Física 1. Problemas y soluciones by Cengage

FÍSICA 1 Problemas y soluciones

Raymond A. Serway John W. Jewett

Adaptación y Revisión técnica Ana Elizabeth García Hernández Instituto Politécnico Nacional

Javier León Cárdenas Escuela Superior de Ingeniería Química e Industrias Extractivas Instituto Politécnico Nacional

Misael Flores Rosas Escuela Superior de Ingeniería Química e Industrias Extractivas Instituto Politécnico Nacional

Traducción Jorge Alonzo González Velázquez

Revisión técnica Jerónimo Gómez Rodríguez José García Rivera Minerva Robles Agudo Universidad Autónoma de Querétaro Instituto Tecnológico de San Juan del Río Ignacio Rojas Rodríguez Universidad Tecnológica de Querétaro Margarita Quintana Ávila Julio Gómez Girón Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico, campus Mecánica

Instituto Tecnológico de Chihuahua

Eliseo Rivera Silva Instituto Tecnológico de Toluca

Australia • Brasil • Canadá • Estados Unidos • México • Reino Unido • Singapur

Física 1. Problemas y soluciones. Primera edición Raymond A. Serway John W. Jewett Director Higher Education Latinoamérica: Renzo Casapía Valencia Gerente editorial Latinoamérica: -HV¼V 0DUHV &KDFµQ Editora: Abril Vega Orozco Coordinador de manufactura: Rafael Pérez González Diseño de portada: Karla Paola Benítez García Imagen de portada: ©Zamurovic Brothers / Shutterstock Composición tipográﬁca: Mariana Sierra Enríquez

© D.R. 2022 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Av. Andrés Molina Enríquez núm. 354, Primer piso. 2ȴFLQD $ &RORQLD $PSOLDFLµQ 6LQDWHO $OFDOG¯D Ζ]WDSDODSD Ciudad de México, C.P. 09479 Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podrá ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea JU£ȴFR HOHFWUµQLFR R PHF£QLFR LQFOX\HQGR pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, UHSURGXFFLµQ HVFDQHR GLJLWDOL]DFLµQ JUDEDFLµQ HQ DXGLR GLVWULEXFLµQ HQ LQWHUQHW GLVWULEXFLµQ HQ UHGHV GH LQIRUPDFLµQ R DOPDFHQDPLHQWR \ UHFRSLODFLµQ HQ VLVWHPDV GH LQIRUPDFLµQ D H[FHSFLµQ GH OR SHUPLWLGR en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial. (VWD HV XQD WUDGXFFLµQ DGDSWDFLµQ GH OD REUD Student Solutions Manual and Study Guide. Physics for Scientists and Engineers. Volume 1. Ninth Edition. Raymond A. Serway / John W. Jewett Ζ6%1 'DWRV SDUD FDWDORJDFLµQ ELEOLRJU£ȴFD Serway, Raymond A. y John W. Jewett. Física 1. Problemas y soluciones. 3ULPHUD HGLFLµQ Ζ6%1 3 3 Visite nuestro sitio en: http://latam.cengage.com

Publicado en México 1 2 3 4 5 6 24 23 22 21

Contenido breve Presentación

.....................................................................................................................vii

Prefacio

....................................................................................................................viii

Capítulo 1

Física y medición ...........................................................................................1

Capítulo 2

Movimiento en una dimensión ..................................................................11

Capítulo 3

Vectores .......................................................................................................29

Capítulo 4

Movimiento en dos dimensiones ...............................................................45

Capítulo 5

Las leyes del movimiento............................................................................61

Capítulo 6

Movimiento circular y otras aplicaciones de las leyes de Newton ...........77

Capítulo 7

Energía de un sistema.................................................................................91

Capítulo 8

Conservación de la energía ......................................................................107

Capítulo 9

Cantidad de movimiento lineal y colisiones ............................................123

Capítulo 10

Rotación de un objeto en torno a un eje ﬁjo .........................................139

Capítulo 11

Cantidad de movimiento angular ............................................................157

Capítulo 12

Equilibrio estático y elasticidad................................................................175

Capítulo 13

Gravitación universal ................................................................................191

Capítulo 14

Mecánica de ﬂuidos ..................................................................................205

Capítulo 15

Movimiento oscilatorio.............................................................................221

Capítulo 16

Movimiento ondulatorio ..........................................................................237

Capítulo 17

Ondas sonoras ...........................................................................................251

Capítulo 18

Sobreposición y ondas estacionarias........................................................263

Capítulo 19

Termodinámica ..........................................................................................279

Capítulo 20

Primera ley de la termodinámica .............................................................293 iii

Contenido detallado Capítulo 1 Física y medición ....................................... 1 Medición ......................................................1 Cantidades suplementarias ........................1 Análisis dimensional ...................................1 Conversión de unidades .............................2 Orden de magnitud ....................................2 Notación cientíﬁca ......................................2 Cifras signiﬁcativas......................................2 Problemas resueltos ................................3 Problemas de repaso ...............................7

Capítulo 2 Movimiento en una dimensión ............. 11 Ecuaciones y conceptos.............................11 Pregunta objetiva .....................................13 Preguntas conceptuales ............................13 Problemas resueltos ..............................15 Problemas de repaso .............................25

Capítulo 3 Vectores .................................................. 29 Ecuaciones y conceptos.............................29 Producto punto .........................................31 Preguntas objetivas...................................31 Preguntas conceptuales ............................32 Problemas resueltos ..............................33 Problemas de repaso .............................39

Capítulo 4 Movimiento en dos dimensiones........... 45 Ecuaciones y conceptos.............................45 Pregunta objetiva .....................................47 Preguntas conceptuales ............................47 Problemas resueltos ..............................49 Problemas de repaso .............................57

Capítulo 5 Las leyes del movimiento ....................... 61 Ecuaciones y conceptos.............................61 Pregunta objetiva .....................................63 Preguntas conceptuales ............................63 Problemas resueltos ..............................65 Problemas de repaso .............................73

Capítulo 6 Movimiento circular y otras aplicaciones de las leyes de Newton .............................................. 77 Ecuaciones y conceptos.............................77 Pregunta objetiva .....................................77 Preguntas conceptuales ............................78 Problemas resueltos ..............................79 Problemas de repaso .............................87

Capítulo 7 Energía de un sistema ............................ 91 Ecuaciones y conceptos.............................91 Preguntas objetivas...................................93 Pregunta conceptual.................................93 Problemas resueltos ..............................95 Problemas de repaso ...........................101

Capítulo 8 Conservación de la energía.................. 107 Ecuaciones y conceptos...........................107 Pregunta objetiva ...................................108 Preguntas conceptuales ..........................108 Problemas resueltos ............................109 Problemas de repaso ...........................119

Capítulo 9 Cantidad de movimiento lineal y colisiones ............................................ 123 Ecuaciones y conceptos...........................123 Preguntas objetivas.................................126 Preguntas conceptuales ..........................126 Problemas resueltos ............................127 Problemas de repaso ...........................135

Capítulo 10 Rotación de un objeto en torno a un eje ﬁjo ........................................... 139 Ecuaciones y conceptos...........................139 Pregunta objetiva ...................................142 Preguntas conceptuales ..........................142 Problemas resueltos ............................143

Capítulo 13 Gravitación universal............................ 191 Ecuaciones y conceptos...........................191 Pregunta objetiva ...................................193 Preguntas conceptuales ..........................193 Problemas resueltos ............................195 Problemas de repaso ...........................201

Capítulo 14 Mecánica de ﬂuidos ............................. 205 Ecuaciones y conceptos...........................205 Otras unidades comunes de presión ......................................205 Pregunta objetiva ...................................206 Preguntas conceptuales ..........................206 Problemas resueltos ............................209 Problemas de repaso ...........................217

Problemas de repaso ...........................151

Capítulo 11 Cantidad de movimiento angular ....... 157 Ecuaciones y conceptos...........................157 Pregunta objetiva ...................................159 Preguntas conceptuales ..........................159 Problemas resueltos ............................161 Problemas de repaso ...........................169

Capítulo 12 Equilibrio estático y elasticidad ........... 175 Ecuaciones y conceptos...........................175 Pregunta objetiva ...................................176 Pregunta conceptual...............................176 Problemas resueltos ............................177 Problemas de repaso ...........................185

Capítulo 15 Movimiento oscilatorio ........................ 221 Ecuaciones y conceptos...........................221 Pregunta objetiva ...................................223 Preguntas conceptuales ..........................223 Problemas resueltos ............................225 Problemas de repaso ...........................233

Capítulo 16 Movimiento ondulatorio ..................... 237 Ecuaciones y conceptos...........................237 Cantidades de onda características ................................237 Preguntas objetivas.................................238 Pregunta conceptual...............................238 Problemas resueltos ............................239 Problemas de repaso ...........................245

Capítulo 17 Ondas sonoras ...................................... 251 Ecuaciones y conceptos...........................251 Pregunta objetiva ...................................252 Pregunta conceptual...............................252 Problemas resueltos ............................253 Problemas de repaso ...........................259

Capítulo 18 Sobreposición y ondas estacionarias ......................................... 263 Ecuaciones y conceptos...........................263 Pregunta objetiva ...................................264 Preguntas conceptuales ..........................265

Capítulo 19 Termodinámica ..................................... 279 Ecuaciones y conceptos...........................279 Pregunta objetiva ...................................280 Preguntas conceptuales ..........................280 Problemas resueltos ............................283 Problemas de repaso ...........................289

Capítulo 20 Primera ley de la termodinámica ........ 293 Ecuaciones y conceptos...........................293 Pregunta objetiva ...................................295 Preguntas conceptuales ..........................295 Problemas resueltos ............................297 Problemas de repaso ...........................303

Problemas resueltos ............................267 Problemas de repaso ...........................275

Respuestas a Problemas de repaso ........ 307

Presentación Hasta hace apenas un par de años, nadie hubiera imaginado el cambio radical que sufriría el proceso de enseñanza-aprendizaje. Representa todo un reto llevarlo a cabo de manera digital, a distancia, o bien, híbrida. Ni quienes aprenden, ni mucho menos quienes enseñan, estábamos preparados para la nueva realidad. Nunca pensamos que la interacción presencial entre estudiantes y docentes se extrañaría y, más aún, se aquilataría. El duro presente y el impredecible futuro han orillado a los unos a buscar alternativas para adquirir conocimientos, y a los otros, a tener nuevos complementos y metodologías que refuercen su trabajo. Siempre preocupados en apoyar el proceso educativo de las ciencias y brindar soluciones efectivas a sus desafíos didácticos, Cengage se enorgullece en presentar esta obra totalmente diferente a las anteriores en su género. Motivados por la reciente necesidad de que los estudiantes puedan aprender de modo más autodidacta y que los facilitadores cuenten con instrumentos innovadores para el desarrollo de su labor, se presenta este Problemario-solucionario de física. Se trata de una herramienta que ofrece teoría concreta, resumida y accesible, con una cantidad incomparable de ejercicios resueltos paso a paso sin omitir detalles y una gran batería de ejercicios propuestos, todos con respuestas y organizados en grupos, que servirán de práctica a los estudiantes para presentar sus exámenes. La teoría, presentada de manera breve pero sin perder formalidad, ofrece al usuario una referencia inmediata para cualquier curso de física a nivel medio superior y superior. Además, en cada uno de sus capítulos se presentan ejercicios propuestos para que alumnas y alumnos practiquen lo aprendido o para que el docente asigne sin dificultades actividades de reforzamiento. Las respuestas de cada batería de ejercicios se incluyen al final de la obra. Aunado a lo anterior, los docentes podrán también acompañarse de este libro como herramienta de respaldo en su trabajo, al contar con una gran cantidad de ejercicios que, sin duda, pueden ser considerados al momento de preparar sus planteamientos teórico-prácticos de clase y para la elaboración de sus evaluaciones. Este material funciona en el contexto de aprendizaje individual o grupal, presencial o a distancia, ya que es adaptable a la nueva realidad educativa. Conscientes de que los libros tradicionales deben adaptarse también a la nueva realidad del contexto pedagógico, Cengage ofrece esta innovadora obra, que sin duda le será de gran utilidad en el estudio de la física. Esperamos que muy pronto este material pueda acompañar a la comunidad estudiantil y al profesorado, en apoyo a la adquisición del conocimiento, el cual nunca se detendrá.

vii

Prefacio Física 1. Problemas y soluciones presenta una propuesta educativa innovadora de autoestudio que ofrece a los alumnos y alumnas la posibilidad de usarlo a su propio ritmo, pues les permite analizar y entender problemas por sí mismos y facilitar el conocimiento de los temas de cálculo a fin de prepararse eficaz y hábilmente para sus evaluaciones. La obra cuenta con tres grandes secciones en cada capítulo:

Teoría básica y suﬁciente de los temas tratados planteada de manera breve.

