Cálculo 2. Problemas y soluciones by Cengage

CÁLCULO 2 Problemas y soluciones

James Stewart

Adaptación y Revisión técnica Joel Ibarra Escutia Tecnológico Nacional de México, campus Toluca

Traducción Enrique Cruz Mercado González

Revisión técnica Gilberto Aguilar Miranda Instituto Tecnológico de Chihuahua

Francisco Cuevas Machado Instituto Tecnológico de Ciudad Juárez

Gilberto Serrano Luciano Instituto Tecnológico de Puebla

Australia • Brasil • Canadá • Estados Unidos • México • Reino Unido • Singapur

Cálculo 2. Problemas y soluciones. Primera edición James Stewart Director Higher Education Latinoamérica: Renzo Casapía Valencia Gerente editorial Latinoamérica: Jesús Mares Chacón Editora: Abril Vega Orozco Coordinador de manufactura: Rafael Pérez González Diseño de portada: Karla Paola Benítez García Imagen de portada: ©Zamurovic Brothers / Shutterstock Composición tipográﬁca: Mariana Sierra Enríquez

© D.R. 2022 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. $Y $QGU«V 0ROLQD (QU¯TXH] 3ULPHU SLVR 2ȴFLQD $ Colonia Ampliación Sinatel, Delegación Iztapalapa, Ciudad de México, C.P. 09479 Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podrá ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea JU£ȴFR HOHFWUµQLFR R PHF£QLFR LQFOX\HQGR pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, reproducción, escaneo, digitalización, grabación en audio, distribución en internet, distribución en redes de información o almacenamiento y recopilación en sistemas de información a excepción de lo permitido en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial. Esta es una traducción-adaptación de las obras: Complete Solutions Manual for Single Variable Calculus Early Transcendentals. Eighth Edition, Metric Version. ISBN: 978-1-305-27262-0 © 2016 Cengage Learning. Y SCalcET8e_Test Bank / 1305272374_533947 Complete Solutions Manual for Multivariable Calculus Eighth Edition, Metric Version. ISBN: 978-1-305-38699-0 © 2016 Cengage Learning Y SCalcET8e_Test Bank / 1305272374_533947 'DWRV SDUD FDWDORJDFLµQ ELEOLRJU£ȴFD Stewart, James. Cálculo 2. Problemas y soluciones. Primera edición. ISBN: 978-607-570-058-8 Visite nuestro sitio en: http://latam.cengage.com

Publicado en México 1 2 3 4 5 6 24 23 22 21

Contenido breve

Presentación ......................................................................................................................... vii Prefacio

........................................................................................................................ viii

Principios para la resolución de problemas...................................................................... xi Capítulo 1

Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares ............................................ 1

Capítulo 2

Vectores y la geometría del espacio .............................................................. 37

Capítulo 3

Funciones vectoriales ...................................................................................... 65

Capítulo 4

Derivadas parciales ......................................................................................... 91

Capítulo 5

Integrales múltiples ...................................................................................... 129

Capítulo 6

Cálculo vectorial............................................................................................ 169

Capítulo 7

Ecuaciones diferenciales ............................................................................... 205

Capítulo 8

Ecuaciones diferenciales de segundo orden ............................................... 237

Respuestas a Problemas de repaso ................................................................................ 263

iii

Contenido detallado

Capítulo 1 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares ........................................................1 Curvas planas y ecuaciones paramétricas..........................................1 Cálculo con curvas paramétricas ................1 Coordenadas polares ..................................2 Cálculo con curvas polares..........................2 Secciones cónicas en coordenadas polares ...................................................3 Leyes de Kepler ...........................................3 Problemas resueltos............................ 5 Problemas de repaso ........................ 21

Capítulo 2 Vectores y la geometría del espacio ........ 37 Vectores en el plano .................................37 Operaciones fundamentales con vectores ........................................37 Propiedades de las operaciones fundamentales de vectores ................38 Algunas propiedades adicionales de los vectores.....................................38 El espacio tridimensional ..........................38 Distancia entre dos puntos .......................38 Ecuación de una esfera .............................39 Vectores en el espacio...............................39 El producto punto (producto escalar).................................................39 Propiedades del producto punto .............39 Ángulo entre dos vectores .......................39 Vectores ortogonales ................................39 Cosenos y ángulos directores ...................39 Componente y proyección de dos vectores ...................................40 Trabajo .......................................................40 iv

El producto cruz (producto vectorial)..............................................40 Propiedades del producto cruz ................40 Otras propiedades del producto cruz ......40 Triple producto escalar .............................40 Ecuación de la recta ..................................41 Distancia de un punto a una recta...........41 Ecuación del plano ....................................41 Distancia de un punto a un plano ...........42 Problemas resueltos.......................... 43 Problemas de repaso ........................ 53

Capítulo 3 Funciones vectoriales .................................. 65 Límite y continuidad de una función vectorial ...............................................65 Derivada de una función vectorial...........65 Curvas suaves.............................................66 Propiedades de la derivada ......................66 Integral de una función vectorial ............66 Longitud de arco de una curva ................66 Vector tangente unitario ..........................66 Vectores normal unitario y binormal .......67 Curvatura ...................................................67 Velocidad y aceleración ............................67 Problemas resueltos.......................... 69 Problemas de repaso ........................ 79

Capítulo 4 Derivadas parciales...................................... 91 Función de varias variables.......................91 Deﬁnición formal de límite de una función ...................................91 Continuidad de una función ...................91 Derivadas parciales ...................................91 Notación ....................................................92

Derivadas de orden superior ....................92 Planos tangentes .......................................92 Linealización..............................................92 Diferencial total ........................................93 Regla de la cadena ....................................93 Derivada implícita .....................................93 Derivada direccional .................................94 Gradiente...................................................94 Gradiente y derivada direccional .............94 Plano tangente y recta normal ................94 Máximos y mínimos ..................................95 Multiplicadores de Lagrange ...................95 Problemas resueltos.......................... 97 Problemas de repaso ....................... 117

Capítulo 5 Integrales múltiples .................................. 129 Integrales dobles sobre una región rectangular ........................................129 Regiones generales en el plano .............129 Integrales dobles sobre una región general ..............................................130 Propiedades de las integrales múltiples ............................................130 Integrales dobles en coordenadas polares ...............................................130 Cambio de variable de una integral doble a coordenadas polares ...........131 Momentos y centro de masa de una región plana .........................131 Área de una superﬁcie............................131 Integrales triples .....................................132 Algunas aplicaciones de las integrales triples.....................132 Integrales en coordenadas cilíndricas ...........................................133

Integrales en coordenadas esféricas ......133 Problemas resueltos......................... 135 Problemas de repaso ....................... 155

Capítulo 6 Cálculo vectorial ........................................ 169 Deﬁnición de campo vectorial ...............169 Campo gradiente ....................................169 La integral de línea .................................169 Campos conservativos y funciones potenciales .......................................170 Teorema de Green ..................................171 El rotacional y la divergencia .................171 El teorema de Stokes ..............................171 El teorema de la divergencia de Gauss ............................................172 Problemas resueltos......................... 173 Problemas de repaso ....................... 187

Capítulo 7 Ecuaciones diferenciales .......................... 205 Deﬁnición de ecuación diferencial (ED) .................................205 Tipo de una ecuación diferencial ...........205 Orden de una ecuación diferencial........205 Linealidad de una ecuación diferencial ordinaria .........................205 Grado de una ecuación diferencial ........205 Solución de una ecuación diferencial .........................................205 Soluciones implícitas y explícitas ............206 Familia de soluciones, soluciones particulares y la solución trivial .......206 Solución singular .....................................206 Problema del valor inicial y el teorema de existencia y unicidad ....206 v

Ecuación diferencial separable...............206 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden ................................206 Problemas resueltos......................... 209 Problemas de repaso ....................... 221

Capítulo 8 Ecuaciones diferenciales de segundo orden ..................................... 237 Ecuación diferencial lineal homogénea con coeﬁcientes constantes .........................................237 Ecuación auxiliar .....................................237

Metodología para resolver una ecuación diferencial lineal de orden superior .............................237 El método de los coeﬁcientes indeterminados (principio de superposición) ..............................238 El método de variación de parámetros ...................................239 Problemas resueltos......................... 241 Problemas de repaso ....................... 247

Respuestas a Problemas de repaso ........ 263

Presentación

Hasta hace apenas un par de años, nadie hubiera imaginado el cambio radical que sufriría el proceso de enseñanza-aprendizaje. Representa todo un reto llevarlo a cabo de manera digital, a distancia, o bien, híbrida. Ni quienes aprenden, ni mucho menos quienes enseñan, estábamos preparados para la nueva realidad. Nunca pensamos que la interacción presencial entre estudiantes y docentes se extrañaría y, más aún, se aquilataría. El duro presente y el impredecible futuro han orillado a los unos a buscar alternativas para adquirir conocimientos, y a los otros, a tener nuevos complementos y metodologías que refuercen su trabajo. Siempre preocupados en apoyar el proceso educativo de las ciencias y brindar soluciones efectivas a sus desafíos didácticos, Cengage se enorgullece en presentar esta obra totalmente diferente a las anteriores en su género. Motivados por la reciente necesidad de que los estudiantes puedan aprender de modo más autodidacta y que los facilitadores cuenten con instrumentos innovadores para el desarrollo de su labor, se presenta este Problemario-solucionario de cálculo. Se trata de una herramienta que ofrece teoría concreta, resumida y accesible, con una cantidad incomparable de ejercicios resueltos paso a paso sin omitir detalles y una gran batería de ejercicios propuestos, todos con respuestas y organizados en grupos, que le servirán de práctica a los estudiantes para presentar sus exámenes. La teoría, presentada de manera breve pero sin perder formalidad, ofrece al usuario una referencia inmediata para cualquier curso de cálculo a nivel medio superior y superior. Además, en cada uno de sus capítulos se presentan ocho grupos de ejercicios propuestos para que alumnas y alumnos practiquen lo aprendido o para que el docente asigne sin dificultades actividades de reforzamiento. Las respuestas de cada batería de ejercicios se incluyen al final de la obra. Aunado a lo anterior, los docentes podrán también acompañarse de este libro como herramienta de respaldo en su trabajo, al contar con una gran cantidad de ejercicios que, sin duda, pueden ser considerados al momento de preparar sus planteamientos teórico-prácticos de clase y para la elaboración de sus evaluaciones. Este material funciona en el contexto de aprendizaje individual o grupal, presencial o a distancia, ya que es adaptable a la nueva realidad educativa. Conscientes de que los libros tradicionales deben adaptarse también a la nueva realidad del contexto pedagógico, Cengage ofrece esta innovadora obra, que sin duda le será de gran utilidad en el estudio del cálculo. Esperamos que muy pronto este material pueda acompañar a la comunidad estudiantil y al profesorado, en apoyo a la adquisición del conocimiento, el cual nunca se detendrá.

vii

Prefacio Cálculo 2. Problemas y soluciones, presenta una propuesta educativa innovadora de autoestudio basada en la resolución de problemas que ofrece a los alumnos y alumnas la posibilidad de usarlo a su propio ritmo, pues les permite analizar y entender problemas por sí mismos y facilitar el conocimiento de los temas de cálculo a fin de prepararse eficaz y hábilmente para sus evaluaciones. La obra cuenta con tres grandes secciones en cada capítulo:

Teoría básica y suﬁciente de los temas tratados planteada de manera breve.

Capítulo

Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares Capítulo 1 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares

CURVAS PLANAS Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS Sean f (t) y g (t) dos funciones continuas en un intervalo I. Al par de ecuaciones x 5 f (t) y y 5 g (t) se le conoce como ecuaciones paramétricas en el parámetro t. Al conjunto de puntos en el plano cartesiano C 5 {( x, y) x 5 f (t ), y 5 g (t ), t ∈ I} se le define como curva plana.

CÁLCULO CON CURVAS PARAMÉTRICAS

11. Si las primeras derivadas de una curva paramétrica son continuas en a # t # b, la longitud de arco de una curva paramétrica definida por x 5 f (t) y y 5 g (t) en el intervalo a # t # b está dada por A5∫

b a

b dy dy dx 11 a b dx 5∫ a b 1 a b dt a dx dt dt

Capítulo 1 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares

Dada una curva con ecuaciones paramétricas x 5 f (t) y y 5 g (t), se verifica

12. Si las primeras derivadas de una curva paramétrica son continuas en a # t # b y g (t) $ 0 se hace girar alrededor del eje x, el área de la superficie resultante está dada por

1. La primera derivada de una curva paramétrica está dada por dy dy dt dx 5 , si ?0 dx dx dt

COORDENADAS POLARES

2. Si x0 5 x (t 0 ), y0 5 y (t 0 ) y m 5

dy dx

la ecuación de la recta tangente a la curva paramétrica en el punto t 5 t0

(x0, y0) es

Teorema

dy 5 0. dt dx 7. La curva paramétrica tiene tangentes verticales en los puntos que satisfacen 5 0. dt d 2y 8. La curva paramétrica es cóncava hacia arriba en los puntos que satisfacen 2 . 0. dx d 2y 9. La curva paramétrica es cóncava hacia abajo en los puntos que satisfacen 2 , 0. dx 10. El área acotada por la gráfica de una función y 5 F (x) y el eje x entre las rectas x 5 a y x 5 b se puede calcular al considerar las ecuaciones paramétricas x 5 f (t) y y 5 g (t) que describen la misma gráfica para a # t # b al considerar b

puntos P en el plano tales que

d dy a b d dy d2y d u dx 5 a b5 dx dx 2 dx dx du 4. La curva polar tiene tangentes horizontales en los puntos que satisfacen

La posición más cercana de un planeta al Sol se conoce como perihelio y la posición más lejana de un planeta al Sol se conoce como afelio. Se puede demostrar que la ecuación polar de una elipse con foco en el origen, semieje mayor a, excentricidad e y directriz x 5 d es de la forma a (1 2 e2 ) r5 1 6 e cos u

5 0.

du 5. La curva polar tiene tangentes verticales en los puntos que satisfacen

5 e definen una cónica. Específicamente

Representa una cónica con excentricidad e.

3. La segunda derivada de una curva polar es

La recta fija L se llama directriz, el punto fijo F es el foco y e la excentricidad de la cónica. Al colocar el foco en el origen del sistema, la directriz paralela al eje y y a d unidades de éste, se puede demostrar que una ecuación polar de la forma ed ed r5 or5 1 6 e cos u 1 6 e sen u

y 2 y0 5 m(x 2 x0)

1. La primera derivada de una curva polar está dada por dy dx dy d u r cos u 1 r9 sen u , si ?0 5 5 dx dx r9 cos u 2 r sen u du du dy 2. Si x0 5 x(u0), y0 5 y(u0) y m 5 , la ecuación de la recta tangente a la curva polar en el punto correspondx u 5 u0 diente a u 5 u0 es

A 5 ∫ y dx 5 ∫ g(t ) f 9(t )dt

1. Una elipse si e , 1 2. Una parábola si e 5 1 3. Una hipérbola si e . 1

De acuerdo con el teorema anterior, al representar la curva polar r 5 f (u) por medio de las ecuaciones paramétricas x 5 f (u) cos u y y 5 f (u) sen u, se pueden determinar resultados análogos a los estudiados para curvas paramétricas, por decir

dy , 0 para toda t I. dx

b dx dy dr 2 a b 1 a b d u 5 ∫a r 1 a b d u du du du

b a

Sean F un punto fijo y L una recta fija (ambos en el mismo plano). Si e . 0 es un valor fijo, el conjunto de todos los

Toda curva polar se puede representar paramétricamente.

CÁLCULO CON CURVAS POLARES

6. La curva paramétrica tiene tangentes horizontales en los puntos que satisfacen

1 b 2 r du 2 ∫a

SECCIONES CÓNICAS EN COORDENADAS POLARES

Dada la curva polar r 5 f (u), al considerar la definición de las coordenadas polares x 5 r cos u y y 5 r sen u, se puede escribir x 5 f (u) cos u y y 5 f (u) sen u. Al respecto el siguiente teorema.

