Física moderna

FÍSICA MODERNA

Norma Esthela Flores Moreno

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FÍSICA MODERNA

Norma Esthela Flores Moreno

FÍSICA MODERNA

Norma Esthela Flores Moreno

Revisión técnica

Jesús Díaz Ayala

Alfonso González Zambrano

Gustavo Rodríguez Morales

Universidad Autónoma de Nuevo León

Física moderna Primera edición

Directora Higher Education Latinoamérica:

Gerente editorial Latinoamérica:

Editora: Coordinador de manufactura:

Diseño de portada: Imagen de portada: © Diseño de interiores: Composición tipogr ca:

Física moderna. 8 8

Publicado en México

DEDICATORIA

Dedico este libro a mi hija, Norma Esthela Figueroa, a quien amo con todo mi corazón y quien ha sido el motor de mi vida. Espero que se sienta tan orgullosa de mí como yo lo estoy de ella. Deseo que este libro terminado represente para ella una forma de recompensa por los tiempos que dediqué al libro y en los que ella me comprendía y apoyaba para que pudiera terminarlo. Hija mía: este libro es tan mío como tuyo, porque sin tu apoyo no habría podido realizarlo. ¡Te amo, hijita!

CONTENIDO

Acerca de la autora xi Prefacio xiii Agradecimientos xv

CAPÍTULO 1

LA TEORÍA DE LA RELATIVIDAD 1

1.1 Física clásica 1

1.2 Física relativista 10

CAPÍTULO 2

ÓPTICA

2.1 Introducción 39

2.2 Antecedentes del estudio de la óptica 39

2.3 Elementos de la óptica geométrica 41

2.4 Lentes 43

2.5 Óptica ondulatoria (óptica física) 52

CAPÍTULO 3

EL EFECTO FOTOELÉCTRICO 73

3.1 Introducción 73

3.2 Principios básicos del efecto fotoeléctrico 75

3.3 La fórmula fotoeléctrica de Einstein 75

3.4 Fotoceldas o fotocélulas 78

CAPÍTULO 4

LOS RAYOS X 85

4.1 Introducción 85 4.2 Historia 85 4.3 Propiedades de los rayos X 87 4.4 Penetración de los rayos X 87 4.5 Aplicaciones de los rayos X 88 4.6 Difracción de los rayos X 89 4.7 El efecto Compton 89

CAPÍTULO 5

EL ÁTOMO 97

5.1 Introducción 97 5.2 Teorías sobre la estructura del átomo 97 5.3 El átomo de Rutherford 98 5.4 Partículas fundamentales 100 5.5 La radiación electromagnética 101 5.6 Espectros atómicos y átomo de Bohr 102 5.7 Concepto actual del átomo 108 5.8 Los números cuánticos 108

CAPÍTULO 6

EL NÚCLEO 115

6.1 Introducción 115 6.2 El núcleo del átomo 115

6.3 Fuerzas nucleares 116

6.4 Energía de amarre nuclear 117

6.5 Modelos nucleares 118

6.6 El mesón o pion p 120

CAPÍTULO 7

REACCIONES NUCLEARES 125

7.1 Introducción 125

7.2 Principios fundamentales que gobiernan a una reacción nuclear 125

7.3 Reactores nucleares 125

7.4 Desintegración artificial 126 7.5 Desintegración natural 126

7.6 Valor de una reacción nuclear 128

7.7 Función del reactor 129

7.8 Tipos de reactores 129

7.9 El accidente nuclear de Chernóbil 130

APÉNDICE A TABLA DE ISÓTOPOS 135

ACTIVIDADES FUNDAMENTALES 143

ACERCA DE LA AUTORA

La doctora Norma Esthela Flores Moreno cursó su licenciatura de Ingeniero Administrador de Sistemas en la Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica (FIME), de la Universidad Autónoma de Nuevo León (UANL). Completó además dos maestrías: una en Administración con especialidad en Relaciones Industriales en la FIME de la UANL, y una segunda en Enseñanza de las Ciencias con especialidad en Física, esta última en combinación con la Facultad de Filosofía y Letras de la UANL y la Facultad de Ciencias Físico-Matemáticas de la UANL. Tiene también un doctorado en Ciencias Pedagógicas en el Instituto Superior Politécnico “José Antonio Echeverría”, en La Habana, Cuba.

Desde enero de 1990 es profesora de tiempo completo en la Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica de la UANL, donde imparte las asignaturas de Matemáticas y Física. Ha participado en diferentes congresos nacionales e internacionales y ha escrito algunos libros para los cursos propedéuticos de Física y Matemáticas, entre los que destaca este libro de Físicamoderna.

Es profesora fundadora del departamento de Tutorías de la FIME, donde también se ha desempeñado en varios puestos, entre los que se mencionan secretaria de innovación, coordinadora de un equipo de profesores tutores, coordinadora general de Ciencias Básicas, entre otros.

A la doctora Norma le gustan la música y los deportes, principalmente las caminatas, las carreras y la natación.

PREFACIO

Al escribir este libro de Físicamoderna, la intención ha sido apoyar a los estudiantes de esta materia en el estudio de temas como la teoría de la relatividad, la óptica , el efecto fotoeléctrico, los rayos X, el átomo, el núcleo y las reacciones nucleares. La obra pretende proporcionar y explicar los temas de una forma sencilla y fácil de comprender para que los estudiantes no enfrenten dificultades innecesarias cuando estudien por su cuenta; lo cual no significa que deban prescindir de la clase del profesor, ya que siempre es necesario un apoyo para explorar y aprender el fascinante mundo de la ciencia.

Se han tomado en cuenta las sugerencias de los profesores revisores de la obra, lo que ha permitido enriquecer el contenido y desarrollo del libro para mejorar el proceso de enseñanza-aprendizaje. Por ello, espero que este trabajo resulte ser útil tanto para mis compañeros maestros como para los estudiantes, ya que eso haría que cumpla el objetivo para el cual fue elaborado.

Este libro está pensado para dar servicio al curso de Física moderna para estudiantes de Ingeniería; un curso que se diseñó para ser cubierto en un semestre, por tratarse de un curso básico. El libro permitirá al estudiante obtener los conocimientos básicos necesarios para la comprensión de los temas. El capítulo 1 se centra en la teoría de la relatividad; en él se hace una distinción entre la física clásica y sus sistemas de referencia, y la física relativista. En el capítulo 2, que aborda el tema de la óptica, se explican los elementos de la óptica geométrica, las lentes y la óptica ondulatoria. El tercer capítulo trata el tema del efecto fotoeléctrico y sus principios, así como la fórmula fotoeléctrica de Einstein y las fotoceldas. Por su parte, el capítulo 4 versa sobre el tema de los rayos X, sus propiedades, penetración y aplicaciones. En el capítulo 5, que cubre el tema del átomo, se exponen las teorías sobre su estructura, los principales modelos atómicos, así como las partículas fundamentales y la radiación electromagnética. El núcleo del átomo, las fuerzas y modelos nucleares, así como el pion son los temas que conforman el capítulo 6 del libro. Finalmente, el capítulo 7 analiza el tema de las reacciones nucleares y en él se presentan los tipos y funciones de los reactores nucleares, así como las desintegraciones nucleares (tanto artificial como natural), entre las que se encuentran la fusión y la fisión.

Cada capítulo presenta una explicación detallada de los temas, acompañada de una sección de “Problemas resueltos” con el paso a paso de las soluciones y finaliza con una sección de “Problemas propuestos” para poner en práctica lo aprendido. Al cierre de la obra se incluyen dos apoyos adicionales: las “Actividades fundamentales”, una sección desprendible que puede recortarse y entregarse para la evaluación del profesor, así como la “Tabla de isótopos”, organizados por elemento y masa atómica.

