Matemáticas IV

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Matemáticas IV Álgebra

Richard N. Aufmann Joanne S. Lockwood Reg. 403 VitalSource © D.R. 2021 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS. 21.05.2020

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Matemáticas IV Álgebra

Richard N. Aufmann

Joanne S. Lockwood

Palomar College

Nashua Community College

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Matemáticas IV Álgebra

Richard N. Aufmann

Joanne S. Lockwood

Palomar College

Nashua Community College

Joel Ibarra Escutia Tecnológico Nacional de México, campus Toluca Traducción Lorena Peralta Rosales Sergio Antonio Durán Reyes Revisión técnica Ignacio García Juárez Vinicio Pérez Fonseca Academia de Matemáticas ECEE, Universidad Panamericana

José Juan Rey Meneses Escuela Nacional Preparatoria, plantel 1, Gabino Barreda. UNAM.

Nora Cecilia Chávez Pérez Escuela Nacional Preparatoria, plantel 4, Vidal Castañeda y Nájera. UNAM.

Judith Eugenia Barreiro Díaz Escuela Nacional Preparatoria, plantel 2, Erasmo Castellanos Quinto. UNAM.

Ernesto Ramírez Sánchez Escuela Nacional Preparatoria, plantel 9, Pedro de Alba. UNAM.

Norma Ramírez Sánchez Escuela Nacional Preparatoria, plantel 9, Pedro de Alba. UNAM.

Australia • Brasil • Estados Unidos • México • Reino Unido • Singapur

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Matemåticas IV à lgebra Primera edición Richard N. Aufmann Joanne S. Lockwood Director Higher Education LatinoamÊrica: Renzo Casapía Valencia Gerente editorial LatinoamÊrica: -HVŸV 0DUHV &KDF¾Q Editora: Abril Vega Orozco Coordinador de manufactura: Rafael PÊrez Gonzålez Diseùo de portada: Anneli Daniela Torres Arroyo Imagen de portada: ŠeamesBot/Shutterstock &RPSRVLFL¾Q WLSRJU£ȴFD Ediciones OVA

Š D.R. 2021 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compaùía de Cengage Learning, Inc. &DUUHWHUD 0[LFR 7ROXFD QŸP RȴFLQD � &RO (O <DTXL 'HO &XDMLPDOSD & 3 Ciudad de MÊxico.

Cengage LearningÂŽ es una marca registrada usada bajo permiso.

DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podrĂĄ ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea JUÂŁČ´FR HOHFWUÂľQLFR R PHFÂŁQLFR LQFOX\HQGR pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, UHSURGXFFLÂľQ HVFDQHR GLJLWDOL]DFLÂľQ JUDEDFLÂľQ HQ DXGLR GLVWULEXFLÂľQ HQ LQWHUQHW GLVWULEXFLÂľQ HQ UHGHV GH LQIRUPDFLÂľQ R DOPDFHQDPLHQWR \ UHFRSLODFLÂľQ HQ VLVWHPDV GH LQIRUPDFLÂľQ D H[FHSFLÂľQ GH OR SHUPLWLGR en el CapĂ­tulo III, ArtĂ­culo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial.

Traducido y adaptado del libro Intermediate Algebra, Eight Edition.

Richard N. Aufmann and Joanne S. Lockwood.� Publicado en inglÊs por Brooks/Cole, XQD FRPSD³¯D GH &HQJDJH /HDUQLQJ k ISBN: 978-111-57949-4 'DWRV SDUD FDWDORJDFL¾Q ELEOLRJU£ȴFD Aufmann, Richard N. y Joanne S. Lockwood.� Matemåticas IV. à lgebra.

3ULPHUD HGLFLÂľQ ISBN: 978-607-526-957-5 Visite nuestro sitio en: http://latinoamerica.cengage.com

Publicado en MĂŠxico 1 2 3 4 5 6 23 22 21 20

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Contenido

v

Contenido Presentación

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Conoce tu libro

x

Acerca de los autores Unidad 1 1.1

1.2

1.3

1.4

Los números reales para contar, comparar y medir

xii 2

Subconjuntos de los números reales

4

Subconjuntos de R

4

Medidas de tendencia central

5

La media (promedio) de un conjunto de valores

6

La mediana de un conjunto de valores

7

La moda de un conjunto de valores

9

Razones y proporciones

11

Proporciones

11

Problemas de proporciones

12

Leyes de los exponentes

18

Multiplicación de monomios

18

División de monomios y simplificación de expresiones con exponentes negativos

21

Notación científica

25

Expresiones con exponentes racionales

26

Expresiones racionales y los radicales

28

Simplificación de expresiones radicales que son raíces de potencias perfectas

29

Representación gráfica de algunos conjuntos de números reales

34

La recta numérica

34

Notación de intervalos y operaciones con conjuntos

36

El sistema de coordenadas rectangulares

41

Representación de datos numéricos mediante gráficas estadísticas

41

Gráficas circulares

43

Gráficas de barras

43

Histogramas

44

1.5

Modelación de situaciones utilizando números reales

47

1.6

Operaciones con los números reales

49

Operaciones con números enteros

49

Jerarquía de las operaciones

54

Operaciones con números racionales

55

Orden de las operaciones y fracciones complejas

59

Representación decimal de los números reales

64

1.7

¡PREPÁRATE PARA TUS EXÁMENES!

67

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Matemáticas IV. Álgebra

Unidad 2 Expresiones algebraicas para describir y generalizar

70

2.1

Expresiones algebraicas para describir problemas reales

72

2.2

Expresiones algebraicas

77

2.3

2.4

2.5

2.6

Expresiones algebraicas polinomiales

77

Simplificar expresiones algebraicas

78

Propiedades de los números reales para operar expresiones numéricas y algebraicas

80

Propiedades de los números reales

80

Expresiones verbales y expresiones algebraicas

83

Convertir una expresión verbal en una expresión algebraica

83

Problemas de aplicación

85

Operaciones con expresiones algebraicas y polinomiales

88

Adición y sustracción de polinomios

88

Multiplicación de polinomios

91

Problemas de aplicación

94

División de polinomios

97

División sintética

100

Evaluación de un polinomio utilizando la división sintética

102

Productos notables

103

Factorización

109

Factorización por agrupamiento de términos

110

Factorización de trinomios de la forma x2 1 bx 1 c

112

Factorización de trinomios de la forma ax2 1 bx 1 c

114

Factorización de la diferencia de dos cuadrados perfectos y de trinomios cuadrados perfectos

119

Factorización de la suma o la diferencia de dos cubos

121

Factorización completa

123

Expresiones con radicales

125

Simplificación de sumas y restas de expresiones con radicales

127

Simplificación de productos de expresiones con radicales

128

Simplificación de expresiones racionales con radicales

129

Simplificación de expresiones algebraicas y operaciones con expresiones algebraicas

135

Multiplicación y división de expresiones racionales

136

Suma y resta de expresiones racionales

139

Simplificación de fracciones complejas

143

Modelación de situaciones utilizando expresiones algebraicas

147

Solución de ecuaciones por factorización

147

Modelación de situaciones en contexto

150

¡PREPÁRATE PARA TUS EXÁMENES!

153

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Presentación

Unidad 3

Ecuaciones de primer y segundo grado para modelar condiciones específicas en una función

158

3.1

Introducción a las funciones

160

3.2

Igualdad, ecuación e identidad

168

Propiedades de la igualdad

169

3.3

Funciones y ecuaciones

170

3.4

Ecuaciones de primer grado

175

Resolver ecuaciones utilizando las propiedades de la suma y la multiplicación de ecuaciones

175

Resolver ecuaciones que contienen paréntesis

178

Ecuaciones cuadráticas

181

Resolver ecuaciones cuadráticas por el método de factorización

181

Resolver ecuaciones cuadráticas utilizando raíces

183

Los números complejos

184

Suma y resta de números complejos

186

Multiplicación de números complejos

187

División de números complejos

188

Aplicación de las propiedades de la igualdad. Completación del cuadrado

193

Resolver ecuaciones cuadráticas por el método de completar el cuadrado

193

Ecuaciones literales

197

Resolver ecuaciones literales

197

Aplicaciones de las ecuaciones lineales y cuadráticas

199

3.5

3.6

3.7 3.8

3.9

Problemas de aplicación de las ecuaciones lineales

199

Problemas de aplicación de las ecuaciones cuadráticas

200

Ecuaciones cuadráticas que tienen soluciones reales y complejas. La fórmula general y el discriminante

208

Resolver ecuaciones cuadráticas mediante la fórmula general o cuadrática y uso del discriminante

208

¡PREPÁRATE PARA TUS EXÁMENES!

Unidad 4

4.1

4.2

Sistemas de ecuaciones para modelar condiciones simultáneas

vii

213

216

Ecuación lineal en dos variables

218

Graficar una ecuación de la forma Ax 1 By 5 C

218

Problemas de aplicación

223

Pendiente de una recta

226

Determinar la pendiente de una recta dados dos puntos

226

Graficar una recta dados un punto y la pendiente

229

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Matemáticas IV. Álgebra

4.3

4.4

4.5

4.6

4.7

Solución de sistemas de ecuaciones lineales

234

Resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método gráfico

234

Resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método de sustitución

238

Modelacion de situaciones que involucran un sistema de ecuaciones lineales

240

Problemas de velocidad del viento y velocidad de la corriente

240

Solución de sistemas de ecuaciones lineales por el método de suma y resta

243

Resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables por el método de suma y resta

243

Solución de un sistema de ecuaciones lineales con tres variables

247

Resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables por el método de suma y resta

247

Problemas de aplicación de los sistemas de ecuaciones lineales e interpretación de los resultados

251

¡PREPÁRATE PARA TUS EXÁMENES!

Unidad 5 5.1

5.2

5.3 5.4 5.5

Inecuaciones para modelar restricciones

Desigualdades con una variable

257

260 262

Resolver desigualdades con una variable

262

Desigualdades compuestas. Soluciones en forma de intervalos

265

Ecuaciones y desigualdades con valor absoluto

268

Ecuaciones con valor absoluto

268

Desigualdades con valor absoluto

269

Desigualdades con dos variables

271

Graficar el conjunto solución de una desigualdad con dos variables

271

Solución de sistemas de desigualdades lineales

274

Graficar el conjunto solución de un sistema de desigualdades lineales

274

Planteamiento y resolución de desigualdades. Interpretación de soluciones

277

Problemas de aplicación

277

¡PREPÁRATE PARA TUS EXÁMENES!

282

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Presentación

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Presentación Una sociedad en constante cambio como la nuestra, llena de retos y demandas exige que los alumnos de bachillerato desarrollen competencias, habilidades, actitudes y conocimientos que les permitan vivir y convivir de manera positiva y responsable. Los estudiantes pueden adquirir este cúmulo de saberes por sí mismos, pero también bajo la guía de sus profesores, su familia y el círculo social que los rodea.

Considerando lo anterior, Cengage ha diseñado esta serie de libros de texto con el objetivo de cubrir las necesidades de los planes y programas de la Escuela Nacional Preparatoria (ENP), la cual forma parte del sistema de bachillerato de la Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM).

Los contenidos de la serie han sido concebidos y dirigidos cuidadosamente con la guía de expertos en la materia y con base en los programas oficiales de estudio para proporcionar elementos cognoscitivos, metodológicos y afectivos que le permitan al estudiante profundizar en la comprensión de su medio natural y social, desarrollar su personalidad, definir su participación crítica y constructiva en la sociedad en que se desenvuelve, así como a introducirse en el análisis de problemáticas relacionadas con las diferentes disciplinas científicas y tecnológicas, siempre con la perspectiva de incorporarse con éxito a los estudios superiores.

Algunas de las cualidades distintivas del modelo educativo de la ENP que se han manifiestado en los libros de esta serie son:

• La enseñanza está centrada en el alumno.

• El aprendizaje es sistemático, explícito y práctico de manera que los alumnos contruyen su propio conocimiento, desarrollan competencias para la identificación, el planteamiento, la resolución de problemas y la interpretación de resultados.

• Los contenidos se presentan de manera progresiva y organizada para que el alumno pueda darles sentido y significación.

• La complejidad de las actividades va en aumento unidad tras unidad. Además, permiten la reflexión y síntesis individual y colectiva.

• La evaluación está basada en la construcción de productos de aprendizaje para integrar la teoría con la práctica y así conseguir un aprendizaje significativo.

De manera particular, el libro de Matemáticas IV. Álgebra dirigido para alumnos de cuarto año de bachillerato se concibió tomando como base el objetivo general del programa en su formato de modalidad presencial, que es: El alumno aplicará los principios, técnicas, códigos y formas básicas del lenguaje matemático para construir o usar modelos (aritméticos, algebraicos y geométricos). Comprenderá que los modelos matemáticos permiten representar problemas del entorno físico y socio económico, para delimitarlos, simbolizarlos, analizarlos y cuantificarlos, apoyados en el uso de herramientas tecnológicas, y así analizar problemas significativos de su entorno para evaluar posibles soluciones, tomar decisiones y argumentarlas. De esta manera, al elaborar la representación matemática de una situación real, realizará procesos de abstracción y generalización, que le permitan valorar el potencial de las matemáticas en su formación como ciudadano crítico y consciente de su entorno, y en su preparación académica para la realización de estudios superiores.

Los contenidos de la obra están divididos en cinco unidades, que son: Unidad 1. Los números reales para contar, comparar y medir.

Unidad 2. Expresiones algebraicas para describir y generalizar.

Unidad 3. Ecuaciones de primer y segundo grado para modelar condiciones específicas en una función.

Unidad 4. Sistemas de ecuaciones para modelar condiciones simultáneas.

Unidad 5. Inecuaciones para modelar restricciones.

La parte medular de este texto son los distintos tipos de ejercicios en los que el estudiante se introduce en el análisis y la exploración, además de que aprende a visualizar las matemáticas en su cotidianidad a través de ejercicios contextualizados. Matemáticas IV. Álgebra prepara al estudiante en la utilización de la información para responder preguntas y resolver problemas del mundo real.

Esperamos que esta obra sea una guía para los estudiantes que, además de impulsar la perspectiva de seguir con una carrera profesional, los prepare para la vida, la cual es congruente con el perfil de egreso de la Escuela Nacional Preparatoria de la Universidad Nacional Autónoma de México.

Cengage Learning

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MatemĂĄticas IV. Ă lgebra

CONOCE TU LIBRO UNIDAD

1

MatemĂĄticas IV. Ă lgebra contiene una amplia variedad de ejercicios que promueven el desarrollo y la retenciĂłn de habilidades, el desarrollo de conceptos, el pensamiento crĂ­tico y la soluciĂłn de problemas.

Hay venta todos los dĂ­as de la semana, de manera que se dividirĂĄ la suma de las ventas de la segunda columna de ingresos entre 7 dĂ­as de ventas, de esta manera 8 050 7 820 8 250 7 000 9 250 9 500 12 000 x5 7 61 870 | 8 838.57 5 7 La media de las ventas diarias de la semana en el departamento de damas es de 8 838.57 pesos.

â&#x17E;Ą Intente resolver el ejercicio 28.

EJEMPLO 2

Distancia recorrida

Durante el mes de febrero de 2019 un automĂłvil registrĂł un total de 8 320 kilĂłmetros recorridos. ÂżCuĂĄntos kilĂłmetros se recorrieron en promedio al dĂ­a?

