Cálculo integral

Cálculo integral Ron Larson | Bruce Edwards

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Cálculo integral Ron Larson The Pennsylvania State University The Behrend College

Bruce Edwards University of Florida

Traducción: Javier León Cárdenas Profesor de Ciencias Básicas Escuela Superior de Ingeniería Química e Industrias Extractivas Instituto Politécnico Nacional

Revisión técnica: Moisés Dimas Díaz UNITEC, Campus Ecatepec Edgar Vajov Benítez Aguilar UNITEC, Campus Sur

Australia • Brasil • Canadá • Estados Unidos • México • Reino Unido • Singapur

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Cálculo integral Primera edición Ron Larson Bruce Edwards Director Higher Education Latinoamérica: Renzo Casapía Valencia Gerente editorial Latinoamérica: Jesús Mares Chacón Editora: Cinthia Chávez Ceballos Coordinador de Manufactura: Rafael Pérez González Diseño de portada: Karla Paola Benítez García Composición tipogr£ȴca: MB Soluciones Editoriales México Juan Pablo Rodríguez Velázquez C. Alberto Cerqueira da Fonseca Alma G. Soto Zárraga

© D.R. 2021 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Carretera MéxicoToluca núm. 5420, oficina 2301, Col. El Yaqui. CP. 05320, Del. Cuajimalpa, Ciudad de México. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso.

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Datos para catalogación bibliográfica: Larson, Ron y Bruce Edwards Cálculo integral, Primera edición.

ISBN: 978-607-570-003-8 Visite nuestro sitio en: http://latinoamerica.cengage.com

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CONTENIDO

1

La integral 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

Antiderivadas e integración definida 2 Ejercicios 9 Área 12 Ejercicios 21 Sumas de Riemann e integrales definidas Ejercicios 31 Teorema fundamental del cálculo 35 Ejercicios 46 Integación por sustitución 50 Ejercicios 59 Integación numérica 63 Ejercicios 68

1

24

Ejercicios de repaso 70 Solución de problemas 73

2

Aplicaciones de la integral 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7

75

Área de una región entre dos curvas 76 Ejercicios 82 Volumen: método de los discos 86 Ejercicios 93 Volumen: Método de las capas 97 Ejercicios 102 Longitud de arco y superficies de revolución 106 Ejercicios 113 Trabajo 117 Ejercicios 123 Momentos, centros de masa y centroides 126 Ejercicios 134 Presión y fuerza de un fluido 137 Ejercicios 141 Ejercicios de repaso 143 Solución de problemas 145

3

Métodos de integración 3.1

3.2

Funciones exponenciales: derivación e integración 148 Ejercicios 154 Otras bases distintas de e y aplicaciones Ejercicios 164

147

158

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vi

Contenido

3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8

3.9 3.10

Reglas básicas de integración 168 Ejercicios 172 Integración por partes 175 Ejercicios 181 Integrales trigonométricas 184 Ejercicios 190 Sustitución trigonométrica 193 Ejercicios 199 Fracciones parciales 202 Ejercicios 209 Integración por tablas y otras técnicas deintegración 211 Ejercicios 215 Formas indeterminadas y la regla de L'Hôpital Ejercicios 224 Integrales impropias 228 Ejercicios 235

217

Ejercicios de repaso 239 Solución de problemas 241

4

Integrales múltiples 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7

4.8

243

Integrales iteradas y área de un plano 244 Ejercicios 250 Integrales dobles y volumen 252 Ejercicios 261 Cambio de variables: coordenadas polares 264 Ejercicios 269 Centro de masa y momentos de inercia 272 Ejercicios 278 Área de una superficie 280 Ejercicios 285 Integrales triples y aplicaciones 287 Ejercicios 295 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas 298 Ejercicios 303 Cambio de variables: jacobianos 305 Ejercicios 310 Ejercicios de repaso 312 Solución de problemas 315

Apéndices

317

Respuestas a problemas con numeración impar

327

Índice analítico

353

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PREFACIO

B

ienvenido a su libro Cálculo integral, un libro de texto pedagógico, matemáticamente preciso y entendible. Nuestro objetivo es proporcionarle las herramientas necesarias para dominar el cálculo.

Características más relevantes de la obra Apertura de capítulo En cada apertura de capítulo se resaltan aplicaciones reales utilizadas en los ejemplos y ejercicios. ¿Cómo lo ve?

La característica ¿Cómo lo ve? en cada sección presenta un problema de la vida real que podrá resolver mediante inspección visual utilizando los conceptos aprendidos en la lección. Este ejercicio es excelente para el análisis en clase o la preparación de un examen.

Consejos y sugerencias Estos consejos y sugerencias refuerzan o amplían conceptos, le ayudan a aprender cómo estudiar matemáticas, le advierten acerca de errores comunes, lo dirigen en casos especiales o le muestran los pasos alternativos o adicionales en la solución de un ejemplo.

Conjuntos de ejercicios Los conjuntos de ejercicios han sido amplia y cuidadosamente examinados para asegurarnos que son rigurosos e importantes y que incluyen todos los temas que nuestros usuarios han sugerido. Se han reorganizado los ejercicios y titulado para que pueda ver mejor las conexiones entre los ejemplos y ejercicios. Los ejercicios de varios pasos son ejercicios de la vida real que refuerzan habilidades para resolver problemas y dominar los conceptos, dando a los estudiantes la oportunidad de aplicarlos en situaciones de la vida real.

Aplicaciones Se han elegido con cuidado ejercicios de aplicación y ejemplos tomados de diversas fuentes, tales como acontecimientos actuales, datos del mundo contemporáneo y tendencias de la industria; todo, relacionado con una amplia gama de intereses, entendiendo dónde se está utilizando (o se puede utilizar) el cálculo para fomentar una comprensión más completa del material.

Desarrollo de conceptos Los ejercicios escritos al final de cada sección están diseñados para poner a prueba su comprensión de los conceptos básicos en cada sec-

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CAPÍTULO 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

1

La integral

Antiderivadas e integración indefinida Área Sumas de Riemann e integrales definidas Teorema fundamental del cálculo Integración por sustitución Integración numérica

Topografía (página 69)

Electricidad (página 61)

Velocidad del sonido (página 40)

Varios productos químicos fluyendo en un tanque (página 44)

Gran Cañón (página 10)

1

Electricidad (Molodec/Shutterstock.com); Topógrafo (Henryk Sadura/Shutterstock.com); Avión (Lukich/Shutterstock.com); Gran Cañón (Josemaria Toscano/Shutterstock.com), y Tanque industrial (Christian Lagerek/Shutterstock.com).

58. Gran Cañón El Gran Cañón tiene una profundidad de 1800 metros en su punto más profundo. Se deja caer una roca desde el borde sobre ese punto. Escriba la altura de la roca como una función del tiempo t en segundos. ¿Cuánto tardará la roca en llegar al suelo del cañón?

Josemaria Toscano/Shutterstock.com

vii Reg. 403 VITALSOURCE © D.R. 2022 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso.

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viii

Prefacio

ción, motivándole a verbalizar y escribir las respuestas, y fomentando las habilidades de comunicación técnica que le serán invaluables en sus futuras carreras.

¿CÓMO LO VE? Use la gráfica de f ′ que se muestra en la figura para responder lo siguiente.

50.

y 5 4 3 2

Teoremas Los teoremas proporcionan el marco conceptual del cálculo. Los teoremas se enuncian claramente y están separados del resto del libro mediante recuadros de referencia visual rápida.

Definiciones Como con los teoremas, las definiciones se enuncian claramente usando terminología precisa, formal y están separadas del texto mediante recuadros para una referencia visual rápida.

Exploraciones Las exploraciones proporcionan retos únicos para estudiar conceptos que aún no se han cubierto formalmente en el libro. Le permiten aprender mediante el descubrimiento e introducir temas relacionados con los que está estudiando en ese momento. El explorar temas de esta manera le invita a pensar de manera más amplia.

Notas históricas y biografías Las notas históricas le proporcionan información acer1.1

9

Antiderivadas e integración indefinida

1.1 Ejercicios Integrar y derivar En los ejercicios 1 y 2, compruebe la expresión demostrando que la derivada del lado derecho es igual al integrando del lado izquierdo.

6 dx x4

1.

2 x3

C

1 dx 2x 2

8x3

2.

2x 4

1 2x

C

Resolver una ecuación diferencial En los ejercicios 3 a 6, encuentre la solución general de la ecuación diferencial y compruebe el resultado mediante derivación.

3.

dy dt

9t2

dy 5. dx

4.

dy dt

x

Reescribir

y

33.

Integrar

Simplificar

7.

8.

9.

10.

6x, f 0 8t3

5, h 1

38. f s

10s

12s3, f 3

39. f x

2, f 2

x x 1 dx 3x 2

7 dx

11.

x x5

15.

x3

2

17.

3

2

1 dx 2x

1 dx

x dx

13

x dx

14.

8x3

9x2

20.

6 dx x

22.

1 3x

23.

x

25.

5 cos x

27.

1

29.

sec2

x

16.

18.

1 dx x5 x

12.

4

3

x

4 dx

1 dx 2 x 1 dx

3 dx x7 3x2 x4

x4

1

2

3 4 10

8, f 0

4

x

f 4

2, f 0

0

42. f x

sen x, f 0

1, f 0

6

3 2,

Campos direccionales En los ejercicios 43 y 44 se dan una ecuación diferencial, un punto y un campo direccional. Un campo de pendientes (o campo de direcciones) está compuesto por segmentos de recta con pendientes dadas por la ecuación diferencial. Estos segmentos de recta proporcionan una perspectiva visual de las pendientes de las soluciones de la ecuación diferencial. (a) Dibuje dos soluciones aproximadas de la ecuación diferencial en el campo de pendientes, una de las cuales pasa por el punto indicado. (Para imprimir una copia ampliada de la gráfica, visite MathGraphs.com.) (b) Utilice la integración para determinar la solución particular de la ecuación diferencial y use una herramienta de graficación para representar la solución. Compare el resultado con los dibujos del inciso (a).

dx

dy dx

1,

x2

1, 3

44.

y

2 dx

24.

4t2

3 2 dt

4 sen x dx

26.

t2

cos t dt

csc t cot t dt

28.

sen

30.

d

sec

2

sec y tan y

d sec y dy

3

−3

Exploración Determinación de antiderivadas Para cada

a. F x b. F x c. F x

e. F x f. F x

2x x x2 1 x2 1 x3 cos x

¿Qué estrategia usó para determinar F?

GEORG FRIEDRICH BERNHARD RIEMANN (1826-1866) El matemático alemán Riemann, realizó su trabajo más notable en las áreas de la geometría no euclidiana, ecuaciones diferenciales, y la teoría de números. Fueron los resultados de Riemann en física y matemáticas los que conformaron la estructura en la que se basa la teoría de la relatividad general de Einstein.

1 , x > 0, 1, 3 x2

4 3 2 1

3

−3

Tecnología A través del libro, los recuadros de tecnología le enseñan a usar tecnología para resolver problemas y explorar conceptos del cálculo. Estas sugerencias también indican algunos obstáculos del uso de la tecnología.

y

x 2

dy dx

7 8

ca de los fundamentos de cálculo. Las biografías presentan a las personas que crearon y contribuyeron al cálculo.

d. F x

x, f 0

41. f x

5

Aproxime la pendiente de f en x = 4. Explique. ¿Es posible que f(2) = −1? Explique. ¿Es f(5) – f(4)> 0? Explique.

Aproxime el valor de x donde f es máxima. Explique.

Aproxime cualquier intervalo en el que la gráfica de f es cóncava hacia arriba y cualquier intervalo abierto en el cual es cóncava hacia abajo. Aproxime la coordenada x a cualquier punto de inflexión.

2

5, f 2

40. f x

43.

5

4x2, g

(a) (b) (c) (d) (e)

1 2 3

derivada describa la función original F.

2

8

37. h t

dx

1

−2

36. g x

13.

21.

4

x dx

Encontrar una integral indefinida En los ejercicios 11 a 32, encuentre la integral indefinida y compruebe el resultado mediante derivación.

19.

x 2

1 dx 4x2 1

fʹ

1 − 2 −1

Encontrar una solución particular En los ejercicios 35 a 42, encuentre la solución particular que satisface la ecuación diferencial y las condiciones iniciales.

35. f x

3

y 2

fʹ

−4 − 2 −2

3

x

−2

csc2 x dx

34.

6

x

2x

4x

32.

2

Reescribir antes de integrar En los ejercicios 7 a 10, complete la tabla para encontrar la integral indefinida.

Integral original

1 dy

Dibujar una gráfica En los ejercicios 33 y 34 se presenta la gráfica de la derivada de una función. Dibuje las gráficas de dos funciones que tengan la derivada señalada. (Hay más de una respuesta correcta.) Para imprimir una copia ampliada de la gráfica, visite MathGraphs.com.

5

dy 6. dx

3 2

tan2 y

31.

f′

−1 −2 −3 −4

TEOREMA 1.1 7

x

Representación de antiderivadas

Si F es una antiderivada de f en un intervalo I, entonces G es una antiderivada de f en el intervalo I si y sólo si G es de la forma G(x) = F(x) + C, para todo x en I, donde C es una constante.

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Prefacio

Prácticas de graficación Algunos ejercicios de nuestro mnaterial incluyen el símbolo , mediante el cual se indica que el alumno deberá utilizar una herramienta de graficación o un sistema simbólico de álgebra computarizado.

Razonamiento gráfico En los ejercicios 1 a 4, utilice una herramienta de graficación para representar el integrado. Use la gráfica para determinar si la integral definida es positiva, negativa o cero.

4

1.

Proyectos de trabajo Los proyectos de trabajo se presentan en algunas secciones y le invitan a explorar aplicaciones relacionadas con los temas que está estudiando. Proporcionan una forma interesante y atractiva para que usted y otros estudiantes trabajen e investiguen ideas de forma conjunta.

Información adicional Además del desarrollo pormenorizado de conceptos, en algunos casos proporcionamos información adicional relevante y de interés para los alumnos, misma que complementa el aprendizaje de los temas vistos.

Desafíos del examen Putnam Las preguntas del examen Putnam se presentan en algunas secciones. Estas preguntas de examen Putnam lo desafían y le amplían los límites de su comprensión sobre el cálculo.

x2

0

1

2

x x2

3.

2

dx

cos x dx

2.

0 2

1 dx

4.

2

x 2

x dx

PROYECTO DE TRABAJO Centro de presión sobre una vela El centro de presión sobre una vela es aquel punto (xp, yp) en el cual puede suponerse que actúa la fuerza aerodinámica total. Si la vela se representa mediante una región plana R, el centro de presión es R

xp

R

xy dA y dA

y yp

R R

y2 d A . y dA

Considere una vela triangular con vértices en (0, 0), (2, 1) y (0, 5).

Compruebe los valores de cada integral. (a)

y dA

10

R

(b)

xy dA

35 6

y2 dA

155 6

R

(c) R

Calcule las coordenadas (xp, yp) del centro de presión. Dibuje una gráfica de la vela e indique la localización del centro de presión. @ Martynova Anna/Shutterstock.com

DESAFÍO DEL EXAMEN PUTMAN 77. Un dardo, lanzado al azar, incide sobre un blanco cuadrado. es la práctica de que determinados ejercicios en del nuestra Suponiendo cualesquiera de las dos partes blanco de igual área son igualmente probables de ser golpeadas

plataforma WebAssign, los cuales de sonqueseñalados por el de dardo, encuentre la probabilidad el punto de incidencia sea más cercano al centro que a cualquier borde.

Escriba la respuesta en la forma a b c d, donde a, b, c y d son enteros positivos.

Este problema fue preparado por el Commitee on the Putnam Prize Competition. © The Mathematical Association of America. Todos los derechos reservados.

Ejercicios complementarios en WebAssign Finalmente, un complemento importante de la obra es la práctica de determinados ejercicios en nuestra plataforma de WebAssign®, donde los estudiantes podrán acceder con una clave exclusiva, para optimizar aún más sus procesos de aprendizaje, mediante actividades y problemas similares a los presentados en cada capítulo de este material.

PARA INFORMACIÓN ADICIONAL Para más información sobre este problema, vea el artículo “Integrating Without Polar Coordinates”, de William Dunham, en Mathematics Teacher. Para consultar este artículo, visite MathArticles.com.

Visite nuestra plataforma en línea y consulte las herramientas que le ofrecemos para enriquecer aún más su experiencia de aprendizaje.

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ix

AGRADECIMIENTOS Queremos dar las gracias a muchas personas que nos han ayudado en las diferentes etapas de Cálculo en los últimos 39 años. Su estímulo, críticas y sugerencias han sido invaluables.

