲpȲ Ĺ&#x2122;Ț§ m o Ĺ&#x203A; 1 1 1 2
1 0 ÂŁČš0 0
2 1 1 1
4 1 1 0 1 Ĺ&#x; ȲpȲ Ț§ 0 1 Ĺ&#x; Ĺ&#x; 0 1
1 0 m o ÂŁČš 0 0
2 1 0 0
4 1 1 0 1 Ĺ&#x; ȲpȲ Ț§ 0 0 0 0 0 0
AsĂ, las variables ligadas son x1, x2 y las libres xĹ&#x2122;, x4. Y x2 x4 14 ČąĹ&#x2122;x4 xĹ&#x2122;. La soluciĂłn estĂĄ dada entonces por: x1 x2 â&#x2030;Ľ ÂĽ xĹ&#x2122; x4
Ĺ&#x;Čą x4; x1
4 2x2 xĹ&#x2122;
14 ČąĹ&#x2122;r s Ĺ&#x;Čą r Ȳâ&#x2030;Ľ ¼Țǰȳr, s Â? s r
8
De aquĂ en adelante, salvo algunas excepciones, ya no indicaremos las operaciones de renglĂłn que se requieren para obtener una forma escalonada equivalente a una matriz, pues el objetivo es utilizar la notaciĂłn matricial para auxiliarse y hacer todos los cĂĄlculos mecĂĄnica y mentalmente.
1.2 Sistemas lineales Muestra digital ISSUU Š D.R. 2020 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Todos los derechos reservados. No puede ser copiado, escaneado o duplicado, total o parcialmente.10/06/2020
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Sistemas con la misma matriz de coeficientes Â&#x153;ČąÂ?Â&#x203A;Â&#x17D;Â&#x152;Â&#x17E;Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;ČąÂ&#x17D;Â&#x2014;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x2122;Â&#x203A;¤Â&#x152;Â?Â&#x2019;Â&#x152;Â&#x160;ČąÂ?Â&#x17D;Â&#x2014;Â&#x17D;Â&#x203A;ČąÂ&#x161;Â&#x17E;Â&#x17D;ČąÂ&#x203A;Â&#x17D;Â&#x153;Â&#x2DC;Â&#x2022;Â&#x;Â&#x17D;Â&#x203A;ČąÂ&#x153;Â&#x2019;Â&#x153;Â?Â&#x17D;Â&#x2013;Â&#x160;Â&#x153;ČąÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x2014;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x2013;Â&#x2019;Â&#x153;Â&#x2013;Â&#x160;ČąÂ&#x2013;Â&#x160;Â?Â&#x203A;Â&#x2019;ÂŁČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x17D;Ä&#x2122;Â&#x152;Â&#x2019;Â&#x17D;Â&#x2014;tes pero con distintos tĂŠrminos independientes. En lugar de resolverlos cada uno por separado, se pueden solucionar simultĂĄneamente colocando en el lado derecho de la particiĂłn las columnas que contienen los tĂŠrminos independientes de cada sistema, llevar a forma escalonada y resolver por sustituciĂłn regresiva columna por columna. Ejemplo 1.20
x 2y ČąĹ&#x2122;z
2
x 4y ČąĹ&#x203A;z
Ĺ?Čą
ÇťĹ&#x2014;ÇŻĹ&#x2122;Çź
y
r 2s ČąĹ&#x2122;t
1
r 4s ČąĹ&#x203A;t
4
Â?Â&#x2019;Â&#x17D;Â&#x2014;Â&#x17D;Â&#x2014;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x2013;Â&#x2019;Â&#x153;Â&#x2013;Â&#x160;ČąÂ&#x2013;Â&#x160;Â?Â&#x203A;Â&#x2019;ÂŁČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x17D;Ä&#x2122;Â&#x152;Â&#x2019;Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;Â&#x153;Ç°ČąsČš ys
1 4
1 2 1
(1.4)
Ĺ&#x2122; 2 ČštȚǰȹ¢ȹÂ?¡Â&#x203A;Â&#x2013;Â&#x2019;Â&#x2014;Â&#x2DC;Â&#x153;ČąÂ&#x2019;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;Â&#x2122;Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x2019;Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;Â&#x153;Čąs t Ĺ&#x203A; Ĺ?