SoluciĂłn

El nĂşmero promedio de kilĂłmetros recorridos por dĂ­a se calcula dividiendo el total de kilĂłmetros recorridos durante todo el mes entre 28 dĂ­as, es decir, 8 320 x5 28 5 297.14

Š Paul S. Wolf / Shutterstock

7

Los ejemplos resueltos estĂĄn diseĂąados para involucrar activamente al estudiante en el proceso de aprendizaje. Se presentan comentarios concretos que permiten hacer fĂĄcilmente una referencia a los pasos realizados para comprender el proceso de soluciĂłn.

En promedio, el automĂłvil recorriĂł 297.14 kilĂłmetros al dĂ­a.

â&#x17E;Ą Intente resolver el ejercicio 32.

La mediana de un conjunto de valores Cuando en un conjunto de datos existen valores muy altos o muy bajos en comparaciĂłn con el resto de ellos, la media resulta ser poco adecuada para describir al conjunto dado. ImagĂ­nese una situaciĂłn de cinco personas que ganan un salario de 450, 600, 550, 400 y 3 500 pesos por semana, respectivamente. Decir que todos ellos ganan en promedio (450 + 600 1 550 1 400 1 3 500)/5 5 1 100 pesos a la semana no representa una cantidad del todo justa para los primeros cuatro salarios. Una mejor opciĂłn de describir el salario de los trabajadores es considerar la mediana, que consiste en determinar la cantidad que esta al centro de los datos una vez que han sido ordenados de menor a mayor. De esta manera al considerar el siguiente arreglo Menor dato 400 450 550 600 3 500 Mayor dato Dato central

Los recuadros de deďŹ niciones y conceptos contienen en su mayorĂ­a ejemplos para ilustrar el modo en que se aplican en la prĂĄctica.

1.3

con exponentes con la misma base, se escribe cada expresiĂłn en forma factorizada y el resultado se escribe con un exponente.

Los iconos de Intente resolver el ejercicio â&#x17E;Ą se utilizan para vincular los ejercicios con los ejemplos de la secciĂłn.

Considere que si suma los exponentes, obtiene el mismo producto.

19

x3 # x4 5 1x # x # x2 # 1x # x # x # x2 7 factores 5 x7 x3 # x4 5 x314 5 x7

Ley para multiplicar expresiones con exponentes

Si m y n son nĂşmeros enteros, entonces xm # xn 5 xm1n.

EJEMPLOS

1. x5 # x3 5 x5 1 3 5 x8 2. a # a 4 5 a 114

5 a5

â&#x20AC;˘ Recuerde que a 5 a1.

3. z2 # z4 # z 5 5 z21415 5 z11 4. 1v4r32 1v2r2 5 v412r311

Decir que un trabajador normalmente gana un salario de 550 pesos por semana es mĂĄs veraz que decir que en promedio se gana 1 100 pesos.

Leyes de los exponentes

La expresiĂłn 5!x no es un monomio, porque !x no puede escribirse como un producto de variables. La expresiĂłn x no es un monomio porque es un cociente de variables.

La expresiĂłn x4 es una expresiĂłn con exponente. El exponente, 4, indica el nĂşmero de veces que la base, x, se presenta como factor.

3 factores 4 factores Para simpliďŹ car el producto de expresiones

H

SoluciĂłn

1.1 Subconjuntos de los nĂşmeros reales Subconjuntos de R Medidas de tendencia central La media (promedio) de un conjunto de valores La mediana de un conjunto de valores La moda de un conjunto de valores 1.2 Razones y proporciones Proporciones Problemas de proporciones 1.3 Leyes de los exponentes MultiplicaciĂłn de monomios DivisiĂłn de monomios y simpliďŹ caciĂłn de expresiones con exponentes negativos NotaciĂłn cientĂ­ďŹ ca Expresiones con exponentes racionales Expresiones racionales y los radicales SimpliďŹ caciĂłn de expresiones radicales que son raĂ­ces de potencias perfectas 1.4 RepresentaciĂłn grĂĄďŹ ca de algunos conjuntos de nĂşmeros reales La recta numĂŠrica NotaciĂłn de intervalos y operaciones con conjuntos El sistema de coordenadas rectangulares RepresentaciĂłn de datos numĂŠricos mediante grĂĄďŹ cas estadĂ­sticas GrĂĄďŹ cas circulares GrĂĄďŹ cas de barras Histogramas 1.5 ModelaciĂłn de situaciones utilizando nĂşmeros reales 1.6 Operaciones con los nĂşmeros reales Operaciones con nĂşmeros enteros JerarquĂ­a de las operaciones Operaciones con nĂşmeros racionales Orden de las operaciones y fracciones complejas 1.7 RepresentaciĂłn decimal de los nĂşmeros reales

H

Subconjuntos de los nĂşmeros reales

Contenido

6

1.1

Calcule la media de las ventas diarias en el departamento de damas para la semana de lunes a domingo.

Los nĂşmeros reales para contar, comparar y medir

â&#x20AC;˘ Sume los exponentes de bases semejantes. .

5 v6r4

ConcĂŠntrese en simpliďŹ car el producto de expresiones con exponentes

SimpliďŹ que: 124x5y2 123x2y32 18

Los recordatorios en Intente resolver el ejercicio se proporcionan al ďŹ nal de cada ejemplo y reďŹ eren a un ejercicio similar al ďŹ nal de la secciĂłn. Al seguir los recordatorios pueden aplicarse de inmediato las tĂŠcnicas presentadas en la secciĂłn de ejemplos resueltos en los ejercicios de las tareas escolares.

Unidad 1

Los nĂşmeros reales para contar, comparar y medir

Utilice las propiedades conmutativa y asociativa para reordenar y agrupar factores.

22. FĂ­sica La distancia (d) que se estira un resorte varĂ­a directamente respecto a la fuerza ( f ) que se le aplica. Si

se requiere de una fuerza de 5 libras para alargar el resorte 2 pulgadas, ÂżquĂŠ fuerza se necesita para alargarlo 5 pulgadas?

23. Ă&#x201C;ptica La distancia (d) que una persona puede avistar hacia el horizonte des-

de un punto sobre la superďŹ cie de la Tierra varĂ­a directamente respecto a la raĂ­z cuadrada de la altura (H). Si desde una altura de 500 pies el horizonte se avista hasta 19 millas, Âża quĂŠ distancia se avistarĂĄ en el horizonte desde un punto a 800 pies de altura? Redondee a la centĂŠsima mĂĄs cercana.

5 pulg

5 12x512y113 5 12x7y4

EJEMPLO 1

5 lb

SimpliďŹ que: 122a3b2c2 14a4c7 2 SoluciĂłn x lb

25. QuĂ­mica A temperatura constante, la presiĂłn (P) del gas varĂ­a inversamente

respecto al volumen (V). Si la presiĂłn es de 25 lb/pulg2 cuando el volumen es de 400 pies3, calcule la presiĂłn cuando el volumen es de 150 pies3.

122a 3b 2c2 14a 4c 72 5 122 # 42 a 314b 2c 117 â&#x20AC;˘ Multiplique los coeficientes.

Multiplique las variables con 5 28a 7b 2c 8 bases semejantes sumando los exponentes.

â&#x17E;Ą Intente resolver el ejercicio 5.

â&#x17E;Ą 26. IngenierĂ­a mecĂĄnica La velocidad (v) de un engrane varĂ­a inversamente respecto al nĂşmero de dientes (t). Si un engrane que tiene 48 dientes realiza 20 revoluciones por minuto, ÂżcuĂĄntas revoluciones por minuto realizarĂĄ un engrane de 30 dientes?

27. Magnetismo La fuerza de repulsiĂłn ( f ) entre los polos positivos de dos ima-

nes es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia (d) que los separa.

Si la fuerza de repulsiĂłn es de 18 libras cuando la distancia es de 3 pulgadas, calcule la fuerza de repulsiĂłn cuando la distancia es 1.2 pulgadas.

28. Electricidad La resistencia (R) de un cable varĂ­a directamente respecto a su

longitud (L) e inversamente respecto al cuadrado de su diĂĄmetro (d). Si la resistencia es de 9 ohms en un cable de 50 pies con un diĂĄmetro de 0.05 pulgadas, calcule la resistencia en un cable similar de 50 pies de largo con un diĂĄmetro de 0.02 pulgadas.

â&#x17E;Ą 29. Veleo La fuerza del viento (w) sobre una superďŹ cie vertical varĂ­a de manera conjunta respecto al ĂĄrea (A) de dicha superďŹ cie y al cuadrado de la velocidad del viento (v). Cuando el viento sopla a 30 mph, la fuerza sobre un ĂĄrea de 10 pies2 es de 45 libras. Calcule la fuerza sobre esta ĂĄrea cuando el viento sopla a 60 mph.

Los recuadros Punto de interĂŠs que se relacionan con el tema de estudio pueden ser de naturaleza histĂłrica o de interĂŠs general.

124x5y2 123x2y32 5 3 1242 1232 4 1x5 # x22 1y # y32

2 pulg

24. FĂ­sica La distancia ( s ) que una pelota rueda hacia abajo de un plano inclina-

do es directamente proporcional al cuadrado del tiempo (t). Si la pelota rueda 5 pies en 1 segundo, ÂżcuĂĄnto rodarĂĄ en 4 segundos?

Multiplique los coeďŹ cientes. Para multiplicar las variables con bases semejantes, sume los exponentes.

1.3 Punto de interĂŠs Alrededor del aĂąo 250 d.C., el monomio 3x2 que aparece a la derecha se habrĂ­a escrito Dy3, o por lo menos algo parecido.

En el aĂąo 250 d.C., el sĂ­mbolo del nĂşmero 3 no era el que utilizamos en la actualidad.

Leyes de los exponentes

MultiplicaciĂłn de monomios Un monomio es un nĂşmero, una variable o un producto de nĂşmeros y variables. x Los ejemplos que se presentan a la derecha son grado 1 ( x 5 x1) 3x 2 monomios. El grado de un monomio es la suma grado 2 4x 2y de los exponentes de las variables. grado 3 6x 3y4z 2 grado 9 xn El grado de un tĂŠrmino constante diferente de 6 grado n cero es cero. grado 0

Los recuadros ConcĂŠntrese alertan sobre el tipo especĂ­ďŹ co de problema que se debe dominar con el ďŹ n de tener ĂŠxito con los ejercicios en las tareas o durante un examen. Cada uno de estos problemas va acompaĂąado de explicaciones detalladas de la soluciĂłn.

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5/21

xixi

Conoce tu libro Presentación

2.6

Al resolver los ejercicios mejorarán las habilidades de comunicación, al tiempo que se incrementa la comprensión de los conceptos matemáticos.

Los ejercicios Piense en ello promueven la comprensión conceptual. Resolverlos profundizará su comprensión del concepto en estudio.

1.2

ritmo, ¿cuántas millas necesitaría recorrer una persona para perder 1 libra? (La quema de 3 500 calorías equivale a la pérdida de 1 libra.) Redondee a la centésima más cercana.

13. Ciencias de la salud Para tratar a un adulto de 120 libras, se requieren tres

cuartos de onza de un medicamento. Con la misma relación, ¿cuántas onzas de medicamento adicionales se requieren para tratar a un adulto de 200 libras?

➡ 14. Ciencias ambientales Se mezclan 6 onzas de insecticida con 15 galones de agua para preparar el líquido que se rociará en una plantación de naranjas. A esa misma relación, ¿cuánto insecticida se necesita para mezclarlo con 100 galones de agua?

15 Velocidades de Internet Una conexión inalámbrica a Internet descargará un

archivo de 4 megabytes en 2 segundos. Con esta relación, ¿cuántos segundos le tomará descargar un archivo de 5 megabytes?

16. Artes gráficas La imagen de una ballena que

17

Tiempos de reacción, grande y pequeño Un estudio sobre los tiempos de reacción realizados en elefantes y musarañas muestra que, a través del reino animal, desde las criaturas grandes hasta las pequeñas, los mensajes nerviosos viajan desde y hacia el cerebro a la misma velocidad. Los científicos descubrieron que un elefante reaccionaba a un toque en su pata trasera en 100 milisegundos, mientras que la musaraña sólo necesitó de 1 milisegundo para reaccionar a un toque similar.

Fuente: smithsonianmag.com

¿Qué es una proporción inversa?

18.

Una pelota cuya circunferencia es de 30 cm pesa 250 gramos. Una pelota de 800 gramos, elaborada con el mismo material, tiene una circunferencia de 96 cm. La relación entre la circunferencia y el peso de la pelota hecha del mismo material ¿es una proporción directa o una proporción inversa?

➡ 19. Negocios Las utilidades (P) que obtiene una empresa varían directamente respecto al número de productos que vende (s). Si una empresa obtiene utilidades por $2 500 de la venta de 20 productos, ¿cuál será la utilidad cuando la empresa venda 300 productos?

20.

Derrame petrolero Lea el artículo de la derecha sobre el derrame petrolero del Deepwater Horizon en 2010. Si el pozo derramó petróleo a la misma velocidad durante todo el tiempo del derrame, entonces la cantidad total de petróleo derramado sería directamente proporcional al número de días que se estuvo derramando el petróleo. Utilizando los datos del artículo, calcule cuántos barriles de petróleo se derramaron durante los 86 días del accidente. Redondee a la décima de millón más cercana.

21.

Arte Leonardo da Vinci observó que el largo de la cara de una persona varía directamente respecto al largo de su mentón. Si una persona cuya cara mide 9 pulgadas tiene un mentón de 1.5 pulgadas, ¿cuál será el largo de la cara de una persona cuyo mentón mide 1.7 pulgadas?

Derrame petrolero finalmente taponado El 16 de junio, con 56 días de derrame petrolero, las estimaciones gubernamentales de la cantidad de petróleo derramado en el Golfo de México alcanzaron 3.1 millones de barriles. Un mes después, el pozo ha sido taponado con éxito y, finalmente, después de 86 días, ya no se derrama petróleo en las aguas marinas.

Unidad 5

1.3

Tome nota Suponga que 1292 2 5 x. Entonces, por la definición de 1 a n, x2 5 29 Sin embargo, el cuadrado de todo número real no puede 1 ser negativo.

Por tanto, 1292 2 no es un número real.

1

1. 4x 1 3 # 21

6. 7 2 2x $ 1

2. 6x 1 3 , 4x 2 1

7. 3 2 5x # 18

3. 7x 1 4 . 2x 2 6

8. 4x 2 2 . x 2 11

4. 8x 1 1 $ 2x 1 13

9. 6x 1 5 $ x 2 10

Resuelva. Escriba en notación de intervalos el conjunto solución.

10. 6 2 21x 2 42 # 2x 1 20 11. 212x 2 12 , 3x 2 213x 2 52

1

12. 211 2 3x2 2 4 , 10 1 311 2 x2

a n 5 1a n 2 m m

1

13. 2 2 51x 1 12 $ 31x 2 12 2 8

EJEMPLO 10 2

13. y13y 2 22 5 8

3 2 20. 3x 1 2x 2 48x 2 32 5 0

2 7. x 2 9x 5 0

14. 3a 2 4a 5 20 2 15a

3 2 21. 9x 2 9x 2 25x 1 25 5 0

2

Encuentre los valores de c en el dominio de f para los cuales f (c) es el valor indicado.

23. f 1x2 5 2x2 2 x 2 5; f 1c2 5 24 ➡ 22. f 1x2 5 x2 2 3x 1 3; f 1c2 5 1 2 ➡ 26. f 1x2 5 2x 2 5x 1 3

28. f 1x2 5 2x2 2 3x 2 1

29. Geometría El número de posibles diagonales D en un polígono con n lados está

dado por D 5

n(n 2 3) 2

2w + 5

Encuentre los lados de un polígono con 54 diagonales.

