Fundamentación de álgebra lineal y modelización de procesos

Fundamentación de

ÁLGEBRA LINEAL

y modelización de procesos Juan Carlos del Valle Sotelo Rubén Darío Santiago Acosta

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Fundamentación de

ÁLGEBRA LINEAL

y modelización de procesos Juan Carlos del Valle Sotelo Rubén Darío Santiago Acosta

Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey

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Fundamentación de álgebra lineal y modelización de procesos Primera edición Juan Carlos Del Valle Sotelo Rubén Darío Santiago Acosta Director Higher Education Latinoamérica: Renzo Casapía Valencia Gerente editorial Latinoamérica: Jesús Mares Chacón Editora: Cinthia Chávez Ceballos Coordinador de manufactura: Rafael Pérez González Diseño de portada: Karla Paola Benítez García Imagen de portada: © Oceloti / Shutterstock.com Composición tipográfica: Zunbeltz Izaola Azcona TeXtnik Typesetting textnik.typesetting@gmail.com Durango, España

© D.R. 2021 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una compañía de Cengage Learning, Inc. Av. Andrés Molina Enríquez 354, Primer piso, Oficina “A”, Colonia Ampliación Sinatel, Delegación Iztapalapa, Ciudad de México, C.P. 09479.

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Datos para catalogación bibliográfica: Del Valle Sotelo, Juan Carlos y Rubén Darío Santiago Acosta Fundamentación de álgebra lineal y modelización de procesos. Primera edición ISBN: 978-607-570-048-9 Visite nuestro sitio web en: http://latinoamerica.cengage.com

Publicado en México 1 2 3 4 5 6 24 23 22 21

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Prólogo

El Tecnológico de Monterrey ha implementado el innovador modelo educativo TEC21 en todas las carreras profesionales que ofrece este instituto; cuya característica esencial es el aprendizaje basado en retos con el objetivo fundamental de asegurar competencias sólidas e integrales de todos sus egresados. Esto ha traído la necesidad de modificar contenidos tradicionales en tiempo y forma para adaptarlos a los requerimientos de este nuevo modelo. Como consecuencia, los textos tradicionales anteriormente usados ya no satisfacen por completo los contenidos ni la nueva metodología. Por tanto, es imperativo diseñar nuevos libros de texto, que se adapten a las necesidades de este modelo educativo y sirvan como base a estudiantes y profesores para alcanzar los objetivos que éste tiene. El presente libro, Fundamentación de álgebra lineal y modelización de procesos, tiene ese propósito para la materias MA1034 y MA1036. Es la continuación natural de nuestra obra Modelización matricial, publicada por esta misma casa editorial y, por ende, los contenidos están concatenados y son uno el complemento del otro en forma seriada; por esta razón el prerrequisito principal para abordar el material de este texto es haber cubierto los contenidos de ese libro.

Fundamentación de álgebra lineal y modelización de procesos está dividido en cuatro módulos.

El primer módulo trata los temas de los espacios vectoriales, dependencia lineal, bases y dimensión; contiene una primera sección —a manera de introducción general del módulo— del tema geometría de espacios ℝ𝑛 , con el fin de familiarizar al estudiante con el concepto de espacios vectoriales abstractos, por medio de espacios vectoriales “concretos” mediante conceptos geométricos simples y naturales. Este apartado (1.1) es opcional y el profesor puede ir directamente a la sección 1.2 y dejar como tema de autoestudio el apartado 1.1 o intercalar ambas secciones como juzgue adecuado. En el módulo 2 se estudian espacios con producto interior, ortogonalidad, norma inducida, proyecciones, proceso de ortogonalización, aproximación óptima y mínimos cuadrados. En el módulo 3 se tratan los temas tradicionales de transformaciones lineales, comenzando con funciones lineales en espacios ℝ𝑛 , secciones 3.1 a 3.3, hasta transformaciones lineales entre espacios vectoriales generales (sección 3.4); con el fin de que el profesor tenga la suficiente flexibilidad en el texto para profundizar de acuerdo al nivel que considere adecuado. En el último módulo se establece el tema de valores y vectores propios, y diagonalización de matrices; mientras que en la última sección se trata el importante tema, a nivel introductorio, de aproximación numérica de valores y vectores propios. Aquí cabe aclarar que este tema está incluido en el proiii Reg. 403 VITALSOURCE © D.R. 2021 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso.

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IV

grama de la materia MA1036, pero no en el de la materia MA1034; las cuales, en esencia, son las únicas diferencias entre ambos programas. Al final de cada módulo se han colocado secciones de actividades y ejercicios. La mayoría de las actividades están diseñadas para estudio y realización de manera individual o por equipos —a criterio del tutor de la materia— con la mínima intervención del profesor; pues cada una contiene el material teórico necesario para su comprensión y solución. El objetivo de la mayoría de éstas, es que los estudiantes desarrollen competencias aplicando los contenidos de la materia en situaciones específicas de ingeniería, física, o de las propias matemáticas. Otras de las actividades tienen el propósito de que los estudiantes desarrollen competencias mediante el uso de tecnología con Matlab; ya sea usando directamente las utilidades de este paquete o realizando programas con el mismo. Los ejercicios están diseñados para que los estudiantes, al resolverlos, aprendan y apliquen contenidos, desarrollen las subcompetencias correspondientes y sean capaces de mostrar, al nivel requerido, la adquisición de las mismas en las evaluaciones argumentativas que realicen en su curso. En el apéndice del libro están contenidas las respuestas a los ejercicios de número impar, un glosario de símbolos y el alfabeto griego.

Por cuestión de espacio y diseño, se han colocado en la página web https: //latinoamerica.cengage.com/ls/fundamentacion‐de‐algebra‐lineal‐y‐ modelizacion‐de‐procesos/ un breve manual de Matlab para que el estudiante pue-

da aprender, por cuenta propia, lo esencial de este paquete en su uso en álgebra lineal y lo necesario para comprender los programas que en código Matlab se han desarrollado en este libro y sea capaz, eventualmente, de realizar sus propios programas en este lenguaje; también ahí están los códigos de todos los programas contenidos en el libro, para que el estudiante pueda descargarlos, ejecutarlos, y editarlos si así lo desea.

Fundamentación de álgebra lineal y modelización de procesos es, antes que nada, un libro de texto, y como tal ha sido concebido; esto implica que los temas son tratados con formalidad, rigor matemático y profundidad, a nivel ingeniería. Sin embargo, está diseñado con flexibilidad para que el profesor maneje —por cuestión de limitaciones en tiempo—, de acuerdo a su criterio, los contenidos y nivel de profundidad que corresponda a la materia que esté impartiendo. Con el mismo propósito se pensaron los ejercicios propuestos y actividades. Sin embargo, la obra está planificada para que sea completa y autocontenida en la medida de lo posible; de esta manera el estudiante tendrá siempre a la mano, en este texto, los temas que no se trataron con profundidad para estudiarlos cuando se presente la necesidad en otras materias, bloques, estudios de posgrado o en su vida ya profesional. Esto no significa que los contenidos sean absolutos en completitud o enfoque; por eso, al final del texto, se incluye una bibliografía —en la que se sustenta este libro—, con que el estudiante puede profundizar, ampliar conocimientos y consultar otros enfoques.

Albergamos la esperanza de que este libro cumpla el propósito principal para el cual fue diseñado; apoye al profesor en la labor docente; y tenga una vida útil para el estudiante no sólo en las materias MA1034 y MA1036, sino también en otras asignaturas, bloques y su carrera profesional pues para este objetivo fue creado.

Ciudad de México, 2021 Juan Carlos Del Valle Sotelo, Rubén Darío Santiago Acosta

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Agradecimientos

Deseamos primeramente agradecer a Ramón Orduña, Jesús Mares, Cinthia Chávez y Norma Amezola de Cengage por todo el apoyo que hemos recibido para la edición de este libro, sin él la realización de esta obra no habría sido posible.

La mayoría de las figuras fueron realizadas utilizando los programas LaTeXPiX, TeXCad, GNUPLOT, TeXCad32, LaTeX-CAD, TpX o XCircuit; deseamos dar crédito y reconocimiento a los autores de estos paquetes —de distribución gratuita— por la magnífica tarea que han realizado en esas herramientas de dibujo en el ambiente LATEX, las cuales facilitaron enormemente el trabajo gráfico en este libro.

También deseamos reconocer el excelente trabajo de maquetación realizado por Zunbeltz Izaola.

Todos los dibujos de los circuitos eléctricos los realizaron Miriam Del Valle y Samantha Del Valle. Miriam y Samatha revisaron la totalidad del texto para localizar erratas. Nuestro más sincero agradecimiento por la desinteresada ayuda que nos brindaron.

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Índice general

1

2

Espacios vectoriales 1.1 Geometría de los Espacios ℝ𝑛 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.1 El plano cartesiano ℝ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.2 Interpretación geométrica del determinante . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.3 El espacio vectorial ℝ𝑛 , geometría y propiedades algebraicas . . . . . .

1.1.4 La desigualdad de Schwarz, ángulos entre vectores y ortogonalidad . .

1.2 Espacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.1 Definiciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.2 Propiedades elementales de los espacios vectoriales . . . . . . . . . . .

1.2.3 Subespacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.4 Combinaciones lineales y subespacios generados . . . . . . . . . . . .

1.3 Dependencia e Independencia Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.1 Criterios de independencia lineal en ℝ𝑛 . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4 Bases y Dimensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4.1 Definiciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4.2 Dimensión, extracción de bases y compleción de un conjunto L.I. a una base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4.3 Rango de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5 Ejercicios, actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5.2 Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Espacios vectoriales con producto interior 2.1 Producto interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.1 Definiciones, ejemplos y propiedades . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Ortogonalidad, norma, proyecciones, ángulo, distancia . . . . . . . . .

2.2.1 Ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.2 Norma inducida, teorema de Pitágoras . . . . . . . . . . . . . .

2.2.3 Vector de proyección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.4 Desigualdad de Schwarz y ángulo entre vectores . . . . . . . . .

2.2.5 Propiedades de la norma inducida, distancia . . . . . . . . . . .

2.3 Bases ortonormales, proceso de ortogonalización, aproximación óptima 2.3.1 Bases otonormales y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.2 Proyección de un vector sobre un subespacio . . . . . . . . . .

2.3.3 Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt . . . . . . . . .

2.3.4 Aproximación óptima y mínimos cuadrados . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

1 1 1 6 7 12 19 20 26 28 32 39 44 47 47

. . . . .

49 57 60 60 67

. . . . . . . . . . . . .

77 77 78 84 84 85 87 89 91 95 95 97 104 109

vii Reg. 403 VITALSOURCE © D.R. 2021 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso.

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VIII

Índice general

2.4

3

4

Ejercicios, actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 2.4.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 2.4.2 Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

Transformaciones lineales 3.1 Transformaciones lineales en espacios ℝ𝑛 . . . . . . . . . . . . .

3.1.1 Definición, ejemplos, propiedades . . . . . . . . . . . .

3.1.2 Representación matricial canónica . . . . . . . . . . . .

3.2 Núcleo e imagen de transformaciones lineales de ℝ𝑛 en ℝ𝑚 . . .

3.2.1 Núcleo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.2 Imagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.3 Relaciones entre las dimensiones del núcleo y la imagen 3.3 Representación matricial de operadores lineales en ℝ𝑛 . . . . . .

3.3.1 Vectores de coordenadas y cambio de bases . . . . . . .

3.3.2 Representación matricial de un operador lineal en ℝ𝑛 . .

3.4 Transformaciones lineales en espacios vectoriales . . . . . . . .

3.4.1 Conceptos, propiedades, ejemplos . . . . . . . . . . . .

3.4.2 Representaciones matriciales . . . . . . . . . . . . . . .

3.5 Ejercicios, actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5.2 Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

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. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

127 127 128 130 131 131 133 141 146 147 153 159 159 161 165 165 172

Valores y vectores propios 191 4.1 Valores y vectores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 4.1.1 Conceptos y definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 4.1.2 Cálculo de valores y vectores propios de matrices . . . . . . . . . . . . . 195 4.2 Diagonalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 4.2.1 Matrices diagonalizables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 4.2.2 Condiciones necesarias y suficientes para que una matriz sea diagonalizable 203 4.3 Aproximación numérica de valores y vectores propios . . . . . . . . . . . . . . . 207 4.3.1 Método de la potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 4.3.2 Deflación de Householder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 4.3.3 Iteración inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 4.4 Apéndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 4.5 Ejercicios, actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 4.5.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 4.5.2 Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

Respuestas a ejercicios impares

247

Lista de símbolos

259

Bibliografía

262

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Módulo

Espacios vectoriales

En este capítulo estudiaremos un concepto fundamental de álgebra lineal. Antes, motivaremos las ideas principales por medio de un repaso de conceptos elementales del plano cartesiano. Después extenderemos estos conceptos de manera natural a espacios de vectores más generales para, posteriormente, continuar con un estudio abstracto y completo de estos entes que llamaremos espacios vectoriales.

1.1 Geometría de los Espacios ℝ𝑛 El objetivo fundamental de esta sección es generalizar las características geométricas esenciales que poseen los vectores en el plano cartesiano y en el espacio de tres dimensiones a espacios cuyos vectores tienen mayor número de coordenadas, los llamados espacios ℝ𝑛 . Para ello comenzamos, en la primera subsección, con un repaso de estas características en el plano cartesiano. Bien pudimos emplear como modelo para este propósito el espacio tridimensional pero, por razones de sencillez en cuanto a los bosquejos geométricos, hemos preferido utilizar el plano cartesiano; sin embargo, como el lector podrá constatar fácilmente por sí mismo, todo lo que hagamos en el siguiente apartado para el plano cartesiano es completamente válido cuando se traslada al espacio de tres dimensiones.

1.1.1 El plano cartesiano ℝ2

Definición 1.1. Definimos ℝ2 = {(𝑥, 𝑦) | 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ}.

Geométricamente ℝ2 es el plano cartesiano con el que el lector está familiarizado de cursos elementales y que ilustramos en la figura 1.1.

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1

2

Módulo 1. Espacios vectoriales

✻ℝ2 𝑦

✒

𝑢⃗ = (𝑥, 𝑦)

✲ 𝑥 FIGURA 1.1

ℝ2 , plano donde cada punto (vector) 𝑢⃗ se localiza mediante un par ordenado (𝑥, 𝑦).

Las características esenciales algebraicas y geométricas de ℝ2 son: 1. Igualdad: Si 𝑢⃗ = (𝑥1 , 𝑦1 ), 𝑣 ⃗ = (𝑥2 , 𝑦2 ) ∈ ℝ2 , 𝑢⃗ = 𝑣 ⃗ ⇔ 𝑥1 = 𝑥2 y 𝑦1 = 𝑦2 .

2. Suma: Si 𝑢⃗ = (𝑥1 , 𝑦1 ), 𝑣 ⃗ = (𝑥2 , 𝑦2 ), 𝑢⃗ + 𝑣 ⃗ = (𝑥1 , 𝑦1 ) + (𝑥2 , 𝑦2 ) = (𝑥1 + 𝑥2 , 𝑦1 + 𝑦2 ).

La suma de dos vectores de ℝ2 se obtiene, geométricamente, por la diagonal del paralelogramo como se indica en la figura 1.2. ✻ℝ2 𝑢⃗ + 𝑣⃗ ✯

𝑦1 + 𝑦2 𝑦1

𝑢⃗ ✒ 𝑣⃗ ✿

𝑦2

✲ 𝑥1

FIGURA 1.2

𝑥2

𝑥1 + 𝑥2

La suma de dos vectores en el plano es la diagonal del paralelogramo que se genera a partir de éstos.

3. Producto de un escalar por un vector. Si 𝜆 ∈ ℝ y 𝑢⃗ = (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 , 𝜆𝑢⃗ = (𝜆𝑥, 𝜆𝑦).

Así, el vector 𝜆𝑢⃗ es un vector paralelo a 𝑢⃗ con un cambio de escala y/o de sentido como queda ilustrado en la figura 1.3.

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1.1 Geometría de los Espacios ℝ𝑛

✻ℝ2

𝜆 𝑢⃗ (𝜆 > 1)

✒

𝑦

✒

✒

𝑢⃗ = (𝑥, 𝑦)

𝜆 𝑢,⃗ (0 < 𝜆 < 1)

✲ 𝑥 ✠𝜆 𝑢⃗ (𝜆 < 0) FIGURA 1.3

Producto de un escalar por un vector.

4. Norma o magnitud de un vector. Si 𝑢⃗ = (𝑥, 𝑦), se define y denota la norma de 𝑢⃗ como ‖𝑢‖⃗ = √𝑥2 + 𝑦2 .

La norma representa la magnitud o longitud del vector 𝑢⃗ (véase figura 1.4).

2 ✻ℝ

𝑦

❃

𝑢⃗ = (𝑥, 𝑦)

⃗ || ||𝑢

𝑥 FIGURA 1.4

✲

La norma o magnitud de un vector es la longitud del mismo.

5. Distancia entre vectores. Si 𝑢⃗ y 𝑣 ⃗ son vectores de ℝ2 , se define la distancia entre ellos como la magnitud del vector 𝑣 ⃗ − 𝑢;⃗ esto es d(𝑣,⃗ 𝑢)⃗ = ‖𝑣 ⃗ − 𝑢‖⃗ .