Revisores de las ediciones anteriores Denis Bell, University of Northern Florida; Abraham Biggs, Broward Community College; Jesse Blosser, Eastern Mennonite School; Mark Brittenham, University of Nebraska; Mingxiang Chen, North Carolina A & T State University; Marcia Kleinz, Atlantic Cape Community College; Maxine Lifshitz, Friends Academy; Bill Meisel, Florida State College en Jacksonville; Martha Nega, Georgia Perimeter College; Laura Ritter, Southern Polytechnic State University; Chia-Lin Wu, Richard Stockton College of New Jersey; Stan Adamski, Owens Community College; Alexander Arhangelskii, Ohio University; Seth G. Armstrong, Southern Utah University; Jim Ball, Indiana State University; Marcelle Bessman, Jacksonville University; Linda A. Bolte, Eastern Washington University; James Braselton, Georgia Southern University; Harvey Braverman, Middlesex County College; Tim Chappell, Penn Valley Community College; Oiyin Pauline Chow, Harrisburg Area Community College; Julie M. Clark, Hollins University; P. S. Crooke, Vanderbilt University; Jim Dotzler, Nassau Community College; Murray Eisenberg, University of Massachusetts en Amherst; Donna Flint, South Dakota State University; Michael Frantz, University of La Verne; Sudhir Goel, Valdosta State University; Arek Goetz, San Francisco State University; Donna J. Gorton, Butler County Community College; John Gosselin, University of Georgia; Shahryar Heydari, Piedmont College; Guy Hogan, Norfolk State University; Ashok Kumar, Valdosta State University; Kevin J. Leith, Albuquerque Community College; Douglas B. Meade, University of South Carolina; Teri Murphy, University of Oklahoma; Darren Narayan, Rochester Institute of Technology; Susan A. Natale, The Ursuline School, NY; Terence H. Perciante, Wheaton College; James Pommersheim, Reed College; Leland E. Rogers, Pepperdine University; Paul Seeburger, Monroe Community College; Edith A. Silver, Mercer County Community College; Howard Speier, Chandler-Gilbert Community College; Desmond Stephens, Florida A&M University; Jianzhong Su, University of Texas en Arlington; Patrick Ward, Illinois Central College; Diane Zych, Erie Community College.

Muchas gracias a Robert Hostetler, The Behrend College, The Pennsylvania State University, y David Heyd, The Behrend College, The Pennsylvania State University, por sus importantes contribuciones a las ediciones anteriores de este libro.

También nos gustaría dar las gracias al personal de Larson Texts, Inc., que nos ayudó a preparar el manuscrito, a presentar las imágenes, componer y corregir las páginas y suplementos.

A nivel personal, estamos muy agradecidos con nuestras esposas, Deanna Gilbert Larson y Consuelo Edwards, por su amor, paciencia y apoyo. Además, una nota de agradecimiento especial para R. Scott O’Neil.

Si tiene sugerencias para mejorar este libro, por favor no dude en escribirnos. Con los años hemos recibido muchos comentarios útiles de los profesores y estudiantes, y los valoramos mucho.

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CAPÍTULO 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

1

La integral

Antiderivadas e integración indefinida Área Sumas de Riemann e integrales definidas Teorema fundamental del cálculo Integración por sustitución Integración numérica

Electricidad (página 61)

Topografía (página 69)

Velocidad del sonido (página 40)

Gran Cañón (página 10)

Varios productos químicos fluyendo en un tanque (página 44)

Electricidad (Molodec/Shutterstock.com); Topógrafo (Henryk Sadura/Shutterstock.com); Avión (Lukich/Shutterstock.com); Gran Cañón (Josemaria Toscano/Shutterstock.com), y Tanque industrial (Christian Lagerek/Shutterstock.com).

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1

2

Capítulo 1

1.1

LA INTEGRAL

Antiderivadas e integración indefinida Escribir la solución general de una ecuación diferencial y usar la notación de integral indefinida para antiderivadas.

Utilizar las reglas de la integración básicas para encontrar antiderivadas.

Encontrar una solución particular de una ecuación diferencial.

Visite nuestra plataforma en línea y consulte las herramientas que le ofrecemos para enriquecer aún más su experiencia de aprendizaje en esta sección.

Antiderivadas Para encontrar una función F cuya derivada es f(x) = 3x2, podría usar lo que sabe de derivadas, para concluir que F(x) = x2 ya que

d 3 x dx

3x 2.

La función F es una antiderivada de f.

Definición de una antiderivada Se dice que una función F es una antiderivada de f, en un intervalo I, si F ′(x) = f(x) para todo x en I.

Exploración Determinación de antiderivadas Para cada derivada describa la función original F. a. F x b. F x c. F x d. F x e. F x f. F x

2x x x2 1 x2 1 x3 cos x

¿Qué estrategia usó para determinar F?

Note que F se llama una antiderivada de f, en vez de la antiderivada de f. Para entender por qué, observe que F1 x

x 3, F2 x

x3

5

y

F3 x

x3

97

son todas antiderivadas de f(x) = 3x . De hecho, para cualquier constante C, la función dada por F(x) = x3 + C es una antiderivada de f.

2

TEOREMA 1.1

Representación de antiderivadas

Si F es una antiderivada de f en un intervalo I, entonces G es una antiderivada de f en el intervalo I si y sólo si G es de la forma G(x) = F(x) + C, para todo x en I, donde C es una constante.

Demostración La demostración del teorema 1.1 en un sentido es directa. Esto es, si G(x) = F(x) + C, F ′(x) = f (x) y C es constante, entonces G x

d Fx dx

C

F x

0

f x.

Para demostrar este teorema en otro sentido, suponga que G es una antiderivada de f.

Defina una función H tal que Hx

G(x

Fx.

Para cualesquiera dos puntos a y b (a < b) en el intervalo, H es continua sobre [a, b] y derivable dentro de (a, b). Por el teorema del valor medio, H c

Hb b

Ha a

para algún c en (a, b). Sin embargo, H ′(c) = 0, por consiguiente H(a) = H(b). Dado que a y b son puntos arbitrarios en el intervalo, usted sabe que H es una función constante C. Así, G(x) – F(x) = C y por esto G(x) = F(x) + C.

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1.1

Antiderivadas e integración indefinida

3

Si utiliza el teorema 1.1, puede representar la familia completa de antiderivadas de una función agregando una constante a una antiderivada conocida. Por ejemplo, sabiendo que 2x

Dx x2

puede representar la familia de todas las antiderivadas de f(x) = 2x por G(x) = x2 + C.

Familia de todas las antiderivadas de f(x) = 2x

donde C es constante. La constante C recibe el nombre de constante de integración. La familia de funciones representadas por G es la antiderivada general de f, y G(x) = x2 + C es la solución general de la ecuación diferencial.

G ′(x) = 2x

Una ecuación diferencial en x y y es una ecuación que incluye a x, y y a las derivadas de y. Por ejemplo, y ′ = 3x y y ′ = x2 + 1 son ejemplos de ecuaciones diferenciales.

y 2

C=2

EJEMPLO 1

C=0

Solución de una ecuación diferencial

Determine la solución general de la ecuación diferencial y ′ = 2.

1

C = −1 x

−2

Ecuación diferencial

1

2

−1

Solución Para empezar, determine una función cuya derivada es 2. Una función con esta característica es y = 2x.

2x es una antiderivada de 2.

Ahora bien, utilice el teorema 1.1 para concluir que la solución general de la ecuación diferencial es Funciones de la forma y = 2x + C. Figura 1.1

y = 2x + C.

Solución general

En la figura 1.1 se muestran las gráficas de varias funciones de la forma y = 2x + C. Cuando resuelva una ecuación diferencial de la forma dy dx

f x

es conveniente escribirla en la forma diferencial equivalente dy = f(x) dx.

La operación para determinar todas las soluciones de esta ecuación se denomina antiderivación (o integración indefinida) y se denota mediante un signo integral ∫. La solución se denota mediante Constante de integración

Variable de integración

y

COMENTARIO En este texto, la notación f x dx = F(x) + C significa que F es una antiderivada de f en un intervalo.

f x dx Integrando

Fx

C.

Antiderivada de f(x)

La expresión f x dx se lee como la antiderivada de f respecto a x. De tal manera, la diferencial de dx sirve para identificar a x como la variable de integración. El término integral indefinida es sinónimo de antiderivada.

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4

Capítulo 1

LA INTEGRAL

Reglas básicas de integración La naturaleza inversa de la integración y la derivación puede comprobarse sustituyendo F ′(x) por f(x) en la definición de integración indefinida para obtener

F x dx

Además, si f x dx d dx

f x dx

Fx

La integración es la “inversa” de la derivación.

C.

Fx

C, entonces

f x.

La derivación es la “inversa” de la integración.

Estas dos ecuaciones le permiten obtener directamente fórmulas de integración a partir de fórmulas de derivación, como se muestra en el siguiente resumen.

Reglas básicas de integración Fórmula de derivación d C dx d kx dx d dx d dx d dx d dx d dx d dx d dx d dx

kf x

0

0 dx

C

k

k dx

kx

kf x

f x ±g x xn sen x cos x

Fórmula de integración

nx n

kf x dx f x ±g x

1

cos x dx

sen x

k f x dx

f x ± g x dx x n dx

cos x

C

xn 1 n 1

sen x dx sec2 x dx

sec x

sec x tan x

sec x tan x dx

cot x

csc2 x

csc2 x dx

csc x cot x

csc x cot x dx

g x dx Regla de la potencia

C

cos x

sec2 x

1

C, n

sen x

tan x

d csc x dx

f x dx ±

C

tan x

C

sec x cot x

C C

csc x

C

Observe que la regla de la potencia para la integración tiene la restricción n ≠ –1.

La evaluación de 1 dx x debe esperar hasta el análisis de la función logaritmo natural en el capítulo 3.

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1.1

5

Antiderivadas e integración indefinida

Describir antiderivadas

EJEMPLO 2

COMENTARIO

En el ejemplo 2, advierta que el patrón general de integración es similar al de la derivación.

3x dx

3 x dx

Regla del múltiplo constante

3 x1 dx

Reescriba x como x1.

Integral original 3

Regla de potencia (n = 1)

C

3 2 x 2

Reescriba

Integre

x2 2

Simplifique.

C

Las antiderivadas de 3x son la forma 32x2

C, donde C es cualquier constante.

Cuando se evalúan integrales indefinidas, una aplicación estricta de las reglas básicas de integración tiende a producir complicadas constantes de integración. En el caso del ejemplo 2, la solución se podría haber escrito

Simplifique

3x dx

3 x dx

3

x2 2

3 2 x 2

C

3C.

Sin embargo, como C representa cualquier constante, es problemático e innecesario escribir 3C como la constante de integración. Por tanto, 32 x2 3C se escribe en la forma más simple, 32x2 C.

TECNOLOGÍA Algunos programas de software, como Maple y Mathematica, son capaces de efectuar simbólicamente la integración. Si tiene acceso a estas herramientas de integración simbólica, utilícelas para calcular las integrales indefinidas del ejemplo 3.

Reescribir antes de integrar

EJEMPLO 3 Integral original a.

Reescriba

1 dx x3

x

x dx

c.

2 sen x dx

a.

2

x

2

2 3 x 3

C cos x

C

Se entiende que el integrando es uno.

Integre.

2 dx

x dx x2 2

C1

2x

x2 2

2x

C

Integre.

C2

C

C1

3x 4

5x 2

x dx

3

x5 5

3 5 x 5

5 5 3 x 3

x3 3

x2 2 1 2 x 2

C C

2 cos x

C2

La segunda línea en la solución suele omitirse. c.

2

Integrar funciones polinomiales

C

2 dx

1 2x2

C

x3 2 3 2

sen x dx

Simplifique

2

2

1 dx

dx x

b.

x

dx

x1 2 dx

b.

EJEMPLO 4

COMENTARIO Las reglas de integración básicas le permiten integrar cualquier función polinomial.

3

Integre

C C

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C

6

Capítulo 1

LA INTEGRAL

Reescribir antes de integrar

EJEMPLO 5

COMENTARIO

Antes de comenzar la serie de ejercicios, asegúrese de realizar uno de los pasos más importantes en la integración que es reescribir el integrando en una forma que se ajuste a una de las reglas básicas de integración.

1 dx x

x

1

x x x1

x

2

dx

Reescriba como dos fracciones.

dx

Reescriba con exponentes fraccionarios.

1 2

x

x3 2 x1 2 C 3 2 1 2 2 32 2x 1 2 C x 3 2 xx 3 C 3

Integre.

Simplifique.

Cuando integre cocientes, no debe integrar numerador y denominador por separado. Esto es incorrecto tanto en la integración como en la derivación. Al respecto, observe el ejemplo 5, cerciórese de entender que 1 dx x

x

2 3

3

x x

C

no es lo mismo que 1 2 2x 2 3x

1 dx x dx

x

x x

C1 .

C2

Reescribir antes de integrar

EJEMPLO 6 sen x dx cos2 x

1 cos x

sen x dx cos x

Reescriba como un producto.

sec x tan x dx sec x

Integral original 2

b. c. d.

x

1 2 dt 3

x3 x2 3

Reescriba 2 x

dx

t2

dx 4 dx

x x

Integre.

C

Reescribir antes de integrar

EJEMPLO 7

a.

Reescriba utilizando identidades trigonométricas.

1 2

2

dx

t4

2t 2

x

3x

x4 3

Integre

2

t5 5

2

dx

x2 2

3

x7 3 7 3

4x1

C

1 2

1 dt

4x 1 3 dx

Simplifique

x1 2 t3 3 x

t 1

1 4

C

x4 3 4 3

C C

2

C

1 5 t 5

2 3 t 3

t

1 2 x 2

3 x

C

3 7 x 7

3

3x 4

C

3

C

Al hacer los ejercicios, tenga en cuenta que puede comprobar su respuesta a un problema de antiderivación, derivando. Por ejemplo, en el ejemplo 7(a), puede comprobar que 4x1 2 C es la antiderivada correcta derivando la respuesta para obtener Dx 4x1

2

C

4

1 x 2

1 2

2 x

.

Utilice la derivación para comprobar la antiderivada.

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1.1

Antiderivadas e integración indefinida

7

Condiciones iniciales y soluciones particulares

y

(2, 4)

4

C=4 3

f x dx tiene muchas soluciones (cada una difiere de las Ha visto que la ecuación y otras en una constante). Eso significa que las gráficas de cualesquiera dos antiderivadas de f son traslaciones verticales una de otra. Por ejemplo, la figura 1.2 muestra las gráficas de varias de las antiderivadas de la forma

C=3

y

2

3x2

1 dx

x3

x

C

Solución general

C=2 1

para diversos valores enteros de C. Cada una de estas antiderivadas es una solución de la ecuación diferencial

C=1 x

−2

C=0

1

2

−1

−2

C = −2 −3

C = −3

F(x) =

Fx C = −4

x3

3x2

1.

En muchas aplicaciones de la integración, se le da suficiente información para determinar una solución particular. Para hacer esto, sólo necesita conocer el valor de y = F(x) para un valor de x. Esta información recibe el nombre de condición inicial. Por ejemplo, en la figura 1.2, sólo una de las curvas pasa por el punto (2, 4). Para encontrar esta curva, utilice la solución general

C = −1

−4

dy dx

x3

x

y la condición inicial

−x+C

F2

La solución particular que satisface la condición inicial F(2) = 4 es F(x) = x3 – x – 2.

Figura 1.2

4.

Condición inicial

Utilizando la condición inicial en la solución general, puede determinar que F2

8

2

x3

2.

x

C=4

Encuentre la solución general de 1 F x , x > 0 x2

C=3

y determine la solución particular que satisface la condición inicial F(1) = 0.

y

Solución

C=2

1

(1, 0) 1

Para encontrar la solución general, integre para obtener 1 dx x2

Fx

C=1

x

2

x

C=0

−1

x

C = −1

−2

C = −2

−3

F(x) = − 1 + C x

C = −3

La solución particular que satisface la condición inicial F(1) = 0 es Fx 1 x 1, x > 0.

Figura 1.3

Solución particular

Determinar una solución particular

EJEMPLO 8

2

4

C

lo que implica que C = –2 . Por tanto obtiene Fx

3

Solución general

C

Fx

2 dx

Reescriba como una potencia.

1

1 1 x

Integre.

C C,

F x dx

x > 0.

Solución general

Utilizando la condición inicial F(1) = 0, resuelva para C de la manera siguiente.

1 F1 C 0 C 1 1 Por tanto, la solución particular, como se muestra en la figura 1.3, es 1 Fx 1, x > 0.

Solución particular x

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8

Capítulo 1

LA INTEGRAL

Hasta ahora, en esta sección ha utilizado x como variable de integración. En las aplicaciones, a menudo es conveniente utilizar una variable distinta. Así, en el siguiente ejemplo, la variable de integración es el tiempo t.