A5∫

La gráfica de una ecuación polar es el conjunto 5 (r, u) r 5 f (u), r . 0 6

P(r, u) 5 P(x, y)

y − y0 = m( x − x0 ) d dy a b dt dx d2y d dy 5 a b5 dx dx 2 dx dx dt dy . 0 para toda t I. 4. La curva paramétrica es creciente en I si dx

7. Si r 5 f (u) está definida en a # u # b y su primera derivada es continua en el mismo intervalo, la longitud de arco de la curva polar en el intervalo a # t # b está dada por

Un punto en coordenadas rectangulares (x, y) se puede representar en coordenadas polares al considerar x 5 r cos u y y 5 r sen u. y Del diagrama de la izquierda se observa que r = x 2 + y 2 y tan u = . x y

3. La segunda derivada de una curva paramétrica es

5. La curva paramétrica es decreciente en I si

b dx dy S 5 2 p ∫ y a b 1 a b dt a dt dt

6. El área acotada por la gráfica de una función r 5 f (u) en el intervalo a # u # b está dada por

5 0.

Y además, la distancia del Sol al perihelio de un planeta es a (1 2 e), mientras que la distancia al afelio es a (1 1 e).

Problemas y soluciones a ejercicios que muestran paso a paso cómo deben resolverse, o bien, explican la respuesta cuando esta es concreta; esto les ayudará a seguir avanzando en su estudio y lograr los aprendizajes planteados.

Problemas resueltos Problemas 1-4 Problema 19

Trace la curva paramétrica y elimine el parámetro para encontrar la ecuación cartesiana de la curva. p 3. x 5 cos u, y 5 sec u, 0 < u , 1. x 5 t2 1 4t, y 5 2 2 t, 24 < t < 1 2 y 5 et 4. x 5 2 cos u, y 5 1 1 sen u

(sen u) se llama cocleoide. Use una gráfica de r como una función de u en coordeu nadas cartesianas para trazar la cocleoide a mano. Después trace la gráfica con una máquina para comprobar su trazo.

La curva con ecuación polar r 5

2. x 5 1 1 e2t,

Solución

Solución 1. x 5 t2 1 4t, y 5 2 2 t, 24 # t # 1. t 5 2 2 y, entonces x 5 (2 2 y)2 1 4(2 2 y) 5 4 2 4y 1 y2 1 8 2 4y 5 y2 2 8y 1 12 x 1 4 5 y2 2 8y 1 16 5 (y 2 4)2. Esto forma parte de una parábola con vértice (24, 4) abierta a la derecha.

p 1 1 5 . Porque 0 # u # , 0 , x # 1 cos x 2 1 y y $ 1. Esto forma parte de la hipérbola y 5 . x

3. y 5 sec 5

(5, 1), t51

Use el video de Desparametrización

2. x 5 1 1 e 2t, y 5 et . 2

x 5 1 1 e 2t 5 1 1 (et ) 5 1 1 y 2, y . 0.

Use el video de Desparametrización

4. x 5 2 cos u, y 5 1 1 sen u, cos2 u 1 sen2 u 5 1 x 2 x2 1 (y 2 1)2 5 1. Esto es a b 1 (y 2 1)2 5 1 2 4 una elipse, centrada en (0, 1), con eje semimayor de longitud 2 y eje semimenor de longitud 1.

(2, 1), u50

1 (2, 1), t 5 0

Use el video de Gráﬁca de una curva paramétrica

sen u u

20.3 215

1.2

15 20.25 20.75

Solución 1 2 2 3 ⇒ e 5 y d 5 . La ecuación de la directriz es 4 3 3 1 − cos u 4 22 . Para obtener la ecuación de la elipse rotada, se reem3 3 cos u 2p 2 plaza u en la ecuación original por u 2 . y se obtiene r 5 2p 3 4 2 3 cos au 2 b 3

sen x y5 x

2 Trace la gráfica de la elipse r 5 y su directriz. Trace la gráfica (4 2 3 cos u) 2p . también de la elipse obtenida por rotación en torno al origen por un ángulo de 3

Problema 20

(1, 1), u 5 0

(0, 6, t 5 24)

0.75

(sen u) . Cuando u o 6f, r o 0. Cuando u u o 0, r o 1. En la primera figura hay un número infinito de intersecciones con el eje x en x 5 pn, n es un entero diferente de cero. Éstas corresponden a los puntos polares en la segunda figura. r5

2 5 4 2 3 cos u 22

Use el video de Cónica polar 2.1

21.75

2.1

Problemas 21-24 Encuentre la pendiente de la recta tangente a la curva dada en el punto correspondiente al valor especificado del parámetro. 21. x 5 ln t,

Problema 5

y 5 1 1 t 2;

22. x 5 t 3 1 6t 1 1,

Escriba tres diferentes conjuntos de ecuaciones paramétricas para la curva y 5 x.

23. r 5 e2u;

t51

y 5 2t 2 t 2;

t 5 21

u 5 p

24. r 5 3 1 cos 3u;

p 2

Solución

Solución Tres diferentes conjuntos de ecuaciones paramétricas para la curva y 5 x son 5

dy dy dy dy dt 2t dx 1 2 21. x 5 ln t , y 51 1 t 2 ; t 5 1. 5 2t y 5 , así que 5 5 5 2t . Cuando t 5 1, (x, y) 5 (0, 2) y 5 2. dt dx dx 1 dx dt t dt t dy dt 2 2 dy 2 t dy 4 . Cuando t 5 21, (x, y) 5 (26, 23) y 22. x 5 t 3 1 6t 11, y 5 2t 2 t 2; t 5 21. 5 5 2 5 . dx dx 3t 1 6 dx 9 dt 23. r 5 e2u y 5 r sen u 5 e2u sen u y x 5 r cos u 5 e2u cos u Problemas resueltos

viii

Ejercicios propuestos del mismo tipo, para que el estudiante los resuelva y le sirvan de práctica para los exámenes. Problemas de repaso Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares Para repasar lo visto anteriormente, resuelva los siguientes problemas. Nombre: _______________________________________________________________________________________________ Grupo: ______________________________________________

Formulario A 1. Si a y b son números fijos, encuentre ecuaciones paramétricas para el conjunto de todos los puntos P determinados, como se muestra en la figura, con el uso del ángulo ang como parámetro. Escriba las ecuaciones para a 5 12 y b 5 4. y

7. Encuentre una ecuación de la tangente de la curva en el punto mediante eliminación previa del parámetro. x 5 e t,

y 5 (t 2 9)2;

9. Calcule

ang P

2. Encuentre ecuaciones paramétricas para la trayectoria de una partícula que se mueve una vez en sentido horario a lo largo del círculo x2 1 (y 2 7)2 5 4, a partir de (2, 7). 3. Elimine el parámetro para determinar una ecuación cartesiana de la curva. x 5 e4t 2 5, y 5 e8t

6. Calcule la pendiente de la tangente de la curva polar dada en el punto especificado por el valor de a. 1 r 5 , a 5p a 7. Determine el área de la región que se encuentra dentro de la primera curva y afuera de la segunda. r 5 3 cos u, r 5 11 cos u

0 # t # 5p

8. Se da la gráfica de la curva siguiente. Calcule su longitud. u r 5 6 cos 2 a b 2

x 5 4(t 1 sen t), y 5 4(t 2 cos t)

r 1 2 3 4 5 6

12. Encuentre una ecuación de la tangente de la curva en el punto que corresponde al valor dado del parámetro. x 5 4t cos t,

11. Encuentre una ecuación para la cónica que satisface las condiciones dadas. Hipérbola, focos: (0, 66), vértices: (0, 63) 12. Encuentre una ecuación de la hipérbola centrada en el origen que satisface la condición dada. 7 Vértices: (64, 0), asíntotas: y 5 6 x 4 13. Encuentre una ecuación de la hipérbola con vértices x (0, 66) y asíntotas y 56 . 3

Elipse, focos: (61, 6), longitud de eje mayor: 8

Si la curva paramétrica x 5 f (t), y 5 g(t) satisface g9(4) 5 0, tiene una tangente horizontal cuando t 5 4.

14. ¿Cierto o falso?

Parábola, vértice: (0, 0), foco: (0, 24) a) x2 5 4y b) y2 5 217x c) x2 1 y2 5 16y d) x2 5 216y e) x2 5 2y

14. Encuentre una ecuación para la cónica que satisface las condiciones dadas.

11. ¿Cierto o falso?

13. Determine

6. Halle una ecuación de la tangente de la curva en el punto que corresponde al valor dado del parámetro. x 5 t cos t, y 5 t sen t, t 5 5p

10. Encuentre una ecuación para la cónica que satisface las condiciones dadas. Seleccione la respuesta correcta.

x2 5 3y r 5 3 tan u sec u r 5 3 sen u r 5 3 tan u r 5 3 cos u sen u r 5 3 tan u csc u

10. Elabore, pero no evalúe, una integral que represente la longitud de la curva paramétrica. 10 9 x 5 t 2 t 10, y 5 t 8 , 8 # t # 18 9

5. Elimine el parámetro para encontrar una ecuación cartesiana de la curva. y(t) 5 7 sen2 t

y 5 1 2 2 cos t,

d2y . dx 2

4. Trace la curva paramétrica y elimine el parámetro para encontrar la ecuación cartesiana de la curva. p x 5 cos u, y 5 5 sec u, 0 # u, 2

x(t) 5 2 cos2 t,

(1, 81)

8. Elabore una integral que represente la longitud de la curva. Use después su calculadora para encontrar la longitud con cuatro decimales. x 5 t 2 2 sen t,

a) b) c) d) e)

Fecha: ______________________________________

y 5 4t sen t,

t 5 2p

d2y . dx 2 x 5 5 1 t 2, y 5 t 2 t 2

9. Se da la gráfica de la curva siguiente. Halle el área que encierra. r 5 3 1 15 sen 6u

La longitud exacta de la curva paramétrica p p x = et cos t, y = et sen t, 0 # t # es 2 e 7. 7 1 15. Calcule el área delimitada por la curva x = t − , t 1 y = t + y la recta y 5 2.5. t

15. En el sistema de radionavegación LORAN (LOng RAnge Navigation, navegación de largo rango), dos estaciones radiales localizadas en A y B transmiten señales simultáneas a un barco o avión localizado en P. La computadora a bordo convierte la diferencia de tiempos en la recepción de esas señales en una diferencia de distancias _A_ 2 _B_, y ésta, de acuerdo con la definición de hipérbola, localiza el barco o avión en una rama de una hipérbola (vea la figura). Suponga que la estación B se ubica L 5 480 mi al este de la estación A en un litoral. Un barco recibió la señal de B 1 280 microsegundos (ms) antes de que recibiera la señal de A. Suponiendo que las señales de radio viajan a una velocidad de 1 000 pies ms y que el barco viaja al norte de B, ¿qué tan lejos del litoral está el barco? Redondee su respuesta a la milla más cercana. Seleccione la respuesta correcta. P

8 12 16 20 24

litoral

L estaciones emisoras

Capítulo 1 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares

Al trabajar en este modelo de autoestudio, los alumnos pueden avanzar de manera gradual en cada tema y cuando sea necesario profundizar, podrán consultar la teoría en el libro de texto.

CÓDIGOS QR Esta obra cuenta con contenidos didácticos de fácil acceso por medio de códigos QR, los cuales vinculan a videos que complementan el tema tratado. Pueden consultarse al escanearlos con un lector de QR o directamente, con la cámara de su dispositivo electrónico o celular, ya sea Android®* o iOS®*. Si no puede acceder a los códigos, le pedimos verificar si su celular necesita alguna aplicación para escanear, o bien, una configuración específica de su cámara. Una vez que acceda, consulte los contenidos horizontalmente para que pueda ver de manera detallada todos los elementos que el video presenta.

* Esta mención se usa solo con fines ilustrativos, los derechos pertenecen al titular de la marca.

VIDEOS La obra incluye algunos videos que muestran cómo resolver algunos problemas específicos del capítulo y que pueden ser utilizados para reforzar el aprendizaje autodidacta. Hoy en día existe una cantidad desmesurada de información en línea, muchas veces proveniente de fuentes no confiables, es por eso que Cengage pone este recurso a su alcance para que usted tenga la seguridad de que el material consultado lo llevará sin duda a reforzar su aprendizaje de manera adecuada. Los videos están disponibles a través de los códigos QR.

Si a 5 8 3, 2 9, b 5 8 2, 219 , y c 5 8 7, 1 9 , muestre, mediante un boceto, que hay escalares s y t, tales que c 5 sa 1 t b.

Use el video incluido en el código QR

Principios para la resolución de problemas Como lo hemos mencionado, nuestra obra se basa en la resolución de problemas. No hay reglas sólidas ni inmediatas que aseguren el éxito en la resolución de problemas. Sin embargo, es posible delinear algunos pasos generales en el proceso de resolución de problemas y dar algunos principios que pueden ser útiles en la resolución de algunos de ellos. Estos pasos y principios no hacen otra cosa que explicitar el sentido común y se han adaptado del libro de George Polya, How To Solve It.

1 COMPRENDA EL PROBLEMA El primer paso es leer el problema y asegurarse de que lo comprende con claridad. Plantéese las siguientes preguntas: ¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son las cantidades que se conocen? ¿Cuáles son las condiciones dadas? Para muchos problemas es útil dibujar un diagrama e identificar en el diagrama las cantidades dadas y las requeridas. Por lo general, es necesario introducir una notación adecuada En la elección de símbolos para las incógnitas, a menudo se usan letras como a, b, c, m, n, x o y, aunque en algunos casos es mejor usar las iniciales de las cantidades involucradas como símbolos sugerentes; por ejemplo, V para el volumen o t para tiempo.

2 PIENSE EN UN PLAN Es importante encontrar una conexión entre la información dada y la desconocida, lo que le permitirá calcular las incógnitas. Con frecuencia es útil preguntarse a sí mismo de manera explícita: “¿Cómo relaciono lo conocido con lo desconocido?” Si usted no ve una conexión inmediata, las siguientes ideas pueden serle útiles en la concepción de un plan. Intente reconocer algo conocido Relacione la situación dada con los conocimientos previos. Observe lo desconocido y trate de recordar un problema más conocido que cuente con una incógnita similar. Intente reconocer patrones Algunos problemas se resuelven mediante el reconocimiento de algún tipo de patrón que está ocurriendo. El patrón puede ser geométrico, numérico o algebraico. Si usted puede ver la regularidad o repetición en un problema, podría ser capaz de inferir el patrón y luego probarlo. Utilice analogías Trate de pensar en un problema análogo, es decir, un problema similar, un problema relacionado, pero que sea más fácil de resolver que el problema original. Si usted puede resolver el problema similar, pero más sencillo, entonces podría dar con las claves que necesita para resolver el problema original, que es más difícil. Por ejemplo, si un problema implica cantidades muy grandes, podría intentar primero resolver un problema similar con cifras más pequeñas. O si el problema implica geometría en tres xi

dimensiones, puede buscarse un problema geométrico similar en dos dimensiones. O si el problema inicial es de carácter general, puede empezar con un caso particular. Introduzca algo extra A veces puede ser necesario introducir algo nuevo, un apoyo auxiliar para ayudar a hacer la conexión entre lo dado y lo desconocido. Por ejemplo, en un problema donde un diagrama es útil, lo auxiliar podría ser una nueva línea trazada en el diagrama. En un problema más algebraico, podría ser una nueva incógnita relacionada con la original. Establezca casos A veces puede tener que dividir un problema en varios casos y dar un argumento diferente para cada uno de los casos. Por ejemplo, a menudo se tiene que utilizar esta estrategia al tratar con valores absolutos. Trabaje hacia atrás A veces es útil imaginar que el problema está resuelto y trabajar hacia atrás, paso a paso, hasta llegar a los datos proporcionados. Entonces usted puede revertir sus pasos y construir una solución al problema original. Este procedimiento es utilizado, por lo común, en la resolución de ecuaciones. Por ejemplo, en la resolución de la ecuación 3x 2 5 5 7, suponga que x es un número que satisface 3x 2 5 5 7 y trabaje hacia atrás. Sume 5 a cada lado de la ecuación y luego divida ambos lados entre 3 para obtener x 5 4. Como cada uno de estos pasos puede revertirse, ha resuelto el problema. Establezca metas parciales En un problema complejo a menudo es útil establecer objetivos parciales (en los que la situación deseada se cumple solo parcialmente). Si primero puede llegar a estos objetivos parciales, entonces puede construir conclusiones sobre ellos para llegar a la meta final. Razonamiento indirecto Con frecuencia es apropiado atacar en forma indirecta un problema. En el uso de la demostración por contradicción para demostrar que P implica Q, suponga que P es cierta y Q es falsa y trate de ver por qué esto no puede suceder. De alguna manera, tiene que utilizar esta información y llegar a una contradicción de lo que sabe que es verdadero. Inducción matemática En la demostración de proposiciones que implican un entero positivo n, frecuentemente es útil usar el siguiente principio. Principio de inducción matemática Sea Sn un enunciado sobre el número entero positivo n. Suponga

que 1. S1 es verdadero. 2. Sk11 es verdadero siempre que Sk es verdadero.

