Cálculo diferencial

Cálculo diferencial Ron Larson | Bruce Edwards

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MUESTRA ISSUU © D.R. 2021 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso.

DERECHOS RESERVADOS.19/06/2021

Cálculo diferencial Ron Larson

The Pennsylvania State University The Behrend College

Bruce Edwards University of Florida

Traducción: Javier León Cárdenas Profesor de Ciencias Básicas Escuela Superior de Ingeniería Química e Industrias Extractivas Instituto Politécnico Nacional

Revisión técnica: Moisés Dimas Díaz UNITEC, Campus Ecatepec Edgar Vajov Benítez Aguilar UNITEC, Campus Sur

Australia • Brasil • Canadá • Estados Unidos • México • Reino Unido • Singapur

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Cálculo diferencial Primera edición Ron Larson Bruce Edwards Director Higher Education Latinoamérica: Renzo Casapía Valencia Gerente editorial Latinoamérica: Jesús Mares Chacón Editora: Cinthia Chávez Ceballos Coordinador de Manufactura: Rafael Pérez González Diseño de portada: Karla Paola Benítez García &RPSRVLFLµQ WLSRJU£ȴFD MB Soluciones Editoriales México Juan Pablo Rodríguez Velázquez C. Alberto Cerqueira da Fonseca Alma G. Soto Zárraga

© D.R. 2021 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Carretera MéxicoToluca núm. 5420, oficina 2301, Col. El Yaqui. CP. 05320, Del. Cuajimalpa, Ciudad de México. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso.

DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podrá ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo, pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, reproducción, escaneo, digitalización, grabación en audio, distribución en Internet, distribución en redes de información o almacenamiento y recopilación en sistemas de información a excepción de lo permitido en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial.

Datos para catalogación bibliográfica: Larson, Ron y Bruce Edwards Cálculo diferencial, Primera edición.

ISBN: 978-607-570-005-2 Visite nuestro sitio en: http://latinoamerica.cengage.com

Publicado en México 1 2 3 4 5 6 23 22 21 20

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CONTENIDO

1

Funciones especiales 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7

2

1

Exponentes y radicales 2 Ejercicios 10 Propiedades de los logaritmos 12 Ejercicios 14 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas 17 Ejercicios 24 Trigonometría del triángulo rectángulo 27 Ejercicios 34 Solución de ecuaciones trigonométricas 38 Ejercicios 46 Ley de senos 50 Ejercicios 56 Ley de cosenos 59 Ejercicios 63

Funciones y gráficas 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

Gráficas y modelos 68 Ejercicios 74 Modelos lineales y razones de cambio Ejercicios 82 Funciones y sus gráficas 85 Ejercicios 93 Funciones inversas 97 Ejercicios 103 Cónicas y cálculo 106 Ejercicios 116

67 76

Ejercicios de repaso 120 Solución de problemas 122

3

Funciones: límites y continuidad 3.1 3.2

3.3 3.4 3.5

El cálculo: una revisión necesaria 126 Ejercicios 131 Determinación de límites de manera gráfica y numérica 132 Ejercicios 139 Cálculo analítico de límites 143 Ejercicios 151 Continuidad y límites laterales o unilaterales Ejercicios 163 Límites infinitos 167 Ejercicios 172 Ejercicios de repaso 175 Solución de problemas 177

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125

154

iv

Contenido

4

Derivación y otras funciones 4.1 4.2 4.3

4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11

179

La derivada y el problema de la recta tangente 180 Ejercicios 187 Reglas básicas de derivación y razones de cambio 190 Ejercicios 198 Reglas del producto, del cociente y derivadas de orden superior 202 Ejercicios 209 La regla de la cadena 213 Ejercicios 220 Derivación implícita 224 Ejercicios 229 Razones de cambio relacionadas 232 Ejercicios 237 La función logaritmo natural: derivación 240 Ejercicios 247 Funciones exponenciales: derivación e integración 250 Ejercicios 256 Otras bases distintas de e y aplicaciones 260 Ejercicios 266 Funciones trigonométricas inversas: derivación 270 Ejercicios 276 Funciones hiperbólicas 279 Ejercicios 286 Ejercicios de repaso 289 Solución de problemas 291

5

Aplicaciones de la derivada 5.1 5.2 5.3

5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9

293

Extremos en un intervalo 294 Ejercicios 299 El teorema de Rolle y el teorema del valor medio 302 Ejercicios 306 Funciones crecientes y decrecientes y el criterio de la primera derivada 309 Ejercicios 315 Concavidad y criterio de la segunda derivada 319 Ejercicios 324 Límites al infinito 327 Ejercicios 334 Un resumen del trazado de curvas 338 Ejercicios 344 Problemas de optimización 347 Ejercicios 352 Método de Newton 357 Ejercicios 361 Diferenciales 363 Ejercicios 368

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Contenido

5.10 5.11

Formas indeterminadas y la regla de L'Hôpital Ejercicios 377 Polinomios de Taylor y aproximaciones 381 Ejercicios 389

v

370

Ejercicios de repaso 392 Solución de problemas 395

Apéndices

397

Respuestas a los problemas con numeración impar

403

Índice analítico

455

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PREFACIO

B

ienvenido a su libro Cálculo diferencial, un libro de texto pedagógico, matemáticamente preciso y entendible. Nuestro objetivo es proporcionarle las herramientas necesarias para dominar el cálculo.

Características más relevantes de la obra Apertura de capítulo En cada apertura de capítulo se resaltan aplicaciones reales utilizadas en los ejemplos y ejercicios. ¿Cómo lo ve?

La característica ¿Cómo lo ve? en cada sección presenta un problema de la vida real que podrá resolver mediante inspección visual utilizando los conceptos aprendidos en la lección. Este ejercicio es excelente para el análisis en clase o la preparación de un examen.

Consejos y sugerencias Estos consejos y sugerencias refuerzan o amplían conceptos, le ayudan a aprender cómo estudiar matemáticas, le advierten acerca de errores comunes, lo dirigen en casos especiales o le muestran los pasos alternativos o adicionales en la solución de un ejemplo.

Conjuntos de ejercicios Los conjuntos de ejercicios han sido amplia y cuidadosamente examinados para asegurarnos que son rigurosos e importantes y que incluyen todos los temas que nuestros usuarios han sugerido. Se han reorganizado los ejercicios y titulado para que pueda ver mejor las conexiones entre los ejemplos y ejercicios. Los ejercicios de varios pasos son ejercicios de la vida real que refuerzan habilidades para resolver problemas y dominar los conceptos, dando a los estudiantes la oportunidad de aplicarlos en situaciones de la vida real.

Aplicaciones Se han elegido con cuidado ejercicios de aplicación y ejemplos tomados de diversas fuentes, tales como acontecimientos actuales, datos del mundo contemporáneo y tendencias de la industria; todo, relacionado con una amplia gama de intereses, entendiendo dónde se está utilizando (o se puede utilizar) el cálculo para fomentar una comprensión más completa del material.

Desarrollo de conceptos Los ejercicios escritos al final de cada sección están diseñados para poner a prueba su comprensión de los conceptos básicos en cada sec-

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CAPÍTULO 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7

1

Funciones especiales

Exponentes y radicales Propiedades de los logaritmos Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Trigonometría del triángulo rectángulo Solución de ecuaciones trigonométricas Ley de senos Ley de cosenos

Movimiento circular (Página 49)

Rampa de patinaje (Página 33)

Intensidad del sonido (Página 15)

Embudo (página 2)

1

Rampa de patinaje (© Stockphoto.com/lzf); Rueda de la fortuna (© Shutterstock.com/Arvitalyaa); Ondas de sonido (© Shutterstock.com/Arvitalyaa Titima Ongkantong); Embudo (© iStockphoto.com/micropic);

83. Ecología El número N de castores en un área dada después de x años se puede aproximar por N 5.5 100.23x , 0 x 10.

Utilice el modelo para aproximar en cuántos años la población de castores llegará a los 78. hin/Shutterstock.com

© Alexander Kuguc

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Prefacio

ción, motivándole a verbalizar y escribir las respuestas, y fomentando las habilidades de comunicación técnica que le serán invaluables en sus futuras carreras.

74.

¿CÓMO LO VE? Utilice las gráficas de las ecuaciones para contestar las siguientes preguntas. y

Teoremas Los teoremas proporcionan el marco conceptual del cálculo. Los teoremas se enuncian claramente y están separados del resto del libro mediante recuadros de referencia visual rápida.

8 7 6 5

Notas históricas y biografías Las notas históricas le proporcionan información acer82

Capítulo 2

FUNCIONES Y GRÁFICAS

2.2 Ejercicios Estimar la pendiente En los ejercicios 1 a 4, estime la pendiente de la recta a partir de su gráfica. Para imprimir una copia ampliada de la gráfica, visite MathGraphs.com. y

1.

y

2.

7 6 5

7 6 5 4 3 2 1

3 2 1

x

x 1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6 7 y

3.

y

4.

28 24 20 16 12 8 4

6 5 4 3 2 1 x

x

1 2 3 4 5 6

1 2 3

5 6 7

4 , 5, 2

6. 1, 1 ,

7. 4, 6 , 4, 1 1 2 2, 3

9.

,

8. 3, 3 1 4, 6

10.

24. Modelar datos La siguiente tabla muestra las poblaciones (en millones) de Estados Unidos desde 2004 hasta el 2009. La variable t representa el tiempo en años, con t = 4 correspondiente a 2004 (Fuente: Oficina del Censo de E.U.)

2, 7

5 , 5,

7 3 8, 4

, 54,

5

1 4

Dibujar rectas En los ejercicios 11 y 12, trace las rectas a través del punto con las pendientes indicadas. Realice los dibujos en el mismo conjunto de ejes de coordenadas.

Puntos

Pendientes

11. 3, 4 12.

2, 5

(a) 1

(b)

2

(c)

(a) 3

(b)

3

(c)

3 2 1 3

(d) Indefinida (d) 0

Encontrar la pendiente de una recta En los ejercicios 13 a 16, utilice el punto sobre la recta y su pendiente para determinar otros tres puntos por los que pase la recta (hay más de una respuesta correcta).

Punto

Pendiente

13. 6, 2

m

15. 1, 7

m

0 3

Punto 14.

4, 3

16.

2,

Pendiente m no está definida.

2

2

m

Punto

Pendiente

17. 0, 3 21. 3,

18.

m

3 4 2 3

m

3

22.

m

19. 0, 0 2

Punto 5,

20. 0, 4 2, 4

Pendiente 2

m es indefinida m m

t

4

5

6

7

8

9

y

293.0

295.8

298.6

301.6

304.4

307.0

(a) Dibuje los datos a mano y una los puntos adyacentes con un segmento de recta. (b) Utilice la pendiente de cada segmento de recta para determinar el año en que la población aumentó con menor rapidez. (c) Calcule la razón de cambio promedio de la población de Estados Unidos de 2004 a 2009. (d) Utilice la razón de cambio promedio de la población para predecir la población de Estados Unidos en 2020.

Encontrar la pendiente y la intersección En los ejercicios 25 a 30, calcule la pendiente y la intersección en y (si es posible) de la recta.

4x

3

26.

27. x

5y

20

28. 6x

5y

29. x

4

30. y

1

25. y

Dibujar una recta en el plano ce la gráfica de la ecuación.

3

31. y

Encontrar la pendiente de una recta En los ejercicios 17 a 22, encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto y tiene la pendiente indicada. Luego trace la recta.

0 3 5

e

1 −3

d

−4 −5 −7 −8

(a) (b) (c) (d)

x 1

3

f b

a

¿Qué rectas tienen una pendiente positiva? ¿Qué rectas tienen una pendiente negativa? ¿Qué rectas aparecen paralelas? ¿Qué rectas aparecen perpendiculares?

ca de los fundamentos de cálculo. Las biografías presentan a las personas que crearon y contribuyeron al cálculo.

Tecnología A través del libro, los recuadros de tecnología le enseñan a usar tecnología para resolver problemas y explorar conceptos del cálculo. Estas sugerencias también indican algunos obstáculos del uso de la tecnología.

23. Diseñar una banda transportadora Una banda transportadora en movimiento se construye para que suba 1 metro por cada 3 metros de cambio horizontal. (a) Encuentre la pendiente de la cinta transportadora. (b) Suponga que la banda transportadora se extiende entre dos plantas en una fábrica. Encuentre la longitud de la banda transportadora cuando la distancia vertical entre los pisos es de 10 pies. © xtrekx/Shutterstock.com

Encontrar la pendiente de una recta En los ejercicios 5 a 10, grafique el par de puntos y encuentre la pendiente de la recta que pasa por ellos.

5. 3,

c

3

Definiciones Como con los teoremas, las definiciones se enuncian claramente usando terminología precisa, formal y están separadas del texto mediante recuadros para una referencia visual rápida.

Exploraciones Las exploraciones proporcionan retos únicos para estudiar conceptos que aún no se han cubierto formalmente en el libro. Le permiten aprender mediante el descubrimiento e introducir temas relacionados con los que está estudiando en ese momento. El explorar temas de esta manera le invita a pensar de manera más amplia.

vii

2 2x

33. y 35. y 2 37. 2x

1 3 2

2 y

x

y

1 15

Utilice una herramienta de graficación para representar f x

2x 2 3x 2

4x 2x

6 .

16

Describa todas las características importantes de la gráfica. ¿Puede encontrar una sola ventana de observación que muestre con claridad todas estas características? Explique su razonamiento. ¿Cuáles son las asíntotas horizontales de la gráfica, de manera que ésta se encuentre dentro de 0.001 unidades de su asíntota horizontal? Explique su razonamiento.

JOSEPH-LOUIS LAGRANGE (1736-1813) El teorema del valor medio fue demostrado por primera vez por el famoso matemático JosephLouis Lagrange. Nacido en Italia, Lagrange formó parte de la corte de Federico El Grande en Berlín durante 20 años.

En los ejercicios 31 a 38, tra-

32. x

4

34. y

1 3x

1

x

1

36. y

1

3x

3

0

38. x

2y

6

4 0

Encontrar una ecuación de una recta En los ejercicios 39 a 46, encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos.

Luego trace la recta.

39. 0, 0 , 4, 8

Exploración

40.

2,

TEOREMA 5.4

El teorema del valor medio

Si f es continua en el intervalo cerrado a, b y derivable en el intervalo abierto (a, b), entonces existe un número c en (a, b) tal que

2 , 1, 7

f c

f b b

f a . a

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viii

Prefacio

Prácticas de graficación Algunos ejercicios de nuestro mnaterial incluyen el símbolo , mediante el cual se indica que el alumno deberá utilizar una herramienta de graficación o un sistema simbólico de álgebra computarizado.

Proyectos de trabajo Los proyectos de trabajo se presentan en algunas secciones y le invitan a explorar aplicaciones relacionadas con los temas que está estudiando. Proporcionan una forma interesante y atractiva para que usted y otros estudiantes trabajen e investiguen ideas de forma conjunta.

Uso de la tecnología En los ejercicios 63-70, utilice una graficadora para trazar la ecuación. Aproxime el resultado a tres lugares decimales. Verifique su resultado algebraicamente.

63. 5x = 212 65. 8e−2x 3 = 11 67. 3 − ln x = 0

64. 6e1−x = 25 66. e0.09t = 3 68. 10 − 4 ln(x − 2) = 0

69. 2 ln(x + 3) = 3

70. ln(x + 1) = 2 − ln x

PROYECTO DE TRABAJO Río Connecticut

Desafíos del examen Putnam Las preguntas del examen Putnam se presentan en algunas secciones. Estas preguntas de examen Putnam lo desafían y le amplían los límites de su comprensión sobre el cálculo.

DESAFÍOS DEL EXAMEN PUTNAM

Cada vez que el río de Connecticut llega a un nivel de 105 metros sobre el nivel del mar, dos operadores de la estación de control de inundaciones en Northampton, Massachusetts, inician una vigilancia horaria del río. Cada 2 horas, verifican la altura del mismo utilizando una escala marcada en décimas de un pie, y registran los datos en una bitácora. En la primavera de 1996, la vigilancia de la crecida se efectuó del 4 de abril, cuando el río alcanza 105 pies y se elevaba a 0.2 pies por hora, hasta el 25 de abril, cuando el nivel regresó a los 105 pies. Entre estas fechas, los registros muestran que el río creció y bajó varias veces, en un punto cercano a la marca de 115 pies. Si el río hubiera alcanzado 115 pies, la ciudad habría tenido que cerrar la autopista Mount Tom Road (Ruta 5, al sur de Northampton).

La gráfica siguiente muestra la razón de cambio del nivel del río durante una parte de la vigilancia de la crecida. Utilice la gráfica para responder cada pregunta R

Razón de cambio (en pies por día)

Información adicional Además del desarrollo pormenorizado de conceptos, en algunos casos proporcionamos información adicional relevante y de interés para los alumnos, misma que complementa el aprendizaje de los temas vistos.

4 3 2 1 −1 −2 −3 −4

1

3

5

7

9

11

D

Día (0 ↔ 12:01 a.m. Abril 14)

53. Determine el valor máximo de f (x) = x − 3x en un conjunto de números reales x que satisfacen x 4 36 13x2 .

Explicar el razonamiento.

54. Encuentre el valor máximo de 3

x x

1 x6 1 x

x6 3

x3

1 x6 2 1 x3

para x > 0.

Estos problemas fueron preparados por el Committee on the Putnam Prize Competition. © The Mathematical Association of America. Todos los derechos reservados.

Ejercicios complementarios en WebAssign Finalmente, un complemento importante de la obra es la práctica de determinados ejercicios en nuestra plataforma de WebAssign®, donde los estudiantes podrán acceder con una clave exclusiva, para optimizar aún más sus procesos de aprendizaje, mediante actividades y problemas similares a los presentados en cada capítulo de este material.

PARA INFORMACIÓN ADICIONAL Para más información acerca de este tipo de modelado, vea el artículo “How Not to Land at Lake Tahoe”, de Richard Barshinger, en The American Mathematical Monthly. Para consultar este artículo, visite MathArticles.com.

Visite nuestra plataforma en línea y consulte las herramientas que le ofrecemos para enriquecer aún más su experiencia de aprendizaje en esta sección.

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AGRADECIMIENTOS Queremos dar las gracias a muchas personas que nos han ayudado en las diferentes etapas de Cálculo en los últimos 39 años. Su estímulo, críticas y sugerencias han sido invaluables.

Revisores de las ediciones anteriores Denis Bell, University of Northern Florida; Abraham Biggs, Broward Community College; Jesse Blosser, Eastern Mennonite School; Mark Brittenham, University of Nebraska; Mingxiang Chen, North Carolina A & T State University; Marcia Kleinz, Atlantic Cape Community College; Maxine Lifshitz, Friends Academy; Bill Meisel, Florida State College en Jacksonville; Martha Nega, Georgia Perimeter College; Laura Ritter, Southern Polytechnic State University; Chia-Lin Wu, Richard Stockton College of New Jersey; Stan Adamski, Owens Community College; Alexander Arhangelskii, Ohio University; Seth G. Armstrong, Southern Utah University; Jim Ball, Indiana State University; Marcelle Bessman, Jacksonville University; Linda A. Bolte, Eastern Washington University; James Braselton, Georgia Southern University; Harvey Braverman, Middlesex County College; Tim Chappell, Penn Valley Community College; Oiyin Pauline Chow, Harrisburg Area Community College; Julie M. Clark, Hollins University; P. S. Crooke, Vanderbilt University; Jim Dotzler, Nassau Community College; Murray Eisenberg, University of Massachusetts en Amherst; Donna Flint, South Dakota State University; Michael Frantz, University of La Verne; Sudhir Goel, Valdosta State University; Arek Goetz, San Francisco State University; Donna J. Gorton, Butler County Community College; John Gosselin, University of Georgia; Shahryar Heydari, Piedmont College; Guy Hogan, Norfolk State University; Ashok Kumar, Valdosta State University; Kevin J. Leith, Albuquerque Community College; Douglas B. Meade, University of South Carolina; Teri Murphy, University of Oklahoma; Darren Narayan, Rochester Institute of Technology; Susan A. Natale, The Ursuline School, NY; Terence H. Perciante, Wheaton College; James Pommersheim, Reed College; Leland E. Rogers, Pepperdine University; Paul Seeburger, Monroe Community College; Edith A. Silver, Mercer County Community College; Howard Speier, Chandler-Gilbert Community College; Desmond Stephens, Florida A&M University; Jianzhong Su, University of Texas en Arlington; Patrick Ward, Illinois Central College; Diane Zych, Erie Community College.