Nótese que el vector 𝑣 ⃗ − 𝑢⃗ es el vector que sumado a 𝑢⃗ da como resultado el vector 𝑣 ⃗ como se ilustra en la figura 1.5, y que la distancia de 𝑢⃗ a 𝑣 ⃗ es la misma que la distancia de 𝑣 ⃗ a 𝑢;⃗ i. e., d(𝑢,⃗ 𝑣)⃗ = d(𝑣,⃗ 𝑢). ⃗

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3

4

Módulo 1. Espacios vectoriales

𝑢⃗

||𝑣⃗

−𝑢 ⃗ ||

𝑣⃗

𝑣⃗ − 𝑢⃗

FIGURA 1.5

La distancia entre vectores es la magnitud de la diferencia entre ellos.

6. Producto interior o escalar. El producto interior o escalar (o producto punto) de 𝑢⃗ con 𝑣,⃗ como el lector recordará de sus cursos de física, está dado por

𝑢⃗ ⋅ 𝑣 ⃗ = ‖𝑢‖⃗ ‖𝑣‖⃗ cos 𝜃

(1.1)

donde 𝜃 es el ángulo entre 𝑢⃗ y 𝑣;⃗ y es la magnitud de la proyección de 𝑢⃗ sobre 𝑣 ⃗ multiplicada por la norma de 𝑣 ⃗ (véase figura 1.6). Mediante el producto escalar también se define el trabajo físico. ✻

𝑢⃗ ✣

𝜃

FIGURA 1.6

𝜃 cos ‖𝑢⃗ ‖

𝑣⃗ ✯

✲

El producto punto de dos vectores es la magnitud de la proyección del primero sobre el segundo multiplicada por la norma de este último.

Notemos que todas las anteriores características del espacio ℝ2 están perfectamente determinadas algebraicamente por las coordenadas (𝑥, 𝑦) de los vectores correspondientes, excepto el producto punto. Nos proponemos dar una fórmula alternativa para el producto punto que no dependa de conocer el ángulo entre los vectores; específicamente deseamos hallar una relación del producto interior que dependa exclusivamente de las componentes de los vectores. Para ello necesitaremos de la llamada ley de los cosenos, conocida por el lector en sus cursos de trigonometría, que recordamos en la figura 1.7.

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1.1 Geometría de los Espacios ℝ𝑛

𝐶 𝑎

𝑏

𝑐

𝐴 2

2

𝐵

2

𝑐 = 𝑎 + 𝑏 − 2𝑎𝑏 cos(𝐶) FIGURA 1.7

Si se representan por letras mayúsculas las magnitudes de los ángulos y por letras minúsculas las magnitudes de los correspondientes lados opuestos a cada ángulo, entonces se cumple la relación 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 cos 𝐶, llamada ley de cosenos, para cualquier triángulo dado.

Ahora sean 𝑢⃗ = (𝑥1 , 𝑦1 ) y 𝑣 ⃗ = (𝑥2 , 𝑦2 ) un par de vectores en ℝ2 . De la figura 1.8 y la ley de cosenos tenemos que ✻ 𝑢⃗ ‖𝑢 ⃗‖

‖𝑢⃗ − 𝑣‖⃗

.... 𝜃 ..

𝑣⃗ ‖𝑣‖⃗

✲

FIGURA 1.8

‖𝑣 ⃗ − 𝑢‖⃗ 2 = ‖𝑢‖⃗ 2 + ‖𝑣‖⃗ 2 − 2‖𝑢‖⃗ ‖𝑣‖⃗ cos 𝜃.

Luego, 2‖𝑢‖⃗ ‖𝑣‖⃗ cos 𝜃 = ‖𝑢‖⃗ 2 + ‖𝑣‖⃗ 2 − ‖𝑣 ⃗ − 𝑢‖⃗ 2 = 𝑥12 + 𝑦12 + 𝑥22 + 𝑦22 − [(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2 ] = 𝑥12 + 𝑦12 + 𝑥22 + 𝑦22 − [𝑥22 − 2𝑥1 𝑥2 + 𝑥12 + 𝑦22 − 2𝑦1 𝑦2 + 𝑦12 ].

De donde 2‖𝑢‖⃗ ‖𝑣‖⃗ cos 𝜃 = 2(𝑥1 𝑥2 + 𝑦1 𝑦2 ) y por lo tanto 𝑢⃗ ⋅ 𝑣 ⃗ = 𝑥1 𝑥2 + 𝑦1 𝑦2

(1.2)

es la relación buscada.

Nota 1.1.

1. Obsérvese que ‖𝑢‖⃗ = √𝑥2 + 𝑦2 = √𝑢⃗ ⋅ 𝑢.⃗

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5

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Módulo 1. Espacios vectoriales

2. Por otra parte, ya que −1 ≤ cos 𝜃 ≤ 1, ∀𝜃 ∈ ℝ, se tiene |𝑢⃗ ⋅ 𝑣|⃗ ≤ ‖𝑢‖⃗ ‖𝑣‖⃗ a la cual se le llama desigualdad de Schwarz.

3. También, de (1.1) (cf. p. 4), el ángulo entre dos vectores 𝑢,⃗ 𝑣 ⃗ no nulos, está dado por: 𝑢⃗ ⋅ 𝑣 ⃗ ]. 𝜃 = arc cos [ (1.3) ‖𝑢‖⃗ ‖𝑣‖⃗ 1.1.2 Interpretación geométrica del determinante Aunque el determinante es un concepto útil asociado a las matrices para el estudio de las mismas y de otros aspectos del álgebra lineal, el determinante tiene una interpretación geométrica sumamente importante; la cual se puede usar, por ejemplo, en la teoría de integración, específicamente en la fórmula de cambio de variables para integrales y en el cálculo de volúmenes y áreas. Es en estas dos últimas en las que enfocaremos nuestra atención.

Sean 𝑢⃗ = (𝑎, 𝑏), 𝑣 ⃗ = (𝑐, 𝑑) dos vectores de ℝ2 . Calculemos el área 𝑆 del paralelogramo generado por estos vectores. Entonces, de acuerdo a la figura 1.9, 𝑆 = 2𝑆1 + 𝑆2 (porque 𝑆1 = 𝑆3 ).

𝑆3 𝑢⃗

𝑆1

𝑆2 𝑣⃗

ℎ

𝜃

𝑥

FIGURA 1.9

Ahora bien, 𝑆1 = (𝑥ℎ)/2 y ℎ = ‖𝑢‖⃗ sen 𝜃. Por tanto, 𝑥ℎ + (‖𝑣‖⃗ − 𝑥)ℎ 2 = ‖𝑣‖ℎ ⃗

𝑆=2

= ‖𝑢‖⃗ ‖𝑣‖⃗ sen 𝜃.

Puesto que sen2 𝜃 = 1 − cos2 𝜃, 𝑆2 = ‖𝑢‖⃗ 2 ‖𝑣‖⃗ 2 sen2 𝜃 = ‖𝑢‖⃗ 2 ‖𝑣‖⃗ 2 (1 − cos2 𝜃) = ‖𝑢‖⃗ 2 ‖𝑣‖⃗ 2 − ‖𝑢‖⃗ 2 ‖𝑣‖⃗ 2 cos2 𝜃

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1.1 Geometría de los Espacios ℝ𝑛

= ‖𝑢‖⃗ 2 ‖𝑣‖⃗ 2 − (𝑢⃗ ⋅ 𝑣)⃗ 2 = (𝑎2 + 𝑏2 ) (𝑐2 + 𝑑2 ) − (𝑎𝑐 + 𝑏𝑑)2 = 𝑎2 𝑐2 + 𝑎2 𝑑2 + 𝑏2 𝑐2 + 𝑏2 𝑑2 − 𝑎2 𝑐2 − 2𝑎𝑐𝑏𝑑 − 𝑏2 𝑑2 = 𝑎2 𝑑2 + 𝑏2 𝑐2 − 2𝑎𝑐𝑏𝑑 = (𝑎𝑑 − 𝑏𝑐)2 , de donde 𝑆 = |𝑎𝑑 − 𝑏𝑐| .

Es decir, 𝑆 = |det (𝑀)| , donde 𝑀 es la matriz que tiene como filas (o columnas) a los vectores 𝑢⃗ y 𝑣.⃗ De manera análoga el determinante de una matriz 3 × 3 (o mejor dicho, su valor absoluto) será el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores fila de la misma como se ilustra en la figura 1.10. 𝑧 ✻

𝑢⃗

✗

✒ 𝑤⃗

✿ 𝑣⃗ ✲𝑦

𝑥✙ FIGURA 1.10

El volumen del paralelepípedo generado por los vectores 𝑢,⃗ 𝑣 ⃗ y 𝑤⃗ es el valor absoluto del determinante de la matriz que tiene como filas (o columnas) a estos vectores.

1.1.3 El espacio vectorial ℝ𝑛 , geometría y propiedades algebraicas En esta subsección nos proponemos generalizar las propiedades algebraicas y geométricas de ℝ2 a espacios de mayor ‘dimensión’. Es evidente que, tanto en la teoría como en la práctica, surgen problemas que involucran un número de variables mayor a dos (en algunos problemas, de importancia netamente aplicada, este número puede ser superior a 20,000, cf. el módulo 4 de la referencia bibliográfica 2). Por lo tanto es necesario estudiar aquellos conjuntos cuyos elementos son 𝑛-adas ordenadas y tienen cualidades análogas a las de los vectores del plano de coordenadas.

Definición 1.2. Sea 𝑛 un número entero positivo. Se define el espacio ℝ𝑛 como ℝ𝑛 = {𝑢⃗ = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) | 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ∈ ℝ} .

A los elementos de ℝ𝑛 también les llamaremos vectores. Al número 𝑥𝑖 se le dice la 𝑖-ésima componente o coordenada de 𝑢.⃗ Y al vector 𝑢⃗ lo denotaremos, indistintamente, como

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Módulo 1. Espacios vectoriales

𝑢⃗ = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) o como la matriz columna 𝑥1 [𝑥2 ] ] 𝑢⃗ = [ [⋮] . [𝑥𝑛 ]

Nota 1.2. Cuando se emplea la notación 𝑢⃗ = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ), se acostumbra decir que (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) es una 𝑛-ada ordenada; por ejemplo, (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ) es una tríada ordenada.

Definición 1.3. Sean 𝑢,⃗ 𝑣 ⃗ ∈ ℝ𝑛 , con 𝑢⃗ = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ), 𝑣 ⃗ = (𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑛 ) y 𝜆 ∈ ℝ.

1. Igualdad: 𝑢⃗ = 𝑣 ⃗ ⇔ 𝑥𝑖 = 𝑦𝑖 para cada 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛.

2. Suma de vectores: Se denota y define la suma de 𝑢⃗ con 𝑣 ⃗ como 𝑢⃗ + 𝑣 ⃗ = (𝑥1 + 𝑦1 , 𝑥2 + 𝑦2 , … , 𝑥𝑛 + 𝑦𝑛 ).

3. Producto de un escalar con un vector: Se denota y define el producto del escalar 𝜆 con el vector 𝑢⃗ como 𝜆𝑢⃗ = (𝜆𝑥1 , 𝜆𝑥2 , … , 𝜆𝑥𝑛 ).

4. Producto escalar: El producto escalar (o producto punto o producto interior) de 𝑢⃗ con 𝑣 ⃗ se denota y define como: 𝑛

𝑢⃗ ⋅ 𝑣 ⃗ = ∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 = 𝑥1 𝑦1 + ⋯ + 𝑥𝑛 𝑦𝑛 . 𝑖=1

5. Norma de un vector: Se define la norma o magnitud del vector 𝑢⃗ por 1/2

𝑛

‖𝑢‖⃗ =

[∑ 𝑥𝑖2 ] 𝑖=1

1/2

= [𝑥12 + ⋯ + 𝑥𝑛2 ]

.

Nota 1.3.

1. La relación entre el producto interior y la norma vuelve a ser, como en el caso de ℝ2 , ‖𝑢‖⃗ = (𝑢⃗ ⋅ 𝑢)⃗ 1/2 .

(1.4)

2. Existen otras formas de medir magnitudes de vectores; sin embargo, la históricamente más común es la que hemos usado hasta ahora dada por (1.4). A esta magnitud se le acostumbra llamar norma euclidiana o norma canónica del vector 𝑢⃗ por su origen geométrico y natural que tiene, respectivamente.

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1.1 Geometría de los Espacios ℝ𝑛

3. Dado que los vectores en ℝ𝑛 los hemos denotado también como matrices columna, el producto punto se puede ver como producto de matrices; esto es, 𝑢⃗ ⋅ 𝑣 ⃗ = (𝑢)⃗ 𝑡 𝑣.⃗ En el lado izquierdo de la precedente igualdad los vectores están escritos con la notación de 𝑛-adas ordenadas y en el lado derecho están escritos con la notación de matrices columna.

Así, vemos que todas las definiciones dadas arriba son generalizaciones directas de la manera en que se opera, se mide y se hace ‘geometría y álgebra’ en el plano de coordenadas ℝ2 . También debe notarse la importancia que tuvo el dar una fórmula alternativa para el producto interior que dependiera sólo de las componentes de los vectores (cf. fórmula (1.2), p. 5); pues de no ser así, no podríamos haber generalizado el producto punto al no tener una forma de ‘medir ángulos’ por medios físicos en estos espacios cuando 𝑛 > 3. Sin embargo, el concepto de ángulo entre vectores sí lo podremos extender a los espacios ℝ𝑛 con 𝑛 > 3 mediante la desigualdad de Schwarz que veremos más adelante.

Ejemplo 1.1. Si 𝑛 = 3, ℝ3 es el espacio usual de tres dimensiones donde “habitamos”. En el cual necesitamos de tres números reales (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ) (o, como tradicionalmente se escribe, (𝑥, 𝑦, 𝑧)) para determinar la posición de un punto en el mismo como hacemos patente en la figura 1.11.

•

𝑧 ℝ3

✻ 𝑐 𝑢⃗ = (𝑎, 𝑏, 𝑐)

𝑏

✲

𝑦

𝑎

𝑥 FIGURA 1.11

✠

En el espacio ℝ3 todo punto (vector) 𝑢⃗ se localiza mediante una tríada ordenada (𝑎, 𝑏, 𝑐); donde las dos primeras componentes (𝑎, 𝑏) son la proyección vertical de este punto sobre el plano 𝑥, 𝑦 y la tercera, 𝑐, es la proyección horizontal de este punto sobre el eje 𝑧.

Nota 1.4. Es común en textos de matemáticas convenir que cuando se hacen diagramas del espacio tridimensional ℝ3 , los ejes 𝑥, 𝑦 y 𝑧 se colocan como en la figura 1.11. Se puede recordar esta convención (algunas veces llamada regla de la mano izquierda) colocando su mano izquierda con la palma frente a usted, abriendo los dedos medio, índice y pulgar (cerrando los dedos anular y meñique); apuntando el dedo medio hacia usted, el índice

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Módulo 1. Espacios vectoriales

hacia su derecha y el pulgar hacia arriba. Entonces en esta posición sus dedos señalarán las direcciones positivas del eje 𝑥 (dedo medio), eje 𝑦 (dedo índice) y eje 𝑧 (dedo pulgar).

Ejemplo 1.2. Si 𝑢⃗ = (1, −2, 4) y 𝑣 ⃗ = (3, 6, 0), entonces 𝑢,⃗ 𝑣 ⃗ ∈ ℝ3 y: 1. 𝑢⃗ + 𝑣 ⃗ = (4, 4, 4).

2. −√2𝑢⃗ = (−√2, 2√2, −4√2).

3. 𝑢⃗ ⋅ 𝑣 ⃗ = (1)(3) + (−2)(6) + (4)(0) = 3 − 12 + 0 = −9.

4. ‖𝑢‖⃗ = √12 + (−2)2 + 42 = √21.

•

Ejemplo 1.3. Si 𝑢⃗ = (−1, 2, 5, 9), 𝑣 ⃗ = (2, −4, 0, 3) ∈ ℝ4 : 1. 𝑢⃗ ⋅ 𝑣 ⃗ = −2 − 8 + 27 = 17.

2. 𝑢⃗ + (−2)𝑣 ⃗ = (−1, 2, 5, 9) + (−4, 8, 0, −6) = (−5, 10, 5, 3).

3. ‖𝑣‖⃗ = (4 + 16 + 9)1/2 = √29.

•

A continuación enunciamos, sin demostrar, las propiedades algebraicas esenciales de ℝ𝑛 .

Utilizando la conmutatividad, asociatividad, etc. de los números reales y la definición de igualdad de vectores, el lector puede fácilmente verificarlas. De hecho, como veremos más adelante, dichas propiedades también se pueden observar en otros conjuntos que llamaremos espacios vectoriales.