Entonces Sn es cierto para todos los enteros positivos n. Esto es razonable porque, dado que S1 es verdadera, se deduce de la condición 2 (con k 5 1) que la S2 es verdadera. Luego, utilizando la condición 2 con k 5 2, se ve que S3 es verdadera. Una vez más, con la condición 2, esta vez con k 5 3, se tiene que S4 es verdadera. Este procedimiento puede seguirse indefinidamente.

3 EJECUTE EL PLAN En el paso 2 se ideó un plan. Para llevar a cabo ese plan hay que verificar cada etapa de este y escribir los detalles que demuestran que cada etapa es correcta. xii

4 REVISE Después de haber completado la solución, es conveniente revisarla, en parte para ver si no se han cometido errores en la solución y en parte para ver si puede pensar una manera más fácil de resolver el problema. Otra razón para revisar es familiarizarse con el método de solución, lo que puede ser útil para resolver un problema en el futuro. Descartes dijo: “Cada problema que resolví se convirtió en una regla que sirvió después para resolver otros problemas.” Estos principios de la resolución de problemas se ilustran en los ejemplos siguientes. Intente resolverlos antes de mirar las soluciones. Consulte estos principios de resolución de problemas si se queda atascado. Usted puede encontrar útil referirse a esta sección de vez en cuando al resolver los ejercicios propuestos en todos los capítulos de este libro. EJEMPLO 1 Exprese la hipotenusa h de un triángulo rectángulo con un área de 25 m2 en función de su

perímetro P. Entienda el problema SOLUCIÓN Primero clasifique la información mediante la identificación de la incógnita y los datos:

Incógnita: hipotenusa h Datos: perímetro P, área 25 m2 Dibuje un diagrama

Dibujar un diagrama como el de la figura 1 puede ser de gran ayuda. h b a

Relacione los datos con las incógnitas Introduzca algo extra

Para establecer la relación entre las incógnitas y los datos, introduzca dos variables adicionales a y b, que representen las longitudes de los otros dos lados del triángulo. Esto permite expresar la condición dada, que es un triángulo rectángulo, por el teorema de Pitágoras: h2 5 a2 1 b2 Las otras relaciones entre las variables se obtienen al escribir las expresiones para el área y el perímetro: 1 25 5 ab P5a1b1h 2 Ya que P está dado, ahora tiene tres ecuaciones con tres incógnitas a, b y h: 1

h2 5 a2 1 b2

25 5

ab 2 P5a1b1h xiii

Relacione con algo conocido

Aunque tiene el número correcto de ecuaciones, no son fáciles de resolver en una forma sencilla. Pero si usa la estrategia de resolución de problemas tratando de reconocer algo conocido, entonces puede resolver estas ecuaciones por un método más fácil. Observe el lado derecho de las ecuaciones 1, 2 y 3. ¿Estas expresiones le recuerdan algo familiar? Observe que contienen los ingredientes de una fórmula conocida: Aa 1 bB 2 5 a2 1 2ab 1 b2 Con esta idea, se expresa Aa 1 bB 2 de dos maneras. De las ecuaciones 1 y 2 se tiene Aa 1 bB 2 5 Aa2 1 b2B 1 2ab 5 h2 1 4A25B De la ecuación 3 se tiene Aa 1 bB 2 5 AP 2 hB 2 5 P2 2 2Ph 1 h2 Así h2 1 100 5 P 2 2 2Ph 1 h2 2Ph 2 P 2 2 100 h5

P 2 2 100 2P

Esta es la expresión requerida para h en función de P. Como se ilustra en el ejemplo siguiente, con frecuencia es necesario utilizar el principio de considerar casos en la resolución de problemas, cuando se trata con valores absolutos. EJEMPLO 2 Resuelva la desigualdad @ x 2 3 @ 1 @ x 1 2 @ , 11. SOLUCIÓN Recuerde la definición de valor absoluto:

| x | 5 e 2x

si x $ 0 si x , 0

Se tiene que x 23

si x 2 3 $ 0 si x 2 3 , 0

x 23 2x 1 3

si x $ 3 si x , 3

x 12

si x 1 2 $ 0 si x 1 2 , 0

x 12 2x 2 2

si x $ 22 si x , 22

| x 2 3 | 5 e21x 2 3B 5e Del mismo modo

| x 1 2 | 5 e21x 1 2B 5e

xiv

Considere casos

Estas expresiones muestran que es necesario considerar tres casos: x , 22 22 # x , 3 x$3 CASO I Si x , 22, se tiene

@ x 2 3 @ 1 @ x 1 2 @ , 11 2x 1 3 2 x 2 2 , 11 22x , 10 x . 25 CASO II Si 22 # x , 3, la desigualdad dada se convierte en

2x 1 3 1 x 1 2 , 11 5 , 11

(siempre verdadera)

CASO III Si x $ 3, la desigualdad se convierte en

x 2 3 1 x 1 2 , 11 2x , 12 x,6 De la combinación de los casos I, II y III, se ve que se cumple con la desigualdad cuando 25 , x , 6. Por lo que la solución es el intervalo (25, 6). En el ejemplo siguiente, primero se estima una respuesta revisando los casos particulares y buscando un patrón. Luego se demuestra la conjetura por inducción matemática. Usando el principio de inducción matemática, se siguen tres pasos: Paso 1 Demuestre que Sn es verdadera cuando n 5 1. Paso 2 Suponga que Sn es verdadera cuando n 5 k y deduzca que Sn es verdadera cuando n 5 k 1 1. Paso 3 Concluya que Sn es verdadera para toda n por el principio de inducción matemática. EJEMPLO 3 Si f0(x) 5

x (x 1 1)

y fn 1 1 5 f0 8 fn para n 5 0, 1, 2, . . . , encuentre una fórmula para fn(x).

Analogía: intente un problema similar más simple SOLUCIÓN Empiece por encontrar fórmulas para fn(x) para los casos particulares más sencillos n 5 1, 2,

y 3.

x f1 1x2 5 A f0 8 f0 B 1x2 5 f0 A f0 1x2 B 5 f0 a b x11 x x x11 x11 x 5 5 5 x 2x 1 1 2x 1 1 11 x11 x11 x f2 1x2 5 A f0 8 f1 B 1x2 5 f0 A f1 1x2 B 5 f0 a b 2x 1 1 x x 2x 1 1 2x 1 1 x 5 5 5 x 3x 1 1 3x 1 1 11 2x 1 1 2x 1 1 x f3 1x2 5 A f0 8 f2 B 1x2 5 f0 A f2 1x2 B 5 f0 a b 3x 1 1 x x 3x 1 1 3x 1 1 x 5 5 5 x 4x 1 1 4x 1 1 11 3x 1 1 3x 1 1 Busque un patrón

Se ve un patrón: el coeficiente de x en el denominador de fn(x) es n 1 1 en los tres casos calculados. Así que se hace la suposición de que, en general, x 4 fn (x) 5 1n 1 12 x 1 1 Para demostrar esto, se utiliza el principio de inducción matemática. Ya se ha comprobado que (4) es verdadera para n 5 1. Suponga que es verdadera para n 5 k, es decir, x fk(x) 5 1k 1 12 x 1 1 x Entonces fk11 1x2 5 A f0 8 fk B 1 x2 5 f0 A fk 1 x2 B 5 f0 q r 1k 1 12 x 1 1 x x x 1k 1 12 x 1 1 1k 1 12 x 1 1 5 5 5 x 1k 1 22 x 1 1 1k 1 22 x 1 1 11 1k 1 12 x 1 1 1k 1 12 x 1 1

Esta expresión demuestra que (4) es verdadera para n 5 k 1 1. Por tanto, por inducción matemática, es verdadera para todo entero positivo n. xvi

Capítulo

Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares

CÁLCULO CON CURVAS PARAMÉTRICAS Dada una curva con ecuaciones paramétricas x 5 f (t) y y 5 g (t), se verifica 1. La primera derivada de una curva paramétrica está dada por dy dy dt dx 5 , si ?0 dx dx dt dt dy 2. Si x0 5 x(t 0 ), y0 5 y (t 0 ) y m 5 la ecuación de la recta tangente a la curva paramétrica en el punto dx t 5 t0 (x0, y0) es y − y0 = m( x − x0 ) 3. La segunda derivada de una curva paramétrica es d dy a b dt dx d y d dy 5 a b5 dx dx 2 dx dx dt dy . 0 para toda t I. 4. La curva paramétrica es creciente en I si dx dy 5. La curva paramétrica es decreciente en I si , 0 para toda t I. dx 2

6. La curva paramétrica tiene tangentes horizontales en los puntos que satisfacen

dy 5 0. dt

dx 5 0. dt d 2y 8. La curva paramétrica es cóncava hacia arriba en los puntos que satisfacen 2 . 0. dx d 2y 9. La curva paramétrica es cóncava hacia abajo en los puntos que satisfacen 2 , 0. dx 7. La curva paramétrica tiene tangentes verticales en los puntos que satisfacen

10. El área acotada por la gráfica de una función y 5 F (x) y el eje x entre las rectas x 5 a y x 5 b se puede calcular al considerar las ecuaciones paramétricas x 5 f (t) y y 5 g (t) que describen la misma gráfica para a # t # b al considerar b

A 5 ∫ y dx 5 ∫ g(t ) f 9(t )dt a

Capítulo 1 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares

b a

b dy dx dy 11 a b dx 5∫ a b 1 a b dt a dx dt dt

12. Si las primeras derivadas de una curva paramétrica son continuas en a # t # b y g (t) $ 0 se hace girar alrededor del eje x, el área de la superficie resultante está dada por S 5 2p∫

b a

dx dy y a b 1 a b dt dt dt

COORDENADAS POLARES Un punto en coordenadas rectangulares (x, y) se puede representar en coordenadas polares al considerar x 5 r cos u y y 5 r sen u. y Del diagrama de la izquierda se observa que r = x 2 + y 2 y tan u = . x y P(r, u) 5 P(x, y)

La gráfica de una ecuación polar es el conjunto 5 (r, u) r 5 f (u), r . 0 6

Teorema Toda curva polar se puede representar paramétricamente.

CÁLCULO CON CURVAS POLARES De acuerdo con el teorema anterior, al representar la curva polar r 5 f (u) por medio de las ecuaciones paramétricas x 5 f (u) cos u y y 5 f (u) sen u, se pueden determinar resultados análogos a los estudiados para curvas paramétricas, por decir 1. La primera derivada de una curva polar está dada por dy dx dy d u r cos u 1 r9 sen u , si ?0 5 5 r9 cos u 2 r sen u du dx dx du dy 2. Si x0 5 x(u0), y0 5 y(u0) y m 5 , la ecuación de la recta tangente a la curva polar en el punto correspondx u 5 u0 diente a u 5 u0 es y 2 y0 5 m(x 2 x0) 3. La segunda derivada de una curva polar es d dy a b d y d dy d u dx 5 a b5 dx dx 2 dx dx du 2

4. La curva polar tiene tangentes horizontales en los puntos que satisfacen

5 0.

du 5. La curva polar tiene tangentes verticales en los puntos que satisfacen

dx du

5 0.

Capítulo 1 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares

6. El área acotada por la gráfica de una función r 5 f (u) en el intervalo a # u # b está dada por A5

1 b 2 r du 2 ∫a

7. Si r 5 f (u) está definida en a # u # b y su primera derivada es continua en el mismo intervalo, la longitud de arco de la curva polar en el intervalo a # t # b está dada por A5∫

b a

b dx dy dr 2 a b 1 a b d u 5 ∫a r 1 a b d u du du du

SECCIONES CÓNICAS EN COORDENADAS POLARES Sean F un punto fijo y L una recta fija (ambos en el mismo plano). Si e . 0 es un valor fijo, el conjunto de todos los puntos P en el plano tales que

5 e definen una cónica. Específicamente

PL 1. Una elipse si e , 1 2. Una parábola si e 5 1 3. Una hipérbola si e . 1 La recta fija L se llama directriz, el punto fijo F es el foco y e la excentricidad de la cónica. Al colocar el foco en el origen del sistema, la directriz paralela al eje y y a d unidades de éste, se puede demostrar que una ecuación polar de la forma ed ed r5 or5 1 6 e cos u 1 6 e sen u Representa una cónica con excentricidad e.

LEYES DE KEPLER Las leyes de Kepler describen el movimiento de los planetas alrededor del Sol. Y pueden expresarse de la siguiente manera 1. Un planeta gira alrededor del Sol en una órbita elíptica con el Sol ubicado en uno de los focos. 2. La recta que une el Sol con un planeta barre áreas iguales en tiempos iguales. 3. El cuadrado del periodo de revolución de un planeta es proporcional al cubo de la longitud del eje mayor de su órbita. La posición más cercana de un planeta al Sol se conoce como perihelio y la posición más lejana de un planeta al Sol se conoce como afelio. Se puede demostrar que la ecuación polar de una elipse con foco en el origen, semieje mayor a, excentricidad e y directriz x 5 d es de la forma a (1 2 e2 ) r5 1 6 e cos u Y además, la distancia del Sol al perihelio de un planeta es a (1 2 e), mientras que la distancia al afelio es a (1 1 e).

Problemas resueltos Problemas 1-4 Trace la curva paramétrica y elimine el parámetro para encontrar la ecuación cartesiana de la curva. p 3. x 5 cos u, y 5 sec u, 0 < u , 1. x 5 t2 1 4t, y 5 2 2 t, 24 < t < 1 2 2t t 4. x 5 2 cos u, y 5 1 1 sen u 2. x 5 1 1 e , y 5 e

p 1 1 5 . Porque 0 # u # , 0 , x # 1 cos x 2 1 y y $ 1. Esto forma parte de la hipérbola y 5 . x

3. y 5 sec 5

(1, 1), u 5 0

(0, 6, t 5 24)

(5, 1), t51

Use el video de Desparametrización

2. x 5 1 1 e 2t, y 5 et . 2

x 5 1 1 e 2t 5 1 1 (et ) 5 1 1 y 2, y . 0.

Use el video de Desparametrización

4. x 5 2 cos u, y 5 1 1 sen u, cos2 u 1 sen2 u 5 1 x 2 x2 1 (y 2 1)2 5 1. Esto es a b 1 (y 2 1)2 5 1 2 4 una elipse, centrada en (0, 1), con eje semimayor de longitud 2 y eje semimenor de longitud 1. y

(2, 1), u50

1 (2, 1), t 5 0 x

Use el video de Gráﬁca de una curva paramétrica

Problema 5 Escriba tres diferentes conjuntos de ecuaciones paramétricas para la curva y 5 x.

Solución Tres diferentes conjuntos de ecuaciones paramétricas para la curva y 5 x son 5

(i) x 5 t, y 5 t (ii) x 5 t 4, y 5 t 2 (iii) x 5 tan 2 t, y 5 tan t, 0 # t , ␲ / 2 Existen muchos otros conjuntos de ecuaciones que también dan esta curva.