Aunque esta obra ha sido revisada meticulosamente, es susceptible de mejorías, por lo que agradeceremos los comentarios y sugerencias de los lectores que puedan contribuir a mejorarla.

Norma Flores

AGRADECIMIENTOS

Agradezco al Dr. Arnulfo Treviño Cubero por su apoyo, porque me permitió realizar este libro para contribuir en el aprendizaje de nuestros estudiantes. Reconozco también el esfuerzo de todos aquellos que hicieron posible que este libro se terminara, gracias por sus observaciones y buenos consejos, los cuales enriquecieron el contenido de la obra.

Quiero dar gracias a los profesores miembros de la Academia de Física IV que me ayudaron, me asesoraron y me motivaron en la creación de este libro. En especial a los profesores M.C. Alfonso González Zambrano, al Dr. Gustavo Rodríguez Morales y al M.E.C. Jesús Díaz Ayala, gracias por el tiempo dedicado en la revisión técnica del libro.

LA TEORÍA DE LA RELATIVIDAD

1.1 Física clásica

En la física clásica se examinan los casos en los que la velocidad del suceso estudiado es muy pequeña en comparación con la velocidad de la luz. Son acontecimientos de la vida cotidiana en los que el estudio de sus movimientos se basa en las leyes básicas del movimiento.

1.1.1 Sistemas de referencia

Se comienza por identificar los dos tipos de sistemas de referencia:

Es un patrón que sirvió a los científicos para analizar las leyes del movimiento. En general, es necesario establecerlo para analizar el movimiento mecánico (en ocasiones también llamado marcodereferencia).

Es un sistema que se encuentra en movimiento uniforme o en reposo. Es un escenario cualquiera, como un laboratorio, que está en movimiento, o bien, un laboratorio muy alejado de la Tierra que flota en el espacio (inercia es la propiedad de los cuerpos de seguir en su estado de reposo o de movimiento si una fuerza exterior no la modifica). En este caso es importante destacar el papel de la gravitación.

Con base en el hecho de que las cosas no siempre se ven iguales para un observador que se encuentra estático (fijo) que para otro observador que está en movimiento, se dice que un sistemadereferencia es aquella situación con base en la cual se va a tomar alguna medición.

Aquí se distinguen dos marcos de referencia, los cuales proporcionarán la base para realizar algunas mediciones.

Su característica principal es que se encuentra fijo, nunca se mueve, por lo que es fácil de identificar ( ).

Figura 1.1 Marco de referencia 1.

Figura 1.2 Marco de referencia 2.

©Macrovector/Shutterstock.com

Se caracteriza por el hecho de que siempre se desplaza a una velocidad determinada y su movimiento puede ser en cualquier dirección ( ). y v x z

Así, cada observador tendrá una perspectiva diferente y pensará algo distinto de acuerdo con el marco de referencia en que se encuentre.

Figura 1.3 Observador en el marco de referencia 1.

©Sentavio/Shutterstock.com ©Igogosha/Shutterstock.com

Figura 1.4 Observador en el marco de referencia 2.

©Sentavio/Shutterstock.com ©Igogosha/Shutterstock.com

Un observador que está parado y ve pasar un carro ( ) dirá que las personas que se encuentran dentro del vehículo se desplazan en la dirección del automóvil. v

Esas personas van muy rápido.

Estamos muy cómodos aquí sentados.

En cambio, las personas que se encuentran dentro del carro pensarán que quien se halla a su lado (dentro del carro) no se está desplazando ( ), lo cual sucede debido a que las personas que están en el vehículo se encuentran en el mismo marco de referencia y no perciben el movimiento, pues entre una y otra no hay movimiento. v

Por ello se dice que en realidad el movimiento depende de quién es el observador o el interlocutor, por lo que es relativo a este.

1.1.2 El principio de la relatividad de Galileo

En la mecánica clásica se dice que se cumplen las leyes de conservación cuando alguna cantidad permaneceigual a través del cambio en el movimiento de un objeto.

La relatividad es la apariencia que presenta la naturaleza ante un observador y su relación con la apariencia que muestra la naturaleza a otro observador, que puede estar en movimiento respecto del primero.

El principio clásico de la relatividad dice que todas las leyes de la naturaleza deben ser las mismas para todos los observadores que se mueven unos respecto de otros a velocidad constante.

1.1.3 Las transformaciones de Galileo

z t = t’ = 0 z’ y

x x’

©Madjembe/Shutterstock.com

Figura 1.5 En t = 0 los orígenes de ambos sistemas coinciden.

©Macrovector/Shutterstock.com

Figura 1.6 Los sistemas de referencia se mueven a velocidad v.

©Macrovector/Shutterstock.com ©Zack Art 22/Shutterstock.com

Los sistemas de referencia S1 y S2 se mueven uno respecto del otro con velocidad v en la dirección común de x1 y x2 (los ejes y y z son paralelos para ambos sistemas de referencia).

Como se observa, es evidente que el tiempo en ambos sistemas es el mismo. t1 = t2

La posición de una partícula P puede referirse a los dos sistemas mediante r1 y r2 Entre ambos vectores existe la relación:

r1 = (O1 O2) i + r2 o r1 = vt + r2

Al escribir esta ecuación en forma escalar se obtienen las ecuaciones de transformación de coordenadas (ecuaciones de transformación de Galileo). x1 = x2 + vt y1 = y 2 z1 = z2 t1 = t2

Estas ecuaciones permiten al observador en S1 relacionar las coordenadas S1 de P con las coordenadas S2 de P que el observador (S2) mide en ambos sistemas.

Si se deriva la ecuación respecto del tiempo, las ecuaciones de transformación inversa son:

r1 = vt + r2 dr1 dt = v + dr2 dt

v1 = v + v2 Ley de composición (suma) clásica o galileana de velocidades.

Si se deriva una vez más: dv1 dt = dv2 dt ; a1 = a2 , porque la velocidad es constante en el tiempo.

La aceleración es una invariante respecto de una transformación galileana (lo mismo que la masa inercial). De aquí que F 1 = F 2 , es decir, la fuerza también es una invariante. Además de la segunda ley de Newton, otras leyes (la conservación del momentum angular, de la energía, etc.) también permanecen invariantes para todos los sistemas inerciales de referencia (SIR). Si se define al observador inercial como todo observador en reposo en un SIR puede afirmarse que “todas las leyes de la mecánica permanecen invariantes para todos los observadores inerciales que se mueven los unos respecto de los otros con velocidad constante”.

De aquí se obtiene la fórmula que se va a utilizar: v1 = v2 + v

donde:

v1 = velocidad del evento respecto del marco 1.

v2 = velocidad del evento respecto del marco 2. v = velocidad entre los marcos.

Puede ser la velocidad de un carro, una nave, una persona, etcétera.

PROBLEMAS RESUELTOS

1.1 Una partícula alfa ( ) se desplaza hacia la derecha con una velocidad de 0.5 c (del latín celeritas, celeridad, rapidez) respecto de un laboratorio; de ella se desprende un electrón que va en sentido contrario con una velocidad de 0.3 c respecto de la partícula. ¿Cuál es la velocidad del electrón según una persona que se encuentre en el laboratorio? (c = 3 × 108 m/s = velocidad de la luz).

SOLUCIÓN:

En primer lugar hay que ver, en forma esquemática, qué pasa en el problema ( ).

1. Se recomienda elaborar un esquema sencillo de lo que pasa en el problema.

v e v

Si la partícula alfa va a 0.5 c , ¿a qué velocidad va el electrón?

Figura 1.7

Esquema del problema.

©Lemono/Shutterstock.com

2. Se determina cuál es el evento, el marco 1 (M1) y el marco 2 (M2). Se ubican los marcos de referencia (M1 y M2) y el evento ( ).

v e v

Evento M 2 M 1

Si la partícula alfa va a 0.5 c , ¿a qué velocidad va el electrón?