Propiedades de espacio vectorial de ℝ𝑛 Si 𝑢,⃗ 𝑣,⃗ 𝑤⃗ ∈ ℝ𝑛 y 𝜆, 𝛽 ∈ ℝ entonces: 1. 𝑢⃗ + 𝑣 ⃗ ∈ ℝ𝑛 . (La suma es cerrada) 2. 𝑢⃗ + (𝑣 ⃗ + 𝑤)⃗ = (𝑢⃗ + 𝑣)⃗ + 𝑤.⃗ (Asociatividad de la suma) 3. 𝑢⃗ + 𝑣 ⃗ = 𝑣 ⃗ + 𝑢.⃗ (Conmutatividad de la suma) 4. Si 0⃗ℝ𝑛 = (0, 0, … , 0), 0⃗ℝ𝑛 ∈ ℝ𝑛 y 𝑢⃗ + 0⃗ℝ𝑛 = 𝑢,⃗ ∀𝑢⃗ ∈ ℝ𝑛 . (Existencia del neutro ⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟ 𝑛 aditivo) 5. Dado 𝑢⃗ = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) ∈ ℝ𝑛 , existe −𝑢⃗ ∈ ℝ𝑛 tal que 𝑢⃗ + (−𝑢)⃗ = 0⃗ℝ𝑛 . De hecho, −𝑢⃗ = (−𝑥1 , −𝑥2 , … , −𝑥𝑛 ). (Existencia del inverso aditivo) 6. 𝜆𝑢⃗ ∈ ℝ𝑛 . (El producto por un escalar es cerrado) 7. 𝜆(𝛽𝑢)⃗ = (𝜆𝛽)𝑢.⃗ (Asociatividad del producto con escalares) 8. (𝜆 + 𝛽)𝑢⃗ = 𝜆𝑢⃗ + 𝛽𝑢.⃗ (Distributividad del producto respecto a la suma de escalares) 9. 𝜆(𝑢⃗ + 𝑣)⃗ = 𝜆𝑢⃗ + 𝜆𝑣.⃗ (Distributividad del producto respecto a la suma de vectores) 10. 1𝑢⃗ = 𝑢,⃗ ∀𝑢⃗ ∈ ℝ𝑛 . (Preservación de la escala)

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1.1 Geometría de los Espacios ℝ𝑛

Definición 1.4. Sean 𝑢,⃗ 𝑣 ⃗ ∈ ℝ𝑛 , se define y denota la diferencia entre el vector 𝑢⃗ y el vector 𝑣 ⃗ (“ 𝑢⃗ menos 𝑣 ⃗ ”) como 𝑢⃗ − 𝑣 ⃗ = 𝑢⃗ + (−𝑣)⃗ Ejemplo 1.4. Por la propiedad 5, si 𝑣 ⃗ = (1, −1, 2, 1, −3), entonces −𝑣 ⃗ = (−1, 1, −2, −1, 3); luego si 𝑢⃗ = (2, 1, −1, 0, 1), 𝑢⃗ − 𝑣 ⃗ = 𝑢⃗ + (−𝑣)⃗ = (2, 1, −1, 0, 1) + (−1, 1, −2, −1, 3) = (1, 2, −3, −1, 4).

•

Definición 1.5. Si 𝑢,⃗ 𝑣 ⃗ ∈ ℝ𝑛 , se define la distancia entre estos vectores como la norma de su diferencia; esto es, d(𝑢,⃗ 𝑣)⃗ = ‖𝑢⃗ − 𝑣‖⃗ Es fácil comprobar que ‖−𝑢‖⃗ = ‖𝑢‖⃗ y −(𝑢⃗ − 𝑣)⃗ = 𝑣 ⃗ − 𝑢;⃗ en consecuencia ‖𝑢⃗ − 𝑣‖⃗ = ‖𝑣 ⃗ − 𝑢‖⃗ y, por tanto, d(𝑢,⃗ 𝑣)⃗ = d(𝑣,⃗ 𝑢). ⃗ Ejemplo 1.5. Calcular la distancia entre los vectores: 1. 𝑢⃗ = (1, −2, 1) y 𝑣 ⃗ = (−2, 1, 1).

2. 𝑢⃗ = (−1, 0, 2, 3, 1) y 𝑣 ⃗ = (1, 1, −4, 2, 0).

•

Solución ▶ 1. d(𝑢,⃗ 𝑣)⃗ = ‖𝑢⃗ − 𝑣‖⃗ = ‖(1, −2, 1) − (−2, 1, 1)‖ = ‖(3, −3, 0)‖ = 3√2.

2. d(𝑢,⃗ 𝑣)⃗ = ‖𝑢⃗ − 𝑣‖⃗ = ‖(−1, 0, 2, 3, 1) − (1, 1, −4, 2, 0)‖ = ‖(−2, −1, 6, 1, 1)‖ = √43.

◀

El producto escalar tiene las siguientes importantes propiedades que son sencillas de probar y cuyas demostraciones se dejan al lector.

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Módulo 1. Espacios vectoriales

Propiedades del producto punto Sean 𝑢,⃗ 𝑣,⃗ 𝑤⃗ ∈ ℝ𝑛 y 𝜆 ∈ ℝ, entonces: 1. 𝑢⃗ ⋅ 𝑣 ⃗ = 𝑣 ⃗ ⋅ 𝑢⃗ (simetría).

2. 𝑢⃗ ⋅ (𝜆𝑣)⃗ = 𝜆 (𝑢⃗ ⋅ 𝑣)⃗ (homogeneidad).

3. 𝑢⃗ ⋅ (𝑣 ⃗ + 𝑤)⃗ = 𝑢⃗ ⋅ 𝑣 ⃗ + 𝑢⃗ ⋅ 𝑤⃗ (distributividad).

4. 𝑢⃗ ⋅ 𝑢⃗ ≥ 0 y 𝑢⃗ ⋅ 𝑢⃗ = 0 ⇔ 𝑢⃗ = 0⃗ (positividad).

1.1.4 La desigualdad de Schwarz, ángulos entre vectores y ortogonalidad Es claro que la generalización natural de ángulo entre vectores en ℝ𝑛 debe estar dada por la fórmula 1 𝑢⃗ ⋅ 𝑣 ⃗ ]. 𝜃 = arc cos [ ‖𝑢‖⃗ ‖𝑣‖⃗ Pero, para que se pueda evaluar la función arc cos, es necesario que −1 ≤

𝑢⃗ ⋅ 𝑣 ⃗ ≤1 ‖𝑢‖⃗ ‖𝑣‖⃗

que evidentemente equivale a | 𝑢⃗ ⋅ 𝑣 ⃗ | ≤ ‖𝑢‖⃗ ‖𝑣‖. ⃗ Afortunadamente esta desigualdad es cierta y la probaremos en el teorema 1.1. Estaremos entonces facultados para generalizar el concepto de ángulo entre vectores en ℝ𝑛 para 𝑛 > 3. Para poder demostrar dicha desigualdad necesitamos de la sencilla proposición que a continuación damos (lema 1.1).

Lema 1.1. Si 𝑎, 𝑏 son cualquier par de números reales, entonces 2𝑎𝑏 ≤ 𝑎2 + 𝑏2 .

(1.5)

Demostración. En efecto, 0 ≤ (𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 ; de donde 2𝑎𝑏 ≤ 𝑎2 + 𝑏2 .

■

Teorema 1.1 (Desigualdad de Schwarz). Si 𝑢⃗ = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ), 𝑣 ⃗ = (𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑛 ) ∈ ℝ𝑛 , entonces: | 𝑢⃗ ⋅ 𝑣 ⃗ | ≤ ‖𝑢‖⃗ ‖𝑣‖⃗ (1.6)

1

Cf. 1.3, p. 6.

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1.1 Geometría de los Espacios ℝ𝑛

Demostración. Si 𝑢⃗ = 0⃗ℝ𝑛 o 𝑣 ⃗ = 0⃗ℝ𝑛 , claramente (1.6) es cierta. Supongamos que 𝑢,⃗ 𝑣 ⃗ ≠ 0⃗ℝ𝑛 ; sea 𝑖 ∈ {1, 2, … , 𝑛} arbitrario y pongamos 𝑎=

𝑥𝑖 𝑦 y𝑏= 𝑖 ‖𝑢‖⃗ ‖𝑣‖⃗

en el lema 1.1. Entonces, por (1.5), para todo 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 se tiene 2

2 Luego

2

𝑥𝑖 𝑦𝑖 𝑥 𝑦 ≤( 𝑖 ) +( 𝑖 ) . ‖𝑢‖⃗ ‖𝑣‖⃗ ‖𝑢‖⃗ ‖𝑣‖⃗

𝑛

𝑛

2

2

𝑥𝑖 𝑦𝑖 𝑥 𝑦 ≤ ∑ [( 𝑖 ) + ( 𝑖 ) ] ; ⃗ ‖𝑣‖⃗ ‖𝑢‖⃗ ‖𝑣‖⃗ 𝑖=1 ‖𝑢‖ 𝑖=1

2∑ esto es,

𝑛

𝑛

𝑛

2

2

2 𝑥 𝑥 ∑𝑥 𝑦 ≤ ∑( 𝑖 ) + ∑( 𝑖 ) , ‖𝑢‖⃗ ‖𝑣‖⃗ 𝑖=1 𝑖 𝑖 𝑖=1 ‖𝑢‖⃗ ‖ 𝑢‖⃗ 𝑖=1 que equivale a 𝑛

𝑛

𝑛

1 2 1 2 ∑ 𝑦𝑖2 ∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 ≤ 2 ∑ 𝑥𝑖 + ‖𝑢‖⃗ ‖𝑣‖⃗ 𝑖=1 ‖𝑢‖⃗ 𝑖=1 ‖𝑣‖⃗ 2 𝑖=1 1 1 = ⃗ 2+ ‖𝑣‖⃗ 2 2 ‖𝑢‖ ‖𝑢‖⃗ ‖𝑣‖⃗ 2 = 2; de donde

𝑛

∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 ≤ ‖𝑢‖⃗ ‖𝑣‖⃗ . 𝑖=1

Con lo que hemos probado 𝑢⃗ ⋅ 𝑣 ⃗ ≤ ‖𝑢‖⃗ ‖𝑣‖⃗

∀𝑢,⃗ 𝑣 ⃗

(1.7)

Entonces, por la homogeneidad del producto punto y la precedente desigualdad, tenemos − (𝑢⃗ ⋅ 𝑣)⃗ = (−𝑢)⃗ ⋅ 𝑣 ⃗ ≤ ‖−𝑢‖⃗ ‖𝑣‖⃗ = ‖𝑢‖⃗ ‖𝑣‖⃗ ; que significa 𝑢⃗ ⋅ 𝑣 ⃗ ≥ − ‖𝑢‖⃗ ‖𝑣‖⃗

(1.8)

De (1.7) y (1.8) se deduce |𝑢⃗ ⋅ 𝑣|⃗ ≤ ‖𝑢‖⃗ ‖𝑣‖⃗

∀𝑢,⃗ 𝑣 ⃗ ∈ ℝ𝑛 .

■

Ahora sí podemos definir, con base a la desigualdad de Schwarz (1.6), el ángulo entre vectores de 𝑛 componentes; que es una generalización del concepto de ángulo entre vectores en el espacio de tres dimensiones y en el plano cartesiano.

Definición 1.6. Si 𝑢,⃗ 𝑣 ⃗ ∈ ℝ𝑛 − {0⃗ℝ𝑛 }, se define el ángulo entre estos vectores como: 𝜃 = arc cos [

𝑢⃗ ⋅ 𝑣 ⃗ ] ‖𝑢‖⃗ ‖𝑣‖⃗

(1.9)

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Módulo 1. Espacios vectoriales

Ejemplo 1.6. Hallar el ángulo 𝜃 entre los vectores (1, 2, 0, 2) y (−3, 1, 1, 5) de ℝ4 .

•

Solución ▶ (1, 2, 0, 2) ⋅ (−3, 1, 1, 5) ] √12 + 22 + 02 + 22 √(−3)2 + 12 + 12 + 52 9 1 ] = arc cos [ ] . = arc cos [ 3⋅6 2

𝜃 = arc cos [

Así, 𝜃 = 60∘ .

◀

Una vez que se ha definido el concepto de ángulo entre vectores, se puede determinar cuando un par de éstos son perpendiculares; la manera de generalizar esta idea a ℝ𝑛 la hacemos patente a continuación. Notemos, de (1.9), que el ángulo entre dos vectores es de 90∘ si y sólo si su producto punto es cero.

Definición 1.7.

1. Dos vectores 𝑢,⃗ 𝑣 ⃗ ∈ ℝ𝑛 son ortogonales (perpendiculares) si 𝑢⃗ ⋅ 𝑣 ⃗ = 0 ;

es decir, si el ángulo entre ellos es de 90∘ . Cuando 𝑢⃗ y 𝑣 ⃗ sean ortogonales lo denotaremos por 𝑢⃗ ⟂ 𝑣.⃗ 2. 𝑢⃗ y 𝑣 ⃗ son paralelos (𝑢⃗ ‖ 𝑣)⃗ si 𝑢⃗ ⋅ 𝑣 ⃗ = ±‖𝑢‖⃗ ‖𝑣‖, ⃗ lo que equivale a que el ángulo entre ellos sea de 0∘ o 180∘ .

Teorema de Pitágoras Quizá uno de los más importantes y conspicuos resultados de las matemáticas, conocido y usado en forma empírica desde el inicio de la civilización (Babilonia, Egipto), luego convertido en una afirmación general y probado en forma completamente rigurosa por los griegos, es el teorema de Pitágoras. Se enseña en educación elemental y a partir de ahí se hace uso sistemático de él. Sin embargo; la mayor parte de la gente que usa este teorema desconoce alguna demostración porque se requieren de varios resultados elementales de geometría para poder establecer una prueba rigurosa. A continuación daremos una demostración muy simple de este importante teorema; de hecho es trivial, pues el material que hemos desarrollado hasta aquí nos proporciona una herramienta algebraica muy potente para atacar este problema geométrico transformándolo en un sencillo cálculo algebraico.

Teorema 1.2 (Teorema de Pitágoras). Sean 𝑢,⃗ 𝑣 ⃗ ∈ ℝ𝑛 un par de vectores ortogonales. Entonces ‖𝑢⃗ + 𝑣‖⃗ 2 = ‖𝑢‖⃗ 2 + ‖𝑣‖⃗ 2 .

Antes de dar la demostración de este teorema explicaremos qué tiene que ver con el teorema de Pitágoras que el lector conoce; pues en apariencia no hay una relación directa. Sin embargo, si particularizamos al caso 𝑛 = 2 del plano cartesiano ℝ2 , resulta que ‖𝑢⃗ + 𝑣‖⃗ es la longitud de la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos tienen longitudes ‖𝑢‖⃗ y ‖𝑣‖⃗ como se ilustra en la figura 1.12.

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1.1 Geometría de los Espacios ℝ𝑛

⃗+ ‖𝑢

𝑣‖⃗

‖𝑣‖⃗

‖𝑢‖⃗ FIGURA 1.12

El teorema de Pitágoras establece que en cualquier triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

Demostración. Dado que 𝑢⃗ ⟂ 𝑣,⃗ se tiene 𝑢⃗ ⋅ 𝑣 ⃗ = 0; luego ‖𝑢⃗ + 𝑣‖⃗ 2 = (𝑢⃗ + 𝑣)⃗ ⋅ (𝑢⃗ + 𝑣)⃗ = 𝑢⃗ ⋅ 𝑢⃗ + 𝑢⃗ ⋅ 𝑣 ⃗ + 𝑣 ⃗ ⋅ 𝑢⃗ + 𝑣 ⃗ ⋅ 𝑣 ⃗ = ‖𝑢‖⃗ 2 + 2𝑢⃗ ⋅ 𝑣 ⃗ + ‖𝑣‖⃗ 2 = ‖𝑢‖⃗ 2 + 0 + ‖𝑣‖⃗ 2 = ‖𝑢‖⃗ 2 + ‖𝑣‖⃗ 2 .

■

Propiedades de la norma en ℝ𝑛 Uno de los conceptos más importantes en matemáticas es el de proximidad; y la forma de medir la proximidad entre puntos es por medio de la distancia. En ℝ el valor absoluto es la herramienta usada para medir la distancia entre números reales. Recordemos que el valor absoluto tiene las siguientes propiedades: 1. |𝑥| ≥ 0 ∀𝑥 ∈ ℝ.

2. |𝑥| = 0 ⇔ 𝑥 = 0.

3. |𝜆𝑥| = |𝜆| |𝑥|.

4. |𝑥 + 𝑦| ≤ |𝑥| + |𝑦| (desigualdad triangular).

Entonces, la distancia entre un par de números 𝑥 y 𝑦 se define como el valor absoluto de su diferencia. En ℝ𝑛 la norma es la manera natural para definir proximidad entre vectores por medio de la distancia entre ellos. A partir de las propiedades 1, 2, 3 y 4 del valor absoluto, enunciadas arriba, se pueden deducir todas las demás propiedades que tiene el valor absoluto. De hecho, estas mismas propiedades las tiene la norma en ℝ𝑛 y también cualquier otra propiedad de la norma se puede deducir a partir de éstas.

Teorema 1.3 (Propiedades de la norma en ℝ𝑛 ). La norma en ℝ𝑛 tiene las siguientes propiedades: 1. ‖𝑢‖⃗ ≥ 0

∀𝑢⃗ ∈ ℝ𝑛 .

2. ‖𝑢‖⃗ = 0 ⇔ 𝑢⃗ = 0⃗ℝ𝑛 .

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Módulo 1. Espacios vectoriales

3. ‖𝜆𝑢‖⃗ = |𝜆| ‖𝑢‖⃗

∀𝑢⃗ ∈ ℝ𝑛 , ∀𝜆 ∈ ℝ.

4. ‖𝑢⃗ + 𝑣‖⃗ ≤ ‖𝑢‖⃗ + ‖𝑣‖⃗

∀𝑢,⃗ 𝑣 ⃗ ∈ ℝ𝑛 (desigualdad triangular).

Demostración.

1/2 2 (∑ 𝑥𝑖 ) 𝑖=1 𝑛

𝑛

1. Si 𝑢⃗ = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) ∈ ℝ , entonces ‖𝑢‖⃗ =

≥ 0.