Problema 6 Use las gráficas de x

f (t) y y 5 g(t) para trazar la curva paramé-

trica x 5 f (t), y 5 g(t). Indique con flechas la dirección en la que 1

x 5 f(t)

se traza la curva cuando se t crece.

y 5 g(t)

–1

Solución

Para t , 21, x . 0 y y , 0 con x decreciente y y creciente. Cuando t 5 21, (x, y) 5 (0, 0). Cuando 21 , t , 0,

1 se tiene 21 , x , 0 y 0 , y , . Cuando t 5 0, (x, y) 5 (21, 2 1 0). Cuando 0 , t , 1, 21 , x , 0 y 2 , y , 0. Cuando t 5 1, 2 (x, y) 5 (0, 0) de nuevo. Cuando t . 1, tanto x como y son positivas

y t.1 (21, 0) t50

(0, 0) t 5 21 (0, 0) t 5 1

y crecientes.

t , 21

Problema 7 a) Ubique el punto con coordenadas polares a 4,

b . A continuación, encuentre sus coordenadas cartesianas. 3 b) Las coordenadas cartesianas de un punto son (23, 3). Encuentre dos conjuntos de coordenadas polares para el punto.

Solución a) Las coordenadas cartesianas son x 5 4 cos y 5 4 sen

2p 3

54a

3 2

1 5 4 a2 b 5 22 y 2 3

a4,

b 5 2 3, es decir, el punto A22, 2 3 B.

2p 3 O

b) Dado x 5 23 y y 5 3, se tiene r 5 (23)2 1 32 5 18 5 3 2. También, tan u 5 u5

3p 4

y x

tan u 5

3 23

, y como (23, 3) está en el segundo cuadrante,

. Así, un conjunto de coordenadas polares para (23, 3) es a3 2,

otros dos son a3 2,

11p 4

2p b 3

b y a23 2,

7p 4

Capítulo 1 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares

3p 4

b, y

Problema 8 Trace la región formada de puntos cuyas coordenadas polares satisfacen 1< r , 2 y

<u<

6 r52

Solución 1 # r , 2,

#p#

5 6

5p 6

r51

p 6

Problemas 9-16 Trace la curva polar. 13. r 5 1 1 cos 2u

9. r 5 1 1 sen u

u 14. r 5 2 cos a b 2 3 15. r 5 1 1 2 sen u

10. r 5 1 2 cos u 11. r 5 cos 3u 12. r 5 3 1 cos 3u

16. r 5

Use el video de Curvas polares

3 2 2 2 cos u

Solución 9. r 5 1 1 sen u. Este cardioide es simétrico p alrededor del eje u 5 . 2

2, p2

r 2

O 0

2p u

(1, p)

(1, 0)

10. r 5 1 2 cos u. Este cardioide es simétrico alrededor del eje polar.

1, p2

2 (2, p) O

2p u

1, 3p2

11. r 5 cos 3u. Esta es una rosa de tres pétalos. La curva se traza dos veces.

u5 p 6 0

p 6

(1, 0) p

–1

Problemas resueltos

12. r 5 3 1 cos 3u. La curva es simétrica alrededor del eje horizontal.

r 4

3, p2

(2, p)

(4, 0) O

13. r 5 1 1 cos 2u. La curva es simétrica alrededor del polo y de los ejes tanto horizontal como vertical.

p 3

3, 3p2

(2, p)

(2, 0) O

p 2

3p 2

–1

2p u

r 2

0 –2

15. r 5

4p 5p 2p u 3 3

u 14. r 5 2 cos a b . La curva es simétrica alre2 dedor del polo y de los ejes tanto horizontal como vertical.

2p p 3

2 1

p 2

1 1

4p u

3 3

–3, 32p

e 5 2 . 1, así que la cónica es una hipérbola. de 5 3

1 1 2 sen u 3 d 5 y la forma “12 sen u” implica que la directriz está arriba del foco en el 2 3 p 3p origen y tiene la ecuación y 5 . Los vértices son a 1, b y a 23, b. 2 2 2 1 1 3

1, p2

2 2 5 e 5 1, así que la cónica es una 1 1 2 1 cos u 2 2 2 cos u 2 3 3 parábola. de 5 d 5 y la forma “22 cos u” implica que la directriz está a 2 2 3 3 la izquierda del foco en el origen y tiene la ecuación x 5 2 . El vértice es a , p b. 2 4

16. r 5

34 , p

x52

Problemas 17-18 Encuentre la ecuación polar para la curva representada por la ecuación cartesiana dada. 17. x 1 y 5 2

18. x2 1 y2 5 2

Solución 17. x 1 y 5 2 r cos u 1 r sen u 5 2 r (cos u 1 sen u) 5 2 r 5 18. x2 1 y2 5 2 r2 5 2 r 5 2. Sr 5 2 2 da la misma curva.T 8

Capítulo 1 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares

2 cos u 1 sen u

3 2

Problema 19 La curva con ecuación polar r 5

(sen u)

se llama cocleoide. Use una gráfica de r como una función de u en coordeu nadas cartesianas para trazar la cocleoide a mano. Después trace la gráfica con una máquina para comprobar su trazo.

Solución r5

(sen u)

0.75 1

. Cuando u o 6f, r o 0. Cuando

u u o 0, r o 1. En la primera figura hay un número infinito de intersecciones con el eje x en x 5 pn, n es un entero diferente de cero. Éstas corresponden a los puntos polares en la segunda figura.

sen x y5 x

sen u u

20.3 215

1.2

15 20.25 20.75

Problema 20 2

Trace la gráfica de la elipse r 5

y su directriz. Trace la gráfica (4 2 3 cos u) 2p también de la elipse obtenida por rotación en torno al origen por un ángulo de . 3

Solución 1 2 2 3 ⇒ e 5 y d 5 . La ecuación de la directriz es 4 3 3 1 − cos u 4 22 22 x5 r5 . Para obtener la ecuación de la elipse rotada, se reem3 3 cos u 2p 2 plaza u en la ecuación original por u 2 y se obtiene r 5 . 2p 3 4 2 3 cos au 2 b 3 2 r5 5 4 2 3 cos u

Use el video de Cónica polar 2.1

21.75

2.1

Problemas 21-24 Encuentre la pendiente de la recta tangente a la curva dada en el punto correspondiente al valor especificado del parámetro. 21. x 5 ln t, 3

y 5 1 1 t 2;

23. r 5 e2u;

t51 2

22. x 5 t 1 6t 1 1, y 5 2t 2 t ;

t 5 21

u 5 p

24. r 5 3 1 cos 3u;

p 2

Solución

dy dy dy dy dt 2t dx 1 2 21. x 5 ln t , y 51 1 t 2 ; t 5 1. 5 2t y 5 , así que 5 5 5 2t . Cuando t 5 1, (x, y) 5 (0, 2) y 5 2. dt dx dx 1 dx dt t dt t dy 2 2 2t dy dt dy 4 . Cuando t 5 21, (x, y) 5 (26, 23) y 22. x 5 t 3 1 6t 11, y 5 2t 2 t 2; t 5 21. 5 5 2 5 . dx dx 3t 1 6 dx 9 dt 23. r 5 e2u y 5 r sen u 5 e2u sen u y x 5 r cos u 5 e2u cos u Problemas resueltos

dy dr sen u 1 r c os u dy 2e2u sen u 1 e2u cos u . 2e u sen u 2 cos u du du . = 5 5 5 2u 2e cos u 2 e2u sen u −e u cos u 1 sen u dx dx dr cos u 2 r sen u du du dy 0 2 (21) 1 Cuando u 5 p, 5 5 5 21. dx 21 1 0 21 dy dy du 24. r 5 3 1 cos 3u ⇒ = = dx dx du Cuando u 5

dr sen u + r cos u du 23 sen 3u sen u 1 (3 1 cos 3u) cos u = dr 23 sen 3u cos u 2 (3 1 cos 3u) sen u cos u 2 r sen u du

p dy (23)(21)(1) 1 (3 1 0) ⋅ 0 3 , 5 5 5 21. 2 dx (23)(21)(0) 2 (3 1 0) ⋅1 23

Problemas 25-26 Encuentre

dy dx

d2y dx2

25. x 5 t 1 sen t,

. y 5 t 2 cos t

26. x 5 1 1 t2,

y 5 t 2 t3

Solución dy dy dt 1 1 sen t 25. x 5 t 1 sen t, y 5 t 2 cos t ⇒ ⇒ 5 5 dx dx 1 1 cos t dt (1 1 cos t ) cos t 2 (1 1 sen t )(2sen t) d dy a b 2 cos t 1 cos 2 t 1 sen t 1 sen 2t 1 1 cos t 1 sen t d 2 y dt dx (1 1 cos t ) = = 5 5 1 1 cos t dx 2 (1 1 cos t )3 (1 1 cos t )3 dx dt dy dy dt 1 2 3t 2 1 21 3 dy dx 2t , así que 26. x = 1 + t 2 , y = t − t 3 . = 1 − 3t 2 y 5 5 5 t 2 t. dx dx 2t 2 2 dt dt dt d(dy/dx) 1 22 3 2 t 2 d y 1 23 3 21 1 3t 2 11 2 2 dt 2 . 5 2 t 2 t 5 2 3 (1 1 3t ) 5 2 5 2 5 dx dx 2t 4 4 4t 4t 3 dt 2

Problema 27 Use una gráfica para estimar las coordenadas del punto mínimo sobre la curva x 5 t 3 2 3t, y 5 t 2 1 t 1 1. Después use el cálculo para determinar las coordenadas exactas.

Capítulo 1 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares

Solución

Graficamos la curva x = t − 3t , y = t + t + 1 para −2.2 # t # 1.2. Al amplificar o usar un cursor, se encuentra que el punto más bajo es aproximadamente (1.4, 0.75). Para determinar los valores exactos, buscamos el valor de t en el cual 1 11 3 dy 5 2t 11 5 0 ⇔ t 5 2 ⇔ ( x , y) 5 a , b . 2 8 4 dt 3

2.2

Problema 28 Encuentre el área encerrada por el lazo de la curva del ejercicio 27.

Solución Calculamos las coordenadas del punto de intersección como (–2, 3). De hecho, esto es exacto, porque tanto t 5 22 como t 5 1 dan el punto (22, 3). Así, el área encerrada por la curva es

∫

t 51 t 522

( t 2 1 t 11)( 3t 2 2 3) dt 5 ∫−2 ( 3t 4 1 3t 3 2 3t 23) dt 22

y dx 5 ∫ 5

3 5 3 4 3 2 t 1 t 2 t 23t 5 4 2

Use el video de Área paramétrica

81 3 3 3 96 5 a 1 2 23b 2 2 1 12 2 6 2 (26) 5 20 5 4 2 5 22

Problema 29 ¿En qué puntos la curva x 5 2a cos t 2 a cos 2t

y 5 2a sen t 2 a sen 2t

tiene rectas tangentes verticales u horizontales? Use esta información para ayudarse a trazar la curva.

Solución x 5 2a cos t 2 a cos 2t

dx dt

5 22a sen t 1 2a sen 2t 5 2a sen t (2 cos t 2 1) 5 0

p 5p t 5 0, , p o . 2 3 3 dy 5 2a cos t 2 2a cos 2t 5 2a (1 cos t 2 2 cos2 t) 5 y 5 2a sen t 2 a sen 2t dt 2p 4p 2a(1 2 cos t)(1 1 2 cos t) 5 0 t 5 0, o . 3 3 p 5p Así, la gráfica tiene tangentes verticales donde t 5 y , y tangentes horizonta3 3 sen t 5 0 o cos t 5

2p 4p y . Para establecer la pendiente donde t 5 0, se usa la regla de 3 3 dy dt L’Hôpital para evaluar lím 5 0, a fin de que haya una tangente horizontal ahí. t →0 dx dt

t 0 p 3

x a 3 a 2

2p 3

1 2 a 2

p 4p 3

23a 1 2 a 2

5p 3

3 a 2

les donde t 5

y 0 3 a 2 3 3 a 2 0 3 3 a 2 2 2

3 a 2

(23a, 0)

(a, 0) 0

Problemas resueltos

Problema 30 Determine el área encerrada por la curva del ejercicio 29.

Solución Del ejercicio 29, x 5 2a cos t 2 a cos 2t, y 5 2a sen t 2 a sen 2t

A 5 2 ³ p (2a sen t 2 a sen 2t)(22a sen t 1 2a sen 2t) dt 5 4a2 ³ 0 (2 sen2t 1 sen2 2t 2 3 sen t sen 2t) dt p

5 4a2 ³ 0 (1 2 cos 2t) 1

1 2

(1 2 cos 4t) 2 6 sen2t cos t dt 5 4a2 t 2

1 2

sen 2t 1

p 1 t 2 sen 4t 2 2 sen3t 2 8 0

3 5 4a2 a b p 5 6pa2 2

Problema 31 Obtenga el área encerrada por la curva r2 5 9 cos 5u. Use el video de Área polar

Solución

p p La curva r2 5 9 cos 5u tiene 10 “pétalos”. Por ejemplo, para 2 # u # , 10 10 hay dos pétalos, uno con r . 0 y otro con r , 0. p/10 1 p/10 p/10 A 5 10∫ 9 cos 5u du 5 5 ? 9 ? 2 ∫ cos 5u du 5 18 [sen 5u]p0 10 5 18 r2 du 5 5 ∫ 2p/10 2 2p/10 0

Problema 32 Encuentre el área encerrada por el lazo interior de la curva r 5 1 2 3 sen u.

Solución

1 r 5 1 2 3 sen u. La curva interior se traza conforme u va de a 5 sen21 a b a p 2 a, así que 3 p− α 1 p/2 p/2 9 A5∫ r 2 d u 5 ∫ (1 2 3 sen u) 2 du 5 ∫ 12 6 sen u 1 (1 2 cos 2u ) d u α α α 2 2 5

11 9 u 1 6 cos u 2 sen 2u 2 4

p/2

5 α

11 11 1 p2 sen21 a b 23 2 4 2 3

Problema 33 Encuentre los puntos de intersección de las curvas r 5 2 y r 5 4 cos u.

Solución

1 p ⇒ u 5 6 para 2 3 p p 2p # u # p. Los puntos de intersección son a 2, b y a 2, b. 3 3 Las curvas se intersecan cuando 4 cos u 5 2 ⇒ cos u 5

Capítulo 1 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares

r 5 4 cos u

r52

Problema 34 Obtenga los puntos de intersección de las curvas r 5 cot u y r 5 2 cos u.

Solución Las dos curvas contienen claramente el polo. Para otros puntos de intersección, cot u 5 2 cos(u 1 2np) o 22 cos(u 1 p 1 2np), los cuales se reducen a cot u 5 2 cos u cos u 5 2 sen u cos u 1 p p 5p 3p o los puntos de intersección cos u (1 2 2 sen u) 5 0 cos u 5 0 o sen u 5 u5 , , 2 6 2 6 2 11p p p son a 0, b , a 3, b y a 3, b. 6 2 6

Problema 35 Determine el área de la región que está dentro de ambas circunferencias r 5 2 sen u y r 5 sen u 1 cos u.

Solución Las curvas se intersecan donde 2 sen u 5 sen u 1 cos u sen u 5 cos u p 3p en la segunda curva). u 5 , y también en el origen (en el cual u 5 4p 4 3p 1 1 4 4 (2 sen u)2 d u 1 ∫p (sen u 1 cos u)2 du A5∫ 0 2 2 4 p 1 3p4 4 5 ∫ (1 2 cos 2u ) du 1 ∫p (1 1 sen 2 u) d u 0 2 4 p 3p 4 4 1 1 1 1 5 u 2 sen 2u 1 u 2 cos 2u 5 (p 21) p 2 2 4 2 0 4

r 5 2 sen u

p 4

r 5 sen u 1 cos u

Problema 36 Encuentre el área de la región que está dentro de la curva r 5 2 1 cos 2u pero fuera de la curva r 5 2 1 sen u.