30. Geometría El largo de un rectángulo es 5 pulg más del doble que el ancho. El

área mide 168 pulg2. Calcule el ancho y el largo del rectángulo.

Editorial Lee el artículo que aparece a la derecha. Si el largo del lector electrónico rectangular mide 5 cm menos que el doble del ancho, calcule el largo y el ancho del lector electrónico.

32. Geometría El ancho de un rectángulo mide 5 pies menos que el largo. El área

del rectángulo es de 300 pies2. Calcule el largo y el ancho del rectángulo.

33. Geometría El largo de la base de un triángulo es el triple de la altura. El área

del triángulo es de 24 cm2. Calcule su base y su altura.

34. Geometría La altura de un triángulo mide 4 cm más del doble del largo de la

w

En las noticias Lector electrónico de bolsillo Sony ha lanzado al mercado un pequeño lector electrónico que verdaderamente podría caber en el bolsillo, ya que es un rectángulo que mide sólo 150 cm2.

Fuente: dailyator.com

base. El área del triángulo es de 35 cm2. Calcule su altura.

6 cm

35. Geometría El largo de un rectángulo mide 6 cm, y el ancho 3 cm. Si tanto

el largo como el ancho aumentan cantidades iguales, el área del rectángulo aumentará 70 cm2. Calcule el largo y el ancho del rectángulo mayor.

3 cm

.

A. 27 5 13 2

2 3 3

• Reescriba 27 como 33.

2 31 3 2

53

• Utilice la ley para simplificar potencias de expresiones con exponentes. .

5 32 59

B. 3225 5 1252 25 5 222 2

2

1 22 1 4

Tome nota

EJEMPLO 11

1

Observe que 3225 5 4, un número positivo. Un exponente negativo no afecta el signo de un número.

Simplifique: A. b # b # b

B. 1264x y 2

3 4 6 22 3

1 2 1 1 2 1 A. b 2 # b 3 # b 24 5 b 2 1 3 2 4 6 8 3 5 b 12 1 12 2 12 11 5 b 12

33. 9 2 x $ 7 y 9 2 2x , 3

1 x . 22 y 5x , 10 2 2 x . 4 o 2x , 28 3 22. 3x , 29 y x 2 2 , 2 20.

45. 0 4 2 3x 0 5 4

38. 0 4a 0 5 28

47. 0 x 2 2 0 2 2 5 3

42. 0 y 2 8 0 5 4

43. 0 a 1 7 0 5 0

44. 0 x 1 8 0 5 22

78.

75. y . x 2 4

79.

76. y . 3x 2 3

Resuelva.

36. 0 a 0 5 2

41. 0 x 1 5 0 5 2

73. 2x 1 5y $ 10

74. y # x 2 3

y , 2x 1 4

Ecuaciones con valor absoluto

40. 0 28t 0 5 16

72. 2x 2 5y # 10

y # 2x 1 4

2 x21#3 3

39. 0 6z 0 5 3

71. x 1 3y . 4

Grafique el conjunto solución.

5 3 x 1 2 , 23 o 22 x , 27 8 5

7 3 2 1 x2 , x1 12 2 3 6

4 70. y . 2 x 1 3 3

Gráfica del conjunto de solución de un sistema de desigualdades lineales

32. 6x 1 5 , 21 o 1 2 2x , 7

17.

4 x22 5

3 68. y . x 2 3 5

31. 1 2 3x , 16 y 1 2 3x . 216

37. 0 2a 0 5 7

81.

3 2 y$x23

82.

77. y # 2 x 1 2

48. 0 3a 1 2 0 2 4 5 4

Problemas de aplicación

49. 0 2x 2 3 0 1 3 5 3

50. 0 6x 2 5 0 2 2 5 4 51. 0 3t 1 2 0 1 3 5 4

52. 5 2 0 2x 1 1 0 5 5

80.

y$2x12

46. 0 2x 2 3 0 5 0

2x 1 y $ 22 6x 1 2y # 6 x1y$5 3x 1 y # 6 3x 2 2y , 6 y#4 x#4 3x 1 2y . 4 y, x26 x1y.0

283

Encuentre el rango de puntuaciones en el quinto examen que permitirá que el estudiante obtenga una A de calificación.

84. Problema de mezcla de valores Un molinero

combinó soya que cuesta $8 por fanega con trigo que cuesta $5 por fanega para elaborar 30 toneladas de una mezcla nueva. ¿Cuántas fanegas de soya debe utilizar para elaborar una mezcla de 30 fanegas que cueste entre $6 y $7 por fanega?

85. Geometría La longitud de un rectángulo mide 5 cm

menos que el doble de su ancho. Exprese como un número entero el ancho máximo del rectángulo cuando el perímetro es menor de 60 cm.

Problemas de aplicación de valor absoluto 86. Entornos acuáticos El agua en que habitan las

distintas especies de peces tiene diferentes requisitos de temperatura y pH. El pez cola de espada requiere habitar en aguas con una temperatura de 73°F más o menos 9°F y un nivel de pH de 7.65 más o menos 0.65. Calcule los límites inferior y superior de a. la temperatura y b. el nivel de pH para el agua en la que vive el pez dorado. (Fuente: www.tacomapet.com) 87. Computadoras Una barra de contactos se utilizó

en una computadora para evitar la pérdida de la programación por variaciones de voltaje. La barra de contactos fue diseñada para permitir 110 volts más o menos 16.5 volts. Calcule los límites inferior y superior del voltaje para la computadora.

83. Calificaciones de exámenes Una puntuación

88. Aparatos eléctricos Un motor eléctrico fue dise-

media de 90 o más en un curso de inglés equivale a una A de calificación. Un estudiante tiene puntuaciones de 85, 88, 90 y 98 en cuatro exámenes.

ñado para funcionar con 220 volts más o menos 25 volts. Calcule los límites superior e inferior del voltaje con el cual el motor puede funcionar.

Desigualdades con valor absoluto

Resuelva.

21.

53. 0 4x 2 3 0 # 24

57. 0 4 2 3x 0 $ 10

23. 7x , 14 y 1 2 x , 4

55. 0 2x 1 7 0 , 25

59. 0 6 2 4x 0 # 13

24. 4x 1 1 , 5 y 4x 1 7 . 21 1 24

30. 8x 1 2 # 214 y 4x 2 2 . 10

1 3 7 1 x2 $ 2 x 3 2 6 3

19. 2x , 6 o x 2 4 . 1

67. y .

29. 6x 2 2 , 5 o 7x 2 5 , 16

35. 22 #

64. 0 4x 2 1 0 . 16

Grafique el conjunto solución.

1 1 65. y # x 2 5 69. y . 2 x 1 2 3 2 4 66. y $ x 2 2 5

28. 3x 2 5 . 10 o 3x 2 5 , 210

34.

63. 0 2 2 2x 0 , 20

Gráfica del conjunto de solución de una desigualdad

27. 22 # 3x 1 7 # 1

16.

18. x 2 3 # 1 y 2x $ 24

2

➡ Intente resolver el problema 65.

62. 0 10 2 3x 0 $ 0

26. 5 , 4x 2 3 , 21

5 1 x2 #x24 6 6

Resuelva. Escriba en notación de intervalos el conjunto solución.

• Reescriba 32 como 2 5.

• Utilice la ley para simplificar potencias de expresiones con exponentes. .

• Utilice la definición de exponente negativo.

61. 0 6 2 9x 0 # 10

Resuelva. Escriba en notación de conjuntos el conjunto solución.

3 3 x22.

2x 5 10

Desigualdades compuestas

• Simplifique. .

• Simplifique.

Los ejercicios de aplicación En las noticias ayudarán a visualizar la utilidad de las matemáticas en nuestro mundo cotidiano. Se basan en información recabada de fuentes de noticias conocidas como periódicos, revistas e internet.

25. 6x 2 2 , 214 o 5x 1 1 . 11

15.

2

2 3

2 3

19. x3 2 4x2 2 25x 1 100 5 0

6. 2b2 2 5b 2 12 5 0

¡PREPÁRATE PARA TUS EXÁMENES!

14.

B. 3225

Simplifique: A. 27 3

Solución

Resuelva. Escriba en notación de conjuntos el conjunto solución.

5. 5x 2 4 . 2x 1 5

m n

1 2

3 2 18. x 1 4x 2 x 2 4 5 0

12. y1y 2 22 5 35

➡ 31.

27

Leyes de los exponentes

Si m y n son enteros positivos y a n es un número real, entonces

5

2 17. 1a 2 12 5 3a 2 5

5. y2 1 4y 2 5 5 0

Modelación de situaciones utilizando expresiones algebraicas

¡PREPÁRATE PARA TUS EXÁMENES!

Desigualdades con una variable 1

Si a es un número negativo y n un número entero par, entonces a n no es un número 1 real. Por ejemplo, 1292 2 no es un número real. Esta clase de números la analizaremos más adelante en esta unidad.

Como se muestra a la izquierda, cuando la base de la expresión con exponentes es un número negativo, las expresiones con exponentes racionales no siempre representan números reales. Por tal motivo, todas las variables empleadas en esta unidad representan números positivos, a1 menos que se mencione lo contrario.

Utilizando la definición de a n y las leyes de los exponentes, es posible definir cualquier expresión con exponentes con exponente racional.

5

16. 1b 1 52 1b 1 102 5 6

2 11. 8x 2 10x 5 3

Inecuaciones para modelar restricciones

UNIDAD 5

Solución

15. 1 y 1 52 1 y 2 72 5 220

2 10. 5b 2 17b 5 26

4. b2 2 49 5 0

3. 12x 1 32 1x 2 72 5 0

27. f 1x2 5 x2 1 3x 2 1

Resolver los ejercicios de aplicación de Datos reales preparará al estudiante para utilizar información del mundo real, responder preguntas y resolver problemas.

Fuente: smithsonianmag.com

282

Definición de a

➡ 8. z2 2 3z 5 28 2 9. 3t 1 13t 5 10

2. x1x 2 72 5 0

En las noticias

¿Qué es una proporción directa?

©Cameraphoto Arte, Venice/Art Resource, NY

17.

1. 1y 1 42 1y 1 62 5 0

Los ceros de algunas ecuaciones cuadráticas que no se factorizan con facilidad se pueden determinar con una calculadora graficadora. Utilícela para encontrar los ceros en las siguientes ecuaciones. Redondee a la centésima más cercana.

Los ejercicios Aplicación de conceptos pueden implicar la exploración y el análisis adicionales de los temas, o pueden integrar conceptos introducidos antes en el libro. Se incluyen ejercicios opcionales de calculadora graficadora, denotados por

aparece a la derecha utiliza una escala en la que 1 pulgada representa 48 pies. Calcule el tamaño real de la ballena.

Problemas de proporciones

Resuelva.

25. s 1t2 5 t2 2 4t 2 12

En las noticias

151

Solución de ecuaciones por factorización

Encuentre los ceros de la función.

2 24. f 1x2 5 x 1 3x 2 4

Razones y proporciones

12. Energía Caminar 4 millas en 2 horas quema 650 calorías. Caminando a ese

Modelación de situaciones utilizando expresiones algebraicas

Ejercicios

54. 0 5x 1 1 0 # 28 56. 0 3x 2 1 0 , 24

58. 0 5 2 x 0 , 9

60. 0 3 2 14x 0 . 17

2

8a 3b 24 3 C. a b 64a 29b 2

• Utilice la ley para multiplicar expresiones exponenciales.

En los recuadros Tome nota se encontrarán útiles observaciones que refuerzan una buena aplicación de los conceptos, con la intención de evitar que se cometan los errores más comunes al resolver los ejercicios.

Los ejercicios de ¡Prepárate para tus exámenes! están diseñados para simular un examen típico acerca de los conceptos estudiados en la unidad.

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Matemáticas IV. Álgebra

Acerca de los autores Richard Aufmann Palomar College Richard Aufmann es el principal autor de dos exitosas series de libros sobre matemáticas del desarrollo y una serie de obras universitarias de álgebra y trigonometría, además de textos sobre matemáticas derivativas. Durante 28 años enseñó matemáticas, ciencias de la computación y física en Palomar College en California. Sus libros de texto son altamente reconocidos y respetados entre los profesores de matemáticas en universidades. Actualmente sus intereses profesionales incluyen la alfabetización cuantitativa, la enseñanza de las matemáticas del desarrollo y el impacto de la tecnología en el desarrollo docente.

Cuenta con el grado de BA en Matemáticas por University of California, Irvine, y un MA en Matemáticas por California State University, Long Beach.

Joanne S. Lockwood Nashua Community College Joanne Lockwood obtuvo un BA en Literatura Inglesa por St. Lawrence University y tanto un MBA como un BA en Matemáticas por Plymouth State University. La profesora Lockwood enseñó en Plymouth State University y en Nashua Community College en New Hampshire. Tiene más de 20 años de experiencia en la enseñanza de las matemáticas en educación media superior y superior. Ha escrito dos series de matemáticas del desarrollo de gran impacto, así como numerosos textos y suplementos sobre matemáticas derivativas. Su principal interés en la actualidad es ayudar a los estudiantes de matemáticas del desarrollo a superar sus desafíos al adentrarse en este campo.

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Matemáticas IV Álgebra

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UNIDAD

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1

Los números reales para contar, comparar y medir

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Contenido 1.1 Subconjuntos de los números reales Subconjuntos de R Medidas de tendencia central La media (promedio) de un conjunto de valores La mediana de un conjunto de valores La moda de un conjunto de valores 1.2 Razones y proporciones Proporciones Problemas de proporciones 1.3 Leyes de los exponentes Multiplicación de monomios División de monomios y simplificación de expresiones con exponentes negativos Notación científica Expresiones con exponentes racionales Expresiones racionales y los radicales Simplificación de expresiones radicales que son raíces de potencias perfectas 1.4 Representación gráfica de algunos conjuntos de números reales La recta numérica Notación de intervalos y operaciones con conjuntos El sistema de coordenadas rectangulares Representación de datos numéricos mediante gráficas estadísticas Gráficas circulares Gráficas de barras Histogramas 1.5 Modelación de situaciones utilizando números reales 1.6 Operaciones con los números reales Operaciones con números enteros Jerarquía de las operaciones Operaciones con números racionales Orden de las operaciones y fracciones complejas 1.7 Representación decimal de los números reales

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Unidad 1

Los números reales para contar, comparar y medir

1.1

Subconjuntos de los números reales

Subconjuntos de R

Punto de interés La Osa Mayor, conocida por los griegos como Ursa Major, la osa más grande, es una constelación que puede verse en latitudes del norte. Las estrellas de la Osa Mayor son Alkaid, Mizar, Alioth, Megrez, Phecda, Merak y Dubhe. La estrella en la curva de la manija, Mizar, es en realidad dos estrellas, Mizar y Alcor. Una línea imaginaria desde Merak atraviesa Dubhe y llega hasta Polaris, la estrella del norte.

Punto de interés El concepto del cero se desarrolló paulatinamente a lo largo de varios siglos. Ha sido denotado de diversas maneras por un espacio en blanco, un punto y finalmente como 0. Los números negativos, aun cuando es evidente en los manuscritos chinos que datan del 200 a.C., se integraron completamente a las matemáticas hasta finales del siglo XIV.

Parece ser una característica humana colocar elementos parecidos en el mismo grupo.