2. Si 𝑢⃗ = 0⃗ℝ𝑛 , claramente ‖𝑢‖⃗ = 0. Supongamos inversamente que 𝑢⃗ = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) ∈ ℝ𝑛 𝑛 es tal que ‖𝑢‖⃗ = 0, entonces ∑𝑖=1 𝑥𝑖2 = 0; de donde 𝑥𝑖2 = 0 ∀𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 y, por tanto, 𝑢⃗ = 0⃗ℝ𝑛 .

3. Si 𝑢⃗ = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) ∈ ℝ𝑛 y 𝜆 ∈ ℝ, entonces ‖𝜆𝑢‖⃗ = ‖(𝜆𝑥1 , 𝜆𝑥2 , … , 𝜆𝑥𝑛 )‖ 1/2

𝑛 2

= (∑(𝜆𝑥𝑖 ) ) 𝑖=1 1/2 2 2 (∑ 𝜆 𝑥𝑖 ) 𝑖=1 1/2 𝑛 2 2 (𝜆 ∑ 𝑥𝑖 ) 𝑖=1 1/2 𝑛 2 |𝜆| (∑ 𝑥𝑖 ) 𝑖=1 𝑛

= = =

= |𝜆| ‖𝑢‖⃗ .

4. Si 𝑢,⃗ 𝑣 ⃗ ∈ ℝ𝑛 , entonces ‖𝑢⃗ + 𝑣‖⃗ 2 = (𝑢⃗ + 𝑣)⃗ ⋅ (𝑢⃗ + 𝑣)⃗ = 𝑢⃗ ⋅ 𝑢⃗ + 𝑢⃗ ⋅ 𝑣 ⃗ + 𝑣 ⃗ ⋅ 𝑢⃗ + 𝑣 ⃗ ⋅ 𝑣 ⃗ = ‖𝑢‖⃗ 2 + 2 (𝑢⃗ ⋅ 𝑣)⃗ + ‖𝑣‖⃗ 2 .

De la desigualdad de Schwarz se tiene que 𝑢⃗ ⋅ 𝑣 ⃗ ≤ ‖𝑢‖⃗ ‖𝑣‖⃗ y por tanto ‖𝑢⃗ + 𝑣‖⃗ 2 ≤ ‖𝑢‖⃗ 2 + 2 ‖𝑢‖⃗ ‖𝑣‖⃗ + ‖𝑣‖⃗ 2 ; esto es, ‖𝑢⃗ + 𝑣‖⃗ 2 ≤ (‖𝑢‖⃗ + ‖𝑣‖) ⃗ 2.

De donde, ‖𝑢⃗ + 𝑣‖⃗ ≤ ‖𝑢‖⃗ + ‖𝑣‖⃗ .

■

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1.1 Geometría de los Espacios ℝ𝑛

17

La desigualdad triangular recibe este nombre porque en el caso de vectores en ℝ2 (o en ℝ3 ), significa que en todo triángulo la longitud de cualquiera de sus lados es inferior a la suma de las longitudes de los otros dos lados; como ilustramos en la figura 1.13 ‖𝑣‖⃗ 𝑣⃗

𝑢⃗

‖𝑢‖⃗

‖𝑢⃗ + 𝑣‖⃗ ‖𝑢‖⃗ + ‖𝑣‖⃗ FIGURA 1.13

Desigualdad triangular: en todo triángulo la longitud de cualquiera de sus lados es inferior a la suma de las longitudes de sus otros dos lados.

Planos en ℝ3 Supongamos que un plano 𝑃 pasa por el punto 𝑢⃗0 = (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) y es ortogonal al vector 𝜂⃗ = (𝑎, 𝑏, 𝑐); es decir, 𝜂⃗ es perpendicular a toda línea recta contenida en el plano 𝑃. Sea 𝑢⃗ = (𝑥, 𝑦, 𝑧) un punto cualquiera del plano 𝑃 (cf. figura 1.14). ✻ 𝜂⃗

𝑃

▼ 𝑢0⃗

✒

𝜂⃗

q ✯ 𝑢⃗

▼ ✲ q 𝑢⃗ − 𝑢0⃗

✠ FIGURA 1.14

Un plano 𝑃 que pasa por un punto dado 𝑢⃗ = (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) y que es ortogonal a un vector 𝜂⃗ = (𝑎, 𝑏, 𝑐) .

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Módulo 1. Espacios vectoriales

Entonces 𝜂⃗ es perpendicular al segmento que une a los puntos 𝑢⃗0 y 𝑢;⃗ i.e., 𝜂⃗ ⟂ (𝑢⃗ − 𝑢⃗0 ). Por tanto, 𝜂⃗ ⋅ (𝑢⃗ − 𝑢⃗0 ) = 0 y, por ende, 𝑎 (𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑏 (𝑦 − 𝑦0 ) + 𝑐 (𝑧 − 𝑧0 ) = 0

(1.10)

es la ecuación que determina el lugar geométrico correspondiente al plano 𝑃. Esto significa que todo punto (𝑥, 𝑦, 𝑧) que pertenece al plano 𝑃 satisface la ecuación (1.10). Inversamente, toda solución (𝑥, 𝑦, 𝑧) de esta ecuación pertenece al plano 𝑃.

Es claro que la ecuación (1.10) equivale 2 a 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 𝑑

(1.11)

donde 𝑑 = 𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐𝑧0 .

Ejemplo 1.7. Encontrar la ecuación del plano que es ortogonal al vector 𝜂⃗ = (−1, 2, 4) y pasa por el punto 𝑢⃗ = (2, 1, 1).

• Solución ▶ La ecuación está dada por (1.10): (−1) (𝑥 − 2) + 2 (𝑦 − 1) + 4 (𝑧 − 1) = 0 que equivale a −𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 = 4.

◀

Ejemplo 1.8. Encontrar la ecuación del plano 𝑃 que pasa por los puntos 𝑢⃗ = (1, 0, 0), 𝑣 ⃗ = (0, 1, 0) y 𝑤⃗ = (0, 0, 1).

• Solución ▶ El plano debe contener a los tres puntos y, por definición geométrica de plano, también debe contener a los segmentos de línea que unen a dichos puntos; dos de ellos son 𝑢⃗𝑣 ⃗ y 𝑢⃗𝑤.⃗ Si 𝜂⃗ = (𝑎, 𝑏, 𝑐) es un vector ortogonal al plano, entonces 𝜂⃗ debe ser perpendicular a estos dos segmentos. Así que 𝜂⃗ ⟂ (𝑢⃗ − 𝑣)⃗ y 𝜂⃗ ⋅ (𝑢⃗ − 𝑤)⃗ por lo que 𝜂⃗ ⋅ (𝑢⃗ − 𝑣)⃗ = 0 y 𝜂⃗ ⋅ (𝑢⃗ − 𝑤)⃗ = 0. Esto es (1, −1, 0) ⋅ (𝑎, 𝑏, 𝑐) = 0 (1, 0, −1) ⋅ (𝑎, 𝑏, 𝑐) = 0; es decir, 𝑎−𝑏=0 𝑎 − 𝑐 = 0.

Resolvamos ahora el sistema homogéneo anterior: [

1 −1 0 1 −1 0 ]∼[ ], 1 0 −1 0 1 −1

2

Es obvio que las ecuaciones (1.10) y (1.11) no son únicas en cuanto a la descripción algebraica de un plano como lugar geométrico. En realidad cualquier otra ecuación algebraica que cumpla con ese objetivo será equivalente a (1.10) y (1.11) en el sentido de que tienen las mismas soluciones y, por ende, describen el mismo lugar geométrico; el plano en cuestión.

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1.2 Espacios Vectoriales

que produce las soluciones 𝑎 𝑟 [ 𝑏 ] = [ 𝑟 ] ; 𝑟 ∈ ℝ. [ 𝑐 ] [ 𝑟 ] Una solución particular es el vector 𝜂⃗ = (1, 1, 1) obtenida al hacer 𝑟 = 1. Así, el plano que pasa por estos puntos, es ortogonal al vector 𝜂⃗ = (1, 1, 1) y contiene al punto (1, 0, 0); por tanto, al utilizar (1.10), tenemos (1) (𝑥 − 1) + (1) (𝑦 − 0) + (1) (𝑧 − 0) = 0 que equivale a 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1.

Este plano viene bosquejado en la figura 1.15.

◀

𝑧

𝑃

𝑤⃗ 𝑣⃗

𝑦

𝑢⃗ 𝑥

FIGURA 1.15

Plano que pasa por los puntos 𝑢⃗ = (1, 0, 0), 𝑣 ⃗ = (0, 1, 0) y 𝑤⃗ = (0, 0, 1).

1.2 Espacios Vectoriales Las matrices tienen, con la suma y el producto por un escalar usuales, las mismas diez propiedades 3 que las de espacio vectorial 4 de ℝ𝑛 . Así, las generalizaciones algebraicas del plano y del espacio tienen un símil con un conjunto aparentemente sin conexión con ellos. Como veremos en esta sección, el de las matrices no es un caso aislado y, al contrario, existe una gran variedad de conjuntos en los que se han definido las operaciones suma entre sus elementos y multiplicación de números reales con estos elementos, que también satisfacen las citadas diez condiciones. Todos estos conjuntos tienen en común las propiedades mencionadas y, por tanto, lo que se derive de ellas dependerá de las mismas y no de los elementos que particularmente formen determinada colección. Por ello surge la necesidad de estudiar este tipo de conjuntos, con sus respectivas operaciones, en abstracto y no caso por caso de manera aislada. De esta forma, lo que haremos primeramente es abstraer estas diez propiedades como característica esencial de lo que llamaremos espacio vectorial, y entonces podremos derivar, a partir de las mismas, consecuencias generales 3 4

Cf. referencia bibliográfica 2, módulo 1.

Cf. §1.1.3, p. 7.

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Módulo 1. Espacios vectoriales

en este espacio abstracto que serán entonces válidas, dado que dependen solamente de las propiedades de las operaciones y no de los elementos de cada colección, en todos los conjuntos que cumplan con esas diez propiedades.

1.2.1 Definiciones y ejemplos Definición 1.8. Sea E un conjunto no vacío donde se han definido un par de operaciones: suma entre sus elementos, representada como 𝑢⃗ ⊕ 𝑣;⃗ y multiplicación (o producto) de escalares (números reales) con elementos de E, representada como 𝛼 ⊙ 𝑢.⃗ Entonces a E se le llama espacio vectorial (real) si se cumplen las diez siguientes condiciones (axiomas de espacio vectorial): 1. 𝑢⃗ ⊕ 𝑣 ⃗ ∈ E

∀𝑢,⃗ 𝑣 ⃗ ∈ E. (La suma es cerrada)

2. 𝑢⃗ ⊕ (𝑣 ⃗ ⊕ 𝑤)⃗ = (𝑢⃗ ⊕ 𝑣)⃗ ⊕ 𝑤⃗ ∀𝑢,⃗ 𝑣,⃗ 𝑤⃗ ∈ E. (Asociatividad de la suma) 3. 𝑢⃗ ⊕ 𝑣 ⃗ = 𝑣 ⃗ ⊕ 𝑢⃗ ∀𝑢,⃗ 𝑣 ⃗ ∈ E. (Conmutatividad de la suma) 4. Existe un elemento 0⃗E ∈ E tal que 𝑢⊕ ⃗ 0⃗E = 𝑢⃗ ∀𝑢⃗ ∈ E. (Existencia del neutro aditivo) 5. Para cada 𝑢⃗ ∈ E existe −𝑢⃗ ∈ E tal que 𝑢⃗ ⊕ (−𝑢)⃗ = 0⃗E . (Existencia del inverso aditivo) 6. 𝜆 ⊙ 𝑢⃗ ∈ E

∀𝜆 ∈ ℝ, ∀𝑢⃗ ∈ E. (La multiplicación con escalares es cerrada)

7. 𝜆⊙(𝛽⊙ 𝑢)⃗ = (𝜆𝛽)⊙ 𝑢⃗ ∀𝜆, 𝛽 ∈ ℝ, ∀𝑢⃗ ∈ E. (Asociatividad del producto con escalares) 8. 𝜆 ⊙ (𝑢⃗ ⊕ 𝑣)⃗ = (𝜆 ⊙ 𝑢)⃗ ⊕ (𝜆 ⊙ 𝑣)⃗ ∀𝜆 ∈ ℝ, ∀𝑢,⃗ 𝑣 ⃗ ∈ E. (Distributividad del producto con respecto a la suma de vectores) 9. (𝜆 + 𝛽) ⊙ 𝑢⃗ = (𝜆 ⊙ 𝑢)⃗ ⊕ (𝛽 ⊙ 𝑢)⃗ ∀𝜆, 𝛽 ∈ ℝ, ∀𝑢⃗ ∈ E. (Distributividad del producto con respecto a la suma de escalares) 10. 1 ⊙ 𝑢⃗ = 𝑢⃗ ∀𝑢⃗ ∈ E. (Preservación de la escala) A los elementos de E les llamaremos vectores.

Ejemplo 1.9. ℝ𝑛 , con la suma usual de vectores y la multiplicación de un escalar por un vector, esto es, si 𝑢⃗ = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ), 𝑣 ⃗ = (𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑛 ) y 𝜆 es un número real, 𝑢⃗ ⊕ 𝑣 ⃗ = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) + (𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑛 ) = (𝑥1 + 𝑦1 , 𝑥2 + 𝑦2 , … , 𝑥𝑛 + 𝑦𝑛 ), 𝜆 ⊙ 𝑢⃗ = 𝜆(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) = (𝜆𝑥1 , 𝜆𝑥2 , … , 𝜆𝑥𝑛 ),

•

es un espacio vectorial.

Ejemplo 1.10. Sea E = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 > 0} dotado de las operaciones: 𝑢 ⊕ 𝑣 = 𝑢𝑣 𝜆 ⊙ 𝑢 = 𝑢𝜆

Así, por ejemplo, 2 ⊕ 3 = 2 ⋅ 3 = 6 y 2 ⊙ 3 = 32 = 9. ¿Es E, junto con estas operaciones, un espacio vectorial?

•

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1.2 Espacios Vectoriales

Solución ▶ Para contestar afirmativamente debemos probar que se verifican las diez propiedades de la definición anterior; y para dar una respuesta negativa se tiene que exhibir un caso en el cual una de ellas (por lo menos) no se cumpla.

1. Es claro de su definición que 𝑢 ⊕ 𝑣 ∈ E ∀𝑢, 𝑣 ∈ E, pues el producto de dos números positivos es también positivo.

2. ∀𝑢, 𝑣, 𝑤 ∈ E : (𝑢 ⊕ 𝑣) ⊕ 𝑤 = (𝑢𝑣) ⊕ 𝑤 = (𝑢𝑣)𝑤 = 𝑢(𝑣𝑤) = 𝑢 ⊕ (𝑣𝑤) = 𝑢 ⊕ (𝑣 ⊕ 𝑤).

3. ∀ 𝑢, 𝑣 ∈ E: 𝑢 ⊕ 𝑣 = 𝑢𝑣 = 𝑣𝑢 = 𝑣 ⊕ 𝑢.

4. Sea 0⃗E = 1 ∈ E. Entonces ∀ 𝑢 ∈ E: 𝑢 ⊕ 0⃗E = 𝑢0⃗E = 𝑢1 = 𝑢.

5. Si 𝑢 ∈ E, 𝑢 > 0 y por tanto 1/𝑢 > 0. Sea −𝑢 = 1/𝑢. Entonces −𝑢 ∈ E y 𝑢 ⊕ (−𝑢) = 𝑢(1/𝑢) = 1 = 0⃗E .

6. Si 𝜆 ∈ ℝ y 𝑢 ∈ E, entonces 𝜆 ⊙ 𝑢 = 𝑢𝜆 > 0 pues 𝑢 > 0, es decir, 𝜆 ⊙ 𝑢 ∈ E ∀𝑢, ∀ 𝜆 ∈ ℝ.

7. Si 𝜆, 𝛽 ∈ ℝ y 𝑢 ∈ E, 𝜆 ⊙ (𝛽 ⊙ 𝑢) = 𝜆 ⊙ (𝑢𝛽 ) = (𝑢𝛽 )𝜆 = 𝑢𝛽𝜆 = (𝜆𝛽) ⊙ 𝑢.

8. ∀𝑢, 𝑣 ∈ E, 𝜆 ∈ ℝ: 𝜆 ⊙ (𝑢 ⊕ 𝑣) = 𝜆 ⊙ (𝑢𝑣) = (𝑢𝑣)𝜆 = 𝑢𝜆 𝑣𝜆 = (𝜆 ⊙ 𝑢) ⊕ (𝜆 ⊙ 𝑣).

9. ∀ 𝜆, 𝛽 ∈ ℝ, ∀ 𝑢 ∈ E: (𝜆 + 𝛽) ⊙ 𝑢 = 𝑢𝜆+𝛽 = 𝑢𝜆 𝑢𝛽 = 𝑢𝜆 ⊕ 𝑣𝛽 = (𝜆 ⊙ 𝑢) ⊕ (𝛽 ⊙ 𝑢).

10. 1 ⊙ 𝑢 = 𝑢1 = 𝑢, ∀𝑢 ∈ E. Como se verifican los diez axiomas de espacio vectorial de la definición 1.8, E es un espacio vectorial. ◀ Ejemplo 1.11 (Espacio de matrices). 𝔐𝑚×𝑛 , el conjunto de matrices tamaño 𝑚 × 𝑛, con la suma de matrices y producto de un escalar con una matriz usuales, es un espacio vectorial. La demostración de este hecho se deja de ejercicio al lector.

• Ejemplo 1.12 (Espacio de polinomios). Si P es el conjunto de polinomios, con la suma y producto por un escalar usuales, P es un espacio vectorial; lo cual es fácil de probar y se deja de ejercicio al lector.