Solución p 6

A = 2 ∫2p 5∫

p 6

2p 2

1, p2

1 (2 + cos 2u )2 − (2 + sen u)2 du 2

r 5 2 1 sen u

52 , p6

52 , 5p6

4 cos 2u 1 cos 2 2u 2 4 sen u 2 sen2 u d u

(2, 0) p 6

1 1 1 1 5 2 sen 2 u 1 u 1 sen 4 u 1 4 cos u 2 u 1 sen 2u 2p 2 8 2 4 2 51 3 5 16

(3, 0)

Use el video de Área polar

r 5 2 1 cos 2 u

Problemas 37-40 Encuentre la longitud de la curva. 37. x 5 3t2,

y 5 2t3,

0<t<2

38. x 5 2 1 3t, y 5 cosh 3t,

0<t<1

1 39. r 5 , u

p < u < 2p

u 40. r 5 sen3 a b , 3

0<u<p

Problemas resueltos

Solución 37. x 5 3t 2, y 5 2t 3 . L5∫

(dx dt )2 1 (dy dt )2 5 ∫

(6t )2 1 (6t 2 )2 dt 5 ∫

2 0

2 2 5 1 1 5 ∫ 6 t 1 1 t 2 dt 5 6 ∫ t 1 1 t 2 dt 5 6 ∫ u 2 a dub 0 0 1 2 1 2 32 5 5 6 ⋅ ⋅ u 5 2A 5 2 1B 5 2 Q5 5 2 1R 1 2 3

38. x 5 2 1 3t , y 5 cosh 3t L5∫

u 51 1 t 2, du 5 2t dt

2p p

r 2 1 (dr d u ) d u 5 ∫

2p p

(1 u )2 1 (21 u 2 )2 d u 5 ∫

5 p

2p p

u 2 11 du u2

4 p2 11 2 p 1 4 p 2 11 p2 11 1 ln q r 2 p 2p p 1 p 2 11

2 p 11 2 4 p 11 2p 1 4 p2 11 r 1 ln q 2p p 1 p2 1 1 2

36t 2 1 1 t 2 dt

(dx dt )2 1 (dy dt )2 5 32 1 ( 3 senh3t )2 5 9(1 1 senh 2 3t ) 5 9 cosh 2 3t , así que

u2 + 1 2 1 ln Qu 1 u 1 1R u

9 cosh 2 3t dt 5 ∫ 3 cosh 3t dt 5 ∫ 3 cosh 3t dt 5 [ senh 3t ]0 5 s enh 3 2 senh 0 5 senh 3.

39. L 5 ∫

⇒

36t 2 1 36t 4 dt 5 ∫

40. L 5 ∫

r 2 1 (dr d u )2 d u 5 ∫

p 0

1 1 1 sen 6 a ub 1 sen 4 a ub cos 2 a ub d u 3 3 3 p

5∫

p 0

2 1 3 1 1 3 3 sen a ub d u 5 qu 2 sen a ubr 5 p 2 3 2 8 3 2 2 2

Problemas 41-42 Calcule el área de la superficie obtenida al hacer girar la curva dada en torno al eje x. 1 t3 41. x 5 4 t , y 5 1 2 , 1 # t # 4 42. x 5 2 1 3t, y 5 cosh 3t, 3 2t

0<t<1

Solución 41. x 5 4 t , y 5

t3 1 1 2 , 1#t # 4 ⇒ 3 2t

4 4 1 1 S 5 ∫ 2 py (dx dt )2 1 (dy dt )2 dt 5 ∫ 2p a t 3 1 t 22b 1 1 3 2

t B 1 (t 2 2 t 23 )2 dt 4

4 1 4 1 1 6 5 1 −2 5 1 25 1 471 295 3 2 5 −3 2 t 1 t 2 t 24 5 p 5 2 p ∫ a t 1 t b (t 1 t ) dt 5 2 p ∫ a t 1 1 t b dt 5 2 p 1 1 3 2 3 6 2 18 6 8 1 024 1

42. x 5 2 1 3t , y 5 cosh 3t ⇒ (dx dt )2 1 ( dy dt )2 5 32 1 (3 senh 3t )2 5 9(1 1 senh 2 3t ) 1 9 cosh 2 3t , así que 1

S 5 ∫ 2 py ds 5 ∫ 2 p cosh 3t 9 cosh 2 3t dt 5 ∫ 2 p cosh 3t 3cosh 3t dt 5 ∫ 2p cosh 3t ⋅ 3cosh 3t dt 0

5 6 p ∫ cosh 2 3t dt 5 6p ∫ 0

1 0

1 1 p 1 (1 1 cosh 6t ) dt 5 3p t 1 senh 6t 5 3p a1 1 senh 6b 5 3p 1 senh 6 2 6 6 2 0

Capítulo 1 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares

Problema 43 Las curvas definidas por las ecuaciones paramétricas x5

t 2 2c t 2 11

t ( t 2 2 c) t 2 11

se llaman estrofoides (de una palabra griega que significa “voltear o torcer”). Investigue cómo varían estas curvas cuando varía c. 3

Solución

Para todas las c excepto 21, la curva es asintótica para la recta x 5 1. Para c , 21, la curva se comba a la derecha cerca de y 5 0. Cuando c se incrementa, el pandeo se reduce, hasta que en c 5 21 la curva es la recta x 5 1. Cuando c continúa incrementándose, la curva se comba a la izquierda, hasta que en c 5 0 hay una cúspide en el origen. Para c . 0, hay una curva a la izquierda del origen, cuyo tamaño y redondez aumentan cuando c también crece. Adviértase que la intersección en x de la curva es siempre 2c.

21.5 21

1.5 23

3 20.5 0

Problema 44 Una familia de curvas tiene ecuaciones polares ra 5 _sen 2u_ donde a es un número positivo. Investigue cómo cambian estas curvas cuando cambia a.

Solución Para a cerca de 0, la gráfica de ra 5 _sen 2u_ consta de cuatro pétalos delgados. Cuando a se incrementa, los pétalos se ensanchan, hasta que en a o f cada pétalo ocupa casi por completo su correspondiente cuarta parte de círculo.

a 5 0.01

a 5 0.1

a51

a55

a 5 10

a 5 25

Problemas 45-48 Encuentre los focos y vértices, trace la gráfica. x 2 y2 45. 1 51 9 8 46. 4 x 2 2 y 2 5 16

47. 6 y 2 1 x 236 y 1 55 5 0 48. 25 x 2 1 4 y 2 1 50 x 216 y 5 59 Problemas resueltos

Solución 2

x y 45. 1 5 1 es una elipse con centro (0, 0). 9 8

(1, 0)

a 5 3, b 5 2 2, c 5 1 ⇒

focos 161, 02, vértices 163, 02. 22

x 2 y2 2 51 es una hipérbola con centro 4 16 (0, 0), vértices (62, 0), a 5 2, b 5 4, c 5 16 1 4 5 2 5 ,

46. 4 x 2 2 y 2 516 ⇔

A2 5, 0B

focos A62 5, 0 B y asíntotas y 5 62x.

(2, 0)

47. 6 y 2 1 x 2 36 y 1 55 5 0 ⇔ 6( y 2 2 6 y 1 9 ) 52 (x 11) ⇔

(21, 3)

1 ( x 1 1), una parábola con vértice (21, 3) 6 1 25 abierta a la izquierda, p 52 ⇒ foco a2 , 3b y directriz 24 24 23 x 52 . 24

( y 2 3)2 5 2

48. 25 x 2 1 4 y 2 1 50 x 216 y 5 59 ⇔ 25( x 11)2 1 4( y 2 2 )2 5 100 ⇔ 1 1 ( x 1 1)2 1 ( y 2 2 )2 5 1 es una elipse centrada en 4 25

(21, 2) x

(21, 2) con focos en la recta x 5 21, vértices (21, 7) y (−1, −3); a = 5, b = 2 ⇒ c = 21 ⇒ focos (−1, 2 ± 21).

Problema 49 Encuentre una ecuación de la elipse con focos (64, 0) y vértices (65, 0).

Solución La elipse con focos (64, 0) y vértices (65, 0) tiene centro (0, 0) y un eje mayor horizontal, con a 5 5 y c 5 4, por lo cual b2 5 a2 2 c2 5 52 2 42 5 9. Una ecuación es

x 2 y2 1 51 . 25 9

Capítulo 1 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares

Problema 50 Encuentre una ecuación de la parábola con focos (2, 1) y directriz x 5 24.

Solución

1 La distancia del foco (2, 1) a la directriz x 5 24 es 2 2 (24) 5 6, así que la distancia del foco al vértice es (6 ) 5 3 y el 2 vértice es (21, 1). Como el foco está a la derecha del vértice, p 5 3. Una ecuación es ( y 21)2 5 4 ⋅ 3[ x 2 (21)], o ( y 21)2 5 12( x 11).

Problema 51 Encuentre una ecuación de la hipérbola con focos (0, 64) y asíntotas y 5 63x.

Solución El centro de una hipérbola con focos (0, 64) es (0, 0), entonces c 5 4 y una ecuación es

y2 x 2 2 5 1. a2 b2

a 3 ⇒ a 5 3b y a 2 1 b 2 5 c 2 ⇒ (3b )2 1 b 2 5 4 2 ⇒ 5 b 1 8 72 y2 x2 5 y2 5 x 2 y entonces a 2 = 16 − = . Por tanto, una ecuación es 2 5 1, o 2 5 1. 5 5 72 5 8 5 72 8

La asíntota y 5 3x tiene pendiente 3, de modo que 5

Problema 52 Encuentre una ecuación de la elipse con focos (3, r2) y un eje con longitud 8.

Solución 8 5 4, c 5 2 ⇔ b 5 4 2 2 22 5 12 ⇒ 2 ( x − 3)2 y 2 1 5 1. una ecuación de la elipse es 12 16 El centro es (3, 0) y a 5

Problema 53 Obtenga una ecuación para la elipse que comparte un vértice y un foco con la parábola x2 1 y 5 100 y que tiene su otro foco en el origen.

Solución x 2 1 y 5 100 ⇔ x 2 52( y 2100) tiene su vértice en (0, 100), así que uno de los vértices de la elipse es (0, 100). Otra forma de la ecuación de una parábola es x 2 5 4 p( y 2100) así que 4 p( 2100 ) 5 2( 2100) 52 52 . Por tanto, el foco compartido se encuentra en a0, la elipse es a0,

399 8

b. En consecuencia, a 5 100 2 2

de la elipse es

x2 1 b2

399 b 8 51 a2

399

399 8

4 5

b, por lo que 2c 5

401 8 2

ay 2

399 4

y b2 5 a 2 2 c 2 5

20 c5

4012 2 3992 82

399 8

y el centro de

5 25. Así, la ecuación

399 b x2 x 2 (8 y 2 399)2 8 1, o 1 5 1 5 1. 2 25 25 160 801 401 a b 8 ay 2

⇒

Problemas resueltos

Problema 54 Demuestre que si m es cualquier número real, entonces hay exactamente dos rectas de pendiente m que son tangenx2 y2 tes a la elipse 1 5 1 y sus ecuaciones son a2 b2 y 5 mx 6 a 2 m 2 1 b 2

Solución dy b2 x x 2 y2 2 x 2 y dy dy b2 x m ⇔ y . Al combinar esta . Por tanto, 1 0 ⇒ ⇒ 5 52 52 1 5 1 5 dx a2 m a2 b2 a 2 b 2 dx dx a2 y a2 m x 2 y2 . En otras palabras, los dos puntos en la elipse condición con 2 1 2 5 1, se encuentra que x 5 6 a b a2 m2 1 b2 a2 m b2 donde la tangente tiene pendiente m son a6 ,7 b. Las tangentes en esos puntos tienen las a2 m2 1 b2 a2 m2 1 b2 ecuaciones y 6

b2 2

a m 1b

5 m ax 7

a2 m 2

a m 1b

o y 5 mx 7 2b

a2 m2 2

a m 1b

b2 2

a m 1b

5 mx 7 a 2 m 2 1 b 2 .

Problema 55 1 Encuentre una ecuación polar para la elipse con foco en el origen, excentricidad 3 y directriz con ecuación r 5 4 sec u.

Solución Directriz x 5 4

⇒ d 5 4, así que e 5

1 3

⇒ r5

ed 4 . 5 1 1 e cos u 3 1 cos u

Use el video de Cónica polar

Problema 56 ed Demuestre que los ángulos entre el eje polar y las asíntotas de la hipérbola r 5 cos21 a

61 e

, e . 1, están dados por

(1 2 e cos u)

Solución

b b2 e2 d 2 e2 d 2 2 2 por tanto , y b 5 e 2 1. Las asíntotas y 5 6 x tienen pen5 2 a a2 (e2 21)2 e 21 61 b dientes 6 5 6 e2 2 1, de modo que los ángulos que forman con el eje polar son 6 tan21 e2 2 1 5 cos21a b. a e Si e . 1, entonces 1 2 e2 , 0, y a 2 5

Problema 57 En la figura el círculo de radio está fijo y para toda u, el punto P es el punto medio del segmento QR. La curva trazada que pasa por P para 0 , u , p, la curva se llama curva de arco largo. Encuentre las ecuaciones paramétricas de esta curva.

P a

Solución En coordenadas polares, una ecuación para el círculo es r 5 2a sen u. Así, las coordenadas de Q son x 5 2a sen u cos u y y 5 2a sen2 u. Las coordenadas de R son x 5 2a cot u y y 5 2a. 18

Capítulo 1 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares

y 5 2a

u 0

Como P es el punto medio de QR, se usa la fórmula del punto medio para obtener x 5 a(sen u cos u 1 cot u) y y 5 a(1 1 sen2 u).

Problema 58 La curva llamada folium de Descartes está definida por las ecuaciones paramétricas 3t 3t 2 x5 y 5 11 t3 11 t3 a) Demuestre que si (a, b) está sobre la curva, entonces (b, a) también lo está; es decir, la curva es simétrica respecto a la recta y 5 x. ¿En dónde se interseca la curva con esta recta? b) Encuentre los puntos sobre la curva donde las rectas tangentes son horizontales o verticales. c) Demuestre que la recta y 5 2x 2 1 es una asíntota oblicua. d) Trace la curva. e) Demuestre que una ecuación cartesiana de esta curva es x3 1 y3 5 3xy. f) Demuestre que la ecuación polar puede expresarse en la forma 3 sec ␪ tan ␪ r5 1 1 tan 3 ␪ g) Encuentre el área encerrada por el lazo de esta curva. h) Demuestre que el área del lazo es la misma que el área que está entre la asíntota y las ramas infinitas de la curva. (Utilice un sistema algebraico computacional para evaluar la integral.)