Figura 1.8

Determinación de marcos de referencia y evento.

©Lemono/Shutterstock.com

El evento es lo que se está buscando, así que el electrón será el evento, pues se desea conocer su velocidad.

3. Se determinan los datos del problema, tomando en cuenta el evento y los marcos de referencia.

Como el marco 1 es el que se encuentra en reposo, entonces la persona en el laboratorio será el marco 1; por lo tanto, el marco 2 será la partícula alfa. Una vez que se cuenta con esos datos, se determinan las velocidades:

PROBLEMAS RESUELTOS (continuación)

DATOS:

v1 = ? Esta velocidad no se conoce porque se está pidiendo la velocidad del electrón respecto de la persona.

v2 = – 0.3 c Es la velocidad del electrón respecto de la partícula, y es negativa porque va en sentido opuesto.

v = 0.5 c Es la velocidad entre el observador y la partícula .

4. Por último se utiliza la fórmula y se obtiene el resultado del problema. A continuación, se aplica la fórmula:

v1 = v2 + v

v1 = – 0.3 c + 0.5 c v1 = 0.2 c

1.2 Un hombre situado en la Luna observa dos naves espaciales, A y B, que se dirigen hacia él, en sentidos opuestos y a velocidades respectivas de 0.8 c y 0.9 c. ¿Cuál es la velocidad con que la nave A se acerca a la Luna medida por un hombre que viaja en esa misma nave? Según él, ¿con qué velocidad se acerca a la nave B? Lo que pasa en el problema se muestra en la SOLUCIÓN:

1. En primer lugar, se elabora una representación gráfica de lo que sucede en el problema:

¡Vienen dos naves! La de la izquierda a 0.8 c y la de la derecha a 0.9 c. v

Figura 1.9 Esquema del problema.

©Chinch/Shutterstock.com

A v

B

2. La primera pregunta se plantea así: ¿Cuál es la velocidad con que la nave A se acerca a la Luna medida por un hombre que viaja en esa misma nave?

Como se conoce la velocidad entre la nave A y la Luna, ya que es un dato que se proporciona, entonces la respuesta es 0.8 c

3. Después se analiza la segunda pregunta y se marcan los marcos de referencia y el evento. Para esto se deben seguir ciertos pasos:

¿Con qué velocidad la nave A se acerca a la nave B?

En este caso es necesario ubicar el evento, el marco 1 y el marco 2 ( ).

PROBLEMAS RESUELTOS

¿Cuál sería el evento? Como se pide la velocidad de la nave A, entonces la nave A es el evento.

Determinar el marco 1, que como se dijo es aquel que no se mueve. Así, la persona que está en la Luna es el marco 1, pues no tiene movimiento.

El marco 2 es la nave B porque se está moviendo y es lo que aún se tiene sin asignación.

¡Vienen dos naves! La de la izquierda a 0.8 c y la de la derecha a 0.9 c.

v

A v

B

Evento M2 M1

Figura 1.10

Determinación de marcos de referencia y evento.

©Chinch/Shutterstock.com

4. Con los marcos y el evento especificados, se pueden determinar los datos del problema. Después se obtienen las velocidades.

DATOS:

v1 = 0.8 c v2 = ? v = – 0.9 c

5. Con los datos completos, se aplica la fórmula: v1 = v2 + v

Se despeja la variable solicitada y entonces la fórmula queda así: v2 = v1 – v

Por lo tanto:

v2 = 0.8 c – (– 0.9 c) v2 = 1.7 c

Esta velocidad es con la que se acerca la nave A a la nave B según la persona que viaja en la nave A.

1.3 Un observador lanza dos proyectiles a la misma velocidad hacia la izquierda y de repente uno de ellos choca y se regresa con una velocidad de 0.75 c según el observador que los lanzó, de forma que la velocidad de separación entre los proyectiles es de 0.875 c. ¿Cuál es la velocidad que llevaban los proyectiles en común?

PROBLEMAS RESUELTOS (continuación)

SOLUCIÓN:

1. Se traza un esquema que ejemplifique el problema: 0.75 c 0.875 c

2. Se establecen los marcos de referencia y el evento. 0.75 c 0.875 c

Evento M2 M1

©NTL studio/Shutterstock.com

©NTL studio/Shutterstock.com

3. Ya que se tienen los marcos de referencia y el evento, se determinan los datos que proporciona el problema.

DATOS:

v1 = ?

v2 =– 0.875 c v = 0.75 c

4. Se utiliza la fórmula y se obtiene el resultado.

v1 = v2 + v

v1 = –0.875 c + 0.75 c

v1 = –0.125 c

Con base en los conocimientos adquiridos en la física clásica, es muy importante determinar el evento y los marcos de referencia, pues de esta manera se plantea la forma correcta de responder la pregunta de cada problema.

PROBLEMAS PROPUESTOS

1.1 Una nave A se mueve hacia la izquierda con una velocidad de 0.65 c y en el mismo sentido la nave B tiene una velocidad de 0.7 c. Si ambas velocidades son respecto de la Tierra, ¿cuál es la velocidad de la nave B en relación con la nave A?

1.2 Un electrón se mueve hacia la derecha a una velocidad de 0.95 c para chocar de frente con un protón, cuya velocidad respecto del electrón es de 1.5 c. ¿Qué velocidad tiene el protón respecto de una mesa que se usó, también de referencia, para medir la velocidad del electrón?

1.3 Un observador en la Tierra ve que una nave sigue a otra y, según él, sus velocidades son de 1.8 × 108 m/s y 2.7 × 108 m/s, respectivamente. Determine: a) La velocidad de la segunda nave vista desde la primera. b) La velocidad de la primera nave vista desde la segunda. Suponga que sus movimientos son hacia la derecha.

1.4 Un material radiactivo está en reposo en un laboratorio y emite dos electrones en direcciones opuestas. Un electrón tiene una velocidad de 0.7 c y el otro una de 0.9 c. Un observador en el laboratorio mide las velocidades. ¿Cuál será la velocidad de un electrón medida desde el otro electrón?

1.5 Un observador en la Tierra ve acercarse una nave espacial a una velocidad de 0.9 c. Asimismo, un vehículo de exploración visto desde la Tierra se acerca a esta a 3/4 de la velocidad de la luz. Visto desde la nave espacial, ¿cuál es la velocidad del vehículo de exploración respecto de la nave espacial?

1.6 Un observador situado en la Tierra observa cómo se aleja de él una nave espacial, A, con una velocidad de 2.5 × 108 m/s. También observa que hay otra nave, B, que sigue a la A a una velocidad de 1.5 × 108 m/s. Calcule las velocidades relativas de: a) La nave B vista desde A. b) La nave A vista desde B. c) La nave B respecto de A, tal como se vería desde la Tierra.

1.7 Dos partículas atómicas se acercan una a la otra en colisión frontal. Si cada partícula tiene una velocidad de 2 × 108 m/s respecto de un observador estacionario, calcule la velocidad de una de las partículas vista desde la otra.

1.8 Una nave espacial se desplaza a una velocidad de 0.8 c respecto de un radar que se encuentra en la Tierra. Los operadores del radar detectan otra nave que se aproxima a la primera con una velocidad de 0.9 c. ¿Qué velocidad tendrá la segunda nave respecto de la primera?

1.9 El cohete A viaja hacia la derecha con velocidad de 0.75 c y un cohete B viaja hacia la izquierda con velocidad de 0.85 c, ambas velocidades respecto de la Tierra. a) ¿Cuál es la velocidad del cohete A medida desde B? b) ¿Cuál es la velocidad del cohete B medida desde A?