EJEMPLO 9

Solucionar un problema de movimiento vertical

Una pelota se lanza hacia arriba con una velocidad inicial de 64 pies por segundo a partir de una altura inicial de 80 pies. a. Encuentre la función posición que expresa la altura s en una función del tiempo t. b. ¿Cuándo llegará la pelota al suelo?

Solución a. Considere que t = 0 representa el tiempo inicial. Las dos condiciones iniciales indicadas pueden escribirse de la siguiente manera. s0 s 0

Altura (en pies)

s 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10

s(t) =

− 16t 2

+ 64t + 80

t=3

La velocidad inicial es de 64 pies por segundo.

s t

32

s t

s t dt

32dt

32t

C1.

64 Empleando la velocidad inicial obtiene s 0 que C1 = 64. Después, integrando s′(t), obtiene

t=4

t=0

La altura inicial es 80 pies.

Utilizando –32 pies/s2 como la aceleración de la gravedad, puede escribir

t=2 t=1

80 64

st

32t

s t dt

64 dt

16t 2

32 0 64t

C1, lo cual implica

C2.

Al utilizar la altura inicial, encuentra que s0 t=5 t 1

2

3

4

Tiempo (en segundos)

5

Altura de una pelota en el tiempo t.

Figura 1.4

80

16 0 2

64 0

C2

lo que implica que C2 = 80. De ese modo, la función posición es st

16t 2

64t

80.

Vea la figura 1.4.

b. Utilizando la función posición que encontró en el inciso (a), es posible determinar el tiempo en que la pelota golpea el suelo al resolver la ecuación s(t) = 0.

16t2 16 t

64t 1 t

80 5 t

0 0 1, 5

Como t debe ser positivo, puede concluir que la pelota golpea el suelo 5 segundos después de haber sido lanzada.

En el ejemplo 9, observe que la función posición tiene la forma 1 2 gt v0t s0 st 2 donde g = –32, v0 es la velocidad inicial y s0 es la altura inicial.

El ejemplo 9 muestra cómo utilizar el cálculo para analizar problemas de movimiento vertical en los que la aceleración es determinada por una fuerza de gravedad.

Puede utilizar una estrategia similar para analizar otros problemas de movimiento rectilíneo (vertical u horizontal) en los que la aceleración (o desaceleración) es el resultado de alguna otra fuerza, como verá en los ejercicios 61-68.

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1.1

9

Antiderivadas e integración indefinida

1.1 Ejercicios Integrar y derivar En los ejercicios 1 y 2, compruebe la expresión demostrando que la derivada del lado derecho es igual al integrando del lado izquierdo.

6 dx x4

1.

C

1 dx 2x 2

8x3

2.

2 x3

2x 4

1 2x

C

Resolver una ecuación diferencial En los ejercicios 3 a 6, encuentre la solución general de la ecuación diferencial y compruebe el resultado mediante derivación.

3.

dy dt

9t2

5.

dy dx

x3

2

4.

dy dt

5

6.

dy dx

2x

7.

8.

9.

10.

3

Reescribir

Simplificar

1

dx x x 1 dx 3x 2

7 dx

13.

x5

15.

x3

17.

3

19.

21.

1 dx 2x

2

1 dx

x2 dx

12.

13

x dx

14.

8x3

9x2

16.

x

1 dx 2 x

x3

1 dx

18.

1 dx x5 x

20.

6 dx x

22.

1 3x

23.

x

25.

5 cos x

27.

1

6

4

4 dx

3 dx x7 3x2 x4

x4

2

fʹ

x

−2 −1

2

4

36. g x

4x2,

4t2

3 2 dt

4 sen x dx

26.

t2

cos t dt

37. h t

8t3

5, h 1

38. f s

10s

12s3, f 3

39. f x

2, f 2

1

g

2

x, f 0 3 2,

3 4

29.

sec2

28.

sen

30.

d

2

sec 2

sec y tan y

2

5, f 2

10

8, f 0

4

41. f x

x

f 4

2, f 0

0

42. f x

sen x, f 0

1, f 0

6

Campos direccionales En los ejercicios 43 y 44 se dan una ecuación diferencial, un punto y un campo direccional. Un campo de pendientes (o campo de direcciones) está compuesto por segmentos de recta con pendientes dadas por la ecuación diferencial. Estos segmentos de recta proporcionan una perspectiva visual de las pendientes de las soluciones de la ecuación diferencial. (a) Dibuje dos soluciones aproximadas de la ecuación diferencial en el campo de pendientes, una de las cuales pasa por el punto indicado. (Para imprimir una copia ampliada de la gráfica, visite MathGraphs.com.) (b) Utilice la integración para determinar la solución particular de la ecuación diferencial y use una herramienta de graficación para representar la solución. Compare el resultado con los dibujos del inciso (a). dy dx

1,

x2

1, 3

44.

sec y dy

−3

3

−3

1 , x > 0, 1, 3 x2

4 3 2 1

3

d

dy dx y

x

csc t cot t dt

2

8

y

24.

1

−2

6x, f 0

dx

2 dx

fʹ

1

35. f x

43.

5

y

Encontrar una solución particular En los ejercicios 35 a 42, encuentre la solución particular que satisface la ecuación diferencial y las condiciones iniciales.

40. f x

Encontrar una integral indefinida En los ejercicios 11 a 32, encuentre la integral indefinida y compruebe el resultado mediante derivación.

csc2 x dx

34.

x

1 dx 4x2

x

y

33.

−4 −2 −2

Integrar

4x

32.

Dibujar una gráfica En los ejercicios 33 y 34 se presenta la gráfica de la derivada de una función. Dibuje las gráficas de dos funciones que tengan la derivada señalada. (Hay más de una respuesta correcta.) Para imprimir una copia ampliada de la gráfica, visite MathGraphs.com.

3

x dx

11.

1 dy

2

Reescribir antes de integrar En los ejercicios 7 a 10, complete la tabla para encontrar la integral indefinida.

Integral original

tan2 y

31.

−1 −2 −3 −4

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7

x

10

Capítulo 1

LA INTEGRAL

Campos direccionales En los ejercicios 45 y 46, (a) utilice una herramienta de graficación para representar un campo direccional para la ecuación diferencial, (b) utilice la integración y el punto indicado para determinar la solución particular de ecuación diferencial y (c) trace la gráfica de la solución y el campo direccional. dy 45. dx

2x,

2,

dy 46. dx

2

2 x, 4, 12

47. Antiderivadas e integrales indefinidas ¿Cuál es la diferencia, si existe, entre encontrar la antiderivada de f(x) y evaluar la integral f x dx?

48. Comparar funciones Considere f(x) = tan2 x y g(x) = sec2 x. ¿Qué nota acerca de las derivadas de f (x) y g(x)? ¿Qué puede concluir acerca de la relación entre f (x) y g(x)?

49. Dibujar una gráfica Las gráficas de f y f ′ pasan a través del origen. Use la gráfica de f ″ mostrada en la figura para bosquejar la gráfica de f y f ′. Para imprimir una copia ampliada de la gráfica, visite MathGraphs.com y

f″ 2

4

−2

¿CÓMO LO VE? Use la gráfica de f ′ que se muestra en la figura para responder lo siguiente. y

5 4 3 2

El tamaño inicial de la población es igual a 500. Después de un día la población ha crecido hasta 600. Calcule el tamaño de la población después de 7 días.

Movimiento vertical En los ejercicios 53 a 55, utilice a(t) = –32 pies por segundo por segundo igual a la aceleración debida a la gravedad. (Ignore la resistencia del aire.)

53. Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba desde una altura de 6 pies con una velocidad inicial de 60 pies por segundo ¿Qué altura alcanzará la pelota?

(a) ¿En cuántos segundos llegará la bolsa al suelo? (b) ¿A qué velocidad hará contacto con el suelo?

−4

50.

k t.

55. Un globo aerostático, que asciende verticalmente con una velocidad de 16 pies por segundo, deja caer una bolsa de arena en el instante en el que está a 64 pies sobre el suelo.

x

−2

dP dt

54. ¿Con qué velocidad inicial debe lanzarse un objeto hacia arriba (desde el nivel del suelo) para alcanzar la parte superior del monumento a Washington (aproximadamente 550 pies)?

4

−4

(a) Determine la altura después de t años. (b) ¿Qué altura tienen los arbustos cuando se venden?

52. Crecimiento poblacional La tasa de crecimiento dP/dt de una población de bacterias es proporcional a la raíz cuadrada de t, donde P es el tamaño de la población y t es el tiempo en días 0 t 10 . Esto es,

DESARROLLO DE CONCEPTOS

2

51. Crecimiento de árboles Un vivero de plantas verdes suele vender cierto arbusto después de 6 años de crecimiento y cuidado. La velocidad de crecimiento durante esos 6 años es, aproximadamente, dh/dt = 1.5t + 5, donde t es el tiempo en años y h es la altura en centímetros. Las plantas de semillero miden 12 centímetros de altura cuando se plantan (t = 0).

f′

Movimiento vertical En los ejercicios 56 a 58, utilice a(t) = –9.8 metros por segundo por segundo igual a la aceleración debida a la gravedad. (Ignore la resistencia del aire.)

56. Una pelota de béisbol es lanzada hacia arriba desde una altura de 2 metros con una velocidad inicial de 10 metros por segundo. Determine su altura máxima.

57. ¿A qué velocidad inicial debe lanzarse un objeto hacia arriba (desde una altura de 2 metros) para que alcance una altura máxima de 200 metros?

x

−2

(a) (b) (c) (d) (e)

1 2 3

5

7 8

Aproxime la pendiente de f en x = 4. Explique. ¿Es posible que f(2) = −1? Explique. ¿Es f(5) – f(4)> 0? Explique.

Aproxime el valor de x donde f es máxima. Explique.

Aproxime cualquier intervalo en el que la gráfica de f es cóncava hacia arriba y cualquier intervalo abierto en el cual es cóncava hacia abajo. Aproxime la coordenada x a cualquier punto de inflexión.

58. Gran Cañón El Gran Cañón tiene una profundidad de 1800 metros en su punto más profundo. Se deja caer una roca desde el borde sobre ese punto. Escriba la altura de la roca como una función del tiempo t en segundos. ¿Cuánto tardará la roca en llegar al suelo del cañón?

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1.1 59. Gravedad lunar Sobre la Luna, la aceleración de la gravedad es de –1.6 m/s2. En la Luna se deja caer una piedra desde un peñasco y golpea la superficie de esta misma 20 segundos después. ¿Desde qué altura cayó? ¿Cuál era su velocidad en el momento del impacto?

60. Velocidad de escape La velocidad de escape mínima que se requiere para que un objeto escape de la atracción gravitatoria de la Tierra se obtiene a partir de la solución de la ecuación v dv

GM

1 dy y2

donde v es la velocidad del objeto lanzado desde la Tierra, y es la distancia desde el centro terrestre, G es la constante de la gravitación y M es la masa de la Tierra. Demuestre que v y y están relacionadas por la ecuación v

2

v02

1 2GM y

1 R

donde v0 es la velocidad inicial del objeto y R es el radio terrestre.

Movimiento rectilíneo En los ejercicios 61 a 64, considere una partícula que se mueve a lo largo del eje x, donde x(t) es la posición de la partícula en el tiempo t, x′(x) su velocidad y x″(t) su aceleración.

61. x t

t3

6t2

9t

2,

0

t

5

(a) Determine la velocidad y la aceleración de la partícula. (b) Encuentre los intervalos abiertos de t en los cuales la partícula se mueve hacia la derecha. (c) Encuentre la velocidad de la partícula cuando la aceleración es 0.

62. Repita el ejercicio 61 para la función posición. xt t 1 t 3 2, 0 t 5.

63. Una partícula se mueve a lo largo del eje x a una velocidad de v(t) = 1 t , t > 0. En el tiempo t = 1, su posición es x = 4.

Encuentre las funciones posición y la aceleración de la partícula.

64. Una partícula, inicialmente en reposo, se mueve a lo largo del eje x de manera que su aceleración en el tiempo t > 0 está dada por a(t) = cos t. En el tiempo t = 0, su posición es x = 3. (a) Determine las funciones velocidad y la posición de la partícula. (b) Encuentre los valores de t para los cuales la partícula está en reposo.

65. Aceleración El fabricante de un automóvil indica en su publicidad que el vehículo tarda 13 segundos en acelerar desde 25 kilómetros por hora hasta 80 kilómetros por hora. Suponiendo aceleración constante. (a) Determine la aceleración en m/s2. (b) Halle la distancia que recorre el automóvil durante los 13 segundos.

66. Desaceleración Un automóvil que viaja a 45 millas por hora recorre 132 pies, a desaceleración constante, luego de que se aplican los frenos para detenerlo. (a) ¿Qué distancia recorre el automóvil cuando su velocidad se reduce a 30 millas por hora? (b) ¿Qué distancia recorre el automóvil cuando su velocidad se reduce a 15 millas por hora? (c) Dibuje la recta de números reales desde 0 hasta 132 y trace la gráfica de los puntos que se encontraron en los incisos (a) y (b). ¿Qué puede concluir?

Antiderivadas e integración indefinida

11

67. Aceleración En el instante en que la luz de un semáforo se pone en verde, un automóvil que ha estado esperando en un crucero empieza a moverse con una aceleración constante de 6 pies/s2. En el mismo instante, un camión que viaja a una velocidad constante de 30 pies por segundo rebasa al automóvil. (a) ¿A qué distancia del punto de inicio el automóvil rebasará al camión? (b) ¿A qué velocidad circulará el automóvil cuando rebase al camión?

68. Aceleración Suponga que un avión totalmente cargado que parte desde el reposo tiene una aceleración constante mientras se mueve por una pista. El avión requiere 0.7 millas de pista y una velocidad de 160 millas por hora para despegar. ¿Cuál es la aceleración del avión? ¿Verdadero o falso? En los ejercicios 69 a 74, determine si el enunciado es verdadero o falso. Si es falso, explique por qué o proporcione un ejemplo que demuestre que es falso.

69. La antiderivada de f (x) es única.

70. Toda derivada de una función polinomial de grado n es una función polinomial de grado (n + 1).

71. Si p(x) es una función polinomial, entonces p tiene exactamente una antiderivada o primitiva cuya gráfica contiene al origen.

72. Si F(x) y G(x) son antiderivadas de f (x), entonces F(x) = G(x) + C).

C. 73. F x Gx C, entonces g x dx f x 74.

f x g x dx

f x dx g x dx

75. Tangente horizontal Encuentre una función f tal que la gráfica de ésta tenga una tangente horizontal en (0, 2) y f ″(x) = 2x.

76. Determinar una función Se muestra la gráfica de f ′. Dibuje la gráfica de f dado que f es continua y f(0) = 1. y 2

f′

1 x −1

1

2

3

4

−2

77. Demostración Sean s(x) y c(x) dos funciones que satisfacen s′(x) = c(x) y c′(x) = –s(x) para todo x. Si s(0) = 0 y c(0) = 1, demuestre que s x 2 c x 2 1.

DESAFÍOS DEL EXAMEN PUTNAM 78. Suponga que f y g son funciones no constantes, derivables y de valores reales definida en (–∞, ∞). Además, suponga que para cada par de números reales x y y, f x gx Si f 0 todo x.

y y

f xf y f xg y

gxg y y gx f y.

0, demuestre que

f x

2

gx

2

1 para

Este problema fue preparado por el Committee on the Putnam Price Competition. © The Mathematical Association of America. Todos los derechos reservados.

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12

Capítulo 1

1.2

LA INTEGRAL

Área Emplear la notación sigma para escribir y calcular una suma.

Entender el concepto de área.

Aproximar el área de una región plana.

Determinar el área de una región plana usando límites.

Visite nuestra plataforma en línea y consulte las herramientas que le ofrecemos para enriquecer aún más su experiencia de aprendizaje en esta sección.

Notación sigma En la sección anterior estudió antiderivación. En esta sección se considerará además el problema de encontrar el área de una región en el plano. A primera vista, estas dos ideas parecen no relacionarse, aunque en la sección 1.4 descubrirá que se relacionan de manera estrecha por medio de un teorema muy importante conocido como el teorema fundamental del cálculo.

Esta sección inicia introduciendo una notación concisa para sumas. Esta notación recibe el nombre de notación sigma, ya que utiliza la letra griega mayúscula sigma, ∑.

Notación sigma La suma de n términos a1, a2, a3, …, an se escribe como n

ai

a1

1

i

a2

. . .

a3

an

donde i es el índice de suma, a1 es el i-ésimo término de la suma y los límites superior e inferior de la suma son n y 1.