Muchas gracias a Robert Hostetler, The Behrend College, The Pennsylvania State University, y David Heyd, The Behrend College, The Pennsylvania State University, por sus importantes contribuciones a las ediciones anteriores de este libro.

También nos gustaría dar las gracias al personal de Larson Texts, Inc., que nos ayudó a preparar el manuscrito, a presentar las imágenes, componer y corregir las páginas y suplementos.

A nivel personal, estamos muy agradecidos con nuestras esposas, Deanna Gilbert Larson y Consuelo Edwards, por su amor, paciencia y apoyo. Además, una nota de agradecimiento especial para R. Scott O’Neil.

Si tiene sugerencias para mejorar este libro, por favor no dude en escribirnos. Con los años hemos recibido muchos comentarios útiles de los profesores y estudiantes, y los valoramos mucho.

Ron Larson Bruce Edwards

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CAPÍTULO 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7

1

Funciones especiales

Exponentes y radicales Propiedades de los logaritmos Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Trigonometría del triángulo rectángulo Solución de ecuaciones trigonométricas Ley de senos Ley de cosenos

Movimiento circular (Página 49)

Rampa de patinaje (Página 33)

Intensidad del sonido (Página 15)

Embudo (página 2) Rampa de patinaje (© Stockphoto.com/lzf); Rueda de la fortuna (© Shutterstock.com/Arvitalyaa); Ondas de sonido (© Shutterstock.com/Arvitalyaa Titima Ongkantong); Embudo (© iStockphoto.com/micropic); MUESTRA ISSUU © D.R. 2021 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso.

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1

2

Capítulo 1

FUNCIONES ESPECIALES

1.1 Exponentes y radicales

Visite nuestra plataforma en línea y consulte las herramientas que le ofrecemos para enriquecer aún más su experiencia de aprendizaje en esta sección.

Usar las propiedades de los exponentes.

Usar la notación científica para representar números reales.

Usar las propiedades de los radicales.

Simplificar y combinar expresiones de radicales.

Racionalizar denominadores y numeradores.

Usar las propiedades de los exponentes racionales.

Exponentes enteros y sus propiedades La multiplicación repetida puede escribirse en forma exponencial.

Multiplicación repetida a∙a∙a∙a∙a

Forma exponencial a5

(−4)(−4)(−4)

(−4)3

(2x)(2x)(2x)(2x)

(2x)4

Notación exponencial Si a es un número real y n es un entero positivo, entonces: an = a ∙ a ∙ a . . . a n factores

donde n es el exponente y a es la base. Se lee a n como “a a la enésima potencia”.

© iStockphoto.com/micropic

Un exponente también puede ser negativo o igual a cero. Las propiedades 3 y 4 de abajo muestran cómo usar exponentes negativos y de cero.

Propiedades de los exponentes Sean a y b números reales, variables o expresiones algebraicas y sean m y n enteros.

(Todos los denominadores y bases son diferentes de cero.)

Los números reales y las expresiones algebraicas suelen escribirse con exponentes y radicales. Por ejemplo, en el ejercicio 69 usará una expresión que implica exponentes racionales que determinen el número de veces requerido para que un embudo se vacíe en diferentes alturas de agua.

Propiedad 1. a ma n = a m+n 2.

Ejemplo 32 ∙ 34 = 32+4 = 36 = 729

am = am−n an

3. a−n =

1 1 = an a

x7 = x7− 4 = x 3 x4 n

y−4 =

1 1 = y4 y

4

4. a0 = 1

(x 2 + 1)0 = 1

5. (ab)m = am bm

(5x)3 = 53x3 = 125x3

6. (am)n = amn

( y3)−4 = y3(−4) = y−12 =

7.

a b

m

=

am bm

∣ ∣ ∣∣

8. a2 = a 2 = a2

2 x

3

=

1 y12

23 8 = x3 x3

∣(−2)2∣ = ∣−2∣2 = 22 = 4 = (−2)2

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1.1

Exponentes y radicales

3

Las propiedades de los exponentes enlistadas anteriormente se aplican a todos los enteros m y n, no sólo a los enteros positivos, como se muestra en los ejemplos 1-4.

Es importante reconocer la diferencia entre expresiones como ( 2)4 y 24. En ( 2)4, el paréntesis indica que el exponente se aplica al signo negativo tanto como al 2, mientras que en 24 (2)4 el exponente se aplica sólo al 2. Así, ( 2)4 16 y 24 16.

Evaluación de expresiones exponenciales

EJEMPLO 1

a. (−5)2 = (−5)(−5) = 25

El signo negativo forma parte de la base.

b. −52 = − (5)(5) = −25

El signo negativo no forma parte de la base.

c. 2 ∙ 2 4 = 21+4 = 25 = 32

Propiedad 1

d.

44 1 1 4−6 = 4−2 = 6 = 4 2 = 4 4 16

Propiedades 2 y 3

Evalúe cada expresión: a. −34

b. (−3)4

c. 32 ∙ 3

d.

35 38

TECNOLOGÍA Cuando se usa una calculadora para evaluar expresiones exponenciales, es importante saber cuándo usar paréntesis, porque la calculadora sigue el orden de operaciones. Por ejemplo, he aquí cómo se evaluaría ( 2)2 en una graficadora. (

(− )

2

)

^ 4

ENTER

El resultado exhibido será 16. Si usted omite el paréntesis, el resultado exhibido será 16.

Evaluación de expresiones algebraicas

EJEMPLO 2

Evalúe cada expresión algebraica cuando x 3. a. 5x−2

b.

1 (−x)3 3

Solución a.

Cuando x 3, la expresión 5x 2 tiene un valor de 5x−2 = 5(3)−2 =

5 5 = .

32 9

b. Cuando x 3, la expresión

1 3

( x)3 tiene un valor de

1 1 1 (−x)3 = (−3)3 = (−27) = −9.

3 3 3 Evalúe cada expresión algebraica cuando x 4. a. −x−2

b.

1 (−x)4 4

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4

Capítulo 1

FUNCIONES ESPECIALES

Uso de las propiedades de los exponentes

EJEMPLO 3

Use las propiedades de los exponentes para simplificar cada expresión. b. (2xy2)3

a. (−3ab4)(4ab−3)

c. 3a(−4a2)0

d.

5x3 y

2

Solución a. (−3ab4)(4ab−3) = (−3)(4)(a)(a)(b4)(b−3) = −12a 2b b. (2xy 2)3 = 23(x)3( y 2)3 = 8x3y6 c. 3a(−4a 2)0 = 3a(1) = 3a d.

5x 3 y

2

=

52(x 3)2 25x 6 = 2 y2 y

Use las propiedades de los exponentes para simplificar cada expresión. a. (2x−2y3)(−x 4y)

a b

−m

b = a

a. x−1 = b.

c.

.

d.

−2

y = 3x 2

1 1(x 2) = −2 3x 3

2

x2 3

−2

y2 = 4 9x

3x4 x2y2

2

Propiedad 3 (El exponente −2 no se aplica a 3.)

Simplifique.

12a3b−4 12a3 ∙ a2 = 4a−2b 4b ∙ b4

3x 2 y

d.

Propiedad 3

Propiedad 3

=

3a5 b5

Propiedad 1

=

3−2(x 2)−2 y−2

Propiedades 5 y 7

=

3−2x−4 y−2

Propiedad 6

=

y2 32x 4

Propiedad 3

=

y2 9x 4

Simplifique.

m

Así, usted podría preferir los pasos siguientes para el ejemplo 4d).

3x 2 y

1 x

=

c. (−5z)3(z2)

Reescritura con exponentes positivos

EJEMPLO 4 COMENTARIO Raramente en álgebra hay sólo una manera de resolver un problema. No se preocupe cuando los pasos que siga para resolver un problema no sean exactamente iguales a los presentados en este texto.

Es importante seguir pasos que usted comprenda y, desde luego, pasos que se justifiquen con las reglas del álgebra. Por ejemplo, la forma fraccionaria de la propiedad 3 es:

b. (4a2b3)0

Reescriba cada expresión con exponentes positivos. Simplifique, si es posible.

a. 2a−2 c.

x 10

b. −1

3a−3 b4 15ab−1

d. (−2x2)3(4x3)−1

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1.1

Exponentes y radicales

5

Notación científica Los exponentes brindan una forma eficiente de escribir y calcular con números muy grandes (o muy pequeños). Por ejemplo, hay alrededor de 1 385 miles de millones de litros de agua en la Tierra, es decir 1 385 seguido por 18 ceros.

1,385,000,000,000,000,000,000 Es conveniente escribir tales números en notación científica. Esta notación tiene la forma c 10n, donde 1 c 10 y n es un entero. Así, el número de litros de agua en la Tierra, escrito en notación científica, es: 1.385 1,000,000,000,000,000,000,000 1.385 1021.

El exponente positivo 21 indica que el número es grande (de 10 o más) y que el punto decimal se ha movido 21 lugares. Un exponente negativo indica que el número es pequeño (menor que 1). Por ejemplo, la masa (en gramos) de un electrón es aproximadamente: 9.1 × 10−28 = 0.00000000000000000000000000091.

28 lugares decimales

TECNOLOGÍA La mayoría de las calculadoras pasan automáticamente a notación científica cuando muestran números grandes (o pequeños) que exceden el rango de la pantalla. Para introducir números en notación científica, su calculadora debería tener una tecla de entrada exponencial que diga: EE

o

EXP .

Consulte la guía del usuario para conocer instrucciones de tecleo y saber cómo presenta su calculadora números en notación científica.

EJEMPLO 5

Notación científica

a. 0.0000782 = 7.82 × 10−5 b. 836,100,000 = 8.361 × 108 Escriba 45,850 en notación científica.

EJEMPLO 6

Notación decimal

a. −9.36 × 10−6 = −0.00000936 b. 1.345 × 102 = 134.5 Escriba 2.718 10 3 en notación decimal.

EJEMPLO 7 Evalúe

Uso de la notación científica

(2,400,000,000)(0.0000045) (0.00003)(1500)

Solución Comience por reescribir cada número en notación científica. Simplifique después.

(2,400,000,000)(0.0000045) (2.4 × 109)(4.5 × 10−6) = (0.00003)(1500) (3.0 × 10−5)(1.5 × 103) =

(2.4)(4.5)(103) (4.5)(10−2)

= (2.4)(105) = 240,000 Evalúe (24,000,000,000)(0.00000012)(300,000).

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6

Capítulo 1

FUNCIONES ESPECIALES

Radicales y sus propiedades La raíz cuadrada de un número es uno de sus dos factores iguales. Por ejemplo, 5 es una raíz cuadrada de 25, porque 5 es uno de los dos factores iguales de 25. En forma similar, una raíz cúbica de un número es uno de sus tres factores iguales, como en 125 53.

Definición de la raíz enésima de un número Sean a y b números reales y sea n 2 un entero positivo. Si a bn entonces b es una raíz enésima de a. Si n 2, la raíz es una raíz cuadrada. Si n 3, la raíz es una raíz cúbica.

Algunos números tienen más de una raíz enésima. Por ejemplo, tanto 5 como 5 son raíces cuadradas de 25. La raíz cuadrada principal de 25, escrita como 25, es la raíz positiva 5.

Principal raíz enésima de un número Sea a un número real que tiene al menos una raíz enésima. La principal raíz enésima de a es la raíz enésima que tiene el mismo signo que a. Se denota con un símbolo radical n

a

Raíz enésima principal.

El entero positivo n 2 es el índice del radical y el número a es el radicando. Cuando 2 n 2, omita el índice y escriba a en lugar de a. (El plural de índice es índices.)

Un frecuente malentendido es que el signo de raíz cuadrada implica raíces tanto negativas como positivas. Esto no es correcto. El signo de la raíz cuadrada implica sólo una raíz positiva. Cuando se necesita una raíz negativa, se debe usar el signo negativo con el signo de raíz cuadrada.

Incorrecto:

4 = ±2

4 = −2 y

36 = 6 porque 62 = 36.

b. −

36 = −6 porque − ( 36) = − ( 62) = − (6) = −6.

c.

125 5 = porque 64 4

d. e.

4=2

Evaluación de expresiones radicales

EJEMPLO 8 a.

Correcto: −

3

5

5 4

3

=

53 125 = .

43 64

−32 = −2 porque (−2)5 = −32.

4

81 no es un número real porque ningún número real elevado a la cuarta potencia produce 81.

Evalúe cada expresión, si es posible.

a. −

144

b.

c.

25 64

d. −

−144 3

8 27

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1.1

Exponentes y radicales

7

He aquí algunas generalizaciones sobre las raíces enésimas de los números reales.

Generalizaciones sobre raíces enésimas de números reales Número real a

Entero n > 0

Raíz o raíces de a

Ejemplo

a > 0

n es par

n

a, − n a

4

81 = 3, − 4 81 = −3

a > 0 oa < 0

n es impar

n

a

3

−8 = −2

a < 0

n es par

a=0

n es par o impar

−4 no es un número real.

Ninguna raíz real n

0=0

5

0=0

Enteros como 1, 4, 9, 16, 25 y 36 son cuadrados perfectos porque tienen raíces cuadradas enteras. De igual forma, enteros como 1, 8, 27, 64 y 125 son cubos perfectos, porque tienen raíces cúbicas enteras.

Propiedades de los radicales Sean a y b números reales, variables o expresiones algebraicas, tales que las siguientes raíces son números reales y sean m y n enteros positivos.

Propiedad

Ejemplo

1.

n

am = ( n a )

2.

n

a ∙

n

a = b

3.

n

m

4.

m n

5.

( n a)

n

b=

n

n

mn

4

b≠0

4 3

a

(

=a

6. Para n par,

n

∣∣

n

Para n impar,

2

an = a.

Un uso común de la propiedad 6 es

5∙7=

7=

27 = 9

27 = 9

4

10 =

6

4

3

10

3) = 3 2

(−12)2 = ∣−12∣ = 12

a = a. n

82 = ( 3 8 ) = (2)2 = 4 5∙

ab

a , b

n

a=

3

3

(−12)3 = −12

∣∣

a2 = a .

Uso de las propiedades de los radicales

EJEMPLO 9

Use las propiedades de los radicales para simplificar cada expresión.

8∙

a. c.

3

b.

2

d.

x3

( 3 5 )3 6

y6

Solución 8∙

a. c.

3

8∙2=

2=

x3 = x

16 = 4

b. d.

( 3 5 )3 = 5 6

∣∣

y6 = y

Use las propiedades de los radicales para simplificar cada expresión.

125 5

a. c.

3

x2 ∙

b.

3

x

3

1252

d.

x

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35

8

Capítulo 1

FUNCIONES ESPECIALES

Simplificación de expresiones radicales Una expresión que implica radicales está en su forma más simple cuando se satisfacen las tres condiciones siguientes: 1. Todos los factores posibles han sido eliminados del radical.

2. Todas las fracciones tienen denominadores sin radicales (un proceso llamado racionalización del denominador logra esto).

3. El índice del radical es reducido.

Para simplificar un radical, factorice el radicando en factores cuyos exponentes sean múltiplos del índice. Escriba las raíces de estos factores afuera del radical. Los factores “sobrantes” componen el nuevo radicando.

EJEMPLO 10

Simplificación de expresiones radicales Cubo perfecto

COMENTARIO Cuando se simplifica un radical, es importante que las expresiones tanto original como simplificada sean definidas para los mismos valores de la variable. En el ejemplo 10c),

a.

3

24 =

Factor sobrante

8∙3=

3

4ª potencia perfecta

75x3 y 5x (3x), sólo se definen para valores no negativos de x. De igual forma, en el ejemplo 10e),

b.

4

c.

(5x)4 y 5 ∣ x ∣ se definen para todos los valores reales de x.

48 =

3

factor sobrante

16 ∙ 3 =

4

23 ∙ 3 = 2 3 3

4

24 ∙ 3 = 2 4 3

(5x)2 ∙ 3x = 5x 3x

25x 2 ∙ 3x =

75x3 =

8a3 ∙ 3a =

d.

3

24a4 =

e.

4

(5x)4 = ∣5x∣ = 5∣x∣

3

3

(2a)3 ∙ 3a = 2a 3 3a

Simplifique cada expresión radical. a.

b.

32

3

c.

250

24a5

d.

3

−135x3

Expresiones radicales pueden combinarse (sumarse o restarse) cuando son radicales 1 iguales; es decir, cuando tienen el mismo índice y radicando. Por ejemplo, 2, 3 2, y 2 2 son radicales iguales pero 3 y 2 son radicales desiguales. Para determinar si dos radicales pueden combinarse, simplifique primero cada radical.

EJEMPLO 11

Combinación de expresiones radicales

a. 2 48 − 3 27 = 2 16 ∙ 3 − 3 9 ∙ 3

b.

3

16x −

3

Determine los factores cuadrados.

=8 3−9 3

Determine las raíces cuadradas y multiplique por los coeficientes.

= (8 − 9) 3

Combine los radicales iguales.

=−

Simplifique.

54x 4 =

3 8 ∙ 2x −

3

3

27x 3 ∙ 2x

Determine los factores cúbicos.

= 2 3 2x − 3x 3 2x

Determine las raíces cúbicas.

= (2 − 3x) 3 2x

Combine los radicales iguales.

Simplifique cada expresión radical. a. 3 8 +

18

b.

3

81x5 −

3

24x2

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1.1

Exponentes y radicales

9

Racionalización de denominadores y numeradores Para racionalizar un denominador o numerador de la forma a b m o a b m, multiplique tanto el numerador como el denominador por un conjugado: a b m y a b m son conjugados entre sí. Si a 0, el factor de racionalización para m es él mismo, m. Para las raíces cúbicas, elija un factor de racionalización que produzca un radicando de cubo perfecto.

Racionalización de denominadores con un solo término

EJEMPLO 12

a.

b.

5 2 3

5 2 5 2 5

2 5

3 3

3 3 3 3 6

Multiplique.

Simplifique.

3

2 5

3

3 es el factor de racionalización.

52 52

3

3

3

52 3 53 2 3 25 5 2

52 es el factor de racionalización.

3

Multiplique.

Simplifique.

Racionalice el denominador de cada expresión. a.

5

b.

3 2

3+

7

= = = =

2 3+ 3(3 −

25

Racionalización de un denominador con dos términos

EJEMPLO 13 2

1 3

7

∙

3−

7

3−

7

2(3 − 7) +

2(3 −

7)

7(3 −

2(3 −

3(3) − 3( 7 ) +

Multiplique el numerador y el denominador por un conjugado del denominador.

Propiedad distributiva.

7)

7)

7(3) −

7( 7 )

7)

Simplifique.

(3) − ( 7 )2 2

2(3 − 7 ) 2 =3− 7 =

Racionalice el denominador:

Propiedad distributiva.

Simplifique.

Divida entre un factor común.

8 6−

2

.

¡IMPORTANTE! A veces es necesario racionalizar el numerador de una expresión.

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10

Capítulo 1

FUNCIONES ESPECIALES

1.1 Ejercicios Vocabulario: llene los espacios en blanco.

1. En la forma exponencial an, n es el

y a es la

.