1.10

Una persona lanza dos partículas en el mismo sentido de forma que la velocidad entre ellas es de 0.4 c. Si la velocidad de la partícula más lenta es de 0.9 c según la persona mencionada, ¿con qué velocidad lanzó la otra partícula?

Figura 1.11 Medio de transporte del sonido (aire).

©Astira 99/Shutterstock.com

©klyaksun/Shutterstock.com

1.2 Física relativista

Antes se pensaba que las ondas de luz necesitaban algún medio material para desplazarse de un lugar a otro. Con base en este pensamiento, a finales del siglo xix Maxwell y Hertz propusieron que la luz tenía naturaleza de radiación electromagnética y que para que la luz pudiera propagarse necesitaba un medio material (el éter luminífero). Como el sonido (ruido) emplea aire (viento) para transportarse de un lugar a otro ( ), los científicos buscaron el medio de transporte de la luz. Dicho medio debía tener las propiedades siguientes: ser muy ligero (para que se encontrara en todas partes, incluso en los poros de los cuerpos) y al mismo tiempo muy rígido (para que soportara la gran velocidad de la luz).

¡Hola!

Figura 1.12 Medio de transporte de la luz (antiguamente éter luminífero).

©Macrovector/Shutterstock.com

Se suponía que el éter luminífero o conductor de luz era un fluido sólido muy elástico que ocupaba todo el espacio existente entre los átomos constitutivos de la materia. Se creía que la luz se transmitía a través del éter, en una serie de ondas perpendiculares a la dirección del movimiento del rayo luminoso ( ).

El pensamiento de la existencia del éter provocó por lo menos dos problemas: primero, el hecho de que si realmente existía el éter, cómo era posible que la Tierra y los planetas viajaran por él sin mostrar alguna resistencia. El segundo tiene que ver con el principio especial de la relatividad. Este se trataba del hecho de que parecía contradecir las leyes de la electricidad y el magnetismo de Maxwell, las cuales daban un valor único a la velocidad de la luz en cualquier marco.

1.2.1 Experimento de Michelson y Morley

Michelson y Morley basaron su experimento en lo que observaron que ocurría con dos botes idénticos que recorrían la misma distancia en relación con la ribera de un río que fluye con cierta velocidad, pero en condiciones diferentes. Como se muestra en la , el bote A cruza el río en forma transversal y regresa, mientras que el bote B recorre la misma distancia pero en forma horizontal y regresa a su posición de partida. El bote A irá más lento en ambas direcciones, pues debe dirigirse hacia arriba para que no lo arrastre la corriente; y el bote B irá más rápido al bajar el río y más lento cuando vaya contra el movimiento.

L B

L

De acuerdo con lo anterior, Michelson y Morley afirmaron que si existía el éter tendría que pasar algo muy semejante, es decir, cuando la luz viajara en la misma dirección que el éter, su velocidad sería mayor que cuando viajara en contra.

Para comprobar su hipótesis, en 1887 estos científicos trataron de medir la luz con un interferómetro ( ). El interferómetro que construyeron era de gran tamaño, lo hicieron flotar en una piscina de mercurio y trataron de observar cambios en la velocidad de la luz en su trayectoria respecto de un observador; decían que conforme cambiaran la dirección del interferómetro, se indicaría una diferencia relativa en la velocidad por cambios en lo brillante de las franjas al final del haz.

Figura 1.13 Base del experimento de Michelson y Morley. ©klyaksun/Shutterstock.com

Láser

Patrón de interferencia

Pantalla Divisor de haz

Objetivo de microscopio

L1

Espejo plano 1 L2

Espejo plano 2

El resultado fue que los científicos no percibieron en el experimento el viento del éter ni la velocidad respecto del éter. De esta manera, los resultados de este y otros experimentos generaron conclusiones contradictorias e insostenibles; por ejemplo, el hecho de que el éter parecía físicamente sin fundamentos, pues se trataba de un gas enrarecido que, a pesar de llenar todo el espacio y no detener el movimiento de los cuerpos, al mismo tiempo tenía una solidez fantástica para sostener las vibraciones transversales a las ondas luminosas.

Tales hechos forzaron a los científicos a aceptar la invarianza de la velocidad de la luz y que no cambia independientemente de cómo se mida.

Figura 1.14 Interferómetro de Michelson-Morley.

©Felipecock, CC BY-SA 4.0, via Wikimedia Commons

Figura 1.15 Análisis de un evento con movimientos cercanos a la velocidad de la luz.

Cuando Einstein en 1905 enunció los fundamentos sobre su teoría, por primera vez abandonó el concepto del éter y de esta manera extendió el principio de la relatividad galileana a todos los fenómenos, no solo mecánicos sino también electromagnéticos y de cualquier otra naturaleza. De este modo, formuló el primer postulado de la relatividad restringida.

La teoría de la relatividad se basa en que la velocidad de la luz es la misma para todos los observadores que se mueven en sistemas inerciales. Como base de su teoría especial de la relatividad, Einstein determinó los siguientes postulados:

a) Todas las leyes físicas son idénticas en todos los marcos de referencia.

b) La velocidad de la luz en el vacío se observará igual en todos los marcos de referencia independientemente de su estado de movimiento (es decir, es la misma en todos los sistemas inerciales de referencia).

A partir de estos postulados no es necesaria (y se rechaza) la existencia del éter luminífero y no tienen sentido los conceptos de espacio y tiempo absoluto.

1.2.2 La simultaneidad

Una premisa básica en la mecánica newtoniana es que existe una escala de tiempo universal. Newton escribió que el tiempo absoluto, verdadero y matemático por sí mismo, y por su propia naturaleza, fluye igualmente sin tener relación con algo externo. Así se admitió la simultaneidad.

Pero Einstein, quien después abandonara esta suposición, afirmó: “la medición del intervalo de tiempo depende del marco de referencia en el cual se hace la medición”.

En resumen, por lo general, dos eventos que son simultáneos en un marco de referencia no son simultáneos en un segundo marco de referencia que se mueve respecto del primero. Es decir, la simultaneidad no es un concepto absoluto, sino que depende del estado de movimiento del observador.

1.2.3 Fórmula de composición de velocidades de Lorentz

Con base en los resultados obtenidos sobre la velocidad de la luz, se realizaron algunos análisis para determinar la diferencia entre velocidades pequeñas respecto de la velocidad de la luz y velocidades cercanas a la velocidad de la luz.

Debido a Hendrik Antoon Lorentz pueden obtenerse los postulados de la teoría de la relatividad.

Si en t1 = t2 = 0 se emite un pulso de luz desde el origen común de los sistemas S1 y S2, las distancias r1 y r2 desde sus orígenes hasta M (el punto alcanzado por el curso de la luz) son r1 = ct1;  r2 = ct2, lo que sugiere que los tiempos t1 y t2 son diferentes ( ). Las expresiones de r1 y r2 pueden escribirse así: x1 2 + y1 2 + z1 2 = c 2t12;  x2 2 + y 2 2 + z2 2 = c 2t2 2

y las ecuaciones de transformación de coordenadas de Lorentz para transformar una en otra son: x2 = x1 – vt1 1 –v 2 c 2

x1 = x2 + vt2 1 –v 2 c 2 y 2 = y1 y1 = y 2 z2 = z1 z1 = z2 t2 = t1 –vx1 c 2 1 –v 2 c 2

t1 = t2 + vx2 c 2 1 –v 2 c 2

Observe la interrelación de las coordenadas espaciales y temporales en las dos últimas ecuaciones; también debe notar que, para velocidades mucho más pequeñas que la velocidad de la luz en el vacío (vc), las ecuaciones de transformación de Lorentz se reducen a las de Galileo.