4
t, respectivamente. Entonces, sČš
1 2 1
4
Ĺ&#x2122; 2 1 1 2 ȲpȲ ČštȲlȲsČš Ĺ&#x203A; Ĺ? 4 0 2
Resolviendo para la primera columna se tiene y asà que x Ț £ y Ț§
ÂŁČš
Ĺ&#x2122; 2 1 ȲpȲ ČštČą 8 Ĺ&#x203A; Ĺ&#x2122;
Ĺ&#x203A;
2 4z, x
2 2y ČąĹ&#x2122;z
ÇťĹ&#x2014;ÇŻĹ&#x203A;Çź ČąĹ&#x2122;Čą 11z;
Ĺ&#x2122;Čą 11D Ĺ&#x203A; 2
4D Ț§Țǰ D
z
D Â? , Â&#x17D;Â&#x153;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x153;Â&#x2DC;Â&#x2022;Â&#x17E;Â&#x152;Â&#x2019;Ă Â&#x2014;ČąÂ&#x2122;Â&#x160;Â&#x203A;Â&#x160;ČąÂ&#x17D;Â&#x2022;ČąÂ&#x153;Â&#x2019;Â&#x153;Â?Â&#x17D;Â&#x2013;Â&#x160;ȹǝĹ&#x2014;ÇŻĹ&#x2122;ǟǯȹ Â&#x17D;Â&#x153;Â&#x2DC;Â&#x2022;Â&#x;Â&#x2019;Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x2DC;ČąÂ&#x160;Â&#x2018;Â&#x2DC;Â&#x203A;Â&#x160;ČąÂ&#x2122;Â&#x160;Â&#x203A;Â&#x160;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x153;Â&#x17D;Â?Â&#x17E;Â&#x2014;Â?Â&#x160;ČąÂ&#x152;Â&#x2DC;Â&#x2022;Â&#x17E;Â&#x2013;Â&#x2014;Â&#x160;ČąÂ?Â&#x17D;Čą ÇťĹ&#x2014;ÇŻĹ&#x203A;ǟȹÂ&#x2DC;Â&#x2039;Â?Â&#x17D;Â&#x2014;Â&#x17D;Â&#x2013;Â&#x2DC;Â&#x153;ǹȹs
Ĺ&#x2122;
Čš2 4t, r
1 2s ČąĹ&#x2122;t r
2 11t, i. e.,
2 11E
£Ț s Ț§
ÂŁČš Ĺ&#x2122;2 4E Ț§Țǰ
t
E
E Â? , es la soluciĂłn del sistema (1.4).
1.2.5 MĂŠtodo de Gauss-Jordan y sistemas con soluciĂłn Ăşnica DefiniciĂłn 1.13 Una matriz estĂĄ en forma escalonada reducida si:
r r r MĂłdulo 1
EstĂĄ en forma escalonada. Arriba de cada pivote las componentes (si hay) son nulas. Todos los pivotes son unos.
Matrices y sistemas lineales
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Ejemplo 1.21 La matriz: 1 0 ≥ 0 0
0 1 0 0
2 8 0 0
0 0 ¥ 1 0
está en forma escalonada reducida.
Método de Gauss-Jordan Para llevar una matriz a forma escalonada reducida se procede de la manera siguiente:
1. Se lleva la matriz a forma escalonada mediante el método de Gauss. 2. Se hacen ceros todos los elementos arriba de cada pivote utilizando el método de Gauss de abajo hacia arriba.