COMENTARIO Los límites superior e inferior de la suma han de ser constantes respecto al índice de suma. Sin embargo, el límite inferior no tiene por qué ser 1. Cualquier entero menor o igual al límite superior es legítimo.

Ejemplos con la notación sigma

EJEMPLO 1 6

1

i

a.

1

i 5

b.

7

c.

1

1

j2

32

42

3

j

1

5

d.

j 1 2 k 1n

1

j n

e. k

3

i 0

i

2

4 2

5 3

52

1 1

1 2

1

1 2 1 n

6 4

62 1 3 1

5 72 1 4

PARA INFORMACIÓN ADICIONAL

Para una interpretación geométrica de las fórmulas de suma, consulte el n

artículo “Looking at k

n

1

k and

k

k2 1

Geometrically”, de Eric Hegblom, en Mathematics Teacher. Para ver este artículo, visite MathArticles.com.

i

1

f xi

x

f x1

x

f x2

1 5

1 2 2 n

1

. . .

1 2 n n

x

. . .

f xn

x

n

f.

6

1

En los incisos (a) y (b), observe que la misma suma puede representarse de maneras diferentes utilizando la notación sigma.

Aunque puede utilizarse cualquier variable como índice de suma, suele preferirse i, j y k. Observe en el ejemplo 1 que el índice de suma no aparece en los términos de la suma desarrollada.

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1.2 LA SUMA DE LOS PRIMEROS CIEN ENTEROS El maestro de Carl Friedrich Gauss (1777-1855) pidió a sus alumnos que sumaran todos los enteros desde 1 hasta 100. Cuando Gauss regresó con la respuesta correcta muy poco tiempo después, el maestro no pudo evitar mirarle atónito. Lo siguiente fue lo que hizo Gauss:

1 100 101

2 99 101

100

101 2

3 98 101

... ... ...

100 1 101

i

n

n

kai

1. i

i

1

n

k

1

ai

2.

1

i

i

1

n

a i ±bi i

n

ai ±

1

bi

1

i

El siguiente teorema lista algunas fórmulas útiles para la suma de potencias.

TEOREMA 1.2 Fórmulas de sumatoria n 1

i n

1

i

1

2 2 n n

1 n

i3

4. i

1

nn

i

2. i

1 2n 6

nn

i2

3.

n

cn, c es una constante

c

1.

5050

100 101 2

13

Las siguientes propiedades de la sumatoria empleando la notación sigma se deducen de las propiedades asociativa y conmutativa de la suma y de la propiedad distributiva de la adición en la multiplicación. (En la primera propiedad, k es una constante.)

Esto se generaliza por medio del teorema 1.2, propiedad 2, donde 100

Área

4

1

1

2

5050.

Evaluar una suma

EJEMPLO 2 n

Solución n i

1

i 1

n2

1

i

1

i

Encuentre

para n = 10, 100, 1000 y 10,000

1 n i n 2i 1

n2

1 n2

1

n

Factorice la constante 1/n2 fuera de la suma. n

1

i 1

i

i

1 nn 1 n2 2

Escriba como dos sumas.

1

Aplique el teorema 1.2.

n

1 n 2 3n n2 2 n 2n

Simplifique.

3

Simplifique.

Después de esto puede encontrar la suma sustituyendo los valores apropiados de n, como se muestra en la tabla.

10

100

1000

10,000

0.65000

0.51500

0.50150

0.50015

n n i

1

i 1

3

n 2n

n2

En la tabla, las sumas parecen tender a un límite conforme n aumenta. Aunque la discusión de límites es el infinito, si se aplica una variable de x, donde x puede ser cualquier número real, muchos de los resultados siguen siendo válidos cuando una variable n se restringe a valores enteros positivos. Así, para encontrar el límite de (n + 3)/2n cuando n tiende a infinito, se puede escribir lím

n→

n 2n

3

lím

n→

n 2n

3 2n

lím

n→

1 2

3 2n

1 2

0

1 .

2

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14

Capítulo 1

LA INTEGRAL

Área

Mary Evans Picture Library

En la geometría euclideana, el tipo más simple de región plana es un rectángulo. Aunque la gente a menudo afirma que la fórmula para el área de un rectángulo es A = bh resulta más apropiado decir que ésta es la definición del área de un rectángulo.

A partir de esta definición, puede deducir fórmulas para áreas de muchas otras regiones planas. Por ejemplo, para determinar el área de un triángulo, puede formar un rectángulo h cuya área es dos veces la del triángulo, como se indica en la figura 1.5. Una vez que sabe cómo encontrar el área de un triángulo, puede determinar el área de cualquier polígono b subdividiéndolo en regiones triangulares, como se ilustra en la Triángulo: A 1bh 2 figura 1.6.

Figura 1.5 ARQUÍMEDES (287-212 a.C.) Arquímedes utilizó el método de agotamiento para deducir fórmulas para las áreas de elipses, segmentos parabólicos, y sectores de una espiral. Se le considera como el más grande matemático aplicado de la antigüedad.

Paralelogramo Figura 1.6

Hexágono

Polígono

Hallar las áreas de regiones diferentes de los polígonos es más difícil. Los antiguos griegos fueron capaces de determinar fórmulas para las áreas de algunas regiones generales (principalmente aquellas delimitadas por las cónicas) mediante el método de agotamiento. La descripción más clara de este método la hizo Arquímedes. En esencia, el método es un proceso de límite en el que el área se encierra entre dos polígonos (uno inscrito en la región y uno circunscrito alrededor de la región).

Por ejemplo, en la figura 1.7, el área de una región circular se aproxima mediante un polígono inscrito de n lados y un polígono circunscrito de n lados. Para cada valor de n el área del polígono circunscrito es menor que el área del círculo, y el área del polígono circunscrito es mayor que el área del círculo. Además, a medida que n aumenta, las áreas de ambos polígonos van siendo cada vez mejores aproximaciones del área del círculo.

PARA INFORMACIÓN ADICIONAL

Para un desarrollo alternativo de la fórmula para el área de un círculo, consulte el artículo “Proof whitout Words: Area of a Disk is pR2”, de Russell Jay Hendel, en Mathematics Magazine.

Para leer este artículo, visite MathArticles.com

n=6

n = 12

Método de agotamiento para determinar el área de una región circular.

Figura 1.7

Un proceso similar al que usó Arquímides para determinar el área de una región plana se usa en los ejemplos restantes en esta sección.

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1.2

Área

15

El área de una región plana Los orígenes del cálculo están relacionados con dos problemas clásicos: el problema de la recta tangente y el problema del área. En el ejemplo 3 se inicia la investigación del problema del área.

Aproximar el área de una región plana

EJEMPLO 3 y

f(x) =

5

− x2 +

Use los cinco rectángulos de la figura 1.8(a) y (b) para determinar dos aproximaciones del área de la región que se encuentra entre la gráfica de

5

f(x) = −x2 + 5

4

y el eje x entre x = 0 y x = 2.

3

Solución

2

a. Los puntos terminales de la derecha de los cinco intervalos son 2 i Extremos derechos 5

1 x 2 5

4 5

6 5

8 5

10 5

2

donde i = 1, 2, 3, 4, 5. El ancho de cada rectángulo es 5, y la altura de cada rectángulo se puede obtener al hallar f en el punto terminal derecho de cada intervalo.

(a) El área de una región parabólica es mayor que el área de los rectángulos.

0,

2 2 4 4 6 6 8 8 10 , , , , , , , , 5 5 5 5 5 5 5 5 5

y

Evalúe f en los extremos de la derecha de estos intervalos.

5

La suma de las áreas de los cinco rectángulos es

f(x) = − x 2 + 5

4

Altura Ancho 5

3

f 1

i

2

2i 5

2 5

2i 5

5 i

1

2

2 5

5

162 25

6.48.

Como cada uno de los cinco rectángulos se encuentra dentro de la región parabólica, puede concluir que el área de la región parabólica es mayor que 6.48.

1 x 2 5

4 5

6 5

8 5

10 5

(b) El área de la región parabólica es menor que el área de los rectángulos.

Figura 1.8

b. Los extremos izquierdos de los cinco intervalos son 2 i 1 Extremos izquierdos 5 2

donde i = 1, 2, 3, 4, 5. El ancho de cada rectángulo es 5, y la altura de cada uno puede obtenerse evaluando f en el extremo izquierdo de cada intervalo. Por tanto, la suma es Altura 5

f i

1

2i

5

Ancho

2

2 5

2i

5 i

1

5

2

2

5

2 5

202 25

8.08.

Debido a que la región parabólica se encuentra contenida en la unión de las cinco regiones rectangulares, es posible concluir que el área de la región parabólica es menor que 8.08.

Combinando los resultados de los incisos (a) y (b), puede concluir que 6.48 < (Área de la región) < 8.08.

Al incrementar el número de rectángulos utilizados en el ejemplo 3, puede obtener aproximaciones más y más cercanas al área de la región. Por ejemplo, al utilizar 25 2 , puede concluir que rectángulos, cada uno de ancho 25 7.1712 < (Área de la región) < 7.4912.

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16

Capítulo 1

LA INTEGRAL

Sumas superior e inferior

y

El procedimiento utilizado en el ejemplo 3 puede generalizarse de la manera siguiente.

Considere una región plana limitada en su parte superior por la gráfica de una función continua no negativa

f

y = f(x) como se muestra en la figura 1.9. La región está limitada en su parte inferior por el eje x y las fronteras izquierda y derecha por las rectas verticales x = a y x = b.

Para aproximar el área de la región, comience subdividiendo el intervalo [a, b] en n subintervalos, cada uno de longitud b a x n

x

a

b

Región bajo una curva.

Figura 1.9

como se muestra en la figura 1.10. Los extremos de los intervalos son los siguientes. a

0

a y

f

f (Mi )

f(mi)

El intervalo a, b se divide en n subintervalos de ancho Figura 1.10

x

b

a n

.

1

x < a

xn

x2

x < . . . < a

2

x < a

Área del rectángulo inscrito

b

Δx

x1

b

x.

n

Como f es continua, el teorema del valor extremo garantiza la existencia de un valor mínimo y uno máximo de f(x) en cada subintervalo. f(mi) = valor mínimo de f(x) en el i-ésimo subintervalo f(Mi) = valor máximo de f(x) en el i-ésimo subintervalo A continuación, defina un rectángulo inscrito que se encuentre dentro de la i-ésima subregión y un rectángulo circunscrito que se extienda fuera de la i-ésima subregión.

La altura del i-ésimo rectángulo inscrito es f(mi) y la altura del i-ésimo rectángulo circunscrito es f(Mi). Para cada i, el área del rectángulo inscrito es menor que o igual que el área del rectángulo circunscrito.

x

a

x0

f mi

x

f Mi

Área del rectángulo circunscrito

x

La suma de las áreas de los rectángulos inscritos recibe el nombre de suma inferior, y la suma de las áreas de los rectángulos circunscritos se conoce como suma superior.

Suma inferior

n

sn 1

i

Suma superior

f mi

Área de rectángulos inscritos.

x

n

Sn i

1

f Mi

Área de rectángulos circunscritos.

x

En la figura 1.11 se puede observar que la suma inferior s(n) es menor o igual que la suma superior S(n). Además, el área real de la región se encuentra entre estas dos sumas. s(n) ≤ (Área de la región) ≤ S(n)

y

y

y = f (x )

y = f (x)

y = f (x)

s (n )

a

y

S(n)

b

El área de los rectángulos inscritos es menor que el área de la región

x

a

b

Área de la región

x

a

b

x

El área de los rectángulos circunscritos es mayor que el área de la región.

Figura 1.11

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1.2 y

Determine la suma superior e inferior de la región delimitada por la gráfica de f(x) = x2 y el eje x entre x = 0 y x = 2.

f (x) = x 2 3

Solución ancho

2

x

Para empezar, divida el intervalo [0, 2] en n subintervalos, cada uno de b

x

2

3

Rectángulos inscritos.

2

a n

1

1

0

2 . n

n

La figura 1.12 muestra los puntos terminales de los subintervalos y varios de los rectángulos inscritos y circunscritos. Como f es creciente en el intervalo [0, 2], el valor mínimo en cada subintervalo ocurre en el extremo izquierdo, y el valor máximo ocurre en el extremo derecho.

Extremos izquierdos 2 mi 0 i 1 n

y

4

f (x) = x 2

2i

1 n

Extremos derechos 2 2i Mi 0 i n n

Utilizando los puntos terminales izquierdos, la suma inferior es

3 n

sn

f mi n

2i

f 1

1

i n

x

1

2

2i 1

i

3

n

Rectángulos circunscritos.

Figura 1.12

x

1

i

2

−1

17

Hallar las sumas superior e inferior de una región

EJEMPLO 4

4

−1

Área

1

i

1 n 1

n 8 2 i n3

2

2 n 2 n

2i

1

n n 8 n 2 i 2 i 1 3 n i 1 i 1 i 1 8 n n 1 2n 1 nn 1 2 3 n 6 2 4 2n 3 3n 2 n 3n 3 8 4 4 .

Suma inferior 3 n 3n 2

n

Empleando los puntos terminales derechos, la suma superior es n

Sn

f Mi

x

1

i n

2i 2 n n i 1 n 2i 2 2 n i 1 n n 8 2 3 i n i 1 8 n n 1 2n n3 6 4 2n 3 3n 2 3n 3 8 4 4 .

3 n 3n 2 f

1

n Suma superior

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18

Capítulo 1

LA INTEGRAL

Exploración Para la región dada en el ejemplo 4, calcule la suma inferior sn

8 3

4 n

4 3n2

y la suma superior Sn

8 3

4 n

4 3n2

para n = 10, 100 y 1000.

Utilice los resultados para determinar el área de la región.

El ejemplo 4 ilustra algunos aspectos importantes acerca de las sumas inferior y superior. Primero, observe que para cualquier valor de n, la suma inferior es menor (o igual) que la suma superior.

8 4 4 8 4 4 sn < Sn 3 n 3n 2 3 n 3n 2 Segundo, la diferencia entre estas dos sumas disminuye cuando n aumenta. De hecho, si toma los límites cuando n → ∞, tanto la suma superior como la suma inferior se aproximan a 83.

8 4 4 8 lím s n lím Límite de la suma inferior n→ n→ 3 n 3n 2 3 y lím S n

8 3

lím

n→

n→

4 n

4 3n 2

8 3

Límite de la suma superior

El siguiente teorema muestra que la equivalencia de los límites (cuando n → ∞) de las sumas superior e inferior no es una mera coincidencia. Este teorema es válido para toda la función continua no negativa en el intervalo cerrado [a, b]. La demostración de este teorema es más adecuada para un curso de cálculo avanzado.

TEOREMA 1.3

Límites de las sumas superior e inferior

Sea f continua y no negativa en el intervalo [a, b]. Los límites cuando n → ∞ de las sumas inferior y superior existen y son iguales entre sí. Esto es n

lím s n

lím

n→

n→

f mi

x

f Mi

x

1

i n

lím

n→

i

1

lím S n

n→

donde ∆x = (b – a) n y f (mi) y f (Mi) son los valores mínimo y máximo de f en el subintervalo.

En el teorema 1.3 se obtiene el mismo límite tanto con el valor mínimo f (mi) como con el valor máximo f (Mi). Por tanto, se deduce que la elección de x en el i-ésimo intervalo no afecta al límite. Esto significa que está en libertad de elegir cualquier valor de x arbitrario en el i-ésimo subintervalo, como en la siguiente definición del área de una región en el plano.

Definición del área de una región en el plano Sea f continua y no negativa en el intervalo [a, b]. (Vea la figura 1.13) El área de la región limitada por la gráfica de f, el eje x y las rectas verticales x = a y x = b es

y

f

n

Área donde xi x

lím

f ci

n→

i

xi y

ci

1

b

a n

.

x

f (ci )

1

a

ci xi−1 xi

b

x

El ancho del i-ésimo subintervalo es x x i x i 1.

Figura 1.13

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1.2

Área

19

Hallar el área mediante la definición de límite

EJEMPLO 5 y

Encuentre el área de la región limitada por la gráfica f (x) = x3, el eje x y las rectas verticales x = 0 y x = 1, como se muestra en la figura 1.14.

(1, 1) 1

Solución Comience observando que f es continua y no negativa en el intervalo [0, 1].

Después, divida el intervalo [0, 1] en n subintervalos, cada uno de ancho ∆x = 1 n. De acuerdo con la definición de área, elija cualquier valor de x en el i-ésimo subintervalo.