Por ejemplo, un astrónomo coloca las estrellas en constelaciones y un geólogo divide la historia de la Tierra en eras.

Asimismo, los matemáticos colocan objetos con propiedades similares en conjuntos.

Un conjunto es una colección de objetos llamados elementos del conjunto. Los conjuntos se denotan al colocar entre llaves los elementos del conjunto. Por ejemplo, el conjunto de las primeras cinco letras del alfabeto es 5a, b, c, d, e6. El símbolo para indicar que “es un elemento de” es [; el símbolo para “no es un elemento de” es o. Por ejemplo, a [ 5 a, b, c, d, e 6

d [ 5 a, b, c, d, e 6

k o 5 a, b, c, d, e 6

Los números que usamos para contar cosas, como el número de personas en una ciudad o el número de especies diferentes de flores, se llaman números naturales.

Números naturales 5 51, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, c6

Cada número natural diferente de 1 es ya sea un número primo o un número compuesto.

Un número primo es un número natural diferente de 1, es divisible en partes iguales entre sí mismo y 1. Los primeros seis números primos son 2, 3, 5, 7, 11 y 13. Un número compuesto es un número natural, diferente de 1, que no es un número primo.

Los números 4, 6, 8, 9, 10 y 12 son los primeros seis números compuestos.

Los números naturales por sí mismos no proporcionan todos los números que se utilizan en las aplicaciones. Por ejemplo, un meteorólogo necesita números menores y mayores que cero.

Números enteros 5 5c, 25, 24, 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3, 4, 5, c6

Los números enteros p, 25, 24, 23, 22, 21 son enteros negativos. Los números enteros 1, 2, 3, 4, 5, p son enteros positivos. Observe que los números naturales y los enteros positivos son el mismo conjunto de números. El entero cero no es un número positivo ni un número negativo.

Aun hay otros números que son necesarios para resolver la diversidad de problemas de aplicación que existen. Por ejemplo, quizás un arquitecto paisajista debe comprar tubería de riego con un diámetro de 5 pulg. Los números que pueden escri8

birse en la forma de una fracción pq , donde p y q son enteros y q Z 0, se llaman números racionales. p Números racionales e , donde p y q son enteros y q z 0 f q 5 Ejemplos de números racionales son 23, 92 y 51. Observe que 1 5 5, por tanto, todos

los enteros son números racionales. El número S4 no es un número racional debido a que p no es un entero.

Los números que pueden escribirse como decimales finitos o últimos o como decimales periódicos son números racionales. Para los decimales periódicos colocamos una barra sobre los dígitos que se repiten.

Decimales finitos o últimos 0.5 Decimales periódicos

2.34

6.20137

7

0.3 5 0.33 c 1.267 5 1.26767 c 4.10782 5 4.10782782 c

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1.1

Subconjuntos de los números reales

5

Algunos números no pueden escribirse como decimales finitos o periódicos. Estos números incluyen 0.01001000100001c, 7 | 2.6457513 y S | 3.1415927. Estos números tienen representaciones decimales que no son finitas ni periódicas. Se les llama números irracionales. Los números racionales y los números irracionales tomados en conjunto son los números reales.

Números reales 5^números racionales y números irracionales` La relación entre los distintos conjuntos de números se muestra en la figura siguiente.

Números naturales (Enteros positivos) Cero Enteros negativos

Enteros

Números racionales Números irracionales

Números reales

Concéntrese en la identificación de los conjuntos a los cuales pertenece un número.

Determine cuáles de los números siguientes son a. números enteros c. números irracionales b. números racionales d. números reales

e. números primos f. números compuestos

21, 23.347, 0, 5, 6.101, 48, 2.2020020002c, 63,

19 20 , 2 7

a. Enteros: 21, 0, 5, 63 19 2 20 c. Números irracionales: 48, 2.2020020002c, !7 b. Números racionales: 1, 23.347, 0, 5, 6.101, 63,

d. Números reales: 1, 3.347, 0, 5, 6.101, !48, 2.2020020002c, 63, e. Números primos: 5

19 20 , 2 !7

f. Números compuestos: 63

Medidas de tendencia central Existen diferentes formas de representar un conjunto de números reales de manera compacta. Las más conocidas son a través de conjuntos como los intervalos, a través de gráficas de barras, histogramas, polígonos de frecuencias, gráficas de pastel y más.

En estadística, una manera de describir un conjunto de números es a través de un valor representativo de todos ellos, generalmente se escoge un valor representativo alrededor del cual se agrupan todos los números en el conjunto. A ese valor representativo se le conoce como una medida de una tendencia central.

Las medidas de tendencia central más utilizadas son la media, la mediana y la moda. A continuación, se describirá el significado de cada una de estas.

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6

Unidad 1

Los nĂşmeros reales para contar, comparar y medir

La media (promedio) de un conjunto de valores Puede decirse que la media (tambiĂŠn llamada promedio) de un conjunto de valores da una indicaciĂłn del â&#x20AC;&#x153;centroâ&#x20AC;? del conjunto de valores.

Para entender el signiďŹ cado de la media considĂŠrese, por ejemplo, un buen estudiante que ha concluido su semestre escolar con caliďŹ caciones de 89, 93, 99, 80, 100, 82, 94 y 60. El estudiante quiere saber si es posible competir por una beca acadĂŠmica para el siguiente periodo escolar. Se le requiere un promedio mayor o igual a 85 para ser beneďŹ ciado. Su Ăşltima caliďŹ caciĂłn lo hace dudar y para conocer si es candidato para obtener la beca calcula su media de caliďŹ caciones, dividiendo la suma total de caliďŹ caciones entre el total de materias tomadas. De esta manera se tiene 89 1 93 1 99 180 1100 1 82 194 1 60 8 697 5 8 5 87.125

media 5

La media es de 87.125. Algunas de las caliďŹ caciones son buenas y el Ăşltimo 60 no.

Sin embargo, su media de caliďŹ caciones sĂ­ supera el requisito mĂ­nimo establecido. Eso indica que sĂ­ puede obtener la beca acadĂŠmica.

En general, la media, o promedio, de un conjunto de valores se obtiene al dividir la suma de los valores entre el nĂşmero de valores suma de valores media 5 nĂşmero de valores Media (promedio aritmĂŠtico)

La media x (promedio aritmĂŠtico) de un conjunto de n valores 5 x1 , x2 , ..., xn6 estĂĄ dada por x5

x1 1 x2 1$ xn n

EJEMPLO 1 Promedio de ventas

En la siguiente tabla se muestran las ventas semanales en miles de pesos de cierta tienda de calzado en los departamentos de niĂąos, damas y caballeros.

Ventas al dĂ­a por departamento (en miles de pesos)

DĂ­a NiĂąos

Damas

Caballeros

Lunes

5 230

8 050

3 600

Martes

4 560

7 820

3 850

MiĂŠrcoles

4 330

8 250

3 250

Jueves

3 850

7 000

3 725

Viernes

4 530

9 250

4 250

SĂĄbado

5 250

9 500

3 500

Domingo

5 000

12 000

6 000

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1.1

Subconjuntos de los nĂşmeros reales

7

Calcule la media de las ventas diarias en el departamento de damas para la semana de lunes a domingo.

SoluciĂłn

Hay venta todos los dĂ­as de la semana, de manera que se dividirĂĄ la suma de las ventas de la segunda columna de ingresos entre 7 dĂ­as de ventas, de esta manera 8 050 7 820 8 250 7 000 9 250 9 500 12 000 x5 7 61 870 | 8 838.57 5 7 La media de las ventas diarias de la semana en el departamento de damas es de 8 838.57 pesos.

â&#x17E;Ą Intente resolver el ejercicio 28.

EJEMPLO 2

Distancia recorrida

Durante el mes de febrero de 2019 un automĂłvil registrĂł un total de 8 320 kilĂłmetros recorridos. ÂżCuĂĄntos kilĂłmetros se recorrieron en promedio al dĂ­a?

SoluciĂłn

El nĂşmero promedio de kilĂłmetros recorridos por dĂ­a se calcula dividiendo el total de kilĂłmetros recorridos durante todo el mes entre 28 dĂ­as, es decir, 8 320 x5 28 5 297.14 En promedio, el automĂłvil recorriĂł 297.14 kilĂłmetros al dĂ­a.

â&#x17E;Ą Intente resolver el ejercicio 32.

La mediana de un conjunto de valores Cuando en un conjunto de datos existen valores muy altos o muy bajos en comparaciĂłn con el resto de ellos, la media resulta ser poco adecuada para describir al conjunto dado. ImagĂ­nese una situaciĂłn de cinco personas que ganan un salario de 450, 600, 550, 400 y 3 500 pesos por semana, respectivamente. Decir que todos ellos ganan en promedio (450 + 600 1 550 1 400 1 3 500)/5 5 1 100 pesos a la semana no representa una cantidad del todo justa para los primeros cuatro salarios. Una mejor opciĂłn de describir el salario de los trabajadores es considerar la mediana, que consiste en determinar la cantidad que esta al centro de los datos una vez que han sido ordenados de menor a mayor. De esta manera al considerar el siguiente arreglo Menor dato 400 450 550 600 3 500 Mayor dato Dato central Decir que un trabajador normalmente gana un salario de 550 pesos por semana es mĂĄs veraz que decir que en promedio se gana 1 100 pesos.

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8

Unidad 1

Los nĂşmeros reales para contar, comparar y medir

La mediana

La mediana de un conjunto de valores es el valor central.

Tome nota Puede interpretarse que la mediana es un valor que es â&#x20AC;&#x153;comĂşnâ&#x20AC;? de un conjunto de valores. La mediana no necesariamente es uno de los valores del conjunto de datos.

Para encontrar la mediana se tiene el siguiente procedimiento: 1. Ordene los valores de menor a mayor.

2. Si el nĂşmero de datos es impar, la mediana es el valor central.

3. Si el nĂşmero de datos es par, la mediana es la media (promedio) de los dos datos centrales.

EJEMPLO 3 Mediana de un conjunto con un nĂşmero impar de valores Tome nota Una vez ordenados de menor a mayor, si en un conjunto de datos hay un nĂşmero impar entre los valores, la mediana es el dato central. Si el nĂşmero de datos es par, no hay un valor central, y en este caso, la mediana es la media (promedio) de los dos valores mĂĄs cercanos al centro.

Encuentre la mediana del siguiente conjunto de valores 6.5, 10.9, 12.5, 4.1, 10.8, 8.3, 8, 7.5 y 7.7.

SoluciĂłn

Para empezar, se observa que el nĂşmero de datos en cuestiĂłn es impar, de modo que al ordenarlos de manera creciente 4.1, 6.5, 7.5, 7.7, 8.1, 8.3, 10.8, 10.9, 12.5 la mediana es el valor central, es decir 8.1.

â&#x17E;Ą Intente resolver el ejercicio 38.

EJEMPLO 4 Mediana de un conjunto con un nĂşmero par de valores

En un examen hubo tres caliďŹ caciones de 78, cuatro caliďŹ caciones de 63 y caliďŹ caciones de 90, 95, 57, 52, 60, 71 y 85. Encuentre la mediana de las caliďŹ caciones.

SoluciĂłn

Dado que el nĂşmero de caliďŹ caciones obtenidas en el examen es par, se necesita identiďŹ car las dos caliďŹ caciones centrales.

Menor dato 52 57 60 63 63 63 63 71 78 78 78 85 90 95 Mayor dato CaliďŹ caciones centrales Dado que hay un nĂşmero par de caliďŹ caciones, la mediana es el promedio (media) de las dos caliďŹ caciones mĂĄs cercanas al centro: 63 y 71. Luego 63 71 2 5 67

Mediana 5 La mediana es el 67.

â&#x17E;Ą Intente resolver el ejercicio 44.

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1.1

Subconjuntos de los números reales

9

La moda de un conjunto de valores La media y la mediana no siempre son la mejor medida de la tendencia central. Por ejemplo, suponga que en una papelería se ofrecen memorias USB de diferentes precios y capacidades. ¿Cómo saber cuál de todas debe resurtirse con prioridad? Evidentemente no se utiliza una media ni una mediana para determinar lo anterior, simplemente se resurte la que más se vende. Al hacer esta elección se ha utilizado una moda.

La moda

La moda de un conjunto de valores es el valor sencillo que aparece con mayor frecuencia.

EJEMPLO 5

Altura preferida

Los siguientes datos representan las alturas de algunos estudiantes interesados en integrar la selección de basquetbol 186 163 175 182 182 175 182 182 190 182, determine la moda de tales alturas.

Tome nota Los conjuntos que tienen una sola moda son llamados unimodales. Si un conjunto de valores tiene dos modas se dice que es bimodal. Si tiene más de dos modas se dice multimodal. Y si ningún valor en un conjunto aparece con mayor frecuencia que otro, entonces no hay una moda.

Solución

Para determinar la moda no es necesario ordenar los valores de alguna manera en especial. Puede a cambio, aunque no es necesario, construirse una tabla de registro o cualquier otra técnica similar para poder contabilizar la ocurrencia de cada valor con mayor facilidad utilizando marcas de registro.

186

163

175

182

190

/

/

//

////

/

La moda solicitada es 182, aparece 5 veces.

➡ Intente resolver el ejercicio 51.

Ejercicios

Determine cuáles de los números son a. números enteros, b. números racionales, c. números irracionales, d. números reales. Elabore una lista de todos los números que correspondan.

1 1. 214, 9, 0, 53, 7.8, 2626 2. 31, 45, 22, 9.7, 8 600, 2 Determine cuáles de los números son a. números enteros, b. números racionales, c. números irracionales, d. números reales. Elabore una lista de todos los números que correspondan.

3. 2

15 !5 , 0, 23, p, 2.33, 4.232232223, c, , !7 2 4

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10

Unidad 1

Los números reales para contar, comparar y medir

4. 217, 0.3412,

27 3 , 21.010010001, c, , 6.12 p 91

5.

¿Qué es un decimal finito o último? Proporcione un ejemplo.

6.

¿Qué es un decimal periódico? Proporcione un ejemplo.

7.

¿Qué es el inverso aditivo de un número?

8.

¿Cuál es el valor absoluto de un número?

9.

Explique la diferencia entre la unión de dos conjuntos y la intersección de dos conjuntos.

10.

Explique la diferencia entre 5x 0 x , 56 y 5x 0 x # 56.

Subconjuntos de R 11. Un número como 0.63633633363333p, cuya notación decimal no termina ni se repite, es un ejemplo de un

número

?

.

12. El inverso aditivo de un número negativo es un número 13. y [ 51, 3, 5, 7, 96 se lee “y

?

?

.

el conjunto ^1, 3, 5, 7, 9`”.

14. Escriba la frase “el opuesto del valor absoluto de n” en símbolos.

Encuentre el inverso aditivo de cada uno de los números siguientes.

3 15. 27 17.

19. 0 21. 2!33 4 16. 23 18. !17 20. 2p 22. 21.23

23. 291 24. 2

2 3

Encuentre la media de cada conjunto de valores dado. Vea los ejemplos 1 y 2.

25. 3 5 5 7 7 9 11 13 15 14

30. 71 67 72 75 76 72 71 82

26. 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

31. 4.5 6.7 5.6 7.3 7.8 4.5 3.4

27. 5.3 6.9 1.2 7.5 7 5.3 5.8 7.2

➡ 28. 10 5 30 45 70 95 130 15 55 29. 7 5 6 7 7 15 15 20 33 23 14 23 22

➡ 32. 9.6 2.8 6.7 8.6 6.7 3.5 5.6 7.3 7.4 33. 1 2 3 4 5 … 500 34. 1 2 3 4 5 … 1 000

Encuentre la mediana de cada conjunto de valores. Vea los ejemplos 3 y 4.