Lorentz tomó en cuenta que las transformaciones galileanas no cumplen con los postulados de la teoría de la relatividad. Por lo tanto, hizo algunas transformaciones a las fórmulas galileanas para que cumplieran con dichos postulados, y así obtuvo lo siguiente: v1 = v2 + v 1 + v2v c 2

v2 = v1 – v 1 –v1v c 2

donde:

v :

y2 v x1 x2

: 2 z1

z

En este caso, el evento no se desplaza en línea horizontal, sino que se está moviendo a un determinado ángulo. Para resolver este tipo de problemas es preciso emplear las siguientes fórmulas, ya que es necesario tomar en cuenta el ángulo al cual se desplaza: v1x = v2x + v 1 + v2xv c 2

v2x = v1x – v 1 –v1xv c 2 v1y = v2y  1 –v 2 c 2 1 + v2xv c 2

v2y = v1y  1 –v 2 c 2 1 –v1xv c 2 v1 = v1x 2 + v1y 2 v2 = v2x 2 + v2y 2 tg  1 = v1y v1x tg  2 = v2y v2x

PROBLEMAS RESUELTOS

1.4 Una nave espacial se mueve a una velocidad de 0.8 c respecto de un radar que se encuentra en la Tierra. Los operadores del radar detectan otra nave que se aproxima a la primera con una velocidad de 0.9 c. ¿Qué velocidad tendrá la segunda nave respecto de la primera?

SOLUCIÓN:

1. En primer lugar observe, de manera esquemática, lo que sucede en el problema ( ). v

Figura 1.17 Esquema del problema. ©Chinch/Shutterstock.com

Figura 1.18 Determinación de los marcos de referencia y del evento. ©Chinch/Shutterstock.com

1.a 2.a v

1.a 2.a v

v

2. Ahora hay que analizar cuál es el evento y cuáles son los marcos de referencia ( ). Evento M 2 M 1

PROBLEMAS RESUELTOS

3. Ya especificados los marcos de referencia y el evento se obtienen los datos del problema.

Si bien el evento es la velocidad de la segunda nave, el marco 1 es el radar en la Tierra, pues es lo que no se mueve, y por lo tanto, el marco 2 es la primera nave. El siguiente paso es encontrar las velocidades:

DATOS:

v1 = – 0.9 c es negativa pues va a la izquierda.

v2 = ? No se conoce.

v = – 0.8 c es negativa, pues va a la izquierda.

4. La velocidad 2 se obtiene con la fórmula de Lorentz y se sustituyen los valores: Por medio de la fórmula se obtiene:

v2 = v1 – v 1 –v1v c 2

v2 = – 0.9 c –– 0.8 c 1 –– 0.9 c – 0.8 c c 2

v2 = – 0.357 c

5. Para este problema es posible tomar otra consideración. En este caso, como las dos naves se mueven hacia la izquierda también se puede considerar que ambas velocidades son positivas. La condición sería que el movimiento hacia la izquierda fuese positivo, por lo que la condición quedaría de la forma que se describe a continuación.

6. El siguiente paso es determinar las velocidades. Los datos en este caso serían los siguientes.

DATOS:

v1 = 0.9 c es negativa pues va a la izquierda.

v2 = ? No se conoce.

v = 0.8 c es negativa pues va a la izquierda.

Por medio de la fórmula se obtiene: v2 = v1 – v 1 –v1v c 2

v2 = 0.9 c – 0.8 c 1 –0.9 c 0.8 c c 2

v2 = 0.357 c

Con esto queda claro que se tiene el mismo resultado absoluto y lo único que se diferencia es el signo el cual indica hacia dónde se mueve la nave.

PROBLEMAS RESUELTOS (continuación)

1.5 Una partícula se desplaza con una velocidad de 0.8 c y forma un ángulo de 60° respecto del eje x. ¿Cuál es la magnitud y la dirección de la partícula para un observador que viaja a lo largo de un sistema que se mueve hacia la izquierda con velocidad de 0.6 c, como se muestra en la ?

SOLUCIÓN:

1. Por medio de un esquema es posible observar qué sucede en el problema. 60º

v = 0.8 c v = 0.6 c

Figura 1.19 Esquema del problema.

©Macrovector/Shutterstock.com

Figura 1.20

Determinación de los marcos de referencia y del evento.

©Macrovector/Shutterstock.com

v = 0.8 c

Evento v = 0.6 c

60º

2. Luego se identifican los marcos de referencia y el evento. Después se definen el evento y sus marcos de referencia ( ). M2 M1

3. Una vez identificados los marcos de referencia y el evento, se pueden obtener los datos que proporciona el problema.

DATOS:

v1 = 0.8 c v2 = ? v = – 0.6 c

4. Se realiza el análisis del problema y se tiene que ahora el evento se desplaza con cierto ángulo de inclinación, lo cual afecta las condiciones; por lo tanto, no es posible resolver el problema con la fórmula normal. En este caso se debe resolver con las fórmulas de las componentes:

v2 = v2x 2 + v2y 2

PROBLEMAS RESUELTOS

5. Al determinar que se necesitan las componentes de la velocidad, se tiene lo siguiente. Como no se conoce v2x ni v2y, es necesario calcularlas mediante sus respectivas fórmulas: v2x = v1x – v 1 –v1xv c 2

v2y = v1y  1 –v 2 c 2 1 –v1x v c 2

6. No obstante, como no se conoce v1x ni v1y, es posible calcularlas a través del ángulo 1 = 60°.

v1x = v1 cos  1 v1y = v1 sen  1 v1x = 0.8 c cos 60° v1y = 0.8 c sen 60° v1x = 0.4 cv1y = 0.692 c

7. Se continúan los cálculos con las fórmulas de las componentes y se tiene lo siguiente: v2x = v1x – v 1 –v1xv c 2

v2y = v1y  1 –v 2 c 2 1 –v1xv c 2 v2x = 0.4 –– 0.6 c 1 –0.4 c – 0.6 c c 2

v2y = 0.692 c 1 –– 0.6 c 2 c 2 1 –0.4 c – 0.6 c c 2 v2x = 0.806 cv2y = 0.446 c

8. Una vez encontrados los valores de v2x y v2y se puede hallar v2. v2 = v2x 2 + v2y 2 v2 = 0.806 c 2 + 0.446 c 2 v2 = 0.921 c

9. Por último, se encuentra el ángulo por medio de esta fórmula: tg  2 = v2y v2x tg  2 = 0.446 c 0.806 c tg  2 = 28.95°

PROBLEMAS RESUELTOS (continuación)

1.6 Un observador lanza dos proyectiles a la misma velocidad hacia la izquierda y de repente uno de ellos choca y se regresa con una velocidad de 0.75 c, según el observador que los lanzó. La velocidad de separación entre los proyectiles es de 0.875 c. ¿Cuál es la velocidad que llevaban los proyectiles en común?

SOLUCIÓN:

1. Se elabora un esquema que ejemplifique lo que plantea el problema: 0.75 c 0.875 c

2. Ahora se establecen los marcos de referencia y el evento. 0.75 c 0.875 c

Evento M2 M1

©NTL studio/Shutterstock.com

©NTL studio/Shutterstock.com

3. Ya que se tienen los marcos de referencia y el evento, se determinan los datos del problema.

DATOS: v1 = ? v2 =– 0.875 c v = 0.75 c

4. Se utiliza la fórmula de física relativista y se obtiene el resultado. v1 = v2 + v 1 + v2v c 2 v1 = – 0.875 c + 0.75 c 1 + 0.875 c 0.75 c c 2 v1 = – 0.363 c

PROBLEMAS PROPUESTOS

1.11 El piloto de un cohete que se mueve a velocidad de 0.7 c respecto de la Tierra observa un segundo cohete que se le aproxima en dirección opuesta con velocidad de 0.5 c. ¿Qué velocidad medirá un observador en la Tierra para el segundo cohete?