3. Se convierten en unos todos los pivotes mediante la operación de renglón cambio de escala. Empleando el método de Gauss-Jordan se puede probar el teorema que a continuación enunciamos. Teorema 1.4 ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ę ȱ ȱ ȱ ¢ȱ à ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ escalonada reducida.ş Ejemplo 1.22 Obtener la forma escalonada reducida equivalente a la matriz A por el método de Gauss-Jordan si Řȳ ŗȳŖȳ řȳ 4
A
£ȹ řȳ ŗȳŘȳ Ŗȳ ř ȹ§ȹǯ śȳ ŚȳŖȳ ŗȳ 2
Solución: 2ȳ ŗȳŖȳ řȳ 4
£ȹ řȳ ŗȳŘȳ Ŗȳ ř ȹ§ȳ
(1)
śȳ ŚȳŖȳ ŗȳ 2 (2)
ǻřǼ
(4)
ŘȳȲ ŗȳŖȳȲřȳȲ 4 ȳ£ȹ ŖȳȲ śȳŚȳȲşȳȲ Ŝ ȹ§ Ŗȳ ŗřȳŖȳŗřȳ ŗŜ Řȳ ŗȳȲ ŖȳȲ řȳ 4 ȳ£ȹ Ŗȳ śȳȲ ŚȳȲ şȳ Ŝ ȹ§ Ŗȳ Ŗȳ śŘȳ śŘȳ 2 Řȳ ŗȳȲ ŖȳȲ řȳ 4 ȳ£ȹ Ŗȳ śȳȲ ŚȳȲ şȳ Ŝ ȹ§ Ŗȳ Ŗȳ ŘŜȳ ŘŜȳ 1 ŘȳȲ ŗȳȲ ŖȳȲ řȳȲ 4 ȳ£ȹ Ŗȳ śȳȲ Ŗȳ Ŝśȳ 80ȹ§ ŖȳȲ Ŗȳ ŘŜȳ ŘŜȳȲ 1
şȱ ȱ ȱ ȱ ȱŗǯŘǰȱ ǯȱŘśǯ
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32 ÇťĹ&#x203A;Çź
ÇťĹ&#x153;Çź
ÇťĹ?Çź
Ĺ&#x2DC;ȳȲ Ĺ&#x2014;ȳȲ Ĺ&#x2013;ȳȲ Ĺ&#x2122;ȳȲ 4 ȳ£Ț Ĺ&#x2013;Čł ȳȲ Ĺ&#x2013;Čł Ĺ&#x2014;Ĺ&#x2122;Čł Ĺ&#x2014;Ĺ&#x153;Ț§ Ĺ&#x2013;ȳȲ Ĺ&#x2013;Čł Ĺ&#x2DC;Ĺ&#x153;Čł Ĺ&#x2DC;Ĺ&#x153;ȳȲ 1 Ĺ&#x2DC;Ĺ&#x153;ȳȳȹĹ&#x2013;ȳȲ Ĺ&#x2013;Čł Ĺ&#x2DC;Ĺ&#x153;Čł Ĺ&#x2122;Ĺ&#x153; ȳ£Ț Ĺ&#x2013;Čł ȳȲ Ĺ&#x2013;Čł Ĺ&#x2014;Ĺ&#x2122;Čł Ĺ&#x2014;Ĺ&#x153; Ț§ Ĺ&#x2013;ȳȲ Ĺ&#x2013;Čł Ĺ&#x2DC;Ĺ&#x153;Čł Ĺ&#x2DC;Ĺ&#x153;ȳȲ 1 Ĺ&#x2014;ČłĹ&#x2013;ČłĹ&#x2013;Čł Ĺ&#x2014;ČłĹ&#x2014;Ĺ&#x17E;ČŚĹ&#x2014;Ĺ&#x2122; ȳ£ȚĹ&#x2013;ČłĹ&#x2014;ČłĹ&#x2013;Čł Ĺ&#x2014;ČłĹ&#x2014;Ĺ&#x153;ČŚĹ&#x2014;Ĺ&#x2122; Ț§ Ĺ&#x2013;ČłĹ&#x2013;ČłĹ&#x2014;ȳȲȹĹ&#x2014;ȳȲĹ&#x2014;ČŚĹ&#x2DC;Ĺ&#x153;
Donde, para facilitar su comprensiĂłn, esta vez se han indicado las operaciones de renglĂłn Â&#x17D;Â&#x2014;ČąÂ&#x152;Â&#x160;Â?Â&#x160;ČąÂ&#x2122;Â&#x160;Â&#x153;Â&#x2DC;ČąÂ?Â&#x17D;Â&#x2022;ȹǝĹ&#x2014;ǟȹÂ&#x160;Â&#x2022;ȹǝĹ?ǟǰȹÂ&#x153;Â&#x17D;Ă&#x203A;Â&#x160;Â&#x2022;Â&#x160;Â&#x2014;Â?Â&#x2DC;ČąÂ&#x2022;Â&#x2DC;Â&#x153;ČąÂ&#x2122;Â&#x2019;Â&#x;Â&#x2DC;Â?