En este ejemplo, los extremos derechos ci = i n resultan adecuados.

f(x) = x 3

x

(0, 0)

1

n

Área

lím

n→

f ci n

lím

n→

El área de la región acotada por la gráfica de f, el eje x, x = 0 y x = 1 es 14 .

x

1

i

1

i

i n

3

1 n

Extremos derechos: ci

i n

1 n lím 4 i 3 n→ n i 1 1 n2 n 1 2 lím 4 n→ n 4 1 1 1 lím n→ 4 2n 4n 2 1 4

Figura 1.14

El área de la región es 14.

Hallar el área mediante la definición de límite

EJEMPLO 6

Determine el área de la región limitada por la gráfica de f(x) = 4 – x2, el eje x y las rectas verticales x = 1 y x = 2, como se muestra en la figura 1.15.

y

4

f(x) = 4 − x

Solución La función f es continua y no negativa en el intervalo [1, 2]. Por tanto, comience dividiendo el intervalo en n subintervalos, cada uno de ancho ∆x = 1/n. Eligiendo el extremo derecho

2

i n de cada subintervalo, obtiene

3

ci

a

1

i x

2

Extremos derechos

n

Área

lím

n→

f ci

x

4

1

i n

3

2i n

i2 n2

1

i n

lím

1

n→

1

i n

lím

x

1

n→

i

2

El área de la región acotada por la gráfica de f, el eje x, x = 1 y x = 2 es 53.

Figura 1.15

1

lím

1 n 3 ni 1

lím

3

n→

n→

3

1

1

2

1 n 1 n

2 n 1 n 2 i i n 2i 1 n 3i 1 1 1 1 n 3 2n

1 6n 2

1 3

5 .

3 El área de la región es 53.

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20

Capítulo 1

LA INTEGRAL

El último ejemplo en esta sección considera una región limitada por el eje y (en vez del eje x).

Una región limitada por el eje y

EJEMPLO 7

Encuentre el área de la región limitada por la gráfica de f(x) = y2 y el eje y para 0 ≤ y ≤ 1 como se muestra en la figura 1.16.

y

Solución Cuando f es una función continua y no negativa de y, puede seguir utilizando el mismo procedimiento básico que se ilustró en los ejemplos 5 y 6. Comience dividiendo el intervalo [0,1] en n subintervalos, cada uno de ancho ∆y = 1/n. Después utilice los puntos terminales superiores ci = i/n, para obtener

(1, 1)

1

n

Área

lím

f ci

n→

f(y) = y 2

n

lím

n→

1

i

2

i n

1 n

1

El área de la región acotada por la gráfica de f, el eje y para 0 ≤ y ≤ 1 es 1.

3

Figura 1.16

i n

Puntos terminales superiores: ci

1 n lím 3 i 2 n→ n i 1 1 n n 1 2n lím 3 n→ n 6 1 1 1 lím n→ 3 2n 6n 2 1 .

3

x

(0, 0)

y

1

i

1

El área de la región es 13.

COMENTARIO En la sección 1.6 aprenderá acerca de otros métodos de aproximación.

Uno de los métodos, la regla del trapecio, es similar a la regla del punto medio.

En los ejemplos 5, 6 y 7, se elige un valor de ci que sea conveniente para el cálculo del límite. Debido a que cada límite da el área exacta para cualquier ci no hay necesidad de encontrar valores que den buenas aproximaciones cuando n es pequeña. Sin embargo, para una aproximación, debe tratar de encontrar un valor de ci que le dé una buena aproximación del área de la subregión i. En general, un buen valor para elegir es el punto xi xi 1 2, y se aplica la regla del punto medio. medio del intervalo, ci n

Área

xi

f 1

i

xi 2

1

x.

Regla del punto medio

Aproximar el área con la regla del punto medio

EJEMPLO 8

Utilice la regla del punto medio con n = 4 para aproximar el área de la región limitada por la gráfica de f(x) = sen x y el eje x para 0 ≤ x ≤ como se muestra en la figura 1.17.

y

f(x) = sen x

Solución Para n las subregiones.

1

c1 c1 π

4

c2 π

2

c3 3π c4 π

El área de la región limitada por la gráfica de f(x) = sen x y el eje x para 0 ≤ x ≤ es aproximadamente de 2.052.

Figura 1.17

4. A continuación se muestran los puntos medios de

4

0 2 2

x

4

4, x

c3

8 4

3

4

c2 5 8

2

2

3 8

2 3

c4

4 2

7 8

Así, el área se aproxima por 4

n

Área

f ci i

1

sen ci

x i

1

4

4

sen

8

sen

3 8

sen

5 8

sen

que es aproximadamente 2.052.

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7 8

1.2

21

Área

1.2 Ejercicios Encontrar la suma En los ejercicios 1 a 6, encuentre la suma. Use la función de suma de la herramienta de graficación para comprobar el resultado.

6

9

3i

1.

2

1

i 4

6

1 k2

0

4.

1

j

4

1

3

k

3. k

k2

2.

3 4 j

4

c

5.

2

1

i

6.

1

k

1

i

3

1

i

Usar la notación sigma En los ejercicios 7 a 12, use la notación sigma para escribir la suma.

7.

8.

1 51

1 52

1 53 9

9 1

1

11.

7 1

3

2 n

2 n 2

3 n

2 1

12.

1

2

1 4 2 n

9 2

5

1

10.

1

1 6

7

9.

. . .

3 n

1 5 11 1

2 4 . . . . . .

2

2n n

2

2 n 2

3n n

2 1

5 4 4

1

3

12

4i

16.

1

30. g x

sen x, 0,

1, 2, 5 , 6 rectángulos

x

1, 1, 3 , 8 rectángulos 2

, 4 rectángulos , 6 rectángulos

y 5

5

f

4

4

3

3

2

2

1

1

18.

1

i

15

2

3

4

i i

1

x

34. y

5i

4

i2

1

1

3

4

5

2

x

3 2 1

1

1

2

i3

20.

1

x

2i

n

2i

21.

1

1 n2

6k k 1 n3 1

n

1

1 x

35. y

1

j

y

24. i

1

x2

y 1

n2 2i3

n

1

36. y

2

4

7j

22.

x

1

1

i

1

k

2

y

y

Evaluar una suma En los ejercicios 21 a 24, utilice las fórmulas de suma para reescribir la expresión sin la notación sigma.

Use el resultado para determinar la suma correspondiente a n = 10, 100, 1000 y 10,000.

23.

x

5

Encontrar las sumas superior e inferior para una región En los ejercicios 33 a 36, utilice sumas superiores e inferiores para aproximar el área de la región empleando el número dado de subintervalos (de igual ancho).

25

19.

n

f

x 1

10 2

1

i

i

y

32.

1

i

20

17.

i

cos x, 0,

x, 2, 4 , 6 rectángulos

16

15.

i

29. f x

1

i

24 i

28. g x

x2

18

14.

1

i

2x2

33. y

30

7

27. g x

3 n

Evaluar una suma En los ejercicios 13 a 20, utilice las propiedades de la notación sigma y el teorema 1.2 para calcular la suma. Utilice la función de suma de la herramienta de graficación para comprobar el resultado.

13.

9

31.

6 6

7

. . .

2n n

2x

26. f x

14

. . .

5

5, 0, 2 , 4 rectángulos

25. f x

Usar sumas superior e inferior En los ejercicios 31 y 32, delimite el área de la región sombreada aproximando las sumas superior e inferior. Utilice rectángulos de ancho 1.

9

. . .

3

2 6

Aproximar el área de una región plana En los ejercicios 25 a 30, use los puntos terminales izquierdo y derecho y el número de rectángulo dado para encontrar dos aproximaciones del área de la región entre la gráfica de la función y el eje x en el intervalo dado.

3i n4

x 1

2

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x 1

22

Capítulo 1

LA INTEGRAL

Determinar un límite En los ejercicios 37 a 42, encuentre la fórmula para la suma de los n términos. Utilice la fórmula para determinar el límite cuando n → ∞. n

37. lím n→

i n

39. lím n→

i

41. lím

1 i

1

3i n

38. lím n→

1

i

3 n

n

1 i 3 1 n

n n→

n

24i 2 1 n 2

1

40. lím n→

1

i n

2 n

i n

1

42. lím

2

n→

i

1

2i n

2

3i n

3

(c) Demuestre que s n

2 1 n

i 1

i

n

(d) Demuestre que S n

i 1

i

2 n

2 . n

5

10

50

100

25

1, 4

50. y

4

3 n

27

x 3, [1, 3

52. y

2x

53. y

x2

x3,

54. y

2x3

2 . n

lím S n

2.

n→

1, 1

2, 1, x 2, x3, x2,

2, 5 0, 2 2, 2 0, 1 1, 2

Calcular el área por la definición de límite En los ejercicios 55 a 60, utilice el proceso de límite para determinar el área de la región entre la gráfica de la función y el eje y en el intervalo y indicado. Dibuje la región.

55. f y

4y, 0

56. g y

1 2 y,

2

y

4

57. f y

y2, 0

y

5

58. f y

4y

59. g y

4y2

y3,

60. h y

y3

1, 1

2

y

y2,

1

2

y

1

3

y y

2

Aproximar el área con la regla del punto medio En los ejercicios 61 a 64, utilice la regla del punto medio con n = 4 para aproximar el área de la región limitada por la gráfica de la función y el eje x en el intervalo dado.

Sn

n→

48. y

3x2

51. y

sn

(f) Demuestre que lím s n

3x

49. y

(e) Complete la tabla. n

0, 1

46. y

x2,

2 2 < n . n n

n

2,

0, 1

47. y

(b) Divida el intervalo [0, 2] en n subintervalos de igual ancho y demuestre que los puntos terminales son 1

5,

x2

2 n

(a) Dibuje la región.

2 < . . . < n n

4x

45. y

43. Razonamiento numérico Considere un triángulo de área 2 delimitado por las gráficas de y = x, y = 0 y x = 2.

0 < 1

Calcular el área por la definición de límite En los ejercicios 45 a 54, utilice el proceso de límite para encontrar el área de la región entre la gráfica de la función y el eje x en el intervalo indicado. Dibuje la región.

44. Razonamiento numérico Considere un trapezoide de área 4 delimitado por las gráficas de y = x, y = 0, x = 1 y x = 3.

61. f x

x2

3,

62. f x

x2

4x,

63. f x

tan x,

0,

64. f x

cos x,

0,

0, 2 0, 4 4 2

(a) Dibuje la región.

DESARROLLO DE CONCEPTOS

(b) Divida el intervalo [1,3] en n subintervalos de igual ancho y demuestre que los puntos terminales son

Aproximación En los ejercicios 65 y 66, determine cuál es el mejor valor que aproxima el área de la región entre el eje x y la gráfica de la función en el intervalo indicado.

(Realice la elección con base en un dibujo de la región y no efectuando cálculos.)

1 < 1

1

n

1

2 < 1 n

1

i

1

2 n

1

i

2 < . . . < 1 n n

(c) Demuestre que s n i

1 n

(d) Demuestre que S n 1

i

2 n

2 . n

(e) Complete la tabla. n

5

2 . n

10

50

100

(a) 66. f x

lím S n

n→

2

x 2, (b) 6

x sen , 4 (b) 1

0, 2 (c) 10

(d) 3

(e) 8

(d) 8

(e) 6

0, 4 (c)

2

67. Sumas superiores e inferiores Con sus propias palabras y utilizando las figuras adecuadas, describa los métodos de las sumas superior e inferior en la aproximación del área de una región.

Sn (f) Demuestre que lím s n

4

65. f x

(a) 3

sn

n→

2 . n

n

4.

68. Área de una región plana Proporcione la definición del área de una región en el plano.

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1.2 69. Razonamiento gráfico Considere la región delimitada por la gráfica de f x 8x x 1), x 0, x 4 y y 0 , como se muestra en la figura. y

(a) Redibuje la figura, trace y sombree los rectángulos que representan a la suma inferior cuando n = 4. Encuentre esta suma inferior.

8

f

6 4

(b) Redibuje la figura, trace y sombree los rectángulos que representan la suma superior cuando n = 4. Determine esta suma superior.

2 x

1

2

3

Área

¿Verdadero o falso? En los ejercicios 71 y 72, determine si el enunciado es verdadero o falso. Si es falso, explique por qué o proporcione un ejemplo que lo demuestre.

71. La suma de los primeros n enteros positivos es n(n + 1)/2.

72. Si f es continua y no negativa sobre [a, b], entonces los límites cuando n → ' de su suma inferior s(n) y de su suma superior S(n) existen ambos y son iguales.

73. Redacción Utilice la figura para escribir un pequeño párrafo donde explique por qué la fórmula 1 + 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + n = 1 n(n + 1) es válida para todos los enteros positivos n.

2

4

θ

(c) Redibuje la figura, trace y sombree los rectángulos cuyas alturas se determinan mediante los valores funcionales en el punto medio de cada subintervalo cuando n = 4. Determine esta suma utilizando la regla del punto medio. (d) Compruebe las siguientes fórmulas al aproximar el área de la región utilizando n subintervalos de igual ancho. n

Suma inferior: s n

f

i

f

i

1

i n

Suma superior: S n i

4 n

1

1

4 n

4 n

4 n

n

Regla del punto medio: M n

f i

i

1

1 4 2 n

23

4 n

Figura para 73

Figura para 74

74. Razonamiento gráfico Considere un polígono regular de n lados inscrito en un círculo de radio r. Una los vértices del polígono al centro del círculo, formando n triángulos congruentes (vea la figura). (a) Determine el ángulo central en términos de n. (b) Demuestre que el área de cada triángulo en 12r 2 sen . (c) Sea An la suma de las áreas de los n triángulos. Encuentre lím An.

n→

(e) Utilice una herramienta de graficación y las fórmulas del inciso (d) para completar la tabla.

S(n) y M(n) para n = 4, 8, 20, 100 y 200. (f) Explique por qué s(n) aumenta y S(n) disminuye para valores recientes de n, como se muestra en la tabla en el inciso (e).

70.

75. Bloques de construcción Un niño coloca n bloques cúbicos en una hilera para formar la base de un diseño triangular (vea la figura). Cada hilera sucesiva contiene dos bloques menos que la hilera precedente. Encuentre una fórmula para el número de bloques utilizados en el diseño. (Sugerencia: El número de bloques de construcción en el diseño depende de si n es par o impar.)

¿CÓMO LO VE? La función que se muestra en la gráfica siguiente es creciente en el intervalo [1, 4]. El intervalo se divide en 12 subintervalos.

lím An.

n→

y

n es par.

5

76. Demostración Demuestre cada fórmula mediante inducción matemática. (Quizá se necesite revisar el método de prueba por inducción en un texto de precálculo.)

4 3 2

n

x

1

2

3

4

n

2i

(a) i

1

nn

1

i3

(b) i

n2 n

1

1

2

4

5

(a) ¿Cuáles son los puntos terminales izquierdos del primer y último intervalos? (b) ¿Cuáles son los puntos terminales derechos de los primeros dos subintervalos? (c) ¿Cuando se usan los puntos terminales derechos, se trazan rectángulos arriba o debajo de las gráficas de la función? (d) ¿Qué se puede concluir acerca de las alturas de los rectángulos si una función es constante en el intervalo dado?

DESAFÍO DEL EXAMEN PUTMAN 77. Un dardo, lanzado al azar, incide sobre un blanco cuadrado.

Suponiendo que cualesquiera de las dos partes del blanco de igual área son igualmente probables de ser golpeadas por el dardo, encuentre la probabilidad de que el punto de incidencia sea más cercano al centro que a cualquier borde.

Escriba la respuesta en la forma a b c d, donde a, b, c y d son enteros positivos.

Este problema fue preparado por el Commitee on the Putnam Prize Competition. © The Mathematical Association of America. Todos los derechos reservados.

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24

Capítulo 1

1.3

LA INTEGRAL

Sumas de Riemann e integrales definidas Entender la definición de una suma de Riemann Hallar una integral definida utilizando límites.

Calcular una integral definida utilizando las propiedades de las integrales definidas.

Visite nuestra plataforma en línea y consulte las herramientas que le ofrecemos para enriquecer aún más su experiencia de aprendizaje en esta sección.

Sumas de Riemann En la definición de área dada en la sección 1.2, las particiones tenían subintervalos de igual ancho. Esto se hizo sólo por conveniencia de cálculo. El siguiente ejemplo muestra que no es necesario tener subintervalos de igual ancho.

Una partición con subintervalos de anchos desiguales

EJEMPLO 1

Considere la región acotada por la gráfica de f x

x

y el eje x para 0 ≤ x ≤ 1, como se muestra en la figura 1.18. Encuentre el límite n

lím

n→

y

f(x) = x

f ci

donde ci es el punto terminal derecho de la partición dada por Ci = i2 n2 y ∆xi es el ancho del i-ésimo intervalo.

1 n−1 n

Solución

...