2. Una forma conveniente de escribir números muy grandes o muy pequeños es la 3. Uno de los dos factores iguales de un número es una 4. En la forma radical

n

.

del número.

a , el entero positivo n es el _____________ del radical y el número a es el

.

5. Las expresiones radicales pueden combinarse (sumarse o restarse) cuando son 6. Las expresiones a b

mya b

m son

.

entre sí.

7. El proceso usado para crear un denominador sin radicales se conoce como 8. En la expresión bm/n, m denota la

del denominador.

a la que se eleva la base y n denota el

o raíz por obtener.

Habilidades y aplicaciones Evaluación de expresiones exponenciales En los ejercicios 9-14, evalúe cada expresión.

9. a) 5 ∙ 53 10. a) ( )

33 0

∙ 32)2

11. a) (23 12. a)

3 3−4

b)

52 54

b)

−32 −

b)

3 5

3

5 3

2

b) 48(−4)−3

4 ∙ 3−2 2−2 ∙ 3−1 14. a) 3−1 + 2−2 13. a)

b) (−2)0

15.

x=2 17. 6x 0, x = 10 19. −3x 4, x = −2

16. x=4 18. 2x 3, x = −3 20. 12(−x)3, x = − 13 7x−2,

Uso de las propiedades de los exponentes En los ejercicios 21-26, simplifique cada expresión.

21. a) (5z)3

b) 5x4(x2)

22. a) (−2x)

b) (

2

23. a)

6y 2

(

)

25. a)

4 y

)

b) (−z)3(3z4) 12(x + y)3 b) 9(x + y)

7x 2 24. a) 3 x 3

3 y

4

26. a) [(x2y−2)−1]−1

b)

b−2 a−2

b) (2x 2)−2

28. a) (4y−2)(8y4)

b) (z + 2)−3(z + 2)−1

x−3y 4 −3 5 n 3 ∙ 32n 30. a) 3n 3 ∙ 32

a−2 b b−2 a x 2 ∙ xn b) 3 n x ∙x

29. a)

3

b)

31. 10,250.4

32. −0.000125

Notación decimal En los ejercicios 33-36, escriba el número en notación decimal.

33. 3.14 × 10−4 34. −2.058 × 106 12 35. Año luz: 9.46 10 km 36. Diámetro de un cabello humano: 9.0 10 6 m Uso de la notación científica En los ejercicios 37 y 38, evalúe cada expresión sin usar una calculadora.

37. a) (2.0 × 109)(3.4 × 10−4)

4x 3 0

2y0 2

27. a) (x + 5)0

Notación científica En los ejercicios 31 y 32, escriba el número en notación científica.

b) (3−2)2

Evaluación de una expresión algebraica En los ejercicios 15-20, evalúe la expresión para el valor dado de x. −3x 3,

Reescritura con exponentes positivos En los ejercicios 27-30, reescriba cada expresión con exponentes positivos. Simplifique, si es posible.

b a

2

b) (5x2z6)3(5x2z6)−3

a) (1.2 × 107)(5.0 × 10−3) 38. a)

6.0 × 108 3.0 × 10−3

b)

2.5 × 10−3 5.0 × 102

Evaluación de expresiones radicales En los ejercicios 39 y 40, evalúe cada expresión sin usar una calculadora.

39. a)

9

b)

3 27

8

40. a)

3

27

b)

(

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36)

3

1.1

Uso de las propiedades de los radicales En los ejercicios 41 y 42, use las propiedades de los radicales para simplificar cada expresión.

41. a) 42. a)

( 5 2 )5

12 ∙

5

b) b)

3

4

32x5 (3x2)4

63. a) 64. a)

4 6

Exponentes y radicales

32 x3

65. a)

b) b) 32

b)

6 4

11

(x + 1)4 (3x2)4 4

2x

243(x + 1)

66. a) 3

Simplificación de expresiones radicales En los ejercicios 43-50, simplifique cada expresión radical.

43. a) 44. a) 45. a) 46. a)

b) b) b)

20 3 16

27

72x3 182 z3 16x5 3x 4 y 2

47. a) 3 48. a) 4 49. a) 2 20x2 + 5 125x2 b) 8 147x − 3 48x 50. a) 3 3 54x3 + 3 16x3 b) 3 64x − 3 27x 4

3

128 75 4

b) 10a7b 67. a) (x − 1)1 3(x − 1)2

b) (x − 1)1 3(x − 1)−4 3 68. a) (4x + 3)5 2(4x + 3)−5 3 b) (4x + 3)−5 2(4x + 3)2 3 69. Modelado matemático Un embudo se llena con agua a una altura de h cm.

La fórmula

54xy4

b)

32a4 b2

b) b)

75x2y−4 160x 8z 4

5

Racionalización de un denominador En los ejercicios 51-54, racionalice el denominador de la expresión.

Después simplifique su respuesta.

1 8 51.

52. 3 3 2 3 5 53.

54.

5+ 6 14 − 2

t = 0.03[125

5+ 3

3

Escritura en formas exponencial y radical En los ejercicios 57-60, llene la forma faltante de la expresión.

Forma radical 57.

3

64 2 58. x x 59.■ 60.■

Forma de exponente racional

■ ■ 3x−2

¿Verdadero o falso? En los ejercicios 71-74, determine si el enunciado es verdadero o falso. Justifique su respuesta.

a0.4

b) b)

Exploración

3

Simplificación de expresiones 61-68, simplifique cada expresión.

61. a) 32−3 5 62. a) 100−3 2

− (12 − h)5 2], 0 ≤ h ≤ 12

¿CÓMO LO VE? El paquete A es un cubo con un volumen de 500 cm3. El paquete B es un cubo con un volumen de 250 cm3. ¿Es la longitud x de un lado x del paquete A mayor que, menor que o igual a dos veces la x longitud de un lado x del paquete B? Explique su respuesta.

770..

70

7−3 4

56.

2

representa la cantidad de tiempo t (en segundos) que tardará el embudo en vaciarse. Use la función table de una graficadora para determinar los cropic © iStockphoto.com/mi tiempos requeridos para que el embudo se vacíe para alturas de agua de h 0, h 1, h 2, . . . , h 12 cm.

Racionalización de un numerador En los ejercicios 55 y 56, racionalice el numerador de la expresión. Después simplifique su respuesta.

55.

3

( ) ()

16 −3 4 81 9 −1 2 4

En los ejercicios

71.

x k+1 = xk x

72. (a n) k = a n

k

73. (a + b)2 = a2 + b2 74.

a b

=

a2

(

b)2

=

a2 b

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12

Capítulo 1

FUNCIONES ESPECIALES

1.2 Propiedades de los logaritmos

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Usar la fórmula de cambio de base para reescribir y evaluar expresiones logarítmicas.

Usar propiedades de los logaritmos para evaluar o reescribir expresiones logarítmicas.

Usar propiedades de los logaritmos para expandir o condensar expresiones logarítmicas.

Usar funciones logarítmicas para modelar y resolver problemas de la vida real.

Cambio de base Casi todas las calculadoras tienen sólo dos tipos de teclas de logaritmos, LOG para logaritmos comunes (base 10) y LN para logaritmos naturales (base e). Aun cuando los logaritmos comunes y los naturales son los que se usan con más frecuencia, ocasionalmente es necesario evaluar logaritmos con otras bases. Para hacer esto se puede usar la fórmula de cambio de base.

Fórmula de cambio de base Sean a, b y x números reales positivos tales que a 1 y b 1. Entonces loga x se puede convertir a una base diferente como sigue Base b loga x =

Base 10 logb x logb a

loga x =

Base e log x log a

loga x =

ln x ln a

Una forma de ver la fórmula de cambio de base es que los logaritmos de base a son múltiplos constantes de logaritmos con base b. El multiplicador constante es: 1 . logb a EJEMPLO 1

Cambiar bases usando logaritmos comunes

log 25 log 4 1.39794 ≈ 0.60206 ≈ 2.3219

© Titima Ongkantong/Shutterstock.com

log4 25 =

loga x =

log x log a

Usar calculadora.

Simplificar.

Evalúe log2 12 utilizando la fórmula de cambio de base y logaritmos comunes.

EJEMPLO 2

Se pueden usar funciones logarítmicas para modelar y resolver problemas de la vida real. Por ejemplo, en los ejercicios 79-82, el lector usará una función logarítmica para modelar la relación entre el número de decibeles y la intensidad de un sonido.

Cambiar bases usando logaritmos naturales

ln 25 ln 4 3.21888 ≈ 1.38629 ≈ 2.3219

log4 25 =

loga x =

ln x ln a

Usar calculadora.

Simplificar.

Evalúe log2 12 utilizando la fórmula de cambio de base y logaritmos naturales.

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1.2

Propiedades de los logaritmos

13

Propiedades de los logaritmos COMENTARIO No hay una propiedad general que se pueda usar para reescribir loga(u v).

Específicamente, loga(u v) no es igual a loga u loga v.

Usted ya sabe que la función logarítmica con base a es la función inversa de la función exponencial con base a. En consecuencia, tiene sentido que las propiedades de los exponentes deben tener propiedades correspondientes que comprendan los logaritmos.

Por ejemplo, la propiedad exponencial aman am n tiene la correspondiente propiedad logarítmica loga(uv) loga u loga v.

Propiedades de los logaritmos Sea a un número positivo tal que a 1, sea n un número real y sean u y v números reales positivos.

1. Propiedad del producto:

Logaritmo con base a loga(uv) = loga u + loga v

2. Propiedad del cociente:

loga

Logaritmo natural ln(uv) = ln u + ln v

u = loga u − loga v v

ln

3. Propiedad de la potencia: loga un = n loga u

NOTA HISTÓRICA

u = ln u − ln v v

ln un = n ln u

Usar propiedades de los logaritmos

EJEMPLO 3

Escriba cada logaritmo en términos de ln 2 y ln 3. © Mary Evans Picture Library/Alamy Stock Photo

a. ln 6

b. ln

2 27

Solución a. ln 6 = ln(2 ∙ 3)

Reescribir 6 como 2 ∙ 3.

= ln 2 + ln 3 2 b. ln = ln 2 − ln 27 27

John Napier, matemático escocés, inventó los logaritmos como medio para simplificar cálculos tediosos.

Napier trabajó durante 20 años en el desarrollo de los logaritmos antes de publicar su trabajo en 1614. Napier tuvo éxito sólo parcial en su búsqueda por simplificar cálculos tediosos, pero el desarrollo de los logaritmos fue un paso adelante y recibió inmediato reconocimiento.

Propiedad del producto.

Propiedad del cociente.

= ln 2 − ln 33

Reescribir 27 como 3 3.

= ln 2 − 3 ln 3

Propiedad de potencia.

Escriba cada logaritmo en términos de log 3 y log 5. a. log 75

b. log

9 125

Uso de propiedades de los logaritmos

EJEMPLO 4

Encuentre el valor exacto de log5

3

5 sin usar calculadora.

Solución log5

3

5 = log5 51

3

= 3 log5 5 = 3 (1) = 3 1

1

1

Encuentre el valor exacto de ln e6 ln e2 sin usar calculadora.

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14

Capítulo 1

FUNCIONES ESPECIALES

1.2 Ejercicios Vocabulario En los ejercicios 2-6, complete los espacios en blanco.

1. Para evaluar un logaritmo de cualquier base, se puede usar la fórmula de 2. La fórmula del cambio de base para la base e es loga x

.

.

3. Si se puede considerar loga x como un múltiplo constante de logb x, el multiplicador constante es

.

4. Indique la propiedad de los logaritmos que se ilustra en cada uno de los enunciados siguientes. u a) ln(uv) = ln u + ln v b) loga u n = n loga u c) ln = ln u − ln v v

Habilidades y aplicaciones Cambio de base En los ejercicios 5-8, reescriba el logaritmo como un cociente de a) logaritmos comunes y b) logaritmos naturales.

5. log5 16 7.

6. log1 5 4 8. log2.6 x

3 logx 10

Uso de la fórmula de cambio de base En los ejercicios 9-12, evalúe el logaritmo usando la fórmula de cambio de base. Redondee su resultado a tres posiciones decimales.

9. log3 17

10. log0.4 12 12. log2 3 0.125

11. logπ 0.5

Uso de propiedades de logaritmos En los ejercicios 13-18, utilice las propiedades de logaritmos para escribir el logaritmo en términos de log3 5 y log3 7.

13. log3 35 15.

17.

14.

7 log3 25 log3 21 5

log3 57

16. log3 175 18. log3 45 49

Uso de propiedades de logaritmos En los ejercicios 19-32, encuentre el valor exacto de la expresión logarítmica sin usar una calculadora. (Si esto no es posible, indique la razón.)

19. log3 9 21. log6

3 1

6

35. logb 0.04

36. logb

37. logb 45

38. logb(3b2)

39. logb(2b)−2

40. logb

8

26. ln(1

e)

28. 2 ln e6 − ln e5

29. log5 75 − log5 3

30. log4 2 + log4 32

31. log4 8

32. log8 16

3

3b

41. ln 7x

42. log3 13z

43. log8

x4

44. ln(xy)3

45. log5

5 x

46. log6

w2 v

47. ln

z

48. ln

t

49. ln

yz2

52. ln

x2

55. log5 57. ln 59. ln

3

4

3

50. log4 11b2c

51. ln z(z − 1)2,

54. ln

4

2

Expandir una expresión logarítmica En los ejercicios 41-60, utilice las propiedades de logaritmos para expandir la expresión como una suma, diferencia y/o un múltiplo constante de logaritmos. (Suponga que todas las variables son positivas.)

22. log2

25. ln

27. ln e2 + ln e5

34. logb 23

53. log2

24. log3(−27)

e3

33. logb 10

1 20. log5 125

23. log2(−2) 4

Uso de propiedades de logaritmos En los ejercicios 33-40, aproxime el logaritmo usando las propiedades de logaritmos, dado logb 2 < 0.3562, logb 3 < 0.5646 y logb 5 < 0.8271.

−1 , x3

z > 1 x > 1

a2 − 4 , 7 3 2 x +1 x2 y2z3 yz x2 x3(x2 + 3)

a > 2

56. log10

xy4 z5

58. log2 x4 60. ln

y z3

x2(x + 2)

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1.2

Condensación de una expresión logarítmica En los ejercicios 61-76, condense la expresión a un logaritmo de una sola cantidad.

61.

63.

65.

67.

69.

70.

71.

72.

73.

74.

75.

ln 3 + ln x 62. log5 8 − log5 t 2 log ( z − 2 ) 64. −4 ln 3x 3 7 66. 2 log2 x + 4 log2 y log3 5x − 4 log3 x log x + 2 log(x + 1) 68. 2 ln 8 − 5 ln(z − 4) log x − 2 log y + 3 log z 3 log3 x + 14 log3 y − 4 log3 z ln x − [ln(x + 1) + ln(x − 1)] 4[ln z + ln(z + 5)] − 2 ln(z − 5) 1 2 2 [2 ln(x + 3) + ln x − ln(x − 1)] 2[3 ln x − ln(x + 1) − ln(x − 1)] 1 3 [log8 y + 2 log8( y + 4)] − log8( y − 1)

76. 12 [log4(x + 1) + 2 log4(x − 1)] + 6 log4 x Comparación de cantidades logarítmicas En los ejercicios 77 y 78, determinar (si existen) cuáles expresiones logarítmicas son iguales. Justifique su respuesta.

77.

log2 32 32 , log2 , log2 32 − log2 4 log2 4 4

78. log7 70, log7 35,

1 2

+ log7

10

Intensidad del sonido En los ejercicios 79–82, utilice la siguiente información. La relación entre el número de decibeles B y la intensidad de un sonido I (en watts por metro cuadrado) es: I /Shutterstock.com © Titima Ongkantong .

10 12 Utilice las propiedades de los logaritmos para escribir la fórmula en una forma más simple. Luego determine el número de decibeles de un sonido con una intensidad de 10 6 watts por metro cuadrado.

Encuentre la diferencia en la sonoridad entre un volumen promedio de oficina con una intensidad de 1.26 10 7 watts por metro cuadrado y un estudio de transmisión con una intensidad de 3.16 10 10 watts por metro cuadrado.

Encuentre la diferencia en volumen entre una aspiradora con una intensidad de 10 4 watts por metro cuadrado y el susurro de hojas con una intensidad de 10 11 watts por metro cuadrado.

Usted y su compañero de cuarto están tocando sus estéreos al mismo tiempo y a la misma intensidad. ¿Cuánto más fuerte es la música cuando ambos estéreos están tocando en comparación con la reproducción de un solo estéreo? β

79.

80.

81.

82.

10 log

15

Propiedades de los logaritmos

Ajuste de curvas En los ejercicios 83-86, encuentre una ecuación logarítmica que relacione y y x.

83.

84.

85.

86.

x

1

2

3

4

5

6

y

1

1.189

1.316

1.414

1.495

1.565

x

1

2

3

4

5

6

y

1

0.630

0.481

0.397

0.342

0.303

x

1

2

3

4

5

6

y

2.5

2.102

1.9

1.768

1.672

1.597

x

1

2

3

4

5

6

y

0.5

2.828

7.794

16

27.951

44.091

87. Rapidez de galope de animales Los animales de cuatro patas corren con dos tipos de movimiento: trote y galope. Un animal que trota siempre tiene al menos una pata en el suelo, en tanto que el que galopa tiene sus cuatro patas sin tocar el suelo en algún punto de su zancada o tranco. El número de zancadas por minuto en el que un animal pasa de trotar a galopar depende de su peso. Use la tabla siguiente para encontrar una ecuación logarítmica que relacione el peso x del animal (en kilogramos) y su rapidez y más baja de galope (en zancadas por minuto).

Rapidez , x

Rapidez de galope, y

11.3

191.5

15.9

182.7

22.7

173.8

34.0

164.2

226.8

125.9

453.6

114.2

88. Longitud del clavo Longitudes y diámetros aproximados (en milímetros) de los clavos comunes brillantes del alambre se demuestran en la mesa. Encuentre una ecuación logarítmica que relacione el diámetro y de un clavo de alambre común brillante a su longitud x.

Longitud, x

Diámetro, y

50.8

2.87

76.2

3.76

101.6

4.88

127.0

5.72

152.4

6.65

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16

Capítulo 1

FUNCIONES ESPECIALES

89. Comparar modelos Un vaso de agua a una temperatura inicial de 78°C se coloca en un cuarto a una temperatura de 21°C. La temperatura del agua se mide cada 5 minutos durante un periodo de media hora. Los resultados se registran como pares ordenados de la forma (t, T), donde t es el tiempo (en minutos) y T es la temperatura (en grados Celsius).

(0, 78.0°), (5, 66.0°), (10, 57.5°), (15, 51.2°), (20, 46.3°), (25, 42.4°), (30, 39.6°) a) Reste la temperatura ambiente de cada una de las temperaturas en los pares ordenados. Utilice una graficadora para trazar los puntos de datos (t, T) y (t, T − 21). b) Un modelo exponencial para los datos (t, T 21) está dado por T 21 54.4(0.964)t. Despeje T y grafique el modelo. Compare el resultado con la gráfica de los datos originales. c) Use una graficadora para trazar los puntos (t, ln(T − 21)) y observe que los puntos parecen ser lineales. Use la instrucción regression de la calculadora para ajustar una recta a estos datos. Esta recta resultante tiene la forma ln(T 21) at b, que es equivalente a eln(T 21) eat b. Despeje T y verifique que el resultado es equivalente al modelo del inciso b). d) Ajuste un modelo racional a los datos. Tome los recíprocos de las coordenadas y de los puntos de los datos revisados para generar los puntos: t,

1 .