Â&#x17D;Â&#x153;ČąÂ&#x17D;Â&#x2014;ČąÂ&#x160;ÂŁÂ&#x17E;Â&#x2022;ČąÂ&#x152;Â&#x17E;Â&#x160;Â&#x2014;Â?Â&#x2DC;ČąÂ&#x153;Â&#x17D;ČąÂ&#x2018;Â&#x160;Â&#x152;Â&#x17D;Â&#x2014;ČąÂ&#x152;Â&#x17D;Â&#x203A;Â&#x2DC;Â&#x153;ČąÂ&#x2022;Â&#x2DC;Â&#x153;ČąÂ&#x17D;Â&#x2022;Â&#x17D;mentos por debajo de los mismos y en gris cuando se hacen ceros los elementos por Â&#x17D;Â&#x2014;Â&#x152;Â&#x2019;Â&#x2013;Â&#x160;ČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x2022;Â&#x2DC;Â&#x153;ČąÂ&#x2122;Â&#x2019;Â&#x;Â&#x2DC;Â?Â&#x17D;Â&#x153;ǯȹǝĹ&#x2014;ǟǹȲR2 lČąĹ&#x2122;R1 2R2ǰȲRĹ&#x2122; lČąĹ&#x203A;R1 2RĹ&#x2122;DzȲȹǝĹ&#x2DC;ǟǹȲRĹ&#x2122; l Ĺ&#x2014;Ĺ&#x2122;R2 ČąĹ&#x203A;RĹ&#x2122;; ÇťĹ&#x2122;ǟǹȲRĹ&#x2122; l (1/2)RĹ&#x2122;DzȲȹ ÇťĹ&#x161;ǟǹȲR2 l 2RĹ&#x2122; Čą Ĺ&#x2014;Ĺ&#x2122;R2DzȲȹ ÇťĹ&#x203A;ǟǹȲR2 l (1/Ĺ&#x203A;ÇźR2DzȲȹ ÇťĹ&#x153;ǟǹȲR1 lČą Ĺ&#x2014;Ĺ&#x2122;R1 R2DzȲȹ ÇťĹ?ǟǹȲR1 l ( 1/Ĺ&#x2DC;Ĺ&#x153;ÇźR1ǰȲR2 l ( 1/Ĺ&#x2014;Ĺ&#x2122;ÇźR2ǰȲRĹ&#x2122; l ( 1/Ĺ&#x2DC;Ĺ&#x153;ÇźRĹ&#x2122;.
Sistemas lineales y mĂŠtodo de Gauss-Jordan Los sistemas lineales tambiĂŠn se pueden resolver utilizando el mĂŠtodo de Gauss-Jordan para llevar la matriz ampliada a forma escalonada reducida y realizar sustituciĂłn regresiva, como hacemos patente en el siguiente ejemplo. Ejemplo 1.23 Resolver el siguiente sistema mediante el mĂŠtodo de Gauss-Jordan Ȳȹ¥1 2x2 xĹ&#x2122; Ĺ&#x2122;x4 x1 Ȳ¥2
SoluciĂłn:
1
2x4
2
2x1 Ȳ¥2 xĹ&#x2122; Ĺ&#x203A;x4
1
Llevemos la matriz ampliada a la forma escalonada reducida: 1 Ĺ&#x2DC;Čą Ĺ&#x2014;Čą Ĺ&#x2122; 1 1 Ĺ&#x2DC;Čą Ĺ&#x2014;Čą Ĺ&#x2122; 1 1 0 2ȲpȲ 2Ț§ȳaȳ£Ț0 Ĺ&#x2014;Čą Ĺ&#x2014;Čą Ĺ&#x203A;ȲpȲ 1Ț§ 2 Ĺ&#x2014;Čą Ĺ&#x2014;Čą Ĺ&#x203A; 1 Ĺ&#x2013;Čą Ĺ&#x2122;Čą 1 1 Ĺ&#x2122;
ÂŁČš 1
1 Ĺ&#x2DC;Čą Ĺ&#x2014;Čą Ĺ&#x2122; 1 Čłaȳ£Ț0 Ĺ&#x2014;Čą Ĺ&#x2014;Čą Ĺ&#x203A;ȲpȲ 1Ț§ 0 0 2 14 Ĺ&#x153; 1 Ĺ&#x2DC;Čą Ĺ&#x2014;Čą Ĺ&#x2122; 1 Čłaȳ£Ț0 1 1 Ĺ&#x203A;ȲpȲ 1Ț§ Ĺ&#x2013;Čą Ĺ&#x2013;Čą Ĺ&#x2014;Čą Ĺ? Ĺ&#x2122; 1 2 0 4 4 Čłaȳ£Ț0 1 0 2ȲpȲ 2Ț§ Ĺ&#x2013;Čą Ĺ&#x2013;Čą Ĺ&#x2014;Čą Ĺ? Ĺ&#x2122; 1 0 0 0 0 Čłaȳ£Ț0 1 0 2ȲpȲ2Ț§ Ĺ&#x2013;Čą Ĺ&#x2013;Čą Ĺ&#x2014;Čą Ĺ? Ĺ&#x2122;