El ancho del i-ésimo intervalo está dado por i2 n2 i2

xi

2 n 1 n

x

1

1.

n

n

f ci i

1

xi

lím

n→

i

1

i 2 2i 1 n2 n2

1 n lím 3 2i 2 n→ n i 1 1 nn lím 3 2 n→ n 4n 3 3n2 lím n→ 6n 3 2.

3

y

x = y2

(1, 1)

3

x

El área de la región acotada por la gráfica de x = y2 y el eje y para 0 ≤ y ≤ 1 es 13.

Figura 1.19

2i

Por tanto, el límite es n→

1

i2

n2

lím

(0, 0)

2

n2

2i

Los subintervalos no tienen anchos iguales.

Figura 1.18

Área = 1

1

i

n2

1 22 . . . (n − 1)2 1 n2 n2 n2

1

xi

1

i

i 1 2n 6 n

1

1

nn 2

De acuerdo con el ejemplo 7 de la sección 1.2, sabe que la región mostrada en la 1 figura 1.19 tiene un área de 3. Debido a que el cuadrado acotado por 0 ≤ x ≤ 1 y 0 ≤ y ≤ 1 tiene un área de 1, puede concluir que el área de la región que se muestra en la figura 1.18 es 23. Esto concuerda con el límite que encontró en el ejemplo 1, aun cuando en ese ejemplo utilizó una partición con subintervalos de anchos desiguales. La razón por la que esta partición particular da el área apropiada es que cuando n crece, el ancho del subintervalo más grande tiende a cero. Ésta es la característica clave del desarrollo de las integrales definidas.

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1.3

Sumas de Riemann e integrales definidas

25

En la sección 1.2 se utilizó el límite de una suma para definir el área de una región en el plano. La determinación del área por este medio es sólo una de las muchas aplicaciones que implican el límite de una suma. Un enfoque similar puede utilizarse para determinar cantidades diversas como longitudes de arco, valores medios, centroides, volúmenes, trabajo y áreas de superficie. La siguiente definición se nombró en honor a Georg Friedrich Bernhard Riemann. Aunque la integral definida se había utilizado con anterioridad, fue Riemann quien generalizó el concepto para cubrir una categoría más amplia de funciones.

En la siguiente definición de una suma de Riemann, observe que la función f no tiene otra restricción que haber sido definida en el intervalo [a, b]. (En la sección 1.2, la función f se supuso continua y no negativa, debido a que se trabajó con un área bajo una curva.)

GEORG FRIEDRICH BERNHARD RIEMANN (1826-1866) El matemático alemán Riemann, realizó su trabajo más notable en las áreas de la geometría no euclidiana, ecuaciones diferenciales, y la teoría de números. Fueron los resultados de Riemann en física y matemáticas los que conformaron la estructura en la que se basa la teoría de la relatividad general de Einstein.

Definición de suma de Riemann Sea f definida en el intervalo cerrado [a, b] y sea ∆ una partición de [a, b] dada por x0 < x1 < x2 < . . . < xn

a

< xn

1

b

donde Δxi es el ancho del i-ésimo subintervalo 1,

xi

xi .

i-ésimo subintervalo

Si ci es cualquier punto en el i-ésimo subintervalo [xi − 1, xi] entonces la suma n i

1

xi , xi

f ci

1

ci

xi

se denomina suma de Riemann de f para la partición ∆. (Las sumas de la sección 1.2 son ejemplos de sumas de Riemann, pero hay sumas de Riemann más generales que las cubiertas aquí.)

El ancho del subintervalo más grande de la partición ∆ es la norma de la partición y se denota por medio de ∆ . Si todos los intervalos tienen el mismo ancho, la partición es regular y la norma se denota mediante x

b

a n

.

Partición ordinaria

En una partición general, la norma se relaciona con el número de subintervalos en [a, b] de la siguiente manera. b

a

n

Partición general

Por tanto, el número de subintervalos en una partición tiende a infinito cuando la norma de la partición tiende a cero. Esto es, → 0 implica que n → .

La afirmación recíproca de este enunciado no es cierta. Por ejemplo, sea ∆n la partición del intervalo [0, 1] dado por 0 < 1 ⏐⏐Δ⏐⏐ = 2

0

1 1 8 2n

1 4

1

1 2

n → no implica que Figura 1.20

1 1 < 2n 2n

1 1 1 < . . . < < < < 1.

8

4

2

Como se muestra en la figura 1.20, para cualquier valor positivo de n, la norma de la partición ∆n es 12.. Por tanto, hacer que n tienda a infinito no obliga a que ∆ se aproxime a 0. En una partición regular, sin embargo, los enunciados →0

→ 0.

1

y

n→

son equivalentes.

INTERFOTO/Alamy

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26

Capítulo 1

LA INTEGRAL

PARA INFORMACIÓN ADICIONAL

Para obtener más información acerca de la historia de la integral definida, consulte el artículo “The Evolution of Integration”, de A. Shenitzer y J. Steprans, en The American Mathematical Monthly. Para ver este artículo, visite MathArticles.com.

Integrales definidas Para definir la integral definida, considere el siguiente límite n

lím

→0 i

1

f ci

xi

L.

Afirmar que este límite existe, significa que hay un número real L, tal que para todo > 0 existe una d > 0 tal que para toda partición de ||∆|| < d, se deduce que n

L i

1

f ci

xi <

a pesar de cualquier elección de ci en el i-ésimo subintervalo de cada partición de ∆.

Definición de una integral definida Si f se define en el intervalo cerrado [a, b] y el límite de las sumas de Riemann sobre las particiones ∆ lím

n

→0 i

1

f ci

xi

existe (como se describió antes), entonces f es integrable en [a, b] y el límite se denota por lím

COMENTARIO Más adelante en este capítulo, aprenderá métodos convenientes para calcub lar a f x dx para funciones continuas. Por ahora, debe usar la definición de límite.

→0 i

b

n 1

f ci

xi

f x dx. a

El límite recibe el nombre de integral definida de f de a a b. El número a es el límite inferior de integración, y en número b es el límite superior de integración.

No es una coincidencia que la notación para integrales definidas sea similar a la que se utilizó para las integrales indefinidas. En la siguiente sección verá por qué, cuando se introduzca el teorema fundamental del cálculo. Por ahora, es importante observar que las integrales definidas y las integrales indefinidas son identidades diferentes. Una integral definida es un número, en tanto que una integral indefinida es una familia de funciones.

A pesar de que las sumas de Riemann estaban definidas por funciones con muy pocas restricciones, una condición suficiente para que una función f sea integrable en [a, b] es que sea continua en [a, b]. Una demostración de este teorema está más allá del objetivo de este texto.

TEOREMA 1.4

Continuidad implica integrabilidad

Si una función f es continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces f es integrable b en [a, b]. Es decir a f x dx existe.

Exploración Inverso del teorema 1.4 ¿Es verdadero el inverso del teorema 1.4? Es decir, si una función es integrable, ¿tiene que ser continua? Explique su razonamiento y proporcione ejemplos.

Describa las relaciones entre continuidad, derivabilidad e integrabilidad. ¿Cuál es la condición más fuerte? ¿Cuál es la más débil? ¿Qué condiciones implican otras condiciones?

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1.3

Sumas de Riemann e integrales definidas

27

Evaluar una integral definida como límite

EJEMPLO 2

1

Encuentre la integral definida 2

2x dx.

Solución La función f(x) = 2x es integrable en el intervalo [–2, 1] porque es continua en [–2, 1]. Además, la definición de integrabilidad implica que cualquier partición cuya norma tienda a 0 puede utilizarse para determinar el límite. Por conveniencia de cálculo, defina ∆, subdividiendo [–2, 1] en n subintervalos del mismo ancho.

y

2

xi 1

b

x

3 . n

a n

Eligiendo ci como el punto terminal derecho de cada subintervalo, obtiene

f(x) =2x x

1

ci

a

i

2

x

3i . n

De este modo, la integral definida está dada por 1

−2

2

2x dx

n

lím

→0 i

n→

lím

n→

−4

lím

n→

Como la integral definida es negativa, no representa el área de la región.

Figura 1.21

lím

n→

lím

n→

lím

n→

xi

f ci

x

n

lím

−3

f ci

1

1

i

3i 3 n n i 1 n 6 3i 2 ni 1 n n 6 3 n 2 1 i n ni 1 i 1 6 3 nn 1 2n n n 2 9 12 9 n n

2

2

3.

Debido a que la integral definida en el ejemplo 2 es negativa, ésta no representa el área de la región que se muestra en la figura 1.21. Las integrales definidas pueden ser positivas, negativas o cero. Para que una integral definida sea interpretada como un área (como se definió en la sección 1.2), la función f debe ser continua y no negativa en [a, b], como se establece en el siguiente teorema. La demostración de este teorema es directa: utilizar simplemente la definición de área, dado que ésta es una suma de Riemann.

y

f

TEOREMA 1.5 La integral definida como área de una región

a

b

x

Se puede usar una integral definida para determinar el área de la región acotada por la gráfica de f, el eje x, x = a y x = b.

Figura 1.22

Si f es continua y no negativa en el intervalo cerrado [a, b], entonces el área de la región acotada por la gráfica de f, el eje x y las rectas verticales x = a y x = b está dada por b

Área

f x dx. a

(Vea la figura 1.22.)

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28

Capítulo 1

LA INTEGRAL

Como un ejemplo del teorema 1.5, considere la región delimitada por la gráfica de 4x

f x

x2

y el eje x, como se muestra en la figura 1.23. Debido a que f es continua y no negativa en el intervalo cerrado [0, 4], el área de la región es 4

Área y

f (x) = 4x − x 2

x2 dx.

Una técnica directa para hallar una integral definida como ésta se analizará en la sección 1.4. Por ahora, se puede calcular una integral definida de dos maneras: usando la definición en términos de límites o verificando si la integral definida representa el área de una región geométrica común, tal como un rectángulo, triángulo o semicírculo.

4 3 2

Áreas de figuras geométricas comunes

EJEMPLO 3

1

Dibuje la región correspondiente a cada integral definida. A continuación, evalúe cada integral utilizando una fórmula geométrica. x

1

Área

4x

0

4 0

2

4x

3

x 2 dx

4

3

3

4 dx

a.

1

0

Solución

2

2 dx

x

b.

4

c.

2

x2 dx

En la figura 1.24 se muestra un dibujo de cada región.

Figura 1.23

a. Esta región es un rectángulo de 4 de alto por 2 de ancho.

3 1

(Área del rectángulo)

4 dx

42

8

b. Esta región es un trapezoide con una altura de 3 y bases paralelas de longitudes 2 y 5.

La fórmula para el área de un trapezoide es 12h b1 b2 .

3

2 dx

x 0

1 3 2 2

(Área del trapezoide)

21 2

5

c. Esta región es un semicírculo de radio 2. La fórmula para el área de un semicírculo es 12 r 2.

2

4

2

y

x2 dx

(Área del semicírculo) y

f(x) = 4

1 2

22

2 y

f(x) = x + 2

5

4

4

4

3

3

3

2

4 − x2

f(x) =

2

1

1

1 x

x

1

2

3

1

4

(a)

2

(b)

3

4

5

x

−2 −1

1

2

(c)

Figura 1.24

La variable de integración en una integral definida algunas veces se denomina como variable muda porque puede ser sustituida por cualquier otra variable sin cambiar el valor de la integral. Por ejemplo, las integrales definidas 3

x 0

2 dx

y

3

t 0

2 dt

tienen el mismo valor.

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1.3

Sumas de Riemann e integrales definidas

29

Propiedades de las integrales definidas La definición de la integral definida de f en el intervalo [a, b] especifica que a < b. Sin embargo, ahora es conveniente extender la definición para cubrir casos en los cuales a = b o a > b. Geométricamente, las siguientes dos definiciones parecen razonables. Por ejemplo, tiene sentido definir el área de una región de ancho cero y altura finita igual a 0.

Definiciones de dos integrales definidas especiales a

1. Si f está definida en x = a, entonces

f x dx

0.

a a

2. Si f es integrable en [a, b], entonces

b

f x dx b

f x dx. a

Calcular integrales definidas

EJEMPLO 4

Evalúe la integral definida. a.

0

sen x dx

2 dx

x

b.

3

Solución a. Debido a que la función seno se define en x = p, los límites superior e inferior de integración son iguales, puede escribir sen x dx

0.

b. La integral 30 x 2 dx es la misma que la dada en el ejemplo 3(b), excepto por el hecho de que los límites superior e inferior se intercambian. Debido a que la inte21 gral en el ejemplo 3(b), tiene un valor de 2 , puede escribir 0

x 3

y

b

∫a

3

2 dx

x 0

21 .

2

2 dx

En la figura 1.25 la región más grande puede dividirse en x = c en dos subregiones cuya intersección es un segmento de recta. Como el segmento de recta tiene área cero, se concluye que el área de la región más grande es igual a la suma de las áreas de las dos regiones más pequeñas.

f(x) dx

f

TEOREMA 1.6

Propiedad aditiva de intervalos

Si f es integrable en los tres intervalos cerrados determinados por a, b y c, entonces b

c

f x dx a

a

c c

∫a

f(x) dx +

Figura 1.25

b b

∫c

f (x) dx

b

f x dx

f x dx.

a

c

x

Usar la propiedad aditiva de intervalos

EJEMPLO 5 1

0

x dx

1

x dx

1

1 2 1

x dx

Teorema 1.6

0

1

1 2

Área del triángulo

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30

Capítulo 1

LA INTEGRAL

Debido a que la integral definida se describe como el límite de una suma, hereda las propiedades de la sumatoria dadas en la parte superior de la página 13.

TEOREMA 1.7

Propiedades de las integrales definidas

Si f y g son integrables en [a, b] y k es una constante, entonces las funciones kf y f ± g son integrables en [a, b], y b

b

kf x dx

1.

k

f x dx

a

a

b

b

COMENTARIO Obser-

f x dx ±

a

ve que la propiedad 2 del teorema 1.7 puede extenderse a cualquier número finito de funciones (vea el ejemplo 6).

b

f x ± g x ] dx

2.

g x dx.

a

Evaluar una integral definida

EJEMPLO 6 3

4x

x2

Evalúe 1 3

x 2 dx 1

a

26 , 3

3 dx utilizando los siguientes valores 3

3

4,

x dx 1

2

dx 1

Solución 3

x2 1

4x

3 dx

3

3

x 2 dx 1

3

x 2 dx 1

26 3

4

1 3

3

x dx 1

44

3

4x dx

3 dx

1 3

dx 1

32

4 3

y

g

Si f y g son continuas en el intervalo cerrado [a, b] y 0 ≤ f (x) ≤ g(x) para a ≤ x ≤ b, las siguientes propiedades son ciertas. Primero, el área de la región acotada por la gráfica de f y el eje x (entre a y b) debe ser no negativa. Segundo, esta área debe ser menor o igual que el área de la región delimitada por la gráfica de g y el eje x (entre a y b), como se muestra en la figura 1.26. Estos dos resultados se generalizan en el teorema 1.8.

f

a b

b

x

TEOREMA 1.8

Conservación de desigualdades

b

f x dx a

Figura 1.26

g x dx a

1 Si f es integrable y no negativa en el intervalo cerrado [a, b], entonces b

0

f x dx. a

2. Si f y g son integrables en el intervalo cerrado [a, b] y f(x) ≤ g(x) para todo x en [a, b], entonces b

b

f x dx a

g x dx. a

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1.3

31

Sumas de Riemann e integrales definidas

1.3 Ejercicios Evaluar un límite En los ejercicios 1 y 2, utilice el ejemplo 1 como modelo para evaluar el límite

4

15. f x

x

x2

16. f x y

y

n

f ci

lím

n→

i

xi

8

4

6

3

4

2

1

sobre la región acotada por las gráficas de las ecuaciones.

1. f x

x,

0,

y

3

x,

0,

y

3

2

3i 2 . n2

Sugerencia: Sea ci 2. f x

0, x

x

−4

0, x

x

−2

2

x 1

−1

4

1

i3 . n3

Sugerencia: Sea ci

1 x

25

17. f x

x2

6

3.

2 1

8 dx

4.

y

x3 dx

6.

5.

1 1

1 dx

x2

7.

5

2 4

1 2 1

x −6 −4 −2

4x2 dx 2x2

8.

2

→0 i

3ci

1 n

10. lím

→0 i

1

→0 i

→0 i

1

tan x

20. f x y

1

2

π 4

xi

0, 4

x

π 2

y3

21. g y

π 4

22. f y

y

4 xi

1

3 ci2

1

0, 3 1, 3

xi

5

6

14. f x

y

3x

5

6 5 4 3 2 1

4 3 2 1 x 2

3

4

5

4

3

3

2

2

1

1 x 2

3 0 4

1 2 3 4 5

2

y

4

23. x

−2 −1

2

y

x

π 2

4

6

x

8

1

2

3

4

Evaluar una integral definida mediante una fórmula geométrica En los ejercicios 23-32, dibuje la región cuya área está dada por la integral definida. A continuación, use una fórmula geométrica para evaluar la integral (a > 0, r > 0).

y

1

−1

1

Escribir una integral definida En los ejercicios 13 a 22, formule una integral definida que produzca el área de la región.