35. 3 5 5 7 7 9 11 13 15 14

41. 4.5 6.7 5.6 7.3 7.8 4.5 3.4

36. 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

42. 2 4 5 7 4.3 5.4 6.7 3.4

37. 5.3 6.9 1.2 7.5 7 5.3 5.8 7.2

43. 123 124 129 130 133 132 128 128 120

➡ 38. 7 5 6 7 7 15 15 20 33 23 14 23 22 39. 10 5 30 45 70 95 130 15 55 40. 71 67 72 75 76 72 71 82

➡ 44. 9.6 2.8 6.7 8.6 6.7 3.5 5.6 7.3 7.4 6.8 45. 1 2 3 4 5 … 500 46. 1 2 3 4 5 … 1 000

Encuentre la moda (si existe) de los siguientes conjuntos de valores.

Vea el ejemplo 5.

47. 1 3 5 7 1 3 5 7 1 3 0 48. 12 12 17 17 12 13 13 13 17 13 49. 2.2 1.1 3.3 4.5 2.5 2.6 2.5 2.5 1.1 1.1 1.2

50. 4 2 0 2 0 3 1 2 3 0 2 0 3 7 2 0

➡ 51. 43.2 23.1 43.2 22.7 43.2 21.5 43.2 22.1 52. 3.4 4.3 3.4 5.6 5.4 4.3 4.3 5.7 5.3

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1.2

Razones y proporciones

11

Encuentre la media, la mediana y la moda de los valores dados.

53. 2 2 2 4 5 8 8 8 3 3 3 8

56. 1 2 3 3 3 3 4 5

54. 2.1 1.5 2.1 7.5 2.1 2.1 1.5 7.5 2.1

57. 11 11 9 10 10 10 11 9 9 9

55. 2 3 1 2 3 3 3 4 5 7

58. 11 12 13 12 12 12 10 11 12

1.2

Razones y proporciones

Proporciones Cantidades como 3 pies, 5 litros y 2 millas son cantidades numĂŠricas escritas con unidades. En estos ejemplos, las unidades son pies, litros y millas.

Una razĂłn tipo I es el cociente de dos cantidades que tienen la misma unidad.

El salario semanal de un pintor es $800. El pintor gasta $150 a la semana en comida. La razĂłn entre el gasto semanal en comida y el salario total se escribe como se muestra a continuaciĂłn.

3 $150 150 5 5 $800 800 16

Una razĂłn estĂĄ en su forma mĂĄs simple cuando los dos nĂşmeros no tienen un factor comĂşn. Las unidades no se escriben.

Una razĂłn tipo II es el cociente de dos cantidades que tienen unidades diferentes.

Un automĂłvil recorre 120 millas con 3 galones de combustible. La razĂłn tipo 2 millas por galĂłn se escribe de la siguiente manera.

120 mi 3 gal

40 mi Una relaciĂłn estĂĄ en su forma mĂĄs simple cuando los dos nĂşmeros 1 gal no tienen un factor comĂşn. Las unidades se escriben como parte de la relaciĂłn.

Una proporciĂłn es una ecuaciĂłn que establece que dos razones o relaciones son igua90 km 45 km 3 x 2 les. Por ejemplo, 4 L 2L y 4 16 proporciones.

Observe que una proporciĂłn es un tipo especial de ecuaciĂłn que incluye fracciones. Es posible resolver muchos problemas mediante el uso de proporciones.

ConcĂŠntrese en resolver una proporciĂłn

El impuesto por comprar un automĂłvil que cuesta $24 000 es $1 320. Calcule el impuesto para un automĂłvil que cuesta $29 000. x 1 320 Escribimos una proporciĂłn, utilizando x para re5 24 000 29 000 presentar una cifra que no se conoce.

11 x 5 200 29 000

SimpliďŹ que el lado izquierdo.

Multiplique por los denominadores ambos lados de la ecuaciĂłn.

12002 129 0002 a

x 11 b 5 12002 129 0002 a b 200 29 000

129 0002 1112 5 200x 319 000 5 200x 1 595 5 x

El impuesto correspondiente al automĂłvil de $29 000 es $1 595.

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12

Unidad 1

Los números reales para contar, comparar y medir

EJEMPLO 1

Una inversión bursátil de 50 acciones paga dividendos por $106. Con base en esta relación, ¿cuántas acciones más se necesitan para obtener dividendos por $424?

Estrategia Para determinar el número adicional de acciones que se requieren, escriba y resuelva una proporción utilizando x para representar el número adicional de acciones. Así 50 1 x es el número total de acciones.

Solución 106 424 5 50 50 1 x 424 53 • Simplifique el lado izquierdo.

5 25 50 1 x 53 424 • Multiplique ambos lados 25 150 1 x2 5 25 150 1 x2 25 50 1 x por los denominadores.

150 1 x2 53 5 1252 424 2 650 1 53x 5 10 600 53x 5 7 950 x 5 150 Se necesitan 150 acciones bursátiles adicionales.

➡ Intente resolver el ejercicio 14.

Problemas de proporciones Una proporción directa es una función especial que se puede expresar como la ecuación y 5 kx, donde k es una constante. Esta ecuación se lee “y varía directamente respecto a x” o “y es directamente proporcional a x”. La constante k se denomina constante de variación o constante de proporcionalidad.

La circunferencia (C) de un círculo varía directamente respecto al diámetro (d). La ecuación se escribe C 5 pd. La constante de proporcionalidad es p.

Una enfermera gana $28 por hora. Su salario total (w) es directamente proporcional al número de horas (h) laboradas. La ecuación de proporción es w = 28h. La constante de proporcionalidad es 28.

Por regla general, una ecuación de proporción directa se puede escribir de la forma y 5 kxn, donde n es un número positivo. Por ejemplo, la ecuación y 5 kx2 se lee “y varía directamente respecto al cuadrado de x”.

El área (A) de un círculo varía directamente respecto al cuadrado del radio (r) del círculo. La ecuación es A = p r2. La constante de variación es p.

Dado que V varía directamente respecto a r, y V 5 20 cuando r 5 4, V 5 kr se puede determinar la constante de proporcionalidad escribiendo la 20 5 k # 4 ecuación básica de la proporción directa, sustituyendo V y r por los va55k lores dados, y resolviendo para la constante de proporcionalidad.

Luego es posible escribir la ecuación de proporción directa siguiendo el valor de k en la ecuación básica de proporción directa.

V 5 5r

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1.2

Razones y proporciones

13

Concéntrese en resolver un problema de proporción directa

La tensión (T) de un resorte varía directamente respecto a la distancia (x) de estiramiento. Si T 5 8 libras cuando x 5 2 pulgadas, encuentre T cuando x 5 4 pulgadas.

Escriba la ecuación básica de proporción directa.

T 5 kx

Sustituya T y x por los valores dados.

85k#2

Resuelva para la constante de proporcionalidad.

45k

Escriba la ecuación de proporción directa.

T 5 4x

Para encontrar T cuando x 5 4 pulgadas, se sustituye x por 4 en la ecuación de proporción directa y se resuelve para T.

T 5 4x T54#4 T 5 16 Cuando x 5 4 pulgadas, la tensión es de 16 libras.

EJEMPLO 2

La cantidad (A) de medicamento que se prescribe a un paciente varía directamente con el peso (W) del paciente. A una persona que pesa 50 kg se le recetan 2 ml de medicamento. ¿Cuántos mililitros de medicamento se requieren para una persona que pesa 75 kg?

Estrategia Para calcular la cantidad de medicamento necesaria: X Se escribe la ecuación básica de una proporción directa, se sustituyen las variables por los valores dados, y se resuelve para k.

X Escriba la ecuación de la proporción directa, sustituyendo k por su valor. Sustituya W por 75, y resuelva para A. Solución

A 5 kW 2 5 k # 50 1 5k 25 1 W A5 25 1 # 75 5 3 A5 25

• Esta es la ecuación de una proporción directa.

• Sustituya W por 75.

La cantidad de medicamento necesaria es 3 ml.

➡ Intente resolver el ejercicio 19.

Una proporción inversa es una función que se puede expresar como la ecuación y k k y 5 x , donde k es una constante. La ecuación y 5 x se lee “y varía inversamente respecto a x” o “y es inversamente proporcional a x”.

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14

Unidad 1

Los números reales para contar, comparar y medir

k En general, una ecuación de proporción inversa se puede escribir y 5 n , donde x k n es un número positivo. Por ejemplo, la ecuación y 5 2 “y varía de forma inversa x respecto al cuadrado de x”.

Dado que P varía de manera inversa respecto al cuadrado de x, P 5 5 cuando x 5 2, es posible encontrar la constante de proporcionalidad escribiendo la ecuación de proporción inversa básica, reemplazando P y x por los valores dados, y resolviendo para la constante de proporcionalidad.

Luego es posible encontrar la ecuación de proporción inversa mediante la sustitución del valor de k en la ecuación de proporción inversa básica.

k x2 k 55 2 2 k 55 4 20 5 k P5

P5

20 x2

Concéntrese en resolver un problema de proporción inversa

La longitud (L) de un rectángulo con área fija es inversamente proporcional a su ancho (w). Si L 5 6 pies cuando w 5 2 pies, calcule L cuando w 5 3 pies.

Escriba la ecuación básica de proporción inversa.

Sustituya L y w por los valores dados.

Resuelva para la constante de proporcionalidad.

Escriba la ecuación de proporción inversa.

Para calcular L cuando w 5 3 pies, se sustituye w por 3 en la ecuación de proporción inversa, y se resuelve para L.

L5

k w

k 2 12 5 k 65

L5

12 w

L5

12 w

L5

12 3

L54 Cuando w 5 3 pies, la longitud es 4 pies.

EJEMPLO 3

Una empresa que fabrica computadoras personales ha determinado que el número de computadoras que puede vender (s) es inversamente proporcional al precio (P) de la computadora. Se pueden vender 2 000 computadoras cuando el precio es de $900 cada una. ¿Cuántas computadoras se pueden vender cuando el precio unitario es $800?

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5/21

1.2

Razones y proporciones

15

Estrategia Para determinar el número de computadoras: X X

Solución

Escriba la ecuación básica de proporción inversa, sustituya las variables por los valores dados, y resuelva para k.

Escriba la ecuación de proporción inversa, sustituya k por su valor. Sustituya 800 por P, y resuelva para s.

k P k 2 000 5 900 1 800 000 5 k s5

s5

1 800 000 P

s5

1 800 000 5 2 250 800

• Esta es la ecuación de proporción inversa.

• Sustituya P por 800.

A un precio de $300, se pueden vender 2 250 computadoras.

➡ Intente resolver el ejercicio 26.

Una proporción combinada es aquella en la que se presentan al mismo tiempo dos o más tipos de proporción. Por ejemplo, en química, el volumen (V) de un gas varía directamente respecto a la temperatura (T) e inversamente respecto a la presión (P). Esta kT . El tema en el ejemplo 4 es una proporción proporción combinada se escribe V 5 P combinada.

Una proporción conjunta es aquella en la que una variable cambia de forma directa respecto al producto de otras dos o más variables. Una proporción conjunta se puede expresar como la ecuación z 5 kxy, donde k es una constante. La ecuación z 5 kxy se lee “z varía de forma conjunta respecto a x y y”. Por ejemplo, el área (A) de un triángulo varía de forma conjunta respecto a la base (b) y la altura (h). La ecuación de 1 proporción conjunta se escribe A 5 12 bh. La constante de proporcionalidad es 2 .

El problema 4 involucra las proporciones combinada y conjunta.

EJEMPLO 4

La presión (P) de un gas varía directamente respecto a la temperatura (T) e inversamente respecto al volumen (V). Cuando T 5 50° y V 5 275 pulg3, P 5 20 lb/pulg3. Calcule la presión del gas cuando T 5 60° y V 5 250 pulg3.

Estrategia Para calcular la presión: X X

Escriba la ecuación básica de proporción combinada, sustituyendo las variables por los valores dados, y resuelva para k.

Escriba la ecuación de proporción combinada, sustituyendo k por su valor. Sustituya T por 60 y V por 250, y resuelva para P.

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16

Unidad 1

Los números reales para contar, comparar y medir

Solución

kT V k 1502 20 5 275 110 5 k 110T P5 • Esta es la ecuación de proporción combinada.

V 110 1602 P5 5 26.4 • Sustituya T por 60 y V por 250.

250 P5

La presión es 26.4 lb/pulg2.

➡ Intente resolver el problema 29.

Ejercicios 1. Si y varía directamente respecto a x y k es la constante de proporcionalidad, ¿cuál ecuación es verdadera?

(i) x 1 y 5 k

(ii) x 2 y 5 k

(iii) xy 5 k

(iv)

y 5k x

2. Si y varía inversamente respecto a x y k es la constante de proporcionalidad, ¿cuál ecuación es verdadera?

(i) x 1 y 5 k

(ii) x 2 y 5 k

(iii) xy 5 k

(iv)

y 5k x

Proporciones 3.

¿En qué se distingue la razón tipo I de la razón tipo II?

¿Qué es una proporción?

Resuelva la proporción.

8 4 x11 2 5 5.

7.

5 x22 x11 10 5 4.

6.

x x22 5 4 8

8.

8 2 5 x22 2x 1 1

8 2 5 3x 2 2 2x 1 1

a c d b 5 , entonces 5 . b d a c 10. Ciencias ambientales En una reserva salvaje se capturan, etiquetan y liberan 60 patos. Más adelante se examinan 200 patos y se encuentra que tres de ellos están etiquetados. Calcule el número estimado de patos en la reserva.

9.

¿Verdadero o falso? Si

1

11. Arquitectura En un plano arquitectónico, 4 de pulgada representa 1 pie. Calcule las dimensiones de una ha1

bitación que en el plano mide 441 pulgadas por 52 pulgadas.

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1.2

12. Energía Caminar 4 millas en 2 horas quema 650 calorías. Caminando a ese

ritmo, ¿cuántas millas necesitaría recorrer una persona para perder 1 libra? (La quema de 3 500 calorías equivale a la pérdida de 1 libra.) Redondee a la centésima más cercana.

13. Ciencias de la salud Para tratar a un adulto de 120 libras, se requieren tres

cuartos de onza de un medicamento. Con la misma relación, ¿cuántas onzas de medicamento adicionales se requieren para tratar a un adulto de 200 libras?

➡ 14. Ciencias ambientales Se mezclan 6 onzas de insecticida con 15 galones de agua para preparar el líquido que se rociará en una plantación de naranjas. A esa misma relación, ¿cuánto insecticida se necesita para mezclarlo con 100 galones de agua?

15 Velocidades de Internet Una conexión inalámbrica a Internet descargará un

archivo de 4 megabytes en 2 segundos. Con esta relación, ¿cuántos segundos le tomará descargar un archivo de 5 megabytes?

16. Artes gráficas La imagen de una ballena que

Razones y proporciones

17

En las noticias Tiempos de reacción, grande y pequeño Un estudio sobre los tiempos de reacción realizados en elefantes y musarañas muestra que, a través del reino animal, desde las criaturas grandes hasta las pequeñas, los mensajes nerviosos viajan desde y hacia el cerebro a la misma velocidad. Los científicos descubrieron que un elefante reaccionaba a un toque en su pata trasera en 100 milisegundos, mientras que la musaraña sólo necesitó de 1 milisegundo para reaccionar a un toque similar.