T − 21

Use una graficadora para trazar estos puntos y observe que parecen lineales. Use la instrucción regression de la calculadora para ajustar una recta a estos datos. La recta resultante tiene la forma: 1 = at + b.

T − 21 Despeje T y use una graficadora para trazar la función racional y los puntos de datos originales.

90. Escritura Escriba un breve párrafo explicando por qué las transformaciones de los datos en el ejercicio 89 fueron necesarias para obtener los modelos. ¿Por qué tomar los logaritmos de las temperaturas conduce a una gráfica de dispersión lineal? ¿Por qué tomar los recíprocos de las temperaturas conduce a una gráfica de dispersión lineal?

93. f (x − 2) = f (x) − f (2),

x > 2

f (x) = f (x) 1 2

94.

95. Si f (u) = 2f (v), entonces v = u2.

96. Si f (x) < 0, entonces 0 < x < 1.

Uso de la fórmula de cambio de base En los ejercicios 97-100, utilice la fórmula de cambio de base para reescribir el logaritmo como un cociente de logaritmos.

Luego, utilice una graficadora para trazar el cociente.

97. f (x) = log2 x 98. f (x) = log1 2 x 99. f (x) = log1 4 x 100. f (x) = log11.8 x Análisis de error En los ejercicios 101 y 102, describa el error.

101. (ln e)2 = 2(ln e) = 2(1) = 2 102. log2 8 = log2(4 + 4) = log2 4 + log2 4 = log2 22 + log2 22 =2+2 =4 103. Razonamiento Gráfico

Use una graficadora para x trazar y1 ln x ln(x 3) y y2 en la misma x 3 pantalla. ¿La graficadora muestra las funciones con el mismo dominio? Si no, explique por qué algunos números están en el dominio de una función pero no de la otra.

1104.

10 4..

¿CÓMO LO VE? La figura muestra las gráficas de y ln x, y ln x 2, y ln 2x y y ln 2. Relacione cada función con su gráfica. (Las gráficas están etiquetadas de la A a la D.) Explique. y 3

D

2

C B

1

A x

Exploración

1

3

4

−1

¿Verdadero o falso? En los ejercicios 91-96, determine si el enunciado es verdadero o falso dado que f(x) ln x. Justifique su respuesta.

91. f (0) = 0 92. f (ax) = f (a) + f (x),

2

a > 0,

x > 0

105. Piénselo ¿Para cuántos enteros entre 1 y 20 se pueden aproximar los logaritmos naturales, dados los valores ln 2 ⬇ 0.6931, ln 3 ⬇ 1.0986, y ln 5 ⬇ 1.6094?

Aproxime estos logaritmos (no use calculadora).

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1.3

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

17

1.3 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

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Resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas sencillas.

Resolver ecuaciones exponenciales más complicadas.

Resolver ecuaciones logarítmicas más complicadas.

Usar ecuaciones exponenciales y logarítmicas para modelar y resolver problemas de la vida real.

Introducción En esta sección, estudiaremos procedimientos para resolver ecuaciones que contengan funciones exponenciales y logarítmicas.

Hay dos estrategias básicas para resolver ecuaciones exponenciales o logarítmicas. La primera está basada en las propiedades biunívocas y se usa para resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas sencillas. La segunda está basada en las propiedades inversas. Para a 0 y a 1, las siguientes propiedades son verdaderas para toda x y toda y para las cuales loga x y loga y están definidos.

Propiedades biunívocas

Propiedades inversas

a a si y sólo si x y.

aloga x x

loga x loga y si y sólo si x y.

loga ax x

x

y

EJEMPLO 1

Resolver ecuaciones sencillas

© Alexander Kuguchin/Shutterstock.com

Ecuación original a.

2x

Ecuación reescrita

= 32

2x

b. ln x − ln 3 = 0 c.

Se usan ecuaciones exponenciales y logarítmicas para modelar y resolver aplicaciones de las ciencias de la vida.

Por ejemplo, en el ejercicio 83 se usa una función exponencial para modelar la población de un castor en una determinada área.

()

1 x 3

=9

=

25

ln x = ln 3 3−x

=

32

d. ex = 7

ln e x = ln 7

e. ln x = −3

eln x

f. log x = −1

10log x = 10−1

g. log3 x = 4

3log3 x

=

e−3

=

34

Solución

Propiedad

x=5

Biunívocas

x=3

Biunívocas

x = −2

Biunívocas

x = ln 7

Inversa

x=

Inversa

e−3

1 x = 10−1 = 10

Inversa

x = 81

Inversa

Despeje x de cada ecuación. a. 2x = 512

b. log6 x = 3

c. 5 − e x = 0

d. 9x = 13

Estrategias para resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas 1. Reescriba la ecuación original en una forma que permita usar las propiedades biunívocas de funciones exponenciales o logarítmicas.

2. Reescriba una ecuación exponencial en forma logarítmica y aplique la propiedad inversa de las funciones logarítmicas.

3. Reescriba una ecuación logarítmica en forma exponencial y aplique la propiedad inversa de las funciones exponenciales.

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18

Capítulo 1

FUNCIONES ESPECIALES

Resolver ecuaciones exponenciales Resolver ecuaciones exponenciales

EJEMPLO 2

Resuelva cada ecuación y aproxime el resultado a tres lugares decimales, si es necesario. b. 3(2x) = 42

a. e−x = e−3x−4 2

Solución a.

e−x = e−3x−4

Escribir la ecuación original.

−x2

Propiedad biunívoca.

2

= −3x − 4

x2 − 3x − 4 = 0 COMENTARIO Otra forma de resolver el ejemplo 2b) es obtener el logaritmo natural de cada lado y luego aplicar la propiedad de la potencia, como sigue.

3(2x) = 42 2x = 14 ln 2x = ln 14 x ln 2 = ln 14 ln 14 x= ≈ 3.807 ln 2

Escribir en forma general.

(x + 1)(x − 4) = 0

Factorizar.

x+1=0

x = −1

Igualar a 0 el primer factor.

x−4=0

x=4

Igualar a 0 el segundo factor.

Las soluciones son x 1 y x 4. Verifíquelas en la ecuación original. b.

3(2x) = 42

Escribir la ecuación original.

2x = 14 log2

Dividir cada lado entre 3.

= log2 14

2x

Obtener el logaritmo (base 2) de cada lado.

x = log2 14 x=

Note que se obtiene el mismo resultado.

Propiedad inversa.

ln 14 ≈ 3.807 ln 2

Fórmula de cambio de base.

La solución es x log2 14 < 3.807. Verifíquelo en la ecuación original.

Resuelva cada ecuación y aproxime el resultado a tres lugares decimales, en caso necesario. a. e2x = e x

2

−8

b. 2(5x) = 32

En el ejemplo 2b), la solución exacta es x log2 14, y la solución aproximada es x < 3.807. Se prefiere una respuesta exacta cuando la solución es un paso intermedio en un problema más grande. Para una respuesta final, una solución aproximada es más fácil de entender.

EJEMPLO 3

Resolver una ecuación exponencial

Resuelva ex 5 60 y aproxime el resultado a tres lugares decimales.

Solución e x + 5 = 60 COMENTARIO Recuerde que

e x = 55

la función logarítmica natural tiene una base e.

ex

ln

= ln 55

x = ln 55 ≈ 4.007

Escribir la ecuación original.

Restar 5 de cada lado.

Obtener el logaritmo natural de cada lado.

Propiedad inversa.

La solución es x ln 55 < 4.007. Compruébela en la ecuación original.

Resuelva ex 7 23 y aproxime el resultado a tres decimales.

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1.3

EJEMPLO 4

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

19

Resolver una ecuación exponencial

Resuelva 2(32t 5) 4 11 y aproxime el resultado a tres decimales.

Solución 2(32t−5) − 4 = 11 2(3

2t−5

) = 15

32t−5 =

COMENTARIO Recuerde que para evaluar un logaritmo tal como log3 7.5, se necesita utilizar la fórmula de cambio de base. log3 7.5 =

Escriba la ecuación original.

Sume 4 a cada lado.

15 2

Divida cada lado entre 2.

log3 32t−5 = log3

15 2

Tome log (base 3) de cada lado.

2t − 5 = log3

15 2

Propiedad inversa.

2t = 5 + log3 7.5 t=

ln 7.5 ≈ 1.834 ln 3

Sume 5 a cada lado.

5 1 + log3 7.5 2 2

Divida cada lado entre 2.

t ≈ 3.417

Use una calculadora.

La solución es t 52 12 log3 7.5 < 3.417. Compruebe esto en la ecuación original.

Resuelva 6(2t 5) 4 11 y aproxime el resultado a tres lugares decimales.

¡IMPORTANTE! Cuando una ecuación implica dos o más expresiones exponenciales, aún se puede utilizar un procedimiento similar al que se muestra en los ejemplos 2, 3 y 4. Sin embargo, puede incluir técnicas algebraicas adicionales.

EJEMPLO 5

Resolver una ecuación exponencial de tipo cuadrática

Resuelva e2x 3e x 2 0.

Solución gráfica

Solución algebraica e2x − 3e x + 2 = 0

Escribir la ecuación original.

(e x)2 − 3e x + 2 = 0

Escribir en forma cuadrática.

(e x − 2)(e x − 1) = 0 ex − 2 = 0 x = ln 2 ex

−1=0 x=0

Utilice una graficadora para trazar la gráfica de y e2x 3e x 2 y luego encuentre los ceros.

Factorizar.

3

y = e 2x − 3e x + 2

Igualar a cero el primer factor.

Los ceros están en x 0 y en x 艐 0.693.

Despejar x.

Igualar a cero el segundo factor.

Despejar x.

Las soluciones son x ln 2 < 0.693 y x 0. Compruébelas en la ecuación original.

−3

Cero X=.69314718 Y=0 −1

3

Por lo que, las soluciones son x 0 y x < 0.693.

Resuelva e2x 7e x 12 0.

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20

Capítulo 1

FUNCIONES ESPECIALES

Resolver ecuaciones logarítmicas COMENTARIO Al resolver las ecuaciones, recuerde comprobar sus soluciones en la ecuación original para verificar que la respuesta es correcta y asegurarse de que la respuesta está en el dominio de la ecuación original.

Para resolver una ecuación logarítmica puede escribirla en forma exponencial. Este procedimiento se denomina exponenciación de cada lado de una ecuación. ln x = 3 eln x

=

Forma logarítmica.

e3

Exponenciar cada lado.

x = e3

Forma exponencial.

Resolver ecuaciones logarítmicas

EJEMPLO 6 a. ln x = 2 eln x

=

Ecuación original.

e2

Exponenciar cada lado.

x = e2

Propiedad inversa.

b. log3(5x − 1) = log3(x + 7)

Ecuación original.

5x − 1 = x + 7

Propiedad biunívoca.

x=2

Despejar x.

c. log6(3x + 14) − log6 5 = log6 2x log6

3x + 14 = log6 2x 5

Ecuación original.

Propiedad del cociente de los logaritmos.

3x + 14 = 2x 5

Propiedad biunívoca.

3x + 14 = 10x

Multiplicar cada lado por 5.

x=2

Despejar x.

Resuelva cada ecuación. a. ln x = 23

b. log2(2x − 3) = log2(x + 4)

c. log 4x − log(12 + x) = log 2

Resolver una ecuación logarítmica

EJEMPLO 7

Resuelva 5 2 ln x 4 y aproxime el resultado a tres lugares decimales.

Solución gráfica

Solución algebraica 5 + 2 ln x = 4

Escribir ecuación original.

2 ln x = −1 ln x = −

y2 = 4

Restar 5 de cada lado.

1 2

eln x = e−1

6

El punto de intersección es aproximadamente (0.607, 4)

Dividir cada lado entre 2.

2

x= x ≈ 0.607 e−1 2

Exponenciar cada lado.

y1 = 5 + 2 ln x Intersection 0 X=.60653066Y=4

0

1

Propiedad inversa.

Usar una calculadora.

Por lo que la solución es x < 0.607

Resuelva 7 3 ln x 5 y aproxime el resultado a tres lugares decimales.

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1.3

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

21

Resolver una ecuación logarítmica

EJEMPLO 8

Resuelva 2 log5 3x 4 Solución 2 log5 3x = 4

Escribir la ecuación original.

log5 3x = 2

Dividir cada lado entre 2.

5log5 3x = 52

Exponenciar cada lado (base 5).

3x = 25 x=

Propiedad inversa.

25 3

Dividir cada lado entre 3.

25

La solución es x 3 . Compruébela en la ecuación original.

Resuelva 3 log4 6x 9.

El dominio de una función logarítmica generalmente no incluye todos los números reales, por lo que debe asegurarse de comprobar las soluciones extrañas de las ecuaciones logarítmicas.

Comprobando soluciones extrañas

EJEMPLO 9 Resuelva

log 5x log (x 1) 2 Solución gráfica

Solución algebraica log 5x + log(x − 1) = 2 log[5x(x − 1)] = 2 10log(5x

2 −5x

)

= 102

5x2 − 5x = 100 x2 − x − 20 = 0

(x − 5)(x + 4) = 0 x−5=0 x=5 x+4=0 x = −4

Escribir la ecuación original.

Primero, reescriba la ecuación original como: log 5x log (x – 1) 2 0

Propiedad del producto de logaritmos.

Exponenciar cada lado (base 10).

Luego utilice una graficadora para trazar la ecuación:

Propiedad inversa.

Escribir en forma general.

y log5x log (x 1) 2 y determine el (los) cero(s).

Factorizar.

Igualar a 0 el primer factor.

y = log 5x + log(x − 1) − 2

Despejar x.

3

Igualar a 0 el segundo factor.

Despejar x.

Las soluciones parecen ser x 5 y x − 4. Sin embargo, cuando usted comprueba estas en la ecuación original, se puede ver que x 5 es la única solución.

0 Zero X=5 −3

9

Se presenta un cero en x 5.

Y=0

Por lo que la solución es x 5.

Resuelva log x log(x 9) 1 En el ejemplo 9, el dominio del log 5x es x 0 y el dominio de log (x 1) es x 1, por lo que el dominio de la ecuación original es x 1. Esto significa que la solución x 4 es extraña. La solución gráfica comprueba esta conclusión.

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Capítulo 1

FUNCIONES ESPECIALES

Aplicaciones Duplicar una inversión

EJEMPLO 10

Usted invierte $500 a una tasa de interés anual del 6.75%, compuesta continuamente. ¿Cuánto tardará su dinero en duplicarse?

Solución

Usando la fórmula para el interés compuesto continuo, el saldo es

A Pe A 500e0.0675t. rt

Para encontrar el tiempo necesario para que el saldo se duplique, sea A 1000 y resuelva la ecuación resultante para t.

500e0.0675t = 1000

Sea A = 1000.

e0.0675t = 2 ln

e0.0675t

Dividir cada lado entre 500.

= ln 2

Tomar el logaritmo natural de cada lado.

0.0675t = ln 2 t=

Propiedad inversa.

ln 2 0.0675

Dividir cada lado entre 0.0675.

t ≈ 10.27

Usar una calculadora.

El saldo en la cuenta se duplicará después de aproximadamente 10.27 años. Este resultado se muestra gráficamente a continuación.

A 1100

Saldo (en dólares)

22

900

Duplicar una inversión (10.27, 1000)

$

700 500

A = 500e 0.0675t

(0, 500)

300 100 t 2

4

6

8

10

Tiempo (en años)

Usted invierte $500 a una tasa de interés anual del 5.25%, compuesto continuamente. ¿Cuánto tardará su dinero en duplicarse? Compare su resultado con el del ejemplo 10.

Note que en el ejemplo 10, se da una respuesta aproximada de 10.27 años. Dentro del contexto del problema, la solución exacta t=

ln 2 0.0675

no tiene sentido como una respuesta.

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1.3

EJEMPLO 11

23

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

Ventas de menudeo

Las ventas al menudeo y (en miles de millones de dólares) de las empresas de comercio electrónico en los Estados Unidos de 2009 a 2014 se pueden modelar por 9 t 14

donde t representa el año, con t 9 correspondiente a 2009 (véase la figura). ¿En qué año las ventas alcanzaron los $240 mil millones? (Fuente: U.S. Census Bureau.)

Ventas al menudeo de empresas e-commerce y

350

Ventas (en miles de millones de dólares)

y 614 342.2 ln t,

300 250 200 150 100 50 t

9

10

11

12

13

14

Año (9 ↔ 2009)

Solución −614 + 342.2 ln t = y

Escribir la ecuación original.

−614 + 342.2 ln t = 240

Sustituir 240 para y.

342.2 ln t = 854 ln t =

Sumar 614 a cada lado.

854 342.2

e ln t = e854

342.2

Dividir cada lado entre 342.2.

Exponenciar cada lado.

t=e

Propiedad inversa.

t ≈ 12

Usar una calculadora.

854 342.2

La solución es t < 12. Porque t 9 representa 2009, se tiene que las ventas alcanzaron los $240 mil millones en 2012.

En el ejemplo 11, ¿en qué año las ventas alcanzaron $180 mil millones?

Resumen (sección 1.3) 1. Expresar las propiedades biunívocas y las propiedades inversas que se utilizan para resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas sencillas. Para ejemplos de solución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas sencillas, véase el ejemplo 1.

2. Describir estrategias para resolver ecuaciones exponenciales. Para ejemplos de resolución de ecuaciones exponenciales, véanse los ejemplos 2–5.

3. Describir estrategias para resolver ecuaciones logarítmicas. Para ejemplos de resolución de ecuaciones logarítmicas, véanse los ejemplos 6–9.

4. Describir ejemplos de cómo utilizar ecuaciones exponenciales y logarítmicas para modelar y resolver problemas de la vida real (ejemplos 10 y 11).

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24

Capítulo 1

FUNCIONES ESPECIALES

1.3 Ejercicios Vocabulario: complete los espacios en blanco.

1. Para resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas se pueden usar las siguientes propiedades biunívocas e inversas. a) ax ay si y sólo si . b) loga x loga y si y sólo si . c) aloga x

d) logaax

2. Una solución

no satisface la ecuación original.

Habilidades y aplicaciones Determinación de soluciones En los ejercicios 3-6, determine si cada valor x es una solución (o una solución aproximada) de la ecuación.

Resolver una ecuación exponencial En los ejercicios 19-46, resuelva la ecuación algebraica exponencial.

Aproxime el resultado a tres decimales, si es necesario.

3. 42x−7 = 64 a) x = 5 b) x = 2 c) x = 12 (log 4 64 + 7) 5. log2(x + 3) = 10 a) x = 1021 b) x = 17 c) x = 102 − 3 6. ln(2x + 3) = 5.8 a) x = 12 (−3 + ln 5.8) b) x = 12 (−3 + e5.8) c) x ≈ 163.650

19. e x = e x −2 21. 4(3x) = 20 23. e x − 8 = 31 25. 32x = 80 27. 32−x = 400 29. 8(103x) = 12 31. e3x = 12 33. 7 − 2e x = 5 35. 6(23x−1) − 7 = 9 37. 3x = 2x−1 2 39. 4x = 5x 41. e2x − 4e x − 5 = 0 1 43. =5 1 − ex

4. 4e x−1 = 60 a) x = 1 + ln 15 b) x ≈ 1.708 c) x = ln 16

Resolver una ecuación simple En los ejercicios 7-16, determine x.

45.

8. ( ) = 32 10. log x − log 10 = 0 1 x 2

7. 4 = 16 9. ln x − ln 2 = 0 11. e x = 2 13. ln x = −1 15. log4 x = 3 x

Aproximar un punto de intersección En los ejercicios 17 y 18, aproxime el punto de intersección de las gráficas de f y g. Luego resuelva la ecuación f(x) ⴝ g(x) algebraicamente para verificar su aproximación.