MĂłdulo 1
Matrices y sistemas lineales
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Al hacer sustitución regresiva, se tiene xř ȱřȱ ȱŝx4, x2 viene dada por x1 x2 £ȹ x ȹ§ ř x4
2 2x4Ȳ¢Ȳx1
0, luego la solución
0 2 2r £ȹ řȱ ŝr ȹ§ȹDzȳr . r
Sistemas con solución única En este breve apartado, damos criterios para determinar cuándo hay solución única en un sistema utilizando la forma escalonada reducida, los cuales son fáciles de probar uti £ ȱ ȱ ȱŗǯřǯ Sea A ᑧmun: o
1. Caso m > n. Sea Axo b un sistema lineal consistente, entonces las dos condiciones siguientes son equivalentes ((a) (b)): o
(a) ȱ ȱȹAxo b tiene solución única. (b) La forma escalonada reducida equivalente a A consiste de la identidad n u n seguida de m n ę ȱ ǯ o
2. Caso m < nǯȱȹ ȱ ȱ ȱ ȱAxo b es consistente y tiene menos ecuaciones 3.
ȱ à ǯȱ ȱ ȱ ȱ ę ȱ ȱ ǯ o bo tiene solución única para todo o Caso m nǯȱȹAx b si y sólo si A es equivalente a la identidad, es decir, la forma escalonada reducida equivalente a A es In. Nota 1.2 Para determinar que una matriz cuadrada sea equivalente a la identidad, basta comprobar que al llevarla a una forma escalonada toda columna en ésta tenga pivote (claro, que por su definición, este debe ser distinto de cero); ya que entonces, por el método de Gauss-Jordan, su forma escalonada reducida equivalente será la identidad.
1.2.6 Sistemas homogéneos o Definición 1.14 Un sistema lineal con la forma Ax homogéneo.
o o 0 , donde 0
0 0 £ȹ ȹ§ȹǰ se llama 0
o Todo sistema homogéneo es consistente pues o x 0 es solución del mismo; la llamada solución trivial. ȱ ȱ ȱŘȱ¢ȱřǰȱ ȱ ȱ ȱ à ȱø ȱ ȱ ȱ ȱ à ǰȱ cimos el siguiente teorema: Teorema 1.5 Sea A ᑧmun. Entonces: o o 0 n, el sistema homogéneo cuadrado Ax tiene solución no trivial si y sólo si A no es equivalente a la identidad. o o 0 Todo sistema homogéneo Ax con menos ecuaciones que incógnitas (m n) tiene soluciones no triviales.