(No evalúe la integral.)

13. f x

x

6

y

1, 5

xi

ci

ci2

n

12. lím

10

6ci 4

n

11. lím

4

Intervalo

n

9. lím

2

cos x

19. f x

3 dx

Escribir un límite como una integral definida En los ejercicios 9 a 12, escriba el límite como una integral definida en el intervalo [a, b], donde ci es cualquier punto en el i-ésimo subintervalo.

Límite

1

10

x dx

2

x2

15

3

3

4

18. f x

y

Evaluar una integral definida como límite En los ejercicios 3 a 8, evalúe la integral definida mediante la definición de límite.

2

25.

0

6

4 dx

24.

x dx

26.

4 8 0

6 dx

x dx 4

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32 2

27.

0 1

Capítulo 1

LA INTEGRAL

3x

4 dx

28.

1

x dx

30.

29.

1 7

3

8

0 a

44. Usar las propiedades de integrales definidas Dadas

2x dx

1

a

x dx 1

a r

49

31.

7

x2 dx

r2

32.

x 2 dx

4

4

x 3 dx 2

dx

6,

2

35.

2 4

2 4

39.

2

36.

2 4

9 dx

x 2 4

x 3 dx

34.

8x dx

37.

1 3 2x

f x dx 0

(c)

40.

2

f x dx 5

(b)

f x dx.

0 5

(d)

f x dx.

5

x3

4 dx

10

4x

3x 3 dx

0

4

y

x

0

2

4

f x

32

24

12

(c)

f x dx.

5 5 0

3f x dx.

3

0

x f x

6

1

2

3

4

5

6

0

8

18

30

50

80

47. Piénselo La gráfica de f está compuesta por segmentos de recta y un semicírculo como se muestra en la figura. Evalúe cada integral definida utilizando fórmulas geométricas.

1

f x) dx

(b)

f x dx.

0 3

(d)

f x dx.

3

f x dx 2

3

f x dx.

6 6 3

10

y

1

5f x dx.

6

f x

g x dx.

(a)

2g x dx.

(b) (d)

6

gx 2 6 2

f x dx.

3f x dx.

−1

(−4, −1)

2

g x dx 2

f x

−4

6

(4, 2)

2

evalúe

2

36

y

6

(c)

20

Utilice tres subintervalos iguales y (a) los extremos izquierdos (b) los extremos derechos y (c) los puntos medios. Si f es una función creciente, ¿cómo se compara cada estimación con el valor real? Explique su razonamiento

0

6

6

2 6

4

10

0

43. Usar las propiedades de integrales definidas Dadas

(a)

8

f x dx.

3

evalúe (a)

6

46. Estimar una integral definida Utilice la tabla de valores para calcular

42. Usar las propiedades de las integrales definidas Dadas f x dx

3f x dx.

0

6

7

y

7

3

f x dx.

1

Suponga que f es una función decreciente.

evalúe (a)

(d)

3f x dx.

1

0 1

0

25 dx

2 4

2 dx

10

(c)

0

f x dx

10

41. Usar las propiedades de las integrales definidas Dadas 5

1 1

1

f x dx.

38.

3x

(b)

f x dx.

45. Estimar una integral definida Utilice la tabla de valores para determinar las estimaciones inferiores y superiores de

2

x dx 4 4

2

2

2

33.

0

(a)

4

x dx

60,

5

f x dx 0

evalúe

r

Usar las propiedades de las integrales definidas En los ejercicios 33 a 40, evalúe la integral utilizando los siguientes valores.

1

y

0

f x dx

(c) (e)

2

f x dx 0 2

f x dx 4 6

f x dx 4

−1

1

(b) (d) (f )

3

4

5

6

6

f x dx 2 6

f x dx 4 6

f x 4

2 dx

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1.3 48. Piénselo La gráfica de f consta de segmentos de recta, como se muestra en la figura. Evalúe cada integral definida utilizando fórmulas geométricas.

51. Piénselo Una función f se define a continuación. Utilice fórmulas geométricas para encontrar 08 f x dx.

4, x,

f x

y

4 3 2 1

(3, 2)

(4, 2)

x

−1 −2 −3 −4

(a) (c) (e)

1

2

3

4

5

6

8

10 11

(b)

f x dx 0 7

(d)

f x dx 0 11

(f )

f x dx 0

4

f x dx 0

f x dx

53.

4

4

x dx 0

(a) 5 1 2

54.

(c)

f x 0 5 5

(b)

55.

2 dx

(b)

f x dx ( f es par.) (d)

0

3

f x 2 5 5

f x dx ( f es impar.)

¿CÓMO LO VE? Utilice la figura para llenar los espacios con el símbolo <, > o =. Explique su razonamiento. y

(b)

9

56.

0

(a)

(d) 2

(e) 8

4 3

(c) 16

(d) 2

(e)

1 2

(c) 4

(d)

(c) 27

(d) 3

6

2 sen x dx

(a) 6

2 dx

(c) 10

3

4 cos x dx

(a) 4

4.

Evalúe cada integral. (a)

x > 6 x 6

f x dx 5 10

1

5

9,

Aproximación En los ejercicios 53 a 56, determine cuáles valores se aproximan mejor a la integral definida. Realice la selección con base en un dibujo.

3 11

0

5

1 2x

DESARROLLO DE CONCEPTOS 3 f x dx

49. Piénselo Considere la función f que es continua en el intervalo [–5, 5] y para la cual

50.

6,

f x

(8, − 2)

1

x < 4 x 4

52. Piénselo Una función f se define a continuación. Utilice 12 fórmulas geométricas para encontrar 0 f x dx.

(11, 1)

f

33

Sumas de Riemann e integrales definidas

(b)

1

5 4

x dx 3

(b) 9

57. Determinar la integrabilidad Determine si la función 1 f x x 4 es integrable en el intervalo [3, 5]. Explique 58. Encontrar una función Proporcione una función que sea integrable en el intervalo [–1, 1], pero no continua en [–1, 1].

6 5 4 3 2 1 x

1

2

3

4

5

6

(a) El intervalo [1, 5] se divide en n subintervalos de igual ancho, 6x y xi es el punto terminal izquierdo del i-ésimo subintervalo.

5

n 1

i

f xi

x

1

3 b

f xi

x

f x dx 1

f x dx a b

f x dx 3

6

f x dx a

f x dx 1

sen x dx < 0

61.

5 1

f x dx

60.

b

f x dx 1 6

2 3

f x dx 1

n

5

f x dx

59.

(b) El intervalo [1, 5] se divide en n subintervalos de igual ancho 6x y xi es el punto terminal derecho del i-ésimo subintervalo.

i

Encontrar valores En los ejercicios 59 a 62, encuentre posibles valores de a y b que hagan el enunciado correcto. Si es posible, use una gráfica para sustentar su respuesta. (Aquí puede haber más de una respuesta correcta.)

a b

cos x dx

62.

0

a

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34

Capítulo 1

LA INTEGRAL

¿Verdadero o falso? En los ejercicios 63 a 68, determine si el enunciado es verdadero o falso. Si es falso, dé un ejemplo que demuestre que es falso. b

b

f x

63. a b

f x dx f x dx

a

g x dx

a

1, 0,

f x

a

65. Si la norma de una partición tiende a cero, entonces el número de subintervalos tiende a infinito.

66. Si f es creciente en [a, b], entonces el valor mínimo de f(x) en [a, b] es f(a).

67. El valor de

debe ser positivo.

0, 1 , x

f x

x

1

0 < x

f x dx 0

dx

no existe. ¿Por qué lo anterior no contradice al teorema 1.4? y 5.0

69. Encontrar la suma de Riemann Encuentre la suma de Riemann para f(x) = x2 + 3x en el intervalo [0, 8], donde 0,

x1

1,

3, x3

x2

7

y

4.0 3.0

8

x4

2.0

y donde c1

La función

0

es 0.

x0

.

1

68. El valor de sen

3

está definida en [0, 1], como se muestra en la figura. Demuestre que

a

2

a3

x es racional x es irracional

74. Encontrar la integral definida

f x dx

x2

b3

es integrable en el intervalo [0, 1]. Explique.

b

2

x 2 dx

.

73. Para pensar Determine si la función de Dirichlet

b

f x g x dx

64.

b a

a

a2 2

a

g x dx

a b

b2

x dx

72. Demostración Demuestre que

b

g x dx

b

71. Demostración Demuestre que

1,

1.0

c2

2,

5

c3

y

x

8.

c4

−0.5

0.5 1.0 1.5 2.0

y

75. Determinar valores maximizan el valor de

100 80

b

60

1

40

Explique su razonamiento. x

−2

2

4

6

8

76. Función de paso Evalúe, si es posible, la integral

10

2

70. Encontrar la suma de Riemann Encuentre la suma de Riemann para f(x) = sen x en el intervalo [0, 2p], donde 0, x1

4

, x2

3

,

y

x3

x4

6

,

2 ,

x dx.

0

77. Usar las sumas de Riemann Determine lím

n→

y donde c1

c2

3

2 3

, c3

y

c4

3 .

2

y

1 2 1 n3

22

32

. . .

n2

utilizando una suma de Riemann apropiada.

DESAFÍO DEL EXAMEN PUTNAM 78. Para cada función continua f: [0, 1] → Թ, sean

1.5

1

1.0

x 2 f x dx

I f 0

0.5 x

π 2 − 1.5

x2 dx.

a

20

x0

Encuentre las constantes a y b que

3π 2

y

1

Jx

x f x

2

dx.

0

Encuentre el valor máximo de I(f) – J(f) en todas las funciones f.

Este problema fue preparado por el Committee on the Putnamm Prize Competition. © The Mathematical Association of America. Todos los derechos reservados.

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1.4

1.4

Teorema fundamental del cálculo

35

Teorema fundamental del cálculo

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Evaluar una integral definida utilizando el teorema fundamental del cálculo.

Entender y utilizar el teorema del valor medio para integrales.

Encontrar el valor medio de una función sobre un intervalo cerrado.

Entender y utilizar el segundo teorema fundamental del cálculo.

Entender y utilizar el teorema del cambio neto.

El teorema fundamental del cálculo Ha visto ya dos de las principales ramas del cálculo: el cálculo diferencial (presentado con el problema de la recta tangente) y el cálculo integral (presentado con el problema del área). Hasta aquí, podría parecer que estos dos problemas no se relacionan, aunque tienen una conexión muy estrecha. La conexión fue descubierta de forma independiente por Isaac Newton y Gottfried Leibniz y está enunciada en un teorema que recibe el nombre de teorema fundamental del cálculo.

De manera informal, el teorema establece que la derivación y la integración (definida) son operaciones inversas, en el mismo sentido que lo son la división y la multiplicación. Para saber cómo Newton y Leibniz habrían pronosticado esta relación, considere las aproximaciones que se muestran en la figura 1.27. La pendiente de la recta tangente se definió utilizando el cociente ∆y/∆x (la pendiente de la recta secante). De manera similar el área de la región bajo una curva se definió utilizando el producto ∆y∆x (el área de un rectángulo). Por tanto, al menos en una etapa de aproximación primitiva, las operaciones de derivación y de integración definida parecen tener una relación inversa en el mismo sentido en el que son operaciones inversas la división y la multiplicación. El teorema fundamental del cálculo establece que los procesos del límite (utilizados para definir la derivada y la integral definida) preservan esta relación inversa. ∆x

∆x

Área del rectángulo ∆y

Recta secante

Pendiente

Recta tangente

∆y ∆y Pendiente ≈ ∆x ∆x (a) Derivación

∆y

Área de la región bajo la curva

Área = ∆y∆x

Área ≈ ∆y∆x

(b) Integración definida

La derivación y la integración definida tienen una relación “inversa”.

Figura 1.27 ANTIDERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DEFINITIVA A lo largo de este capítulo, ha estado utilizando el signo de integral para denotar una antiderivada (una familia de funciones) y una integral definida (un número). b

Antiderivación:

f x dx

f x dx

Integración definitiva: a

El uso de este mismo símbolo para ambas operaciones hace parecer que están relacionadas.

Sin embargo, en los primeros trabajos con cálculo, no se sabía que las dos operaciones estaban relacionadas. Leibniz aplicó primero el símbolo ∫ a la integral definida y se deriva de la letra S. (Leibniz calculó el área como una suma infinita, por tanto, eligió la letra S.)

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36

Capítulo 1

LA INTEGRAL

TEOREMA 1.9

El teorema fundamental del cálculo

Si una función f es continua en el intervalo cerrado [a, b] y F es una antiderivada de f en el intervalo [a, b], entonces b

f x dx

Fa.

Fb

a

Demostración La clave para la demostración consiste en escribir la diferencia F(b) – F(a) en una forma conveniente. Sea ∆ cualquier partición de [a, b]. a

x0 < x1 < x2 < . . . < xn

< xn

1

b

Mediante la resta y suma de términos semejantes, se obtiene . . . F x1 Fa F xn F xn 1 F xn 1 Fb n 1

i

F xi

F xi

F x1

F x0

.

1

De acuerdo con el teorema del valor medio, se sabe que existe un número ci en el i-ésimo subintervalo tal que F xi xi

F ci

F xi xi 1

1

f ci , se puede hacer que

Como F ci

n

Fb

.

Fa 1

i

xi

xi

xi

1

y obtener

xi .

f ci

Esta importante ecuación dice que al aplicar repetidamente el teorema del valor medio, siempre se puede encontrar una colección de ci tal que la constante F(b) – F(a) es una suma de Riemann de f en [a, b] para cualquier partición. El teorema 1.4 garantiza que el límite de sumas de Riemann sobre las particiones con ||∆|| → 0 existe. Así, el tomar el límite (cuando ||∆|| → 0) produce b

Fb

Fa

f x dx. a

ESTRATEGIA PARA UTILIZAR EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO 1. Suponiendo que conozca una antiderivada o primitiva f, dispone de una forma de calcular una integral definida sin tener que utilizar el límite de la suma.

2. Cuando se aplica el teorema fundamental del cálculo, la siguiente notación resulta conveniente. b

b

f x dx

Fx

Fb

Fa

a

a

Por ejemplo, para calcular 3

x 3 dx 1

x4 4

3 1

3 1

34 4

x 3 dx, se puede escribir 14 4

81 4

1 4

20.

3. No es necesario incluir una constante de integración C en la antiderivada o primitiva, ya que b

b

f x dx a

Fx

C

Fb

C

Fa

C

Fb

Fa

a

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1.4

Teorema fundamental del cálculo

37

Calcular una integral definida

EJEMPLO 1

Evalúe cada integral definida.

2

x2

a.

1

4

3 dx

b.

3 dx

x3 3

1

4

3 x dx

c.

0

sec2 x dx

Solución 2

x2

a.

1 4

3 x dx

b.

1

4

c.

0

3

2

3x

4

x 1 2 dx 1

sec 2 x dx

3

x3 2 3 2

1

0

4

tan x

8 3

1

0

1 3

6 4

24

1

3 2

2 3

3 21

3 2

14

1

y = ⏐2x − 1⏐

y

Integral definida de un valor absoluto

EJEMPLO 2 3

Calcule 2

2 0

2x

1 dx.

Solución Utilizando la figura 1.28 y la definición de valor absoluto, puede reescribir el integrando como se indica.

1

2x

2x

1

2x

x −1

1

y = −(2x − 1)

2

1 2 1 2

x <

1,

x

A partir de esto, puede reescribir la integral en dos partes.

y = 2x − 1

2

La integral definida de y en 0, 2 es Figura 1.28

1,

5 2.

0

2x

1 2

1 dx

2x

0

1 2

x2

x

1 4

2

1 dx x2

0

1 2

0

2x

1 2

0

1 dx

2

x

12

4

2

1 4

1 2

5 2

Usar el teorema fundamental para encontrar un área

EJEMPLO 3 y

y = 2x 2 − 3x + 2

Encuentre el área de la región delimitada por la gráfica de y = 2x2 – 3x + 2, el eje x y las rectas verticales x = 0 y x = 2, como se muestra en la figura 1.29.

4 3

Solución

2

Área

1

1

2

3

4

El área de la región acotada por la gráfica de y, el eje x, x = 0 y x = 2 es 10.

3

Figura 1.29

x

Observe que y > 0 en el intervalo [0, 2].

2 0

2x 2

2x 3 3 16 3 10 3

3x 3x 2 2

6

2 dx 2x

4

Integre entre x = 0 y x = 2.