Fuente: smithsonianmag.com

aparece a la derecha utiliza una escala en la que 1 pulgada representa 48 pies. Calcule el tamaño real de la ballena.

17.

¿Qué es una proporción directa? ¿Qué es una proporción inversa?

18.

Una pelota cuya circunferencia es de 30 cm pesa 250 gramos. Una pelota de 800 gramos, elaborada con el mismo material, tiene una circunferencia de 96 cm. La relación entre la circunferencia y el peso de la pelota hecha del mismo material ¿es una proporción directa o una proporción inversa?

➡ 19. Negocios Las utilidades (P) que obtiene una empresa varían directamente respecto al número de productos que vende (s). Si una empresa obtiene utilidades por $2 500 de la venta de 20 productos, ¿cuál será la utilidad cuando la empresa venda 300 productos?

20.

Derrame petrolero Lea el artículo de la derecha sobre el derrame petrolero del Deepwater Horizon en 2010. Si el pozo derramó petróleo a la misma velocidad durante todo el tiempo del derrame, entonces la cantidad total de petróleo derramado sería directamente proporcional al número de días que se estuvo derramando el petróleo. Utilizando los datos del artículo, calcule cuántos barriles de petróleo se derramaron durante los 86 días del accidente. Redondee a la décima de millón más cercana.

21.

Arte Leonardo da Vinci observó que el largo de la cara de una persona varía directamente respecto al largo de su mentón. Si una persona cuya cara mide 9 pulgadas tiene un mentón de 1.5 pulgadas, ¿cuál será el largo de la cara de una persona cuyo mentón mide 1.7 pulgadas?

En las noticias Derrame petrolero finalmente taponado El 16 de junio, con 56 días de derrame petrolero, las estimaciones gubernamentales de la cantidad de petróleo derramado en el Golfo de México alcanzaron 3.1 millones de barriles. Un mes después, el pozo ha sido taponado con éxito y, finalmente, después de 86 días, ya no se derrama petróleo en las aguas marinas.

Fuente: smithsonianmag.com

©Cameraphoto Arte, Venice/Art Resource, NY

Problemas de proporciones

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18

Unidad 1

Los números reales para contar, comparar y medir

22. Física La distancia (d) que se estira un resorte varía directamente respecto a la fuerza ( f ) que se le aplica. Si

se requiere de una fuerza de 5 libras para alargar el resorte 2 pulgadas, ¿qué fuerza se necesita para alargarlo 5 pulgadas?

23. Óptica La distancia (d) que una persona puede avistar hacia el horizonte des-

de un punto sobre la superficie de la Tierra varía directamente respecto a la raíz cuadrada de la altura (H). Si desde una altura de 500 pies el horizonte se avista hasta 19 millas, ¿a qué distancia se avistará en el horizonte desde un punto a 800 pies de altura? Redondee a la centésima más cercana.

2 pulg 5 pulg 5 lb

24. Física La distancia ( s ) que una pelota rueda hacia abajo de un plano inclina-

do es directamente proporcional al cuadrado del tiempo (t). Si la pelota rueda 5 pies en 1 segundo, ¿cuánto rodará en 4 segundos?

x lb

25. Química A temperatura constante, la presión (P) del gas varía inversamente

respecto al volumen (V). Si la presión es de 25 lb/pulg2 cuando el volumen es de 400 pies3, calcule la presión cuando el volumen es de 150 pies3.

➡ 26. Ingeniería mecánica La velocidad (v) de un engrane varía inversamente respecto al número de dientes (t). Si un engrane que tiene 48 dientes realiza 20 revoluciones por minuto, ¿cuántas revoluciones por minuto realizará un engrane de 30 dientes?

27. Magnetismo La fuerza de repulsión ( f ) entre los polos positivos de dos ima-

nes es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia (d) que los separa.

Si la fuerza de repulsión es de 18 libras cuando la distancia es de 3 pulgadas, calcule la fuerza de repulsión cuando la distancia es 1.2 pulgadas.

28. Electricidad La resistencia (R) de un cable varía directamente respecto a su

longitud (L) e inversamente respecto al cuadrado de su diámetro (d). Si la resistencia es de 9 ohms en un cable de 50 pies con un diámetro de 0.05 pulgadas, calcule la resistencia en un cable similar de 50 pies de largo con un diámetro de 0.02 pulgadas.

➡ 29. Veleo La fuerza del viento (w) sobre una superficie vertical varía de manera conjunta respecto al área (A) de dicha superficie y al cuadrado de la velocidad del viento (v). Cuando el viento sopla a 30 mph, la fuerza sobre un área de 10 pies2 es de 45 libras. Calcule la fuerza sobre esta área cuando el viento sopla a 60 mph.

1.3 Punto de interés Alrededor del año 250 d.C., el monomio 3x2 que aparece a la derecha se habría escrito Dy3, o por lo menos algo parecido.

En el año 250 d.C., el símbolo del número 3 no era el que utilizamos en la actualidad.

Leyes de los exponentes

Multiplicación de monomios Un monomio es un número, una variable o un producto de números y variables. x Los ejemplos que se presentan a la derecha son grado 1 ( x 5 x1) 2 3x monomios. El grado de un monomio es la suma grado 2 4x 2y de los exponentes de las variables. grado 3 3 4 2 6x y z grado 9 xn El grado de un término constante diferente de 6 grado n cero es cero. grado 0

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1.3

Leyes de los exponentes

19

H

H

La expresión 5!x no es un monomio, porque !x no puede escribirse como un producto de variables. La expresión x no es un monomio porque es un cociente de variables.

La expresión x4 es una expresión con exponente. El exponente, 4, indica el número de veces que la base, x, se presenta como factor.

3 factores 4 factores Para simplificar el producto de expresiones 3 4 con exponentes con la misma base, se escribe cada x # x 5 1x # x # x2 # 1x # x # x # x2 expresión en forma factorizada y el resultado se 7 factores escribe con un exponente.

5 x7 Considere que si suma los exponentes, obtiex3 # x4 5 x314 5 x7 ne el mismo producto.

6

Ley para multiplicar expresiones con exponentes

Si m y n son números enteros, entonces xm # xn 5 xm1n.

EJEMPLOS

1. x5 # x3 5 x5 1 3 5 x8 2. a # a 4 5 a 114

5a

3.

• Recuerde que a 5 a1.

5

z # z4 # z 5 5 z21415 5 z11 2

4. 1v4r32 1v2r2 5 v412r311

• Sume los exponentes de bases semejantes. .

5 v6r4

Concéntrese en simplificar el producto de expresiones con exponentes

Simplifique: 124x5y2 123x2y32 Utilice las propiedades conmutativa y asociativa para reordenar y agrupar factores.

Multiplique los coeficientes. Para multiplicar las variables con bases semejantes, sume los exponentes.

124x5y2 123x2y32 5 3 1242 1232 4 1x5 # x22 1y # y32 5 12x512y113 5 12x7y4

EJEMPLO 1

Simplifique: 122a3b2c2 14a4c7 2 Solución

122a 3b 2c 2 14a 4c 72 5 122 # 42 a 314b 2c 117 • Multiplique los coeficientes.

Multiplique las variables con 5 28a 7b 2c 8 bases semejantes sumando los exponentes.

➡ Intente resolver el ejercicio 5.

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20

Unidad 1

Los números reales para contar, comparar y medir

Como se muestra a continuación, para simplificar la potencia de un monomio, se escribe la potencia en forma factorizada y luego se utiliza la ley para multiplicar expresiones con exponentes.

1a 22 3 5 a 2 # a 2 # a 2

Escriba en forma factorizada.

5 a 21212 5 a6

Utilice la ley para multiplicar expresiones con exponentes.

La expresión también puede simplificarse si se multiplica cada exponente entre paréntesis por el exponente fuera de los paréntesis.

1a 22 3 5 a 2 3 5 a 6 #

1x3y42 2 5 1x3y42 1x3y42 5 x313y414 5 x6y8

1x3y42 2 5 x3 2y4 2 5 x6y8 #

#

Ley para simplificar una potencia de una expresión con exponentes

Si m y n son números enteros, entonces 1xm2 n 5 xmn.

EJEMPLOS

1. 1x52 3 5 x5 3 5 x15 #

2. 1y82 2 5 y8 2 5 y16 #

Una ley relacionada con la anterior aplica a la potencia de un monomio.

Ley para simplificar potencias de productos Si m, n y p son números enteros, entonces 1xmyn2 p 5 xmpynp .

EJEMPLOS

4 3 5 45 35 20 15 1. 1x y 2 5 x y 5 x y

#

#

2. 12x42 3 5 21 3x4 3 #

#

• 2 5 21

5 2 x 5 8x 3 12

12

EJEMPLO 2

Simplifique: A. 122a 4b 22 3 Solución

B. 122x2y32 123xy22 4

A. 122a 4b 22 3 5 1222 1?3a 4?3b 2?3 5 1222 3a 12b 6 5 28a 12b 6

• Multiplique los exponentes.

B. 122x2y32 123xy22 4 5 122x2y32 3 1232 1?4x1?4y2?4 4 5 122x2y32 3 1232 4x4y8 4 5 122x2y32 3 81x4y8 4

• Utilice la ley para simplificar potencias de productos.

5 2162x6y11

• Utilice la ley para multiplicar expresiones con exponentes.

➡ Intente resolver el ejercicio 12.

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1.3

Leyes de los exponentes

21

División de monomios y simplificación de expresiones con exponentes negativos Para simplificar el cociente de dos expresiones con exponentes con la misma base, escriba cada expresión en forma factorizada, divida entre los factores comunes y escriba el resultado con un exponente.

Si resta los exponentes, obtendrá el mismo resultado.

Para dividir dos monomios con la misma base, reste los exponentes de las bases semejantes.

1

1

x5 x#x#x#x#x 5 x3 2 5 x x#x 1

1

x5 5 x522 5 x3 x2

Ley para dividir expresiones con exponentes Si m y n son números enteros y x 2 0, entonces

xm 5 xm2n. xn

EJEMPLOS

x7 5 x725 5 x2 x5 a 5b 7 2. 4 5 a 524b 721 ab 5 ab 6 1.

• Reste los exponentes de bases semejantes.

EJEMPLO 3

Simplifique: A. Solución

A.

B.

6x5y3 8x2y

B.

26a 7b 5 2a 5b 4

3x522y321 6x5y3 5 8x2y 4 3x3y2 5 4 26a 7b 5 5 23a 725b 524 2a 5b 4 5 23a 2b

6 en su forma más simple. Reste 8 los exponentes de bases semejantes.

• Escriba

26 en su forma más simple.

2 Reste los exponentes de bases semejantes.

• Escriba

➡ Intente resolver el ejercicio 21.

Considere la expresión

x4 , x 2 0. Para simplificar esta expresión, reste los exponentes x4

o divida entre los factores comunes. x4 5 x424 5 x0 x4 Las ecuaciones

1

1

1

1

1

1

1

1

x4 x#x#x#x 51 4 5 x x#x#x#x

x4 x4 0 5 1 indican la siguiente definición de x0.

4 5 x y x x4

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22

Unidad 1

Los números reales para contar, comparar y medir

Definición del cero como exponente Si x Z 0, entonces x0 = 1. La expresión 00 no está definida.

EJEMPLOS

Suponga que el valor de una variable es diferente de cero.

1. 12122 0 5 1 3. 13y2 0 5 1 4. 3y0 5 3 # 1 5 3

2. a 0 5 1

x4 , x 2 0. Para simplificar esta expresión reste los exponentes x6 o divida entre los factores comunes.

Considere la expresión

x4 5 x426 5 x22 x6 Las ecuaciones

1

1

1

1

1

1

1

x#x#x#x x4 1 5 2 6 5 x x#x#x#x#x#x x 1

1 x4 x4 1 22 indican que x22 5 2.

5 x y 6 6 5 2 x x x x

Definición de un exponente negativo

Si x Z 0 y n es un entero positivo, entonces x2n 5

1 1 n n y 2n 5 x . x x

EJEMPLOS

Suponga que el valor de una variable es diferente de cero.

1 1 5 32 9

1.

322 5

2.

2x25 5

2 x5

3.

4.

12x2 25 5

1 1 5 12x2 5 32x5

5 5 5a 4 a 24

Una expresión con exponentes está en su forma más simple cuando contiene sólo exponentes positivos.

Concéntrese en escribir en su forma más simple una expresión con exponentes

negativos Utilice la definición de exponente negativo para escribir lo siguiente en su forma más simple. Suponga que x 2 0 y y 2 0.

1 1 x A. 223x 5 3 # x 5 # x 5 2 8 8 22 y3 1 1 x B. 23 5 x22 # 23 5 2 # y3 5 2 y y x x 24 2x 2 2 1 2 C. 5 # x24 5 # 4 5 4 y y y x xy

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1.3

Leyes de los exponentes

23

En los ejemplos anteriores supusimos que x Z 0 y y Z 0. La razón es que la división entre cero no está definida. En este libro supondremos que los valores de las variables se eligen de modo que no haya divisiones entre cero. Con base en esta condición, por lo general no mencionaremos las restricciones sobre las variables.

El cero y los exponentes negativos pueden presentarse cuando se utiliza la ley para dividir expresiones con exponentes.

EJEMPLO 4

Simplifique: A. Solución A.

B.

9x5y2 12x5y7

B.

5x22y4 10x5y21

3x525y227 3x0y25 9x5y2 5 5 75 12x y 4 4 3 5 5 4y

• Utilice la ley para dividir expresiones con exponentes.

• Utilice las definiciones de cero y de los exponentes negativos para escribir en la forma más simple.

x2225y42 1212 x27y5 5x22y4 5 5 10x5y21 2 2 y5 5 7 2x

• Utilice la ley para dividir expresiones con exponentes.

• Utilice la definición de exponente negativo para escribir en la formamás simple.

➡ Intente resolver el ejercicio 35. x3 x3 2 .

Para simplificarla, eleve al cuadrado o multi, y 2 0 b y4 y4 plique cada exponente en el cociente por el exponente fuera de los paréntesis.

Considere la expresión a

x3 2 x3 # x3 x3 x3 x313 x6 a 4 b 5 a 4 b a 4 b 5 4 # 4 5 414 5 8 y y y y y y y

#

x3 2 x3 2 x6 a 4b 5 4#2 5 8 y y y

Ley para simplificar potencias de cocientes

Si m, n y p son números enteros y y 2 0, entonces a EJEMPLOS

1. a

#

2. a

a 12 a4 3 a4 3 5 b 5 5 # 3 5 15 b b b

xm p xmp 5 . b yn ynp #

r3 5 r3 5 r15 b 5 1#5 5 5 t t t

EJEMPLO 5

Simplifique: A. a

r22 3 b t4

B. a

a 4 22 b b3

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24

Unidad 1

Los números reales para contar, comparar y medir

r26 r22 3 r22 3 A. a 4 b 5 4 # 3 5 12 t t t 1 5 6 12 rt

• Utilice la ley para simplificar potencias.

B. a

• Utilice la ley para simplificar potencias de cocientes.

#

Solución

a 28 a 4 22 a 41222 5 5 b b3 b 26 b 31222 6 b 5 8 a

• Utilice la definición de exponente negativo para simplificar.

• Utilice la definición de exponente negativo para simplificar.

➡ Intente resolver el ejercicio 34.