1. Si m 2.
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o o 0 Observemos que para resolver un sistema homogĂŠneo Ax , no es necesario poner ceros en la Ăşltima columna de la ampliaciĂłn; pues todos los tĂŠrminos independientes son nulos y al hacer las operaciones de renglĂłn no se verĂĄn afectados. AsĂ que bastarĂĄ llevar a forma escalonada la matriz A y hacer sustituciĂłn regresiva recordando que los tĂŠrminos independientes son nulos. Ejemplo 1.24 Para el sistema homogĂŠneo
sČš
x1 x2 xĹ&#x2122;
0
x1 x2 ČąĹ&#x2122;xĹ&#x2122;
0,
1 1 1 1 1 1 ČštȲlȲsČš ČštȲlȲsČš 1 1 Ĺ&#x2122; 0 2 2 0
1 1 ČštČš; 1
1
de aquĂ, x1
ÂŁČš x2 Ț§ xĹ&#x2122;
2r Ț£Ț rȚ§ȚDzȹr � r
1.3 Transformaciones lineales 1.3.1 Conceptos bĂĄsicos o o b Recordemos que las soluciones de un sistema lineal m u n, Ax son n-adas ordenadas de nĂşmeros reales (D1, D2, . . . , Dn) tales que al sustituir xi Di en cada una de las m ecuaciones las convierte en identidades. Al conjunto de n-adas ordenadas de nĂşmeros reales se le denota por el sĂmbolo n (lĂŠase erre eneǟȹǝÂ&#x152;Â?ÇŻČąÂ&#x160;Â&#x2122;Â&#x160;Â&#x203A;Â?Â&#x160;Â?Â&#x2DC;ČąĹ&#x2122;ÇŻĹ&#x2122;ÇŻĹ&#x2014;ǟȹ¢ȹÂ&#x17D;Â&#x153;ČąÂ&#x17D;Â&#x2022;ČąÂ&#x17D;Â&#x153;Â&#x2122;Â&#x160;Â&#x152;Â&#x2019;Â&#x2DC;Čąn dimensional generalizaciĂłn natural del plano cartesiano, 2, y el espacio tridimensional, Ĺ&#x2122;, ilustrados en la Ä&#x2122;Â?Â&#x17E;Â&#x203A;Â&#x160;ČąĹ&#x2014;ÇŻĹ&#x2014;ÇŻČą ČąÂ&#x2022;Â&#x2DC;Â&#x153;ČąÂ&#x17D;Â&#x2022;Â&#x17D;Â&#x2013;Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x2DC;Â&#x153;ČąÂ?Â&#x17D;Čą n les diremos vectores y los representaremos con la notaciĂłn o x y los escribiremos, en forma indistinta, como n-adas ordenadas o como matrices columna dependiendo del contexto. Esto es, si o x (x1, x2, . . . , xn) Â? n, utilizaremos la notaciĂłn: o x Ȳ ÂŁČš
Figura 1.1 El plano cartesiano 2 y el espacio Ĺ&#x2122;. En este Ăşltimo todo punto o (vector) u se localiza mediante una trĂada ordenada (a, b, c); donde las dos primeras componentes (a, b) son la proyecciĂłn vertical de este punto sobre el plano x, y y la tercera, c, es la proyecciĂłn horizontal de este punto sobre el eje z.
MĂłdulo 1
x1 x2 ( xn
Ț§
z
R2 R3 u = (x, y)
y
c u = (a, b, c)
b
y
a
x x
Matrices y sistemas lineales
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cuando se trabaje en un ambiente matricial; por ejemplo, en ecuaciones lineales o en mulÂ?Â&#x2019;Â&#x2122;Â&#x2022;Â&#x2019;Â&#x152;Â&#x160;Â&#x152;Â&#x2019;Ă Â&#x2014;ČąÂ?Â&#x17D;ČąÂ&#x2013;Â&#x160;Â?Â&#x203A;Â&#x2019;Â&#x152;Â&#x17D;Â&#x153;ÇŻČą Â&#x2DC;ČąÂ&#x160;Â&#x2014;Â?Â&#x17D;Â&#x203A;Â&#x2019;Â&#x2DC;Â&#x203A;ČąÂ&#x153;Â&#x2019;Â?Â&#x2014;Â&#x2019;Ä&#x2122;Â&#x152;Â&#x160;ČąÂ&#x161;Â&#x17E;Â&#x17D;ČąÂ&#x2022;Â&#x2DC;Â&#x153;ČąÂ&#x;Â&#x17D;Â&#x152;Â?Â&#x2DC;Â&#x203A;Â&#x17D;Â&#x153;ČąÂ?Â&#x17D;Čą nČąÂ&#x153;Â&#x17D;ČąÂ&#x2019;Â?Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x2019;Ä&#x2122;Â&#x152;Â&#x160;Â&#x2014;ČąÂ&#x17D;Â&#x2014;Čą correspondencia biyectiva con las matrices n u 1; son entes equivalentes representados en forma distinta. Por tanto, en n si o x (x1, x2, . . . , xn) y o y (y1, y2, . . . , yn):