18. f (x) = log3 x, g(x) = 2 y

y 12 4

g 4 −8

−4

g

f

f x

−4

4

8

4

x 8

e x −3 = e x−2 4e x = 91 5x + 8 = 26 4−3t = 0.10 7−3−x = 242 8(36−x) = 40 500e−2x = 125 −14 + 3e x = 11 8(46−2x) + 13 = 41 e x+1 = 2x+2 2 3 x = 76−x e2x − 5e x + 6 = 0 100 44. =1 1 + e2x

1+

0.065 365

365t

=4

46.

2

1+

0.10 12

12t

=2

Resolver una ecuación logarítmica En los ejercicios 47-62, resuelva la ecuación logarítmica algebraicamente.

Aproxime el resul-tado a tres decimales, si es necesario.

1

12. e x = 3 14. log x = −2 1 16. log5 x = 2

17. f (x) = 2x, g(x) = 8

20.

22.

24.

26.

28.

30.

32.

34.

36.

38.

40.

42.

2

12

47. ln x = −3 49. 2.1 = ln 6x 51. 3 − 4 ln x = 11 53. 6 log3 0.5x = 11

48. ln x − 7 = 0 50. log 3z = 2 52. 3 + 8 ln x = 7 54. 4 log(x − 6) = 11

55. ln x − ln(x + 1) = 2

56. ln x + ln(x + 1) = 1

57. ln(x + 5) = ln(x − 1) − ln(x + 1) 58. ln(x + 1) − ln(x − 2) = ln x 59. log(3x + 4) = log(x − 10) 60. log2 x + log2(x + 2) = log2(x + 6) 61. log4 x − log4(x − 1) = 12 62. log 8x − log(1 +

x) = 2

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1.3

Uso de la tecnología En los ejercicios 63-70, utilice una graficadora para trazar la ecuación. Aproxime el resultado a tres lugares decimales. Verifique su resultado algebraicamente.

63.

65.

67.

69.

5x = 212 8e−2x 3 = 11 3 − ln x = 0 2 ln(x + 3) = 3

64.

66.

68.

70.

6e1−x = 25 e0.09t = 3 10 − 4 ln(x − 2) = 0 ln(x + 1) = 2 − ln x

72. r = 0.0375

Álgebra de cálculo En los ejercicios 73-80, resuelva la ecuación algebraicamente. Redondee su resultado a tres lugares decimales, si es necesario. Verifique su respuesta usando una graficadora.

73. 2x2e2x + 2xe2x = 0 75. −xe−x + e−x = 0 1 + ln x 77. =0 2

74. −x2e−x + 2xe−x = 0 76. e−2x − 2xe−2x = 0 1 − ln x 78. =0 x2

79. 2x ln x + x = 0

80. 2x ln

100

1+

, e−0.2180(x−176.56)

1 −x=0 x

Porcentaje de población

m

b) ¿Cuál es la estatura promedio de cada sexo?

P = 75 ln t + 540, 5 ≤ t ≤ 15 donde t representa el año, con t 5 correspondiente a 2005. ¿Durante qué año la población de Alaska excedió los 720 000? (Fuente: U.S. Census Bureau.)

86. Población La población P (en miles) de Montana en los años 2005 a 2015 se puede modelar por P = 81 ln t + 807, 5 ≤ t ≤ 15 donde t representa el año, con t 5 correspondiente a 2005. ¿Durante qué año la población de Montana excedió los 965,000? (Fuente: U.S. Census Bureau.)

87. Temperatura Un objeto a una temperatura de 80°C está situado en una habitación a 20°C. La temperatura del objeto está dada por

x

Estatura (en cm)

donde x es el diámetro promedio de los árboles (en cm) 1.4 m sobre el suelo. Utilice el modelo para aproximar el diámetro promedio de los árboles en una gráfica de prueba cuando N 22.

85. Población La población P (en miles) de Alaska en los años 2005 a 2015 se puede modelar por

(Fuente: U.S. National Center for Health Statistics.) a) Utilice la gráfica para determinar cualquier asíntota de las gráficas de las funciones. Interprete el significado en el contexto del problema.

140 150 160 170 180 190 200

Utilice el modelo para aproximar en cuántos años la población de castores llegará a los 78.

N 8650(10 0.05x), 7.6 x 76

163 ≤ x ≤ 198

f

N 5.5 100.23x , 0 x 10.

84. Ecología El número N de árboles de una especie dada por hectárea se aproxima por el modelo

100 , 152 ≤ x ≤ 198.

1 + e−0.2286(x−163.80)

100 90 80 70 60 50 40 30 20 10

83. Ecología El número N de castores en un área dada después de x años se puede aproximar por

in/Shutterstock.com

y el porcentaje f de las mujeres estadounidenses entre 20 y 29 de edad que están bajas x centímetros de estatura se modela por f (x) =

82. Demanda La ecuación de demanda para un teléfono inteligente es 4 . p = 5000 1 − 4 + e−0.002x

© Alexander Kuguch

81. Estaturas promedio El porcentaje m de varones estadounidenses entre 20 y 29 años de edad que están bajos x centímetros de estatura se modela por m(x) =

25

Encuentre la demanda x por cada precio. a) p $169 b) p $299

Interés compuesto En los ejercicios 71 y 72, usted invierte $2500 en una cuenta a tasa de interés r, compuesto continuamente. Encuentre el tiempo requerido para que la cantidad a) se duplique y b) se triplique.

71. r = 0.025

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

T 20 60e 0.06m donde m representa el número de minutos después de que el objeto se coloca en la habitación. ¿Cuánto tiempo le toma al objeto alcanzar una temperatura de 70°C?

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26

Capítulo 1

FUNCIONES ESPECIALES

88. Temperatura Un objeto a una temperatura de 160°C fue retirado de un horno y colocado en una habitación a 20°C. La temperatura T del objeto se midió cada hora h y se registró en la tabla. Un modelo para los datos es T 20 140e 0.68h.

Hora, h

Temperatura, T

0

160°

1

90°

2

56°

3

38°

4

29°

5

24°

994..

94

¿CÓMO LO VE? Resuelva log3 x log3 (x 8) 2 algebraicamente, las soluciones parecen ser x 9 y x 1.

Utilice la gráfica de y log3 x log3(x 8) 2 para determinar si cada valor es una solución verdadera de la ecuación. Explique. y

3

(9, 0) x 3

6

12

15

3

a) La figura siguiente muestra la gráfica del modelo.

Utilice la gráfica para identificar la asíntota horizontal del modelo e interpretar la asíntota en el contexto del problema.

T

Temperatura (en grados Celsius)

160 140 120 100 80 60 40 20 h 1

2

3

4

5

6

7

8

Hora

b) Utilice el modelo para aproximar el tiempo que tardó el objeto en alcanzar una temperatura de 100°C.

Exploración ¿Verdadero o falso? En los ejercicios 89-92, reescriba cada enunciado verbal como una ecuación. Luego decida si el enunciado es verdadero o falso. Justifique su respuesta.

89. El logaritmo del producto de dos números es igual a la suma de los logaritmos de los números.

90. El logaritmo de la suma de dos números es igual al producto de los logaritmos de los números.

91. El logaritmo de la diferencia de dos números es igual a la diferencia de los logaritmos de los números.

92. El logaritmo del cociente de dos números es igual a la diferencia de los logaritmos de los números.

93. Piénselo ¿Es posible que una ecuación logarítmica tenga más de una solución extraña? Explique.

95. Finanzas Usted está invirtiendo P dólares a una tasa de interés anual r, compuesto continuamente, durante t años. A continuación, ¿qué cambio da el valor más alto de la inversión? Explique. a) Duplicar la cantidad que usted invierte. b) Duplicar su tasa de interés. c) Duplicar el número de años.

96. Piénselo ¿Son los tiempos requeridos para que las inversiones en los ejercicios 71 y 72 se cuadrupliquen dos veces, mientras que los tiempos para estas se duplican? Dé una razón para su respuesta y verifíquela algebraicamente.

97. Rendimiento efectivo El rendimiento efectivo de un plan de inversión es el aumento porcentual en el saldo después de 1 año. Encuentre el rendimiento efectivo para cada plan de inversión. ¿Cuál plan de inversión tiene el mayor rendimiento efectivo? ¿Cuál plan de inversión tendrá el saldo más alto después de 5 años? a) tasa de interés anual del 7%, compuesta anualmente. b) tasa de interés anual del 7%, compuesta continuamente. c) tasa de interés anual del 7%, compuesta trimestralmente. d) tasa de interés anual del 7.25%, compuesta trimestralmente.

98. Razonamiento gráfico Sea f(x) loga x y g(x) a x, donde a 1. a) Sea a 1.2 y utilice una graficadora para trazar las dos funciones en la misma ventana de visualización. ¿Qué observa? Aproxime cualquier punto de intersección de las dos gráficas. b) Determine el (los) valor(es) de a para el (los) cual(es) las dos gráficas tienen un punto de intersección. c) Determine el (los) valor(es) de a para el (los) cual(es) las dos gráficas tienen dos puntos de intersección.

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1.4

Trigonometría del triángulo rectángulo

27

1.4 Trigonometría del triángulo rectángulo Evaluar funciones trigonométricas de ángulos agudos.

Usar identidades trigonométricas fundamentales.

Usar funciones trigonométricas para modelar y resolver problemas de la vida real.

Las seis funciones trigonométricas

us ten po Hi

Lado opuesto a u

Esta sección introduce las funciones trigonométricas de un triángulo rectángulo. Considere un triángulo rectángulo, con un ángulo agudo marcado como u. Respecto al ángulo u, los tres lados del triángulo son la hipotenusa, el lado opuesto (el lado opuesto al ángulo u) y el lado adyacente (el lado adyacente al ángulo u).

a

Visite nuestra plataforma en línea y consulte las herramientas que le ofrecemos para enriquecer aún más su experiencia de aprendizaje en esta sección.

θ Lado adyacente a u

Usando las longitudes de estos tres lados, se pueden formar seis razones que definen las seis funciones trigonométricas del ángulo agudo u.

seno cosecante coseno secante tangente cotangente En las definiciones siguientes: 0° u 90° (u se encuentra en el primer cuadrante). Para estos ángulos el valor de cada función trigonométrica es positiva.

Definiciones de funciones trigonométricas de un triángulo rectángulo

© Scott Cornell/Shutterstock.com

Sea u un ángulo agudo de un triángulo rectángulo. Las seis funciones trigonométricas del ángulo u se definen como sigue. (Observe que las funciones del segundo renglón son recíprocas a las correspondientes del primero) sen θ =

op hip

cos θ =

ady hip

tan θ =

op ady

csc θ =

hip op

sec θ =

hip ady

cot θ =

ady op

Las abreviaturas La trigonometría del triángulo rectángulo tiene muchas aplicaciones de la vida real. Por ejemplo, en el ejercicio 72 se usará la trigonometría del triángulo rectángulo para analizar la altura de un globo lleno de helio.

op,

ady

e

hip

representan las longitudes de los tres lados de un triángulo rectángulo. op la longitud del lado opuesto a u. ady la longitud del lado adyacente a u. hip la longitud de la hipotenusa.

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28

Capítulo 1

FUNCIONES ESPECIALES

EJEMPLO 1

ten

us

a

Use el triángulo de la figura 1.1 para encontrar los valores de las seis funciones trigonométricas de u.

4

Hi po

Evaluar funciones trigonométricas

Solución Por el Teorema de Pitágoras, tenemos que (hip)2 (op)2 (ady)2, se tiene que hip =

θ

= 3

42 + 32 25

= 5.

Así, las seis funciones trigonométricas de u son

Figura 1.1

NOTA HISTÓRICA Georg Joachim Rheticus (1514-1576) fue el principal astrónomo matemático teutón del siglo XVI. Fue el primero en definir las funciones trigonométricas como razones entre los lados de un triángulo rectángulo.

sen θ =

op 4 = hip 5

csc θ =

hip 5 = op 4

cos θ =

ady 3 = hip 5

sec θ =

5 hip = ady 3

tan θ =

4 op = ady 3

cot θ =

ady 3 = op 4

Utilice el siguiente triángulo para encontrar los valores de las seis funciones trigonométricas de u.

4

2

θ

En el ejemplo 1, nos dieron las longitudes de los dos lados del triángulo rectángulo, pero no el ángulo u. Con frecuencia, se le pedirá determinar las funciones trigonométricas de un ángulo agudo dado u. Para hacer esto, construya un triángulo rectángulo que tenga u como uno de sus ángulos.

EJEMPLO 2

Evaluar funciones trigonométricas de 45°

Encuentre los valores de sen 45°, cos 45° y tan 45°

45° 2

1

Solución Construya un triángulo rectángulo que tenga 45° en uno de sus ángulos agudos, como se ve en la figura 1.2. Elija 1 como la longitud del lado adyacente. Por geometría, sabemos que el otro ángulo agudo también es de 45°. Por lo tanto, el triángulo es isósceles y la longitud del lado opuesta también es 1. Usando el Teorema de Pitágoras, la longitud de la hipotenusa es 2. sen 45° =

op 1 2 = = hip 2 2

cos 45° =

ady 1 2 = = hip 2 2

tan 45° =

op 1 = =1 ady 1

45° 1 Figura 1.2

Encuentre los valores de cot 45°, sec 45°, y csc 45°.

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1.4

EJEMPLO 3

2

3

Solución

Para u 60°, se tiene que ady 1, op

sen 60° = 60° 1

Evaluar funciones trigonométricas de 30° y 60°

Use el triángulo equilátero que se muestra en la figura 1.3 para encontrar los valores de sen 60°, cos 60°, sen 30° y cos 30°.

30° 2

29

Trigonometría del triángulo rectángulo

1

Figura 1.3

op 3 = hip 2

y cos 60° =

Para u 30°, se tiene que ady sen 30° =

op 1 = hip 2

3 e hip 2. Por lo que

ady 1 = . hip 2

3, op 1 e hip 2. Por lo que

y cos 30° =

ady 3 = . hip 2

Utilice el triángulo equilátero que se muestra en la figura 1.3 para encontrar los valores de tan 60° y tan 30°.

Senos, cosenos y tangentes de ángulos especiales

COMENTARIO Los ángulos 30°, 45° y 60° (π 6, π 4, y π 6) se presentan con frecuencia en trigonometría, usted debe aprender a construir los triángulos mostrados en las figuras 1.2 y 1.3.

sen 30° = sen

π 1 = 6 2

cos 30° = cos

π 3 = 6 2

tan 30° = tan

π 3 = 6 3

sen 5° = sen

π 2 = 4 2

cos 45° = cos

π 2 = 4 2

tan 45° = tan

π =1 4

sen 60° = sen

π 3 = 3 2

cos 60° = cos

π 1 = 3 2

tan 60° = tan

π = 3

3

Observe que sen 30° 12 cos 60°. Esto ocurre porque 30° y 60° son ángulos complementarios. En general, se puede demostrar a partir de las definiciones de un triángulo rectángulo que las cofunciones de ángulos complementarios son iguales. Esto es, si u es un ángulo agudo, las siguientes relaciones son verdaderas. sen (90° − θ ) = cos θ

cos(90° − θ ) = sen θ

tan(90° − θ ) = cot θ

cot(90° − θ ) = tan θ

sec(90° − θ ) = csc θ

csc(90° − θ ) = sec θ

Al utilizar una calculadora para evaluar las funciones trigonométricas de los ángulos medidos en grados, recuerde poner la calculadora en modo grado.

EJEMPLO 4

Uso de una calculadora

Utilice una calculadora para evaluar sec 5° 40′ 12′′.

Solución Comience por convertir en forma de grado decimal. [Recuerde que 1′ 1 60 (1°)

1 y 1′′ 3600 (1°).]

5° 40′ 12″ = 5° +

40 ° 12 ° + = 5.67° 60 3600

Luego, utilice una calculadora para evaluar sec 5.67° Función sec 5° 40′ 12″ = sec 5.67°

Teclas de calculadora (

COS

(

5.67

)

)

Pantalla x− 1

ENTER

1.0049166

Utilice una calculadora para evaluar csc 34°30′36′′.

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30

Capítulo 1

FUNCIONES ESPECIALES

Identidades trigonométricas Las identidades trigonométricas son relaciones entre funciones trigonométricas.

Identidades trigonométricas fundamentales Identidades reciprocas sen θ =

1 csc θ

cos θ =

1 sec θ

tan θ =

1 cot θ

csc θ =

1 sen θ

sec θ =

1 cos θ

cot θ =

1 tan θ

cot θ =

cos θ sen θ

Identidades de cocientes tan θ =

sen θ cos θ

Identidades pitagóricas sen 2 θ + cos2 θ = 1 1 + tan2 θ = sec2 θ 1 + cot2 θ = csc2 θ

Observe que sen2u representa (sen u)2, cos2u representa (cos u)2, y así sucesivamente.

COMENTARIO No confunda, por ejemplo, sen2 u con el sen u2. Con sen2u, está elevando al cuadrado sen u. Con sen2u, usted eleva al cuadrado u y luego encuentra el seno.

Aplicar identidades trigonométricas

EJEMPLO 5

Sea u un ángulo agudo tal que sen u 0.6. Encuentre los valores de a) cos u y b) tan u usando identidades trigonométricas.

Solución a. Para encontrar el valor de cos u use la identidad pitagórica sen2 u cos2 u 1.

En consecuencia, tenemos

(0.6)2 + cos2 θ = 1 cos2

Sustituir 0.6 por sen u.

θ = 1 − (0.6)

2

cos2 θ = 0.64 cos θ =

0.64

cos θ = 0.8.

Restar (0.6)2 de cada lado.

Simplificar.

Sacar raíz cuadrada positiva.

Simplificar.

b. Ahora, conociendo el seno y coseno de u se puede encontrar la tangente de u.

1 0.6

tan θ = θ 0.8

sen θ 0.6 = = 0.75 cos θ 0.8

Use las definiciones de cos u y tan u y el triángulo de la figura 1.4 para verificar sus resultados.

Figura 1.4

Sea u un ángulo agudo tal, que cos u 0.96. Encuentra el valor de a) sen u y b) tan u usando identidades trigonométricas.

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1.4

Trigonometría del triángulo rectángulo

31

Aplicación de identidades trigonométricas

EJEMPLO 6

Sea u un ángulo agudo tal que tan u 13. Encontrar el valor de a) cot u y b) sec u usando identidades trigonométricas.

Solución a. cot θ = =

1 tan θ

Identidad recíproca.

1 1 3

Sustituir 13 para tan θ.

=3

Simplificar.

b. sec2 θ = 1 + tan2 θ 1 3

sec2 θ = 1 + sec2 θ =

Identidad pitagórica.

2

Sustituir 13 para tan θ.

10 9

Simplificar.

10 3

sec θ =

Extraer raíz cuadrada positiva y simplificar.

Utilice las definiciones de cot u y sec u y el triángulo siguiente para comprobar estos resultados.

10

1

θ 3

Sea u un ángulo agudo tal que tan u 2. Encuentre el valor de a) cot u y b) sec u usando identidades trigonométricas.

Uso de identidades trigonométricas

EJEMPLO 7

Utilice identidades trigonométricas para transformar el lado izquierdo de la ecuación en el lado derecho (0 u π 2). b. (csc θ + cot θ )(csc θ − cot θ ) = 1

a. sen θ csc θ = 1 Solución a. sen θ csc θ =

1 csc θ = 1 csc θ

Usar una identidad recíproca y simplificar.

b. (csc θ + cot θ )(csc θ − cot θ ) = csc2 θ − csc θ cot θ + csc θ cot θ − cot2 θ

Método FOIL.

=

Simplificar.

csc2

θ−

cot2

θ

=1

Identidad pitagórica.