• Nota 1.5.

1. Observemos que en el ejemplo 1.9 no utilizamos la notación de poner una flecha encima de los vectores del espacio; pues las operaciones, como fueron definidas, involucraron el producto y la multiplicación de números reales positivos y el haber denotado a los elementos de esta manera podría haber causado confusión. En realidad, esto lo haremos cada vez que sea conveniente; así, por ejemplo, las matrices sólo las denotaremos con letras mayúsculas en lugar de emplear notación vectorial para el espacio 𝔐𝑚×𝑛 . También, a partir del final de esta nota, abandonaremos la notaciones ⊕ y ⊙ para la suma de vectores y la multiplicación de un escalar por un vector y simplemente escribiremos 𝑢⃗ + 𝑣,⃗ 𝜆𝑢⃗ en lugar de 𝑢⃗ ⊕ 𝑣 ⃗ y 𝜆 ⊙ 𝑢,⃗ respectivamente; pues el contexto de cada caso evitará cualquier confusión.

2. El axioma 10 de la definición 1.8 es en apariencia una propiedad de la que se podría prescindir; ya que es una característica que a simple vista se cumple “siempre” de

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Módulo 1. Espacios vectoriales

manera “natural”. Sin embargo, esta propiedad es imprescindible; pues existen casos en los que se pueden definir operaciones de suma de vectores y multiplicación con escalares que cumplen con los primeros 9 axiomas de la definición 1.8, pero no con el número 10. Por ejemplo, si en ℝ𝑛 se define la suma de vectores en forma usual, pero el producto por un escalar como 𝜆 ⊙ 𝑢⃗ = 0⃗ℝ𝑛 , para todo 𝜆 ∈ ℝ y para todo 𝑢⃗ ∈ ℝ𝑛 , es evidente que se cumplen los 9 primeros axiomas de espacio vectorial pero no el décimo. También es claro que este último conjunto con esas operaciones no tiene trascendencia alguna como son los casos de las matrices y el propio espacio ℝ𝑛 con las operaciones usuales. Evitar casos triviales y de nulo interés en la práctica es una, entre otras —aún más importantes— razones de ser del axioma 10 para el concepto de espacio vectorial.

Ejemplo 1.13 (Espacio de sucesiones). Sea ℝ∞ = {𝑢⃗ = (𝑎𝑛 )𝑛∈ℕ | 𝑢⃗ es una sucesión}; es decir, ℝ∞ es el conjunto de las sucesiones de números reales 𝑢⃗ = (𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 , … ). Con la suma de sucesiones y el producto de un escalar por una sucesión usuales; esto es, 1. (𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 , … ) + (𝑏1 , 𝑏2 , … , 𝑏𝑛 , … ) = (𝑎1 + 𝑏1 , 𝑎2 + 𝑏2 , … , 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 , … ), 2. 𝜆(𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 , … ) = (𝜆𝑎1 , 𝜆𝑎2 , … , 𝜆𝑎𝑛 , … ). ℝ∞ es un espacio vectorial como fácilmente puede comprobar el lector.

•

Espacios de funciones Sean 𝐴 y 𝐵 un par de conjuntos no vacíos. Una función 𝑓 con dominio 𝐴 y valores en 𝐵, es una regla que a cada elemento 𝑥 de 𝐴 le asigna un único elemento 𝑦 = 𝑓(𝑥) de 𝐵. Para denotar que 𝑓 es una función con dominio 𝐴 y valores en 𝐵 escribiremos 𝑓 ∶ 𝐴 ⟶ 𝐵.

La función o regla de asignación es 𝑓 y no debe confundirse con el valor de ésta en 𝑥: 𝑦 = 𝑓(𝑥).

En la última notación, a 𝑦 se le dice la variable dependiente o imagen de 𝑥 bajo 𝑓, 𝑥 es la variable independiente o argumento de la función 𝑓. Al conjunto 𝐵 se le denomina contradominio de la función.

Definición 1.9. Sean 𝑓, 𝑔 ∶ 𝐴 ⟶ 𝐵 un par de funciones de 𝐴 en 𝐵. Diremos que 𝑓 = 𝑔, si 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝐴.

Ejemplo 1.14. Sean 𝐴 = ℝ − {0}, 𝐵 = ℝ y 𝑓, 𝑔 ∶ 𝐴 ⟶ 𝐵 las funciones definidas como 𝑓(𝑥) =

|𝑥| 𝑥

y 𝑔(𝑥) = {

1, si 𝑥 > 0; −1, si 𝑥 < 0.

Si 𝑥 ∈ 𝐴 y 𝑥 > 0, 𝑓(𝑥) =

|𝑥| 𝑥 = = 1 = 𝑔(𝑥). 𝑥 𝑥

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1.2 Espacios Vectoriales

Si 𝑥 ∈ 𝐴 y 𝑥 < 0, |𝑥| −𝑥 = = −1 = 𝑔(𝑥). 𝑥 𝑥 Luego, 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝐴, por tanto 𝑓 = 𝑔. 𝑓(𝑥) =

•

Definición 1.10. Sea 𝐴 un conjunto no vacío. Denotamos por F (𝐴) al conjunto de las funciones 𝑓 ∶ 𝐴 ⟶ ℝ. Dotamos a F (𝐴) de las siguientes operaciones: Si 𝑓, 𝑔 ∈ F (𝐴), definimos la función 𝑓 + 𝑔 como (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝐴.

Si 𝑓 ∈ F (𝐴) y 𝜆 ∈ ℝ definimos la función 𝜆𝑓, como (𝜆𝑓)(𝑥) = 𝜆𝑓(𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝐴.

Diremos, entonces, que éstas son la suma y multiplicación por un escalar usuales en las funciones con dominio 𝐴 y valores reales.

Ejemplo 1.15. Sea 𝐴 = {𝑥 | 𝑥 es elemento del grupo MA0084302}, y 𝑓, 𝑔 ∈ F (𝐴) las funciones 𝑓(𝑥) = matrícula de 𝑥; 𝑔(𝑥) = calificación de 𝑥 en el primer examen parcial de la materia de álgebra lineal. Entonces, si la matrícula de Liliana es 447021, Liliana obtuvo 10 en el primer examen parcial, 𝑥 = Liliana y 𝜆 = .5: (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = 447021 + 10 = 447031, (𝜆𝑔)(𝑥) = 𝜆𝑔(Liliana) = .5 ⋅ 10 = 5.

Es decir, la función 𝑓 + 𝑔 es la regla que asigna la suma de la matrícula y la calificación del primer parcial a cada elemento de la clase de álgebra lineal. Mientras que la función 𝜆𝑔 asigna a cada elemento de 𝐴 el producto de 𝜆 con su calificación del primer parcial.

• Sean 𝑎, 𝑏 un par de números reales, 𝑎 < 𝑏 y 𝐴 = [𝑎, 𝑏], y sea 𝑓 ∶ 𝐴 → ℝ una función.

La letra 𝑓 representa la regla de asociación entre los puntos 𝑥 del intervalo 𝐴 = [𝑎, 𝑏] y los valores reales asignados 𝑦 = 𝑓(𝑥). Una ventaja que tienen las funciones de este tipo es que se pueden identificar con un ente geométrico, la gráfica de dicha función sobre 𝐴. En la figura 1.16 se bosqueja (hipotéticamente) la gráfica de la función 𝑓, ésta consiste en los pares ordenados (𝑥, 𝑓(𝑥)) con 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]; que al ubicarlos en el plano cuando 𝑥 recorre el intervalo forman la curva bosquejada en esta figura. Es conveniente que el lector tenga siempre presente, cuando trabaje con funciones de este tipo, identificar la función con su gráfica para fines de tener ideas concretas de la misma y no confundir el valor de la función 𝑓 en 𝑥, que hemos representado como 𝑦 = 𝑓(𝑥), con la propia función 𝑓.

𝑓 𝑓(𝑥)

𝑎 FIGURA 1.16

𝑥

𝑏

La gráfica de una función se puede identificar con la propia función.

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Módulo 1. Espacios vectoriales

Si 𝑓, 𝑔 ∶ 𝐴 → ℝ son un par de funciones, entonces la función 𝑓+𝑔 evaluada en 𝑥 ∈ 𝐴, es decir, (𝑓 + 𝑔)(𝑥), se obtiene sumando los valores de 𝑓 en 𝑥 y 𝑔 en 𝑥. Esto es, 5 (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥).

La gráfica de 𝑓 + 𝑔 se obtiene entonces sumando las “alturas” 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥) en cada 𝑥 ∈ 𝐴 y bosquejando el punto (𝑥, 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)) como se muestra en la figura 1.17. Así podemos pensar, geométricamente, que la función 𝑓 + 𝑔 es la correspondiente curva mostrada en esta figura.

𝑓+ 𝑔

𝑓

𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)

𝑔

𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) 𝑎

FIGURA 1.17

𝑥

𝑏

Las funciones 𝑓, 𝑔 y 𝑓 + 𝑔 representadas por sus correspondientes gráficas.

De manera análoga, si 𝜆 es un número real y 𝑓 ∶ 𝐴 → ℝ, la función 𝜆𝑓 se evalúa, en cada 𝑥 ∈ 𝐴, mediante el producto de números reales 𝜆𝑓(𝑥). De esta forma la gráfica de la función 𝜆𝑓 se obtiene, a partir de la gráfica de la función 𝑓, multiplicando cada una de las “alturas” 𝑓(𝑥) por 𝜆, en cada 𝑥 ∈ 𝐴, y bosquejando los puntos (𝑥, 𝜆𝑓(𝑥)) como se ilustra en la figura 1.18.

Evidentemente, en esencia, todo lo precedente sigue siendo válido si en lugar de un intervalo cerrado, 𝐴 es cualquier intervalo o, en general, cualquier subconjunto de ℝ.

𝜆𝑓 𝜆𝑓(𝑥)

𝑓 𝑓(𝑥)

𝑎 FIGURA 1.18

𝑥

𝑏

Las funciones 𝑓 y 𝜆𝑓 representadas por sus correspondientes gráficas.

Ejemplo 1.16 (Espacio de funciones). Si 𝐴 es cualquier conjunto no vacío mostrar que F (𝐴), junto con las operaciones dadas en la definición 1.10, p. 23, es un espacio vectorial; el llamado espacio de las funciones con dominio 𝐴 y valores reales.

• 5 El lector debe tener mucho cuidado en no confundirse al pensar que (𝑓+𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥) es “una distribución de un producto con la suma de números”; pues esta interpretación evidentemente no tiene sentido.

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1.2 Espacios Vectoriales

Demostración.

1. Claramente, de la definición de suma de funciones: 𝑓, 𝑔 ∈ F (𝐴) ⇒ 𝑓 + 𝑔 ∈ F (𝐴) .

2. Si 𝑓, 𝑔, ℎ ∈ F (𝐴) y 𝑥 es cualquier elemento de 𝐴, [𝑓 + (𝑔 + ℎ)](𝑥) = 𝑓(𝑥) + (𝑔 + ℎ)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + (𝑔(𝑥) + ℎ(𝑥)) = (𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)) + ℎ(𝑥), así que,6 𝑓 + (𝑔 + ℎ) = (𝑓 + 𝑔) + ℎ.

3. Si 𝑓, 𝑔 ∈ F (𝐴) y 𝑥 ∈ 𝐴 es cualquier elemento, tenemos (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥) = (𝑔 + 𝑓)(𝑥), y, por ende, 𝑓 + 𝑔 = 𝑔 + 𝑓.

4. Sea 𝜃 ∶ 𝐴 ⟶ ℝ la función en F (𝐴), definida como 𝜃(𝑥) = 0 ∀𝑥 ∈ 𝐴. Entonces, para toda 𝑓 ∈ F (𝐴) y para todo 𝑥 ∈ 𝐴: (𝑓 + 𝜃)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝜃(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 0 = 𝑓(𝑥), por ende, 𝑓 + 𝜃 = 𝑓.

5. Si 𝑓 ∈ F (𝐴), sea −𝑓 ∶ 𝐴 ⟶ ℝ la función definida, para cada 𝑥 ∈ 𝐴, de la manera (−𝑓)(𝑥) = −𝑓(𝑥). Entonces (𝑓 + (−𝑓))(𝑥) = 𝑓(𝑥) + (−𝑓)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + (−𝑓(𝑥)) = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥) = 0 = 𝜃(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐴; es decir, 𝑓 + (−𝑓) = 𝜃.

6. Claramente 𝜆𝑓 ∈ F (𝐴) ∀𝑓 ∈ F (𝐴) y ∀𝜆 ∈ ℝ.

7. Si 𝜆, 𝛽 ∈ ℝ y 𝑓 ∈ F (𝐴), para cada 𝑥 ∈ 𝐴, (𝜆(𝛽𝑓))(𝑥) = 𝜆(𝛽𝑓)(𝑥) = 𝜆(𝛽𝑓(𝑥)) = (𝜆𝛽)𝑓(𝑥), de donde 𝜆(𝛽𝑓) = (𝜆𝛽)𝑓.

8. ∀𝜆 ∈ ℝ, ∀𝑓, 𝑔 ∈ F (𝐴) y para cada 𝑥 ∈ 𝐴: [𝜆(𝑓 + 𝑔)](𝑥) = 𝜆(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝜆(𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)) = 𝜆𝑓(𝑥) + 𝜆𝑔(𝑥) = (𝜆𝑓 + 𝜆𝑔)(𝑥); i.e., 𝜆(𝑓 + 𝑔) = 𝜆𝑓 + 𝜆𝑔.

9. Si 𝜆, 𝛽 ∈ ℝ y 𝑓 ∈ F (𝐴), para todo 𝑥 ∈ 𝐴, ((𝜆 + 𝛽)𝑓)(𝑥) = (𝜆 + 𝛽)𝑓(𝑥) = 𝜆𝑓(𝑥) + 𝛽𝑓(𝑥) = (𝜆𝑓 + 𝛽𝑓)(𝑥), lo que implica (𝜆 + 𝛽)𝑓 = 𝜆𝑓 + 𝛽𝑓.

6

Aquí hemos utilizado los hechos de que 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥), ℎ(𝑥) son números reales y en éstos hay asociatividad. El lector debe notar que en el transcurso de esta demostración utilizaremos las propiedades de los números reales y que los valores de las funciones son también reales.

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Módulo 1. Espacios vectoriales

10. Si 𝑓 ∈ F (𝐴), para todo 𝑥 ∈ 𝐴, (1 𝑓)(𝑥) = 1 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥), es decir, 1 𝑓 = 𝑓.

■

Cuando 𝐴 = [𝑎, 𝑏] es un intervalo, F (𝐴) es el conjunto de todas las funciones cuya gráfica está contenida en la franja [𝑎, 𝑏]×ℝ. En la figura 1.19 (i) hemos bosquejado algunos de sus elementos.

En la misma figura (ii) ilustramos la interpretación geométrica del neutro aditivo 𝜃, la función constante cero (en verde) del espacio F ([𝑎, 𝑏]). También en esta última figura hemos bosquejado el inverso aditivo para una función dada 𝑓; el cual se obtiene gráficamente reflejando sobre el eje 𝑥 la gráfica de la función 𝑓, como el lector fácilmente puede convencerse por sí mismo recordando la interpretación dada en la figura 1.17 para la suma usual de funciones.

𝑓 𝑎

𝑏

𝑎

𝜃

𝑏

−𝑓 (i) FIGURA 1.19

(ii)

(i) El espacio vectorial F ([𝑎, 𝑏]) consiste de todas las funciones cuya gráfica está contenida en la franja (𝑥, 𝑦) con 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] y 𝑦 ∈ ℝ es decir, la franja [𝑎, 𝑏] × ℝ. (ii) El neutro aditivo de este espacio, 𝜃, es la función constante cero (𝜃(𝑥) = 0 ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]) cuya gráfica se encuentra en color verde; y el inverso aditivo de una función 𝑓 se encuentra reflejando su gráfica sobre el eje 𝑥.

Nota 1.6. Cabe notar que la demostración de que F (𝐴) sea un espacio vectorial no depende de las características del conjunto 𝐴, sino del hecho que sus elementos son funciones con valores en ℝ y de que los números reales tienen estructura de espacio vectorial.

Por ende, si sustituimos ℝ por un espacio vectorial arbitrario F (𝐴) seguirá siendo un espacio vectorial E. Lo mismo sucede si ponemos cualquier conjunto concreto en lugar de 𝐴.

1.2.2 Propiedades elementales de los espacios vectoriales Como ya mencionamos al principio de esta sección, trabajaremos con un espacio vectorial abstracto para establecer propiedades que se infieran únicamente de los diez axiomas de espacio vectorial dados en la definición 1.8, y entonces estas deducciones serán válidas para cualquier espacio vectorial concreto. Llevaremos esto a cabo a través de lo que resta de este libro y no volveremos a hacer más énfasis en esta estrategia natural. Las primeras propiedades quedan establecidas en el siguiente teorema.

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1.2 Espacios Vectoriales

Teorema 1.4 (Propiedades elementales de espacio vectorial). Sea E un espacio vectorial.

Entonces: 1. 0⃗E es único. Es decir, sólo existe un elemento en E que al sumarlo con cualquier otro elemento del espacio da como resultado este último.

2. −𝑢⃗ es único para cada 𝑢⃗ ∈ E. Esto es, cada elemento del espacio tiene exactamente un inverso aditivo.