Las leyes para simplificar expresiones con exponentes y potencias de expresiones con exponentes se vuelven a plantear a continuación por conveniencia.

Leyes de los exponentes

Si m, n y p son números enteros y x = 0 y y = 0, entonces 1xm2 n 5 xmn xm p xmp a n b 5 np y y

xm # xn 5 xm1n xm 5 xm2n xn x0 5 1

1xmyn2 p 5 xmpynp x2n 5

1 xn

EJEMPLO 6

Simplifique: A. 13x2y232 16x24y52 Solución

B. a

3a 2b 22c 21 22 b 27a 21b 2c 24

A. 13x2y232 16x24y52 5 18x21 1242 y2315 5 18x22y2 18y2 5 2 x B. a

• Utilice la ley para multiplicar expresiones con exponentes.

• Utilice la definición de exponente negativo para reescribir la expresión sin exponentes negativos.

3a 2b 22c 21 22 a 3b 24c 3 22 5 a b b 27a 21b 2c 24 9 5

a 26b 8c 26 922

5

92b 8 a 6c 6

5

81b 8 a 6c 6

• Simplifique dentro de los paréntesis utilizando la ley para dividir expresiones con exponentes.

• Multiplique cada exponente dentro de los paréntesis por el exponente fuera de los paréntesis.

• Utilice la definición de exponente negativo para reescribir la expresión sin exponentes negativos.

• Simplifique.

➡ Intente resolver el ejercicio 36.

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1.3

Leyes de los exponentes

25

Notación científica En los campos de la ciencia y la ingeniería se encuentran números muy grandes y muy pequeños. Por ejemplo, la masa del electrón es de 0.0000000000000000000000000009 g.

Números así son difíciles de leer y escribir, por lo que se inventó un sistema más práctico para escribirlos. Se llama notación científica.

Para expresar un número en notación científica, escríbalo como el producto de un número entre 1 y 10 y una potencia de 10. La forma de la notación científica es a 3 10n, donde 1 # a , 10 y n es un entero.

965 000

5 9.65 3 105

3 600 000

5 3.6 3 106

Para números menores que 1, recorra el punto decimal a la derecha del primer dígito diferente de cero. El exponente n es negativo.

El valor absoluto del exponente es igual al número de posiciones que se recorrió el punto decimal.

0.0002

5 2 3 1024

0.0000000974

5 9.74 3 1028

Q Q Q

Para números mayores que 10, desplace el punto decimal a la derecha del primer dígito.

El exponente n es positivo e igual al número de posiciones que se recorrió el punto decimal.

92 000 000 000 5 9.2 3 1010

Q Q

Q

0.000000000086 5 8.6 3 10211

EJEMPLO 7

Escriba en notación científica 0.000041.

Solución

0.000041 5 4.1 3 1025 • El punto decimal debe recorrerse 5 posiciones a la derecha.

El exponente es negativo.

➡ Intente resolver el ejercicio 43.

La conversión de un número escrito en notación científica a notación decimal requiere recorrer el punto decimal.

Cuando el exponente es positivo, recorra el punto 1.32 3 104 5 13 200 decimal a la derecha el mismo número de posiciones 1.4 3 108 5 140 000 000 que el exponente.

1.32 3 1022 5 0.0132 Cuando el exponente es negativo, recorra el pun1.4 3 1024 5 0.00014 to decimal a la izquierda el mismo número de posiciones que el valor absoluto del exponente.

EJEMPLO 8

Escriba en notación decimal 3.3 3 107.

Solución

3.3 3 107 5 33 000 000

• Recorra el punto decimal 7 posiciones a la derecha.

➡ Intente resolver el ejercicio 47.

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26

Unidad 1

Los números reales para contar, comparar y medir

Los cálculos numéricos que se relacionan con números que tienen más dígitos de los que una calculadora maneja se pueden realizar con notación científica.

EJEMPLO 9

2 400 000 000 3 0.0000063 0.00009 3 480

Simplifique:

2 400 000 000 3 0.0000063 0.00009 3 480

Solución

5 5

2.4 3 109 3 6.3 3 1026 9 3 1025 3 4.8 3 102

• Escriba los números en notación científica. .

12.42 16.32 3 1091 1262 2 1252 22 • Utilice las leyes para multiplicar y dividir expresiones con exponentes.

192 14.82

5 0.35 3 106 5 3.5 3 105

• Simplifique.

• Escriba en notación científica.

➡ Intente resolver el ejercicio 49.

Expresiones con exponentes racionales Punto de interés Nicolás Chuquet (hacia 1475), médico francés, escribió un libro de álgebra en el que utilizaba una notación específica para las expresiones con exponentes fraccionarios. 1 Escribía R26 para representar 62 y R315 para repre1 sentar 15 3. Esta fue una notable mejora en comparación con las notaciones que le precedieron, las cuales utilizaban palabras para este tipo de expresiones.

En esta sección, la definición de los exponentes rebasa el umbral de los números enteros hasta el punto en el que cualquier número racional se puede utilizar como exponente. La definición se expresa de tal modo que las leyes de los exponentes siguen siendo verdaderas para los exponentes racionales.

1 Considere la expresión 1a n 2 n para a . 0 y n como entero positivo. Ahora simplifique, asumiendo que la ley de simplificación de potencias de una expresión con exponentes es verdadera.

1a n 2 n 5 a n n 5 a 1 5 a 1

1#

Puesto que 1a n 2 n 5 a, el número a n es el número cuya n-ésima potencia es a.

1

1

1

Definición de a n

1

Si n es un entero positivo, entonces a n es el número cuya n-ésima potencia es a.

EJEMPLOS 1

1. 92 5 3 porque 32 5 9.

1

2. 643 5 4 porque 43 5 64.

3. 232

1 5

5 22 porque 12225 5 232.

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1.3

1

Si a es un número negativo y n un número entero par, entonces a n no es un número 1 real. Por ejemplo, 1292 2 no es un número real. Esta clase de números la analizaremos más adelante en esta unidad.

Como se muestra a la izquierda, cuando la base de la expresión con exponentes es un número negativo, las expresiones con exponentes racionales no siempre representan números reales. Por tal motivo, todas las variables empleadas en esta unidad representan números positivos, a1 menos que se mencione lo contrario.

Utilizando la definición de a n y las leyes de los exponentes, es posible definir cualquier expresión con exponentes con exponente racional.

Definición de a

27

Leyes de los exponentes

Tome nota Suponga que 1292 2 5 x. Entonces, por la definición de 1 a n, x2 5 29 Sin embargo, el cuadrado de todo número real no puede 1 ser negativo.

Por tanto, 1292 2 no es un número real.

1

m n

1

Si m y n son enteros positivos y a n es un número real, entonces a n 5 1a n 2 m m

1

EJEMPLO 10 2

2

B. 3225

Simplifique: A. 27 3 Solución

A. 273 5 1332 3 2

2

2 31 3 2

53

5 32 59 2 25

B. 32

5 12 2 5 222

• Reescriba 27 como 33.

• Utilice la ley para simplificar potencias de expresiones con exponentes. .

• Simplifique. .

2 5 25

• Reescriba 32 como 2 5.

• Utilice la ley para simplificar potencias de expresiones con exponentes. .

1 22 1 5 4 5

• Utilice la definición de exponente negativo.

Tome nota 2

• Simplifique.

➡ Intente resolver el problema 65.

1

Observe que 3225 5 4, un número positivo. Un exponente negativo no afecta el signo de un número.

EJEMPLO 11 1 2

2 1 Simplifique: A. b # b 3 # b 24

Solución

B.

1264x6y222 3

1 2 1 1 2 1 A. b 2 # b 3 # b 24 5 b 2 1 3 2 4 6 8 3 5 b 12 1 12 2 12 11 5 b 12

3 4

2

8a 3b 24 3 C. a b 64a 29b 2

• Utilice la ley para multiplicar expresiones exponenciales.

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28

Unidad 1

Los números reales para contar, comparar y medir

B. 1264x6y222 3 5 3 1242 3x6y22 4 3 3 4

• Reescriba 264 como 12423.

3 4

5 1242

34 4 4 3 1 3 2 6 1 3 2 22 13 2

x

• Utilice la ley para simplificar potencias de expresiones con exponentes.

• Simplifique.

y

5 1242 4x8y22 5 2

256x8 y2 1 8 5 y utilice 64 8 la ley para dividir expresiones con exponentes.

2

8a 3b 24 3 a 12 3 C. a b 29 2 b 5 a 64a b 8b 6

• Simplifique

2

a 12 3 5 a 3 6b 2b a8 5 2 4 2b a8 5 4 4b

• Reescriba 8 como 23.

• Utilice la ley para simplificar potencias de cocientes.

➡ Intente resolver el problema 86.

Expresiones racionales y los radicales 1

Recuerde que a n es el número cuya n-ésima potencia es a. También podemos decir que 1 n a a es la raíz n-ésima de a.

Raíz n-ésima de a

Si a es un número real y n un entero positivo, entonces ! a 5 a n . n En la expresión ! a, el símbolo ! se denomina radical, n es el índice de redical, y a es el radicando. n

EJEMPLOS

1.

! 7 5 73 1

3

2.

!x 5 x 5

1

1 5

Cuando n = 2, la expresión radical representa a una raíz cuadrada y no se acostumbra escribir el índice 2.

Una expresión exponencial con un exponente racional se puede escribir como una expresión radical. m n

Escribir a como una expresión radical

Si a n es un número real, entonces a n 5 ! a m. m

1

EJEMPLOS

1. 15 3 5 " 152 2

3

4 2. x 5 5 " x 4

5

n

3. " 23 5 25 5

3

5 4. "z 5 z 6 6

5

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5/21

1.3

Leyes de los exponentes

29

EJEMPLO 12

Reescriba la expresión con exponentes como una expresión radical.

2 2 A. 13x2 3 B. 22x3 Solución

3 13x2 2 A. 13x2 3 5 " 3 5 "9x2 2

• El denominador del exponente racional es el índice del radical. El numerador es la potencia del radicando.

B. 22x3 5 22 1x22 3 3 2 5 22" x 2

1

• El 22 no se eleva a la potencia.

➡ Intente resolver el ejercicio 98.

EJEMPLO 13

Reescriba como una expresión con exponentes las expresiones radicales.

7 5 A. " x

Solución

3 3 B. " a 1 b3 7 5 A. " x 5 1x52 7 5 x7 1

5

• El índice del radical es el denominador del exponente racional. La potencia del radicando es el numerador del exponente racional.

3 3 B. " a 1 b 3 5 1a 3 1 b 32 3 1

• Observe que 1a 3 1 b32 3 2 a 1 b.

1

➡ Intente resolver el ejercicio 105.

Simplificación de expresiones radicales que son raíces de potencias perfectas Todo número positivo tiene dos raíces cuadradas, una es un número positivo y otra un número negativo. Por ejemplo, puesto que (5)2 y (25)2 = 25, existen dos raíces cuadradas de 25: 5 y 25.

El símbolo ! se utiliza para indicar una raíz cuadrada principal o positiva. Para indicar la raíz cuadrada negativa de un número, se coloca frente al radical un signo negativo.

La raíz cuadrada de cero es cero.

La raíz cuadrada de un número negativo no es un número real, porque el cuadrado de un número real debe ser positivo.

La raíz cuadrada de un número negativo elevado al cuadrado es un número positivo.

!25 5 5

2!25 5 25 !0 5 0

!225 no es un número real.

" 1252 2 5 !25 5 5

Para todo número real a, "a 2 5 0 a 0 y 2"a 2 5 2 0 a 0 . Si a es un número real positi2 vo, entonces "a 2 5 a y 1 !a 2 5 a.

La raíz cúbica de un número positivo es positiva.

3 !

8 5 2, porque 23 5 8.

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30

Unidad 1

Los números reales para contar, comparar y medir 3 !

28 5 22, porque 1222 3 5 28.

La raíz cúbica de un número negativo es negativa.

Para todo número real a, "a 3 5 a.

3

Lo siguiente es válido para encontrar la raíz n-ésima de un número real.

Si n es un entero par, entonces

par, entonces "a n 5 a.

n

an 5 0 a 0 y 2

n

a n 5 2 0 a 0 . Si n es un entero im-

n

Por ejemplo,

6 6 " y 5 0y0

2"x12 5 2 0 x 0

5 5 " b 5b

12

En lo que resta de esta unidad, supondremos que las expresiones algebraicas incluidas en un radical representan números positivos. Por tanto, no es necesario utilizar las barras de valor absoluto.

Concéntrese en simplificar la raíz de una potencia perfecta

4 A. Simplifique: "x4 y8 El radicando es una cuarta potencia perfecta porque los exponentes de las variables son divisibles entre 4.

1 Se escribe la expresión radical como una expresión con 4 4 8 " x y 5 1x4y82 4 exponentes.

5 xy2 Utilice la ley para simplificar potencias de productos.

3 B. Simplifique: " 125c 9d 6 El radicando es un cubo perfecto, ya que 125 es un cubo perfecto (125 = 53) y todos los exponentes de las variables son divisibles entre 3.

3 Escriba el radical como una expresión con exponentes. " 125c 9d 6 5 153c 9d 62 3 Utilice la ley para simplificar potencias de productos.

5 5c 3d 2 1

Observe que una expresión algebraica es una potencia perfecta si los exponentes de los factores son igualmente divisibles entre el índice del radical.

En la tabla siguiente se muestran raíces de potencias perfectas. Es muy útil memorizar estas raíces para simplificar expresiones radicales.

Raíces cuadradas !1 5 1 !4 5 2 !9 5 3 !16 5 4 !25 5 5

!36 5 6 !49 5 7 !64 5 8 !81 5 9 !100 5 10

Raíces cúbicas !1 5 1 3 852 !

3 ! 27 5 3 3 !

64 5 4 3 ! 125 5 5 3

Raíces cuartas !1 5 1 4 16 5 2 !

4 !

81 5 3 4 !

256 5 4 4 625 5 5 !

4

Raíces quintas !1 5 1 5 32 5 2 !

5 243 5 3 !

5

Si un número no es una potencia perfecta, sólo es posible aproximar su raíz; ejemplos 5 de esto serían "5 y "3 . Estos son números irracionales. Sus representaciones decimales no son finitas ni se repiten. !5 5 2.2360679...

3 !

3 5 1.4422495...

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5/21

1.3

Leyes de los exponentes

31

Concéntrese en simplificar la raíz de una potencia perfecta 5 Simplifique: " 2243x 5y15

Utilizando la tabla anterior, se observa que 243 es una quinta potencia perfecta y cada exponente es divisible entre 5. Por tanto, el radicando es una quinta potencia perfecta.

5 " 2243x 5y15 5 23xy3

Cada exponente se divide entre 5.

EJEMPLO 14

Simplifique: A. "49x2

3 B. " 2125a 6b 9

A. "49x2 5 7x

Solución

3 B. " 2125a 6b 9 5 25a 2b 3

C. 2

4

16a 4b 8 5 22ab 2

4 C. 2" 16a 4b 8

• El radicando es el cuadrado perfecto.

El exponente se divide entre 2.

• El radicando es un cubo perfecto.

Cada exponente se divide entre 3.

• El radicando es una cuarta potencia perfecta. Cada exponente se divide entre 4.

➡ Intente resolver el ejercicio 122.

Ejercicios 1. ¿Cuáles de los siguientes son monomios?

(i) 7

(ii) 23x2y3

(iii) 2x 1 3

(iv)

xy2 3

(v)

3y x

¿La ley para simplificar potencias de productos aplica a (a 2 1 b 3)4? ¿Por qué?