Capítulo

Movimiento en dos dimensiones 46

ECUACIONES Y CONCEPTOS El desplazamiento de una partícula se define como la diferencia entre los vectores de posición inicial y final. Para el desplazamiento ilustrado en la figura a la derecha, la magnitud del desplazamiento es menor que la longitud de la trayectoria real (la línea abierta) desde la posición inicial a la final.

D r ; rf 5 ri

(4.1)

Capítulo 4 Movimiento en dos dimensiones

Un proyectil se mueve con velocidad constante a lo largo de la dirección horizontal y con aceleración constante a lo largo de la dirección vertical descendente. La trayectoria de un proyectil es una parábola.

Trayectoria real

Coordenada de posición

La rapidez promedio de una partícula durante cualquier intervalo de tiempo es la razón de la distancia total de recorrido (longitud de la trayectoria) al tiempo total. La velocidad instantánea de una partícula es el límite de la velocidad promedio a medida que Dt o 0. La magnitud de la velocidad instantánea se conoce como rapidez. La aceleración promedio de una partícula que experimenta un cambio S

Componentes de velocidad

vprom ;

x f 5 (vi cos ui) t

(4.2)

gt 2

(4.9b)

v xf 5 vi cos ui

(4.9c)

vxf 5 vi sen ui 2 gt

(4.9d)

vi2 sen2 ui

Altura máxima

Alcance (rango)

Trayectoria (ruta)

yf 5 (tan ui)xf 2 q

(4.9e)

v ; lím

t S0

aprom ;

Dv Dt

(4.3)

(4.4)

rPA

(4.9f)

g 2vi2 cos2ui

r xf2

(4.9g)

vf 2 vi

tf 2 t i

(4.5)

ac 5 Use el simulador de Posición y tiempo en movimiento de proyectiles

El movimiento en dos dimensiones con aceleración constante se describe mediante ecuaciones para la velocidad y la posición, las cuales son versiones vectoriales de las ecuaciones cinemáticas unidimensionales.

a ; lím

Dt S 0

Dv Dt

r 5 x î 1 y ĵ S

(4.6)

rPB

vBAt

vBA

(4.7)

vf 5 vi 1 at 1 2 rf 5 S ri 1 S vi t 1 S at 2

El vector de aceleración centrípeta para una partícula en movimiento circular uniforme tiene una magnitud constante dada por la ecuación 4.10. El vector de aceleración centrípeta siempre se dirige hacia el centro de la trayectoria circular, tal como se muestra en la figura; cambia constantemente de dirección. El periodo (T) de una partícula que se mueve con rapidez constante en un círculo de radio r se define como el intervalo de tiempo requerido para completar una revolución. La frecuencia del movimiento ( f ) es igual a at 1/T y se establece en hertz (Hz).

(4.8a)

(4.8b)

Componentes de la aceleración S cuando ƒ v ƒ no es constante

v es la velocidad angular en unidades de s21. v 5 rv La aceleración total de una partícula moviéndose en una trayectoria curva es la suma vectorial de los componentes radial y tangencial de la aceleración. La componente radial (ar) se dirige hacia el centro

La figura anterior muestra el punto P en reposo con respecto a un observador en A; el S observador en B se mueve hacia la derecha con velocidad constante vBA.

(4.10)

Use el simulador de Velocidad en movimiento de proyectiles

PREGUNTA OBJETIVA

S a

El vector de posición para una partícula en movimiento en el plano xy puede escribirse en términos de coordenadas y vectores unitarios.

vi2 sen 2ui

dt S

S Dv en la velocidad Dv en un intervalo de tiempo Dt es igual a la razón . Dt La aceleración instantánea es el límite de la aceleración promedio a medida que Dt S 0. Una partícula experimenta una aceleración cuando el vector velocidad cambia en magnitud, dirección o ambas.

rapidez distancia total promedio 5 tiempo total

1. Un marinero deja caer una llave inglesa desde la parte superior del mástil vertical de un barco que se mueve hacia adelante en forma rápida y constante. ¿Dónde golpeará la llave a la cubierta? a) Delante de la base del mástil, b) en la base del mástil, c) detrás de la base del mástil, d) en el lado expuesto al viento de la base del mástil, e) Ninguna de las opciones de a) a d) es verdadera.

S v

Respuesta: b). Aquí hay un argumento en favor de esta respuesta: cuando el marinero abre sus dedos para liberarla, la llave se convierte en un proyectil. Su movimiento vertical es afectado por la gravedad y es independiente de su movimiento horizontal. La llave sigue moviéndose en forma horizontal con la rapidez que tenía antes de ser liberada, y esta es la misma que la rapidez de avance constante del barco. Por lo tanto, la llave cae a una pequeña distancia constante del mástil en movimiento.

Una masa m en movimiento circular uniforme

2pr

(4.11)

v 2p

v5 T v 5 rv S

(4.12)

at 5

Galileo sugirió la idea para esta pregunta y dio otro argumento para la respuesta b): el marco de referencia del barco es exactamente tan bueno como el marco de referencia de la Tierra para describir el movimiento de la llave. En el marco de referencia del barco la llave comienza en el reposo y se mueve en caída libre. Viaja directamente hacia abajo junto al mástil fijo y aterriza en la base del mástil.

(4.13) S

A 5 ar 1 at

(4.14)

(4.15)

ar 5 2ac 52

v2 r

(4.16)

PREGUNTAS CONCEPTUALES 1. Una nave espacial se desplaza por el espacio a una velocidad constante. De repente, una fuga de gas en el costado de la nave le da una aceleración constante en una dirección perpendicular a la velocidad inicial. La orientación de la nave no cambia, así que la aceleración permanece perpendicular a la dirección original de la velocidad. ¿Qué forma tiene la trayectoria que sigue la nave espacial en esta situación?

Problemas y soluciones a ejercicios que muestran paso a paso cómo deben resolverse, o bien, explican la respuesta cuando esta es concreta; esto les ayudará a seguir avanzando en su estudio y lograr los aprendizajes planteados.

Problemas resueltos Problema 1 Un galón de pintura (volumen 5 3.78 3 1023 m3) cubre un área de 25.0 m2. ¿Cuál es el espesor de la pintura fresca sobre la pared?

Solución

Categorizar: Modelamos la película de pintura sobre la pared como un sólido rectangular, con su volumen dado por el área de la “huella de pintura”, es decir, el área de la pared multiplicada por su espesor e perpendicular a esta área y que se asume que es uniforme. V 3.78 3 1023 m3 5 Analizar: V 5 Ae nos da e 5 5 1.51 3 1024 m A 25.0 m2 Finalizar: El espesor de 1.5 décimas de milímetro es comparable al espesor de una hoja de papel, por lo que la respuesta es razonable. La película tiene muchas moléculas de espesor.

S F 5 (5.50 ˆi 1 2.60 ĵ) m/s

5 6.08 m/s2 a 25.3°

Finalizar: El problema no pide explícitamente la magnitud y dirección de la aceleración, por lo que hubiéramos podido terminar con la respuesta expresada en la forma de vector unitario. Vemos que efectivamente la aceleración en el inciso b) es de mayor magnitud que en el inciso a) y en una dirección más cercana al eje x.

Problema 5 Un carro de 1 000 kg jala un remolque de 300 kg. Juntos, el carro y el remolque se mueven hacia adelante con una aceleración de 2.15 m/s2. Ignore cualquier fuerza de arrastre del aire sobre el carro y todas las fuerzas de fricción sobre el remolque. Determine a) la fuerza neta sobre el carro, b) la fuerza neta sobre el remolque, c) la fuerza ejercida por el remolque sobre el carro y d) la fuerza resultante ejercida por el carro sobre el camino.

Problema 2 A la fecha, la deuda nacional de Estados Unidos es de aproximadamente $16 billones de dólares. Si se hicieran pagos con una razón de $1 000 por segundo, ¿cuántos años tomaría pagar la deuda, suponiendo que no se cargaran intereses? b) Un billete de dólar mide aproximadamente 15.5 cm de largo. ¿Cuántos billetes unidos de un extremo a otro se necesitarían para llegar a la Luna? La distancia de la Tierra a la Luna es 3.84 3 108 m. Nota: antes de hacer los cálculos, trate de adivinar las respuestas. Puede que se sorprenda.

Solución Conceptualizar: Dado que el carro se está acelerando, la fuerza neta sobre él será distinta de cero. Observe que la fuerza neta sobre el carro es la que se requiere para acelerar únicamente al carro, y no al remolque, a una razón de 2.15 m/s2. Un cálculo mental rápido utilizando la ecuación F 5 ma nos da una fuerza de aproximadamente 2 000 N. Categorizar: Usamos la segunda ley de Newton.

Solución a) Conceptualizar: Ciertamente 16 billones es una gran cantidad de dinero, así que, a una razón de $1 000/segundo, podemos suponer que tomará toda una vida (~100 años) pagar la deuda. Categorizar: El intervalo de tiempo para pagar la deuda se calculará dividiendo la deuda total entre la razón a la cual se paga. Analizar: T 5

S S S ˆ 5 (27.5 iˆ 1 13.0 j) ˆ N b) - F 5 F1 1 F2 5 [20.00 iˆ 1 (15.0 cos 60° iˆ 1 15.00 sen 60° j)] S

Conceptualizar: Suponemos que la pintura tiene el mismo volumen en el recipiente y sobre la pared.