Utilizar identidades trigonométricas para transformar el lado izquierdo de la ecuación en el lado derecho (0 u π 2). a. tan u csc u sec u

b. (csc u 1)(csc 1) cot2 u

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32

Capítulo 1

FUNCIONES ESPECIALES

Aplicaciones con triángulos rectángulos Objeto

Observador

Observador

Ángulo de elevación Horizontal

Horizontal Ángulo de depresión

Numerosas aplicaciones de trigonometría implican resolver triángulos rectángulos. En este tipo de aplicación, normalmente al estudiante se le da el lado de un triángulo rectángulo y uno de los ángulos agudos, y se le pide encontrar uno de los otros lados, o bien, se le dan dos lados y se le pide encontrar uno de los ángulos agudos.

En el ejemplo 8, el ángulo que se da a conocer es el ángulo de elevación, que representa el ángulo desde la horizontal hacia un objeto. Para objetos que se encuentran debajo de la horizontal es común usar el término ángulo de depresión, como se muestra en la figura 1.5.

EJEMPLO 8

Resolver un triángulo rectángulo

Objeto

Un topógrafo está de pie a 35 m de la base del monumento a Washington, como se muestra en la figura 1.6. El topógrafo mide el ángulo de elevación a lo alto del monumento como 78.3° ¿Cuál es la altura del monumento a Washington?

Figura 1.5

Solución De la figura 1.6, op y tan 78.3° = = ady 35 donde y es la altura del monumento. En consecuencia, la altura del monumento a Washington es y

Ángulo de elevación 78.3°

35 m

No está a escala

y = 35 tan 78.3° ≈ 35(4.8288) ≈ 169 metros.

El ángulo de elevación a la parte superior de un mástil, a una distancia de 6 m de su base es 64.6°. ¿Qué altura tiene el mástil?

Figura 1.6

EJEMPLO 9

Resolver un triángulo rectángulo

Un faro histórico está a 200 m de una pista para bicicletas ubicada a lo largo de la orilla de un lago. Un pasillo al faro es de 400 m de largo (véase la figura 1.7). Encuentre el ángulo agudo u entre la pista para bicicletas y el pasillo.

Solución De la figura 1.7, el seno del ángulo u es θ 200 m

sen θ =

op 200 1 = = . hip 400 2

Ahora debe reconocerse que u 30°.

400 m

Encuentre el ángulo agudo u entre los dos caminos que se muestran a continuación.

3 km Figura 1.7

θ 6 km

Estación del guardabosques

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1.4

Trigonometría del triángulo rectángulo

33

En el ejemplo 9, usted fue capaz de reconocer que el ángulo especial u 30° satisface la ecuación sen u 12. Sin embargo, cuando u no es un ángulo especial, puede estimar su valor. Por ejemplo, para estimar el ángulo agudo u en la ecuación sen u 0.6, usted podría razonar que sen 30° 12 0.5000 y sen 45° 1 2 < 0.7071, por lo que, u se encuentra en algún lugar entre 30° y 45°. Más adelante, se estudiará un método para determinar un valor más preciso de u.

EJEMPLO 10

Resolver un triángulo rectángulo

© iStockphoto.com/lzf

Encuentre la longitud c y la altura b de la rampa para patinetas que se muestra a continuación.

c

b

18.4° Los patinadores pueden ir a un parque de patinetas, que es un ambiente recreativo construido con diferentes tipos de rampas y carriles.

4m

Solución De la figura, cos 18.4° =

ady 4 = hip c

Entonces, la longitud de la rampa para patineta es c=

4 4 ≈ ≈ 4.22 metros. cos 18.4° 0.9489

También de la figura: tan 18.4° =

op b = ady 4

Por lo que la altura es b 4 tan 18.4° ⬇ 4(0.3327) ⬇ 1.33 metros.

Encuentre la longitud c y la longitud horizontal a de la rampa de carga que se muestra a continuación

11.5°

c

1m

a

Resumen (sección 1.4) 1. Expresar las definiciones del triángulo rectángulo de las seis funciones trigono u métricas. Para ejemplos de evaluación de funciones trigonométricas de ángulos, véanse los ejemplos 1–4.

2. Listar las identidades recíprocas, del cociente, y pitagóricas. Para ejemplos de uso de estas identidades, véanse los ejemplos 5–7.

3. Describir aplicaciones de la vida real de funciones trigonométricas (ejemplos 8–10).

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34

Capítulo 1

FUNCIONES ESPECIALES

1.4 Ejercicios Vocabulario: 1.

Relacione la función trigonométrica con su definición de triángulo rectángulo. a) Seno i)

b) Coseno

hipotenusa adyacente

ii)

c) Tangente

adyacente opuesto

iii)

d) Cosecante

hipotenusa opuesto

iv)

e) Secante

adyacente hipotenusa

f ) Cotangente

opuesto hipotenusa

v)

vi)

opuesto adyacente

En los ejercicios 2-4, llene los espacios en blanco.

2.

Respecto al ángulo agudo u los tres lados de un triángulo rectángulo son el lado .

3.

Las cofunciones de ángulos

4.

Un ángulo que mide de la horizontal hacia arriba hasta un objeto, recibe el nombre de ángulo de tanto que un ángulo que mide desde la horizontal hacia abajo hasta un objeto, se denomina ángulo de

, el lado

y la

son iguales. , en .

Habilidades y aplicaciones Evaluar funciones trigonométricas En los ejercicios 5-10, encuentre los valores exactos de las seis funciones trigonométricas del ángulo u.

5.

13

θ

8 41

9

8.

7 2

θ 7

9.

10. θ

4

7 24

θ 4

Evaluar funciones trigonométricas En los ejercicios 11-14, encuentre los valores exactos de las seis funciones trigonométricas del ángulo u para cada uno de los dos triángulos. Explique por qué los valores de la función son iguales.

11. θ

θ 1

θ 7.5

4

θ 4

3

2

θ 6

Evaluar funciones trigonométricas En los ejercicios 15-22, trace un triángulo rectángulo que corresponda a la función trigonométrica del ángulo agudo U. Use el Teorema de Pitágoras para determinar el tercer lado y luego encuentre las otras cinco funciones trigonométricas de U. 15. cos θ = 15 16. sen θ = 35 17 17. sec θ = 65 18. tan θ = 45 1 19. sen θ = 5 20. sec θ = 17 7 21. cot θ = 3 22. csc θ = 9 Evaluar funciones trigonométricas En los ejercicios 23-28, construya un triángulo apropiado para completar la tabla.

Función 23. tan

θ (grad) 30°

θ (rad)

■ ■

Valor de la función

24. cos

45°

25. sen

■

π 4

■ ■ ■

26. tan

■

π 3

■

27. sec

■

π 4

■

28. csc

■

π 6

■

5

15

1 2

θ

12. 1.25 8

θ

14.

1

θ

5

θ θ

3

6

6.

6

7.

13.

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1.4

Uso de una calculadora En los ejercicios 29-36, utilice una calculadora para evaluar cada función. Redondee su respuesta a cuatro decimales. (Asegúrese que la calculadora este en el modo correcto.)

29. a) sen 20°

b) cos 70°

30. a) tan 23.5°

b) cot 66.5°

31. a) sen 14.21°

b) csc 14.21°

32. a) cot 79.56°

b) sec 79.56°

33. a) cos 4° 50′ 15″

b) sec 4° 50′ 15″

34. a) sec 42° 12′

b) csc 48° 7′

35. a) cot 17° 15′

b) tan 17° 15′

36. a) sec 56° 8′ 10″

b) cos 56° 8′ 10″

Aplicar identidades trigonométricas En los ejercicios 37-42, utilice los valores de la función dada y las identidades trigonométricas para encontrar el valor exacto de cada una de las funciones trigonométricas indicadas.

37. sen 60° =

3 1 , cos 60° = 2 2

a) sen 30° c) tan 60°

b) cos 30° d) cot 60°

1 3 38. sen 30° = , tan 30° = 2 3 a) csc 30° c) cos 30°

b) cot 60° d) cot 30°

a) sen θ c) sec θ 40. sec θ = 5 a) cos θ c) cot(90° − θ ) 41. cot α = 3 a) tan α c) cot(90° − α ) 42. cos β =

46.

47.

48.

49.

50.

cot α sen α = cos α (1 + sen θ )(1 − sen θ ) = cos2 θ (1 + cos θ )(1 − cos θ ) = sen 2 θ (sec θ + tan θ )(sec θ − tan θ ) = 1 sen 2 θ − cos2 θ = 2 sen 2 θ − 1 cos θ sen θ + = csc θ sec θ 51. cos θ sen θ 52.

tan β + cot β = csc2 β tan β

Determinación de ángulos especiales de un triángulo En los ejercicios 53-58, encuentre cada valor de u en grados (0° < u < 90°) y en radianes (0 < u < π 2) sin usar calculadora.

53. a) sen θ = 12 54. a) cos θ =

b) csc θ = 2 2 2

55. a) sec θ = 2 56. a) tan θ = 3 2 3 57. a) csc θ = 3 58. a) cot θ =

3 3

b) sec θ =

b) cot θ d) sen θ b) csc α d) sen α

60. Determine x y r.

y

30

30° x

60° x

61. Determine x y r.

r

b) sen β d) sen (90° − β)

2

r 18

Usar identidades trigonométricas En los ejercicios 43-52, utilice identidades trigonomé-tricas para transformar el lado izquierdo de la ecuación en el lado derecho (0 < u < π 2).

43. tan θ cot θ = 1 44. cos θ sec θ = 1 45. tan α cos α = sen α

b) cot θ = 1 b) csc θ = 2 2 b) sen θ = 2

b) tan θ d) csc(90° − θ )

7 4

a) sec β c) cot β

b) tan θ = 1

Encontrar las longitudes de los lados de un triángulo En los ejercicios 59-62, encuentre los valores exactos de las variables indicadas.

59. Determine x y y.

39. cos θ = 13

35

Trigonometría del triángulo rectángulo

60° x

62. Determine x y r.

r

32

20

45° x

63. Edificio Empire State Supongamos que usted se encuentra de pie a 45 m de distancia de la base del edificio Empire State. Estima que el ángulo de elevación hasta el piso 86 (el observatorio) es 82°. Si la altura total del edificio es de otros 123 m arriba del piso 86, ¿cuál es la altura aproximada del edificio? Uno de sus amigos está en el piso 86. ¿Cuál es la distancia entre usted y su amigo?

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36

Capítulo 1

FUNCIONES ESPECIALES

64. Altura de una torre Una persona que mide 2 m de estatura camina desde la base de una torre de transmisión directamente hacia la punta de la sombra proyectada por la sombra. Cuando la persona está a 40 m de la torre y 1 m arriba de la punta de la sombra, la sombra de la persona empieza a aparecer más allá de la sombra de la torre. a) Dibuje un triángulo rectángulo que dé una representación visual del problema. Muestre las cantidades conocidas del triángulo y use una variable para indicar la altura de la torre. b) Use una función trigonométrica para escribir una ecuación que contenga la cantidad desconocida. c) ¿Cuál es la altura de la torre?

68. Altura de una montaña Viajando por un terreno plano, usted observa una montaña directamente al frente.

Su ángulo de elevación (a la cima) es de 3.5°. Después de acercarse en el auto 13 km a la montaña, el ángulo de elevación es de 9° (véase la figura). Aproxime la altura de la montaña.

65. Ángulo de elevación Usted está bajando en esquíes por una montaña con una altura vertical de 1250 m. La distancia desde la cima de la montaña a la base es de 2500 m. ¿Cuál es el ángulo de elevación desde la base a la cima de la montaña?

69. Cálculos de taller mecánico Una placa de acero tiene la forma de un cuarto de círculo con radio de 60 cm.

Dos agujeros de 2 cm han de perforarse en la placa como se ve en la figura. Encuentre las coordenadas del centro de cada agujero.

66. Biología Un biólogo desea saber el ancho w de un río, de modo que se puedan instalar debidamente los instrumentos para un experimento. Desde el punto A, el biólogo camina 100 m agua abajo y observa el punto C (véase la figura). Desde este punto de vista, se determina que u 54°. ¿Cuál es el ancho del río?

C

3.5° 13 km

9° No está a escala

y

d

60 56 (x2, y2)

3° (x1, y1)

30°

15 cm

30° 30° 56 60

x

5 cm

w Figura para 69

θ = 54° A

100 m

67. Cable de sujeción Un cable de sujeción va del suelo a una torre para antenas. El cable está unido a la torre a 50 m del suelo. El ángulo formado entre el cable y el suelo es de 43° (vea la figura).

Figura para 70

70. Cálculos de taller mecánico Un eje cónico tiene un diámetro de 5 cm en el extremo pequeño y mide 15 cm de largo (vea figura). La conicidad es de 3°. Encuentre el diámetro d del extremo grande del eje.

71. Geometría Use un compás para trazar un cuarto de un círculo con 10 cm de radio. Usando un transportador construya un ángulo 20° en posición normal (véase la figura). Trace una recta perpendicular desde el punto de intersección del lado terminal del ángulo y el arco del círculo. Por medición, calcule las coordenadas (x, y) del punto de intersección y use estas mediciones para aproximar las seis funciones trigonométricas de un ángulo de 20°.

50 m

y

10

θ = 43°

a) ¿Cuál es la longitud del cable? b) ¿A qué distancia de la base de la torre está anclado el cable al suelo?

(x, y) m 10 c 20° 10

x

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1.4

72. Globo lleno de helio Se utiliza una cuerda de 20 m para sujetar un globo lleno de helio. Debido a una brisa, la cuerda forma un ángulo de aproximadamente 85° con el suelo. a) Trace un triángulo rectángulo que dé una representación rstock.com © Scott Cornell/Shutte visual del problema.

Muestre las cantidades conocidas del triángulo y use una variable para indicar la altura del globo. b) Use una función trigonométrica para escribir y resolver una ecuación que contenga la altura del globo. c) La brisa se hace más fuerte y el ángulo que el globo forma con el suelo disminuye. ¿Cómo afecta esto al triángulo que se dibujó en el inciso a)? d) Complete la tabla siguiente, que muestra las alturas (en metros) del globo para disminuir las medidas de ángulo u. Ángulo, θ

80°

70°

60°

74. Análisis de error

Describa el error: cos 60° =

¿Verdadero o falso? En los ejercicios 75-80, determine si la proposición es verdadera o falsa. Justifique su respuesta.

75. sen 60° csc 60° = 1 77. sen 45° + cos 45° = 1 sen 60° 79. = sen 2° sen 30°

76. sec 30° = csc 30° 78. cos 60° − sen 30° = 0 80. tan [(5°)2] = tan2 5°

81. Piénselo Nos dan sólo el valor de tan u. ¿Es posible encontrar el valor de u sin determinar la medida de u?

Explique.

882..

82

¿CÓMO LO VE? Utilice la siguiente figura:

50°

90° − θ

r

40°

30°

20°

op 1 = hip 2

Exploración

Altura Ángulo, θ

37

Trigonometría del triángulo rectángulo

θ

10°

y

x

Altura e) A medida que el ángulo u que forma el globo con el suelo se aproxima a 0°, ¿cómo afecta esto la altura del globo? Trace un triángulo rectángulo para explicar su razonamiento.

a) ¿Cuál es el lado opuesto de u? b) ¿Cuál es el lado adyacente a 90° u? c) Explique por qué sen u cos(90° u).

83. Piénselo 73. Plano inclinado de Johnstown El plano inclinado de Johnstown en Pennsylvania, es uno de los montacargas más elevados y empinados del mundo. Los carros sobre vías recorren una distancia de 273.3 m a un ángulo de aproximadamente 35.4°, subiendo a una altura de 516.2 m sobre el nivel del mar.

Complete la tabla. u

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

sen u a) ¿Es u o sen u mayor para u en el intervalo (0, 0.5)? b) Cuando u se aproxima a 0, ¿cómo se comparan u y sen u? Explique.

84. Piénselo Complete la tabla. u

273.3 m

35.4°

516.2 m arriba del nivel del mar

0°

18°

36°

54°

72°

90°

sen u cos u

No está a escala

a) Encuentre la altura vertical del plano inclinado. b) Encuentre la elevación del extremo inferior del plano inclinado. c) Los carros suben por la montaña a una velocidad de 91 m por minuto. Encuentre la velocidad a la que suben verticalmente.

a) Discuta el comportamiento de la función seno para 0° u 90°. b) Discuta el comportamiento de la función coseno para 0° u 90°. d) Use las definiciones de las funciones seno y coseno para explicar los resultados de los incisos a) y b).

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38

Capítulo 1

FUNCIONES ESPECIALES

1.5 Solución de ecuaciones trigonométricas

Visite nuestra plataforma en línea y consulte las herramientas que le ofrecemos para enriquecer aún más su experiencia de aprendizaje en esta sección.

Usar técnicas algebraicas estándar para resolver ecuaciones trigonométricas.

Resolver ecuaciones trigonométricas de tipo cuadrático.

Resolver ecuaciones trigonométricas que contengan ángulos múltiples.

Usar funciones trigonométricas inversas para resolver ecuaciones trigonométricas.

Introducción Para resolver una ecuación trigonométrica utilice técnicas algebraicas estándar como reunir términos semejantes y factorizar. Su objetivo preliminar para resolver una ecuación trigonométrica es despejar la función trigonométrica en la ecuación. Por ejemplo, para resolver la ecuación 2 sen x 1, divida cada lado entre 2 para obtener sen x

1 2

Para despejar x, observe en la gráfica de y sen x que se muestra a continuación que la ecuación sen x 12 tiene soluciones x π 6 y x 5π 6 en el intervalo [0, 2). Además, como sen x tiene un periodo de 2π hay un número infinito de otras soluciones, que se pueden escribir como x

π 2nπ 6

y

x

5π 2nπ 2

Solución general

donde n es un entero. Observe las soluciones para n 1 en la gráfica de y sen x. y

x = π − 2π 6

y= 1 2

1

x= π 6

−π

x = π + 2π 6

x

π

x = 5π − 2π 6

x = 5π 6

−1

x = 5π + 2π 6

y = sen x

© iStockphoto.com/Flory

La figura siguiente ilustra otra manera de mostrar que la ecuación x 12 tiene una infinidad de soluciones. Cualquier ángulo que sea coterminal con π 6 or 5π 6 también es solución de la ecuación.

Las ecuaciones trigonométricas tienen muchas aplicaciones en movimiento circular. Por ejemplo, en el ejercicio 94 resolverá una ecuación trigonométrica para determinar cuándo una persona que se sube en una rueda de la fortuna estará a ciertas alturas sobre el suelo.

sen 5π + 2nπ = 1 2 6

(

)

5π 6

π 6

sen π + 2nπ = 1 2 6

(

)

Cuando resuelva ecuaciones trigonométricas debe escribir su(s) respuesta(s) usando valores exactos en lugar de aproximaciones decimales.

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1.5

Solución de ecuaciones trigonométricas

39

Reunir términos semejantes

EJEMPLO 1 Resuelva sen x Solución lado.

2 sen x.

Empiece por reescribir la ecuación para que sen x quede despejado en un sen x

sen x sen x

2 sen x

Escribir la ecuación original.

2 0

Sumar sen x a cada lado.

sen x sen x 2 2 sen x 2 sen x

2 2

Restar

2 de cada lado.

Combinar términos semejantes.

Dividir cada lado entre 2.

Como el periodo de sen x es 2π, primero encuentre todas las soluciones en el intervalo [0, 2). Estas soluciones son x 5π 4 y x 7π 4. Finalmente, sume múltiplos de 2π cada una de estas soluciones para obtener la forma general x

5π 2nπ 4

y

x

7π 2nπ 4

Solución general

donde n es un entero.

Resuelva sen x

2 sen x.

Obtener raíces cuadradas

EJEMPLO 2 Resuelva

3 tan2 x 1 0.

Solución COMENTARIO

Empiece por reescribir la ecuación de modo que tan x se despeje en un lado.