1.12 Una persona que se encuentra en una plataforma espacial observa dos naves que se aproximan a ella desde direcciones opuestas, con velocidades de 0.3 c y 0.7 c, respectivamente. ¿Con qué velocidad se aproxima una nave respecto de la otra?

1.13 Un cohete se mueve con velocidad de 0.85 c respecto de un hombre que sostiene una linterna encendida. Si el piloto del cohete midiera la velocidad de la luz que le llega de la linterna, ¿cuál sería esta?

1.14 El cohete A viaja hacia la derecha con velocidad de 0.75 c y el cohete B viaja hacia la izquierda con velocidad de 0.85 c, ambas velocidades respecto de la Tierra.

a) ¿Cuál es la velocidad del cohete A medida desde B? b) ¿Cuál es la velocidad del cohete B medida desde A?

1.15 Un observador en la Tierra ve una nave moverse hacia la izquierda con una velocidad de 0.9 c y un objeto que se mueve hacia la derecha con velocidad de 0.6 c. Determine: a) La velocidad del objeto respecto de la nave. b) La velocidad con la que la nave se aleja del objeto.

1.16 Una estación de radar rastrea una nave que lleva un cañón electrónico y que se desplaza hacia la derecha con una velocidad de 0.50 c. Al funcionar el cañón, los electrones se emiten en sentido contrario y con una velocidad de 0.85 c respecto de la nave. Determine la energía cinética del electrón respecto de la estación del radar.

1.17 Una persona lanza dos partículas en el mismo sentido de forma que la velocidad entre ellas es de 0.4 c. Si la velocidad de la partícula más lenta es de 0.9 c, según la persona mencionada, ¿con qué velocidad lanzó la otra partícula?

1.18 De acuerdo con la : a) Determine la velocidad de la partícula, según el observador que se encuentra en el sistema de referencia de la derecha. b) Según el mismo observador, ¿qué ángulo forma la orientación de la partícula? v = 0.65 c 34º

v = 0.805 c

Figura 1.21 Situación de la partícula en movimiento.

©Macrovector/Shutterstock.com

PROBLEMAS PROPUESTOS (continuación)

1.19 Se lanza un proyectil con una velocidad de 0.65 c y forma un ángulo de 35° respecto del piso.

a) ¿Qué velocidad tiene el proyectil según un automovilista que viaja a lo largo del eje horizontal a 2 × 108 m/s?

b) ¿Qué orientación aprecia?

1.20 Un observador emite un haz de luz en la dirección que forma 45° respecto del eje x; un segundo observador viaja a la velocidad de 0.8 c a lo largo del mismo eje.

a) ¿Qué velocidad tiene el haz de luz para el segundo observador?

b) ¿Qué ángulo forma según el mismo observador?

Figura 1.22 Análisis de longitud. ©Macrovector/Shutterstock.com

1.2.4 Contracción de la longitud

Cuando se analizan los movimientos de los objetos que se desplazan a grandes velocidades, las personas se dan cuenta de que experimentan algunos cambios, pues se contraen en la dirección de su movimiento. Con base en esto se determina que la distancia medida entre dos puntos depende del marco de referencia. Asimismo, la longitud propia de un objeto se define como la longitud del objeto medida en el marco de referencia en donde se encuentra en reposo. La longitud de un objeto medida en un marco de referencia en donde el objeto se mueve siempre es menor que la longitud propia, es decir, que cuando se analizan las longitudes de un objeto desde dos marcos de referencia diferentes; por ejemplo, un marco en el que el observador no se mueve respecto del objeto siempre será más grande que la longitud del mismo objeto medido por otro observador que tiene un movimiento respecto del objeto.

Las ecuaciones de transformación de Lorentz son un reflejo de las propiedades del espacio y el tiempo diferentes a las que una persona está acostumbrada a observar en el entorno donde la velocidad es mucho menor a la velocidad de la luz (vc).

La contracción de la longitud se calcula de la siguiente manera: Suponga que hay una regla que se encuentra en reposo en S2 (y coincide con la dirección del eje O2x2) ( ).

Su longitud medida en ese sistema es L 2 = x B2 – x A2. La longitud de la regla medida desde el sistema S1 es L 1 = x B1 – x A1, con la particularidad de que tienen que medirse simultáneamente t A1 = t B1 .

Entre L1  y  L 2 existe una relación que se determina a partir de las ecuaciones de transformación de Lorentz.

Aquí existe movimiento, por lo que ambos valores se encuentran cambiando.

XA2 = (XA1 – vt1) t1 según S1

XB2 = (XB1 – vt1)

XB2 – XA2 = (XB1 – XA1) L 2 = L 1 L 2 > L 1

La longitud medida desde el sistema en que la regla está en movimiento es menor que la longitud en el sistema en que la regla está en reposo.

Dado que = 1 1 –v 2 c 2

, entonces L 1 = L 2 1 –v 2 c 2

L 1 = longitud del objeto medido por un observador cuando existe movimiento entre él y el objeto.

L 2 = longitud del objeto medido por un observador cuando no existe movimiento entre él y el objeto.

La contracción de la longitud ocurre únicamente en las medidas que son paralelas a la velocidad.

Con base en las descripciones de las longitudes, a diferencia de las velocidades anteriormente vistas en las cuales se determinan marcos de referencia y un evento, aquí lo que interesa saber es si existe movimiento entre lo que se mide y quien lo mide.

Reglas en reposo

Reglas a una velocidad próxima a c

Un ejemplo muy sencillo es donde se tienen dos reglas exactamente iguales que se mueven a velocidades próximas a la velocidad de la luz ( ). v

Lo que se ve es que, mientras una regla se hace más corta, la otra se vuelve más delgada; esto es porque la contracción de la longitud ocurre solo en las medidas paralelas a la velocidad.

Figura 1.23 Análisis de longitudes.

©NiRain/Shutterstock.com

PROBLEMAS RESUELTOS

1.7 Suponga que una jabalina de 2.5 m se lanza horizontalmente con una velocidad de 0.85 c. ¿Qué longitud aprecia su lanzadora mientras la jabalina va por el aire?

SOLUCIÓN:

1. El primer paso consiste en analizar el problema ( ).

Figura 1.24

Esquema del problema. ©Brenda Carson/ Shutterstock.com

L = 2.5 m v = 0.85 c

2. Se determinan los datos que aparecen en el problema.

DATOS: L 1 = ? L 2 = 2.5 m v = 0.85 c

3. Se utiliza la fórmula para obtener la longitud que se pide en el problema, así que ahora que ya se tienen todos los datos, se realiza la sustitución en la fórmula:

L 1 = L 2 1 –v 2 c 2

4. Se sustituyen los valores del problema y se obtiene el resultado.

L 1 = 2.5 m1 –0.85 c 2 c 2

L 1 = 1.316 m

1.8 Un observador pasa por cierto lugar con una velocidad, a lo largo del eje horizontal, de 0.85 c, y aprecia que la pluma de una grúa tiene una longitud de 6 m y forma un ángulo de 60° respecto de la Tierra. Según el operador de la grúa:

a) ¿Qué longitud tiene la pluma? b) ¿A qué ángulo la elevó?

PROBLEMAS RESUELTOS

SOLUCIÓN:

1. Se observa lo que ocurre en el problema ( ).

La pluma de la grúa mide ____ y está a un ángulo de ____.

La pluma de la grúa mide 6 m y está a un ángulo de 60°.

Figura 1.25 Análisis de longitud.