$16 billones $1 000/s

$16 3 1012 (1 000/s)(3.156 3 107 s/años)

Remolque 300 kg

Carro 1 000 kg

Rcarro

5 507 años

T nRem

Finalizar: Nuestra suposición se quedó corta. ¡$16 billones realmente es muchísimo dinero! b) Conceptualizar: Podemos suponer que 16 billones de billetes alcanzarán para ir de la Tierra a la Luna, y probablemente de regreso, dado que nuestra primera estimación fue baja. Categorizar: El número de billetes es la distancia a la Luna dividida entre la longitud de un dólar. D 3.84 3 108 m 5 5 2.48 3 109 billetes ℓ 0.155 m Finalizar: Dieciséis billones de dólares es más de seis mil veces estos dos mil quinientos millones de dólares. La tira de billetes que componen la deuda atraviesa el golfo cósmico miles de veces, por lo que nuevamente nuestra suposición se quedó corta. La tira podría rodear el ecuador de la Tierra casi 62 mil veces. Con

Analizar: N 5

T nc

FgRem

Fgc

Analizar: Elija la dirección 1x como horizontal y hacia adelante con el eje 1y vertical y hacia arriba. Así, la aceleración común del carro y el remolque tiene las componentes de ax 5 12.15 m/s2 y ay 5 0. a) La fuerza neta sobre el coche es horizontal y está dada por

( SFx )carro5 F 2 T 5 m carroa x 5 ( 1 000 kg ) ( 2.15 m/s2 ) 3

5 2.15 3 10 hacia adelante b) La fuerza neta sobre el remolque también es horizontal y está dada por

(S Fx )remolque 5 1 T 5 mremolque ax 5 ( 300 kg ) ( 2.15 m/s2 ) 5 645 N hacia adelante

c) Considere los diagramas simplificados del carro y del remolque. La única fuerza que actúa sobre el remolque es T 5 645 N hacia adelante, y esta se ejerce sobre el remolque por el carro. La tercera ley de Newton establece que S la fuerza que ejerce el remolque sobre el carro es 645 N hacia atrás. Además, (- Fy)carro 5 nc Fgc 5 mcarroay 5 0, así que nc 5 Fgc 5 mcarro g 5 9.80 3 103 N. La fuerza resultante ejercida por el camino sobre el carro es, entonces,

Problemas resueltos

viii

S S S de curvatura y surge del cambio en la dirección del vector de velocidad. La compo- rPA 5 rPB 1 vBAt (4.17) nente tangencial (at) es perpendicular al radio y ocasiona el cambio en la rapidez de la S S S partícula. La figura anterior ilustra el caso en el que una partícula se mueve en sentido uPA 5 uPB 1 vBA (4.18) contrario a las manecillas del reloj con una rapidez creciente. El primer subíndice describe lo que está siendo Las ecuaciones de transformación de Galileo relacionan la posición y la velocidad de observado; el segundo un objeto tal como es percibida por dos observadores en movimiento relativo. describe al observador

(4.9a)

y f 5 (vi sen ui ) t 2

La velocidad promedio de una partícula que lleva a cabo un desplazaS S miento D r en un intervalo de tiempo Dt es igual a la razón D r Dt. La velocidad promedio depende del vector de desplazamiento y no de la longitud de la trayectoria recorrida.

Capítulo 4 Movimiento en dos dimensiones

A continuación se resumen las ecuaciones que describen el movimiento de un proyectil que se lanza desde un origen ti 5 0 con una componente de velocidad positiva y y regresa al nivel horizontal:

S rPA 5 posición de P respecto a A S rPB 5 posición de P respecto a B S uPA 5 velocidad medida en P respecto a A S uPB 5 velocidad medida en P respecto a B S vBA 5 velocidad de B respecto a A

Ejercicios propuestos del mismo tipo, para que el estudiante los resuelva y le sirvan de práctica para los exámenes. Problemas de repaso Cantidad de movimiento lineal y colisiones Para repasar lo visto anteriormente, resuelve los siguientes problemas. Nombre: _______________________________________________________________________________________________ Grupo: ______________________________________________

1. Un camión de 2 000 kg que viaja con una rapidez de 6.0 m s da una vuelta de 90° en un tiempo de 4.0 s y sale de ella con una rapidez de 4.0 m s. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza resultante promedio en el camión durante esta vuelta? a) 4.0 kN b) 5.0 kN c) 3.6 kN

Fecha: ______________________________________

d) 22 N e) 3.0 N 4. Se muestra la única fuerza que actúa sobre un objeto de 2.0 kg que se mueve a lo largo del eje x. Si la velocidad vx es –2.0 m s en t 5 0, ¿cuál es la velocidad en t 5 4.0 s?

2. Un objeto de 1.2 kg que se mueve con una rapidez de 8.0 m s colisiona perpendicularmente con una pared y sale con una rapidez de 6.0 m s en la dirección opuesta. Si el objeto está en contacto con la pared durante 2.0 ms, ¿cuál es la magnitud de la fuerza promedio sobre el objeto junto a la pared? a) 9.8 kN

t(s) 1

b) 11 N c) 18 N

A 1 21

C 2

3 D

E 4

t(s)

a) b) c) d) e)

16. Refiérase a la figura 15.1. Un punto o puntos en los que el objeto tiene velocidad positiva y aceleración cero es(son)

4.2 2.1 1.5 1.0 3.8

4.0 2.5 1.5 1.0 0.5

15. Un péndulo de torsión consiste en un disco sólido (masa 5 2.0 kg, radio 5 1.0 m) suspendido por un cable sujeto a un soporte rígido. El cuerpo oscila alrededor del cable de soporte. Si la constante de torsión es 16 N ͞ m rad. ¿Cuál es la frecuencia angular (en rad s)?

e) 1.2 kN

a) 14 N

Use esta figura para responder las siguientes preguntas.

a) b) c) d) e)

c) 7.7 kN

3. Una pelota de juego de 1.5 kg se mueve con una velocidad de 3.0 m s dirigida 30° por debajo de la horizontal justo antes de que golpee una superficie horizontal. La pelota sale de esta superficie 0.50 s más tarde con una velocidad de 2.0 m s dirigida 60$ por encima de la horizontal. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza resultante promedio sobre la pelota?

a) B b) C c) D

b) 8.4 kN d) 9.1 kN

x(m) 1 24

lar (en rad s) para oscilaciones pequeñas es aproximadamente

14. En la siguiente figura, un aro (radio R 5 1.0 m, masa 5 2.0 kg) que tiene cuatro rayos de masa despreciable está suspendido de un pivote a una distancia d 5 .25 m eje arriba de su centro de masa. La frecuencia angular (en rad s) para oscilaciones pequeñas es aproximadamente

Fx(N)

d) 6.4 kN e) 0.67 kN

13. En la siguiente figura, un disco (radio R 5 1.0 m, masa 5 2.0 kg) está suspendido desde un pivote a una distancia d 5 0.25 m por encima de su centro de masa. Para un disco circular, 1 Icm 5 mR 2. La frecuencia angueje 2

a) 2.0 m s b) 4.0 m s c) 3.0 m s d) 11.0 m s

a) 2

e) 15.0 m s

b) 4

5. Se muestra la única fuerza que actúa sobre un objeto de 2.0 kg que se mueve a lo largo del eje x. Si la velocidad vx es 12.0 m s en t 5 0, ¿cuál es la velocidad en t 5 4.0 s?

c) 6 d) 8 e) 7

e) A y E

a) A b) B c) C d) D e) E 18. Refiérase a la figura 15.1. El punto en el que el objeto tiene velocidad cero y aceleración positiva es a) A b) B c) C d) D e) E 19. Refiérase a la figura 15.1. El punto en el que el objeto tiene velocidad cero y aceleración negativa es a) A b) B

Figura 15.1 135

d) B y D

17. Refiérase a la figura 15.1. El punto en el que el objeto tiene velocidad negativa y aceleración cero es

A continuación se muestra un gráfico de la posición en función del tiempo para un objeto que oscila en el extremo libre de un resorte horizontal. Un punto o puntos en los que el objeto tiene velocidad positiva y aceleración cero es(son)

c) C d) D e) E 20. En un equilibrio de inercia, un cuerpo apoyado contra la gravedad ejecuta oscilaciones armónicas simples en un plano horizontal bajo la acción de un Problemas de repaso

235

Al trabajar en este modelo de autoestudio, los alumnos pueden avanzar de manera gradual en cada tema y cuando sea necesario profundizar podrán consultar la teoría en el libro de texto.

CÓDIGOS QR Esta obra cuenta con contenidos didácticos de fácil acceso por medio de códigos QR, los cuales vinculan a videos que complementan el tema tratado. Pueden consultarse al escanearlos con un lector de QR o directamente, con la cámara de su dispositivo electrónico o celular, ya sea Android®* o iOS®*. Si no puede acceder a los códigos, le pedimos verificar si su celular necesita alguna aplicación para escanear, o bien, una configuración específica de su cámara. Una vez que acceda, consulte los contenidos horizontalmente para que pueda ver de manera detallada todos los elementos que el video presenta.

* Esta mención se usa solo con fines ilustrativos, los derechos pertenecen al titular de la marca.

SIMULADORES La física es una ciencia experimental, por lo que en este Problemario se presentan simuladores de algunos de los diferentes fenómenos físicos analizados. Los simuladores nos permiten no solo observar el fenómeno, sino incluso predecir el comportamiento bajo ciertas condiciones. Los simuladores se utilizan para coadyuvar al proceso de aprendizaje de la física, para comprender y utilizar los conceptos que explican y predicen el comportamiento de un sistema físico, para que así el alumno construya modelos mentales apropiados a partir de los fenómenos presentados en el simulador. Algunos de los simuladores ofrecidos permiten manipular los valores de las variables que intervienen en el fenómeno presentado para observar el efecto del cambio de las condiciones iniciales. Los simuladores están disponibles a través de los códigos QR.

Use el simulador incluido en el código QR

Nota importante sobre resultados de los ejercicios:

En el libro se presentan los resultados redondeados. El autor realiza los cálculos guardando en la memoria todas las expansiones decimales, lo cual depende de la calculadora y de las cifras significativas. Por tal motivo, los resultados que obtengan los alumnos pueden diferir ligeramente.

Capítulo

Física y medición

MEDICIÓN La física estudia los fenómenos naturales. Uno de los pasos necesarios para el estudio de estos fenómenos naturales es describirlos. La descripción puede ser cualitativa o cuantitativa. Para realizar una descripción es necesario hacer mediciones. ¿Qué es medir? Es comparar una cantidad dada de algo con una unidad de medida. Por ejemplo, el tamaño de un objeto, el tiempo que un objeto permanece en movimiento, la temperatura de un fluido, la corriente que fluye por un alambre, etcétera. Las leyes de la física se expresan mediante relaciones matemáticas entre cantidades físicas. Para evitar confusiones con las cantidades, desde 1960 un comité internacional creó el Sistema Internacional de unidades (SI), que es la versión moderna del sistema métrico. Este sistema tiene siete unidades básicas:

Nombre metro segundo kilogramo kelvin mol ampere candela

Unidades básicas: Sistema Internacional Símbolo Mide m longitud s tiempo kg masa K temperatura mol cantidad de sustancia A corriente eléctrica cd intensidad luminosa

CANTIDADES SUPLEMENTARIAS Para medir ángulos, en el SI se utilizan el radián y el estereorradián. Al combinar las unidades básicas se obtienen las demás unidades, llamadas unidades derivadas del Sistema Internacional.

ANÁLISIS DIMENSIONAL Gracias a las matemáticas sabemos que solo se pueden sumar, restar o igualar cantidades que sean de la misma especie, y esto mismo se utiliza en física con solo cambiar el término especie por dimensión; por ejemplo, las dimensiones de longitud, masa y tiempo se denotan respectivamente por L, M y T. Se usan corchetes para denotar las dimensiones de una cantidad física. Comenzaremos presentando las dimensiones de la aceleración. Una expresión de la aceleración en el movimiento rectílineo uniformemente acelerado es v 2 v0 a5 t La escribimos en forma dimensional L [a] 5

[v]2[v0] [t]

2 T

L T

L T2 1

Capítulo 1 Física y medición

Obtenemos que la dimensión de la aceleración es

. T2 El análisis dimensional es útil para determinar dimensiones y para verificar si las ecuaciones que estamos utilizando son dimensionalmente correctas.