3. 𝑢⃗ + 𝑣 ⃗ = 𝑢⃗ + 𝑤⃗ ⇒ 𝑣 ⃗ = 𝑤.⃗ A esta propiedad se le llama ley de cancelación.

4. 0 𝑢⃗ = 0⃗E para todo 𝑢⃗ ∈ E. 5. 𝜆0⃗E = 0⃗E

∀𝜆 ∈ ℝ.

6. (−1)𝑢⃗ = −𝑢⃗ ∀𝑢⃗ ∈ E. 7. 𝑢⃗ + 𝑢⃗ = 2𝑢⃗ ∀𝑢⃗ ∈ E.

𝑛

8. Si 𝑛 es un entero, ⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞ 𝑢⃗ + 𝑢⃗ + ⋯ + 𝑢⃗ = 𝑛𝑢⃗ ∀𝑢⃗ ∈ E. 9. Si 𝛼 ∈ ℝ y 𝑢⃗ ∈ E, entonces 𝛼𝑢⃗ = 0⃗E ⇔ 𝛼 = 0 ó 𝑢⃗ = 0⃗E .

Demostración.

1. Sea 𝜑 ∈ E tal que 𝑢⃗ + 𝜑 = 𝑢⃗ ∀ 𝑢⃗ ∈ E, entonces 𝜑 = 0⃗E + 𝜑 = 0⃗E ; por tanto 𝜑 = 0⃗E .

2. Si 𝑢⃗ ∈ E y 𝑢⃗1 ∈ E satisface 𝑢⃗ + 𝑢⃗1 = 0⃗E , entonces ⃗ = (𝑢⃗1 + 𝑢)⃗ + (−𝑢)⃗ = 0⃗E + (−𝑢)⃗ = −𝑢.⃗ 𝑢⃗1 = 𝑢⃗1 + 0⃗E = 𝑢⃗1 + (𝑢⃗ + (−𝑢)) 3. 𝑢⃗ + 𝑣 ⃗ = 𝑢⃗ + 𝑤⃗ ⇒ ((−𝑢)⃗ + 𝑢)⃗ + 𝑣 ⃗ = ((−𝑢)⃗ + 𝑢)⃗ + 𝑤⃗ ⇒ 0⃗E + 𝑣 ⃗ = 0⃗E + 𝑤⃗ ⇒ 𝑣 ⃗ = 𝑤.⃗ 4. 0 𝑢⃗ = (0 + 0)𝑢⃗ = 0 𝑢⃗ + 0 𝑢,⃗ y ya que 0 𝑢⃗ = 0 𝑢⃗ + 0⃗E , tenemos 0⃗E + 0 𝑢⃗ = 0 𝑢⃗ + 0 𝑢;⃗ de la propiedad (3) se tiene 0⃗E = 0 𝑢.⃗ 5. 𝜆 0⃗E = 𝜆(0 0⃗E ) = (𝜆 ⋅ 0)0⃗E = 0 0⃗E = 0⃗E .

6. 𝑢⃗ + (−1)𝑢⃗ = (1 + (−1))𝑢⃗ = 0 𝑢⃗ = 0⃗E , y dado que −𝑢⃗ es único, −1 𝑢⃗ = −𝑢.⃗ 7. 𝑢⃗ + 𝑢⃗ = (1 + 1)𝑢⃗ = 2𝑢⃗ 8. Análoga a la anterior.

9. Se deja de ejercicio al lector.

■

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Módulo 1. Espacios vectoriales

Definición 1.11 (Diferencia de vectores). Si E es un espacio vectorial y 𝑢,⃗ 𝑣 ⃗ ∈ E, se define la diferencia del vector 𝑢⃗ con el vector 𝑣 ⃗ (“ 𝑢⃗ menos 𝑣 ⃗ ”) como 𝑢⃗ − 𝑣 ⃗ = 𝑢⃗ + (−𝑣)⃗ Ejemplo 1.17. Sea E ={𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 > 0} el espacio vectorial del ejemplo 1.10, p. 20, con las operaciones ahí definidas: 𝑢 + 𝑣 = 𝑢𝑣 y 𝜆𝑢 = 𝑢𝜆 . Entonces, puesto que −𝑣 = 1/𝑣, 𝑢 − 𝑣 = 𝑢 + (−𝑣) = 𝑢(1/𝑣) =

𝑢 𝑣

Por ejemplo, 6 − 2 = 3 en este espacio.

•

1.2.3 Subespacios vectoriales Aunque hemos visto varios ejemplos de espacios vectoriales, éstos han sido muy generales y, por lo mismo, demasiado “grandes” para ser útiles. En realidad, estaremos interesados en subconjuntos particulares de estos espacios que, junto con las mismas operaciones, sean también espacios vectoriales, a los cuales llamaremos subespacios vectoriales y a su estudio está dedicado este apartado.

Definición 1.12. Sean E un espacio vectorial y 𝑆 un subconjunto no vacío de E. 𝑆 es un subespacio vectorial de E, o simplemente un subespacio de E, si 𝑆, con las mismas operaciones suma y producto por un escalar restringidas a los elementos de 𝑆, es también un espacio vectorial. Usaremos la notación 𝑆 < E para indicar que 𝑆 es un subespacio de E. Para probar que 𝑆 < E, se debe mostrar que los elementos de 𝑆 con la suma y el producto por un escalar definidos en E satisfacen los diez axiomas de la definición 1.8 de espacio vectorial; sin embargo, si reflexionamos un poco, vemos que las propiedades de asociatividad para la suma y el producto por un escalar, las de distributividad, conmutatividad y preservación de la escala son propiedades que se heredan de E; esto es, puesto que se cumplen para todos los elementos de E y 𝑆 ⊂ E, también son válidas para todos los vectores de 𝑆. Luego, resta sólo probar que la suma y el producto por un escalar son operaciones cerradas en 𝑆, 0⃗E ∈ 𝑆 y que para cada 𝑢⃗ ∈ 𝑆, −𝑢⃗ también pertenece a 𝑆. Pero si la multiplicación por escalares es cerrada en 𝑆, 𝑢⃗ ∈ 𝑆 ⇒ −𝑢⃗ = (−1)𝑢⃗ ∈ 𝑆; también, dado que 𝑆 ≠ ∅, y 0 𝑢⃗ = 0⃗E , se tiene que 0⃗E ∈ 𝑆. Con esto hemos demostrado el siguiente teorema.

Teorema 1.5. Sea 𝑆 un subconjunto de un espacio vectorial E. Para que 𝑆 sea un subespacio vectorial de E es necesario y suficiente que se cumplan las siguientes tres condiciones: 1. 0⃗E ∈ 𝑆.

2. 𝑢⃗ + 𝑣 ⃗ ∈ 𝑆 ∀𝑢,⃗ 𝑣 ⃗ ∈ 𝑆.

3. 𝜆𝑢⃗ ∈ 𝑆 ∀𝜆 ∈ ℝ, ∀𝑢⃗ ∈ 𝑆.

Ejemplo 1.18. Es claro que si E es un espacio vectorial, entonces E y {0⃗E } son subespacios de E. •

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1.2 Espacios Vectoriales

Nota 1.7. Es costumbre llamar a E y {0⃗E } los subespacios triviales del espacio vectorial E; y si 𝑆 < E no es E, se dice que 𝑆 es un subespacio propio de E. Ejemplo 1.19. Sea 𝑆 = {𝑢⃗ ∈ ℝ2 | 𝑢⃗ = (𝑥, 2𝑥); 𝑥 ∈ ℝ}. Entonces: 1. 0⃗ℝ2 = (0, 0) = (0, 2 ⋅ 0) ∈ 𝑆.

2. Si 𝑢,⃗ 𝑣 ⃗ ∈ 𝑆, 𝑢⃗ = (𝑥, 2𝑥), 𝑣 ⃗ = (𝑦, 2𝑦); así que 𝑢⃗ + 𝑣 ⃗ = (𝑥, 2𝑥) + (𝑦, 2𝑦) = (𝑥 + 𝑦, 2𝑥 + 2𝑦) = (𝑥 + 𝑦, 2(𝑥 + 𝑦)) ∈ 𝑆.

3. Si 𝜆 ∈ ℝ y 𝑣 ⃗ = (𝑥, 2𝑥) ∈ 𝑆, 𝜆𝑢⃗ = 𝜆(𝑥, 2𝑥) = (𝜆𝑥, 𝜆2𝑥) = (𝜆𝑥, 2(𝜆𝑥)) ∈ 𝑆.

De 1, 2, y 3 𝑆 < ℝ2 . Geométricamente 𝑆 es la línea recta con pendiente 2 que pasa por el origen.

•

De hecho, toda línea recta que pasa por el origen es un subespacio de ℝ2 . Inversamente no es difícil probar, lo cual hará el lector en los ejercicios, que todo subespacio propio de ℝ2 es geométricamente una línea recta que pasa por el origen o el subespacio trivial {(0, 0)}.

Ejemplo 1.20. Cualquier plano que contiene al origen y las líneas rectas que pasan por el mismo son subespacios de ℝ3 (véase figura 1.20). Más aún, los únicos subespacios no triviales de ℝ3 son estos conjuntos. (Demuéstrelo.)

•

𝑆 𝜆𝑤 ⃗

𝑤⃗

𝑢⃗ 𝑢⃗ + 𝑣⃗

FIGURA 1.20

𝑣⃗

En un plano 𝑆 que pasa por el origen, la suma de vectores contenidos en él pertenece a este plano y la multiplicación de vectores de este plano por escalares sigue perteneciendo a dicho plano. Así, un plano que pasa por el origen es un subespacio de ℝ3 .

Ejemplo 1.21. Sean 𝑎, 𝑏, 𝑐 números reales dados y 𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 |𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 0}. Es decir, 𝑆 es un plano que pasa por el origen con ecuación 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 0.

1. Claramente (0, 0, 0) ∈ 𝑆.

2. Si (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) , (𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 ) ∈ 𝑆, entonces 𝑎𝑥1 + 𝑏𝑦1 + 𝑐𝑧1 = 0, 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑦2 + 𝑐𝑧2 = 0 y (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) + (𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 ) = (𝑥1 + 𝑥2 , 𝑦1 + 𝑦2 , 𝑧1 + 𝑧2 );

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Módulo 1. Espacios vectoriales

luego, 𝑎(𝑥1 + 𝑥2 ) + 𝑏(𝑦1 + 𝑦2 ) + 𝑐(𝑧1 + 𝑧2 ) = 𝑎𝑥1 + 𝑏𝑦1 + 𝑐𝑧1 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑦2 + 𝑐𝑧2 = 0 + 0 = 0.

Por tanto, (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) + (𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 ) ∈ 𝑆.

3. Si 𝜆 ∈ ℝ, y 𝑢⃗ = (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) ∈ 𝑆, 𝜆𝑢⃗ = (𝜆𝑥1 , 𝜆𝑦1 , 𝜆𝑧1 ); entonces 𝑎(𝜆𝑥1 ) + 𝑏(𝜆𝑦1 ) + 𝑐(𝜆𝑧1 ) = 𝜆(𝑎𝑥1 + 𝑏𝑦1 + 𝑐𝑧1 ) = 𝜆 ⋅ 0 = 0.

Por ende, 𝜆𝑢⃗ ∈ 𝑆.

•

De 1, 2 y 3 𝑆 < ℝ3 .

Nota 1.8. Obsérvese que un plano 𝑆 que no pasa por el origen no es un subespacio de ℝ3 , como se hace patente en la figura 1.21.

𝜆 𝑤⃗

𝑆

𝑢⃗ + 𝑣⃗

𝑤⃗ 𝑢⃗

FIGURA 1.21

𝑣⃗

En un plano 𝑆 que no pasa por el origen 0⃗ℝ𝑛 ∉ 𝑆, la suma de vectores contenidos en él no pertenece a este plano y la multiplicación de vectores de este plano por escalares tampoco pertenece necesariamente a dicho plano. Así, un plano que no pasa por el origen no es un subespacio de ℝ3 .

Ejemplo 1.22 (Espacio solución, espacio nulo). Si 𝐴 ∈ 𝔐𝑚×𝑛 el conjunto, 𝑆, de vectores 𝑥⃗ en ℝ𝑛 que es solución del sistema homogéneo 𝐴𝑥⃗ = 0⃗ℝ𝑚 es un subespacio de ℝ𝑛 , llamado el espacio solución de dicho sistema o el espacio nulo de la matriz 𝐴.

• Demostración.

1. 𝐴0⃗ℝ𝑛 = 0⃗ℝ𝑚 , por tanto 0⃗ℝ𝑛 ∈ 𝑆.

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1.2 Espacios Vectoriales

2. Si 𝑥,⃗ 𝑦⃗ ∈ 𝑆, 𝐴𝑥⃗ = 0⃗ℝ𝑚 y 𝐴𝑦⃗ = 0⃗ℝ𝑚 , por tanto 𝐴(𝑥⃗ + 𝑦)⃗ = 𝐴𝑥⃗ + 𝐴𝑦⃗ = 0⃗ℝ𝑚 . Así, 𝑥⃗ + 𝑦⃗ ∈ 𝑆.

3. Si 𝜆 ∈ ℝ y 𝑥⃗ ∈ 𝑆, 𝐴𝑥⃗ = 0⃗ℝ𝑚 . Entonces 𝐴(𝜆𝑥)⃗ = 𝜆(𝐴𝑥)⃗ = 𝜆0⃗ℝ𝑚 = 0⃗ℝ𝑚 , por ende, 𝜆𝑥⃗ ∈ 𝑆.

■ Ejemplo 1.23 (Espacio de polinomios de grado menor o igual a 𝑘). Sea P el espacio de polinomios del ejemplo 1.12 (p. 21) y sean 𝑘 un entero positivo y P𝑘 = {𝑝 ∈ P | 𝑝 tiene grado ≤ 𝑘 o es el polinomio constante cero} .

Entonces, ya que por su definición contiene al cero de P, la suma de dos polinomios de grado a lo más 𝑘 tiene grado menor o igual a 𝑘 y el producto de un polinomio en este conjunto por un escalar tiene grado igual a 𝑘 o es el polinomio cero, P𝑘 < P. • Ejemplo 1.24. Si E = {𝑓 ∶ [−1, 1] → ℝ | 𝑓(1/2) = 0}, mostrar que, con la suma y producto por un escalar usuales en las funciones, E es un espacio vectorial (véase figura 1.22).

•

−1

FIGURA 1.22

1 2

1

Este espacio consiste de todas las funciones cuyas gráficas pasan por el punto (1/2, 0) y están contenidas en la franja [−1, 1] × (−∞, ∞).

Demostración. En efecto, ya que E ⊂ F ([−1, 1]) y este es un espacio vectorial con las operaciones usuales, basta probar que E < F ([−1, 1]).

1. 𝜃 ∶ [−1, 1] → ℝ, 𝜃(𝑥) = 0 ∀𝑥 ∈ [−1, 1], en particular 𝜃(1/2) = 0; por tanto 𝜃 ∈ 𝑆.

2. Si 𝑓, 𝑔 ∈ E, 𝑓(1/2) = 0, 𝑔(1/2) = 0; luego (𝑓 + 𝑔)(1/2) = 𝑓(1/2) + 𝑔(1/2) = 0 + 0 = 0. Así que 𝑓 + 𝑔 ∈ E. 3. Si 𝜆 ∈ ℝ y 𝑓 ∈ E, entonces 𝑓(1/2) = 0 y (𝜆𝑓)(1/2) = 𝜆𝑓(1/2) = 𝜆 ⋅ 0 = 0; por tanto 𝜆𝑓 ∈ E. De 1, 2 y 3 E < F ([−1, 1]).

■

Ejemplo 1.25 (Espacio de funciones continuas). Dado que la función cero es una función continua, la suma de funciones continuas y el producto de un escalar con una función continua, dan como resultado también funciones continuas, se tiene que 𝐶[𝑎, 𝑏] = {𝑓 ∶ [𝑎, 𝑏] ⟶ ℝ | 𝑓es continua} es un subespacio vectorial de F ([𝑎, 𝑏]] y por tanto un espacio vectorial.

•

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Módulo 1. Espacios vectoriales

Ejemplo 1.26. De manera análoga el lector puede probar que 7 𝐶1 [𝑎, 𝑏] = {𝑓 ∶ [𝑎, 𝑏] ⟶ ℝ | 𝑓 es derivable con continuidad en [𝑎, 𝑏]} es un espacio vectorial con las operaciones usuales en el espacio de funciones.

•

Ejemplo 1.27 (Espacio de matrices simétricas). Sea 𝔐𝑛 el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden 𝑛 con las operaciones usuales. Y sea 𝑆 el subconjunto de matrices simétricas de tamaño 𝑛 × 𝑛. Demostrar que 𝑆 es un subespacio de 𝔐𝑛 .

• Demostración.

1. Claramente la matriz cero de orden 𝑛 es simétrica.

2. Sean 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑆, entonces 𝐴𝑡 = 𝐴 y 𝐵𝑡 = 𝐵. Luego, puesto que la transpuesta de la suma es la suma de las transpuestas, (𝐴 + 𝐵)𝑡 = 𝐴𝑡 + 𝐵𝑡 = 𝐴 + 𝐵; por lo que 𝐴 + 𝐵 ∈ 𝑆.

3. Si 𝐴 ∈ 𝑆 y 𝜆 ∈ ℝ, claramente (𝜆𝐴)𝑡 = 𝜆𝐴𝑡 . Por tanto, ya que 𝐴 ∈ 𝑆, (𝜆𝐴)𝑡 = 𝜆𝐴𝑡 = 𝜆𝐴; por lo que 𝜆𝐴 ∈ 𝑆.

De 1, 2 y 3 se concluye que 𝑆 es un subespacio vectorial de 𝔐𝑛 .