3 tan2 x 1 0

Escribir la ecuación original.

3 tan2 x 1

Cuando extraiga raíces cuadradas, asegúrese de considerar soluciones tanto positivas como negativas.

tan2 x

Sumar 1 a cada lado.

1 3

Dividir cada lado entre 3.

tan x

1 3

Obtener raíces cuadradas.

tan x

3 3

Racionalizar el denominador.

Como tan x tiene un periodo de π, primero encuentre todas las soluciones en el intervalo [0, 2). Estas soluciones son x π 6 y x 5π 6. Finalmente, sume múltiplos de π a cada una de estas soluciones para obtener la forma general x

π nπ 6

y

x

5π nπ 4

Solución general.

donde n es un entero.

Resuelva 4 sen2 x 3 0.

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40

Capítulo 1

FUNCIONES ESPECIALES

Las ecuaciones de los ejemplos 1 y 2 contenían sólo una función trigonométrica.

Cuando se presenten dos o más funciones en la misma ecuación, reúna todos los términos en un lado e intente separar las funciones mediante factorización o con el uso de identidades apropiadas. Esto puede producir factores que no dan soluciones, como se ilustra en el ejemplo 3.

Factorización

EJEMPLO 3

Resuelva cot x cos2 x 2 cot x.

Solución Empiece por reescribir la ecuación de modo que todos los términos queden en un lado. cot x cos2 x 2 cot x

Escribir la ecuación original.

cot x cos2 x 2 cot x 0

Restar 2 cot x de cada lado.

cot x(cos x − 2) 0 2

Factorizar.

Iguale a cero cada uno de estos factores y despeje la función trigonométrica, si es necesario cot x 0

o

cos2 x 2 0 cos2 x 2 cos x 2

En el intervalo (0, π), la ecuación cot x 0 tiene la solución π x .

2 No existe solución para cos x 2 porque 2 están fuera del rango de la función coseno. Como cot x tiene un periodo de π, la forma general de la solución se obtiene al sumar múltiplos de π a x π 2 para obtener la forma general π + πn Solución general 2 donde n es un entero. Se puede confirmar esto gráficamente si se traza la gráfica de y cot x cos2 x 2 cot x. x

y

1

−π

π

x

−1 −2 −3

y = cot x cos 2 x − 2 cot x

Observe que las intersecciones con el eje x se presentan en

3π , 2

π , 2

π , 2

3π 2

etcétera. Estas intersecciones x corresponden a las soluciones de cot x cos2 x 2 cot x.

Resuelva sen2 x 2 sen x.

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1.5

41

Solución de ecuaciones trigonométricas

Ecuaciones de tipo cuadrático A continuación, veamos un par de ejemplos de ecuaciones trigonométricas de tipo cuadrático. ax 2 bx c 0.

Para resolver ecuaciones de este tipo, factorice la cuadrática; si esto no es posible, use la fórmula cuadrática.

EJEMPLO 4

Cuadrática en sen x 2 sen2 x sen x 1 0

Cuadrática en sec x sec2 x 3 sec x 2 0

2(sen x)2 (sen x) 1 0

(sec x)2 3(sec x) 2 0

Factorizar una ecuación de tipo cuadrático

Encuentre todas las soluciones de 2 sen2 x sen x 1 0 en el intervalo [0, 2π).

Solución gráfica

Solución algebraica Trate a la ecuación como cuadrática en sen x y factorice.

2 sen x sen x 1 0 2

(2 sen x 1)(sen x 1) 0

3

Escribir la ecuación original.

Las intersecciones son x ≈ 1.571, x ≈ 3.665, y x ≈ 5.760.

0

Factorizar.

Igualando cada factor a cero, se obtienen las soluciones en el intervalo [0, 2π).

2 sen x 1 0 sen x x

o 1 2

7π 11π , .

6 6

2π Zero X=1.5707957 Y=0

sen x 1 0

−2

Estos valores son las soluciones aproximadas de 2 sen2 x sen x 1 0 en el intervalo [0, 2π)

sen x 1 x

y = 2 sen 2 x − sen x − 1

π 2

π 7π 11π . x ≈ 1.571 ≈ , x ≈ 3.665 ≈ , y x ≈ 5.760 ≈ 2 6 6

Encuentre todas las soluciones de 2 sen2 x 3 sen x 1 0 en el intervalo [0, 2π).

Reescribir con una sola función trigonométrica

EJEMPLO 5

Resuelva 2 sen2 x 3 cos x 3 0.

Solución Esta ecuación contiene funciones seno y coseno. Se puede reescribir para que sólo tenga funciones coseno si se usa la identidad sen2 x 1 cos2 x.

2 sen2 x 3 cos x 3 0

Escribir la ecuación original.

2(1 − cos2 x) 3 cos x 3 0

Identidad pitagórica.

2 cos2 x 3 cos x 1 0

Multiplique cada lado por 1.

(2 cos x 1)(cos x 1) 0

Factorizar.

Iguale a cero cada factor para encontrar las soluciones x 0, x π 3 y x 5π 3 en el intervalo [0, 2π). Como cos x tiene un periodo de 2π la forma general de la solución es x 2nπ,

x

π 2nπ 3

y

x

5π 2nπ 3

Solución general

donde n es un entero.

Resuelva 3 sec2 x 2 tan2 x 4 0.

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42

Capítulo 1

FUNCIONES ESPECIALES

A veces se debe elevar al cuadrado cada lado de una ecuación para obtener una cuadrática, como se muestra en el siguiente ejemplo. Como este procedimiento puede introducir soluciones extrañas, se debe verificar cualquier solución de la ecuación original para ver si son válidas o extrañas.

Elevar al cuadrado y convertir a tipo cuadrático

EJEMPLO 6 COMENTARIO Se eleva al cuadrado cada lado de la ecuación del ejemplo 6 porque los cuadrados de las funciones seno y coseno están relacionados por una identidad pitagórica. Lo mismo es cierto para los cuadrados de las funciones secante y tangente y para los cuadrados de las funciones cosecante y cotangente.

Encuentre todas las soluciones de cos x 1 sen x en el intervalo [0, 2π).

Solución No está claro cómo reescribir esta ecuación en términos de una sola función trigonométrica. Observe lo que pasa cuando se eleva al cuadrado cada lado de la ecuación. cos x 1 sen x

Escribir la ecuación original.

cos2 x 2 cos x 1 sen2 x

Elevar al cuadrado cada lado.

cos2 x 2 cos x 1 1 − cos2 x

Identidad pitagórica.

cos2 x cos2 x 2 cos x 1 1 0

Reescribir la ecuación.

2 cos x 2 cos x 0

Combinar términos semejantes.

2 cos x(cos x 1) 0

Factorizar.

2

Iguale a cero cada factor y despeje x.

2 cos x 0

o

cos x 1 0

cos x 0

cos x 1

π 3π x , 2 2

x π

Como elevó al cuadrado la ecuación original, verifique que no haya soluciones extrañas.

Comprobar x ⴝ cos

π 1 2

2 π 2

sen

Sustituir

0 1 1 Comprobar x ⴝ cos

3π 1 2

por x.

Se comprueba la solución.

3 2 sen

0 1 1

3π 2

Sustituir

por x.

La solución no se comprueba.

Comprobar x ⴝ cos π 1

sen π

1 1 0

Sustituir π por x.

La solución se comprueba.

De las tres soluciones posibles, x 3π 2 es extraña. Entonces, en el intervalo [0, 2π), las únicas dos soluciones son x

π 2

y

x π.

Encuentre todas las soluciones de sen x 1 cos x en el intervalo [0, 2π).

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1.5

Solución de ecuaciones trigonométricas

43

Funciones que implican ángulos múltiples Los siguientes dos ejemplos implican funciones trigonométricas de múltiples ángulos de las formas ku y tan ku. Para resolver las ecuaciones que implican estas formas, primero se resuelve la ecuación para ku, y luego se divide su resultado entre k.

Funciones de ángulos múltiples

EJEMPLO 7

Resuelva 2 cos 3t 1 0.

Solución 2 cos 3t 1 0

Escribir la ecuación original.

2 cos 3t 1 cos 3t

Sumar 1 a cada lado.

1 2

Dividir cada lado entre 2.

En el intervalo [0, 2π), se sabe que 3t π 3 y 3t 5π 3 que son las únicas soluciones, de manera que, en general, se tiene π + 2nπ 3

3t

y

3t

5π + 2nπ.

3

Dividiendo estos resultados entre 3 se obtiene la solución general t

π 5nπ

9 3

t

y

Resuelva 2 sen 2t

EJEMPLO 8 3 tan

5π 2nπ

9 3

Solución general.

3 0.

Resolver una ecuación de ángulos múltiples

x 3 0 2

Ecuación original.

3 tan

x 3 2

Restar 3 de cada lado.

tan

x 1 2

Dividir cada lado entre 3.

En el intervalo [0, π), se sabe que x 2 3π 4 es la única solución, por lo que, en general, se tiene x 3π

nπ.

2 4 Multiplicando este resultado por 2 se obtiene la solución general: x

3π 2nπ 2

Solución general.

donde n es un entero.

Resuelva 2 tan

x 2 0 2

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44

Capítulo 1

FUNCIONES ESPECIALES

Uso de funciones inversas Usar funciones inversas

EJEMPLO 9

sec2 x 2 tan x 4

Ecuación original.

1 tan x 2 tan x 4 0 2

Identidad pitagórica.

tan2 x 2 tan x 3 0

Combinar términos semejantes.

(tan x 3)(tan x 1) 0

Factorizar.

Igualando a cero cada factor se obtienen dos soluciones en el intervalo ( π 2, π 2).

[Recuerde que el rango de la función tangente inversa es ( π 2, π 2)] x arctan 3

x arctan(−1) π 4

y

Finalmente, como tan x tiene un periodo de π, al sumar múltiplos de π se obtiene x arctan 3 nπ

y

x ( π 4) nπ

Solución general.

donde n es un entero. Se puede usar una calculadora para aproximar el valor de arctan 3.

Resuelva 4 tan2 x 5 tan x 6 0.

Usar la fórmula cuadrática

EJEMPLO 10

Encuentre todas las soluciones de sen2 x 3 sen x 2 0 en el intervalo [0, 2π).

Solución La expresión sen2 x 3 sen x 2 no se puede factorizar, por lo tanto, use la fórmula cuadrática. sen2 x 3 sen x 2 0

Por lo que, sen x

Escriba la ecuación original.

sen x

Fórmula cuadrática.

sen x

Simplificar.

≈ 3.5616 o sen x

la función seno es [ 1, 1], así sen x

≈ 0.5616. El rango de

no tiene solución para x. Utilice una

calculadora para aproximar una solución de sen x

.

y

x arcsen

y = sen x x ≈ π + 0.5963

1 −π 2

π 2

3π 2

5π 2 x

y = − 0.5616 x ≈ 2π − 0.5963 x ≈ − 0.5963

Figura 1.8

≈ 0.5963

Observe que esta solución no está en el intervalo [0, 2π). Para encontrar las soluciones en [0, 2π), trace las gráficas de y sen x y y 0.5616, como se muestra en la figura 1.8. De la gráfica, parece que sen x ≈ 0.5616 en el intervalo [0, 2π) cuando x ≈ π 0.5963 ≈ 3.7379

y

x ≈ 2π 0.5963 ≈ 5.6869.

Por lo que, las soluciones de sen2 x 3 sen x 2 0 en [0, 2π) son x ≈ 3.7379 y x ≈ 5.6869.

Encuentre todas las soluciones de sen2 x + 2 sen x 1 0 en el intervalo [0, 2π).

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1.5

EJEMPLO 11

45

Solución de ecuaciones trigonométricas

Área superficial de una celda del panal

El área superficial S (en cm2) de una celda de panal está dada por S 6hs 1.5s 2

θ

0° θ 90°

,

donde h 6 cm, s 1.9 cm y θ es el ángulo que se muestra en la figura de la derecha. ¿Qué valor de θ da la superficie mínima?

h = 6 cm

Solución Haciendo h 6 y s 1.9, obtiene S 68.4 5.415

s = 1.9 cm

.

Grafique esta función usando una graficadora puesta en modo degree. Utilice la característica minimum para aproximar el punto mínimo de la gráfica, como se muestra en la figura. y = 68.4 + 5.415

(

3 − cos x sen x

(

90

Mínimo

0 X=54.735625 60

Y=76.057966

150

Por lo tanto, la superficie mínima se produce cuando COMENTARIO Mediante cálculo, se puede demostrar que el área superficial mínima exacta se produce cuando

θ arccos

θ ≈ 54.7356°.

Utilice la ecuación para el área superficial de una celda del panal dada en el ejemplo 11 con h 8.1 cm y s 1.9 cm. ¿Qué valor de θ da el área superficial mínima?

.

Resumen (sección 1.5) 1. Explicar cómo utilizar técnicas algebraicas estándar para resolver ecuaciones trigonométricas. Para ejemplos de uso de técnicas algebraicas estándar para resolver ecuaciones trigonométricas, véanse los ejemplos 1–3.

2. Explicar cómo resolver una ecuación trigonométrica de tipo cuadrático. Para ejemplos de resolución de ecuaciones trigonométricas de tipo cuadrático, véanse los ejemplos 4–6.

3. Explicar cómo resolver una ecuación trigonométrica que implica múltiples ángulos. Para ejemplos de resolución de ecuaciones trigonométricas que implican múltiples ángulos, véanse los ejemplos 7 y 8.

4. Explicar cómo utilizar las funciones trigonométricas inversas para resolver ecuaciones trigonométricas. Para ejemplos de uso de funciones trigonométricas inversas para resolver ecuaciones trigonométricas, véanse los ejemplos 9–11.

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46

Capítulo 1

FUNCIONES ESPECIALES

1.5 Ejercicios Vocabulario: complete los espacios en blanco.

1. Cuando resuelve una ecuación trigonométrica, el objetivo preliminar es la función trigonométrica implicada en la ecuación.

7π 11π 2. La ecuación tiene las soluciones 2 sen θ 1 0 y θ = 2nπ y θ = 2nπ donde n es un entero, 6 6 estas se denominan soluciones. .

3. La ecuación 2 tan2 x 3 tan x 1 0 es una ecuación trigonométrica que es de tipo 4. Una solución de una ecuación que no satisface la ecuación original recibe el nombre de solución .

Habilidades y aplicaciones Verificar soluciones En los ejercicios 5-10, verifique que los valores de x sean soluciones de la ecuación.

5. tan x

0

6. sec x 2 0

a) x

a) x

b) x

b) x

7. 3 tan2 2x 1 0

a) x

b) x

b) x

31. 2 sen2 x 2 cos x 33. sen2 x 3 cos2 x 35. 2 sen x csc x 0 36. 3 sec x 4 cos x 0

a) x

37. csc x cot x 1

b) x

38. sec x tan x 1

10. csc x 4 csc x 0 2

a) x

Resolver una ecuación de ángulos múl-tiples En los ejercicios 39-46, resuelva la ecuación de ángulos múltiples.

b) x

Resolver una ecuación trigonométrica En los ejercicios 11-28, verifique que los valores de x sean soluciones de la ecuación.

11.

32. tan2 x sec x 1 34. 2 sec2 x tan2 x 3 0

9. 2 sen2 x sen x 1 0

4

29. sen x 2 cos x 2 30. cos x sen x tan x 2

8. 2 cos2 4x 1 0

a) x

Resolver una ecuación trigonométrica En los ejercicios 29–38, encuentre todas las so-luciones de la ecuación en el intervalo [0, 2π).

csc x 2 0

12. tan x

0

13. cos x 1 cos x

14. 3 sen x 1 sen x

15. 3 sec x 4 0

16. 3 cot2 x 1 0

17. 4 cos2 x 1 0

18. 2 4 sen2 x 0

2

19. sen x(sen x 1) 0

39. 2 cos 2x 1 0

40. 2 sen 2x

41. tan 3x 1 0

42. sec 4x 2 0

43. 2 cos

0

44. 2 sen

45. 3 tan

0

46. tan

0

0 0

20. (2 sen x 1)(tan x 3) 0

Determinar intersecciones x En los ejercicios 47 y 48, encuentre las intersecciones de la gráfica con el eje x.

21. cos3 x cos x 0

22. sec2 x 1 0

47. y sen

23. 3 tan3 x tan x

24. sec x csc x 2 csc x

2

2

25. 2 cos x cos x 1 0 2

26. 2 sen x 3 sen x 1 0 28. csc2 x csc x 2

y

3 2 1

2

27. sec2 x sec x 2

48. y sen πx cos πx

+1

y

−2 − 1

1

x 1 2 3 4

x 1 2

1

2

5 2

−2

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1.5

Aproximar soluciones En los ejercicios 49-58, use una graficadora para aproximar las soluciones (a tres lugares decimales) de la ecuación en el intervalo [0, 2π).

49. 5 sen x 2 0

50. 2 tan x 7 0

51. sen x 3 cos x 0

52. sen x 4 cos x 0

53. cos x x

54. tan x csc x

55. sec x 3 0

56. csc2 x 5 0

57. 2 tan x 15

58. 6 sen x 5

2

2

2

Usar funciones inversas En los ejercicios 59-70, resuelva la ecuación.

59. tan2 x tan x 12 0 60. tan2 x tan x 2 0

47

Solución de ecuaciones trigonométricas

Aproximar puntos máximos y mínimos En los ejercicios 79-84, a) use una graficadora para trazar la función y aproximar los puntos máximo y mínimo sobre la gráfica en el intervalo [0, 2π) y b) resuelva la ecuación trigonométrica y demuestre que sus soluciones son las coordenadas x de los puntos máximo y mínimo de f. (Se requiere cálculo para encontrar la ecuación trigonométrica.)

79.

80.

81.

82.

83.

84.

Función

Ecuación trigonométrica

f(x) sen2 x cos x f (x) cos2 x sin x f(x) sen x cos x f(x) 2 sen x cos 2x f (x) sen x cos x f (x) sec x tan x x

2 sen x cos x sen x 0 2 sen x cos x cos x 0 cos x sen x 0 2 cos x 4 sen x cos x 0 sen2 x cos2 x 0 sec x tan x sec2 x 1

61. sec2 x 6 tan x 4 62. sec2 x tan x = 3 63. 2 sen2 x 5 cos x 4 64. 2 cos2 x 7 sen x 5 65. cot2 x 9 0 66. cot2 x 6 cot x + 5 0

Número de puntos de intersección En los ejercicios 85 y 86, utilice la gráfica para aproximar el número de puntos de intersección de las gráficas de y1 y y2.

85. y1 2 sen x y2 3x 1 4 3 2 1

68. sec2 x 2 sec x 8 0 69. csc2 x 3 csc x 4 0 70. csc x 5 csc x = 0

12 sen2 x 13 sen x 3 0 3 tan2 x 4 tan x 4 0 tan2 x 3 tan x 1 0 4 cos2 x 4 cos x 1 0

Aproximar soluciones En los ejercicios 75-78, use una graficadora para aproximar las soluciones (con tres lugares decimales) de la ecuación en el intervalo dado.

75. 3 tan2 x 5 tan x 4 0, 76. cos2 x 2 cos x 1 0, [0, ] 77. 4 cos2 x 2 sen x 1 0, 78. 2 sec2 x tan x 6 0,

4 3 2 1

y2 y1 π 2

2

71.

72.

73.

74.

y

y

67. sec2 x 4 sec x 0

Usar la fórmula cuadrática En los ejercicios 71-74, use la formula cuadrática para encontrar todas las soluciones de la ecuación en el intervalo [0, 2π).

Redondee su resultado con cuatro lugares decimales.