©Sentavio/Shutterstock.com ©Yuri Schmidt/Shutterstock.com

v

2. Al hacer el análisis se observa que existe un ángulo en el cual se encuentra el objeto que se está midiendo, y también se sabe que solo las medidas que son paralelas a la velocidad son las que se contraen; por lo tanto, es necesario ver qué parte de la pluma de la grúa es paralela a la velocidad ( ).

La pluma de la grúa mide ____ y está a un ángulo de ____.

La pluma de la grúa mide 6 m y está a un ángulo de 60°.

v

3. Se determinan los datos del problema.

DATOS:

Figura 1.26 Análisis del problema.

©Sentavio/Shutterstock.com ©Yuri Schmidt/Shutterstock.com

6m 60º

x

y

Debido a que entre la persona que pasa y dice que son 6 m y la pluma de la grúa hay movimiento, entonces L 1 = 6 m; asimismo, como entre el operador y la pluma no existe movimiento, entonces L 2 = ?

PROBLEMAS RESUELTOS (continuación)

4. Como la pluma está inclinada solo su componente en x es paralela a la velocidad; por consiguiente, su componente en y va a medir lo mismo, tanto para la persona que pasa como para el operador, y únicamente su parte en x se va a contraer. Una vez que se sabe esto, se procede a encontrar el valor de las componentes para responder nuestras preguntas.

L 1x = L 1 cos 1

L 1y = L 1 sen 1

L 1x = 6 m cos 60° L 1y = 6 m sen 60°

L 1x = 3 m L 1y = 5.196 m

5. Con esos valores se obtiene que su componente en x es la que se contrae y, por lo tanto, es la componente que se va a encontrar:

L 2x = L 1x 1 –v 2 c 2 L 2x = 3 m 1 –0.85 c 2 c 2

L2x = 5.694 m

6. Con este valor y el valor de la componente en y que, como se mencionó, es igual para ambos, es decir, L 1y = L 2y , se obtiene L 2 por el teorema de Pitágoras: L 2 = L 2x 2 + L 2y 2

L 2 = 5.694 2 + 5.1962 L2 = 7.708 m

7. Por último, se obtiene su ángulo a través de la tangente. tg  2 = L 2y L 2x 2 = tg –1 5.196 5.694 2 = 42.38°

1.9 Suponga que los pasajeros de una embarcación dicen que esta mide 8 m de largo. Asimismo, viaja a una velocidad de 0.7 c. En la orilla de la playa se encuentran dos observadores que la ven pasar. Determine cuánto mide la embarcación de acuerdo con los observadores en la playa.

PROBLEMAS RESUELTOS

SOLUCIÓN:

1. Se traza un esquema para ilustrar lo que pasa en el problema. 8 m

0.7 c

©Flash Vector/Shutterstock.com

2. Con base en el esquema se determinan los datos que ofrece el problema.

DATOS:

Como la longitud es respecto de la persona que va sobre la embarcación se tiene que: L 2 = 8m v = 0.7 c

Como se pide la longitud respecto de las personas que se encuentran en la playa y hay movimiento entre ellos y la embarcación, se tiene: L1 = ?

3. Se utiliza la fórmula:

L1 = L 2 1 –v 2 c 2

4. Se sustituyen los datos para obtener la longitud: L1 = 8m1 –0.7 c 2 c 2

L 1 = 5.713 m

Esto es lo que mide la embarcación respecto de las personas en la playa.

Con los conocimientos obtenidos hasta el momento es posible resolver los problemas siguientes. Se debe tomar en cuenta que se recomienda realizar los análisis con ayuda de un pequeño esquema que le permita entender mejor el problema.

PROBLEMAS PROPUESTOS

1.21 Después de cortar una lámina cuadrada de 3 m por lado, dos personas se separan en sentidos opuestos con una velocidad entre sí de 0.66 c. Si la que se mueve hacia la derecha lleva la lámina, determine su área:

a) Según la persona que viaja hacia la izquierda. b) Según la otra persona.

1.22 Una varilla de 2.6 m forma un ángulo de 45° respecto del eje horizontal del sistema de referencia donde se encuentra y se mueve respecto de un observador con velocidad de 0.60 c. De acuerdo con este observador:

a) ¿Qué longitud tiene la varilla? b) ¿Qué ángulo forma con el eje horizontal?

1.23 Se proyecta al espacio una varilla de 2 m de longitud a una velocidad tan grande que su longitud aparece contraída a 1.40 m. ¿A qué velocidad se desplaza en km/s?

1.24 Cuando se mide en reposo, un cohete tiene una longitud de 200 m. Cuando está en vuelo, para un observador sobre la Tierra, mide 90 m. Cuando vuela, ¿cuál es su velocidad?

1.25 Un cuadrado de 150 cm2 está en reposo en el sistema de referencia S1. Un observador que está en el sistema S2 se mueve con velocidad de 0.85 c respecto del observador en S1 y en dirección paralela a uno de los lados del cuadrado. ¿Qué área mide el observador en S2?

1.26 Una regla de 2 m forma un ángulo de 37° respecto del eje x2 medido por un observador en S2. ¿Cuál debe ser el valor de la velocidad para que la regla forme un ángulo de 48° con el eje x1 respecto de un observador en S1? Encuentre también la longitud de la regla medida por un observador en S1

1.27 La distancia de una estrella a la Tierra es de 106 años luz. Suponiendo que el tiempo de vida de una persona es de 75 años, ¿a qué velocidad debe viajar esa persona para llegar a la estrella en su tiempo de vida?

1.28 Dos carros se mueven a cierta velocidad. Uno lleva 3 veces la velocidad del otro. Un carro mide 1.5 m y el otro 1.9 m. Si en reposo miden lo mismo: a) Calcule la velocidad de cada uno. b) ¿Cuál es la longitud de los dos carros en reposo?

4 m 4 m

35 m2

1.29 ¿Cuál es la velocidad necesaria para que un triángulo isósceles en reposo se observe como un triángulo equilátero? v

PROBLEMAS PROPUESTOS

1.30 Una persona dice que ve una varilla que mide 2 m, que se mueve a una velocidad de 0.82 c y se encuentra colocada formando un ángulo de 30°, como se muestra en la figura. Determine, según el observador que se encuentra al lado de la varilla:

a) ¿Cuál es la longitud de la varilla?

b) ¿Cuál es el ángulo de orientación?

1.2.5 Dilatación del tiempo

El efecto de la dilatación del tiempo es universal y no depende de cómo estén hechos los relojes ni de cómo funcionen. Todos los relojes atómicos, partículas elementales o personas cuyos organismos están controlados por relojes biológicos se ven alterados a velocidades próximas a la velocidad de la luz.

El retraso de los relojes a velocidades próximas a la de la luz es la base de la famosa paradojadelreloj. Esta paradoja, también conocida como paradojadelosgemelos, se refiere a la percepción que se tiene del tiempo respecto de las personas cuando existe movimiento conforme al tiempo que mide otra persona en la que no hay movimiento. Un ejemplo de dicha paradoja es el de dos gemelos, en el que uno de ellos sale de viaje a una velocidad próxima a la de la luz y según él solamente se tardó cuatro años en regresar, pero cuando llega a ver a su hermano resulta que este es 20 años más viejo que cuando el otro salió de viaje.

Para calcular la dilatación del tiempo se utiliza la siguiente fórmula ( ):

1.2 Física relativista

Figura 1.27 Análisis de tiempos. ©Sentavio/Shutterstock.com

tA

Figura 1.28 Análisis de tiempos.

©RopyLava/Shutterstock.com

©Igogosha/Shutterstock.com

T 1 = intervalo medido por un observador cuando existe movimiento entre él y lo que mide.

T 2 = intervalo medido por un observador cuando no existe movimiento entre él y lo que mide.

Al igual que en la longitud, lo importante es saber si existe movimiento entre lo que se mide y quien lo mide ( ).

Ese carro solo tardó _______ minutos en llegar a la montaña.