■

1.2.4 Combinaciones lineales y subespacios generados Supongamos que tenemos un par de vectores no colineales 𝑢⃗ y 𝑣 ⃗ en ℝ3 y se multiplican, respectivamente, por los escalares 𝜆 y 𝛽. El vector resultante, 𝜆𝑢⃗ + 𝛽𝑣,⃗ está en el plano que pasa por el origen y contiene a estos dos vectores; es decir, el plano que contiene a 0,⃗ 𝑢,⃗ 𝑣,⃗ el cual es un subespacio de ℝ3 pues es un plano que pasa por el origen (cf. ejemplos 1.20 y 1.21 pp. 29–30).

Generalizamos a continuación esta idea.

Definición 1.13. Si E es un espacio vectorial y 𝑢⃗1 , 𝑢⃗2 , … , 𝑢⃗𝑘 ∈ E, a todo vector de la forma 𝑣 ⃗ = 𝑎1 𝑢⃗1 + 𝑎2 𝑢⃗2 + ⋯ + 𝑎𝑘 𝑢⃗𝑘 , donde 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑘 ∈ ℝ, se le llama combinación lineal de 𝑢⃗1 , 𝑢⃗2 , … , 𝑢⃗𝑘 .

Ejemplo 1.28. Determinar si el vector 𝑢⃗ = (7, 1, 16) es combinación lineal de los vectores 𝑢⃗1 = (−1, 2, 2) y 𝑢⃗2 = (3, −1, 4).

• Solución ▶ Veamos si es posible encontrar 𝑎1 , 𝑎2 ∈ ℝ tales que 𝑢⃗ = 𝑎1 𝑢⃗1 + 𝑎2 𝑢⃗2 ; esto es, (7, 1, 16) = 𝑎1 (−1, 2, 2) + 𝑎2 (3, −1, 4) = (−𝑎1 + 3𝑎2 , 2𝑎1 − 𝑎2 , 2𝑎1 + 4𝑎2 ) .

7 La continuidad y derivabilidad en los extremos 𝑎 y 𝑏 se sobrentiende que es continuidad y derivabilidad por la derecha y por la izquierda, respectivamente.

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1.2 Espacios Vectoriales

Entonces se debe tener −𝑎1 + 3𝑎2 = 7, 2𝑎1 − 𝑎2 = 1, 2𝑎1 + 4𝑎2 = 16.

Resolvamos este sistema: 7 7 −1 3 7 −1 3 −1 3 ] | ] | [ | [ 15 ] 15 0 5 1 0 5 2 −1 ∼ ∼ 4 | 16 ] [ 0 10 | 30 ] [ 0 0 | 0 ] [ 2 2 𝑎 [ 1 ] = [ ].

3 𝑎2 [

∴

Con lo que 𝑢⃗ sí es combinación lineal de 𝑢⃗1 y 𝑢⃗2 : 𝑢⃗ = 2𝑢⃗1 + 3𝑢⃗2 .

Comprobación: 2𝑢⃗1 + 3𝑢⃗2 = 2 (−1, 2, 2) + 3 (3, −1, 4) = (7, 1, 16) = 𝑢.⃗

◀

Teorema 1.6 (Subespacios generados). Sean E un espacio vectorial y 𝑢⃗1 , 𝑢⃗2 ,..., 𝑢⃗𝑘 vectores de E. Entonces 𝑆 = {𝑢⃗ ∈ E | 𝑢⃗ es combinación lineal de 𝑢⃗1 , 𝑢⃗2 , … , 𝑢⃗𝑘 } es un subespacio vectorial de E. Demostración.

1. 0⃗E = 0 ⋅ 𝑢⃗1 + 0 ⋅ 𝑢⃗2 + ⋯ + 0 ⋅ 𝑢⃗𝑘 ∈ 𝑆.

2. Si 𝑢,⃗ 𝑣 ⃗ ∈ 𝑆, entonces existen 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑘 , 𝑏1 , 𝑏2 , … , 𝑏𝑘 ∈ ℝ tales que: 𝑢⃗ = 𝑎1 𝑢⃗1 + 𝑎2 𝑢⃗2 + ⋯ + 𝑎𝑘 𝑢⃗𝑘 , 𝑣 ⃗ = 𝑏1 𝑢⃗1 + 𝑏2 𝑢⃗2 + ⋯ + 𝑏𝑘 𝑢⃗𝑘 .

Luego, 𝑘

𝑘

𝑢⃗ + 𝑣 ⃗ = ∑ 𝑎𝑖 𝑢⃗𝑖 + ∑ 𝑏𝑖 𝑢⃗𝑖 𝑖=1

𝑖=1

= (𝑎1 + 𝑏1 )𝑢⃗1 + (𝑎2 + 𝑏2 )𝑢⃗2 + ⋯ + (𝑎𝑘 + 𝑏𝑘 )𝑢⃗𝑘 ; de donde 𝑢⃗ + 𝑣 ⃗ ∈ 𝑆.

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Módulo 1. Espacios vectoriales

3. Si 𝜆 ∈ ℝ y 𝑢⃗ ∈ 𝑆, entonces, para ciertos 𝑎𝑖 , 𝑖 = 1, 2, … , 𝑘, 𝑢⃗ = 𝑎1 𝑢⃗1 + 𝑎2 𝑢⃗2 + ⋯ + 𝑎𝑘 𝑢⃗𝑘 .

Luego, 𝜆𝑢⃗ = 𝜆 (𝑎1 𝑢⃗1 + 𝑎2 𝑢⃗2 + ⋯ + 𝑎𝑘 𝑢⃗𝑘 ) = (𝜆𝑎1 )𝑢⃗1 + (𝜆𝑎2 )𝑢⃗2 + ⋯ + (𝜆𝑎𝑘 )𝑢⃗𝑘 ; por lo que 𝜆𝑢⃗ ∈ 𝑆.

De 1, 2 y 3, 𝑆 < E.

■

Definición 1.14 (Subespacio generado por vectores). Sean E un espacio vectorial y 𝑢⃗1 , 𝑢⃗2 , … , 𝑢⃗𝑘 vectores en E. Al subespacio vectorial de E, 8 de todas las combinaciones lineales de estos vectores, se le denota como gn (𝑢⃗1 , 𝑢⃗2 , … , 𝑢⃗𝑘 ) y se denomina el subespacio generado por los vectores 𝑢⃗1 , 𝑢⃗2 , … , 𝑢⃗𝑘 .

Ejemplo 1.29. Sea el espacio vectorial 𝑆 = gn(sen2 𝑥, cos2 𝑥), determinar si cos(2𝑥) ∈ 𝑆.

•

Solución ▶ cos(2𝑥) = cos2 𝑥 − sen2 𝑥 = (1) cos2 𝑥 + (−1) sen2 𝑥 .

Por lo tanto cos 2𝑥 ∈ 𝑆.

◀

Ejemplo 1.30. ¿ 2𝑥2 − 3𝑥 + 1 ∈ gn(2, 1 − 𝑥, 𝑥2 ) ?

•

Solución ▶ Encontremos 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ∈ ℝ tales que 𝑎1 ⋅ 2 + 𝑎2 (1 − 𝑥) + 𝑎3 (𝑥2 ) = 2𝑥2 − 3𝑥 + 1 .

Entonces, al reducir, (2𝑎1 + 𝑎2 ) − 𝑎2 𝑥 + 𝑎3 𝑥2 = 2𝑥2 − 3𝑥 + 1.

Y puesto que dos polinomios son iguales si los coeficientes de las mismas potencias de 𝑥 son iguales,9 se tiene 2𝑎1 + 𝑎2 = 1, −𝑎2 = −3, 𝑎3 = 2; de donde 𝑎1 = −1, 𝑎2 = 3, 𝑎3 = 2. Por tanto 2𝑥2 − 3𝑥 + 1 ∈ gn(2, 1 − 𝑥, 𝑥2 ).

8 9

◀

Por el teorema 1.6, p. 33 este conjunto es efectivamente un subespacio vectorial. 𝑚 𝑚 Dos polinomios 𝑝(𝑥) = ∑𝑘=0 𝑎𝑘 𝑥𝑘 y 𝑞(𝑥) = ∑𝑘=0 𝑏𝑘 𝑥𝑘 son iguales si 𝑎𝑘 = 𝑏𝑘 para cada 𝑘 = 0, 1, … , 𝑚.

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1.2 Espacios Vectoriales

Ejemplo 1.31. Determinar qué subespacio de las matrices cuadradas de orden 2 es gn ([

1 0 0 1 0 0 ],[ ],[ ]) 0 0 1 0 0 1

•

Solución ▶ Toda matriz en este subespacio tiene la forma 𝑎[

1 0 0 1 0 0 𝑎 𝑐 ] + 𝑐[ ] + 𝑑[ ]=[ ] , 𝑎, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ, 0 0 1 0 0 1 𝑐 𝑑

que es una matriz simétrica. Es fácil probar que, inversamente, toda matriz simétrica 2 × 2 es de esta forma (pruébelo). Luego, el espacio generado por estas matrices es el subespacio de las matrices simétricas cuadradas de orden 2 (cf. ejemplo 1.27, p. 32). ◀ Ejemplo 1.32. En P, el espacio de polinomios, si 𝑆 = gn(1, 𝑥, 𝑥2 , 𝑥3 ) entonces 𝑆 = P3 (polinomios de grado a lo más tres y el polinomio constante cero); pues todo elemento de P3 tiene la forma 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2 + 𝑎3 𝑥3 = 𝑎0 ⋅ 1 + 𝑎1 ⋅ 𝑥 + 𝑎2 ⋅ 𝑥2 + 𝑎3 ⋅ 𝑥3 ∈ 𝑆,

•

para ciertos 𝑎𝑖 ∈ ℝ, 𝑖 = 0, 1, 2, 3.

Espacio fila y espacio columna de una matriz Definición 1.15. Si 𝐴 ∈ 𝔐𝑚×𝑛 , se define el espacio fila de 𝐴 como el subespacio de ℝ𝑛 generado por las 𝑚-filas de 𝐴; y al subespacio de ℝ𝑚 , generado por las 𝑛-columnas de 𝐴, se le llama el espacio columna de 𝐴. Al espacio fila y al espacio columna se les denotará, en este libro, como 𝐸𝑓 (𝐴) y 𝐸𝑐 (𝐴), respectivamente.

3 −1 2 0 [ Ejemplo 1.33. Si 2 −1 3 4 ] ∈ 𝔐3×4 , 1 2 3 ] [ 0 𝐸𝑓 (𝐴) = gn((3, −1, 2, 0), (2, −1, 3, 4), (0, 1, 2, 3)) , 𝐸𝑐 (𝐴) = gn((3, 2, 0), (−1, −1, 1)(2, 3, 2), (0, 4, 3)) .

•

Teorema 1.7. Sea 𝐴 ∈ 𝔐𝑚×𝑛 , entonces 𝑏⃗ ∈ 𝐸𝑐 (𝐴) ⇔ el sistema 𝐴𝑥⃗ = 𝑏⃗ tiene solución.

Demostración. Supongamos que 𝑎11 𝑎12 [ 𝑎21 𝑎22 𝐴=[ [ ⋮ ⋮ [ 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2

⋯ 𝑎1𝑛 ⋯ 𝑎2𝑛 ⋱ ⋮ ⋯ 𝑎𝑚𝑛

] ]. ] ]

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Módulo 1. Espacios vectoriales

Entonces, 𝑏⃗ ∈ 𝐸𝑐 (𝐴) si y sólo si existen 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ∈ ℝ tales que 𝑎11 [ 𝑎21 𝑏⃗ = 𝑥1 [ [ ⋮ [ 𝑎𝑚1

𝑎12 ] [ 𝑎22 ] + 𝑥2 [ ] [ ⋮ ] [ 𝑎𝑚2

𝑎1𝑛 ] [ 𝑎2𝑛 ] + ⋯ + 𝑥𝑛 [ ] [ ⋮ ] [ 𝑎𝑚𝑛

] ] ] ]

y la última igualdad se da si y sólo si 𝑎11 𝑎2 [ 𝑎21 𝑎22 𝑏⃗ = [ [ ⋮ ⋮ [ 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2

⋯ 𝑎1𝑛 ⋯ 𝑎2𝑛 ⋱ ⋮ ⋯ 𝑎𝑚𝑛

𝑥1 ] [ 𝑥2 ] ] ][ ][ ⋮ ] ; ] [ 𝑥𝑛 ]

es decir, si y sólo si el sistema 𝐴𝑥⃗ = 𝑏⃗ tiene solución.

■

Criterio para determinar si un vector en ℝ𝑛 es combinación lineal de otros vectores Podemos utilizar el teorema 1.7 para determinar si un vector dado, 𝑏,⃗ es combinación lineal de los vectores 𝑢⃗1 , 𝑢⃗2 , … , 𝑢⃗𝑘 en ℝ𝑛 (lo cual equivale a que 𝑏⃗ pertenezca al subespacio generado por estos vectores) de la siguiente manera: 1. Se forma la matriz cuyas columnas son los vectores 𝑢⃗1 , 𝑢⃗2 , … , 𝑢⃗𝑘 .

2. Se resuelve el sistema 𝐴𝑥⃗ = 𝑏⃗ (por el método de Gauss, de preferencia).

3. Si este sistema tiene solución 𝑥⃗ = (𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑘 ), entonces 𝑏⃗ pertenece al subespacio generado por los vectores 𝑢⃗𝑖 (es combinación lineal de ellos) y además 𝑏⃗ = 𝑎1 𝑢⃗1 + 𝑎2 𝑎2⃗ + ⋯ + 𝑎𝑘 𝑢⃗𝑘 .

4. Si el sistema 𝐴𝑥⃗ = 𝑏⃗ es inconsistente, entonces 𝑏⃗ no es combinación lineal de los vectores 𝑢⃗𝑖 (𝑏⃗ ∉ gn(𝑢⃗1 , 𝑢⃗2 , … , 𝑢⃗𝑘 )).

Ejemplo 1.34. Determinar si 𝑏⃗ = (2, 6, 1) pertenece al espacio generado por 𝑢⃗1 = (1, 2, 3), 𝑢⃗2 = (−2, −5, 2), 𝑢⃗3 = (1, 2, −1). En caso afirmativo, hallar 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 tales que 𝑏⃗ = 𝑎1 𝑢⃗1 + 𝑎2 𝑢⃗2 + 𝑎3 𝑢⃗3 .

•

Solución ▶ Resolvamos el sistema 1 −2 1 𝑥1 2 [ 2 −5 2 ] [ 𝑥2 ] = [ 6 ] [ 3 2 −1 ] [ 𝑥3 ] [ 1 ] por el método de Gauss: 1 [ 2 [ 3

−2 −5 2

1 2 −1

2 1 ] [ 6 0 ∼ 1 ] [ 0

−2 −1 8

1 0 −4

2 1 ] [ 2 0 ∼ −5 ] [ 0

−2 −1 0

1 0 −4

2 2 ].

11 ]

Como el sistema es consistente 𝑏⃗ ∈ gn(𝑣1⃗ , 𝑣2⃗ , 𝑣3⃗ ) y al hacer sustitución regresiva, 𝑎3 = −11/4, 𝑎2 = −2, 𝑎1 = 3/4; esto es 𝑏⃗ = (3/4)𝑢⃗1 − 2𝑢⃗2 + (−11/4)𝑢⃗3 . ◀

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1.2 Espacios Vectoriales

Generadores de un espacio Definición 1.16. Sean E un espacio vectorial y 𝑢⃗1 , 𝑢⃗2 , … , 𝑢⃗𝑘 ∈ E. Los vectores 𝑢⃗1 , 𝑢⃗2 , … , 𝑢⃗𝑘 generan a E si todo elemento de E es combinación lineal de estos vectores; i.e., E = gn(𝑢⃗1 , 𝑢⃗2 , … , 𝑢⃗𝑘 ). En tal caso se dice que los vectores 𝑢⃗𝑖 forman un conjunto de generadores para este espacio vectorial.

Ejemplo 1.35. Sea [

[

𝑎 𝑏 ] ∈ 𝔐2 cualquier matriz. Entonces 𝑐 𝑑

𝑎 𝑏 1 0 0 1 0 0 0 0 ] = 𝑎[ ] + 𝑏[ ] + 𝑐[ ] + 𝑑[ ] 𝑐 𝑑 0 0 0 0 1 0 0 1

Luego 𝔐2 = gn ([

1 0 0 1 0 0 0 0 ],[ ],[ ],[ ]) .

0 0 0 0 1 0 0 1

•

Ejemplo 1.36 (Generadores del espacio 𝔐𝑚×𝑛 ). En general, si 𝔐𝑚×𝑛 es el espacio vectorial de las matrices de tamaño 𝑚×𝑛, entonces las 𝑚𝑛 matrices definidas en este espacio como 𝑀𝛼𝛽 = [𝑚𝑖𝑗 ], 1 ≤ 𝛼 ≤ 𝑚, 1 ≤ 𝛽 ≤ 𝑛, donde 𝑚𝑖𝑗 = {

1 0

si 𝑖 = 𝛼, 𝑗 = 𝛽, en otro caso;

0 1 0 ] en las matrices de tamaño 2 × 3) generan al espacio 10 𝔐𝑚×𝑛 .

0 0 0 Lo cual es fácil de probar y se deja como ejercicio al lector.