Solución 3t1 3t12 ay 5 b. Si 3 5 1 1 t1 1 1 t13 1 t1 5 0, el punto es (0, 0), el cual se encuentra en la recta y 5 x. Si t1 ? 0, el punto correspondiente a t 5 t1 3(1 t1 ) 3t12 3(1 t1 )2 3t1 está dado por x 5 5 5 b, y 5 5 5 a. Así (b, a) también se halla en la 1 1 (1 t1 )3 t13 11 1 1 (1 t1 )3 t13 11

a) Si (a, b) se halla en la curva, entonces hay algún valor paramétrico t1 tal que

curva. [Otra manera de ver esto es hacer primero el inciso (e); el resultado es inmediato.] La curva interseca la recta y 5 x cuando 3 3 2 2

3t 3t 2 5 11t 3 11t 3

⇒ t 5 t2

⇒

t 5 0 o 1, de tal modo que los puntos son (0, 0) y

a , b.

dy A1 1 t 3 B 16t 2 2 3t 2 A3t 2 B 6t 2 3t 4 4 3 5 5 5 0 cuando 6t 2 3t 5 3t A2 2 t B 5 0 ⇒ 3 2 A1 1 t 3 B 2 dt A11 t B

t 5 0 o t 5 3 2, así que

hay tangentes horizontales en (0, 0) y A 3 2, 3 4 B . Con el uso de la simetría del inciso (a), se observa que hay tres tangentes verticales en (0, 0) y A 3 4, 3 2 B . c) Adviértase que cuando t o 211, se tiene x o 2f y y o f. Cuando t o 212, se tiene x o f y y o 2f. También y 2 (2x 2 1) 5 y 1 x 1 1 5

3t 1 3t 2 1 A1 1 t 3 B A t 11B 3 (t 1 1)2 → 0 cuando 5 3 3 5 2 1+ t 11t t 2 t 11

t o 21. Así, y 5 2x 21 es una asíntota inclinada. d)

dy dy dt t (2 2 t 3 ) dy 6t 2 3t 4 dx (1 1 t 3 )(3) 2 3t (3t 2 ) 3 2 6t 3 5 5 , y del inciso (b) se tiene 5 . Así, . 5 5 3 2 3 2 3 2 dx dx dt 1 2 2t 3 dt (1 1 t ) dt (1 1 t ) (1 1 t )

Problemas resueltos

d dy a b 2(1 1 t 3 )4 1 d 2 y dt dx También 2 5 .0 ⇔ t,3 . 5 3 3 dx dt 3(1 2 2t ) dx 2 Así, la curva es cóncava hacia arriba ahí, y tiene un punto mínimo en (0, 0) y un punto máximo en A 3 2, 3 4 B. Al usar esto junto con la infor-

to` t51

t50

t o2`

t o212

mación de los incisos (a), (b) y (c), trazamos la curva.

y 5 2x21

y5x

t o211

3t 3t 2 27t 3 1 27t 6 27t 3 (1 1 t 3 ) 27t 3 e) x 1 y 5 a b a b 1 5 5 5 11t 3 11 t 3 (1 1 t 3 )3 (1 1 t 3 )3 (1 1 t 3 )2 3

3t 3t 2 27t 3 3xy 5 3 a , así que x 3 1 y 3 5 3xy. 3b a 3b 5 11 t 11 t (1 1 t 3 )2 f)

Se comienza con la ecuación del inciso (e) y se sustituye x 5 r cos u, y 5 r sen u. Entonces x3 1 y3 5 3xy r3 cos3 u 1 r3 sen3 u 5 3r2 cos u sen u. Para r ? 0, esto da r 5

3cos u sen u . Al dividir el numerador y el cos 3 u 1 sen 3u

1 sen u b cos u cos u 3sec u tan u . 5 sen 3u 1 1 tan 3 u 11 cos 3u

3a denominador entre cos3 u, se obtiene r 5

g) La curva corresponde a u ∈ a0, A 5∫

p 2

p b , así que su área es 2

r2 1 p2 3sec u tan u 2 9 p2 sec 2 u tan 2 u 9 ∞ u 2 du du 5 ∫ a d u d u 5 5 b 2 ∫ 0 (1 1 u 3 )2 2 2 0 1 1 tan 3 u 2 ∫0 (1 1 tan 3 u )2

[sea u 5 tan u]

9 1 3 3 −1 5 lím 2 (1 1 u ) 5 b→∞ 2 3 2 0 h) Por simetría, el área entre la vuelta y la recta y 5 –x – 1 es igual al área encerrada en el tercer cuadrante, más 1 dos veces el área encerrada en el cuarto cuadrante. El área en el tercer cuadrante es , y como y 5 x 1 2 1 , el área en el cuarto cuadrante es r sen u 52 r cos u 21 ⇒ r 5 2 sen u 1 cos u 2p

1 4 1 3sec u tan u 1 3 1 CAS 1 . En consecuencia, el área total es 1 2 a b 5 . a2 b 2a b du 3 2p ∫ 2 2 sen u 1 cos u 2 1 1 tan u 2 2 2

Capítulo 1 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares

Problemas de repaso Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares Para repasar lo visto anteriormente, resuelva los siguientes problemas. Nombre: _______________________________________________________________________________________________ Grupo: ______________________________________________

Fecha: ______________________________________

7. Encuentre una ecuación de la tangente de la curva en el punto mediante eliminación previa del parámetro. x 5 e t,

y 5 (t 2 9)2;

8. Elabore una integral que represente la longitud de la curva. Use después su calculadora para encontrar la longitud con cuatro decimales. x 5 t 2 2 sen t,

9. Calcule

ang P

10. Elabore, pero no evalúe, una integral que represente la longitud de la curva paramétrica. 10 9 x 5 t 2 t 10, y 5 t 8 , 8 # t # 18 9 11. ¿Cierto o falso? Si la curva paramétrica x 5 f (t), y 5 g(t) satisface g9(4) 5 0, tiene una tangente horizontal cuando t 5 4. 12. Encuentre una ecuación de la tangente de la curva en el punto que corresponde al valor dado del parámetro.

5. Elimine el parámetro para encontrar una ecuación cartesiana de la curva.

14. ¿Cierto o falso?

6. Halle una ecuación de la tangente de la curva en el punto que corresponde al valor dado del parámetro. x 5 t cos t, y 5 t sen t, t 5 5p

0 # t # 5p

x 5 4(t 1 sen t), y 5 4(t 2 cos t)

13. Determine

y(t) 5 7 sen2 t

y 5 1 2 2 cos t,

d2y . dx 2

4. Trace la curva paramétrica y elimine el parámetro para encontrar la ecuación cartesiana de la curva. p x 5 cos u, y 5 5 sec u, 0 # u , 2

x(t) 5 2 cos2 t,

(1, 81)

x 5 4t cos t,

y 5 4t sen t,

t 5 2p

d y . dx 2 x 5 5 1 t 2, y 5 t 2 t 2

La longitud exacta de la curva paramétrica p p x = et cos t, y = et sen t, 0 # t # es 2 e 7. 7 1 15. Calcule el área delimitada por la curva x = t − , t 1 y = t + y la recta y 5 2.5. t 21

16. Encuentre el área de la región que se tiende dentro de ambas curvas. r 5 8 1 sen u, r 5 7

3. Encuentre una ecuación de la tangente de la curva en el punto que corresponde al valor dado del parámetro. x 5 t cos t,

17. Con el uso de la fórmula de longitud de arco, elabore, pero no evalúe, una integral igual a la longitud de arco total de la elipse. x 5 4 sen u,

19. Halle el área encerrada por la curva. r 5 13 sen u

t 5 5p

4. Encuentre una ecuación de la tangente de la curva en el punto que corresponde al valor del parámetro. x 5 e t , y 5 t 2 ln t 6 ; t 5 1

y 5 2 cos u

18. Halle el área encerrada por la curva r2 5 3 cos 5u.

y 5 t sen t,

5. ¿Cierto o falso? Si la curva paramétrica x 5 f (t), y 5 g(t) satisface g9(4) 5 0, entonces tiene una tangente horizontal cuando t 5 4. 6. Encuentre una ecuación de la tangente de la curva en el punto que corresponde al valor dado del parámetro. x 5 4t cos t,

8 10 12 14

20. El punto en una órbita lunar más cercano a la superficie de la Luna se llama perilunio, y el punto más alejado de la superficie se llama apolunio. La nave espacial Apollo 11 fue colocada en una órbita lunar elíptica con altitud de perilunio de 106 km y altitud de apolunio de 318 km (arriba de la Luna). Determine una ecuación de esta elipse si el radio lunar es de 1 728 km, y el centro de la Luna está en un foco.

y 5 4t sen t,

t 5 2p

7. Una vaca está atada a un granero de radio 9 por una cuerda justo lo bastante larga para llegar al lado opuesto del granero. Determine el área de que dispone la vaca para pastar. Redondee la respuesta a la centésima más cercana.

8. Calcule

d2y . dx 2

x 5 5 1 t 2,

y 5 t 2 t3

9. ¿Cierto o falso? La longitud exacta de la curva paramétrica p p x 5 et cos t, y 5 et sen t, 0 # t # es 2 e 7. 7

Formulario B 1. Elimine el parámetro para determinar una ecuación cartesiana de la curva.

10. Encuentre una ecuación cartesiana para la curva descrita por la ecuación polar dada.

x 5 e4t 2 5, y 5 e8t

r 5 11 sen u

2. Elimine el parámetro para determinar una ecuación cartesiana de la curva. x(t) 5 2 cos2 t,

y (t) 5 7 sen2 t

11. Calcule el área de la región delimitada por la curva dada y que se halla en el sector especificado. p r 5 11 sen 2 u , 0 # u # 2

Capítulo 1 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares

12. El punto en una órbita lunar más cercano a la superficie de la Luna se llama perilunio, y el punto más alejado de la superficie se llama apolunio. La nave espacial Apollo 11 fue colocada en una órbita lunar elíptica con altitud de perilunio de 106 km y altitud de apolunio de 318 km (arriba de la Luna). Determine una ecuación de esta elipse si el radio lunar es de 1 728 km y el centro de la Luna está en un foco. 13. Establezca los vértices, focos y asíntotas de la hipérbola. y2 2 5x2 5 25 14. Establezca el vértice, foco y directriz de la parábola. y2 2 2y 2 20x 1 81 5 0 15. Establezca el vértice, foco y directriz de la parábola. 9y2 5 2x 16. Encuentre una ecuación de la cónica que satisface las condiciones dadas. Hipérbola, focos (5, 6) y (5, 24), asíntotas x 5 2y 1 3 y x 5 22y 1 7 17. Encuentre una ecuación de la cónica que satisface las condiciones dadas. Hipérbola, focos (5, 6) y (5, 22), asíntotas x 5 2y 1 1 y x 5 22y 1 9 18. Considere la ecuación polar r 5

9 . 5 2 3 sen u

a) Determine la excentricidad y una ecuación de la directriz de la cónica. b) Identifique la cónica. c) Trace la curva. 19. Considere la ecuación polar r 52

13 . 4 sen u 21

a) Determine la excentricidad y una ecuación de la directriz de la cónica. b) Identifique la cónica. c) Trace la curva. 20. Considere la ecuación polar r 5 2

7 . 5 1 5 cos u

a) Calcule la excentricidad y una ecuación de la directriz de la cónica. b) Identifique la cónica. c) Trace la curva.

Formulario C Seleccione la respuesta correcta de cada pregunta. 1. Determine las ecuaciones paramétricas que representen el segmento de recta de (23, 4) a (12, 28). a) b) c) d) e)

x 5 23 2 15t, y 5 4 2 12t, 0 # t # 1 x 5 23 2 15t, y 5 4 2 12t, 0 # t # 2 x 5 8 2 15t, y 5 4 2 12t, 0 # t # 2 x 5 23 1 15t, y 5 4 2 12t, 0 # t # 1 x 5 3 1 15t, y 5 4 2 12t, 0 # t # 1

2. Determine el(los) punto(s) en la curva donde la tangente es horizontal. x 5 t 3 2 3t 1 2, y 5 t 3 2 3t 2 1 2 a) b) c) d) e)

(0, 20) (0, 0), (2, 22) (21, 1), (22, 22) (0, 0), (4, 22) Ninguno de los anteriores.

3. Determine el área exacta de la superficie obtenida mediante la rotación de la curva dada alrededor del eje x. p x 5 2 cos3 u, y 5 2 sen3 u, 0 # u # 2 24 p a) 5 18 p b) 5 12 p c) 5 2p d) 4 e) Ninguna de las anteriores. 4. Determine una ecuación polar para la curva representada por la ecuación cartesiana dada. a) b) c) d) e)

x2 5 3y r 5 3 tan u sec u r 5 3 sen u r 5 3 tan u r 5 3 cos u sen u r 5 3 tan u csc u

5. Encuentre el(los) punto(s) de intersección de las curvas r 5 2 y r 5 4 cos u. a) a2,

p p b, a2, − b 6 6

b) a2,

p p b, a2, − b 4 4 Problemas de repaso

c) a2,

p p b, a2, − b 3 3

d) a2,

p b 6

e) a2,

p b 3

8. Encuentre una ecuación para la cónica que satisface las condiciones dadas. Hipérbola, focos (0, 66), vértices (0, 63) a) 6 x 2 5 y ( x − 6)2 y 2 2 51 36 27 6 2 x 5y c) 27 x 2 y2 d) 1 51 36 27 y2 x 2 e) 2 51 36 27 b)

6. Calcule la longitud de la curva polar. 3p r 5 3 cos u, 0 # u # 4 9p a) 11 p b) 3 9 c) 4 9p d) 4 e) Ninguna de las anteriores. 7. Se da la gráfica de la curva siguiente. Determine el área que encierra. r 5 3 1 15 sen 6u

9. Encuentre una ecuación de la hipérbola centrada en el origen que satisface la condición dada. 7 Vértices: (64, 0), asíntotas: y 5 6 x 4 x 2 y2 − =1 a) 16 49 y2 x 2 b) − =1 49 16 y2 x 2 c) − =1 16 49 x 2 y2 − =1 d) 49 16 10. Encuentre una ecuación de la elipse que satisface las condiciones dadas. Focos: (0, 68), vértices: (0, 69) x 2 y2 1 51 17 81 x 2 y2 b) 2 51 17 81 x 2 y2 c) 1 51 81 17 x 2 y2 d) 2 51 81 17

a) 4

27 5 2 81 b) A 5 p 2 c) A 5 18 p a) A 5

27 5 d) A 5 p 1 2 81 e) A 5 18 p 1 2 24

8 12 16 20 24

11. Escriba una ecuación polar en r y u de una elipse 6 con foco en el origen, excentricidad , y directriz 7 x 5 213. a) b)

78 7 2 6 cos u 13 r5 7 1 6 cos u r5

Capítulo 1 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares

78 1 2 6 cos u 78 d) r 5 7 1 6 cos u 6 e) r 5 3 2 6 sen u c) r 5

12. La órbita del cometa Hale-Bopp, descubierto en 1995, es una elipse con excentricidad de 0.995 y un foco en el Sol. La longitud de su eje mayor es de 366.5 UA. [Una unidad astronómica (UA) es la distancia media entre la Tierra y el Sol, de aproximadamente 93 millones de millas.] Calcule la distancia máxima del cometa al Sol. (La distancia de perihelio de un planeta al Sol es a(1 2 e), y la distancia de afelio es a(1 1 e).) Halle la respuesta en UA y redondee a la centésima más cercana. a) b) c) d) e)

372.58 UA 370.58 UA 365.58 UA 368.58 UA 374.58 UA

13. Escriba una ecuación polar para la cónica que tiene 7 un foco en el origen, excentricidad de , y directriz 2 y 5 27. Identifique la cónica. a) b) c) d)

49 , hipérbola r5 2 2 7 cos u 49 r5 , hipérbola 2 2 7 sen u 49 r5 , elipse 2 2 sen u 49 r5 , elipse 2 2 cos u

14. Suponga que se descubre un planeta que revoluciona alrededor de su sol en una órbita elíptica con el Sol en un foco. Su distancia de perihelio (distancia mínima desde el planeta al Sol) es de aproximadamente 2.3 3 107 km, y su distancia de afelio (distancia máxima del planeta al Sol) es de aproximadamente 2.7 3 107 km. Aproxime la excentricidad de la órbita del planeta. Redondee a tres decimales. a) b) c) d)

1.174 12.5 0.08 0.852

15. El planeta Mercurio viaja en una órbita elíptica con excentricidad de 0.703. Su distancia mínima desde el Sol es de 8 3 107 km. Si la distancia de perihelio de un planeta al Sol es a(1 2 e), y la distancia de afelio es a(1 1 e), determine la distancia máxima (en kilómetros) de Mercurio al Sol. a) b) c) d) e)

45.9 3 107 km 48.0 3 107 km 0.5 3 107 km 26.9 3 107 km 50.0 3 107 km

16. Escriba una ecuación polar con r y u de una hipérbola con el foco en el origen, la excentricidad 7 y la directriz r 5 212 csc u. 84 a) r 5 1 2 84 sen u 84 b) r 5 1 2 7 sen u 84 c) r 5 1 1 7 sen u 84 d) r 5 1 2 sen u 12 e) r 5 1 1 12 sen u 17. Calcule la excentricidad de la cónica. 5 r5 8 2 5 sen u 8 a) e 5 5 b) e 5 8 5 c) e 5 8 d) e 525 e) e 5 5 18. Use una gráfica para estimar los valores de u para los cuales las curvas r 5 9 1 3 sen 5u y r 5 18 sen u se intersecan. Redondee su respuesta a dos decimales. a) b) c) d) e)

u 5 1.48 u 5 0.58 u 5 4.7 u 5 0.49 u 5 2.57

19. Una sección transversal de un reflector parabólico se muestra en la figura. La bombilla se localiza en el foco, y la apertura del foco es de 18 cm. Encuentre Problemas de repaso

una ecuación de la parábola. Sea V el origen, calcule el diámetro de la apertura |CD| a 19 cm del vértice. C A 9 cm 19 cm V F 9 cm B D