Listo, solo tardamos _____ minutos en llegar a la montaña. v

En cuanto al caso de la figura 1.28, tanto el piloto como el público miden el tiempo que tarda el carro en llegar a la montaña; como entre el público y el carro existe movimiento, es T1, y como entre el carro y el piloto no existe movimiento, el tiempo que decida el piloto es T 2.

PROBLEMAS RESUELTOS

1.10 Desde una playa, un grupo de personas observa que un deportista se mantuvo esquiando en una lancha durante 12 min a una velocidad de 0.65 c. ¿Cuánto tiempo cree el piloto de la lancha que estuvo ayudando al esquiador?

SOLUCIÓN:

1. Observe lo que sucede ( ).

Figura 1.29 Análisis del problema.

©Macrovector/Shutterstock.com

2. Se determinan los datos del problema. Las personas dicen que el esquiador lleva 12 min esquiando en la lancha y como entre las personas y el esquiador existe movimiento, entonces T 1 = 12 min. Entre el piloto de la lancha y el esquiador no existe velocidad, ya que ambos van a 0.65 c, como si fueran sobre la misma lancha; por lo tanto, el tiempo que diga el piloto es en reposo: T 2 = ?

3. Una vez que se tienen los datos se establece la fórmula para resolver el problema:

T 2 = T 1 1 –v 2 c 2

4. Se sustituyen los datos en la fórmula y se obtiene el resultado:

T 2 = 12 min1 –0.65 c 2 c 2

T 2 = 9.119 min

1.11 Según el piloto de un automóvil ( ), cuya velocidad es de 0.7 c, la última vuelta al circuito la recorrió en solo 25 s. ¿Cuánto tiempo tardó en dar esa vuelta según el público que asistió al evento?

SOLUCIÓN:

1. Se observa la figura para comprender lo que sucede en el problema:

Figura 1.30 Análisis del problema.

©VectorShow/Shutterstock.com

PROBLEMAS RESUELTOS (continuación)

2. Se determinan los datos que proporciona el problema.

DATOS:

Como entre el piloto y el carro no existe movimiento, es un tiempo en reposo; por lo tanto, T 2 = 25 s. En cambio, entre el público y el carro que lleva una velocidad de 0.7 c existe movimiento, por lo que T 1 = ?

3. Se utiliza la fórmula:

T 1 = T 2 1 –v 2 c 2

4. Se sustituyen los datos en la fórmula y se obtiene el resultado:

T 1 = 25 s 1 –0.7 c 2 c 2

T 1 = 35.007 s

1.12 Un astronauta viaja en una nave a una velocidad de 0.940 c. Mientras viaja realiza un experimento que según él tiene una duración de 4 s. ¿Cuánto tiempo dura este experimento según quienes lo observan desde la Tierra?

SOLUCIÓN:

1. Se realiza un sencillo esquema de lo que sucede en el problema:

0.940 c

t = 4 s

©Chinch/Shutterstock.com

2. Se determinan los datos del problema.

DATOS:

T 1 = ? Esto es porque el tiempo es respecto de la persona que está en la Tierra. T 2 = 4 s, ya que el tiempo lo da la persona que está en la nave.

v = 0.940 c

3. Se utiliza la fórmula:

T 1 = T2 1 –v 2 c 2

T 1 = 4s 1 –0.940 c 2 c 2

T 1 = 11.724 s

El tema de los intervalos es muy delicado, por lo que se recomienda revisar muy bien el tiempo del suceso que se analiza. Para realizar un buen estudio de los problemas utilice los conocimientos obtenidos hasta el momento.

PROBLEMAS PROPUESTOS

1.31 El capitán de un avión dice que solo en los últimos 35 s de vuelo estuvo recibiendo instrucciones para aterrizar. Si su velocidad era de 0.65 c, según el personal del aeropuerto, ¿durante cuánto tiempo se estuvieron comunicando?

1.32 Dos personas realizan una prueba y encuentran que desde el inicio de un incendio hasta que se activó el sistema de alarmas transcurrieron 25 s, aunque un observador que sobrevigilaba el área asegura que el tiempo fue de 50 s. ¿Con qué velocidad se movía la nave del observador?

1.33 La vida de cierta partícula medida en reposo es de 5 × 108 s. Si la partícula viaja a la velocidad de 0.85 c respecto de la Tierra, ¿cuál será su vida medida por un observador en la Tierra?

1.34 ¿Qué velocidad debe tener una nave espacial para que un observador que viaje en ella envejezca la tercera parte de lo que envejece un observador en la Tierra?

1.35 Una pareja se despide al tener él 26 años y ella 29 años. Si él hace un viaje de 4 años (ida y vuelta), ¿qué velocidad requirió si a su llegada tiene 30 años y ella 34 años? ¿Qué distancia viajó según él?

1.36 Suponga que existen dos gemelos A y B. El gemelo A permanece en la Tierra, en tanto que el gemelo B realiza un viaje de ida y vuelta a una velocidad de 0.88 c a un planeta situado a 10 años luz (1 año luz = 9.499 × 1015 m). En el momento de la partida de B ambos gemelos tienen 20 años.

a) ¿Cuál es la edad de A cuando B regresa a la Tierra?

b) ¿Cuál es la edad de B en ese momento?

1.37 Una nave viaja a una estrella y regresa a la Tierra a una velocidad de 0.845 c, y según la persona que se encuentra dentro de la nave el viaje duró 5 años. ¿Cuánto tiempo tardó el viaje según las personas que se quedaron en la Tierra?

1.38 Una persona lanza una partícula para chocar con una pared y dice que tardó 10 s en llegar a la pared. Otra persona pasa por ese lugar y ve la partícula desde que se lanzó hasta que chocó. Según la segunda persona, ¿cuánto tiempo tardó la partícula en chocar contra la pared?

1.39 Una persona desea viajar al espacio pero quiere que cuando regrese para sus amigos solo haya pasado el doble del tiempo que pasó para él. ¿A qué velocidad debe viajar para que eso sea posible?

1.40 El tiempo que tarda una persona en ir a una determinada estrella es de 80 años a una velocidad de 0.75 c. ¿Cuánto tiempo tardó en llegar a esa estrella según las personas en la Tierra?

1.2.6 La masa de un cuerpo en movimiento

Hacia 1910, el físico alemán A. H. Bucherer por primera vez demostró experimentalmente el aumento de la masa con la velocidad. Para ello, efectuó mediciones de masa con partículas beta, es decir, electrones emitidos por sustancias naturalmente radiactivas. Descubrió que la masa aumenta con la velocidad, tal como había previsto la teoría especial.

La masa depende de la velocidad, y su valor se calcula con la siguiente ecuación: m1 = m2 1 –v 2 c 2

Donde:

m1 = masa de un objeto medida por un observador cuando existe movimiento entre ambos.

m2 = masa de un objeto medida por un observador cuando no existe movimiento entre ambos.

En este caso, lo más importante es saber si existe movimiento entre lo que se mide y quien lo mide.

Un ejemplo de esto es cuando la masa de un objeto se mide en la Tierra y después se llevan el objeto en una nave espacial, ya que se desea saber cuál es la masa según los ocupantes de la nave y según las personas en la Tierra.

PROBLEMAS RESUELTOS

1.13 Determine la velocidad con que debe lanzarse un protón para que su masa duplique su valor.

SOLUCIÓN:

Figura 1.31

Análisis del problema.

1. Se elabora un sencillo esquema de lo que plantea el problema ( ): v P P 2. Se analiza el problema y se determinan sus datos.

DATOS: m1 = 2 m m2 = m m = 1.67 × 1027 kg v = ? 3. Se determina la fórmula para la resolución del problema: m1 = m2 1 –v 2 c 2