2

Encuentre la antiderivada.

0

0

0

0

Aplique el teorema fundamental.

Simplifique.

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38

Capítulo 1

LA INTEGRAL

El teorema del valor medio para integrales

y

f

En la sección 1.2 vio que el área de una región bajo una curva es mayor que el área de un rectángulo inscrito y menor que el área de un rectángulo circunscrito. El teorema del valor medio para integrales establece que en alguna parte “entre” los rectángulos inscrito y circunscrito hay un rectángulo cuya área es precisamente igual al área de la región bajo la curva, como se ilustra en la figura 1.30.

f (c) a

c

b

x

TEOREMA 1.10 Teorema del valor medio para integrales

Rectángulo de valor medio:

Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces existe un número c en el intervalo cerrado [a, b], tal que

b

f c b

a

f x dx a

b

Figura 1.30

f x dx

a.

f c b

a

Demostración Caso 1: Si f es constante en el intervalo [a, b], el teorema es claramente válido debido a que c puede ser cualquier punto en [a, b].

Caso 2: Si f no es constante en [a, b], entonces, por el teorema del valor extremo, pueden elegirse f(m) y f(M) como valores mínimo y máximo de f en [a, b]. Como f m

f x

f M

para todo x en [a, b], se puede aplicar el teorema 1.8 para escribir b

b

f m dx

b

f x dx

a

f m b

a

Vea la figura 1.31.

f M dx

a b

a

f x dx

f M b

Aplique el teorema fundamental.

a

a b

1

f m

b

a

f x dx

Divida entre b – a.

f M

a

De acuerdo con la tercera desigualdad, se puede aplicar el teorema del valor medio para concluir que existe alguna c en [a, b] tal que f c

b

1 b

a

b

f x dx

o

f c b

a

f x dx.

a

a

f

f (M)

f

f

f (m) a

b

Rectángulo inscrito (menor que el área real)

a

b

Rectángulo del valor medio (igual al área real)

b

b

f m dx a

f m b

a

a

Rectángulo circunscrito (mayor que el área real) b

f x dx a

b

f M dx

f M b

a

a

Figura 1.31

Observe que el teorema 1.10 no especifica cómo determinar c, sólo garantiza la existencia de al menos un número c en el intervalo.

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1.4

Teorema fundamental del cálculo

39

Valor medio de una función

y

El valor de f(c) dado en el teorema del valor medio para integrales recibe el nombre de valor medio de f en el intervalo [a, b].

Valor medio f

Definición del valor medio de una función en un intervalo Si f es integrable en el intervalo cerrado [a, b], entonces el valor medio de f en el intervalo es a

b

Valor medio

1 b

b

1

x

b

Vea la figura 1.32.

f x dx.

a

a

b

f x dx

a

a

Figura 1.32

Para saber por qué el promedio de f se define de esta manera, divida [a, b] en n subintervalos de igual anchura b

x

a n

.

Si ci es cualquier punto en el i-ésimo subintervalo, la media aritmética de los valores de la función en los ci está dada por 1 f c1 n

an

. . .

f c2

f cn .

Valor medio f c1 , . . . , f cn

Al multiplicar y dividir por (b – a), puede escribir la media como 1 n b a f ci ni 1 b a n 1 b a f ci b ai 1 n n 1 f c x. b ai 1 i

an

Por último, al tomar el límite cuando n → ∞ se obtiene el valor medio de f en el intervalo [a, b], como se indicó en la definición anterior. Observe en la figura 1.32, que el área de la región bajo la gráfica de f es igual al área del rectángulo cuya altura es el valor medio.

Este desarrollo del valor medio de una función en un intervalo es sólo uno de los muchos usos prácticos de las integrales definidas para representar procesos de suma. En el siguiente capítulo estudiaremos otras aplicaciones, tales como volumen, longitud de arco, centros de masa y trabajo.

EJEMPLO 4

Determinar el valor medio de una función

Determine el valor medio de f(x) = 3x2 – 2x en el intervalo [1, 4].

y

Solución

(4, 40)

40

b

1 f(x) = 3x 2 − 2x

30

b

20

Valor medio = 16

10

(1, 1)

x

1

Figura 1.33

2

3

4

El valor medio está dado por

a

f x dx a

1 4 1 1 3 x 3 1 64 3 48 3 16.

4 1

3x 2

x2 16

2x dx

4 1

1

1

Vea la figura 1.33.

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40

Capítulo 1

LA INTEGRAL

EJEMPLO 5

La velocidad del sonido

A diferentes alturas en la atmósfera de la Tierra, el sonido viaja a distintas velocidades.

La velocidad del sonido s(x) (en metros por segundo) puede modelarse mediante 4x 341, 295, 3 278.5, 4x 3 254.5, 2x 3 x 404.5, 2

Lukich/Shutterstock.com

sx

0 x < 11.5 11.5 x < 22 22 x < 32 32 x < 50 50 x 80

donde x es la altura en kilómetros (vea la figura 1.34). ¿Cuál es la velocidad media del sonido en el intervalo [0, 80]? s

La primera persona en volar a una velocidad mayor que la del sonido fue Charles Yeager. El 14 de octubre de 1947, a una altura de 12.2 kilómetros,Yeager alcanzó 295.9 metros por segundo. Si Yeager hubiera volado a una altura menor que 11.275 kilómetros, su velocidad de 295.9 metros por segundo no hubiera “roto la barrera del sonido”. La foto muestra un F/A-18F, Super Hornet, un bimotor de combate supersónico. Un “green hornet” utilizando una mezcla 50/50 de biocombustible, hecho a partir de aceite de camelina, se convirtió en el primer avión táctico estadounidense naval en superar Mach 1.

Velocidad del sonido (en m/s)

350 340 330 320 310 300 290 280

x

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Altura (en km)

La velocidad del sonido depende de la altura.

Figura 1.34

Solución Comience con la integración s(x) en el intervalo [0, 80]. Para hacer esto, puede dividir la integral en cinco partes.

11.5

11.5

4x

s x dx 0

0 22

22

s x dx 11.5

11.5

32

32

s x dx 22

22

50

50

s x dx 32

32

80

295 dx

295x

2x 2

22

341x

278.5 dx

3 2 8x

278.5x

3 2x

254.5 dx

3 2 4x

254.5x

80 50

3 2x

404.5 dx

11.5 0

3657

3097.5

11.5

3 4x

s x dx 50

341 dx

3 2 4x

32 22 50 32

404.5x

2987.5 5688 80 50

9210

Al sumar los valores de las cinco integrales, se obtiene 80

s x dx 0

24,640.

Por tanto, la velocidad media del sonido entre los 0 y los 80 km de altitud es Velocidad promedio

1 80

80

s x dx 0

24,640 80

308 metros por segundo.

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1.4

41

Teorema fundamental del cálculo

El segundo teorema fundamental del cálculo Al introducir la integral definida de f en el intervalo [a, b] se ha tomado como fijo el límite superior de integración b y x como la variable de integración. Sin embargo, es posible que surja una situación un poco diferente en la que la variable x se use como el límite superior de integración. Para evitar la confusión de utilizar x de dos maneras diferentes, se usa temporalmente t como la variable de integración. (Recuerde que la integral definida no es una función de su variable de integración.)

La integral definida como un número La integral definida como una función de x F es una función de x.

Constante b

x

f x dx

Fx

f t dt

a

a

f es una función de x.

Constante

Constante

f es una función de t.

Exploración Utilice una herramienta de graficación par representar la función

Calcule la función

x

x

cos t dt

Fx 0

La integral definida como función

EJEMPLO 6

Fx 0

Para 0 ≤ x ≤ p. ¿Reconoce esta gráfica?

Explique.

en x

cos t dt

0, , , y .

6 4 3 2

Solución Podría calcular cinco integrales definidas diferentes, una para cada uno de los límites superiores dados. Sin embargo, es mucho más simple fijar x (como una constante) por el momento para obtener x 0

x

cos t dt

sen t

0

sen x sen x.

sen 0

Después de esto, utilizando F(x) = sen x, puede obtener los resultados que se muestran en la figura 1.35. y

2 F π = 4 2

( )

( )

F π =1 6 2

F(0) = 0

t

x=0

y

y

y

x=π 6

t

x=π 4

t

y

3 F π = 3 2

( )

x=π 3

t

( )

F π =1 2

x=π 2

t

x

Fx 0

cos t dt es el área bajo la curva f (t) = cos t desde 0 hasta x.

Figura 1.35

Podría considerar la función F(x) como la acumulación del área bajo la curva f (t) = cos t desde t = 0 hasta t = x. Para x = 0, el área es 0 y F(0) = 0. Para x = p 2, F(p 2) = 1 se obtiene el área acumulada bajo la curva coseno del intervalo completo [0, p 2]. Esta interpretación de una integral como una función de acumulación se usa a menudo en aplicaciones de la integración.

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42

Capítulo 1

LA INTEGRAL

En el ejemplo 6, observe que la derivada de F es el integrando original (sólo que con la variable cambiada). Esto es d Fx dx

d sen x dx

d dx

x 0

cos t dt

cos x.

Este resultado se generaliza en el siguiente teorema, denominado el segundo teorema fundamental del cálculo.

TEOREMA 1.11

El segundo teorema fundamental del cálculo

Si f es continua en un intervalo abierto I que contiene a, entonces, para todo x en el intervalo, d dx

x

f x.

f t dt a

Demostración

Comience definiendo F como

x

Fx

f t dt. a

Luego, de acuerdo con la definición de la derivada, puede escribir Fx

lím

F x

x x

x→0 x

1 x→0 x 1 lím x→0 x 1 lím x→0 x

Fx

x

lím

x

f t dt a x

f t dt a a

x

f t dt a x

f t dt x

x

f t dt . x

Por el teorema del valor medio (suponiendo que ∆x > 0), sabe que existe un número c en el intervalo [x, x + ∆x] tal que la integral en la expresión anterior es igual a f(c) ∆x.

Además, como x ≤ c ≤ x + ∆x se deduce que c → x cuando ∆x → 0. Por tanto, obtiene 1 f c x

lím

F x

x→0

x

lím f c x→0

f x.

Se puede plantear un argumento similar para ∆x < 0.

Utilizando el modelo del área para integrales definidas, considere la aproximación x

f x

x

f(t)

∆x

x

f t dt x

se dice que el área del rectángulo de altura f(x) y anchura ∆x es aproximadamente igual al área de la región que se encuentra entre la gráfica de f y el eje x en el intervalo

f(x)

x

[x, x + ∆x] como se muestra en la figura de la derecha

x

f x

x

x + ∆x

x

f t dt x

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t

1.4

Teorema fundamental del cálculo

43

Observe que el segundo teorema del cálculo indica que toda f continua admite una antiderivada. Sin embargo, ésta no necesita ser una función elemental.

Usar el segundo teorema fundamental del cálculo

EJEMPLO 7

Calcule

x

d dx

1 dt .

t2 0

Solución Observe que f t t 2 1 es continua en toda la recta real. Por tanto, empleando el segundo teorema fundamental del cálculo, puede escribir d dx

x

1 dt

t2 0

1.

x2

La derivación que se muestra en el ejemplo 7 es una aplicación directa del segundo teorema fundamental del cálculo. El siguiente ejemplo muestra cómo puede combinarse este teorema con la regla de la cadena para encontrar la derivada de una función.

Usar el segundo teorema fundamental del cálculo

EJEMPLO 8

x3

Encuentre la derivada de F x 2

cos t dt.

Solución Haciendo u = x3, puede aplicar el segundo teorema fundamental del cálculo junto con la regla de la cadena como se ilustra.

F x

dF du du dx d du Fx du dx x3 d du cos t dt du dx 2 u

d du

2

cos t dt

du dx

cos u 3x 2 cos x 3 3x 2

Regla de la cadena dF du

Definición de x3

Sustituya

2

cos t dt para F x .

Sustituya u por x3.

Aplique el segundo teorema fundamental del cálculo.

Reescriba como una función de x.

Debido a que la integral del ejemplo 8 se integra con facilidad, puede comprobar la derivada del modo siguiente. x3

Fx 2

sen t

cos t dt x3 2

sen x 3

sen

sen x 3

1

2

En esta forma, puede aplicar la regla de las potencias para comprobar que la derivada es la misma que la que se obtuvo en el ejemplo 8. d sen x3 dx

1

cos x 3 3x 2

Derivada de F

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Capítulo 1

LA INTEGRAL

Teorema del cambio neto El teorema fundamental del cálculo (teorema 1.9) establece que si f es continua en el intervalo cerrado [a, b] y F es una antiderivada de f en [a, b], entonces b

f x dx

Fa.

Fb

a

f x , este enunciado se puede reescribir como

Pero dado F x) b

F x dx

Fb

Fa

a

donde la cantidad F(b) – F(a) representa el cambio neto de F en el intervalo [a, b].

TEOREMA 1.12

El teorema del cambio neto

La integral definida de la razón de cambio de una cantidad F ′(x) proporciona el cambio total, o cambio neto, en esa cantidad en el intervalo [a, b]. b

F x dx

Fb

Fa

Cambio neto de F

a

Usar el teorema del cambio neto

EJEMPLO 9

Una sustancia química fluye en un tanque de almacenamiento a una razón de 180 + 3t litros por minuto, donde t es el tiempo en minutos y 0 ≤ t ≤ 60.

Encuentre la cantidad de sustancia química que fluye en el tanque durante los primeros 20 minutos.

Solución Sea c(t) la cantidad de sustancia química en el tanque en el tiempo t. Entonces c′(t) representa la razón a la cual la sustancia química fluye dentro del tanque en el tiempo t. Durante los primeros 20 minutos, la cantidad que fluye dentro del tanque es 20

20

c t dt 0

0

180

180t 3600 4200.

3t dt

3 2 t 2 600

20 0

Así, la cantidad que fluye dentro del tanque durante los primeros 20 minutos es 4200 litros.

Otra forma de ilustrar el teorema del cambio neto es examinar la velocidad de una partícula que se mueve a lo largo de una línea recta, donde s(t) es la posición en el tiempo t. Entonces, su velocidad es v(t) = s′(t) y b

v t dt

sb

sa.

a

Esta integral definida representa el cambio neto en posición, o desplazamiento, de la partícula.

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@ Christian Lagerek/Shutterstock.com).

44

1.4

45

Teorema fundamental del cálculo

Cuando calcula la distancia total recorrida por la partícula, debe considerar los intervalos donde v(t) ≤ 0 y los intervalos donde v(t) ≥ 0. Cuando v(t) ≤ 0, la partícula se mueve hacia la derecha. Para calcular la distancia total recorrida, se integra el valor absoluto de la velocidad |v(t)|. Así, el desplazamiento de una partícula y la distancia total recorrida por una partícula en [a, b], se puede escribir como

v

v(t) A1

b

A3

a

b

A2

Desplazamiento en a, b

t

v t dt

A1

a

A2

A3

y la distancia total recorrida por la partícula en [a, b] es b

A1, A2 y A3 son las áreas de las regiones sombreadas.

Figura 1.36

Distancia total recorrida sobre a, b

v t dt

A1

a

A3.

A2

(Vea la figura 1.36.)

Solución de un problema de movimiento de una partícula

EJEMPLO 10

La velocidad (en pies por segundo) de una partícula moviéndose a lo largo de una recta es v(t) = t3 – 10t2 + 29t – 20 donde t es el tiempo en segundos. a. ¿Cuál es el desplazamiento de la partícula en el intervalo 1 ≤ t ≤ 5? b. ¿Cuál es la distancia total recorrida por la partícula en el intervalo 1 ≤ t ≤ 5?

Solución a. Por definición, se sabe que el desplazamiento es 5

5

1

10t2

t3

v t dt 1

29t

10 3 29 2 t t 3 2 103 12

t4 4 25 12 128 12 32 .

3

20 dt 20t

5 1

Por tanto, la partícula se mueve 32 pies hacia la derecha.

3 5

b. Para encontrar la distancia total recorrida, calcule 1 v t dt. Usando la figura 1.37 y el hecho de que v(t) puede factorizarse como (t – 1)(t – 4)(t – 5), puede determinar que v(t) ≥ 0 en [1, 4] y v(t) ≤ 0 en [4, 5]. Por tanto, la distancia total recorrida es

v 8

5

6

4

v t dt

v(t)

1

5

v t dt 1 4

t3

4 1

2

1 −2

Figura 1.37

2

3

4

5

t

v t dt 4

10t2

t 4 10 3 t 4 3 45 7 4 12 71 pies.

6

29t 29 2 t 2

20 dt 20t

4 1

5 4

t4 4

t3

10t2

10 3 t 3

29t

29 2 t 2

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20 dt 20t

5 4