r o x o y Â&#x153; xi yi i 1, 2, . . . , n. o o r x y (x1 y1, x2 y2, . . . , xn yn). r Oxo (Ox1, Ox2, . . . , Oxn) para todo escalar O Â? . Intuitivamente una funciĂłn f con dominio un conjunto A y valores en un conjunto B (contradominio de la funciĂłn), es una regla que a cada elemento x de A le asigna un Ăşnico elemento y fČš(x) de B. Al elemento y que se le asigna a x se le dice el valor de la funciĂłn f en x o la imagen de x bajo la funciĂłn Â?Čš; a x, argumento de la funciĂłn o variable independiente, y a y, variable dependiente. Utilizaremos la notaciĂłn f Čš: A o B para indicar que f es una funciĂłn con dominio A y valores en B. DefiniciĂłn 1.15 Una transformaciĂłn lineal es una funciĂłn T : n o m tal que:
1. TČš(uo vo) TČš(uo) TČš(vo) 2. TČš(Duo) DTČš(uo) o, o para todo par de vectores u v Â? n y para todo escalar D Â? . Las siguientes propiedades de toda transformaciĂłn lineal T : n o m son fĂĄciles de demostrar y su comprobaciĂłn se deja de ejercicio al lector: o) ETČš(v o) 1. TČš(Duo E o v ) DTČš(u 2. TČš( uo) TČš(uo) o o 3. TČš( 0 n) 0 m o, o u v Â? n, D, E Â? . Ejemplo 1.25 Sea A una matriz m u n y TA : m o nČąÂ?Â&#x17D;Ä&#x2122;Â&#x2014;Â&#x2019;Â?Â&#x160;ČąÂ&#x2122;Â&#x2DC;Â&#x203A; x) TA( o
o, Ax
entonces: o o o Ay o. 1. TA(xo o y ) A(x y ) Ax 2. TA(Oxo) A(Oxo) OAxo. Lo cual demuestra que TA es lineal. La funciĂłn lineal del ejemplo precedente, tambiĂŠn llamada funciĂłn matricial, es el prototipo de transformaciĂłn lineal entre los espacios k, porque, como se verĂĄ adelante, toda transformaciĂłn lineal tiene esta forma.
1.3.2 RepresentaciĂłn matricial Si T : n o es una transformaciĂłn lineal y o e i Â? n son los vectores unitarios de n; esto i es, o e i (0, . . . , 0, 1Čš, 0, . . . , 0), i 1, . . . , n, que forman la base canĂłnica de este espacio, y o u (x , . . . , x ) Â? n, entonces 1
n
1.3 Transformaciones lineales Muestra digital ISSUU Š D.R. 2020 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Todos los derechos reservados. No puede ser copiado, escaneado o duplicado, total o parcialmente.10/06/2020
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o) TČš(u
TČš(x1o e 1 ČąČ&#x2030;ČąČ&#x2030;ČąČ&#x2030;Čą xno e n) o e ) x TČš( e ) ČąČ&#x2030;ČąČ&#x2030;ČąČ&#x2030;Čą x TČš( o 1
1
n
n
a1x1 ČąČ&#x2030;ČąČ&#x2030;ČąČ&#x2030;Čą anxn con ai
T Čš( o e Â&#x2019;Čš). Luego T : n o es lineal si y sĂłlo si: TČš(x1, . . . , xn)
a1x1 ČąČ&#x2030;ČąČ&#x2030;ČąČ&#x2030;Čą anxn
para ciertas constantes ai (a saber, por lo expuesto antes, ai ejemplo TČš(x1, x2, xĹ&#x2122;, x4)
T Čš( o e Â&#x2019;Čš), i
1, . . . , n). AsĂ, por
Ĺ&#x2122;x1 4x2 ČąĹ&#x153;xĹ&#x2122; x4
es lineal, mientras que TČš(x, y)
x2 ČąĹ&#x2122;y
no lo es. Notemos ademĂĄs que la matriz: [TČš]
[ T Čš( o e 1ǟȳTČš( o e 2ǟȳČ&#x2030;ČąČ&#x2030;ČąČ&#x2030;ČłTČš( o e n) ]
satisface o) TČš(u
o, [TČš]u