CD 5 6 38

CD 5 18

3. Calcule el área de la superficie generada mediante la rotación de la lemniscata r2 5 10 cos 2u alrededor de la recta u 5 p.

c) La ecuación es y 5 18 x 2 d)

a) 2 p 10

CD 5 4 414

b) 2 p 10 A2 − 2 B

e) La ecuación es y 2 5 18 x f)

La ecuación es y 2 2

x2 51 18

20. Determine los vértices, focos y asíntotas de la hipérbola. 5x2 2 5y2 1 40x 2 50y 5 70 1 a) Los focos son (24, 25), a , 25b 5 b) Los vértices son A4 6 5, 5B c) Los focos son a24 6

1 10

, 5b

1 d) Los vértices son a6 , 25b 5 e) La asíntota es y 5 6 x 1 1 f) Las asíntotas son y 5 6 x

Formulario D Seleccione la respuesta correcta de cada pregunta. 1. Encuentre ecuaciones paramétricas que representen el segmento de recta de (23, 4) a (12, 28). a) x 5 23 2 15t, y 5 4 2 12t, 0 # t # 1 b) x 5 23 2 15t, y 5 4 2 12t, 0 # t # 2 c) x 5 8 2 15t, y 5 4 2 12t, 0 # t # 2 d) x 5 23 1 15t, y 5 4 2 12t, 0 # t # 1 e) x 5 3 1 15t, y 5 4 2 12t, 0 # t # 1

2. La curva x 5 5210 cos2 t, y 5 tan t(122 cos2 t) se cruza a sí misma en algún punto (x0, y0). Encuentre las ecuaciones de ambas tangentes en ese punto. x x a) y 5 , y 52 5 10 x x b) y 5 2 10, y 52 2 2 2 2 c) y 5 x 1 5, y 52 x 1 5 x x d) y 5 , y 52 2 2 x x e) y 5 1 8, y 51 1 2 2 2

c) p 10 p 10 10 p e) 10 d)

4. En el sistema de radionavegación LORAN (LOng RAnge Navigation, navegación de largo rango), dos estaciones radiales localizadas en A y B transmiten señales simultáneas a un barco o avión localizado en P. La computadora a bordo convierte la diferencia de tiempo en la recepción de estas señales en una diferencia de distancias _A_ 2 _B_, y ésta, de acuerdo con la definición de hipérbola, localiza el barco o avión en una rama de una hipérbola (vea la figura). Suponga que la estación B se ubica L 5 480 mi al este de la estación A en un litoral. Un barco recibió la señal de B 1 280 microsegundos (ms) antes de que recibiera la de A. Suponiendo que las señales de radio viajan a una velocidad de 1 000 pies ms y que el barco viaja al norte de B, ¿qué tan lejos del litoral se encuentra el barco? Redondee su respuesta a la milla más cercana. P

Capítulo 1 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares

litoral L estaciones emisoras

a) 355 millas b) 358 millas c) 357 millas

d) 354 millas e) 356 millas

5. Suponga que se descubre un planeta que revoluciona alrededor de su sol en una órbita elíptica con el Sol en un foco. Su distancia de perihelio (distancia mínima del planeta al Sol) es de aproximadamente 2.3 3 107 km, y su distancia de afelio (distancia máxima del planeta al Sol) es de aproximadamente 2.7 3 107 km. Aproxime la excentricidad de la órbita del planeta. Redondee a tres decimales. a) b) c) d)

1.174 12.5 0.08 0.852

6. Si se lanza un proyectil con una velocidad inicial de v0 metros por segundo en un ángulo a sobre la horizontal, y se da por hecho que la resistencia del aire es insignificante, su posición después de t segundos está dada por las ecuaciones paramétricas 1 x 5 (v0 cos a) t, y 5 (v0 sen a) t 2 gt2, 2 donde g es la aceleración de la gravedad (9.8 m s2). Si se dispara un fusil con a 5 55° y v0 5 440 m s, ¿cuándo llegará la bala al suelo? a) t 5 244 s b) t 5 74 s c) t 5 344 s d) t 5 124 s e) t 5 224 s 7. Describa el movimiento de una partícula con posición (x, y) cuando t varía en el intervalo dado 0 # t # 2p. x 5 8 sen t, y 5 5 cos t a) Se mueve una vez en sentido contrahorario a lo largo del círculo x2 1 y2 5 1 y comienza y termina en (0, 25). b) Se mueve una vez en sentido contrahorario a lo largo de la elipse

x 2 y2 1 5 1 y comienza y 64 25

termina en (0, 5). c) Se mueve una vez en sentido contrahorario a lo largo de la elipse termina en (25, 0).

x 2 y2 1 5 1 y comienza y 5 8

d) Se mueve una vez en sentido contrahorario a lo largo de la elipse

x 2 y2 1 5 1 y comienza y 64 25

termina en (0, 5). e) Se mueve una vez en sentido contrahorario a lo largo del círculo (8x)2 1 (5y)2 5 1 y comienza y termina en (0, 5). 8. Encuentre una ecuación de la tangente de la curva en el punto que corresponde al valor dado del parámetro. x 5 cos u 1 sen 2u 1 8, y 5 sen u 1 cos 2u 1 8, u 5 p x a) y 5 1 2 2 2 b) y 5 x x 3 c) y 5 1 2 2 25 x d) y 5 2 2 2 e) Ninguna de las anteriores. 9. Calcule el área exacta de la superficie obtenida mediante la rotación de la curva dada alrededor del eje x. p x 5 2 cos3 u, y 5 2 sen3 u, 0 # u # 2 24 p a) 5 18 p b) 5 12 p c) 5 2p d) 4 e) Ninguna de las anteriores. 10. Encuentre una ecuación polar para la curva representada por la ecuación cartesiana dada. a) b) c) d) e)

x2 5 3y r 5 3 tan u sec u r 5 3 sen u r 5 3 tan u r 5 3 cos u sen u r 5 3 tan u csc u

11. Encuentre la ecuación polar para la curva representada por la ecuación cartesiana dada. x1y52

Problemas de repaso

a) r 5 2(cos u 1 sen u) 1 b) r 5 cos u 2 sen u 2 c) r 5 cos u 1 sen u 2 d) r 5 cos u 2 sen u e) r 5 1(cos u 1 sen u)

12. Trace la curva polar con la ecuación dada. r 5 sen 2u,

2p # x # p

13. Calcule la longitud de la curva polar. r 5 3 cos u, 0 # u # a) 1

b) c) d)

3p 4

9p 11 p 3 9 4 9p 4

e) Ninguna de las anteriores. b)

1 2 3 4 5 6

14. Determine el área de la región encerrada por un lazo de la curva. r 5 7 cos 8u 49 p a) 11 49 p b) 32 c) p d) 49 p e)

1 2 3 4 5 6

p 8

15. Calcule el área de la región que se halla dentro de la primera curva y afuera de la segunda. r 5 3 cos u, r 5 1 1 cos u a) A 5 2p b) A 5 p 3p c) A 5 2 p d) A 5 4 p e) A 5 2

Capítulo 1 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares

16. Encuentre una ecuación de la parábola con foco 15 13 a , 0b y directriz x 52 . 2 2 2

x 1 14 2 b) y 5 28 x 2 214

a) y 5

c) y 2 5 14 x 2 28 x2 12 14 2 e) y 5 28 x 214 d) y 5

17. Encuentre una ecuación para la cónica que satisface las condiciones dadas. Elipse, focos (61, 6), longitud del eje mayor 8

de afelio es a(1 1 e).) Halle la respuesta en UA y redondee a la centésima más cercana. a) b) c) d) e)

20. Escriba una ecuación polar en r y u de una elipse con foco en el origen, excentricidad 0.8, y vértice en p a1, b. 2

e) 36x2 5 y 18. Escriba una ecuación polar en r y u de una elipse 6 con foco en el origen, excentricidad , y directriz 7 x 5 213. 78 7 2 6 cos u 13 r5 7 1 6 cos u 78 r5 1 2 6 cos u 78 r5 7 1 6 cos u 6 r5 3 2 6 sen u

a) r 5 b) c) d) e)

19. La órbita del cometa Hale-Bopp, descubierto en 1995, es una elipse con excentricidad de 0.995 y un foco en el Sol. La longitud de su eje mayor es de 366.5 UA. [Una unidad astronómica (UA) es la distancia media entre la Tierra y el Sol, de alrededor de 93 millones de millas.] Determine la distancia máxima del cometa al Sol. (La distancia de perihelio de un planeta al Sol es a(1 2 e), y la distancia

1.8 1 2 4 cos u 9 r5 1 1 4 sen u 1.8 r5 5 2 4 cos u 9 r5 5 1 4 sen u 9 r5 5 2 4 cos u

a) r 5 b)

a) 6x 5 y x 2 ( y 2 6)2 b) 1 51 16 15 ( x 2 6)2 y 2 c) 2 51 16 15 x 2 y2 d) 1 51 36 15

372.58 UA 370.58 UA 365.58 UA 368.58 UA 374.58 UA

c) d) e)

Formulario E 1. Encuentre las ecuaciones paramétricas que representan el segmento de recta de (23, 4) a (12, 28). Seleccione la respuesta correcta. a) b) c) d) e)

x 5 23 2 15t, y 5 4 2 12t, 0 # t # 1 x 5 23 2 15t, y 5 4 2 12t, 0 # t # 2 x 5 8 2 15t, y 5 4 2 12t, 0 # t # 2 x 5 23 1 15t, y 5 4 2 12t, 0 # t # 1 x 5 3 1 15t, y 5 4 2 12t, 0 # t # 1

2. Describa el movimiento de una partícula con posición (x, y) cuando t varía en el intervalo dado 0 # t # 2p. x 5 8 sen t, y 5 5 cos t 3. Halle el(los) punto(s) en la curva donde la tangente es horizontal. x 5 t3 2 3t 1 2, y 5 t3 2 3t2 1 2 4. Encuentre una ecuación de la tangente de la curva en el punto que corresponde al valor dado del parámetro. x 5 cos u 1 sen 2u 1 8, y 5 sen u 1 cos 2u 1 8, u 5 p 5. Encuentre una ecuación polar para la curva representada por la ecuación cartesiana dada. Seleccione la respuesta correcta. Problemas de repaso

a) b) c) d) e)

10. Encuentre una ecuación para la cónica que satisface las condiciones dadas. Seleccione la respuesta correcta.

x2 5 3y r 5 3 tan u sec u r 5 3 sen u r 5 3 tan u r 5 3 cos u sen u r 5 3 tan u csc u

Parábola, vértice: (0, 0), foco: (0, 24) a) x2 5 4y b) y2 5 217x c) x2 1 y2 5 16y d) x2 5 216y e) x2 5 2y 11. Encuentre una ecuación para la cónica que satisface las condiciones dadas. Hipérbola, focos: (0, 66), vértices: (0, 63) 12. Encuentre una ecuación de la hipérbola centrada en el origen que satisface la condición dada. 7 Vértices: (64, 0), asíntotas: y 5 6 x 4 13. Encuentre una ecuación de la hipérbola con vértices x (0, 66) y asíntotas y 56 . 3 14. Encuentre una ecuación para la cónica que satisface las condiciones dadas. Elipse, focos: (61, 6), longitud de eje mayor: 8

r 1 2 3 4 5 6

9. Se da la gráfica de la curva siguiente. Halle el área que encierra. r 5 3 1 15 sen 6u

8 12 16 20 24

litoral L estaciones emisoras

Capítulo 1 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares

a) b) c) d) e)

355 millas 358 millas 357 millas 354 millas 356 millas

16. Encuentre una ecuación de la elipse que satisface las condiciones dadas. Focos: (0, 61), vértices: (0, 66) 17. La órbita del cometa Hale-Bopp, descubierto en 1995, es una elipse con excentricidad de 0.995 y un foco en el Sol. La longitud de su eje mayor es de 366.5 UA. [Una unidad astronómica (UA) es la distancia media entre la Tierra y el Sol, de alrededor de 93 millones de millas.] Calcule la distancia máxima del cometa al Sol. (La distancia de perihelio del planeta al Sol es a(1 2 e), y la distancia de afelio es a(1 1 e).) Halle la respuesta en UA y redondee a la centésima más cercana. 18. Escriba una ecuación polar de la cónica que tiene 7 un foco en el origen, excentricidad de y directriz 2 y 5 27. Identifique la cónica. 19. Calcule la ecuación de la directriz de la cónica. Seleccione la respuesta correcta. 6 r5 3 1 sen u a) x 5 2 b) y 5 26 c) x 5 3 d) x 5 23 e) y 5 6 20. El planeta Mercurio viaja en una órbita elíptica con excentricidad de 0.703. Su distancia mínima del Sol es de 8 3 107 km. Si la distancia de perihelio de un planeta al Sol es a(1 2 e), y la distancia de afelio es a(1 1 e), determine la distancia máxima (en kilómetros) de Mercurio al Sol.

Formulario F 1. Encuentre ecuaciones paramétricas que representen el segmento de recta de (23, 4) a (12, 28). Seleccione la respuesta correcta. a) x 523 2 15t, y 5 4 2 12t, 0 # t # 1 b) x 523 2 15t, y 5 4 2 12t, 0 # t # 2 c) x 5 8 2 15t, y 5 4 2 12t, 0 # t # 2

d) x 523 1 15t, y 5 4 2 12t, 0 # t # 1 e) x 5 3 1 15t, y 5 4 2 12t, 0 # t # 1 2. Si se lanza un proyectil con una velocidad inicial de v0 metros por segundo a un ángulo a sobre la horizontal y se da por supuesto que la resistencia del aire es insignificante, entonces su posición después de t segundos está dada por las ecuaciones paramétricas 1 x 5 (v0 cos a ) t, y 5 (v0 sen a) t 2 gt 2 , 2 donde g es la aceleración de la gravedad (9.8 m s2). Si un fusil se dispara con a 5 55° y v0 5 440 m s2, ¿cuándo llegará la bala al suelo? 3. Describa el movimiento de una partícula con posición (x, y) cuando t varía en el intervalo dado 0 # t # 2p. x 5 8 sen t, y 5 5 cos t 4. Encuentre el(los) punto(s) en la curva donde la tangente es horizontal. Seleccione la respuesta correcta. x 5 t3 2 3t 1 2, y 5 t3 2 3t2 1 2 a) b) c) d) e)

(0, 20) (0, 0), (2, 22) (21, 1), (22, 22) (0, 0), (4, 22) Ninguna de las anteriores.