CONVERSIÓN DE UNIDADES Para utilizar cantidades que están en otros sistemas de unidades se utilizan factores de conversión; por ejemplo: Se conoce que 1 ángstrom 5 10210 m Determine 5 000 cm en ángstroms.

5 000 cm 5 5 000 cm

1m 100 cm

5 000 cm

100 cm 10

210

Å 5 5 3 1011 Å

1 N 5 0.2248 lb Determine 2 800 lb en N. 2 800 lb 5 2 800 lb

N 0.2248 lb

5 12 456 N

ORDEN DE MAGNITUD Cuando no conocemos exactamente las cantidades que intervienen en una ecuación se puede hacer un cálculo de orden de magnitud, con lo cual encontraremos aproximadamente qué potencia de 10 tiene la respuesta.

NOTACIÓN CIENTÍFICA Al trabajar con los problemas encontraremos cantidades muy pequeñas o muy grandes. Estos números se pueden expresar con notación científica. Usando notación científica cualquier numero se puede escribir como un número entre 1 y 10, por una potencia entera de 10. Por ejemplo, el radio de Bohr, que es el radio de la órbita electrónica más pequeña del átomo de hidrógeno en el modelo de Bohr, es igual a 5.29 3 10211 m y el radio del Sol es 6.957 3 108 m.

CIFRAS SIGNIFICATIVAS El número de cifras significativas indica la precisión de una cantidad física. Por ejemplo, si escribimos 26 km se puede decir que conocemos la longitud hasta el km siguiente; sin embargo, si escribimos 26.04 km esto indica que conocemos la longitud hasta la centésima más cercana. Las siguientes son las reglas para establecer las cifras significativas: 1. Cuando se suman o se restan dos o más cantidades, el resultado es tan preciso como la menos precisa de las cantidades. 2. Cuando se multiplican o se dividen las cantidades, el resultado tiene el mismo número de cifras significativas que se encuentre en la cantidad con el menor número de cifras significativas. 3. Cuando realice una serie de cálculos, el redondeo correcto de cifras significativas se debe realizar solamente al final, no en cada paso.

Problemas resueltos Problema 1 Un galón de pintura (volumen 5 3.78 3 1023 m3) cubre un área de 25.0 m2. ¿Cuál es el espesor de la pintura fresca sobre la pared?

Solución Conceptualizar: Suponemos que la pintura tiene el mismo volumen en el recipiente y sobre la pared. Categorizar: Modelamos la película de pintura sobre la pared como un sólido rectangular, con su volumen dado por el área de la “huella de pintura”, es decir, el área de la pared multiplicada por su espesor e perpendicular a esta área y que se asume que es uniforme. V 3.78 3 1023 m3 5 Analizar: V 5 Ae nos da e 5 5 1.51 3 1024 m 2 A 25.0 m Finalizar: El espesor de 1.5 décimas de milímetro es comparable al espesor de una hoja de papel, por lo que la respuesta es razonable. La película tiene muchas moléculas de espesor.

$16 billones $1 000/s

$16 3 1012 (1 000/s)(3.156 3 107 s/años)

5 507 años

Finalizar: Nuestra suposición se quedó corta. ¡$16 billones realmente es muchísimo dinero! b) Conceptualizar: Podemos suponer que 16 billones de billetes alcanzarán para ir de la Tierra a la Luna, y probablemente de regreso, dado que nuestra primera estimación fue baja. Categorizar: El número de billetes es la distancia a la Luna dividida entre la longitud de un dólar. D 3.84 3 108 m 5 2.48 3 109 billetes Analizar: N 5 5 ℓ 0.155 m Finalizar: Dieciséis billones de dólares es más de seis mil veces estos dos mil quinientos millones de dólares. La tira de billetes que componen la deuda atraviesa el golfo cósmico miles de veces, por lo que nuevamente nuestra suposición se quedó corta. La tira podría rodear el ecuador de la Tierra casi 62 mil veces. Con

vueltas sucesivas enrolladas de un extremo a otro sin superponerse, los dólares cubrirían una zona centrada en el ecuador y de aproximadamente 4.2 km de ancho.

Problema 3 En orden de magnitud, ¿cuántos afinadores de pianos residen en la ciudad de Nueva York? El físico Enrico Fermi solía hacer estas preguntas en el examen oral de doctorado.

Solución Conceptualizar: No es necesario que tome la guía telefónica o haga una búsqueda en Google. ¡Piense! Categorizar: Cada afinador de pianos a tiempo completo debe mantenerse lo suficientemente ocupado como para ganarse la vida. Analizar: Suponga una población total de 107 personas. Además, estimamos que una de cada cien personas posee un piano. Suponga que en un año un afinador puede darle servicio a 1 000 pianos (aproximadamente 4 por día durante 250 días laborables) y que cada piano se afina una vez al año. Por lo tanto, el número de afinadores 5a

DÀQDGRU

1 piano

b (107 personas) , 100 afinadores

1 000 pianos 100 personas Finalizar: Si tuviera al alcance un directorio de internet tendría que contar. En vez de eso, confíe en su estimación. La habilidad de Fermi para hacer estimados de orden de magnitud se ejemplifica por su medición de la emisión de energía de la primera bomba nuclear (la prueba Trinity en Alamogordo, Nuevo México) al observar la caída de pedazos de papel cuando la onda expansiva pasó por su estación, a 14 km de la zona cero.

Problema 4 El diámetro de nuestra galaxia en forma de disco, la Vía Láctea, es de aproximadamente 1.0 3 105 años luz (a-l). La distancia a la galaxia Andrómeda, que es la galaxia espiral más cercana a la Vía Láctea, está a aproximadamente 2.0 millones de a-l. Si un modelo a escala representa ambas galaxias como platos de cocina con un diámetro de 25 cm, determine la distancia entre los centros de los dos platos.

Solución Conceptualizar: La galaxia Andrómeda se observa a simple vista, aunque está a 2.0 millones de a-l de distancia. Categorizar: Simplemente multiplicamos la distancia entre las dos galaxias por el factor de escala utilizado para los platos de cocina. Analizar: El factor de escala utilizado en el modelo de “platos de cocina” es S5a

0.25 m 1.0 3 105 a-1

b 5 2.5 3 1026 m/a-l

La distancia a Andrómeda en el modelo a escala será DEscala 5 DReal S 5 (2.0 3 106 a-l)(2.5 3 1026 m/a-l) 5 5.0 m Finalizar: Las galaxias Vía Láctea y Andrómeda se precipitan una hacia la otra debido a la gravedad. Las dos galaxias “colisionarán” en aproximadamente 3 mil millones de años y eventualmente se fusionarán para conformar una supergalaxia.

Capítulo 1 Física y medición

Problema 5 El surtidor de una fuente se localiza en el centro de un estanque circular como se muestra en la figura de la derecha. Un estudiante camina alrededor de la fuente y al medir su circunferencia obtiene el resultado de 15.0 m. Luego, el estudiante se para en el borde del estanque y usa un transportador para medir el ángulo de elevación hasta la punta de la fuente y obtiene un ángulo f 5 55.0°. ¿Qué tan alta es la fuente?

55°

Solución Conceptualizar: La geometría se inventó para hacer mediciones indirectas, como la siguiente. Categorizar: Imaginemos una vista superior para calcular el radio del estanque a partir de su circunferencia. Imaginemos una vista lateral recta para usar trigonometría a fin de encontrar la altura.

h 55°

Analizar: Defina un ángulo recto cuyos catetos representen la altura y el radio de la fuente. A partir de las dimensiones de la fuente y del triángulo, la circunferencia es C 5 2pr y el ángulo satisface tan f 5 h/r. Así, al sustituir, h 5 r tan f 5 a

C 2p

b tan f

Evaluando, h5

15.0 m 2p

tan 55° 5 3.41 m

Finalizar: Cuando analizamos un sistema tridimensional a partir de una dirección en particular, podemos descubrir una perspectiva a la que se aplican las matemáticas simples.

Problema 6 El consumo de gas natural por parte de una compañía satisface la ecuación empírica V 5 1.50t 1 0.008 00t 2, donde V es el volumen de gas en millones de pies cúbicos y t es el tiempo en meses. Exprese esta ecuación en unidades de pies y segundos cúbicos. Suponga un mes de 30.0 días.

Solución Conceptualizar: Las unidades de volumen y tiempo implican unidades de combinación particulares para los coeficientes en la ecuación. Categorizar: Escribimos “millones de pies cúbicos” como 106 pies3 y utilizamos las unidades de tiempo y volumen dadas para asignar unidades a la ecuación. Analizar: V 5 (1.50 3 106 pies3/mes)t 1 (0.00800 3 106 pies3/mes2)t 2 Para convertir las unidades a segundos, utilice

Problemas resueltos

1 mes5 30.0 d a V 5 a1.50 3106

3 600 s 6 aa a 52.59 310 s, para obtener 1d 1h

24 h

pies3 mes

1 mes 2.59 310 6 s

V 5 (0.579 pies3/ s)t 1(1.19 310

a t 1 a0.00800 310

pies3

1 mes

mes

2.593106 s

aa 2

2 a t

pies3 /s 2 )t 2

V 5 0.579t 1 1.19 3 10 9 t 2 , donde V está en pies cúbicos y t está en segundos. Finalizar: El coeficiente del primer término es la cantidad en volumen de flujo de gas al principio del mes. El coeficiente del segundo término se relaciona con qué tanto aumenta la cantidad de flujo cada segundo.

Capítulo 1 Física y medición

Problemas de repaso Física y medición Para repasar lo visto anteriormente, resuelve los siguientes problemas. Nombre: _______________________________________________________________________________________________ Grupo: ______________________________________________

1. ¿Cuál de los siguientes productos de equivalencias da el factor de conversión para convertir millas por mi m hora a b a metros por segundo a b? h s a)

5 280 pies 12 pulg 2.54 cm 100 cm 1h ? ? ? ? mi pie 1 pulg 1 m 3 600 s 1 mi

1 pulg

5 280 pies 12 pulg 2.54 cm

pie

1 pulg

5 280 pies 12 pulg 2.54 cm ?

pie

1 pulg

1h ?

1m 100 cm

3 600 s 1h

1 2. El término rv2 aparece en la ecuación de Bernoulli, 2 donde r es la densidad de un fluido y v su rapidez. Las dimensiones de este término son a) b) c) d) e)

M21L5T2 MLT2 ML21T22 M21L9T22 M21L3T22

3. ¿Cuál de las siguientes cantidades tiene las mismas 1 dimensiones que la energía cinética mv2? (Nota: 2 [a] 5 [g] 5 LT22; [h] 5 L y [v] 5 LT21). a) b) c) d) e)

ma mvx mvt mgh mgt

a) b) c) d)

mv mvr mv2r ma

mv2 r

100 cm 3 600 s ?