86. y1 2 sen x y2 x 1

x

y2 y1 x

π 2 −3 −4

87. Razonamiento gráfico Considere la función f(x)

y su gráfica mostrada en esta figura: y 3 2

−π

π

−1 −2 −3

x

a) ¿Cuál es el dominio de la función? b) Identifique cualquier simetría y cualquier asíntota de la gráfica. c) Describa el comportamiento de la función cuando x → 0. d) ¿Cuántas soluciones tiene la siguiente ecuación en el intervalo [ 8, 8]? Encuentre las soluciones.

0

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Capítulo 1

FUNCIONES ESPECIALES

88. Razonamiento gráfico Considere la función dada por f(x) cos

S 58.3 32.5 cos

y su gráfica mostrada en la figura. y

donde t es el tiempo (en meses), con t 1 correspondiente a enero. Determine los meses en los que las ventas exceden a las 7 500 unidades.

2 1

−π

π

x

−2

a) ¿Cuál es el dominio de la función? b) Identifique cualquier simetría y cualquier asíntota de la gráfica. c) Describa el comportamiento de la función cuando x→0 d) ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación cos

91. Ventas de equipamiento Las ventas mensuales S (en cientos de unidades) de equipo para esquiar, en una tienda de artículos deportivos están aproximadas por

92. Movimiento de un proyectil Una pelota de béisbol que ha sido bateada pierde contacto con el bate a un ángulo de θ con la horizontal y a una velocidad inicial de v0 30m por segundo. La pelota es atrapada por un jardinero a 90 m del home (véase la figura). Encuentre θ si el alcance r del proyectil está dado por r

θ

0

en el intervalo [ 1, 1] ? Encuéntrelas. e) ¿La ecuación cos(1 x) 0 tiene máxima solución?

Si es así, aproxímela; si no es así, explique por qué.

89. Movimiento armónico Una pesa está oscilando en el extremo de un resorte (véase la figura). La posición de la pesa respecto al punto de equilibrio está dada por y (cos 8t 3 sen 8t) donde y es el desplazamiento (en metros) y t es el tiempo (en segundos). Encuentre los tiempos cuando la pesa se encuentre en el punto de equilibrio (y 0) para 0 t 1.

Equilibrio y

90. Movimiento armónico amortiguado El desplazamiento desde el equilibrio de una pesa que oscila en el extremo de un resorte está dado por y 1.56e 0.22tcos 4.9t donde y es el desplazamiento (en metros) y t es el tiempo (en segundos). Use una graficadora para trazar la función de desplazamiento para 0 t 10. Encuentre el tiempo más allá del cual el desplazamiento no excede de 1 m a partir del equilibrio.

v02 sen 2θ.

r = 90 m No está a escala

93. Meteorología La tabla siguiente muestra el promedio diario de temperaturas altas C en Chicago (en grados Celsius) para el mes t, con t 1 correspondiente a enero.

Mes, t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Chicago, C 0.6 1.8 8.1 15.0 21.1 26.5 28.9 27.7 23.8 16.8 9.0 1.6

(Fuente: NOAA)

48

a) Use una graficadora para trazar una gráfica de dispersión de los datos. b) Encuentre un modelo de coseno para las temperaturas. c) Grafique el modelo y el diagrama de dispersión en la misma pantalla. ¿Qué tan bien se ajusta el modelo a los datos? d) ¿Cuál es el promedio general diario de alta temperatura? e) Use una graficadora para describir los meses durante los cuales el promedio diario de alta temperatura sea arriba de 21°C y debajo de 21°C?

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1.5

94. Rueda de la fortuna La altura h (en pies) sobre el suelo, en un asiento en una rueda de la fortuna al tiempo t (en minutos), se puede modelar por h(t) 17 16 sen La rueda hace una revolución cada 32 segundos, y empiezaa a funcionar cuando t 0. a) Durante los primeros ry © iStockphoto.com/Flo 32 segundos del viaje, e,, ¿cuándo estará a 17 m sobre el suelo una persona en la rueda de la fortuna? b) ¿Cuándo estará la persona en lo más alto de la rueda por primera vez durante el viaje? Si el viaje dura 160 segundos, ¿cuántas veces estará la persona en lo más alto de la rueda y en qué momentos?

95. Geometría El área de un rectángulo inscrito en un arco de la gráfica de y cos x (véase la figura) está dada por A 2x cos x, 0 x .

Solución de ecuaciones trigonométricas

49

Punto fijo En los ejercicios 97 y 98, encuentre el menor punto fijo positivo de la función f. [Un punto fijo de una función f es un número real c tal que f(c) ⴝ c].

97. f (x) tan(πx 4) 98. f (x) cos x

Exploración ¿Verdadero o falso? En los ejercicios 99 y 100, determine si el enunciado es verdadero o falso. Justifique su respuesta.

99. La ecuación 2 sen 4t 1 0 tiene cuatro veces el número de soluciones en el intervalo [0, 2π) que la ecuación 2 sen t 1 0.

100. La ecuación trigonométrica sen x 3.4, se puede resolver usando una función inversa.

101. Piénselo Explique qué pasaría si divide cada lado de la ecuación entre cot x cos2 x 2 cot x por cot x. ¿Es éste un método correcto a usar cuando se resuelvan ecuaciones?

1102.

10 2..

¿CÓMO LO VE? Explique cómo usar la figura para resolver la ecuación 2 cos x 1 0.

y y

y= 1 2 x

−π 2

π 2

1

x = 5π 3

x= π 3

x

−π

−1

a) Use una graficadora para trazar la función de área, y aproxime el área del máximo rectángulo inscrito.

x = − 5π 3

x

π

x=−π 3

y = cos x

b) Determine los valores de x para los cuales A 1.

96. Aproximación cuadrática Considere la función f(x) 3 sen(0.6x 2). a) Aproxime el cero de la función en el intervalo [0, 6]. b) Una aproximación cuadrática acorde con f en x 5 es g(x) 0.45x 2 5.52x 13.70.

Use una graficadora para trazar f y g en la misma pantalla. Describa el resultado. c) Use la fórmula cuadrática para encontrar los ceros de g. Compare el cero de g en el intervalo [0, 6] con el resultado del inciso a).

103. Razonamiento gráfico Use una graficadora para confirmar las soluciones encontradas en el ejemplo 6 en dos formas diferentes. a) Grafique ambos lados de la ecuación y encuentre las coordenadas x de los puntos en los que las gráficas se intersecan Lado izquierdo: y cos x 1 Lado derecho: y sen x b) Grafique la ecuación y cos x 1 sen x y encuentre las intersecciones de la gráfica con el eje. c) ¿Ambos métodos producen los mismos valores de x? ¿Cuál método prefiere usted? Explique.

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50

Capítulo 1

FUNCIONES ESPECIALES

1.6 Ley de senos

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Usar la Ley de senos para resolver triángulos oblicuángulos (AAL o ALA).

Usar la Ley de senos para resolver triángulos oblicuángulos (LLA).

Encontrar áreas de triángulos oblicuángulos.

Usar la Ley de senos para modelar y resolver problemas de la vida real.

Introducción En la sección 1.4 estudió técnicas para resolver triángulos rectángulos. En esta sección resolverá triángulos oblicuángulos, es decir, aquellos que no tienen ángulos rectos.

Como notación estándar, los ángulos de un triángulo se marcan como A, B y C, y sus lados opuestos como a, b y c como se muestra en la siguiente figura.

C

a

b

A

B

c

Para resolver un triángulo oblicuángulo es necesario saber la medida de al menos un l lado y cualesquiera otras dos medidas del triángulo, ya sean dos lados, dos ángulos y uun ángulo. Esto se desglosa en los siguientes cuatro casos: 11. Dos ángulos y cualquier lado (AAL o ALA).

22. Dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos (LLA). © karamysh/Shutterstock.com

33. Tres lados (LLL).

44. Dos lados y su ángulo incluido (LAL).

L Los primeros dos casos se pueden resolver usando la Ley de senos, mientras que los últimos ú dos requieren la Ley de cosenos (vea la sección 1.7).

Se puede usar la Ley de senos para resolver problemas de la vida real que impliquen triángulos oblicuángulos. Por ejemplo, en el ejercicio 46 se puede usar esta Ley para determinar la distancia de un bote a la costa.

Ley de senos Si ABC es un triángulo con lados a, b y c, entonces,

a b c

. sen A sen B sen C C b

A

C a

h c

A es agudo.

h

B

b A

a

c

B

A es obtuso.

La Ley de senos también se puede escribir en la forma recíproca: sen A sen B sen C

. a b c

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1.6

EJEMPLO 1

51

Dados dos ángulos y un lado AAL

Para el triángulo de la figura 1.9, C 102°, B 29° y b 28 m. Encuentre el ángulo y los lados restantes.

C b = 28 m 102°

a

Solución

El tercer ángulo del triángulo es A 180° B C 180° 29° 102° 49°.

29° c

A

Ley de senos

B

Por la Ley de senos, tenemos,

Figura 1.9

a b c

. sen A sen B sen C Usando b 28 se obtiene, a

b 28 (sen A) (sen 49°) ≈ 43.59 m sen B sen 29°

c

b 28 (sen C) (sen 102°) ≈ 56.49 m sen B sen 29°

© iStockphoto.com/Andrew Ilyasov/isoft

y

Para P el triángulo que se muestra, A 30°, B 45°, y a 32 cm. Encuentre el ángulo y los lados restantes. á

C

A En la década de 1850 1850, los topógrafos utilizaron la Ley de senos para calcular la altura del Monte Everest. Su cálculo se encontraba a 10 m del valor actualmente aceptado.

EJEMPLO 2

a = 32 cm

b 30°

45° c

B

Dados dos ángulos y un lado—ALA

Un poste se inclina hacia el Sol a un ángulo de 8° a partir de la vertical, y proyecta una sombra de 7 m (véase la figura 1.10). El ángulo de elevación desde la punta de la sombra a lo alto del poste es de 43°. ¿Cuál es la altura del poste?

Solución

C

En la figura 1.10, observe que A 43° y, B 90° 8° 98°.

Por lo que, el tercer ángulo es: C 180° A B 180° 43° 98° 39°.

Por la Ley de senos, tenemos, a c

. sen A sen C

b

a 8°

La longitud de la sombra es c 7 m, la longitud del poste es 43° B

c=7m

A

a

c 7 (sen A) (sen 43°) ≈ 7.59 m sen C sen 39°

Figura 1.10

Encuentra la altura del árbol que se muestra en la figura de la derecha. h 96°

23°

30 m

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52

Capítulo 1

FUNCIONES ESPECIALES

El caso ambiguo (LLA) En los ejemplos 1 y 2 se observa que dos ángulos y un lado determinan un triángulo de características únicas. No obstante, si se dan dos lados y un ángulo opuesto pueden ocurrir tres posibles situaciones: 1) no existe ese triángulo, 2) existe un triángulo, o 3) dos triángulos distintos pueden satisfacer las condiciones.

El caso ambiguo (LLA) (h b sen A)

Considere un triángulo en el que nos dan a, b y A. A es agudo.

Dibujo

b

h

A es agudo. b

a

A

A es agudo.

b

h a

b a

a

h

A

A

A es agudo.

A es obtuso.

A es obtuso.

a

a h

b

A

A

A

a

b

Condición necesaria

a h

a h

a b

h a b

a b

a b

Triángulos posibles

Ninguno

Uno

Uno

Dos

Ninguno

Uno

EJEMPLO 3

Caso de una sola solución—LLA

Para el triángulo de la figura 1.11, a 22 cm, b 12 cm, y A 42°. Encuentre los lados y ángulos restantes.

Solución C a 22 cm

b 12 cm 42° A

c

Una solución: a b Figura 1.11

Por la Ley de senos, tenemos, sen B sen A

b a

Forma recíproca.

sen B b

Multiplicar cada lado por b.

sen B 12

Sustituir los valores de A, a y b.

B

B ≈ 21.41°.

Despejar del ángulo agudo B.

Luego, reste para determinar C ≈ 180° 42° 21.41° 116.59°. Luego encuentre el lado restante. c a

Ley de senos. sen C sen A c

a (sen C) sen A

Multiplicar cada lado por sen C.

c≈

22 (sen 116.59°) sen 42°

Sustituir los valores de a, A y C.

c ≈ 29.40 cm

Simplificar.

Dado A 31°, a 12 cm, y b 5 c, encuentre el lado restante y los ángulos del triángulo.

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1.6

Ley de senos

53

Caso sin solución—LLA

EJEMPLO 4

Demuestre que no hay triángulo para el que a 15 m, b 25 m y A 85°. a = 15 m b = 25 m h 85° A

No hay solución: a h Figura 1.12

Solución Empiece por hacer el dibujo que se ilustra en la figura 1.12. En ésta se ve que no se forma ningún triángulo. Se puede verificar esto si se usa la Ley de senos. sen B sen A

b a sen B b

sen A a

Forma recíproca.

Multiplicar cada lado por b.

sen 85° ≈ 1.6603 1 15

sen B 25

Esto contradice el hecho de que ∣sen B∣ 1. Entonces, no se puede formar ningún triángulo que tenga lados a 15 m y b 25 m y un ángulo de A 85°.

Demuestre que no hay un triángulo para el que a 4 m, b 14 meters, y A 60°.

EJEMPLO 5

Caso de dos soluciones—LLA

Encuentre dos triángulos para los que a 12 m, b 31 m y A 20.50°.

Solución Ya que h b sen A 31(sen 20.50°) ≈ 10.86 meters and h a b, hay dos triángulos posibles. Por la Ley de senos, se tiene sen B sen A

b a sen B b

Forma recíproca

sen 20.50° sen A 31 ≈ 0.9047.

12 a

Hay dos ángulos, entre 0° y 180° cuyo seno es aproximadamente 0.9047, B1 ≈ 64.78° y B2 ≈ 180° 64.78° 115.22°. Para B1 ≈ 64.78°, se obtiene C ≈ 180° 20.50° 64.78° 94.72° c

a 12 (sen C) ≈ (sen 94.72°) ≈ 34.15 m sen A sen 20.50°

Para B2 ≈ 115.22°, se obtiene C ≈ 180° 20.50° 115.22° 44.28° c

a 12 (sen C) ≈ (sen 44.28°) ≈ 23.92 m sen A sen 20.50°

Los triángulos resultantes se muestran a continuación C b = 31 m A

94.72° a = 12 m

20.50° 64.78° B1 c ≈ 34.15 m

A

44.28° C b = 31 m a = 12 m 115.22° 20.50° B2 c ≈ 23.92 m

Dos soluciones h a b

Encuentre dos triángulos para los que a 4.5 mm, b 5 mm, y A 58°.

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54

Capítulo 1

FUNCIONES ESPECIALES

Área de un triángulo oblicuángulo El procedimiento que se sigue para demostrar la Ley de senos lleva a una sencilla fórmula para el área de un triángulo oblicuángulo. Considere los dos triángulos siguientes COMENTARIO Para obtener la altura del triángulo obtuso, utilice el ángulo de referencia 180° A y la fórmula de diferencia para el seno: h b sen(180° A) b(sen 180° cos A cos 180° sen A) b[0 ∙ cos A ( 1) ∙ sen A] b sen A.

C

b

A

C a

h

h

c

A es agudo.

a

b

B

c

A

B

A es obtuso.

Observe que cada triángulo tiene una altura de h b sen A. En consecuencia, el área de cada triángulo es 1 Área (Área)(altura) 2 1 (c)(b sen A) 2 1 bc sen A. 2 Por argumentos similares, se pueden desarrollar otras dos fórmulas que se muestran a continuación.

Área de un triángulo oblicuo El área de cualquier triángulo, es la mitad del producto de las longitudes de dos lados por el seno del ángulo entre ellos. Es decir,

1 1 1 Área bc sen A ab sen C ac sen B. 2 2 2

Observe que cuando el ángulo A es 90°, la fórmula da el área de un triángulo rectángulo: 1 1 1 Área bc(sen 90°) bc a(base)(altura).

2 2 2

sin 90° 1

Se obtienen resultados similares para los ángulos C y B iguales a 90°.

EJEMPLO 6

Encontrar el área de un lote triangular

Encuentre el área de un lote triangular con dos lados de longitudes de 90 m y 52 m, y un ángulo incluido de 102°, como se muestra en la figura 1.13.

Solución

b = 52 m 102° C

Figura 1.13

a = 90 m

El área es 1 1 Área ab sen C (90)(52)(sen 102°) ≈ 2 289 m2 2 2

Encuentre el área de un lote triangular con dos lados de longitudes de 24 m y 18 m, y un ángulo incluido de 80°.

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1.6 N

A

O

E

55

Aplicación EJEMPLO 7

S

Ley de senos

Una aplicación de la Ley de senos

52°

B 8 km 40°

El curso para un bote empieza en el punto A y continúa en la dirección S 52° O al punto B, luego en la dirección S 40° E al punto C y, finalmente, regresa a A. El punto C se encuentra a 8 km directamente al Sur del punto A. Aproxime la distancia total del curso de la carrera.

Solución Como las rectas BD y AC son paralelas, se sigue que ∠BCA ≅ CBD. En consecuencia, el triángulo ABC tiene las medidas que se muestran en la figura 1.14.

La medida del ángulo B está a 180° 52° 40° 88°. Usando la Ley de senos,

C

D

a 8 c

. sen 52° sen 88° sen 40°

Figura 1.14

Al resolver para a y c, se tiene a

8 (sen 52°) ≈ 6.31 sen 88°

y

c

8 (sen 40°) ≈ 5.15. sen 88°

Por lo que, la longitud total del curso es aproximadamente: 8 6.31 5.15 19.46 km.

A c

52°

B

En un pequeño lago, usted nada desde el punto A al punto B en un rumbo de N 28° E, luego al punto C en un rumbo de N 58° O, y finalmente regresa al punto A, como se muestra en la figura 1.15. El punto C cae 800 m directamente al Norte del punto A. Aproxime la distancia total que usted nada.

b = 8 km a

D

C

40°

58° B

C

800 m

Figura 1.15 28°

N O

A

E S

Resumen (sección 1.6) 1. Expresar la Ley de senos. Para ejemplos del uso de la Ley de senos para resolver triángulos oblicuángulos (AAL o ALA), véanse los ejemplos 1 y 2.

2. Enumerar las condiciones necesarias y el número correspondiente de posibles triángulos para el caso ambiguo (LLA). Para ejemplos del uso de la Ley de senos para resolver los triángulos oblicuángulos (LLA), véanse los ejemplos 3–5.

3. Expresar las fórmulas para el área de un triángulo oblicuángulo. Para un ejemplo del área de un triángulo oblicuángulo, véase el ejemplo 6 4. Describir una aplicación en la vida real de la Ley de senos (ejemplo 7).

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Cálculo diferencial es un libro de texto pedagógico, matemáticamente preciso y entendible. La obra proporciona las herramientas necesarias para dominar el cálculo respondiendo a las necesidades de una amplia gama de estilos enseñanza, aprendizaje y entornos.

La obra incluye aplicaciones reales utilizadas en los ejemplos y ejercicios, presenta problemas de la vida real que podrá resolver mediante inspección visual utilizando los conceptos en la lección. Encontrará también consejos y sugerencias para reforzar habilidades para resolver problemas y dominar los conceptos. Se han incluido ejercicios de aplicación tomados de diversas fuentes actuales y datos del mundo contemporáneo para facilitar la comprensión del uso del cálculo en diversos contextos.

Los contenidos de la obra están organizados en cinco capítulos, que son: 1. Funciones especiales 2. Funciones y gráficos 3. Funciones: límites y continuidad 4. Derivación y otras funciones 5. Aplicaciones de la derivada El objetivo principal de esta obra es aplicar de los conceptos de límite, continuidad y derivada de una función para la solución de diversos problemas relacionados con la ingeniería y, particularmente, con los problemas de razones de cambio, así como de cálculo de valores máximos y mínimos de una función.

ISBN-13: 978-607-570-005-2

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9 786075 700052

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