5. Calcule la longitud de la curva. Seleccione la respuesta correcta. x 5 3t2 1 8, y 5 2t3 1 8, 0 # t # 1 a) 2 2 2 2 b) 4 2 c) 4 2 21 d) 4 2 2 2 e) Ninguna de las anteriores. 6. Encuentre el área exacta de la superficie obtenida mediante la rotación de la curva dada alrededor del eje x. p x 5 2 cos3 u, y 5 2 sen3 u, 0 # u # 2 7. Encuentre el(los) punto(s) de intersección de las curvas r 5 2 y r 5 4 cos u. 8. Encuentre el área generada mediante la rotación de la lemniscata r2 5 10 cos 2u alrededor de la recta u 5 p. Problemas de repaso

9. Encuentre el área de la región encerrada por un lazo de la curva. Seleccione la respuesta correcta. r 5 7 cos 8 u a) b) c) d) e)

49 p 11 49 p 32 p 49 p p 8

10. Se da la gráfica de la curva siguiente. Calcule su longitud. Seleccione la respuesta correcta.

señales simultáneas a un barco o avión localizado en P. La computadora a bordo convierte la diferencia de tiempos en la recepción de esas señales en una diferencia de distancias _A_ 2 _B_, y ésta, de acuerdo con la definición de hipérbola, localiza el barco o avión en una rama de una hipérbola (vea la figura). Suponga que la estación B se ubica L 5 480 mi al este de la estación A en un litoral. Un barco recibió la señal de B 1 280 microsegundos (ms) antes de que recibiera la señal de A. Suponiendo que las señales de radio viajan a una velocidad de 1 000 pies ms y que el barco se dirige al norte de B, ¿qué tan lejos del litoral está el barco? Redondee su respuesta a la milla más cercana. Seleccione la respuesta correcta.

u r 5 6 cos 2 a b 2

litoral

L estaciones emisoras

1 2 3 4 5 6

a) b) c) d) e)

355 millas 358 millas 357 millas 354 millas 356 millas

15. Haga coincidir la ecuación con la gráfica correcta. x 2 y2 2 51 16 4 a) b) c) d) e)

L 5 25 L 5 24 L 5 26 L 5 32 L 5 20

11. Encuentre una ecuación para la cónica que satisface las condiciones dadas. Parábola, vértice: (0, 0), foco: (0, 24) 12. Encuentre una ecuación de la parábola con foco 13 15 a , 0b y directriz x 52 . 2 2 13. Encuentre una ecuación de la hipérbola con vértices x (0, 66) y asíntotas y 56 . 3 14. En el sistema de radionavegación LORAN (LOng RAnge Navigation, navegación de largo rango), dos estaciones radiales localizadas en A y B transmiten 32

16. Encuentre una ecuación de la elipse que satisface las condiciones dadas. Focos: (0, 68), vértices: (0, 69) 17. Escriba una ecuación polar en r y u de una elipse 6 con foco en el origen, excentricidad , y directriz 7 x 5 213. 18. Escriba una ecuación polar en r y u de una elipse con foco en el origen, excentricidad 0.8, y vértice en p a1, b. 2 19. El planeta Mercurio viaja en una órbita elíptica con excentricidad 0.703. Su distancia mínima del Sol es de 8 3 107 km. Si la distancia de perihelio de un planeta al Sol es a(1 2 e) y la distancia de afelio es a(1 1 e), determine la distancia máxima (en kilómetros) de Mercurio al Sol. Seleccione la respuesta correcta.

Capítulo 1 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares

a) b) c) d) e)

45.9 3 107 km 48.0 3 107 km 0.5 3 107 km 26.9 3 107 km 50.0 3 107 km

8. Se da la gráfica de la curva siguiente. Calcule el área que encierra. r 5 3 1 15 sen 6u

20. Escriba una ecuación polar en r y u de una hipérbola con foco en el origen, excentricidad 7, y directriz r 5 212 csc u.

Formulario G

8 12 16 20 24

1. Encuentre ecuaciones paramétricas que representen el segmento de recta de (23, 4) a (12, 28). 2. Halle el(los) punto(s) en la curva donde la tangente es horizontal. Seleccione la respuesta correcta. x 5 t3 2 3t 1 2, y 5 t3 2 3t2 1 2 a) b) c) d) e)

(0, 20) (0, 0), (2, 22) (21, 1), (22, 22) (0, 0), (4, 22) Ninguna de las anteriores.

3. Calcule el área exacta de la superficie obtenida mediante la rotación de la curva dada alrededor del eje x. p x 5 2 cos3 u, y 5 2 sen3 u, 0 # u # 2 4. Encuentre una ecuación polar para la curva representada por la ecuación cartesiana dada. x2 5 3y 5. Halle el(los) punto(s) de intersección de las curvas r 5 2 y r 5 4 cos u. 6. Calcule el área generada mediante la rotación de la lemniscata r2 5 10 cos 2u alrededor de la recta u 5 p. 7. Determine el área de la región que se encuentra dentro de la primera curva y afuera de la segunda. Seleccione la respuesta correcta. r 5 3 cos u, r 5 1 1 cos u a) A 5 2p b) A 5 p 3p c) A 5 2 p d) A 5 4 p e) A 5 2

9. Encuentre una ecuación de la hipérbola centrada en el origen que satisface la condición dada. 7 Vértices: (64, 0), asíntotas: y 56 x 4 10. Encuentre una ecuación de la hipérbola con vértices x (0, 66) y asíntotas y 5 6 . 3 11. Encuentre una ecuación para la cónica que satisface las condiciones dadas. Seleccione la respuesta correcta. Elipse, focos: (61, 6), longitud de eje mayor: 8 a) 6 x 2 5 y x 2 ( y − 6)2 1 51 16 15 ( x 2 6)2 y 2 c) 2 51 16 15 x 2 y2 d) 1 51 36 15 e) 36 x 2 5 y b)

12. En el sistema de radionavegación LORAN (LOng RAnge Navigation, navegación de largo rango), dos estaciones radiales localizadas en A y B transmiten señales simultáneas a un barco o avión localizado en P. La computadora a bordo convierte la diferencia de tiempos en la recepción de esas señales en una diferencia de distancias _A_ 2 _B_, y ésta, de acuerdo con la definición de hipérbola, localiza el barco o avión en una rama de una hipérbola (vea la figura).

Problemas de repaso

Suponga que la estación B se ubica L 5 480 mi al este de la estación A en un litoral. Un barco recibió la señal de B 1 280 microsegundos (ms) antes de que recibiera la señal de A. Suponiendo que las señales de radio viajan a una velocidad de 1 000 pies ms y que el barco se dirige al norte de B, ¿qué tan lejos del litoral está el barco? Redondee su respuesta a la milla más cercana. Seleccione la respuesta correcta.

18. Encuentre la ecuación de la directriz de la cónica. 6 r5 3 1 sen u 19. Escriba una ecuación polar en r y u de una hipérbola con foco en el origen, excentricidad 7 y directriz r 5 212 csc u. 20. Calcule la excentricidad de la cónica. Seleccione la respuesta correcta.

r5 A

litoral

L estaciones emisoras

a) b) c) d) e)

355 millas 358 millas 357 millas 354 millas 356 millas

13. Haga coincidir la ecuación con la gráfica correcta. x 2 y2 2 51 16 4 14. Encuentre una ecuación de la elipse que satisface las condiciones dadas. Focos: (0, 61), vértices: (0, 66) 15. Encuentre una ecuación de la elipse que satisface las condiciones dadas. Focos: (0, 68), vértices: (0, 69) 16. Escriba una ecuación polar en r y u de una elipse 6 con foco en el origen, excentricidad , y directriz 7 x 5 213.

5 8 2 5 sen u

8 5 b) e 5 8 5 c) e 5 8 d) e 5 25 e) e 5 5 a) e 5

Formulario H 1. Encuentre ecuaciones paramétricas que representen el segmento de recta de (23, 4) a (12, 28). 2. Halle el(los) punto(s) en la curva donde la tangente es horizontal. x 5 t 3 2 3t 1 2, y 5 t 3 2 3t 2 1 2 3. Calcule la longitud de la curva. Seleccione la respuesta correcta. x 5 3t2 1 8, y 5 2t3 1 8, 0 # t # 1 a) 2 2 2 2 b) 4 2 c) 4 2 21 d) 4 2 2 2 e) Ninguna de las anteriores.

17. La órbita del cometa Hale-Bopp, descubierto en 1995, es una elipse con excentricidad 0.995 y un foco en el Sol. La longitud de su eje mayor es de 366.5 UA. [Una unidad astronómica (UA) es la distancia media entre la Tierra y el Sol, de alrededor de 93 millones de millas.] Determine la distancia máxima del cometa al Sol. (La distancia de perihelio de un planeta al Sol es a(1 2 e), y la distancia de afelio es a(1 1 e).) Halle la respuesta en UA y redondee a la centésima más cercana.

4. Encuentre una ecuación de la tangente de la curva en el punto que corresponde al valor dado del parámetro. x 5 cos u 1 sen 2u 1 8, y 5 sen u 1 cos 2u 1 8, u 5 p 5. Calcule el área exacta de la superficie obtenida mediante la rotación de la curva dada alrededor del eje x. p x 5 2 cos3 u, y 5 2 sen3 u, 0 # u # 2

Capítulo 1 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares

6. La curva x 5 5 2 10 cos2 t, y 5 tan t (1 2 2 cos2 t) se cruza a sí misma en algún punto (x0, y0). Determine las ecuación de ambas tangentes en ese punto. 7. Encuentre la ecuación polar para la curva representada por la ecuación cartesiana dada. Seleccione la respuesta correcta.

c) L 5 26 d) L 5 32 e) L 5 20 12. Encuentre una ecuación de la parábola con foco 13 15 a , 0b y directriz x 52 . 2 2

x1y52 13. Encuentre una ecuación de la hipérbola con vértices x (0, 66) y asíntotas y 56 . 3

a) r 5 2(cos u 1 sen u) 1 cos u 2 sen u 2 c) r 5 cos u 1 sen u 2 d) r 5 cos u 2 sen u e) r 5 1(cos u 1 sen u) b) r 5

14. Escriba una ecuación polar en r y u de una elipse 6 con foco en el origen, excentricidad , y directriz 7 x 5 213.

8. Calcule la longitud de la curva polar. 3p r 5 3 cos u, 0 # u # 4 9. Encuentre el área generada mediante la rotación de la lemniscata r2 5 10 cos 2u alrededor de la recta u 5 p. 10. Calcule el área de la región que se halla dentro de la primera curva y afuera de la segunda.

15. La órbita del cometa Hale-Bopp, descubierto en 1995, es una elipse con excentricidad de 0.995 y un foco en el Sol. La longitud de su eje mayor es de 366.5 UA. [Una unidad astronómica (UA) es la distancia media entre la Tierra y el Sol, de alrededor de 93 millones de millas.] Determine la distancia máxima del cometa al Sol. (La distancia de perihelio de un planeta al Sol es a(12e), y la distancia de afelio es a(11e).) Halle la respuesta en UA y redondee a la centésima más cercana.

r 5 3 cos u, r 51 1 cos u 11. Se da la gráfica de la curva siguiente. Determine su longitud. Seleccione la respuesta correcta. u r 5 6 cos 2 a b 2

1 2 3 4 5 6

a) L 5 25 b) L 5 24

16. Escriba una ecuación polar de la cónica que tiene 7 un foco en el origen, excentricidad , y directriz 2 y 5 27. Identifique la cónica. 17. Suponga que se descubre un planeta que revoluciona alrededor de su sol en una órbita elíptica con el Sol en un foco. Su distancia de perihelio (distancia mínima del planeta al Sol) es de aproximadamente 2.3 3 107 km, y su distancia de afelio (distancia máxima del planeta al Sol) es de aproximadamente 2.7 3 107 km. Aproxime la excentricidad de la órbita del planeta. Redondee a tres decimales. 18. El planeta Mercurio viaja en una órbita elíptica con excentricidad de 0.703. Su distancia mínima del Sol es de 8 3 107 km. Si la distancia de perihelio de un planeta al Sol es a(1 2 e), y la distancia de afelio es a(1 1 e), determine la distancia máxima (en kilómetros) de Mercurio al Sol. Seleccione la respuesta correcta.

Problemas de repaso

a) b) c) d) e)

20. Calcule la excentricidad de la cónica. Seleccione la respuesta correcta.

45.9 u 107 km 48.0 u 107 km 0.5 u 107 km 26.9 u 107 km 50.0 u 107 km

r5 a)

19. Escriba una ecuación polar en r y u de una hipérbola con foco en el origen, excentricidad 7, y directriz r 5 212 csc u.

b) c) d) e)

8 5 e58 5 e5 8 e 5 25 e55 e5

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Capítulo 1 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares

5 8 2 5 sen u

8. y 5 c1 1 c2e4x 1

cos 6x 2

480

8. y 5 c1 1 c2e2x 1

sen 6x

160

9. b

cos 6x 2

120

sen 6x

9. b

10. y 5 c1e22x 1 c2e23x 1 4

11. y 5 c1e3x 1 c2ex 1

x2 2

18 2

cos x 1

10. y 5 c1e3x 1 c2ex 1

108

cos x 1

sen x

11. y 5 Ac1 1 xB sen x 1 C c2 1 ln 1cos x2 D cos x

sen x

12. b

12. a 13.

13. x 1t2 5 20.4 cos 1.75t

14. a 15. x 1t2 5 0.3 sen a

10 3

0.06

tb 0.04

16. I 1t2 5 0.742e24t sen 8t 17. Q 1t2 5 e

26t

0.02

A0.001 cos 8t 2 0.06175 sen 8tB 1

sen 10t

14.

18. b 19. y 5 c0 1 c1x 1 c0

S 1212

n50

1 c0

n52

1212n2112n 2 32! 22n22n!1n 2 22!

x2n

0.1

x2n

20. y 5

0.5

1.5

2 1n!2 2n

⫺0.1

Formulario H ⫺0.2

Clave de respuestas 1. b

15. x 1t2 5 c1 cos vt 1 c2 sen vt 1

2. y5 2 sen 9x 9 3. y 5 5xe128x182

16. d

4. y 1t2 5 e 2 sc1 cos a 2

15 t b 1 c2 sen a 2

15 t bt 2

5. d 6. y 5

7 4

ex 1

e23x

18. y 5 c0

7. y 5 Ae10 2 e

n50

n11 12n

B Ae5x 2 e210xB

Respuestas a problemas de repaso

19. c

4 220 21

296

17. y 5 c1 cosh 2x 1 c2 senh 2x

20. y 5

S 1212

n50

x2n 22n 1n!2 2

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Cálculo 2. Problemas y soluciones presenta una propuesta educativa innovadora de autoestudio que ofrece a los alumnos y alumnas la posibilidad de usarlo a su propio ritmo, pues les permite analizar y entender problemas por sí mismos y facilitar el conocimiento ì Ã Ìi >Ã ì V? VÕ > w ì «Ài«>À>ÀÃi iw V>â Þ ?L i Ìi «>À> ÃÕÃ iÛ> Õ>V iÃ° La obra cuenta con estas características: • /i À > L?Ã V> Þ ÃÕw V i Ìi ì Ã Ìi >Ã ÌÀ>Ì>` Ã° • Problemas y soluciones a ejercicios que muestran paso a paso cómo deben resolverse, o bien, explican la respuesta cuando esta es concreta; esto les ayudará > Ãi}Õ À >Û> â> ` i ÃÕ iÃÌÕ` Þ }À>À Ã >«Ài ` â> iÃ « > Ìi>` Ã° • Ejercicios propuestos del mismo tipo, para que el estudiante los resuelva y le sirvan ì «À?VÌ V> «>À> Ã iÝ? i iÃ° • >ÌiÀ > ì v?V >VViÃ > ÌÀ>ÛjÃ ì V ` } Ã +,° Al trabajar en este modelo de autoestudio, los alumnos irán avanzando de manera gradual i V>`> Ìi > Þ Ãi «Ài«>À>À? «>À> «ÀiÃi Ì>À ÃÕÃ iÝ? i iÃ° Los invitamos a conocer y utilizar los demás libros de la serie:

En Cengage nos preocupamos por proveerte de materiales complementarios para tus V >ÃiÃ° Ý« À> Þ V Vi ÕiÃÌÀ Ã «À `ÕVÌ Ã ` } Ì> iÃ\ *À « ÀV > iÀÀ> i Ì>Ã i i> µÕi i À µÕiVi > iÝ«iÀ i V > `i i Ãi > â> >«Ài ` â> i° *>À> >Þ À v À >V ] >VVi`i > ÌÌ«Ã\ÉÉ >Ì> °Vi }>}i°V É« >Ì>v À >ÃÉÜiL>ÃÃ } Es un derivativo de ÌÌ«Ã\ÉÉÜiL>ÃÃ } >LÃ° >Ì

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ISBN-13: 978-607-570-058-8 ISBN-10: 607-570-058-7

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