4. La cantidad con las mismas unidades que la fuerza multiplicada por el tiempo, Ft, con dimensiones MLT–1 es

100 cm 3 600 s

5 280 pies 12 pulg 2.54 cm

mi d)

1 pie

Fecha: ______________________________________

5. Se sabe que un mol del isótopo de carbono 12 contiene 6.022 3 1023 átomos. ¿Qué volumen en m3 se necesitaría para almacenar un mol de bloques infantiles en forma de cubo de 2.00 cm de largo en cada lado? a) 4.8 3 1018 b) 1.2 3 1022 c) 6.0 3 1023 d) 1.2 3 1024 e) 4.8 3 1024 6. Un galón de líquido de Estados Unidos contiene un volumen de 231 pulgadas cúbicas. ¿Cuántos litros de gasolina tendría que comprar en Canadá para llenar un tanque de 14 galones? (Nota: 1 L 5 1013 cm3.) a) 53 b) 21 c) 14 d) 8.0 e) 4.0 7. Al final de un año, una compañía automotriz anuncia que las ventas de una camioneta se han reducido 43% durante el año. Si las ventas continúan 7

disminuyendo en 43% en cada año sucesivo, ¿cuánto tiempo demorarán las ventas en disminuir a cero? a) b) c) d) e)

1 año 2 años 3 años 4 años Más de 4 años

11. Una página de examen estándar mide 8.5 pulgadas por 11 pulgadas. Un examen de 2.0 mm de grosor tiene un volumen de

8. Antonio afirma que el análisis dimensional muestra que la expresión correcta para el cambio en la mt S S S S velocidad vf 2 vi, es vf 2 vi 5 , donde m es la F masa, t es el tiempo y F es la magnitud de la fuerza. Carla dice que no puede ser cierto porque las ML dimensiones de la fuerza son c d. ¿Quién tiene T2 razón? a) Antonio, porque C v D 5 c

b) Antonio, porque C v D 5 c S

c) Carla, porque C v D 5 c S

d) Carla, porque C v D 5 c S

T2 T2 L

T L

e) Antonio, porque las dimensiones de la fuerza S T3 d. son C F D 5 c ML 9. ¿Cuál de las siguientes cantidades tiene dimensiones ML d? iguales a c T2 a) mv b) mv2 mv2 c) r d) mrv mv2 e) r2 10. Una página de examen estándar mide 8.50 pulgadas por 11.0 pulgadas. Su área en cm2 es a) 19.5 b) 36.8 c) 93.5 8

d) 237 e) 603

Capítulo 1 Física y medición

a) b) c) d) e)

1.9 3 104 mm3 4.7 3 104 mm3 1.2 3 105 mm3 3.1 3 105 mm3 3.1 3 103 mm3

12. ¿Qué cantidad se puede convertir del sistema inglés al sistema métrico por el factor de conversión 5 280 pies 12 pulg 2.54 cm 1 m 1h ? ? ? ? ? mi pie 1 pulg 100 cm 3 600 s a) b) c) d) e)

Pie por segundo Pie por hora Millas por segundo Millas por hora Millas por minuto

13. La respuesta a una pregunta es CMLT21D. La pregunta es "¿Cuáles son las dimensiones de a) b) c) d)

mr?" mvr?" ma?" mat?" mv2 ?" e) r 14. Si cada fotograma de una película cinematográfica tiene 35 cm de altura y pasan 24 cuadros en un segundo, calcule cuántos fotogramas se necesitan para mostrar una película de dos horas de duración. a) b) c) d) e)

1 400 25 000 50 000 170 000 Esto no se puede determinar sin saber cuántos carretes se usaron.

15. Un número tiene tres cifras significativas y otro número tiene cuatro cifras significativas. Si estos números se suman, restan, multiplican o dividen, ¿qué operación puede producir la mayor cantidad de cifras significativas?

a) b) c) d) e)

La adición La resta La multiplicación La división Todas las operaciones dan como resultado la misma cantidad de cifras significativas.

16. Un rectángulo tiene una longitud de 1.323 m y un ancho de 4.16 m. Usando reglas de cifras significativas, ¿cuál es el área de este rectángulo? a) b) c) d) e)

5.503 68 m2 5.503 7 m2 5.504 m2 5.50 m2 5.5 m2

18. Una placa de aluminio de 2.00 m por 3.00 m tiene una masa de 324 kg. ¿Cuál es el grosor de la placa? (La densidad del aluminio es 2.70 3 103 kg/m3) 19. ¿Cuál es la masa de aire en una habitación que mide 5.0 m 3 8.0 m 3 3.0 m? (La densidad del aire es 1/800 la del agua). 20. La función básica de un carburador de un automóvil es atomizar la gasolina y mezclarla con aire para promover una combustión rápida. Como ejemplo, suponga que 30 cm3 de gasolina se atomizan en N gotitas esféricas, cada una con una con un radio de 2.0 3 10–5 m. ¿Cuál es el área de superficie total de estas N gotitas esféricas?

17. El kilogramo estándar es un cilindro de platinoiridio de 39 mm de altura y 39 mm de diámetro. ¿Cuál es la densidad del material? (Tome p 5 3.14).

Para ver las respuestas de los Problemas de repaso de manera digital, acceda al QR. Problemas de repaso

Capítulo

Movimiento en una dimensión

ECUACIONES Y CONCEPTOS El desplazamiento Dx de una partícula que se mueve de una posición xi a la posición xf es igual a la coordenada final menos la coordenada inicial. El desplazamiento puede ser positivo, negativo o cero. La distancia recorrida es la longitud de la trayectoria seguida por una partícula y no debe confundirse con el desplazamiento. Cuando xf 5 xi, el desplazamiento es cero; sin embargo, si la partícula abandona xi, viaja a lo largo de la trayectoria y regresa a xi, la distancia recorrida no será cero. La velocidad promedio de un objeto durante un intervalo de tiempo Dt es el cociente del desplazamiento total Dx con el intervalo de tiempo durante el cual ocurre el desplazamiento.

vx, prom ;

Dx ; xf 2 xi B

El desplazamiento (la línea sólida) no debe confundirse con la distancia recorrida (línea punteada).

(2.1) Dt La rapidez promedio de una partícula es una cantidad escalar definida como el cociente de la distancia total recorrida con el tiempo requerido para recorrer dicha distancia. La rapidez promedio no tiene dirección y no lleva un signo algebraico. La magnitud de la velocidad promedio no es la rapidez promedio, aunque en ciertos casos pueden ser numéricamente iguales. d vprom ; (2.2) Dt La velocidad instantánea v se define como el límite del cociente Dx/Dt a medida que Dt se aproxima a cero. A este límite se le conoce como la derivada de x con respecto a t. La velocidad instantánea en cualquier tiempo es la pendiente de la gráfica posición-tiempo en ese instante. Para el movimiento que se muestra en la figura, la rapidez instantánea en t 5 2 s es igual a la pendiente de la tangente trazada en t 5 2 s.

vx ; lím

Dt o0

Dx Dt

(2.3)

x (m) 12 10 8 6

La rapidez instantánea es la magnitud de la velocidad instantánea.

La aceleración promedio de un objeto se define como el cociente del cambio en la velocidad al intervalo de tiempo durante el cual ocurre el cambio en la velocidad. La ecuación 2.4 da la aceleración promedio de una partícula en movimiento unidimensional a lo largo del eje x.

ax, prom ;

Dv Dt

vxf2vxi tf2ti

(2.4)

2 0

t (s)

Gráfica de posición-tiempo para una partícula que se mueve a lo largo del eje x.

Capítulo 2 Movimiento en una dimensión

La aceleración instantánea ax se define como el límite del cociente

Dv Dt

a medida que Dt se aproxima a cero. Un valor nega-

ax ; lím

Dt o0

Dvx Dt

dvx dt

(2.5)

tivo para la aceleración no necesariamente implica que la magnitud de la velocidad (o rapidez) está disminuyendo.

La aceleración también se puede expresar como la segunda derivada de la posición con respecto al tiempo. La ecuación 2.6 representa el caso de una partícula en movimiento unidimensional a lo largo del eje x.

Las ecuaciones cinemáticas se pueden utilizar para describir el movimiento unidimensional a lo largo del eje x con aceleración constante. Observe que cada ecuación muestra una diferente relación entre cantidades físicas: velocidad inicial, velocidad final, aceleración, tiempo y posición. Las relaciones señaladas en las ecuaciones 2.7a-2.7e únicamente se aplican en casos en los cuales la aceleración es constante.

Use el simulador de Movimiento lineal y la gráﬁca posición-tiempo

Un objeto en caída libre es cualquier objeto que se mueve únicamente por la fuerza gravitacional. Las ecuaciones 2.8a-2.8d se pueden modificar para describir el movimiento de objetos en caída libre al indicar el movimiento a lo largo del eje y (definiendo “hacia arriba” como positivo) y estableciendo ay 5 2g. Un objeto en caída libre experimenta una aceleración que se dirige hacia abajo independientemente de la dirección o la magnitud de su movimiento real.

Use el simulador de Caída libre

ax 5

d 2x

(2.6)

dt 2

Ecuaciones cinemáticas

v x f 5 v xi 1 ax t v x, prom 5

v xi 1 vxf

(2.7a) (2.7b)

1 x f 5 x i 1 (v xi 1 v xf )t 2

(2.7c)

1 x f 5 x i 1 v xi t 1 ax t 2 2

(2.7d)

v xf 2 5 v xi 2 1 2 ax ( x f 2 x i )

(2.7e)

v yf 5 v yi 2 gt

(2.8a)

1 y f 2 y i 5 (v yf 1 v yi )t 2

(2.8b)

1 y f 2 y i 5 v yi t 2 gt 2 2

(2.8c)

v yf 2 5 v yi 2 2 2g(y f 2 y i )

(2.8d)

Capítulo 2 Movimiento en una dimensión

PREGUNTA OBJETIVA 1. Un estudiante en la parte superior de un edificio de altura h lanza una pelota hacia arriba con una rapidez de vi y luego lanza una segunda pelota hacia abajo con la misma rapidez inicial vi. Justo antes de llegar al piso, ¿la rapidez final de la pelota lanzada hacia arriba es a) mayor, b) menor o c) la misma en magnitud comparada con la pelota lanzada hacia abajo? Respuesta. c) Será la misma, si las pelotas están en caída libre sin resistencia del aire. Después de que la primera pelota alcanza su punto más alto y cae hacia abajo pasando por delante del estudiante, tendrá una velocidad de bajada con una magnitud igual a vi. Esta velocidad es la misma que la velocidad inicial de la segunda pelota, así que después de que caen a través de iguales alturas sus rapideces de impacto serán las mismas. En contraste, las pelotas están en vuelo en diferentes intervalos de tiempo.

PREGUNTAS CONCEPTUALES 1. Si la velocidad promedio de un objeto es cero en algún intervalo de tiempo, ¿qué podría decir acerca del desplazamiento del objeto para ese intervalo? Respuesta: El desplazamiento es cero, ya que el desplazamiento es proporcional a la velocidad promedio. 2. Dos autos se mueven en la misma dirección en carriles paralelos a lo largo de una autopista. En cierto instante, la velocidad del auto A excede la velocidad del auto B. ¿Esto significa que la aceleración de A es mayor que la de B? Explique. Respuesta: No. Si un auto A ha viajado con control de manejo, su velocidad podría ser alta (por ejemplo, 60 mi/h 5 27 m/s), pero su aceleración será cercana a cero. Si el auto B acaba de entrar en la autopista, su velocidad probablemente sería baja (15 m/s), pero su aceleración será alta.

Problemas resueltos Problema 1 En la figura a la derecha se muestra la posición en función del tiempo para una cierta partícula que se mueve a lo largo del eje x. Encuentre la velocidad promedio en los intervalos de tiempo a) 0 a 2 s, b) 0 a 4 s, c) 2 s a 4 s, d) 4 s a 7 s y e) 0 a 8 s.