•

(por ejemplo 𝑀12 = [

Ejemplo 1.37. Sean los vectores 𝑒𝑖⃗ del espacio ℝ𝑛 definidos como 𝑖

𝑒𝑖⃗ = (0, … , 0, 1, 0, … , 0) ⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟ 𝑛

para 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛. Entonces, si 𝑢⃗ = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) ∈ ℝ𝑛 , se tiene 𝑢⃗ = 𝑥1 𝑒1⃗ + 𝑥2 𝑒2⃗ + ⋯ + 𝑥𝑛 𝑒𝑛⃗ .

Así que los vectores 𝑒𝑖⃗ , 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛, generan a ℝ𝑛 ; esto es, ℝ𝑛 = gn (𝑒1⃗ , 𝑒2⃗ , … , 𝑒𝑛⃗ ) .

Por ejemplo, si 𝑛 = 3, ℝ3 = gn ((1, 0, 0) , (0, 1, 0) , (0, 0, 1)).

•

10 De aquí en adelante supondremos que los espacios con los que se trabaje en este libro estarán dotados de las operaciones usuales que hemos definido en cada caso, a menos que se especifique lo contrario.

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Módulo 1. Espacios vectoriales

Criterios para que 𝑘 vectores en ℝ𝑛 generen a ℝ𝑛 Supongamos que se tienen 𝑛 vectores 𝑢⃗𝑖 de ℝ𝑛 . Sabemos por el teorema 1.7, o del criterio que después del mismo se da (cf. pp. 35–36), que todo vector 𝑏⃗ ∈ ℝ𝑛 es combinación lineal de los vectores 𝑢⃗𝑖 si y sólo si el sistema 𝐴𝑥⃗ = 𝑏,⃗ donde 𝐴 es la matriz cuyas columnas son los vectores 𝑢⃗𝑖 , tiene solución para todo 𝑏⃗ ∈ ℝ𝑛 . Pero el sistema 𝐴𝑥⃗ = 𝑏⃗ tiene solución para todo 𝑏⃗ si y sólo si la matriz 𝐴 es invertible. 11 Con esto hemos probado el siguiente teorema.

Teorema 1.8. 𝑛-vectores de ℝ𝑛 generan a ℝ𝑛 si y sólo si la matriz que tiene a estos vectores como columnas es invertible.

Ejemplo 1.38. Determinar si los vectores (1, −2, 3), (2, −1, 4) y (−1, 1, 0) generan a ℝ3 .

•

Solución ▶ Por el teorema anterior tres vectores generan a ℝ3 si y sólo si la matriz que tiene a éstos como columnas es invertible; pero sabemos que una matriz es invertible si y sólo si es equivalente a la identidad. Llevemos esta matriz a forma escalonada, por el método Gauss, para ver si es o no equivalente a la identidad: 1 2 −1 1 2 −1 1 2 −1 3 −1 ] ∼ [ 0 3 −1 ] .

1 ]∼[ 0 𝐴 = [ −2 −1 7 ] 3 ] [ 0 0 4 0 ] [ 0 −2 [ 3 Dado que la última matriz tiene pivote en todas las columnas se sigue que 𝐴 es equivalente a la identidad. Luego los vectores (1, −2, 3), (2, −1, 4) y (−1, 1, 0) generan a ℝ3 . ◀ Supongamos ahora que tenemos 𝑘 vectores en ℝ𝑛 con 𝑘 < 𝑛 (por ejemplo tres vectores en ℝ4 ).

Para que estos vectores generen a ℝ𝑛 , por el criterio de la página 36, es necesario y suficiente que el sistema 𝐴𝑥⃗ = 𝑏⃗ tenga solución para todo 𝑏⃗ ∈ ℝ𝑛 , donde 𝐴 es la matriz que tiene como columnas a estos vectores. Sin embargo, al llevar 𝐴 a su forma escalonada reducida, puesto que 𝑘 < 𝑛, la última fila de esta forma escalonada reducida tiene necesariamente todas sus componentes nulas (piense por ejemplo, para fijar ideas, en una matriz 3 × 2). Sea 𝐹𝑖 la fila de la matriz 𝐴 que se transformó en la última fila nula de la forma escalonada reducida de la matriz 𝐴; tomemos el 𝑖 vector 𝑏⃗ = (0, … , 0, 1, 0, … , 0) ∈ ℝ𝑛 , entonces el sistema 𝐴𝑥⃗ = 𝑏⃗ será inconsistente. Luego 𝑏⃗ no puede ser combinación lineal de los vectores columna de 𝐴. Así que dichos vectores no generan a ℝ𝑛 . Con esta discusión hemos probado el siguiente teorema.

Teorema 1.9. 𝑘 vectores en ℝ𝑛 , con 𝑘 < 𝑛, no generan a ℝ𝑛 .

Ejemplo 1.39. Los vectores (1, 2, −1, 4), (−1, 2, 1, 0), (0, 1, 3, 1), no generan a ℝ4 .

•

Tenemos un tercero y último caso para que 𝑘 vectores generen a ℝ𝑛 cuando 𝑘 > 𝑛. Nuevamente, estos vectores generan este espacio si y sólo si el sistema 𝐴𝑥⃗ = 𝑏⃗ tiene solución para todo 𝑏⃗ ∈ ℝ𝑛 , donde 𝐴, como antes, es la matriz que tiene por columnas a dichos vectores. Pensemos en la forma escalonada reducida, 𝐻, de 𝐴 y supongamos que tiene 𝑛 pivotes (por tanto, cualquier forma escalonada equivalente a 𝐴 tendrá también 𝑛 pivotes). Entonces, puesto que 𝑘 > 𝑛, esta forma escalonada no puede tener filas nulas; de aquí que el sistema 𝐴𝑥⃗ = 𝑏⃗ es consistente 11

Recuerde que, a su vez, una matriz es invertible si y sólo si es equivalente a la identidad.

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1.3 Dependencia e Independencia Lineal

para todo 𝑏.⃗ Además, dicho sistema tiene por tanto 𝑘 − 𝑛 variables libres (las columnas donde no hay pivote) independientemente del vector 𝑏,⃗ y dado que pueden tomar cualquier valor, en particular podemos elegir que todas sean cero. Por ende, todo vector 𝑏⃗ es combinación lineal de los vectores columna de la matriz 𝐴 que corresponden a columnas con pivote 12 en 𝐻. Es decir, ℝ𝑛 está generado por los vectores columna de 𝐴 que correspondan a columnas con pivote en cualquier forma escalonada equivalente a la matriz 𝐴. Por otra parte, si una forma escalonada (y, por tanto, cualquier otra forma escalonada 𝑈 ∼ 𝐴) equivalente a la matriz 𝐴 no tiene 𝑛 pivotes, entonces, dado que 𝑘 > 𝑛 (piense por ejemplo en una matriz 3 × 4), esta forma escalonada equivalente tiene por lo menos una fila nula; y por el mismo argumento dado en las demostraciones de los teoremas 1.8 y 1.9, el sistema 𝐴𝑥⃗ = 𝑏⃗ es inconsistente para ciertos vectores 𝑏,⃗ por lo que los vectores columna de 𝐴 no generan a ℝ𝑛 . Hemos probado así el siguiente teorema.

Teorema 1.10. 𝑘-vectores de ℝ𝑛 , con 𝑘 > 𝑛, generan a ℝ𝑛 si y sólo si una forma escalonada equivalente de la matriz 𝐴, cuyas columas son estos vectores, tiene 𝑛-pivotes. 13 Si este es el caso, podemos suprimir aquellos vectores de 𝐴 que correspondan a columnas en la forma escalonada que no tengan pivote; los restantes generarán a ℝ𝑛 .

Ejemplo 1.40. Sean 𝑣1⃗ = (1, 2, 0), 𝑣2⃗ = (1, 1, 1), 𝑣3⃗ = (1, 4, −2), 𝑣4⃗ = (2, 3, 2) 1. Determinar si los vectores 𝑣1⃗ , 𝑣2⃗ , 𝑣3⃗ , 𝑣4⃗ generan a ℝ3 .

2. En caso afirmativo reducir a un mínimo el número de generadores.

•

Solución ▶ 1. Formamos la matriz que tiene como columnas a estos vectores y la llevamos a forma escalonada: 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 ] [ ] [ [ 2 1 2 −1 ∼ 0 −1 2 −1 ] .

4 3 ∼ 2 −1 0 0 1 ] 1 −2 2 ] [ 0 [ 0 1 −2 2 ] [ 0 Como hay tres pivotes 𝑣1⃗ , 𝑣2⃗ , 𝑣3⃗ , 𝑣4⃗ generan a ℝ3 2. De la matriz original excluimos el vector columna que corresponde en la forma escalonada a la columna que no tiene pivote. Por lo tanto ℝ3 = gn(𝑣1⃗ , 𝑣2⃗ , 𝑣4⃗ ) ◀.

1.3 Dependencia e Independencia Lineal Un concepto clave, estrechamente relacionado con el de combinación lineal, es el de dependencia e independencia lineal de vectores. En la figura 1.23 tenemos tres casos en el plano cartesiano.

En (a), un vector es múltiplo escalar del otro y, por tanto, combinación lineal del primero. En (b) ningún vector se puede escribir como combinación lineal del otro. Y en (c) 𝑤⃗ = 𝛼𝑢⃗ + 𝛽𝑣;⃗ es decir, uno de los vectores es combinación lineal de los otros. Se dice entonces que los vectores en (a) y (c) son linealmente dependientes, mientras que en (b) son linealmente independientes.

12 Por ejemplo, si las últimas 𝑘 − 𝑛 variables son libres y 𝑢⃗𝑖 son los 𝑛 primeros vectores columna de 𝐴, en este caso se 𝑛 tendría 𝑏⃗ = ∑𝑖=1 𝑥𝑖 𝑢⃗𝑖 = 𝐴𝑥,⃗ donde 𝑥⃗ = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 , 0, … , 0) es la solución de este sistema para las variables libres ⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟ 𝑘−𝑛 que hemos elegido.

13 Recuerde que todas las matrices en forma escalonada equivalentes a la matriz 𝐴 tienen el mismo número de pivotes y éstos se encuentran en las mismas posiciones

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Módulo 1. Espacios vectoriales

𝑤⃗ 𝑣⃗ = 𝜆 𝑢⃗

𝛼𝑢⃗

𝑢⃗

𝑢⃗ 𝑣⃗

(a)

(b)

𝑢⃗ 𝑣⃗

𝛽𝑣⃗

(c)

Tres casos representativos de dependencia lineal en ℝ2 : (a) Vectores linealmente dependientes; (b) vectores linealmente independientes y (c) vectores linealmente dependientes.

FIGURA 1.23

Generalizamos el concepto de dependencia e independencia lineal a cualquier espacio vectorial en la siguiente definición.

Definición 1.17. Sean E un espacio vectorial y 𝑢⃗1 , 𝑢⃗2 , … , 𝑢⃗𝑘 , 𝑘 vectores en él. Se dice que estos vectores son linealmente dependientes (L.D.) si uno de ellos es combinación lineal de los otros. En caso contrario diremos que los vectores son linealmente independientes (L.I.). 14 Supongamos que los vectores 𝑢⃗𝑖 ∈ E, 𝑖 = 1, 2, … , 𝑘 son linealmente dependientes. Entonces uno de ellos es combinación lineal de los otros, digamos 𝑢⃗𝑖 . Por tanto existen escalares 𝛼𝑗 tales que 𝑢⃗𝑖 = 𝛼1 𝑢⃗1 + ⋯ + 𝛼𝑖−1 𝑢⃗𝑖−1 + 𝛼𝑖+1 𝑢⃗𝑖+1 + ⋯ + 𝛼𝑘 𝑢⃗𝑘 ; de aquí que 𝛼1 𝑢⃗1 + ⋯ + 𝛼𝑖−1 𝑢⃗𝑖−1 + (−1) 𝑢⃗𝑖 + 𝛼𝑖+1 𝑢⃗𝑖+1 + ⋯ + 𝛼𝑘 𝑢⃗𝑘 = 0⃗E y uno, por lo menos, de los coeficientes de los 𝑢𝑗⃗ es distinto de cero (específicamente el coeficiente de 𝑢⃗𝑖 que es −1). Inversamente, supongamos que existen escalares 𝛼𝑗 , 𝑗 = 1, 2, … , 𝑘, con uno de ellos distinto de cero, tales que 𝛼1 𝑢⃗1 + ⋯ + 𝛼𝑖−1 𝑢⃗𝑖−1 + 𝛼𝑖 𝑢⃗𝑖 + 𝛼𝑖+1 𝑢⃗𝑖+1 + ⋯ + 𝛼𝑘 𝑢⃗𝑘 = 0⃗E .

Digamos que 𝛼𝑖 es uno de estos coeficientes no nulos; entonces 𝑢⃗𝑖 = − (𝛼1 /𝛼𝑖 ) 𝑢⃗1 − ⋯ − (𝛼𝑖−1 /𝛼𝑖 ) 𝑢⃗𝑖−1 − (𝛼𝑖+1 /𝛼𝑖 ) 𝑢⃗𝑖+1 − ⋯ − (𝛼𝑘 /𝛼𝑖 ) 𝑢⃗𝑘 .

Luego 𝑢⃗𝑖 es combinación lineal de los restantes vectores y por lo tanto son vectores linealmente dependientes. Con esta discusión hemos hecho patente la demostración del siguiente teorema que establece condiciones equivalentes muy útiles para dependencia e independencia lineal.

Teorema 1.11. Sean 𝑢⃗1 , 𝑢⃗2 , … , 𝑢⃗𝑘 vectores en un espacio vectorial E. Entonces 1. Los vectores 𝑢⃗1, 𝑢⃗2 , … , 𝑢⃗𝑘 son linealmente dependientes si y sólo si existen 𝛼1 , 𝛼2 , … , 𝛼𝑘 ∈ ℝ, con uno de ellos (por lo menos) distinto de cero, tales que 𝛼1 𝑢⃗1 + 𝛼2 𝑢⃗2 + ⋯ + 𝛼𝑘 𝑢⃗𝑘 = 0⃗E .

14 Abreviaremos linealmente independientes por L.I. y linealmente dependientes por L.D. a lo largo de todo este libro.

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Módulo 1. Espacios vectoriales

Solución ▶ Si 𝛼1 (𝑥2 − 1) + 𝛼2 (𝑥2 + 1) + 𝛼3 (4𝑥) + 𝛼4 (2𝑥 − 3) = 0, entonces (𝛼1 + 𝛼2 )𝑥2 + (4𝛼3 + 2𝛼4 )𝑥 − 𝛼1 + 𝛼2 − 3𝛼4 = 0.

De donde obtenemos el sistema homogéneo 𝛼1 + 𝛼2 = 0 4𝛼3 + 2𝛼4 = 0 −𝛼1 + 𝛼2 − 3𝛼4 = 0.

Llevemos a forma escalonada la matriz de coeficientes: 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 ] [ ] [ 0 0 4 2 ∼ 0 0 2 1 ∼ 0 2 0 −3 ] .

1 ] [ −1 1 0 −3 ] [ 0 2 0 −3 ] [ 0 0 2 [

El sistema tiene infinidad de soluciones dadas por 𝛼1 [ 𝛼2 ] [ ] [ 𝛼 ]=𝑟 3 [ 𝛼4 ]

−3/2 [ 3/2 [ [ −1/2 1 [

−3𝑠 ] [ 3𝑠 ]=[ ] [ −𝑠 ] [ 2𝑠

] ]. ] ]

En particular, tiene soluciones no triviales y, por ende, los polinomios son linealmente dependientes. ◀ Ejemplo 1.43. ¿Son las matrices [

1 0 0 1 0 0 ], [ ], [ ] L.I. o L.D. en el espacio de las 0 0 1 0 0 1

•

matrices simétricas?

Solución ▶ Resolvamos el sistema 𝛼1 [

1 0 0 1 0 0 0 0 ] + 𝛼2 [ ] + 𝛼3 [ ]=[ ], 0 0 1 0 0 1 0 0

que equivale a [

𝛼1 𝛼2 0 0 ]=[ ]; 𝛼2 𝛼3 0 0

de donde 𝛼1 = 𝛼2 = 𝛼3 = 0. Luego estas matrices son L.I.

◀

Ejemplo 1.44. Determinar si las funciones 𝑓1 (𝑥) = 1, 𝑓2 (𝑥) = 𝑥 y 𝑓3 (𝑥) = 𝑥2 son L.I. o L.D. en el espacio de funciones F (−∞, ∞) (las funciones con dominio en el intervalo (−∞, ∞)).

• Solución ▶ Sean 𝛼1 , 𝛼2 , 𝛼3 ∈ ℝ tales que 𝛼1 𝑓1 + 𝛼2 𝑓2 + 𝛼3 𝑓3 = 𝜃.

Entonces tenemos 𝛼1 + 𝛼 2 𝑥 + 𝛼 3 𝑥2 = 0

∀𝑥 ∈ ℝ.

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Fundamentación de álgebra lineal y modelización de procesos está diseñado para apoyar a estudiantes y docentes a cubrir los contenidos de las materias MA1034 y MA1036 (Modelación de procesos mediante álgebra lineal y Fundamentación de álgebra lineal, respectivamente) del Modelo Tec21. Presenta los temas de estas asignaturas de manera flexible en tiempo y nivel de profundidad; mostrando la utilidad de esta disciplina a través de una gran variedad de actividades y ejercicios con aplicaciones a otros campos y a las propias matemáticas; integrando teoría, práctica, uso de tecnología y métodos numéricos.

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•

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•

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•

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•

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