1 3. ¿Cuál es el valor de 25 ?

2 2.

Multiplicación de monomios 4.

Indique si es posible simplificar la expresión con una o más de las leyes mencionadas en el ejercicio 8. b. 1a 1 b22 c. 1x2 1 y322 d. 1x2y322 a. 1ab22

Simplifique.

➡ 5. 126r2t52 124rt2 6. 12b3c52 12a2c42 7. 1b522

8. 1xy624

9. 1x2y424

10. 13a24

11. 124c524

➡ 12. 122x5y26 13. 122ab223

14. 122x2yz325

15. 12xy2 123x2yz2 1x2y3z32 16. 13b52 12ab22 122ab2c22 17. 122x2y3z2 13x2yz42

18. 123ab3231222a2b22 19. 122ab22 123a4b523

División de monomios y simplificación de expresiones con exponentes negativos 20.

Si una variable tiene exponente negativo, ¿cómo puede reescribirla con un exponente positivo?

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5/21

32

Unidad 1

Los números reales para contar, comparar y medir

Simplifique.

21.

15a 7 5a 4

28. x23x25

2 23 29. 15x 2

a 7b ➡ 22. 2 4 ab 23.

12ab3c 6 18bc 5

24.

x 3y6 x 3y3

25.

1 325

26.

1 y23

27.

a3 4b 22

➡ 36.

37. a

4

30.

123a 2b 32 2 122ab 42 3

x x25

13x22y2 22 14xy222 21

31. 1x3y52 22

38.

33. 1x21y22 23 1x2y242 23

39. a

32. 13a 2 23 19a 212 22

x2 24 ➡ 34. a b y

a 22b 2 b a 3b 24

9ab 22 22 3a 22b 3 b a 2 22 b 8a 22b 2a b

22 21 2 23 40. 3 1x y 2 4

41. c a

a 2b 3c 7 ➡ 35. 6 5 a bc

a 2 21 2 b d b

¿Verdadero o falso?

42.

a.

a n2m an 5 b a bm b

b.

an 5 an 2 m am

Notación científica

Escriba en notación científica.

➡ 43. 0.00000005

44. 4 300 000

45. 9 800 000 000

Escriba en notación decimal.

➡ 47. 6.34 3 105

46. 6.2 3 10212

48. 4.35 3 109

Simplifique. Escriba la respuesta en notación científica.

➡ 49. 18.9 3 10252 13.2 3 10262

50. 1480,000210.00000000962

2.7 3 104 51.

3 3 1026

52.

4800 0.00000024

54.

53.

0.000000346 0.0000005

55.

16.9 3 10272 18.2 3 102132 4.1 3 1015 17202 10.00000000392 126 000 000 0002 10.0182

Encuentre el valor de a.

1

1

57. a 5 5 22

56. a 3 5 4

Determine si el número dado es racional o irracional.

58. !25

59. ! 25 3

Simplifique.

60. !100

61. ! 81 4

Expresiones con exponentes racionales 62.

¿Cuál de las siguientes expresiones no es un número real?

1

(i) 2252

1

(ii) 2522

1

(iii) 22522

(iv) 12252 2 1

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5/21

1.3

Leyes de los exponentes

33

Simplifique.

75. 1x

1 3

63. 8

3 2

➡ 65. 27

3

66. 32

25 b 49 1

3

22

1

68. x 2 x 2 1 24

69. y

y

#a #a

y

79.

1x4y2z62 2

1

y2

3

3 4 2

90. a 91. a

226b 23

92.

84. 16x y 2 15xy 2 4 3 5 5

y3

3 4

85.

2 2 74. 1x 2 2

1

2

y3

b

1

a 22

26

b

2

23

1x22y42 2 1x22 4 1

2 93. a 4 1a 4 2 a 42 1

2

5

y26

3

1

x2y24

1

1

83. 124xy 2 12x y 2

1 4

1

22 4 2 89. 116m n 2 2 1mn22

3

2 5

2

73.

78.

3 2

3

y

1 4

212x22y5 2

1

82. 16x2y5 2 13x2y2

3 2

24

72.

220x2y2

88. 1a 3b 22 6 1a 3b 32 3

1x8y22 2

81. 1x

3

218xy 4

3 1 22 3 2 4

1 2

a

87.

4

1

1 22

12x3y 4 1

80. 1x23y62 2 3

3 4 3 4

1 3

a

➡ 86.

77. 1x2 8 2 2 5

2 5

71.

2

1

2 23

70. a

5 3

2 22 76. 1a 2 2

64. 9

67. a

2

23 6

5

9

94. y 3 1 y 3 1 y23 2

36x2y3

2

4 5 2

12x y

1

2

Expresiones con exponentes racionales

Reescriba como expresión radical la expresión con exponentes.

97. 13x2 3

4

96. b 3

99. 1a 3b 7 2 2 3

2

1

95. 52

100. 13x 2 22 3 1

2

➡ 98. 23a 5

Expresiones racionales y los radicales

Reescriba como expresión con exponentes la expresión radical.

101. !14 102. ! x 3

103. "x4 3

104. "b 3

3 ➡ 105. " 2x2

5

3

107. 3x"y2

106. 2"3x5

Simplificación de expresiones radicales que son raíces de potencias perfectas

Determine si la expresión se simplifica en un número positivo, un número negativo o un número que no es un número real.

3 109. 2"227x9

108. 2"9x8

Simplifique.

110. "y14

6 12 114. "a b

6 111. 2"a

112. "a14b6

6 9 117. "2a b

120. "227a3b15

9 9 115. 2"a b

118. "25x8y2

121. "y12

116. "125b15

119. "8a21b6

4 ➡ 122. " 81a 20

3

3

3

3

3

3

4

113. "121y12

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34

Unidad 1

Los números reales para contar, comparar y medir

1.4

Representación gráfica de algunos conjuntos de números reales

La recta numérica La gráfica de un número real se traza al colocar un punto grueso en una recta numérica directamente encima del número. Las gráficas de algunos números reales se muestran abajo.

–5 –4 –3 –2 –1 –2.34 –

0 1 2

1

2 5 3

3

4

π

17

5

Considere estos enunciados: El chef de un restaurante preparó un platillo y lo sirvió al cliente.

Un árbol de maple estaba plantado y este creció 2 pies en un año.

En el primer enunciado, “lo” significa el platillo; en el segundo enunciado, “e ste” significa el árbol. En el lenguaje, las palabras lo y este pueden representar muchos objetos diferentes. Del mismo modo, en las matemáticas una letra del alfabeto se puede usar para representar algunos números. Una letra utilizada de esta manera se llama variable.

Es conveniente utilizar una variable para que represente, o simbolice, cualquiera de los elementos de un conjunto. Por ejemplo, el enunciado “x es un elemento del conjunto 50, 2, 4, 66” significa que x puede representarse por 5 0, 2, 4 o 66. Al conjunto 50, 2, 4, 66 se le llama dominio de la variable.

En la siguiente definición se utilizan variables.

Definición de desigualdad

Si a y b son dos números reales y a está a la izquierda de b en la recta numérica, entonces a es menor que b. Esto se escribe a , b.

Si a y b son dos números reales y a está a la derecha de b en la recta numérica, entonces a es mayor que b. Esto se escribe a . b.

EJEMPLOS

1. 22 , 8

2. 21 . 25

3. 0 . 2

2 3

4. p , V17

Los símbolos de desigualdad # (es menor o igual que) y $ (es mayor o igual que) también son importantes. Observe los ejemplos siguientes.

4 # 5 es una expresión verdadera porque 4 , 5.

5 # 5 es una expresión verdadera porque 5 5 5.

EJEMPLO 1

Sea y [ 525, 23, 21, 16. ¿Para cuáles valores de y la desigualdad y $ 21 es una expresión verdadera?

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1.4

Solución

35

Representación gráfica de algunos conjuntos de números reales

Sustituya y con cada elemento del conjunto y determine si la expresión es verdadera. y $ 21 25 $ 21 23 $ 21 21 $ 21 1 $ 21

Una expresión falsa Una expresión falsa Una expresión verdadera Una expresión verdadera

La desigualdad es verdadera para 21 y 1.

➡ Intente resolver el ejercicio 1.

Los números 5 y 25 están a la misma distancia del 5 5 cero en la recta numérica, pero en lados opuestos –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 del cero. Los números 5 y 25 se llaman inversos aditivos u opuestos.

El inverso aditivo (u opuesto) de 5 es 25. El inverso aditivo de 25 es 5. El símbolo para el inverso aditivo es 2.

2(4) significa el inverso aditivo del positivo 4.

2(24) significa el inverso aditivo del negativo 4.

2(4) 5 24 2(24) 5 4

EJEMPLO 2

Sea a [ 5212, 0, 46. Determine 2a, el inverso aditivo de a, para cada elemento del conjunto.

Solución 2a • Escriba la expresión para el inverso aditivo de a.

1 2 2 212 5 12 • Sustituya a con cada elemento del conjunto 2 102 5 0 2 142 5 24

y determine el valor de la expresión.

➡ Intente resolver el ejercicio 4.

El valor absoluto de un número es una medida de su distancia desde el cero en una recta numérica. El símbolo para el valor absoluto es 0 0. Observe en la figura de la derecha que la distancia desde 0 a 5 es 5. Por tanto, 0 25 0 5 5. La figura muestra que la distancia desde 0 5 0 5 5. La figura muestra que la distancia desde 0 a –5 es también 5. Así 0 25 0 5 5.

5 –5 –4 –3 –2 –1 0

5 1

2

3

4

5

Valor absoluto

El valor absoluto de un número positivo o 0 es el número. El valor absoluto de un número negativo es el inverso aditivo de ese número. Esto puede escribirse como sigue. Si a es un número real, entonces 0a0 5 e

a, a $ 0 2a, a , 0

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36

Unidad 1

Los números reales para contar, comparar y medir

EJEMPLOS

1.

2.

3.

0 7 0 5 7. Dado que 7 $ 0, el valor absoluto de 7 es el número 7 mismo.

0 28 0 5 8. Como – 8 , 0, el valor absoluto de 28 es el inverso aditivo de 28. El inverso aditivo de 28 es 8.

0 0 0 5 0. El valor absoluto de 0 es 0. Una manera de pensar en esto es que la distancia de 0 a 0 en la recta numérica es 0.

EJEMPLO 3

Evalúe: 2 0 2120 Solución A partir de la definición del valor absoluto, 0 2120 5 12. Por consiguiente, 2 0 2120 5 212.

➡ Intente resolver el ejercicio 5.

Notación de intervalos y operaciones con conjuntos El método de lista para escribir un conjunto encierra entre llaves una lista de los elementos del conjunto. Este método se utilizó al principio de esta sección para definir conjuntos de números. Si se emplea el método de lista, el conjunto de los números naturales pares menores que 10 se escribe 5 2, 4, 6, 8 6. Este es un ejemplo de un conjunto finito, todos los elementos pueden enumerarse. El conjunto de los números naturales, h 0, 1, 2, 3, 4, p j, es un conjunto infinito, es imposible enumerar todos los elementos del conjunto.

El conjunto vacío, o conjunto nulo, es el conjunto que no contiene elementos. El símbolo [ o 5 6 se utiliza para representar el conjunto vacío.

EJEMPLO 4

Utilice el método de lista para escribir el conjunto de los números naturales menores que 10.

Solución

50, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 96

➡ Intente resolver el ejercicio 8.

Un segundo método de representación de un conjunto es la notación de conjuntos.

Esta notación se puede utilizar para describir casi cualquier conjunto, pero es particularmente útil cuando se escriben conjuntos infinitos. En la notación de conjuntos, el conjunto de enteros mayores que 23 se escribe 5x | x , 23, x [ enteros6 y se lee “el conjunto de todos los números x tales que x es mayor que 23 y x es un elemento de los enteros”. Este es un conjunto infinito. Es imposible enumerar todos los elementos del conjunto, pero podemos describirlo si utilizamos la notación de conjuntos.

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1.4

Representación gráfica de algunos conjuntos de números reales

37

El conjunto de los números reales menores que 5 se escribe 5x 0 x , 5, x [ números reales6 y se lee “el conjunto de todas las x tales que x es menor que 5 y x es un elemento de los números reales”.

Debido a que la mayor parte de nuestro trabajo es con números reales, por lo general omitimos “x [ números reales” de la notación de conjuntos. Por tanto, escribiríamos 5 x 0 x , 5 6 x [ números reales6 como 5x 0 x , 56, donde asumimos que x es un número real.

EJEMPLO 5

Utilice la notación de conjuntos para escribir el conjunto de los números reales mayores que 22.

Solución

5x | x . –26

➡ Intente resolver el ejercicio 12.

La gráfica de un conjunto de números reales escritos en notación de conjuntos puede mostrarse en una recta numérica. La gráfica de 5 x 0 x . 226 se muestra abajo. El paréntesis en la gráfica indica que 22 no es parte del conjunto.

–5 –4 –3 –2 –1

0

1

2

3

4

5

La gráfica de 5 x 0 x $ 226 se muestra abajo. El corchete en la gráfica indica que 22 es parte del conjunto.

–5 –4 –3 –2 –1

0

1

2

3

4

5

EJEMPLO 6

Grafique: 5x 0 x # 36 Solución

El conjunto son los números reales menores o iguales que 3.

–5 –4 –3 –2 –1

0

1

2

3

4

5

• Dibuje un corchete a la derecha en el 3, y trace una línea sobre la recta numérica a la izquierda del 3.

➡ Intente resolver el ejercicio 18.

También es posible localizar los números reales entre dos números dados.

Concéntrese en graficar un conjunto de números reales

Grafique: 5 x 0 0 # x , 46 La notación 0 # x , 4 indica el conjunto de los números reales entre 0 y 4, incluido el 0 pero sin incluir el 4. Un corchete se coloca en el 0 para denotar que el 0 está

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Matemáticas IV. Álgebra, de la Serie ENP-UNAM, es un texto que atiende y cumple con los objetivos, contenidos y sugerencias del Plan de estudios vigente cuyo propósito es el desarrollo de capacidades de abstracción, comunicación matemática, razonamiento lógico, análisis y resolución de problemas a partir de la construcción de modelos aritméticos, algebraicos y geométricos, entre otras.

La estructura de cada unidad permite que el alumno se involucre en el proceso de aprendizaje y en la comprensión de los conceptos matemáticos, lo que le da la oportunidad de aplicar inmediatamente las técnicas aprendidas. Las explicaciones detalladas de la solución de problemas le permitirán concentrarse en un tipo específico de problema y mejorar sus habilidades de comunicación.

La parte medular de este texto la conforman los distintos tipos de ejercicios con los que el estudiante se introduce en el análisis y la exploración, además de que aprende a visualizar las matemáticas en su cotidianidad.

Los contenidos de la obra están divididos en cinco unidades, que son: • Unidad 1. Los números reales para contar, comparar y medir.

• Unidad 2. Expresiones algebraicas para describir y generalizar.

• Unidad 3. Ecuaciones de primer y segundo grado para modelar condiciones específicas en una función.

• Unidad 4. Sistemas de ecuaciones para modelar condiciones simultáneas.

• Unidad 5. Inecuaciones para modelar restricciones.

Matemáticas IV. Álgebra prepara al estudiante en la utilización de la información para responder preguntas y resolver problemas del mundo real.

ISBN-13: 978-607-526-959-7 ISBN-10: 607-526-959-2

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