Solución Conceptualizar: Debemos pensar cómo está cambiando x con t en la gráfica. Categorizar: En esta gráfica, podemos indicar las posiciones a dos cifras significativas:

x (m) 10 8 6 4 2 0 t (s) –2 1 2 3 4 5 6 7 8 –4 –6

a) x 5 0 a t 5 0 y x 5 10 m a t 5 2 s: D x 10 m 2 0 5 5 5.0 m/s v x, prom 5 2 s 20 Dt b) x 5 5.0 m a t 5 4 s: D x 5.0 m 2 0 v x, prom 5 5 5 1.2 m/s 4 s 20 Dt c) v x, prom5 d) v x, prom5 e) v x, prom5

Dx Dt Dx Dt

5 5

5.0 m 210 m 4 s 2 2s

52 2.5m/s

–5.0 m 2 5.0 m 7 s 2 4s

523.3 m/s

Dx 0.0 m 20.0 m 5 5 0 m/s 8 s 20 s Dt

Finalizar: La velocidad promedio es la pendiente, no necesariamente de la línea de la gráfica en sí misma, sino de una recta secante que corta a través de la gráfica entre puntos especificados. La pendiente de la recta en sí misma es la velocidad instantánea. Observe cuidadosamente que el cambio en la cantidad se define como el valor final menos el valor original de la cantidad. Utilizamos la definición “primera etapa final” de modo que un cambio positivo describirá un aumento, mientras que un valor negativo para el cambio representará que el último valor es menor que el primer valor.

Problema 2 Una pelota de 50.0 g que viaja a 25.0 m/s golpea en una pared de ladrillo y rebota a 22.0 m/s. Una cámara de alta velocidad registra la acción. Si la pelota está en contacto con la pared durante 3.50 ms, ¿cuál es la magnitud de la aceleración promedio de la pelota durante este intervalo de tiempo?

Solución Conceptualizar: La velocidad de la pelota cambia en una cantidad de tiempo muy breve, así que es de esperar que la aceleración tenga una gran magnitud. Categorizar: El movimiento de la pelota se encuentra completamente en la dirección horizontal. Elegiremos la dirección positiva como la dirección de salida, perpendicular a la pared.

Analizar: Con la salida positiva, vi 5 225.0 m/s y vf 5 22.0 m/s. Utilizamos la ecuación 2.7a para el movimiento unidireccional con aceleración constante vf 5 vi 1 at y resolvemos para la aceleración a fin de obtener a5

Dv Dt

22.0 m/s 2 (225.0) m/s 3.50 3 10

5 1.34 3 104 m/s2

Finalizar: La aceleración es efectivamente muy grande, pero solo ocurre en un periodo de tiempo muy corto.

Problema 3 Una partícula se mueve a lo largo del eje x de acuerdo con la ecuación x 5 2.00 1 3.00t 2 1.00t2, donde x está en metros y t está en segundos. En t 5 3.00 s, encuentre a) la posición de la partícula, b) su velocidad y c) su aceleración.

Solución Conceptualizar: Una función matemática puede ser especificada como una tabla de valores, una gráfica o una fórmula. Los problemas anteriores han mostrado la posición como una función del tiempo con una gráfica. Este problema muestra x(t) con una ecuación. Categorizar: Para encontrar la posición simplemente evaluamos la expresión dada. Para encontrar la velocidad, la derivamos. Para hallar la aceleración, tomaremos una segunda derivada. Analizar: Con la posición dada por x 5 2.00 1 3.00 2 t2, podemos usar las reglas de derivación a fin de escribir expresiones para la velocidad y la aceleración como funciones de tiempo:

vx 5

dx dt

( 2 1 3t 2 t 2 ) 5 3 2 2 t

ax 5

dv dt

(3 2 2t) 522

Ahora podemos evaluar x, v y a en t 5 3.00 s. a) x 5 2.00 1 3.00(3.00) 2 (3.00)2 5 2.00 m b) vx 5 3.00 2 2(3.00) 5 23.00 m/s c) ax 5 22.00 m/s2 Finalizar: La operación de tomar una derivada con respecto al tiempo corresponde físicamente a encontrar qué tan rápido cambia una cantidad para encontrar su razón de cambio.

Problema 4 El coronel John P. Stapp de la Fuerza Aérea de Estados Unidos participó en un estudio para determinar si un piloto de jet podría sobrevivir a una expulsión de emergencia. El 19 de marzo de 1954 montó en un trineo propulsado que se desplazó a lo largo de una pista con una rapidez de 632 mi/h. Tanto él como su trineo se detuvieron a salvo en 1.40 s. Determine: a) la aceleración negativa que experimentaron y b) la distancia que recorrieron durante esta aceleración negativa.

Solución Conceptualizar: Estimamos que la aceleración se encuentra entre 210g y 2100g; es decir, entre 2100 m/s2 y 21 000 m/s2. Ya hemos seleccionado la pista rectilínea como el eje x y la dirección del trayecto como positiva. Es de esperar que la distancia de parada sea del orden de los 100 m. 16

Capítulo 2 Movimiento en una dimensión

Categorizar: Suponemos que la aceleración es constante. Seleccionamos los puntos inicial y final separados por 1.40 s, dejando entre paréntesis el proceso de disminución de velocidad. De esta manera tenemos un problema acerca de una partícula bajo aceleración constante. Analizar:

v xi 5 632 mi/h 5 632 mi/h a

1 609 m 1h ba b 5 282 m/s 1 mi 3 600 s

a) Tomando vfx 5 vxi 1 axt con vfx 5 0,

ax 5

v x f v xi t

0 2 282 m/s 5 2 202 m/s 2 1.40 s

Esto tiene una magnitud de aproximadamente 20g. 1 1 b) xf 2 xi 5 (vxi 1 vxf ) t 5 (282 m/s 1 0)(1.40 s) 5 198 m 2 2 Finalizar: Mientras que xf 2 xi, vxi y t son todas positivas, ax es negativa, como se esperaba. Nuestras respuestas para ax y para la distancia están de acuerdo con nuestras estimaciones de orden de magnitud. Por muchos años, el coronel Stapp mantuvo el récord mundial de rapidez en tierra.

Problema 5 El conductor de un auto pisa el freno cuando ve un árbol bloqueando el camino. El auto disminuye su velocidad de manera uniforme con una aceleración de 25.60 m/s2 por 4.20 s, dejando marcas de llanta a lo largo de 62.4 m hasta el árbol. ¿Con qué rapidez impacta finalmente el árbol?

Solución Conceptualizar: Suponiendo que la velocidad inicial del auto es de aproximadamente 25 m/s, podemos estimar que después de 62.4 m de desaceleración a 5.60 m/s2, la velocidad final del auto no será muy alta, sino probablemente menor de 5 m/s. Categorizar: Debido a que no conocemos las velocidades inicial y final del auto, necesitaremos utilizar simultáneamente dos ecuaciones para encontrar la rapidez a la cual el auto impacta con el árbol. Analizar: A partir de la ecuación 2.7a, tenemos v x f 5 v xi 1 ax t 5 v xi 1(25.60 m/s 2 )(4.20 s) v xi 5 v x f 1(5.60 m/s2 )(4.20 s)

[1]

y de la ecuación 2.7c, 1 (vxi 1v x f ) t 2 1 62.4 m 5 (vxi 1v x f ) (4.20 s) 2 Sustituyendo vxi en [2] a partir de [1] obtenemos x f 2x i 5

62.4 m 5

[2]

1 [ v x f 1(5.60 m/s2) (4.20 s)1 v x f ] (4.20 s) 2

1 14.9 m/s 5 v x f 1 (5.60 m/s2) (4.20 s) 2

Por lo tanto, vxf 5 3.10 m/s Problemas resueltos

Finalizar: Nuestra estimación era correcta, y utilizando la ecuación [1] podemos encontrar que la velocidad inicial del auto era 26.6 m/s, o 59.5 millas por hora. La mayoría de los autos hoy en día tienen parachoques que pueden soportar una colisión de 5 mph, pero el auto impacta el árbol a aproximadamente 7 mph, probablemente causando un daño menor en la parte delantera.

Problema 6 Una estudiante lanza verticalmente hacia arriba unas llaves a una compañera de su casa de estudiantes, quien se encuentra en una ventana a 4.00 m de altura. La segunda estudiante atrapa las llaves 1.50 s después. a) ¿Con qué velocidad inicial fueron lanzadas las llaves? b) ¿Cuál era la velocidad de las llaves antes de que fueran atrapadas? 4.00 m

Solución Conceptualizar: No necesitamos saber de antemano si las llaves se mueven hacia arriba o se han girado para moverse hacia abajo cuando la segunda mujer las atrapa. Categorizar: Modelamos las llaves como una partícula bajo la aceleración constante de caída libre.

Analizar: Asumamos que la posición de la primera estudiante es yi 5 0 y la posición de la segunda yf 5 4.00 m. Se nos proporciona t 5 1.50 s y ay 5 29.80 m/s2. 1 a) Seleccionamos la ecuación y f 5 y i 1 v yi t 1 ay t 2 para conectar los datos y la incógnita. 2 1 y f 2 y i 2 ay t 2 2 Resolvemos: v yi 5 t 1 4.00 m 2 (29.80 m/s) 2 (1.50 s) 2 2 y sustituimos: v yi 5 5 10.0 m/s 1.50 s b) La velocidad en cualquier tiempo t . 0 está dada por vyf 5 vyi 1 ayt. Por lo tanto, en t 5 1.50 s, vy f 5 10.0 m/s 2 (9.80 m/s2)(1.50 s) 5 24.68 m/s El signo negativo significa que las llaves se mueven hacia abajo justo antes de que las atrapen. Finalizar: El punto “inicial” realmente es justo después de que las llaves se separan de la mano de la primera estudiante, mientras que el punto “final” es justo antes de que la segunda estudiante las atrape. Por lo tanto, las manos no dan a las llaves ninguna aceleración desconocida durante el movimiento en consideración. La aceleración entre estos puntos es la aceleración conocida causada por la gravedad del planeta.