Los resultados precedentes se generalizan fĂĄcilmente a transformaciones T : n o m. Si o) (y , . . . , y ); esto es, T : n o , j 1, . . . , m, Tj son las funciones coordenadas de TČš(u 1 m j o Čš Â&#x17D;Â&#x153;Â?¤Â&#x2014;ČąÂ?Â&#x17D;Ä&#x2122;Â&#x2014;Â&#x2019;Â?Â&#x160;Â&#x153;ČąÂ&#x2122;Â&#x2DC;Â&#x203A;ČąÂ&#x2022;Â&#x160;ČąÂ&#x203A;Â&#x17D;Â&#x2022;Â&#x160;Â&#x152;Â&#x2019;Ă Â&#x2014;ČąTj (u ) yjČš; entonces T es lineal si y sĂłlo si Tj es lineal para todo j. AsĂ, por ejemplo, si: TČš(x, y, z)
(x y zÇ°ČąĹ&#x2122;x 2y z, z),
entonces, ya que T1(x, y, z) x y z, T2(x, y, z) ČąĹ&#x2122;x 2y z y TĹ&#x2122;(x, y, z) z, las tres funciones son de la forma TÂ&#x201C;Čš(x, y, z) aÂ&#x201C;Čšx bÂ&#x201C;Čšy cÂ&#x201C;Čšz; se desprende que T es lineal. Mientras que TČš(x, y)
(x2 y, x y)
no es lineal porque la funciĂłn primera coordenada no es lineal. Sean T : n o m una transformaciĂłn lineal, o e jČš, j 1, 2, . . . , n, los vectores unitarios de la base canĂłnica. Entonces, si [TČš]
Čše ǟȳTČš(o Čš o [ TČš(o 1 Čše 2ǟȳČ&#x2030;ČąČ&#x2030;ČąČ&#x2030;ČłT ( e nǟȹǞȹ
ÇťĹ&#x2014;ÇŻĹ&#x153;Çź
donde TȚǝo e j) son tomados como vectores columna, se tiene o) TȚ(u
o [TČš]u
o Â? n. Por ejemplo, la transformaciĂłn TČš(x, y) para todo u porque cada una de sus coordenadas son lineales:
(2x y, x y, 2x y) es lineal
TȚǝĹ&#x2014;Ç°ČąĹ&#x2013;ǟȳ ȳǝĹ&#x2DC;Ç°ČąĹ&#x2014;Ç°ČąĹ&#x2DC;Çź Ȳ ȚǝĹ&#x2013;Ç°ČąĹ&#x2014;ǟȳ ȳǝƺĹ&#x2014;Ç°ČąĹ&#x2014;Ç°ČąĹ&#x2014;Çź
MĂłdulo 1
Matrices y sistemas lineales
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Modelización matricial cubre las necesidades del aprendizaje basado en la resolución de retos vinculados con problemáticas reales con el objetivo fundamental de asegurar competencias sólidas e integrales en los alumnos. Esta obra fue creada para apoyar a los estudiantes y profesores a lograr los objetivos de la asignatura correspondiente, tanto en contenidos como en metodología. Los temas son tratados con formalidad, rigor matemático y profundidad, a nivel ingeniería. Sin embargo, está diseñado con flexibilidad para que el profesor maneje de acuerdo con su criterio los contenidos, y que el estudiante tenga la oportunidad de seguir estudiando cuando así lo requiera, ya sea en otras materias, en estudios posteriores, e incluso, en su vida profesional. La obra comienza con un capítulo introductorio en el que se tratan temas elementales de matrices a nivel básico, con el objetivo de hacer naturales los tópicos que más adelante se estudiarán con mayor profundidad. Después, se desarrollan estos cuatro módulos: Módulo 1: Matrices y sistemas lineales Módulo 2: Matrices invertibles y determinantes Módulo 3: Sistemas lineales y factorización de matrices Módulo 4: Programación lineal (solución de desigualdades lineales) Para finalizar, se presentan dos apéndices. El Apéndice A es un breve manual sobre Matlab y el apéndice B es un breve curso de la herramienta Solver de Excel para que el estudiante pueda resolver numéricamente problemas de programación lineal.
ISBN-13: 978-607-526-947-4 ISBN-10: 607-526-947-9
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