Problema 7 Un joven estudiante de física y alpinista sube a un acantilado de 50.0 m de alto que domina un estanque de aguas tranquilas. Lanza dos piedras verticalmente hacia abajo, con un lapso de 1.00 s entre una y otra, y observa que provocan un solo chapoteo. La primera piedra tiene una rapidez inicial de 2.00 m/s. a) ¿Cuánto tiempo después de que lanza la primera piedra impactan las dos piedras con el agua? b) ¿Cuál es la rapidez de cada piedra en el instante en que las dos piedras golpean el agua? 18

Capítulo 2 Movimiento en una dimensión

Conceptualizar: Las dos rapideces originales distintas de cero de las dos piedras no afectan sus aceleraciones, las cuales tienen el mismo valor g en dirección descendente. Se trata de dos problemas de caída libre. Categorizar: Las ecuaciones elegidas a partir del conjunto estándar de aceleración constante describen cada piedra por separado, pero tenga cuidado al resolver una ecuación cuadrática. Analizar: Establecemos el punto más alto del acantilado como yi 5 0 y debemos encontrar el intervalo de tiempo requerido para que la primera piedra impacte con el agua utilizando el modelo de una partícula bajo aceleración constante:

1 y f 5 y i 1 v yi t 1 ay t 2 2 1 2 ayt2 2 vyit 1 yf 2 yi 5 0 2

o en una forma cuadrática:

a) Si consideramos que la dirección descendente es negativa: yf 5 250.0 m

vyi 5 22.00 m/s

ay 5 29.80 m/s2

Sustituyendo estos valores en la ecuación, tenemos: (4.90 m/s2)t2 1 (2.00 m/s)t 2 50.0 m 5 0 Utilice la fórmula cuadrática. La piedra impacta con el estanque después de ser lanzada, así que el tiempo debe ser positivo y únicamente la raíz positiva describe esta situación física: 2

22.00 m/s 6 (2.00 m/s) 2 4 ( 4.90 m/s2 ) (250.0 m )

5 3.00 s

2 ( 4.90 m/s2 )

donde hemos tomado la raíz positiva. b) Para la segunda piedra, el tiempo de recorrido es t 5 3.00 s 2 1.00 s 5 2.00 s. 1 Dado que yf 5 yi 1 vyit 1 ayt2, 2

( yf 2 yi ) 2 v yi 5

1 2 at 2 y

250.0

1 2 m2 (29.80 m/s2 ) ( 2.00s ) 2 2.00 s

5 2 15.3 m/s El valor negativo nos indica la dirección descendente de la velocidad inicial para la segunda piedra. c) Para la primera piedra, v1 f 5 v1i 1 a1t1 5 22.00 m/s 1 (29.80 m/s2)(3.00 s) v1 f 5 231.4 m/s Para la segunda piedra, v2 f 5 v2i 1 a2t2 5 215.3 m/s 1 (29.80 m/s2)(2.00 s) v2 f 5 234.8 m/s Finalizar: Confirme que sabe que la solución de ax2 1 bx 1 c 5 0 está dada por la fórmula cuadrática 2b6 b224ac x5 . La ecuación tiene dos soluciones que debemos considerar. Se necesita la fórmula cuadrática 2a cuando una ecuación incluye un término que contiene la incógnita a la segunda potencia, un término que tiene la incógnita a la primera potencia y un término constante que tiene la incógnita a la potencia cero. En este problema Problemas resueltos

la otra raíz de la ecuación cuadrática es 23.40 s. Esto significa que el estudiante no necesitó lanzar la primera piedra hacia el estanque en el momento cero. La piedra podría haber sido eructada por un monstruo dentro del estanque, quien le dio una velocidad ascendente de 31.4 m/s, 3.40 s antes de que la piedra cayendo pasara al estudiante. En esta historia diferente la piedra tiene el mismo movimiento desde el acantilado hasta el estanque.

Problema 8 Abril está probando su nuevo auto deportivo en una carrera contra Jesús, un experimentado automovilista. Ambos comienzan desde el punto de reposo, pero Abril deja la línea de salida 1.00 s después que Jesús. Jesús se desplaza con una aceleración constante de 3.50 m/s2, mientras que Abril mantiene una aceleración de 4.90 m/s2. Determine: a) el momento en el que Abril rebasa a Jesús, b) la distancia que Abril viaja antes de que alcance a Jesús, c) las rapideces de ambos autos en el momento en que Abril rebasa a Jesús.

Solución Conceptualizar: Ambos corredores recorren distancias iguales entre la línea de salida y el punto de llegada, pero sus tiempos de recorrido y sus rapideces en el punto de llegada son diferentes. Categorizar: Contamos con ecuaciones de aceleración constante que se aplican de manera separada a los dos automóviles. Analizar: d) Sean los tiempos de Abril y Jesús tA y tJ , donde tJ 5 tA 1 1.00 s. Ambos empiezan desde el reposo (vxi,A 5 vxi,J 5 0), de manera que las distancias recorridas son 1 1 x A 5 ax, At A2 5 (4.90 m/s2 )t A2 2 2 1 1 x J 5 ax, J t J2 5 (3.50 m s 2 ) (t A 1 1.00 s) 2 2 2

Cuando Abril rebase a Jesús, las dos distancias serán iguales. Considerando que xA 5 xJ, tenemos 1

1 (4.90 m s 2 )t A2 5 (3.50 m s 2 )(t A 1 1.00 s) 2 2 2 Simplificamos esto y lo escribimos en la forma de una ecuación cuadrática estándar como t A2 ( 5.00 t A ) s 2 2.50 s 2 5 0

Resolvemos utilizando la fórmula de la ecuación cuadrática t 5 hallar que tA 5

5 6 522 4(1)(22.5) 2(1)

2b6 b2 2 4ac

5 1 35

, suprimiendo las unidades, para

5 5.46 s

Desde un punto de vista físico, únicamente la raíz positiva tiene sentido, ya que el punto de rebase debe ubicarse después del punto de salida en el tiempo. e) Utilizamos la ecuación del inciso a) para la distancia del recorrido, 1 1 x A 5 ax, At A2 5 (4.90 m s2 )(5.46 s) 2 5 73.0 m 2 2 f) Recordando que vxi, A 5 vxi, J 5 0, las velocidades finales serán: 20

Capítulo 2 Movimiento en una dimensión

v xf , A 5 ax, At A 5 (4.90 m/s2 )(5.46 s) 5 26.7 m/s v xf, J 5 ax, J t J 5 (3.50 m/s2 )(6.46 s) 5 22.6 m/s Finalizar: ¡Tres subíndices! Puede que sea más fácil llevar un seguimiento de todos los parámetros que describen el movimiento acelerado de dos objetos haciendo una tabla de todos los símbolos xiA xA vxi, A vxf, A axA xiJ

vxi, J vxf, J axJ

Piense en el significado particular de cada uno. Muestre al principio de la lista los valores conocidos y complete las incógnitas a medida que avance.

Problema 9 Dos objetos, A y B, están conectados por bisagras a una varilla rígida con una longitud L. Los objetos se deslizan a lo largo de rieles perpendiculares como se muestra en la figura a la derecha. Suponga que A se desliza hacia la izquierda con rapidez constante v. a) Encuentre la velocidad vB relativa al objeto B como una función del ángulo u. b) Describa vB relativa a v. ¿Es vB siempre menor que v, mayor que v, la misma que v o tiene alguna otra relación?

Solución Conceptualizar: Se puede imitar el movimiento con una regla, guiando sus extremos a lo largo de los lados de una hoja de papel. B empieza a moverse muy rápidamente y después lentamente, pero no con aceleración constante.

Categorizar: Traducimos de una representación pictórica a través de un modelo geométrico a una representación analítica observando que las distancias x y y siempre están relacionadas por x2 1 y2 5 L2. Analizar: a) Derivando esta ecuación con respecto al tiempo, tenemos 2x

Ahora la velocidad incógnita de B es

Pero de modo que

5 vB y

dt así que derivando la ecuación, se obtiene

1 2y

dx dt

dy dt

52 v,

x dx x a b 52 a b (2v ) 5 v B y dt y

dt y 5 tan u, x 1 vB 5 a bv tan u

b) Suponemos que u comienza de cero. En este instante 1/tan u es infinito y la velocidad de B es infinitamente mayor que A. A medida que u se incrementa, la velocidad del objeto B disminuye, convirtiéndose igual a v cuando u 5 45°. Después de ese instante, B continúa disminuyendo su velocidad con aceleración no constante, llegando al reposo a medida que u tiende a 90°.

Problemas resueltos

Finalizar: La definición de velocidad como la derivada con respecto al tiempo de la posición siempre es verdadera. La derivación es una operación que siempre podemos efectuar a ambos lados de la ecuación. Tal vez sea una sorpresa que el valor de L no afecte a la respuesta.

Problema 10 En una carrera femenina de 100 metros, acelerando de manera uniforme, Laura tarda 2.00 s en alcanzar su rapidez máxima e Hilda tarda 3.00 s. Cada una mantiene su rapidez durante el resto de la carrera. Ambas cruzan la línea de meta al mismo tiempo, estableciendo un récord mundial de 10.4 s. a) ¿Cuál es la aceleración de cada competidora? b) ¿Cuáles son sus rapideces máximas correspondientes? c) ¿Cuál competidora está por delante en la marca de los 6.00 s y qué tanto? d) ¿Cuál es la distancia máxima a la que Hilda está detrás de Laura y en qué momento sucede esto?

Solución Conceptualizar: Hilda pasa más tiempo acelerándose, así que debe acelerarse a una velocidad “terminal” y alcanzar a Laura en la línea de meta. Categorizar: Es necesario dividir el movimiento de cada atleta en dos secciones, una con aceleración constante diferente de cero y otra con velocidad constante, para aplicar nuestras ecuaciones estándar. Analizar: a) Laura se mueve con una aceleración constante positiva aL durante 2.00 s, y después con rapidez constante (aceleración de cero) durante 8.40 s, cubriendo una distancia de xL1 1 xL2 5 100 m Las dos componentes de la distancia total son

1 x L1 5 a L(2.00 s)2 2 donde vL es su rapidez máxima, dada por

x L 2 5 v L (8.40 s)

v L 5 v L i 1 aLt 5 0 1 aL (2.00 s) Así, por sustitución,

1 2

aL (2.00 s) 2 1 aL (2.00 s)(8.40 s) 5 100 m

Resolvemos para encontrar que aL 5 5.32 m/s2.

De manera similar, para Hilda, xH1 1 xH2 5 100 m con

x H1 5

1 2

aH (3.00 s) 2

x H 2 5 v H (7.40 s)

La rapidez máxima de Hilda está dada por vH 5 aH (3.00 s), así que por sustitución,

1 lo cual da aH 5 3.75 m/s2. 22

aH (3.00 s) 2 1 aH (3.00 s)(7.40 s) 5 100 m

Capítulo 2 Movimiento en una dimensión

b) Sus rapideces después de acelerar son v L 5 aL (2.00 s) 5 (5.32 m/s2 )(2.00 s) 5 10.6 m/s

v H 5 aH (3.00 s) 5 (3.75 m/s2 )(3.00 s) 5 11.2 m/s

c) En los primeros 6.00 s, Laura cubre una distancia

1 aL (2.00 s) 2 1 v L (4.00 s) 5 (5.32 m/s2 )(2.00 s) 2 1 (10.6 m/s)(4.00 s) 2 2 5 53.2 m e Hilda ha corrido una distancia

1 aH (3.00 s) 2 1 v H (3.00 s) 5 (3.75 m/s2 )(3.00 s) 2 1 (11.2 m/s)(3.00 s) 2 2 5 50.6 m Así que Laura está adelante por 53.2 2 50.6 m 5 2.63 m. d) Entre 0 y 2 s Laura tiene la mayor aceleración, de modo que la distancia entre ambas competidoras aumenta. Después de 3 s, la rapidez de Hilda es mayor, así que la distancia entre las dos disminuye. La distancia entre las dos competidoras permanece constante momentáneamente en su máximo valor cuando ambas tienen rapideces iguales. Es en este instante tm que Hilda, quien sigue acelerándose, tiene una rapidez de 10.6 m/s. 10.6 m/s 5 (3.75 m/s 2) t m

t m 5 2.84 s

Comparar sus posiciones con este momento nos da Laura: x 5 (1/2)(5.32)(2.00)2 1 (10.6)(0.840) 5 19.6 m Hilda: x 5 (1/2)(3.75)(2.84)2 5 15.1 m y muestra que Laura está adelante por 19.6 m 2 15.1 m 5 4.47 m Finalizar: Hemos llevado a cabo los mismos pasos al analizar a ambas competidoras. Al final del inciso c) comparamos sus posiciones. ¿Considera que 53.2 menos 50.6 debería dar exactamente 2.6 o 2.6 con el siguiente dígito desconocido? Nuestro método consiste en almacenar los resultados intermedios en la memoria de la calculadora con muchos dígitos y escribir la respuesta final de tres dígitos solo después de una cadena interrumpida de cálculos sin redondear. De este modo no nos preocupamos sobre cuándo debemos redondear los resultados intermedios ni por cuántos dígitos y no necesitamos volver a teclear números en la calculadora.

Problemas resueltos

Problemas de repaso Movimiento en una dimensión Para repasar lo visto anteriormente, resuelve los siguientes problemas. Nombre: _______________________________________________________________________________________________ Grupo: ______________________________________________

1. La posición de una partícula que se mueve a lo largo del eje x está dada por x 5 (21 1 22t 2 6.0t 2) m, donde t está en s. ¿Cuál es la velocidad promedio durante el intervalo de tiempo t 5 1.0 s a t 5 3.0 s? a) b) c) d) e)

26.0 m/s 24.0 m/s 22.0 m/s 28.0 m/s 8.0 m/s

2. La posición de una partícula que se mueve a lo largo del eje x está dada por x 5 6.0t2 2 1.0t3, donde x está en metros y t en segundos. ¿Cuál es la posición de la partícula cuando alcanza su velocidad máxima en la dirección x positiva? a) b) c) d) e)

24 m 12 m 32 m 16 m 2.0 m

3. La velocidad de una partícula que se mueve a lo largo del eje x se da para t . 0 por vx 5 (32.0t 2 2.00t3) m/s, donde t está en s. ¿Cuál es la aceleración de la partícula cuando (después de t 5 0) alcanza su desplazamiento máximo en la dirección x positiva? a) b) c) d) e)

264.0 m/s2 0 128 m/s2 32.0 m/s2 232.0 m/s2

4. La posición de una partícula a medida que se mueve a lo largo del eje x se da para t . 0 por x 5 (t3 2 3t2

Fecha: ______________________________________

1 6t) m, donde t está en s. ¿Dónde está la partícula cuando alcanza su velocidad mínima (después de t 5 0)? a) 3 m b) 4 m c) 8 m d) 2 m e) 7 m 5. Vx es la velocidad de una partícula que se mueve a lo largo del eje x como se muestra. Si x 5 2.0 m en t 5 1.0 s, ¿cuál es la posición de la partícula en t 5 6.0 s? Vx(m/s2) 4.0 3.0 2.0 1.0 0 21.0

t(s) 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0

22.0

a) 22.0 m b) 12.0 m c) 11.0 m d) 21.0 m e) 6.0 m 6. En t 5 0, una partícula se encuentra en x 5 25 m y tiene una velocidad de 15 m/s en la dirección x positiva. La aceleración de la partícula varía con el

tiempo como se muestra en el diagrama. ¿Cuál es la velocidad de la partícula en t 5 5.0 s?

en x 5 8.0 m es 2.8 m/s. ¿Cuál es la aceleración durante este intervalo de tiempo? a) 0.48 m/s2

ax(m/s2)

b) 0.32 m/s2

6.0

c) 0.64 m/s2

5.0

d) 0.80 m/s2

4.0

e) 0.57 m/s2

3.0 2.0 1.0 0

a) b) c) d) e)

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

t(s)

9. Un protón que se mueve a lo largo del eje x tiene una velocidad inicial de 4.0 3 106 m/s y una aceleración constante de 6.0 3 1012 m/s2. ¿Cuál es la velocidad del protón después de recorrer una distancia de 80 cm? a) 5.1 3 106 m/s

115 m/s 215 m/s 130 m/s 0 21.2 m/s

b) 6.3 3 106 m/s c) 4.8 3 106 m/s d) 3.9 3 106 m/s e) 2.9 3 106 m/s

7. En t 5 0, una partícula se encuentra en x 5 25 m y tiene una velocidad de 15 m/s en la dirección x positiva. La aceleración de la partícula varía con el tiempo como se muestra en el diagrama. ¿Cuál es la posición de la partícula en t 5 5.0 s?

10. Una partícula que se mueve con una aceleración constante tiene una velocidad de 20 cm/s cuando su posición es x 5 10 cm. Su posición 7.0 s después es x 5 230 cm. ¿Cuál es la aceleración de la partícula? a) 27.3 cm/s2 b) 28.9 cm/s2

ax(m/s2)

c) 211 cm/s2

6.0

d) 215 cm/s2

5.0

e) 213 cm/s2

4.0

11. Un automóvil que se mueve a lo largo de una vía recta cambia su velocidad de 40 m/s a 80 m/s en una distancia de 200 m. ¿Cuál es la aceleración (constante) del vehículo durante este tiempo?

3.0 2.0 1.0 0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

t(s)

a) 8.0 m/s b) 9.6 m/s

a) b) c) d) e)

175 m 125 m 138 m 150 m 165 m

8. Una partícula confinada al movimiento a lo largo del eje x se mueve con una aceleración constante desde x 5 2.0 m hasta x 5 8.0 m durante un intervalo de tiempo de 2.5 s. La velocidad de la partícula 26

Capítulo 2 Movimiento en una dimensión

c) 12 m/s d) 6.9 m/s e) 0.20 m/s 12. Un fabricante de automóviles afirma que su producto, a partir del reposo, viajará 0.40 km en 9.0 s. ¿Cuál es la magnitud de la aceleración constante requerida para hacer esto? a) 9.9 m/s2 b) 8.9 m/s2

c) 6.6 m/s2 d) 5.6 m/s2 e) 4.6 m/s2 13. Un automóvil que viaja a lo largo de una carretera recta aumenta su velocidad de 30.0 m/s a 50.0 m/s en una distancia de 180 m. Si la aceleración es constante, ¿cuánto tiempo transcurre mientras el automóvil se mueve a esta distancia? a) 6.00 s b) 4.50 s c) 3.60 s d) 4.00 s e) 9.00 s 14. Un objeto que se mueve en el eje x con una aceleración constante aumenta su coordenada x en 80 m en un tiempo de 5.0 s y tiene una velocidad de 120 m/s al final de este tiempo. Determine la aceleración del objeto durante este movimiento. a) 21.6 m/s2 b) 16.4 m/s2 c) 11.6 m/s2 d) 22.0 m/s2 e) 26.4 m/s2 15. Una partícula comienza desde el reposo en xi 5 0 y se mueve durante 10 s con una aceleración de 12.0 cm/s2. Durante los siguientes 20 s, la aceleración de la partícula es de 21.0 cm/s2. ¿Cuál es la posición de la partícula al final de este movimiento? a) 0 b) 13.0 m

17. Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 20 m/s. Dos segundos después, se arroja una piedra verticalmente (desde la misma altura inicial que la pelota) con una velocidad inicial de 24 m/s. ¿A qué altura sobre el punto de lanzamiento se cruzarán la pelota y la piedra? a) 17 m b) 21 m c) 18 m d) 27 m e) 31 m 18. Un objeto se lanza verticalmente y tiene una velocidad ascendente de 18 m/s cuando alcanza un cuarto de su altura máxima por encima de su punto de lanzamiento. ¿Cuál es la velocidad inicial (de lanzamiento) del objeto? a) 35 m/s b) 25 m/s c) 30 m/s d) 21 m/s e) 17 m/s 19. Un objeto se lanza hacia abajo con una velocidad inicial (t 5 0) de 10 m/s desde una altura de 60 m sobre el suelo. En el mismo instante (t 5 0), un segundo objeto es propulsado verticalmente hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad de 40 m/s. ¿A qué altura del suelo se cruzarán los dos objetos? a) 53 m b) 41 m c) 57 m

c) 21.0 m

d) 46 m

d) 12.0 m

e) 37 m

e) 23.0 m 16. Un cohete, inicialmente en reposo, se dispara verticalmente con una aceleración ascendente de 10 m/s2. A una altitud de 0.50 km, el motor del cohete se apaga. ¿Cuál es la máxima altitud que logra? a) 1.9 km b) 1.3 km c) 1.6 km d) 1.0 km e) 2.1 km

20. Una pelota de 50.0 g que viaja a 25.0 m/s golpea en una pared de ladrillo y rebota a 22.0 m/s. Una cámara de alta velocidad registra la acción. Si la pelota está en contacto con la pared durante 3.50 ms, ¿cuál es la magnitud de la aceleración promedio de la pelota durante este intervalo de tiempo? 21. Un barco se mueve a 10.0 m/s en relación con el agua. Si el barco se encuentra en un río donde la corriente es de 2.0 m/s, ¿cuánto tiempo le toma al barco realizar un viaje completo de ida y vuelta de Problemas de repaso

1.00 km río arriba seguido de un viaje de 1.00 km río abajo? 22. Una ciclista comienza una cuesta abajo con una rapidez inicial de 2.0 m/s. Ella baja la colina con una aceleración constante y llega al pie de la misma con una rapidez de 8.0 m/s. Si la colina tiene 12 m de largo, ¿cuánto tiempo le tomó a la ciclista viajar por la colina? 23. Un helicóptero desciende desde una altura de 600 m con una aceleración negativa uniforme,

alcanzando el suelo en reposo en 5.00 minutos. Determine la aceleración del helicóptero y su velocidad inicial. 24. Una tortuga veloz puede correr con una velocidad de 10.0 cm/s y una liebre puede correr 20.0 veces más rápido. En una carrera, ambas comienzan al mismo tiempo, pero la liebre se detiene para descansar durante 2.00 minutos. La tortuga gana por un caparazón (20.0 cm). ¿Cuál fue la duración de la carrera?

Para ver las respuestas de los Problemas de repaso de manera digital, acceda al QR. 28

Capítulo 2 Movimiento en una dimensión

Física 1. Problemas y soluciones presenta una propuesta educativa innovadora de autoestudio que ofrece a los alumnos y alumnas la posibilidad de usarlo a su propio ritmo, pues les permite analizar y entender problemas por sí mismos y facilitar el conocimiento ì Ã Ìi >Ã ì v Ã V> > w ì «Ài«>À>ÀÃi iw V>â Þ ?L i Ìi «>À> ÃÕÃ iÛ> Õ>V iÃ° La obra cuenta con estas características: • /i À > L?Ã V> Þ ÃÕw V i Ìi ì Ã Ìi >Ã ÌÀ>Ì>` Ã° • Problemas y soluciones a ejercicios que muestran paso a paso cómo deben ÀiÃ ÛiÀÃi] L i ] iÝ« V> > ÀiÃ«ÕiÃÌ> VÕ> ` iÃÌ> iÃ V VÀiÌ>Æ iÃÌ iÃ >ÞÕ`>À? > Ãi}Õ À >Û> â> ` i ÃÕ iÃÌÕ` Þ }À>À Ã >«Ài ` â> iÃ « > Ìi>` Ã° • Ejercicios propuestos del mismo tipo, para que el estudiante los resuelva y le sirvan ì «À?VÌ V> «>À> Ã iÝ? i iÃ° • >ÌiÀ > ì v?V >VViÃ > ÌÀ>ÛjÃ ì V ` } Ã +,° č ÌÀ>L> >À i iÃÌi ì ì >ÕÌ iÃÌÕ` ] Ã > Õ Ã À? >Û> â> ` ì > iÀ> }À>`Õ> i V>`> Ìi > Þ Ãi «Ài«>À>À? «>À> «ÀiÃi Ì>À ÃÕÃ iÝ? i iÃ° Ã Û Ì> Ã > V ViÀ Þ ÕÌ â>À Ã ì ?Ã LÀ Ã ì > ÃiÀ i\

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Capítulo 3 Vectores